J.EBosh • T.M.Simpson • LIglesias • C.A.Trejo

F.J.Mehr • J.Banfi • H.A.Ruival • LA.Santalo

PROBLEMAS

DE LAENSEÑANZA

DE LAMATEMATICA

I

EDICION DE "CONCEPTOS

DE MATEMATICA"

PROBLEMAS' DE LA

ENSEÑANZA DE LA

MATEMATICA

*

/

Jorge E. BOSCH

Thomas M. SIMPSON

Lucrecia IGLESIAS

César A. TREJO

Franz J. MEHR

José BANFI

Heraclio A. RUIVAL

Luis A. SANTALO

Problemas

de_ la enseñanza

de la matemática

Queda hecho el depósito que previene la ley 11.723 Prinied in Argentina - Impreso en Argentina

© 1980 by CONCEPTOS DE MATEMATICA Paraguay 1949 - 6oA - 1121 Buenos Aires

A manera de prólogoUt desint vieres, tamen est laúd anda voluntas

Ponticas, Libro III, Epístola IV, verso 80, OVIDIO

A principios de 1979, el doctor Wilhelm Siegler, del "Instituto Goethe" de Buenos Aires, y el que suscribe, de la revista "Conceptos de matemática", realizaron gestiones para obtener la visita a nuestro país del profesor Hans G. Steiner, presidente del "Tercer Congreso Interna­cional para la Enseñanza de la Matemática" realizado en Karlsruhe, Alemania Federal, en 1975, y director del "Instituto de Didáctica de la Matemática" de la Universidad de Bielefeld.

El profesor Steiner se había comprometido en dictar un curso en Chile y con tal motivo me escribió haciéndome conocer su deseo de hacer una escala en Buenos Aires. Al Dr. Siegler y a mí nos pareció oportuno extenderle una invitación para que, aprovechando su estadía en nuestro medio, nos dictara un ciclo de conferencias.

Aceptó el Dr. Steiner y casi estaba concretada su visita, pero, a último momento, tuvo inconvenientes que no pudo superar y debió cancelar su visita a América del Sud. Perdimos, pues, la oportunidad de escuchar a un matemático y docente de alta jerarquía.

Convinimos con el Dr. Siegler en que, en su reemplazo, debíamos hacer algo de la misma categoría. Hacia esa época se habían producido en nuestro país declaraciones extemporáneas sobre el problema de la enseñanza de la matemática. Hubo quienes no comprendieron que la ardua disputa entre la matemática tradicional y la moderna ya era cosa del pasado y que afortunadamente se había concordado en que lo correspondía era hacer una enseñanza moderna de la matemática. Esas insensatas declaciones tomaron estado público y se difundieron amplía­me nte por medio del periodismo oral y escrito y provocaron bastante inquietud.

He aní, pues, el motivo por el cual decidimos recurrir a los más altos exponentes del pensamiento matémático en nuestro país, con cuya valiosa colaboración organizamos un ciclo de conferencias sobre el tema "Problemas de la enseñanza de la matemática", que se realizó en el amplio auditorio del Instituto Goethe, Corrientes 319, Buenos Aires, del 7 de mayo al 11 de junio de 1979.

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El éxito logrado superó cualquier previsión. Los docentes acudieron en gran número y hubo de clausurarse la puerta de acceso pues la concurrencia excedía en mucho la amplísima capacidad de auditorio y de las adyacencias del mismo en donde se podía escuchar a los oradores oor circuito cerrado de televisión.

Quedó un problema por resolver. Pese a que concurrieron muchos docentes desde lugares muy alejados de Buenos Aires fueron muchos

• más los que no pudieron hacerlo por la distancia, las ineludibles obligaciones y los elevados gastos de viaje y estadía. Estos docentes nos hicieron conocer sus problemas y el deseo de que les ayudáramos a resolverlo. Por ello, con la gentil colaboración de varios de los oradores del ciclo, nos hemos hecho presentes —y continuaremos haciéndolo- en diversas ciudades del interior del país realizando una experiencia que estimamos valiosa tanto para los asistentes como para quienes tuvimos a nuestro cargo las disertaciones.

En Buenos Aires y en las ciudades visitadas comprobamos el deseo de que se imprimiera un libro con las disertaciones. Aun cuando la empresa tenía muchas dificultades por los costos de producción siempre crecientes decidimos imprimirlo con la generosa colaboración de los disertantes que nos ayudaron a preparar el material.

En el libro figuran siete de las ocho conferencias realizadas. Falta el texto de la pronunciada por el ingeniero Carlos A. Burundarena, el cual, absorbido por las intensas tareas que debe cumplir en la repartición oficial en que se desempeña, no ha podido seguramente hacerse tiempo para entregarnos el texto corregido de su disertación. Hemos preferido no usar la versión magnetofónica dado que el ingeniero Burundarena habló sin leer notas bor lo cual hubiera sido difícil sino imposible dar una versión adecuada.

En su lugar se publica un trabajo del suscrito: "Reflexiones de un profesor de matemáticas" que esperamos alcance a llenar ese vacío.

Hemos creído necesario rendir un justiciero homenaje al Dr. Julio Rey Pastor, que tanto influyó sobre los estudios matemáticos en nuestro país. Por ello, incluimos algunos aspectos biográficos y también un breve trabajo del maestro.

Llega el momento de los agradecimientos. Agradecemos, pues, al doctor Wilhelm Siegler que generosamente puso a nuestra disposición, además de su entusiasmo y sus magníficas ideas, todos los recursos del Instituto Goethe.

A la señorita Roschild y demás personal del Instituto Goethe cuya esforzada colaboración facilitó nuestras tareas.

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A los oradores de nuestro ciclo, profesores J.E. Bosch, T.M. Simpson, L. Iglesias, C.A. Trejo, F.J. Mehr, C.A. Burundarena, H.A. Ruival y L.A. Santaló que nos ofrecieron el regalo de sus conocimientos tan apreciados por los docentes argentinos.

A los moderadores L. Varela, E. Dávila, N.V. de Tapia, C.V. de Banfi, R. Hernández y A. Piaña que tan criteriosamente dirigieron los debates que sucedieron a cada disertación.

A los docentes que generosamente colaboraron con las tareas de orga­nización.

A los docentes que en gran número acudieron a escuchar las diserta­ciones del ciclo y especialmente a aquellos que debieron recorrer grandes distancias para poder estar presentes.

A todos, muchas gracias.José Banfi

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Julio Rey Pastor.

.

El maestroL El doctor Julio Rey Pastor nació en Logroño. España, 1888 y murió

en Buenos Aires, República Argentina en 1962. Fue seguramente, el matemático de habla hispana que ejerció mayor influencia en los estu­dios matemáticos de su pafs natal y en el nuestro, al que consideraba pafs de adopción y en el cual transcurrió gran parte de su vida.

Al término de sus estudios universitarios realizados primero en España y luego en Alemania, comenzó a actuar en su país y en 1910 fundó con algunos profesores la Sociedad Matemática Española a la vez que intro­dujo y divulgó la moderna matemática mediante la labor en la cátedra y la publicación de obras didácticas que se caracterizan por sus puntos de vista y sus demostraciones originales.

En 1917, invitado por el Instituto Cultural Español llegó a nuestro país y dio conferencias sobre los fundamentos filosóficos de la matemá­tica, a la vez que fue encargado por la Universidad de Buenos Aires de reorganizar los planes de «studio del doctorado en matemática. A su iniciativa se debe la fundación de la Unión Matemática Argentina.

Imposible sería dentro del espacio de que disponemos tratar de rese­ñar las innumerables obras que constituyen su invalorable aporte para el desarrollo de los estudios matemáticos en todos los países de habla hispana. Las hay de todo tipo, desde las destinadas a la enseñanza secun­daria hasta la universitaria y superior y los aspectos históricos y episte­mológicos de la matemática. A manera de ejemplo citemos sus obras Análisis algebraico, Funciones reales, Algebra superior, Introducción a la matemática superior, Teoría de la representación conforme y sus laurea­das obras de investigación: Fundamentos de la geometría superior y Teoría geométrica de la polaridad. No dejemos de mencionar sus escritos sobre las Matemáticas Españolas del siglo XVI, Colón y el magnetismo. Diversos aspectos de la ciencia española. Muy valiosas fueron también sus colaboraciones publicadas en diarios y revistas de todo el mundo.

En 1942 se le tributó un justiciero homenaje con motivo de cumplir- ‘sus bodas de plata con la docencia universitaria argentina que consistió en la publicación de dos gruesos volúmenes prestigiados por trabajos de los sabios más destacados. A pesar de que la guerra impidió Ha obtención de algunas colaboraciones muy importantes, la ¡dea prosiguió su camino y autores de la fama de J. Hadamard, G. Fubini, G. Polya, A. Mieli, G. Birkkoff, M. Fréchet, y muchos otros pudieron hacer su contribución al homenaje.

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La obra de Rev Pastor fue laudatoriamente comentada por sus coetá­neos. Cortés Pía manifiesta’"No somos afectos al elogio, como no culti­vamos la diatriba. Pero existen hombres a quienes por haber cumplido brillantemente su misión y por perseverar en ella con el ardor de los años juveniles, ampliado con la madurez de juicio y acopio de incesantes estudios, son acreedores a reconocimiento público por la calidad de la obra hecha, como ejemplo a seguir por quienes inician la trayectoria de su vida constructiva. Entre esos hombres, merecedores de un oficial y sincero reconocimiento está Julio Rey Pastor".

Esteban Terradas, que estudió concienzudamente su personalidad, no vacila en expresar su admiración: "Satisfáganse estos y aquellos ingenios acá y allende, con el estruendo con que a veces los obsequia perentoria­mente la Fama; los que amamos la convicción sencilla atribuimos acaso más valor a lo que patentiza fehacientemente gratitud y admiración. Cuantos hayan sentido la influencia de Rey Pator y habido suerte de aprender de él, desearán hacer constar con nosotros su reconocimiento, arrebatando a las generaciones venideras la constatación de la gloria a que se hizo acreedor".

El insigne pedagogo P. Puig Adam señala con precisión la ingente lucha que tuvo que desarrollar para que fructificase la nueva manera de concebir la enseñanza de la matemática: "Rara es en los hombres la virtud de "hacerse cargo"; cuando aparece acompañada del don de la creación, éste se aureola de un excepcional aliento humano, lo que ocu­rre en la obra didáctica de Rey Pastor. Es la intuición de la duda, de la pregunta que va a surgir, la visión clara y constante del fin y abnegado servicio del mismo. Maestro que contagia el afán explorador y estimula en alivio y provecho de quien la sigue en la descubierta de nuevos caminos y alturas".

El campo de las investigaciones realizadas por Rey Pastor va desde los conceptos fundamentales del análisis a los de la geometría analizando las euclidianas y las no euclidianas; las funciones de variable real especial­mente el concepto de integral definida, estudios sobre series divergentes, teoría de funciones con infinitas variables y ecuaciones integrales, y teoría de funciones de variable compleja, especialmente la representación conforme. El eminente historiador Gino Loria expresa en 1918: "Un puesto de honor corresponde de derecho a Rey Pastor cuya maravillosa producción científica abarca todos los campos de la matemática: aritmé­tica elemental, teoría de los números, álgebra clásica y moderna, teoría de seríes e integrales y de funciones, cálculo de diferencias, representa­ción conforme, conjuntos, geometría elemental, proyectiva, no euclidia- na, curvas planas, topología, probabilidad, espacios abstractos, física ma­temática, filosofía, historia y epistemología de la matemática"

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Su labor es, pues, múltiple y diversificada. Abunda lo sistemático, lo elaborado planificadamente como soporte firme de su prestigio intelec­tual, mediante lo cual' irradia su poderosa luz conceptual. Pero no esca­sean sus aportes a la docencia^ sus enfoques de problemas nuevos e inclu­so —hombre de su tiempo— contribuciones que se apartan de sus temas preferidos. Además, lo dice Terradas: "En materia de carácter histórico

.débese a Rey Pastor la formación en países de habla castellana de una escuela de veracidad y medida que excluye el ditirambo sin adecuado fundamento y a la vez realiza un examén objetivo consagrado. a los problemas que fueron esenciales en la época de los grandes descubri­mientos, trabajos ambos que constituyen una faceta originalísima de su inteligencia", de lo cual, entre otros, es un ejemplo su encantadora obri- ta "Ciencia y técnica en el descubrimiento de América".

Hay otro rasgo de la personalidad de Rey Pastor que no puede#ser olvidado. Nos referimos a su dominio de nuestro idioma en el cual se expresa con precisión, claridad, justeza y galanura. Expone como muy pocos; en su discurso no faltan ni sobran palabras, usando siempre el adjetivo que conviene; improvisa sobria y brillantemente; sus frases son cortas, incisivas y elocuentes. "Oirle es un placer y es explicable que doquiera se anuncie una disertación de Rey Pastor se puede contar con el interés de un gran número, aún de aquellos que no puedan seguir en todo momento la elevada tónica de su discurso".

Lo mismo ocurre con sus escritos. Sus apreciaciones y comentarios nos permiten encontrar las debidas respuestas a multitud de preguntas que de otro modo nos hubieran padecido inexplicables y que quedan esclarecidas por la claridad de su argumentación.

La generación de matemáticos de cuya formación es el principal artí­fice permite juzgar debidamente la realidad de una vida esforzada pero estimulante para todos los que confían en el valor del estudio.

Hemos intentado bosquejar algunos aspectos de la vida del maestro, el matemático y su obra, tarea imposible de realizar en pocos párrafos. Baste consignar que el impulso vivificador impreso por Rey Pastor a los estudios matemáticos en nuestro país fue incrementándose rápidamente a partir de sus primeras lecciones y poco a poco fueron surgiendo mate­máticos que primero se dedicaron a seguirlo y más tarde a la labor específicamente científica de investigación.

Hoy suman millares los que han recibido el aporte de su influencia y lo han destinado a la realización de su quehacer intelectual.

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Palabras del maestro

El coeficiente de retraso con que los progresos de la matemáti­ca han ido llegando a los países hispánicos, desde mediado el siglo XVI, justifica Ia expectante sorpresa con que los jóvenes curiosos oyeron en 1916 las explicaciones de otro joven, que les presentaba en panorama inteligible teorías y conceptos de que muy poco habían leído casualmen­te, al margen de los cursos universitarios, y casi nada habían entendido. Claro es que un esquema enciclopédico no es un tratado; y hay quienes prefieren la ignorancia absoluta a la pedante superficialidad. Pero, ¿no es conocimiento útil el saber dónde quedan los infinitos temas que no podemos estudiar a fondo y cuál es su esencia y conexión con otros? ¿Acaso es todo conocimiento algo más que una clasificación?.

Mucho se ha elevado desde entonces la cultura matemática en los países de habla hispánica, y ya es larga la lista de estudiosos en las nuevas generaciones, que no sólo conocen a fondo las modernas teorías, sino que investigan en ellas, colaborando en revistas internacionales de alta jerarquía, hazaña que entonces habría parecido inverosímil y fabulo­sa; pero esas minorías selectas (tan selectas, que en algunos de nuestros países hermanos se reducen a un solitario autodidacto) no forman am­biente; y la gran masa de ingenieros y otros profesionales, que por realizar cálculos son considerados como matemáticos, no se ha informa­do todavía de la grandiosa renovación realizada a partir del siglo XIX, a no ser en algún capitulo de interés técnico, como la geometría proyectí- va elemental, el cálculo absoluto y el método de Heavisíde.

Hoy puede hablarse ya de matemática del siglo XX con perfil propio bien acusado. De lo que ahora hablaremos es de Iá matemática del siglo XIX, con sus problemas y métodos característicos, que siguen progresando hasta nuestros días en columna rezagada; a la par que el grueso del ejército juvenil sigue el nuevo rumbo. De los progresos, algu­nos sorprendentes, realizados hasta 1949, hacemos esquemático inventa­rio.

La matemática del presente siglo, esencialmente sistemática y abstrac­ta, queda encuadrada en los grandes marcos: : álgebra abstracta y espa­cios abstractos, es decir, lo discreto, de esencia aritmético-algebraica, y lo continuo, o sea lo geométrico; dualidad que tiene sus lejanas raíces en las mentalidades india y griega. Mirando mucho más cerca, la moderna álgebra (que en gran parte es aritmética) nació en las mentes abstractas de Ga/ois, Grassmann, HamUton, Cay/ey, Dekekind, Kronecker..., mien­tras que los más importantes espacios abstractos fueron codificados por

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Hilbert y su discípulo Schmidt, con el modelo de la geometría vectorial cartesiana, y con toda amplitud por Fréchet, siguiendo la pauta que para los conjuntos de puntos trazó Cantor.

La matemática del siglo XIX va de lo concreto a lo abstracto; hija de la filosofía natural de las dos centurias precedentes, se eleva gradualmen­te por construcciones progresivas, que nunca pierden de vista Io rea!, incluso cuando parecen separarse, como en las geometrías no euc/idianas, las mu/tidimensiona/es o cuaternios. Por el contrario, lo característico de nuestro tiempo son las construcciones abstractas arbitrarias, los postula­dos arbitrarios y las funciones arbitrarias; suma de arbitrariedades que horrorizaban a Poincaré. Si él y Hilbert pueden tomarse como' figuras máximas representativas del final de su siglo, hay una diferencia profun­da entre ambos. Poincaré cierra con su genial obra esa centuria, señalan­do rumbos para perfeccionar su obra, mientras que Hilbert abre las puertas al nuevo siglo.

Si se desea trazar más nítidamente la frontera entre ambos periodos, basta repasar los 23 problemas que el genial profesor de Gottinga lanzó al congreso de París, precisamente el año divisorio de 1900, a modo de testamento de un siglo que hace balance de su activo y pasivo, como incitando a los herederos a la creación de nuevos métodos para acrecen­tar el patrimonio. Estos fueron creados con rapidez que demuestra el raro acierto de la selección, y los problemas quedaron resueltos casi totalmente.

Hay otra nota característica del nuevo siglo que es preciso puntuali­zar. El espíritu crítico de la centuria anterior sometió a los postulados iniciales a profundo análisis, del cual nacieron las geometrías no cuclidia- ñas y más tarde la axiomática, con su cohorte de geometrías y aritméti­cas heterodoxas; pero tales investigaciones no salieron del plano lógico. Es en los comienzos de nuestro siglo cuando surgieron las antinomias cantor ¡anas, que en esencia son de raigambre mucho más antigua, como después se vió; y cuando Zerme/o tuvo la osadía de formular un postula­do que todos admitían sin reparar en él, concitando energéticas protes­tas; momento crítico en que la matemática se somete a un examen gnoseológico y se rompe la unidad sagrada que Iá rigorización aritmética, excluyeme de toda nota subjetiva, había conquistado a mediados del siglo. La matemática, única ciencia ejemplar donde no cabían discusiones ni opiniones, mereciendo toda proposición el calificativo de verdadera o falsa por dictamen unánime de los entendidos, dio el escándalo de la discrepancia, de la inseguridad, de los reproches mutuos, lanzados en airadas polémicas, ni más ni menos que cualquier palestra filosófica. Es que al ahondar el duro estrato lógico se había llegado al inseguro terreno de los eternos problemas del conocimiento. Y como acontece con todo

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cisma, han surgido dos escuelas extremas; y entre los polos opuestos, diversas latitudes intermedias.

Quiéralo o no el positivismo, con todas sus modernas denominaciones, es preciso adoptar ante estos problemas de los fundamentos una actitud filosófica clara y definida, para entenderse sobre el significado de las palabras y para clasificar las posibles posiciones que cabe adoptar entre ellos. Quienes rechazan por indeseable e innecesaria toda filosofía, quie­ren decir, quizás inconscientemente, que repudian todas las filosofías distintas de ¡a suya; de la que profesan sin saberlo, como el gentilhom­bre de Moliére. El nudo gordiano está en el famoso "Problema de los universales" que atormentó a los pensadores medievales y que nadie ha logrado desatar.

Los creyentes en un mundo de entes abstractos y de relaciones entre ellos existentes, aunque no sean descubiertas, admitirán el infinito actual cantoriano en su lógica aristotélica de clases cerradas, sujetas a los tres principios de identidad, contradicción y tercero excluido. Quienes, por el contrario, califican de absurda tal creencia y consideran a los entes mate­máticos como puras creaciones subjetivas, que sólo existen al ser pensa­dos por alguna mente humana, sólo admiten el infinito potencial pero no el actual; el devenir infinito pero no el ser infinito; y como para ellos tampoco existen las relaciones mientras alguien no las demuestra, entre la proposición "A es B" y la "A no es B" cabe el caso de duda entre ser y no ser, que es el de no saberse todavía; tal es la posición del intuicio- nismo más intransigente.

Cabe finalmente la posición evasiva y puramente lógica del formalis­mo, que elabora la cadena deductiva sin salir del plano lógico, axiomati- zando, no solamente Ia matemática, sino todas las ciencias exactas, y hasta la misma lógica. Como se construyen geometrías no euc/idianas y no arquimedianas, se pueden edificar lógicas no aristotélicas de las más diversas cataduras; pero sería absurdo sacar consecuencia sobre el signifi­cado gnoseológico del tertium. non datur en la matemática para dirimir el pleito, radicado en un estrato más hondo.

Valgan estas explicaciones para justificar el tono nada asertórico con que se exponen las diversas concepciones del número. Una vez en pose- ción del número natural —regalo divino, según Kronecker— el problema de la consistencia lógica de la aritmética y de la geometría queda resuel­to, y la matemática entera recobra mejor afianzado el discutido presti­gio.

La arbitrariedad, como característica de la nueva matemática, salta a la vista en las tres etapas en que hemos dividido esta ciencia: Conjuntos, Funciones y Familias de funciones. En la teoría de conjuntos, desde los intervalos y dominios sencillos, considerados exclusivamente por los clá­sicos del siglo XIX, hasta los conjuntos ideados con libérrimas definido-

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nes por los modernos matemáticos (especialmente polacos y rusos). En la teoría de funciones, a partir del siempre citado ejemplo de Dirichlet, parecería que las únicas funciones dignas de estima son las totalmente discontinuas; y si bien se consideran funciones continuas, parece desdo­roso suponer existencia de derivadas, sintiéndose los geómetras diferen­ciales casi humillados frente a los topó/ogos. En la tercera parte, que sistematiza las teorías anteriores, fundiéndolas en elevadas construcciones sintéticas, es donde más se acusa el perfil de la nueva matemática, encua­drada en los amplios marcos del álgebra abstracta y la topología abstrac­ta, que tiende a refundirse en uno solo.

Esta libertad absoluta de que se usa y abusa en la creación de nuevos entes, sin el freno que los matemáticos de los siglos anteriores se impo­nían a sí mismos, bien fuera por preocupación de reflejar entidades naturales o por el fin concreto de llegar a la resolución de un problema, ha conducido a una curiosa inversión de valores. La creación de teorías estaba antaño reservada a los grandes, y los mediocres debían con­formarse con la resolución de problemas; ahora se han permutado los papeles, y hasta los incapaces de plantear un problema concreto se dedi­can a la fácil tarea de urdir teorías o generalizarlas, con esta o la otra combinación de postulados. Agotados ya los nombres aprovechables de la lengua vulgar, se designan por letras las nuevas combinaciones; y esca­seando las letras, se apela a los subíndices. Los tipos de espacios abstrac­tos y de álgebras abstractas se cuentan ya por centenares. La producción incesante de los viejos países culturales, acrecentada con la de los nue­vos, lanza al mercado nuevas y nuevas combinaciones con rapidez febril* con la misma rapidez cae sobre ellas el manto del olvido. Flamantes teorías hay que perecen apenas publicadas varias memorias del autor, alguna de su ayudante y quizás un par de tesis de los obligados discípu­los de ambos; después el vacío y el silencio.

Los jóvenes recién desembarcados en este mundo nuevo, que ven ante sus ojos la pampa infinita y deshabitada, se echan a cabalgar con rumbo arbitrario, o sin rumbo ninguno, sembrando símbolos a manos llenas, y amojonando cada paso con un sonoro neologismo; y asi queda trazando un camino, uno entre infinitos, con la vaga esperanza de que conducirá a alguna parte. Nadie coarte su libertad; la historia da ejemplos de inespe­radas aplicaciones y a la larga glorifica a los mi/esios frotadores de ám­bar; cada uno de estos modernos batidores de postulados tiene derecho a muchos siglos de espera, hasta que de ellos surja alguna chispa; pero al autor se le plantea un problema perentorio: ¿qué criterio adoptar en el volumen venidero para elegir entre las infinitas misturas lanzadas a la publicidad?

La matemática es la ciencia de las estructuras abstractas y los postnew- tonianos hicieron felices hallazgos de estructuras que podemos llamar

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reales, porque explican multitud de fenómenos naturales. La experiencia fallaba sin apelación sobre el valor de cada estructura matemática; pero al librarse esta ciencia de aquella traba, pasando de lo real a lo posible, el valor de cada estructura inventada libremente reside en sus conexiones con otras preexistentes, en su poder de síntesis para realizar economía de pensamiento; y el arte del inventor no estriba en agregar nuevo hilos a la maraña, sino en descubrir y desatar nudos, en adivinar hilos invisi­bles para otros, a fin de tranformar la inextricable maraña en ordenado tejido. El que está tramando en sus telares con febril actividad la nueva generación, sobre la urdimbre de sutiles pero eternos hilos de concep­tos, es el cañamazo en que, una vez limpio de toda borra, se bordará la matemática del mañana.

Con natural misoneísmo, los educados en el antiguo régimen vuelven espaldas a esa realidad que vivimos; pero el aire ambiente se respira sin notarlo y aún sin quererlo; y es seguro que sus futuros libros reflejarán algunos destellos de esa luz naciente que ya penetra en los más recóndi­tos y oscuros rincones de ¡a matemática clásica, esclareciendo la antes misteriosa senda que condujo a los geniales creadores, descubriendo Iá identidad de esencia entre apartadas teorías y poniendo a la vista la insospechada y armoniosa unidad de la más perfecta Je las ciencias.

Julio REY PASTORBuenos Aires, 1951

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Las conferencias

Galileo: La ciencia moderna.

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La polémica sobre la

enseñanza conjuntista

Jorge E. BOSCH

1. introducción de la polémica

Desearía formular ante todo una aclaración conceptual y terminológica: a nadie se le ha ocurrido hasta ahora enseñar teoría de conjuntos en los niveles primario o secundario. Esta teoría —entendida como tal— corres­ponde obviamente al nivel terciario de la enseñanza, y aún en este nivel debe ser expuesta con diversas precauciones cuya naturaleza depende de la carrera de que se trate. Lo único que se puede hacer al respecto en los niveles primario y secundario es introducir el lenguaje de los conjuntos y adoptar un punto de vista conjuntista en la enseñanza de los diversos temas de matemática.

Es precisamente esta última posibilidad —la adopción de un punto de vista conjuntista— la que ha levantado una polémica a veces áspera, casi siempre apasionada, cuyos ecos se han oído en todo el mundo civilizado. Han intervenido en esta polémica algunos de los más destacados matemáti­cos contemporáneos; pero he de decir (con cierta melancolía) que en muchas ocasiones la intervención de esos matemáticos ha sido más bien frívola y apresurada: no han puesto en la elaboración de sus opiniones pedagógicas ni una pequeña parte del rigor intelectual y de la seriedad científica que vuelcan en su obra de matemáticos profesionales. Esto es doblemente lamentable: en primer lugar, porque todos perdemos de este modo la oportunidad de escuchar la palabra de las más altas autoridades científicas en el ejercicio profundo de su saber; y en segundo lugar, porque así se abren paso entre los legos algunas peregrinas afirmaciones carentes de todo fundamento serio pero amparadas por el prestigio de un nombre ilustre. Sirvan estas desconsoladas palabras como exhortación a volcar en la pedagogía de la ciencia las austeras virtudes que presiden la elabora­ción de la ciencia misma.

La polémica sobre la enseñanza de los conjuntos ha girado alrededor de cinco temas fundamentales, a saber:

(a) Especulación versus realidad: se acusa a la matemática conjuntista de ser eminentemente especulativa y desvinculada de los procesos reales;

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(b) Complicaciones: se acusa a la enseñanza conjuntista de elaborar definiciones .y desarrollos excesivamente complicados para la capacidad de los alumnos, dando lugar a veces a enunciados aberrantes y pedantescos;

(c) Antinaturalidad: algunos matemáticos han encontrado en el pensa­miento conjuntista ciertos aspectos que parecerían estar en contradicción con el "pensamiento natural";

(d) El infinito: hay quienes han señalado el peligro de que la enseñanza conjuntista confronte demasiado tempranamente a los alumnos con el arduo problema del infinito actual;

(e) Ontología inconveniente: según algunos, la enseñanza conjuntista se basa en una ontología que, por diversos motivos, sería psicológicamente inconveniente para los alumnos.

Trataré sistemáticamente en lo que sigue cada uno de estos cinco temas.

Z Especulación versus realidad

Se ha sostenido que la enseñanza conjuntista, si bien puede tener algunos bellos atributos desde el punto de vista teórico, es excesivamente especulativa y tiende a desvincular al alumno de la realidad.

. Puede ser que algún conjuntista fanático proponga una enseñanza puramente teórica de los conjuntos y que tal enseñanza resulte desvincula­da de la realidad; pero éste es un problema de los fanáticos, no de los. conjuntos. También un ecuacionista fanático podría proponer una deliran­te alquimia de ecuaciones sin mencionar jamás una sola aplicación: esto no demostraría, por cierto, que el estudio de las ecuaciones esté necesariamen­te reñido con la realidad. En el caso de los conjuntos, para desvirtuar el cargo de especulación excesiva que suele formularse, bastará mostrar explícitamente las diversas posibilidades de su aplicación al estudio de la realidad. Es lo que haremos a continuación.

2.1. La combinatoria.

Es ésta una de las más indiscutiblemente prácticas ramas de la matemá­tica. La combinatoria penetra en muy diversos campos de la matemática aplicada, como la estadística y el álgebra financiera. Por añadidura, tam­bién algunos de los capítulos abstractos de la matemática pura, como ia topología, hacen uso de los recursos combinatorios. Y bien: esta rama privilegiada de la matemática —la combinatoria— es una teoría plenamente conjuntista. Como históricamente precedió al nacimiento oficial de la teoría de conjuntos, bien puede decirse que, así como Monsieur Jourdain. hacía prosa sin saberlo, los matemáticos del siglo XVII hacía tería de conjuntos sin saberlo. Los aspectos combinatorios del álgebra de conjun­tos pueden ponerse en relieve en los primeros años de la escuela secundaria, y aún en la escuela primaria, a través de problemas como el siguiente

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(Kemeny-Mirkil-Snell-Thompson: "Estructuras matemáticas finitas", Eu- deba, Buenos Aires, 1967; pág. 70):

En un grupo de 100 estudiantes se halló que las cantidades de los que estudiaban diversas lenguas eran: español, 28; alemán, 30; francés, 42; español y alemán, 8; español y francés, 10; alemán y francés, 5; las tres lenguas, 3. ¿cuántos estudiantes había que no estudiaban ninguna len­gua? ¿Cuántos estudiantes sólo estudiaban francés? ¿Cuántos estudia­ban alemán si y solamente si estudiaban francés?

A través de problemas como éste se puede familiarizar a los alumnos con el álgebra de conjuntos y la intuición combinatoria simultáneamen­te; y no cabe ninguna duda de que en tales casos las técnicas conjuntis- tas se hallan en estrecho contacto con la manipulación de la realidad.

Lo que compete a maestros, profesores y matemáticos profesionales, jes producir una buena cantidad de problemas de carácter conjuntista com­binatorio que vinculen con situaciones reales los diversos aspectos de la conjuntística elemental.

Este tema ha de servirme para formular una aclaración conceptual de la mayor importancia pedagógica: algún purista extremo podría objetar que en el ejemplo aducido sobre los estudiantes que aprenden idiomas, así como en muchos otros que yo propondría para ¡lustrar la conjuntís­tica elemental, se hace uso de operaciones con números cardinales; y bien —diría el objetante— puesto que la teoría de conjuntos se usa para fundamentar el concepto de número cardinal, no es lícito usar números cardinales para ilustrar los aspectos básicos de la teoría de conjuntos. Esta objeción sería más o menos válida si el objetivo fuera enseñar realmente teoría de conjuntos, y aún en este caso podría admitirse que, como* recurso ilustrativo, se adelantaran algunos conceptos aún no formal­mente introducidos. Pero no hay nada de esto: insisto en que en los niveles primario y secundario no se enseña teoría de conjuntos, sino técnicas conjuntistas, de modo que las preocupaciones formales acerca de la fundamentación lógica de la matemática están fuera de lugar. Estas técnicas conjuntistas han de usarse cada vez que su introducción aclare y facilite la adquisición de un nuevo concepto matemático, pero no para proveer una fundamentación lógica a ultranza. Esto hace que, para ¡lus­trar las ¡deas conjuntistas básicas, sea perfectamente lícito recurrir a todas las nociones matemáticas que se suponen suficientemente conoci­das por los alumnos.

2.2. La pre-estadística.

En este contexto llamo "pre-estadística" al conjunto de técnicas ele­mentales que en el lenguaje coloquial suelen englobarse bajo el térnimo "estadística", a saber: recuento de los miembros de una población que

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satisface ciertas propiedades, porcentajes, etc. Los medios de difusión masiva y las costumbres de las sociedades actuales han hecho que la pre-estadística forme parte de la vida cotidiana de casi todo el mundo. La manipulación conjuntista de tales datos constituye una excelente oca­sión para destacar las posibilidades de aplicación del lenguaje conjuntista al estudio de la realidad. Veamos un ejemplo:

Se da una lista de 20 alumnos A¡ A2, A2o con sus respectivas calificaciones en Matemática, Lenguaje, Ciencias Naturales, Historia, Geo­grafía, Música, Dibujo y Modelado. Se desea saber: a) Qué relación conjuntista hay entre los alumnos aprobados en Matemática y los aplaza­dos en Música; b) Qué relación conjuntista hay entre los alumnos que tienen más de 6 en las ciencias exactas y naturales y los que tiene más de 6 en todas las artes; c) Si es válida la siguiente afirmación: "Los alumnos aprueban Historia si y sólo si aprueban Geografía"; d) Si es cierto que los alumnos que aprueban Dibujo aprueban también modela­do (interpretando ¡a situación en términos de conjuntos) e) Si son dis­juntos los conjuntos siguientes: el de los alumnos que tienen más de 6 en Historia y el de los que tienen menos de 5 en Geografía. Confeccio­nar un gráfico que ponga en evidencia la magnitud (cardinalidad) de los alumnos que han obtenido las diversas calificaciones (desde 0 hasta 10) en una materia determinada, etc.

2.3. Las pre-probabilidades.

Este tema se halla íntimamente conectado con los dos precedentes. Llamo pre-probabilidades a las técnicas conjuntistas elementales que se usan en el cálculo de probabilidades para las cuales no es imprescindible usar el concepto de probabilidad. La ejercitación en este tipo de proble­mas tiene dos ventajas: en primer lugar, provee una excelente ocasión para vincular el lenguaje conjuntista con situaciones extraídas de la reali­dad; y en segundo lugar allana el camino para el estudio conjuntista de las probabilidades, que es del mayor interés teórico y práctico. Ilustraré este tema con dos ejemplos de muy diferente estructura; el primer ejem­plo es el siguiente:

Se desea repartir 2700 botellas de una bebida dando la sensación de que esa bebida posee un ligero sabor alcohólico, y se sabe que para obtener dicho sabor hay que agregar a cada botella un centímetro cúbi­co de alcohol. Sean A el conjunto de las botellas a ¡as que se agrega alcohol, y A' el de aquéllas a las que no se les agrega. Se desea saber de qué cantidad total de alcohol debe disponerse para asegurar que el co­ciente entre el número cardinal de A' y el del conjunto total de botellas sea menor o igual que 0,02.

El segundo ejemplo es el siguiente:Un profesor clasifica a sus alumnos del siguiente modo: en la dase C0

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coloca a los alumnos que han obtenido la calificación O, en la dase Cl a los que han obtenido 1, y así sucesivamente hasta llegar a C, Q, que es la dase correspondiente a quienes han obtenido 10. Sabiendo que todos los alumnos han sido calificados con una nota comprendida entre O y 10, se desea saber: a) Qué relaciones conjuntistas pueden establecerse entre las clases C0, Cx, ..., C10/ sin poseer información adicional; b) Qué relación conjuntista puede establecerse entre el conjunto A de todos los alumnos y las clases C0, Cl ..., C10, sin poseer información adicional; c) Qué información transmite el resultado de las siguientes operaciones: multi­plicar cada nota n por el número cardinal de la respectiva clase Cn; sumar todos los números así obtenidos y dividir el resultado por 11.

2.4. Programción lineal.

Sabido es que este capítulo de la matemática está estrechamente vin­culado con cuestiones prácticas tales como la minimización de costos y la maximización de beneficios. Problemas elementales de programación lineal pueden discutirse en la enseñanza secundaria, y justamente una interpretación conjuntista de tales problemas resulta clarificadora. El concepto geométrico-conjuntista de conjunto convexo desempeña aquí un papel esencial; y conviene recordar también que el estudio de las inecuaciones, tan importantes para la programación lineal, ofrece una ocasión especialmente propicia para ilustrar el concepto conjuntista de relación binaria. Más aún: las ¡deas conjuntistas permiten ofrecer una versión particularmente clara y sólida de la programación lineal, vincu­lando las relaciones con los conjuntos convexos.

2.5. La teoría musical

Sería incurrir en una grave distorsión de la enseñanza y hacer violen­cia al espíritu de los niños y los adolescentes, dar por descontado que las únicas aplicaciones interesantes de la matemática son las de carácter utilitario. Puede resultar altamente revelador y fascinante para los alum­nos de los ciclos primario y secundario enterarse de que la conjuntística halla aplicaciones muy serias en la teoría musical. En este aspecto segui­ré de cerca la exposición de P. Barbaud en su cautivante libro "La musique, discipline scientifique" (Dunod, París, 1968).

La gama cromática es simplemente el conjunto ordenado de los doce semitonos comprendidos en lo que habitualmente se llama una octava. Llamemos 0 a la nota do, 1a do sostenido, 2 a re, y así sucesivamente hasta asignar el número 11 a la nota si, teniendo en cuenta que entre mi y fa hay un semitono, y no un tono entero. Tenemos dos conjuntos básicos (por comodidad, prescindimos del orden): la gama cromática.

C=[0,1,2....... 11 ].

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I

y la escala diatónica o gama de do mayor,

P0 = [0.2. 4, 5,7,9,11 ].

Introduciendo la suma módulo doce se obtiene a partir de P0 las doce tonálidades mayores:

P0 + 0 = [ 0, 2, 4, 5,7,9,11 ] = P0 Po + 1 = [0. 1,3,5,6,8,10 ] = P, P0+2 = [1,2. 4,6.7,9,11 ] = P2

do mayordo sostenido mayor re mayor

P0 + 11=[1,3, 4,6,8, 10,11 ] = P„ si mayor.

Llamemos P al conjunto de todos estos subconjuntos de C; es decir:

P = [Po.P Pl.}.1 I •••

:A continuación hace Barbaud esta afirmación contundente:"El lenguaje musical 'tonal', es decir el que está fundado en las rela­

ciones conjuntistas entre los elementos del conjunto P, se reveló fructífe­ro durante tres siglos aproximadamente".

El álgebra de conjuntos permite dar cuenta de manera racional de todos los aspectos de la teoría musical clásica y, más aún, permite expli­car en forma clara e inteligible el sistema serial de Schónberg. He aquí, pues, un orden de cosas en el que la interpretación conjuntista ha obte­nido un éxito notable. Para formarse una idea acerca de la magnitud de este éxito hasta tomar en consideración una afirmación del distinguido teórico de la música John Redfield, según el cual "la teoría armónica (ha sido) tan contradictoria e ineficaz desde Zarlino, pasando por Ra- meau, hasta los tiempos presentes". ("Música: ciencia y arte", Eudeba, Buenos Aires, 1961, pág. 49).

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li.

2.6. Los circuitos eléctricos.

Es bien conocida la aplicación del álgebra de Boole al diseño de circuitos eléctricos. Pero el álgebra de Boole está vinculada a la conjun- tística de dos maneras muy distintas entre sí, aunque igualmente profun­das; la primera vinculación es de carácter metodológico: la teoría de las álgebras de Boole, como la de toda estructura algebraica, es de carácter netamente conjuntista; un álgebra de Boole es simplemente un conjunto munido de cierta estructura que se especifica axiomáticamente. La se­gunda vinculación es de carácter estructural: el teorema de representa-

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ción de Stone muestra que toda álgebra de Boole es isomorfa a un álgebra de conjuntos lo cual sugiere claramente que "lo esencial" de la teoría de las álgebras de Boole está contenida en la teoría de las álgebras de conjuntos. Puede hablarse pues, de una relación profunda entre el álgebra de conjuntos y los circuitos eléctricos.

2.7. Temas de física elemental.

Con algunas teorías físicas sucede lo mismo que lo que he esbozado en 2.5 respecto de algunas teorías musicales: sólo mediante métodos conjuntistas pueden adquirir la claridad y la solidez que en vano han buscado durante siglos. Restringiéndome a la física elemental, es decir, a la que puede enseñarse en los niveles primario y secundario, daré un ejemplo acerca del cual ha reinado y reina todavía una oscuridad con­ceptual que solo puede ser disipada por métodos conjuntistas: me refiero a la teoría de las magnitudes, las cantidades y la medición. Es evidente que un tratamiento adecuado de estas cuestiones requiere la introduc­ción de nociones conjuntistas tales como las de semlgrupo, clases de equivalencia, etc. Por otra parte, no hay duda de que un manejo más fluido y preciso del lenguaje conjuntista favorecerá el tratamiento de ciertos temas de física elemental, tales como la estática y la cinemática. El solo hecho de definir la trayectoria de un móvil puntual como el conjunto de los puntos de espacio correspondientes a posiciones del móvil en cierto intervalo de tiempo, permite distinguir las ecuaciones del movimiento de las ecuaciones de Ia trayectoria, distinción que no siem­pre los alumnos perciben con claridad.

2.8. Comentarios finales.

Los ejemplos anteriores muestran que la conjuntística ofrece un pun­to de apoyo sólido a numerosos aspectos del estudio de la realidad en los niveles primario y secundario. Pero también es bueno recordar que el desarrollo de las nociones conjuntistas ha hecho posibles nuevas e impor­tantes ramas de la matemática de nivel superior, como la teoría de la integral de Lebesgue y la topología general; y que, por otra parte, algu­nas ramas preexistentes de la matemática —como la teoría de probabili­dades— han recibido un apoyo decisivo y renovador a partir de la intro­ducción de las técnicas conjuntistas. En lo que se refiere a las aplica­ciones superiores de la matemática, el éxito de las técnicas conjuntistas no ha sido menos contundente: por ejemplo, las modernas presentacio­nes de las teorías de la gravitación adquieren pleno carácter conjuntista a través de una versión actualizada de la geometría diferencial que les sirve de instrumento matemático.

3. ComplicacionesExaminemos ahora la segunda de las acusaciones más'importantes que

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se dirlgeir a la enseñanza de la conjuntística: se dice que el punto de vista conjuntista produce definiciones y desarrollos excesivamente com­plicados para la capacidad de los alumnos, dando lugar a veces a enun­ciados aberrantes y pedantescos. Esta acusación puede ser válida o abso­lutamente injusta, según como se la interprete. Si se la interpreta como una acusación contra los excesos fanáticos del conjuntismo es válida. Pero si se la interpreta como una acusación global contra el punto de vista conjuntista en la enseñanza elemental de la matemática, entonces es absolutamente injusta. Veamos primero la interpretación benigna, según la cual aquella acusación está dirigida solamente contra los excesos faná­ticos del conjuntismo. Cabe preguntarse ante todo si existen tales exce­sos. Y bien, lamentablemente ni siquiera la ciudad ascética y armoniosa de la matemática se libra de los estragos del fanatismo. Creo que esos estragos alcanzaron sus versiones más catastróficas en Francia, y por eso quizá hayan sido algunos distinguidos matemáticos franceses los que con mayor energía han reaccionado contra ellos.

3.1. El ejemplo de la recta afínSe hizo famosa, por ejemplo, cierta definición de recta afín que se

preténdió imponer en la enseñanza secundaria francesa, para niños de trece o catorce años. Comentaré con algún detalle esta definición, por­que me parece un caso paradigmático de aberración capaz de dar lugar a una desopilante cadena de malentendidos. La célebre definición es la siguiente:

Se llama recta afín a todo sistema formado por un conjunto C y una dase F de biyecciones de C en el conjunto de los números reales, tales que: (i) Si f y g y si a y b son números reales cualesquiera (con a 0), la función g = a • f + b también pertenece a C;

(ii) Si f y g pertenecen a C, existen números reales a y b (con a =£ 0) tales que g = a • f + b.

(Se suponen conocidas previamente las definiciones de multiplicación y de suma de función con número real).

Basta la simple lectura de esta definición para comprender que su introducción en la enseñanza secundaria (y aún en el primer ciclo'de la enseñanza universitaria) es aberrante. Las dos cualidades pedagógicamen­te negativas que saltan a la vísta son la excesiva complejidad conceptual y el alto grado de abstracción. Pero no son las únicas. Me interesa destacar otro aspecto de la cuestión, que es rico en sugerencias pedagógi­cas. Me refiero al aspecto netamente conceptual, es decir, al status mate­mático del ente que se define de ese modo.

Aquella definición provee un concepto absoluto y autosuficiente de recta afín, con total prescindencia de un "espacio ambiente". Esto es lógicamente irreprochable pero equivocado desde los puntos de vista psicológico, histórico y del sentido común matemático. Veamos:

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3.1.1. Punto de vista psicológico. Sostengo que es psicológicamente antinatural lanzarse al estudio de una recta con prescindencia de un plano o de un espacio tridimensional en el que aquélla esté sumergida; la intuición más elemental de lo que es una recta, e inclusive de sus propie­dades formales, está íntimamente ligada a un espacio ambiente. Tanto la "derechura" de una recta como su capacidad para realizar la menor distancia entre cada dos de sus puntos, así como la determinación de una recta por dos cualesquiera de sus puntos, son propiedades que psico­lógicamente reclaman la existencia de un espacio ambiente. Las geome­trías intuitivamente naturales son la del plano y la del espacio tridimen­sional. Tanto la geometría intrínseca de la recta como la de los espacios de dimensión mayor que tres son "artificiales" y corresponden a una etapa más avanzada del pensamiento matemático: requieren, por lo me­nos, un dominio previo y bien madurado de las geometrías en dimensio­nes dos y tres. Esta argumentación nos pone en verdad frente a la pregunta fundamental concerniente a la enseñanza de la geometría: Debe esta ciencia ser enseñada como un sistema axiomático-deductivo des­vinculado a priori de la experiencia, o debe más bien presentarse como un ordenamiento racional de ¡deas sugeridas por la experiencia? En cuanto a mí, no me cabe duda de que es la segunda alternativa la que se impone en los niveles primario y secundario, aún cuando se haga alguna tentativa de introducir a los alumnos en el método axiomático-deducti­vo. Si se acepta esta premisa, no hay duda de que la geometría intrínse­ca de la recta queda excluida de aquellos niveles de enseñanza, porque la experiencia geométrica corresponde siempre a las dimensiones dos o tres: cuando se dibuja se realiza experiencia geométrica en dimensión dos; cuando se hacen construcciones se realiza experiencia geométrica en di­mensión tres. La experiencia unidimensional prácticamente no existe. En particular, la experiencia puramente unidimensional de una recta no se realiza nunca: cada vez que nos interesamos experimentalmente por una línea recta, la ¡dea misma de ''rectitud" está dada por un espacio am­biente de dimensión dos o tres.

3.1.2. Punto de vista histórico. Las consideraciones de carácter psico­lógico que acabo de exponer se ven plenamente reforzadas cuando se introduce el punto de vista histórico. Durante dos milenios la geometría fue, en todo tiempo y en todo lugar, geometría del plano o del espacio tridimensional. El estudio sistemático de las geometrías de dimensión superior aparece recién en el siglo XIX, y la ¡dea de "extraer" las varie­dades de su ambiente (caracterizándolas mediante una estructura intrín­seca) comienza a surgir con los trabajos de Riemann. En consecuencia, cabe afirmar que el estudio aislado e intrínseco de las variedades unidi­mensionales es un producto tardío del pensamiento matemático. Y aún en esta etapa de madurez, permanece como una especulación abstracta de escasa vinculación con la realidad, salvo en teorías físicas de alto

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nivel, como la Relatividad General. Cada vez que se ha intentado vincu­lar las rectas matemáticas con las rectas de la experiencia ordinaria se lo ha hecho en el contexto de una geometría ambiental de dimensión ma­yor que uno.

3.1.3. Punto de vista del sentido común matemático. Tanto desde el punto de vista psicológico como en perspectiva histórica, la ¡dea de definir y estudiar una recta aislada de su espacio ambiente aparece como netamente desaconsejable. Podría haber, sin embargo, razones matemáti­cas poderosas que hicieran inclinar la balanza en sentido contrario; pero no es así, sino mas bien al revés. Aun desde un punto de vista puramen­te matemático, la definición que estamos comentando es desafortunada. En efecto: en la geometría afín del plano o del espacio tridimensional, la noción de recta no está ligada solamente a la posibilidad de hallar una familia F de biyecciones que se comporten como pide la definición mencionada, sino que además está ligada a ciertas propiedades específi­cas que distinguen a las rectas de cualquier otra curva que pudiera para- metrizarse de manera afín. Esta especificidad que tienen las rectas ordi­narias en las geometrías de dimensión dos o tres, no es rescatada en modo alguno por aquella definición. Por eso resulta más sensato decir que lo que se define mediante aquella familia F de biyecciones no es el concepto de recta afín sino el de variedad afín rea! unidimensional. Y al poner el problema en estos términos se ve con claridad la inconveniencia pedagógica de suministrar a los alumnos, como definición general de recta afín, un enunciado que en verdad corresponde a una clase más amplia de entidades. Veamos algunas consecuencias de esta prestidigita- ción de definiciones.

Supongamos que un estudiante, munido de su definición general de recta afín como variedad unidimensional, se enfrenta con la geometría del plano afín y observa que allí aparecen ciertos entes llamados “rectas". Sería verdaderamente melancólico que las rectas del plano afín no resul­taran ser rectas afines en el sentido de la definición general; sin embargo, algo de esto sucede. En efecto, en toda presentación sensata de la geo­metría del plano afín las rectas aparecen como subconjuntos del plano (o, si se quiere, del conjunto subyacente a tal plano): cada recta es un conjunto de puntos. Por cierto que cada recta r puede ser munida de una familia F de biyecciones como la que pide la definición gene­ral, lo cual hace que la recta r puede ser “identificada" con una recta afín; pero subsiste una diferencia: la definición general exige llamar recta afín al par ordenado (r, F) en tanto que para la geometría del plano afín el conjunto r es ya en sí mismo una recta, a la cual se puede adornar con la familia F. Luego, aplicando sin piedad las pautas del rigor matemático (como sugiere la implacable definición gene­ral que comentamos) concluimos que una recta del plano afín no es una

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recta afin. Si bien esto no llega a ser una contradicción lógica, es plena­mente una contradicción lingüistica cuya inconveniencia pedagógica salta a la vista. Esta situación ya fue señalada por Jean Leray al indicar que, de acuerdo con la definición general/nos encontramos con que una recta no coincide con el conjunto de puntos. A esto replicó André Lichnérowicz diciendo —con una pizca de ironía— que nunca una recta coincidió con el conjunto de sus puntos. Pese a que tengo en gran estima por los aportes de Lichnérowicz a la enseñanza de la matemática moderna, creo que en este caso particular su argumento es insostenible. Y diría más bien que casi siempre, desde Euclides hasta Bourbaki, una recta coincidió con e» conjunto de sus puntos. (Ver Bourbaki: Algebre, Chap. II, Algébre linéaire, 9.3, pág. 191-192). Hay solo dos excepciones notables: 1) La presentación efectuada por algunos geométras de los siglos XIX y XX —sobre todo en las exposiciones de geometría proyectiva— según la cual se reemplaza la relación conjuntista de pertenencia por la relación abs­tracta de incidencia; entonces las rectas no son conjuntos de puntos sino entidades primitivas que se reíacionan con los puntos mediante la inci­dencia; 2) Cierta presentación muy especial de la geometría diferencial moderna, en la que se define una curva como una clase de equivalencia de funciones (cada una de las cuales es una curva parametrizada): en este caso, obviamente, una curva no coincide con el conjunto de sus puntos. Y bien: forzando un poco la situación, se puede decir que una recta es un caso particular de curva en el sentido expuesto, por lo cual tampoco una recta coincidiría con el conjunto de sus puntos.

La primera de estas dos excepciones es verdaderamente anticonjuntis- ta, y no creo que en tal sentido merezca la predilección de Lichriéro- wicz; en todo caso, es una manera forzada y poco didáctica de enmasca­rar las nociones conjuntistas. La segunda excepción es útil desde el pun­to de vista de la geometría diferencial cuando se está dispuesto a admitir una buena cantidad de abusos de lenguaje. De todos modos, éstos son los únicos casos en la historia rea! de la matemática (no en su historia potencial) en que una recta no ha coincidido con el conjunto de sus puntos. Pero, además de tratarse de casos marginales y forzados, presen­tan el inconveniente de que ninguno de ellos es compatible, en sentido estricto, con la definción general de recta afín que estamos comentando. En consecuencia, la objeción de Leray es válida y no cabe ninguna duda de que, desde el punto de vista pedagógico, es bastante monstruoso que una recta no coincida con el conjunto de sus puntos. Hay, sin embargo, otra objeción de Leray que a mi juicio no tiene validez: observa el ¡lustre matemático francés que el conjunto C de que habla la definición general de recta afín podría ser cualquier conjunto que tenga la potencia del continuo: en particular, algún conjunto salvaje (el calificativo es mío) como el ternario de Cantor (el ejemplo es de Leray). Esto no

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puede presentarse como objeción específica a la definción de recta afín porque es aplicable al método axiomático en general. Si se define el plano como un conjunto de entes llamados puntos, munido de una familia distinguida de subconjuntos, llamados rectas, que satisfacen tales y cuales axiomas, también resultará que el conjunto ternario de Cantor podrá constituir un modelo de tal plano. Creo que esto es lo que ha querido decir Lichnérowicz al señalar que siempre se pueden elegir en matemática ejemplos "patológicos".

Volvamos a ocuparnos del esforzado estudiante que, munido de su definición general de recta afín como variedad unidimensional, se enfren­ta con la geometría del plano afín y observa que allí aparecen ciertos entes llamados "rectas". Supongamos que mediante una abigarrada colec­ción de abusos de lenguaje y de convenios ad-hoc logramos que las rectas del plano afín sean rectas afines en el sentido de la definición general. ¿Habremos logrado con esto la paz del espíritu, aunque sea a expensas de una total incomprensión por parte de nuestros alumnos? De ningún modo: las mismas triquiñuelas que nos han permitido convertir en rectas afines a las rectas del plano afín nos permiten presentar como rectas afines a otras curvas del plano afín, tales como las parábolas. En efecto: dada una parábola cualquiera del plano afín, es perfectamente posible muñirla de una familia F de biyecciones como la pedida por la definición general. El resultado de esta peregrinación a las fuentes es un dilema de hierro; o bien las rectas del plano afín no son rectas afines, o bien son rectas afines tanto las rectas como las parábolas, las hipérbolas y muchas otras figuras del plano afín. Entendámonos bien: lo paradójico de esta situación no reside en la mera posibilidad —característica del método axiomático— de que las rectas afines tengan "forma patológica" (conjunto ternario de Cantor, etc.) sino en la confrontación lingüística dada por el par recta afín-recta del plano afín: dentro de cada plano afín (que a su vez puede adoptar fisonomías patológicas) nos encontra­mos con la clase de rectas del plano afín. La única salida rigurosa que tiene este galimatías oonsiste en dar un paso más hacia adelante en el abismo de la abstracción, y tratar de explicar a los niños de trece años que la diferencia entre las rectas y las parábolas del plano afín consiste en que la famosa familia F puede ser asignada a las rectas del plano afín en forma canónica, en tanto que esto no puede hacerse con las parábo­las. Pero si se tiene en cuenta que muchos matemáticos profesionales de alto nivel no se sienten cómodos si se les pide una definición rigurosa de canonicidad, cabe imaginar cuál ha de ser la situación de los adolescentes ante tales manifestaciones de "rigor". La matemática puede llegar a ser odiada a raíz de un encuentro prematuro con sus mayores bellezas.

No quiero dejar este controvertido ejemplo de la recta afín sin señalar que, si bien comparto en términos generales las críticas de Leray al respecto, no estoy de acuerdo con él en presentarlo como caso paradig-

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mático de la opción conjuntista. No hay duda de que la objetada defi­nición es conjuntista; pero también es conjuntista cualquier otra defini­ción que presente a las rectas- como conjuntos de puntos, tal como a Leray le agrada; El conjunto se parece a todos los otros /smos en que es capaz de suministrar ejemplos aberrantes; pero en cambio presenta la particularidad —no compartida por los demás ¡smos matemáticos— de que, manejado en forma sensata, permite organizar los conceptos de manera coherente, sistemática, clara, precisa, natural e inteligible.

3.2. El caso de los números enterosOtro ejemplo que ha sido presentado como abuso del método conjun­

tista es la definición de los números enteros como clases de equivalencia de pares ordenados de número naturales. Tanto se ha extendido en la "élite” de nuestros profesores de matemática la creencia de que este método es el más adecuado para introducir los números enteros, que bien vale la pena detenerse un poco en su discusión.

No niego que los alumnos de trece o catorce años puedan aprender este método: la experiencia ha sido realizada y, en efecto, los alumnos aprenden que el número -2 es el conjunto de todos los pares ordenados (a; b) de números naturales tales que b-a = 2. También aprenden las operaciones fundamentales acostumbrándose a elegir un representante en cada clase, y aprenden que el resultado final es independiente de los representantes elegidos. Finalmente, aprenden también a demostrar algu­nas propiedades formales de esas operaciones.

Sin embargo, pese a estos resultados didácticos aparentemente positi­vos, creo que ese método es absolutamente desaconsejable y debe ser desterrado de la enseñanza secundaria. Mis razones son de orden psico- pedagógico, de orden matemático y de orden filosófico.

3.2.1. Razones de orden psico-pedagógico,Estas razones son esencialmertte dos, como veremos a continuación.(a) Si bien está claro que los alumnos pueden aprender el método en

cuestión, el esfuerzo y el tiempo que ello les demanda son despropor­cionadamente grandes con respecto a los resultados obtenidos. En efec­to: la ¡dea de que el número 2 entero no sólo no coincide con el 2 natural sino que es una monstruosa clase de pares ordenados de números naturales, requiere largas explicaciones y experiencias propias del alumno para ser asimilada. Si el alumno es particularmente inteligente puede entender con cierta rapidez el esquema formal de la definición, pero esto no garantiza en modo alguno que entienda y asimile la idea correspon­diente. Este proceso, con la introducción y la ejercitación adecuadas, lleva por lo menos una clase. Otra clase es necesaria para adquirir y practicar las operaciones de suma, resta y multiplicación con estos nue-

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vos entes. Otra clase se requiere para "hacer ver" (aunque no se haga la demostración formal) que los resultados no dependen de los representan­tes elegidos, y para examinar algunas propiedades sencillas. Y otra clase se requiere para introducir la notación corriente y para establecer el isomorfismo canónico ("identificación") entre el conjunto de los natura­les y el de los enteros positivos. Se han gastado cuatro clases y se ha realizado un esfuerzo enorme para adquirir una buena cantidad de cono­cimientos abstractos, y todavía no se está en condiciones de resolver a simple vista un caso tan sencillo como — 3 — (— 5). Recién a partir de este momento, es decir, a partir de la quinta clase, se pueda iniciar la ejerci- tación práctica que constituye la razón de ser de los números enteros.

(b) El ya citado hecho de que el número 2 entero sea un ente esencialmente distinto del 2 natural, y la correlativa circunstancia de que el conjunto N (naturales) no esté incluido en el conjunto Z (enteros), constituyen resultados anti-intuitivos que no ofrecen, por otra parte, ninguna ventaja compensatoria. Sostengo que enfrentar al niño o al ado­lescente con una multiplicidad de números uno, operativamente indistin­guibles pero de naturalezas esencialmente diversas, es ejercer una grave violencia conceptual e introducir peligrosas dudas acerca de la solidez y la claridad de la aritmética elemental. En las aplicaciones de la artimética a la realidad el alumno no experimentará Jamás la necesidad de distinguir entre el 2 natural, el 2 entero, el 2 racional y el 2 real. Esa multiplicidad que se le enseña en la escuela se le.aparecerá, por tanto, como una fantasmagoría inquietante cuya razón de ser le resultará impenetrable. La aritmética elemental habrá adquirido para él una ambigüedad desqui- ciadora y paralizante ya que, si toma en serio lo que le enseñan en la escuela, quedará perplejo ante la simple información de que un artículo de consumo cuesta mil pesos, pues no sabrá si ese mil de que le hablan es natural, entero, racional, o real; y peor aún: no tiene ningún medio para salir de la duda. Esa pérdida de seguridad de la aritmética elemental ejerce en la mente de los alumnos un perjuicio que no puede ser tolerado. Esta sola consideración debería bastar para excluir de manera terminante esta construcción de la enseñanza secundaria.

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3.2.2. Razones de orden matemático.Ofrezco cuatro consideraciones de esta clase.(a) Algunos profesores parecen estas convencidos de que la presenta­

ción de los enteros como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales es la única manera rigurosa de construir los enteros a partir de los naturales Es, quizá, la más elegante, pero no es la única. La manera más sencilla de introducir rigurosamente los números enteros consiste en llamar número negativo a todo par ordenado de la forma (— \n), donde el primer elemento es el signo menos y el segundo elemen-

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to es un número natural distinto de cero. Si la presencia del signo menos suscita dudas filosóficas, se puede 'Vigorizar" más aún la presentación sustituyendo el dudoso signo menos por el irreprochable número cero; (0 ;n). Como notación se introduce el símbolo — n para designar al número negativo (0;/7). Luego se definen las operaciones adecuadamente para obtener los resultados apetecidos. Hay, por cierto, infinitas variantes posibles, conjuntistas o no conjuntistas, pero todas igualmente rigurosas. Sin embargo, no recomiendo ninguna de ellas: creo que los números negativos deben ser introducidos en forma intuitiva y metafórica, como se introducen los naturales en la escuela primaria. Pero menciono el hecho de que hay infinitas maneras rigurosas de construir los enteros para despojar de todo pretendido privilegio a la presentación mediante clases de equivalencia de pares ordenados. Si ésta no es la única y dista mucho de ser la más simple y la más cómoda, ¿por qué empeñarse en usarla?

(b) El método genético, que consiste en construir sucesivamente los conjuntos numéricos a partir de N, pasando a Z, a Q, a R y a C, en ese orden, es un coloso con los pies de barro, pues faltará siempre, en el nivel de la enseñanza elemental, una definición rigurosa de los números naturales. Sería insensato ceder a la tentación de definir "rigurosamente" estos números como clases de conjuntos equipotentes, pues sabemos que este método conduce a paradojas lógicas si no se toman precauciones que escapan totalmente a las posibilidades de la enseñanza secundaria. Por otra parte, el pasaje riguroso de Q a R también es imposible en este nivel de enseñanza (o, para decirlo mejor, en el nivel en que se necesitan los números reales). Estas dos fallas tornan ilusoria la adopción del mé­todo genético e invitan a abandonarlo por completo. Es conveniente, en cambio, que el profesor conozca con todo detalle ese método, así como el método global consistente en definir axiomáticamente el sistema de los números reales y luego ir distinguiendo dentro de él los números natura­les, los enteros y los racionales. El conocimiento pormenorizado de am­bos métodos lo convencerá de que ninguno de ellos es aplicable a la enseñanza secundaria, y lo inducirá a adoptar los compromisos pedagógi­cos más adecuados.

(c) La idea matemática que está en el fondo de la construcción de los enteros como clases de equivalencia de pares ordenados de naturales, es la de inmersión canónica de un semi-anillo en un anillo. Esta ¡dea reaparece, efectivamente, en algunos temas de matemática superior, como la teoría de los fibrados vectoriales, por ejemplo; por ello su estudio es aconsejable en un curso universitario de álgebra general. Pero en la matemática elemental aquella idea no se vuelve a utilizar en ningún momento, y en consecuencia carece de sentido pedagógico enseñar una dificultosa maquina­ria algebraica cuya potencia real no se aprovecha. Por un sólo caso (el de

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los enteros) no vale la pena introducir al alumno en un procedimiento abstracto que resulta dif ícil en el nivel elemental y se revela trivial en el nivel superior.

(d) Una razón —tal vez la única válida— que se invoca en favor de los enteros como clases de equivalencia es que este método permite presen­tar en forma natural y no dogmática la regla de los signos para la multiplicación. Pero, a pesar de ser válida, esta razón no es suficiente: en primer lugar, porque se trata de un resultado demasiado exiguo frente a la maquinaria que se monta para obtenerlo; en segundo lugar —y esto es decisivo— porque existen otras maneras (menos costosas y más intuitivas) de presentar en forma no dogmática la regla de los signos.

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3.2.3. Razones de orden filosófico.

Daré dos de estas razones, y agregaré un comentario final de carácter histórico.

(a) Se supone que en la enseñanza de nivel universitario los alumnos adquieren cierta familiaridad con el carácter más o menos relativo de las definiciones matemáticas. Pero en la enseñanza secundaria se hace difícil —y a veces puede resultar nocivo— introducir a los alumnos en este peculiar relativismo de la matemática. En consecuencia, los alumnos se inclinan a tomar las definiciones con criterio absolutista: así como sin lugar a dudas un cuadrado es un rectángulo de lados congruentes, ha de • creer que sin lugar a dudas el número 2 entero es el conjunto de todos los pares ordenados de números naturales tales que la diferencia entre-la primera y la segunda componente es el número natural 2. Sín embargo, desde el punto de vista filosófico hay una gran diferencia, entre la definición de cuadrado y la de número 2 entero: en el caso del cuadrado la definición es la misma en todas las presentaciones de la matemática (o, mejor aún, la propiedad indicada por esa definición es válida en todas las presentaciones de la matemática); pero en el caso del número 2 la definición puede variar radicalemente (desde el- punto de vista ontológico) de una presentación a otra. Luego, presentar ambas definiciones en un pie de igualdad (que no otra cosa puede hacerse en la enseñanza secundaria) es escamotear una parte esencial del contenido filosófico de la matemática, confiriendo a la definición conjuntista de los números enteros un halo de invariancia absoluta que distorsiona los más profundos aspectos conceptuales de la aritmética.

fb) Una definición tan complicada y difícil de manejar como la que estoy comentando se justificaría desde el punto de vista filosófico (aun­que quizá no desde el punto de vista psico-pegagógico) si ella fuera depositaría del contenido real y verdadero de la noción de número ente­ro 2. En aras de LA VERDAD, se podría exjgir a los adolescentes una cuota extraordinaria de sacrificio. Pero no hay tal VERDAD. La citada

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definición no es más que una reconstrucción racional —una entre las infinitas posibles— de nuestra nociones intuitivas sobre los números ente­ros. No hay unicidad ni privilegio filosófico en favor de esa definición. En consecuencia, el problema debe dirimirse solamente en virtud de consideraciones psico-pedagógicas.

Para concluir el tratamiento de este casó haré una breve considera­ción histórica. El método genético halla sus raíces culturales y su ámbito natural en el siglo XIX. El análisis matemático por una parte y la teoría de números por otra exigieron a los matemáticos de la pasada centuria efectuar una revisión crítica de sus ¡deas acerca de los números reales. Como los irracionales y los imaginarios no gozaban todavía de plena confianza filosófica, se aceptó tácita o explícitamente que, para adquirir carta de ciudadanía, los irracionales debía ser construidos a partir de los racionales, sobre los cuales no pesaban graves dudas filosóficas. Quedó así claramente establecida una de las etapas del método genético: el pasa­je de Q a R. Por otra parte, se desarrolló a fines del siglo XIX un profundo interés por la fundamentación del número natural, la que se intentó por la vía lógico-conjuntista y por la vía axiomática directa. Se llegó así a la ¡dea de cubrir las otras etapas: el pasaje de N a Z y el de Z a Q. Pero todo esto se inscribe en el ámbito de intereses.aprensiones y dudas del siglo XIX. En la actualidad está claro que resulta tan válido aplicar el método axiomático a la fundamentación del número natural como aplicarlo directamente a la fundamentación del número real: aque­lla "necesidad espiritual" de ver cómo los números irracionales se afirma­ban sólidamente en los racionales, ha desaparecido. El método genético es una parte importante de la historia de la matemática, pero ya es historia. Es una buena pieza de colección para matemáticos y profesores, pero no para alumnos de la escuela secundaria actual.

4. Simplificaciones

Me he referido extensamente a algunos excesos del conjuntismo en la enseñanza media. Pero tengo especial interés en recalcar que, si se tiene la prudencia suficiente para evitar los excesos y los estragos del fanatis­mo, el punto de vista conjuntista simplifica de manera notable el trata­miento de casi todas las cuestiones importantes. Daré algunos ejemplos en ese sentido.

4.1. Los conjuntos convexos.

En el enfoque tradicional se habla de polígonos convexos y se los define arduamente mencionando ángulos y semiplanos; pero, por otra parte, no se habla de la convexidad de estos conjuntos: falta una defini­ción general de figura convexa. En cambio, el enfoque conjuntista permi-

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te dar una definición más general y más simple de convexidad; también resulta natural y sencillo demostrar la conservación de la convexidad por intersección, lo cual tiene importantes aplicaciones.

4.2. Las funciones y las imágenes de conjuntos.El concepto de función es quizá el ms importante de toda la matemá­

tica; ahora bien: a lo largo de la historia este concepto ha dado lugar a numerosos malentendidos; se ha confundido a la función con la expre­sión aritmética de sus valores, o con la variable dependiente que figura en la ecuación respectiva, o con esta misma ecuación. Era tradicional, en efecto, distinguir la variable independiente de la variable dependiente o función; y aún hoy en muchos libros de física se mantiene esta termino­logía confusa. En textos de muy buen nivel pero consecuentes con esta brumosa tradición se llega a fórmulas absurdas como la siguiente, obteni­da como consecuencia de una falta de claridad en la noción de "función compuesta":

dz dz 3u + 0z_ dv ^ dz dx 3u 8x dv 3x 3x— = —

rdonde z = f (u, v, x), y a su vez u = u (x, y), v = v (x, y).

La definición conjuntista de función formulada sobre la base de pares ordenados pone definitivamente fin a esos mal entendidos y aclara el concepto de "función compuesta", cuyo nombre clásico —"función de función"— sugiere una confusión conceptual. A principios de este siglo Henri Poincáré daba cuenta de las oscuridades en que se debatía el concepto de diferencial de las funciones dé varias variables; sólo el punto de vista conjuntista, reforzado por los métodos algebraicos que en él se basan, pudo clarificar por completo el concepto general de diferencial.

Esta clarificación de la noción de función y, consecuentemente, de los fundamentos del cálculo infinitesimal, bastaría por sí sola para justi­ficar la adopción del punto de vista conjuntista. Pero hay un aspecto del cálculo de funciones que deseo destacar especialmente: me refiero a las imágenes directa e inversa de conjuntos por una función. Estos concep­tos, que son de tanta utilidad en la matemática actual, se hallan intrínse­camente ligados (como es obvio) al punto de vista conjuntista. Por ejem­plo, la definición topológica según la cual una función es continua si y sólo si la imagen inversa de cada conjunto abierto es abierto, es insepara­ble del programa conjuntista.

4.3. Las figuras y /as relaciones entre ellas a partir de los grupos de transformaciones.

Voy a ocuparme ahora del mayor servicio que presta el punto de

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vista conjuntista a la geometría. En el enfoque tradicionalista de la geo­metría elemental hay dos nociones de gran importancia que recibieron durante siglos un tratamiento pobre y deficitario: la congruencia y la semejanza. Que estas dos nociones sean de la mayor importancia, no puede ponerse en duda. Pero el enfoque tradicional les asigna un trata­miento a la vez pobre y arduo: se restringen estas nociones (en geome­tría plana) a los polígonos convexos, y se las elabora trabajosamente partiendo de los triángulos y pasando después a los polígonos convexos en general. Esto es, verdaderamente, una abstracción que desvincula a los alumnos de la realidad, pues los casos de congruencia y semejanza que se presentan en la vida cotidiana no se refieren por lo general a polígonos sino a figuras mucho más complejas: la ampliación de fotografías, por ejemplo, es un caso de semejanza en el que muy raramente interesan los polígonos convexos; lo mismo sucede con los mapas, con la confección de piezas "iguales" para repuestos de automóviles u otros aparatos, etc. Inclusive en los planos de edificios y en las maquetas, si bien aparecen los polígonos convexos, tienen también importancia algunas figuras curvilí­neas. La vida cotidiana exige conceptos generales de congruencia y seme­janza, que el enfoque general de la geometría no provee. Este enfoque no es capaz, siquiera, de explicar con claridad la relación geométrica existente entre un rostro humano y su imagen en el espejo, fenómeno que ha inquietado a la humanidad desde las legendarias épocas de Narciso hasta la era tecnológica actual, en la que hemos aprendido al fin que la Naturaleza no conserva la paridad.

Y bien: el aporte conjuntista para salvar esta grave diferencia del enfoque tradicional, es profundo y decisivo. La teoría de las transforma­ciones geométricas (concebidas como funciones, naturalmente) permite hablar de la imagen de un conjunto cualquiera por una transformación; esto, que ha sido rápidamente señalado hacia el final del punto 4.2, halla ahora una ejemplificación concreta. Tan grande es la importancia de esta ejemplificación, que me permitiré exponerla con algún detalle.

Hay una vinculación profunda entre los conceptos de grupo y de relación de equivalencia, que en el enfoque tradicional pasa totalmente inadvertido. Cada vez que se tiene un grupo G de transformaciones geométricas, queda canónicamente asociada a él una relación de equiva­lencia en el conjunto de todas las figuras (no sólo de los polígonos). Se dirá que la figura F es G-equivalente a la figura F' si existe una transfor­mación T, perteneciente al grupo G, tal que la imagen por T de F sea F\ Se demuestra inmediatamente que la relación entre figuras así defini­das es una relación de equivalencia, y la demostración permite visualizar cómo los diversos axiomas de la estructura de grupo se corresponden

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con los axiomas definidores de las relaciones de equivalencia. Hasta aquí* me he ocupado del tema en el nivel de los profesores, y no en el de los alumnos. ¿Cómo pasa esta información a los alumnos? A través de los importantes ejemplos que he señalado antes: la congruencia y la janza. Se definen primero las transformaciones llamadas congruencias, y después la relación de congruencia entre figuras:

La figura F se dirá congruente con la figura F' si existe una congruen­cia C que permita pasar de F a F\

Esta definición es más simple e infinitamente más general y poderosa que las definiciones tradicionales de congruencia de polígonos convexos. Su generalidad reside en el hecho de que el concepto de figura que se usa en ella tiene el alcance más amplio posible: la figura es un subconjunto cualquiera (del plano o del espacio). Pero, obviamente, no se puede comprender nada de esto si no se adopta sistemáticamente un enfoque conjuntista de la geometría.

El caso de la semejanza se trata de manera totalmente análoga. Se definen primero las transformaciones llamadas semejanzas y después la relación de semejanza entre figuras:

La figura F se dirá semejante a la figura F' si existe una semejanza S que permita pasar de F a F\

De esta manera el alumno tiene un instrumento conceptual eficaz para entender lo que sucede con los espejos, con las piezas de repuesto ''iguales", con la ampliación de fotografías, con los mapas, con los pla­nos de edificios, con las maquetas, y con multitud de situaciones reales que son inaccesibles al paupérrimo método tradicional.

Por otra parte, esta presentación transformación a! de la geometría (que es inseparable del punto de vista conjuntista) es pedagógicamente má aconsejable por su mayor dinamismo, su mejor adaptación a la ejerci- tación gráfica y su parentesco intuitivo con los correspondientes concep­tos físicos.

seme-

4.4. La divisibilidad.

Los métodos conjuntistas permiten una mejor visualización de los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Se puede introducir el conjunto de los divisores y el conjunto de los múlti­plos de un número entero. De este modo, los divisores comunes y los múltiplos comunes aparecen mediante la operación de intersección de conjuntos. Luego, el máximo común divisor y el mínimo común múlti­plo se definen fácilmente a partir de aquellas intersecciones. Es lamenta­ble, sin embargo, que algunos expositores apresurados hayan pretendido ilustrar con estos recursos puramente conjuntistas la regla del máximo común divisor como producto de los factores comunes tomados con su menor exponente, lo cual los ha obligado a considerar "conjuntos con

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elementos repetidos" (que sencillamente no existen). Sería sumamente útil, en cambio, mostrar una íntima relación que vincula a divisibilidad con inclusión (sin necesidad de hablar explícitamente de ideales), lo cual permite revelar a los alumnos la similitud estructural entre la divisibili­dad de los enteros y la de los polimonios.

4.5. Pares ordenados y vectores.

No hay duda de que una buena comprensión previa de los conceptos conjuntistas generales ayuda a entender las cuestiones relativas a conjun­tos munidos de una estructura; en particular, las que se refieren a los conjuntos ordenados, y principalmente a los pares ordenados. No es aconsejable asestar a los alumnos del ciclo secundario la definición de Kuratovski: (a ;b) = a ; a ;b. Basta con indicarles que un par ordenado es un par munido de un criterio que permite distinguir un primer elemento y un segundo elemento; por razones prácticas se agrega el par ordenado en el cual ambos elementos coinciden. Pero si los alumnos no están familiarizados con la idea general de conjunto les costará entender qué es lo que tienen de peculiar los pares ordenados. V es imposible exagerar la importancia que tiene esta noción en la matemática moderna; dos de los conceptos más importantes de toda la matemática se definen muy sencilla y elegantemente mediante pares ordenados: el concepto de fun­ción y el de vector fijo. Por otra parte, los vectores fijos facilitan la comprensión de la correspondencia que constituye el fundamento de la disciplina que se ha llamado tradicionalmente "geometría analítica": me refiero a la correspondencia entre una recta (conjunto de puntos) y el conjunto de los números reales. Y finalmente, los vectores son el vínculo más indicado para introducir las transformaciones geométricas, que debe­ría constituirse en el instrumento por excelencia de la enseñanza de la geometría.

4.6. Ecuaciones.

Podría creerse (en una visión superficial) que un tema tan algorítmico como el de las ecuaciones no gana mucho si se lo sumerge en un enfo­que conjuntista. Sin embargo, no es así. El fundamental concepto de solución de una ecuación (o de un sistema de ecuaciones) adquiere su presentación más clara mediante recursos conjuntistas. Si se habitúa al alumno a hablar del conjunto de las soluciones de una ecuación, le resultará muy natural considerar a un sistema de ecuaciones como la conjunción de esquemas preposicionales, y al conjunto de las soluciones del sistema como intersección de los respectivos conjuntos de soluciones de las ecuaciones que lo integran. Este enfoque conjuntista se muestra más útil aún al establecer la interpretación geométrica de los sistemas de

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ecuaciones lineales. Es curiuso que no se diga nunca a los alumnos de la escuela secundaria que lo que se representa gráficamente al referir la ecuación a x + by + C = 0 a un sistema cartesiano, es precisamente el conjunto de sus soluciones (entendiendo que cada solución es un par ordenado de números reales).

5. Antinaturalidad

Son varios los matemáticos (y ensayistas en general) que han creído hallar en algunas pautas del pensamiento conjuntista ciertos matices apa­rentemente divorciados del "pensamiento natural" o intuitivo. Al hollar estos movedizos terrenos nunca serán excesivas las recomendaciones de prudencia, ya que la obsesión de la naturalidad —cuyos fantasmas ase­dian desde hace milenios ai espíritu humano— desemboca a menudo en la arbitrariedad y el artificio. Por qué algunos pensadores consideran que cierto rasgo o comportamiento es "más natural" que otro, es a menudo un esquivo e insondable misterio.

En homenaje a la brevedad, discutiré solamente los argumentos pro­puestos por el ilustre matemático francés René Thom en su artículo "¿Son las matemáticas 'modernas' un error pedagógico y filosófico? ", tal como puede leerse en versión española en el libro "La enseñanza de las matemáticas modernas", preparado por Jesús Hernández para Edito­rial Alianza.

La parte más polémica del artículo de Thom en lo que concierne al "pensamiento natural" consiste en el estudio de lo que el autor llama "campos semánticos". A modo de advertencia preliminar diré que, si bien este género de planteos puede resultar original y novedoso para los profesiores de matemática e inclusive para los matemáticos profesionales, se trata de un tema de discusión muy conocido y transitado en el ámbito de la filosofía analítica.

En resumen, lo que Thom afirma es que las diversas propiedades o cualidades pueden agruparse en campos semánticos naturales, de los cua­les no se da ninguna definición propiamente dicha pero se suministra en cambio una regla que permite manejar aquella idea, al menos en una primera aproximación. La regla es la siguiente:

Diremos que las cualidades X e Y pertenecen a un mismo campo semántico si tiene sentido predicar la disyunción "X ó Y" de un sujeto cualquiera. Esto no es una auténtica definición pues no está claro qué quiere decir "tiene sentido predicar"; en realidad Thom usa una expre­sión más discutible aún: "se puede predicar". Pero no es esta "mera falta de rigor" (totalmente aceptable cuando se llega a capas filosóficas profundas) lo que me interesa destacar. Lo importante es que ni siquie­ra desde el punto de vista intuitivo y del sentido común las cosas son

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tan claras como Thom parece creer. En efecto: en este orden de cosas una buena parte de la fuerza polémica reside en los ejemplos que se aduzcan. Vamos, pues, a los ejemplos de Thom. Este menciona las cuali­dades (colores) moreno y castaño como ejemplo de propiedades pertene­cientes a un mismo campo semántico, ya que para el tiene pleno sentido la afirmación

Juan es moreno o castaño.

¿Por qué reconoce Thom que la proposición (1) tiene un claro senti­do semántico? El no lo dice, pero su idea subyacente parece ser ésta: que la conjunción "o" expresa un cierto grado de duda o de posible confusión entre cualidades; si nuestro recuerdo no es del todo nítido, tenemos cierta duda acerca del color del pelo de Juan y vacilamos entre moreno y castaño. Esta ¡dea de duda y vacilación se ve reforzada por la siguiente afirmación de Thom:

"En realidad', las condiciones para que la cualidad X ó Y tenga senti­do son enormemente restrictivas, así por ejemplo Juan es rubio o casta­ño es mucho más aceptable que Juan es rubio o moreno porque los colores rubio y castaño están juntos en el campo semántico de los colo­res de pelo, mientras que rubio y moreno no lo están".

Está claro: es más aceptable dudar entre rubio y castaño que entre rubio y moreno, y por eso tiene "más sentido" el predicado rubio o castaño que el predicado rubio o moreno. Finalmente, esta otra afirma­ción de Thom da más fuerza a mi interpretación de sus palabras:

"Si la distancia semántica entre las dos cualidades X e Y es demasia­do grande, y en particular si las dos cualidades pertenecen a campos semánticos disjuntos como sería el caso de una cualidad física y una moral, entonces ¡a expresión X ó Y carece totalmente de sentido".

Un ejemplo de incompatibilidad aducido por el mismo Thom es éste:

Juan es pequeño o inteligente.

Es obvio: nadie podría tener dudas, al recordar una brumosa imagen de Juan, acerca de cuál de aquellos dos atributos le corresponden. Sona­ría muy extraño y "antinatural" que alguien dijera: "No recuerdo muy bien si Juan era pequeño o inteligente". Veremos enseguida, sin embar­go, que en ciertos casos esta duda puede ser perfectamente natural. Los ejemplos qué tengo in mente son los que se refieren a la aceptabilidad o rechazo de individuos (personas o cosas) en virtud de una compleja gama de condiciones. Tomemos el caso del servicio militar: sabido es que las causas de excepción son numerosas y de índole muy variada. Por ejem­plo, no se admiten enanos ni oligofrénicos% Supongamos que sabemos perfectamente que Juan fue exceptuado del servicio militar y que no tenía pie plano, ni sufría del corazón, ni estaba internado en un manico-

(D

(2)

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mió, ni cumplía —en general— ninguna de las condiciones de excepción, salvo dos de ellas, a saber: la de ser enano y la de ser oligofrénico. Nos transmiten esta información y no nos dicen más. Nuestra conclusión, perfectamente natural, es (grosso modo):

Juan es pequeño o estúpido,

que —según Thom- presentaría la misma incompatibilidad semántica que (2). Más aún: supongamos que la excepción del servicio militar de Juan haya tenido lugar hace treinta años y que ahora tratemos de recor­dar lo que pasó en aquella oportunidad. Sería entonces perfectamente natural decir:

Recuerdo que Juan fue exceptuado del servicio militar, pero no re­cuerdo bien si lo fue porque era pequeño o porque era estúpido.

El ejemplo (4) ha sido aducido para mostrar que aún en la interpreta­ción más extrema y restrictiva de la conjunción "o" —como duda o vacilación— la posición de Thom es insostenible. Pero en verdacf no hay ningún motivo para pretender que siempre la conjunción "o" ha de tener una connotación dubitativa. Qui?á esto sea cierto en un uso extre­madamente primitivo y directo del lenguaje. Pero en cuanto el ser huma­no comienza a explotar sus usos racionales, la conjunción "’o" adquiere toda una gama de connotaciones, que va desde la duda sensorial (ejem­plo 1) hasta la neutralidad abstracta característica de un complejo de condiciones intelectualmente adoptada* (ejemplo 3).

Pero entendámonos bien: no hace falta en absoluto que la situación presenté una gran complejidad intelectual para que se de el caso de la neutralidad abstracta patentizada en la proposición (3). Basta un míni­mo de complejidad intelectual; la que puede ser naturalmente accesible a un niño de cuatro años, digamos. Para convencernos de esto examinare­mos otro ejemplo de Thom. Dice este autor que hablar a los niños de "cubos grandes o azules", o de "parisinos calvos o ricos" es incurrir en "ejercicios extraños e inútiles", y agrega que "si se insiste en ellos, podrían llegar a ser un peligro para el equilibrio intelectual de los ni­ños". Y agrega estas informaciones lapidarias:

"En efecto, una de las limitaciones fundamentales del pensamiento consiste en evitar la consideración de campos semánticos disjuntos; esto tiene un nombre se llama delirio. Al querer dar un sentido a todas las expresiones construidas por medio del formalismo booleano en el lengua­je ordinario, el lógico procede a una reconstrucción del universo que es a la vez fantasmagórica y delirante".

Todas estas aprensiones apocalípticas se diluyen si se muestra que hablar de "cubos grandes o azules" puede resultar perfectamente natural en situaciones normales y verosímiles. Supongamos, por ejemplo, que

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un niño de cuatro años quiere hacer cierto diseño con los cubos de una colección que tiene a mano; supongamos también que, por razones esté­ticas, quiere descartar el color azul; y que, por razones prácticas (tamaño de la figura que quiere componer) debe descartar también los cubos grandes. Lo convencemos —muy naturalmente- de que le conviene ante todo apartar los cubos que no va a usar. Entonces surge con toda natu­ralidad la consigna:

Aparto los cubos grandes o azules.

Por supuesto, no se trata aquí de tener dudas, ante un determinado cubo, que sea grande o azul. En este caso la conjunción "o" no posee connotación de duda.

Ahora podemos establecer con bastante claridad las condiciones psico­lógicas en las cuales los ejemplos del tipo de (5) se dan con naturalidad. El primer caso es el de un niño capaz de sentir simultáneamente motiva­ciones psicológicas de índole dispar respecto de un mismo objeto. Por ejemplo: si puede sentir simultáneamente motivaciones estéticas y prácti­cas, el niño estará en condiciones de hablar con naturalidad de "cubos grandes o azules". El segundo caso es más interesante aún porque es más primario: tan primario que hasta sospecho que es accesible a algu­nos animales no humanos. Es el caso de alguien que sea capaz de sentir simultáneamente motivaciones de la misma índole pero asociadas con distintas sensaciones físicas, como podrían ser las motivaciones de ta­maño y de peso. Si alguien descarta los cubos grandes o pesados, puede hacerlo por motivaciones asociadas a distintas sensaciones físicas pero de una misma índole; en este caso, de índole práctica: los cubos grandes no caben en el marco asignado al diseño y los pesados son incómodos.

Vemos entonces que basta un desarrollo psicológico muy elemental para que surjan con naturalidad casos del tipo (5).

Pasemos ahora de la psicología a la filosofía: lo que parece molestar a Thom es lo que Quine llamaría el uso promiscuo de Ia conjunción "o". En efecto: este uso da lugar a la formación de conjuntos promis­cuos en los cuales se codean como elementos El Sol, Napoleón, el número 5 y la belleza. Reconocer o negar entidad a estos conjuntos promiscuos conduce a ciertos problemas filosóficos de antigua data entre los cuales figuran la inducción, los géneros naturales, la causalidad, la legalidad natural y los términos disposicionales. No pienso entrar aquí en esta ardua problemática, pero la menciono para sugerir que no se puede dar por aceptado ni por evidente que el uso promiscuo de la conjunción "o" sea una extravagancia filosófica. Con lo cual se ve que los argu­mentos de Thom en este aspecto, aunque son teóricamente interesantes, carecen de suficiente apoyo psicológico, lingüístico y filosófico.

En mi opinión, no hay nada en el álgebra booleana de los conjuntos

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que sea intrínsecamente antinatural. Hay —eso sí— una gradación: usos más naturales y usos menos naturales de aquella álgebra. Corresponde a la sensatez del maestro ofrecer los ejemplos más adecuados a la edad y al estado de aprendizaje de sus alumnos. En relación con este problema -específicamente pedagógico— puede ser interesante proponer a los alumnos el hallazgo de una situación natural a la que sea aplicable una disyunción promiscua dada; por ejemplo: encontrar una situación natural adecuada a la disyunción "parisinos calvos o ricos". Respuesta: se ha descubierto en París un procedimiento para hacer crecer el pelo a los calvos, pero resulta demasiado caro; se resuelve proponer Hue las perso­nas pudientes ayuden a resolver el problema. En consecuencia, se publica en los diarios una solicitada dirigida a los parisinos calvos o ricos.

Se ve así que el álgebra boleana de los conjuntos y las propiedades puede constituirse, mediante un uso pedagógico adecuado, en una pode­rosa técnica del pensamiento natural.

6. El problema del infinito

Desde un punto de vista clásico existen dos interpretaciones del infi­nito: el infinito como posibilidad, como potencia, como capacidad de algo para desarrollarse infinitamente, y el infinito como realidad, como ser, como acto ya verificado. El primero se denomina infinito potencia! y el segundo infinito actual. Se suele dar como ejemplo de infinito potencial a la sucesión de los números naturales, concebida como un procedimiento para obtener "cada vez más números": cualquiera que fuere la etapa en que nos detuviéramos habremos recorrido sólo una cantidad finita de números naturales; pero sabemos que —desde el punto de vista lógico— podríamos continuar el proceso infinitamente. De acuer­do con esta idea y con esta presentación particular, los números natura­les son potencialmente infinitos. El ejemplo más sencillo de infinito actual está dado por un segmento de recta: sabemos que en tal segmen­to, por muy pequeño que sea, hay infinitos puntos, y que todos esos puntos están ahí, ya dados en un solo acto; es el infinito actual.

Ahora bien: esta distinción entre el infinito potencial y el actual no es una ¡dea filosóficamente neutral, que aparezca con naturalidad en una simple inspección de las cosas. Su propia caracterización lingüística ofre­ce problemas desde el comienzo: tanto la ¡dea de una capacidad para desarrollarse (infinito potencial) como la de un acto ya verificado (infini­to actual) parecen presuponer la ¡dea de tiempo, que es —al menos en principio— ajena a la construcción lógica de la matemática. Si se refina el lenguaje para hacerlo a la vez intemporal y más preciso, se llega al siguiente resultado: la ¡dea de infinito potencial se aplica a procedimien­tos, reglas o funciones, que permiten agregar un elemento nuevo a un conjunto de ciertas características; en tanto que la ¡dea de infinito actúa

’

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se aplica a conjuntos, clases o totalidades consideradas como entes. Exa­minemos los ejemplos anteriores a la luz de estas precisiones.

En el caso de los números naturales, lo que da la ¡dea de infinito potencial es la siguiente regla:

“El 1 es un número natural; y para cualquier número natural n, existe el sucesor de n, al que llamaremos /?+1, que también es un núme­ro natural y es distinto de n. Y sinym son números naturales distintos entre sí, sus respectivos sucesores, /7+1 y m+1, también son distintos entre sí".

El lector ha de reconocer en este enunciado tres de los famosos axiomas de Peano; la función sucesor es la que da la ¡dea de infinito potencial. Pero preguntemos ahora: ¿existe el conjunto de todos los números naturales? Casi la totalidad de los matemáticos ha de responder afirmativamente, aunque la idea de existencia no sea la misma para todos ellos. Sin embargo, cualquiera que fuera la noción de existencia que se adopte, reconozcamos que, en cuanto se acepta la existencia del conjunto N de los números naturales, se acepta por este solo hecho la presencia del infinito actual: el conjunto N es infinito, y sus infinitos elementos están todos allí, en el conjunto N, el cual a su vez está en el mundo tanto como están sus elementos particulares 1,2, 3. Sería verda­deramente extraño acordar status de existencia a un conjunto sin acor­dárselo a cada uno de sus elementos. Si N existe, existen todos los números naturales, y el hecho de poder hablar de esta totalidad infinita como entidad existente prueba que estamos en presencia del infinito actual.

En este ejemplo, entonces, la idea de infinito potencial está asociada a la función sucesor, y la de infinito actual al conjunto N.

Examinemos ahora el otro ejemplo: el de un segmento AB. Precisa­mente, la ¡dea de infinito actual surge en cuanto consideramos a este segmento como conjunto de infinitos puntos: puesto que no dudamos de la existencia del segmento AB, aceptamos sin hesitar que él constitu­ye un ejemplo de infinito actual. Pero podríamos dudar de que el seg­mento AB contuviera, como se nos dice, infinitos puntos. Y curiosamen­te, para convencernos de esta infinitud volvemos a la ¡dea de infinito potencial: nos fabricamos una regla o función que nos permita extraer puntos del segmento AB de manera tal que, cualquiera que sea el núme­ro finito n de puntos extraídos, podemos extraer uno más. (Esto se realiza, por ejemplo, mediante una subdivisión dicotómica).

En resumen: la idea clásica de infinito potencial es aplicable a reglas o funciones y la de infinito actual es aplicable a conjuntos considerados como entidades; en muchas ocasiones pedagógicamente importantes el infinito potencial se utiliza para “descubrir" el infinito actual.

Las consideraciones precedentes nos permiten concluir que el punto

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de vista conjuntista, en su versión más elemental e ingenua, nos confron­ta de inmediato con el infinito actual; tan inmediatamente como se acepte la existencia del conjunto de los números naturales.

Ahora bien: algunos ¡lustres matemáticos contemporáneos, entre quie­nes me complazco en mencionar a Jean Leray, han lanzado serias adver­tencias acerca de la oportunidad pedagógica de confrontar a los alumnos con el infinito actual. Comparto estas inquietudes pero recalco que el infinito actual no es privativo del continuo en cualquiera de sus formas (aritmética o geométrica) sino que se presenta en cuanto se consideran conjuntos infinitos (numerables o no). Esto quiere decir que el problema pedagógico del infinito actual se identifica con el de los conjuntos infini­tos como entes existentes. Aquí conviene introducir una sutil aclaración a la que asigno gran importancia:

Desde el punto de vista pedagógico hay una gran diferencia entre Ia simple presentación de un conjunto infinito y Ia manipulación conjuntis­ta de los conjuntos infinitos.

La simple presentación de un conjunto infinito puede ocurrir a edad relativamente temprana: a los siete años, por ejemplo, los niños que tienen conciencia del mecanismo de la numeración mantienen diálogos similares al siguiente:

Maestro: ¿Cuántos números hay?Alumno: Infinitos.Maestro: ¿Por qué?Alumno: Porque nunca se acaban.

A partir de este diálogo se puede introducir el conjunto N de los números naturales, y el niño tendrá entonces claramente la idea de un conjunto infinito. Desde el punto de vista psicológico es probable que predomine en la mente del niño la ¡dea del infinito potencial, que apare­ce en la última respuesta: "porque nunca se acaban". Luego, al aceptar para N el status de conjunto, el niño de siete años se enfrenta al infinito actual pero con los recursos psicológicos del infinito potencial. Otra cosa completamente distinta es introducir al niño en el álgebra conjuntista de los conjuntos infinitos: por ejemplo, se puede definir el conjunto P de los números pares y el conjunto I de los impares, y establecer las fórmu­las: PC N, I C N, K D I =(J, P u I = N. Esto ya significa una manipulación conjuntista del infinito actual, y si bien la idea de infinito potencial continúa actuando como soporte, la parte psicológica corres­pondiente al infinito actual es mucho mayor en este caso que en el anterior. Hay evidencia empírica de que a los nueve años ya es posible realizar sin esfuerzo (si se han cumplido acertadamente las etapas ante­riores) esta manipulación conjuntista del infinito actual.

La conclusión respecto a este problema parece ser la siguiente:

i

!

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T

1) No hay inconveniente en presentar a los niños de siete u ocho años la ¡dea del infinito potencial;

2) A partir de los nueve o diez años se puede iniciar a los niños en la manipulación conjuntista del infinito actual, manteniendo como soporte psicológico el infinito potencial.

7. La cuestión ontológica

Suele decirse que la matemática es una ciencia que estudia ciertos entes peculiares, tales como números, figuras, estructuras, etc. Con res­pecto a estas entidades caben diversas posiciones filosóficas, que de hecho son sostenidas por distintos matemáticos o filósofos de la matemática; me interesa destacar dos de estas corrientes: el realismo y el nominalis­mo. La primera de ellas sostiene que los entes matemáticos son entes reales, existentes en el mundo; para el nominalismo, en cambio, no existen tales entes: lo que ocurre es que usamos palabras, nombres que permiten construir un discurso coherente y útil, pero esas palabras son meros nombres que no se refieren a ninguna entidad real. La polémica entre realismo y nominalismo tiene una tradición secular, y apasionó a algunos de los más destacados pensadores de la Edad Media, que discu­tieron el famoso problema de los universales, introducido en Occidente por Porfirio: los nombres universales, que se refieren a géneros o espe­cies, tales como "hombre", "perro", "gato", ¿son nombres huecos, me­ras etiquetas, o designan algo existente en la realidad?^ Existe el ente universal perro, así como existe cada uno de los perros particulares? Estas preguntas se inscriben en el marco del problema ontológico, que consiste en establecer cuáles son los entes que constituyen el ser, la realidad.

Y bien; es importante destacar dos incontrovertibles verdades de he­cho: en primer lugar, que el discurso matemático en sí mismo —"tradi­cional" o "moderno"— no es realista ni nominalista; es neutral con respecto a este problema. Los que adoptan una posición u otra son los matemáticos o los pensadores que se ocupan de filosofía de la matemáti­ca; en segundo lugar —y esto es lo más importante— todos los que ense­ñan matemática adoptan, en forma consciente o inconsciente, una posi­ción realista. Todos los docentes, "tradicionalistas" o "modernistas", es­tán de acuerdo en que introducir dudas filosóficas acerca de la existencia de los entes matemáticos puede tener efectos perturbadores en la marcha de la enseñanza; esta afirmación tiene validez general, pero posee una particular vigencia en los niveles primario y secundario. A lo sumo po­drían mencionarse estos problemas en el último año de la escuela secun-

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daría, y no en una materia específicamente matemática sino más bien en el área filosófica, al estudiar teoría del conocimiento.

La introducción de nociones conjuntistas en la enseñanza universitaria refuerza de manera notable la posición realista que —según hemos visto— tiene de hecho la presentación didáctica de la matemática. En efecto, todos los docentes presentan los conjuntos como entes reales, existentes, y de ninguna manera perturban al alumno insinuando dudas nominalistas acerca de la existencia de esas entidades. Está claro enton­ces que, si bien el discurso matemático en sí mismo es filosóficamente neutral, la forma en que se enseña el lenguaje de los conjuntos contribu­ye poderosamente a afirmar un posición realista en la enseñanza de la matemática.

También desde el punto de vista histórico —y no solamente pedagógi­co— el surgimiento de la teoría de conjuntos, tanto en su versión pura­mente matemática realizada por Georg Cantor como en su versión lógi­co-filosófica realizada por Gottlob Frege, fue considerado como un triunfo del pensamiento esencialista. Se equivocan radicalmente, pues, quienes creen ver en la teoría de conjuntos no sé qué brumosa amenaza a la tradición filosófica de Occidente. Cierto es que, a partir de la obra de aquellos pioneros, floreció una multitud de concepciones alternativas en las que se mezclaron en diversas proporciones realismo y nominalis­mo; el análisis y el debate sobre estas concepciones continúa hoy y continuará sin duda, haciendo honor, precisamente, a las mejores tradi­ciones occidentales. Pero conviene subrayar que estas discusiones se ins­criben netamente en la cultura académica especializada:desde el punto de vista de la enseñanza, no hay duda de que las ideas conjuntistas contri­buyen poderosamente —quizá como ninguna otra ¡dea matemática— a la consolidación de un pensamiento ontológicamente realista, claro, preciso e integrador.

Quedan así disipadas las aprensiones filosóficas suscitadas en torno de la matemática "moderna" por una interpretación alarmista que no tóma en cuenta las condiciones reales y efectivas de la enseñanza en los niveles primario y secundario.

Lo que precede sale al encuentro de objeciones ideológicas que, si bien están completamente equivocadas, tienen cierta entidad filosófica y merecen, en consecuencia, una detallada refutación. Pero hay otras objeciones —ideológicas también— que no guardan un mínimo de com­postura académica y sólo merecen el silencio por respuesta. Con la lógica superficial e insana del ideologismo es fácil detectar la presencia de demonios en las más inocentes criaturas: ella puede demostrar, según convenga, que la matemática moderna (y sobre todo la teoría de conjun-

A

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tos! ) es el arma secreta del imperialismo capitalista o la punta de lanza de la subversión de izquierda. De hecho, ambas "demostraciones" han sido ya realizadas y publicitadas por los respectivos grupos ideológicos; y en todos los casos se recurrió a slogans alarmistas, expresamente diseña­dos para presionar a las autoridades por una vía totalmente ajena a la razón.

La matemática conjuntista es la matemática de nuestra época: tene­mos la obligación de hallar los recursos pedagógicos idóneos para transfe­rirla a los alumnos en la forma más natural y convincente posible.

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Kurt Gódel: La matemática y las fronteras de la mente humana.

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Comentarios semánticos sobre

números y conceptosThomas M. SIMPSON

Los problemas pedagógicos existen y deben examinarse con la mayor cautela, haciendo uso de un aparato analítico adecuado, que distinga claramente entre los objetivos y los medios, las realidades de la enseñan­za y las ilusiones especulativas. Pero es importante no identificar este análisis cauteloso con el ataque delirante y fanático de la matemática mo­derna. Este ataque escandaloso ampliamente difundido por la prensa, es una forma de vandalismo cultural, y su impulso destructivo no difiere esencialmente del que llevó a un fanático de Roma a mutilar la estatua de Moisés, cuyos ojos habrán contemplado con asombro la vastedad del nihilismo que arrasa nuestra época.

Es claro, en primer lugar, que se requiere poner énfasis en la forma­ción de profesores capaces de enfrentar el desafío de los nuevos planes de enseñanza. Este punto ha sido ya señalado por el profesor Jorge Bosch, y constituye una de las claves del problema. Otro punto esencial es el estudio de los mecanismos psicológicos del aprendizaje, con el objeto de lograr un equilibrio entre los indispensables apoyos intuitivos y la introducción de niveles de abstracción cada vez más elevados. Por­que no se trata de reemplazar la memorización tradicional por la memo­rización moderna, sino de que el alumno incorpore activamente los ele- mentos de un aparato conceptual que es parte básica de la ciencia con­temporánea. Lo cual no implica descuidar los aspectos algorítmicos, en la medida exacta en que lo requiera el hecho irreversible de que vivimos en la época de las computadoras.

7. Del excesivo rigor conceptual o la historia del mono limpioMuchos profesores, fascinados por la sistematización conjuntista de la

matemática, creen que los alumnos deben poseer primero una compren­sión cabal de los conceptos conjuntistas, y sólo después aplicarlos en el campo operativo, mediante el uso consciente de las propiedades que el sistema conceptual exhibe. Se supone que cualquier otra alternativa con­vertirá al- alumno en un "loro matemático", que puede repetir sin comprender. Estoy pensando, en particular, en la seducción ejercida por la construcción genética de los números reales, que constituye un alarde de fantasía lógica: una sólida torre abstracta con pisos numéricos de niveles ascendentes y sucesivos "teoremas de inmersión", que vinculan

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los pisos superiores con los inferiores, permitiendo que se comuniquen y se contemplen entre sí, como parientes fraternos, el número 1 natural y el número 1 entero, el 1 entero y el 1 racional, y finalmente, el 1 racional y el 1 real, que está en el mirador de la torre, ya muy cerca de Dios.

No se pueden negar las ventajas teóricas de esta construcción gené­tica, ni alguna de sus virtudes didácticas, como la naturalidad con que se derivan las "reglas de los signos"; pero si no se toman los recaudos adecuados, su enseñanza puede frustrar los objetivos que se buscan, cam­biando una forma de memorización por otra. El loro matemático habrá cambiado de discurso y podrá repetir, quizás con el mismo desaliento: "Sea <l>una función biyectiva...".

Esto me recuerda el caso de un biólogo que le dio a un chimpancé un terrón de azúcar. Bueno, este chimpancé, este prójimo, para decirlo en forma general, era tan limpio que corrió con el terrón de azúcar a una pileta y lo lavó en forma frenética, hasta que el azúcar desapareció totalmente. Es que quería un terrón de blancura sin mácula, tenía "sed de absoluto", como el partidario poco cauteloso de enseñar en la escuela secundaria la construcción genética. El peligro evidente es que el alumno se quede con las manos vacías: sin la capacidad operativa y sin el siste­ma conceptual.

La referencia a la "capacidad operativa" sugiere la necesidad de un comentario aclaratorio sobre la "memorización", tema que se mantiene envuelto en un equívoco persistente, típico y elemental. Entendida según el paradigma del loro matemático, la memorización ha caído en un franco y justificado descrédito, pues se supone que el objeto final de la enseñanza es el desarrollo de la comprensión y la creatividad, opuestos a la repetición irreflexiva. Pero de aquí es fácil deslizarse al rechazo total de los recursos memorísticos, como si fuera posible para alguien —Platón o un niño de tres años— dar buenas razones en apoyo de todas sus creencias. El uso de la tabla de multiplicar es un buen ejemplo. Sería poco razonable pedir que un niño sea capaz de explicar en cada caso por qué a x b = c, en lugar de enseñarle de memoria la tabla de multiplicar y luego los algoritmos generales para calcular el producto de números arbitrarios. En modo alguno estoy en contra de la facultad de memori- zar, en el sentido estricto de acumular información. Es bueno recordar alguna vez —para lo cual se necesita memoria— que sin memoria no hay conocimiento. El punto clave es que la memorización sea utilizada racionalmente de acuerdo con la edad del educando, el ordenamiento temático de la disciplina en estudio y los objetivos de la enseñanza en cada contexto educacional.

Finalmente, una observación insidiosa: he hablado de dar "buenas razo­nes", y en matemática "una buena razón" en favor de un enunciado es

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simplemente su demostración correcta. Pero es utópico creer que la capacidad de escribir una demostración es per se una prueba de raciona­lidad o comprensión por parte del ejecutante: quizás el loro matemático haya ampliado su repertorio, incluyendo en él la repetición mecánica de demostraciones impecables. La moraleja es que hay que andar con "pie de plomo" al adoptar criterios para evaluar el grado de comprensión y saber real exhibidos por el alumno. Puede haber mayor racionalidad y comprensión en la práctica operativa exitosa que en el recitado correcto de un teorema; pues el éxito operativo exige la capacidad de reconocer las relaciones lógicas que vinculan una regla con sus múltiples casos de aplicación, relaciones que están lejos de ser siempre un paradigma de transparencia y cuyo dominio práctico constituye un criterio de activi­dad "inteligente".

2. Análisis y construcción de conceptos: la ilusión esencia lista.Existe la creencia ingenua de que las construcciones conjuntistas han

capturado por fin la esencia evanescente de los conceptos matemáticos; en 'particular del concepto de número, cuya naturaleza había sido inves­tigada sin éxito desde Platón y Aristóteles* Hasta Rudolf Carnap, el lobo feroz del positivismo lógico, afirmó una vez que antes de que Frege diera su definición de "Número cardinal", nadie conocía el significado de los términos numéricos. De creerle a Carnap, habría sido preciso que Frege "descubriera" que los números cardinales son clases de propieda­des equinumerosas (no "clases de clases", según reza la fórmula usual) para que la humanidad pudiese comprender el significado exacto de oraciones como "2 + 1 = 3" y 'Te cambio una pera por dos chocolati­nes". El error de esta postura se revela en el hecho mismo de que el propio Frege advirtió que no había una única definición correcta de "Número cardinal", sino varias alternativas, entre ellas la que lo define como una propiedad de propiedades, o sea una propiedad de segundo nivel. Paradójicamente, es el propio Carnap quien se encarga de poner énfasis en esta importante observación de Frege, incluida como al descuido en un pie de página de su Grundlagen. Y es tentador recordar que cuando Frege publicó su definición, de la cual resulta que un número "tiene miembros", tanto Husserl —defensor entonces de una filosofía psicologista de la aritmética— como Peano, el creador de la ya legendaria axiomática, la rechazaron por considerarla incompatible con nuestras intuiciones más fuertes respecto del concepto de número. Esto puede parecer sorprendente; pero si tratamos de examinar la definición con cierta inocencia teórica, si, per imposibi/e, lográramos desasirnos de las toneladas de libros que nos aplastan, quizás la idea de que un número tiene miembros nos parecería tan extraña como la afirmación de que un triángulo respira; el corazón nos diría que existe aquí una "incompatibilidad categorial", lo cual implica un riesgo de sin sentido.

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p

¿Cuál es entonces la naturaleza de la propuesta de Frege, y, en general, de las formulaciones conjuntistas de la matemática? ¿Se trata de un análisis de las nociones matemáticas que preserva la sinonimia, un análisis que vuelve explícito el significado oculto en la mente de los hablantes, en los usos del lenguaje ordinario o del lenguaje técnico de los matemáticos profesionales? ¿Es en realidad la revelación de una verdad nunca sospechada acerca del significado real de las expresiones numéri­cas, comparable al descubrimiento de la composición molecular de una sustancia? ¿O nos ofrece, en cambio, una construcción conceptual entre otras construcciones alternativas sin relación de sinonimia con el lenguaje usual de la matemática, pero que satisface ciertos requisitos básicos vinculados con los conceptos y proposiciones matemáticas usuales?

Para ¡lustrar este punto me voy a servir de una pregunta que le hicieron ayer al profesor Bosch: ¿Es o no cierto que NCZCQC R? La pregunta es incompleta, y, en consecuencia, la respuesta directa es- imposible. Pues la validez de estas relaciones de inclusión depende de la forma en que se realice la construcción conjuntista de la matemática, y ya se sabe que hay varias alternativas, todas incompatibles entre sí. Sólo se puede responder a una pregunta análoga, que introduzca un paráme­tro ausente en la primera: "Es o no cierto que NC ZC QC R en la teoría T ?

Dado un concepto A usado en forma pre-analítica y un conjunto de definiciones diferentes de A, todas las cuales permiten recoger y sistema­tizar las mismas verdades que el uso de A permitía formular, no tiene por qué haber sinonimia (identidad estricta de significado) entre A y los conceptos que proporcionan sus diferentes definiciones. No puedo entrar en los detalles de la teoría de la definición, pero es posible agregar algo. No son definiciones sinonímicas, como "Padre = progenitor masculino", que establece una identidad entre sinónimos. En general, cuando se trata de conceptos de cierta complejidad, el resultado del "análisis" es en rigor un concepto nuevo (analysans) que debe guardar con el anterior (analysandum) relaciones de carácter muy especial; es una construcción, no una imagen especular del analysandum, pero debe desempeñar ciertos papeles que éste desempeñaba. En el caso particular de los conceptos numéricos, no basta definir "número natural" y proveer una regla para la definición de cada uno de ellos por separado, por ejemplo, de "2" o de "4". Naturalmente, hay que definir también las operaciones; pero, además, las definiciones deben ser salva veritate: las oraciones conjuntis­tas correspondientes a las verdades matemáticas usuales deben ser tam­bién verdaderas en la teoría de los conjuntos de la que formen parte. Así, para que las definiciones conjuntistas de "2”, "4", "+" y "=" sean aceptables en una teoría T, se requiere que sea verdadera en T la

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contraparte conjuntista de "2 + 2 = 4"; podemos suponer que esta contraparte, es en forma abreviada.

(<*)(0) |((an0)/= <l> •(a<=2)-(tfe2))-*(aU0)G4|

donde "2" y "4'' son eliminables en favor del vocabulario conjuntista. (NB: a) he dicho "contraparte" y no "traducción", como es usual, porque "traducción" (correcta) sugiera identidad de significado; b) la necesidad de definir "=" surge del hecho de que en una teorfa de conjuntos el sentido de "=" es diferente que en un cálculo de propieda­des).

La inexistencia de sinonimia definicional puede ¡lustrarse vividamente con otros ejemplos. En cierta construcción conjuntista de la aritmética el cero es identificado con la clase nula, el 1 con la clase unitaria cuyo elemento es la clase nula, el 3 con la clase unitaria cuyo elemento es el 2, etc., formándose así un encajonamiento infinito de clases unitarias; en el fondo de todo, solitaria y estoica en el abismo, fiel a su responsabili­dad, está la clase nula como piedra fundamental de la construcción.

im [[[0]]]0 [0 ) I t t t

2 30 1

Pero en otra construcción de la aritmética cada número contiene como miembros a todos los anteriores a él:

[P.[0Ü0[0]]]M W0]]0t tt t

320 1

Y no hay manera de responder directamente a la pregunta: "¿Es o no el número 1 un miembro del número 3? ". Depende de la construcción que* se elija.

Todo esto sugiere que hay poca sabiduría en tomar con fanatismo ontológico estas construcciones de la aritmética, cuyo poder sistematiza­dor y clarificador es una conquista admirable del pensamiento humano. No nos dan la "esencia" del concepto del número; son en buena parte construcciones ad-hoc, elaboradas con el objetivo expreso y las restric­ciones necesarias para que se deduzcan los teoremas de la matemática intuitiva, y ello a partir de algunos axiomas que quizá sean menos claros que las leyes usuales de la aritmética. Esta situación permite comprender una aguda observación del gran lógico y filósofo Willard Quine: es

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posible que sea mejor fundamentar la teoría de conjuntos en la aritméti­ca y no la aritmética en la teoría de conjuntos, porque es dudoso, en el fondo, cuál de estas disciplinas está más necesitada de clarificación.

4. Aprendizaje de conceptos y competencia lingüistica

El esencialismo se vincula con cierta filosofía del lenguaje, y, en particular, con cierta concepción acerca de las condiciones requeridas para la competencia lingüística que incluye, naturalmente, la "compren­sión" de los "significados". Para simplificar las reflexiones que siguen, nos limitaremos a los términos generales ("perro", "triángulo”) y no a los nombres propios ("Juan", "Napoleón") u otros tipos de expresiones lingüísticas.

De acuerdo con una tradición semántica predominante, un término r posee en primer lugar un significado, el cual es un conjunto de las condiciones necesarias y suficientes que un objeto x debe poseer para que t le sea aplicable de manera correcta; dicho de otro modo, para que t sea verdadero de x. El conjunto de objetos a los que t es aplicable constituye la denotación del término, que eatá unívocamente determina­da por su significado. Esto último es lo que se denomina "la primacía del significado sobre la aplicación", o también, como veremos en segui­da, la primacía de 13 intensión (con "s", no con "c") sobre la exten­sión. Así, el significado de la palabra "perro" es el conjunto de condicio­nes necesarias y suficientes que un objeto debe cumplir para ser un perro, y su denotación, el conjunto de los perros. En consecuencia, explicitar el significado de t es formular una identidad de la forma t = x y z, donde el segundo término expresa las condiciones necesarias y suficientes que t no exhibe a la luz del día; tal identidad no es otra cosa que la definición (sinonímica) de t. Se supone también, inevitablemente, que "comprender" el significado de "perro" es conocer ese conjunto de condiciones, que funciona como un criterio de aplicación correcta en cualquier circunstancia posible, o, para decirlo con una gran expresión de moda, en cualquier mundo posible. Parece obvio de acuerdo con esto que el hablante competente de un lenguaje deba conocer los significados de sus términos generales, y por lo tanto las condiciones necesarias y suficientes de su aplicación correcta; si no fuera así, ¿cómo se podría determinar si el término es aplicable o no a un objeto nuevo?

La oposición significado-denotación se presenta en la tradición se­mántica mediante otros pares análogos y variada terminología: significa­do-referencia; sentido-denotación; concepto-aplicación; intensión-exten­sión; comprensión-extensión; etc; aquí consideramos como intercambia­bles los primeros términos de cada par,- e igualmente los segundos, para acomodarnos plásticamente a los hábitos del lector. Desde un punto de vista ideal un concepto (o significado, o intensión, etc) divide nítidamen-

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te el universo en dos partes: el constituido por su extensión (que podrid ser nula en el caso de conceptos como “Cuadrado redondo" o "tortuga egoísta)1, y la parte restante (que podría ser la totalidad del universo). Si volvemos a la palabra "perro" y representamos el universo con un círculo, cada concepto determinaría una situación como la siguiente:

perros

no perros

Se observará que no se incluyen zonas de indeterminación; el principio de tercero excluido ("Todo objeto es perro o no es perro”) resulta válido sin restricción alguna. Pero, según nos dicen, cada concepto no sólo produce esta división en el mundo real, en el universo .tal cual es, sino cualquier mundo posible. Frege sostenía que en caso contrario no tendríamos un concepto genuino. De acuerdo con esta orientación se­mántica, el significado de un término t puede definirse como una función en sentido matemático, una función f cuyo dominio son todos los mundos posibles, entre ellos el mundo real, y tal que si w es un mundo posible, f (w) es la extensión de t en w. Esta propuesta fue inaugurada por Carnap en 1948, y ha tenido buena fortuna en los desarrollos posteriores de la semántica (y pragmática) de orientación lógico-formal. Es fácil comprender que este esquema semántico puede sugerir una norma pedagógica esencialista, según la cual la enseñanza debe proceder inflexiblemente de los conceptos a las operaciones en que interviene su aplicación.

Sin embargo, el anterior esquema semántico sólo constituye una idealización, útil para la teorización lógica pero ajena a las realidades del uso lingüístico. No puede fijar siquiera un objetivo final de aprendizaje de una lengua, pues las mencionadas condiciones necesarias y suficientes para todo mundo posible son una mera ficción, y ello debido a varias características del lenguaje que pueden resumirse en la noción de vague­dad. Un término es vago cuando no existe un límite preciso entre su aplicabilidad y su no aplicabilidad: hay casos claros de aplicación correc­ta, y casos claros en los que el término, no se aplica; pero entre estos extremos se extiende una zona de indeterminación. "Poco", "mucho", "rápido", "grande", poseen este carácter hasta la extravagancia: lo que es poco, mucho, rápido o grande depende del contexto, y en cada contexto hay además una zona intermedia de penumbra en la cual su aplicabilidad es dudosa, aunque resulte clara en los extremos. Por una parte, la hormiga grande es un animal pequeño, y un elefante pequeño es un animal grande; por otra, nadie puede saber dónde trazar una línea de separación entre los elefantes (u hormigas) grandes y pequeños. Hay ejemplos paradigmáticos de rojo y ejemplos paradigmáticos de no rojo)

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pero entre estos extremos se extiende una franja propicia a la perpleji­dad. Y esto no se debe a falta de información por parte del hablante: la indeterminación es una característica semántica del término, lo cual le impide dividir el universo en dos zonas nítidamente separadas, como quería Frege. Lo que puede resultar sorprendente, y quizás increíble, es que todos los términos empíricos son vagos en algún sentido. Muchos creen que un buen diccionario explícita el significado de los términos a la manera fregeana, pero se trata de una ilusión; si buscamos en el diccionario el significado de "perro", encontraremos un manojo de criterios a lo sumo necesarios, y finalmente dibujos o fotografías de ejemplares perrunos, que representan casos paradigmáticos de aplicación del término, pero no criterios universales que nos permitan separar los perros de los no perros en la vastedad de los mundos posibles. No se sabe, ni puede saberse, si un objeto que tiene todas las características usuales de un perro pequinés pero además lee La Divina Comedia y se ríe a carcajadas, o se infla y se desinfla mientras dice: "Nunca sabrán si soy realmente un perro, o una nueva especie", es realmente un perro o u.na nueva especie. Este es un caso peculiar de vaguedad, la vaguedad potencial, que se conoce con el nombre de "textura abierta"; por contraste, la vaguedad "rojo" es meramente actual.

Si dominar un lenguaje implicara el conocimiento de las célebres condiciones necesarias y suficientes, tendríamos que confesar que ningu­no de nosotros domina el castellano; pero en tal caso estaríamos en la consoladora compañía de Quevedo y Cervantes.

Antes de proseguir conviene que nos detengamos por un momento en otro aspecto de la cuestión: el lugar común según el cuál la precisión es invariablemente buena, y la vaguedad invariablemente mala. Este mani- queísmo semántico requeriría un examen crítico detallado, pues existen situaciones en los que la vaguedad puede contribuir de manera peculiar al éxito de la comunicación lingüística. Pero me limitaré a un caso que posee una evidente implicación pedagógica; Quine lo presenta en Word and Object como una estrategia útil frente a "la linealidad del discurso". Supongamos que para comprender cierta cuestión B sea necesario com­prender antes a A, pero A misma no puede ser explicada de manera cabal sin señalar excepciones y distingos que requieren una comprensión previa de B. En una situación como ésta, dice Quine, "el expositor recurre a la vaguedad: formula A vagamente, luego se ocupa de B y por fin vuelve a A, sin haber exigido nunca que su lector aprendiera o desaprendiera nada realmente falso en la formulación preliminar de A" (Word and Object, p. 127).

No es mi propósito embarcarme en una defensa global de la penum­bra, que también posee sus aspectos oscuros y aún nefastos; sólo quise ubicar el problema en una perspectiva más amplia. Existen grados de

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vaguedad y, correlativamente, grados diversos de precisión; y el uso astuto de un lenguaje vago puede ser un medio inevitable para alcanzar un lenguaje cada vez más preciso.

Consideremos ahora nuevamente la relación entre el significado (= concepto) expresado por un término t y sus casos c|e aplicación correcta. Aunque no haya condiciones necesarias y suficientes para todo mundo posible, habrá al menos una red compleja (con regiones difusas) de criterios que gobiernan la conducta de un hablante competente. Pero aquí se impone una distinción fundamental entre:

a) comprender el significado de t, yb) ser capaz de explicar el conjunto de criterios que constituyen ese

significado.Si yo les preguntara a ustedes "¿Qué es un árbol?", se verían en

serias fidicultades para hallar una respuesta satisfactoria. Otro ejemplo es la ¡nocente palabra "juego", que gracias a Wittgenstein posee ya tradi­ción filosófica y hasta solemnidad académica. El ajedrez es un juego, y también el ta-te-ti, pero ¿qué es un juego en general? Nadie lo supo nunca, con la posible excepción de Nostradamus. Sin embargo, sería grotesco inferir que ustedes no entienden estas palabras. El dominio del lenguaje (y, por lo tanto, de los conceptos ligados a él) se adquiere por un proceso de imitación y de práctica semejante al modo en que se aprende a manejar una bicicleta; pero un buen ciclista no tiene por qué conocer las leyes de la mecánica, y el hablante eficaz no tiene por qué ser consciente de los criterios de aplicación que gobiernan su conducta verbal. La explicitación de significados, la búsqueda de definiciones, es tarea de lexicógrafos y filósofos. Esto no debiera causar extrañeza alguna, pues nadie supone que hablar de manera correcta implica ser un buen gramático. El niño comienza su aprendizaje aplicando los términos a casos paradigmáticos, y por un intrincado proceso de inducciones y analogías extiende poco a poco su dominio de aplicación, sin que los criterios que gobiernan su conducta verbal alcancen a determinar nunca una extensión bien definida. Hay en este sentido una primacía de la aplicación sobre el concepto. Estas razones sugieren que, desde el punto de vista genético, la relación que va del concepto a su aplicación debe invertirse.

Un ejemplo iluminador de la primacía de la aplicación lo constituye la pregunta clásica de la semántica filosófica: ¿Cuál es el significado de la palabra "significado"? Esta pregunta nos enfrenta con una dificultad muy interesante: si no sé que significa "significado", ¿cómo puedo entender la pregunta acerca del significado de "significado"? Parecería, pues, que la semántica teórica propone desde el comienzo una tarea imposible. Pero el secreto para evitar este círculo es muy simple: entiendo esta pregunta porque existen objetos paradigmáticos, en parti­cular ciertas oraciones y palabras, que'aprendí a reconocer como signifi-

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cativas, en contraste con las expresiones carentes de sentido; puedo, además, usar “significado" correctamente en oraciones de la forma "La expresión X significa Y", aunque no disponga de ninguna definición de "significado". Sin la primacía de la aplicación sobre el concepto, tal pregunta no podría ser comprendida ni contestada, o carecería de sentido.

En un texto de un lingüista chino, cuyo nombre no puedo recordar, tropecé con una anécdota reveladora de la primacía de la aplicación en el proceso de aprendizaje lingüístico. Durante una reunión familiar en la que se bebía cerveza, un chico de unos tres años se impacientó y pidió llorando que le dieran de beber a él también. Previsiblemente, el padre se negó. Previsiblemente, el chico aumentó con sabiduría el caudal de sus lágrimas amargas. Para no romper la armonía de la noche, el padre dijo al fin con ambigua ternura: "¡Bueno, que haya paz en el hogar! ", y le dio un vaso de cerveza. Pasaron dos semanas, y un día el chico se puso a gritar como un desaforado: "¡Que haya paz en el hogar! ¡Que haya paz en el hogar! ", El padre atónito, lo contemplaba sin compren­der hasta que recordó la reunión familiar de dos semanas antes: advirtió entonces que su hijo le estaba pidiendo un vaso de cerveza. En la semántica provisoria del niño, resultado de una inducción audaz basada en un solo caso, "Que haya paz en el hogar"denotaba una bebida alcohólica. Quiero imaginar que a partir de este día el chico de esta historia fue corrigiendo y mejorando sus extrapolaciones analógicas e inductivas, hasta adquirir la competencia lingüística de su padre.

1. Está probado que todas las tortugas son generosas. Para más detalles, confrontar el exhaustivo estudio de Jorge E. Ramponi,

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V ó fr k ¿¿4 a —<333I : -r-c

Un hombre trabaja con números; otro prefiere su ábaco.

Aprendizaje de la matemática

en la escuela primariaLucrecia IGLESIAS

1. Consideraciones previasComenzaré proponiendo contemplar el aprendizaje de la matemática

en la escuela primaria como la ¡nterrelación entre dos polos: la ciencia y el niño, ¡nterrelación que resultará tanto más fructífera cuanto más equili­brada. Y esto, ¿por qué? Porque cada situación de no aprendizaje puede verse como un claro caso de desequilibrio en esa relación: o bien la ciencia desborda, abruma al niño, o bien el niño desarticula, desvirtúa el hecho científico. Veamos algunos ejemplos:

Ante 357 f 25 un niño puede repetir enunciados como: 3 no puedo dividirlo por 25; tomo 35,; 'Me está" 1; 1 X 5 es 5; al 5, 0; 1 X 2 es 2; al 3, 1; "bajo el 7", etc.

Pero esto no es evidencia de aprendizaje: ¿qué significa para él, en términos de comprensión matemática: "bajo el 7"? Si, por casualidad, olvidara este paso, ¿qué posibilidad tendría de reconstruirlo sin el auxi­lio de la 'memoria? Quedaría absolutamente inerme, desbordado por la situación matemática. De modo que, aunque se lo vea repetir con entera seguridad los pasos del algoritmo, debemos reconocer que sólo se trata de una sucesión de actos mecámicos, sin sentido, en los que el manejo de ios signos no es más que un hábito independiente de la comprensión inteligente. "Memorización negativa" k> llamó Thomás Simpson en la reu­nión anterior. O lo que es lo mismo: algo contrario al verdadero apren-diZa¡e- X + fi

Otro caso: ante la ecuación -- ■ = 21 un niño tacha el 2, tacha el 69

reemplazándolo por 3 y resuelve x + 3 = 21 Aquí el lenguaje simbólicoX t)

fue considerado a nivel puramente pérceptivo: tan parecido a —= 21

que el alumno procede sin diferenciarlos, distorsionando el primero para adecuarlo a un esquema de acción muy familiar en el otro. Es decir, otra manera de no haber aprendizaje por falta de comprensión del hecho matemático.

¿Cuál sería un estado de equilibrio en cada una de las situaciones?

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En la primera, una respuesta asi':* 367 + 25 significa repartir 357 entre 25.

30 docenas'3 centonas aue equivalen a o

300 unidades* 357 se puede pensar corno/ 5 decenas y

7 unidades

* Repartir 30 decenas entre 25 significa dar 1 decena a cada uno pero sobran 5 decenas.

* Con 5 decenas de la descomposición de 357 y las 5 decenas qüe sobraron se forman 10 decenas que equivalen a 100 unidades.

100 unidades repartidas en 25 permiten dar 4 a cada uno y no sobra nada.

* Las 7 unidades de la descomposición de 357 no se pueden repartir.* El resultado se forma con lo repartido: 1 decena y 4 unidades o

sea, 14.* El resto se forma con lo que no se pudo repartir: 7 unidades^o sea

7.Peró se observa que el proceso anterior contiene una opción: se eligió

pensar 3 centenas como 30 decenas; se pudo haber elegido pensarlas como 300 unidades y el proceso hubiera podido ser así:

* 300 unidades es lo mismo que 100 y 100 y 100 unidades,* Repartir 300 unidades entre 25 es lo mismo que repartir 100 y 100

y 100 unidades entre 25,Como 100 repartido entre 25 resulta 4, 300 unidades repartidas

entre 25 resultarían 4 y 4 y 4 unidades,* Quedan por repartir 5 decenas que equivalen a 50 unidades,* 50 unidades repartidas entre 25 resultan 2 unidades,* quedan 7 unidades por repartir, pero no es posible,* el resultado se forma con lo repartido: 4 + 4+4+2 unidades o

sea 14.* el resto se forma con lo que no se pudo repartir: 7 unidades, o sea, 7.Aquí es evidente la flexibilidad del pensamiento: usa el significado de

los signos y las relaciones entre los significados; evoca acciones reales y las maneja interiormente con versatilidad. Transita en un sentido: des­componiendo 357, o bien en sentido inverso: componiendo 14; recorre un camino eligiendo una de las alternativas que se le ofrecen, pero con la certeza de poder elegir otro y llegar igualmente al mismo resultado.

Podemos hablar de pensamiento operatorio (reversible, asociativo); podemos decir que hay equilibrio y que este es tanto o más estable cuánto más móvil es el esquema involucrado.

74

. 6 x + 6En el segundo ejemplo, se trata de comparar2

los que se pueden aislar las operaciones:

En í-iÜ

con en2

x + 6En2 2multiplicar por 6, seguido por

dividir por 2;* multiplicar por 6 puede pen­

sarse como: multiplicar por 3 se­guido por multiplicar por 2;

* multiplicar por 2 puede aso­ciarse con dividir por 2 y se neu­tralizan;

* el resultado es equivalente a lo que resulta de multiplicar por 3 y suprimir las otras acciones.

Comprobamos otra vez que frente al sujeto pasivo que tacha mecáni-, camente podemos oponer el dinamismo, el ir v venir, el comparar, el

x x ediferenciar, el pensamiento en el acto inteligente de decidir que ------—

X H 2no puede ser tratado como

Importa ahora mostrar un camino de aprendizaje para que el alumno tenga la oportunidad de lograr el dominio de estas situaciones, indicando qu¿ pautas nos inspiran cada paso.

En la primera situación es posible analizar las conductas implicadas y construir el siguiente diagrama:

* sumar 6 seguido por dividirpor 2;

* sumar 6 puede pensarse co­mo: sumar 3 seguido por sumar 3. sumar cuatro seguido por sumar 2 sumar 5 seguido por sumar 1;

* no encuentro ninguna acción que pueda asociarse con dividir por 2 para neutralizarla;

* no puedo suprimir ninguna acción

2

DIVIDIR UN POLIDIGITO

I > i \

usarel significado de

la operación de dividir

usarel significado de

la estrutura decimal

recordar relaciones

entre números

75

Señalamos que, haber hablado de memorización negativa no nos obli­ga a rechazar la contribución de la memoria: lo importante es usarla para fijar hechos significativos. Por ejemplo, las relaciones, entre 25 y 50 o las relaciones entre 25 y 100 como usamos en nuestro caso.

Ocupémonos de cada una de las conductas indicadas.

2 Significado de dividir por N a) repartir entre n partes iguales.

i) los alumnos trabajan con material concreto.Con un conjunto de 6 porotos se forman 2 conjuntos de 3 porotos

cada uno. Usan porotos y hebras de lana.

¡i) los alumnos representan la situación física: "retratan lo que ven", para que esta imagen externa ayude a la formación de la imagen interna cuyo papel es evocar la acción concreta pasada y anticipar la acción concreta futura. (Notemos el rol intermedio de la imagen que, por sí misma, no es acción y no proporciona contacto real con el mun­do de las cosas si la acción no la precedió.)

Ui) los alumnos asocian a la acción y a su representación la expre­sión simbólica 6 t 2 = 3.

Estos tres pasos deben aparecer tejiendo una red que permita pasar de uno a cualquiera de los otros. Un problema planteado en un nivel, debe poder traducirse a aquél de los otros que proporcione los elementos más firmes para su evolución.

b) otro significado: transformar n en 1.

I) los alumnos trabajan con material concreto.Con 6 porotos se forman subconjuntos de 2 porotos, obteniéndose un

conjunto de 3 subconjuntos. Usan porotos y hebras de lana.

76

¡i) los alumnos hacen la representación.iii) los alumnos asocian la expresión simbólica.En esta definición aparece una correspondencia clara de índole fun­

cional o transformación: "por cada dos porotos, un subconjunto". Esto ayuda a establecer la noción:

c) dividir es la operación inversa de multiplicar. Hay tres sobres y "por cada sobre, 2 guantes".

3 «Significado de la notación decimal1. i) los alumnos juegan tirando un dado y anotando el resultado con

palillos y la consigna: si saco más de 9, formo un atadito con "uno más que nueve"

ii) los alumnos dibujan su resultado:

ii/miiii//

77

m) los alumnos registran, sin símbolos: un atadito y dos palillos.2. i) los alumnos siguen jugando y se agrega un mantel con la consig­

na: ubicar en el lugar preciso los ataditos y los palillos sueltos, ii) los alumnos dibujan el resultado:

11 i) los alumnos registran, imitando la representación anterior:

¿Y si no quedan palillos sueltos? Dibujan, registran y ponen el nombre DIEZ. Empiezan a hablar de dieces o de decenas y unidades.

3. Cambio de material: cuadradlos de cartulina y tiritas de diez cua- dritos del mismo material. La única variante consiste en que al formar diez unidades, canjeo diez cuadritos por una tirita, antes de ubicar en el mantel.

hisi

4. Cambio de material: se anota en abacos abiertos, esfo es, en alam­bres o clavos sujetos a una base de madera y alineados para que su ubicación reproduzca la de las casillas en Jos manteles. Se anota con argollitas de distintos colores que representan unidades, decenas, cente­nas, etc. Cuando los juegos progresan involucrando cantidades mayores que diez decenas, no es cómodp manipular ataditos o placas de cartulina del tamaño requerido. Entonces el ábaco resulta indispensable.

Juego y anoto con argollitas en el primer clavo de la derecha; cuando formo diez canjeo por una argollita en el clavo que sigue a la izquierda;

78

veo que si tengo otro clavo puedo seguir hasta tener diez argollitas en el lugar de las decenas y canjearlas por una que se ubica en el clavo que sigue y se anota un ciento o centena.

O o ooo

Observemos ya una primer pauta metodológica: ia del cambio de material que busca variar los esquemas perceptivos para que las nociones puedan desprenderse de ellos.

Ahora; cómo usamos el significado de la división y el significado de la escritura ^decimal en la resolución de 357 + 2?

El alumno representa 357 con material concreto sobre el mantel.El alumno piensa que dividir por 2 significa repartir entre dos y

prepara dos manteles para efectuar el reparto.

Al repartir encuente que un atado de CIENTO debe desatarse en ataditos de DIEZ y que un atadito de diez debe transformarse en diez palillos sueltos.

90,A

mu /////\

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## /////!

4// i

í r $ 2i ?

Concluye el reparto y el alumno observa que sobró un palillo. Tradu­ce el resultado: 178 y resto: 1. Para registrar, dibuja y anota en símbo­los.

Material concreto, representaciones gráficas y símbolos deben conju­garse simultáneamente hasta que el alumno esté en condiciones de aban­donar la acción y la imagen externa en función del dominio interior del significado de los símbolos y su manejo.

Otra pauta metodológica: variar lo contingente para separarlo de los necesario

El diez es ¡rrelevante en el proceso de escribir los números: pudo haberse agrupado de tres en tres; de cinco en cinco, y el resultado hubiera sido la expresión del número escrito en otra base: tres o cinco, respectivamente. Z.P. Dienes propone este esquema de aritmética multi- base que, conducido con el material adecuado y los recaudos metcdoló-. gicos citados, es perfectamente accesible a niños desde los siete años de edad.

80

Por ejemplo: sea la operación 101 t 2, en base tres. El alumno representa 101(tres) en un abaco.

El alumno piensa en dividir por 2 significa repartir entre dos y prepa­ra los ábacos para iniciar el reparto.

Al repartir descubre que se debe canjear una ficha del tercer clavo por su equivalente: tres de tres unidades y una de éstas, por tres unida­des.

Concluye el reparto y el alumno observa que no ha sobrado nada y traduce el resultado:

12 tres

81

I

Para registrar dibuja y anota en símbolos.Con este esquema de acción es posible resolver divisiones por 2, 3, 4,

o 5, pero aparece como una manipulación enredada y con riesgo de error cuando el divisor es mayor: por ejemplo, 6.

Si se trata de resolver 357 -r 6, la situación que crea una dificultad nueva es la respuesta a ¿Cuánto es 35 dividido 6? Pero esto es posible interpretarlo como: ¿Cuántas veces cabe 6 en 35? (que es el significado funcional de la división). Los propios alumnos nos ofrecen sus esquemas, muy variados por cierto, para resolver la cuestión.

Por sumas sucesivas: 6 + 6 = 12; 12 + 6 = 18; 18 + 6 = 24; 24 +6 = 30; 30 + 6 = 36 (ya no sirve]. Entonces son cinco veces.

Por enunciado de una escala: 6-12-18 -24- 30 - 36-...Por productos sucesivos: 1 vez 6, 6; 2 veces 6, 12; etc.En todos estos casos se llega a la misma conclusión y el proceso

termina restando 35 - 30 = 5. Como el alumno sabe que estas 5 son decenas o "dieces", los transforma en unidades y las suma a las 7 del número para continuar con la pregunta: ¿cuántas veces cabe 6 en 57?

También puede ocurrir que algún alumno recurra a restas sucesivas: 35 - 6 = 29; 29 - 6 = 23; 23t 6 = 17; 17 - 6 = 11; 11 -6 = 5. Así obtienen directamente el resto de 5 decenas o "dieces" que convierte en unidades.

Al llegar a esta etapa del proceso de aprendizaje aparece de una manera clara y natural para los niños la conveniencia de usar las escalas. Ellos mismos pueden construirlas y mostrar los resultados ordenadamen­te en un cuadro que no será sino la Tabla Pitagórica. Con el cuadro a la vista es posible resolver con rapidez y seguridad los problemas del tipo: ¿cuántas veces cabe uno cualquiera de los dígitos en .. .? Después podrá pedirse la memorización de estos resultados, pues la construcción del cuadro por el propio niño asegura su comprensión y su uso frecuente contribuye a su fijación. Se tratará de una memorización positiva en la medida que confiera agilidad y autonomía al trabajo de los alumnos, quienes no deben sentirlo como una carga agobiante sino como una ayuda deseable.

Aquí cabe decir algunas palabras sobre el ámbito escolar en que se deben desarrollar las actividades propuestas y sobre el papel que debe asumir el maestro encargado de guiarlas.

No nos imaginamos un aula de bancos alineados con escolares forza­dos a mirar todos en la misma dirección. Tampoco reglas fijas que impidan los desplazamientos naturales y espontáneos de los alumnos.

Lo adecuado es un aula-taller: con trabajos propuestos a la medida de quienes lo realizan, con abundante material para que todos puedan tener acceso a él, con indicaciones claras que aseguren la comprensión de las consignas, con una atmósfera de distensión y cálida convivencia que permita a los niños el ejercicio de una libertad responsable.

82

Del maestro esperamos la actitud del testigo lúcido; si la tarea está bien orientada y los materiales provistos, la relación con los alumnos se ha de limitar al diálogo que no da respuestas sino que devuelve preguntas en condiciones de que el niño pueda responderse a si' mismo: que no instruye sino que motiva; que no impone, sino que sugiere. Pero al mismo tiempo, es un evaluador permanente de los logros de aprendizaje de los alumnos: capaz de diferenciar los niveles y proveer las experien­cias multiplicadoras de efecto para quienes se retrasan en un logro y las experiencias de captación sutil para los ávidos de una mayor protección en sus inquietudes científicas.

No es fácil, pero tampoco es imposible; con el esfuerzo combinado de muchos, el logro sería más rico y más próximo.

Preguntas formuladas al terminar la disertación

P.— ¿Cómo se evita que el alumno al descomponer el 6 de x + 6 no2

elija 1 x 4- ,2.32

R. — Un alumno que conozca y use como instrumento la noción de operador podrá pensar el problema x + 6 = 21 de |a siguiente manera:

2¿Qué entrada hay que poner para que el operador "sumar 6", seguido

por el operador "dividir por 2" dé una salida igual a 21?En símbolos:

21x — + 6 ~— '/• 2

Ahora bien, el operador "sumar 6" es solo equivalente a cualquiera de Jas sucesiones de dos operadores que siguen:

+ 1—5"sumar 5" seguida por "sumar 1" + 5 4- 1

+ 2— + 4"sumar 4" seguida por "sumar 2": + 4 + 2

+ 3+ 3"sumar 3" seguida por "sumar 3" + 3 + 3

83

Pero ninguna de estas sucesiones contiene el operador inverso de "divi­dir por 2", que es el operador "multiplicar por 2" y no puede aparecer el error indicado.

Además, en la interpretación del problema mediante operadores, la solución se puede razonar así:

'para que el operador "dividir por 2" haya dado una salida 21, la entrada debió ser 42;

* para que 42 sea la salida del operador "sumar 6”, la entrada debió ser 36. En consecuencia, la solución es 36.

P%— Ud. plantea el papel que le cabe al niño y al maestro en la situación de aprendizaje, ¿en qué tipo de escuela lo ve?

Ri— Las situaciones de aprendizaje descriptas pueden tener lugar en toda escuela que se lo proponga: sólo hace falta una ciudadosa planifica­ción de actividades por parte del maestro, una adecuada provisión de material de sencilla elaboración, y, fundamentalmente, un cambio de actitud personal interior para asumir un rol diferente ante los alumnos.

P. —. Al principio, usted dijo algo así como que "la distribución de los contenidos" no es fundamental.

Sin embargo, en el caso de la división por dos cifras, los corrientes 1a incluyen en 3er. grado (en algunos países se aprende en 5° o 6o grado). Y si los niños tienen que aprenderla tal como usted lo planteó, es imposible desarrollarla en este grado y ello afecta a los objetivos y la metodología. Dado este ejemplo (y los resultados de la psicología genética), ¿no cree que la distribución y organización de los contenidos es, tambié^funda- mental? .

R.— Lo que indiqué fue que los contenidos —y no su distribución— son, en general aceptables; que para todos hay un modo y un tiempo para abor­darlos con una razonable perspectiva de logro. Estoy de acuerdo con que- en algunos curricula los modos y tiempos fijados no son los más adecua­dos.

1

P«— Considera que ese proceso que usted describió claramente con un ejemplo: situaciones concretas, representación y abstracción, ¿debe nece­sariamente respetarse para cada nueva noción? ¿Se mantiene el proceso de la división por 25?

R-— El desarrollo evolutivo se cumple en etapas ineludibles: la del pesamiento operatorio concreto coincide, aproximadamente con el perío­do de nuestra escuela primaria en cuyos últimos años comienza la transi­ción hacia la etapa del pensamiento formal. Este cobra entera vigencia después de los dos primeros años de secundaria. Así, durante la primer etapa es ineludible respetar una secuencia que comience por la acción concreta, siga con la representación y desemboque en el pensamiento

\

84

operatorio. Sólo cuando el individuo sea capaz de un pensamiento formal —en general, no antes de los últimos años de la escuela secundaria— podrá hacer reflexiones acerca de reflexiones, o sea, moverse exclusivamente en el plano de las ideas. Además, es necesario indicar que esta maduración no es simple consecuencia de la evolución biológica marcada por la edad: es posible hallar muchos individuos que no alcanzan el nivel del pensamiento formal, ni aún dentro del ámbito de la escuela secundaria.

P — ¿Cómo sería el proceso de la división por 25?R — Supuesto que el alumno puede resolver compresivamente las opera­

ciones del tipo: 355 dividido por cualquier dígito, todo el problema de dividir por 25 se centra nuevamente en las estimaciones del tipo: "cuantas veces cabe 25 en. . ." que es una forma de expresar el significado "trans­formar el 25 en. . . ,,que es una forma de expresar el significado "transfor­mar 25 en 1". El alumno no halla dificultad.en comprender la necesidad de realizar tales estimaciones, pero a veces sus métodos (por restas sucesivas, por sumas sucesivas, por construcción de una tabla o de una escala del 25, etc.) no resultan eficientes porque hay gran riesgo de error y el proceso es siempre antieconómico: requiere mucho esfuerzo para obtener resultados no siempre correctos.

Entonces es conveniente hacer pensar en estimaciones aproximadas con ejercicios graduados Que se realizan mentalmente, del tipo:

¿cuántas veces cabe 10 en 30,... en 80,... en 120,... ?¿cuántas veces cabe 40 en 50,... en 100,.. . en 130,... ?¿cuántas veces cabe 21 en 40,... en 90,... en 140,... ?A cada uno de estos ejercicios debe seguir la comprobación inmediata y

escrita, que hace aparecer de un modo natural en el proceso la operación de multiplicar. Alumnos de cuarto grado conducidos en esta forma presen­tan su trabajo espontáneamente así;

252535107357 -r 25 = 014 y sobran 7 unidades 25 x4x5

10012510donde el alumno piensa:

* 3 cientos no se pueden dividir entre 25, pongo 0 cientos en el resultado,

* cambio 3 cientos por 30 dieces y con 5 dieces del número formo 35 dieces,

* 35 dieces divididos entre 25 es 1 y calculo lo que queda: 10 dieces.* cambio 10 dieces por 100 unidades, con 7 unidades se forman 107

unidades, (lo escribo arriba),* estimo que 25 cabe 5 veces en 107, compruebo multiplicando 25 x

125 y me da 25,corrijo mi estimación y pongo 4, compruebo multiplicando 25 x 4

y obtengo 100,

85

* calculo lo que me sobra mentalmente: 7 unidades.Cuando este tipo de elaboración está afianzando el maestro puede

proponer organizar la tarea de modo que todas estas acciones queden incorporadas al esquema del algoritmo en esta forma:

_357 ( 251425

107JLQSL

7

En ella, el alumno debe identificar claramente cada parte del proceso anterior, explicándola con el mismo enunciado, puesto que sólo se ha modificado su ubicación en el espacio.

Esto sirve para mostrar que un enunciado del tipo "bajo el 7" carece de sentido en el proceso y ha sido sustituido por acciones cuya comprensión está garantizada por la comprensión del significado de la notación decimal: cambio 10 "dieces" por 100 unidades, con 7 unidades, se forman 107 unidades en total.

P - ¿Cómo es preferible introducir la multiplicación, como el cardinal del producto cartesiano de 2 conjuntos o como sumas reiteradas?

R'— En la-introdución de operaciones en la escuela primaria no debe plantearse este tipo de interrogantes: debe pensarse en el cómo más que en el qué. La respuesta debe ser entonces: hay que introducir todas las nociones posibles que den una interpretación de la operación, siempre que se lo haga mediante acciones que el alumno pueda realizar en forma concreta. Por ejemplo, para la multiplicación podemos plantear distintos tipos de problemas que apunten a diferentes nociones según puede verse en las interpretaciones que siguen del producto 5x3.

a) hacer eI triple de un conjunto de 5 contadores (noción conjuntista)

O O O Ó O

b) por cada uno de 5 - sobres - poner 3 - estampillas (noción funcional)

c) formar pares —o cruces— de 5 calles que corren de N a S y 3 calles que corren de E a O. (producto cartesiano).

N

o c

$

P.— Ruego que nos indique el título de obra de Z. P. Dienes, y editorial.

R - Ver bibliografía de pág. 147.P — De verla y oirla a Ud. tengo la impresión que el álgebra o matemáti­

ca moderna no es más. que una metodología para enseñar matemática. Al seguir su conferencia me hizo recordar a una pieza musical de Paul Dukas llamada" El aprendiz de brujo". Gracias.

R — Es importante poner el énfasis en la palabra metodología, o sea comprender cuánto depende el buen aprendizaje de la correcta actitud del maestro al plantear experiencias a sus alumnos. No se trata de desplazar contenidos matemáticos para sustituirlos por otros nuevos sin un análisis de la forma en que conviene abordarlos; tampoco, de disgregar nociones tradicionales de otras que no lo son tanto. Hay que integrar contenidos, tradicionales y modernos, a través de un método que los haga accesibles a los alumnos.

87

P — Quisiera saber si el método Gategno se sigue aplicando actualmente y si es eficaz.

R — Ignoro en qué medida se emplea el método Gategno en la actuali­dad, como para responder a una pregunta tan general. Respecto de su eficacia puedo decir que si el maestro sabe que el análisis de un solo modelo no basta para construir una estructura y, al emplear regletas, no deja de lado el uso frecuente de otros materiales que provean un modelo isomorfo, las regletas contribuirán eficazmente al aprendizaje.

P — ¿Por qué ese ejemplo de la división para desarrollar en esta charla?R - El ejemplo de la división fue elegido por dos razones.Primero, es un tema tradicional que siempre produjo crisis en los proce­

sos de aprendizage y que se ilumina y enriquece cuando se lo aborda con nuevos recursos conceptuales -como la aritmética multibase y el lenguaje conjuntista y cuando se lo plantea a través de una metodología fundada en la acción y dirigida hacia la comprensión.

Segundo, es un tema que para su completa elaboración requiere un pro­ceso que recorre prácticamente todos los niveles de la escuela primaria. No para acumular repeticiones mecánicas de un mismo esquema formal que se repite sin comprender, sino para usar en cada grado el tiempo que se desti­naba a tales repeticiones, para que el alumno conquiste gradualmente la comprensión del algoritmo, de modo que se produzcan en el los cambios estructurales que le permite su nivel de desarrollo evolutivo.

P — ¿Tiene alguna sugerencia para la enseñanza de la geometría?R — No es posible indicar en poco espacio, en poco tiempo, todas las

sugerencias que merece el aprendizage de la geometría. Haremos solamente dos recomendaciones fundamentales muy generales:

Una, tener presente que hay propiedades geométricas que no son pro­piedades métricas o de la medida. Hay propiedades topológicas, afines, proyectivas y es importante saber que ya Piaget ha demostrado que, evolutivamente, el individuo va concibiendo el espacio en orden inverso al de la evolución de la ciencia en sí misma. Esto es, los geómetras más antiguos trabajaron con propiedades métricas; sólo en tiempos modernos incorpora­ron peopiedades proyectivas y un logro relativamente reciente son las pro­piedades topológicas. Pero un niño que comienza a construir estructuras espaciales comienza por dominar sus propiedades topológicas y su última conquista son las propiedades métricas.

La segunda recomendación apunta también al desarrollo evolutivo y se­ñala que hay que tener en cuenta el logro de la conservación de cada mag­nitud antes de iniciar el tratamiento de su medida. La longitud, la superfi­cie, el volumen, no pueden medirse antes de haber logrado concebirlos co­mo propiedades invariantes de los cuerpos. Piaget nos ha mostrado que ello sdlo se logra como resultado de un proceso de maduración que, para la Ion-

j

%

i

88

gitud, puede darse hacia los ocho años, pero para el volumen no se produce antes de los once.

P — Con respecto a la división, se podría directamente representar lá ac­ción mediante la correspondencia de esta manera:

ChicosPorotos

R. —El diagrama parece reproducir la acción de repartir, esto es: formar 3 conjuntos con 6porotos y averiguar cuantos porotos tiene cada uno. Noso­tros lo representaríamos así:

Reservamos las flechas para cuando hay una transformación inevitable: con 6 averiguar cuantos subconjuntos de tres porotos se pueden formar.

7

P — ¿Existe una relación directa entre el sentido poco analítico del niño y la incapacidad de deducción del adolescente en la escuela secundaria?

R — Hay un proceso evolutivo que partiendo del pensamiento operato­rio concreto del niño de la escuela primaria, puede desembocar en el pensa-

89

miento formal siempre que se conjuguen factores de maduración interna y factores de intercambio con el medio exterior.

La expresión ''sentido poco analítico del niño" puede sustituirse por una descripción de la forma propia que reviste el pensamiento entre los 7 y los 12 años de edad, en los que el pensamiento infantil hace operaciones "concretas", es decir, referidas a los objetos de la realidad tangible, sucepti- bles de ser sometidos á una acción directa, o bien, referidas a su representa­ción, que, si es suficientemente viva, logra sustituir sin desventaja a la ma­nipulación de lo real. Pero es incapaz de reflexionar sin reflexiones: de ahí su fracaso ante situaciones hipotéticas planteadas puramente en el plano verbal como suelen ser algunos enunciados de problemas aritméticos de uso muy generalizado en la escuela primaria.

A partir de los 11 o 12 años se hace posible el pensamiento formal, esto es: las operaciones que implican la manipulación de ideas sin el apoyo de la percepción o la experiencia. El adolescente es capaz de formular hipótesis,, de combinar juicios, de elaborar teorías. Pero en sus comienzos, este poder naciente tiene un marcado carácter egocéntrico que, dice Piaget, se mani­fiesta mecjiante la creencia en el infinito poder de la reflexión, pero como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas a la realidad". De ahí su'dificultad para acomodarse a los esquemas externos que poda­mos proponerles como modelos de deducción.

Cuando, en virtud de un proceso adaptativo gradual, el pensamiento formal ejerza una acomodación creciente a las propuestas del medio y al­cance su equilibrio, estará en condiciones de lograr las construcciones de la deducción racional. _

i

i

P — ¿En qué medida perjudicaría el uso de la máquina de calcular elec­tromecánica en la escuela primaria?

R.— Por lo pronto, una tabla o una máquina son útiles en la medida en que sean usadas "mecánicamente", esto es: con sentido de ahorro de es­fuerzo, de seguridad en el resultado, de economía de tiempo. Son instru­mentos valiosos cuando se persiguen estos fines. Si el fin es otro, por ejem­plo: aprender a pensar, la situación planteada al alumno no debe ser de las que se resuelven con una consulta directa a una tabla o a una máquina. El maestro debe asegurarse de que en estos casos los problemas planteados a los alumnos los obliguen a diferenciar nociones, a establecer relaciones, a plantearse interrogantes, a elaborar estrategias de resolución. Sólo así esti­mulará el uso del razonamiento. Sólo así evitará que.el alumno se acostum-bre a dejar de pensar.

P,— Usted dio el algoritmo de la división en relación con el significado de "repartir".

Ante 161 35

151

90

¿cómo dice 5 "veces" 3 o 3 "veces" S?Le preguntamos por qué, generalmente, se dice 5 "veces" 3 y parecería

un error, pues es 3 "veces" 5 (o 3 "conjuntos de" 5).RLos enunciados que dan una aceptable interpretación de la situa­

ción citada son:* ¿Cuántos subconjuntos de tres unidades pueden hacerse con 16 uni­

dades?Estimo que son 5. Cinco conjuntos de tres unidades tienen 15 unidades.Resulta correcto abreviar como "5 veces 3".O bien:* Si reparto 16 unidades en tres conjuntos, ¿cuántas unidades tendrá

cada unos?Estimo que son 5. Tres conjuntos de 5 unidades tienen 15 unidades.Resulta correcto abreviar como "3 veces 5".Lo importante es pedir en cada caso la interpretación de la expresión

abreviada.

91

.I

'

f

La matemática y la belleza

Problemas de la enseñanza

de la matemáticaCésar L. TREJO

No intentaré desarrollar un tema obviamente inabarcable en una reu­nión, sino sólo rondarlo, y formular ante ustedes unas reflexiones capa­ces de suscitar réplicas y alternativas para la discusión posterior.

1 - Objetivos y cursos de accióna. Se trata de ubicar el problema de la educación matemática en un

marco de amplitud y madurez que lleve a definir con claridad los objeti­vos de esa educación y a cursos de acción idóneos para alcanzarlos.

b. Dice Rey Pastor (Valor educativo de la enseñanza matemática. Conceptos de Matemática N° 48): "El objeto de la segunda enseñanza debe ser formar hombres adultos, es decir, espíritus cultivados. Si culti­var la tierra es prepararla para hacerla fecunda, cultivar un espíritu es someterlo a un régimen que lo haga fecundo en la vida, desarrollando sus aptitudes naturales". Y agrega, con referencia a los movimientos de reforma de comienzos de siglo: "En vista del ruidoso fracaso de la enseñanza enciclopédica, se comprendió, al fin, que la pretensión de hacer bachilleres omniscientes era sobrado ambiciosa; se vio la necesidad de limitarse a cultivar los espíritus con una elaboración adecuada a cada terreno, para depositar en ellos algunas semillas escrupulosamente selec­cionadas; se reconoció que tanto como la materia enseñada importa la manera de enseñarla; y abandonando poco a poco la preocupación de que la enseñanza fuese completa, se ensayaron procedimientos para ha­cerla eficaz".

Todo esto tiene vigencia actual. Y cabe preguntar, hacerla eficaz ¿pa­ra qué?; con lo cual abordamos el problema de los fines, los objetivos de la educación matemática, los que no pueden separarse de los de la educación en general.

c. Recordemos que etimológicamente educar es "conducir desde afue­ra". Toda acción educativa se ejerce por una persona sobre otra, para cultivarla o elevarla (francés: élever, también elevar, dar más nobleza, ej. "é/ever son style"; de aquí é/éve, alumno, también cultivo). Esto supone una valoración de metas y cualidades deseables para cultivar, elevar o madurar; una jerarquización entre los bienes culturales (sean del conoci-

95

miento, del arte, de la religión, etc.), una fijación de arquetipos o para­digmas humanos. Por eso las pautas educativas son, en último análisis, corolario de las culturas, y las fijan las sociedades por encima de los sistemas educativos formales. De aquí resulta que la educación es una y sólo artificialmente escindióle, y que debe dirigirse a todos los hombres y fundamentalmente a todo hombre.

d. J. Ladriére y otros (en G. Deurink, L'Université de démain, pág. 38) señalan como metas de la educación en el mundo occidental de hoy:

—'"El conocimiento de sí mismo y la capacidad de situarse con rela­ción a los demás y al mundo exterior;

—La capacidad de expresarse y de comunicarse en las principales for­mas del lenguaje disponibles (comprendido el lenguaje gráfico);

—La capacidad de juzgar por sí mismo, de manera consciente y res­ponsable, los acontecimientos, las ¡deas y las obras;

—La capacidad de comprender los distintos puntos de vista con res­pecto a una situación que deba resolver por sí mismo, y ésto no sólo desde el punto de vista meramente intelectual, sino también en el plano afectivo;

—La capacidad de asimilar en el futuro nuevos puntos de vista”.e. Aceptando estas metas, se trata de desarrollar en el alumno aptitu­

des como:ei: iniciativa propia;e2: independencia de juicio;e3; capacidad de expresión;64: flexibilidad para comprender distintos puntos de vista;e5: habilidad para detectar, formular y solucionar problemas;e6: ubicación en el panorama cultural actual (en lo que nos concier­

ne, mediante una visión ¡ntegradora de aspectos de la matemática ele­mental, en enfoque actual), etc.

Es claro que estos y otros objetivos de la educación pueden superpo­nerse parcialmente, y además se complementan e interactúan.

f. Entre los cursos de acción para el logro de estos objetivos señale­mos:

fi: estructurar planes y programas según cauces de coherencia lógica y pedagógica;

f2 \ buscar motivaciones eficaces;f3: estimular la actividad matemática del alumno;

: discernir los aspectos más significativos de la matemática actual y en su evolución histórica;

f5: adaptar estos aspectos, conservando su espíritu, a la mentalidad del alumno, formulando con precisión y rigor el difícil problema de la actualidad de espíritu en la educación. Etc., etc.

También estos y otros cursos de acción se complementan e interac-

¡

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túan de manera complicada y en acción sinérgica. Por eso no cabe inqui­rir cuál curso de acción es el principal; en rigor ninguno es más impor­tante que otro y todos se complementan. En otras palabras, toda obnu­bilación por uno solo de ellos que lleve a ignorar o a subestimar a los demás conduciría a un esquema simplista y el problema de la educación sería trivial si pudiera resolverse así. Por ejemplo, sería infantil basarse sólo en un programa por buenas que sean su estructuración y su cohe­rencia lógica y pedagógica, así como sería pueril basarse sólo en proble­mas por acertada que sea su elección.

Por otra parte sería insensato no usar todos los recursos, que no se contradicen y por lo contrario se complementan.

El arte del profesor está en combinar los recursos para llegar a resul­tados no triviales tras recorrer geodésicas de trayecto mínimo o eficacia máxima.

g. Para Rousseau “educar es desarrollar de modo natural las aptitudes naturales”. En 3b mostraremos con un ejemplo cómo un enfoque más natural y acorde con el espíritu de la matemática de hoy obliga a una participación más activa del alumno mediante problemas variados que se presentan solos, sin que nadie los busque, en contraste con los proble­mas expresamente traídos. Desde luego estos últimos son también nece­sarios en retornos asistemáticos de temas entremezclados (para adiestrar en planteos y formulaciones) pero en ellos sería pueril buscar seudo-mo- tivaciones sin entidad matemática o pedagógica, tales como las razones por las cuales tal distancia o tal precio preocuparon a mi tío José o a Lía.

/?. La supuesta oposición "teoría versus problemas" es uno de los enfoques simplistas o inmaduros denunciados por el matemático Peter Hilton en su artículo “La difusión de falsas dicotomías" (Conceptos de Matemática N° 47). Dice Hilton: “Ciertamente, el estudiante debe ser capaz de resolver problemas. Pero, presumiblemente, los problemas han de elegirse entre aquéllos que requieren matemática para su solución y, por tanto, la matemática debe ser bien comprendida si ha de aplicarse con efectividad. Los problemas se resuelven más eficientemente mediante la aplicación de ¡a teoría adecuada, y el gusto por la teoría muy proba­blemente deba desarrollarse como respuesta al deseo de resolver proble­mas interesantes. Por tanto, las actividades, de la construcción de teorías y la de resolución de problemas, son altamente complementarias entresí“.

/. La selección y formulación de los problemas constituye a su vez un problema pedagógico fundamental, y la resolución y discusión de proble­mas es imprescindible para un buen aprendizaje de la matemática. Pero hacer de esta actividad el recurso fundamental o excluyente conduce a presentar la matemática como instrumento, que entonces vale lo que

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valen los instrumentos. En tal sentido comparto lo que dice J.E. Bosch (Conceptos de Matemática N° 48): "...una enseñanza meramente instru­mental de la matemática tropieza con un serio obstáculo psicológico: ni los niños ni los docentes son seres utilitarios; el utilitarismo a ultranza, el "aplicacionismo" que se está poniendo de moda en muchos círculos pedagógicos, es un invento de los adultos quienes, no conformes con haberlo inventado y usado, quieren proyectarlo sobre las generaciones más jóvenes... El valor instrumental de la matemática es muy grande y debe ser aprovechado en la enseñanza: pero de ninguna manera debe sobreponerse al conocimiento del mundo matemático, que es tan impor­tante y orgánico como el conocimiento del mundo tísico y el conoci­miento del mundo histórico".

2 - Estancamiento o evolucióna'. Veamos a qué se debe que ¡a matemática sea la única disciplina que

hoy se presenta en la enseñanza tal cual era hace más de 2.000 años. ¿Cómo fue posible este anacronismo?

En otras disciplinas científicas esto no puede ocurrir porque cada día nuevos hechos y teorías muestran la falsedad de hipótesis y teorías anteriores. Por ejemplo, la enseñanza de la astronomía debió reconocer el sistema planetario heliocéntrico al quedar científicamente eliminado el geocéntrico. En cambio la matemática progresa sin destruir sus conteni­dos previos. Pero éstos quedan superados por enfoques más amplios, puntos de vista unificadores, nuevas relaciones o estructuraciones más sencillas y eficaces. Lo que falta) y urge, es que a nivel de la enseñanza se tome plena y cabal conciencia de este hecho: la matemática progresa en todos sus niveles; negarlo e ignorarlo nos estanca en enfoques parciali­zados y perimidos por una obsolescencia de más en más acentuada.

b. Veamos qué ocurre con el sencillo teorema de Tales. Es tan verda­dero hoy como hace 25 siglos. Pero lo que cambia en matemática es el enfoque, el punto de vista:

b\. El concepto de abscisa conduce a interpretar este teorema como propiedad de invariancia o conservación de la abscisa con respecto a una proyección paralela (fig. 1):

PFig.: 1

U %

P'U' eO

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al proyectar sobre el eje e paralelamente a la recta p se tiene por teore­ma de Tales: OftyÓÍJ = cfpVÓtl'o sea: la abscisa de P en el sistema (O, U), de origen O y punto unidad U, es igual a la abscisa de P' en el sistema (0, U').

b2. Recordemos que se llama homotecia de centro 0 y razón r a la transformación geométrica que asigna a cada punto P el punto P' tal que0> = r. 6P (fig. 2).

O

Ahora bien, el teorema Tales es básico en el estudio de la homotecia y se anuncia asi' (fig. 3): Toda homotecia transforma una recta s en una recta t paralela a s.

t

Fig.: 3P'

P s

p

Q’Q eO

by En la geometría proyectlva, donde no hay paralelismo, el teorema de Tales carece de sentido miemtras no se distinga la recta impropia. En esta disciplina juega un papel igualmente básico el Teorema de Desargues

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de los triángulos homológicos, y el hecho de que éste se reduce al teorema de Tales cuando el eje de la homología es la recta impropia (pues en tal caso la homología se reduce a una homotecia, Flg. 4). B'

Fig.: 4

BA'

A

C C'Precisamente por eso, recurriendo al fecundo concepto de transforma­

ción puntual se puede demostrar el teorema de Desargues partiendo del de Tales.

c. Cada nuevo avance conduce, pues, a reubicar en un contexto renovado los teoremas antiguos. Unos pocos conservan su importancia, o la aumentan, al hallar una ubicación coherente y acaso básica en las nuevas teorías. Pero son más los que quedan relegados al olvido. Por ejemplo, dado un triángulo se definen ciertos puntos vinculados con él, llamados baricentro, ortocentro, incentro, . . .; de entre ellos el único verdaderamen­te importante es el baricentro, por su significación en mecánica y porque con él se definen las coordenadas baricéntricas, eficaces herramientas en geometría y en topología. Pero ¿qué queda hoy de los olroras llamados "puntos notables" de un triángulo: de Feuerbach, de Nagel, de Gergonne, de Grebe o de Lemoine, metapolos, ¡sodinámicos, de Crelle-Bocard, de Tarry, etc.? Sus "notables" propiedades son tan ciertas hoy como hace un siglo, pero por resonantes que sean sus enunciados, todas juntas poco valen hoy frente al sencillo teorema del remoto filósofo de Mileto.

El teorema de Tales expresa una propiedad básica concerniente sólo a la incidencia y al paralelismo. Tiene un alcance y una profundidad que sólo en época reciente fueron aquilatados. Siglos de geometría pusieron el acento en el estudio detenido de propiedades y relaciones métricas muy particulares. Luego se fue notando cada vez más claramente que era preciso separar lo valioso y esencial de entre una caótica montaña de resultados irrelevantes, y así se da un valioso vuelco hacía un estudio basado en lo que es básico: el núcleo de nociones fundamentales que 25 siglos de matemática han decantado.

El proceso histórico de maduración incluye, pues, un constante retorno a las fuentes, una búsqueda activa de las estructuras más simples y fértiles.

I1i

100

¡

Pero la enseñanza de la matemática elemental (primaria y secundaria) permaneció aferrada a cánones tradicionales, ignorando esos profundos cambios. En consecuencia, si sus contenidos y enfoques eran discretamente aceptables hace un siglo, hoy resultan ridiculamente obsoletos; no dan imagen de lo que la matemática es sino que la presentan justamente como lo que no es.

d. Superar moldes parcializados y perimidos rinde dos frutos adiciona­les, a cual más valioso:

d\. Conduce -repito- a separar ¡o valioso y esencial de entre una caótica montaña de resultados irrelevantes. Se ha dicho con acierto que saber enseñar equivale en gran medida a dos cosas: saber no enseñar y enseñar a aprender. O sea: saber prescindir de lo accesorio, y a la vez capacitar al alumno, mediante adecuada ejercitación, para pensar por su cuenta y adquirir información adicional cuando le sea necesaria.

d2- La revisión operada en los últimos decenios por matemáticos creadores ha estructurado y decantado nítidamente lo esencial y más valioso. Pero a la vez provee, como hemos de ver en e, no sólo notable coherencia y unidad, sino a la vez una gran simplificación desde lo primeros pasos. Con ello los sectores accesibles a la matemática elemental quedan fundados sobre bases firmes, mucho más naturales y que —por ello mismo- dan cauces más orgánicos y más simples.

e. La modernización de la enseñanza con un enfoque conjuntista provee claridad y sencillez, contrariamente a lo que afirman sus detractores basándose en presentaciones equivocadas.

Por ejemplo el tratamiento tradicional de la semejanza lleva al absurdo y penoso camino de “definir" y estudiar primero la semejanza para triángulos, después para polígonos en general, etc., produciendo definicio­nes confusas y poco intuitivas, para conseguir a la postre definir la semejanza para una reducida clase de figuras. Esto no es racional ni coherente, y además és complicado.

Para los triángulos se exige:

isogonalidad o lados proporcionales;para polígonos en general, se exige mucho más:isogonalidad y lados proporcionales,y para poligonales, ni siquiera eso basta, como ¡lustra la figura 5.

Á'A D

B' C'

D'C F¡g.: 5B

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A veces estas incoherencias no se advierten debido a Ia superficialidad del enfoque tradicional.

En el enfoque conjuntista se cubren de una sola vez todos ios casos posibles: figuias de toda índole, rectilíneas o no. Y esto se logra por un camino mucho más natural.

¿Qué hacemos para dibujar una figura semejante a otra, o para ampliar una fotografía? Usamos respectivamente, un pantógrafo o un aparato de proyección (fig. 6). En ambos caso»; hemos aplicado una homotecia.

La homotecia H de centro O y razón r es la transformación puntual definida así:

H (A) = A' « OÍV = r. OX'Ahora bien, cuando miramos una fotografía y su ampliación seguimos

diciendo que son figuras semejantes, aunque ya no sean homotéticas. Pero se puede lograr que lo sean moviendo una de ellas. Esto nos da la pauta para definir:

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Llamaremos semejanza a toda transformación puntual que sea: o una congruencia, o una homotecia, o una composición de congruencias y homotecias.

Además de claridad, sencillez y naturalidad, se tienen estas cualidades valiosas:

1) La definición es figurativa, o sea, fácilmente visualizable: con ella el alumno está en condiciones de comprender a fondo por qué la ampliación de una fotografía es semejante a la fotografía inicial, cosa que escapa al tratamiento clásico.

2) La definición es constructiva: el alumno construye geométricamente el transformado de un punto cualquiera; realiza una auténtica actividad matemática.

f. El enfoque conjuntista aclara y simplifica, obviamente si se lo aplica bien, para lo cual hay que disipar malentendidos, prejuicios y resistencias originadas por la llamada "inercia de la rutina".

Por ejemplo, nace de un malentendido creer que el enfoque conjuntista obliga a estudiar teoría de conjuntos; son dos cosas separadas y casi independientes.

Nace de un prejuicio creer que el concepto de grupo, fundamental en la sistematización de la geometría, es de asimilación difícil en el ciclo medio. Sin duda lo sería si se pretendiera una asimilación prematura y veloz, sin suficiente motivación. Hay que partir —dice Rey Pastor— de las ideas primitivas, toscas y confusas, que ya poseen los alumnos, y encaminarlos de tal modo que ellos mismos se percaten de su imperfección contradicto­ria y demanden su perfeccionamiento. Este ha sido el camino seguido por la humanidad para crear las matemáticas, y ese mismo debe ser el método para enseñar'as. Es duro para un maestro enseñar lo que no le satisface por completo; pero la satisfacción del maestro no es el objeto de la enseñanza.

Nace de la "inercia de la rutina" creer que no tienen cabida en el ciclo medio los grupos, las transformaciones y los vectores, simplemente porque estamos habituados a verlos aparecer en un tercer nivel.

3. Desde la enseñanza hasta la educación

a. Más que en todo problema educativo, en el de la matemática urge precisar los términos. Creo que con sólo hacerlo se aclara mucho el problema y se lo ubica no sólo didácticamente, sino en toda su perspectiva humana y social.

Dice Roberto Recorder (Reflexiones sobre la enseñanza): "cabe distinguir nítidamente lo que significa "enseñar" e "instruir". Etimológica­mente el primer verbo proviene de "insignire" (L) o sea señalar, mostrar, distinguir; la palabra insignia es para nosotros sinónimo de estandarte, pendón, bandera, es decir, de algo que señala. Enseñar es mostrar, indicar

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cómo son las cosas. En cambio instruir proviene de "instruere" (L), es decir, construir".

Entonces una etapa superior a la de enseñar o mostrar es la de instruir o conducir al alumno a que construya (elementos geométricos, objetos o conceptos matemáticos en general). En estrecho vínculo con la instrucción está el adiestramiento del alumno para formular y solucionar problemas (G. Pólya elabora una especie de "teoría de los problemas" y los clasifica

. en dos grandes clases: los de resolver y los de demostrar).Tenemos ahora este esquema (fig. 7):

C Instr. Adiestr.

EnseñanzaFig.: 7

en el cual todavía no aparece la categoría más alta, la educación, pero da los medios instrumentales necesarios —aunque no suficientes— para lograr ese objetivo último.

Las flechas indican interacciones; es obvio que la manera de enseñar o mostrar debe procurar que:

1o) Aparezca la necesidad interna de formular y solucionar problemas;2o) Ello ocurra de manera natural y sin buscárselo expresamente.Esto no es siempre fácil, pero si se logra, resultan a la vez una

conceptuación y el enfoque más naturales y por lo tanto más sencillos y fecundos, y obviamente más activos.

b. Veámoslo en un ejemplo con la siguiente definición:Un poliedro se llama REGULAR si dados: una cara Cx y un vértice V,

de ella, una cara C2 y un vértice V2 de ella, existe un movimiento DEL POLIEDRO (o sea, que lo lleva en sí mismo) que lleva C! sobre C2 y lleva Vi en V2.

Esta definición es mucho más natural y sencilla que la tradicional. De ella resulta de inmediato que todo poliedro regular es convexo, que sus caras son polígonos regulares congruentes, y que son congruentes sus diedros y sus ángulos poliedros; todo esto es objeto de los primeros problemas necesarios o sea que aparecen naturalmente sin que se los busque. Tomemos ahora por ejemplo el cubo: dados la cara Ci y el vértice Vi de ella, hay 6 maneras de elegir la cara C2 y para cada una de ellas, 4 maneras de elegir el vértice V2 en C2, luego:

hay 6 X 4 = 24 movimientos del cubo.Surge solo, sin que se Io busque, el problema de hallar o describir estos

24 movimientos. Son la identidad, las rotaciones no nulas con ejes como

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ex (fig. 8) que unen centros de caras opuestas (3X3 = 9); con ejes como

Fig8 IIe3i|\ /\

\\ /

i ' /\Ie»~\~ I \I / \

I \/i- - I------V -✓ \/y \I

7

e2 que unen puntos medios de aristas opuestas (6X1= 6); con ejes como e3 que unen vértices opuestos (4X2 = 8). En total:

1 +9 + 6 + 8, osea ¡24!Ahora se presenta solo (sin que se lo busque) el problema de demostrar

que estos 24 movimientos son diferentes entre sí. A su vez este problema conduce, de manera natural, a introducir los importantes conceptos de elemento fijo y de conjunto invariante de una transformación, y obliga a usarlos.

c. Pensemos todavía:—que estos 24 movimientos forman un grupo;—que entonces es natural buscar conjuntos generadores;—que esto puede hacer en forma intuitiva y con fuerte apelación a la

imaginación geométrica;—que yendo ahora al tetraedro regular tendremos otra pléyade de

problemas similares pero diferentes;—que el estudio del grupo del icosaedro condujo a Klein a demostrar la

imposibilidad de resolver la ecuación de 5o grado por radicales;-que una pirámide regular no siempre es un poliedro regular pero

admite una definición parecida;—que esto conduce a relativizar el concepto de regularidad; etc.¡Cuan lejos estamos de la definición tradicional del poliedro regular! Esta

última muere donde nace, y deja totalmente aislado uno de los temas más hermosos de la geometría elemental, que con justa razón atrajo tanto la atención de los griegos.

f

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Cabe agregar que mientras en el plano el grupo de las rotaciones alrededor de un punto, tiene infinitos subgrupos finitos (uno para cada polígono regular) no ocurre lo mismo en el espacio: los subgrupos finitos "no planos" son solamente tres (uno para cada par de poliedros reculares duales) Son curiosas, y deben destacarse siempre, las diferencias que ocurren al cambiar la dimensión.

d Fijada la significación de la figura 7, con las interacciones entre enseñar o mostrar, ejercitar para construir (instruere) y adiestrar, hallar, formular y solucionar problemas, vemos que falta aún el aspecto superior, esencialmente finalista, que es la educación.

En el contexto de las metas de la educación señaladas en 1 .d, cabe repetir lo que dijéramos juntamente con J.E. Bosh (Enseñanza de la matemática moderna, I): "Creemos que el objeto esencial de la educación en todos los niveles consiste en contribuir a formar hombres y mujeres de nuestra época y, si es posible, del futuro inmediato: hombre y mujeres que no se sientan extraños en su propio mundo, que no se vean superados y aniquilados por una evolución cultural y social que escape totalmente a su entendimiento. Sólo así. . . lograremos que tengan acceso a la auténtica libertad cultural que es la que provee el conocimiento de sí mismo y la comprensión del mundo en que se actúa".

Esta rigurosa actualidad de espíritu es lo que falta totalmente en los programas tradicionales de matemática de la enseñanza media.

¿Cómo introducir a un joven del siglo XX en la sensibilidad de su tiempo, si se le enseña una geometría correspondiente a la cultura de la Grecia clásica, construidas con los mismos métodos y las mismas ideas que eran progresitas hace dos mil años? Para ser consecuente con este punto de vista arcaizante, debería enseñarse en el ciclo medio la antigua literatura griega exclusivamente, y no debería apartarse a los jóvenes de la frecuentación de Sófocles o Aristófanes, ni de la contemplación de las estatuas de Fidias. ... Por obvias que parezcan estas reflexiones, nadie podrá negar el hecho casi increíble de que hasta hoy se continúe enseñando en el mundo entero, con carácter excluyeme, una ciencia geométrica construida con el espíritu de una sociedad fenecida hace veinte siglos".

No cabe examinar aquí la esencial condición de actualidad cultural en la educación matemática. Limitémonos a decir que impone dos difíciles tareas. Una es el discernimiento de las corrientes más profundas y de las ideas fundamentales de la matemática. Otra más difícil aún es adaptar, conservando su espíritu, al menos algunas de esas ideas esencialmente complejas y abstractas, a la mentalidad, de un alumno del ciclo medio. Por difíciles que sean estas tareas, resultan hoy de realización ineludible.

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e. Complementando el esquema de la figura 7 tenemos ahora el de la fiaura 9.

EducaciónFig.: 9

iInstr. Adiestr.

iEnseñanza

Pero ya enseñar o mostrar, y también adiestrar sobre problemas, suponen aspectos educativos en germen. O sea, /a educación incluye ios otros aspectos. Entonces completaremos el esquema con el de la figura 10, donde las flechas ounteadas indican que la educación posibilita una visión

/iFig.: 10

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más profunda y madura de lo ya enseñado o mostrado, y un paso más penetrante a los niveles subsiguientes, incluida la educación misma (esquema de realimentación positiva del proceso).

Por ejemplo el alumno notará que el mismo símbolo H denota cinco paralelismos en la geometría elemental: de rectas, de rectas en el plano (en éste es trivial la transitividad, no así en aquél), de planos, de recta a plano, y de plano a recta (relación inversa de la precedente).

f. Si el enfoque es matemáticamente "sano" o natural, el alumno ya con alguna cultura o maduración advertirá cauces de simplificación, sistemati-

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zación y unificación. Advertirá que hay sólo tres grupos finitos tridimen­sionales de rotaciones (ver final de 3.c) y será capaz de sorprenderse oor el desigual comportamiento en 2 y 3 dimensiones. Verá con más claridad y amplitud ciertos criterios de congruencia, el concepto de semejanza (como transformación puntual y la consiguiente relación entre figuras), etc.

g. Es claro que ya no podrá enseñársele como antes división de números y de polinomios porque se sorprenderá por el parecido poniendo al profesor en un trance lastimoso si pregunta por él "cómo" y el "por qué". Hoy no hay peligro de que lo haga pues al mantenérselo matemáticamente inculto ha perdido la capacidad de sorprenderse.

Nada menos que esto es lo que urge remediar.

Preguntas formuladas al terminar la disertación

PREGUNTA: ¿Podría dar alguna idea, que a su entender fuera solución, sobre el poco interés del alumno en general por el aprendizaje de la matemática?

RESPUESTA: Creo que el escaso interés que Ud. señala se debe fundamentalmente a que el enfoque carece de naturalidad y no se explotan adecuadamente (o simplemente se ignoran) los cauces organizativos que además tienen gran poder de simplificación.

Con lo dicho está indicado el camino hacia la solución que Ud. reclama. En los puntos 2e y 3b de mi artículo señalo dos ejemplos a título de somera indicación. Pero un estudio sistemático del problema es imposible de realizar en pocas líneas (o aún en pocas páginas).

PREGUNTA. Profesor: Ud. presentólos problemas de la enseñanza de la matemática desde un punto didáctico con conceptos muy apropiados y convincentes. Pero hay un problema práctico al que no hizo alusión, acaso porque no correspondería al ciclo preparado. ¿No considera, profesor, un problema muy grave la falta de capacidad de ciertos maestros y profesores, por la brevedad de los cursos que se les dictan para capacitarlos?. Dichos docentes se deciden con sus conceptos confusos a enseñar con los nuevos enfoques y crean confusión en el alumnado, y conducen a pensar que la matemática nueva es impropia para ser enseñada en la escuela argentina.

RESPUESTA: Comparto sus observaciones y considero muy acertados sus puntos de vista. El remedio exige dos ingredientes esenciales: una actualización auténtica en la formación de maestros y profesores y la

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asignación por el Estado de los recursos necesarios para ¡mplementar una política enérgica de actualización de los docentes en servicio.

PREGUNTA: ¿En qué sentido cualquier cambio metodológico que pueda realizar ayuda al cambio que se pretende, en tanto que dichos cambios sean "parches" ya que no hay consenso general ni por parte de las autoridades ni por parte de determinados grupos de colegas que permane­cen "estancados", por así decirlo, en la época de Euclides?

RESPUESTA: No entiendo el alcance de su primera frase, o en todo caso discrepo totalmente si Ud. quiere afirmar que es muy cierto -desgraciadamente- todo cuanto Ud. dice a continuación, y no podría remediarse sin los ingredientes señalados en la respuesta anterior. Muchas acciones, incluso todo este ciclo, tienden a formar conciencia de ello.

PREGUNTA: ¿Puede un alumno de la escuela media entender la definición de poliedro regular en la forma en que Ud. la dio, teniendo en cuenta los conceptos que él adquirió, algunos de los cuales considero erróneos?

RESPUESTA: Si, como Ud. dice, el alumno adquiere conocimientos erróneos, hay que comenzar por evitar que esto ocurra. Con esta salvedad le respondo afirmativamente, y no como mera opinión sino como resultado de experiencias concluyentes, realizadas por alumnos del Profesorado dé Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, con la dirección del profesor Roberto P.J. Hernández y el suscripto, en una división de segundo año de la Escuela Cangallo gracias al apoyo —tan generoso como eficaz— de los profesores Roberto Chierico (Rector) y Olga Villaverde (entonces Directora de Estudios).

PREGUNTA: En conferencias anteriores se han calificado de "sofistica­dos'' ciertos procedimientos conjuntistas por considerar que acarrean pérdida de tiempo y se recomendó recurrir a la intuición del alumno para llegar a determinados conceptos. ¿Está Ud. de acuerdo con suprimir esos aspectos formales? Su exposición (excelente) dio a entender lo contrario.

RESPUESTA: En rigor no puedo responder a su pregunta. No sé cuáles son esos "ciertos procedimientos conjuntistas" a que Ud se refiere porque no estuve en todas las conferencias (en especial en ninguna anterior a la mía). Pero el tema en general se ha presentado con frecuencia, y con sobrada razón cuando se refiere a enfoques conjuntistas erróneos, o inútilmente sofisticados, que se originan fundamentalmente en olvidar que un enfoque conjuntivista sano es ante todo apto para aclarar, ordenar y simplificar, y es un frecuente malentendido creer que el enfoque conjuntista obliga a estudiar "teoría de conjuntos" cuando estas son dos cosas separadas y casi independientes. En cambio creo sí que es sofisticado, y por añadidura conceptualmente confuso y desorientador.

se

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"definir" y estudiar semejanza sólo de triángulos; luego, de manera diferente, semejanza de otros polígonos, nunca para otras figuras y menos aún para figuras cualesquiera. Y a la postre sin poder dar el concepto de semejanza a secas, y menos aún una definición precisa, la cual por otra parte es particularmente sencilla pero conjuntista porque se basa en el fecundo concepto de transformación geométrica.

Para más detalles en esta respuesta me remito a los puntos 2e y 2f de mi artículo.

NOTA: La necesidad de limitarse a las preguntas que tienen directa relación con el tema y la imposibilidad de considerar otras que por su amplia generalidad obligarían a desarrollos desmesuradamente largos (cada uno mayor que el artículo mismo) me lleva a responder a sólo 5 de las 20 preguntas recibidas. Pido excusas, y en otros artículos o reuniones me interesará responder a muchas de las restantes que considero de gran interés, tales como las siguientes, para indicar sólo una pocas:

— ¿Cómo enfocaría el estudio de la geometría a nivel secundario desde el punto de vista de la teoría de conjuntos?

—¿Considera oportuna la introducción de la topología en el curricu­lum secundario?

-A su juicio, ¿qué nuevos conceptos considera beneficioso introducir en la enseñanza secundaria que no contemplan los actuales planes de estudio?

—Al hablar sobre cursos de acción a desarrollar para alcanzar objeti­vos, Ud. precisó estructuras de planes y programas coherentes. ¿Son ellos coherentes en la actualidad, en Argentina?

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Claude Shannon: Matemática aplicada de alto vuelo.

Lo enseñanza de la matemática

moderna en la República

Federal de AlemaniaFranz J. MEHR

El tiempo de que dispongo para esta charla me permitirá únicamente hacer resaltar algunos de los aspectos más importantes de la

reorganización de la enseñanza de la matemática en Alemania

La reforma curricular de la enseñanza de la matemática comenzó hace ya unos 20 ó 30 años y, en cierto ruado, puede decirse que el 7 de junio de 1972 culminó al decretarse, a nivel nacional, el nuevo reglamento para la escolaridad secundaria. El 31 de di­ciembre de 1973 la conferencia de ministros de educación decretó el llamado "Convenio sobre los exámenes de bachillerato en la escuela secundaria reformada", el cual fue complementado el primero de marzo de 1975 mediante declaraciones sobre el procedimiento, el contenido y los criterios de evaluación de los exámenes en las diferentes asignaturas.

Estos datos caracterizan puntos de reposo de los vehementes esfuer­zos que dinámicos pedagogos realizaron para llevar, en el campo mate­mático, el espíritu de Bourbaki a los ámbitos escolares. La razón de ser de esta reforma trató de fundamentarse con el argumento de que nues­tro tiempo ha desarrollado formas organizativas de la vida social, econó­mica y política, las cuales son en grado sumo racionales, automatiza­das y abstractas, de tal manera que es tarea de la matemática en la escuela ejercitar a los jóvenes en el tratamiento de lo abstracto y lo formal. Naturalmente, al lado de esta motivación que provino del exte­rior (posiblemente concebida para convencer a los políticos) se encontra­ba la nueva orientación inmanente a la disciplina matemática basada en el concepto estructural introducido pdr Bourbaki. Acatando entonces las reglas fundamentales de la psicología del desarrollo de Piaget, se llevó a cabo la matematización de la "vieja matemática" escolar.

La escuela secundaria alemana fue dividida en dos niveles. En el pri­mer nivel secundario, al que pertenecen los alumnos de once a quince años de edad, se enseñan las materias álgebra I, análisis I y geometría I.

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p

En el segundo nivel secundario, alumnos de quince a# dieciocho años aprenden la segunda parte de estas disciplinas. Los nombres álgebra, análisis y geometría han sido ciertamente tomados de la vieja matemáti­ca; sin embargo su contenido satisface las nuevas exigencias de una cons­trucción estructurada.

El Algebra I comienza con la teoría elemental de conjuntos y cons­truye el reino de los números hasta el conjunto de los números raciona­les. En forma propedéutica se tratan clases de residuos, grupos, anillos y cuerpos.

En la Geometría I se introduce el vector en forma intuitiva, Un estudio sistemático de los diferentes tipos de transformaciones constitu­ye la parte central de este curso. Con ayuda de la rotación se construye además la trigonometría. También se muestran diferentes correlaciones entre el álgebra y la geometría; por ejemplo se introduce la adición en el conjunto de los números racionales por medio de la adición vectorial.

El Análisis I trabaja esencialmente las relaciones y las funciones, y de paso se realizan consideraciones elementales sobre el concepto de límite.

Antes de pasar a exponer el contenido de los planes de enseñanza de los cursos de matemáticas en el segundo nivel secundario, me gustaría informar en forma breve sobre la experiencia que obtuve al enseñar en dos escuelas superiores alemanas (Gymnasien). Alcanzar con mentes muy jóvenes las metas que se propone una enseñanza moderna de las matemá­ticas "a lo Bourbaki" es indudablemente posible. Sin embargo, muy a menudo se toman muy poco en cuenta las condiciones psicológicas fun­damentales que pertenecen a una enseñanza eficaz. Es decir, nuevos conceptos y teoremas deben ser preparados por medio de ejemplos intui­tivos tomados de la propia esfera de experiencias del alumno. En cuanto a las demostraciones, en sentido matemático riguroso, sólo deben llevarse a cabo aquéllas que puedan ser. comprensibles para el alumno y que sean necesarias desde el punto de vista de éste. Nuevas tesis deben ser prepa­radas mediante reiterados ejercicios, evitando así la monotonía. Si se desea cumplir con estas exigencias se necesita obviamente, mucho tiem­po. La experiencia me mostró que la modernización deseada sólo puede llevarse a cabo si dentro de lo "importante" uno se limita a lo "impor­tantísimo". Los textos modernos de enseñanza son todos demasiado extensos. Como maestro tiene uno que escoger mucho y permanente­mente tiene que "podar" lo escogido y adaptarlo a la situación de cada clase,

En Maguncia, en el último colegio donde enseñé, dividimos una clase en tres diferentes grupos según su nivel de conocimientos, correspondien­do la enseñanza de cada grupo a un maestro diferente. A pesar de todas

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las ventajas que este sistema trae consigo, tengo que reconocer que sólo en el mejor de los cursos pudo enseñarse matemática moderna. Al querer conservar las ya mencionadas condiciones psicológicas fundamentales, por lo general hubo que contentarse en los otros dos cursos con suavizar de vez en cuando, por medio de conceptos modernos, la metodología tradicional. Se introdujeron, por ejemplo, para la solución de ecuaciones, el uso consecuente de transformaciones de equivalencia y de conjuntos solución; y para la solución de desigualdades, la consideración de los símbolos lógicos, así como el concepto de contradicción. Debido a la falta de tiempo, en la mayoría de los casos'no pudo tratarse la trigono­metría. Esta falla trató de recuperarse mediante un curso acelerado en’el segundo nivel secundario.

Y ya que lo he mencionado, quisiera hablar ahora sobre la situación en el segundo nivel secundario. El punto fundamental es en este caso la división de los cursos de matemática en dos niveles correspondientes a los ya mencionados: existen cursos básicos y cursos de rendimiento. Indudablemente los cursos básicos representan el verdadero "niño pro­blema" del sistema, ya que a ellos asisten alumnos de bajo rendimiento en matemática y que de todos modos tienen que estudiarla. En la estructuración curricular de estos cursos se puso especial empeño, y algunas veces hasta se hizo gala de especial osadía. Ya mencioné el hecho de que la trigonometría por lo general no alcanza a estudiarse en el primer nivel secundario. Entonces, debido a que el estudio de las funciones trigonométricas no es obligatorio para los cursos básicos, sucede muy a menudo que un alumno sale de la escuela sin haber tenido jamás un disgusto ni con senos y cosenos, ni con tangentes y cotangen­tes. Por el otro lado, la estadística y los fundamentos del cálculo de probabilidades, que- no son obligatorios para los cursos de rendimiento, sí lo son para los cursos básicos. Y, efectivamente, ios alumnos de los cursos básicos parecen tener especial simpatía por un curso comprensible de estadística orientado hacia las aplicaciones. Sobre la matemática en los cursos básicos habría naturalmente mucho que decir — lo único que quisiera mencionar para finalizar este tema, es. que los alumnos de los cursos básicos no tienen que rendir una prueba de matemática para obtener su bachillerato (claro está que si quieren pueden presentar su examen).

El tiempo que me resta quisiera dedicarlo a los cursos de rendimiento, ya que allí es más bien donde se ha podido realizar todo aquello con lo que en el fondo soñaron los creadores de la didáctica de la matemática moderna.

La división de la materia a enseñar en Algebra, Análisis y Geometría,

115

se conserva también en los cursos de rendimiento. La distribución de estas asignaturas se puede extraer con facilidad del siguiente esquema:

HORAS SEMANALES<?

41 52 3

i11/1 ALGEBRA

AS/////A//ANALISIS /11/2 EAL YL

/ / y / / / / / /v712/1 GEOM ETR AV/ ttítttt

TICAANAL12/2 CURSOS l ' M| IIi I I I ' I |

13/1 GATORIOSELECTIVOS OBLII

Si se parte de que de las cuarenta semanas de clase anuales los tres cuartos se aprovechan por completo para la enseñanza, se puede decir que a cada cuadrito le corresponden más o menos 15 horas de clase.

Sobre las metas del aprendizaje (Lernziele) de las materias ubicadas en cuadritos subrayados, diré enseguida algo más. Con respecto a los cursos electivos obligatorios, el plan oficial de estudios (Curricula) pro­pone más o menos lo siguiente: Algebra Booleana. Geometría descriptiva, Ecuaciones Diferenciales, Geometrías No-Euclidianas, Matemática Numé­rica, Números Complejos, etc.

En la mayoría de estos campos los ministerios de educación de los diferentes departamentos del país ya han presentado bosquejos de los planes de enseñanza, y sobre esa base se han publicado textos escolares.

Me hubiera gustado disponer del tiempo suficiente para hablar sobre las metas de aprendizaje de uno de estos cursos electivos obligatorios, por ejemplo, la matemática numérica, puesto que en verdad ofrece un campo de enseñanza sumamente interesante y orientado hacia la práctica y además puede conducir a los alumnos a trabajos matemáticos creati­vos, siempre y cuando posean una pequeña calculadora programable. Debido a que una TI 57, por ejemplo, cuesta alrededor de 100 DM (aproximadamente $ 50.000), muchos alumnos y muchos colegios ya disponen de ellas.

116

— a -

Pasemos ahora a los cursos obligatorios: El Análisis se divide en cuatro secciones: Fundamentos, Funciones, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.

En los Fundamentos se desarrollan las propiedades básicas de los números reales. Es decir, el alumno debe saber que el conjunto de los números reales forma un grupo abeliano con respecto a la suma, y que sin el elemento cero forma un grupo abeliano con respecto a la multipli­cación, debe también conocer la definición de cuerpo y su extensión a un cuerpo ordenado completo. Además, debe ejercitarse en el método de la inducción matemática utilizando ejemplos sencillos para poder luego emplearlo cada vez que sea necesario.

Por mí mismo me di cuenta de que en una buena clase es perfecta­mente posible tratar la construcción rigurosa de la aritmética elemental, aproximadamente en la forma propuesta por Skolem ya en 1923. Uno tiene al mismo tiempo la oportunidad de llevar a cabo fructíferas discusiones sobre las relaciones entre la matemática y la lógica. Querer hablar sobre el “fundamento" de la aritmética, sería seguramente en este caso pedir demasiado, ya que ella no está construida sobre el pilar de verdades fundamentales, sino que es simplemente un esquema de reglas convenidas, pero que —como dijo Waisman— "flota como el sistema solar y no se apoya sobre nada".

La teoría de cuerpos ha debido, en realidad, ofrecerse al alumno ya en el primer nivel secundario; en caso contrario, hay que hacerlo de todos modos en este curso de Análisis, ya que sin ella no será posible el acceso al Algebra lineal. De esto hablaremos más tarde.

En el tratamiento de las Funciones el concepto de límite se encuentra naturalmente en primer plano. Para tener más tarde a disposición funcio­nes no diferenciables, se introducen, fuera de la función valor absoluto, las funciones signo y de Heavyside. El teorema fundamental de límites debe en todo caso no ser introducido mediante muchos ejemplos, sino verdaderamente demostrado.

Los nuevos planes de enseñanza ya no incluyen más una discusión muy detallada sobre la teoría de las sucesiones. Después de haberlas definido como funciones especiales, todas las consideraciones fundamen­tales sobre la convergencia pueden extraerse por los teoremas de límites de funciones. Ya que la "Epsilon-deltología" se utiliza tan a menudo, debe introducirse a tiempo el concepto de vecindad de un punto en un plano.

La parte correspondiente al Cálculo Diferencial se presenta de forma más o menos tradicional, por lo cual no diré nada al respecto y pasaré inmediatamente a hablar sobre el Cálculo Integral. Aquí hay que hacer especial mención del hecho de que la materia fue recortada para dar paso a un tratamiento teórico mucho más profundo. Es decir, en

117

primera línea se encuentra una cuidadosa introducción, aclarada sobre la base en ejemplos sencillos, de la integral de Riemann, mediante los conceptos de supremo e ínfimo, poco más o menos en la forma conoci­da:

f _n/ b f (x) d x = sup U = sup |sn | sn

f t f (x) d x = inf 0 = inf ísn i Sn = £ Mk hk}a ' I k =“ /

n hn^£ m

a

Obviamente este tratamiento implica, que por falta de tiempo, sólo pueden estudiarse las más importantes de las técnicas de integración tan estimadas antiguamente. Así, por ejemplo, la integración de funciones racionales quebradas habrá que tratarla en alguno de los cursos electivos obligatorios. (En dichos cursos también habrá que tratar las funciones exponenciales y logarítmicas, las funciones trigonométricas compuestas, etc.).

El conjunto de las primitivas de una función (integral definida), así como la función integral

l:x-H (x) — /* f (t) d t

que son introducidos y discutidos, y el teorema fundamental del cálculo integral se formula diciendo que cada función I de una función continúa f es una primitiva de f. (Y para que la parte histórica no quede sin citar, en este sitio puede mencionarse que el "teorema fundamental" fue de­mostrado ya en 1667 por el maestro de Newton, Isaac Barrow.).

Y bien. Ahora pasemos a hablar sobre el Algebra Lineal y la Geome­tría Analítica en los cursos de rendimiento. Sin exagerar, puede decirse qpe fue en estos dos campos donde más reformas se hicieron. Mientras que en los años 60 todavía se creía que mediante el tratamiento vectorial de ciertos problemas de la Geometría Analítica ya se había introducido la modernización suficiente, pronto se comprobó que, en realidad, sólo se había "embalado" más materia en los textos escolares y que al pasar

la universidad el alumno se daba cuenta tristemente de que su vector de la escuela no era vector alguno. Al querer eliminar esta grieta entre el desarrollo matemático actual de la universidad y el estancamiento en el campo matemático escolar, hubo que introducir el espacio vectorial lo más rápido posible en ios salones de clase y en los libros de enseñanza secundarios (lo que naturalmente significó que la mayoría de los docen­tes especializados tuvieran que aprender primero en cursos especiales todo aquello que debían luego enseñar a sus alumnos).

a

118

La Geometría Analítica que hasta entonces se venía enseñando era pura geometría de recetas. Junto con el nuevo nombre (hoy en día se habla de Algebra Lineal y Geometría Analítica) llegó un cambio fun­damental de los puntos de vista; esto es, el concepto de cuerpo del primer nivel secundario, fue ampliado en el segundo nivel hasta formar una teoría de espacios vectoriales y espacios de puntos. En la prepa­ración didáctica hubo (y hay todavía) dificultades en la adecuada elec­ción de modelos. Muy a menudo solía ligarse el concepto de vector al ejemplo del segmento orientado con un poco más de generalidad, a la clase de segmentos igualmente orientados entre sí. Esta reprobable restricción teórica del aprendizaje puede compararse con el padre que dice a su hijo cuando éste ve por primera vez un perro: "esto es un animal". Este niño llamará en el futuro "animal" sólo a este perro, o, en el mejor de los casos, a los perros en general polillas, águilas y cigüeñas serán OVNIS para el pobrecito —y de las cucarachas, ni hablar. ..

Yo opino que, así como el concepto correcto de "animal" se obtiene después de haber observado diferentes clases de animales, y no a diferen­tes perros, asimismo, el concepto correcto de "vector" debe señalar el fin de un desarrollo planificado. Ya en el primer nivel secundario debería prepararse si- es posible, la estructura del espacio vectorial por medio de modelos sencillos, tales como el espacio vectorial de las trasla­ciones, el espacio vectorial de las fuerzas que actúan en un punto, etc. Al final de este desarrollo pueden definirse entonces los vectores como elementos de grupos abelianos (IN ; +J los cuales son multiplicados por elementos de un cuerpo (IK ; + : ).

Mi experiencia me mostro que a los alumnos de la undécima clase (corresponde al quinto año de bachillerato) les produce mucho placer explorar el espacio vectorial. Que no se trata de consideraciones "sin sal" puede demostrarse mediante el siguiente ejemplo tomado realmente de la práctica:

Se pregunta si tres vectores dados, por ejemplo:

-2 8 6I*3 = 3a! = 5 a 2 “ — 3 Y

31 2

constituyen un sistema generatriz de R3. Para ello hay que comprobar que el cascarón lineal de los tres vectores es idéntico a )R3. Es decir, hay que demostrar la siguiente igualdad entre conjuntos:

U; = [ a i, a2, a3 ] = x I x = S k ? A k E |R1 ¡ = i

Esta igualdad se satisface, sí y sólo sí, U £ R3 y R3 C U. La demos­tración de estas dos continencias conduce a la solución de un sistema de

= |R3

119

ecuaciones lineales. En vez de resolver el sistema mediante determinan­tes, sp utiliza más bien el método de Gauss, ya que éste es el procedi­miento que se aplica en la matemática numérica.

Sólo después de un largo capítulo sobre el espacio vectorial, pasan los textos de enseñanza a tratar el espacio afín. Para ello, añadiendo dos axiomas más, se le hace corresponder al espacio vectorial de las clases de segmentos orientados en un espacio de puntos. En este espacio afín se definen entonces conjuntos sencillos de puntos, por ejemplo, rectas, segmentos de recta, planos, paralelogramos, paralelepípedos, etc. Luego se escoge un origen en el espacio afín y se introduce un sistema de coordenadas. Todo este tratamiento es completamente independiente de conceptos métricos, tales como longitud, medida de un ángulo, etc. Aquí se observa una concepción bastante rigurosa, que parte del hecho de que la introducción prematura de una métrica para el tratamiento de problemas afines (cortes, paralelismo, pertenencia de un punto a una recta, efe.) no es adecuada desde el punto de vista didáctico, ya que de esa manera más bien se oculta el verdadero contenido geométrico. El esquema de un problema típico sería en este caso:

Dados dos planos E¡ y E2 estudiar su posición relativa.

Ej: xT + X a* + p b (X, ^ e |R)

E2:x + i^c +:? [v, Z € |R)

¿Son

t.1. cP.a.Z

q;c, ct'ke'

A

t. b\ tlin, dep.?

¿Son

q -p lin. dep.?

ALV

q - P

' r

"<k\ E, I E2 E, “ff" E2 =» Ei n e2 = oEl II E2 A

Ei = E2 Ei *E2

linealmente dependientes

120

ii

Después de esta introducción al espacio afín, debería tratarse la "majestuosa culminación" del álgebra escolar alemana, a saber, la teoría de las transformaciones afines. Resulta, sin embargo, que para los alum­nos es mucho más satisfactorio dedicarse un poco a la geometría eucli- diana. Hay entonces que introducir el producto escalar (lo que hasta el momento no se había hecho).

El producto escalar se introduce primero en forma geométrica elemen­tal, y una vez que el alumno haya captado sus propiedades, se pasa a su definición en espacios vectoriales cualesquiera. En estos espacios vecto­riales euclidianos se definen luego la ortogonalidad, la longitud de un vector y la medida del ángulo entre vectores. El procedimiento a seguir corresponde aproximadamente al seguido por Santaló en su monografía titulada "Espacios Vectoriales y Geometría Analítica", publicada por el Departamento de Asuntos Científicos de la Secretaría General de la OEA.

Presentar ejemplos de espacios métricos tomados del análisis, se deja a juicio del profesor. Se puede, por ejemplo, estudiar el espacio vectorial euclidiano de las oscilaciones con período 2 u. Como es sabido, si se define en este espacio el producto escalar entre dos elementos'cuales­quiera del espacio como

< f q>; = Xff(x)g(x)dx' 7T

se obtiene i sen . eos como base ortonormal del espacio. Por mi parte, nunca llegué a tratar este tipo de ejemplos, pues me pareció más importante el estudio profundo de aquel espacio afín especial al que suele llamarse tradicionalmente espacio euclidiano. Previstos son para este caso el tratamiento de la recta y el plano y el estudio de la circunferen­cia y la esfera. La mayor parte de los antiguos problemas sobre secciones cónicas hubo que eliminarlos drásticamente por razones de tiempo, ya que para los exámenes de bachillerato se ha ido estableciendo cierto tipo de problemas orientados casi exclusivamente hacia las transformaciones afines. Quisiera ahora darles, a manera de ejemplo, uno de estos proble­mas:

-7T

Dada la transformación

T" 1 \ X ; r e |R 10fr = 1-r 2-r1) Encontrar los vectores y valores propios de la matriz de la transfor­

mación (es decir, los elementos fijos de la transformación) y mostrar que toda paralela a una recta de puntos fijos es una recta fija.

Recta fija fFixgerade) de una transformación es una recta cuya ima­gen es ella misma.

121

Recta de puntos fijos (Fixpunktgerade) es una recta fija, en la cual cada punto es imagen de sf mismo.

Ej: en la reflexión con respecto a un eje, el eje mismo es una recta de puntos fijos y cualquier perpendicular al eje de una recta fija.

2) ¿Qué tipo de transformación es o: Demostrar que a deja inva­riantes la orientación y el área.

3) Encontrar la imagen y é2 de los vectores unitarios

j

= í¿> V *=(?'é i

bajo la transformación a v determinar si son ortogonales o no.

4) Sea ET un vector ortogonal al vector a* = f M\ ti

Determinar t de tal manera que los vectores imagen a* y 6* sean ortogo­nales. ¿Para qué valores de r tiene este problema solución?

5) Escoger r = 3 y determinar la ecuación de la imagen de la circun­ferencia unitaria.

6) Demostrar que el conjunto G de las transformaciones a. forma un grupo abeliano con respecto a la operación composición de transforma­ciones. i

■

“ 1 = ar - 2Para terminar quisiera mencionar que los alumnos del segundo nivel

secundario pueden hacer los llamados "trabajos especializados". Para ello realizan durante 12 semanas una pequeña tarea, ya sea en el campo de la matemática pura o en el de la aplicada, que tienen luego que presentar en forma escrita. Para que puedan tener una ¡dea exacta del tipo de trabajos que se efectúan, les puedo mencionar algunos títulos:

"Introducción al Análisis Matemático mediante Funciones Escalona­das" o "Los Axiomas de Peano y el Sistema de los Números Naturales", como ejemplos de trabajos puramente matemático?, y como ejemplos de trabajos en matemática aplicada "Solución de una ecuación diferencial de segundo orden según el método de Euler utilizando una calculadora programable" o "Ecuaciones diferenciales aplicadas al problema del de­pósito de basuras atómicas a grandes profundidades marítimas"

La calificación de los trabajos depende de un coloquio al que debe presentarse el alumno. Estos trabajos no son obligatorios. El alumno puede hacerlo o no y, si lo hace, obtiene entonces como recompensa una nota que aumentará su promedio final. Cabe decir que más de una cuarta parte de los alumnos de cualquier curso realizan con gusto estos trabajos especializados

Si ustedes ahora me preguntasen, cuál ha sido nuestra experiencia con estos nuevos planes de estudio en el segundo nivel secundario, podría

Mostrar que ar

;

í

y

122

responderles en forma muy breve: alrededor de un 70% de los alumnos están en condiciones de asimilar y reproducir en forma más o menos activa la materia enseñada. Quizás un 10% sea capaz de pasar de la simple reproducción a un trabajo matemático propio. Esto significa que se tiene aproximadamente el mismo rendimiento que en la época de la "vieja matemática". La razón de ello es, en mi opinión, que el alumno promedio se da cuenta rápidamente que también en la llamada matemá­tica moderna pueden aprenderse trucos de cálculo y recetas, los cuales, con la suficiente dedicación garantizan un buen resultado en las pruebas. Asimismo, ésta es la razón por la cual hasta ahora no se ha presentado entre los alumnos ninguna "epidemia de neurosis matemática" —sínto­mas de lo cual sí pudieron observarse entre los padres de familia. Pero también aquí se ha calmado la tempestad: mientras que hace algunos ?ños, obras como "Teorías de Conjuntos para Padres" o "Consultor matemático para el Hogar" eran verdaderos "best sellers", hoy en día ya son rarezas en el mercado de los libros. De tal manera, yo tiendo a r: n .ncr que la nueva matemática ya se está poniendo vieja. Bueno, en una forma u otra, por lo menos en Alemania, la "New Math", donde el alumno piensa más y calcula menos, se ha impuesto y permanentemente está sometida a pequeñas intervenciones quirúrgicas que la modifican didáctica y científicamente.

123

Willy Serváis.

—

.

•7'

i:

*

Reflexiones de un profesor

de matemáticaJosé BANFI

1. El docente de matemática que por primera vez afronta la responsa­bilidad de manejar un curso de matemática es casi siempre un egresado reciente de algún instituto de formación de profesores. Tiene, pues, una fresca visión de las dificultades que debió superar para aprobar los cursos de análisis, álgebra, geometría, etc., y las consabidas disciplinas oedaaoai- cas. Cree conocer a fondo su disciplina y disponer de todas las armas necesarias para salir airoso de la aventura emprendida.

Está decidido a usar de todos esos recursos en su quehacer didáctico. Y como, por lo general, su vocación es auténtica y estima que su nivel científico y su competencia pedagógica superan a los de la mayoría de los docentes de la especialidad, no tarda en idear un minucioso plan de batalla del cual tratará de no apartarse ni un ápice. Piensa honestamente que muchos de sus colegas deben enseñarles algunas cosas interesantes a sus alumnos. Pero, naturalmente, él es de otra categoría y los alumnos no dejarían de advertir con prontitud lo profundo de su formación científica y la magnitud de su tarea docente.

En primer término, dado que era obligatorio el cumplimento de los programas vigentes, se lo haría inexorablemente, sin ninguna vacilación. Bien comprende que eso, exactamente,- es lo que se hace, punto por punto, en los libros de texto usuales. Pero él agregaría diversas observa­ciones de su cosecha, novedosas e interesantes, como para que se viera cuánto puede enseñar quien sabe cómo hacerlo; eso no le resultaría muy difícil dada la vastedad de los conocimientos que ha atesorado.

Todo se expondría minuciosa y detalladamente; se pondría máximo cuidado en la aclaración de los temas más arduos, los que provocan las mayores dudas, aquéllos cuya comprensión es más difícil. Se preocuparía por que los alumnos captasen todo lo enseñado y resolvieran multitud de ejercicios; diestramente planificados, que él corregiría con todo esme­ro; eso le parecía primordial.

Para averiguar hasta dónde se habían captado y comprendido los temas expuestos de modo de poder hacer una correcta evaluación, recu­rriría al tradicional recurso de hacer preguntas en clase y. asimismo, los alumnos expondrían sobre los temas de las lecciones anteriores; todo ello se complementaría con distintas pruebas escritas, unas muy cortas

127

casi diarias, otras conceptuales, más largas, por lo menos una por mes, en las cuáles los alumnos tendrían ocasión de demostrar cuánto habían aprendido.

Se trata, como se ve, de un plan minuciosamente preparado, honesta y concienzudamente preparado. Pero los resultados de su aplicación no respondieron ni por asomo a las esperanzas que sobre él se habían depo­sitado. „

"¿Cuál es el engranaje que no funciona? Vaya uno a saberlo , sepreguntaba angustiado nuestro profesoi Y en verdad hay que saberlo y saberlo ineludiblemente.

2. La situación tiene algo de insólita. Nuestro profesor no tarda en comprender que, de seguir así las cosas, no tardará en ingresar al círculo de los que se conforman con los resultados pocos satisfactorios que se obtienen en la enseñanza de la matemática a alumnos de 6 a 18 años, y se resiste tercamente. Tampoco quiere pertenecer al conjunto de indife­rentes que creen -o dicen creer- que poco o nada se puede hacer, que la situación no tiene remedio y que más vale dejar las cosas como están.

Por ello se pone a pensar hondamente sobre la cuestión y sus medita­ciones le llevan a la conclusión de que no todos los caminos están bloqueados y que tal vez se pudiera encontrar algo que, a la vez que resulte útil a los alumnos, les borre la angustiosa sensación que les tortu­ra de estar arando en el desierto.

3. Lo primero que comprendió es que no hay que resolver un proble­ma sino dos: uno, el problema científico de determinar el contenido básico conceptual de los temas esenciales; otro, el problema metodológi­co de decidir cómo actuar para obtener resultados concordantes con las expectativas.

4. El problema científico presenta, relativamente, menos dificultades. En el decurso del tiempo y haciendo uso de las ¡deas de los matemáticos más eminentes de todas las latitudes, la situación se ha aclarado poco a poco. Los últimos treinta años han sido el escenario de innúmeras polé­micas y de discusiones de gran envergadura entre los profesores de mate­mática que manifestaron su adhesión a la denominada "matemática tra­dicional y lo que propiciaron un cambio sustancial en los enfoques que conduce a lo que se denomina "matemática moderna". La discusión fue ardua y sin tapujos, todos lo saben. Hoy los ánimos se ha serenado y, en general, se ha concordado en una conclusión muy aleccionadora: parece poco sensato reñir para que se enseñe matemática tradicional o matemá­tica moderna; de lo que se trata es de realizar una enseñanza moderna de la matemática.

Así entendidos los hechos, la situación se vuelve coherente y resulta

128

más fácil buscar soluciones justas. Basta con proceder juiciosamente, pe­ro eso ya es más difícil. Porque, como agudamente lo señalara el doctor César A. Trejo, no todos comprenden por qué el simple teorema de Tales sigue vigente a través de los siglos y sus aplicaciones crecen sin cesar, eri tanto que han desaparecido muchas cuestiones otrora considera­das fundamentales y de las cuales no resulta riesgoso afirmar que deben estar durmiendo su sueño eterno en el cementerio de los conocimientos científicos. Hechos como éstos no pueden dejarse a un lado en ningún intento serio de planificación.

Nuestro tiempo ha contemplado el hecho de que, auspiciosamente, en los congresos y conferencias sobre enseñanza de la matemática no se han escamoteado cuestiones y las diversas divergencias se han expuesto clara­mente, a veces hasta con rudeza. Fue la única manera de llegar a una solución que, hoy se lo comprende cabalmente, reside en haber concor­dado en un conjunto de ¡deas para estructurar planes de estudio relativa­mente satisfactorios. Esta concordancia parecería abarcar los siguientes puntos:

1. Los planes y programas tenderán a considerar a la matemática co­mo una unidad elaborada a partir de conceptos fundamentales, como los de conjunto, relación y función, y de estructuras fundamentales, como las de grupo, ajiillo, cuerpo y espacio vectorial.

2. El simbolismo moderno se adoptará gradualmente, en forma cohe­rente y progresiva. Resulta interesante comprobar que los nuevos alum­nos, no familiarizados con la enseñanza tradicional, han tenido menos inconvenientes para aceptar el simbolismo moderno que sus compañeros habituados a la antigua notación.

3. Se asignará creciente importancia a las representaciones gráficas. Sobre este punto el consenso es bastante general por tratarse de una actividad que satisface a los alumnos.

4. Se eliminará la enseñanza de muchos temas anticuados del álgebra y la geometría tradicionales y se modificará sustancialmente la forma de enseñar la geometría.

5. En algunos países se auspicia la introducción de temas de análisis y, especialmente, de cálculo infinitesimal en los cursos secundarios supe­riores, no rigurosamente sino en forma intutitiva y concreta. Esto, por supuesto, sólo se podrá intentar en algunos lugares; en otros sería impo­sible porque el tiempo de que se dispone resulta obviamente necesario para ocuparse de otras cuestiones elementales más apremiantes.

6. Parecería necesario comenzar a tratar algunas cuestiones de proba bilidad y estadística, incluso en la escuela primaria, mediante ejemplos muy simples que permitan comprender las ¡deas mediante las cuales se podrán enfocar algunos espacios muéstrales desde el punto de vista con- juntista en los últimos cursos secundarios. Esto sería de muy fácil reali-

129

zación, no habría dificultades insuperables y se aprendería a manejar ¡deas muy importantes y útiles.

7. Se tendrá en cuenta el empleo de todo tipo de computadoras tra­tando de que su uso —cuya generalización nadie podrá impedir— resulte útil para la formación de los alumnos. Oponerse a su empleo parecería descabellado e inútil; el doctor Luis A. Santaló ha señalado con claridad muchas de las razones de todo tipo que aconsejan usar esta nueva y potente herramienta.

5. El problema metodológico es, ya lo hemos dicho, mucho más com­plejo y todavía no se han podido hallar soluciones que satisfagan a la mayoría no obstante los denodados esfuerzos realizados entre los cuales merecen citarse muy especialmente las actividades de los Congresos In­ternacionales sobre Enseñanza de la Matemática de Lyon (1969), Exeter (1972) y Karlsruhe (197b) a los que acudieron pléyades de matemáticos y pedagogos de todo el mundo esperanzados en obtener conclusiones valederas que incidieran positivamente en la enseñanza futura de la mate­mática.

A nuestro entender, los mayores escollos no residen esencialmente en la’ enseñanza misma de la matemática—o de cualquier otra asignatura- sino en otras circunstancias gravísimas que afectan la labor escolar. Estas circunstancias están íntimamente relacionadas con la sociedad a que per­tenece el alumno y éste las debe enfrentar tanto en la escuela cuanto en su medio social. Estos hechos lo ubican en medio de situaciones muy indeseables e inconvenientes para la consecución de los objetivos, que de él se pretenden en cualquier asignatura y, por supuesto, en la matemáti­ca.

Nos referimos a hechos como los siguientes. Desde sus primefos bal­buceos escolares y especialmente desde el momento en que se vuelve capaz de efectuar sus primeras ref.u.xiones de importancia, el alumno comprueba, perplejo y casi podríamos decir anonadado, que, tanto en la escuela a que concurre diariamente cuando en su ámbito familiar e inclu­so en la sociedad en que está inmerso, se le está inculcando una moral que ve trasgedir ante sus propios ojos por los mismos que le están aconsejando. Acaso no valga la pena discutir sobre la casi inimaginable monstruosidad de este hecho, pero, sí, no podemos menos que ocupar­nos de la nociva influencia que ejerce sobre la mente del estudiante, el cual para colmo de males, puede comprobar que los trasgresores logran el éxito buscado y avanzan en la escala social en tanto que los que cumplen escrupulosamente los principios morales tropiezan a menudo

muchas dificultades en el camino de su realización. No sostenemos, ni mucho menos, que corresponda cambiar la moral, lo que sí sostene­mos es que el educador, al actuar en una sociedad que muchas veces no castiga a quienes infringen sus reglas morales, se encuentra inerme y sin saber qué táctica adoptar pues la misma sociedad no le aporta

con

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luciones y parece ajena a la cuestión. El resultado es un sugestivo fracaso que ha provocado el auge de la delicuencia infantil y juvenil, verdaderas lacras que azotan a la humanidad. Como quiera que sea, no se podrá negar la nefasta influencia de la cuestión planteada en el ámbi­to escolar y la precariedad de recursos de los educadores para intentar enfrentarla con alguna posibilidad de éxito.

Anotada esta circunstancia, nos ocuparemos ahora de otro problema de máxima gravitación en la enseñanza de la matemática: la poca predis- posicón de muchos alumnos por el aprendizaje de temas con ella relacio­nados. Se ha sostenido, quizás razonablemente, que ello sé debe a la mala enseñanza ofrecida a los alumnos en sus primeros escarceos iimte­máticos. Parecería que los docentes encargados de esa misión no han estado, pese a sus esfuerzos, en condiciones de cumplirla eficientemente.

Hacia los años treinta la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria argentina estuvo en manos de profesores de la especialidad egresados de institutos nacionales de formación de profesores, de universi­tarios de todo tipo, especialmente ingenieros, de maestros y de otras personas de buena voluntad improvisadas sobre la marcha. Se enseñaba a la clásica manera tradicional con la consabida exposición del maestro y las lecciones de los alumnos, todo ello complementado por multitud de ejercicios de aplicación tendientes a que los alumnos adquirieran cierta destreza la cual, infortunadamente, en general casi siempre desaparecía como por encanto al término del curso. De matemática verdadera lamen­tablemente no se aprendía mucho ni salvo honrosas excepciones, se tenía conciencia clara de si lo que se hacía contribuía a mejorar en algo la formación intelectual de los alumnos. Lo esencial era cumplir los programas, y aun cuando no faltaron voces premonitorias que señalaron abiertamente los errores que se estaban cometiendo que irremisiblemente conducían a un fracaso total, no se las consideró dignas de crédito v se continuó andando los caminos tradicionalmente considerados normales.

6. La cuestión se agravó al ocurrir un hecho que, por otra parte, era muy auspicioso en muchos sentidos: la denominada democratización de la enseñanza. Con ella se produce el ingreso a las aulas secundarias de oleadas de jóvenes que, infortunadamente, carecían de la preparación imprescindible para abordar ese tipo de estudios. A decir verdad muchos de ellos habían concluido a regañadientes la escolaridad primaria y ni ellos ni sus familiares veían para qué continuar estudiando cosas que les resultarían innecesarias en el ámbito laboral al cual se creían destinados.

Estos alumnos, por supuesto, diferían bastante de los antiguos alum­nos secundarios habituados a estudiar voluntaria o forzadamente y que estában acostumbrados al control famiHar que hacía cumplir es­crupulosamente todas las obligaciones escolares. La cosa era bastante distinta con estos nuevos alumnos que no se avenían tan fácilmente a la

131

disciplina escolar ni a los muchos profesores que ahora reemplazaban al maestro de grado, cada uno con su peculiaridad y con sus exigencias.

La imaginación debió prodigarse v hubo aue valerse de bastante inge­nio para crear algunas situaciones atrayentes y útiles para los jóvenes. No era tanto cuestión de enseñar matemática cuanto de crear cierto apego hacia ella. En matemática esto resultaba más difícil que en otras mate­rias porque eran legión los jóvenes que se complacían en manifestar: "De matemática no quiero oir ni hablar".

Así eran las cosas y necio hubiera sido no advertirlo y no tratar de hallar las debidas soluciones. Al respecto me permitiré recordar lo ocurri­do con un viejo y prestigioso docente; creo que se trata de un hecho muy esclarecedor.

En un colegio secundario cuya dirección ejercía fue reincorporado un profesor de matemática que, por razones políticas, había estado alejado de su profesión durante varios años. A la semana de su retorno a las aulas llegó cariacontecido a mi despacho y me expresó su desazón por la deficiente preparación de los alumnos. Lo hizo en términos muy elo­cuentes: "Esto es un desastre. Aquí es imposible enseñar y yo estoy demás. Me voy a mi casa y san-se-acabó".

La situación era grave. Conocía muy bien al profesor y sabía de la absoluta responsabilidad de su desempeño. El viejo luchador estaba muy herido, pero nosotros no podíamos cometer la tontería de quedarnos sin un colaborador de su categoría.

Me decidí a tomar el toro por las astas, y le hablé a calzón quitado. Le manifesté que a mí manera de ver la situación era irreversible y que era ingenuo pensar que podría volver a profesar en cursos como los de antaño por lo cual me parecía inútil lamentarse. Los alumnos actuales eran muy distintos y déb'íémos tomar las cosas como eran, no como quisiéramos que fuesen. Además, para evitar el desastre todos debíamos poner el nombro. Le dije pues/que su deber era retornar a sus clases porque, a lo que sabía, un buen general no abandonaba nunca a sus tropas en el fragor de las batallas. Y que, programas aparte, actuara como se lo indicaba su criterio de educador. Hice todas las argumenta­ciones imaginables, consciente de que él no las ignoraba y de que, por una peculiaridad de su mente, gustaba de que otro se las refrescara. No sé hasta dónde pudieron convencerlo mis palabras pero lo cierto es que me escuchaba muy atentamente, tanto que por un instante pensé que el viejo zorro me estaba auscultando. Lo cierto es que lo conminé de nuevo a que volviera a sus clases, quizás con cierta brusquedad. Entonces bajó la guardia poco a poco, cubriéndose las espaldas,' me dijo socarróna- mente con su parla característica: "Volveré, "Dire", para darle el gusto. Pero ya verá que no valía la pena gastar pólvora en chimangos".

Al final del año lectivo se lo veía jubiloso. Siempre estaba rodeado

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por sus alumnos que lo acribillaban con las preguntas más insólitas de matemática o de cualquier otro aspecto del espectro cultural. Cierto día, al término de las tareas, me expresó alborozado y casi rejuvenecido: "Ganamos, "Dire", ganamos. Al principio me costó mucho, pero los fui domesticando de a poco; hay creo que ya son alumnos macanudos que no han de fracasar en el futuro, de eso estoy seguro. Por eso, "Dire", estoy tan contento. Además me cabe ‘la alegría de que nunca como en esta oportunidad he podido influir tanto en la mentalidad de mis alum­nos, los que, además, me enseñaron que es injusto desconfiar de ellos".

Me gustaría que el viejo y querido maestro, como le gustaba que lo llamáran supiera que a él le debo uno de los más bellos recuerdos de mi largo periplo por las escuelas secundarias argentinas. Y también que yo sabía de antemano que él nunca habría de abandonar a sus alumnos.

¿Cuánto avanzaríamos de poder contar con muchos, educadores de su alcurnia? Sin duda, mucho.

7. Encaremos ahora otro de los problemas suscitados por la democra­tización de la enseñanza, el de la absoluta escasez de profesores especiali­zados. La precariedad de los sueldos de los docentes había determinado el alejamiento de muchos de ellos hacia actividades más lucrativas y los que quedaban eran notoriamente insuficientes para la gran cantidad de alumnos que debían ser atendidos. Era, pues, una cuestión crítica que hubo que resolver de la mejor manera posible. Lo crucial de la emergen­cia obligó de nuevo a recurrir a maestros primarios, a toda clase de universitarios y a muchas otras personas que no aportaban mucho más que buena voluntad.

Los maestros de escuela primaria —generalmente maestras— carecían de toda formación especializada pero tenían mucha buena voluntad y por ello recurrieron a los comunes libros de texto que frecuentaron a la par de sus alumnos, a algunos de los cuales les resutaba fácil advertir su escaso bagaje matemático y los errores en que incurrían. Pero, paulatina­mente, fueron adquiriendo experiencia, y aun cuando la matemática con­ceptual les estaba casi vedada, tenían, por lo menos, indudable concien­cia de educadores y supieron inculcar a los alumnos muchas nociones de orden proligidad y constancia en el trabajo, y eso ya es algo.

Lo ocuiriao con los ingenieros que en esa época ingresaron a la escuela secundaria es harina de otro costal. Llegaron a la docencia im­buidos de un sentimiento de superioridad con respecto a los demás docentes que, en verdad, no sabríamos a qué atribuir. En general, su actuación consistió en atribular a los alumnos con retahilas de propieda­des y teoremas y en llenar los pizarrones con multitud de fórmulas complicadas que a los alumnos parecían misteriosas y sin sentido. Los resultados fueron sencillamente calamitosos, no podría ser de otra mane-

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ra. Algunos alumnos confesaban a todo aquel que quisiera oirle: "El profesor de matemática sabe mucho, debe ser un bocho pero vo no lo entiendo *. Otros aceptaban resignadamente: "¿Qué quiere que le diga? No hay nada qué hacer; yo no nací para la rratemática y por eso soy incapaz de oemprender para qué me servirán tantas fórmulas cuyo signi­ficado se me escapa por completo'? El profesor casi siempre era el último en entender la situación y continuaba impertérrito su camino sin descubrir su orfandad metodológica para resolver los problemas educati­vos. Si se le hablaba de metodología no eran secretas sus manifestacio­nes. "No sé para qué me voy a ocupar de esas paparruchas. A mí, con lo que sé me sobra paño para hacer lo que corresponde.-Que los alumnos estudien si quieren, sino, allá ellos! Algunos alumnos opinaban descora- zonadamente: "Dios nos ampare ante el profesor de matemática que nos tocó en suerte! Debe estar loco y nos va a refundir a todos". En efecto, muchos de esos profesores dejaban un tendal de aplazados; otros, más astutos, pero no menos reprobables, aprobaban a los alumnos que nada conocían de lo que se pretendía que conocieran; en uno y en otro caso, la verdadera matemática había permanecido, por supuesto, ajena a la cues­tión.

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Quiero hacer un paréntesis para dejar establecido que siempre hubo excelentes profesores de matemática en la escuela secundaria argentina y que los recuerdan entrañablemente las sucesivas generaciones de estu­diantes que disfrutaron de sus lecciones que tanto influyeron en la for­mación de su personalidad. Casi en todos los colegios secundarios hubo alguno y como sería imposible mencionarlos a todos citaremos tan sólo al profesor Felipe A. Fernández que hace varias décadas magnetizaba a sus alumnos del Colegio Nacional "Mariano Moreno" de la ciudad de Buenos Aires. Sea su nombre el símbolo del homenaje que queremos rendir a todos aquellos esforzados educadores que, como él, intuyeron la conveniencia de humanizar la enseñanza de la matemática.

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Hoy parece que la situación mejora de a poco. Los maestros que ingresaron en la escuela secundaria han tratado de mejorar todo lo que pudieron el nivel de su caudal matemático y han llegado a ser bastante útiles. Muchos de los universitarios a que se había recurrido, desalenta­dos por los bajos emolumentos de los docentes, se alejaron de sus cáte­dras secundarias para dedicarse de lleno a su profesión específica. Fue­ron reemplazados por egresados de los muchos institutos de profesorado, oficiales y privados que se han creado en todo el país. A nuestro enten­der, no todas esas instituciones se pueden considerar como de primera categoría. Pero su labor es aceptable, y en muchos casos sus egresados han actuado con mucha eficiencia. No escasean los que se dan cuenta de las falencias de su formación que intentan remediar capacitán­dose para cumplir honrosamente su cometido. Son muy voluntariosos y

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tenaces y el porvenir les pertenece. Confiamos plenamente en ellos y si valiera nuestro consejo les indicaríamos que se inspiren directamente en las fuentes del conocimiento original no siempre fielmente interpretado por los divulgadores. La lectura de las obras didácticas de J. Piaget, Z.P. Dienes, G. Polyá, H. Freudentha!, W. Serváis, A.Z. Kryqowska, E. Biggs, E. Williams, A. Revuz, T.J. Fletcher, W.W. Sawyer, entre otros, siempre será esclarecedora para quienes deseen tener una visión moderna de la enseñanza de la matemática.

8. Otra circunstancia que de ningún modo puede ser dejada a un lado por los docentes es la siguiente: todo alumno tiene predisposiciones naturales que, en general, no se inclinan hacia la matemática. No es ésta la oportunidad para analizar exhaustivamente estas cuestiones, pero es indispensable señalar desde ahora que no parece muy prudente acordar el mismo tratamiento a todos los alumnos. Algunos podrían aprender matemática casi sin ninguna ayuda; otros sólo captarán algunos concep­tos si se les dispensa máxima atención y se consigue crearles cierto interés por la matemática.

Para meternos en el problema no habrá más remedio que responder a esta pregunta: ¿Tenemos el derecho de inculcar en los alumnos una extensa gama de conocimientos que, claramente, no desean recibir y que, en verdad, no sería nada fácil demostrar que todos han de serles de alguna utilidad en el futuro?

Un ejemplo aclarará convenientemente nuestro pensamiento. Parece­ría razonable que los alumnos aprendan a sacar factor común con toda facilidad; creemos también que les resultará muy útil transformar en producto una diferencia de cuadrados; admitimos, en fin, que se pueda pretender que los alumnos se familiaricen con la transformación en pro­ducto de los ti momios de segundo grado, en especial de ¡os trinomios cuadrados perfectos. Pero, por ejemplo, nos parecería insensato martiri­zarlos con los cuatrimonios cubos perfectos que no verá nunca más en su vida por muchos libros de matemática que se le antoje consultar.

9. De todo lo expuesto se infiere que no ha de resultar imposible redactar planes de estudio suficientemente aceptables. Pero habrá que tener mucho ciudado en eliminar todos los temas no esenciales y los que queden no se impondrán indiscriminadamente a todos los alumnos. Las cuestiones delicadas constituirán la preocupación dé los alumnos sobresa­lientes; nos esforzaremos por lograr que el resto capte, por lo menos, los temas fundamentales y los aplique a la resolución de problemas juciosa- mente elegidos de modo de estimular su atención y despertar su interés.

10. Se argüirá que esto no basta, que la universidad quiere jóvenes que sepan manejar correctamente el arsenal de conocimientos incluidos en un programa secundario de matemática científicamente completo.

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Pero téngase siempre presente que la universidad no tiene mucho que ver con la escuela secundaria; de ésta última egresarán algunos alumnos que llenarán aquel requisito y otros que no lo llenarán. La finalidad de la escuela secundaria no es, por cierto, formar alumnos para la universidad sino lograr que sus alumnos conozcan los conceptos fundamentales de las diversas disciplinas y los apliquen coherentemente en las situacio­nes que deban enfrentar. Si esto basta a la universidad, tanto mejor; si asf no fuere, a ella le corresponde buscar sus propias soluciones que, naturamente, son ajenas al ámbito secundario. Lo que debe interesar a la universidad es que a ella ingresen jóvenes que sepan razonar correcta­mente; las destrezas, que tanto parecen preocupar a algunos universita­rios, son de importancia mucho menor y se las puede adquirir en un lapso bastante breve si se dan las condiciones que hemos señalado.

11. He aquí' otra interesante cuestión digna de ser meditada. Es nece­sario que la mayoría de los alumnos alcance por lo menos un progreso mínimo en matemática al final de todo año lectivo; sería anormal y contraproducente que sólo progrese una minoría.

El éxito no se obtiene tanto por la cantidad de conocimientos trasmi­tidos cuanto por la calidad del alumno que se forma; creemos que para no fracasar hay que conocer algo de las cuestiones psicológicas. Por supuesto, el problema es arduo y eso obliga muchas veces a trabajar con ritmo lento sensiblemente opuesto a la obligación de cumplir los progra­mas, los cuales, por lo general, son desmesuradamente largos en nuestro p3Ís. Entonces no se puede hacer otra cosa, lo repetimos, que analizar­los concienzudamente, tratar muy sucintamente los temas no fundamen­tales y recalcar la importancia de estos últimos. Hay que seleccionar, sintetizar y manejar el curso de manera de lograr máxima asimilación con mínimo esfuerzo. No se descuidarán las finalidades generales y se las alcanzará con los métodos pedagógicos adecuados; esto acaso sea de más importancia que el cumplimiento de los programas.

No se olvide nunca que siempre es preferible un buen maestro con un programa deficiente que uno malo con un programa sobresaliente. Infor­tunadamente, no es nada fácil de lograr la conjunción de buen maestro y buen programa.

Para intentar conseguirlo es esencial que el maestro goce de entera libertad para organizar su tarea. En matemática, sería insensato pretender que lo demuestre todo y es conveniente qúe pueda admitir sin demostración las propiedades que se enuncian en muchos teoremas, pero lo ha de informar honestamente a los alumnos. Si aún así todavía le escasea el tiempo, como ya lo expresamos más arriba, tendrá que eliminar criteriosamente todos los temas menos esenciales, porque si >| programa no se puede cumplir en el tiempo de que se dispone, la.

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culpa no es ciertamente del docente y éste debe adoptar la resolución que más convenga a los alumnos. Por eso el maestro tiene que actuar de acuerdo con su conciencia porque, en última instancia su obligación es estar al servicio del alumno enseñándole lo fundamental y prescindiendo de lo accesorio para que el aprendizaje sea suficiente. Por fortuna, los docentes argentinos casi siempre han estado a la altura de su deber.

De proceder asf acaso se obtenga e1 mejor rendimiento* de los alum­nos y se aprovechen sus mejores cualidades. Sería mucho mejor, claro está, si se contara con programas breves y orgánicos que respetaran y garantizaran la libertad del docente y lo orientaran con fundamentos y orientaciones adecuadas.

11. Un aspecto insoslayable, quizás el de máxima importancia, es el que se refiere a los problemas. Recuérdese siempre que la esencial de la actividad matemática no es el enunciado de propiedades ni la demostra­ción de- teoremas ni siquiera la introducción de un sinnúmero de nocio­nes técnicas que quizás nunca se usen sino el planteo, la investigación y ¡a resolución de problemas. La mera posesión de información es de escaso valor en el quehacer matemático. Saber matemática, lo ha dicho M. Dumont, significa ser capaz de hacer matemática, esto es, la matemática no se aprende, se hace. De ahí surge la importancia de que el alumno se acostumbre a determinar las incógnitas, a plantear las ecuaciones, a resol­verlas, a discutirlas.

Es indudable que se puede hacer matemática desde otros puntos de vista, pero la resolución de problemas es la actividad matemática funda­mental. "La resolución de problemas es el tipo más característico y peculiar del pensamiento voluntario", escribió W James. "Los problemas resueltos pueden considerarse como la realización específica de la inteli­gencia y la inteligencia es la dote específica de la humanidad", son palabras de G. Polya, uno de los matemáticos que más hondamente han calado en esa cuestión y cuyas reflexiones siempre serán una valiosa ayuda para el docente.

Si logramos que los problemas y situaciones planteadas se refieran al entorno que nos rodea, tanto mejor porque el interés de los alumnos se acrecentará y verán que la tan vapuleada matemática les sirve para algo, su significación cultural aparte. Por ello y sin descuidar, ni mucho me­nos, el aspecto teórico, se deberá buscar la integración de la matemática con las demás ciencias y con otras manifestaciones de la vida diaria.

72. Todo lo dicho no quiere ocultar la complejidad del problema de la ejercitación, el cual, a nuestro entender, no ha sido del todo bien resuelto en la mayoría de los libros de texto usuales, sino señalar la magnitud de la tarea. Lo que, a nuestro criterio, no se ha entendido bien es la inutilidad del intento de solución que consiste en hacer seguir a cada tema por una interminable serie de ejercicios, casi nunca originales

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y casi siempre tediosos, que al alumno no le interesan en lo más mínimo y de los cuales no se ocupará a menos que se vea obligado a hacerlo por causas coercitivas a las cuales no pueda oponerse.

Quiennuiera nue intente comprobar lo dicho encontrará innumera­bles ejemplos en los textos. Citaré el caso de uno de ellos de tercer año/ para alumnos, no para profesores, que tomamos al azar, aun cuando la comprobación también se podría hacer en muchos otros. En él figuran, con cuidada numeración, más de doscientos ejercicios con operaciones algebraicas, otros tantos de factoreo, más o menos el mismo número de operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias, centenar v medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita y decenas de proble­mas de aplicación de las mismas, algo análogo con respecto a la resolu­ción de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas y los problemas relativos. ¿Quién no comprenderá que la mayoría de los alumnos naufrague ante este maremagnum de ejercicios, que el pánico cunda muy pronto entre ellos y que se sientan dispuestos a odiar a la matemática?

En los libros no escasean, pues, ni los ejercicios ni los problemas; acaso sus autores hayan tratado de graduar cuidadosamente sus dificulta­des P°ro será tarea ímproba lograr que los alumnos se sientan dispuestos a resolverlos. Algunos docentes creen ingenuamente haber hallado la so­lución resolviendo algunos de los ejercicios en el pizarrón y dando, como deberes diarios, la resolución de otras varias docenas con lo cual lo que se logra casi siempre es proporcionar trabajo a padres, hermamos y ami­gos del alumno sin real provecho para nadie; lo que sí casi seguramente se conseguirá es que el odio que algunos alumnos sienten por la matemá­tica se transmita a sus familiares.

13. Entonces, ¿qué hacer? Por lo pronto preocuparse, y preocuparse bastante porque los alumnos comienzan odiando a la matemática y concluyen odiando a quien le enseña esa matemática.

Bueno será, pues, poner las barbas en remojo y tratar de que, por lo menos, las cosas no lleguen a mayores.

Obtener un remedio eficaz no es nada fácil, pero la solución tiene mucho que ver con el tratamiento que el profesor dispensa a sus alum­nos y, por tanto, por los métodos que emplea para desarrollar su tarea.

Muchos docentes emplean el método expositivo.Les parece más brillante y les permite andar más rápido cometiendo

menos errores. Todavía hay docentes que subdividen a la clase en un principio, destinado a calificar a los alumnos sobre los temas ya explicados en clase —la clásica "lección del día"— un medio, para que el profesor exponga los temas nuevos, y un fin, para el repaso de lo expuesto. Así ordenada la tarea, la exposición resultará clara y fluida siempre que se sepa atraer la atención de los alumnos mediante preguntas hábilmente

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escalonadas. Los resultados pueden satisfacernos a veces. Pero lo que aplicado en una clase puede ser útil ya no lo es si se generaliza en todo un curso; será muy común que el tedio aparezca y que algunos alumnos se dediquen a pensar sobre cualquier otra cosa en la clase de matemática a menos que se lo impida una disciplina regimentada.

Habrá pues que buscar una solución más eficaz y no olvidar que une cosa es la atención forzada de los alumnos y otra, muy distinta, que se interesen por las cuestiones que se les presenten.

Sostenemos que el método expositivo debe ser dejado a un lado y ser reemplazado por el método activo. El alumno debe ser el actor principal, sea cuando, individualmente o en equipo, trabaja en su cuaderno de notas, sea cuando está el el pizarrón. La función del docente adquiere entonces singular relevancia: debe orientar, aconsejar, corregir errores. Será una clase mucho más desordenada y bulliciosa, pero también mu­cho más viva. Función del docente es darse maña para ordenar ese pequeño caos moviendo los títeres con firmeza y naturalidad. Los alum­nos siempre serán los actores, el profesor será más bien el director de escena que se preocupa por los detalles significativos, no por las nimieda­des, del espectáculo tratando de que su presencia pase lo más inadvertida posible. Para ello no escatimará ninguno de los recursos que haya ateso­rado. Por ejemplo, si un alumno se queja porque una figura no ha resultado muy perfecta, tratará de calmarlo y le recordará que con acier­to se ha dicho que "la geometría es el arte de razonar bien sobre las figuras mal hechas y le hará ver que con figuras aparentemente bien hechas se puede demostrar cualquier cosa, verdadera o falsa., si en el desarrollo conceptual se introducen razonamientos espúreos que pueden pasar inadvertidos o si se aplica incorrectamente una propiedad.

No estaría de más señalar a los docentes la inconveniencia de conver­tirse en obreros de la tiza, esto es, en actores. No es tan imposible como parece en un primer momento y además nos ayuda a lograr que los alumnos expongan sus conocimientos, expresen sus dudas y cometan errores cuya corrección ha de influir positivamente en ios resultados.

14. Nos parece bien que se asigne mucha importancia al léxico, tanto del profesor cuanto al de los alumnos. Pero es preciso evitar las exagera­ciones y tenfif siempre en cuenta que el léxico es esencialmente una herramienta para la construcción y elaboración de los conceptos y que lo que se intenta lograr lo más rápidamente posible es una comprensión adecuada de las nociones y cierta capacidad para la abstracción. La introducción prematura de una terminología abstracta no deviene en una mayor claridad de la exposición y más bien suena a pedantería del docente. ¿O se creerá que hablar del cardinal de un conjunto es más preciso que hablar del número de sus elementos. Si se lo hiciere para

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Iemplear términos de matemática moderna, sentiri'amos la tentación de creer que muy poco se entiende acerca de lo que es la matemática.

Parece indispensable, pues, la eliminación del lenguaje ampuloso y confuso. H. Poincaré cita el caso de un maestro de escuela primaria que había dictado a sus pequeños elumnos la definición de circunferencia como conjunto de puntos de un plano equidistantes de otro punto del mismo denominado centro, y que al concluir les preguntó si habían entendido, obteniendo de todos una respuesta negativa. Un poco moles­to se dirigió al pizarrón y dibujó una circunferencia tras de lo cual volvió a repetir la pregunta anterior," ¡Áh! —respondió un alumno- Ud. quiso decirnos que la circunferencia es un redondel. Nos lo hubiera dicho de entrada y no hubiera habido dificultades". ¿Quién no com­prenderá que, además de ser sencillo y preciso, el lenguaje debe adaptar­se a la edad mental de los alumnos. Olvidarlo ¿no equivale a fabricar condiciones para el fracaso?

15. El profesor debe tener absoluta seguridad acerca de la forma de enfocar el problema de las definiciones. Imaginemos que deba referirse a la división de un segmento en media y extrema razón. Puede, por su­puesto —y así se lo ha hecho a menudo— comenzar dictando la conocida definición: "Dividir un segmento en media y extrema razón significa determinar un punto tal que el segmento mayor de los determinados sea medio proporcional entre el segmento dado y el segmento menor", y seguir, luego de la escritura simbólica, con la construcción conocida. ¿Cuál será la reacción de los alumnos. Es probable que la mayoría piense: "Y a mi eso qué me importa"; y se dedique a pensar en los espectáculos cinematrográficos o deportivos del próximo fin de semana. No quede ninguna duda de que proceder como se ha indicado más arriba será simplemente desastroso.

Pero el profesor puede tener la habilidad de comenzar informando a los alumnos que se referirá a! "número de oró", expresión ya usada por los antiguos para designar al segmento mayor. Podría señalar que al visitar las ciudades europeas llama la atención que las aberturas de los edificios no sean arbitrarias sino que estén íntimamente vinculadas con el número de oro por lo cual, resultan tan armónicas y gratas a la vista. Y recordará que un libro tan famoso como "La divina proporción" de Lúea Pacioli se ocupa constantemente de él. Tal vez así fuera posible despertar la curiosidad de los alumnos y de ahí al deseo de saber cómo se lo puede construir no media mucho trecho. Esta forma de proceder seguramente será para los alumnos más atrayente que la circunstancia de que se emplee al segmento áureo para la inscripción del pentágono re- gualar que es la causa determinante de su inclusión en algunos progra­mas.

Lo que, al fin y a la postre, deberá comprenderse es que se necesitan

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muy pocas definiciones matemáticas y que sólo deben introducirse cuan­do lo requieran las circunstancias. Al comienzo se prescindirá de ellas todo lo que se pueda y se enseñarán las cosas concretamente; a la abstracción se llegará más adelante, progresivamente y sin ninguna prisa.

16. De lo dicho surge una conclusión ineludible: al comenzar no se asignará excesivo valor a los juicios formales rigurosos. En un libro de texto, leemos, por ejemplo: "Llamaremos relación R del conjunto A en el conjunto B a todo conjunto formado por pares ordenados que tienen por primera componente a algún elemento de B. El conjunto A se llama conjunto de partida y el B conjunto de llegada". No objetamos la inclu­sión de esta definición en un texto; lejos de ello, allf no puede faltar. No objetamos tampoco que el docente la analice y trate de que los alumnos la comprendan. Pero nada mas, de ahí a pretender que los alumnos la repitan cada vez que se la solicite inedia un trecho enorme, casi imposible de suoerar.

La prudencia siempre será buena consejera del docente y debe ir acompañada por el tacto más delicado. Si, por ejemplo, se pretende demostrarles a los alumnos que en todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos, se encontrará seguramente con la resistencia de los alumnos. ¿Por qué? El maestro no puede ingnorar que, a esa edad, el alumno considera suficiente el conocimiento intuitivo que de esa pro­piedad tiene y, por tanto,innecesario cualquier comprobación lógica. No se crea que están desencaminados. Si, en cambio, el profesor intenta demostrar que la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es medio proporcional entre los segmentos que determina sobre la misma, no encontrará mayor oposición porque el alumno no tiene intuición directa de esta propiedad.

El docente debe estar preparado para enfrentar este tipo de situacio­nes, para lo cual es necesario que comprenda que, por ejemplo, no está desarrollando un curso magistral de geometría y sólo está intentando que sus alumnos conozcan algunas propiedades geométricas. El trata­miento formal riguroso vendrá a su debido tiempo, y en ese momento los alumnos no sólo lo comprenderán sino que también lo exigirán.

17. En síntesis: Iq esencial de la enseñanza elemental de la matemáti­ca es el planteo, la investigación y la resolución de problemas. La necesi­dad del rigor aparecerá oportunamente, a su debido tiempo, cuando se haya logrado lo esencial del descubrimiento. La formalización responde, muchas veces, a una inquietud de elegancia en la presentación de los resultados, a la necesidad de asegurar los fundamentos de los posibles descubrimientos de modo de evitar los riesgos de inducciones erróneas, y también a los fines de la generalización y la síntesis.

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La necesidad del rigor formal es mínima en la escuela secundaria y sólo puede interesar en los últimos cursos; en la enseñanza primaria no hay mucho lugar para él y sería irrazonable transformar la enseñanza elemental de la matemática en un juego formal de axiomas y reglas lógicas. Por lo demás, ningún descubrimiento se ha realizado de esta manera y se cree que siempre valdrán las motivaciones intuitivas. Lo que corresponde es que el alumno aprenda primeramente las nociones y que éstas se adentren en su conciencia; sólo cuando este procedimiento se haya sedimentado habrá llegado el turno de la precisión y la formaliza- ción.

18. Otra prevención no será inútil. Los alumnos son mucho más inte­ligentes de lo que a primera vista pudiera parecer. En todo caso, es natural que no les agrade que se los trate como si fueran tontos. Y esto ocurre a veces por increíble que parezca.

Todo alumno nos debe mercecer el mayor de los respetos, cualquiera sea el juicio que tengamos acerca de su valimiento intelectual. Los alum­nos entienden que no se los aprecia debidamente si se insiste, por ejem­plo. en. que por dos puntos de un plano pasa una sola recta, o en que por un punto pasa una sola paralela a una recta dada. Creen que esas propiedades forman parte del acerbo intuitivo de toda persona normal y que no es menester ninguna clase de verificación y sería ímprobo intentar demostrarles que no tienen razón; compréndase que las exquisiteces conceptuales están fuera de lugar en ese momento. i

19. Retornemos a los ejercicios y problemas. A nosotros nos parece que se los debe presentar en número adecuado, nunca excesivo, y que deben ser lo suficientemente interesantes como para que los alumnos se sientan incitados a resolverlos. ¿De qué sirven los ejercicios en que se debe aplicar meramente una forma estereotipada, la de la ecuación de segundo grado, pongamos por ejemplo? El problema debe ser de interés real para que el alumno se sienta dispuesto a hacer ei estuerzo de enten­derlo, interpretarlo, en un anhelo de encontrar la solución. En eso reside la importancia de los problemas en el intento de comprenderlos y en el afán de resolverlos, y ésto vale aunque no se logre llegar al resultado. Lo primordial es siempre que el alumno se habitúe a pensar sobre la situación que se le presenta. Nunca se perderá de vista que la auténtica actividad matemática se desarrolla en la mente.

20. Esto no es nada fácil de conseguir pero es el objetivo más impor­tante en todos los niveles.

En la escuela primaria un buen maestro podría presentar a los niños

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la siguiente situación:. "Colorear un mapa político de la República Ar­gentina de modo que a dos provincias colindantes les corresponda distin­to color. ¿Cuántos colores empleará? Hágalo de nuevo con sólo cinco colores. ¿Puede hacerlo? Y si empleara tan sólo cuatro colores, ¿lo podría pintar? ".

No se trata evidentemente de uno de los usuales problemas trillados. El niño se siente desafiado por la novedad de la cuestión y esta última permite introducirlo insensiblemente en un apasionante tema moderno de la matemática, el problema de los cuatro colores. La presentación elemental de esta situación promueve en los niños el deseo de trabajar y hacer conclusiones y le permite, asimismo adquirir a bajo costo algunos conocimientos interesantes.

Presentaremos a continuación un problema para ser resuelto por alumnos secundarios. Se les pedirá que calvulen aproximadamente J 6 sin disponer de calculadora ni de tablas sabiendo tan sólo que

loq 2= 0,301; log 3s 0.477 y log 7s 0,845.

No se dude que tendrán que pensar bastante. Lo primero que tendrán que comprender es que tienen que fabricarse una tabla de logaritmos y que para ello tendrán que apelar a toda la gama de conocimientos sobre logaritmos.

Sin duda, comenzarán escribiendo:

a = y/6 log = log\/6 log =1/2 log 6

Y para calcular log 6 habra que recurrir a la pequeña tabla construida de la siguiente manera:

log 1 = 0 log 2 = 0,301 log 3 = 0,477log 4 = log (22) = 2 log2= 2.0,301 = 0,602 log 5 = log (10:2) =log 10 +colog 2 = 1 +1,699 = 0,699 log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,788 log 7 = 0,845log 8 =log (23) = 3. log 2 = 3.0,301 = 0,903 log 9 = log (32) = 2 log 3 = 2.0,477 = 0,954 log 10= 1

Ahora las cosas se pueden disponer así:

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Logaritmo Mantisa Diferenciatabular

Diferenciasegunda

I 000 3012 301 1251763 051477 125 0284 602 0975 018699 0796 012778 0677 845 0090588 903 007051

9 954 00504610 000

Por el examen de la tabla se ve fácilemente cómo crece la función y se intuye cómo interpolar aproximadamente.

Ahora se puede escribir

log a = 1/2 log 6 = 0,773:2 = 0,389

El número o antilogaritmo tiene, pues, una sola cifra entera que, la tabla lo dice, es 2. Interpolando mentalmente los alumnos determinan que la primera cifra decimal es 4. El problema está concluido y el resultado es::

a =* 2,4

Si se dispone de algún tiempo y se construye una pequeña tabla de mantisas, los alumnos dispondrían de todo lo que se necesita para obte­ner resultados bastantes satisfactorios en los ejercicios corrientes.

Nos preguntamos porqué interesan estos ejercicios a los alumnos. Por­que no son rutinarios y porque resulta fecunda la aplicación de las nociones teóricas; además apelan al ingenio y a la iniciativa. Si hubiera sido meramente cuestión de aplicar nociones teóricas, él alumno, nos guste o no, no se hubiera interesado; se ha logrado motivarlo porque se ha apelado a su imaginación.

21. ¿Cómo podrá conseguir el docente una colección de ejercicios adecuados?

fcn primer término examinará todos los textos nacionales o extranje­ros que pueda" conseguir. Eliminará drásticamente todos los ejercicios

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reiterativos, rutinarios o sin interés,•* siempre existe ia posibilidad de que subsista una cantidad.

En segundo término tendrá que reunirse con colegas que hayan proce­dido de la misma manera para intercambiar problemas. No quepa ningu­na duda de que todo docente es capaz de idear situaciones interesantes que qustosamente compartirá con sus compañeros en beneficio de los alumnos.

22. El docente no carece, pues, de medios para construir por sí mismo un curso satisfactorio.

No convendrá que se ajuste a ningún manual, por bueno que parezca so pena de perder espontaneidad e iniciativa. Los consultará acodos, los comparará, los juzgará en función de sus ideas pedagógicas, y efectuará su crítica para no cometer errores.

Los libros de texto deben perder el carácter adusto que a menudo constituye una de sus características en nuestro país aun cuando en los últimos tiempos se haya podido comprobar una sensible mejoría. Ningu­no de ellos dejará de contener la información que interesa a los alumnos aún cuando no forme parte de los programas vigentes; nos referimos especialmente a los temas amenos, las curiosidades matemáticas, las anéc­dotas, los temas para pensar, las notas históricas, etc.;todo ello incidirá favorablemente en la formación del alumno.

23. Refirámonos sucintamente al material didáctico que puede em­plear el maestro para dictar sus clases. Reconozcamos que en nuestros días hay mucho más material que otrora, de todos los tipos y clases, de todos los tamaños y calidades. Los hay de construcción casera y artesanal, pero también existen los que son el resultado de las técnicas más depuradas. Citemos, en el primer caso, a reglas, escuadras, compases, transportado­res, fichas, papel graduado, los modelos en papel de diversos colores y en cartulina, los relojes, recipientes, calendarios, mapas, etc. En el segun­do caso están los ábacos, las regletas de Cuisenaire, los bloques lógicos, los dominós, los geoplanos, la regla de cálculo, las calculadoras, las com­putadoras, los retroproyectores, los filmes, la radiotelefonía, la televi­sión, Tete. Todos son recursos cuyo uso no se debe desdeñar y que constituirán una invalorable ayuda para el docente que sepa emplearlos criteriosamente.

Se argüirá con razón que en muchos casos se trata de material muy caro que no está dentro de los recursos de la mayoría de las escuelas; ello es cierto y entonces no es cuestión de pedirle peras al olmo ni lamentarse demasiado. No podemos dejar de manifestar nuestra opinión de que el material muy costoso no es del todo indispensable y que con material elaborado por los niños en sus casas o en la escuela se pueden obtener óptimos resultados lo cual además de ser más simpático es más emocionante.

24. No se deben dejar a un lado las posibilidades que surgen de la145

sirmple lectura de diarios, periódicos o de los libros de texto de otras asignaturas. A los alumnos les interesan particularmente los gráficos refe­rentes a diversos aspectos de la vida en el mundo, las tablas construidas con los resultados de distintos espectáculos deportivos, las cotizaciones de la bolsa, etcv mediante las cuales los profesores podrán redactar pro­blemas de real interés.

25. En algunos países se está ensayando una técnica moderna que parece conducir a resultados bastante satisfactorios y que consiste en impartir la enseñanza mediante módulos de trabajo referentes a temas del curriculum. Su redacción, muy cuidada, está a cargo de un grupo seleccionado de matemáticos y pedagogos. Cada módulo consta de una serie de fichas, de dificultades cuidadosamente escalonadas, que han de realizar los alumnos. En la redacción no deben escasear, por supuesto, los aspectos atractivos capaces de despertar el interés de los alumnos para lo cual se tratará de emplear ejemplos completos del medio en que viven. En cada ficha se indicará el material que se debe usar, provisto por la escuela o construido por los propios alumnos.

Obviamente, no todos los alumnos realizarán igual trabajo. En un lapso predeterminado sólo los alumnos más dotados trabajarán con todas las fichas del módulo; los demás avanzarán con mayor lentitud y sólo llegarán al final si se les acuerda un tiempo suplementario. Se estima que actuando asi los alumnos llegarán a captar la mayoría de los conceptos fundamentales.

En esta experiencia se considera muy valiosa la evaluación del docen­te para la planificación del curso, pero no se cree conveniente volcar calificaciones sobre libretas a la manera usual; se entiende que el alum­no, salvo casos excepcionales, tendrá que pasar ineludiblemente por to­dos los cursos del ciclo obligatorio.

26. En conclusión, digamos que la matemática no nace de los teore­mas demostrados en los libros o en el pizarrón sino del enfoque de situaciones que permitan descubrir algo. Buscar la manera más eficiente de presentar este tipo de situaciones es lo mejor que se puede hacer en beneficio del alumno.

No nos cabe ninguna duda de que nos hemos ocupado de un proble­ma importante, la dificultad de cuya solución no se nos escapa. Muchas naciones lo están enfrentando acudiendo a sus científicos y educadores más preclaros. Entonces, lo menos que podemos hacer es meditarlo seria­mente para, tal vez, encontrar alguna solución para nuestro país.

Unas palabras finales. Hemos intentado presentar algunas considera­ciones acerca de un problema acuciante, el de la enseñanza de la mate­mática en nuestro país. No hemos querido, ni hubiéramos podido, indicar soluciones y si algunas veces hemos dado algunos consejos ha sido por un vestigio de vanidad del que no hemos sabido despojarnos.

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Bibliografía

La diversidad de temas tratados permitiría indicar una bibliografía muy amplia. Pero el hecho de que este volumen esté dirigido en general a docentes que se expresan comúnmente en castellano, muchos de los cuales tienen gran dificultad para manejar obras escritas en otros idio­mas, nos ha llevado a decidirnos por una pequeña bibliografía en la cual predominan las obras en nuestro idioma. El escaso número de obras indicadas en otro idioma corresponde a ajtores muy importantes.

Indicamos, pues, las siguientes obras:

Adler, Irving. La nueva matemática, Ed Eudeba, Buenos Aires, 1967 Castelnuovo E. y Barra M. Matemática nella Realtá, Ed. Borlingieri,

Roma, 1976Dienes Z.P. -La matemática moderna en la enseñanza primaria, Ed

Teide, Barcelona, 1967Dienes Z.P. —La potencia de ¡a matemática, Ed. Estrada, Buenos Aires,

‘1971Dienes Z.P. —El aprendizaje de la matemática. Un estudio experimen­

tal,^. Estrada, Buenos Aires, 1971.Dienes Z.P. y Golding, E.W. Lógica y juegos lógicos, 1967; Conjuntos

números y potencias, 1968; La geometría a través de las transformacio­nes, 3 vol., 1969/70, todas de Ed. Teide, Barcelona.

Félix L. Exposé moderne des matemátiques élémentaires, París, Du- nod, 1959

Félix, L. The Módem Aspect of Mathematics, Basic Books, Nueva York, 1960

Fletcher, T.J. Didáctica de la matemática moderna en la enseñanza media, Ed,Teide, Barcelona.

Freudenthal H. Mathematics as an Educational Task, Ed. D. Reidel, Dordrecht, Holanda 1973

Le Lionnais, F. Las grandes corrientes del pensamiento matemático Ed. Eudeba, Buenos Aires, 1962

Polya G. Mathematics and Plausible Reasaning, 2 volr Ed. Oxford University Press, 1954.

Polya G. Mathematical Discovery, 2 vol, Ed John Wiley & Sons, Inc, 1962

Papy, Frédérique. Les enfants el la mathématique, Ed. Didier, Bruse­las, 1970/1/2.

Poincaré H. La ciencia y la hipótesis; Ciencia y método; El valor de la ciencia; Ultimos pensamientos, todos de Ed. Espasa, Calpe, Colección Austral, Buenos Aires.

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Puig Adam P. La matemática y su enseñanza actual. Ed. Ministerio de Educación Nacional, Madrid, 1960.

Revuz, A. Matemática moderna, matemática viva, Ed. Elementos, Buenos Aires, 1965,

Santaló, L.A. La educación matemática, hoy Ed. Teide, Barcelona, 1975.

Sawyer, W.W. Prelude to Mathematics, Penguin Books, Londres 1955. Williams, E.M. y Shuard H. Primary mathematics Ed. Longmans. Lon­

dres, 1970.

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Lo matemática en la

enseñanza de la físicai

IHeraclio A. RUI VAL

Durante el desarrollo del curso para profesores de matemática organi­zado por el Proyecto Regional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias, del año 1975, se envió a los profesores de tercer y quinto año de los establecimientos secundarios a que pertenecían los profesores de .matemática que participaban del curso el pedido de que los alumnos hicieran una composición anónima sobre el profesor de matemática.

Casi todos los trabajos presentaban al profesor de matemática como una persona muy inteligente, "lástima que sólo sabía hablar de matemá­tica". A reglón seguido intentaban la justificación afirmando: "Claro, la materia no se presta para otra cosa".

Análogamente, a los maestros de escuela primaria les ha tocado en suerte vivir experiencias como la siguiente: Al darles un problema a sus alumnos, éstos, antes de intentar resolverlo, le han preguntado: "Este ejercicio es de sumar? "

Hechos como los anteriores me han llevado muchas veces a hacerme esta reflexión: El niño de la escuela primaria o secundaria ¿está en condiciones de comprender las definiciones abstractas de la aritmética o la geometría? ¿Comprende realmente algunas de las definiciones que recita? Entiendo, en verdad, que lo concreto le es accesible^ por ello pienso por qué no darles casos concretos de modo que el mismo alumno, quizás inconscientemente, realice las generalizaciones abstractas.

Cuando un alumno me dice, repitiendo una definición, que la superfi­cie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espacio que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro, ¿comprende en realidad lo que está diciendo?

También en la enseñanza de la física se pueden encontrar muchísimos ejemplos en los cuales el alumno repite definiciones y leyes que no comprende. Citaré algún ejemplo. El que sigue se refiere a alumnos que habían aprobado el curso de ingreso a una facultad de Buenos Aires y resuelto satisfactoriamente problemas sobre caída de cuerpos. Los some­tí ai siguiente test. Tomaba al azar de 10 a 15 alumnos y les pedía que se^me acercaran con una silla en una mano y una tiza en la otra. Evidentemente, "sentían" los diferentes pesos al aproximarse a mí con esos objetos en las manos. Les pregunté que ocurría si dejaran caer

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ambas cosas. Alrededor del setenta por ciento contestó que la silla caería primero porque era más pesada. Obsérvese que el alumno de este ejem­plo seguramente ha resuelto ejercicios en los cuales se emplea la acelera­ción de la gravedad común para todos los cuerpos pero sin haber logrado comprender qué significaba.

Veamos otro ejemplo. Muchos alumnos habrán repetido continua y satisfactoriamente el principio de acción y reacción, pero no serán capa­ces de explicar por qué puedo empujar una silla y lograr que se mueva.

Lo que ocurre en estos casos es inverso de lo que sucedía en matemá­tica. Parecería que tenemos muchos casos concretos y que, sin embargo, subsistiera la misma dificultad, la de "la falta de comprensión". La física se ha copiado de la matemática y lo ha hecho malamente".

Sucede sencillamente que la materia que enseñamos es muy importan­te, pero más importante, mucho más importante, es la manera de ense­ñarla.

Por mi parte, creo que si la matemática se enseña como pura abstrac­ción, tendremos, sin duda, personas especializadas en matemática y en lógica, pero sin ningún contenido efectivo. Entonces, no puedo menos que preguntarme cuáles serán los beneficios.

Muchas veces he conversado con profesores de los cursos de ingreso a la facultad y siempre se han quejado de que. la mayor parte de los bachilleres no sabe resolver una regla de tres simple. Están seguros, no obstante, de que la han estudiado no sólo en la escuela secundaria sino también en la escuela primaria. Entonces, ¿qué ha ocurrido? La explica­ción no es fácil.

Otras veces se nos ha preguntado por qué se incluye como materia del examen de ingreso a la universidad la "comprensión de textos". La respuesta es muy sencilla. Se tenía la sensación de que un gran porcenta­jes de los candidatos no era capaz ni de pensar ni de interpretar lo que leía.

Cuando estoy frente a mis alumnos no puede #dejar de pensar perma­nentemente sobre los temas que debo enseñarles y sobre cómo debo proceder para ayudarles a lograr esa comprensión.

Me permitiré dar un último ejemplo. Un excelente profesor me co­mentaba que integraba una mesa examinadora y que un alumno luchaba en el pizarrón tratando de obtener una raíz cuadrada. Después de un largo forcejeo, durante el cual el profesor permaneció silencioso, el alum­no pareció salir airoso y se retiraba con el "aprobado" cuando el profe­sor le preguntó: "Díme, ahora, ¿cuál es la raíz? . Sin vacilar, el alumno señaló el resto. Los comentarios huelgan, el alumno sabía lo formal y desconocía lo conceptual; el profesor lo había percibido.

Se me ocurren algunas preguntas: ¿Por qué cuando un alumno tiene que calcular la superficie de un círculo, antes de aplicar la fórmula 7r r2.

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pregunta con cuántas cifras decimales toma a n ¿Porqué, cuando tiene que hallar la superficie de un rectángulo, cree que todas las cifras son exactas? Pero el valor del radio o el valor de los lados del rectángulo surgieron de mediciones y, por lo tanto, las últimas cifras decimales adolecen de un error y también tendrán error los resultados que se obtengan usando esos valores.

Un problema en cierto sennao similar se plantea con el uso de las computadoras en el aula. Con ellas, el alumno tiene a su disposición una enorme cantidad de cifras decimales, pero, ¿piensa, o le hemos hecho pensar, cuáles de esas cifras le conviene aceptar?

Entiendo, por mi parte, que el profesor de matemática cuando impar­te su enseñanza debe tratar de vincular su materia con la realidad circun­dante. Ello es primordial y esencial para que el alumno pueda más adelante llegar a las abstracciones generalizadoras.

Asimismo me parece que habría que encontrar muchos ejemplos en la física para facilitarle el acceso a esa realidad. De aquí la necesidad de una labor concertada y armoniosa entre el profesor de matemática y el profesor de física que para el alumno redundaría, nada más ni nada menos, en una mejor comprensión de la matemática y de la física.

El profesor de física también tiene sus dificultades específicas. Se enseña, por ejemplo, a los alumnos que dos cuerpos se atraen con una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. ¿Qué conclusio­nes obtenemos?

1) A veces el alumno no comprende qué significa decir que es propor­cional.

2) A veces, lo que aún es peor, no comprende que en realidad lo que decimos no es la verdad absoluta y que todo ocurre como si.... y que solamente estamos dando una descripción de lo que vemos.

Por otra parte, es bueno hacerles comprender que en el transcurso del tiempo acaso esa descripción resulte modificada como consecuencia de comprobaciones o modificaciones'posteriores.

Surge prestamente la siguente conclusión. Debemos hacer ver al alum­no que también nosotros, los maestros, hacemos el esfuerzo dé compren­der e interpretar y que partimos de cosas tangibles y observables para lograr a posteriori y con mucho esfuerzo una abstracción digna de tal nombre. Siempre recuerdo un pensamiento de G. Polya: “El pensamien­to matemático no es puramente formal y no se refiere sólo a axiomas, definiciones y demostraciones estrictas, sino que le pertenecen muchas otras cosas: generalización a partir de casos observados, argumentos in­ductivos, argumentos analógicos, reconocimiento de un concepto mate­mático en una situación concreta o extracción de tal concepto a partir de ella".

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Los ejemplos pueden servir para mostrar cuán armoniosamente pue­den trabajar la matemática y la física. He aquí otro de ellos:

Las leyes de Kepler son muy conocidas. Ellas afirman:1a) Todos los planetas recorren órbitas alípticas alrededor del sol que

ocupa uno de los focos.2a) La velocidad areal es constante.3a) T2/d3 = constante, siendo T el tiempo que tarda un planeta en

dar una vuelta alrededor del Sol y d el semidiámetro mayor de la órbita.La conclusión a la que llega Newton es que puede deducir las leyes

de Kepler si admite que entre los planetas y el Sol existe una fuerza

cuya expresión es F — C -jr~ en donde M y m son las masas del Sol y del

planeta, respectivamente.En nuestro tiempo, gracias a la visión genial de Einstein, podemos ver

las cosas de otra manera. Supongamos ser individuos de dos dimensiones y que nuestro mundo sea una membrana plana elástica. Podríamos verifi­car en él todas las leyes de la física lo mismo que la validez de la geometría euclidiana, por ejemplo, que la suma de los ángulos interiores ■de un triángulo es igual a 180°, etc.

Pero un día cualquiera, por la presencia de una masa ese espacio se deforma aun cuando yo, observador de dos dimensiones no pueda perci­bir esa deformación. Entonces arrojo una bolita para comprobar la ley de inercia v. con sorpresa, observo que la bolita describe una elipse alreaeaor- de la masa colocada. Mi conclusión es que esa trayectoria es

Mmconsecuencia de que entre ambas existe una fuerza dada por F = d¿

No reparó en que la trayectoria es una consecuencia de la deformación del espacio. Pero si ahora intento verificar las leyes de la geometría euclidia- na compruebo que en el nuevo espacio ya no se cumple que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea igual a 180°. Además,.también, me resulta fácil advertir que tendremos una métrica distinta de la ante­rior y que, además, esa métrica dependerá de la distribución de masas existente. Vale decir, estamos haciendo una geometría acorde con la física. Asimismo, sabemos que en el futuro la teoría relativista podrá ser modificada y ciertamente lo será cuando llegue el momento de que predicciones hechas sobre la base de dicha teoría no sean corroboradas exper¡mentalmente;así, por lo menos, lo indica el avance de la física.

Además, ¿no enuncia Newton los principios del cálculo diferencial cuando tiene que calcular la fuerza de atracción entre masas no puntua­les? . Entonces, resulta evidente que ha existido en el quehacer creativo una interacción entre la matemática, la física y la realidad circundante, creación que, por supuesto, no ha concluido.

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Por lo tanto, ¿por qué no mostrarle al alumno que también espera­mos algo de él/ Esperamos que sea original y creativo y que no se conforme con repetir enunciados y fórmulas,, y que lo fundamental es que trate de comprender y que aprenda a pensar. El hábito del pensa­miento y la reiterada formulación de preguntas desarrollarán indudable­mente su personalidad. A nosotros los profesores nos corresponde la honrosa tarea de ayudarlo a transitar en esa dirección; para ello tendre­mos que modificar sensiblemente nuestra tarea en el aula de modo de poder estar seguros que frente a nosotros tenemos un alumno mental­mente activo. Incluso pienso que habrá que redactar los textos de mane­ra que el alumno no se limite a leerlos y sea forzado a la fundamental tarea de pensar.

Ya no podemos concebir al profesor que habitualmente expone en tanto que el alumno es un elemento pasivo; el profesor debe tener en cuenta, primordialmente, que es muy difícil que un alumno pueda avan­zar al ritmo y velocidad del maestro; la comprensión del alumno es lo que debe fijar el ritmo de la clase.

La clase, de ninguna manera, puede ser puramente expositiva porque ello no da ninguna seguridad de que los niños se estén ejercitando en la tarea de pensar y elaborar. El profesor debe desarrollar otras técnicas, y debe hacer lo posible para redactar un libro de acuerdo con sus ¡deas y apto para que se pueda aplicar en lo posible el método tutorial. La aparición de textos de este tipo podría ayudar a resolver otro problema muy importante, el de la falta de los profesores necesarios para satisfacer las necesidades del siempre creciente número de alumnos.

En el mes de enero de 1979 se realizó en Montevideo, República Oriental del Uruguay una reunión propiciada por UNESCO, de físicos y matemáticos,, con el objeto de redactar módulos con temas de ¡nterrela- ción entre la física y la matemática; algunos de los temas tratados fue­ron:

1. Proporcionalidad directa e inversa.2. Introducción al estudio del movimiento ondulatorio.3. Movimiento oscilatorio armónico. Las funciones seno y coseno.4. Ecuaciones exponenciales.5. Los vectores de la física y la matemática.

Esta lista indica la gran preocupación existente por tratar de encon­trar una metodología adecuada para que al alumno no se le escape lo conceptual. Sinceramente, creo que la matemática y la física se necesitan mutuamente si es que el alumno ha de poder lograr esa comprensión que deseamos y que creo que podemos lograrla buscando aplicaciones reales de las cosas que aprende. No vacilo en afirmar que yo mismo, en mis primeros pasos como docente, experimenté la sensación de comprender

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mejor los conceptos de divergencia, rotor y gradiente cuando pude asignarles un significado físico luego de lo cual se me ampliaban enorme­mente el panorama y las posibilidades. Teoremas como el de Stokes o el de Gauss adquirieron de esa forma para mí proyecciones que antes no había llegado a percibir.

Pero lo arriba indicado no es sólo de interés local; tambén hay interés en todo el mundo como lo prueban los anuncios de la IV Conferencia Internacional sobre la Enseñanza de la Matemática que se realizará en Berkeley, EE.UU. en agosto de 1980. Entre los tópicos que allí se consi­derarán están los siguientes:

a) Relación de la matemática con las ciencias biológicas.b) ¿Qué campos de la matemática están implicados y cómo impartir

la enseñanza en matemática y en biología para coordinarlas e integrar­las?

c) La misma pregunta referida a matemática y ciencia socialesd) La misma pregunta para matemática, ciencias físicas e ingeniería.

Para concluir quiero señalar que permanentemente recuerdo en el aulaque:

1. Estoy frente a alumnos y pienso que algunos de ellos pueden ser mucho más inteligentes que yo. por lo cual es mi deber evitar su frustra­ción.

2. Quiero lograr un alumno original y creativo.3. Trato de que no se acostumbre a ser un pasivo receptor de todo lo

que yo diga.4. ¿Puedo interesarlo?5. ¿Puedo acostumbrarlo a que conjeture?6. ¿Puedo hacerle sentir que espero de él un esfuerzo de comprensión

y de apoyo a mi tarea para facilitar su propio avance?7. ¿Tengo ejemplos que me permitan establecer una vinculación entre

él y el mundo que lo rodea?8. ¿Pienso que si me pagan para enseñar a los jóvenes, mi tarea debe

redundar en provecho de la comunidad y de los mismos alumnos.?9. ¿Pienso que mi ciclo culmina y que mis hijos y mis alumnos deben

avanzar mucho más de lo que yo he podido hacerlo?10. Mejoré la comprensión de muchos temas de matemática cuando

pude darles una realidad física y pienso que a muchos jóvenes les ocurrirá lo mismo.

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Entiendo que la tarea docente se parece mucho a una carrera de postas que nos vamos trasmitiendo de padres a hijos y que a cada uno de los que intervienen en ella le corresponde mejorar lo que ha hecho su antecesor y recuerdo un pa'rrafo de Anatole France en el Jardín de

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Epicuro que dice: "No trate de satisfacer su vanidad enseñándoles mu­chas cosas. Despierte su curiosidad. Basta con abrir las mentes, no las sobrecargue. Ponga en ellas sólo una chispa. Si hay algún buen material inflamable se encenderá". Las abstracciones son muy importantes; em­plee todos los medios para volverlas más tangibles. Nada es demasiado bueno o demasiado malo, demasiado práctico o demasiado trivial para es­clarecer muestras abstracciones, y como lo aseguró Monteigne: "La ver­dad es una cosa tan grande que no debemos desdeñar ningún medio que pueda conducirnos a ella" Por lo tanto, si el espíritu lo lleva a ser un poco poético o un poco profano en su clase, no cometa el error de inhibirse.

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Panorama general de la

enseñanza de la matemáticaLuis A. SANTALO

1. Introducción. A 20 años de la reformaSe suele mencionar como punto de partida de la Reforma de la

Enseñanza de la Matemática, al seminario de Royaumont (Francia) realizado del 23 de noviembre al 4 de diciembre de 1959. Al cumplirse este año su vigésimo aniversario, es una oportunidad propicia para observar su evolución y analizar sus resultados.

En otro lugar (Revista del Instituto de Investigaciones Educativas. N° 13, págs. 3-26, y N° 14, págs. 3-22, setiembre y noviembre de 1977) nos hemos ocupado de su historia y de algunos problemas actuales. Queremos ahora actualizar esta historia con algunos hechos recientes y señalar o insistir sobre algunos de los abundantes problemas y tendencias que preocupan en el campo de la educación matemática en el dfa de hoy.

Como primer dato importante señalaremos la vigencia del interés por la Reforma. En esta época en que la avidez de noticias y de sensacionalismo hace que se encumbren ídolos, modas y teorías en breves períodos de tiempo, y que con la misma rapidez se derriben y desaparezcan definitiva­mente sin pena ni gloria, es notable que el problema de la "enseñanza de la matemática", no sólo siga preocupando a educadores y especialistas, sino que de vez en cuando vuelve a ser noticia periodística, lo cual tal vez no sea demasiado bueno, pero no deja de ser un índice de que el interés sigue y que el problema no pierde actualidad.

El motivo principal de esta permanencia, posiblemente no sea otro que el mismo instinto.de conservación de los pueblos, que a través de sus educadores y. dirigentes curriculares, y a veces a pesar de estos últimos, intuyen que una buena preparación matemática es fundamental, y seguirá siéndolo cada día más, para tomar parte activa y de manera eficaz en la vida colectiva de la sociedad moderna. A la vanguardia de este movimiento están los profesores de matemática, conscientes de su responsabilidad y que quieren saber cómo deben conducir la enseñanza para cumplir mejor con su misión ante los alumnos de hoy, que constituyen la generación que va a dirigir el mundo en el año 2000.

Por esto las reuniones nacionales e internacionales en que se tratan

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problemas de educación matemática son cada vez más frecuentes y tienen mayor número de participantes. He aquí algunas estadísticas:

A nivel mundial se han celebrado tres congresos, organizados por la Comisión Internacional para la Enseñanza de la Matemática (International Commission on Mathematlcal Instruction, ICMI): el primero fue en Lyon (1969) y contó con 655 participantes, pertenecientes a 42 países; el segundo tuvo lugar en Exeter (Inglaterra), en 1972, con 1384 participantes de 76 países; el tercero se realizó en Karlsruhe (Alemania) en 1976, con 1931 participantes y también 76 países representados. El próximo Congre­so Internacional sobre Educación Matemática tendrá lugar en Berkeley (Estados Unidos) en agosto de 1980. Es auspicioso, para nosotros, el hecho de que eael Congreso de Berkeley el idioma castellano se haya incluido como uno de los oficiales del Congreso, junto con el inglés y el francés, lo que ocurre por primera vez.

Estos grandes congresos mundiales no son los únicos que se deben a la organización del ICMI. En colaboración con la UNESCO y otras institucio­nes nacionales o regionales, continuamente se desarrollan conferencias o seminarios para discutir problemas especiales. 4En 1978, por ejemplo, se realizaron en Europa los siguientes, todos de carácter internacional, auspiciados por el ICMI: a) Conferencia sobre “Las calculadoras en la enseñanza de la matemática" (Luxemburgo, 29 de mayo a 3 de junio); "La formación de los profesores de matemática" (Helsinki, del 16 al 21 de agosto); "Cooperación entre los profesores de matemática y los de física y ciencias naturales" (Bielefeld, Alemania, del 17 al 23 de setiembre); "Las demostraciones de la educación matemática" (Klagenfurt, Austria, del 26 al 29 de setiembre).

Por otra parte, desde la iniciación de la Reforma, se han realizado en Latinoamérica 5 Conferencias Interamericanas sobre Educación Matemáti­ca, a saber: Conferencia de Bogotá (4 a 9 de diciembre de 1961), con 50 participantes, de 20 países; Conferencia de Lima (5 a 12 de diciembre de 1966) con 84 participantes y 24 países representados; Conferencia de Bahía Blanca (20 a 25 de noviembre de 1972) con 212 participantes y 22 países representados; Conferencia de Caracas (1 a 6 de diciembre de 1975) con 292 participantes y 22 países representados; Conferencia de Campiñas (Brasil), del 12 al 17 de febrero de 1979, con 569 participantes y 28 países representados.

Todas estas Conferencias . interamericanas fueron organizadas por el CIAEM (Comité Interamericano de Educación Matemática) y contaron con los auspicios y la ayuda de la OEA y UNESCO. Las Actas de las Conferencias han sido publicadas formando la colección "Educación Matemática de las Américas, I, II, III, IV". Los volúmenes I y II fueron publicados por la Columbia University y en traducción castellana por la OEA. Los volúmenes III y IV lo fueron por la Oficina Regional de

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UNESCO en Montevideo, la cual tiene actualmente en prensa el volumen y correspondiente a la Conferencia de Campiñas. La próxima Conferencia Interamericana tendrá lugar en México en 1982.

2. Estado actual

Los datos anteriores sirven para dar cierta idea del creciente interés por la Reforma. Para ver los resultados a que se ha llegado hay que analizar las actas de los congresos y conferencias, los resultados de los seminarios y simposios, y las opiniones de expertos publicadas en revistas especializadas. Por encima de los detalles y de los aspectos parciales, la conclusión preponderante a que se ha llegado es que "la educación matemática, o mejor, la didáctica de la misma, es una ciencia experimental y, por tanto, debe ser tratada por el método científico".

Es decir, hay que abandonar el método de implantar contenido, programas o curricula según opinión personal de quien o de quienes, accidentalmente, tienen a su cargo la dirección educativa. Los curricula deben estar siempre avalados por la experiencia y luego deben ser analizados por equipos de expertos en las distintas ramas que intervienen en el quehacer educativo, que en nuestro caso son: matemáticos, pedago­gos y psicólogos.

Un defecto de los años 60, que luego se vio con claridad, fue el de dejar exclusivamente en manos de los matemáticos la orientación acerca de los contenidos y programas. Una cosa es la matemática como ciencia pura y otra la enseñanza de la matemática como ciencia experimental. Las interrelaciones entre la enseñanza y el aprendizaje deben estudiarse en el aula,-que es el laboratorio de la didáctica. Los matemáticos pueden y deben opinar, pero su punto de vista sobre el edificio matemático puede ser distinto del de los psicólogos y educadores, y todos los puntos de vista deben ser tenidos en cuenta.

Al tener conciencia de que la didáctica de la matemática tenía sus características propias que la diferencia de la didáctica general y, también, de la matemática como ciencia, se empezaron a crear institutos de investigación dedicados a la misma. Se crearon en muchas partes escuelas- piloto para poder decidir en ellas, con la autoridad objetiva de la experiencia, lo acertado o no de ciertas reformas curriculares. Se pueden mencionar, como instituciones típicas y pioneras, que han servido de modelo a otras que se han creado en muchos países, las siguientes: a) Institut fur Didaktik der Mathematik (IDM) de.la Universidad de Bielefeld- (Alemania; b) los Instituís de Recherche pour l'Enseignement des Mathé- matiques (IREM), que existen en casi todas las Universidades francesas; c) el "Institut voor Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwejs", (IOWO) de Utrecht (Holanda); d) el School Mathematics Project (SMP) de Londres,

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aparte de diversos proyectos en universidades norteamericanas, como el clásico School Mathematics Study Group (SMSG) de Stanford (California), que fue tal vez el primero de todos y cuyas publicaciones tuvieron amplia difusión en todo el mundo en la década 1960-1970.

En estos institutos y centros de investigación, que disponen siempre de escuelas experimentales adheridas, se producen trabajos que aparecen como publicaciones propias o en revistas especializadas. Actualmente existen varias de estas revistas, que deberían estar en todas las bibliote­cas de los centros de formación de profesores de matemática, única manera de mantenerse informados sobre lo que se hace y opina en el mundo acerca de la didáctica de la matemática en todos los niveles de la enseñanza. Mencionaremos como las más conocidas: a) Bulletin de l'As- sociation des Proíesseurs de Mathématique de l'Enseignement Public (de la maternelle a l'université), (29, rué d'ülm, París, (5e), Francia), publi­cación bimestral, b) Mathématique et Pédagogfe, periódico bimestral pu­blicado por la Sociedad Belga de Profesores de Matemática, (rué F.Mar­tin, 2, Bruxelles, 1160). c) Educational Studies in Mathematics (D. Rei- del Publications, Dordrecht, Holanda); d) Journal for Research in Mathe­matics Education (Reston, Virginia, U.S.A.); e) International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (Taylor & Francis, Londres). Además, para tener una información completa es fundamental el "Zentralblatt íür Didaktik der Mathematik" (Ernst Klett, Stuttqart, Alemania), que resume todas las publicaciones que aparecen en el mun­do en el campo de la didáctica de la matemática.

Finalmente, en español citaremos la revista "Conceptos de matemática", que se publica en Buenos Aires desde 1967.

3. Abundancia de problemas

Cuanta más vitalidad tiene una ciencia, más problemas surgen en ella para resolver. La carencia de problemas es señal de decadencia o de ignorancia. Antes de descubrirse los rayos "láser", por ejemplo, no existía evidentemente ningún problema sobre ellos; actualmente se publican por año más de 500 trabajos sobre lasers, tratando problemas nuevos, que van apareciendo a medida que se conoce más e investiga sobre ellos.

El resultado más evidente de estos 20 años de revolución en la enseñanza de la matemática, es la aparición de problemas. Los hay en abundancia y de toda índole. Muchos más problemas que soluciones. En todos los congresos y reuniones de especialistas, así como en los artículos de las revistas antes mencionadas, aparecen siempre nuevos problemas y solamente algunas soluciones, casi siempre parciales y sujetas a discusión.

Este hecho a veces desanima a algunos proresores que acuden a dichas rumiones y congresos esperanzados en encontrar soluciones a sus proble-

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mas: ¿Cómo enfocar la enseñanza de las probabilidades y la estadística, primero la estadística y luego la probabilidad, o al revés? ¿Cómo debo evaluar a mis alumnos? ¿Sirven los tests de elección múltiple? ¿Cuándo y con qué intensidad debo empezar con la axiomática? Pero de tales congresos y reuniones nunca resultan conclusiones definitivas. Los partici­pantes se vuelven generalmente con más problemas y dudas de las que tenían al llegar. Por esto, la ¡dea pronto surgió de criticar al movimiento renovador, diciendo: antes no había dudas; se sabía exactamente lo que debía enseñarse y cómo hacerlo, todo bien ordenado para cada día del calendario escolar. En vez de mejorar —dicen— no se ha hecho más que complicar las cosas.

Pero el razonamiento es falaz. No es que se hayan inventado los problemas: ellos existieron siempre y se han agudizado con los cambios acelerados del mundo de hoy. Lo que se ha hecho es ponerlos de manifiesto, que es la primera etapa para atacarlos y resolverlos. La política de cerrar los ojos o esconder la cabeza para no ver los problemas, es típica del avestruz, de mucho cuerpo y poca cabeza, el cual no por ello se salva de quienes le persiguen.

La abundancia de problemas es prueba de que la didáctica de la matemática es una ciencia viva que merece mucha atención y estudio. El descubrimiento de enfermedades, antes desconocidas, fue el primer paso para encontrar vacunas y remedios que permitieron curarlas y alargar la vida. El descubrimiento de los problemas educativos es el primer paso para buscar sus soluciones y con ello ampliar la gama de conocimientos y mejorar las posibilidades de la inteligencia.

Se necesitaría mucho espacio para entrar en detalles sobre el mare mágnum de problemas que han surgido al bucear en las aguas de la educación matemática. Durante estos 20 años de Reforma, los 10 primeros fueron dedicados casi exclusivamente a cuestiones de contenidos. Se hizo una sana limpieza de contenidos arcaicos y se introdujeron otros de manera irreversible (estructuras algebraicas, transformaciones, probabili­dad). La introducción de algunos contenidos nuevos motivó problemas de ordenación y prioridad, y, además, se vio que ellos iban de la mano con otros muchos problemas de distinto tipo, y que eran muchas veces difíciles de tratar separadamente. En el Congreso de Karlsruhe se analizaron varios de ellos, por ejemplo: a) Educación matemática de adultos y educación continua; b) Formación de profesores de matemática; c) Maneras de llevar a cabo las reformas curriculares; d) La evaluación en matemática; e) Investigaciones sobre el proceso de aprendizaje de la matemática; f) Uso de la moderna tecnología en la enseñanza de la matemática; g) Las aplicaciones en la enseñanza de la matemática; h) Algoritmos y calculado­ras en la enseñanza de la matemática.

Actualmente se ha empezado a preparar el programa de los temas a

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tratar en el próximo Congreso Internacional de Berkeley y, entre ellos, se han sugerido:

1) Respecto de los contenidos: a) Contenidos mínimos en el ciclo de enseñanza obligatoria; b) Revisión d- los contenidos de la escuela primaria; c) Temas nuevos en la enseñanza secundaria (grafos, teoría de juegos, investigación operativa, teoría de la información, cálculo numérico, opti­mización), teniendo en cuenta las necesidades de los empleos mas frecuen­tes; d) Temas que pueden ser suprimidos de los actuales curricula; e) Relaciones entre la matemática y la biología y las ciencias sociales en la enseñanza; f) Papeles de la axiomática y de la intuición en la enseñanza de la matemática; g) La matemática en las escuelas técnicas y otras escuelas especializadas (bellas artes, agrarias...); h) La geometría en la escuela primaria y en la secundaria: relaciones con el álgebra, geometría axiomá­tica y geometría intuitiva; i) Las calculadoras de bolsillo en la enseñanza; j) Las calculadoras programables; h) Enseñanza ayudada por computadoras; I) Informe de empleadores sobre las deficiencias observadas en los egresados de los distintos niveles; m) Presentación y ordenamiento de la probabilidad y la estadística en la escuela media y su posible integración con otros temas; n) Análisis de datos.

2. Respecto de ¡a metodología: a) Enseñanza sobre la base de proble­mas; b) Método de los proyectos; c) Enseñanza programada; d) Enseñanza modular; e) Enseñanza integrada; f) Enseñanza individualizada; g) Ense­ñanza a distancia; h) Los libros de texto: ventajas e inconvenientes; i) Las aplicaciones en la enseñanza de la matemática; j) Causas del fracaso en matemática en los alumnos de la escuela primaria y secundaria; k) Enseñanza de adultos; I) Enseñanza continua; m) Relaciones entre la enseñanza del idioma y la enseñanza de la matemática; n) Los algoritmos en la enseñanza; p) Los juegos en la enseñanza y aprendizaje de la matemática.

3. Preparación y actualización de profesores: a) Formación de profeso­res: formación matemática y pedagógica; b) Actualización; c) Evaluación de los profesores; d) Investigación en didáctica de la matemática; e) Libertad del profesor para alterar los curricula: el dilema entre lo que al profesor le gusta enseñar y las necesidades de los alumnos.

4. Evaluación: a) Continua; b) Métodos de evaluación; c) Evaluación de curricula; d) Olimpíadas y otras competencias matemáticas.

Se han identificado unos 120 problemas y temas de este estilo; la comisión que debe decidir el programa del Congreso de Berkeley los está estudiando para seleccionar y decidir sobre los más importantes y urgentes.

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4. Crear matemática y enseñar matemáticaDentro de ese alud en cadena de problemas que presenta la enseñanza de

la matemática, queremos referirnos únicamente a dos de ellos, como ejemplos típicos de problemas que parecen triviales a primera vista, pero cuya complejidad aumenta a medida que se profundiza en ellos. Nos referimos a: 1) Distinta ordenación de la matemática como ciencia y como disciplina curricular, y 2) "Contenidos mínimos" en las distintas etapas de la enseñanza.

Empecemos por el primer problema.La matemática como ciencia constituye un edificio que se va extendien­

do y embelleciendo sin cesar gracias a los aportes de los matemáticos creadores, quienes al mismo tiempo que lo van agrandando cuidan de fortalecer sus bases y de agregarle los arbotantes necesarios para mantener­lo en pie y conservar su esbeltez. Por otra parte, la enseñanza de la matemática es el arte de presentar este edificio de manera que pueda ser comprendido por los profanos, muchos de los cuales sólo necesitan conocer parte del mismo y para ello disponen de un tiempo limitado.

Los matemáticos han hecho una ordenación de su ciencia atendiendo a su complejidad lógica. La meta es construir cada capítulo a partir de algunos axiomas, los más simples posibles, para luego ir añadiendo resultados a partir de sucesivas cadenas de razonamientos lógicos. En este desarrollo hay que introducir, de vez en cuando, nuevas definiciones, pero ello no debe hacerse hasta que se tienen todos los elementos necesarios para que las mismas sean perfectamente coherentes y lógicamente irrefuta­bles de acuerdo con los pasos anteriores. Este método lineal, sin saltos en las cadenas de razonamientos, es inherente, desde Euclides, a la matemáti­ca como ciencia.

En la enseñanza de la matemática se necesita también cierta ordena­ción. El problema es: ¿Son necesariamente las mismas ambas ordenacio­nes? Es decir: ¿Se debe enseñar siguiendo el orden de dificultad estable­cido para su ciencia por los matemáticos creadores? ¿No podría ocurrir que los mecanismos de aprendizaje de nuestro intelecto respondieran a otra ordenación de los mismos conceptos? ¿La dificultad de un concep­to matemático tiene carácter absoluto o depende de la ordenación que se haya hecho de la matemática?

Obsérvese que la respuesta puede no ser trivial. En primer lugar porque la ordenación histórica de la matemática no se ha hecho por grados de dificultad: los números reales, por ejemplo, se utilizaron desde Pitágoras, sin esperar su definición rigurosa dada por Dedekind o Cantor en la segunda mitad del siglo pasado. Y lo curioso es que los matemáti­cos no se equivocaron nunca. En segundo lugar, porque el conocimiento no se adquiere únicamente mediante la lógica y sucesivos razonamientos deductivos, sino que el intelecto humano dispone de la intuición, con

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cuya poderosa ayuda es posible que puedan eliminarse muchas cadenas de razonamientos y convertir en fácil, lo que de otra manera resulta difícil.

Se ha alertado mucho sobre los peligros de la intuición en la matemá­tica. Esos peligros efectivamente existen y hay que prevenirlos, pero la solución no puede consistir en eliminar totalmente la intuición sino en educarla para que proceda correctamente y ayude a hacer el aprendizaje más rápido y atractivo, sin perder seguridad. Pretender que el intelecto asimile los conocimientos matemáticos siguiendo el estricto ordenamien­to que de ellos han hecho los matemáticos profesionales, podría ser equivalente —no digo que lo sea— a pretender ordenar la alimentación de los niños siguiendo el orden de dificultad con que los químicos han ordenado los elementos y sus compuestos, primero el hidrógeno y luego sucesivamente el helio, el litio, el berilio, el boro, el carbono,.. .y seguir asi' hasta los 3 o 4 años de edad en que se llegaría a las proteínas y los hidratos de carbono!

Así como nuestro organismo digiere de entrada productos químicos muy complicados, podría ocurrir que el intelecto tuviera su propia ordenación óptima de aprendizaje. Ello debe ser objeto de cuidadoso estudio. Sin hacer hipótesis, podría muy bien ocurrir que la clásica aversión de muchos alumnos hacia la matemática fuera debida a un erróneo ordenamiento en la presentación de los conceptos.

En la enseñanza de la geometría hay varios casos que pueden servir de ejemplo. Veamos algunos:

En la construcción lineal de la geometría, si no se quiere apelar a la intuición ni a la cinemática, el concepto de ángulo y sobre todo el de su medida aparecen en una etapa bastante avanzada. Como han observado Bourbaki, Dieudonné y Choquet, el concepto riguroso del ángulo no aparece hasta que se establece su ¡somorfismo con el argumento de los números complejos, y su medida es entonces el homomorfismo X -*■ exp (ix) del grupo aditivo de los números complejos de módulo unidad. Sin embargo, ¿es cierto que las definiciones clásicas confunden tanto al alumno y producen en el mismo tales galimatías que se deban suprimir? ¿Todos los matemáticos de la historia hasta Bourbaki han vivido en un mar de confusiones por no saber lo que es un ángulo y cómo se lo debe medir? Desde el punto de vista del matemático puro, es indudable que Choquet y Dieudonné tienen razón , y, por otra parte, es evidente que los lados de un ángulo no tienen memoria y que, por tanto, sin salirse de la pura geometría no es posible distinguir entre ángulos que difieran en dos ángulos llanos. Pero ¿será igualmente cierto que el alumno de enseñanza media se confunde tanto cuando se le dice que la suma de los ángulos de un pentágono convexo vale 450o? ¿No se confundirá toda­vía más cuando se le dice que dicha suma es igual a un ángulo llano, lo

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mismo que para los ángulos de un triángulo? (como hace Papy, Matemá­tica Moderna, Vol. III, Cap. 15)'.

En estas cuestiones conviene no hacer hipótesis y acudir a la experi­mentación. Esta es la tendencia actual: acudir a los psicólogos y educa­dores para que, experimentalmente, decidan.

• Otro ejemplo típico es el concepto de área de una superficie curva. Desde la famosa memoria de Lebesgue, de 1902, los matemáticos saben muy bien las dificultades de una definición precisa de área. Es necesario, por lo menos, el uso del cálculo integral y aun así son posibles varias definiciones que pueden dar origen a los distintos tipos de integral. Es decir, el concepto de área aparece en una etapa avanzada de la matemá­tica, cuando se ordena por dificultad creciente.

El traslado de este hecho a la enseñanza y la creencia de que no debe darse nada que no este previamente definido con todo rigor, ha motiva­do una desaparición casi absoluta del estudio del área de las figuras esféricas en los planes de enseñanza media. Ya no se enseña el área del triángulo esférico, a pesar de su simplicidad y de su gran interés concep­tual, por constituir el modelo mejor para comprender las geometrías no euclidianas y algunos hechos con ellas relacionados como la no existen­cia de figuras semejantes (no congruentes) sobre la esfera. Se arguye: ¿cómo se ha de estudiar áreas de figuras esféricas si no es posible una definición rigurosa y elemental de área? Sin embargo, la realidad es que cualquier alumno, como cualquier persona'normal, aunque no haya estudiado matemática, "'sabe" muy bien lo que significa el área de una figura esférica. Y aunque la matemática superior muestre que este "saber” es sólo ilusorio, pues la intuición primitiva ignora muchas dificultades escondidas, el hecho real es que con su concepto primitivo o intuitivo, el alumno no se equivocará nunca cuando necesite medir u operar con áreas esféricas. Las dificultades aparecen en los centros en que se investiga la matemática en profundidad y es allí donde deben permanecer y custodiarse celosamente, procurando que no trasciendan a niveles de enseñanza en los que no se pueden entender y donde obstacu­lizan un progreso necesario.

Cuando Galileo enunció las leyes.de la,s caída de los graves, obtenidas en la torre de Pisa, se le objetó el hecho de dar leyes sin antes haber dicho lo que era la gravedad. También Newton dio su ley de atracción sin decir la causa de la misma. Y sin embargo, sin saber lo que es la gravedad ni a que' se debe la atracción, se construyó toda la mecánica celeste y hoy, continuando sin haber aclarado el problema, se calculan las trayectorias de los satélites artificiales y naves interplanetarias, sin que la ignorancia de la primera causa conduzca a error ni evite el progreso.

En tono menor, bien podemos permitir a nuestros alumnos de escuela

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media que operen y calculen áreas esféricas sin definir lo que es el área, pues ellos saben muy bien lo que significa, aunque nosotros sepamos que, en realidad.no lo saben.

Podríamos dar otros ejemplos, pero lo único que hemos querido señalar es la necesidad de revisar toda la matemática secundaria para hacer de la misma una nueva ordenación más acorde con los mecanismos- de aprendizaje de los alumnos. Para ello no basta la opinión de los matemáticos. Hay que formar equipos de matemáticos, pedagogos y psicólogos para que estudien, experimenten y opinen sobre bases objeti­vas.

5. Sobre los contenidos mínimosOtro problema de trascendencia y actualidad es el de los "contenidos

mínimos". Tiene varios aspectos. Uno de ellos es el de señalar los conocimientos matemáticos mínimos que se consideren necesarios para poder tomar parte activa y de manera eficiente en la vida actual. De ello nos ocupamos con cierto detalle en "Conceptos de Matemática", N° 47, julio-setiembre de 1978, págs. 21-35. Tampoco estos contenidos míni­mos de la enseñanza obligatoria deberían dejarse librados al criterio subjetivo de consejos o comisiones especiales; deberían hacerse encuen­tas entre los empleadores (dependencias estatales, casas de comercio, industrias) para obtener de ellos la lista de contenidos que estiman necesarios para sus empleados no especializados.

Pero hay que’señalar otro aspecto. En todo curricula de matemática hay que indicar los objetivos esenciales. Podríamos hablar también de algunos "objetivos mínimos" de la enseñanza de la matemática en cada nivel y para cada curso. Señalados estos objetivos mínimos, que debe­rían cumplirse estrictamente, quedaría todavía mucho tiempo para agre­gar otros contenidos no esenciales y ensayar rpetodologías. En todo programa habría que precisar bien los fines y los medios: los primeros inamovibles, y los segundos, variables con el profesor o con la escuela. La teoría de conjuntos, en la enseñanza primaria y secundaria, seguramente es un excelente medio, pero nunca un fin. La coherencia de contenidos es posible que sea un. buen medio, pero no es un fin; aferrarse a la definición conjuntista de ángulo, por ejemplo, como intersección de semi- planos, es defendible si ello aclara y simplifica la enseñanza, pero hay que abandonarla si produce complicaciones. Es necesario experimentar, y si de ello resulta que un excesivo aferramiento a determinada tendencia u opción perjudica el aprendizaje (aunque sea de gran valor estético o conceptual para los matemáticos profesionales) hay que abandonarla y pasar a una matemática más heurística. Lo esencial de la matemática es resolver problemas y, para ello, muchas veces no conviene una excesiva fidelidad a un método o a una tendencia única. Se suele decir que el

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Ivalor educativo de la matemática se pierde si se sale de un perfecto ordenamiento y una inquebrantable coherencia. Puede ser que sea cierto, pero no es evidente. Hay que educar para la vida y los problemas diarios no admiten un tratamiento único ni una ordenación lógica perfecto. No hay que pensar en formalizarlos demasiado, hay que resolverlos echan­do mano a todo lo disponible. Hace falta mucho razonamiento, mucha agilidad mental y conocer muchas herramientas, todo lo cual es el verdadero fin de la matemática en la enseñanza.

Distinguir bien entre los fines y los medios de la enseñanza de la matemática, en cada etapa de la misma, es un problema esencial. Con la llamada matemática moderna, y no por culpa de sus promotores, sino por mala interpretación, se ha confundido mucho lo esencial con lo secundario. En algunos cursos la matemática se ha convertido en el arte de formalizar trivialidades. De aquí el rechazo de muchos alumnos, a quienes molesta, no sin razón, la machacona repetición de lo que ya saben antes de empezar.

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6 La investigación en didáctica de la matemática

Hemos dicho que la característica fundamental de estos 20 años de revolución en la enseñanza de la matemática ha sido la puesta en evidencia de los muchos problemas que ella presenta. Ninguno es de solución fácil y de aquí la necesidad de investigarlos seriamente. Los egresados de cualquier nivel de la enseñanza saben bien que los emplea­dores de hoy cotizan más la "capacidad de aprender" que los conoci­mientos previos. Para un contador, por ejemplo, es más valiosa su agilidad para adaptarse al sinnúmero de leyes y reglamentaciones imposi­tivas, siempre variables, que su habilidad para operaciones aritméticas, que pueden hacer las máquinas. Pero enseñar operaciones y reglas (en­señanza tradicional) es cosa fácil. En cambio ¿cómo enseñar a desarrollar la capacidad de aprender? He aquí la dificultad actual de la enseñanza.

Solía decir el doctor Bernardo Houssay que los países no investigan porque son ricos, sino que son ricos porque investigan. Se refería a la investigación científica, pero lo mismo puede extenderse a la investiga­ción en didáctica o en cualquier aspecto de la educación. Los países poderosos se preocupan mucho por la educación y gastan elevadas sumas en ella, pero no lo hacen porque son poderosos sino porque tuvieron la visión de preocuparse por la educación de sus pueblos. Países hay con muchas riquezas naturales y muchos habitantes y que, sin embargo, nada cuentan en el concierto mundial de las naciones, mientras que otros, sin riquezas en sus suelos y con pocos habitantes figuran a la vanguardia del mismo.

La riqueza de los países se mide por la inteligencia de sus habitantes. Y en el mundo actual, con su complicada tecnología, no hay progreso

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intelectual sin una fuerte y clara base matemática. Por esto, la respon­sabilidad de los profesores de matemáticas es grande. Grande es la responsabilidad y difícil la tarea. Para enseñar bien hay que seguir aprendiendo todos los días, con el espíritu abierto a las novedades que procedan de los centros de investigación y el ánimo dispuesto a ensayar estas novedades en el aula, para luego opinar y hacer oir su voz ante los organismos responsables. El mundo cambia a gran velocidad y para no preparar alumnos desplazados, hay que cambiar la enseñanza al compás del mundo.

Mantener actualizados los programas y la metodología, es un deber de las autoridades educativas. Cumplirlos lo mejor posible, es deber de los profesores. El problema es demasiado importante y la urgencia demasia­do grande como para dejar campo a la inacción o a la improvisación. Hay que aprovechar las experiencias ajenas y contribuir con estudios y experiencias propias. Los programas y metodologías deben estar bajo constante estudio y revisión, sin pausa, como no la tiene la evolución del mundo en estos años en que termina el segundo milenio. Hay que prepararse para entrar en el tercero con pie derecho y firme.

Desde Pitágoras ("todo es número), pasando por Galileo ("el libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático"), hasta Heissenberg ("en un principio fue la simetría"), la matemática ha sido un faro de esperanza para entender el mundo. Nuestra misión, como enseñantes de esta ciencia, es mantener su antorcha sin desviaciones ni torceduras, pura y enhiesta, para que ilumine el camino y conduzca a los hombres hacia un mundo mejor.

Preguntas formuladas al terminar la disertación

PREGUNTA: Respecto de las calculadoras de bolsillo ¿cree usted que su uso en la segunda enseñanza es útil o perjudicial?

RESPUESTA: Este es un problema que se ha debatido, se debate y se seguirá debatiendo en todo el mundo. En la Conferencia Interamericana de Campiñas, en el pasado mes de febrero, hubo una sesión dedicada especialmente al mismo. Según un informe del Dr. E. C. Jacobsen (en el libro [6], pág. 111) "mucha gente discute todavía si las calculadoras de bolsillo deben ser usadas o no en la primera enseñanza, pero con respecto a la secundaria solamente está en discusión la mejor manera de usarlas". Por otra parte, sigue diciendo Jacobsen, con la disminución del

precio y la facilidad de su uso', "las calculadoras serán usadas por los alumnos independientemente de lo que la escuela decida" Ellos las usan y las usarán cada día más en sus casas, tanto cuando’ la escuela lo aprueba como si no lo hace. Efectivamente, el progreso nunca se ha podido detener y a medida que las calculadoras se encuentren en el mercado a precios no prohibitivos, los alumnos las van a comprar y a utilizar, guste o no a los maestros o a las autoridades educativas. Por otra parte, como la escuela debe educar para la vida común, no hay razón para que los alumnos tengan que aprender el manejo de las calculadoras por su cuenta y es mejor que la escuela se adelante en su enseñanza. Lo que debe hacerse es aprovecharlas para que la enseñanza de la matemática sea más eficiente. En realidad ellas son un elemento muy valioso del que hay que sacar el máximo rendimiento. Si con ellas- la escuela se limita a los mismos problemas que pueden resolverse con lápiz y papel, de manera que las calculadoras solamente signifiquen una mayor rapidez, seguridad y comodidad, el provecho es relativo. Lo que se pretende es lograr que con la calculadora se puedan enseñar temas y resolver problemas que sin ella resultaría imposible. Por esto, la intro­ducción de las calculadoras de bolsillo en la enseñanza debe significar una renovación total de métodos y contenidos. Todos los programas de matemática actuales han sido pensados teniendo en cuenta las posibilida­des calculatorias. Se choca, como dijo J. Michelow en Campiñas, con la "barrera aritmética" de los cálculos, que han impedido la enseñanza de muchos temas que por ser intratables a mano, no se pudieron introducir en los programas. Con las calculadoras se rompe esta barrera y aparece un nuevo e inmenso horizonte de oosibilidades.

Los argumentos que se han esgrimidos en los últimos años en contra de las calculadoras en la escuela media, los mismos en todas partes, han sido fácilmente rebatidos. Estos argumentos han sido esencialmente los siguientes: a) Dependencia. Se dice que si se acostumbra al uso de la calculadora el hombre dependerá de ellas para sus cálculos hasta el punto de encontrarse desválido cuando le falte. Se contesta que lo mismo depende actualmente del lápiz y papel, como también depende, en otros aspectos, del reloj de pulsera y de todo el instrumental técnico que le rodea y usa constantemente, desde los útiles eléctricos caseros hasta los medios de transporte comunes, y no por ello se le ocurre renunciar a los mismos, b) Pérdida de habilidad para el cálculo manual. Se contesta que el progreso ha significado siempre la pérdida de habilida­des, que devienen obsoletas, para adquirir otras superiores y más prove­chosas. Encender fuego frotando maderas, manejar el hacha o conocer la hora mirando al sol, son habilidades que se han perdido sin mayores lamentos de nadie, c) Las calculadoras producen atrofia intelectual. En este sentido, la realidad es justamente lo contrario. Las calculadoras

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exigen mucho más ejercicio intelectual que la operatoria memorística. El usuario debe razonar muy bien sobre la manera de dirigir los cálculos para que se adapten al problema que trata de resolver. Estamos ante el defecto tradicional de creer, por ejemplo, que la multiplicación es un fin en si mismo, cuando en realidad debe ser tan sólo un medio para resolver problemas, cuya parte esencial es el planteo y programación. La buena enseñanza debe hacer hincapié en este último aspecto: la operatoria es tan solo una necesidad si no se dispone de máquinas que la hagan, pero ni educa ni agiliza el intelecto.

Naturalmente, que, asi' como el automóvil no se usará para trasladarse media cuadra, tampoco la calculadora se ha de usar para operaciones que pueden hacerse de memoria. Por esto su introducción en la escuela no supone el olvido de las tablas, cuya memorizaciós es imprescindible, ni del conocimiento de los algoritmos aritméticos elementales. No hay peligro de que con el uso de las tablas se olviden estos lo mismo que el uso del automóvil no ha hecho que sus usuarios se olviden de caminar.

PREGUNTA: ¿Existen algunos centros de investigación didáctica en América Latina?

RESPUESTA: Hemos hecho antes referencia a los centros más impor­tantes a nivel internacional, cuyas experiencias y resultados suelen publi­carse en revistas y libros de amplia difusión y que conviene sean conoci­dos por todos los profesores de matemática que deseen estar actualiza­dos en su disciplina. Pero hay otros muchos, de menor importancia, cuya labor local es a veces importante. Sin que la lista sea exhaustiva, podemos citar los siguientes.

En Brasil hay varios centros, como el CIPEM (Centro Interdisciplina- rio de Pesquisa sobre Ensino da Matemática) de la Universidad de Campiñas, el proyecto ENEAM (Estudio Nacional do Ensino Aprendiza- gem de Matemática) con sede en la Universidad Federal de Paraiba. Otros grupos son el GEEMPA de Porto Alegre, el GEEM de Sao Paulo, el GEMEG de Guanabara, etcétera.

En Chile funciona desde hace tiempo el Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e Investigación Pedagógica (Lo Barnechea), cuyo Depar­tamento de Matemática publica un Boletín de Educación Matemática.

En Venezuela está el CENAMEC (Centro Nacional para el Mejoramien­to de la Enseñanza de las Ciencias) que ha hecho mucha experimentación y estudios sobre posibles contenidos y metodologías para la enseñanza de la matemática a distintos niveles, así como la enseñanza a distancia. También hay un grupo importante en Barquisimeto.

En Colombia existe el ICOPE (Instituto Colombiano de Pedagogía), en Paraguay, la COMENCI (Comisión para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias), en Perú, el IMPEM (Intituto para la Promoción de la Enseñanza de la Matemática), En general todos los países tienen institucio-

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nes análogas que muestran interés por el problema. Sin embargo, su efectividad es oscilante, pues sufren con frecuencia cambios en su organiza­ción y en sus objetivos, lo que perjudica el rendimiento.

En Argentina, cornos iodos ustedes saben, existe DIEPE (Dirección Nacional de Investigación, Experimentación y Perfeccionamiento Educati­vo), sucesora del antiguo INEC (Instituto Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias), la que lleva a cabo distintos proyectos (como el Proyecto 13) y de la cual depende el Proyecto Multinacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias (actualmente a cargo del profesor H. Ruival), que con el apoyo de la OEA organiza cursos de actualización para profesores y maestros. Si embargo estas instituciones realizan poca labor de investigación propiamente dicha, pues faltaría la evaluación y el análisis estadístico de sus resultados y una fijación de objetivos concretos.

Aparte de e$tos organismos oficiales de carácter nacional y de otros análogos dependientes de la provincias, existen en la Argentina grupos que trabajan con mucho entusiasmo y competencia, aunque con estímulo escaso o nulo de las autoridades correspondientes. En la primera enseñan­za, por ejemplo, han hecho muy buena labor las profesoras Luz Cerdeyra, en Neuquén, y Josefina Cosentino, en Mendoza, cuya orientación y meto­dología ha influido muy favorablemente en las escuelas de sus respectivas zonas. También el profesor Alfredo Palacios ha originado grupos en Bue­nos Aires y La Plata sobre las ¡deas de Dienes en los jardines de infantes y escuela elemental. Para la segunda enseñanza existen los trabajos del GECYT de Córdoba (Grupo para la Enseñanza de las Ciencias y Tecnolo­gía) formado por el personal del IMAF (dependiente de la Universidad) y profesores de enseñanza media, con colaboración de expertos en educación y psicología. Grupos análogos, empiezan a funcionar en Santa Rosa, San Luis, Rosario, Salta, Tandil, Tucumán. Importante labor han hecho en Resistencia, primero el profesor Hugo Acevedo y actualmente el profesor Carlos A. Mansilla, con su proyecto para el Mejoramiento de la Educación Matemática en las Escuelas Secundarias. Otro grupo efectivo y perseveran­te es el dirigido por las profesoras Lidia V. Vicente y Ana G. de Houssay en Lomas de Zamora y Buenos Aires que ha realizado valiosas experiencias sobre la didáctica y la metodología en la formación de docentes.

Muchos de estos esfuerzos realizados en la Argentina se encuentran relatados en un informe preparado por el GECYT de Córdoba, a raía de'la Reunión de Educación Matemática que tuvo lugar en Vaquerías (Córdoba) en julio de 1978.

Posiblemente existan otros grupos que no hemos mencionado, pero la característica de todos ellos es que se trata de esfuerzos aislados, con escasa coordinación y poca o nula ayuda oficial, de manera que su rendi­miento, aparte de mostrar la admirable abnegación y empeño de sus

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componentes, es escaso. La didáctica de la matemática es una ciencia y, como tal. para trabajar en ella es imprescindible tener información sobre los resultados obtenidos por quienes trabajan en el mismo tema, única manera de no perder tiempo repitiendo lo que otros ya han hecho. Por otra parte es imprescindible publicar los resultados y su evaluación, basada sobre los métodos que suministra la estadística. Podemos decir que la investigación en didática de la matemática todavía está en muchos países, entre ellos el nuestro, en la etapa pre científica.

PREGUNTA: ¿Cómo se determinan los contenidos mínimos?RESPUESTA: Es un problema difícil. Se sabe lo que "no hay que

hacer", que consiste en dejar tal determinación en manos de un solo funcionario o un grupo reducido de ellos que decidan en poco tiempo y sobre la base de su criterio o experiencia personal, siempre limitada. Lo que se recomienda es hacer encuestas, lo más amplias y significativas posibles entre los futuros empleadores (industriales, empresarios, directo­res de oficinas públicas) para que digan las necesidades que estiman importantes para sus empleados, para cada nivel de empleo de los mismos.

Estas opiniones, junto con las de los expertos en matemática, en educación y en psicología, y unidas a un poco de futurología para predecir dentro de lo posible las necesidades de los próximos años, pueden ser la base para determinar objetivamente los contenidos mínimos. También hay que conocer los contenidos mínimos fijados en otros países, pues aunque hay siempre diferencias locales, pueden servir para comparar las grandes líneas.

PREGUNTA: ¿Puede indicar alguna experiencia sobre la actualización "a distancia" de los profesores en actividad?

RESPUESTA: La preparación y actualización de los profesores y maes­tros "a distancia" es un problema que va ganando muchos adeptos. En general se realiza por correspondencia, ayudada con reuniones periódicas zonales y, a veces, por audiciones de radio o televisión. El modelo es siempre la "Open University", de Inglaterra, pero hay experiencias en varios países latinoamericanos. En Brasil y Venezuela se ha trabajado mucho en este sentido. En países chicos, como Costa Rica y El Salvador, la organización es más fácil y hay experiencias exitosas. En la Argentina ha comenzado la actualización de profesores de enseñanza media por el PROMEC (Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias en la Escuela Secundaria), dependiente del CONICET, un plan que ofrece buenas perspectivas si tiene continuidad y cuidado.

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BIBLIOGRAFIA

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2. Contenidos mínimos. Sobre este tema se puede ver el fascículo especial (febrero 1979, N° 2, vol. 71) de la misma revista anterior,

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4. Educación Matemática en Las Américas, III y IV (Actas de las Conferencias Interamericanas de Bahía Blanca y Caracas respectivamente) publicadas por la Oficina Regional de Ciencias para América Latina de UNESCO, Montevideo, 1973 y 1976.

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Láminas

Julio Rey Pastor..................................................................Gal i leo (La ciencia moderna)...............................................Kurt Gódel (la matemática y las fronteras de la mente hu­mana).......................................................................................Un hombre trabaja con números; otro prefiere su ábaco..La matemática y la belleza...................................................Claude Shannon (Matemática aplicada de alto vuelo)---- 111Willy Serváis (Un brillante pedagogo moderno).El séptimo Congreso de Física Solvay (Bruselas, 1933)... 149 La primera máquina moderna de calcular (Mark 1,1942)... 159

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INDICE

A manera de prólogo.............................................................El maestro..............................................................................Palabras del maestro (J. Rey Pastor)..................................La polémica sobre la enseñanza conjuntista (Jorge E.Bosch).....................................................................................Comentarios semánticos sobre números y conceptos(Tilomas M. b»mpson)............................................................Aprendizaje de la matemática en la escuela primaria(Lucrecia iglesias).................................................................Problemas de la enseñanza de la matemática (César A.Tre/ot....... ...............................................................................La enseñanza de la matemática moderna en la RepúblicaFederal de Alemania (Franz J. Mehr)..................................Reflexiones de un profesor de matemática (José Banfi).. 127 La matemática en la enseñanza de la física (Heraclio A.fíuival).....................................................................................Panorama general de la enseñanza de la matemática (Luis A Santalo)......................... .......................................

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Este libro se termino de imprimir en el mes de junio de 1980 en COGTAL (Cooperativa Obrera Gráfica Talleres Argentinos Limitada), Rivadavia 76^ Capital Federal. República Argentina

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cancrosDE MATEMATICA

PARA EL MAESTRO

EL PROFESOR

EL ESTUDIANTE

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