Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer

Capitulo 1 – Introdução à Probabilidade.

1.1 Modelos Matemáticos

1.2 Introdução aos Conjuntos

Alguns símbolos: , para todos; , existe e não existe; , final da prova; , se, e somente se;

, implica; , tal que; portanto e pois.

, leia é elemento de .

, leia não é elemento de A.

, leia é subconjunto de .

, leia união .

, leia interseção .

, leia diferença de com .

, leia de e .

.

.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

1.3 Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos

1.4 O Espaço Amostral

1.5 Eventos

1.6 Frequência Relativa

, onde é a do evento , nas , repetições.

1.7 Noções Fundamentais de Probabilidade

Teorema 1.1 .

Teorema 1.2 .

Teorema 1.3 .

Teorema 1.4

.

Teorema 1.5 Se , então .

1.8 Algumas Observações

Problemas

1) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam ,

, e . Enumere os elementos de dos seguintes conjuntos:

a) .

b) .

c) .

d)

.

e)

.

2) Suponha que o conjunto fundamental seja dado por . Sejam os conjuntos e definidos

da forma seguinte:

e

. Descreva os seguintes conjuntos:

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

3) Quais das seguintes relações são verdadeiras?

a) Verdadeira.

b) . Verdadeira, pois, .

c) Falsa.

d) . Falsa, pois, .

e) . Verdadeira, pois, .

4) Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos de coordenadas ambas inteiras, e

que estejam dentro oi sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas . Enumere

os elementos dos seguintes conjuntos:

a) .

b)

c)

d) .

e) .

Analisando

Analisando

5) Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relações:

a) e implicam que .

b) implica que .

c) implica que .

d) implica que .

e) e implicam que .

6) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As pecas são

inspecionadas e sua condição é registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam

fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aqui que ocorra em primeiro lugar. Descreva um

espaço amostral para este experimento.

7)

a) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas com filamento partido. Essas lâmpadas são

verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espaço amostral

para este experimento.

Seja , a primeira lâmpada defeituosa retirada e , a i-ésima lâmpada não defeituosa

retirada.

.

b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido

encontradas. Descreva o espaço amostra para este experimento.

Seja , a i-ésima lâmpada defeituosa retirada e , a i-ésima lâmpada não

defeituosa retirada.

𝑆_7𝑎

𝐷_1

𝐵_1

𝐷_1

𝐵_2 ...

𝐷_1

𝐵_(𝑁 𝑟) 𝐷_1

.

8) Considere quatro, objetos, . Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listado represente o

resultado do experimento. Sejam os eventos e definidos assim: ;

.

a) Enumere todos os elementos do espaço amostral.

.

b) Enumere todos os elementos dos eventos e .

.

.

.

.

9) Um lote contém peças pesando 5, 10, 15, ..., 50 gramas. Admitamos que ao menos duas peças de cada peso

sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Seja o peso da primeira peça escolhida e , o

peso da segunda. Portanto, o par de números representa um resultado simples do experimento.

Empregando o plano , marque o espaço amostral e os seguintes eventos:

a) .

b) .

c) A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira.

d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a segunda peça.

e) O peso médio de duas peças é menos do que 30 gamas.

10) Durante um período de 24 horas, em algum momento , uma chave é posta na posição “ligada”. Depois, em

algum momento futuro (ainda durante o mesmo período de 24 horas) a chave é virada para a posição

“desligada”. Suponha que e sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na

origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números .

a) Descreva o espaço amostral.

b) Descreva e marque no plano os seguintes eventos:

i) O circuito está ligado por uma hora ou menos.

ii) O circuito está ligado no tempo , onde é algum instante no período de 24 horas.

z é representado pela área pontilhada e pela linha pretas.

.

iii) O circuito é ligado antes do tempo e desligado no tempo (onde também são dois instantes

durante o período de 24 horas especificado).

é representado pela região pontilha de azul.

iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado.

é o tempo que o circuito fica desligado e o tempo que o circuito fica ligado

11) Sejam três eventos associado a um experimento. Exprima em notação de conjuntos, as seguintes

afirmações verbais.

a) Ao menos um dos eventos ocorre.

.

b) Exatamente um dos eventos ocorre.

ou,

=

c) Exatamente dois dos eventos ocorrem.

ou,

d) Não mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente.

12) Demostre o Teor 1.4.

Teorema 1.4

.

Teorema 1.3

13)

a) Verifique que para dois eventos quaisquer, e temos que .

Teorema 1.3

Como a probabilidade que ocorra qualquer evento é a conclusão é

sempre satisfeita portanto a desigualdade é sempre verdadeira.

b) Verifique que para quaisquer eventos , temos que .

[Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em b é denominado desigualdade de

Boole].

No Teorema 1.4 está provado que

para , então a desigualdade é

valida para e é verdadeira se fora valida para .

E

Teorema 1.3:

Como é sempre satisfeita portanto a desigualdade

é sempre verdadeira.

14) O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos ou ocorra. O seguinte enunciado se

refere à probabilidade de que exatamente um dos eventos ou ocorra. Verifique que:

Conforme a figura acima a , e , logo e

são dois eventos mutuamente excludentes então pela propriedade 3.

15) Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais,

queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável

do que a queima e esta sendo quatro vezes mais provável do que a desgastes das escovas. Qual será a

probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstancias?

Emperramento dos mancais.

Queima dos enrolamentos.

Desgastes das escovas.

16) Suponha que e sejam eventos tais que , , e . Exprima cada uma das

seguintes probabilidades em termo de e .

a)

.

b)

.

c)

d)

.

17) Suponha que e sejam eventos tais que

, e

. Calcule a probabilidade que ao menos um dos eventos ou ocorra.

Para eu ocorrer ao menos um dos eventos, basta que ocorra:

.

.

18) Uma instalação é constituída de duas caldeiras e uma máquina. Admita que o evento seja que a maquina

esteja em boas condições de funcionamento, enquanto os eventos são os eventos de que a -

ésima caldeira esteja em boas condições. O evento é que a instalação possa funcionar. Se a instalação puder

funcionar sempre que a máquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos e , em

termos de e dos .

tem que ocorrer e pelos menos um , ou seja .

),

,

,

19) Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e II. Suponha que se disponha de duas unidades do tipo I e três

unidades do tipo II. Defina os eventos e da seguinte maneira: a -ésima unidade do

tipo I está funcionado adequadamente; : a -ésima unidade do tipo II está funcionando adequadamente.

Finalmente, admita que represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecanismo funcione se ao

menos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expresse o evento em termos

de e dos .

Tem que ocorrer pelo menos um , ou seja, , que está representada de vermelho na figura

abaixo, e pelo menos dois tem que ocorrer, ou seja, e , ou e , ou e , ou , e

. Em notação de conjunto temos ·que está representado de

azul na figura abaixo, (não é necessário , pois esta área já esta incluída na união das três

interseções, conforme mostra a região de contorno pontilhado).

é a área ondulada.