MODELAÇÃO E SIMULAÇÃO - 2020

MEEC – IST, TESTE N0.1 TIPO – V05

PROBLEMA No.1 [5 v] Análise de sistemas não lineares

Considere o sistema dinâmico descrito pela equação diferencial

P1.1 [1 v] Calcule os pontos de equilíbrio do sistema (1) no intervalo P1.2 [3 v] Trace de modo aproximado a evolução das trajectórias de x(t) para os seguintes 4 valores iniciais de x: Para isso, calcule explicitamente o sinal de dx(t)/dt, t≥0. Com base nesta informação, estabeleça uma conjectura àcerca da estabilidade local de cada um dos pontos de equilíbrio. P1.3. [1 v] Confirme a conjectura àcerca das propriedades de estabilidade dos pontos de equilíbrio feita em P1.2 por análise das linearizações do sistema em torno de cada um dos pontos.

Problema No. 2 [8 v] Modelação em espaço de estados. Relação entre descrições nos domínios do tempo e da frequência

A figura 1 ilustra o modelo físico simplificado de um rotor acoplado a um braço rígido que roda no plano vertical X-Y, em torno do eixo Z. O braço tem um único grau de liberdade e movimenta-se sob a acção da força externa Fm gerada pelo rotor, estando também sujeito à acção da gravidade e de uma “mola rotacional”. O ângulo q é medido em relação à horizontal do lugar.

Fig.1. Rotor acoplado a braço robótico

dxdt = �x2cos(x)

<latexit sha1_base64="4Aoq+AnJxkZhD+t5sXqszgDhq5c=">AAACC3icbVC7SgNBFJ31GeNr1dJmSBCSwrAbCwURooJYRjAPyK5hdnY2GTL7YGZWEpbtbfwEf8HGQhFbf8DOP7D2C5w8Ck08lwuHc+5l5h4nYlRIw/jU5uYXFpeWMyvZ1bX1jU19a7suwphjUsMhC3nTQYIwGpCapJKRZsQJ8h1GGk7vfOg3bgkXNAyu5SAito86AfUoRlJJbT1neRzhxO2niSvTk/3+TRmHotAvQut4XLCt542SMQKcJeaE5CtF4+Lr++G02tY/LDfEsU8CiRkSomUakbQTxCXFjKRZKxYkQriHOqSlaIB8IuxkdEsK95TiQi/kqgMJR+rvjQT5Qgx8R036SHbFtDcU//NasfSO7IQGUSxJgMcPeTGDMoTDYKBLOcGSDRRBmFP1V4i7SIUjVXxZFYI5ffIsqZdL5kGpfGXmK2dgjAzYBTlQACY4BBVwCaqgBjC4A4/gGbxo99qT9qq9jUfntMnODvgD7f0H3T2dTw==</latexit>

x0 = �3⇡/4,�⇡/4,+⇡/4,+3⇡/4<latexit sha1_base64="nHkg2fjbe5xQh9HqS/86EJKUzG0=">AAACDXicbVDLSgMxFL1TX7W+Rl26CVZB0NYZLehGKLpxWcE+oB2GTJq2oZkHSUYsQ3/Ajb/ixoUibt27829M2xG09UC4h3Pu5eYeL+JMKsv6MjJz8wuLS9nl3Mrq2vqGublVk2EsCK2SkIei4WFJOQtoVTHFaSMSFPsep3WvfzXy63dUSBYGt2oQUcfH3YB1GMFKS665d+9aF4XTVsSOS0eokNbDnzoxXDNvFa0x0CyxU5KHFBXX/Gy1QxL7NFCEYymbthUpJ8FCMcLpMNeKJY0w6eMubWoaYJ9KJxlfM0T7WmmjTij0CxQaq78nEuxLOfA93elj1ZPT3kj8z2vGqnPuJCyIYkUDMlnUiTlSIRpFg9pMUKL4QBNMBNN/RaSHBSZKB5jTIdjTJ8+S2knRtor2TSlfvkzjyMIO7MIB2HAGZbiGClSBwAM8wQu8Go/Gs/FmvE9aM0Y6sw1/YHx8A/u3l7E=</latexit><latexit sha1_base64="nHkg2fjbe5xQh9HqS/86EJKUzG0=">AAACDXicbVDLSgMxFL1TX7W+Rl26CVZB0NYZLehGKLpxWcE+oB2GTJq2oZkHSUYsQ3/Ajb/ixoUibt27829M2xG09UC4h3Pu5eYeL+JMKsv6MjJz8wuLS9nl3Mrq2vqGublVk2EsCK2SkIei4WFJOQtoVTHFaSMSFPsep3WvfzXy63dUSBYGt2oQUcfH3YB1GMFKS665d+9aF4XTVsSOS0eokNbDnzoxXDNvFa0x0CyxU5KHFBXX/Gy1QxL7NFCEYymbthUpJ8FCMcLpMNeKJY0w6eMubWoaYJ9KJxlfM0T7WmmjTij0CxQaq78nEuxLOfA93elj1ZPT3kj8z2vGqnPuJCyIYkUDMlnUiTlSIRpFg9pMUKL4QBNMBNN/RaSHBSZKB5jTIdjTJ8+S2knRtor2TSlfvkzjyMIO7MIB2HAGZbiGClSBwAM8wQu8Go/Gs/FmvE9aM0Y6sw1/YHx8A/u3l7E=</latexit><latexit sha1_base64="nHkg2fjbe5xQh9HqS/86EJKUzG0=">AAACDXicbVDLSgMxFL1TX7W+Rl26CVZB0NYZLehGKLpxWcE+oB2GTJq2oZkHSUYsQ3/Ajb/ixoUibt27829M2xG09UC4h3Pu5eYeL+JMKsv6MjJz8wuLS9nl3Mrq2vqGublVk2EsCK2SkIei4WFJOQtoVTHFaSMSFPsep3WvfzXy63dUSBYGt2oQUcfH3YB1GMFKS665d+9aF4XTVsSOS0eokNbDnzoxXDNvFa0x0CyxU5KHFBXX/Gy1QxL7NFCEYymbthUpJ8FCMcLpMNeKJY0w6eMubWoaYJ9KJxlfM0T7WmmjTij0CxQaq78nEuxLOfA93elj1ZPT3kj8z2vGqnPuJCyIYkUDMlnUiTlSIRpFg9pMUKL4QBNMBNN/RaSHBSZKB5jTIdjTJ8+S2knRtor2TSlfvkzjyMIO7MIB2HAGZbiGClSBwAM8wQu8Go/Gs/FmvE9aM0Y6sw1/YHx8A/u3l7E=</latexit><latexit sha1_base64="nHkg2fjbe5xQh9HqS/86EJKUzG0=">AAACDXicbVDLSgMxFL1TX7W+Rl26CVZB0NYZLehGKLpxWcE+oB2GTJq2oZkHSUYsQ3/Ajb/ixoUibt27829M2xG09UC4h3Pu5eYeL+JMKsv6MjJz8wuLS9nl3Mrq2vqGublVk2EsCK2SkIei4WFJOQtoVTHFaSMSFPsep3WvfzXy63dUSBYGt2oQUcfH3YB1GMFKS665d+9aF4XTVsSOS0eokNbDnzoxXDNvFa0x0CyxU5KHFBXX/Gy1QxL7NFCEYymbthUpJ8FCMcLpMNeKJY0w6eMubWoaYJ9KJxlfM0T7WmmjTij0CxQaq78nEuxLOfA93elj1ZPT3kj8z2vGqnPuJCyIYkUDMlnUiTlSIRpFg9pMUKL4QBNMBNN/RaSHBSZKB5jTIdjTJ8+S2knRtor2TSlfvkzjyMIO7MIB2HAGZbiGClSBwAM8wQu8Go/Gs/FmvE9aM0Y6sw1/YHx8A/u3l7E=</latexit>

]� 3⇡/2,+3⇡/2 [<latexit sha1_base64="j0ZCz1ZULq1jvnMhVCp8Ba3MTns=">AAAB/nicbZDLSsNAFIZP6q3WW1RcuRksgqDWpAoKbopuXFawF0hCmUwn7dDJhZmJUELBV3HjQhG3Poc738Zpm4W2/jDw8Z9zOGd+P+FMKsv6NgoLi0vLK8XV0tr6xuaWub3TlHEqCG2QmMei7WNJOYtoQzHFaTsRFIc+py1/cDuutx6pkCyOHtQwoV6IexELGMFKWx1zzzs9dxN2Vj1Bx1NA7rXTMctWxZoIzYOdQxly1Tvml9uNSRrSSBGOpXRsK1FehoVihNNRyU0lTTAZ4B51NEY4pNLLJueP0KF2uiiIhX6RQhP390SGQymHoa87Q6z6crY2Nv+rOakKrryMRUmqaESmi4KUIxWjcRaoywQlig81YCKYvhWRPhaYKJ1YSYdgz355HprVim1V7PuLcu0mj6MI+3AAR2DDJdTgDurQAAIZPMMrvBlPxovxbnxMWwtGPrMLf2R8/gBTwZMi</latexit><latexit sha1_base64="j0ZCz1ZULq1jvnMhVCp8Ba3MTns=">AAAB/nicbZDLSsNAFIZP6q3WW1RcuRksgqDWpAoKbopuXFawF0hCmUwn7dDJhZmJUELBV3HjQhG3Poc738Zpm4W2/jDw8Z9zOGd+P+FMKsv6NgoLi0vLK8XV0tr6xuaWub3TlHEqCG2QmMei7WNJOYtoQzHFaTsRFIc+py1/cDuutx6pkCyOHtQwoV6IexELGMFKWx1zzzs9dxN2Vj1Bx1NA7rXTMctWxZoIzYOdQxly1Tvml9uNSRrSSBGOpXRsK1FehoVihNNRyU0lTTAZ4B51NEY4pNLLJueP0KF2uiiIhX6RQhP390SGQymHoa87Q6z6crY2Nv+rOakKrryMRUmqaESmi4KUIxWjcRaoywQlig81YCKYvhWRPhaYKJ1YSYdgz355HprVim1V7PuLcu0mj6MI+3AAR2DDJdTgDurQAAIZPMMrvBlPxovxbnxMWwtGPrMLf2R8/gBTwZMi</latexit><latexit sha1_base64="j0ZCz1ZULq1jvnMhVCp8Ba3MTns=">AAAB/nicbZDLSsNAFIZP6q3WW1RcuRksgqDWpAoKbopuXFawF0hCmUwn7dDJhZmJUELBV3HjQhG3Poc738Zpm4W2/jDw8Z9zOGd+P+FMKsv6NgoLi0vLK8XV0tr6xuaWub3TlHEqCG2QmMei7WNJOYtoQzHFaTsRFIc+py1/cDuutx6pkCyOHtQwoV6IexELGMFKWx1zzzs9dxN2Vj1Bx1NA7rXTMctWxZoIzYOdQxly1Tvml9uNSRrSSBGOpXRsK1FehoVihNNRyU0lTTAZ4B51NEY4pNLLJueP0KF2uiiIhX6RQhP390SGQymHoa87Q6z6crY2Nv+rOakKrryMRUmqaESmi4KUIxWjcRaoywQlig81YCKYvhWRPhaYKJ1YSYdgz355HprVim1V7PuLcu0mj6MI+3AAR2DDJdTgDurQAAIZPMMrvBlPxovxbnxMWwtGPrMLf2R8/gBTwZMi</latexit><latexit sha1_base64="j0ZCz1ZULq1jvnMhVCp8Ba3MTns=">AAAB/nicbZDLSsNAFIZP6q3WW1RcuRksgqDWpAoKbopuXFawF0hCmUwn7dDJhZmJUELBV3HjQhG3Poc738Zpm4W2/jDw8Z9zOGd+P+FMKsv6NgoLi0vLK8XV0tr6xuaWub3TlHEqCG2QmMei7WNJOYtoQzHFaTsRFIc+py1/cDuutx6pkCyOHtQwoV6IexELGMFKWx1zzzs9dxN2Vj1Bx1NA7rXTMctWxZoIzYOdQxly1Tvml9uNSRrSSBGOpXRsK1FehoVihNNRyU0lTTAZ4B51NEY4pNLLJueP0KF2uiiIhX6RQhP390SGQymHoa87Q6z6crY2Nv+rOakKrryMRUmqaESmi4KUIxWjcRaoywQlig81YCKYvhWRPhaYKJ1YSYdgz355HprVim1V7PuLcu0mj6MI+3AAR2DDJdTgDurQAAIZPMMrvBlPxovxbnxMWwtGPrMLf2R8/gBTwZMi</latexit>

Fm

θMg Y

X

L

P2.1 1 [1 v] Modelação. Mostre que a dinâmica do sistema com entrada Fm e saída q é descrita pela equação diferencial

onde J, M e L são respectivamente o momento de inércia, a massa do rotor e o comprimento do braço, e -Kq é um binário de restituição associado à constante de mola K (despreza-se a massa do braço comparada com o valor da massa M). Os valores destes parâmetros são

g=10 m s-2; J = 0.5 Kg m2 ; K = 2 N m rad-1 ; M = 1 Kg ; L = 0.5 m

Pretende-se controlar com grande precisão o sistema em torno do ponto de equilíbrio correspondente a q0= p/6.

P2.2 [1 v] Modelo em espaço de estados e cálculo das condições de equilíbrio

Re-escreva o modelo do sistema determinado em P2.1 utilizando a formulação em espaço de estados, isto é, escreva o modelo na forma

onde

Calcule a força de equilíbrio u=u0 correspondente ao ponto de equilíbrio

(isto é, a calcule força necessária para manter o braço parado na posição angular q0 ).

P2.3 [3v] Sistema Linearizado

Calcule a linearização do sistema total em torno do ponto de equilíbrio acima especificado, escrita na forma

com A e B a calcular, onde (para simplificar a notação) x1, x2 e u correspondem agora a pequenos desvios do vector de estado e da entrada em torno, respectivamente, de [p/6, 0]T, e u0. Note que sen(p/6)=1/2. Faça agora u=0 (sistema linearizado com entrada nula). Mostre, recorrendo ao cálculo dos valores próprios de A, que o sistema linearizado assim obtido é instável. A fim de comprovar esta afirmação calcule a função de transferência G(s) da entrada u para a saída x1 e verifique que

dxdt = Ax+Bu

<latexit sha1_base64="6agDlov2awQcy4+kfMfYrdsGUgk=">AAAB/HicbVDLSsNAFJ3UV62vaJduBougCCWpC90IbQVxWcE+oA1lMpm0QyeTMDORlhD/RNy4UMStH+LOP3DtFzh9LLT1wIXDOfdy7z1uxKhUlvVpZJaWV1bXsuu5jc2t7R1zd68hw1hgUschC0XLRZIwykldUcVIKxIEBS4jTXdwOfabd0RIGvJbNYqIE6Aepz7FSGmpa+Y7vkA48YZp4qn0ojI8qcZds2AVrQngIrFnpFA+tq6+vh8qta750fFCHAeEK8yQlG3bipSTIKEoZiTNdWJJIoQHqEfamnIUEOkkk+NTeKgVD/qh0MUVnKi/JxIUSDkKXN0ZINWX895Y/M9rx8o/dxLKo1gRjqeL/JhBFcJxEtCjgmDFRpogLKi+FeI+0mkonVdOh2DPv7xIGqWifVos3diFchVMkQX74AAcARucgTK4BjVQBxiMwCN4Bi/GvfFkvBpv09aMMZvJgz8w3n8Ap1uYdQ==</latexit>

dxdt = f(x, u)

<latexit sha1_base64="H3p7/3KE44NVYOUH7SIGJ3Z+pPk=">AAAB/XicbVDLSsNAFJ3UV62v+Ni5GSxCC1KSutCNUBXEZQX7gDaUyWTSDp1MwsxEWkPwSwQ3LhRx63+48w9c+wVOWxfaeuDC4Zx7ufceN2JUKsv6MDJz8wuLS9nl3Mrq2vqGublVl2EsMKnhkIWi6SJJGOWkpqhipBkJggKXkYbbPx/5jRsiJA35tRpGxAlQl1OfYqS01DF32r5AOPEGaeKp9MQvDA7iYsfMWyVrDDhL7B+SrxSti8+v+9Nqx3xveyGOA8IVZkjKlm1FykmQUBQzkubasSQRwn3UJS1NOQqIdJLx9Snc14oH/VDo4gqO1d8TCQqkHAau7gyQ6slpbyT+57Vi5R87CeVRrAjHk0V+zKAK4SgK6FFBsGJDTRAWVN8KcQ/pOJQOLKdDsKdfniX1csk+LJWv7HzlDEyQBbtgDxSADY5ABVyCKqgBDG7BA3gCz8ad8Wi8GK+T1ozxM7MN/sB4+wYkjZi0</latexit>

x = [✓ ✓]T ; u = F ; f : R3 ! R2<latexit sha1_base64="xz76ASyAgUNTlP+XIJgatW74ivo=">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</latexit>

x10 = ✓0; x20 = 0<latexit sha1_base64="TRqjaZ57m+1W1ecTslLuw934y9U=">AAACCHicbZC7SgNBFIZn4y3GW9TSwiFBsAq7sVAIQtDGMoK5QDYss5PZZMjshZmzYlhSWugL+BA2ForY6hvYiG/jbJJCE38Y+PnOOZw5vxsJrsA0v43MwuLS8kp2Nbe2vrG5ld/eaagwlpTVaShC2XKJYoIHrA4cBGtFkhHfFazpDs7TevOaScXD4AqGEev4pBdwj1MCGjn5/RsnsRxzdGpDnwFxTFzBdgVrWk6p6eSLZskcC88ba2qK1YJduHv4+Ko5+U+7G9LYZwFQQZRqW2YEnYRI4FSwUc6OFYsIHZAea2sbEJ+pTjI+ZIQPNOliL5T6BYDH9PdEQnylhr6rO30CfTVbS+F/tXYM3kkn4UEUAwvoZJEXCwwhTlPBXS4ZBTHUhlDJ9V8x7RNJKOjscjoEa/bkedMol6yjUvnSKlbP0ERZtIcK6BBZ6BhV0QWqoTqi6BY9omf0YtwbT8ar8TZpzRjTmV30R8b7D5bnm3g=</latexit>

G(s) = X1(s)U(s) = 1

s2�1<latexit sha1_base64="9p1OUWXjUoCpjD/rBP1vPzO6SGE=">AAACEXicbVC7TsMwFHXKq5RXeGwsERVSGajiMMCCVAESjEUibaU2VI7rtFadh2wHqYryCyz8CgsDCLGyICbY+QA+AaftAC1HsnV8zr26vseNGBXSND+13Mzs3PxCfrGwtLyyuqavb9REGHNMbByykDdcJAijAbEllYw0Ik6Q7zJSd/unmV+/IVzQMLiSg4g4PuoG1KMYSSW19dJ5SewdtzyOcNJoQ/VIEzu7xxpME3Ft7cO0rRfNsjmEMU3gmBQr1tf3x9nbVrWtv7c6IY59EkjMkBBNaEbSSRCXFDOSFlqxIBHCfdQlTUUD5BPhJMONUmNXKR3DC7k6gTSG6u+OBPlCDHxXVfpI9sSkl4n/ec1YekdOQoMoliTAo0FezAwZGlk8RodygiUbKIIwp+qvBu4hlYRUIRZUCHBy5WlSs8rwoGxdwmLlBIyQB9tgB5QABIegAi5AFdgAg1twDx7Bk3anPWjP2suoNKeNezbBH2ivP89voC4=</latexit>

onde X1(s) e U(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace e x1(t) e u(t). Verifique que os valores próprios de A são iguais aos polos de G(s) e explique porquê.

P2.4 [1 v] Estabilização do sistema linearizado por retroacção de estado.

Pretende-se regular o movimento do sistema descrito em P2.3 de modo a conduzir x1 e x2 assimptoticamente para 0 a partir de qualquer estado inicial. Caso não tenha resolvido P2.3, faça

Propõe-se a lei de controlo por retroacção

Mostre que com esta lei de retroacção a posição de equilíbrio x1=0 ; x2=0 é assimptoticamente estável. Para isso, calcule os valores próprios do sistema em malha fechada. P2.5 [2 v] Modifica-se agora o sistema de controlo de modo a estabilizar o sistema em torno de pontos de equilíbrio genéricos x1=r; x2=0. Para isso, reformula-se a lei de retroacção de acordo com

onde r denota uma referência arbitrária mas fixa de posição linear desejada. A partir do modelo em espaço de estados, calcule a função de transferência

Comente acerca da capacidade do sistema em regular a variável x1 para um valor desejado arbitrário. PROBLEMA No. 3 [7 v] Análise em espaço de estados

Considere o sistema dinâmico descrito pelas equações em espaço de estados

P3.1 [1v] Mostre, por análise dos valores próprios do sistema, que o ponto de equilíbrio 0 do sistema é instável.

P3.2 [5v] Para confirmar este resultado, trace de modo aproximado um conjunto representativo de trajectórias do sistema no plano de fase (x1, x2). Procedimento a adoptar: i) calcule os valores e vectores próprios do sistema (normalize os vectores próprios de modo a terem o primeiro componente igual a 1) , ii) faça uma mudança de coordenadas nas quais a dinâmica do sistema fique em forma diagonal, iii) trace aproximadamente trajectórias representativas no novo espaço de fase, utilizando o método das isoclinas, e iv) “transfira” as trajectórias calculadas para o espaço de fase original.

u = r � 2x1 � x2<latexit sha1_base64="2tTX/we4nwuUs7CkjXT8R2w2d+g=">AAAB83icbVC7SgNBFL3rM8ZXVLCxWQyCTcLuWmgjhNhYJmAekCzL7GSSDJmdXeYhCUt+w8ZCEdv8hV9gZ+O3OHkUmnjgwuGce7n3njBhVCrH+bLW1jc2t7YzO9ndvf2Dw9zRcV3GWmBSwzGLRTNEkjDKSU1RxUgzEQRFISONcHA39RuPREga8wc1SogfoR6nXYqRMlJb34qCNwzcwjDwglzeKToz2KvEXZB86bT6TSflj0qQ+2x3YqwjwhVmSMqW6yTKT5FQFDMyzra1JAnCA9QjLUM5ioj009nNY/vCKB27GwtTXNkz9fdEiiIpR1FoOiOk+nLZm4r/eS2tujd+SnmiFeF4vqirma1iexqA3aGCYMVGhiAsqLnVxn0kEFYmpqwJwV1+eZXUvaJ7VfSqbr5UhjkycAbncAkuXEMJ7qECNcCQwBO8wKulrWfrzXqft65Zi5kT+ANr8gNtPJRV</latexit>

G(s) = X1(s)R(s)

<latexit sha1_base64="CLUhkBxCO8rk81JVNqtsfL95J1c=">AAACAXicbVDLSgMxFM3UV62v8bEQ3ASLUDdlpi50IxQVdFnFPqAdhkyaaUMzmSHJCGWoG3/FjQtF3PoT4kr3foCfYKbtQlsPJJyccy8393gRo1JZ1qeRmZmdm1/ILuaWlldW18z1jZoMY4FJFYcsFA0PScIoJ1VFFSONSBAUeIzUvd5p6tdviJA05NeqHxEnQB1OfYqR0pJrbp8X5P5xyxcIJw3X1o9BcpXerpm3itYQcJrYY5Ivl76+P87etiqu+d5qhzgOCFeYISmbthUpJ0FCUczIINeKJYkQ7qEOaWrKUUCkkww3GMA9rbShHwp9uIJD9XdHggIp+4GnKwOkunLSS8X/vGas/CMnoTyKFeF4NMiPGVQhTOOAbSoIVqyvCcKC6r9C3EU6DaVDy+kQ7MmVp0mtVLQPiqVLO18+ASNkwQ7YBQVgg0NQBhegAqoAg1twDx7Bk3FnPBjPxsuoNGOMezbBHxivPyFcmdQ=</latexit>

x1 = �11

2x1 +

9

2x2; x2 =

9

2x1 �

11

2x2

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A = [0 1; 1 0]; B = [0 1]T<latexit sha1_base64="wvaiqUIIks9sIoszwtNFE0DhlYc=">AAACDnicbVDLSgMxFM3UV62vUZduQktBEMqkLhSKUOvGZYW+oB1LJs20oZnMkGSEMvQL3LjwR9y4UMSta3f9G9PHQlsPhHs4515u7vEizpR2nImVWlvf2NxKb2d2dvf2D+zDo4YKY0lonYQ8lC0PK8qZoHXNNKetSFIceJw2veHN1G8+UKlYKGp6FFE3wH3BfEawNlLXzl9ftR3YKaESRNBU6LglUwypzA2I3Pta1845BWcGuErQguTK2c7Z86Q8qnbt704vJHFAhSYcK9VGTqTdBEvNCKfjTCdWNMJkiPu0bajAAVVuMjtnDPNG6UE/lOYJDWfq74kEB0qNAs90BlgP1LI3Ff/z2rH2L92EiSjWVJD5Ij/mUIdwmg3sMUmJ5iNDMJHM/BWSAZaYaJNgxoSAlk9eJY1iAZ0XincoV66AOdLgBGTBKUDgApTBLaiCOiDgEbyAN/BuPVmv1of1OW9NWYuZY/AH1tcP6PKZ+A==</latexit>

u = �2x1 � x2<latexit sha1_base64="QufunJy/yPxBuSO0HDUKxzhW11Q=">AAAB8nicbZDLSgMxFIYz9VbrrSq4cRMsgpuWmXGhG6HUjcsW7AXGYcikmTY0kwxJRlqGPoYbF4q41bfwCdy58VlMLwtt/SHw8f/nkHNOmDCqtG1/WbmV1bX1jfxmYWt7Z3evuH/QUiKVmDSxYEJ2QqQIo5w0NdWMdBJJUBwy0g4H15O8fU+kooLf6lFC/Bj1OI0oRtpYXnpVdoeBUx4GblAs2RV7KrgMzhxK1aPGN32vfdSD4uddV+A0JlxjhpTyHDvRfoakppiRceEuVSRBeIB6xDPIUUyUn01HHsNT43RhJKR5XMOp+7sjQ7FSozg0lTHSfbWYTcz/Mi/V0aWfUZ6kmnA8+yhKGdQCTvaHXSoJ1mxkAGFJzawQ95FEWJsrFcwRnMWVl6HlVpzzittwStUamCkPjsEJOAMOuABVcAPqoAkwEOABPIFnS1uP1ov1OivNWfOeQ/BH1tsPlrmT2Q==</latexit>

P3.3 [1v] Calcule explicitamente a resposta do sistema dinâmico correspondente às condições iniciais x1(0)=1 e x2(0)=-1 utilizando a expressão geral da resposta em termos dos valores e vectores próprios do mesmo sistema.