Problema do Carteiro Chinês

Elisabete Longo

Isabel Branco

Problema do Carteiro Chinês

Um carteiro tem de fazer a distribuição da correspondência em determinada

localidade. Será que consegue fazê-lo e regressar ao posto dos correios, passando

uma única vez em cada rua? Caso não seja possível, qual é o caminho mais curto

(o que repete menos ruas)?

A solução ótima para este tipo de problemas obtém-se quando o grafo que traduz a

situação admite um circuito de Euler.

Problema do Carteiro Chinês

Trajeto de Euler (ou euleriano) – é uma sequência de vértices e arestas de um

grafo, que percorre todas as arestas uma única vez.

Circuito de Euler (ou euleriano) – é um trajeto euleriano que começa e acaba no

mesmo vértice.

Problema do Carteiro Chinês

Regra 1 – Num grafo conexo podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se

existirem, no máximo, dois vértices de grau ímpar.

Regra 2 – Um grafo conexo admite um circuito euleriano se e só se todos os

vértices tiverem grau par.

Para identificar:

Problema do Carteiro Chinês

Vamos calcular o grau de cada vértice:

Como tem apenas dois vértices de grau ímpar podemos dizer que é possível

encontrar neste grafo um trajeto de Euler mas não um circuito.

Dado o grafo

A

C

B

D E

B:

A:

C:

E:

D:

3

4

3

4

4

Problema do Carteiro Chinês

Vamos calcular o grau de cada vértice:

Como os vértices têm todos grau par podemos dizer que este grafo tem um circuito

de Euler.

Dado o grafo

B:A: C:

E:D:

2 4 4

2 4

A

B

C

D

E

F

G

F: G:4 4

Problema do Carteiro Chinês

Vamos calcular o grau de cada vértice:

Como tem mais do que dois vértices de grau ímpar podemos dizer que não é

possível encontrar neste grafo nem um trajeto nem um circuito de Euler.

Dado o grafo

B:A: C:

F:E:

2 3 3

2 3 G: H:5 3

D: 5

H

A B

C

D

E F

G

Problema do Carteiro Chinês

Para resolver problemas do tipo do Carteiro Chinês, temos de encontrar forma de

conseguir “eulerizar a situação”, isto é, repetindo o mínimo de arestas possível, conseguir

definir um circuito de Euler.

Eulerizar grafos – Consiste em acrescentar arestas a um grafo de forma a tornar possível

encontrar nele um circuito de Euler.

Regra – Para se adicionarem arestas corretamente é preciso que o número de repetições de

arestas seja igual ao número de arestas acrescentadas.

XProblema do Carteiro Chinês

Uma vez que os vértices de grau

ímpar são A e C poderíamos

acrescentar uma aresta de A para C,

Assim acrescentamos uma aresta de A para B,

Vamos eulerizar

A

C

B

D Emas não respeitaria a regra.

e outra de B para C.

Agora todos os vértices têm grau par, logo é possível encontrar um circuito de

Euler neste grafo.

Problema do Carteiro Chinês

Uma vez que os vértices de grau

ímpar são B, C, D, F, G e H podemos:

Agora todos os vértices têm grau par, logo é possível encontrar um circuito de

Euler neste grafo.

Vamos eulerizar C

H

A B

D

E F

G

- acrescentar uma aresta de B para C;

- acrescentar uma aresta de D para G;

- acrescentar uma aresta de H para F.