Probabilidades

Capítulo 9Prof. Marcelo LorioUCAM - Ipanema

Experimentos Aleatórios

São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes

sob condições semelhantes, apresentam

resultados imprevisíveis.

Exemplo: O resultado de um jogo de futebol

Espaço Amostral

Ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório chamamos Espaço Amostral e representamos por S.

Exemplo: i) Lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}ii) Lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}

Eventos

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral

S de um experimento aleatório.

Exemplo:

Lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}

Evento A: “Obter um número par na face superior”

A = {2,4,6}

Classificação dos Eventos

1. Evento Certo: Quando E = S2. Evento Elementar: Quando E é unitário3. Evento Impossível: Quando E =

Exemplo Experimento: Lançamento de um dado

1. “Obter um número menor ou igual a 6 na face

superior” E = S = {1,2,3,4,5,6} Evento Certo

2. “Obter o número 4 na face superior” E = {4}

Evento Elementar

3. “Obter um número maior que 6 na face superior”

E = Evento Impossível

ProbabilidadeDado S o espaço amostral equiprovável de um experimento aleatório.

Chamamos de probabilidade de um evento A (A) o número real P(A), tal que:

, onde:n(A) é o número de elementos de An(S) é o número de elementos de S

Probabilidade

Exemplo:Experimento: Lançamento de um dadoQual a probabilidade de obtermos um número par?Solução:S = {1,2,3,4,5,6} ⇒ n(S) = 6A = {2,4,6} ⇒ n(E) = 3Logo, p(A) =

Observações

Considerando n(S) = n, sendo S o espaço amostral de um experimento aleatório, temos:

1. P(S) = 1 (Probabilidade do evento certo)

2. P() = 0 (Probabilidade do evento impossível)

3. (Probabilidade de um evento qualquer)

4. (Probabilidade do evento elementar, n(E) = 1)

Eventos complementaresSejam:p: A probabilidade do evento A ocorrerq: A probabilidade do evento A não ocorrer

Existe sempre a relação:p + q = 1

Exemplo: A probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é . Logo, a probabilidade de não tirar 4 é q = 1 -

Adição de ProbabilidadesSendo A e B eventos de um espaço amostral equiprovável S, finito e não vazio, temos:Probabilidade de ocorrer A ou B S A B

Exemplo Uma urna contém 50 fichas, numeradas de 1 a 50. Sorteando uma ficha dessa urna, qual é a probabilidade de obter um número menor que 20 ou um múltiplo de 5.Solução:

S = {1,2,3,...,50} ⇒ n(S) = 50A = {1,2,3,...,19} ⇒ n(A) = 19B = {5,10,15,20,25,30,35,40,45,50} ⇒ n(B) =10.A∩B ={5,10,15} ⇒ n(A∩B)=3Assim, p(AUB) =

Evento mutuamente exclusivos

Dois eventos são mutuamente exclusivos se, e somente se, então teremos:

Exemplo No lançamento de dois dados qual a probabilidade de que a soma dos pontos das faces voltadas para cima seja maior que 9 ou menor que 6?Solução:n(S) = 36 ( 6 x 6 = 36)A = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} ⇒ n(A)=6 B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1), (3,2),(4,1)} ⇒ n(B) = 10P(AUB) =

Probabilidade Condicional

É a probabilidade de ocorrer um evento condicionado à ocorrência de outro evento.Exemplos:1) Sorteio de bolas numeradas de 1 a 10. Sabendo que a bola sorteada é a de número par, qual a probabilidade dela ser maior que 4?2) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrer um número maior que 2, sabendo que ocorreu um número menor que 5?

Exemplos: Solução

1) Sabemos que a bola sorteada foi a de número par, que poderá ser 2,4,6,8 ou 10. Além disso, deverá ser a que apresente um número maior do que 4, portanto, 6,8 ou 10.

Assim, a probabilidade será:

Exemplos - Solução

2) Sabemos que no lançamento do dado ocorreu um número menor do que 5. Ou seja, 1,2,3 ou 4. Desses, os resultados que nos interessam devem ser maiores do que 2, ou seja, 3 ou 4. Portanto a probabilidade será :

NOTAÇÃOEm ambos os casos poderíamos escrever:

Onde:

Lê-se: “Probabilidade de A dado B”.

Eventos IndependentesQuando a probabilidade de ocorrer um evento não depende da probabilidade de ocorrência de algum outro evento anterior ou posterior a ele.Exemplo:Considere o experimento aleatório que consiste em dois lançamentos consecutivos de uma moeda. Qual a probabilidade de ocorrer a face cara no 2º lançamento, sabendo que ocorreu a face cara no 1º lançamento ?

Exemplo: Solução

a) Sabendo que ocorreu a face cara no 1º lançamento?

Solução:S = {(Ca,Ca); (Ca,Co); (Co,Ca);(Ca,Co)}

B = {(Ca,Ca);(Co,Ca)} “Ocorre Ca no 2º lançamento”

⇒ n(B) = 2 ⇒

Exemplo: Solução

Vamos considerar o evento A, ou seja, que tenha ocorrido Ca no primeiro lançamento:A = {(Ca,Ca);(Ca,Co)} Calculemos agora p(B/A) = CONCLUSÃO:Vemos que p(B/A) = p(B) (Verifique que P(A/B) = P(A) !!!)

Dizemos que A e B são eventos independentes.

Exemplo: Observação

Dizer que dois eventos A e B são independentes

não significa dizer que eles sejam mutuamente

exclusivos (A) =

Note que no exemplo A = {(Ca,Ca)}

Multiplicação de ProbabilidadesSe A e B forem dois eventos independentes, então podemos escrever:

Justificativa:Sabemos que =

Exemplos

1) No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter a face 6 nos dois?

Solução:Sejam os eventos: A: ocorrer o número 6 em um dado B: ocorrer o número 6 no outro dado Como A e B são eventos independentes, temos:P(A∩B) = p(A).p(B) =

Exemplos

2)