princípios básicos da matemática do movimento

Download Princípios básicos da matemática do movimento

Post on 14-Jun-2015

1.237 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. PRINCPIOS BSICOS DA MATEMTICA DO MOVIMENTO Notas de curso de equaes diferenciais ordinrias IFPI 2012 Lossian Barbosa Bacelar Miranda IFPI / lossian@oi.com.br1 - Conceitos Fundamentais Equaes diferenciais so equaes contendo derivadas. Para compreender e investigar problemas envolvendo os movimentos de corpos e fluidos, fluxos de corrente eltrica em circuitos, dissipao de calor em objetos slidos, propagao e deteco de ondas ssmicas, aumento ou diminuio de populaes, entre muitos outros, necessrio saber alguma coisa sobre equaes diferenciais. Vale lembrar que toda a parte do clculo chamada de clculo de primitivas determinao de solues de equaes diferenciais. 1.1. Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) - se a funo desconhecida depende de uma nica varivel independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples, ordinrias. 1.2. Equaes Diferenciais Parciais (EDP) - se a funo desconhecida depende de diversas variveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais. No estudaremos estes tipos de equaes neste curso, os quais fazem parte da disciplina teoria do potencial. 1.3. Ordem - a ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada que aparece na equao. 1.4. Equaes Lineares e no-lineares A equao diferencial (n) f (t , x(t ), x' (t ), x" (t ),..., x (t )) 0 dita linear se a aplicao f for linear nas coordenadas t , x, x' (t ), x" (t ),..., x ( n ) . Em caso contrrio, diz-se que a equao no-linear. A forma geral n) de uma equao diferencial ordinria linear (de ordem ( 3) ( n) a0 (t ) x(t ) a1 (t ) x' (t ) a2 (t ) x" (t ) a3 (t ) x (t ) ... an (t ) x (t ) g (t ) . Se os coeficientes a k (t ), k 1,2,3,..., n, so constantes reais, dizemos que a EDO linear de coeficientes constantes, e este o nico tipo genrico de equaes diferenciais para as quais existe uma teoria bem desenvolvida, e que d soluo para qualquer equao do referido tipo 1. Quando g (t ) 0 dizemos que a equao homognea e, em caso contrrio, no homognea.1.5. Solues - uma soluo da equao y(n) = f (t, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) no intervalo < t < uma funo (t) tal que `(t), ``(t), ... (n)(t) existem e satisfazem (n)(t) = f (t, (t), `(t), ``(t), ... (n-1) (t)) para todo t dentro do intervalo

2. num intervalo considerado e um campo vetorial. Observe que em um sistema, em vez de uma nica funo na varivel t aparecem m funes. A soluo do sistema qualquer m upla (t ) ( 1 (t ),..., m (t )) de funes definidas em um intervalo (n) (t ) f (t , (t ), (1) (t ),..., ( n 1) (t )) , comum [ , ] tal que t [ , ] . Em tais circunstncias definimos, tambm, intervalo maximal de qualquer soluo do sistema. Aqui, paramos para fazermos algumas reflexes sobre as mais relevantes questes relativas s equaes diferenciais ordinrias e sistemas as quais so trs: a) Uma equao diferencial sempre tem soluo no vazia? (existncia); b) Quantas solues tem uma equao diferencial, na suposio de que ela tem pelo menos uma? Que condies adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma nica soluo? (unicidade); c) Dada uma equao diferencial, podemos determinar, de fato, uma soluo? E, se for o caso, como? Vejamos alguns exemplos ilustrativos destas trs questes: ( x) 2 1 no satisfeita por nenhuma funo, em nenhum intervalo; i) ii) , em qualquer x 0 possui infinitas solues constantes (t ) c, intervalo no degenerado do conjunto dos nmeros reais; iii) x x possui infinitas solues, a saber, x(t ) ce t . De fato, d d (ce t ) c (e t ) ce t . Note que x(0) ce 0 c1 c , ou seja x(0) c ; dt dt 0 possui infinitas solues, a saber, x(t ) ax b . Note que x(0) b e iv) x x(0) a ; v)ctc2 t2 4 soluo de mesma equao. As solues afins no parmetro c so chamadas t2 de genricas (soluo geral) enquanto x(t ) dita soluo singular; 4 d n ( x(t )) not ( n ) possui infinitas solues, a saber x (t ) 0 dt n a0 a1t a2 t 2 ... an 1t n 1 . soluo da equao ( x) 2vi)(t )Para qualquer valor real da constante c , a funo afimObserve que x(0) a0 , x(0) txx0.Note, tambm, que x(t )a1 ,..., x ( n 1) (0)an 1 , x ( n) (0)0;O uso da computao no estudo das equaes diferenciais feito, principalmente nas tcnicas de buscar solues aproximadas atravs de sries numricas e funcionais truncadas, bem como usando-se pacotes de resultados clssicos j estabelecidos ao longo quatrocentos e cinqenta anos. Atualmente, o mais usado programa o MATHEMATICA.2 3. EXERCCIOS. 1. Usando o clculo de primitivas, encontre pelo menos uma soluo para as equaes seguintes (sugesto: pode usar o programa integrator, disponvel online em http://integrals.wolfram.com/index.jsp): a) x (at b) n , n N * ; 1 b) x ; t (at b) c) x ln t . d) x sen(lnt ) ; 1 e) x t ln(sen(ln( 2 ))) . t 2. D exemplos de uma equao diferencial ordinria (EDO), uma equao diferencial parcial (EDP) e um sistema de equaes diferenciais ordinrias encontrando suas respectivas solues, as quais queremos que sejam no vazias. 3. Classifique os entes abaixo em conformidade com os conceitos apresentados em 1.1 a 1.7. dx d (m dt ) a) F (equao da segunda lei de Newton); dt b) m x kx(t ) (equao da Lei de Hooke); c) sen 0 (equao do pndulo simples); ; d) (sistema desmembrado da equao do sen pndulo simples); e) m x kx (equao do movimento livre em meio resistente); f) x kx (modelo de Malthus do crescimento populacional - k 0 , ou decaimento radioativo - k 0 ); d 2x g) 0 (equao do princpio da inrcia, de Galileu); dt 2 2 2 u u h) ( x, t ) k 2 ( x, t ) , k 0 (equao que d a amplitude u( x, t ) da corda 2 t x esticada de um violo como funo do tempo t e do comprimento x da corda). 4. Use a frmula de Baskara para encontrar as solues de ( x) 25. Prove que x(t )1 soluo da equao x(t ) txx0.( x(t )) 2 . Ache os intervalos1 t maximais. Poderia tal equao modelar algum fenmeno fsico?3 4. 2. Equaes e sistemas clssicos que originaram a teoria das EDOs e a Fsica Com pouco exagero, podemos dizer que a Fsica, como estudo dos movimentos dos corpos, a cincia que trata da montagem, resoluo e interpretao das equaes diferenciais que modelam os movimentos. A essncia do que afirmamos razoavelmente simples: os movimentos dos corpos ocorrem no tempo e no espao, e as respectivas posies dos corpos mudam enquanto o tempo passa. Se conhecermos os campos vetoriais dx d (m ) dt correspondentes s foras, a segunda lei de Newton F ( x, t ) (aqui, dt x ( x1 , x 2 , x3 ) a posio de uma partcula do corpo ou dos corpos cujos movimentos pretende-se encontrar) ou uma de suas numerosas equaes alternativas2, nos fornecer uma equao diferencial ou um sistema cuja resoluo nos dar as posies e as velocidades em funo do tempo. A seguir, apresentamos alguns exemplos histricos. 2.1. Movimento de partcula livre de massa constante. . Considere uma partcula no espao sob a ao de um campo de fora resultante nulo. A dx d (m ) dt , e da resulta, devido constncia da massa, segunda lei de Newton nos d 0 dt 2 d x x 0 . Esta nos fornece o sistema de equaes desacopladas i (t ) 0 , i 1,2,3 cuja dt soluo xi (t ) ai bi t , ( i 1,2,3 ). Notemos que ai xi (0) e bi xi (0) . Vetorialmente dx a soluo escrita sob a forma x (t ) x (0) t (0) sendo x(0) o vetor-posio inicial da dt dx partcula e (0) a sua velocidade inicial. O intervalo maximal R e a soluo do sistema dt a curva x:R tR3 cujo hodgrafo uma reta. dx x (0) t (0) dt2.2. Arremesso em queda livre. Consideremos uma partcula arremessada nas proximidades da superfcie terrestre. Seja Ox1 x 2 x3 um sistema cartesiano de coordenadas, com vetores unitrios ortonormais2Dentre as mais famosas esto as formulaes lagrangeana e hamiltoniana da mecnica, as quais fazem uso de algumas funes tais como energia, cujas curvas de nvel so rbitas de solues das equaes diferenciais associadas aos movimentos estudados. Estes conceitos surgiram no sculo XIX com uma distncia de quase um sculo de Newton.4 5. e1 , e2 , e3 . Seja e3 apontando para cima e na direo do fio de prumo. A fora constante e gme3 . Pela segunda lei de Newton, igual a um mltiplo de e3 , ou seja F d 2x d 2x mge3 m 2 (t ) de onde resulta ge3 (t ) a qual eqivale ao sistema desacoplado dt dt 2 1 (t ) 0 , x 2 (t ) 0 , x 3 x g Este, por seu turno, possui soluo x1 (t ) x1 (0) tx1 (0) , x2 (t ) x2 (0) x2 (0)t , 1 2 x3 (t ) x3 (0) tx(0) gt . Em forma vetorial, a soluo dada por 2 dx 1 2 x (t ) x (0) t (0) gt e3 . dt 22.3. Lei de Malthus do crescimento populacional. Durante qualquer intervalo de tempo, se multiplicarmos por uma constante o nmero de pessoas em uma comunidade, espera-se que tambm seja multiplicada pela mesma constante o nmero de pessoas que nascem durante este mesmo intervalo de tempo. De igual modo, se multiplicarmos o intervalo temporal por um nmero constante, ao nmero de nascimentos dever ser tambm multiplicado pelo mesmo nmero. Assim, o acrscimo populacional simultaneamente diretamente proporcional populao e ao intervalo temporal considerado. Ento, pela teoria da proporcionalidade, temos x(t t ) x(t ) kx(t ) t , onde x(t ) a quantidade da populao no instante de tempo t . Dividindo ambos os membros por t e tomando-se o limite temos a equao x kx , a qual a famosa lei de Malthus. Esta equao pode ser resolvida usando-se sries de potncia, usando-se a mais famosa tcnica da teoria das equaes (alis, da cincia como um todo!), que a do supor ai t i a candidata a serque para ver como que fica (guarde bem isto!). Seja x(t ) i 0ikai t i soluo. Derivando-a, temos k x1e igualando-se estes dois somatrios temosi 1a1ka0 e aik ai i1para i2,3,4,... . Disto resulta que aik i a0 , i!iN . Logo,(kt ) i . Do clculo usamos a notao x(t ) a0 e kt . Notemos que x(0) a 0 e que i! i 0 tal fato indica que este movimento do aumento populacional, pelo modelo de Malthus, s depende da populao inicial. Um clculo semelhante pode ser feito para o decrescimento radioativo, bem como para a vazo em uma caixa dgua, onde temos constante que depende da rea do orifcio e das V (t t ) V (t ) V (t ) t , onde propriedades do fluido. x(t )a05 6. A soluo da equao xkx pode ser encontrada de forma alternativa do seguinte 1 dx modo