Princípios básicos da matemática do movimento

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<ul><li> 1. PRINCPIOS BSICOS DA MATEMTICA DO MOVIMENTO Notas de curso de equaes diferenciais ordinrias IFPI 2012 Lossian Barbosa Bacelar Miranda IFPI / lossian@oi.com.br1 - Conceitos Fundamentais Equaes diferenciais so equaes contendo derivadas. Para compreender e investigar problemas envolvendo os movimentos de corpos e fluidos, fluxos de corrente eltrica em circuitos, dissipao de calor em objetos slidos, propagao e deteco de ondas ssmicas, aumento ou diminuio de populaes, entre muitos outros, necessrio saber alguma coisa sobre equaes diferenciais. Vale lembrar que toda a parte do clculo chamada de clculo de primitivas determinao de solues de equaes diferenciais. 1.1. Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) - se a funo desconhecida depende de uma nica varivel independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples, ordinrias. 1.2. Equaes Diferenciais Parciais (EDP) - se a funo desconhecida depende de diversas variveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais. No estudaremos estes tipos de equaes neste curso, os quais fazem parte da disciplina teoria do potencial. 1.3. Ordem - a ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada que aparece na equao. 1.4. Equaes Lineares e no-lineares A equao diferencial (n) f (t , x(t ), x' (t ), x" (t ),..., x (t )) 0 dita linear se a aplicao f for linear nas coordenadas t , x, x' (t ), x" (t ),..., x ( n ) . Em caso contrrio, diz-se que a equao no-linear. A forma geral n) de uma equao diferencial ordinria linear (de ordem ( 3) ( n) a0 (t ) x(t ) a1 (t ) x' (t ) a2 (t ) x" (t ) a3 (t ) x (t ) ... an (t ) x (t ) g (t ) . Se os coeficientes a k (t ), k 1,2,3,..., n, so constantes reais, dizemos que a EDO linear de coeficientes constantes, e este o nico tipo genrico de equaes diferenciais para as quais existe uma teoria bem desenvolvida, e que d soluo para qualquer equao do referido tipo 1. Quando g (t ) 0 dizemos que a equao homognea e, em caso contrrio, no homognea.1.5. Solues - uma soluo da equao y(n) = f (t, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) no intervalo &lt; t &lt; uma funo (t) tal que `(t), ``(t), ... (n)(t) existem e satisfazem (n)(t) = f (t, (t), `(t), ``(t), ... (n-1) (t)) para todo t dentro do intervalo </li></ul><p> 2. num intervalo considerado e um campo vetorial. Observe que em um sistema, em vez de uma nica funo na varivel t aparecem m funes. A soluo do sistema qualquer m upla (t ) ( 1 (t ),..., m (t )) de funes definidas em um intervalo (n) (t ) f (t , (t ), (1) (t ),..., ( n 1) (t )) , comum [ , ] tal que t [ , ] . Em tais circunstncias definimos, tambm, intervalo maximal de qualquer soluo do sistema. Aqui, paramos para fazermos algumas reflexes sobre as mais relevantes questes relativas s equaes diferenciais ordinrias e sistemas as quais so trs: a) Uma equao diferencial sempre tem soluo no vazia? (existncia); b) Quantas solues tem uma equao diferencial, na suposio de que ela tem pelo menos uma? Que condies adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma nica soluo? (unicidade); c) Dada uma equao diferencial, podemos determinar, de fato, uma soluo? E, se for o caso, como? Vejamos alguns exemplos ilustrativos destas trs questes: ( x) 2 1 no satisfeita por nenhuma funo, em nenhum intervalo; i) ii) , em qualquer x 0 possui infinitas solues constantes (t ) c, intervalo no degenerado do conjunto dos nmeros reais; iii) x x possui infinitas solues, a saber, x(t ) ce t . De fato, d d (ce t ) c (e t ) ce t . Note que x(0) ce 0 c1 c , ou seja x(0) c ; dt dt 0 possui infinitas solues, a saber, x(t ) ax b . Note que x(0) b e iv) x x(0) a ; v)ctc2 t2 4 soluo de mesma equao. As solues afins no parmetro c so chamadas t2 de genricas (soluo geral) enquanto x(t ) dita soluo singular; 4 d n ( x(t )) not ( n ) possui infinitas solues, a saber x (t ) 0 dt n a0 a1t a2 t 2 ... an 1t n 1 . soluo da equao ( x) 2vi)(t )Para qualquer valor real da constante c , a funo afimObserve que x(0) a0 , x(0) txx0.Note, tambm, que x(t )a1 ,..., x ( n 1) (0)an 1 , x ( n) (0)0;O uso da computao no estudo das equaes diferenciais feito, principalmente nas tcnicas de buscar solues aproximadas atravs de sries numricas e funcionais truncadas, bem como usando-se pacotes de resultados clssicos j estabelecidos ao longo quatrocentos e cinqenta anos. Atualmente, o mais usado programa o MATHEMATICA.2 3. EXERCCIOS. 1. Usando o clculo de primitivas, encontre pelo menos uma soluo para as equaes seguintes (sugesto: pode usar o programa integrator, disponvel online em http://integrals.wolfram.com/index.jsp): a) x (at b) n , n N * ; 1 b) x ; t (at b) c) x ln t . d) x sen(lnt ) ; 1 e) x t ln(sen(ln( 2 ))) . t 2. D exemplos de uma equao diferencial ordinria (EDO), uma equao diferencial parcial (EDP) e um sistema de equaes diferenciais ordinrias encontrando suas respectivas solues, as quais queremos que sejam no vazias. 3. Classifique os entes abaixo em conformidade com os conceitos apresentados em 1.1 a 1.7. dx d (m dt ) a) F (equao da segunda lei de Newton); dt b) m x kx(t ) (equao da Lei de Hooke); c) sen 0 (equao do pndulo simples); ; d) (sistema desmembrado da equao do sen pndulo simples); e) m x kx (equao do movimento livre em meio resistente); f) x kx (modelo de Malthus do crescimento populacional - k 0 , ou decaimento radioativo - k 0 ); d 2x g) 0 (equao do princpio da inrcia, de Galileu); dt 2 2 2 u u h) ( x, t ) k 2 ( x, t ) , k 0 (equao que d a amplitude u( x, t ) da corda 2 t x esticada de um violo como funo do tempo t e do comprimento x da corda). 4. Use a frmula de Baskara para encontrar as solues de ( x) 25. Prove que x(t )1 soluo da equao x(t ) txx0.( x(t )) 2 . Ache os intervalos1 t maximais. Poderia tal equao modelar algum fenmeno fsico?3 4. 2. Equaes e sistemas clssicos que originaram a teoria das EDOs e a Fsica Com pouco exagero, podemos dizer que a Fsica, como estudo dos movimentos dos corpos, a cincia que trata da montagem, resoluo e interpretao das equaes diferenciais que modelam os movimentos. A essncia do que afirmamos razoavelmente simples: os movimentos dos corpos ocorrem no tempo e no espao, e as respectivas posies dos corpos mudam enquanto o tempo passa. Se conhecermos os campos vetoriais dx d (m ) dt correspondentes s foras, a segunda lei de Newton F ( x, t ) (aqui, dt x ( x1 , x 2 , x3 ) a posio de uma partcula do corpo ou dos corpos cujos movimentos pretende-se encontrar) ou uma de suas numerosas equaes alternativas2, nos fornecer uma equao diferencial ou um sistema cuja resoluo nos dar as posies e as velocidades em funo do tempo. A seguir, apresentamos alguns exemplos histricos. 2.1. Movimento de partcula livre de massa constante. . Considere uma partcula no espao sob a ao de um campo de fora resultante nulo. A dx d (m ) dt , e da resulta, devido constncia da massa, segunda lei de Newton nos d 0 dt 2 d x x 0 . Esta nos fornece o sistema de equaes desacopladas i (t ) 0 , i 1,2,3 cuja dt soluo xi (t ) ai bi t , ( i 1,2,3 ). Notemos que ai xi (0) e bi xi (0) . Vetorialmente dx a soluo escrita sob a forma x (t ) x (0) t (0) sendo x(0) o vetor-posio inicial da dt dx partcula e (0) a sua velocidade inicial. O intervalo maximal R e a soluo do sistema dt a curva x:R tR3 cujo hodgrafo uma reta. dx x (0) t (0) dt2.2. Arremesso em queda livre. Consideremos uma partcula arremessada nas proximidades da superfcie terrestre. Seja Ox1 x 2 x3 um sistema cartesiano de coordenadas, com vetores unitrios ortonormais2Dentre as mais famosas esto as formulaes lagrangeana e hamiltoniana da mecnica, as quais fazem uso de algumas funes tais como energia, cujas curvas de nvel so rbitas de solues das equaes diferenciais associadas aos movimentos estudados. Estes conceitos surgiram no sculo XIX com uma distncia de quase um sculo de Newton.4 5. e1 , e2 , e3 . Seja e3 apontando para cima e na direo do fio de prumo. A fora constante e gme3 . Pela segunda lei de Newton, igual a um mltiplo de e3 , ou seja F d 2x d 2x mge3 m 2 (t ) de onde resulta ge3 (t ) a qual eqivale ao sistema desacoplado dt dt 2 1 (t ) 0 , x 2 (t ) 0 , x 3 x g Este, por seu turno, possui soluo x1 (t ) x1 (0) tx1 (0) , x2 (t ) x2 (0) x2 (0)t , 1 2 x3 (t ) x3 (0) tx(0) gt . Em forma vetorial, a soluo dada por 2 dx 1 2 x (t ) x (0) t (0) gt e3 . dt 22.3. Lei de Malthus do crescimento populacional. Durante qualquer intervalo de tempo, se multiplicarmos por uma constante o nmero de pessoas em uma comunidade, espera-se que tambm seja multiplicada pela mesma constante o nmero de pessoas que nascem durante este mesmo intervalo de tempo. De igual modo, se multiplicarmos o intervalo temporal por um nmero constante, ao nmero de nascimentos dever ser tambm multiplicado pelo mesmo nmero. Assim, o acrscimo populacional simultaneamente diretamente proporcional populao e ao intervalo temporal considerado. Ento, pela teoria da proporcionalidade, temos x(t t ) x(t ) kx(t ) t , onde x(t ) a quantidade da populao no instante de tempo t . Dividindo ambos os membros por t e tomando-se o limite temos a equao x kx , a qual a famosa lei de Malthus. Esta equao pode ser resolvida usando-se sries de potncia, usando-se a mais famosa tcnica da teoria das equaes (alis, da cincia como um todo!), que a do supor ai t i a candidata a serque para ver como que fica (guarde bem isto!). Seja x(t ) i 0ikai t i soluo. Derivando-a, temos k x1e igualando-se estes dois somatrios temosi 1a1ka0 e aik ai i1para i2,3,4,... . Disto resulta que aik i a0 , i!iN . Logo,(kt ) i . Do clculo usamos a notao x(t ) a0 e kt . Notemos que x(0) a 0 e que i! i 0 tal fato indica que este movimento do aumento populacional, pelo modelo de Malthus, s depende da populao inicial. Um clculo semelhante pode ser feito para o decrescimento radioativo, bem como para a vazo em uma caixa dgua, onde temos constante que depende da rea do orifcio e das V (t t ) V (t ) V (t ) t , onde propriedades do fluido. x(t )a05 6. A soluo da equao xkx pode ser encontrada de forma alternativa do seguinte 1 dx modo: supondo que a soluo x(t ) no se anule, no domnio, ento (t ) k . Por x(t ) dt d d outro lado, a regra da cadeia nos d (ln x(t ) ) k (kt) , e da resulta ln x(t ) kt c , dt dt onde c uma constante qualquer. Assim, x (t )x(t )e ktce c e ktnotCe kt . Em sntese,Ce kt , sendo C positivo ou negativo.2.4. O Centro de massa. A coleo das foras internas no pode alterar o movimento do centro de massa, to somente, pode fazer com que o corpo possa girar. o que ocorre com o gato em queda livre, ao girar para cair com as patas no cho. O centro de massa de um corpo de massa m , e submetido a um certo campo de foras, se move como se fosse uma partcula de massa m situada naquele mesmo campo. A explicao da afirmao acima fruto da prpria definio do centro de massa, conforme segue: PROPOSIO FUNDAMENTAL : Sejam n partculas 1,2,..., n com posies dadas pelos raios vetores ri (t ) em funo do tempo (as partculas esto em movimento, talvez!), cada uma com massa constante mi . Denotemos Fik (t ) a fora que a partcula i exerce sobre a n dri (t ) d n partcula k no instante t . Ento ( mi ) Ri (t ) , onde Ri (t ) a fora dt i 1 dt i 1 resultante externa que atua sobre a partcula i. DEMONSTRAO: leia o pargrafo Dinmica de un sistema de partculas, do stio mencionado na nota de rodap 2, onde feito para duas partculas (para vrias partculas, o raciocnio idntico)3. dri (t ) mi dt 1nDEFINIO: (momento linear): denomina-se o somatrio i linear total das n partculas, e pi P de momento dri (t ) mi , momento linear da partcula i . dtA partir do resultado acima podemos, facilmente, colher o seguinte resultado, o qual talvez o mais importante resultado que se refere a movimento de corpos quaisquer, sejam rgidos ou deformveis.3No stio http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm leia tambm os pargrafos seguintes: Momento lineal e impulso; Dinmica de un sistema de partculas; Conservacin del momento lineal de un sistema de partculas; El centro de masa. Este um stio muito bom e tem uma traduo do mesmo em portugus.6 7. TEOREMA 2.4.1. (conexo entre foras externas e centro de massa). n ri (t )mii 1 nn rcm (t )mi vcm drcm (t ) dt mi vi (t )i 1M P M dP dt Macm Fext Macm .i 1OSERVAES: a) Em conformidade com a equao acima, o centro de massa do corpo (seja ele rgido ou deformvel) se move como se fosse uma partcula4 com massa igual do corpo, localizada no centro de massa do corpo. b) Tal equao, de fato o que torna possvel a existncia da fsica, tal como a conhecemos. c) Ela tambm significa que no importa as energias e possibilidades de movimentao do corpo humano, e vontade de se flexibilizar, impossvel um mudar a posio de seu centro de massa, um milmetro sequer, caso esteja em queda livre5. 2.5. Velocidade de escape sem atrito. Considere um corpo celeste de formato esfrico de massa m1 e raio R e, na superfcie do mesmo, sendo lanado para cima, na direo do fio de prumo, um corpo de massa m 2 , o qual fica sujeito, exclusivamente ao da fora gravitacional, a qual expressa pela Gm1 m2 frmula F12 (como o movimento ocorre apenas ao longo da reta suporte do ( R r (t )) 2 fio de prumo, no h necessidade de usarmos trs coordenadas cartesianas, contentando-nos apenas com uma, a qual ser orientada positivamente para cima, com origem no centro de massa do corpo celeste). Gm1 m2 Gm1 r r Pela segunda lei de Newton, m2 (t ) de onde sai (t ) . No d 2 (r (t )) (r (t )) 2 para resolvermos esta equao atravs do clculo de primitivas, tal como fizemos at o momento. Adiaremos o clculo de sua soluo. 2.6. O problema dos dois corpos. Considere dois corpos de massas m1 e m 2 livres no espao R 3 , onde fixamos um sistema de referncia, no sujeitos a nenhuma outra fora externa que no sejam as 4Partcula seria um corpsculo diminuto com regio espacial ocupvel convergindo para zero.5Devemos respeitar muito a expresso Fext Macm , onde M a massa total do corpo, Fext a soma das foras externas atuantes em cada partcula e a cm a acelerao do centro de massa. Como dizia Hertz, as equaes matemticas da fsica sempre dizem muito mais do que o que tudo o que possamos extrair delas.7 8. gravitacionais mtuas entre eles. Sendo r1 (t ) e r2 (t ) os respectivos vetores-posio das massas m1 e m 2 , o uso direto da segunda lei de Newton nos fornece o par de equaes acopladas d 2 r1 (t ) dt 2 Gm2 (r2 (t ) r1 (t )) d 2 r2 ; (t ) 3 dt 2 r2 (t ) r1 (t ) Gm1 (r1 (t ) r2 (t )) . 3 r1 (t ) r2 (t ) Notemos que como ri (t ) ( x1 (t ), y1 (t ), z1 (t )), i 1,2 , cada uma destas duas equaes vetoriais acima corresponde a trs equaes escritas nas trs coordenadas, de modo que ao todo o sistema vetorial acoplado de ordem 2 corresponde a um sistema acoplado de ordem 2 com seis variveis. A resoluo deste sistema, feita por Johann Bernoulli, a maior obra da fsica terica at agora realizada 6. feita a partir da busca de aplicaes que permanecem constantes ao longo das solues, isto , aplicaes tais que se dH dr r1 (t ) for vetor-soluo, ento (r1 (t ), (t ), t ) 0, t [ , ] , onde [ , ] o intervalo dt dt d...</p>