primer curso de lógica matemática suppes

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PRJ:MBR CURSO , DB LOGJ:CA ,

MATEMATICA

PATRICK SUPPES

SHIRLEY HILL

EDITORIAL REVERT, B. A. Barcelona .. Bogot Buenos Aires - Caracas Mxico

PRLOGO

Modernamente la Lgica se ha convertido en una materia no slo profunda, sino de gran amplitud y aplicacin a otras Ciencias. Slo desde hace algunos aos se han establecido relaciones sistemticas entre la Lgica y la Matem-tica, formulndose una teora de inferencia completamente explcita que se adecua a todos los ejemplos dpicos del razonamiento deductivo en Mate mticas y a las Ciencias empricas. En la mente de todos los matemticos modernos est el concepto de axioma y la deduccin de teoremas a partir de axiomas. El propsito de este libro es introducir al estudiante en el m todo deductivo de la Matemtica moderna, a un nivel que, aun siendo riguroso, sea lo suficientemente sencillo en presentacin y contexto, para que permita una fcil compresin.

No se puede poner en duda la importancia en la Matemtica moderna, de la teora de la demostracin y de la metodolo~a en la deduccin de teo-remas a partir de axiomas. Sin embargo, el desarrollo de la destreza en los razonamientos deductivos, ha sido considerado como de inters secundario en los planes de enseanza de especializacin matemtica. El punto de vista representado en este libro es el de que una enseanza de lgica matemtica bien meditada y planeada, al principio de la carrera del estudiante le pro-porcionar una base para estudios de Matemticas ms' profundos y pe-netrantes.

El objetivo del presente volumen comprende la teora proposicional de inferencia, inferencia con cuantificadores universales, y aplicaciones de la teora de la inferencia al desarrollo de la teoria elemental de grupos Con-mutativos, o la teocia de la adicin, que es como se ha desarrollado en el texto. Debido a las complejidades que introducen los cuantificadores exis-tenciales se ha dejado su consideracin para el volumen siguiente, Segundo curso de Lgica matemtica. Se puede observar que la restriccin a los cuan-tificadores universales que se presentan al principio de frmulas no es tan severa como pudiera parecer. La mayor parte de las teoras matemticas elementales con las que se puede encontrar el estudiante pueden formularse dentro de esta armazn. Esta restriccin proporciona al estudiante una opor-tunidad para aprender cmo se hacen demostraciones matemticas rigurosas y no triviales, sin adentrarse en las sutilezas que envuelven los cuantificadores eXistenciales. Se ha insistido tambin mucho a lo largo del libro en la im-portancia del problema de traducir a smbolos lgicos o matemticos pro-posiciones enunciadas en lenguaje corriente.

El presente libro es la cuarta versin de un canjunto denotas desarr~ Iladas en 1960-61 para ser utilizadas en una clase experimental de alumnos

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VI PRLOGO

seleccionados de una escuela elemental. La segunda versin del texto se utiliz en on~e clases de estudiantes seleccionados de la escuela elemental en 1961-62. La tercera versin se utiliza experimentalmente en 1962-63 con diez clases de ~studiantes seleccionados de la escuela elemental y 200 estu-diantes del College en un proyecto patrocinado conjuntamente por el Office of Education y la National Science Foundation. La edicin del libro fue subvencionada por la Carnegie Corporation de Nueva York.

Se ha intentado escribir el libro de manera que lo puedan utilizar los estudiantes con un margen de edad y habilidad muy amplio. La Lgica, afortunadamente, es una de las materias que no requiere gran base o expe-riencia para poder llegar a un buen adiestramiento. Por esta razn, un libro de este tipo particular puede ser utilizado por una gran variedad de estu-diantes. La experiencia con las versiones citadas indica que el material que contiene es razonablemente satisfactorio para los estudiantes seleccionados de Segunda enseanza y, por otra parte, no demasiado elemental para que no pueda ser utilizado por alumnos de primer curso de la Universidad. Creemos que este libro ser til a una gran diversidad de alumnos de Ense-anza media y a las clases de Matemticas de Selectivo de la Facultad. Est en preparacin el Segundo curso de Lgica matemtica para aquellas clases que dispongan de tiempo para una exposicin ms amplia de esta materia.

Agradec..emos a Mrs. Madeline Anderson su trabajo paciente y compe-tente de mecanografiar el manuscrito. Manifestamos nuestro mayor recono-cimiento a Mr. Frederick Binford por sus valiosas sugerencias y crtics, quien se ha hecho tambin responsable de preparar la detallada Edicin para ~! maestro. Mr. Richard Friedberg hizo muchos comentarios y crticas muy 'tiles al ltimo borrador de manuscrito.

Universidad de Stanford Stanford, California Enero, 1963

PATRICK SUPPES

SHIRLEY HILL

INDICE ANALTICO Prefacio

1. SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES 1

1.1 Proposiciones 1.2 Trminos de enlace 2 1.3 La forma de las proposiciones moleculares 5 1.4 Simbolizacin de proposiciones 10 15 Los trminos de f".nlace y sus snbolos 12

O 14 No 16 S... entonces ... 20

1.6 Agrupamiento y parntesis 22 La negacin de una proposicin molecular 30

1.7 Eliminacin de algunos parntesis 34 1.8 Resumen 37

2. INFERENCIA LGICA 44

2.1 Introduccin 44 2.2 Reglas de inferencia y demostracin 45

Modus ponendo ponens 45 Demostraciones 48 Demostraciones en dos pasos .50 Doble negacin 53 Modus tollendo tollens 55 Ms sobre la negacin 58 Adjuncin y simplificacin 61 Disjunciones como premisas 64 Modus tollendo ponens 66

2.3 Deduccin proposicional 70 2.4 Ms sobre parntesis 78 2.5 Otras reglas de inferencia 81

Ley de adicin 81 Ley del silogismo hipot~ico 85 Ley del silogismo disv:Jntvo 89 Ley de simplificacilI disyuntiva 93 Leyes conmutativas 97 Las leyes de Morgan 100

VII

VIII lNDICE ANALtTICO

2.6 Proposiciones bicondicionales 2.7 Resumen de reglas de inferencia

Tabla de reglas de inferencia

3. CERTEZA Y VALIDEZ

3.1 Introduccin 3.2 Valores de certeza y trminos de enlace de certeza funcional

Conjuncin Negacin Disjuncin Proposiciones condicionales Equivalencia: proposiciones bicondicionales

3.3 Diagrama de valores de certeza 3.4 Conclusiones no vlidas 3.5 Demostracin condicional 3.6 Consistencia 3.7 Demostracin indirecta 3.8 Resumen

4. TABLAS DE CERTEZA

4.1 Tablas de certeza 4.2 T !Utologas 4.3 Irqplkacin tautolgica y equivalencia tautolgica 4.4 Resumen

5. TRMINOS, PREDICADOS Y CUANTIFICADORES UNIVERSALES 5.1 Introduccin 5.2 Trminos 5.3 Predicados 5.4 Nombres comunes Como predicados 5.5 Frmulas atmicas y variables 5.6 Cuan tificadores universales 5.7 Dos formas tpicas

6. ESPECIFICACIN UNIVERSAL Y LEYES DE IDENTIDAD

6.1 Un cuantificador 6.2 Dos o ms cuantificadores 6.3 Lgica de la identidad 6.4 Certezas lgicas

105 109 110

112

112 113 113 114 l15 116 119 120 124 131 140 149 155

164

164 172 174 179

184 184 187 189 191 194 201 209

216

216 228 236 242

tNDICE ANALtTICO IX

7. UN SISTEMA MATEMATICO SIMPLE: AXIOMAS DE LA ADICIN 247

7.1 Axioma de la propiedad conmutativa 247 7.2 Axioma de la propiedad asociativa 251 7.3 Axioma del cero 261 7.4 Axioma de los nmeros negativos 264

8. GENERALIZACIN UNIVERSAL 270

8.1 Teoremas con variables 270 8.2 Teoremas con cuantificadores universales 274

ndice alfabtico 279

CAPITULO 1

SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIO-NES

1.1 Proposiciones

Con el estudio de la Lgica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso. La Lgica tiene un lenguaje exacto. Pero aunque as sea, vamos a intentar construir un vocabulario para este lenguaje preciso utilizando el lenguaje cuotidiano algunas veces un tanto confuso. Es necesario redactar un conjunto de reglas que sean perfectamente claras y definidas y que estn libres de las vaguedades que pueden hallarse en nuestro lenguaje corriente. Para realizar este trabajo se utilizarn proposiciones en lengua castellana, de la misma manera que se usa la lengua castellana para explicar las reglas precisas de un juego a alguien que no ha jugado a ese juego. Por supuesto, la lgica es algo ms que un juego. Puede ayudarnos a aprender una forma de razonar que es exacta y a la vez muy til.

Para empezar, consideremos las proposiciones en lengua castellana. Cada proposicin tiene una forma lgica a la que se le dar un nombre. En primer lugar, se consideran y simbolizan dos clases de proposiciones en Lgica; unas se denominan proposiciones atmicas y otras proposiciones moleculares.

En este siglo de la Ciencia se utiliza la palabra atmico muchas veces. Efectivamente, el sigoificado de esta palabra en el lenguaje de la Lgica es anlogo a su significado original en las Ciencias fsicas. En Lgica, atmicas son las proposiciones de forma ms simple (o ms' bsicas). Si se juntan una o varias proposiciones atmicas con un trmino de enlace, se tiene una pro-posicin molecular. Una proposicin atmica es una proposicin completa sin trminos de enlace. Se utilizan trminos de enlace para formar proposiciones moleculares a partir de proposiciones atmicas.

Por ejemplo, considrense dos proposiciones atmicas,

Suppes-HII-l

Hoyes sbado. No hay clase.

1

2 PRIMER CURSO DE LoGICA MATEMATICA

Ambas proposiciones son atmicas. Mediante un trmino de enlace se pueden unir y se tendr una proposicin molecular. Por ejemplo, se puede decir

Hoyes sbado y no hay clase.

Esta proposicin molecular se ha construido con dos proposiciones atmicas y el trmino de enlace y. Cuando analizamos una proposicin molecular la descomponemos en las ms pequeas proposiciones atmicas completas. En el ejemplo anterior se puede descomponer la proposicin molecular en dos proposiciones atmicas. El trmino de enlace y no forma parte de nin-guna de las proposiciones atmicas. Se ha aadido a las proposiciones atmi cas para construir una proposicin molecular.

1.2 Trminos de enlace

Las palabras de enlace, por cortas que sean, no deben subestimarse, pues son de gran importancia. Tanto es as, que se estudiarn algunas reglas muy precisas para el uso de esta clase de trminos. Gran parte de lo que se tratar en el estudio de la Lgica se refiere a la manera cuidadosa de cmo se han de utilizar estos trminos de enlace. El trmino de enlace en la pro posicin del ejemplo Hoy es sbado y no hay clase es la palabra y. Hay otros, pero antes de considerar cada uno de ellos separadamente, les daremos el nombre lgico correcto. Se les denominar trminos de enlace de proposiciones. Este nombre ser fcil de recordar, porque indica efecti-vamente cul es el papel que desempean. Enlazan proposiciones. Forman proposiciones moleculares a partir de proposiciones atmicas.

Los trminos de enlace que se utilizarn en este captulo son las pala-bras y. o, no, y si .... entonces. En la gramtica cllstellana se les da a veces otros nombres, pero en Lgica los denominaremos, como ya hemos indicado, trminos de enlace de proposiciones o simplemente trminos de enlace. Recurdese que al aadir un trmino de enlace a una o dos propo-siciones atmicas se ha formado una proposicin molecular. Los tres trminos de enlace considerados, y, ('O, si ... , entonces, se usan para enlazar dos proposiciones atmicas, pero el otro se agrega a una sola proposicin atmica para formar una molecular. Este trmino de enlace es la palabra no. Se puede decir que el trmino de enlace no cada vez acta sobre una sola proposicin atmica y que los otros trmiqos de enlace actan sobre dos pro-posiciones atmicas a la vez. Recurdese que el trmino de enlace no, es el nico que no conecta realmente dos proposiciones. Cuando a una sola proposicin se le agrega no se forma una proposicin molecular.

Se dan a continuacin algunos ejemplos de proposiciones moleculares que utilizan los trminos de enlace considerados.

SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES 3

La proposicin

La luna no est hecha de queso verde

es una proposicin molecular que utiliza el trmino de enlace nol>. En este caso, el trmino de enlace acta slo sobre una proposicin atmica: La luna est hecha de queso verdel>.

Un ejemplo de una proposicin en la que se utiliza el trmino de en-lace o es

El viento arrastrar las nubes o llover hoy con seguridad.

El trmino de enlace o acta sobre dos proposiciones atmicas. Son El viento arrastrar las nubes y Llover hoy con seguridad.

La proposicin molecular:

Si estamos en diciembre entonces llegar pronto Navidad

ilustra sobre el uso del trmino de enlace si ... , entonces, que tambin acta sobre dos proposiciones atmicas. Cules son?

Ya se ha dado un ejemplo de proposicin que utiliza el trmino de enlace y. Otra es:

El terreno es muy rico y hay suficiente lluvia.

Cules son las dos proposiciones atmicas contenidas en esta proposicin molecular??

Los ejercicios que se ponen a continuacin ofrecen una oportunidad para comprobar la habilidad del lector para reconocer proposiciones atmicas, proposiciones moleculares y trminos de enlace. Recurdese que cada propo-sicin que contiene un trmino de enlace es molecular.

EJERCICIO 1

A. Sealar cada proposicin atmica con una A y cada proposicin mole-cular con una M. Escribir junto a cada proposicIn molecular el trmino de enlace utilizado.

1. La comida ser hoy a las tres en punto. 2. El gran oso negro andaba perezosamente por el camino de abajo. 3. La msica es muy suave o la puerta est-cerrada. 4. A este perro grane le gusta cazar gatos.

4 PRIMER CURSO Db LGICA MATEMATICA

5. El pregunta por su pipa y pregnta por su escudilla. 6. Luis es un buen jugador o es muy afortunado. 7. Si Luis es un buen jugador, entonces participar en el partido del

colegio. 8. California est al oeste de Nevada y Nevada al oeste de Utah. 9. Muchos estudiantes estudian Lgica en el primer ao de carrera

10. Los gatitos no acostumbran a llevar mitones. 11. Si los gatitos llevan mitones, entonces los gatos pueden llevar somo

breros. 12. Se pu~de encontrar a Juana en casa de Susana. 13. A las focas no les crece el pelo. 14. Si Mara canta, entonces es feliz. 15. Los alumnos mayores no estn en la lista antes que los jvenes. 16. La asignatura preferida de Jaime es Matemticas. 17. Si aquellas nubes se mueven en esa direccin, entonces tendremos

lluvia. 18. Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgaran. 19. Esta proposicin es atmica o es molecular. 20. El sol calentaba y el agua estaba muy agradable. 21. Si x=O entonces x+y= 1. 22. x+y>2. 23. x 1 o y+z=2. 24. y=2 y z=lO.

B. Formar cuatro proposiciones moleculares utilizando una o dos de las proposiciones escritas a continuacin junto con un trmino de enlace. Por ejemplo, se puede poner el trmino de enlace y entre dos de ellas y tambin se puede utilizar la misma proposicin atmica ms de una vez. UtiHcese cada uno de los cuatro trminos de enlace ulla sola vez, de manera que cada una de las proposiciones moleculares tenga distinto trmino de enlace.

1. El viento sopla muy fuerte. 2. Pablo podra ganar fcilmente. 3. La lluvia puede ser la causa de que abandone h carrera. 4. Veremos qu planes hay para maana. 5. Todava tendramos tiempo de llegar a las siete. 6. El amigo de Juan tiene razn. 7. Estbamos confundidos respecto a la hora de la junta.

C. Decir cules son los trminos de enlace en las proposiciones siguientes. Decir cuntas proposiciones atmicas se encuentran en cada proposicin mole cular. Recurdese que si ... , entonces es un solo trmino de enlace.


1. Este no es mi da feliz. 2. Ha llegado e! invierno y los das son ms cortos. 3. Muchos grmenes no son bacterias. 4. Los anfibios se encuentran en el agua fresca o se encuentran en la

tierra cerca de sitios hmedos. 5. Si hay fallas en las grandes ma.as rocosas, entonces es posible que

ocurran terremotos. 6. Este nmero es mayor que dos o es igual a dos. 7. Si es un nmero positivo entonces es mayor que cero. 8. E.te chico es mi hermano y yo soy su hermana. 9. Mi puntuacin es alta o recibir una calificacin baja.

10. Si usted se da prisa entonces llegar a tiempo. 11. Si x>O entonces y=2. 12. Si x+y=2entonces z>O. 13. x=O o y= l. 14. Si x= 1 o z 2 entonces y> 1. 15. Si z> 10 entonces x+z>1O y y+z> 10. 16. x+y=y+x.

D. Escribir primero cinco proposiciones atmicas y formar despus cinco proposiciones moleculares.

1.3 La forma de las proposiciones moleculares

Las reglas para el uso de los trminos de enlace son las mismas. cuales-quiera que sean las proposiciones atmicas que enlazan o en las que se han utilizado. En uno de los ejercicios anteriores se vio que era posible elegir una o dos proposiciones atmicas cualesquiera de un grupo y combinarlas con un trmino de enlace. La forma de las proposiciones moleculares cons-truidas depende del trmino de enlace seguido, no de! contenido de la pro-posicin o proposiciones atmicas. Es decir, si en una proposicin molecular se sustituyen las proposiciones atmicas por otras proposiciones atmicas cualesquiera. la forma de la proposicin molecular se cunserva. La misma manera de escribir el trmino de enlace si ... entonces ... 10 indica. Los puntos suspensivos despus de si y los puntos suspensivos despus de entonces'> ocupan e! lugar de las proposiciones. Para formar proposiciones moleculares utilizando este trmino de enlace basta simplemente sustituir los puntos ~uspensivos por proposiciones atmicas cualesquiera.

Podemos darnos cuenta fcilmente de la forma de una proposicin molecular, no scribiendo bs proposiciones atmica

6 PRIMER CURSO DE LGICA MATEMATICA

guiente ----y----

o bien ) y (

Se pueden sustituir los espacios por cualquier proposicin y la forma es la misma. Por ejemplo, eligiendo las proposiciones Es rojo y Es azul y ponindolas en los espacios sealados, se tiene la proposicin molecular Es rojo y es azul. Se podran haber escogido otras dos proposiciones at-micas y formar, por ejemplo, la proposicin Yo soy alto y l es bajo. La forma permanec.: la misma. Se trata de una proposicin molecular en la que se utiliza el trmino de enlace y. Otra manera de poner de manifiesto la forma es encerrar entre parntesis las proposiciones atmicas, cuando se ha escrito la proposicin molecular como en los ejemplos siguientes:

(Es rojo) y (es azul). (Llueve) y (Pedro se ha mojado).

Hemos dicho que se pueden llenar los espacios con proposiciones cuales-quiera, incluso sin limitarnos a proposiciones atmicas. Se pueden tambin utilizar proposiciones moleculares y la forma es la misma. Por ejemplo, se puede llenar el primer espacio con /la proposicin molecular Juan no est aqu, y el segundo espacio con la proposicin molecular Andrs no est aqu. La proposicin ser entonces

Juan no est aqu y Andrs no est aqu.

De nuevo, la forma es la misma. El trmino de enlace y enlaza dos pro-posiciones, pero en este caso son proposiciones moleculares.

Tambin se podra utilizar una proposicin molecular y una proposicin atmica, como en:

Juan no est aqu y Luis est aqu.

Lo importante es que cualesquiera que sean las proposiciones con las que se llenen los espacios, la forma es la de una proposicin molecular con el trmino de enlace y.

Todo lo dicho es aplicable a los otros trminos de enlace. Podemos poner de manifiesto la forma de otros tipos de proposiciones moleculares de la manera siguiente:

) o ( ). Si ( entonces ( ).

Se pueden llenar los espacios con proposiciones cualesquiera, atmicas o mo-

-.


leculares. A continuacin se dan ejemplos, en algunos de los cuales se usan parntesis para mayor claridad.

Mara est aqu o Elena est en casa. (Juan est en la ciudad) o (Mara no est en casa). Si 2+3=x entonces x=5. Si (v+ 1 =4) entonces(v=3). Si (Jos no es infiel) entonces (Juan es fiel).

Algunas veces, en castellano se utiliza una sola palabra para un trmino de enlace particular, pero otras veces se usan dos o ms. Por ejemplo, se puede utilizar la nica palabra o como trmino de enlace como en:

Es muy pesado o es hueco,

o se puede escribir la misma frase aadiendo la palabra o al principio como una parte del trmino de enlace:

o es muy pesado o es hueco. "

Las dos palabras o son partes del mismo trmino de enlace. En las pro-posiciones en castellano algunas veces se utiliza 0-0 y otras slo o. Cuando se hable del trmino de enlace o se sobreentender que puede incluir tambin una O inicial, si se desea utilizar. La forma para el trmino de enlace o puede ser, por tanto:

O( ) o ( ).

Los ejemplos que siguen son de esta forma:

O Juan est aqu o no llueve. _ O (Mara no est aqu) o (Susana no est aqu). O x+y=6 y y=2, ox=O. O (x+y=7 y y~2) o (x>O).

En algunos casos, al utilizar el trmino de enlace y,pueden incluirse las palabras A la vez. Por ejemplo, se puede decir:

A la vez llueve y sale el sol.

Las palabras a la vez e y son partes de un mismo trmino de enlace. En general slo se utiliza y, pero ocasionalmente tambin a la vez. Siempre nos referiremos al trmino de enlace y, pero podr presentarse


en la forma:

Por ejemplo, A la Vez ( ) y ( ).

A la vez (x>O) y (y~O). A la vez x~y y y~z.

En muchos casos en que se utiliza el trmino de enlace sL., entonces ... se incluyen ambas palabras, sin embargo, frecuentemente nos encontramos que se suprime la palabra entonces. Por ejemplo:

Si es Felipe, es lento.

Proposiciones de esta clase estn formadas por el trmino de enlace si ... , entonces ... y son de la forma:

Si ( ), ( ).

Ejemplos de esta forma son:

Si f+y=2 y y=O, x=2. Si (x+y= 7 y x=6), (y= 1). Si Mara quiere a Juan, Juan quiere a Mara.

La palabra no, en castellano, se encuentra muy frecuentemente dentro de las proposiciones atmicas. Por este motivo es fcil 'Olvidarla. Pero una pro posicin tal como:

La lgica no es difcil,

es una proposicin molecular puesto que contiene el no? Es posible escribir este trmino de enlace utilizando la frase no ocurre que. La proposicin se leera entonces:

No ocurre que la lgica sea difcil.

Entonces es posible presentar la forma de una proposicin molecular utili zando el trmino de enlace no del siguiente modo:

No ocurre que ( ). o ms brevemente:

no ( ).

Ejemplos de esta forma son:

No 0Curre que (x=O).

SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES

No ocurre que (x+y>2). No (x=2+ 1). No (7)x+y).

9

Evidentemente, el uso de No ( )>> es infrecuente en el lenguaje caste-llano, pero se ver ms tarde que es de utilidad su uso en los contextos matemticos.

En las proposiciones matemticas en las que se utiliza el signo igual = , se indica con frecuencia la negacin con un trazo indinado sobre el signo igual: :;t.. As, x:;t.1 se lee x no es igual al.

En ninguna de las dos proposiciones x:;t. b y Juan no est aqu, se puede utilizar el parntesis para mostrar la forma de la proposicin molecu-1'tr, porque el trmino de enlace no aparece dentro de la proposicin at-mica.

EJERCICIO 2

A. Utilizar el parntesis para poner de manifiesto la forma de las siguientes proposiciones moleculares.

1. Jun -est aqu y Mara ha salido. 2. Si x+l=1O entoncesx=9. 3. O Mara no est aqu o Juan se ha ido. 4. Si x= 1 o y=2 entonces z=3. 5. Si x;o!!J y x+y=2 entonces y=2. 6. Si Pedro est en casa o Juan est en el patio, efltonces Jos es

inocente. 7. y=O y x=O. 8. O y=O y x:;t.O o z=2. 9. No ocurre que 6=7.

10. No ocurre que si x+O= 10 entonces x=5.

B. Escribir en lenguaje corriente proposiciones de las formas siguientes. Suprimir los parntesis al escribir las proposiciones.

1. O ( ) o ( ). 2. ( ) o ( ). 3. A la vez ( ) y ( ). 4. ( ) y ( ). 5. No ( ). 6. Si ( ) entonces ( ). 7. Si ( ), ( ). 8. Si no ( ) entonces no ( ). 9. No ocurre que ( ).

10 PRIMER QJRSO DE LGICA MATEMATICA

1.4 Simbolizacin de proposiciones

Generalmente se cree que las proposiciones atmicas son propoSICIOnes cor-tas, pero tambin algunas de las proposiciones~ atmicas del lenguaje corriente son largas, resultando por ello pesadas y de difcil manejo. En Lgica se afronta este problema utilizando smbolos en lugar de las proposiciones com-pletas.

Los smbolos que usaremos eh lgica para representar proposiciones, son letras maysculas tales como P , Q-, R , S , A , y B . Por ejemplo, sea:

P= La nieve es profunda. Q = El tiempo es fro.

Consideremos ahora la proposicin La nieve .es profunda y el tiempo es fro. Primero escribiremos la forma lgica de la proposicin haciendo usc de los parntesis:

(La nieve es profunda) y (el tiempo es fro).

Utilizando P y Q queda simbolizada la proposicin de la manera si guiente

(P) y (Q).

Supongamos ahora que se desea simbolizar una proposicin molecular que utiliza el trmino de enlace o, y se:: considera la proposicin Se puede elegir sopa o se puede elegir ensalada. La simbolizaremos de la manera siguiente:

Sea R = Se puede elegir sopa s=Se puede elegir ensalada.

y la proposicin quedar simbolizada por

(R) o (5).

Al simbolizar una proposicin que contiene el trmino de enlace no, la palabra no se pone delante del smbolo que sustituye a la proposicin atmica, aunque ordinariamente en castellano la palabra no se encuentre dentro de la proposicin atmica sobre la que acta. El trmino de enlace, sin embargo, no es una parte de la proposicin atmica y, por tanto.. la palabra

SIMBOUZACIN DE PROPOSICIONES 11

Sea Q==Los patos son animales de cuatro patas,

la proposicin molecular ser entonces

No (Q).

El ltimo smbolo sustituye slo a la proposicin atmica y no incluye el trmino de enlace.

Se ver ms adelante que si se utilizan smbolos para las proposiciones atmicas es ms fcil trabajar con las proposiciones moleculares, que pueden resultar muy largas y complicadas.

Los ejercicios que se dan a continuacin pueden servir para adquirir prctica en la simbolizacin de proposiciones.

EJERCICIO 3

A. Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes sustituyendo las pro-posiciones atmicas por letras maysculas.

Sea 1. Necesito ponerme las gafas o esta luz es dbil.

G = Necesito ponerme las gafas L = Esta luz es dbil,

entonces la proposicin queda simbolizada en la forma (G) o (L).

2. Los patitos no se transforman en cisnes. 3. Daba tres pasos hacia la derecha y entonces iba dos pasos hacia

adelante. 4. Estos problemas no son fciles para m. 5. Si suena el timbre, entonces es hora de empezar la clase. 6. S la clase de Qumica ya ha empezado entonces llego tarde. 7. Una parte de la Luna no se ve desde la Tierra. 8. O Antonio ir al teatro o ir al cine. 9. Las rosas son rojas y las violetas son ~ules.

10. Si Brasil est en Sudamrica entonces est en el hemisferio Sur.

B. Traducir al lenguaje corriente las proposiciones siguientes en otras que tengan la misma forma. (Utilizar el mismo trmino de enlace y sustituir las letras con proposiciones atmicas.) Especificar cul es la proposicin atmica .representada por cada una de las letras.


1. Si (P), entonces (Q) 6. No (P) 2. (R) o (5) 7. (R) Y (T) 3. (P) Y (Q) 4. No (E) 5. Si (5), entonces (B)

8. (5) o (Q) 9. No (T)

10. Si (R), entonces (5).

C. Cada una de las proposiciones siguientes 1. 3. Si :c~2 o :c~3 entonces :c= 1. 4. Si :c+y=3 entonces y+:c=3. 5. Si :c -y = ~~ entonces y -:c~ 2. 6. :c+y=2 Y y= l. 7 :c+y+z=2 o :c+y= 10. 8. Si :c~y y y~z entonces x>z. 9. Si x+y>z Y z= 1 entonces x+y> 1.

10. Si x~y, entonces x~ 1 y x~2.

1.5 Los trminos de enlace y sus) smbolos

Ahora que ya sabemos simbolizar proposiciones atmicas, el trabajar con

SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES 13

proposiciones moleculares resulta mucho ms fcil. Pero tambin se pueden utilizar smbolos para los mismos trminos de enlace. Se considerar cada trmino de enlace por separado y se le asignar un smbolo. Tambin se dar un nombre a la proposicin molecular que se forme utilizando cada uno de los trminos de enlace. Estos trminos de enlace son tan importantes que se estudiarn por separado en las secciones siguientes, revisando algnas de las cuestiones ya analizadas.

Y. La unin de dos proposiciones con la palabra y, se denomina conjuncin de las dos proposiciones. Un ejemplo de una conjuncin es esta proposicin:

Sus ojos son azules y los ojos de su hermano tambin son azules.

Sea P la proposicin atmica Sus ojos son azules y sea Q la proposicin atmica Los ojos de su hermano tambin son azules. Entonces se puede simbolizar la proposicin molecular, que es una conjuncin, por

(P) y(Q).

Una conjuncin es un tipo de proposicin molecular. La proposicin molecu-lar es la conjuncin de la proPQ.sicin atmica P y la proposicin atmica Q. Es tambin til introducir un smbolo para Y . Nosotros usaremos el simbolo que se encuentra en la mayorfa de las mquinas de escribir:

&.

Utilizando este smbolo, se puede escribir la conjuncin de dos proposiciones P Y Q de la forma:

(P)&. (Q).

Recurdese que el smbolo & sustituye al trmino de enlace completo tanto si se refiere a y como si es a la vez ... y ... en lengua castellana.

EJERCICIO 4

A. Simbolizar las proposiciones siguientes, completamente, utilizando el sm-bolo lgico correspondiente para los trminos de enlace. Indicar la proposi-cin atmica que corresponde a cada letra.

1. Juan vive en nuestra calle Y Pedro en la manzana contigua. 2. Los discos antiguos de Jos son buenos pero los modernos son to-

dava mejores.


3. Meti la nariz y ya sac tajada. 4. El sol desaparece detrs de las nubes y en seguida empieza a re-

frescar. 5. El reactor se elevaba a nuestra vista y dejaba tras s una fina estela

blanca. 6. Juana tiene trece aos y Rosa quince. 7. Jorge es alto y Andy es bajo. 8. La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son tam-

bin equinodermos. 9. Hoyes da treinta y maana ser primero.

10. El juego f,a empezado y llegaremos tarde.

B. Terminar la simbolizacin de las proposiciones que siguen sustituyendo el trmino de enlace por el correspondiente smbolo lgico.

1. (P) y (Q) 2, A la vez (A) y (8) 3. (H) y (K)

4. A la vez (T) y (G) 5. (5) y (Q)

C. Traducir al lenguaje corriente las poposlclones siguientes. Es decir, se han de sustituir las letras por proposiCIones en lengua castellana y el sm-bolo lgico por el trmino de enlace correspondiente.

1. (P) & (Q) 4. (8) & (H) 2. (R) & (5) 5. (Q) & (P) 3. (T) & (e)

D. En las proposiciones matemticas siguientes, simbolizar slo el trmino de enlace y.

1. x=O Y y 4. 2. x;:O y x+y=2. J. x-x=O y x+O=x. 4.x+y=y+x y x+ (y+z)= (",+ y) +z.

O La unin de dos proposiciones por medio de la palabra o se deno-mina dis;uncn de las dos proposiciones. Por ejemplo:

sta es el aula cuatro o es una aula de Fsica,

es la disjuncin de dos proposiciones. Una disjuncin es una proposlClon molecular formada por el trmino de enlace o. La proposicin antes escrita


puede parecer un poco rara. Probablemente esto es debido a que en el len-guaje corriente se incluye la palabra o inicial junto con la palabra o central. Por ejemplo, se podra leer la proposicin molecular considerada en la forma:

o sta es el aula cuatro o es una aula de Fsica.

En ambos casos, las dos proposiciones atmicas son las mismas; pri-mero, la proposicin sta es el aula cuatro, y segundo sta es una aula de Fsica. Es decir, no debe incurrirse en el error de incluir la o inicial como parte de la primera proposicin_ Se trata de una parte del trmino de enlace.

El smbolo que utilizaremos para la disjuncin es: V.

En el ejemplo precedente, si F es la proposicin sta es el aula cuatro y R es la proposicin sta es una aula de Fsica, entonces la disjuncin

queda completamente simbolizada por:

(F) V (R).

Leeremos esta propOSlClon diciendo (F) o (R). y algunas veces tambin o (F) o (R). Recurdese que el smbolo V representa el trmino de enlace completo, tanto si en la lectura o escritura de la proposicin se emplea slo o o bien o ... , o ... .

If,JERCICIO 5

A. Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando el sm-bolo que corresponde a cada trmino de enlace. Indicar la proposicin at-mica sustituida por cada letra.

1. El rea del tringulo ABC es igual al rea del tringulo DEF, o el rea del tringulo ABC es menor que el rea del tringulo DEF.

2. Tomar parte en el salto de altura iJ correr media milla. 3. O tomar parte en la representacin o ayudar en el vestuario. 4. O el bote ::ruz la barra o se lo tragaron las olas. 5. Hemos de llegar aIli antes, u otro recibir el empleo. 6. O la aguja est gastada o la grabacin es mala. 7. O Juan ser' reelegido o destinado para un puesto nuevo. 8. Se puede dar el vector por medio de dos componentes, o estamos

en tres dimensiones.


9. Peces con pulmones pueden tomar el oxgeno del aire o pueden tomar el oxgeno del agua.

10. O una anmona es un animal o es una planta.

8. Acabar de simbolizar las proposiciones siguientes sustituyendo el tr-mino de enlace pot su signo correspondiente.

1. (P) o (Q) 4. (T) o (E) 2. O (P) o(Q) 5. O (P) o (N) 3. O (R) o (S)

C. Traducir al lenguaje corriente las proposiciones siguientes en otras de la misma forma:

1. (P) V (Q) 4. (R) V (Q) 2. (R) V (S) 5. (A) V (E) 3. (G) V (H)

D. Simbolizar las proposIcIOnes matemticas siguientes utilizando los sm-~los & y V, pero conservando los smbolos matemticos.

1. O x=O o x>O. 2. x;;O y y;;O. 3. O x> lo x+y=O. 4. O y=x o y;;x. 5. y+x>y+x+z o z=O. 6. y+z=z+y y O+x=x.

E. Simbolizar las proposiciones matemticas siguientes utilizando & y V, pero conservando los smbolos matemticos y los parntesis.

1. O (x+y=O yz>O)o z=O. 2. x=Oy (y+z>xo z=O). 3. O x;;O o (x=O y y>O). 4. O (x=y y z=w)o (x


tinto de los otros trminos de enlace pues se usa con una sola proposicin. La palabra no. en el lenguaje corriente se acostumbra a encontrar dentro de la proposicin. Sin embargo, en Lgica, nos acostumbraremos a considerar el trmino de enlace separado de la proposicin sobre la que acta. Esto es necesario para poder representar la negacin por un smbolo lgico.

Un ejemplo de negacin es la proposicin:

Las elecciones presidenciales no siempre terminan con armona.

A pesar de que parece una ptOposlclon atmica por contener una sola proposicin, no lo e~. Es la negacin de la proposicin atmica:

Las elecciones presidenciales sismpre terminan con armona.

En Lgica la adicin del trmino de enlace no a una proposicin atmica da lugar a una proposicin molecular. Como en el lenguaje corriente se acostumbra a hacer la negacin colocando la palabra no dentro de la proposicin atmica, es fcil cometer el error de olvidar la colocacin de no delante de la letra mayscula elegida para simbolizar la proposicin atmica. La forma correcta de simbolizar la proposicin, Las elecciones presidenciales no siempre terminan con armona sera la siguiente:

Sea

P=Las elecciones presidenciales siempre terminan en armona

entonces la proposicin se indica como sigue:

No (P).

Para simbolizar completamente la proposicin, emplearemos un smbolo para la negacin:

l.

La proposicin del ejemplo anterior, totalmente simbolizada, ser:

I(P).

A veces es ms fcil traducir estas proposiciones al castellano empezando con la frase No ocurre que, por lo que se puede considerar el smbolo I como equivalente a no ocurre que. Por ejemplo, pata traducir al castellano la proposicin I(P) sobre elecciones preSidenciales, se puede decir: No siempre ocurre que las elecciones presidenciales t~rminen con armona.

Suppes-l1ll- 2


Los trminos de enlace se pueden utilizar con una o ms proposiciones moleculares, de la misma manera que con las atmicas. Por ejemplo, en la forma Si ( ) entonces ( )>>, se pueden llenar los espacios vaCos con proposiciones atmicas o con proposiciones moleculares. Las negaciones se combinan frecuentemente con otras proposiciones para formar una propo-sicin molecular ms larga. Por ejemplo,

S un nmero es mayor que 0, entonces no es un nmero negativo

es una proposicin molecular de la forma si. .. , entonces ... en la que el trmino de enlace une una proposicin atmica y una negacin. La forma, O ( ) o ( )>> puede incluir negaciones como en la siguiente disjun. cin:

O el juego no ha empezado o el pblico no es numerobU.

Aqu se tiene una disjuncin de dos proposiciones moleculares, ambas nega-ciones. Se simboliza esta proposicin de la misma manera que se simbolizan otras proposiciones moleculares. En primer lugar, su forma lgica se puede presentar con mayor claridad poniendo parntesis en la proposicin escrita:

(O el juego no ha empezado) o (el pblico no es numeroso).

Elegida una letra mayscula para cada proposicin atmica se expresa su negacin poniendo el smbolo -, delante de la letra. Despus, se enlazan las dos proposiciones moleculares por el trmino de enlace dominante, que en este caso es el trmino de enlace o. La proposicin completamente sim-bolizada se presenta en la forma

(oS) V (oC).

EJERCICIO 6

A. Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los smbolos correspondientes a cada trmino de enlace. Indicar las proposiciones atmicas sustituidas por cada letra mayscula.

1. En el hemisferio Sur, Julio no es un mes de verano. 2. Los tubos de nen no son incandescentes. 3. ,No ocurre que a todos 10$ ingresos les correspondan impuestos pro

porcionales.


4. Marte no est tan cercano al Sol como la Tierra. 5. Texas no es el mayor estado en los Estados Unidos. 6. No ocurre que todos los lquidos hiervan a la misma temperatura. 7. John Quincy Adams no fue el segundo Presidente de los Estados

Unidos. 8. No todos los grmenes son bacterias. 9. No ocurre que la ortiga de mar sea una planta.

10. Luisa no es una persona alta.

B. Simbolizar las proposiciones siguientes utilizando el smbolo correspon-diente para cada trmino de enlace.

1. No ocurre que (R) 4. No ocurre que (l) 2. No(Q) 5. No (J) 3. NO(H)

C. En las proposiciones siguientes se utiliza ms de un trmino de enlace. Simbolizar completamente las proposiciones sustituyendo los trminos de enlace por los smbolos correspondientes.

1. (P) y no (Q) 4. O no (P)o no(Q) 2. No (R) y no (M) 5. (l) y no (R) 3. (S) o no (8)

D. Primero sealar cada trmino de enlace en las proposiciones que siguen. Despus, simbolizar la proposicin entera sustituyendo P= Jaime es pun-tual y Q= Tom llega tarde en las cinco proposiciones.

1. O Jaime es puntual o Tom llega tarde. 2. O Jaime no es puntual o Tom llega tarde. 3. Tom llega tarde y Jaime no es puntual. 4. Tom no llega tarde y Jaime no es puntual.

5. Jaime no es puntual y Tom llega tarde.

E. Identificar cada una de las proposiciones moleculares siguientes escri-biendo la palabra que denota su forma (por ejemplo, negacin, con-juncin, disjuncin).

l. -,(Q) 6. -,(l) 2. (P) & (Q) 7. (P) V (Q) 3. -,(R) 8. (R) & (l) 4. (R) V (S) 9. -,(5) 5. (R) & (S) 10. (l) V (Q)


F. Examinar las proposiciones siguientes y sealar cada trmino de enlace que se encuentre en ellas.

1. No es medioda y el almuerzo no est listo. 2. Si no estamos all, entonces perderemos nuestro voto. 3. Si dos nmeros no son iguales, entonces uno es mayor que el otro. 4. Marfa se ha ido o no est en su sitio. 5. Si es negro, entonces no reflejar la luz. 6. x>O o x=O. 7. Si x+y=z, entonces y+x=z. 8. Si x+y-O y x>O, entonces y


Hay algunas denominaciones que se introducen en Lgica para las partes de una proposicin condicional. La proposicin situada entre la pala-bra si y la palabra entonces es el antecedente. La proposicin que sigue a la palabra entonces es el consecuente. Estos trminos se utilizarn con frecuencia cuando se trabaje con proposiciones condicionales.

EJERCICIO 7

A. Simbolizar las proposiciones siguientes, utlzando los smbolos corres-pondientes para los trminos de enlace. Sealar la proposicin atmica re-presentada por cada letra mayscula.

1. Si hace suficiente fro, entonces el lago se helar. 2. Si las luces estn encendidas, entonces la famla Alvarez est en

casa. 3. Si dos pulsaciones se atraviesan, continan conservando la forma

original. 4. Si pierde usted el autobs, entonces tendr que andar. 5. Si usted se dirige hacia el norte. entonces llegar a Canad ma

ana. 6. Si es un cido, entonces contiene el elemento hidrgeno. 7. Si dos y tres son cinco, entonces tres y dos son cinco. 8. Si x es igual a dos, entonces :le ms uno es igual a tres. 9. Si hoyes siete, entonces el viernes es nueve.

10. Si su produccin crece, entonces Juan podr estabilizar el precio.

B. Examinar las proposiciones condicionales siguientes y sealar en cada una el antecedente.

1. Si Juana es ms joven entonces Antonia es ms vieja. 2. Si Antonia es ms vieja entonces Luisa es ms joven. 3. Si Juana es ms joven entonces Rosa es ms vieja. 4. Si Rosa es ms vieja entonces tiene sesenta aos. 5. Si Rosa tiene sesenta aos entonces Luisa tiene sesenta aos.

C. Examinar las proposiciones condicionales siguientes y sealar en cada una el consecuente.

1. Si Pedro es el segundo entonces Juan es el tercero. 2. Si Juan es el tercero entonces precede a Luis. 3. Si Luis es el cuarto entonces Carlos es el quinto. 4. Si Pedro es el segundo entonces est despus de Marcos. 5. Si Pedro est despus de Marcos entonces Marcos es el primero.

22 PRIMER CURSO DE LGICA MATEMTICA

D. Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, sustituyendo los trminos de enlace por los correspondientes smbolos lgicos.

1. S (P) entonces (R) 4. Si (P) entonces no (5) 2. Si (5) entonces (T) 5. Si no (5) entonces no (T) 3. Si (Q) entonces (P)

E. Identificar las proposiciones condicionales de entre las proposICIones que siguen, poniendo una e despus de cada proposicin de esta forma.

1. (P) V.(Q) 6. (T) --+ (5) 2. (P) --+ .(Q) 7. (R) V (P) 3. (R) --+ (5) 8. (R) --+ (P) 4. (T) & (5) 9. (Q) --+ (5) 5. (T) & .(5) 10. (R) & (T)

1.6 Agrupamiento y parntesis

Hemos visto que es frecuente encontrar propoSICIOnes que tienen ms de un trmino de enlace. Los trminos de enlace pueden unir o pueden ser usados con proposiciones moleculares de la misma forma que con las propo-siciones atmicas. En todos estos casos uno de los trminos de enlace es el mayor. Por esto se le denominar dominante porque es el que acta sobre toda la proposicin.

Recurdese que uno de los tipos de proposicin molecular era de la forma:

1 & ( l.

sta es una conjuncin y los espacios se pueden llenar ya sea con proposicio-nes atmicas o moleculares. Pero, si se utilizan proposiciones moleculares, stas a su vez contienen otros trminos de enlace; sin embargo, la & se mantiene como trmino de enlace dominante o mayor. Sea, por ejem-plo' la conjuncin de dos negaciones, como en la proposicin:

Antonio no estudia en la Universidad y Ana no estudia en la Universidad.

Si se designa por T la proposicin Antonio estudia en la Universidad y por A la proposicin Ana estudia en la Universidad, las proposiciones que se colocaran en los parntesis de la forma anterior, seran .T y .A, y se obtendra.

(oT) & (oA).


Considrese una conjuncin cuyo primer miembro sea a su vez una dis-juncin y cuyo segundo miembro sea una proposicin atmica. El trmino de enlace y. enlazar una proposicin molecular formada utilizando o. con una proposicin atmica.

A la vez, x= 1 o x=2, y y=3.

Sea P='x= 1', Q='x=2', y R='y=3'j entonces la disjuncin es (P) V (Q) Y la proposicin atmica es R. Si estas proposiciones se colocan en los espacios correspondientes de una conjuncin, el resultado es:

( (P) V (Q & (R).

Esta proposicin con tantos parntesis es difcil de leer. Para mayor facilidad se adopta el siguiente convenio: una proposicin que no contenga &, V ni _. no necesita colocarse entre parntesis. En consecuencia, en la propo-sicin anterior se pueden suprimir los parntesis que encierran la P. y la Q., resultando la forma simblica siguiente:

(P V Q) & (R).

y puesto que R. tampoco contiene ni &, ni V, ni -. la proposicin se reduce a:

(P V Q) & R.

Se puede ver rpidamente que se trata de una conjuncin. El trmino de en lace y., une dos proposiciones. Una es la proposicin atmica Rj la otra es una proposicin molecular, la disjunci6n, P V Q.

Los parntesis son los smbolos de puntuacin de la lgica. Muestran como est agrupada una proposicin y, por tanto, sealan cul es el trmino de enlace dominante. Un parntesis que encierre P V Q, muestra que las partes estn ligadas constituyendo una proposicin nica. La proposicin molecular se puede unir a alguna otra por medio de un trmino de enlace, de manera anloga a como se unira una proposicin atmica.

Obsrvese que en las proposiciones en lengua castellana simbolizadas anteriormente, se logra el mismo objetivo por medio de la coma. Pero, supngase que la proposicin se leyera

x= 1,0 x=2 y y=3.


En este caso la roma expresa que el trmino de enlace dominante es


una parte de toda la disjuncin. As la proposicin (1) se puede simbolizar:

(2) (W & R) V S.

Por otra parte, si el parntesis se coloca de manera que la & quede fuera, entonces sta dominar y la proposicin completa se transforma en una con juncin,

(}) W & (R V S).

L" expresin en castellano sera:

(4) El est equivocado, y o yo tengo razn o quedar sorprendido.

Obsrvese la diferente colocacin de la palabra o en las dos proposiciones (1) y (4). Si o se presenta antes de la disjuncin domina como en (1) Y (2); si se presenta despus de la disjuncin no domina como en (3) y (4).

Es posible introducir el a la vez acompaado al y. Poniendo pa-rntesis con el fin de que se vea la forma claramente, la proposicin (1) sera:

(5) O (a la vez l est equivocado y yo tengo razn) o (quedar sorprendido);

es decir, es claramente una disjuncin simbolizada por la frmula (2). La proposicin (4) con parntesis sera:

(6) A la vez (l est equivocado) y (o yo tengo razn o quedar sorprendido),

que es manifiestamente una proposicin simbolizada por la frmula (}). El escribir reiteradamente el a la vez y el o iniciales, da lugar a un

lenguaje poco elegante, por lo que no se suelen incluir, pero sin duda se pierde en claridad lgica. Cuando se utilizan estos trminos, la primera pala-bra de la proposicin indica ya el tipo de proposicin lgica de que se trata: a la vez indica que es una conjuncin formada con a la vez ... y ... como dominante, o indica que es una disjuncin formada con 0 ... 0 ... como do-minante, y sill> indica que es una condicional formada con si..., enton-ces ... lI> como dominante. Para que la frase en castellano suene mejor se suprimen a veces las palabras o, a la vezll> y entonces y la proposicin puede seguir teniendo el mismo significado. Sin embargo, desgraciadamente se suprimen tambin algunas veces que son necesarias, siendo entonces im-


posible decidir cul es el verdadero significado de la proposicin. As resul-tan casos ambiguos como:

(7) El est equivocado y yo tengo razn o quedar sor-prendido.

No se puede asegurar si (7) es una conjuncin o una disjuncin.

EJERCICIO 8

Copiar las propoSiCiones (1), (4), (5), (6) Y (7), e intentar en cada una de ellas poner los parntesis en distintos sitios. No se puede hacer en (1), (4), (5) Y (6), pero se puede hacer en (7). Lo que indica que (1), (4), (5) Y (6) son claras con un solo significado, mientras que (7) es ambigua por tener ms de un significado posible.

Cuando se tienen que traducir proposiciones matemticas en smbolos lgicos, se pueden utilizar los mismos mtodos. Por ejemplo, comprense las proposiciones (8) y (9).

(8) A la vez JI: es mayor que 1 o JI: es menor que 1 y JI: es menor que O.

(9) x es mayor que loa la vez JI: es menor que 1 y JI: es menor que O.

Ambas proposiciones se pueden simbolizar poniendo:

P = JI: es mayor que 1 Q = x es menor que b R = x es menor que O.

Sin embargo, (8) se simboliza

(10) (P V Q) & R

y (9) se simboliza P V (Q & R).

Pngase parntesis en las proposiciones en lenguaje corriente. si son neceo sarios, para que la forma resulte clara. Obsrvese una vez ms que los parntesis encierran la proposicin molecular que no tiene el trmino de enlace dominante. El trmino de enlace dominante queda fuera del parn-tesis.

SIMBOUZACION DE PROPOSICIONES 27

El uso cuidadoso y exacto de los parntesis en Lgica es muy impor-tante, pues la proposicin (P V Q) & R es distinta de la proposicin

P V (Q & R}.Los parntesis se requieren para indicar cul es el trmino de enlace dominante en cada proposicin.

EJERCICIO 9

A. Cada una de las proposiciones simbolizadas siguientes es una con;un-cin, por lo que el trmino de enlace mayor o dominante es y. Poner los parntesis adecuadamente para indicar que y es dominante.

l.PVQ&S 4. P V R & Q 2. Q V R & S 5. R & P V T

3. Q & R V T

B. Cada una de las proposIciones siguientes es una dis;uncin. Poner los parntesis adecuadamente para indicar que en este caso el trmino de enlace dominante es o.

l.PVQ&S 4. P & Q V R 2. Q V R & S 5. P V Q & R 3. Q & R V T

C. De cada una de las proposiciones siguientes se dice si es una conjuncin o una disjuncin. Indicar el agrupamiento adecuado de las proposiciones atmicas poniendo parntesis que sealen cul es el trmino de enlace domi-nante.

1. disjuncin 2. conjuncin 3. conjuncin 4. disjuncin 5. disjuncin

SVT&R TVS&Q T&SVR P V Q &T P&QVR

D. Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando el agrupamiento por medio de parntesis cuando sea necesario.

1. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.


2. Pedro es presidente. y o Juan es tesorero. o Jaime es tesorero. 3. O Ramn es su hermano y Rosa es su hermana o Javier es su her-

mano. 4. Ramn es su hermano y o Rosa es su hermana o Javier es su her-

mano. ~. Jorge es d capitn o Jos es el capitn. y Carlos es el teniente. 6. A la vez el resultado es un nmero primo o Mara est equivocada

y Rafael est equivocado tambin.

E. Simbolizar las proposiciones matemticas siguientes, eligiendo letras at-micas para sustituir las proposiciones matemticas atmicas.

1. Si x es menor que 2, entonces x es igual a 1 o x es igual a O. 2. Si a la vez x es menor que tres y x es mayor que uno entonces x

es igual a dos. 3. y=4 Y si x entonces y>6.

F. Simbolizar las cinco proposiciones matemticas de E utilizando los sm-bolos lgicos para los trminos de enlace y smbolos matemticos para las proposiciones matemticas atmicas.

Se considera ahora la proposicin

Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey est sobre el cuadro rojo.

Para simbolizar esta proposicin molecular se pone

p=~Este cuadro es negro Q = Este cuadro es rojo R = Su rey est sobre el cuadro rojo.

La proposicin simbolizada es

p _ (Q & R).

La proposicin es una proposicin condicional en la que el consecuente (la proposicin que sigue a entonces) es una conjuncin. El trmino de domi nante es si.. . entonces ... .


Cmo se podra cambiar el ejemplo de manera que el trmino de enlace y.,. fuera el dominante? En castellano se puede lograr insertando una coma:

Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo, y su rey est sobre el cuadro rojo.

Se puede, si se desea, evitar la coma utilizando la palabra a la vez como parte del trmino de enlace dominante.

A la vez si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey est sobre el cuadro rojo.

Para sealar que & es el trmino de enlace en la proposicin simbolizada) se cambia la posicin del parntesis,

(P~ Q) & R.

EJERCICIO 10

A. Junto a cada proposicin molecular escrita a continuacin, se ha puesto el nombre del tipo de proposicin molecular a la que pertenece. Aadir los parntesis necesarios.

1. condicional 2. condicional 3. condicional 4. condicional 5. conjuncin 6. conjuncin 7. disjuncin 8. disjuncin 9. disjuncin

10. condicional 11. conjuncin 12. condicional 13. disjuncin 14. disjuncin 15. condicional

P~R &5 P~Q V R P &Q~R RV P~Q P~Q &5 R &P~Q RVQ-+T Q~P V 5 P~R V Q P-+RVQ P &Q~T P&Q~T

PVT-+Q Q~RV.5

Q-+RV.5 B. Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando el agrupamiento por parntesis si es necesario. Para todas las proposiciones, sea

J = Juan est en la clase 1 c= l est en la clase de Qumica K = Alvaro est en la clase 3.


1. Si Juan est en la clase 1, entonces Alvaro est en la clase 3 y l est en la clase de Qumica.

2. Si o Alvaro est en la clase 3 o l est en la clase de Qumica, entono ces Juan est en la clase 1.

3. O si Juan est en la clase 1 entonces l est en la clase de Qumica, o Juan no est en la clase 1.

4. O Alvaro est en la clase 3 o si Jaime est en la clase 1 entonces l est en la clase de Qumica.

5. A la vez si Alvaro est en la clase 3, entonces l est en la clase de Qumica, y Juan no est en la clase 1.

La negacin de una proposicin molecular. Hay casos en los que se desea expresar la negacin de una proposicin molecular entera. Por ejemplo, se trata de negar una disjuncin como en el caso siguiente:

No ocurre que el libro o es rojo o es verde.

Supngase que se simboliza esta proposicin poniendo primero P para desig-nar la primera proposicin atmica y Q para designar la segunda proposi-cin atmica. La disjuncin es entonces P V Q. Luego, la forma simbolizada de la negacin de una proposicin es:

,( ).

Obsrvese el smbolo que denota la negacin. Recurdese que se puede ne-gar cualquier proposicin, ya sea atmica o molecular. Cualquier proposi-cin se puede negar ponindola primero entre parntesis y luego colocando el smbolo de negacin delante del parntesis. Al simbolizar una proposicin se debe tener en cuenta que el smbolo para la negacin se aplica a la pro-posicin completa ms corta delante de la que est colocado.

As, para negar la proposicin P V Q, se pone entre parntesis con un smbolo de negacin delante del parntesis.

,(P V Q).

El agrupamiento entre parntesis indica: (1) que la negacin se refiere a toda la proposicin (en este caso una disjuncin) -no slo a la proposicin at-mica ms prxima-, y (2) que la negacin es el trmino de enlace dominante. En este caso el trmino de enlace no domina al trmino de enlace o.

Se pueden encontrar ejemplos en los que se nieguen otro tipo de propo-siciones moleculares. Repetimos que tambin son necesarios parntesis para


indicar que lo que se niega es la proposicin molecular completa y no slo una parte de ella. Considrese la proposicin

No ocurre que a la vez Juan tenga una hermana y l tenga un hermano.

Aqu se quiere negar la proposicin completa. Es decir, se desea manifestar que Juan no tiene a la vez un hermano y una hermana. Al simbolizar esta proposicin, si se designa por P la primera proposicin atmica y por Q la segunda proposicin atmica, se tiene:

.(P & Q).

Finalmente, se considera la negacin de una condicional,

Sea

No ocurre que si usted ve un gato negro entonces tendr mala suerte.

P = Usted ve un gato negro Q = Usted tendr maJa suerte.

Simbolizado, este ejemplo se escribir:

.(P - Q).

El agrupamiento entre parntesis manifiesta claramente que lo que se ha negado es la proposicin condicional completa y no simplemente el antece-dente, proposicin P.

Quiz la explicacin ms simple para el agrupamiento y el uso de los parntesis en Lgica es que una proposicin molecular encerrada entre parn-tesis se presenta como una proposicin atmica respecto a otros trminos de enlace o a otras proposiciones con las que pueGe ligarse. Se trata como una proposicin nica. El trmino de enlace dominante e"t fuera del parn-tesis.

EJERCICIO 11

A. En cada una de las proposiciones siguientes uno de los smbolos V, _, o & domina. Por tanto, las proposiciones son disjunciones, condiciona les, y conjunciones a pesar de empezar por una negacin. Supngase que se hubiera entendido que las negaciones iniciales dominan, convirtiendo todas las proposiciones en negaciones. Sin ningn cambio ms que la adicin de


parntesis, convertir cada proposicin en una negacin.

1. -,p V R 4. -,P~ Q 2. -,R ~S 5. -,R V S 3. -,P & T 6. -,-,Q &-,S

B. Dar la negacin de cada una de las proposiciones siguientes aadiendo smbolos de negacin, y parntesis si es necesario.

1. S 7. T~-,S 2. P V T 8. -,N V M 3.S &-,T 9. -,Q ~-,T 4. P~R 10. -,S & P 5. Q & R 11. P V -,S 6. -,R 12. -,Q

C. Junto a cada una de las proposiciones que siguen, se da el nombre del tipo de proposicin molecular a la que pertenece. Aadir los parntesis neceo sarios.

1. negacin -,P~R 2. condicional -,P~R 3. conjuncin -,P &-,R 4. negacin -,R & T 5. condicional -,P~-,Q 6. negacin -,P ~-,Q 7. disjuncin -,Q V -,R 8. negacin -,T V S 9. conjuncjn -,S &-,Q

10. negacin -,R~S

D. Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando el agrupamiento por medio de parntesis.

Sea P =Es jueves

Q =Sucedi en lunes.

1. O no es jueves o no sucedi en lunes. 2. Si no ocurre que sucedi en lunes, entonces es jueves. 3. No ocurre que o es jueves o que sucedi en lunes. 4. No sucedi en lunes y es jueves. 5. No ocurre que a la vez es jueves y que sucedi en lunes.

SIMBOUZACIN DE PROPOSICIONES }}

6. Si no sucedi en lunes entonces no es jueves. 7. No ocurre que si es jueves entonces sucedi en lunes. 8. O no es jueves o sucedi en lunes. 9. No es jueves y sucedi en lunes.

10. No ocurre que a la vez sucedi en lunes y es jueves.

E. Simbolizar las proposiciones siguientes tal como indica el ejemplo a con-tinuacin.

1. O Juan es el ms pequeo y Pedro es el ms alto o Pedro es el ms bajo y Juan es el ms grande.

Ejemplo: Sea P=Juan es el ms pequeo~ Q=Pedro es el ms alto R=Pedro es el ms bajo~ S=Juan es el ms grande.

(P & Q1 V (R & S).

2. Si una sustancia orgnica se descompone, entonces sus componentes se transforman en abono y fertilizan el suelo.

J. O yo estoy equivocado, o la pregunta nmero uno es cierta y la pre-gunta nmero dos es falsa.

4. A la vez yo estoy equivocado o la pregunta nmero uno es cierta, y la pregunta nmero dos es falsa.

5. O yo estoy equivocado y la pregunta nmero uno es cierta o la pre-gunta nmero dos es falsa.

6. No ocurre que, a la vez Juana sea su hermana y Rosa sea su her-mana.

7. Juana no es su hermana y Rosa es su hermana. 8. Si se conoce el periodo del movimiento de la Luna y se sabe la dis-

tancia de la Tierra a la Luna, entonces se puede calcular la acelera-cin centrpeta de la Luna.

9. O sus deberes estn terminados, o si no estn terminados tendr que hacerlos por la noche.

10. No todas las regiones de frica tienen un clima clido y hmedo y no toda el Africa ecuatorial es una tierra de vegetacin espesa y exuberante.

11. Si son las diez entonces la sesin de la Asambfea General ha em-pezado, y ahora el reloj seala las diez.

12. No ocurre que, o estrellas muy lejanas presentan paralaje o apa-recen en el telescopio como discos.

5uppes-HiII- 3

34 PRIMER CURSO DE LoGICA MATEMTICA

13. Si este mineral no es duro, entonces no est compuesto de cristales de cuarzo.

14. Si es despus de las cinco, entonces la puerta est cerrada y yo no tengo la llave.

15. Si es despus de las cinco entonces la puerta est cerrada y ade-ms, yo no tengo la llave.

F. En cada una de las proposiciones matemticas siguientes se indica el tipo de proposicin molecular que debe entenderse. Poner los parntesis nece-sarios.

1. condicional x=O 2. disjuncin x=O 3. conjuncin x=l 4. condicional x=y 5. conjuncin x=y 6. condicional x=y 7. condicional x>y

1.7 Eliminacin de algunos parntesis

V V V --+ V & &

x=l x;x=z y=z y>z

--+ y=2 & y=z & y;5

& y>3 --+ x=z --+ x>z

Adoptando algunas reglas simples acerca de la potencia de los trminos de enlace, se pueden eliminar algunos de los parntesis en las proposiciones simbolizadas:

REGLA]

El --+ es ms potente que los otros trminos de enlace.

Utilizando la regla 1, en vez de

(P & Q) --+ R se puede escribir simplemente

P&Q--+R

Tambin, en vez de P--+(QVR)

se puede escribir P --+ Q V R.

Por otra parte, si se tiene (P --+ Q) V R,


no se puede eliminar el parntesis, pues es necesario para indicar que V es el trmino de enlace dominante. Tambin, si una proposicin tiene dos con-dicionales, se tiene que utilizar el parntesis para indicar cul es dominante. As, la proposicin

A --+ (B --+ e)

tiene significado distinto de (A --+ B) --+ C.

La segunda regla es tan natural que se ha hecho uso de ella sin haberla enunciado explcitamente.

REGLA 2

El signo de negacin -, es ms dbil que cualquiera de los otros tres trminos de enlace.

Utilizando la regla 2, en vez de

(oP) & Q

se escribe -,P & Q,

o, en vez de P V (-,Q)

se escribe P V -,Q,

o, en vez de

se puede escribir: -,P --+ -,Q.

Pero el parntesis es necesario en

-,(P & Q).

Finalmente, puesto que & y V son igualmente fuertes, cuando se presentan ambos en una proposicin se tienen que poner siempre los parntesis para indicar cul es el trmino de enlace dominante. As, el significado de:


P V Q & R no es claro; pues

(P V Q) & R

es una conjuncin, y P V (Q & R)

es una disjuncin.

EJERCICIO 12

A. Junto a cada una de las proposiciones siguientes se indica el tipo de proposicin molecular al que pertenece. Utilizando las reglas de prioridad establecidas sobre la potencia de los simbolos, aadir los parntesis slo don-de sean necesarios.

1. condicional 2. disjuncin 3. conjuncin 4. negacin 5. condicional 6. negacin 7. conjuncin 8. disjuncin 9. negacin

10. conjuncin

P-+QVR P V Q &R R-+S&T ..,R & S PVQ-+..,R ..,p -+ Q A&B-+e M-+NyP ..,p V ..,Q lA V..,B &..,e

B. Junto a cada una de las proposiciones matemticas siguientes se indica el tipo de proposicin molecular al que pertenecen. Utilizando las reglas de prioridad establecidas sobre la potencia de los smbolos, aadir los parntesis slo donde sean necesarios.

1. conjuncin x:o!O V x>y & y=% 2. condicional x-O -+ x>y & y:o!% 3. disjuncin x~O V x:o!O & y=% 4. condicional x>y & y>% -+ x>% 5. disjuncin x-O V x>O -+ y-O 6. conjuncin x=y & y=% V X-% 7. condicional x=y & y=% -+ x=% 8. conjuncin x=y V x=% & y:o!%

C. Simbolizar las propoSICiones del Ejercicio 11, Seccin E, utilizando parntesis slo donde sean necesari08.


1.8 Resumen

Para poder simbolizar proposiciones en Lgica es preciso saber distinguir las partes lgicas de estas poposiciones. Una proposicin molecular est for-mada por una proposicin atmica ms un trmino de enlace, por lo menos. Una proposicin atmica es aquella que no posee ningn trmino d enlace. Trminos de enlace de proposiciones (o simplemente trminos de enlace) es el nombre que en Lgica se da a trminos tales como a la vez ... y ... , o ... o ... , si... entonces ... y no que se utilizan para formar proposiciones moleculares a partir de proposiciones atmicas.

De los cuatro trminos de enlace indicados, y, o, y si ... entonces ... ligan o actan sobre dos proposiciones a la vez, mientras que el trmino de enlace no acta slo sobre una. Una proposicin molecular formada utili-zando el trmino de enlace y es una conjuncin, una proposicin molecu-lar formada utilizando el trmino de enlace o es una disjuncin, una pro-posicin molecular formada utilizando el trmino de enlace no es una negacin) y una proposicin molecular formada utilizando el trmino de enlace si ... entonces ... es una proposicin condicionaJ,).

Es conveniente en Lgica utilizar unos smbolos para proposiciones y otros para trminos de enlace. Para proposiciones atmicas se usan letras maysculas tales como P , Q , R , S , y as sucesivamente, Puesto que los trminos de enlace determinan la forma de una proposicin en L-gica, se puede sustituir cada proposicin atmica por otra cualquiera y la forma se conserva. Por ejemplo, en la proposicin P & Q se pueden susti-tuir P y Q por proposiciones escritas cualesquiera, Los smbolos utilizados para los trminos de enlace, por otra parte, permanecen siempre los mismos; y son: & para conjuncin, V para disjuncin, -, para negacin, y -~ para la condicin.

En proposiciones que tiene ms de un trmino de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En lengua castellana, las agrupaciones se presentan de acuerdo con la colocacin de ciertas palabras, o mediante la puntuacin. En Lgica la agrupacin se expresa por parntesis. La conjuncin (P V Q) & R tiene distinto significado que la disjuncin P V (Q & R), a pesar de tener las mismas proposiciones atmicas y los mismos trminos de enlace. Se nece-sitan los parntesis para indicar cundo un trmino de enlace domina la proposicin, si no es el trmino de enlace ms fuerte en la proposicin. No es el ms dbil; despus siguen y y o que tienen la misma potencia; y si ... entonces ... es el ms ~uerte. Sin embargo, cada trmino de enlace puede dominar, si lo indica el parntesis.

Con estos smbolos como instrumentos estamos ahora preparados para expresar de manera clara y precisa el significado de las proposiciones, salvo algunas, que se presentan dentro de la parte de la Lgica formal elemental conocida por Lgica proposicional.


EJERCICIO 13

E;ercicios de repaso

A. Poner una A despus de cada proposicin atmica y una 1\1 des-pus de cada proposicin molecular. Despus de cada proposicin molecular escribir el trmino de enlace utilizado en aquella proposicin.

1. El tiempo atrr:osfrico es la situacin de la atmsfera en un momen-to particular y el clima es la variacin de la situacin del tiempo atmosfrico en un perodo largo de tiempo.

2. Las bacterias en el agua o se destruyen hirviendo el agua o se des-truyen por c1orizacin.

3. Este libro tiene ms pginas que aquel otro. 4. Si la sentencia es contra el defensor, entonces l apelar el caso. 5. l reconoci la obra como de un poeta ingls del siglo diecinueve. 6. La guerra no puede explicarse totalmente por una causa. 7. Un elemento tiene propiedades fsicas y tiene propiedades qumicas. 8. Somos capaces d~ hacer todos los ejercicios de esta pgina. 9. No somos capaces de hacer todos los ejercicios de esta pgina.

10. Si dos o ms elementos se unen qumicamente para formar una nueva sustancia, entonces el producto se denomina un compuesto.

11. Las proposiciones moleculares contienen trminos de enlace. 12. Este problema no es correcto. 13. Rosa es menor de edad y su hermano es mayor de edad. 14. No ~e puede terminar el reportaje' hoy. 15. Necesitaremos ayuda o tardaremos dos das en completar el repor-

taje.

B. Escribir cuatro proposiciones que tengan trminos de enlace. Utilizar distinto trmino de enlace en cada una de ellas.

C. Escribir cuatro proposiciones atmicas.

D. Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando cul es la proposicin atmica simbolizada por cada una de las letras maysculas.

1. Si son ms de las seis, entonces la asamblea ha empezado. 2. O mi reloj va malo llegaremos tarde. 3. Si las clulas de la planta no tienen clorofila, enton'ces no pueden

sintetizar los alimentos. 4. La piedra arenosa se produce por medio de capas de arena endure-

cida y la piedra caliza se produce por las conchas de peqlleos ani-mal~s en el mar.


5. Si la tribu fuera nmada, entonces no construira chozas perma nentes.

E. Simbolizar las propoSICIones siguientes, utilizando los sigu ie-n I es smbo los para las proposiciones atmicas:

p=Luis ha venido demasiado tarde Q=Juan ha venido demasiado pronto R =EI Sr. Prez est enfadado.

1. Si Luis ha venido demasiado tarde y Juan demasiado pronto, en tonces el Sr. Prez est enfadado.

2. Si o Luis ha venido demasiado tarde o Juan ha venido demasiado pronto, entonces el Sr. Prez est enfadado.

3. Si Luis ha venido demasiado tarde y Juan no ha venido demasiado pronto, entonces el Sr. Prez no est enfadado.

4. Si el Sr. Prez est enfadado, entonces Luis ha venido demasiado tarde o Juan ha venido. demasiado pronto.

5. El Sr. Prez est enfadado, y Luis ha venido demasiado tarde y Juan ha venido demasiado pronto.

6. Si el Sr. Prez no est enfadado, entonces Luis no ha venido dema siado tarde.

7. O Luis ha venido demasiado tarde o Juan ha venido demasiado pronto.

8. Si Juan no ha venido demasiado pronto o Luis ha venido demasiado tarde, entonces el Sr. Prez est enfadado.

9. El Sr. Prez est enfadado y o Luis ha venido demasiado tarde o Juan ha venido demasiado pronto.

10. Juan ha venido demasiado pronto, y si Luis ha venido demasiado tarde, entonces el Sr. Prez est enfadado.

11. No ocurre que, Luis ha venido demasiado tarde y Juan ha venidc demasiado pronto.

12. Si Luis no ha venido demasiado tarde y Juan ha venido demasiado pronto, entonces el Sr. Prez no est enfadado.

F. Completar la traduccin de las siguientes proposiciones moleculares en smbolos lgicos, sustituyendo las palabras que corresponden a los trminos de enlace por sus correspondientes smbolos.

1. Si P entonces Q 2. O P o Q 3. Si o P o Q entonces no R 4. O no P o no Q


5. O P y Q o R y S 6. No ocurre que, a la vez P y Q 7. No ocurre que o P o Q 8. Si no P entonces no Q y R 9. No ocurre que, s P entonces Q

10. No ocurre que, a la vez p y no p 11. P Y o Q o R 12. O P y Q o R 13. P Y s Q, entonces no R

G. Aparear cada una de las palabras de la izquierda con los ejemplos o definiciones en la lista de la derecha.

1. disjuncin 2. negacin 3. proposicin condicional 4. proposicin molecular 5. antecedente 6. consecuente 7. conjuncin 8. proposicin atmica

(a) P ---+ Q (b) ...,(P & Q) (c) P v Q (d) Q en la proposicin P ---+ Q (e) ...,p (O P en la proposicin P ---+ Q (g) P & Q (h) ,p V...,Q (i) Cualquier proposicin con un tr

mino de enlace (j) Cualquier proposicin sin trminos

de enlace.

H. Simbolizar las siguientes proposiciones matemticas eligiendo letras ma-ysculas para sustituir las proposiciones matemticas atmicas e indicar la proposicin atmica a la que sustituye cada una.

1. x es mayor que cinco. 2. Cuatro no es un nmero impar. 3. x es igual a tres o x es mayor que seis. 4. No ocurre que si x es un nmero impar entonces x es divisible

por dos. 5. Si x ms cuatro es siete e y ms x es ocho entonces y es cinco 6. Si x es menor que cinco o lIJayor que siete entonces no es igual a seis.

I. Simbolizar las proposiciones matemticas (3), (5) y (6) de H utilizando los smbolos lgicos para los trminos de enlace y los smbolos matemticos tpicos para las proposiciones atmicas.

,. Traducir las siguientes proposiciones lgicas (frmulas) en lengua caste


llana. Primero elegir una proposicin atmica en castellano para cada letra atmica, y luego escribir la proposicin completa en castellano.

l. -,5 2. P v-,Q 3. -,(R ---t S) 4. x6)

5. x+3


d. Mara ha venido demasiado tarde y Juan ha venido demasiado pronto,

y e! Sr. Prez est enfadado. e. Si e! Sr. Prez no est enfadado, entonces Juan no ha venido dema-

siado pronto y Mara no ha venido demasiado tarde. f. O Mara no ha venido demasiado tarde o Juan ha venido demasiado

pronto. g. Si Mara no ha venido demasiado tarde y Juan no ha venido dema-

siado pronto, entonces e! Sr. Prez no est enfadado.

III. Definiciones

Completar las proposiciones siguientes eligiendo de entre las palabras escritas al final la que est definida por la proposicin dada.

a. La proposicin molecular que utiliza e! trmino de enlace y es una ....................... .

b. La proposicin molecular que utiliza e! trmino de enlace no es una ....................... .

c. La combinacin de una o ms proposiciones atmicas con un trmino de enlace de proposiciones se denomina ....................... .

d. En Lgica, una proposicin completa que no tiene trmino de enlace se denomina ....................... .

e. La proposicin 'molecular que utiliza e! trmino de enlace si ... en-tonces ... se denomina una ...................... ..

f. La proposicin situada antes dd trmino de enlace en una proposi-cin condicional se denomina ...................... ..

g. La proposicin situada despus de! trmino de enlace en una proposi-cin condicional se denomina ...................... ..

h. La proposicin molecular que utiliza e! trmino de enlace o es una

an teceden te atmica proposicin molecular condicional

IV. Uso del parntesis

conjuncin consecuente disjuncin negacin

En algunas de las proposiciones siguientes son necesarios parntesis para que correspondan a las proposiciones moleculares indicadas en la izquierda. Poner los parntesis en los lugares correspondientes cuando sean necesarios.

a. conjuncin P V Q & R b. negacin -,P & Q

SIMBOLIZACIN DE PROPOSICIONES

c. conjuncin d. condicional e. negacin f. disjuncin

g. condicional h. disjuncin i. negacin j. conjuncin

..,p & Q P&Q-R ..,p V ..,R P_Q V R ..,p -..,R P V Q & R ..,P-Q P&Q-R

V. Simbolizacin de proposiciones con parntesis

43

Sealar el trmino de enlace dominante en las proposiciones siguientes. In-dicar despus cmo sera la proposicin en smbolos lgicos y aadir los parntesis donde sean necesarios.

a. No ocurre que, o Jaime es el ms alto o Juan es el ms alto. b. Toms no e, nuestro representante y Jos no es nuestro capitn. c. Obetaest antes que gamma y eta est antes quethe~ao yo

,. I no se grtego.

d. Antonio se marcha ahora y o yo ir con l o Pedro ir con l. e. Si el baile empieza a las seis, entonces nosotros llegaremos pronto y

Pilar llegar tarde.

CAPITULO 2

INFERENCIA LGICA

2.1 Introducci6n

En el captulo uno, hemos aprendido a dividir las proposiciones en sus partes lgicas y de este modo se ha llegado a conocer algo sobre la forma lgica de las proposiciones. La idea de forma se puede ilustrar ~on alguno de los resultados del captulo anterior. La proposicin P _ Q es la misma, en cuanto a la forma lgica se refiere, cualesquiera que sean las proposiciones en castellano que sustituyan a la P y a la Q. Los trminos de enlace deter-minan la forma de la proposicin.

Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos .Je simbolizacin a nuestro alcance, podemos dirigirnos ya hacia una parte importante de la Lgica formal: inferencia y deduccin. Las reglas de infe-rencia que rigen el uso de los trminos de enlace son muy simples. Se pueden aprender estas reglas y su uso, como se aprenden las reglas de un juego. El juego se juega con proposiciones, o frmulas lgicas, nombre que se dar a ;as proposiciones simbolizadas. Se empieza con conjuntos de frmulas que se denominan premisas. El objeto del juego es utilizar ls reglas de infe-rencia de manera que conduzcan a otras frmulas que se denominan conclu-siones. El paso lgico de las premisas a la conclusin es una deduccin. La conclusin que se obtiene se dice que es una consecuencia lgica de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusin est permitido por una regla. La idea de inferencia se puede expresar de la manera siguiente: de premisas verdaderas se obtienen slo conclusiones que son verdaderas. Es decir, si las premisas son verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas lgicamente, han de ser verdaderas.

Con frecuencia se aprende un juego nuevo, por un ejemplo. Veamos algunos de inferencia antes de proseguir con las leyes formales. Se supone que se tienen dos premisas, la frmula P _ Q y la frmula P. Se sabe que estas premisas estn dadas; es decir, se empieza diciendo que se ha dado P y que se ha dado P - Q. Se puede sacar una conclusin de estas dos

proposiciones? Es decir, se puede idear otra proposicin que haya de ser

44

INFERENCIA LGICA 45

cierta si las premisas son ciertas? La conclusin es clara si se leen las pre misas en la forma:

Si P entonces Q, y P.

La primera proposicin expresa que si se verifica P, entonces se verifica Q, y la segunda dice que se verifica P. La conclusin es que se verifica Q. La ~ proposicin Q es consecuencia lgica de las premisas, P y P -+ Q.

Veamos ahora una inferencia de la misma forma, pero cuyo contenido se ha suplido por lenguaje corriente. La primera premisa es:

Si llueve, entonces el cielo ha de estar cubierto.

La segunda premisa es:

Llueve.

Qu conclusin se puede sacar de las dos premisas? La respuesta es la conclusin El cielo ha de estar cubierto. Esta

conclusin se puede inferir lgicamente de las premisas dadas. Se discutir a continuacin la regla particular de inferencia que permite deducir esta conclusin de las premisas.

2.2 Reglas de inferencia y demostracin

Modus Ponendo 'Ponens. La regl-a de inferencia aplicada en el ejemplo pre cedente tiene un nombre latino, modus ponendo ponens. Consideremos al gunos ejemplos del uso de esta regla en la deduccin de conclusiones a partir de premisas.

Premisa 1.

Premisa 2. Conclusin.

Si l est en el partido de ftbol, entonces l est en el estadio. l est en el partido de ftboL l est en el estadio.

Otro ejemplo del uso del modus ponendo ponens es el siguiente:

Premisa 1. Premisa 2. Conclusin.

Si no hace fro, entonces el lago no se helar. No hace fro. El lago no se helar.

Simblicamente, el primer ejemplo ~e expresa as:

46

Sea:

entonces

PRIMER CURSO DE LGICA MATEMATICA

P =!l est en el partido de ftbol Q =!l est en el estadio,

Premisa 1. P --> Q Premisa 2. P

Conclusin Q

La regla de inferencia llamada modus ponendo ponens permite demostrar Q a partir de P --> Q Y P.

El segundo ejemplo se simboliza de la manera siguiente, donde P es la proposicin Hace frio y Q es la proposicin El lago se helar.

-,P --> -, Q -,P

En cada uno de los ejemplos, la regla modus ponendo ponens permite pasar de dos premisas a la conclusin. Decir que la conclusin es conse cuencia lgica de las premisas, es decir, que siempre que las premisas son ciertas, la conclusin es tambin cierta. La regla de inferencia aprendida dice que si se tienen dos proposiciones de la forma P --> Q Y P, se puede deducir la conclusin Q.

Recurdese que la regla se aplica a la forma de las proposiciones, o sea, que siempre que se d una proposicin condicional y se d precisamente el antecedente de aquella condicional, se sigue precisamente el consecuente. La misma regla se aplica tanto si el antecedente es una proposicin atmica com

INFERENCIA L6GICA 47

Obsrvese, en el segundo ejemplo, que la condicional figura en segundo lu gar, y P, que es precisamente el antecedente, est situado primero. Cuando el modus ponendo ponens o cualquiera de las otras reglas se aplica para sacar una conclusin de dos o ms proposiciones, el orden de aquellas proposicio-nes es indiferente.

Recurd7se que una condicional se puede escribir (P) ---> (Q). Con los parntesis, el modus ponen do ponens es;

(P) ---> (Q) (P)

(Q)

Si es una ayuda, se pueden usar parntesis cuando el antecedente o el con secuente son proposiciones moleculares, como en los tres ltimos ejemplos anteriores o en el siguiente:

-,P V R ---> S & -,Q -,P V R

S &-,Q

(-,P V R) ---> (S & -,Q)

(-,P V R)

(S & -,Q)

El nombre modus ponendo ponens se puede explicar de la siguiente manera: Esta regla de inferencia es el mtodo (modus), que afirma (ponens) el con secuente, afirmando (ponendo) el antecedente.

EJERCICIO 1

A. Qu conclusin se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas? Es decir, qu proposicin lgica se sigue de las premisas?

1. Si usted est en Madrid, entonces su reloj seala la misma hora que en Barcelona. Usted est en Madrid.

2. Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nos despedimos ahora.

3. Si esta planta no crece, entonces o necesita ms agua o necesita mejor abono. Esta planta no crec.

4. Son las cinco. Si son las cinco, entonces la oficina est cerrada. 5. Si vivo en la capital de los Estados Unidos, entonces no vivo en nin-

guno de los cincuenta estados. Vivo en la capital de los Estados Unidos.


B. Utilizando modus ponendo ponens sacar una conclusin de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes. Escribir las conclusiones en la lnea (3).

1. (1) P V Q~R 4. (1) P Q & R

(2) P V Q (2) P (3) (3)

2. (1) -,P ~-,R 5. (1) P~Q V R (2) -,P (2) P (3) (3)

3. (1) -,P 6. (1) -,R (2) -,P~ Q (2) -,R~ Q &P (3) (3)

C. Poner una C junto a cada ejemplo en el que la conclusin es correcta segn el modus ponendo ponens. Poner una 1 junto a cada conclusin incorrecta.

1. Premisas: S y S ~ T; conclusin: T 2. Premisas: T ~ V Y T; conclusin: V 3. Premisas: P ~ Q Y Q; conclusin: P 4. Premisas: S y R ~ S; conclusin: R 5. Premisas: R y R S; conclusin: S

D. Utilizar el modus ponendo ponens para -deducir una conclusin de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes:

1. Si x;;:O entonces x+y> L x;;:O. 2. Si x+y=z entonces y+x=z. x+y=z. 3. Si x es un nmero e y es un nmero, entonces x+y es un nmero.

x es un nmero e y es un nmero. 4. Si x>y y y>z, entonces x>z. A la vez x>y y y>z. 5. A la vez x=y y y=z. Si x=y y y=z, entonces x=z.

Demostraciones, Cuando se usa una regla de inferencia para pasar de un conjunto de proposiciones a otra proposicin se demuestra que la ltima pro-posicin es consecuencia lgica de las otras. Esto se puede expresar de muchas maneras. Se puede decir que se ha derivado la conclusin de las premisas, que la conclusin se injiere de o es implicada por las premisas, que la con clusin se deduce de las premisas, y otras. Todas estas palabras o expresiones

--

INFERENCIA LGICA 49

significan lo mismo: Dadas ciertas proposiciones, si una regla de inferencia nos permite pasar a otra proposicin, entonces esta proposicin es una con-clusin lgica de las proposiciones dadas.

En la ltima seccin se han visto algunas demostraciones cortas. Utili zando modus ponendo ponens como regla, se demostr una conclusin a partir de un conjunto de premisas. Por ejemplo, deR ~ S Y R se demostr S. Se podra esquematizar la demostracin de manera clara ponIendo

(1) R~S P (2) R P (3) S PP

Cada lnea en la demostracin est numerada. Despus de las proposiciones simbolizadas se indiC'an como se obtene cada proposicin. Se han indicado con P las premisas dadas. Las lneas que son premisas se representan por P en la regla de premisas. Se parte de ellas y se deduce la lnea (3) por el modus ponendo ponens, lo que se indica en la lnea por la abreviatura PP, escrita despus de la proposicin.

EJERCICIO 2

A. A continuacin se dan conjuntos de premisas. Deducir una conclusin de cada conjunto, indicando cmo se obtienen cada una de las terceras lineas por medio de las abreviaturas P en la regla de premisas, o PP en el modus ponendo ponens.

Ejemplo:

(1) -,P~S P (2) -,P P (3) S pp

L (1) -,A ~-,B 3. (1) R (2) -,A (2) R ~ -,T V Q (3) (3)

2. (1) M 4. (1) -,B ~-,o &A (2) M~N (2) -,B (3) (3)

B. Simbolizar cada uno de los conjumos de premisas del apartado A en el Ejercicio 1. Despus indicar una demostracin como en la Seccin A de este ejercicio, numerando cada linea y sealando por medio de his abreviaturas P para las premisas y PP para modus ponendo ponen,. cmo se justfica cada lnea.

SuppesHIII 4


C. Simbolizar las proposiciones matemticas de la Seccin D del Ejerci-cio 1. Despus indicar una demostrac:n como en la Seccin A de este ejer-cicio.

Demostraciones en dos pasos. Algunas veces no se puede ir directamente de las premisas a la conclusin por un solo paso. Pero esto no impide poder llegar a la conclusin. Cada vez se deduce una proposicin por medio de una regla, entonces esta proposicin se puede utilizar junto con las premisas para deducir otra proposicin. Considrese un ejemplo en el que se tienen tres premisas:

(I)A-+B P

(2) B - e P (3) A P

Se quiere probar la proposicin e. Para llegar a e, se necesitan dos pasos, cada uno permitido por el modus ponen do ponens, PP. Estos dos pasos son las lneas (4) y (5) escritas a continuacin:

(l)A-+B P (2) B -e P (3) A P (4) B PP 1,3 (5) e PP 2, 4

Observemos atentamente el esquema de la demostracin. Cada lnea est numerada, tanto si es una premisa como una lnea deducida. Cada Iflea est justificada, bien por ser premisa (indicada por P), bien deducida por una regla de inferencia (indicada por la abreviatura PP). Adems, despus de las abreviaturas correspondientes a las reglas empleadas para obtener las lineas d~ducidas, se ha indicado el nmero de las lneas a partir de- las cuales se ha deducido esta lnea. Por ejemplo, en la lnea (4) la sigla PP 1, 3)) significa que B se ha deducido por el modus ponendo ponens de las lneas (1) y (3). Anlogamente, en la lnea (5) se ha deducido de la e por medio de la re< gla PP de las lineas (2) y (4). Obsrvese que se puede utilizar una lnea que se ha deducido, junto con otras lneas, para deducir una nueva lnea. Cada lnea que puede ser justificada ya sea como una premisa o por el uso de una regla, se puede utilizar en otros pasos posteriores de la demostracin.

Antes de intentar hacer algunas demostraciones cortas, consideremos todava un ejemplo. Se suponen dadas las premisas siguientes y se quiere demostrar R :

(1) (2) S (3) (4) (5) R

-,T -+ R

S -+-,T

-,T

P P P PP 1,2 PP 3,4

INFERENCIA LGICA 51

Se utiliza el modus ponendo ponens para deducir una lnea (4) Y en-tonces se puede aplicar el modus ponendo ponens a aquella lnea y a otra, tal como la (3) para deducir la conclusin (5). Se da un paso (permitido por una regla) y despus se puede dar otro paso usando la proposicin deducida.

EJERCICIO 3

A. En cada uno de los ejercicios siguientes se ha de demostrar que una proposicin es consecuencia lgica de las premisas dadas. Deducir la conclu-sin, escribiendo la abreviatura que corresponde a la regla que permite obte-ner cada lnea, y cuando se empleen l