preparar o exame 2015/2016 matemática...

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução dos Exercícios dos Subcapítulos

Geometria Analítica Página 1

Preparar o Exame 2015/2016 – Matemática A

Página 353 – Geometria Analítica

1. Tem-se que 0

)

ˆcos i

AB AC BC AB AC AB BC AB AC BAC a c a

c

2 a .

i) Os vetores AB e BC são perpendiculares, logo 0 AB BC . BAC é o ângulo formado pelos vetores AB e AC .

Resposta: B

2. Tem-se que:

▪ 2

5 5 3 2 15 5 15 33

AB BC AB AB AB AB AB AB . Portanto 2

3 23

BC .

▪ AD AC CD e BD BC DC .

Assim:

0 0

AD BD AC CD BC CD AC BC AC CD CD BC CD CD

2 2

)cos 0º 0 0 1 0 0 5 2 1 5 15

iAC BC CD AC BC CD

i) Os vetores AC e CD são perpendiculares e CD e BC também o são. Logo 0 AC CD e 0 CD BC .

ii) Como ABDE é um losango, tem-se 3 BD AB . Assim, pelo Teorema de Pitágoras:

2 2 2 2 2

2 23 2 5 CD BC BD CD CD

Resposta: D

3. Tem-se 1 u v w , pois os vetores u , v e w são vetores unitários. Como os vetores u e v são

perpendiculares então 0 u v e como v w , vem:

0 0 0 0 u v u w u w u w

ou seja, os vetores u e w também são perpendiculares. Assim:

0

2 3 3 2 2 3 2 u v u v w u u u v u w v u v v v w

www.raizeditora.pt




2 2 22 2

0 0

3 0 2 2 3 2 1 3 0 2 0 6 1 2 u u v v u v w w w

21 0 0 6 2 1 7 2 5

Resposta: D

4. O centro da esfera é o ponto de coordenadas 2, 2,2 . Este ponto pertence também à reta r, ou seja, a reta r

passa exatamente no centro da esfera pelo que a interseção da esfera com a reta r é um segmento de reta cujo

comprimento igual ao diâmetro da esfera. Como o raio a esfera é 2 tem-se que o seu diâmetro é 4 e portanto a resposta

correcta é a A.

Resposta: A

5. Tem-se:

1 2

3, , 1,0,3 2,3,0 ,

3

x k

y kx y z k k IR

zx z

x z 1 2 3

k 2 4

k

1 2 2 3

3 2 6

3 3

2

x x

y y

z z

k

A reta r e o plano intersetam-se no ponto de coordenadas 3,6,3 .

Resposta: A

6.

▪ Vamos começar por determinar um vetor director da reta r. Uma das maneiras de o fazer é determinando dois pontos

distintos da reta. Assim, atribuindo a x o valor 0, obtém-se: 2 0 1 2 1 y z y z . Logo o ponto

de coordenadas 0,2, 1 pertence à reta r. Designemos esse ponto por P.

Atribuindo a x o valor 1, obtém-se: 2 1 1 2 0 y z y z . Logo o ponto de coordenadas 1,2,0

pertence à reta r. Designemos esse ponto por Q.

www.raizeditora.pt




Portanto, um vetor diretor da reta r é o vetor PQ . Tem-se 1,2,0 0,2, 1 1,0,1 PQ Q P .

▪ Um plano é perpendicular à reta r se e só se um vetor normal a esse plano for colinear com o vetor 1,0,1PQ ,

vetor diretor da reta r. Logo, dos quatro apresentados, o plano de equação 2 2 5 x z é o único perpendicular à reta

r. O vector 2,0,2 é um vetor normal ao plano de equação 2 2 5 x z que é colinear com o vector 1,0,1PQ ,

pois 2,0,2 2 1,0,1 2 PQ .

Resposta: B

7. O vetor ,1, 3 r m m é um vetor diretor da reta r e o vetor 2,1 1 n é um vetor normal do plano . A reta

r é paralela ao plano se e só se o vetor r for perpendicular ao vetor n , ou seja, 0 r r n r n .

Assim, 0 ,1, 3 2,1, 1 0 2 1 3 0 2 0 2 r n m m m m m m .

Resposta: B

8. O vetor ,2, n a a é um vetor normal do plano e o vetor 4, ,2 n a a é um vetor normal do plano . Os

planos e são perpendiculares se e só se os vetores n e n também o forem, ou seja:

0 n n n n

Assim:

2 20 ,2, 4, ,2 0 4 2 2 0 2 2 0 2 2 0 n n a a a a a a a a a a a

0 2 2 0 0 2 2 0 1 a a a a a a

Como 0a , tem-se 1a .

Resposta: C

9.

▪ O ponto B pertence ao eixo Ox e portanto as suas coordenadas são da forma ,0,0x . Como o ponto B pertence ao

plano BCF, substituindo-o na sua equação vem, 15 12 0 20 0 60 15 60 4 x x x .

Logo, as coordenadas do ponto B são 4,0,0 .

www.raizeditora.pt




▪ O ponto C pertence ao eixo Oy e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,0y . Como o ponto C pertence ao

plano BCF, substituindo-o na sua equação vem, 15 0 12 20 0 60 12 60 5 y y y .

Logo, as coordenadas do ponto C são 0, 5,0 .

▪ O ponto F pertence ao eixo Oz e portanto as suas coordenadas são da forma 0,0, z . Como o ponto F pertence ao

plano BCF, substituindo-o na sua equação vem, 15 0 12 0 20 60 20 60 3 z z z .

Logo, as coordenadas do ponto F são 0,0,3 .

Assim, as coordenadas do ponto D são 4, 5,3 e um vector director da reta OD por ser:

4, 5,3 0,0,0 4, 5 3 OD D O

Portanto, uma condição que define a reta OD é 4 5 3

x y z.

Resposta: D

10. O vetor 2, 1,1 n é um vetor normal do plano e o vector 6, 3,3 n é um vetor normal do plano .

Logo os vectores n e n são colineares pois 3 n n e portanto os planos e ou são estritamente paralelos

ou são coincidentes. Como as equações dos planos e não são equivalentes, os planos e não são coincidentes

e portanto são estritamente paralelos. Logo, a sua interseção é o conjunto vazio.

Resposta: B

11.

▪ Tem-se, , , 2 2 , ,1 , , , 2,0,1 2 , , , x y z k k k k x y z k k k k

, , 2,0,1 2,1,1 , x y z k k

Logo, um vetor diretor da reta r é 2,1,1 r .

▪ Tem-se, 2 3

2 4 2 6 2 2 2 2 3 2 22 2

x zx z y x z y y

Logo, um vetor diretor da reta s é 2,0, 2 s .

www.raizeditora.pt




▪ Seja a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s. Tem-se:

2 22 2 2 2

2,1,1 2,0, 2 2 2 1 0 1 2cos cos cos

2,1,1 2,0, 2 2 1 1 2 0 2

r s

r s

4 0 2 6 6

cos cos cos4 1 1 4 0 4 6 8 48

0 90º

6 6 6 3 3cos cos cos cos 30º

4 3 248 4 3

Resposta: A

12.

▪ Tem-se, 2 2 20 0 a x y z ax a x ax y z a a x y z .

Logo, um vetor normal do plano é 2 ,1,1 n a a .

▪ Tem-se, 2 2 2 2 x y z x y z . Logo, um vetor normal do plano é 2,1,1 n .

▪ Tem-se, 0 0 x a y z x ay az . Logo, um vetor normal do plano é 1, , n a a .

▪ Os planos e são estritamente paralelos se e só se os vetores n e n forem colineares, ou seja:

n n n e n são colineares \ 0 : k n k n

Assim,

2 2

2

2 2 1

,1,1 2,1,1 1

1

a a k a a

n k n a a k k

k

Logo,

2

2 21 1 4 1 2

2 1 2 0 1 22 1

a a a a a a a

www.raizeditora.pt




▪ Os planos e são perpendiculares se e só se os vetores n e n também o forem, ou seja:

0 n n n n

Assim 0 1, , 2,1,1 0 2 0 0 2 2 1 n n a a a a a a .

Logo, como e não são perpendiculares, a não pode ser igual a 1 . Portanto 2a .

Resposta: C

Página 354

13.

13.1.

▪ O ponto B pertence ao eixo Oy e com tem ordenada 2. Logo as suas coordenadas são 0,2 .

▪ Tem-se que 0,2 7, 3 7, 1 C B BC e que 7, 1 6,2 1, 3 D C CD C DC .

Como os pontos A e D são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, as coordenadas do ponto A são

3,1 .

13.2.

▪ Seja a amplitude do ângulo formado pelas retas AB e AD. Tem-se:

22 2 2

3,1 4, 4 3 4 1 4cos cos cos

3,1 4, 4 3 1 4 4

AB AD

AB AD

8 8 8

cos cos cos10 32 320

8

5cos

55

O ângulo entre duas retas é sempre um ângulo agudo (caso não sejam paralelas nem perpendiculares). Portanto,

0,2

.

Cálculos Auxiliares: 0,2 3,1 3,1 AB B A ; 1, 3 3,1 4, 4 AD D A .

www.raizeditora.pt




7

2

x

y

O

▪ Utilizando o círculo trigonométrico para comparar o cosseno dos ângulos de amplitude e 7

2 e a tangente dos

ângulos de amplitude e :

Assim, 7

cos sen2

e tg tg .

Logo, 7

tg 5cos tg 5sen2

.

▪ Tem-se

2

2 2 2 2 25 5 20 20sen cos 1 sen 1 sen 1 sen sen

5 25 25 25

Como 0,2

, vem 20 20 2 5

sen sen sen25 5 5

▪

2 52 5sen 5tg tg tg

cos 5

5

5

5 5tg 2

Assim, 7

tg 5cos tg 5sen 2 52

2 5

5 2 2 5

13.3.

▪ O vetor 6,2DC é um vetor diretor da reta DC. Logo 2 1

6 3 DCm .

▪ Seja t a reta perpendicular à reta DC que contém o ponto A. Assim 1 1

31

3

t

DC

mm

e portanto a equação

reduzida da reta t é do tipo 3 y x b . Como o ponto 3,1A pertence à reta t, substituindo-o na sua equação,

tem-se 1 3 3 1 9 8 b b b .

Então, a equação reduzida da reta t é dada por 3 8 y x .

www.raizeditora.pt




▪ Seja a inclinação da reta t, assim tg 3 tm e portanto 108º .

13.4.

▪ O vector AB é um vetor diretor da reta AB. Tem-se 0,2 3,1 3,1 AB B A .

Logo 1

3ABm e portanto a equação reduzida da reta AB é do tipo

1

3 y x b . Como o ponto 0,2B pertence à

reta AB então, a equação reduzida da reta AB é dada por 1

23

y x . Assim o segmento de reta AB pode ser

definido pela condição 1

2 3 03

y x x .

Como o ponto P pertence ao segmento de reta AB , as suas coordenadas são da forma 1

, 23

x x , com

3 0 x .

▪ O vetor OP é um vetor diretor da reta OP e o vetor DC é um vetor diretor da reta DC. As retas OP e DC são

perpendiculares se e só se os vetores OP e DC também o forem, isto é, 0 OP DC OP DC OP DC .

Tem-se que 1 1

, 2 0,0 , 23 3

OP P O x x x x . Assim:

1 1 2

0 , 2 6,2 0 6 2 2 0 6 4 0 18 2 12 03 3 3

OP DC x x x x x x x x

12 3

20 1220 5

x x x

Logo as coordenadas do ponto P são 3 9

,5 5

.

Cálculo Auxiliar: Para 3

5 x a ordenada do ponto P é

1

3

3

1 92 2

5 5 5

.

www.raizeditora.pt




14.

14.1. A amplitude entre os vectores OA e OC é . Assim vem:

2 2

cos cosOB OA OA OC OA OA OA OC OA OA OC OA OA OC OA

2 2 2 2 2 23 6 1

2 cos 25 5 5

OA OA OA OA OA OA OA OA

Cálculo Auxiliar:

2

2 2 2 2 2 24 16 16 9 3sen cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos cos

5 25 25 25 5

Como ,2

, tem-se 3

cos5

.

14.2. Tem-se 0 0 0CA

PC BC AC PC BC CA PC BA

.

Logo a condição 0 0PC BC AC PC BA define uma reta perpendicular ao segmento de reta AB que

contém o ponto C.

14.3.

a) O vector BC é um vetor diretor da reta BC. Tem-se 3, 3 5,2 2, 5BC C B .

Logo, 5 5

2 2BCm

. Seja a inclinação da reta BC, assim 5

2BCtg m pelo que 68º .

2.3.2.

▪ Tem-se que 2,5A O OA CB BC .

▪ O vetor AC é um vetor diretor da reta AC. Tem-se 3, 3 2,5 1, 8AC C A .

Logo, 8

81

ACm

.

www.raizeditora.pt




▪ A reta t é paralela à reta AC pelo que 8t ACm m . Assim a equação reduzida da reta t é do tipo 8y x b .

Como o ponto 5,2B pertence à reta t, substituindo-o na sua equação tem-se:

2 8 5 2 40 42b b b

Então a equação reduzida da reta t é dada por 1

8 42 8 42 0 4 21 02

y x x y x y .

Logo 4a e 1

2b .

15. Tem-se que:

▪ 2

3AD CD e 3CD CF . Portanto

2 2

3 3AD CD 3 2CF CF .

▪ Como E é o ponto médio do segmento de reta AD , tem-se 1 1

2 2ED AD 2 CF CF .

▪ 3 2DF CF CD DF CF CF DF CF

▪ EC ED DC e FG FD DA AG .

Assim:

0 0 0

EC FG ED DC FD DA AG ED FD ED DA ED AG DC FD DC DA DC AG

)0 cos 180º 0 cos 180º 0 cos 0º

iED DA DC FD DC AG

1 1 1 2 3 2 3ED DA DC FD DC AG CF CF CF CF CF CF

2 2 2 2

2 6 3 5CF CF CF CF

i) Os vetores ED e FD , ED e AG e DC e DA são perpendiculares. Logo 0ED FD ED AG DC DA .

www.raizeditora.pt




16.

16.1.

▪ A medida do raio da circunferência de centro em C que contém o ponto A é igual a:

2 2 2 2

1 2 2 1 3 1 10AC

Logo, a sua equação pode ser 22 2 2 2

2 1 10 2 1 10x y x y .

▪ O ponto B pertence ao eixo Ox, portanto as suas coordenadas são do tipo ,0x . Como o ponto B também pertence

à circunferência de centro em C que contém A, substituindo as suas coordenadas na equação da circunferência, vem:

2 2 2

2 0 1 10 2 10 1 2 9 2 3 2 3 1 5x x x x x x x

Como a abcissa de B é positiva, tem-se 5,0B .

▪ AB é um diâmetro da circunferência se os vetores AB e AC forem colineares. Tem-se:

5,0 1, 2 6,2AB B A e 2, 1 1, 2 3,1AC C A

Logo, 2AB AC . Assim, os vetores AB e AC são colineares e portanto AB é um diâmetro da circunferência.

16.2.

▪ Seja M o ponto médio do segmento de reta BC . Assim:

5 2 0 1 7 1, , ,

2 2 2 2 2 2

B C B Cx x y yM

A reta r é a mediatriz do segmento de reta BC , portanto, sendo ,P x y um ponto do plano, a sua equação é dada

por 0MP BC . Tem-se que 7 1

,2 2

MP P M x y

e que 2, 1 5,0 3, 1BC C B .

Assim, 7 1 21 1 20

0 , 3, 1 0 3 0 3 3 102 2 2 2 2

MP BC x y x y x y y x

.

www.raizeditora.pt




▪ Seja a inclinação da reta t, assim tg 3 tm e portanto 108,4º .

Outra resolução:

Seja ,P x y um ponto do plano, a equação PB PC define a mediatriz do segmento de reta BC , isto é, define a

reta r. Tem-se:

2 2 2 2 25 0 2 1PB PC x y x y x 210 25x y 2x 24 4x y 2 1y

2 6 5 25 2 6 20 3 10y x y x y x

16.3.

▪ Como o ponto P pertence à reta r, tem-se , 3 10P x x .

▪ As retas r e BC são perpendiculares. Assim, para que a reta DP seja paralela à reta BC terá de ser perpendicular à

reta r, ou seja, 0DP BC DP r DP r , sendo r um vetor diretor da reta r. Como o declive da reta r é

3 , um seu vetor diretor pode ser 1, 3r .

Logo, 16 8

0 2, 3 6 1, 3 0 2 9 18 0 10 1610 5

DP r x x x x x x .

Portanto, 8 8 8 24 8 26

, 3 10 , 10 ,5 5 5 5 5 5

P

.

Cálculo Auxiliar: , 3 10 2,4 2, 3 6DP P D x x x x .

16.4.

▪ O vector 3, 1BC é um vetor diretor da reta BC. Logo 1 1

3 3BCm

e portanto a equação reduzida da reta

BC é do tipo 1

3 y x b . Como o ponto 5,0B pertence à reta BC então, substituindo-o na sua equação, vem:

1 50 5

3 3b b . Assim, a equação reduzida da reta BC é

1 5

3 3y x .

www.raizeditora.pt




▪ Uma condição que define a região sombreada da figura é:

2 2 1 5

2 1 10 3 103 3

x y y x y x

▪ Consideremos a seguinte figura:

Seja a amplitude do ângulo BCD. Tem-se que 3

, pois:

10102cos

10

CM

CD

2 10

1

2 3

, visto que 0,

2

Assim, 3 30

sen sen 103 2 210

MD MDMD

CD

Logo, tem-se que:

2

se

10 30

5 300 5 10 33 2 210 102 2 6 2 3 8 3 8

sombreada torBCD MCD

CM MDA A A

5 5 3 3

53 4 3 4

17.

17.1.

a) Tem-se que ED

A CH AE A AE HC E ED D .

b) Tem-se que 1

2 2 22

AF

AB AF DE GD AB AF DE GD AB AF AF GD

BG

AB AF GD AB BG GD AG GD AD

x

y

r

D

B M

C A

O

1

2

www.raizeditora.pt




17.2. O ponto E é o único comum aos planos ADE, CDE e ACE, isto é, é o ponto de interseção destes três planos.

Assim, formando um sistema com as equações destes planos, a solução que se obtém são as coordenadas de E. Tem-

se:

1 2

1 3

1

2

3

3

4 3 6 4 3 6 6 4 3 6 6

5 3 5 6 5 1 6 6 5 1

10 12 9 60 13 78 6

E EE E

E

E

E

x y z x y z y z

x y z x y y

x y z x x

4 3 6y z

5 35

6

y

x

28

4 7 3 0 3 28 3

7 7 7

6 6 6

zz z

y y y

x x x

Logo, 28

6,7,3

E

.

Outra resolução:

O ponto E é o único comum aos planos ADE, CDE e ACE. Assim, se o ponto de coordenadas 28

6,7,3

pertencer

aos planos ADE, CDE e ACE, esse ponto é o E.

ADE: 6 4 7 3 28

3 6 6 28 28 6 6 6 . Afirmação verdadeira.

CDE: 5 6 7 3 28

3 5 30 7 28 5 5 5 . Afirmação verdadeira.

ACE: 28

10 6 12 7 9 60 60 843

84 60 60 60 . Afirmação verdadeira.

Logo, 28

6,7,3

E

.

1 2 : 4 3E E x y z 6

5 3x y z

5

6 5 0 1x y

1 33 : 3 12E E x y 9z 18

10 12x y

9z 60

13 0 0 78x

www.raizeditora.pt




17.3.

a) O ponto A pertence ao eixo Ox e portanto as suas coordenadas são da forma ,0,0x . Como o ponto B pertence

ao plano ADE, substituindo-o na sua equação vem, 4 0 3 0 6 6x x . Logo, 6,0,0A .

Tem-se que DE

F A AF A DE . Como 28 19

6,7, 1,1,3 5,6,3 3

DE E D

, vem:

19 19

6,0,0 5,6, 11,6,3 3

F A DE

Assim, uma condição que define a reta paralela a Oy ( : 0 0Oy x z ) que contém o ponto F é:

1911

3x z

Outra resolução:

Um vetor diretor da reta paralela ao eixo Oy que contém o ponto F é 0,1,0u . Assim, uma condição que define a

referida reta é 19

, , 11,6, 0,1,0 ,3

x y z k k

.

b) Seja o plano paralelo ao plano ADE que contém o ponto G.

▪ Tem-se que 1, 4,3ADEn n .

▪ O ponto C pertence ao eixo Oy e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,0y . Como o ponto C pertence ao

plano CDE, substituindo-o na sua equação vem, 5 0 3 0 5y y y . Logo, 0,5,0C .

Tem-se que DC

G F FG F DC . Como 0,5,0 1,1,3 1,4, 3DC C D , vem:

19 10

11,6, 1,4, 3 10,10,3 3

G F DC

Assim, : 4 3 0x y z d . Como o ponto G pertence ao plano , substituindo-o na sua equação vem:

www.raizeditora.pt




10 4 10 3 10

3 0 10 40 10 0 20 0 20d d d d .

Logo, : 4 3 20 0 4 3 20x y z x y z .

c) Seja o plano perpendicular à reta r, definida por 2

: 2 3 1 13

xr x z y z y

que

contém o ponto H. Um plano é perpendicular a uma reta se um vetor normal desse plano for colinear com um vetor

diretor dessa reta, em particular, podem ser o mesmo vetor. Assim, como um vetor diretor da reta r é 3,0,1 , um

vetor normal de pode ser 3,0,1n . Portanto : 3 0 0 3 0x y z d x z d

Tem-se que 28 19

6,7, 1,4, 3 5,11,3 3

DC

H E EH E DC

.

Como o ponto H pertence ao plano , substituindo-o na sua equação vem:

19 26 263 5 0 0

3 3 3d d d .

Logo, 26

: 3 0 9 3 26 0 9 3 26 9 3 263

x z x z x z x z .

17.4. Seja , ,n a b c um vetor normal do plano DCG. Este vetor é perpendicular aos vetores DC e DG , dois

vetores não colineares do plano DCG. Assim tem-se:

1,4, 3 , , 0 4 3 0 4 30

19,9, , , 0 9 9 0 9 4 3 9 00

3 3 3

a b c a b c b c aDC n

c ca b c a b c c bDG n

36 27 9 0

3

cb c b

8045 0

3

cb

16 644 3 3

27 27

8016 1645

327 27

c ca c a c

cc cb

b b

17

27

16

27

ca

cb

www.raizeditora.pt




Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma 17 16

, ,27 27

c cc

, com \ 0c . Fazendo, por

exemplo, 27c , um vetor normal de DCG é 17,16,27n . Logo, como D DCG , uma equação do plano

DCG pode ser:

17 1 16 1 27 3 0 17 17 16 16 27 81 0 17 16 27 80x y z x y z x y z

Outra resolução: O plano DCG contém os pontos D, C e G que não são colineares. Por três quaisquer pontos não

colineares passa um único plano. Assim, se os pontos D, C e G pertencerem ao plano definido pela condição

17 16 27 80x y z , então esta é uma condição que define o plano DCG:

1,1,3D : 17 1 16 1 27 3 80 17 16 81 80 80 80 . Afirmação verdadeira

0,5,0C : 17 0 16 5 27 0 80 80 80 . Afirmação verdadeira

1010,10,

3G

: 10

17 10 16 10 27 170 160 90 80 803

. Afirmação verdadeira

Logo, DCG: 17 16 27 80x y z .

17.5.

▪ O ponto P tem cota 3 e pertence aos planos DCG e , isto é, é o ponto de interseção dos planos DCG e e do

plano de equação 3z . Assim, formando um sistema com as equações destes planos, a solução que se obtém são as

coordenadas de P. Tem-se:

17 16 27 80 17 16 3 27 3 80

3 3

3

x y z x x

x y y x

z

17 48 16 81 80x x

33 49x

49 49

33 33

49 503

33 33

3 3

x x

y y

z z

www.raizeditora.pt




▪ A reta r é perpendicular ao plano DCG, portanto pode-se tomar para vetor diretor da reta r um vetor normal do plano

DCG, ou seja, 17,16,27DCGr n . Assim:

49 50

, , , ,3 17,16,27 ,33 33

x y z k k

▪ Seja Q o ponto de interseção da reta r com o plano xOz: 0y . Portanto, as coordenadas de Q são do tipo ,0,x z .

Substituindo as coordenadas de Q na equação vetorial da reta r, vem:

4917

33

49 50 50,0, , ,3 17,16,27 , 0 16

33 33 33

3 27

x k

x z k k k

z k

5016

33k

50

528k

49 25 81717

33 264 264

25 25

264 264

39253 27

88264

x x

k k

zz

Logo, 817 39

,0,264 88

Q

.

17.6.

▪ Tem-se que:

: , , 1 10 , 1 2 ,5 6 , , , 1, 1,5 10 , 2 , 6 ,s x y z k k k k x y z k k k k

, , 1, 1,5 10, 2, 6 ,x y z k k

Portanto, um vetor diretor da reta s é 10, 2, 6s .

www.raizeditora.pt




▪ Tem-se que 1,1,3 6,0,0 5,1,3AD D A .

▪ Duas retas definem um plano se forem estritamente paralelas ou se forem concorrentes.

Tem-se que 2s AD , logo s e AD são colineares e portanto as reta s e AD são paralelas. O ponto A não

pertence à reta s, pois:

7

106 1 10

16,0,0 1 10 , 1 2 ,5 6 , 0 1 2

2

0 5 65

6

k

k

k k k k k k

k

k

Sistema impossível

Logo, as retas s e AD são estritamente paralelas e portanto definem um plano.

▪ Seja , ,n a b c um vetor normal do plano definido pelas retas s e AD. Este vetor é perpendicular aos vetores

AD e AQ , onde 1, 1,5Q , dois vetores não colineares do plano . Assim tem-se:

5,1,3 , , 00

7, 1,5 , , 00

a b cAD n

a b cAQ n

5 3 0 5 3

7 5 0 7 5 3 5 0

a b c b a c

a b c a a c c

8 12c a

35 3

2 2

123 3

82 2

a ab a b

aa ac

c c

Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma 3

, ,2 2

a aa

, com \ 0a . Fazendo, por

exemplo, 2c , um vetor normal de é 2,1,3n . Logo, como A , uma equação do plano pode ser:

2 6 1 0 3 0 0 2 12 3 0 2 3 12x y z x y z x y z

A D

s

, ,n a b c

1, 1,5Q

1, 1,5 6,0,0 7, 1,5AQ Q A

www.raizeditora.pt




Página 355

18.

18.1.

▪ Tem-se que:

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 24 4 4 0 4 4 4 2 22 2 2 2 4x y z x z x x y z z x y z

Assim, a superfície esférica está centrada no ponto de coordenadas 2,0,2 e tem raio 2. Logo:

2,0,2G , 2,0,0A , 2,2,2B , 0,0,2C , 2, 2,2D , 4,0,2E e 2,0,4F

▪ Seja , ,n a b c um vetor normal do plano ABE. Este vetor é perpendicular aos vetores AB e AE , dois vetores

não colineares do plano ABE.

Tem-se 2,2,2 2,0,0 0,2,2AB B A e 4,0,2 2,0,0 2,0,2AE E A

Assim:

0,2,2 , , 0 2 2 0 2 20

2,0,2 , , 0 2 2 0 2 20

a b c b c b c b cAB n

a b c a c a c a cAE n

Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma , ,c c c , com \ 0c . Fazendo, por exemplo,

1c , um vetor normal de ABE é 1,1, 1n . Assim, : 0ABE x y z d . Como o ponto A pertence ao plano

ABE, substituindo-o na sua equação vem 2 0 0 0 2d d .

Logo, : 2 0 2ABE x y z x y z .

18.2. Tem-se:

222

2 42 4 3 42

3 42

x y zxx y z

x zx z

y

y

2z

4 8 12 3x z 4 8 12 3

x z

x x

7 20

x z

x

www.raizeditora.pt




20

7

20

7

2

z

x

y

. Logo, as coordenadas do ponto de interseção do plano ABE com a reta r é 20 20

,2,7 7

.

18.3.

▪ Como o ponto T pertence ao eixo Oy e tem a mesma ordenada que o ponto B, as suas coordenadas do ponto T são

0,2,0 .

▪ Tem-se:

2 4 32 4 8 12 3 2 4 20 3 2 5 2

3 4 4

x z zy x z y x z y x y

Como o ponto Q pertence à reta r, as coordenadas de Q são do tipo 3

5 ,2,4

zz

.

▪ O triângulo TQF é retângulo em Q se 0QT QF QT QF

3 3 3 3

0 5,0, 3, 2,4 0 5 3 0 2 4 04 4 4 4

z z z zQT QF z z z z

2 2

2

. .

9 9 15 25 1215 4 0 10 15 0 4

16 4 4 16 5F R

z z z zz z z z z

Logo, se 12

5z então

3 12 12 16 125 ,2, ,2,

4 5 5 5 5Q

e se 4z então 3

5 4,2,4 2,2,44

Q

.

Cálculo Auxiliar: 3 3

0,2,0 5 ,2, 5,0,4 4

z zQT T Q z z

;

3 32,0,4 5 ,2, 3, 2,4

4 4

z zQF F Q z z

www.raizeditora.pt




18.4. O ponto 22cos ,sen ,2senP pertence ao plano ABE definido por 2x y z . Assim, substituindo as

coordenadas de P na equação de ABE, tem-se:

2 22cos sen 2sen 2 2 1 sen sen 2 2 22sen sen 2

sen 2sen 1 0 sen 0 2sen 1 0

1

sen 0 sen2

7

2 2 ,6 6

k k k k

Como 3

,2

, tem-se 7

6

. Portanto as coordenadas de P são:

2

2 7 7 7 3 1 1 3 1 3 12cos ,sen ,2sen 2 , ,2 2 , , 1 , , 1

6 6 6 2 2 2 4 2 2 2P

19.

19.1. Vamos começar por determinar as coordenadas dos vértices do prisma:

▪ O ponto A é o único comum ao plano ABC e à reta AG, isto é, é o ponto de interseção do plano ABC com a reta AG.

Assim, formando um sistema com as suas, a solução que se obtém são as coordenadas de A. Tem-se:

5 1

5 1 2 7 5 3 12 15 17

2 77 12 4 84 8 12 3 12

12

4 12

y zy z x xy z

x yx yx y z

x zx z

2 7 15 60 1x x

13 52x

4 4

2 4 7 1

3 4 12 0

x x

y y

z z

www.raizeditora.pt




Portanto, 4, 1,0A . Como o ponto D pertence ao plano yOz e tem a mesma ordenada que A ( ABCD é um

retângulo), ou seja, os as suas coordenadas são da forma 0, 1,D z . Como o ponto D pertence ao plano ABC,

substituindo-o na sua equação vem, 1 5 1z 5 0 0z z . Logo, 0, 1,0D .

▪ O ponto B tem abcissa 4 e portanto as suas coordenadas são da forma 4, ,y z . Como o ponto B pertence à reta

BH, substituindo-o na sua equação vem:

4 8 4 4 4

4, , 8,6, 9 4, 2,10 , 6 2

9 10

k k

y z k k y k

z k

1 1

6 2 1 4

9 10 1 1

k k

y y

z z

Logo, 4,4,1B e portanto 0,4,1C .

▪ O ponto H pertence ao plano yOz e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,y z . Como o ponto H pertence

à reta BH, substituindo-o na sua equação vem:

0 8 4 4 8

0, , 8,6, 9 4, 2,10 , 6 2

9 10

k k

y z k k y k

z k

2 2

6 2 2 2

9 10 2 11

k k

y y

z z

Logo, 0,2,11H e portanto 4,2,11E .

▪ O ponto G pertence ao plano yOz e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,y z . Como o ponto G pertence

à reta AG, substituindo-o na sua equação vem:

70

7 0 780 7 12

4 8 12 12 0 12120

12

y

y yy z

z zz

Logo, 0,7,12G e portanto 4,7,12F .

▪ O plano DBF contém os pontos D, B e F que não são colineares. Por três quaisquer pontos não colineares passa um

único plano. Assim, se os pontos D, B e F pertencerem ao plano definido pela condição 13 11 3 11x y z , então

esta é uma condição que define o plano DBF:

www.raizeditora.pt




0, 1,0D : 13 0 11 1 3 0 11 11 11 . Afirmação verdadeira

4,4,1B : 13 4 11 4 3 1 11 52 44 3 11 11 11 . Afirmação verdadeira

4,7,12F : 13 4 11 7 3 12 11 52 77 36 11 11 11 . Afirmação verdadeira

Logo, DBF: 13 11 3 11x y z .

19.2. Seja , ,P x y z um ponto do espaço. Uma equação da superfície esférica de diâmetro AH é dada por

0AP HP . Assim:

0 4, 1, 0 0, 2, 11 0 4 1 2 11 0AP HP x y z x y z x x y y z z

2 2 24 2 2 11 0x x y y y z z

2 2 2 2

2 22 2 21 11 1 112 2

2 2 21

24 1 2x x y y z z

2 2

2 1 11 732

2 2 2x y z

Outra resolução: O centro da superfície esférica é o ponto médio do segmento de reta AH :

4 0 1 2 0 11 1 11, , 2, ,

2 2 2 2 2AH

M

A medida do seu raio é dada por

2 2 24 0 1 2 0 11 16 9 121 146

2 2 2 2

AH .

Assim, uma equação da superfície esférica é dada por:

22 2 2 22 21 11 146 1 11 73

2 22 2 2 2 2 2

x y z x y z

www.raizeditora.pt




19.3.


Tem-se que:

ABCDEFG ABCDV A PG AB AD PG

onde P é o ponto de interseção do plano ABC com a

reta perpendicular ao plano ABC que contém o ponto

G. Designemos essa reta por r.

▪ Uma equação vetorial da reta r é dada por : , , 0,7,12 0,1, 5 ,r x y z k k . Intersetando a reta r com o

plano ABC obtém-se as coordenadas de P:

0

7, , 0,7,12 0,1, 5 ,

12 55 1

7 5 12 5 1

x

y kx y z k k

z ky z

k k

7 60 25 1k k

0 0

7 2 9

12 5 2 2

26 52 2 2

x x

y y

z z

k k k

Logo, 0,9,2P .

▪ Tem-se:

4AD

2 2 2

4 4 4 1 1 0 0 25 1 26AB

2 2 2

0 0 9 7 2 12 0 4 100 104 2 26PG

A B

C D

E F G H

P

0,1, 5n

www.raizeditora.pt




Portanto, 2

4 26 2 26 8 26 8 26 208ABCDEFG

V AB AD PG

Se as dimensões do prisma duplicarem, isto é, se multiplicarmos as suas dimensões por 2, o seu volume vem

multiplicado por 32 (se r for a razão entre as medidas lineares de duas figuras semelhantes, a razão entre os seus volumes é 3r ).

Portanto, volume do novo prisma será igual a 3208 2 1664 .

De uma outra forma: 2 2 2 8 8 8 208 1664novo prisma ABCDEFGV AB AD PG AB AD PG V .

19.4.

a) Tem-se que:

0 0 0 0GC

AP AB EG FB AP BA EG FB BA AP EG GC BP EC

Assim, a condição 0AP AB EG FB define o plano perpendicular ao vetor EC que contém o ponto B.

b) Tem-se que 0,4,1 4,2,11 4,2, 10EC C E . Assim:

0 0 4, 4, 1 4,2, 10 0AP AB EG FB BP EC x y z

4 4 2 4 10 1 0 4 16 2 8 10 10 0x y z x y z

4 2 10 16 8 10 4 2 10 18 2 5 9x y z x y z x y z

20.

20.1.

▪ O ponto A pertence ao eixo Ox e portanto as suas coordenadas são da forma ,0,0x . Como o ponto A pertence ao

plano , substituindo -o na sua equação vem, 3 4 0 6 0 24 3 24 8x x x . Logo, 8,0,0A .

▪ O ponto B pertence ao eixo Oy e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,0y . Como o ponto B pertence ao

plano , substituindo -o na sua equação vem, 3 0 4 6 0 24 4 24 6y y y . Logo, 0, 6,0B .

www.raizeditora.pt




▪ Seja , ,P x y z um ponto do espaço. Uma equação da superfície esférica de diâmetro AB é dada por

0AP BP . Assim:

2 2 2 20 8, , , 6, 0 8 6 0 8 6 0AP BP x y z x y z x x y y z x x y y z

2

2

2 22 2 2 2

4 3

2 2 2 28 6 4 3 24 3 4 3 5

x y

x x y y z x y z

Portanto uma equação da superfície esférica de diâmetro AB é 2 2 24 3 25x y z , tem centro no ponto

de coordenadas 4, 3,0 e raio 5.

▪ Substituindo o ponto 1, 1,3P na equação da superfície esférica de diâmetro AB , tem-se:

2 2 22 21 4 1 3 3 25 3 2 9 25 9 4 9 25 22 25 . Afirmação falsa

Logo o ponto P não pertence à superfície esférica de diâmetro AB .

20.2.

▪ O ponto C pertence ao eixo Oz e portanto as suas coordenadas são da forma 0,0, z . Como o ponto C pertence ao

plano , substituindo -o na sua equação vem, 3 0 4 0 6 24 6 24 4z z z . Logo, 0,0,4C .

▪ Seja o plano que contém a recta s e o ponto C. O ponto de coordenadas 1,1,0 pertence à recta s, designemos

esse ponto por Q. Consideremos a figura seguinte:

O vetor 3,2, 3s é um vetor diretor da reta s. Seja , ,n a b c um vetor normal do plano . Este vetor é

perpendicular aos vectores QC e s , dois vetores não colineares do plano . Assim tem-se:

n

ss C

Q

www.raizeditora.pt




41, 1,4 , , 0 4 00

3 4 2 3 03,2, 3 , , 0 3 2 3 00

a c ba b c a b cQC n

c b b ca b c a b cs n

12 3 2 3 0c b b c

4 9 5

9 0 9 9

a c c a c

b c b c b c

Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma 5 ,9 ,c c c , com \ 0c . Fazendo, por

exemplo, 1c , um vetor normal de π é 5,9,1n . Assim, : 5 9 0x y z d . Como o ponto C pertence

ao plano π, substituindo-o na sua equação vem 5 0 9 0 4 0 4d d .

Logo, : 5 9 4 0 5 9 4x y z x y z .

Cálculo Auxiliar: 0,0,4 1,1,0 1, 1,4QC C Q

20.3.

a)

▪ O vetor AC é um vetor diretor da reta AC. Tem-se 0,0,4 8,0,0 8,0,4AC C A .

O vetor 4,15,8r é um vetor diretor da reta r. As retas r e AC são perpendiculares se e só se o vetor r for

perpendicular ao vector AC , ou seja, 0r AC r AC r AC . Assim:

4,15,8 8,0,4 4 8 15 0 8 4 32 0 32 0r AC .

Logo as retas r e AC são perpendiculares.

▪ A reta AC contém o ponto A e o vetor 8,0,4AC é um seu vetor diretor. Portanto uma condição que define a

reta AC pode ser 8 0 8

0 08 4 8 4

x z x zy y

.

www.raizeditora.pt




▪ Formando um sistema com as condições que definem as duas retas, tem-se:

6

0 6 24 15

6 4 15 4 5

4 15 8 24 8

88 8 20

8 48 4

0

0

x y

x x

x y zx z

x z

x zx z x zy

y

y

8

5

82

5

88 2

5

x

z

z

8

5

16

5

322

5

x

z

z

8

5

16

5

16

5

0

x

z

z

y

Logo, as retas r e AC são concorrentes no ponto P de coordenadas 8 16

,0,5 5

.

b)

▪ Substituindo o ponto B na condição que define a reta r, tem-se:

0 6 6 0 00 0 0 0 0

4 15 8 15

. Afirmação verdadeira.

Logo, o ponto B pertence à reta r.

▪ Tem-se 8 16 8 16

,0, 0, 6,0 ,6,5 5 5 5

BP P B

. Assim:

2 2

28 16 8 16 64 256 64 900 256 1220,6, 6 36

5 5 5 5 25 25 25 5BP

22 5 61 2 305

5 5

www.raizeditora.pt




c) Consideremos a figura seguinte:

280

2ABC

AC BPA

305

5

2

4 4 280 305 2 5 5 61 2 5 61 2 2 5

5 5 5

61

5

4 61

Cálculos Auxiliares: 2 305

5BP BP ;

2 2 28,0,4 8 0 4 64 16 80AC AC

21.

21.1.

▪ Tem-se que : 2 2 22

xs z x y z y . Logo, um vetor diretor da reta s é 2,0,1s .

▪ A reta s é perpendicular ao plano se e só se um vetor diretor da reta s for colinear com um vetor normal do plano .

Neste caso como não temos um vetor normal ao plano , basta verificar que a reta s é perpendicular a duas retas

concorrentes contidas no plano , isto é, basta verificar que um vetor diretor da reta s é perpendicular a dois vetores

não colineares do plano . Os vectores AB e AC são dois vetores não colineares do plano . Vejamos então se o

vetor s é perpendicular aos vectores AB e AC . Tem-se:

2,5,4 4,0,0 2,5,4AB B A e 0,0,8 4,0,0 4,0,8AC C A

Assim:

2,0,1 2,5,4 2 2 0 5 1 4 4 0 4 0s AB

x

y

z

A

B

C

P

O

www.raizeditora.pt




2,0,1 4,0,8 2 4 0 0 1 8 8 0 8 0s AC

Logo, a reta s é perpendicular ao plano .

▪ Como a reta s é perpendicular ao plano , um vetor normal do plano pode ser 2,0,1n s , vetor diretor da

reta s. Assim, : 2 0 0 2 0x y z d x z d . Como o ponto A pertence ao plano , substituindo-o na

sua equação vem 2 4 0 0 8d d .

Logo, : 2 8 0 2 8x z x z .

21.2. Duas retas definem um plano se forem estritamente paralelas ou se forem concorrentes num ponto. Vejamos

então que as retas r e s não verificam nenhumas destas condições.

▪ Tem-se que : 3 0 03

yr y x z x z . Logo, um vetor diretor da reta r é 1,3,0r .

As retas r e s são paralelas se e só se os seus vetores diretores forem colineares, ou seja:

:r s k IR r k s

Assim vem:

1

21 2

1,3,0 2,0,1 3 0 3 0

0

0

k

k

r k s k

k

k

Sistema impossível

Logo as retas r e s não são paralelas.

▪ Vejamos se as retas r e s intersetam. Tem-se:

3 2 3

3 0 0

2 2 2

2

y x x

y x z z

z x y z x

y

2 0 x

2

3x

0x

Sistema impossível

www.raizeditora.pt




Logo as retas r e s não se intersetam.

Portanto as retas r e s não definem um plano, pois não são estritamente paralelas nem são concorrentes num ponto.

21.3.

▪ Intersetando a reta r com o plano obtém-se as coordenadas de D:

2 8 2 0 82 8

33 0

0

x z xx z

y xy x z

z

4 4

3 4 12

0 0

x x

y y

z z

Logo, 4,12,0D .


Tem-se:

1 1

3 3 2OADC OAD

OA ADV A OC OC

1 4 12 48

8 8 643 2 6

A O

D

C

x

y

z

12

preparar o exame 2015/2016 matemática...

Documents