preparar o exame 2014 2016 matemática a · estritamente paralelos a que podem ser definidos com...

13
www.raizeditora.pt Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 1 Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 6 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Tem-se, ( ) (( ) ) ( ) ( ) Assim, ( ) ( ) () . Resposta: B 2. Considere-se a variável aleatória : «peso dos alunos do .º ano» (( )) e os acontecimentos : «o aluno escolhido pesa entre kg e kg» e : «o aluno escolhido pesa pelo menos kg». Assim: () ( ) e () ( ) Observa a figura seguinte: Pretende-se determinar (|) () () . Tem-se que ( ) () ( ) e () ( ) . Logo, (|) . Resposta: C 3. A superfície esférica de equação ( ) ( ) tem centro no ponto de coordenadas (). O plano é tangente à superfície esférica no ponto de coordenadas (), assim, vamos utilizar o produto escalar para determinar uma condição que defina . Seja ( ) um ponto do espaço pertencente ao plano . A condição define o plano . Assim: ( ) ( )

Upload: dinhthuan

Post on 09-Dec-2018

216 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 1

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E – T I P O 6

GRUPO I – ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA

1. Tem-se, ( )

((

) )

( ) (

)

Assim, (

) (

) ( ) .

Resposta: B

2. Considere-se a variável aleatória : «peso dos alunos do .º ano» ( ( )) e os acontecimentos : «o aluno

escolhido pesa entre kg e kg» e : «o aluno escolhido pesa pelo menos kg». Assim:

( ) ( ) e ( ) ( )

Observa a figura seguinte:

Pretende-se determinar ( | ) ( )

( ) . Tem-se que ( )

( ) ( ) e

( ) ( ) . Logo, ( | )

.

Resposta: C

3. A superfície esférica de equação ( ) ( ) tem centro no ponto de coordenadas

( ). O plano é tangente à superfície esférica no ponto de coordenadas ( ), assim, vamos utilizar o

produto escalar para determinar uma condição que defina . Seja ( ) um ponto do espaço pertencente ao plano

. A condição define o plano . Assim:

( ) ( )

Page 2: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 2

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

Cálculos auxiliares: ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )

Portanto, ( ) é um vetor normal de . Para se concluir que uma reta está contida no plano , basta

verificar que o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor e que um dos pontos de pertence ao plano , ou

seja, tem de satisfazer a equação que define o plano (se um dos pontos de não pertencer a , então a reta não

está contida no plano ). Assim:

▪ A reta definida por ( ) ( ) ( ), não está contida em pois o seu vetor diretor pode ser

( ) e ( ) ( ) . Portanto, e portanto não é

perpendicular a .

▪ A reta definida por

não está contida em pois o ponto de coordenadas ( ) pertence a esta reta

mas pertence ao plano , visto que é uma proposição falsa. Portanto, o ponto de

coordenadas ( ) não satisfaz a equação de .

▪ A reta definida por ( ) ( ) ( ), não está contida em pois o ponto de coordenadas

( ) pertence a esta reta mas não pertence ao plano , visto que é uma

proposição falsa. Portanto, o ponto de coordenadas ( ) não satisfaz a equação de (Além disso um vetor diretor

desta reta pode ser ( ) e ( ) ( ) . Portanto, e

portanto não é perpendicular a ).

▪ Um vetor diretor da reta definida por pode ser ( ) e o ponto de coordenadas ( )

pertence a esta reta. O vetor é perpendicular ao vetor pois ( ) ( ) .

O ponto de coordenadas ( ) pertence ao plano porque é uma proposição

verdadeira. Portanto, o ponto de coordenadas ( ) satisfaz a equação de . Logo a condição

pode definir a reta .

Resposta: D

4. Tem-se ( )

. Portanto, pela definição de limite segundo Heine:

( )

( )

( )

( )

Resposta: A

Se então (limite notável)

Page 3: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 3

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

5.

▪ A afirmação é verdadeira pois:

( ) , se é ímpar e ( ) , se é par

Logo, como a função é contínua em , pelo teorema de Bolzano pode-se concluir que e portanto para todo

o , existe pelo menos um tal que ( ) , ou seja a equação ( ) é possível em , .

▪ A afirmação também é verdadeira. De facto, sendo um número natural, tem-se que é contínua em [ ],

pois é contínua em . Como, para todo o , ( ) e ( ) têm sinais contrários, então pelo corolário do

teorema de Bolzano, existe pelo menos um ] [ tal que ( ) , ou seja, a função tem pelo menos um

zero em cada intervalo da forma ] [ e portanto tem infinitos zeros.

Cálculos auxiliares:

▪ Se é par então é ímpar, então:

( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

▪ Se é ímpar então é par, então:

( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Portanto, para todo o , ( ) e ( ) têm sinais contrários.

▪ A afirmação é falsa. Considerando a função ( ) ( ) ( ) tem-se que é contínua em , logo é

contínua em [ ] . ( ) e ( ) têm o mesmo sinal e portanto o teorema de Bolzano não permite concluir sobre

a existência de zeros da função em [ ] e consequentemente não é possível concluir se a equação ( ) ( )

é possível ou impossível em [ ]. Assim, a afirmação não é necessariamente verdadeira.

Cálculos auxiliares:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Resposta: D

6. A reta é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa , onde ( ) , logo ( ). Assim, vem:

▪ ( ) ( ) ( ) ( )

▪ ( )

Page 4: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 4

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

Logo, ( )

. Assim, e portanto ( ) rad.

Resposta: B

7. As raízes de índice 8 de são dadas por √

(

), { }. Como os pontos e são as

imagens geométricas de duas raízes de índice 8 de vem que √

√ √ e que

. Logo,

(√ )

.

Resposta: B

8. Fazendo e ( ), vem:

( )

( )

( ( )) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ( )) ( )

{

( ) {

Para vem √ (

)

Para , vem √ (

) √ (

)

Para , vem √ (

) √ (

)

Para , vem √ (

) √ (

)

Para , vem √ (

( )

) √ (

( )

)

Para , vem √ (

( )

) √ (

) √ (

)

Logo as soluções da equação

( ) são da forma √ (

), com

{ }, portanto a equação tem soluções (a partir de as soluções

repetem-se).

Resposta: D

Page 5: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 5

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

GRUPO II – ITENS DE RESPOSTA ABERTA

1.

1.1. Tem-se:

( √ )

(

)

( ) )

( (

))

( )

(

) √

( ) ( )

( (

) (

)) √

( )

(

) √

( )

( √ ) √

( )

√ √

( )

√ √

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

i) Cálculo auxiliar: Para escrever √ na forma trigonométrica vem, | √ | √ ( √ ) √ √ . Sendo um

argumento de √ , tem-se √

√ e quadrante, pelo que

. Assim, √ (

) .

Tem-se

, assim:

(

)

.

Como ]

[, vem

. Logo:

( ) ( ( ) ( )) ( )

(

(

)) (

) √

1.2. Para

tem-se (

)

. Assim vem:

( | | ( ) ) ( )

( |

| ( ) ) ( )

( | | ( ) ) ( )

( | | ( ) ) ( )

Page 6: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 6

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

▪ A condição | | representa o conjunto de pontos do plano complexo situados entre as circunferências

centradas no ponto ( ), afixo do número complexo , e raios e , fronteiras incluídas (a região

representada pela condição é uma coroa circular).

Fazendo , com , vem:

▪ ( ) ( ( )) ( )

( ( ))

▪ ( ) ( ) .

A região do plano definida pela condição é:

2. Sejam um número complexo não nulo e ( ), a sucessão das raízes índice de , com . Assim,

tem-se que:

√ (

), { }.

( ) é uma progressão geométrica de razão

, pois:

√ ( ( )

)

√ (

)

(

)

(

)

(

) (

)

Portanto, a soma das raízes índice de é dada por:

(

)

(

)

𝑂 (𝑧)

(𝑧)

𝑦 𝑥

Page 7: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 7

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

3.

3.1. Para para ou para ímpar, o número de casos possíveis é

(é o número de maneiras de escolher três entre

os vértices do prisma). O plano é o plano de equação , pelo que, se é par existem

planos

estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem

planos

estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma. Como cada um desses planos contém

quatro vértices do prisma, então para par o número de casos favoráveis

e para ímpar é

.

Pela regra de Laplace a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis e o

número de casos possíveis, desde que estes sejam equiprováveis. Como qualquer um dos vértices do prisma tem igual

probabilidade de ser escolhido, a regra de Laplace pode ser aplicada a este problema. Assim, probabilidade pedida é

( )

se é par e

( )

se é ímpar.

3.2. Considere-se a variável aleatória : «número de vezes que sai face pintada de azul em seis repetições da

experiência». A variável aleatória segue uma distribuição binomial de parâmetros e

, isto é, (

)

(como se pode ou não escolher a mesma face, em cada uma das seis repetições da experiência a probabilidade de se

escolher uma face pintada de azul é sempre

). Pretende-se determinar a probabilidade do acontecimento «escolher

face pintada de azul» ocorrer no mínimo duas vezes e no máximo quatro vezes, isto é, ( ).

Assim:

( ) ( ) ( ) ( )

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

( (

)

(

) (

) (

)

)

( )

( ( )

)

( )

( ( )

)

( )

( )

( )

Page 8: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 8

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

4. Tem-se:

( ) ( ( | )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( | ) ( ) ( )

( ( ) ) ( | ) ( ) ( )

( ) ( | ) ( | ) ( ) ( )

)

( ) ( | ) ( ) ( )

( | ) ( ) ( | ) ( ) independentes

i) ( | ) ( )

( ) ( ) ( ) ( | )

5.

5.1. Tem-se que { } { }

▪ Assíntotas verticais

( )

(

)

( )

(

)

A reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função . Como a função é contínua em { }, o seu

gráfico não tem mais assíntotas verticais.

▪ Assíntotas não verticais

Quando :

( )

(

)

(

)

(

)

Page 9: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 9

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

( ( ) )

(

)

A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de , quando .

Quando :

( )

(

)

(

)

(

)

( ( ) )

(

)

A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de , quando .

5.2. Tem-se

( )

(

)

Fazendo

vem:

)

i) Mudança de base:

, com { } e

5.3. Tem-se:

▪ ( ) (

)

( ) (

)

(

) (

)

(

)

( )

▪ ( )

( )

⏟ { }

Page 10: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 10

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

Fazendo um quadro de variação do sinal da função , vem:

i)

n.d.

( ) n.d.

( ) p.i. n.d.

i) Observa que

, { }, porque

e , { }.

O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em ]

], tem a concavidade voltada para cima em [

[

e em ] [ e tem ponto de inflexão em

.

6.

6.1.

▪ Seja o ponto de interseção do eixo com a reta que contém o ponto e é paralela ao eixo , como

representado na figura.

Tem-se:

( ) [ ]

Tem-se ( ) e como

e

, vem que as coordenadas do ponto

são ( ).

Assim:

√( ) ( ) √

√ ( )⏟

√ √ ( ) √ √ √

Page 11: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 11

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

Portanto, ( ) [ ] √ .

▪ Tem-se

( ) ( √ ) ( ( )

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Assim:

( )

( )

( )

√ ( )

√ ( ) )

(√ )

)

Cálculos auxiliares:

i)

( )

( )

( )

ii) Tem-se que √ , assim:

( √ )

Como ]

[ vem

Tem-se que

, pelo que . Assim:

6.2. A amplitude, em radianos, do arco é , portanto o seu comprimento é igual a ( ). Pretende-se

determinar o valor de ]

[ de modo que ( ) ( ). Utilizando o editor de funções da calculadora,

definem-se as funções ( ) e ( ) na janela de visualização [

] [ ].

Logo, ( ) ( ) , com .

( )

Page 12: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 12

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

7. A função é contínua em se e só se

( )

( ) ( ). Assim:

( )

( )

(

)

( ( ) )( ( ) )

( )( ( ) )

( )

( )( ( ) )

( )

( )( ( ) )

( ( )

( )

( ) )

)

( )

( )

i) Mudança de variável: Se então . Seja , .

Como ( ) , tem-se (obviamente que se fica a saber que ( ) ).

( )

(

)

(

)

)

( )

)

ii) Mudança de variável: Se então . Seja , .

iii) Se

(limite notável), então

.

Portanto, como ( ) , tem-se

.

8.

▪ As coordenadas do ponto são do tipo ( ). Como , substituindo as coordenadas de na equação vetorial

de vem:

( ) ( ) ( ), {

{

{

( )

{

Portanto, ( ).

limite notável

Page 13: Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem

www.raizeditora.pt

Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 13

Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A

▪ A reta é tangente á circunferência de centro em ( ) no ponto , logo:

( ) ( )

Além disso os pontos e pertencem à circunferência, assim:

( ) ( ) ( ) ( )

Formando um sistema com estas duas equações, determina-se as coordenadas do ponto , centro da circunferência.

Assim:

{

{

( ) {

{

{

{

Logo as coordenadas do ponto são ( ).

▪ O triângulo [ ] é retângulo em se e só se . Assim:

[ ]

( ) ( )

Portanto, o triângulo [ ] é retângulo em . Como √ e

, então:

[ ]

(√ )

√ √

Cálculos auxiliares:

( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ‖ ‖ √( ) √ .