pre esforço

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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL

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Estruturas de Betão Armado II17 – Pré-Esforço – Perdas

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17 – Pré-Esforço – Perdas

Força Máxima de Tensionamento (Força de Puxe)

A força aplicada à armadura de pré-esforço, Pmax (ou seja, a força na extremidade activa durante a aplicação do pré-esforço), não deve exceder o seguinte valor:

Pmax = Ap ⋅ σp,max

Em que:

Ap área da secção transversal da armadura de pré-esforço

σp,max tensão máxima aplicada à armadura de pré-esforço = min { 0.8· fpk ; 0.9· fp0,1k}

fpk Valor característico da tensão de rotura à tracção do aço das armaduras de pré-esforço

fp0,1k Valor característico da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,1% à tracção do aço das armaduras de pré-esforço

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Perdas Instantâneas de Pré-Esforço

Pós-tensão:• Perdas por atrito cordão/bainha;

• Perdas por reentrada das cunhas na ancoragem activa;

• Perdas por deformação instantânea do betão.

Pré-tensão:• Perdas por relaxação inicial da armadura entre o

tensionamento do aço e a transferência do p.e. Ao betão;

• Perdas por escorregamento dos fios nas zonas de amarração;

• Perdas por deformação instantânea do betão.

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Perdas Por Atrito

Em que:P Pré-esforço aplicadodP Perda de pré-esforço no

comprimento dsdb ângulo de desvio no

comprimento dsqds força de desvio em dsm coeficiente de atrito

02

)(2

0 =+−−=∑ ββ ddPPdPqdsFr

dsdPqPdqds ββ ==

00 =+=∑ dsqdPFt μ

βμβμ dPdPdPdP −==+ 0

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Perdas Por Atrito (continuação)

∫∫ −=xxP

PddP

Pm

0

)(

0

1 βμ βμ−=− 0ln)(ln PxPmo

Onde b é o somatório dos ângulos de desvio do cabo desde a origem (ancoragem activa) até à secção x

μβ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

0 )(lnP

xPm μβ−= eP

xPm

0

0 )(

μβ−= ePxPm 00 )( )()( 00 xPPxP m−=Δ μ

( )μβμ

−−=Δ ePxP 1)( 0

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Perdas Por Atrito (EC2)

Para ter em conta igualmente desvios do cabo devido às tolerâncias de posicionamento, a expressão apresentada pelo EC2 para cálculo das perdas por atrito é a seguinte:

)1(P)(P )k(maxμ

xex +−−=Δ βμ

Em que:b soma dos desvios angulares ao longo de um comprimento x

(independentemente da sua direcção ou do seu sinal)μ coeficiente de atrito entre a armadura de pré-esforço e a sua

bainhak desvio angular parasita para as armaduras interiores (por

unidade de comprimento) x distância ao longo da armadura a partir do ponto em que a força

de pré-esforço é igual a Pmax (força na extremidade activa durante a aplicação do pré-esforço)

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Perdas Por Atrito (EC2)Os valores de μ e k são dados na Aprovação Técnica Europeia aplicável. O valor de μ depende das características da superfície das armaduras e da bainha, da presença de ferrugem, do alongamento das armaduras e do seu traçado.O valor de k para o desvio angular parasita depende da qualidade da execução, da distância entre os apoios das armaduras, do tipo da bainha ou do ducto, e do grau de vibração na betonagem.

Na ausência de dados de uma Aprovação Técnica Europeia, os valores dos desvios angulares parasitas para as armaduras interiores situam-se, em geral, no intervalo 0,005 < k < 0,01 por metro.

1) para armaduras que preenchem cerca de metade da bainha

----0,33Varão liso

----0,65Barra nervurada

0,100,160,120,240,19Cordão

0,120,180,140,250,17Fio trefilado a frio

Bainha de HDPE/

lubrificada

Bainha de aço/

lubrificada

Bainha de HDPE/ não lubrificada

Bainha de aço/ não lubrificada

Armaduras exteriores não aderentesArmaduras interiores 1)Coeficientes de atrito

μ para armaduras interiores pós-

tensionadas e para armaduras exteriores

não aderentes

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Perdas Por Reentrada das CunhasNo caso de cabos com traçado parabólico, a perda por atrito épraticamente constante ao longo do cabo:

( )l

klPlP l +

≈Δ βμμ 0

A reentrada das cunhas, no instante da aplicação do pré-esforço, corresponde a uma diminuição do alongamento do cabo de cerca de Dl ≈6mm

c é o comprimento do troço de cabo

afectado pela reentrada das

cunhas

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Perdas Por Reentrada das Cunhas (continuação)

Perdas na origem (x=0)

clP

xPslμΔ

==Δ 2)0(

Perdas na secção x ≤ c

( )xclP

xPsl −Δ

=Δ μ2)(

dxlc

∫ Δ=Δ0

ε

( ) dxxcAEl

Pdx

AExPl

c

pp

c

pp

c ∫∫ −Δ

=Δ

=Δ00

12)( μ

21 cAEl

Pl

pp

μΔ=Δ

lP

AElc pp

μΔΔ

=

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Perdas Por Deformação Instantânea do BetãoNuma viga com n cabos de pré-esforço, a deformação do betão aquando do pré-esforço do cabo i vai causar deformação da peça de betão e correspondente encurtamento nos cabos já pré-esforçados. A este encurtamento corresponderá uma perda de pré-esforço que pode ser estimada, de forma aproximada pela seguinte expressão:

PcPcm

Pel A

tEE

nnP σ

)(21−

=Δ

Em que:n número de cabos de pré-esforçoEP Valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço de

pré-esforçoEcm Módulo de elasticidade secante do betãoscP tensão no betão, ao nível dos cabos de pré-esforço, devido à

aplicação do pré-esforçoAp área total de aço de pré-esforço

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Perdas Por Deformação Instantânea do Betão (continuação)

( )iTotal PnnP Δ

−=Δ

21

Perda de pré-esforço num cabo devido àaplicação do pré-esforço no cabo i

nA

nEEP PcP

cm

Pi

σ=Δ PcP

cm

PTotal A

tEE

nnP σ

)(21−

=Δ

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17 – Pré-Esforço – PerdasPerdas Diferidas

As perdas diferidas podem ser calculadas considerando as duas causas seguintes de redução da tensão:

• redução da extensão, provocada pela deformação do betão sob acções permanentes devida à fluência e à retracção;

• redução de tensão no aço devida à relaxação.De forma simplificada podemos avaliar as perdas diferidas na secção x sob acções permanentes utilizando a seguinte expressão:

)]t,t(8,01[)zΙA1(

AA

EE

1

,).t,t(EE

σ8,0EεAσAP

02

0

,

ϕ

σϕ

+++

+Δ+=Δ=Δ ++++

cpc

c

c

p

cm

p

QPccm

pprpcs

prscpprsc

A expressão anterior aplica-se a armaduras aderentes considerando os valores locais das tensões e a armaduras não aderentes considerando os valores médios das tensões. Os valores médios devem ser calculados entre secções rectas definidas pelos pontos teóricos de inflexão das armaduras no caso de pré-esforço exterior ou calculados ao longo de todo o comprimento das armaduras no caso de pré-esforço interior.

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Perdas DiferidasEm que:Δσp,c+s+r valor absoluto da variação de tensão nas armaduras devida à fluência, à

retracção e à relaxação na secção x, no instante t

εcs extensão estimada de retracção, em valor absoluto

Ep módulo de elasticidade do aço de pré-esforço Ecm Módulo de elasticidade do betão

Δσpr valor absoluto da variação de tensão nas armaduras na secção x, no instante t, devida à relaxação do aço de pré-esforço. É determinado para uma tensão σp = σp(G+Pm0+ ψ2Q) em que σp = σp(G+Pm0+ ψ2Q) é a tensão inicial nas armaduras devida ao pré-esforço inicial e às acções quase-permanentes

ϕ(t,t0) coeficiente de fluência no instante t para uma aplicação das cargas no instante t0

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Perdas Diferidas

Em que (continuação):σc,QP tensão no betão ao nível das armaduras, devida ao peso próprio e ao pré-

esforço inicial e, sempre que for relevante, a outras acções quase-permanentes. O valor de σc,QP pode resultar de parte do peso próprio e do pré-esforço inicial ou da combinação de acções quase-permanente considerada na sua totalidade (sc(G+Pm0+y2Q)), consoante a fase de construção considerada

Ap área de todas as armaduras de pré-esforço na secção x

Ac área da secção transversal de betãoΙc momento de inércia da secção de betão

zcp distância entre o centro de gravidade da secção de betão e as armaduras de pré-esforço

As tensões de compressão e as correspondentes extensões indicadas na expressão anterior devem ser consideradas com sinalpositivo.

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Perdas Diferidas

Cálculo da extensão de retracção

A extensão total de retracção é constituída por duas componentes, a extensão de retracção de secagem e a extensão de retracção autogénea. A extensão de retracção por secagem evolui lentamente, uma vez que é função da migração da água através do betão endurecido. A extensão de retracção autogénea desenvolve-se durante o endurecimento do betão. Desenvolve-se, portanto, na sua maior parte nos primeiros dias após a betonagem. A retracção autogénea éuma função linear da resistência do betão. Deve ser considerada de modo específico quando se coloca betão novo sobre betão endurecido. Assim, o valor da extensão total de retracção εcs é igual a:

εcs = εcd + εca

Em que:εcs extensão total de retracção

εcd extensão de retracção por secagem

εca extensão de retracção autogénea

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Perdas Diferidas

Cálculo da extensão de retracção por secagem

O valor final da extensão de retracção por secagem, εcd,∞, é igual a kh⋅εcd,0.

O valor para εcd,0 pode ser obtido no Quadro 3.2 do EC2:

Quadro 3.2 - Valores nominais da retracção livre por secagem εcd,0 (em 0/00) para o betão com cimentos CEM da Classe N

0,000,070,130,210,250,2790/105

0,000,080,150,240,280,3080/95

0,000,100,190,300,360,3860/75

0,000,130,240,380,460,4840/50

0,000,170,300,490,580,6220/25

1009080604020

Humidade Relativa (em 0/0)fck/fck,cube(MPa)

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Perdas Diferidas

Cálculo da extensão de retracção por secagem

Kh é um coeficiente que depende da espessura equivalente, h0, de acordo com o Quadro 3.3 do EC2:

Quadro 3.3 - Valores de kh

1,00,850,750,70

100200300≥ 500

khh0

h0 é a espessura equivalente (mm) da secção transversal = 2Ac/u

em que: Ac área da secção transversal do betãou perímetro da parte da secção transversal exposta à secagem

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Perdas Diferidas

Cálculo da extensão de retracção autogénea

A extensão de retracção autogénea é dada por:

εca (t) = βas(t) εca(∞)

Em que:εca(∞) = 2,5 (fck – 10) 10-6

e

βas(t) =1 – exp (– 0,2t 0,5)

em que t é expresso em dias.Para t=∞ considerar cerca de 20 800 dias( 500 000 horas)

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Perdas Diferidas

Coeficiente de fluência

O coeficiente de fluência, ϕ(t,t0), pode ser obtido através da figura 3.1 do EC2, desde que o betão não esteja submetido a uma tensão de compressão superior a 0,45 fck (t0) na idade t0, idade do betão àdata do primeiro carregamento.

01,02,03,04,05,06,07,0100

50

30

1

2

3

5

10

20

t 0

ϕ (∞, t 0)

SN R

100 300 500 700 900 1100 1300 1500

C20/25C25/30C30/37C35/45C40/50C45/55C50/60 C55/67C60/75 C70/85

C90/105C80/95

h 0 (mm)

01,02,03,04,05,06,0100

50

30

1

23

5

10

20

t 0

ϕ (∞, t 0)

SN R

100 300 500 700 900 1100 1300 1500h 0 (mm)

C20/25C25/30C30/37C35/45

C55/67C70/85C90/105C80/95

C45/55C40/50

C60/75C50/60

ambiente exterior - RH = 80%

ambiente interior - RH = 50%

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235

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Perdas Diferidas

Coeficiente de fluência

Quando a tensão de compressão do betão na idade t0 excede o valor 0,45 fck(t0), deve considerar-se a não linearidade da fluência. Uma tensão tão elevada pode ocorrer em resultado de pré-tensão, por exemplo, ao nível dos cabos nos elementos de betão pré-fabricado. Neste caso, o coeficiente teórico de fluência não linear deve ser obtido por:

ϕk(∞, t0) = ϕ (∞, t0) exp (1,5 (kσ – 0,45))

Em que:ϕk(∞, t0) coeficiente teórico de fluência não linear, que substitui ϕ (∞, t0)

ks razão tensões-resistências σc/fcm(t0), em que σc é a tensão de compressão e fcm(t0) é a resistência média à compressão do betão à data do carregamento.

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Perdas Diferidas

Relaxação

No EC2, definem-se três classes de relaxação:

Classe 1: fios ou cordões – relaxação normal -ρ1000 = 8%Classe 2: fios ou cordões – baixa relaxação - ρ1000 = 2.5%Classe 3: barras laminadas a quente e com tratamento complementar - ρ1000 = 4%

ρ1000, é a perda devida à relaxação (em %) às 1000 horas depois da aplicação de pré-esforço e a uma temperatura média de 20°C. O valor de ρ1000 é expresso em percentagem da tensão inicial e é obtido para uma tensão inicial igual a 0,7fpk.

Os valores a longo prazo (finais) das perdas devidas à relaxação podem ser estimados para um tempo t igual a 500 000 horas (ou seja, cerca de 57 anos).

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Perdas Diferidas - Relaxação

Em queΔσpr valor absoluto das perdas de pré-esforço devidas à relaxaçãoσpi Para a pós-tensão, σpi é o valor absoluto da tensão inicial de pré-esforço σpi = σpm0

Para a pré-tensão, σpi é a tensão de tracção máxima aplicada nos cabos deduzidas as perdas instantâneas que ocorrem durante as operações de pré-esforço

t tempo depois da aplicação de pré-esforço (em horas)μ = σpi /fpk, em que fpk é o valor característico da resistência à tracção do aço de pré-

esforçoρ1000 valor da perda devida à relaxação (em %), às 1000 horas depois da aplicação de

pré-esforço e a uma temperatura média de 20°C.

Classe 1μ

μσ tρσ

0,75 ( 1 )pr 6,7 5

1000pi

Δ5,39 e 10

1000

−−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Classe 2μ

μσ tρσ

0,75 ( 1 )pr 9,1 5

1000pi

Δ0,66 e 10

1000

−−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Classe 3μ

μσ tρσ

0,75 ( 1 )pr 8 5

1000pi

Δ1,98 e 10

1000

−−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

pre esforço

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