pré-cálculo coleção schaum 2ª edição

S128p Safier, Fred. Pr-clculo [recurso eletrnico] / Fred Safier ; traduo tcnica Adonai Schlup SantAnna. 2. ed. Dados eletrnicos. Porto Alegre : Bookman, 2011.

Editado tambm como livro impresso em 2011. ISBN 978-85-7780-927-1

1. Matemtica. 2. Pr-clculo. I. Ttulo.

CDU 51-3

Catalogao na publicao: Ana Paula M. Magnus CRB 10/2052

FRED SAFIER Bacharel em Fsica pela Harvard College e Mestre em Matemtica pela Stanford University. Agora aposentado, lecionou matemtica no City College de So Francisco (EUA) de 1967 a 2005 e autor de vrios manuais para estudantes nas reas de lgebra, trigonometria e pr-clculo.

Traduo tcnica:Adonai Schlup SantAnna

Ps-Doutorado em Fsica Terica pela Stanford University EUADoutor em Filosofia pela Universidade de So Paulo

Professor Associado do Departamento de Matemtica da Universidade Federal do Paran (UFPR)

2011

Verso impressa desta obra: 2011

Fred SafierProfessor Titular de Matemtica

City College of San Francisco (EUA)

Reservados todos os direitos de publicao, em lngua portuguesa, ARTMED EDITORA S.A.(BOOKMAN COMPANHIA EDITORA uma diviso da ARTMED EDITORA S. A.)Av. Jernimo de Ornelas, 670 Santana90040-340 Porto Alegre RSFone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070

proibida a duplicao ou reproduo deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, distribuio na Web e outros), sem permisso expressa da Editora.

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IMPRESSO NO BRASILPRINTED IN BRAZIL

Obra originalmente publicada sob o ttulo Schaum's Outline: Precalculus,2/Ed.ISBN 007-150864-3

Copyright 2009, 1998 by the McGraw-Hill Companies,Inc.,New York, New York, United States of America.All rights reserved.

Portuguese-language translation copyright 2011 by Bookman Companhia Editora Ltda., a Division of Artmed Editora S.A.All rights reserved.

Capa: Rogrio Grilho (arte sobre capa original)

Preparao de original: Renata Ramisch

Editora Snior: Denise Weber Nowaczyk

Projeto e editorao: Techbooks

ApresentAo edio BrAsileirACom grande frequncia, o ensino da Matemtica nas universidades pega de surpresa os alunos que acabaram de concluir o Ensino Mdio. E, com a mesma frequncia, esse choque acaba desestimulando os estudantes, fazen-do-os se sentirem despreparados, ou no mnimo inseguros, para a faculdade. O calouro de um curso superior de Matemtica, Fsica, Engenharia, Economia, Administrao ou mesmo Biologia fica desorientado perante tantos conceitos novos em disciplinas como matemtica bsica, clculo diferencial e integral, lgebra linear e geometria analtica, as quais exigem independncia de pensamento. O Ensino Mdio, em geral, no apresenta esses conceitos de maneira que se forme, na mente do aluno, um nico corpo de conhecimento que deve visar a um propsito bem definido.

para preencher essa lacuna que existem livros como esta obra. O livro de Safier cumpre o papel de abordar de maneira muito direta e acessvel a matemtica bsica e elementar fundamental para a compreenso do clculo diferencial e integral. O autor no excessivamente rigoroso, mas expe, de maneira clara e didtica, os tpicos mais importantes para um curso de pr-clculo, alm de apresentar inmeros exerccios.

Com base na minha longa experincia nos diversos nveis de ensino, recomendo este livro no apenas como referncia para o estudo de pr-clculo, mas tambm como um texto suplementar a cursos mais avanados, como o caso do clculo diferencial e integral e da geometria analtica.

ADONAI S. SANTANNAProfessor e tradutor desta obra

Apresentao

prefcio dA segundA edioEsta edio foi expandida, incluindo agora material sobre taxa de variao mdia, custo e demanda, forma polar de nmeros complexos, sees cnicas em coordenadas polares e a estrutura algbrica do produto interno. Foi acres-centado um captulo (Captulo 45), como uma introduo ao clculo diferencial, assunto que agora aparece em muitos livros de pr-clculo. Mais de 30 problemas resolvidos foram adicionados, bem como mais de 110 proble-mas suplementares.

Agradecemos Anya Kozorez e sua equipe da McGraw-Hill, e a Madhu Bhardwaj e sua equipe no International Typesetting and Composition. Alm desses, o autor gostaria de agradecer aos leitores (poucos, felizmente) que enviaram correes, em particular D. Mehaffey e B. DeRoes.

Acima de tudo, o autor deve agradecimentos mais uma vez a sua esposa Gitta, cuja cuidadosa ateno eliminou diversos erros. Novos erros percebidos pelos leitores podem ser encaminhados para [email protected] ou [email protected].

Fred Safier

prefcio

viii Prefcio

prefcio dA primeirA edioUma disciplina de pr-clculo elaborada a fim de preparar estudantes de graduao para o nvel de habilidades algbricas e conhecimentos esperado em uma disciplina de clculo. Para tal, so revistos tpicos de lgebra e tri-gonometria, enfatizando aqueles contedos com os quais se requeira certa familiaridade em clculo. Funes e grficos so conceitos fundamentais.

Este livro foi escrito como um complemento para disciplinas de graduao em pr-clculo. A obra dividi-da em 44 captulos e abrange operaes algbricas bsicas, equaes e inequaes, funes e grficos e funes elementares usuais, tais como polinomiais, racionais, exponenciais e logartmicas. A trigonometria abordada do Captulo 20 ao 29, e dada nfase para as funes trigonomtricas como definidas no crculo trigonomtrico uni-trio. Matrizes, determinantes, sistemas de equaes, geometria analtica de sees cnicas e matemtica discreta so os tpicos dos captulos finais.

No incio dos captulos, so apresentadas definies bsicas, princpios e teoremas, acompanhados de exem-plos elementares. O cerne de cada captulo est nos problemas resolvidos que apresentam o material em ordem l-gica e conduzem o estudante ao desenvolvimento do assunto. Os captulos terminam com problemas complemen-tares e respectivas respostas. Tais problemas fornecem um aprofundamento no assunto e desenvolvem ideias novas.

O autor gostaria de agradecer seus amigos e colegas, especialmente F. Cerrato, G. Ling e J. Morell pelas pro-veitosas discusses. Agradecimentos tambm equipe da McGraw-Hill e ao revisor do texto, por sua valiosa ajuda. Mas, principalmente, o autor expressa sua gratido a sua esposa Gitta, cuja cuidadosa leitura, linha aps linha, do manuscrito original, eliminou numerosos erros. Erros que ainda persistirem so de inteira responsabilidade do autor. Estudantes e professores que encontrarem falhas so convidados a enviar e-mail para [email protected].

sumrio

Captulo 1 preliminares 1Captulo 2 polinmios 7Captulo 3 expoentes 15Captulo 4 expresses racionais e radicais 20Captulo 5 equaes lineares e no lineares 29Captulo 6 inequaes lineares e no lineares 41Captulo 7 Valor Absoluto em equaes e inequaes 49Captulo 8 geometria Analtica 54Captulo 9 funes 68Captulo 10 funes lineares 79Captulo 11 transformaes e grficos 87Captulo 12 funes Quadrticas 95Captulo 13 lgebra de funes; funes inversas 104Captulo 14 funes polinomiais 114Captulo 15 funes racionais 132Captulo 16 funes Algbricas e Variao 146Captulo 17 funes exponenciais 154Captulo 18 funes logartmicas 162Captulo 19 equaes exponenciais e logartmicas 168Captulo 20 funes trigonomtricas 176Captulo 21 grficos de funes trigonomtricas 187Captulo 22 ngulos 197

Sumriox

Captulo 23 identidades e equaes trigonomtricas 211Captulo 24 frmulas de soma e diferena de ngulos,

ngulo mltiplo e meio-ngulo 220Captulo 25 funes trigonomtricas inversas 230Captulo 26 tringulos 240Captulo 27 Vetores 252Captulo 28 coordenadas polares e equaes paramtricas 261Captulo 29 forma trigonomtrica de nmeros complexos 270Captulo 30 sistemas de equaes lineares 279Captulo 31 eliminaes gaussiana e de gauss-Jordan 287Captulo 32 decomposio em frao parcial 294Captulo 33 sistemas de equaes no lineares 302Captulo 34 introduo lgebra matricial 309Captulo 35 multiplicao e inversa de matrizes 313Captulo 36 determinantes e regra de cramer 322Captulo 37 loci e parbolas 330Captulo 38 elipses e Hiprboles 337Captulo 39 rotao de eixos 349Captulo 40 sees cnicas 356Captulo 41 sequncias e sries 362Captulo 42 o princpio da induo matemtica 368Captulo 43 sequncias e sries especiais 374Captulo 44 o teorema Binomial 381Captulo 45 limites, continuidade, derivadas 387ndiCe 399

OS CONJUNTOS DE NMEROS USADOS EM LGEBRASo, em geral, subconjuntos de R, o conjunto dos nmeros reais.

Nmeros naturais NSo os nmeros empregados em processos de contagem, p. ex., 1, 2, 3, 4,...

Inteiros ZOs nmeros para contagem, acrescidos de seus opostos e 0, p. ex., 0, 1, 2, 3,... 1, 2, 3,...

Nmeros racionais QO conjunto de todos os nmeros que podem ser escritos como quocientes a/b, b 0, sendo a e b inteiros, p. ex., 3/17; 10/3; 5,13;...

Nmeros irracionais HTodos os nmeros reais que no so racionais, p. ex.,

Exemplo 1.1 O nmero 5 elemento dos conjuntos Z, Q e R. O nmero 156,73 um elemento dos conjuntos Q e R. O nmero 5 pertencente aos conjuntos H e R.

AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NMEROS REAISH duas operaes fundamentais, adio e multiplicao, que apresentam as seguintes propriedades (a, b e c so nmeros reais arbitrrios):

Leis de fechamentoA soma a b e o produto a b ou ab so nmeros reais nicos.

Leis de comutatividadea b b a: a ordem irrelevante na adio.ab ba: a ordem irrelevante na multiplicao.

Preliminares*

Captulo 1

* N. de T.: importante frisar que as noes apresentadas neste livro so de carter intuitivo, ou seja, no formal, uma vez que a presente obra trata de pr-clculo e no de anlise matemtica ou fundamentos da matemtica.

Livro_Safier.indb 1 14/06/11 16:59

PR-CLCULO2

Leis associativasa (b c) (a b) c: o agrupamento* irrelevante em adies repetidas.a(bc) (ab)c: o agrupamento irrelevante em multiplicaes repetidas.Nota: (removendo parnteses): Uma vez que a (b c) (a b) c, a b c pode ser escrito significando qualquer um dos lados da igualdade.Analogamente, j que a(bc) (ab)c, abc corresponde a qualquer um dos lados da igualdade.

Leis distributivasa(b c) ab ac; tambm (a b)c ac bc: multiplicao distributiva em relao adio.

Leis de identidadeExiste um nico nmero 0 com a propriedade de que 0 a a 0 a.Existe um nico nmero 1 com a propriedade de que 1 a a 1 a.

Leis de inversoPara qualquer nmero real a, existe um real a, tal que a (a) (a) a 0.Para qualquer real a diferente de zero, existe um nmero real a1, tal que aa1 a1a 1.a chamado de inverso aditivo ou negativo de a.a1 chamado de inverso multiplicativo ou recproco de a.

Exemplo 1.2 Leis associativa e comutativa. Simplifique (3 x) 5.

Exemplo 1.3 Distributividade dupla. Mostre que (a b)(c d) ac ad bc bd.

LEIS DE FATOR ZERO 1. Para cada nmero real a, a 0 0. 2. Se ab 0, ento a 0 ou b 0.

LEIS PARA OS NEGATIVOS 1. (a) a 2. (a)(b) ab 3. ab (a)b a(b) (a)(b) 4. (1)a a

SUBTRAO E DIVISODefinio de subtrao: a b a (b)Definio de diviso: . Desse modo, Nota: Uma vez que 0 no admite inverso multiplicativo, a 0 no definido.

* N. de T.: A expresso agrupamento se refere a termos, fatores ou expresses em geral que se encontram entre parnteses, colchetes ou chaves.


CAPTULO 1 PRELIMINARES 3

LEIS PARA QUOCIENTES 1.

2.

3. se, e somente se,

4. para qualquer k real no nulo. (Princpio fundamental de fraes)

PROPRIEDADES DE ORDEMOs nmeros reais positivos, denotados por R, so um subconjunto dos nmeros reais e apresentam as seguintes propriedades:

1. Se a e b esto em R, ento a b e ab tambm esto. 2. Para cada nmero real a, ou a pertence a R, ou a zero, ou a est em R.

Se a est em R, a dito positivo; se a elemento de R, a chamado de negativo.O nmero a menor que b e escrevemos a b, se b a positivo. Logo, b maior que a e escrevemos b a.

Se a menor ou igual a b, isso representado por a b. Logo, b maior ou igual a a, e escrevemos isso como b a.

Exemplo 1.4 3 5 porque 5 3 2 positivo. 5 3 porque 3(5) 8 positivo.O que se segue pode ser deduzido conforme as definies acima:

1. a 0 se, e somente se, a positivo. 2. Se a 0, ento a2 0. 3. Se a b, ento a c b c.

4. Se , ento

5. Para qualquer nmero real a, ou a 0, ou a 0, ou a 0. 6. Se a b e b c, ento a c.

A RETA REAL

Nmeros reais podem ser representados por pontos em uma reta l, tal que a cada nmero real a corresponda exata-mente a um ponto sobre l, e reciprocamente.

Exemplo 1.5 Represente o conjunto sobre uma reta real.

Figura 1-1

VALOR ABSOLUTO DE UM NMEROO valor absoluto de um nmero real a, representado por | a |, definido como:


PR-CLCULO4

NMEROS COMPLEXOSNem todos os nmeros so reais. O conjunto C dos nmeros da forma a bi, onde a e b so reais e i2 1, chamado de conjunto dos nmeros complexos. Como todo nmero real x pode ser representado na forma x 0i, segue que todo nmero real tambm complexo.

Exemplo 1.6 so exemplos de nmeros complexos no reais.

ORDEM DE OPERAESEm expresses envolvendo combinaes de operaes, a seguinte ordem observada:

1. Primeiramente, execute operaes entre smbolos agrupados. Se os smbolos agrupados esto dentro de outro agrupamento de smbolos, proceda a partir dos agrupamentos mais internos para os mais externos.

2. Calcule expoentes antes de multiplicaes e divises, a no ser que o agrupamento de smbolos indique o contrrio. 3. Calcule multiplicaes e divises, da esquerda para a direita, antes de calcular adies e subtraes (tambm

da esquerda para direita), a no ser que os smbolos de operaes indiquem o contrrio.

Exemplo 1.7 Calcule (a) (b) (c) (a) (b)

(c)

Problemas Resolvidos

1.1 Demonstre a lei distributiva estendida a(b c d) ab ac ad.

1.2 Prove que a multiplicao distributiva em relao subtrao: a(b c) ab ac.

1.3 Mostre que (a b) a b.


CAPTULO 1 PRELIMINARES 5

1.4 Mostre que se ento

Considere . Pela definio de diviso, significa que ab1 cd1. Logo,

1.5 Prove que se a b, ento a c b c.Considere que a b. Logo b a positivo. Mas b a b a 0 b a c (c), de acordo com as leis de identidade e inverso. Como b a c (c) b a c c b c (a c) pela definio de subtrao, pelas leis associativa e comutativa e pelo Problema 1.3, segue que b c (a c) positivo. Logo a c b c.

1.6 Identifique como membros dos conjuntos N, Z, Q, H, R ou C:(a) 7 (b) 0,7 (c) (d) (e) (a) 7 um inteiro negativo; portanto tambm racional, real e complexo. 7 elemento de Z, Q, R e C.(b) 0,7 7/10; logo um nmero racional e, por isso, real e complexo. 0,7 pertence a Q, R e C.(c) um nmero irracional; desse modo, tambm real e complexo. elemento de H, R e C.(d) no definido. No elemento de qualquer um desses conjuntos.(e) no nmero real, mas pode ser escrito como i ; portanto, um nmero complexo. est em C.

1.7 Verifique se verdadeiro ou falso:(a) 7 8 (b) 22/7 (c) x2 0 para todo real x.(a) Como (8) (7) 1 negativo, 8 7; portanto, a sentena falsa.(b) Uma vez que um nmero irracional* e 22/7 racional, a afirmao falsa.(c) Isso segue da propriedade 2 para desigualdades; a sentena verdadeira.

1.8 Reescreva o que se segue sem usar o smbolo para valor absoluto e simplifique:(a) 3 5 (b) 3 5 (c) 2 (d) x 5 se x 5 (e) x 6 se x 6(a) 3 5 2 2 (b) 3 5 3 5 2(c) Como 2 , 2 negativo. Por isso, 2 (2 ) 2.(d) Dado que x 5, x 5 positivo. Logo, x 5 x 5.(e) Dado que x 6, x (6) x 6 negativo. Desse modo, x 6 (x 6) x 6.

* N. de T.: Existem demonstraes bem conhecidas para a irracionalidade de , mas este um contedo que foge do escopo deste livro.


PR-CLCULO6

Problemas Complementares 1.9 Identifique a lei que justifica cada uma das seguintes sentenas:

(a) (2x 3) 5 2x (3 5) (b) 2x (5 3x) 2x (3x 5)(c) x2(x y) x2 x x2 y (d) 100[0,01(50 x) ] [100(0,01)](50 x)(e) Se a b 0, ento b a. (f) Se (x 5)(x 3) 0, ento x 5 0 ou x 3 0.Resp. (a) Lei associativa para adio (b) Lei comutativa para adio (c) Lei distributiva (d) Lei associativa para multiplicao. (e) Lei de inverso para adio (f) Lei de fator zero

1.10 As seguintes sentenas so verdadeiras ou falsas?(a) 3 um nmero real. (b) 3,14(c) x 5 x 5 (d) Todo nmero racional tambm um nmero complexo.Resp. (a) verdadeira; (b) falsa; (c) falsa; (d) verdadeira

1.11 Insira a desiguadade adequada entre os nmeros que se seguem:(a) 9 ? 8 (b) ? 4 (c) ? 0,33 (d) ? (e) 1,414 ? Resp. (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e)

1.12 Mostre que se ad bc, ento . (Sugesto: Assuma, por hiptese, que ad bc; em seguida comece com ab1 e transforme essa expresso em cd 1, por analogia ao Problema 1.4.)

1.13 Prove que consequncia da lei que diz que se, e somente se, ad bc.

1.14 Reescreva o que se segue sem usar o smbolo de valor absoluto e, ento, simplifique:(a) (5) [(9)] (b) 1,4(c) 6 x, se x 6 (d) 4 x2Resp. (a) 14; (b) 1,4 ; (c) x 6; (d) 4 x2

1.15 Calcule (a) (b) (c) Resp. (a) 94; (b) 23; (c) 1936

1.16 Considere o conjunto (a) Quais elementos desse conjunto pertencem a N?(b) Quais elementos desse conjunto pertencem a Z?(c) Quais elementos desse conjunto pertencem a Q?(d) Quais elementos desse conjunto pertencem a H?Resp. (a) (b) (c) (d)

1.17 Um conjunto fechado em relao a uma operao se o resultado da aplicao dela para quaisquer elementos do con-junto tambm pertence ao conjunto. Logo, os inteiros Z so fechados em relao a , enquanto os nmeros irracionais H no so, uma vez que, por exemplo, () 0 , que no irracional. Identifique como verdadeiro ou falso:(a) Z fechado em relao a multiplicao.(b) H fechado em relao a multiplicao.(c) N fechado em relao a subtrao.(d) Q fechado em relao a adio.(e) Q fechado em relao a multiplicao.Resp. (a) verdadeiro; (b) falso; (c) falso; (d) verdadeiro; (e) verdadeiro


Polinmios

Captulo 2

DEFINIO DE POLINMIOUm polinmio uma expresso que pode ser escrita como um termo ou uma soma de termos da forma

sendo a uma constante e variveis. Um polinmio de um termo chamado de monmio. Um polinmio de dois termos dito binmio. Um polinmio com trs termos chamado de trinmio.

Exemplo 2.1 so monmios.

Exemplo 2.2 so binmios.

Exemplo 2.3 so trinmios.

O GRAU DE UM TERMOO grau de um termo em um polinmio o expoente da varivel ou, se houver mais de uma varivel, a soma dos expoentes das variveis. Se no houver variveis em um termo, ele chamado de constante. O grau de um termo constante 0.

Exemplo 2.4 (a) 3x8 tem grau 8; (b) 12xy2z2 tem grau 5; (c) tem grau 0.

O GRAU DE UM POLINMIOO grau de um polinmio com mais de um termo o maior dos graus dos termos individuais.

Exemplo 2.5 (a) x4 3x2 250 tem grau 4; (b) x3y2 30x4 tem grau 5; (c) 16 x x10 tem grau 10; (d) x3 3x2h 3xh2 h3 tem grau 3.

TERMOS SEMELHANTES E DISSEMELHANTESDois ou mais termos so chamados de semelhantes se so constantes ou se contm as mesmas variveis elevadas aos mesmos expoentes, diferindo apenas, se for o caso, em seus coeficientes constantes. Termos que no so seme-lhantes so ditos dissemelhantes.

Exemplo 2.6 3x e 5x, 16x2y e 2x2y, tu5 e 6tu5 so exemplos de termos semelhantes. 3 e 3x, x2 e y2, a3b2 e a2b3 so exemplos de termos dissemelhantes.


PR-CLCULO8

ADIOA soma de dois ou mais polinmios obtida por combinao de termos semelhantes. A ordem irrelevante, mas polinmios de uma varivel so geralmente escritos em ordem decrescente dos graus de seus termos. Um polin-mio de uma varivel x sempre pode ser escrito na forma:

Essa maneira de escrever dita padro. O grau de um polinmio escrito na forma padro imediatamente identificado como n.

Exemplo 2.7 (grau 4)

Exemplo 2.8

SUBTRAOA diferena entre dois polinmios conseguida usando a definio de subtrao: A B A(B). Observe que para subtrair B de A, escreve-se A B.

Exemplo 2.9

MULTIPLICAOO produto de dois polinmios obtido pelo uso de vrias formas da propriedade distributiva, bem como pelo em-prego da primeira lei para expoentes:

Exemplo 2.10

Exemplo 2.11 Multiplique: (x 2y)(x3 3x2y xy2)

Frequentemente uma disposio vertical empregada para essa situao:

DISTRIBUTIVIDADE DUPLA*Distributividade dupla para multiplicao de dois binmios:

* N. de T.: Na verso original, FOIL (First Outer Inner Last). Neste livro, optamos por uma traduo no literal.


CAPTULO 2 POLINMIOS 9

Exemplo 2.12 (2x 3)(4x 5) 8x2 10x 12x 15 8x2 22x 15

PRODUTOS NOTVEIS

FATORAOFatorar polinmios corresponde ao processo inverso do uso das leis de distributividade da multiplicao. Um poli-nmio que no pode ser fatorado* dito primo. Tcnicas usuais de fatorao incluem colocar em evidncia um fator comum, fatorar por agrupamento, reverter os processos usuais envolvendo o uso da distributividade dupla e formas notveis de fatorao.

Exemplo 2.13 Colocando em evidncia um fator monomial comum: 3x5 24x4 12x3 3x3(x2 8x 4)

Exemplo 2.14 Colocando em evidncia um fator no monomial comum:

importante observar que o fator comum em tais problemas consiste de bases elevadas ao menor expoente presen-te em cada termo.

Exemplo 2.15 Fatorando por agrupamento:

O reverso da distributividade dupla segue o padro abaixo:

Exemplo 2.16 Reverta a distributividade dupla: (a) Para fatorar x2 15x 50, encontre dois fatores de 50 que somam 15: 5 e 10.

(b) Para fatorar 4x2 11xy 6y2, encontre dois fatores para 4 6 24 que somam 11: 8 e 3.

* N. de T.: A rigor, todo polinmio pode ser fatorado, pois todo polinmio p pode ser escrito da forma p (1 0). O autor est se referindo a formas no triviais de fatorao.


PR-CLCULO10

FORMAS ESPECIAIS DE FATORAO

ESTRATGIA DE FATORAO GERALPasso 1 Coloque em evidncia todos os fatores comuns a todos os termos.Passo 2 Observe o nmero de termos.Se o polinmio remanescente aps o passo 1 tem dois termos, procure por uma diferena de dois quadrados ou a soma ou diferena entre dois cubos.Se o polinmio remanescente aps o passo 1 tem trs termos, procure por um quadrado perfeito ou tente rever-ter a distributividade dupla.Se o polinmio remanescente aps o passo 1 tem quatro ou mais termos, tente fatorar por agrupamento.


2.1 Determine o grau de: (a) 12; (b) 35x3; (c) 3x3 5x4 3x2 9; (d) x8 64(a) Esse polinmio tem um termo e nenhuma varivel. O grau 0.(b) Esse polinmio tem um termo. O expoente da varivel 3. O grau 3.(c) Esse polinmio tem quatro termos de graus 3, 4, 2 e 0, respectivamente. O maior grau 4 e, portanto, o grau do

polinmio 4.(d) Esse polinmio tem dois termos de graus 8 e 0, respectivamente. O maior 8 e, portanto, o grau do polinmio 8.

2.2 Encontre o grau de: (a) x2y (b) xy y3 7 (c) x4 4x3h 6x2h2 4xh3 h4

(a) Esse polinmio tem um termo. A soma dos expoentes das variveis 21 3 e, portanto, o grau do polinmio 3.(b) Esse polinmio tem trs termos de graus 2, 3 e 0, respectivamente. O maior deles 3, o que implica que o grau do

polinmio 3.(c) Esse polinmio tem cinco termos de grau 4 cada e, por isso, o grau do polinmio 4.

2.3 Se A x2 6x 10 e B 3x3 7x2 x 1, calcule (a) A B (b) A B.(a)

(b)

2.4 Some 8x3 y3 e x2 5xy2 y3.

2.5 Subtraia 8x3 y3 de x2 5xy2 y3.



2.6 Simplifique: 3x2 5x (5x 8 (8 5x2 (3x2 x 1)))

2.7 Multiplique: (a) 12x2(x2 xy y2); (b) (a b)(2a 3); (c) (3x 1)(4x2 8x 3)(a) 12x2(x2 xy y2) 12x2 x2 12x2 xy 12x2 y2 12x4 12x3y 12x2y2

(b) (a b)(2a 3) a(2a 3) b(2a 3) 2a2 3a 2ab 3b

(c) (3x 1)(4x2 8x 3) (3x 1)4x2 (3x 1)8x (3x 1)3 12x3 4x2 24x2 8x 9x 3 12x3 28x2 17x 3

2.8 Multiplique usando uma disposio vertical: (4 p 3q)(2 p3 p2q pq2 2q3)

2.9 Multiplique: (a) (cx d)(cx d); (b) (3x 5)2; (c) (2t 5)(4t2 10t 25);(d) 4(2x)(1 x2)3; (e) [(r s) t][(r s) t](a) (cx d)(cx d) (cx)2 d2 c2x2 d2

(b) (3x 5)2 (3x)2 2(3x 5 52 9x2 30x 25(c) (2t 5)(4t2 10t 25) (2t)3 53 8t3 125 usando o padro da diferena de dois cubos.(d) 4(2x)(1 x2)3 8x(1 x2)3

8x(1 3x2 3x4 x6) usando o padro do cubo de uma diferena. 8x 24x3 24x5 8x7

(e) [(r s) t][(r s) t] (r s)2 t2 r2 2rs s2 t2 usando o padro da diferena de dois quadrados, seguido pelo quadrado de uma diferena.

2.10 Faa as operaes indicadas: (a) (x h)3 (x h)3; (b) (1 t)4.(a) (x h)3 (x h)3 (x3 3x2h 3xh2 h3) (x3 3x2h 3xh2 h3)

x3 3x2h 3xh2 h3 x3 3x2h 3xh2 h3 6x2h 2h3

(b) (1 t)4 ((1 t)2)2 (1 2t t2)2 (1 2t)2 2(1 2t)t2 t4 1 4t 4t2 2t2 4t3 t4 1 4t 6t2 4t3 t4

2.11 Fatore: (a) 15x4 10x3 25x2; (b) x2 12x 20; (c) 9x2 25y2;(d) 6x5 48x4 54x3; (e) 5x2 13xy 6y2; (f) P(1 r) P(1 r)r; (g) x3 64;(h) 3(x 3)2(x 8)4 4(x 3)3(x 8)3; (i) x4 y4 x3 xy2; (j) x6 64y6


PR-CLCULO12

(a) 15x4 10x3 25x2 5x2(3x2 2x 5). Aps colocar em evidncia o fator comum, o polinmio remanescente primo.

(b) x2 12x 20 (x 10)(x 2) usando a fatorao pelo inverso da dupla distributividade.(c) 9x2 25y2 (3x)2 (5y)2 (3x 5y)(3x 5y) usando a diferena padro de dois quadrados.(d) 6x5 48x4 54x3 6x3(x2 8x 9) 6x3(x 9)(x 1) colocando em evidncia o fator comum e, ento, usando

a fatorao pelo inverso da dupla distributividade.(e) 5x2 13xy 6y2 (5x 3y)(x 2y) usando a fatorao pelo inverso da dupla distributividade.(f) P(1 r) P(1 r)r P(1 r)(1 r) P(1 r)2. Aqui, o fator comum P(1 r) foi colocado em evidncia em

ambos os termos.(g) x3 64 (x 4)(x2 4x 16) usando a diferena padro de dois cubos.(h) Colocando em evidncia o fator comum em ambos os termos e combinando termos no fator remanescentes, temos:

(i) x4 y4 x3 xy2 (x4 y4) (x3 xy2) (x2 y2)(x2 y2) x(x2 y2) (x2 y2)(x2 y2 x) (x y)(x y)(x2 y2 x)

(j) x6 64y6 (x3 8y3)(x3 8y3) (x 2y)(x2 2xy 4y2)(x 2y)(x2 2xy 4y2)

2.12 Uma tcnica especial de fatorao que ocasionalmente empregada envolve a soma de um termo para transformar um polinmio em um quadrado perfeito, seguida de uma subtrao daquele mesmo termo. Se o termo somado ele prprio um quadrado perfeito, ento o polinmio original pode ser fatorado como a diferena de dois quadrados. Ilustre essa tcnica para (a) x4 4y4; (b) x4 2x2y2 9y4.(a) Como x4 4y4 (x2)2 (2y2)2, somar 2x2(2y2) 4x2y2 transforma o polinmio em um quadrado perfeito.

Subtraindo esse termo tem-se uma diferena de dois quadrados, a qual pode ser fatorada:

(b) Se o termo do meio desse polinmio fosse 6x2y2 no lugar de 2x2y2, o polinmio seria um quadrado perfeito. Portanto, somando e subtraindo 4x2y2, tem-se uma diferena de dois quadrados, a qual pode ser fatorada:

Problemas Complementares 2.13 Encontre o grau de (a) 8; (b) 8x7; (c) 5x2 5x 5; (d) 52 5 5; (e) x2 2xy y2 6x 8y 25

Resp. (a) 0; (b) 7; (c) 2; (d) 0; (e) 2

2.14 Sejam P um polinmio de grau m e Q um polinmio de grau n. Prove que (a) PQ um polinmio de grau mn; (b) o grau de PQ menor ou igual ao maior valor entre m e n.

2.15 Sejam A x2 xy 2y2, B x3 y3, C 2x2 5x 4, D 3x2 2y2. Calcule



(a) AD; (b) BD; (c) B Cx; (d) x2 A2 B2; (e) AD B2

Resp. (a) 4x2 xy; (b) 3x5 2x3y2 3x2y3 2y5; (c) x3 y3 5x2 4x; (d) 2x5y 5x4y2 2x3y3 4x2y4 y6; (e) 3x4 3x3y 4x2y2 2xy3 4y4 x6 2x3y3 y6

2.16 Usando as expresses do problema anterior, subtraia C da soma de A com D.

Resp. 2x2 xy 5x 4

2.17 Faa as operaes indicadas: (a) (x 5)2; (b) 2x (x 3)2; (c) 5a(2a 1)2 3(a 2)3; (d) (4x 1)3 2(4x 1)2

Resp. (a) x2 10x 25; (b) x2 8x 9; (c) 17a3 2a2 31a 24; (d) 64x3 80x2 28x 3

2.18 Faa as operaes indicadas: (a) (b) (c) (d) (e)

Resp. (a) (b) (c) (d) (e)

2.19 Faa as operaes indicadas: (a) (x h)2 (y k)2; (b) (x h)4 x4;(c) R2 (R x)2; (d) (ax by c)2

Resp. (a) x2 2xh h2 y2 2yk k2; (b) 4x3h 6x2h2 4xh3 h4; (c) 2Rx x2; (d) a2x2 b2y2 c2 2abxy 2acx 2bcy

2.20 Fatore: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) (f) ; (g) ; (h) ; (i) Resp. (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ; (h) ; (i)

2.21 Fatore: (a) t2 6t 27; (b) 4x3 20x2 24x; (c) 3x2 x 14; (d) 5x2 3x 14; (e) 4x6 37x3 9; (f) (x 2)3 (x 2)2; (g) x2 6x 9 y2 2yz z2; (h) 16x4 x2y2 y4

Resp. (a) (t 9)(t 3); (b) 4x(x 1)(x 6); (c) (3x 7)(x 2); (d) (5x 7)(x 2); (e) (4x3 1)(x3 9); (f) (x 2)2(x 3); (g) (x 3 y z)(x 3 y z); (h) (4x2 y2 3xy)(4x2 y2 3xy)

2.22 Fatore: (a) x2 6xy 9y2; (b) x4 5x2 4; (c) x4 3x2 4; (d) x3 y3 x2 y2; (e) P Pr (P Pr)r [P Pr (P Pr)r]r; (f) a6x6 64y6; (g) a6x6 64y6

Resp. (a) (x 3y)2; (b) (x 1)(x 1)(x 2)(x 2); (c) (x 2)(x 2)(x2 1); (d) (x y)(x2 xy y2 x y); (e) P(1 r)3; (f) (ax 2y)(ax 2y)(a2x2 2axy 4y2)(a2x2 2axy 4y2); (g) (a2x2 4y2)(a4x4 4a2x2y2 16y4)


PR-CLCULO14

2.23 Fatore: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e)

Resp. (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e)


Expoentes

Captulo 3

EXPOENTES NATURAISExpoentes naturais so definidos por:

(n fatores de x)

Exemplo 3.1 (a) x5 xxxxx; (b) 5x4yz3 5xxxxyzzz; (c) 5a3b 3(2ab)3 5aaab 3(2ab)(2ab)(2ab)

EXPOENTE ZEROx0 1 para qualquer nmero real x diferente de zero. 00 no definido.

EXPOENTES INTEIROS NEGATIVOSExpoentes inteiros negativos so definidos por:

para qualquer real no nulo x

0n no definido para qualquer inteiro positivo n

Exemplo 3.2 (a) (b) (c) (d)

(e)

EXPOENTES RACIONAISx1/n, a raiz n-sima de x, definida, sendo n um inteiro maior que 1, como se segue:

Se n mpar, x1/n o nico nmero real y que, elevado potncia n, igual a x. Se n par, ento,

se x 0, x1/n o nmero real positivo y que, elevado potncia n, igual a x;se x 0, x1/n 0;se x 0, x1/n no um nmero real.

Nota: A raiz n-sima de um nmero positivo positiva.

Exemplo 3.3 (a) 81/3 2; (b) (8)1/3 2; (c) 81/3 2; (d) 161/4 2; (e) (16)1/4 no um nmero real; (f)161/4 2xm/n definido por: xm/n (x1/n)m, desde que x1/n seja real.


PR-CLCULO16

Exemplo 3.4 (a) (b) (c) no um n-mero real.

LEIS PARA EXPOENTESPara a e b nmeros racionais e x e y nmeros reais (evitando razes pares de nmeros negativos e diviso por zero):

No caso geral, xm/n (x1/n)m (xm)1/n, desde que x1/n seja real.A menos que se especifique o contrrio, geralmente assume-se que as bases representam nmeros positivos.

Com essa conveno, ento, escreve-se (xn)1/n x. Porm, se essa conveno no vale, ento:

Exemplo 3.5 Se x positivo: (a) (x2)1/2 x; (b) (x3)1/3 x; (c) (x4)1/2 x2; (d) (x6)1/2 x3

Exemplo 3.6 Para x qualquer: (a) (x2)1/2 x; (b) (x3)1/3 x; (c) (x4)1/2 x2 x2; (d) (x6)1/2 x3

NOTAO CIENTFICAAo se lidar com nmeros muito grandes ou muito pequenos, a notao cientfica frequentemente usada. Um n-mero escrito em notao cientfica quando expresso na forma de um nmero entre 1 e 10 multiplicado por uma potncia de 10.

Exemplo 3.7 (a) 51.000.000 5,1 107; (b) 0,000 000 000 035 2 3,52 1011;

(c)


Nos problemas seguintes, bases so assumidas como positivas, a menos que seja dito o contrrio:

3.1 Simplifique: (a) 2(3x2y)3(x4y3)2; (b)

(a) 2(3x2y)3(x4y3)2 2 33x6y3 x8y6 54x14y9; (b)

3.2 Simplifique e escreva com expoentes positivos: (a) (b) (c) (x2 y2)2;(d) (3x5)2(5y4)3; (e) (x2 y2)2; (f)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


CAPTULO 3 EXPOENTES 17

3.3 Simplifique: (a) x1/2x1/3; (b) x2/3 / x5/8; (c) (x4y4)1 / 2; (d) (x4 y4)1 / 2

(a) (b) (c) (d)

3.4 Simplifique: (a) 3x2/3y3/4(2x5/3y1/2)3; (b) (a) 3x2/3y3/4(2x5/3y1/2)3 3x2/3y3/4 8x5y3/2 24x17/3y9/4;(b)

3.5 Simplifique: (a) x2/3(x2 x 3); (b) (x1/2 y1/2)2; (c) (x1/3 y1/3)2; (d) (x2 y2)1/2(a) x2/3(x2 x 3) x2/3x2 x2/3x 3x2/3 x8/3 x5/3 3x2/3(b) (x1/2 y1/2)2 (x1/2)2 2x1/2y1/2 (y1/2)2 x 2x1/2y1/2 y(c) (x1/3 y1/3)2 (x1/3)2 2x1/3y1/3 (y1/3)2 x2/3 2x1/3y1/3 y2/3(d) Essa expresso no pode ser simplificada.

3.6 Fatore: (a) x4 3x2 2; (b) x2/3 x1/3 6; (c) x11/3 7x8/3 12x5/3(a) x4 3x2 2 (x2 1)(x2 2) usando a fatorao pelo inverso da dupla distributividade.(b) x2/3 x1/3 6 (x1/3 3)(x1/3 2) usando a fatorao pelo inverso da dupla distributividade.(c) x11/3 7x8/3 12x5/3 x5/3(x2 7x 12) x5/3(x 3)(x 4) colocando em evidncia o fator monomial comum

e, ento, usando a fatorao pelo inverso da dupla distributividade.

3.7 Coloque os fatores comuns em evidncia: (a) (x 2)2 (x 2)3; (b) 6x5y3 3y4x6; (c) 4(3x 2)33(x 5)3 3(x 5)4(3x 2)4; (d) 5x3(3x 1)2/3 3x2(3x 1)5/3O fator comum em tais problemas, exatamente como nos problemas anlogos envolvendo polinmios, con-siste de cada base elevada ao menor expoente presente em cada termo.(a) (x 2)2 (x 2)3 (x 2)3[(x 2) 2 (3) 1] (x 2)3(x 2 1) (x 2)3(x 3)(b) 6x5y3 3y4x6 3x5y4(2y 3 (4) x6 5) 3x5y4(2y x)(c)

(d)

3.8 Simplifique: (a) (b) (c)

(a) (b)

(c)

3.9 Simplifique sem considerar que as variveis das bases so positivas:(a) (x4)1/4; (b) (x2y4z6)1/2; (c) (x3y6z9)1/3; (d) [x(x h)2]1/2

(a) (x4)1/4 x; (b) (x2y4z6)1/2 (x2)1/2(y4)1/2(z6)1/2 x y2 z3 xy2z3; (c) (x3y6z9)1/3 (x3)1/3(y6)1/3(z9)1/3 xy2z3;

(d) [x(x h)2]1/2 x1/2[(x h)2]1/2 x1/2 x h


PR-CLCULO18

3.10 (a) Escreva em notao cientfica: a velocidade da luz 186.000 mi/s*. (b) Calcule o nmero de segun-dos em um ano e escreva a resposta em notao cientfica. (c) Expresse a distncia que a luz percorre em um ano em notao cientfica.(a) Movendo a vrgula decimal para a direita do primeiro dgito no nulo corresponde a um desvio de cinco casas:

assim, 186.000 mi/s 1,86 105 mi/s.(b) 1 ano 365 dias 24 horas/dia 60 minutos/hora 60 segundos/minuto 31.536.000 segundos 3,15 107

segundos.(c) Como distncia velocidade tempo, a distncia que a luz percorre em 1 ano (1,86 105 mi/s) (3,15 107 s)

5,87 1012 mi.

Problemas Complementares

3.11 Simplifique: (a) (b)

Resp: (a) (b)

3.12 Simplifique: (a) (b)

Resp: (a) (b)

3.13 Simplifique, assumindo que todas as variveis so positivas: (a) (b) (c) (d)

Resp: (a) (b) (c) (d)

3.14 Simplifique, assumindo que todas as variveis so positivas: (a) (b)

Resp. (a) (b)

3.15 Calcule: (a) 251/2 161/2; (b) (25 16)1/2; (c) 163/4 163/4

Resp. (a) (b) (c)

3.16 Simplifique: (a) x0 y0 (x y)0; (b) (c) (d)

Resp. (a) 3; (b) (c) (d)

3.17 Obtenha as leis e a partir da definio de expoentes negativos e operaes usuais entre fra-es.

3.18 Faa as operaes indicadas: (a) (x1/2 y1/2)(x1/2 y1/2); (b) (x1/3 y1/3)(x1/3 y1/3);(c) (x1/3 y1/3)(x2/3 x1/3y1/3 y2/3); (d) (x1/3 y1/3)(x2/3 x1/3y1/3 y2/3); (e) (x2/3 y2/3)3

Resp. (a) x y; (b) x2/3 y2/3; (c) x y; (d) x 2x2/3y1/3 2x1/3y2/3 y; (e) x2 3x4/3y2/3 3x2/3y4/3 y2

3.19 Coloque em evidncia os fatores comuns: (a) x8y7 x7y8; (b) x5/3y3 x2/3y2;(c) xp q xp; (d) 4(x2 4)3/2(3x 5)1/3 (3x 5)4/3(x2 4)1/23x

Resp. (a) x8y8(y x); (b) x5/3y2(y x); (c) xp(xq 1); (d) (3x 5)1/3(x2 4)1/2(13x2 15x 16)

* N. de T.: Esta unidade, mi/s, significa milha(s) por segundo.


CAPTULO 3 EXPOENTES 19

3.20 Coloque em evidncia os fatores comuns: (a) x5 2x4 2x3; (b) 6x2(x2 1)3/2 x3(x2 1)1/2(6x);(c) 4x5(1 x2)3 x4(6x)(1 x2)2; (d) x4(1 2x)3 / 2 4x5(1 2x)1/2

Resp. (a) x5(1 2x 2x2); (b) 6x2(x2 1)1/2(2x2 1); (c) 2x5(1 x2)2(5x2 2); (d) x5(1 2x)3/2(9x 4)

3.21 Coloque em evidncia os fatores comuns:(a) (b)

Resp. (a) (b)

3.22 Coloque em evidncia os fatores comuns:(a) (b) (c)

Resp. (a) (b) (c)

3.23 Simplifique e escreva em notao cientfica: (a) (7,2 103)(5 1012);

(b) (7,2 103) (5 1012); (c)

Resp. (a) 3,6 1010; (b) 1,44 1015; (c) 8 1010

3.24 H aproximadamente 6,01 1023 tomos de hidrognio em um grama de hidrognio. Calcule a massa aproximada, em gramas de um tomo de hidrognio.

Resp. 1,67 1024 gramas.

3.25 De acordo com o Departamento de Comrcio dos Estados Unidos, o Produto Interno Bruto (PIB) norte-americano em 2006 foi de US$13.509.000.000.000. De acordo com a Secretaria de Censo, a populao dos Estados Unidos era de 300.000.000 (outubro de 2006). Escreva esses valores em notao cientfica e use o resultado para estimar o PIB por pessoa no ano em questo.

Resp. 1,3509 1013, 3 108, 4,503 104 ou US$45.030

3.26 Em 2007, os Estados Unidos aumentou seu limite de dvida federal para US$8.965.000.000.000. Enquanto isso, a po-pulao do pas cresceu para 301.000.000. Escreva esses valores em notao cientfica e use o resultado para estimar o valor da frao da dvida de cada um dos habitantes.

Resp. 8,965 1012, 3,01 108, 2,9784 104 ou US$29.784


UMA EXPRESSO RACIONALUma expresso racional aquela que pode ser escrita como o quociente de dois polinmios (portanto, qualquer polinmio tambm uma expresso racional). Expresses racionais so definidas para todos os valores reais das variveis, exceto aqueles que tornam o denominador igual a zero.

Exemplo 4.1 so exem-plos de expresses racionais.

PRINCPIO FUNDAMENTAL DAS FRAESPara quaisquer nmeros reais a, b, k (b, k 0)

Exemplo 4.2 Reduzindo a termos de menor grau:

OPERAES SOBRE EXPRESSES RACIONAISOperaes sobre espresses racionais (todos os denominadores so considerados diferentes de 0):

Nota: Na adio de expresses com denominadores distintos, o resultado geralmente escrito com termos do menor grau, e as expresses so construdas com termos de grau maior usando o mnimo mltiplo comum (MMC) entre os denominadores.

Exemplo 4.3 Subtrao:

FRAES COMPLEXASFraes complexas so expresses contendo fraes no numerador e/ou denominador. Elas podem ser reduzidas a fraes simples por dois mtodos:

Mtodo 1: Combine numerador e denominador como fraes e, ento, divida-as.

Captulo 4

Expresses Racionais e Radicais


CAPTULO 4 EXPRESSES RACIONAIS E RADICAIS 21

Exemplo 4.4

Mtodo 2: Multiplique numerador e denominador pelo MMC dos denominadores das fraes que esto sendo divididas e das fraes que dividem:

Exemplo 4.5

O mtodo 2 mais conveniente quando as fraes no numerador e denominador envolvem expresses muito simi-lares.

EXPRESSES RACIONAISExpresses racionais so frequentemente escritas em termos de expoentes negativos.

Exemplo 4.6 Simplifique: x3y5 3x4y6

Isso pode ser feito de duas maneiras: ou colocando em evidncia o fator comum de x4y5, como no captulo anterior, ou reescrevendo como a soma de duas expresses racionais:

EXPRESSES RADICAISPara um nmero natural n maior que 1 e um nmero real x, a raiz n-sima definida como:

Se n 2, escreva no lugar de .O smbolo chamado de radical, n o ndice e x o radicando.

PROPRIEDADES DE RADICAIS:

A menos que o contrrio seja especificado, normalmente assume-se que variveis na base representam nmeros reais no negativos.

A NOTAO MAIS SIMPLES PARA FORMA RADICALA notao mais simples para forma radical:

1. Nenhum radicando pode conter um fator com um expoente maior ou igual ao ndice do radical.


PR-CLCULO22

2. A potncia do radicando e o ndice do radical jamais podem ter em comum um fator diferente de 1. 3. Nenhum radical aparece no denominador. 4. Nenhuma frao aparece em um radical.

Exemplo 4.7 (a) viola a condio 1. Simplifica-se como:

(b) viola a condio 2. Simplifica-se como:

(c) viola a condio 3. Simplifica-se como:

(d) viola a condio 4. Simplifica-se como:

Satisfazer a condio 3 frequentemente mencionado como a racionalizao do denominador.

A expresso conjugada para um binmio da forma a b a expresso a b e reciprocamente.

Exemplo 4.8 Racionalize o denominador: Multiplique o numerador e o denominador pela expresso conjugada do denominador:

Nem sempre as expresses so escritas na notao mais simples para forma radical. Muitas vezes, importante racionalizar o numerador.

Exemplo 4.9 Racionalize o numerador: Multiplique o numerador e o denominador pela expresso conjugada do numerador.

CONVERSO DE EXPRESSES RADICAISConverso de expresses radicais para a forma exponencial:

Para m e n inteiros positivos (n 1) e x 0 quando n for par,

Reciprocamente,

Tambm,

Exemplo 4.10 (a) (b) (c)



OPERAES COM NMEROS COMPLEXOSNmeros complexos podem ser representados na forma padro abi. Desse modo, eles podem ser combinados usando as operaes definidas para nmeros reais, levando em conta a definio da unidade imaginria i: i2 1. O conjugado de um nmero complexo z denotado por . Se z abi, ento a bi

Exemplo 4.11 (a) Represente na forma padro. (b) Determine o conjugado de 3 7i. (c) Simpli-fique (3 4i)2. (a) (b) O conjugado de 3 7i 3 ( 7i), ou seja, 3 7i. (c) (3 4i)2 32 2 3 4i (4i)2 9 24i 16i2 9 24i 16 7 24i


4.1 Reduza a termos de menor grau: (a) (b) (c) (a) Fatore o numerador e o denominador e, ento, reduza o grau colocando em evidncia os fatores comuns:

(b)

(c)

4.2 Explique por que todo polinmio tambm uma expresso racional.Uma expresso racional aquela que pode ser escrita como o quociente de dois polinmios. Todo polinmio P pode ser escrito como P/1, sendo que o numerador e o denominador so polinmios; portanto, todo polinmio igualmente uma expresso racional.

4.3 Faa as operaes indicadas:

(a)

(b)

(c) (d)

(a) Fatore todos os numeradores e denominadores e, em seguida, reduza colocando em evidncia os fatores em comum.

(b) Troque a diviso por multiplicao e proceda como em (a).

(c) Encontre o mnimo mltiplo comum entre os denominadores e, ento, construa termos de grau maior e faa a sub-trao.


PR-CLCULO24

(d) Proceda como em (c).

4.4 Escreva cada frao complexa na forma de frao simples com termos de menor grau:

(a) Multiplique o numerador e o denominador por y, o nico denominador entre as fraes envolvidas na diviso:

(b) Multiplique o numerador e o denominador por (x 1)(x 1), o MMC entre os denominadores das fraes internas, ou seja, das que esto envolvidas na diviso:

(c) Combine o numerador e o denominador em razes simples e, ento, divida:

(d) Proceda como em (c):

4.5 Simplifique: (a) 3(x 3)2(2x 1)4 8(x 3)3(2x 1)5 (b) (a) Coloque em evidncia o fator comum (x 3)2(2x 1)5:

(b) Elimine os expoentes negativos e, em seguida, multiplique o numerador e o denominador por x2(x h)2, o MMC entre os denominadores das fraes internas:

4.6 Escreva na notao mais simples para forma radical:

(a)

(b) (c) (d)



(a) Coloque em evidncia o maior fator quadrado perfeito possvel e, ento, use a regra :

(b) Coloque em evidncia o maior fator cubo perfeito possvel e, ento, use a regra

(c) Construa termos de maior grau de modo que o denominador se torne um quadrado perfeito e, em seguida, use :

(d) Construa termos de maior grau de modo que o denominador seja um cubo perfeito e, em seguida, use :

4.7 Racionalize o denominador:

(a)

(b)

(c)

(d)

(a) Construa termos de maior grau de modo que o denominador se torne a raiz cbica de um cubo perfeito e, em seguida, reduza:

(b) Construa termos de maior grau usando , a expresso conjugada do denominador:

(c) Proceda como em (b):

(d) Proceda como em (b):

4.8 Racionalize o numerador:

(a)

(b)

(c)

(a) Construa termos de maior grau usando :

(b) Construa termos de maior grau usando a expresso conjugada do numerador:


PR-CLCULO26

(c) Proceda como em (b):

4.9 Escreva em notao exponencial: (a) (b) (a) (b)

4.10 Escreva como uma soma ou diferena de termos em notao exponencial:(a)

(b)

(a)

(b)

4.11 Escreva como uma nica frao de termos de menor grau possvel. No racionalize os denominadores.

(a) (b) (c)

(d)

(a)

(b) Multiplique o numerador e o denominador por , o nico denominador das fraes internas envolvidas:

(c) Reescreva em notao exponencial e coloque em evidncia o fator comum (x2 9)1/2 do denominador:

(d) Elimine os expoentes negativos e, em seguida, multiplique o numerador e o denominador por 3(x2 9)2/3, o nico denominador das fraes internas envolvidas:



4.12 Sejam z 4 7i e w 6 5i dois nmeros complexos. Calcule:(a) (b) (c) (d) (e) (a) z w (4 7i) ( 6 5i) 4 7i 6 5i 2 2i (b) w z ( 6 5i) (4 7i) 6 5i 4 7i 10 12i(c) Use distributividade dupla: wz ( 6 5i)(4 7i) 24 42i 20i 35i2 24 62i 35 11 62i(d) Para escrever o quociente entre dois nmeros complexos na forma padro, multiplique o numerador e o denominador

do quociente pelo conjugado do denominador:

(e) w2 ( 6 5i)2 36 60i 25i2 i(4 7i) 36 60i 25 4i 7 18 64i

Problemas Complementares 4.13 Reduza a termos de menor grau:

(a) (b) (c) (d)

Resp. (a) (b) (c) (d)

4.14 Faa as operaes indicadas:(a) (b)

(c) (d)

Resp. (a) (b) (c) (d)

4.15 Escreva como frao simples com termos de menor grau:

(a) (b) (c)

Resp. (a) (b) (c)

4.16 Escreva na notao mais simples em termos de menor grau:

(a) (b) (c)

Resp. (a) (b) (c)

4.17 Escreva na notao mais simples para forma radical: (a) (b) (c)

Resp. (a) (b) (c)

4.18 Racionalize o denominador: (a) (b)

Resp. (a) (b)


PR-CLCULO28

4.19 Racionalize o numerador: (a) (b) (c)

(a) (b) (c)

4.20 Escreva como soma ou diferena de termos em notao exponencial: (a) (b)

Resp. (a) (b)

4.21 Escreva como frao simples de termos de menor grau. No racionalize os denominadores.

(a) (b)

Resp. (a) (b)

4.22 Escreva como uma frao simples em termos de menor grau. No racionalize os denominadores:

(a) ; (b) ;

(c)

Resp. (a) (b) (c)

4.23 Sejam z 5 2i e w 3 i. Escreva na forma padro de nmeros complexos:(a) z w; (b) z w; (c) zw; (d) z/w

Resp. (a) (b) (c) (d)

4.24 Escreva na forma padro para nmeros complexos:(a) (b) (c) (d)

Resp. (a) (b) (c) (d)

4.25 Sendo z e w nmeros complexos, mostre que:(a) (b) (c) (d) (e) se, e somente se, z for um nmero real.


EQUAESToda equao uma declarao de que duas expresses so iguais. Uma equao contendo variveis, em geral, no verdadeira nem falsa; a questo de ser verdadeira depende do(s) valor(es) da(s) varivel(eis). Para equaes de uma varivel, o valor da varivel que torna a equao verdadeira dito soluo da equao. O conjunto de todas as solues chamado de conjunto soluo da equao. Uma equao verdadeira para todos os valores das variveis, de tal modo que esses valores faam sentido quando associados s variveis, chama-se identidade.

EQUAES EQUIVALENTESEquaes so equivalentes se admitem os mesmos conjuntos soluo.

Exemplo 5.1 As equaes x 5 e x 5 0 so equivalentes. Cada uma tem o conjunto soluo {5}.

Exemplo 5.2 As equaes x 5 e x2 25 no so equivalentes; a primeira tem o conjunto soluo {5}, j a segunda tem o conjunto soluo {5, 5}.O processo de resolver uma equao consiste em transform-la em uma equao equivalente cuja soluo bvia. Operaes de transformao de uma equao em uma equao equivalente incluem:

1. Adicionar o mesmo nmero a ambos os lados. Assim, as equaes a b e a c b c so equivalentes. 2. Subtrair o mesmo nmero de ambos os lados. Desse modo, as equaes a b e a c b c so equivalentes. 3. Multiplicar ambos os lados pelo mesmo nmero no nulo. Logo, as equaes a b e ac bc (c 0), so

equivalentes. 4. Dividir ambos os lados pelo mesmo nmero no nulo. Logo, as equaes a b e , so equiva-

lentes. 5. Simplificar expresses em um dos lados de uma equao.

EQUAES LINEARESUma equao linear aquela que est na forma ax b 0, ou que pode ser transformada em uma equao equivalen-te nessa forma. Se a 0, uma equao linear tem exatamente uma soluo. Se a 0, a equao no tem soluo, a menos que b 0, caso no qual a equao uma identidade. Uma equao que no linear chamada de no linear.

Exemplo 5.3 2x 6 0 um exemplo de uma equao linear de uma varivel. Ela tem uma soluo, 3. O conjunto soluo {3}.

Exemplo 5.4 x2 16 um exemplo de uma equao no linear de uma varivel. Ela admite duas solues, 4 e 4. O conjunto soluo {4, 4}.

Equaes Lineares e No Lineares

Captulo 5


PR-CLCULO30

Equaes lineares so resolvidas pelo processo de isolar a varivel. A equao transformada em equaes equi-valentes por simplificao, combinando todos os termos com varivel em um lado, todos os termos constantes no outro lado e, ento, dividindo ambos os lados pelo coeficiente da varivel.

Exemplo 5.5 Resolva a equao 3x 8 7x 9.

EQUAES QUADRTICASUma equao quadrtica aquela que est na forma ax2 bx c 0, (a 0), (forma padro), ou que pode ser transformada nessa forma. H quatro mtodos para resolver equaes quadrticas.

1. Fatorando. Se o polinmio ax2 bx c tem fatores lineares com coeficientes racionais, escreva-o na forma fatorada e, ento, aplique a propriedade de fator zero, que diz que AB 0 se, e somente se, A 0 ou B 0.

2. Propriedade da raiz quadrada. Se a equao est na forma A2 b, sendo b uma constante, ento suas solues so dadas por A e A , geralmente representadas por A .

3. Completando o quadrado. a. Escreva a equao na forma x2 px q. b. Adicione p2/4 a ambos os lados para formar x2 px p2/4 q p2/4. c. O lado esquerdo agora um quadrado perfeito. Escreva (x p/2)2 q p2/4 e use a propriedade da raiz

quadrada. 4. Frmula quadrtica.* As solues de ax2 bx c 0, (a 0) podem ser sempre escritas como:

Em geral, uma equao quadrtica verificada primeiramente buscando-se saber se a mesma facilmente fator-vel. Se for, o mtodo de fatorao empregado; caso contrrio, a frmula quadrtica usada.

Exemplo 5.6 Resolva 3x2 5x 2 0

Exemplo 5.7 Resolva x2 5x 2 0

Na frmula quadrtica, a quantidade b2 4ac conhecida como discriminante. O sinal dessa quantidade determi-na o nmero de solues de uma equao quadrtica:

Sinal do discriminante Nmero de solues reaispositivo 2

zero 1negativo 0

* N. de T.: No Brasil, essa frmula conhecida como frmula de Bhaskara.


CAPTULO 5 EQUAES LINEARES E NO LINEARES 31

Ocasionalmente, solues complexas so de interesse. Logo, o discriminante determina o nmero e o tipo de solues:

Sinal do discriminante Nmero e tipo de solues reaispositivo duas solues reais

zero uma soluo realnegativo duas solues imaginrias

Exemplo 5.8 Para x2 8x 25 0, encontre (a) todas as solues reais; (b) todas as solues complexas. Use a frmula quadrtica com a 1, b 8, c 25.

(a) (b)

Muitas equaes que, primeira vista, no so lineares nem quadrticas podem ser reduzidas a tais casos ou podem ser resolvidas pelo mtodo de fatorao.

Exemplo 5.9 Resolva

EQUAES CONTENDO RADICAISEquaes contendo radicais demandam uma operao adicional. Em geral, a equao a b no equivalente equao an bn; contudo, se n mpar, elas tm as mesmas solues reais. Se n par, todas as solues de a b esto presentes entre as solues de an bn. Logo, permitido que se elevem ambos os lados de uma equao a uma potncia mpar, e igualmente permitido elevar ambos os lados a uma potncia par se todas as solues da equao resultante forem verificadas para determinar se so, ou no, solues da equao original.

Exemplo 5.10 Resolva

Verificao:


PR-CLCULO32

APLICAES: FRMULAS, EQUAES LITERAIS E EQUAES COM MAIS DE UMA VARIVELNessas situaes, so usadas letras como coeficientes no lugar de nmeros especficos. Contudo, os procedimentos de resoluo em relao a uma varivel especificada so essencialmente os mesmos; as demais variveis so sim-plesmente tratadas como constantes.

Exemplo 5.11 Resolva A PPrt em relao a P.Essa equao linear em relao a P, a varivel especificada. Fatore P e, ento, divida pelo coeficiente de P.

Exemplo 5.12 Resolva em relao a t.Essa equao quadrtica em relao a t, a varivel especificada. Isole t2 e, em seguida, aplique a propriedade da raiz quadrada.

Frequentemente, mas nem sempre, em situaes que envolvem aplicaes, apenas as solues positivas so consi-deradas:

APLICAES: PROBLEMAS COLOCADOS EM LINGUAGEM NATURALAqui, uma situao descrita e questes so apresentadas em linguagem coloquial. necessrio criar um modelo da situao usando variveis que representam quantidades desconhecidas, construir uma equao (posteriormente, veremos que pode ser uma inequao ou um sistema de equaes) que descreve a relao entre as quantidades, resolver a equao e, ento, interpretar a soluo com o propsito de responder as questes originais.*

Exemplo 5.13 Um tringulo retngulo tem lados cujos comprimentos so trs pares inteiros consecutivos. En-contre os comprimentos dos lados.

Esboce uma figura como a Fig. 5-1:

Sejam x comprimento do lado menor x 2 comprimento do lado seguinte

x 4 comprimento da hipotenusa

Figura 5-1

* N. de T.: Essa traduo da linguagem natural (no caso, o portugus) para uma linguagem algbrica geralmente no nada fcil de ser feita. Neste livro, apenas exemplos bastante simples so explorados.



Agora use o teorema de Pitgoras. Em um tringulo retngulo com lados a, b, c, a2 b2 c2. Logo:

A resposta negativa descartada. Assim, os comprimentos dos lados so x 6, x 2 8 e x 4 10.


5.1 Resolva:

5.2 Resolva: 2(3x 4) 5(6x 7) 7(5x 4) 1 xRemova os parnteses e combine termos semelhantes.

Esta afirmao verdadeira para todos os valores (reais) da varivel; a equao uma identidade.

5.3 Resolva: 5x 2x (1 3x)Remova os parnteses, combine termos semelhantes e isole a varivel.

A afirmao no verdadeira para valor algum da varivel; a equao no admite soluo.

5.4 Resolva: Multiplique ambos os lados por x 3, o nico denominador; ento isole x. Nota: x 3.


PR-CLCULO34

5.5 Resolva: Multiplique ambos os lados por x 1, o nico denominador. Nota: x 1.

Nesse caso, como x 1, no pode haver soluo.

5.6 Resolva: (x 5)2 (2x 7)2 82Remova os parnteses e combine termos semelhantes; a equao quadrtica resultante fatorvel.

5.7 Resolva: 5x2 16x 2 0No fatorvel em termos de inteiros; use a frmula quadrtica com a 5, b 16 e c 2.

5.8 Resolva x2 8x 13 0 completando o quadrado.

5.9 Resolva:



No fatorvel em termos de inteiros; use a frmula quadrtica com a 4, b 1, c 2.

5.10 Encontre todas as solues, reais e complexas, para x3 64 0.

Primeiro fatore o polinmio como a diferena de dois cubos.

Agora aplique a frmula quadrtica ao fator quadrtico, usando a 5 1, b 5 4 e c 5 16.

Solues:

5.11 Resolva: x4 5x2 36 0Esse um exemplo de uma equao em forma quadrtica. conveniente, mas no necessrio, introduzir a substituio u x2. Ento, u2 x4 e a equao torna-se:

Agora reverta a substituio original x2 u.

5. 12 Resolva: x2/3 x1/3 6 0Essa equao est na forma quadrtica. Introduza a substituio u x1/3. Ento, u2 x2/3 e a equao torna-se:

Agora desfaa a substituio original x1/3 u.


PR-CLCULO36

5.13 Resolva: Eleve ambos os lados ao quadrado, observando que o lado direito um binmio.

Agora isole o termo que contm a raiz quadrada e eleve novamente ao quadrado.

Verificao:

5.14 Resolva a equao literal S 2xy 2xz 2yz em relao a y.Essa equao linear em y, a varivel especificada. Uma vez que todos os termos envolvendo y j esto em um s lado, coloque todos os termos que no envolvem y do outro lado e, em seguida, divida ambos os lados pelo coeficiente de y.

5.15 Resolva em relao a f.Essa equao linear em f, a varivel especificada. Multiplique ambos os lados por pqf, o MMC entre os denominado-res de todas as fraes e, ento, divida ambos os lados pelo coeficiente de f.



5.16 Resolva em relao a t.Essa equao quadrtica em t, a varivel especificada. Reescreva a equao na forma padro para equaes quadr-ticas:

Agora use a frmula quadrtica sendo

5.17 Sero investidos $9.000, parte com 6% de taxa de rendimentos e parte com 10% de taxa de rendimentos. Quanto deveria ser investido para cada taxa se desejado um total de 9% de taxa de rendimentos?Use a frmula I Prt, sendo que t corresponde a um perodo de um ano. Seja x montante investido a 6%; um arranjo em forma de tabela til:

P: Montante investido r: Taxa de rendimento I: Rendimento

Primeira modalidade x 0,06 0,06x

Segunda modalidade 9.000 x 0,1 0,1(9.000 x)Investimento 9.000 0,09 0,09(9.000)

Como o rendimento ganho o total do rendimento das duas modalidades de investimento, escreva:

Resolvendo, tem-se:

Portanto, deveriam ser investidos $2.250 a 6% e 9.000 x $6.750 deveriam ser investidos a 10%.

5.18 Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir de um pedao quadrado de cartolina, cortando um quadrado de 3 centmetros de cada canto e dobrando os lados. Se a caixa deve ter uma capaci-dade de 75 centmetros cbicos, qual o tamanho do pedao de cartolina a ser usado?

Figura 5-2


PR-CLCULO38

Esboce uma figura (ver Fig. 5-2).Seja x comprimento do lado do pedao original. Ento x 6 comprimento do lado da caixa. Use volume (comprimento)(largura)(altura):

Assim, x 11 cm ou x 1 cm. Claramente, a ltima alternativa no faz sentido; logo, as dimenses da cartolina origi-nal devem ser as de um quadrado com 11 cm de lado.

5.19 Duas pessoas tm um sistema de walkie-talkie com um alcance de de milha*. Uma delas comea a cami-nhar ao meio-dia em direo ao leste a uma velocidade de 3 milhas por hora. Cinco minutos depois, a outra pessoa comea a caminhar em direo ao oeste a uma velocidade de 4 milhas por hora. A que horas elas atingiro o alcance dos aparelhos?Use distncia (velocidade)(tempo). Seja t tempo decorrido a partir do meio-dia. Um arranjo em tabela til.

Durao da caminhadaVelocidade da caminhada Distncia

Primeira pessoa t 3 3t

Segunda pessoa t 4 4

Como as distncias devem se somar a um total de de milha, isso conduz a:

A hora ser meio-dia mais horas ou, aproximadamente, 12h09m.

5.20 Um recipiente preenchido com 8 litros de uma soluo com 20% de sal. Quantos litros de gua pura de-vem ser acrescentados para produzir uma soluo com 15% de sal?Seja x nmero de litros de gua acrescentada. Um arranjo em forma de tabela til.

Volume da soluo Percentagem de sal Quantidade de sal

Soluo original 8 0,2 (0,2)8gua x 0 0Mistura 8x 0,15 0,15(8x)

* N. de T.: Uma milha corresponde a 1,61 km.



Como a quantia de sal na soluo original e a gua acrescentada devem totalizar a quantidade de sal na mistura, isso nos leva a:

5.21 Uma mquina A pode executar uma tarefa em 6 horas, trabalhando sozinha. Uma mquina B pode com-pletar a mesma tarefa em 10 horas, funcionando sozinha. Quanto tempo consumiriam as duas mquinas, trabalhando em parceria, para completar a mesma tarefa?Use quantidade de trabalho (velocidade)(tempo). Observe que se uma mquina pode realizar uma tarefa em x horas, ela realiza 1/x da tarefa em uma hora, ou seja, sua velocidade de 1/x tarefa por hora. Seja t tempo dispendido por mquina. Um arranjo em forma de tabela til.

Velocidade Tempo Quantidade de tarefa

Mquina A 1/6 t t/6Mquina B 1/10 t t/10

Uma vez que a quantidade de tarefa executada por ambas as mquinas deve totalizar uma tarefa completa, isso leva a:

O tempo seria de 3 horas.


5.22 Resolva: Resp.

5.23 Resolva: 7(x 6) 6(x 3) 5(x 6) 2(3 2x) Resp. Sem soluo

5.24 Resolva: Resp. 7

5.25 Encontre todas as solues reais:(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

Resp. (a) (b) (c) no existem solues reais; (d)

(e) (f) (g) (h)

5.26 Resolva:

(a) (b) Resp. (a) 45 (b) Sem soluo

5.27 Encontre todas as solues reais:


PR-CLCULO40

(a) (b) (c) Resp. (a) (b) (c)

5.28 Resolva: (a) (b) (c) Resp. (a) {16}; (b) {4}; (c) {2, 6}

5.29 Determine todas as solues complexas para x3 5x2 4x 20 0 Resp. 5, 2i, 2i

5.30 Resolva em relao a q. Resp.

5.31 Resolva em relao a I. Resp.

5.32 Resolva (x h)2 (y k)2 r2 em relao a y. Resp.

5.33 Resolva as equaes em relao a y, em termos de x: (a) (b) (c) (d) Resp. (a) (b) ou (c) (d)

5.34 Um retngulo tem permetro de 44 cm. Descubra suas dimenses, considerando que seu comprimento 5 cm menor do que o dobro de sua largura.

Resp. Largura 9 cm, comprimento 13 cm

5.35 Resolva o Problema 5.19 do walkie-talkie para o caso em que as duas pessoas comeam a caminhar ao mesmo tempo, mas a segunda pessoa caminha para o norte.

Resp. Exatamente s 12h09m

5.36 Uma loja deseja misturar um caf que custa $6,50 a libra* com um caf que custa $9,00 a libra, a fim de vender 60 libras de caf misturado a $7,50 por libra. Quanto deveria ser usado de cada tipo de caf?Resp. 36 libras do caf que custa $6,50 por libra e 24 libras do caf que custa $9,00 por libra

5.37 Um recipiente contm 8 centilitros de uma soluo de 30% de cido. Quantos centilitros de cido puro deve-se adicio-nar para produzir uma nova substncia com 50% de cido?

Resp. 3,2 cl

5.38 Um armazm de produtos qumicos tem duas solues de lcool, uma com 30% e uma com 75%. Quantos decilitros de cada um devem ser misturados para se obter 90 decilitros de uma soluo com 65%?

Resp. 20 dl da soluo de 30% e 70 dl da soluo de 75%

5.39 Um radiador de 6 gales** preenchido com uma soluo de 40% de anticongelante na gua. Quanto dessa soluo deve ser retirada e substituda por anticongelante puro para se obter uma soluo de 65%?

Resp. 2,5 gales

5.40 Uma mquina A completa uma tarefa em 8 horas, trabalhando sozinha. Trabalhando em parceria com a mquina B, a mesma tarefa demora 5 horas para ser terminada. Quando tempo a mquina B demoraria para realizar a tarefa se traba-lhasse sozinha?

Resp. 13 horas

5.41 Uma mquina A, trabalhando sozinha, pode realizar uma tarefa em 4 horas a menos que uma mquina B. Trabalhando juntas, elas podem completar a tarefa em 5 horas. Quanto tempo seria consumido por mquina, trabalhando sozinhas, para completar a tarefa?

Resp. Mquina A: 8,4 horas; mquina B: 12,4 horas, aproximadamente

* N. de T.: Uma libra equivale a 0,45 kg.** N. de T.: Um galo americano corresponde a 231 polegadas cbicas.


RELAES DE DESIGUALDADEO nmero a menor que b, escrito como a b, se b a positivo. Logo, b maior que a, o que se escreve como b a. Se a menor ou igual a b, escreve-se a b. Desse modo, b maior ou igual a e se escreve b a. Interpretao Geomtrica: Se a b, ento a est esquerda de b em uma reta real (Fig. 6-1). Se a b, a est direita de b.

Exemplo 6.1

Figura 6-1

Na Fig. 6-1, a d e b c. Tambm, a c e b d.

DESIGUALDADES COMBINADAS E INTERVALOSSe a x e x b, as duas afirmaes so frequentemente combinadas para se escrever: a x b. O conjunto de todos os nmeros x que satisfazem a x b dito um intervalo aberto e representado por (a, b). Analogamente, o conjunto de todos os nmeros reais x que satisfazem a desigualdade combinada a x b chamado de intervalo fechado e escrito como [a, b]. A tabela a seguir exibe vrias desigualdades comuns e suas representaes como intervalos.

Desigualdade Notao Grfico

a x b (a,b)

a x b [a,b ]

a x b (a,b ]

Inequaes Lineares e No Lineares

Captulo 6


PR-CLCULO42

Desigualdade Notao Grfico

a x b [a,b)

x a (a,)

x a [a,)

x b (,b)

x b (,b ]

INEQUAES ENVOLVENDO VARIVEISUma inequao envolvendo variveis, como no caso de uma equao, em geral no verdadeira e nem falsa; esse tipo de deciso depende do(s) valor(es) da(s) varivel(eis). Para desigualdades com uma varivel, um valor da va-rivel que torne a inequao verdadeira uma soluo para a mesma. O conjunto de todas as solues chamado de conjunto soluo da inequao.

INEQUAES EQUIVALENTESInequaes so equivalentes se admitem os mesmos conjuntos soluo.

Exemplo 6.2 As inequaes x 5 e x 5 0 so equivalentes. Cada uma tem o conjunto soluo de todos os nmeros reais menores que 5, isto , (,5).O processo de resolver uma inequao consiste em transform-la em uma inequao equivalente, cuja soluo seja bvia. Operaes de transformao de uma inequao em outra equivalente incluem: 1. Somar ou subtrair: As inequaes a b, a c b c e a c b c so equivalentes para qualquer n-

mero real c. 2. Multiplicar ou dividir por um nmero positivo: As inequaes a b, ac bc e a/c b/c so equivalentes

para qualquer nmero real positivo c. 3. Multiplicar ou dividir por um nmero negativo: As inequaes a b, ac bc e a/c b/c so equivalentes

para qualquer nmero real negativo c. Observe que o sentido da desigualdade inverte perante a multiplicao ou diviso por um nmero negativo.

4. Simplificar expresses em um dos lados de uma inequao.Regras semelhantes se aplicam para desigualdades da forma a b e assim por diante.

INEQUAES LINEARESUma inequao linear aquela que est na forma ax b 0, ax b 0, ax b 0 ou ax b 0, ou que pode ser transformada em uma inequao equivalente a essa forma. Em geral, inequaes lineares tm conjuntos soluo infinitos em uma das formas mostradas na tabela anterior. Inequaes lineares so resolvidas isolando a varivel de um modo semelhante ao empregado em equaes.


CAPTULO 6 INEQUAES LINEARES E NO LINEARES 43

Exemplo 6.3 Resolva 53x 4.

Observe que o sentido da desigualdade foi invertido ao se dividir ambos os lados por 3.

Uma inequao que no linear chamada de no linear.

RESOLVENDO INEQUAES NO LINEARESUma inequao na qual o lado esquerdo pode ser escrito como o produto ou quociente de fatores lineares (ou fato-res quadrticos primos) pode ser resolvida via um diagrama de sinais. Se um tal fator jamais zero em um inter-valo, ento positivo ou negativo em todo o intervalo. Logo:

1. Determine os pontos nos quais cada fator 0. Esses so chamados de pontos crticos. 2. Desenhe uma reta numerada e exiba os pontos crticos. 3. Determine o sinal de cada fator em cada intervalo; ento, usando leis de multiplicao ou diviso, verifique o

sinal de toda a expresso do lado esquerdo da inequao. 4. Escreva o conjunto soluo.

Exemplo 6.4 Resolva: (x 1)(x 2) 0Os pontos crticos so 1 e 2, sendo que, respectivamente, x 1 e x 2 so zero. Desenhe uma reta numerada mostrando os pontos crticos (Fig. 6-2). Esses pontos dividem a reta nos intervalos (,2), (2,1) e (1,). Em (,2), x 1 e x 2 so negativos; portanto, o produto positivo. Em (2,1), x 1 negativo e x 2 posi-tivo; logo, o produto negativo. Em (1,), ambos os fatores so positivos; assim, o produto positivo.

Sinal de x 1 Sinal de x + 1 Sinal do produto +

Figura 6-2

A inequao vale quando (x 1)(x 2) positivo. Logo, o conjunto soluo consiste dos intervalos: (,2) (1,).


6.1 Resolva 3(y 5) 4(y 6) 7Elimine parnteses, combine termos e isole a varivel:

O conjunto soluo [46, ).


PR-CLCULO44

6.2 Resolva:

Multiplique ambos os lados por 24, o MMC entre os denominadores de todas as fraes e, ento, proceda como no problema anterior.

O conjunto soluo (32,).

6.3 Resolva: 8 2x 7 5Uma inequao combinada desse tipo pode ser resolvida isolando a varivel no meio.

O conjunto soluo .

6.4 Resolva: 0 3 5x 10

O conjunto soluo .

6.5 Uma soluo qumica mantida entre 30 e 22,5C. Isso corresponde a qual intervalo em graus Fahrenheit?Escreva 30 C 22,5 e use C (F32).

O intervalo est entre 22 e 8,5F.

6.6 Resolva: x2 8x 20Obtenha 0 do lado direito, escreva o lado esquerdo em forma fatorada e, ento, faa um diagrama de sinais.



Os pontos crticos so 10 e 2, sendo que, respectivamente, x 10 e x 2 so zero. Desenhe uma reta numerada, mostrando os pontos crticos (Fig. 6-3).

Sinal de x 10 Sinal de x + 2 Sinal do produto +

Figura 6-3

Os pontos crticos dividem a reta real nos intervalos (,2), (2,10) e (10,). Em (,2), x 10 e x 2 so nega-tivos, logo o produto positivo. Em (2,10), x 10 negativo e x 2 positivo; logo, o produto negativo. Em (10,), ambos os fatores so positivos; logo, o produto positivo. A parte envolvendo igualdade na inequao satisfeita em am-bos os pontos crticos e a inequao verdadeira quando (x 2)(x 10) negativo; logo, o conjunto soluo [2,10].

6.7 Resolva: 2x2 2 5xObtenha 0 do lado direito, escreva o lado esquerdo em forma fatorada e, em seguida, faa um diagrama de sinais.

Desenhe uma reta numerada mostrando os pontos crticos e 2 (Fig. 6-4).

Sinal de x 2 Sinal de 2x 1 Sinal do produto

Figura 6-4

Os pontos crticos dividem a reta real nos intervalos e (2, ). O produto tem sinal, respectivamente, positivo, negativo e positivo nesses intervalos. A parte envolvendo igualdade na inequao satisfeita em ambos os pontos crticos e a inequao verdadeira quando (2x 1)(x 2) positivo; logo, o conjunto soluo (, ] [2, ).

6.8 Resolva: x3 x2 6xObtenha 0 do lado direito, escreva o lado esquerdo em forma fatorada e, em seguida, faa um diagrama de sinais.

Desenhe uma reta numerada mostrando os pontos crticos 2, 0 e 3 (Fig. 6-5).

Sinal de x Sinal de x 3 Sinal de x + 2 Sinal do produto

Figura 6-5


PR-CLCULO46

Os pontos crticos dividem a reta real (Fig. 6-5) nos intervalos (, 2), (2, 0), (0, 3) e (3, ). O produto tem sinal, respectivamente, negativo, positivo, negativo e positivo nesses intervalos. A desigualdade vale quando x(x3)(x2) negativo; logo, o conjunto soluo (, 2) (0, 3).

6.9 Resolva: Desenhe uma reta numerada exibindo os pontos crticos 5 e 3 (Fig. 6-6).

Sinal do x 3 Sinal do x + 5 Sinal do produto

Figura 6-6

Os pontos crticos dividem a reta real nos intervalos (, 5), (5, 3), e (3, ). O quociente tem sinal, respectiva-mente, positivo, negativo e positivo nesses intervalos. A parte envolvendo igualdade na inequao satisfeita no ponto crtico 5, mas no no ponto crtico 3, j que a expresso no definida no mesmo. A desigualdade vale quando

negativo; logo, o conjunto soluo [5,3).

6.10 Resolva:

A soluo dessa desigualdade difere da soluo da equao correspondente. Se ambos os lados fossem multiplicados pelo denominador x 3, seria necessrio considerar separadamente os casos nos quais este positivo, zero ou negativo. prefervel conseguir 0 no lado direito e combinar o lado esquerdo na forma de uma frao, para ento formar um diagrama de sinais.

Desenhe uma reta numerada mostrando os pontos crticos 3 e 9 (Fig. 6-7).

Sinal de x 3Sinal de 9 xSinal do produto

Figura 6-7

Os pontos crticos dividem a reta real nos intervalos (, 3), (3, 9) e (9, ). O quociente tem sinal, respectivamente, negativo, positivo e negativo nesses intervalos. (Observe a inverso de sinais na tabela para 9 x.) A parte de igualdade na inequao satisfeita no ponto crtico 9, mas no no ponto crtico 3, j que a expresso no definida no mesmo. A desigualdade vale quando positiva; logo, o conjunto soluo (3, 9].



6.11 Resolva:

Desenhe uma reta numerada mostrando os pontos crticos 5, e 2 (Fig. 6-8). Observe que o fator x2 4 no tem pontos crticos; seu sinal positivo para todo real x; logo, no tem efeito sobre o sinal do resultado.

Sinal de (2x + 3) Sinal de (x 2)Sinal de (x + 5) Sinal do produto

2

1/33

Figura 6-8

Os pontos crticos dividem a reta real nos intervalos (,5), (5, ), ( , 2) e (2, ). O quociente tem sinal, respectivamente, positivo, negativo, negativo e positivo nesses intervalos. (Observe que o fator (2x 3)2 positivo, exceto em seu ponto crtico.) A parte de igualdade na inequao satisfeita nos pontos crticos e 2, mas no no ponto crtico 5. A desigualdade vale quando a expresso sob considerao positiva; logo, o conjunto soluo

.

6.12 Para quais valores de x que a expresso representa um nmero real?A expresso representa um nmero real quando a quantidade 9 x2 no negativa. Resolva a inequao 9 x2 0, ou (3 x)(3 x) 0, desenhando uma reta numerada e mostrando os pontos crticos 3 e 3 (Fig. 6-9).

Sinal de 3 + xSinal de 3 xSinal do produto

Figura 6-9

Os pontos crticos dividem a reta real nos intervalos (, 3), (3, 3) e (3, ). O produto tem sinal, respectivamente, negativo, positivo e negativo nesses intervalos. A parte de igualdade na inequao satisfeita nos pontos crticos e a desigualdade vale quando 9 x2 positiva, o que implica que a expresso representa um nmero real quando x est em [3, 3].

6.13 Para quais valores de x a expresso representa um nmero real?

A expresso representa um nmero real quando a quantidade sob o radical no negativa. Resolva a inequao 0 desenhando uma reta numerada e mostrando os pontos crticos 5, 0 e 2 (Fig. 6-10).

Sinal de xSinal de 2 xSinal de 5 + x Sinal do produto

Figura 6-10


PR-CLCULO48

Os pontos crticos dividem a reta real nos intervalos (, 5), (5, 0), (0, 2) e (2, ). O quociente tem sinal, respec-tivamente, positivo, negativo, positivo e negativo nesses intervalos. A parte de igualdade na inequao satisfeita no ponto crtico 0 e a desigualdade vale quando a quantidade sob o radical positiva; logo, a expresso inteira representa um nmero real quando x est em (, 5) [0, 2).


6.14 Resolva (a) ; (b) 0,05(2x 3) 0,02x 15; (c) 4(5x 6) 3(6x 3) 2x 1

Resp. (a) ; (b) ; (c) No h soluo

6.15 Resolva (a) 0,01 x 5 0,01; (b) ; (c) 6 3 7x 8

Resp. (a) (4,99, 5,01); (b) ; (c)

6.16 Resolva (a) 5x x2 6; (b) (x 6)2 (2x 1)2; (c) t2 (t 1)2 (t 2)2

Resp. (a) (, 2) (3, ); (b) ; (c) (, 1) (3, )

6.17 Resolva: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e)

Resp. (a) [1, 1]; (b) no h soluo; (c) ; (d) ; (e)

6.18 Resolva (a) ; (b) (c)

Resp. (a) ; (b) ; (c)

6.19 Para quais valores de x as expresses a seguir representam nmeros reais? (a) (b)

Resp. (a) (, 5 ] [5, ); (b) (, 4) [4, )

6.20 Para quais valores de x as expresses a seguir representam nmeros reais?

(a) ; (b)

Resp (a) ; (b)


Valor Absoluto em Equaes e Inequaes

Captulo 7

VALOR ABSOLUTO DE UM NMEROO valor absoluto de um nmero real a, representado por a, foi definido (Captulo 1) como se segue:

VALOR ABSOLUTO, INTERPRETADO GEOMETRICAMENTEGeometricamente, o valor absoluto de um nmero real a distncia desse nmero origem (ver Fig. 7-1).

Figura 7-1

Analogamente, a distncia entre dois nmeros reais a e b o valor absoluto de sua diferena: ab ou ba.

PROPRIEDADES DE VALORES ABSOLUTOS

(Desigualdade triangular)

Exemplo 7.1 (a) 5 5 5; (b) 6 6; 6, assim, 6

Exemplo 7.2 (a) 5x2 5

x2 5x2; (b) 3y 3

y 3y

Exemplo 7.3 Desigualdade triangular: 5 (7) 2 5 7 5 7 12


PR-CLCULO50

VALOR ABSOLUTO EM EQUAESComo a a distncia de a origem, 1. A equao a b equivalente s duas equaes a b e a b, para b 0. (A distncia de a origem

igualar b precisamente quando a igualar b ou b.) 2. A equao a b equivalente s equaes a b e a b.

Exemplo 7.4 Resolva: x 3 5Transforme em equaes equivalentes que no apresentem o smbolo do valor absoluto e resolva-as:

ou

Exemplo 7.5 Resolva: x 4 3x 1

Transforme em equaes equivalentes que no contenham o smbolo do valor absoluto e resolva-as:

ou

VALOR ABSOLUTO EM DESIGUALDADESPara b 0,

1. A desigualdade a b equivalente dupla desigualdade b a b. (Uma vez que a distncia de a ori-gem menor que b, a est mais prximo da origem que b; ver Fig. 7-2.)

Figura 7-2

2. A desigualdade a b equivalente s desigualdades a b e a b. (J que a distncia de a origem maior que b, a est mais afastado da origem que b; ver Fig. 7-3.)

Figura 7-3

Exemplo 7.6 Resolva: x 5 3Transforme em inequaes equivalentes que no contenham o smbolo do valor absoluto e resolva-as:

ou


CAPTULO 7 VALOR ABSOLUTO EM EQUAES E INEQUAES 51


7.1 Resolva: x 7 2Transforme em equaes equivalentes que no contenham o smbolo do valor absoluto e resolva-as:

ou

7.2 Resolva: x 5 0,01

ou

7.3 Resolva: 6x 7 10

ou

7.4 Resolva: 5x 3 6Primeiramente isole a expresso com valor absoluto e, em seguida, escreva as duas equaes equivalentes que no con-tenham o smbolo de valor absoluto.

ou

7.5 Resolva: 35 2x 4 9Isole a expresso com valor absoluto.

Escreva e resolva as duas equaes equivalentes que no contenham o smbolo de valor absoluto.

ou

7.6 Resolva: 5x 3 8Como o valor absoluto de um nmero jamais negativo, essa equao no tem soluo.


PR-CLCULO52

7.7 Resolva: 2x 5 8x 3

Transforme em equaes equivalentes que no contenham o smbolo do valor absoluto e resolva-as:

ou

7.8 Resolva: x 5 3Converta para desigualdades equivalentes que no contenham o smbolo de valor absoluto e resolva-as:

ou

Soluo: (,8) (2,)

7.9 Resolva: x 3 10Transforme em uma desigualdade dupla equivalente e resolva-a:

Soluo: [7,13]

7.10 Resolva: 42x 7 5 19Isole a expresso com valor absoluto e, ento, transforme em uma desigualdade dupla equivalente e resolva-a:

Soluo:

7.11 Resolva: 5x 3 1Uma vez que o valor absoluto de um nmero real sempre positivo ou zero logo, sempre maior que qualquer n-mero negativo todos os reais so solues.

7.12 Escreva na forma de inequao com e sem o smbolo de valor absoluto, e represente graficamente a soluo em uma reta numerada: a distncia entre x e a menor que .Usando o smbolo de valor absoluto, essa inequao torna-se x a . Reescreva como uma desigualdade dupla e resolva:


CAPTULO 7 VALOR ABSOLUTO EM EQUAES E INEQUAES 53

O grfico exibido na Fig. 7-4:

Figura 7-4

Problemas Complementares 7.13 Prove que ab a

b. (Sugesto: considere os casos separadamente para vrios sinais de a e b.)

7.14 (a) Prove que, para qualquer nmero real x, x x x. (b) Use o item (a) para demonstrar a desigualdade triangular.

7.15 Escreva como uma equao ou uma inequao e resolva:(a) A distncia entre x e 3 igual a 7. (b) 5 duas vezes a distncia entre x e 6. (c) A distncia entre x e 3 maior que 2.

Resp. (a) x 3 7; {4,10} (b) 5 2x 6; (c) x 3 2; (,5) (1,)

7.16 Resolva: (a) ; (b) ; (c)

Resp. (a) ; (b) ; (c)

7.17 Resolva: (a) ; (b) ; (c)

Resp. (a) no h soluo; (b) ; (c)

7.18 Resolva: 5 2x 3x1 Resp.

7.19 Resolva: 3 5x 9 Resp.

7.20 Resolva: 3x 4 5 1 Resp. Sem soluo

7.21 Resolva: (a) 0 x 5 8; (b) 0 2x 3 7; (c) 0 x c

Resp. (a) (3,5) (5,13); (b) [5, 3 / 2) (3 / 2, 2 ]; (c) [c , c) (c, c ]


Geometria Analtica

Captulo 8

SISTEMA COORDENADO CARTESIANO*Um sistema coordenado cartesiano consiste de duas retas reais perpendiculares, ditas eixos coordenados, que intercep-tam em suas origens. Geralmente, uma reta horizontal e chamada de eixo x, e a outra vertical e chamada de eixo y. Os eixos dividem o plano coordenado, ou plano xy, em quatro partes conhecidas como quadrantes e numeradas como primeiro, segundo, terceiro e quarto, ou I, II, III e IV. Pontos sobre os eixos no esto em nenhum quadrante.

CORRESPONDNCIA BIJETORAUma correspondncia bijetora existe entre pares ordenados de nmeros (a,b) e pontos nos planos coordenados (Fig. 8-1). Assim, 1. Para cada ponto P corresponde um par ordenado de nmeros (a,b) chamados de coordenadas de P. a chama-

da de coordenada x ou abscissa; b dita a coordenada y ou ordenada. 2. Para cada par ordenado de nmeros corresponde um ponto chamado de grfico do par ordenado. O grfico

pode ser representado por uma marca pontual.

Figura 8-1

A DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOSA distncia entre dois pontos P1(x1,y1) e P2(x2,y2) em um sistema de coordenadas cartesianas dada pela frmula de distncia:

* N. de T.: Alguns autores preferem o termo sistema de coordenadas cartesianas. Neste livro, adotamos as duas expresses.


CAPTULO 8 GEOMETRIA ANALTICA 55

Exemplo 8.1 Encontre a distncia entre (3,5) e (4,1).Faa P1(x1,y1) (3,5) e P2(x2,y2) (4,1). Ento, substitua na frmula de distncia.

O GRFICO DE UMA EQUAOO grfico de uma equao de duas variveis o grfico de seu conjunto soluo, ou seja, de todos os pares ordena-dos (a,b) que satisfazem a equao. Como em geral h um nmero infinito de solues, um esboo do grfico normalmente suficiente. Um procedimento simples para se fazer um esboo de um grfico determinar vrias solues, represent-las com marcas pontuais e, ento, conectar as marcas com uma curva suave ou linha.

Exemplo 8.2 Esboce o grfico da equao x 2y 10.Faa uma tabela de valores; represente graficamente os pontos e conecte-os. O grfico uma linha reta, como mos-trado na Fig. 8-2.

Figura 8-2

INTERCEPTOSAs coordenadas dos pontos nos quais o grfico de uma equao cruza o eixo x e o eixo y tm nomes especiais:

1. A coordenada x de um ponto no qual o grfico cruza o eixo x chamada de intercepto x do grfico. Para encontr-la, faa y 0 e resolva em relao a x.

2. A coordenada y de um ponto no qual o grfico cruza o eixo y chamada de intercepto y do grfico. Para encontr-la, faa x 0 e resolva em relao a y.

Exemplo 8.3 No exemplo anterior, o intercepto x do grfico 10, uma vez que o grfico cruza o eixo x em (10,0); e o intercepto y 5, uma vez que o grfico cruza o eixo y em (0,5).

Exemplo 8.4 Encontre os interceptos do grfico da equao y 4 x2

Faa x 0; ento, y 4 02 4.

Logo, o intercepto y 4.

Faa y 0. Se 0 4 x2, ento x2 4; assim, x 2. Logo, 2 e 2 so os interceptos x.

SIMETRIASimetria um auxlio importante para fazer grficos de equaes mais complicadas. Um grfico :

1. simtrico com relao ao eixo y se (a,b) est no grfico toda vez que (a,b) tambm est (simetria em relao ao eixo y);


PR-CLCULO56

2. simtrico com relao ao eixo x se (a,b) est no grfico toda vez que (a,b) tambm est (simetria em relao ao eixo x);

3. simtrico com relao origem se (a,b) est no grfico toda vez que (a,b) tambm est (simetria em rela-o origem);

4. simtrico com relao reta y x se (b,a) est no grfico toda vez que (a,b) tambm est.

Terminologia Teste Ilustrao

O grfico simtrico em relao ao eixo y.

A equao inaltervel quando x substitudo por x.

O grfico simtrico em relao ao eixo x.

A equao inaltervel quando y substitudo por y.

O grfico simtrico em relao a origem.

A equao inaltervel quando x substitudo por x e y por y.

O grfico simtrico em relao li-nha y x.

A equao inaltervel quando x e y so trocados.

Figura 8-3


CAPTULO 8 GEOMETRIA ANALTICA 57

TESTES PARA SIMETRIATestes para simetria (Fig. 8-3) 1. Se substituir x por x leva mesma equao, o grfico tem simetria em relao ao eixo y. 2. Se substituir y por y leva mesma equao, o grfico tem simetria em relao ao eixo x. 3. Se, simultaneamente, substituir x por x e y por y conduz mesma equao, o grfico tem simetria em rela-

o origem.Nota: um grfico pode no ter qualquer uma dessas simetrias, ou ter uma ou todas as trs. No possvel para um grfico ter exatamente duas dessas trs simetrias.A quarta simetria raramente testada: 4. Se a troca das letras x e y conduzir mesma equao, o grfico tem simetria em relao reta y x.

Exemplo 8.5 Teste a equao y 4 x2 com relao simetria e desenhe o grfico.Substitua x por x: y 4 (x)2 4 x2. Como a equao fica inalterada, o grfico tem simetria com relao ao eixo y (ver Fig. 8-4).Substitua y por y: y 4 x2; y 4 x2. Como a equao mudou, o grfico no tem simetria com relao ao eixo x. No possvel para o grfico ter simetria em relao origem; ver nota da pgina anterior. Uma vez que o grfico tem simetria no eixo y, apenas necessrio encontrar pontos com valores no negativos para x e, ento, espelhar o grfico em relao ao eixo y.

Figura 8-4

UM CRCULOUm crculo com centro C(h,k) e raio r 0 o conjunto de todos os pontos no plano que esto a r unidades de comprimento de C (Fig. 8-5).*

Figura 8-5

* N. de T.: Alguns autores preferem chamar esse conjunto de circunferncia, utilizando a palavra crculo para designar a circunferncia e seu interior. Neste livro, crculo designa tanto a circunferncia (como na definio dada aqui), quanto seu interior (o que fica evidente no Captulo 9).


PR-CLCULO58

A EQUAO DE UM CRCULOA equao de um crculo com centro C(h,k) e raio r 0 pode ser escrita como (forma cannica)

Se o centro do crculo a origem (0,0), isso se reduz a

Se r 1, o crculo chamado de crculo unitrio.

PONTO MDIO DE UM SEGMENTO DE RETAO ponto mdi

pré-cálculo coleção schaum 2ª edição

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