praticando matemática 9

PRATICANDO

ÁLVARO ANDRINI

MARIA JOSÉ VASCONCELLOS

MatemáticaColeção PRATICANDOMATEMÁTICA

9EDIÇÃO RENOVADA

MATEMÁTICA

ÁLVA

RO A

ND

RINI

MA

RIA JO

SÉ VASCO

NCELLO

S

9

Coleção PRATICAN

DO

MATEM

ÁTICA

PRATICA

NDO

EDIÇÃ

O REN

OVA

DA

Matem

áticaM

ATEMÁ

TICA

CÓDIGO DO LIVRO: TIPO:

27454C0227 M MANUAL DO PROFESSOR

Capa PRATICANDO 9º ano_final_LM.indd 1 10/7/13 9:06 AM

Praticando

Álvaro andrini

Maria José vasconcellos

MatemáticaColeção PraTicandoMaTeMÁTica

9edição renovada

MaTeMÁTica

Álvaro andrini Licenciado em Matemática.

Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais.

Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos.

Autor de diversos livros didáticos.

Maria José vasconcellos Licenciada em Matemática.

Coordenadora e professorade Matemática em escola da rede particular.

Coautora de coleção de Matemáticapara o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR

3a edição, São Paulo, 2012

PMR9_001_006.indd 1 3/22/12 9:40 AM

© Editora do Brasil S.A., 2012Todos os direitos reservados

Direção executiva Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz

Direção editorial Cibele Mendes Curto Santos

Supervisão editorial Felipe Ramos Poletti Supervisão de arte e editoração Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais Marilisa Bertolone Mendes Supervisão de controle de processos editoriais Marta Dias Portero Supervisão de revisão Dora Helena Feres Consultoria de iconografia Tempo Composto Col. de Dados Ltda.

Edição Valéria Elvira Prete e Cibeli Chibante Bueno

Assistência editorial Andréia Manfrim Alves e Marjorie Mayumi Haneda Hirata

Auxiliar editorial Rodrigo Pessota e Thalita Picerni

Coordenação de revisão Otacilio Palareti Copidesque Equipe EBSA Revisão Ricardo Liberal e Nelson Camargo

Pesquisa iconográfica Elena Ribeiro de Souza Coordenação de arte Maria Aparecida Alves Assistência de arte Regiane Santana

Design gráfico Ricardo Borges Capa Hailton Santos Imagem de capa Orla/Shutterstock com pesquisa iconográfica de Léo Burgos

Ilustrações Departamento de Arte e Editoração (DAE), Hélio Senatore, José Luis Juhas e Lápis Mágico

Produção cartográfica Sonia Vaz Coordenação de editoração eletrônica Abdonildo José de Lima Santos

Editoração eletrônica Equipe EBSA Licenciamentos de textos Renata Garbellini e Jennifer Xavier Controle de processos editoriais Leila P. Jungstedt, Carlos Nunes e Flávia Iossi

3a edição / 1a impressão, 2013Impresso no parque gráfico da Editora FTD

Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583

www.editoradobrasil.com.br

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Andrini, ÁlvaroPraticando matemática, 9 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos.

– 3. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2012. – (Coleção pra-ticando matemática)

Suplementado pelo manual do professor.BibliografiaISBN 978-85-10-05160-6 (aluno)ISBN 978-85-10-05161-3 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Vasconcellos, Maria José. II. Título. III. Série.

12-02964 CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:1. Matemática: Ensino fundamental 372.7

praticando matemÁtica 9o ano edição renovadapnLd 2014 – mac 4

6ª provadébora

PMR9_001_006.indd 2 3/14/13 9:07 AM

PREZADO ALUNOPREZADO ALUNO

você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor:

“Para que eu devo estudar Matemática?”

Há três respostas possíveis:

1. a matemática permite que você conheça melhor a realidade.

2. a matemática pode ajudar você a organizar raciocínios.

3. a matemática pode ajudar você a fazer descobertas.

este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida.

o caminho para o conhecimento é você quem faz.

os autores

PREZADO ALUNOPREZADO ALUNO


6ª provadébora

PMR9_001_006.indd 3 3/19/12 10:30 AM

4 P R A T I C A N D O M A T E M Á T I C A

“Não há ramo da Matemática,

por abstrato que seja, que não

possa um dia vir a ser aplicado

aos fenômenos do mundo real.”

Lobachevsky

agradecemos ao professor

eduardo Wagner pelos comentários

e sugestões que contribuíram

para a melhoria deste trabalho.


6ª provadébora

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Fern

ando

Fav

oret

toUnidade 1Potenciação e radiciação 1. revendo a potenciação .........................7 2. propriedades das potências .................11 3. revendo a radiciação ..........................15 4. expoentes racionais .............................18 5. propriedades dos radicais .....................19 6. Simplificação de radicais ......................25 7. adição e subtração de radicais .............28 8. cálculos com radicais .........................31 9. racionalização ....................................33

SUMÁRIOSUMÁRIO

Unidade 2Equações do 2o grau 1. equações ............................................ 41 2. resolvendo equações do 2o grau ........ 43 3. Forma geral de uma equação

do 2o grau .......................................... 48 4. trinômios quadrados perfeitos

e equações do 2o grau ........................ 49 5. Fórmula geral de resolução da

equação do 2o grau ............................ 54 6. resolvendo problemas ........................ 58 7. Soma e produto das raízes de

uma equação do 2o grau ..................... 62 8. equações fracionárias que recaem em

equação do 2o grau ............................ 68 9. equações biquadradas ........................ 7110. equações irracionais ............................ 72


6ª provadébora

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Unidade 7Relações métricas nos triângulos retângulos1. o teorema de pitágoras.......................181

2. teorema de pitágoras, quadrados

e triângulos ........................................188

3. relações métricas nos

triângulos retângulos .........................192

Unidade 8Trigonometria no triângulo retângulo1. as razões trigonométricas ..................203

2. as razões trigonométricas e os

ângulos de 30º, 45º e 60º ...................212

Unidade 9Círculo e cilindro1. Área do círculo ...................................221

2. Área da superfície e volume

de um cilindro ....................................229

Unidade 10Porcentagem e juro1. revendo porcentagens,

descontos e acréscimos .......................241

2. Juro ....................................................247

Sugestões de leitura e desites para o aluno ..............................259 Referências bibliográficas ...... 261

Malhas para as atividades ..... 262

Respostas dos exercícios ........ 264

SUMÁRIOSUMÁRIO

Unidade 3Sistema cartesiano1. Localização ......................................... ..812. Sistema cartesiano .............................. ..843. coordenadas geográficas .................... ..87

Unidade 4Funções1. conceito de função ............................ ..952. as funções e suas aplicações ...............1023. da tabela para a lei de formação da

função ................................................1084. interpretando gráficos ........................1105. construindo gráficos de funções .........115

Unidade 5Noções de probabilidade1. Qual é a chance? ................................1332. as probabilidades e a estatística ..........1413. população e amostra ...........................144

Unidade 6Teorema de Tales e semelhança de triângulos1. razões, proporções e segmentos proporcionais ......................................1552. teorema de tales .................................1573. teorema de tales nos triângulos ..........1624. Semelhança ........................................1645. Semelhança de triângulos ...................1696. aplicando a semelhança de triângulos .173


6ª provadébora

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p o t e n c i a ç ã o e r a d i c i a ç ã o 7

Mus

eu B

ritân

ico, L

ondr

es

UNIDADE 1UNIDADE

Potenciação e radiciação1. Revendo a potenciação

Numa estrada, encontrei sete mulheres.Cada mulher tinha sete sacos,cada saco tinha sete gatos,cada gato tinha sete gatinhos.Quantos gatinhos encontrei na estrada?

essa brincadeira, adaptada de um verso dofolclore inglês, pode ser solucionada calculando-se:

7 7 7 7 2 401 gatinhos; ou, usando a potenciação,

74 2 401 gatinhos.

nessa potenciação, 7 é a base

e 4 é o expoente.

Fern

ando

Fav

oret

to

O papiro de Rhindentrelaçando e colando as hastes das folhas de

uma planta chamada papiro, os egípcios fabricavam artesanalmente um material para nele escrever: um ancestral do nosso papel. alguns documentos es-critos nesse material sobreviveram ao tempo e são chamados de papiros.

em 1858, um pesquisador escocês chamado Hen-ri rhind comprou, no egito, um papiro que, estima--se, foi escrito por volta de 1650 a.C. ele contém informações sobre o sistema de numeração egípcio, conhecimentos de geometria e proporcionalidade, problemas e até brincadeiras com números.

Uma dessas brincadeiras cita:• 7 casas, 49 gatos, 343 ratos e 2401 espigas

de milho. Supõe-se que essa brincadeira tenha inspirado o

versinho em inglês de que falamos.

trecho do papiro de rhind, que mede 30 cm

de largura e 5 m de comprimento.

PratiCandO matemÁtiCa 9O anO ediçãO renOVadaPnLd 2014 – mac 4

6ª PrOVadébOra

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8

n fatores iguais a a

Veja exemplos de cálculos de potências:

• 1,52 1,5 1,5 2,25 • 80 1

• (2)5 (2) (2) (2) (2) (2) 32 • (2,6)0 1

• 37

2 37

37

949 • 43

143

164

• 79

–2

97

2

8149

• 15

–3 (5)3

125

Quando a base é um número negativo, é

necessário escrevê-la entre parênteses.

Sem parênteses, o sinal de negativo será aplicado ao resultado

da potenciação.

Você já trabalhou nos anos anteriores com a potenciação e suas propriedades. Vamos recordar?

Definições

Considerando que a base é um número real a e o expoente é um número natural n, temos:

an a a a a … a para n 1

a1 a; e, para a 0:

a0 1

an 1an

1a

n

Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a manutenção de padrões:

Os expoentes diminuem sempre uma unidade.O quociente entre os valores sucessivos das potências

é constante e igual a 3.

Veja:

1

79

2

14981

1 8149

8149

Atenção!

34 33 32 31 30 31 32 33 34

81 27 9 3 113

19

127

181

: 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3

Ilust

raçõ

es: L

ápis

Mág

ico


6ª PrOVadébOra

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Exercícios

Qualquer número natural � 0.

5 Calcule.

a) 2 8 3

b) 7 49 2

c) 10 10 000 4

d) 0 0

e) (12) 32 5

f ) (2) 64 6

g) (2) 128 7

h) (3) 9 2

i) (3) 27 3

j) (10) 100 000 5

1 Num depósito há 10 caixas, cada caixa contém 10 pacotes e cada pacote contém 10 parafusos. Quantos parafusos há no total?

103 1 000

3 Qual é o número maior: 222 ou 222? 222

2 Qual é o expoente?

4 Complete, no caderno, a tabela que trata da área e do perímetro de 5 quadrados diferentes.

a) (7)2 49 b) 72 49

Os resultados são iguais ou diferentes? Por quê?

7 Um gato come 4 ratos por dia. Quantos ra-tos 4 gatos comem em 4 dias? 64 ratos • 43 64

6 Calcule.

a) (3)4 81

b) 34 81

c) 53 125

d) (5)3 125

e) (1,4)2 1,96

f ) 1,42 1,96

8 Qual é o valor de a? Responda no caderno.

9 Traduza para a linguagem matemática:

a) o quadrado de 5; 52

b) o dobro do quadrado de 5; 2 52

c) o cubo de 5; 53

d) o triplo do cubo de 5. 3 · 53

a) a5 1 1

b) a6 0 0

c) a3 8 2

d) a2 25 5 ou (5)

e) a4 16 2 ou (2)

f ) a2 9 (Cuidado!) não há.

diferentes. no item a, o (–7) está elevado ao expoente 2, enquanto no item b, o 7 está elevado ao expoente 2 e o resultado tem sinal negativo.

Lado 3 7 1,5 12 x

Área 9

Perímetro

142,2549

12 28 6 2 4x

x2

1 000 parafusos

Atenção!

Em alguns itens pode

haver duas respostas.

Lápi

s M

ágico

Ilust

ra C

arto

on


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10

1o bloco

2o bloco

3o bloco

chão

1

23

14

24

31

44

24

43

13

19

33 27

32 9

31 3

30 1

31

32

(3)3 27

(3)2 9

(3)1 3

(3)0 1

(3)1

(3)2

13

Responda.

a) As potências 31 e (3)1 são iguais ou di-ferentes? diferentes.

b) As potências 32 e (3)2 são iguais ou di-ferentes? iguais.

15 Calcule.

19

10 Seguindo o mesmo padrão de construção do prédio abaixo, foi construído outro com 7 blocos, também numerados de cima para bai-xo como o da figura. Cada quadradinho tem uma janela. Nesse novo prédio, qual é o nú-mero de janelas do 7o bloco (o mais próximo do chão)? 49 janelas • 72 49

11 Copie e complete, no caderno, cada uma das tabelas utilizando as potências de base 10.

12 Calcule.

a)

45

2 1625

b) 45

2

165

c)

310

2 9

100

d)

98

2 8164

e)

12

5

132

f )

12

6 164

13 Um restaurante oferece três tipos de sala-da, três tipos de carne e três tipos de sobremesa. Quantas refeições diferentes podem ser ofereci-das, se cada uma deve conter uma salada, um tipo de carne e uma sobremesa? 27 refeições • 33 27

14 Copie e complete os quadros em seucaderno.

a) 72 149

b)

57

2

4925

c)

23

4

8116

d) 53 1125

e)

25

3 125

8

f)

63

1

36

12

kg g1

10100

1 000

m cm1

10100

1 000

103

104

105

106

102

103

104

105

Ilust

raçõ

es: I

lust

ra C

arto

on


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2. Propriedades das potências

24 23

Quando multiplicamos potências de mesma base, podemos conservar a base e somar os expoentes.

56 54 52

56 54 56 4 52

Quando dividimos potências de mes-ma base, podemos conservar a base e subtrair os expoentes.

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Para elevar uma potência a um expoente,

podemos conservar a base e multiplicar os

expoentes.

Para evitar tantos cálculos, podemos aplicar as propriedades das potências. Vamos lembrá-las e depois voltaremos a essa expressão.Observe:

24 23 2 2 2 2 2 2 2 27

24 23 24 1 3 27

acompanhe exemplos de aplicação dessas propriedades:

• (3)4 (3)6 (3)4 1 6 (3)2 •

69

68 69 8 61 6

• x2 x3 x9 x2 1 3 1 (9) x4 (com x � 0) • a5 a9 a5 9 a4 (com a � 0)

• 1,79 1,72 1,79 2 1,77

dessas propriedades decorrem outras:

(74)2 74 74 78, ou seja, (74)2 74 2 78

Finalmente, acompanhe os exemplos:

• (5 3)2 (5 3) (5 3) 5 5 3 3 52 32

• (x y2)3 (x y2) (x y2) (x y2) x x x y2 y2 y2 x3 (y2)3 x3 y6

de forma semelhante, na divisão podemos elevar dividendo e divisor ao expoente indicado. Veja:(8 5)3 83 53

Se a base é uma multiplicação, podemos

elevar cada fator ao expoente indicado.

Podemos resolver essa expressão

É, mas sem acalculadora

teríamos muito trabalho!

usando calculadora para obter as potências.Depois, fazemos as operações indicadas. Lá

pis

Mág

ico


6ª PrOVadébOra

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12

Usando essa forma de representação, uma pessoa

que não fale o nosso idioma, mas que conheça Matemática, saberá que

listamos as propriedades das potências!

27 3 9 3 3 3 1

27 33

243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1

243 35

Aplicando as propriedades das

potências, economizamos cálculos e tempo!

Podemos usar letras para generalizar as propriedades que acabamos de rever.as bases são números reais a e b diferentes de zero, e os expoentes, números inteiros m e n.

agora, voltando à nossa expressão...

Vamos ver mais um exemplo.

tomemos a expressão 243 38

274.

Seria bastante trabalhoso calcular as potências indicadas. no entanto, podemos simplificar a expressão.

Primeiro fatoramos 243 e 27:

Voltando à expressão inicial:

243 38

274

35 38

(33)4

35 + 8

33 4

313

312 313 – 12 31 3

então,

243 38

274 3.

am an am + n

am an am – n

(am)n am · n

(a b)m am bm

(a b)m am bm

Ficou mais fácil!

Ilust

raçõ

es: L

ápis

Mág

ico


6ª PrOVadébOra

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Exercícios

a) (83)2 = 85

b) 67 : 6–5 = 62

c) (5 + 3)2 = 52 + 32

d) = 10–1 104

105

e

e

e

C

2400 : 2397

a – ib – iVC – iid – iii

16 O desenho abaixo representa o cruzamen-to de linhas horizontais com linhas verticais. Quantos pontos haveria se tivéssemos 18 li-nhas horizontais e 18 verticais? 324 pontos

17 Transforme numa única potência:

a) 57 52 59

b) a a4 a a6

c) 7 73 49 76

d) 710 : 74 76

e) 32 : 35 37

f) 106 : 103 : 10 102

18 Certo ou errado? Anote a resposta no ca-derno.

19 No chaveiro representado na figura, são guardadas as chaves de um estacionamento. Em cada gancho são colocadas 5 chaves. No total, quantas chaves podem ser guardadas?

20 Calcule mentalmente o valor de: 23 8

21 Relacione, no caderno, as expressões que têm o mesmo valor.

A 7 7 7 7

B (72)4

C (52)2

D 52 54

I 73 7

II 5 5 5 5

III (52)3

494

22 Simplifique.

a) (72)3

(73)2

1 b) (3 52)3

(32 5)2

31 54

23 Calcule mentalmente o problema. 37 : 35 32

24 Quanto é:

a) o dobro de 210? 2 210 211

b) o quádruplo de 210? 4 210 212

c) o quadrado de 210? (210)2 220

d) o cubo de 210? (210)3 230

IV

125 chaves • 53 125

Em uma caixa há 37 lápis. Quan-tos pacotes, com 35 lápis em cada um, vou conseguir embalar?

(Anote o resultado no caderno.)9 pacotes

Ilust

raçõ

es: I

lust

ra C

arto

on


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14

Exercícios

a) 4 000 4 10³

b) 8 200 000 8,2 106

c) 0,00 7 56 7,56 10–3

d) 0,000 09 9 10–5

a) O coração humano bate cerca de 36 000 000 de vezes em um ano. 3,6 · 107

b) Há cerca de 60 milhões de células na retina do olho humano. 6 · 107

c) A espessura de uma folha de papel é de 0,005 mm. 5 · 10–3

d) A distância da Terra à Lua é de, aproxima-damente, 384 400 000 metros. 3,844 · 108

26 Escreva, em notação científica, os números que aparecem nas frases.

27 Escreva, em notação científica, cada um dos números que aparecem nas frases.

a) O estádio do Maracanã já acomodou um público de 210 000 pessoas. 2,1 · 105

b) O rio Nilo é um dos mais compridos do mundo, com 6 695 000 metros de extensão.

c) Em média, uma célula do corpo humano tem massa de 0,000 000 008 grama. 8 · 10–9

Uma aplicação da potenciação – a notação científica

25 Escreva os números utilizando notação científica.

Provavelmente você já aprendeu a notação científica no 8o ano.as potências de base 10 são utilizadas para simplificar e padronizar o registro de números.

a distância entre o planeta Vênus e o Sol é de, aproximadamente, 108 000 000 quilômetros.

a notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples:108 000 000 km 1,08 108 kma vírgula foi deslocada 8 casas para a esquerda: o expoente da potência de base 10 é 8.

Outro exemplo:

Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000 5 milímetro.

na notação científica, 0,000 5 mm 5 104 mm. a vírgula foi deslocada 4 casas para a direita: o expoente da potência de base 10 é (4).

Meg

umi/D

ream

stim

e.co

m

◆ Estádio do Maracanã, Rio de Janeiro.

Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10 multi-plicado por uma potência de base 10.

6,695 · 106


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3. Revendo a radiciação• Conhecendo a medida do lado do quadrado, podemos deter-

minar sua área.

a 2 42 16 cm2

4 cm

• Conhecendo a área do quadrado, podemos determinar a medida de seu lado.

a 2

2 25

25 5 cm, pois 52 25

25 cm2

extrair a raiz quadrada é a operação

inversa de elevar ao quadrado.

O volume de um cubo de aresta 2 cm é:

V a3 23 8 cm3

Se um cubo tem volume de 27 cm3, podemos determinar a medida de sua aresta.

V a3

27 a3

a 3 27 3, porque 33 27 extrair a raiz cúbica é

a operação inversa de

elevar ao cubo.

Já aprendemos que há dois números que, elevados ao quadrado, resultam 25.

52 25 e (5)2 25

Considera-se que 25 é o número positivo que elevado ao quadrado resulta 25:

25 5

indicaremos por 25 o oposto de 25. Observe: 25 5

4 cm

a potenciação e a radiciação são operações inversas.

2 cm

2 cm2 cm

Ilust

raçõ

es: D

AE


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16

relembre o cálculo de raízes com estes exemplos:

• 144 12, porque 122 144

• 0,36 0,6, porque 0,62 0,36

• 410 000 10, porque 104 10 000

410 000 (lê-se: raiz quarta de dez mil)

• 4 é o índice da raiz;

• 10 000 é o radicando;

• é o símbolo da raiz.

Lembre-se:

raízes de índice par de números negativos não são números reais.

isso acontece porque todo número real elevado a um expoente par resulta em um número positivo. Por exemplo:

• 16 não é um número real. 42 16 (4)2 16

• 6

1 não é um número real. 16 1 (1)6 1

no entanto...

raízes de índice ímpar de números negativos são números reais.

• 3

8 2, porque (2)3 8 • 5

32 2, porque (2)5 32

muitas raízes são números irracionais: têm infinitas casas decimais e não apresentam período.

2, 5, 8 e 3

24 , por exemplo, são números irracionais. Podemos trabalhar com esses números na forma de radical. Se necessário, podemos aproximar essas raízes por um número racional.

Na prática podemos usar, por exemplo,

2 1,41.

Digite 2 e a tecla na calculadora.

Aparece, no visor, 1,414 213 562, que é

uma aproximação para 2 com 9 casas

decimais.

exemplos:

Lápi

s M

ágico


6ª PrOVadébOra

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Exercícios

a) 64 8

b) 64 8

c) 64

d) 4 81 3

e) 4 81 3

f ) 481

g) 3 27 3

h) 3 27 3

i) 3

27 3

28 Expresse cada número como uma raiz qua-drada.

29 Calcule mentalmente.

a) 1 1 d) 0,49 0,7

b) 121 11 e) 0,09 0,3

c) 1,21 1,1 f) 425 2

5

30 Um terreno quadrado tem 900 m2 de área.

a) Quantos metros mede o seu perímetro?

b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado desse quadrado? 8 100 m2

120 metros

31 Complete, em seu caderno, de modo a obter afirmações verdadeiras.

32 Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 49 e a raiz cúbica de 125. 49

3125 = 2

33 O volume de um cubo é 1 000 dm3. Qual é o compri-mento da aresta? 10 dm

34 Responda.

a) Se 4 a 3, qual é o valor de a? 81

b) Se 5 a 2, qual é o valor de a? 32

c) Se 7 a 1, qual é o valor de a? 1

d) Se n 625 5, qual é o valor de n? 4

e) Se n 64 2, qual é o valor de n? 6

35 Responda: 20 e 20

36 Qual é o maior número: 2,81 ou 8? 8

37 O senhor José tem um galinheiro quadra-do, com uma área de 5 m2, que precisa ser cer-cado com tela. Que número inteiro de metros de tela ele precisa comprar? 9 metros

38 Calcule, caso exista, no conjunto dos nú-meros reais:

400 é quadrado de quais números?

200a) 3 1 1

b) 3 2 8

c) 3 20 8 000

d) 3 0,008 0,2

e) 3 8 000 000

f ) 3 64 4

g) 3 40 64 000

h) 3 0,001 0,1

5 25=

a) 10 100

b) 0 0

c) 13 169

d) 2,6 6,76

e) 0,2 0,04

f ) 37 9

49

não existe.não existe.

Lápi

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18

4. Expoentes racionaisaté agora trabalhamos com potências cujos expoentes eram números inteiros.

e se o expoente for um número racional?

Por exemplo, qual é o significado de 712 ? e de 2,8

34 ? e 160,25?

Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira:

Se a é um número positivo e m e n são números naturais diferentes de zero, então:

amn

n am n am a

mn

Veja num exemplo por que tomamos base positiva:

(2)34

4(2)3

Como (2)3 é um número negativo, essa raiz não é um número real.

As potências de base positiva e expoente racional podem ser escritas na forma de radical, e os radicais podem ser

escritos na forma de potência com expoente racional.

exemplos:

as propriedades das potências continuam valendo para os expoentes racionais.

O fato de potências com expoentes racionais poderem ser escritas como raízes também tem suas razões. dentro da ideia de manter padrões...

Os valores dos expoentes diminuem sempre 12

. do mesmo modo como ocorre para os expoentes

naturais, os quocientes entre dois valores sucessivos de potên cias devem ser constantes:4x

x1

⇒ x2 4 ⇒ x 4

Como x 412 , temos 4

12 4.

41 412 40

4 x ? 1

• 712

271 7

• 2,834

42,83

• 160,25 1614

4161

416

• 5 512

• 3

42 423

• 5

27 275

Lápi

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1a propriedade

Sem fazer cálculos, márcio escreveu em seu caderno:

5. Propriedades dos radicais

Veja como escrevemos a forma geral dessa propriedade:

Para calcular 4

625 , rogério fatorou 625:

Para descobrir a medida do lado do quadrado de área 576 cm2, Patrícia fez:

625 5 125 5 25 5 5 5 1

depois fez:

4

625 4

54 5

62554

Cuidado com a base negativa do radicando!Veja um exemplo do que ocorre se a base for negativa e o índice for par:

(3)2 9 3

nesse caso, (3)2 � 3.

essa propriedade pode ser útil no cálculo de raízes. Veja:

acompanhe:

• 52 522 51 5

• 3

73 733 71 7

• 6

36 366 31 3

Se a é um número positivo e n é um número natural diferente de zero, n

an a.

Elevo à quinta potência e extraio a raiz quinta: são

operações inversas!

Lápi

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Ilust

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6ª PrOVadébOra

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20

2a propriedade

Vamos usar frações equivalentes!

Ana, você saberia escrever a raiz quinta de dois elevado à terceira como um radical de índice dez?

• escrevemos a raiz quinta de dois elevado à terceira na forma de potência.

• achamos uma fração equi-

valente a

35

que tenha de-

nominador dez.

• escrevemos a potência na forma de radical, outra vez, e está resolvida a questão!

na prática, faremos:

5 23

5 223 2

1026

aproveitando as ideias da ana...

836 3

68 3

34

4

33

Usamos frações equivalentes para escrever o radical numa forma mais simples.Podemos registrar o procedimento acima de uma forma mais curta, assim:

836

8 : 236 : 2

433

Veja outro exemplo:

1075 7

510 7

12 7 ou

1075

10 : 575 : 5

7

Quando multiplicamos ou dividimos o índice da raiz e o expoente do radicando pelo mesmo número natural diferente de zero, obtemos um radical equivalente ao primeiro.

35

610

2

2

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Exercícios

39 Calcule.

40 Simplifique.

a) 72 7 b) 5 25 2

75 = 7353

expoente do radicandoíndice da raiz

41 Calcule as raízes por fatoração do

radicando.

42 A figura representa um escritório com duas salas quadradas de 9 m2 de área cada uma. O corredor tem 1 m de largura. Qual é a área total do conjunto? 24 m2

9 + 9 + 6 24

43 Veja o que o professor escreveu no quadro--negro:

53 = 6 5

Justifique essa afirmação do professor.

6 53 53

6 51

2 5

44 No caderno, simplifique os radicais e, em cada item, responda: que número você usou para dividir o índice e o expoente?

45 Certo ou errado?

46 (Unicamp-SP) Determine o maior dentre os números 3 3 e 4 4 . 3 3 •

12 34 , 12 43 ou

12 81, 12 64

a) 6412 8

c) 823 4

d) 1625

12

45

e) 1000,5 10

f) 6250,25 5

g) 3215

2

h) 827

13

23

b)40012

20

a) 49 7

b) 121 11

c) 169 13

d) 3 125 5

e) 4 625 5

f ) 3 343 7

g) 4 81 3

h) 6 729 3

i) 7 128 2

j) 10 1024 2

a) 4 76 73 ; 2

b) 9 56 3 52 ; 3

c) 10 215 23 ; 5

d) 8 32 4 3 ; 2

a) 6 72 3 7 C

b) 5 64 10 68 C

c) 6 53 3 5 e

d) 3 2 12 24 C

1 mLá

pis

Mág

ico

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22

Descobrindo mais propriedades dos radicais

3a propriedade

O que observamos nesse exemplo pode ser generalizado. acompanhe.

tomemos os números positivos a e b e o número natural n diferente de zero:

na b (a b)

1n a

1n b

1n

na

nb

Ou seja, usando a notação de potência de expoente ra cional para os radicais e as propriedades da potenciação, mostramos que:

a raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores desse produto.

aplicando essa propriedade, chegaremos a um resultado importante:

(3 7 )2 3 7 3 7 3 7 7 3 72 , isto é: (3 7 )2

3 72

de modo geral:

(n a )m

n am

raiz de um produto

produto de raízes

(Saresp) Por qual dos números abaixo deve ser multiplicada a expressão 5 8 9 para que

seja obtido um número inteiro?

a) 10 b) 30 c) 45 d) 50x

Sabemos que 25 4 100 10

também sabemos que:

25 4 5 2 1025 5

4 2

então, 25 4 25 4 .

na b

na

nb

Acabamosde estudar duas

propriedades dos radicais.Vamos estudar mais

duas.

Lápi

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4a propriedade

a raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes do dividendo e do divisor.

Para determinar 4

6 561 usando uma calculadora

que tem a tecla , digitamos 6 561 e

obtemos 9.

Confirme que 94 6 561 digitando:

agora compreenda por que calcular 4

6 561 é o

mesmo que calcular 6 561.

6 561 ( 6 561)12 (6 561

12)

12 6 561

14

4 6 561

Mau

ricio

Mor

ais

×9

Você verá como as propriedades que estamos

vendo serão úteis!

agora observe:

36 : 4 9 3

36 : 4 6 : 2 336 6

4 2

então, 36 : 4 36 : 4

Sendo a e b números positivos e n um número natural diferente de zero:

n a : b (a : b)1n a

1n : b

1n

n a : n b , ou seja,

raiz de um quociente

quociente de raízes

n ab

n an b

Usando o procedimento do exemplo, mostre em

seu caderno que

6 65 10= .

56 ( 6 )

15 (6

12)

15 6

110

10 6

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6ª PrOVadébOra

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24

Exercícios

47 Escreva sob a forma de uma única raiz.

48 Leia o exercício que Renato deve responder:

Responda você também. 81 • x � 3

50 Calcule, indicando o resultado sem radical.

Faça os cálculos e responda em seu caderno.

51 A figura é constituída por duas partes re-tangulares (medidas em cm).

a) Qual é a área do retângulo azul? 4 cm2

b) Qual é a área do retângulo verde? 6 cm2

52 Calcule, usando as propriedades dos radi-cais aritméticos.

53 A figura mostra um retângulo e no seu in-terior um quadrado.

Qual é a áreada parte hachurada

da figura?45

54 É verdade que 6416

64

16= ? Sim.

49 Certo ou errado? Responda em seu caderno.

a) 543 512

b) 235 215

c) 3243 3212

d) 5 58

a) 21 3 7= ⋅ C

b) 40 4 103 3 3= ⋅ C

c) 2 5 103 ⋅ = E

d) 2 3 5 30⋅ ⋅ = C

a) 3 12⋅ 6

b) 2 43 3⋅ 2

c) 8 45 5⋅ 2

d) 11 11⋅ 11

e) 2 50⋅ 10

f ) 8 0 5,⋅ 2

g) 0 1 10, ⋅ 1

h) 0 5 5 10, ⋅ ⋅ 5

a) 102

( ) 10

b) 832

( ) 4

c) 736

( ) 49

d) 324

( ) 81

A raiz quadrada da raiz quadrada de um número é igual a 3. Qual é esse número?

8

2 4,5

Ilust

raçõ

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lust

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E

PRATICANDO MATEMÁTICA 9O ANO EDIÇÃO RENOVADAPNLD 2014 – mac 4

6ª PROVADÉBORA

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Para fazer a higiene pessoal, cozinhar,

limpar a casa, lavar a roupa etc., cada

pessoa consome em média 200 litros de

água por dia.

Um reservatório como esse seria capaz

de abastecer um grupo de 500 pessoas por

aproximadamente quantos dias?

Lembre-se de que 1 m3 1 000 L.aproximadamente 17 dias.

6. Simplificação de radicaisUm reservatório em forma de cubo deve comportar 1 728 m3 de água. Qual deve ser a medida

de sua aresta?

Vamos descobrir?

O volume do cubo é: V a3 .

Como V 1 728 m3, temos a3 1 728.

então, a 17283 .

Podemos determinar essa raiz por tentativas. também podemos usar as propriedades dos radicais para determiná-la:

1 728 2 864 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1

1 728 26 33

1728 2 3 2 3 2 2 33 6 33 63 33 33 33= = = 333 2 2 3 12= =

Logo, a aresta deve medir 12 metros.

as propriedades dos radicais permitiram simplificar e calcular a raiz que resolvia o problema.

Confira calculando se 123 = 1 728.

• Fatoramos 1 728

a

a

a

Vice

nte

Cost

a

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6ª PrOVadébOra

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26

224 2 112 2 56 2 28 2 14 2 7 7 1

3. Sabendo que 5 2,24, vamos calcular o valor aproximado de 245.

Veja mais exemplos de simplificação de radicais:

1. 8 23 22 2 22 2 2 2

2 2 8é a forma simplificada de

245 5 49 7 7 7 1

Fatorando 245, obtemos 245 72 5

245 72 5 72 5 7 5

245 7 2,24 15,68

224 25 7

2245 25 75 255

75 2 75

2. Usaremos a fatoração para simplificar 2245.

Para simplificar 700, ana lembrou que 700 100 7 e fez:

700 100 7 100 7 10 7 Como a raiz era quadrada, ela decom-pôs 700 num produto, de forma que um dos fatores fosse um número quadrado perfeito.

Você também pode usar essa ideia!

1. Utilize a ideia de Ana para simplificar os seguintes radicais:

a) 28 2 7 c) 500 10 5

b) 32 4 2 d) 163 2 23

2. É verdade que 32 é o dobro de 8? Sim. 32 4 8 2 8

3. Qual dos números é o maior?

a) 100 b) 1 000 c) 1

0,1 d)

10 01,

x

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6ª PrOVadébOra

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Exercícios

55 Certo ou errado?

56 Simplifique os radicais.

57 Considere a sequência abaixo, em que a área de cada quadrado é a quarta parte da área do quadrado anterior:

A 256 cm2

Sendo 256 cm2 a área do primeiro quadrado, responda.

a) Qual é a medida do lado do segundo qua-drado? 8 cm

b) Qual é a medida do lado do menor quadra-do? 1 cm

58 O sólido abaixo tem o volume de 4 374 cm3 e é formado por cubos de mesmo volume. Cal-cule a medida da aresta de cada cubo. 9 cm

59 Mostre que as igualdades são verdadeiras:

60 Rodrigo está escrevendo uma sequência de cinco números. Qual é o número que ele ainda deverá escrever? 72 6 2ou

61 Mostre que os números 4 3 7 5 2, e estão colocados em ordem crescente.

48 49 50< <

62 Use propriedades dos radicais e consulte a tabela para achar um valor aproximado de:

a) 5 7 25 7= C

b) 3 4 2 3= C

c) 2 10 20= e

d) 2 5 20= C

e) 2 2 163 3= C

f ) 9 8 6 2= C

a) 98 7 2

b) 27 3 3

c) 72 6 2

d) 243 2 33

e) 804 2 54

f ) 7293 9

g) 363 11 3

h) 1083 3 43

i) 2245 2 75

j) 2404 2 154

a) 1225

2 35

= b) 3227

4 2

3 3=

a) 12 3,46

b) 18 4,23

c) 63 7,92

d) 80 8,92

e) 54 7,32

• 4 374 : 6 729

• 729 93 =

2 1 41

3 1 73

5 2 23

6 2 44

7 2 64

,

,

,

,

,

Anote as respostas no caderno!

1225 12

25

2 35

3727 32

27

4 23 3

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28

7. Adição e subtração de radicais

5x e 2x são termos semelhantes

9y e 4y são termos semelhantes

Veja esta expressão com radicais:

• 5 2 7 2 6 3 2 3+ + − nela encontramos radicais semelhantes. aproveitando as ideias da expressão algébrica, pode-

mos fazer:

5 2 7 2 6 3 2 3 12 2 4 3–+ + = +

Veja outros exemplos de expressões envolvendo adição e subtração de radicais:

• 8 5 7 10 5 2 7 9 7 2 5 6 73 4 3 4 4 3 4– – – –+ + =

• 3 5 7 6 7 2 7 3 7–+ + = +

•

50 32 25 2 16 2 25 2 16 2+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = +

+ = + =

5 2 4 2

50 32 5 2 4 2 9 2

radicais que inicialmente não eram semelhantes

tornaram-se semelhantes depois de simplificados.

na expressão algébrica 5x 1 9y 1 2x 1 4y, podemos somar os termos semelhantes:

Veja a seguir outros exemplos.

• São semelhantes:

2 5 e 3 5

345 e 10 345

7 23 5 23

radicaissemelhantes

não é difícil somar e subtrair radicais semelhantes!

• não são semelhantes:

6 e 63

5 3 e 5 8

Os índices são diferentes.

Os radicandos são diferentes.

a expressão não tem radical

semelhante a 3.

5x 1 9y 1 2x 1 4y 7x 1 13y

Radicais semelhantes são radicais que têm mesmo índice e mesmo radicando.


6ª PrOVadébOra

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Vamos resolver um problema de Geometria?

Um quadrado tem área de 32 cm2.

• Qual é a medida de seu perímetro?

O perímetro do quadrado é igual à soma das medidas de seus lados.

Portanto, precisamos descobrir primeiro a medida do lado do quadrado.

a área do quadrado é a 2.então 2 32, ou seja, 32.

Podemos simplificar esse radical, lembrando que

32 16 2

32 16 · 2 16 · 2 4 2 , ou seja, o lado do

quadrado mede 4 2 cm.

agora podemos calcular o perímetro:

Perímetro 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 16 2 cm

Se quisermos um valor aproximado para esta medida, podemos usar 2 1,41 e fazer 16 1,41 22,56.

O perímetro do quadrado é de 22,56 cm, aproxima-damente.

Se a área do quadrado é de 32 cm2, a medida de seu lado está entre

5 cm e 6 cm, pois 52 = 25 e 62 = 36.

Isso significa queo perímetro estará

entre 20 cm e 24 cm.

O resultadoconfere com sua

previsão!

Pense e responda.

1. A igualdade é verdadeira ou falsa?

2. (Saresp) No quadrilátero, as medidas dos lados estão dadas em centímetros. Qual é o perímetro desse

quadrilátero? 13 2 cm

a) 2 1 2 4 F

b) 10 1 10 20 F

c) 5 1 5 2 5 V

d) 20 5 5 V

2 2 2 4 2 6 2 13 2+ + + = 8

32

2

72

8

32

2

72

8

32

2

72

8

32

2

72

Ilust

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30

Exercícios

A igualdade:

é verdadeira ou falsa?

Por quê?

63

Falsa, porque 7 5.

64 Certo ou errado?

65 Efetue.

66 Efetue.

67 Nas figuras, as medidas indicadas são da-das em cm. Determine o perímetro de cada figura.

a)

b)

68 Qual é o perímetro da figura?

69 É verdade que 5 45 80+ = ? Sim.

70 Sabendo que os valores aproximados de

2 1 41 3 173, ,e� � , calcule um valor apro-ximado de:

a)

b)

c)

d)

–9 4 1

36 64 100

21 21 42

10 10 2 10

=

+ =

+ =

+ =

C

e

e

C

a)

b)

c)

d)

e)

–

– –

–

5 7 3 7

4 5 2 5

2 9 3 9

5 5 5

5 2 3 2

3 3

+

+

+ 22 2

8 3 2 3 8 3 3f ) – – +

a)

b)

c)

d)

e)

–

–

3 27

75 12

7 2 50

12 75 3

3 20 32

+

+

− +

+ 22 45 50

125 2 27 20 3 12

+

+ +f) –

4 3

3 3

12 2

2 3

9 2

3 5 12 3

–

+

4 3

3 3

12 2

2 3

9 2

3 5 12 3

–

+

4 3

3 3

12 2

2 3

9 2

3 5 12 3

–

+

4 3

3 3

12 2

2 3

9 2

3 5 12 3

–

+

4 3

3 3

12 2

2 3

9 2

3 5 12 3

–

+

4 3

3 3

12 2

2 3

9 2

3 5 12 3

–

+

P

P

= + + +

=

72 72 18 18

18 2

18 2 cm

16 9 25 3 2 2+ = ( )–

8 7

2 5

5 93

− 5

4 2

− 3

3,14

4,73

a)

b)

c)

d)

–

–

2 3

9 3

3 2

25 2

+

+

a)

b)

c)

d)

–

–

2 3

9 3

3 2

25 2

+

+

0,32

3,59

71 Situe 12 53+ entre dois números inteiros

consecutivos. 4 12 53+ 5

44

99

44

99

10 11

12 5

72 cm

18 cm

125

80

3 5

125

80

3 5

125

80

3 5

10 11

12 5

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

raçõ

es: D

AE


6ª PrOVadébOra

PMR9_007_032.indd 30 3/19/12 10:37 AM


8. Cálculos com radicais• Vamos calcular a área do retângulo ao lado.

c: medida de comprimento

: medida da largura

Lembrando que a área do retângulo é

a c , temos para esse retângulo a 15 6 .

aplicando a 3a propriedade, podemos escrever:

A 3 cm2

A �

� �90 10

⋅15 6

9 � 10 �� 9 10�

• aqui temos outro retângulo.

Qual é sua área?

aplicamos a propriedade distributiva:

acompanhe outros exemplos de cálculos envolvendo radicais:

• 90

154 6

9015

4 6 6 4 6 5 63

3

3 3 3 3 3 3+ = + = + =

• 8 12

2

8 4 3

2

8 2 3

22 4 3

2+ 8 4 3

2

+ ⋅==

+ ⋅=

+=

+=

( )44 3+

escreveremos 3 5.

é mais usual.

6 cm

15 cm

3 – 5 cm

5 cm

( )

6 cm

15 cm

3 – 5 cm

5 cm

( )

A = ⋅ ( )5 3 5–

A

A

A

cm2

⋅ ⋅

=

= ( )

5 3 5 5

3 5 5

3 5 5

2

–

–

–

=

Colocamos o fator comum 2 do numerador em evidência e simplificamos a expressão.

aplicamos a 3a propriedade.

Para calcular a área desse retângulo, usa-remos nossos conhecimentos sobre produtos notáveis:

2 3 – 2 cm

3 + 2 cm

⋅ ( )

( )

2 3 – 2 cm

3 + 2 cm

⋅ ( )

( )

A =

A =2

3 2 3 2 2

3 2 2 32

2

+( ) ( ) ⋅⋅( ) ( )–

22 2

2

2( )( ) ⋅A = 3 – 2

A =

=

2 cm2

– – ⋅

6 cm

15 cm

3 – 5 cm

5 cm

( )c

6 cm

15 cm

3 – 5 cm

5 cm

( )

1 1 1

1

1 1 1 11

Ilust

raçõ

es: D

AE


6ª PrOVadébOra

PMR9_007_032.indd 31 3/19/12 10:37 AM

32

Exercícios

a) 17 17 17

b) 53 253 5

c) 2 40,5 9

d) 7 3 7 21

e) 2 5 3 5 30

f ) 3 6 6 3 18

72 Efetue as multiplicações, indicando o re-sultado sem radical.

73 Na figura, as medidas indicadas são dadas em cm. Determine a área desse retângulo. 30 cm2

74 Efetue.

75 A área do retângulo é igual a 195 cm2, e o comprimento mede 15 cm. Quanto mede a largura deste retângulo? 13

76 Calcule a área do trapézio, supondo as me-didas em cm. 8 cm2

77 Calcule a área de cada um dos quadrados.

a) b)

78 Calcule, indicando o resultado sem radical.

79 Simplifique:

80 Para saber a área de determinada figura, uma pessoa calculou a área de cada parte da figura, encontrando a seguinte expressão:4 + 2 10 . Outra pessoa calculou a área des-sa mesma figura de outra maneira, chegando também ao resultado anterior. De que forma essa pessoa pode ter representado a área des-sa figura?

x

Anote a alternativa

correta em seu caderno.

a) 14 : 2 7

b) 203 : 53 43

c) 8 10 : 2 8 5

d) 20 20 : 5 2 4 10

3 2 2+5 2 6+

2 1 1

2 1 3

a) 405

3

3 2

b) 49010

7

c) 2 63⋅ 2

d) 405 2⋅

2

a) 4 122

+ b) 4 324

−

a) 8 2 5+

b) 2 ( )8 5+

c) 5 ( )2 8+

d) 8 ( )2 5+

cm


195 15 13: =•

195 cm2

15 cm

• a (5 2 ) (3 2 ) 30

2 1 3 1 2

3 2

5 2

Lápi

s M

ágico

Lápi

s M

ágico

Ilust

raçõ

es: D

AE

A =+

=( )50 18 2

28

50

18

2

2 5

8


6ª PrOVadébOra

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6ª provadébora

9. Racionalização

os números irracionais têm infinitas casas decimais e não apresentam período.

você já sabe:

veja a divisão que aninha precisava fazer:

observe que ela precisou usar uma aproximação para

2, pois 2 é um número irracional.

podemos evitar essas divisões encontrando uma divisão equivalente à divisão original e que não tenha número irracional como divisor. acompanhe o raciocínio da aninha:

Quando multiplicamos o dividendo e o

divisor por um mesmo número diferente de

zero, o quociente não se altera.

tornamos o divisor racional. Fizemos sua racionalização. Agora é com você!

1. É verdade que 11

11 11 ? Sim.

2. Racionalize.

a) 8

3

b) 5 2

6

c) 8

345

acompanhe mais dois exemplos de racionalização:

Essa divisão é mesmo trabalhosa!

7

2

7

1,414 213 562 7 : 1,414 213 562

7

2

7 2

2 2

7 2

22

7 2

2

então:

7

2

7 2

2

• 1

73

1 723

73 723

723

733

493

7

8 33

8 33

5

5 126

5 33

essa divisão tem divisor racional e vale o

mesmo que a divisão original.

• 3

5 6

3 6

5 6 6

3 6

5 62

3 6

5 · 62

6

10

Lápi

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ágico

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34


6ª PROVADÉBORA

Revisando

81 Calcule.

25

A(�2)3

C

4�2

D

52

E33

F

82 Escreva os números dos cartões em ordem crescente. C, D, B, E, F, A

83 Escreva o número 19 na forma de uma po-

tência de base 3. 3–2

8,410,084 1

84 100

2,92 0,292 2902

84 Sabendo que 292 � 841, calcule mental-mente.a) b) c)

85 Sabendo que a é um número inteiro posi-tivo, indique, em seu caderno, as expressões equivalentes.

a � a � a � a � a a5

a � a � a � a � a 3a � a2

(a � a) � (a � a � a) 5a

(a � a � a) � (a � a) a2 � 2a

(a � a � a) � (a � a) 2a � 3a

(a � a) � (a � a) a3 � 2a

Já calculei 84.

Deu 4 096.

Calcule mentalmente 212. 4 096

• 84 � (23)4 � 4 096

86

87 Qual dos números é o menor?

88 Uma fábrica produz garrafas de refrige-rantes com capacidade de 1

2 litro, 1 litro e

2 litros, cada uma delas disponível nos sabores guaraná, limão e laranja. Quantas possibilida-des de escolha existem para o consumidor que levar apenas uma garrafa? 9 possibilidades • 3² = 9

a) �72 � (�7)2 0

b) �23 � 30 � 1 �37

c) �23

3

� 1 1927

d) �52 � (�3)2 � 10�26

e) 32 � 3�2 829

f) 50 � (�1) � �12

2

74

g) 1 � 12

4

� 1 � 12

�1

A

B

C

D

E

F

H

I

J

K

G

L

B100

12

a) 19

2

b) 1 c) 219

x 1327

A e I

B e G

C e K

D e H

E e L

F e J

3548


Ilust

raçõ

es: H

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Sen

ator

e

Ilust

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es: L

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Mág

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Ilust

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es: D

AE

Lápi

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Ilust

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arto

on

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6ª provadébora

89Determine os dois termos seguintes decadaumadassequênciasindicadas.

a) 1,4,9,16,...25, 36

b) 1,8,27,64,...125, 216

c) 1,12

,14

,18

,...,

d) ,,,...,

116

132

23

49

827

1681

32243

90Usando“cubinhos” iguais,Alicefezaconstruçãoaolado:

a)Determineomenornúme-

b) Determineomenornúmerode“cubinhos”queAliceteriaderetirardaconstruçãoparaobterumcubo.33 “cubinhos”

91Simplifique.

a) 25 513

29 56��

24 57

b) � �(2 3)7 (3 5)4

39 27 32 54

92Umafeiradelivrosfoiinstaladanumprédiode3andares,cadaandardivididoem3setores.Compondo cada setor havia 3 estandes, e emcadaumdelestrabalhavam3pessoas,queforamidentificadascomumcrachá.Quantoscrachás,nomínimo,foramconfeccionados?81 crachás

93Calcule.

a) Você pode indicar o lado do quadradocomo 150 cm?Sim.

b) Qual é o número natural que elevado aoquadradoresulta150?não existe.

• Tenteo11.Émuitooupouco?



c) Oladodessequadradoéumnúmeronatu-ral?Entrequaisdoisnúmerosnaturaiscon-secutivosestá 150 ?não. entre 12 e 13.

d) Comoauxíliodacalculadora,calculeapro-ximadamenteamedidadoladodessequa-drado.12,247 cm

é pouco, pois 112 121.

é pouco, pois 122 144.

é muito, pois 132 169.

94Observeoquadradorepresentadonafigura:

Área:150cm2

3

0,9

5

2

10 49 07− +a)

b)

c)

d)

11 0 29, ,−

3 42 2+

− +4 1003

6

1

1

23

10 82 2−

( )− − ⋅ ⋅5 4 1 62

5 8 12 813 4− + −

− − +⋅

( )7 12 6

rode“cubinhos”queAliceteriadeacrescentaràcons-truçãoparaobterumcubo.4 “cubinhos”

Responda.


e)

f)

g)

h)

• 34 81

1

1 1

1 1

Ilust

raçõ

es: I

lust

ra C

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DAE

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36


6ª provadébora

a)

b)

c)

d)

8 98

45 20

13 19

28 1

+

+

+

−

9 2

5 5

00 7

3 75 12

11 44 2 99 176

8−

+ −

+ − +

7

4 3

11

e)

f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

95Qualémaior:

a) 40 ou6? 40

b) 5 ou2,2? 5

c) 50 ou7,1? 7,1

d) 5 29, ou2,3?São iguais.

96Calculeadiferençaentrearaizquadradade64earaizcúbicade8.6 • 64 8 63− =

97Simplifique.

98Simplifique.

99(FMRP-SP)Umpaipretendiadividirumapizzaem4pedaçosiguais,umparacadapes-soa da família. Porém, a sua filha pediu-lheopedaçocorrespondenteaoquadradodafra-çãoquelhecaberia,eofilho,araizquadradadafraçãoquelhecaberia.Asuaesposaficoucomaquartaparteeelecomorestante.Quefraçãocorrespondeuaopedaçodopai?1 – 1

16 + 1

2 + 14

101Calculeesimplifique.

102No retângulo a seguir, asmedidas estãoindicadas em centímetros. Determine a áreadafigura.18 cm2 • 12 27 324 18⋅ = =

103Emumtriânguloequilátero,operímetroéiguala24 2 cm.Quantomedeoladodessetriângulo? 8 2 cm

104Escreva na forma mais simples possívelcadaumadasexpressõesaseguir.

105Noquadriláterodafigura,asmedidasdosladosestãodadasemcentímetros.

Determineoperímetrodessequadrilátero.14 3 cm

24

3

8

120

3

45

1112

576

2435

40964

7296

2 025

121144

14400

a) 99 3 11

b) 450 15 2

c) 800 20 2

d) 432 12 3

316

12

27

não é possível.

14

3

20

30

2

2

a) 2 5

b) 3 15

c) 2 98

d) 20 920

e) 200 2

f) 50 3 6

g) ,0 4 10

h) 8 12

3 5

10

100Situe 5 83 2

entre dois números inteiros

consecutivos. 3 5 8

3 2 4

1

2

1

1

1

1 1

27

75

2 3

48

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Sen

ator

e

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es: D

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6ª provadébora

106Vejaasmedidasdafigura:

a) Qualéaáreadoquadradoverde?2

b) Qualéaáreadoquadradoazul? 7

c) Qualéoperímetrodoquadradoazul?

d) Qualéoperímetrodeumretângulorosa?

e) Queexpressãorepresentaaáreatotaldessafigura?

Os números 6M3, 3M2 e 4M5 estão colocados em ordem crescente? De-monstre.

108Umengenheiromandouconstruirumre-servatórioquetemaformadeumcubocomcapacidadede64m3.

a) Qualéamedidadoladodessereservatório?

b) Quantoteriadeaumentarcadaumdosla-dosdoreservatórioparaacapacidadeserde125m3? 1 m

109Racionalize.

110Observeaplantaabaixoeresponda.

111 (Obmep)Qualdosnúmerosaseguirestámaispróximode(0,899²0,101²)0,5?

112 Umterrenocomaformadeumquadradode40mdeladofoidivididoemtrêsregiõesretangulares,destinadasàconstruçãodeumacasa (A), uma quadra (B) e uma piscina (C),conformesugereafiguraabaixo:

Sabendoque as áreas das regiõesA e B sãoiguais,calculeovalordexnaregiãoC. 16 m

4 7

2 2 2 7+

9 2 14+

107

Sim. 3 2 5

9 16 125

212 412 312

12 12 12

, ,

< <

a)

b)

c)

3 22

405 =

2 105

32

85

8 75 2

4 145

d)

e)

f)

157

157

186

14 2

23

4

3

7

3 216

48

3

4

3

(0,9² – 0,12) · 0,5 = 0,4

a)0,4 b)0,5 c)0,8 d)0,9x

4 m

a) QualéaáreadasaladoDr.João,sabendoqueasoutrasduassalassãoquadradas?

b) Qualdassalastemmaiorperímetro?a sala do dr. paulo; 24 m.

30 m2

b 40 15 600c 1 600 600 600c 400

25 x 400x 16

Sala do Dr. João

???

Sala do Dr. Pedro

25 m2

Sala do Dr. Paulo

36 m2

A

C

B

25 m

x

40 m

2

7

7

2

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

raçõ

es: D

AE

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38


6ª provadébora

DesafiosDesafios

(coroa,coroa) (coroa,cara)

113 Consideremosaseguintesituação:

•Aolançarmosumamoeda,temosdoisresul-tadospossíveis:cara ou coroa.

• Se lançarmos duas moedas diferentes, porexemplo,umadeR$0,10eoutradeR$0,50,teremosquatropossibilidades:

Nodemoedas Noderesultados1 22 434

56

Arelaçãoentreonúmerodemoedaseonú-meroderesultadosédadapelatabela.Copie-aecomplete-a.

Senéonúmerodemoedas,qualéonúmeroderesultados? 2n

114Umasalaquadradadeárea49m2temumtapetetambémquadradodeárea6,25m2co-locadonocentrodasala.Qualéadistânciadotapeteàsparedes?2,25 m

• 7 2,5 4,5 � 2 2,25

115 (Fuvest-SP)Qualametadede222?

116Qualémaior: 5 2 4 3ou ?

117 Observecomatençãooquadro:

1a) 1

2a) 3 5

3a) 7 9 11

4a) 13 15 17 19

5a) 21 23 25 27 29

soma1

soma8

soma27

soma64

soma125

a) Quaisnúmerosformama6alinha?

b) Qualéasomadosnúmerosda6alinha?

c) Qualéasomadosnúmerosda10alinha?

31, 33, 35, 37, 39, 41

63 216

103 1 000

118Umtorneiodepingue-pongueédisputadopor 32 jogadores, que são agrupados em pa-res.Os jogadoresdecadapar seenfrentameosperdedoressãoeliminados(nãoháempates).Osvencedoressãoagrupadosemnovospareseassimpordiante,atéquefiqueapenasocam-peão.Quantaspartidassãodisputadas?31 partidas

8

16

32

64

(cara,cara) (cara,coroa)

222 : 2 = 221

5 2 50 484 4, porque >

Desafios

• 16 1 8 1 4 1 2 1 1 31

Arqu

ivo

Parti

cula

r

Lápi

s M

ágico

Ilust

ra C

arto

on

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6ª provadébora

Seçãolivre

A lenda do jogo de xadrez

o xadrez é um jogo muito antigo e interessante. desenvolve o raciocínio e a capacidade de concentração, além de proporcionar momentos agradáveis.

existe uma lenda a respeito desse jogo, bastante conhecida, que envolve o con-ceito de potência:

“conta-se que um rei, entusiasmado com o jogo de xadrez, ordenou que dessem ao inventor do jogo o que ele pedisse. o inventor pediu: 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez; 2 grãos de trigo pela segun-da casa; 4 pela terceira casa; 8 pela quarta casa; 16 pela quinta casa; 32 pela sexta casa; e assim sucessiva-mente, sempre dobrando o número de grãos que foi colocado na casa anterior, até completar as 64 casas.

a vontade do rei não pôde ser satisfeita. mesmo juntando-se todos os celeiros do mundo não se conseguiria a quantidade pedida pelo inventor: dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil e seiscentos e quinze grãos de trigo, ou seja:

18 446 744 073 709 551 615

agora é a sua vez!imagine que você queira economizar dinheiro e adote o seguinte esquema: no 1º dia, você

guarda 1 centavo; no 2º dia, dois centavos; no 3º dia, quatro centavos, e assim sucessivamente. ou seja, você guarda, a cada dia, o dobro do que guardou no dia anterior.

• Quanto você acha que economizaria, mais ou menos, em um mês?

Faça os cálculos utilizando uma máquina de calcular.

264 1

aproximadamente 10 milhões e 700 mil reais.


soma1

soma8

soma27

soma64

soma125

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Autoavaliação anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.

40

119Quaisdestasigualdadessãoverdadeiras?

a) Apenasaprimeira.

b) Apenasasegunda.

c) Apenasaterceira.

d) Aprimeiraeaúltima.

x

120(UFRJ)Adosediáriarecomendadadeumremédiolíquidoéde40gotas.Umagotadestemedicamentopesa,emmédia,5·10–2gramas.Então,numfrascocontendo80gramasdesseremédio,temosmedicamentosuficienteparaumtratamentodenomáximo:

121Umqueijotemformacúbica,com5cmdearesta.Seoqueijoforcortadoparaaperiti-voem“cubinhos”de1cmdearesta,quantos“cubinhos”serãoobtidos?53 125

a) 25

b) 75

c) 125

d) 150

x

122OmenorpaísdomundoemextensãoéoEstadodoVaticano,comáreade400000m2.SeoterritóriodoVaticanotivesseaformadeumquadrado,entãoamedidadeseusladosesta-riaentre:

a) 200e210m

b) 320e330m

c) 400e410m

d) 600e650m

• �2= 400 000 • � = 200 10

123 (OBM)Ovalorde 0 444, ... é:

a) 0,222...

b) 0,333...

c) 0,444...

d) 0,666...

Os números de azulejos azuis e de azulejosbrancosqueserãonecessáriosparaconstruiro5omosaicodessasequênciasão,respectivamente:

124Comazulejosbrancos e azuis, todosdomesmo tamanho, Carlinhos está construindoumasequênciademosaicos.

a) 24e25

b) 25e24

c)24e16

d)16e24

125 (Vunesp) Uma cultura de certa bactéria,mantida sob condições ideais, triplica o seuvolumeacadadia.Seovolumenoprimeirodiaéde9cm3,ovolumenoquintodiaserá:

a) 405cm3

b) 729cm3

c)939cm3

d)2187cm3

49

23

0 666= = , ...

x

x

azuis: 8, 12, 16, 20, 24brancos: 1, 4, 9, 16, 25

x

a)15dias.

b)20dias.

c)30dias.

d)40dias.x

• 40 5 0,01 2• 80 � 2 40

• 53 = 125 • 9, 27, 81, 243, 729

xPh

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◆ Basílica de São Pedro, Vaticano, Itália

5 cm

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E q u a ç õ E s d o 2 o g r a u 41

UNIDADE 2UNIDADE

Equações do 2o grau1. Equações

Você já sabe como as equações são úteis na representação e

resolução de problemas.

Então, acompanhe a situação a seguir.

Na loja ao lado, um kit-presente com duas bermudas e três ca-

misetas custa o mesmo que um kit-presente com uma bermuda e

duas camisas.

Qual é o preço de uma bermuda?

Com um colega, tentem resolver o problema antes de prosseguir

com a leitura. A seguir, leia a resolução que apresentamos. Observe

que ela utiliza a álgebra.

Representaremos o preço da bermuda por x.

duas bermudas e três camisetas custam 2x 48.

Uma bermuda e duas camisas custam x 70.

Como os preços dos kits são iguais, temos que:

Escrevemos uma equação na incógnita x para representar a situação. Vamos resolver a

equação para descobrir o valor de x, que é o preço da bermuda.

2x 48 x x 70 x

x 48 70

x 70 48

x 22A bermuda custa R$ 22,00.

2x 48 x 70

Subtraindo x de ambos os membros da equação:

Para verifi car se a solução está correta, substituímos x por 22 na equação 2x 48 x 70.

2 22 48 22 70 44 48 22 70

92 92 (igualdade verdadeira)

Logo, 22 é a solução da equação.

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PRAtiCANdO mAtEmÁtiCA 9O ANO EdiçãO RENOVAdAPNLd 2014 – mac 4

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42

Exercícios

Grau de uma equação

A equação 2x � 48 � x � 70, que acabamos de resolver, é uma equação do 1o grau, pois o maior expoente de x é 1.

As equações podem ser classificadas de acordo com o valor do maior expoente da incógnita.Nas equações do 2o grau, o valor do maior expoente da incógnita é 2.

5y2 � 7y � 09x2 � 25x2 � 2x � 4 � 38 � 10a � a2 � 4a2 � 3a

1 No quadro há oito equações com uma in-cógnita.

Responda no caderno.

a) Quais são equações do 1o grau? 2, 5 e 8

b) Quais são equações do 2o grau? 1, 4 e 6

c) Quais são equações do 3o grau? 3

d) Quais são equações do 4o grau? 7

2 Será a equação x² + 3x = x + 6 + x² do 2o grau? Não. A equação é do 1o grau.

3 Considere a equação do 2o grau.

a) 3 é solução dessa equação? Não.

b) 2 é solução dessa equação? Sim.

c) –2 é solução dessa equação? Não.

d) –5 é solução dessa equação? Sim.

x² + 3x – 10 = 0

4 Para a expressão abaixo, existem dois nú-meros reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles? 2 e – 4

( + 1)² = 9

São exemplos de equações do 2o grau.

1) x 2 – 5x + 6 = 02) 2x – 7 = 03) x 3 – x 2 = 104) 6x 2 – x = 05) 3x + 4 = 206) 4x 2 – 2 = 347) 2x 4 – 8 = 08) 9x + 6 = 7x + 4

Resolva “de cabeça”!

Há equações do 3o grau, 4o grau, 5o grau etc.

Por exemplo, o valor do maior expoente da incógnita x na equação 8x � x2 � 2x4 � 0 é 4. Então, essa equação é do 4o grau.

Até agora resolvemos somente equações do 1o grau. Nesta unidade, resolveremos equações do 2o grau.

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1. Resolver a equação x² = 49 é a mesma coisa

que calcular 49? Não, porque x² = 49 x = 7 ou

x = –7; e 49 = 7.

2. Calcule, mentalmente, os valores de x.

a) x² + 1 = 10 3; –3

b) x² + 3 = 19 4; –4

c) x² – 1 = 48 7; –7

d) 3x² = 75 5; –5

e) x2

4 = 9 6; –6

kll

kll

Essa equação tem duas soluções!

Isso não acontecia nas equações do

1o grau!

2. Resolvendo equações do 2o grauVocê já sabe resolver algumas equações do 2o grau. Acompanhe.1. Leia a pergunta da professora:

Qual é o número que elevado ao quadrado

resulta em nove?

Para representar essa situação podemos chamar o número desconhecido de x e escrever uma equação:

x2 9Há dois números que elevados ao quadrado resultam em nove: 3 e 3.indicamos assim:x kl9 x 33 e 3 são as soluções da equação do 2o grau x2 9.

Usando outra nomenclatura bastante comum: 3 e 3 são as raízes dessa equação.

Explique sua resposta.

• Primeiro pense:Quanto vale x²?

• Em seguida: Quanto vale x?

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2. Num terreno quadrado foi construída uma casa que ocupa a

área de um retângulo de medidas 8 m por 10 m. Na planta, a me-

dida do lado do terreno está ilegível, mas sabe-se que a área livre

(Aterreno – Acasa) é de 320 m2.

Quanto mede o lado do terreno?

A área da casa é Acasa 8 10 80 m2

O terreno é quadrado. Representando por x a medida do seu

lado:

Aterreno x2

Como Aterreno Acasa 320 m2, temos:

x2 80 320

x2 320 80

x2 400

x 400

x 20

A solução 20 não serve, pois a medida do lado de um terreno não pode ser negativa.

Então, o lado do terreno mede 20 m.

Existem leis municipais que regulamentam a ocupação dos terrenos, principal-

mente os reservados a loteamentos e condomínios. Por exemplo, a área construída

deverá ocupar no máximo certa porcentagem da área total do terreno.

No problema, a casa construída ocupa que porcentagem da área total do terreno?

A área total do terreno é A 202 400 m2

Para responder à pergunta, precisamos descobrir que porcentagem 80 representa em

400. Comparando 80 e 400 por meio de uma razão:80

400

20100

20%

A casa ocupa 20% da área total do terreno.

3. Existe um número real que elevado ao quadrado e somado a 16 resulta em zero?

Não há número real nessas condições. Veja por que:

Número desconhecido: x.

Elevamos x ao quadrado, somamos 16 e igualamos a zero, obtendo uma equação:

x2 16 0

Para que tenhamos x2 16 0 é preciso ter x2 16, mas não existe número real que elevado

ao quadrado resulte em um número negativo.

A equação x2 16 0 não tem solução, ou não tem raízes, no conjunto dos números reais, ®.

10 m

8 m

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4. Veja outra situação:

Quando é que um produto é igual a zero?

Quando pelomenos um dos fatores é igual

a zero.

Pensei em um número. Elevei-o ao quadrado e

somei ao próprio número.

Obtive o triplo do número inicial. Em que número pensei?

Então, vamos usar outro caminho!Na equação x2 x 3x, podemos subtrair 3x de ambos os membros:x2 x 3x 0x2 2x 0Em seguida fatoramos x2 2x, colocando x em evidência:x(x 2) 0

x 2 = 3x – xx 2 = 2x

x = ±Mll 2x

Opa!Assim não dá para achar x.

A equação correspondente ao problema é x 2 + x = 3x. Vou resolver do modo como fizemos

nas equações anteriores...

x 2 + x = 3x

É a lei do anulamento do produto:

Se a b 0, entãoa 0 ou b 0.

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5. Os retângulos ilustrados abaixo têm a mesma área.Com essa informação, podemos escrever e resolver uma equação e determinar as medidas dos

lados de cada retângulo. Acompanhe.

• Área do retângulo I As medidas estão em centímetros.

Ai 2x@x 2# 2x2 4x

• Área do retângulo II Aii x@x 8# x2 8x

Como Ai Aii, temos

2x2 4x x2 8x Subtraímos x2 de ambos os membros da equação:

2x2 4x x2 x2 8x x2

x2 4x 8x Subtraímos 8x de ambos os membros da equação:

x2 4x 8x 8x 8xx2 4x 0 Colocamos x em evidência no primeiro membro da equação:

x @x 4# 0Para que o produto x (x 4) seja igual a zero, devemos ter:x 0 oux 4 0 ⇒ x 4A solução x 0 não serve, pois os retângulos não existiriam.Então x 4 cm.

Daí, pensei em 2, porque o quadrado dele é igual ao seu dobro. Ih!... Esqueci do zero...

Eu pensei numa solução e não usei uma equação: se um número somado

com seu quadrado dá três vezes o número, é porque o quadrado vale o

dobro do número.

Então, se x(x 2) 0, devemos ter:

x 0 oux 2 0, isto é, x 2

Agora é com você. Sabendo que x = 4 cm, determine as medidas dos lados de cada retângulo. Retângulo i: 8 cm e 6 cm. Retângulo ii: 4 cm e 12 cm.

O número pensado pode

ser zero ou dois.

2x

x 2I

x 8

x

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Exercícios

12 O que é necessário para que um produto de fatores desconhecidos seja nulo?

13 Resolva estas equações com o auxílio do exercício anterior (lei do anulamento do pro-duto).

a) x (x 1) 0 0; –1

b) 2x (x 5) 0 0; 5

c) (x 3) (x 1) 03; 1

d) (x 6) (4x 8) 0

14 Resolva estas equações usando o recurso da fatoração e depois copie e complete o pen-samento de Robertinho.

a) x2 8x 0 0; 8 c) 9x2 5x

b) x2 3x 0 0; –3 d) 5x2 10x 0; –2

Exemplo:(x – 3) (x + 7) = 0

Solução: 3 ou –7

15 Em um quadrado de lado x, o número que expressa a área é igual ao número que expressa o dobro de seu perímetro. x2 2(4x)

a) Quanto mede o lado do quadrado? 8

b) Qual é o perímetro do quadrado? 32

c) Qual é a área do quadrado? 64

5 Existem dois valores reais que podem ser colocados no lugar de x. Quais são eles?

a) x2 9 x ou x

b) x2 36 x ou x

c) x2 0,36 x ou x

d) x2 x ou x

6 Qual é o lado do quadrado cuja área é:

a) 169 m2? 13 m

b) 1,69 m2? 1,3 m

c) 100 m2? 10 m

d) 1 m2? 1 m

7 Resolva as equações.

3; –3

6; –6

0,6; 0,6

; 52

52

10 O dobro do quadrado de um número é 72. Qual é o número?

11 A área da figura ao lado, formada por 5 quadrados, é 20. Quanto mede o lado de cada quadrado? 2

6 ou 6 2x2 72

5x2 20x2 4x 2 ou x 2

814

xx

x

x

Estas equações têm sempre duas raízes reais,

das quais uma é…zero

254

a) x2 90 31b) 5x2 4 49c) 4x2 27 x2

d) 2x2 11 x2 12e) 5(x2 1) 4(x2 1)f) x(x 2) 2x 25

Um dos fatores tem de ser zero.

0;

2 ; – 2klkl

a) 11; 11b) 3; 3c) 3; 3d) 1; 1e) 3; 3f) 5; 5

a) x2 25 0 5; 5

b) 2x2 98 0 7; 7

c) 24 6x2 2; 2

d) 64x2 1 0

e) 7x2 14 0

f) x2 49 0 7; 7

g) 25 100x2 0

h) x2 – 0

8 Indique quais das equações são impossí-veis resolver com os números reais.

a) x2 9 0 c) x2 9 0

b) x2 9 0 d) x2 9 0


59

18

; 18 9

2; 9

2

12

; 12

6; 2

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A equação 5x � 3x2 � 4 � 2x não está na forma ax2 � bx � c � 0.No entanto, é possível reorganizá-la, escrevendo-a na forma geral:

5x � 3x2 � 2x � 4�3x2 � 7x � 4�3x2 � 7x � 4 � 0a � �3; b � 7 e c � �4

Vimos que devemos ter a � 0. No entanto, podemos ter b � 0 ou c � 0, ou ainda b � 0 e c � 0.Nesses casos teremos equações do 2o grau incompletas. Veja exemplos:

3. Forma geral de uma equação do 2o grauJá resolvemos várias equações do 2o grau. Antes de prosseguir estudando outros métodos de

resolução, vamos caracterizar essas equações.

Equações do 2o grau na incógnita x têm a seguinte forma:ax2 � bx � c � 0, onde a, b e c são números reais com a � 0.

• a é o coeficiente do termo em x2.• b é o coeficiente do termo em x.• c é chamado de termo independente.

Na equação 4x2 � 12x � 9 � 0, temos: a � 4, b � �12 e c � 9. A incógnita é x.Na equação t2 � 3t � 6, temos: a � 1, b � 3 e c � 6. A incógnita é t.

Se a � 0, o termo em x2 se anula e não

temos mais uma equação do 2o grau. Por

isso colocamos a condição a � 0.

Por uma questão de organização,

daremos preferência ao registro

na forma geral.

As equações do2o grau que resolvemos

até agora eram equações incompletas.

Responda oralmente: qual é o valor de a, de b e de c na equação: �x2 � 23 x �

12 � 0?

2x2 � 5x � 0a � 2b � 5c � 0

x2 � 16 � 0a � 1b � 0c � �16

6x2 � 0a � 6b � 0c � 0

Consequentemente, se b � 0 e c � 0, a equação do 2o grau é chamada de completa.

a � �1; b � e c � 23

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4. Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2o grau

A área da figura ao lado pode ser escrita como:

A @a b#2, ou:

A a2 2ab b2

a2: área do quadrado de lado a.

2ab: 2 vezes a área do retângulo de lados a e b.

b2: área do quadrado de lado b.

Ou seja, @a b#2 a2 2ab b2.

Lembrei! Nós já aprendemos isso. Também vimos que(a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Essas igualdades também podem ser ob-

tidas se lembrarmos que:

(a b)2 (a b)(a b)

Aplicando a propriedade distributiva,

(a b)(a b) a2 ab ba b2

(a b)2 a2 2ab b2

De forma semelhante, mostre em seu ca-

derno que (a b)2 a2 2ab b2.

Um francês, nascido em 1540, teve grande importância no desenvolvimento da Álgebra.

François Viète era advogado, mas dedicava seu tempo livre à matemática. Em seu livro In Arten Analyticam Isagoge, publicado em 1591, mostrou a vantagem de representar um número desconhecido (que chamamos hoje de incógnita) por uma letra.

Viète usou nessa obra uma vogal para representar uma quantidade desconhecida, no entanto, ele ainda utilizava palavras em várias situações. Por exemplo:

a2 ele escrevia como a quadratus.

Fontes: Universidade de Lisboa. <www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm21/equacoes.htm>;

Carl B.Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 223.

Bibl

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Gen

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a, P

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The

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brar

y/Ke

ysto

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Polinômio com três

termos: trinômio.

(ab) (ab) = a2 ab ba b2 a2 2ab b2

◆ Anônimo (escola francesa). Retrato de François Viète, século XVIII. Gravura.

a b

a a2 ab

b ab b2

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Verifique a solução substituindo x por –3 na equação e fazendo as operações indicadas.

• a2 2ab b2 é um trinômio quadrado perfeito cuja forma fatorada é (a b)2

• a2 2ab b2 é um trinômio quadrado perfeito cuja forma fatorada é (a b)2

• 4x2 12x 9 é um trinômio quadrado perfeito. Sua forma fatorada é (2x 3)2

4x2 é a área do quadrado de lado 2x

9 é a área do quadrado de lado 3

12x é igual a 2 vezes a área do retângulo de lados 2x e 3

2x 3

2x 4x2 6x

3 6x 9y 5

y y 2 5y

5 5y 20

• y2 10y 20 não é um trinômio quadrado perfeito

y2 área do quadrado de lado y

10y 2 vezes a área do retângulo de lados y e 5

10y 2 5y Até aqui tudo certo.

No entanto, para formar o quadrado perfeito, o terceiro termo deveria ser 25, que é a área do

quadrado de lado 5, mas não é.

Quer saber por que recordamos a fatoração do trinômio quadrado perfeito?

Vamos aplicá-la para resolver equações do 2o grau. Veja:

• x2 6x 9 0 é uma equação completa do 2o grau

O primeiro membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito.

Escrevendo o trinômio na forma fatorada:

x2 6x 9 @x 3#2

Então a equação pode ser escrita assim:

@x 3#2 0

O número que elevado ao quadrado resulta em zero é o próprio zero. devemos ter:

x 3 0, ou seja, x 3

A solução da equação é 3.

(3)2 6 (3) 9 = 9 18 9 0

12x 2 6x

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Em geral não encontramos um trinômio quadrado perfeito numa equação completa do 2o grau.

• Veja a equação x2 8x 7 0 , por exemplo. interpretando geometricamente x2 8x, temos que:

x2 corresponde à área do quadrado de lado x

8x corresponde a duas vezes a área do retângulo de lados x e 4

Um quadrado de lado 4 completaria o quadrado perfeito, ou seja, o terceiro termo do trinômio deve ser 16.

Voltemos à equação x2 8x 7 0.

Como numa equação podemos somar o mesmo número a ambos os membros, basta fazerx2 8x 7 9 0 9 para obter a equação x2 8x 16 9, que apresenta um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro.

Fatorando o trinômio chegamos a: (x 4)2 9.

Os números que elevados ao quadrado resultam em 9 são 3 e 3. daí,

x 4 3 x 4 3

x 3 4 x 3 4

x 1 é uma solução da equação. x 7 é a outra solução da equação.

Entendeu o processo?

Não estranhe os números que encontramos na

resolução desta equação.

É comum aparecerem raízes não exatas quando resolvemos

equações do 2o grau.

x 4

x x2 4x

4 4x 16

1 63

Quer mais um exemplo?

• tomemos a equação 9x2 6x 1 6 .

Como 9x2 6x 1 é um trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo e reescrever a equação:

(3x 1)2 6

temos que: 3x 1 6

3x 1 6

3x 1 6

x 1 63

é uma das soluções.

E fazendo,

3x 1 6

3x 1 6 obtemos

x , que é a outra solução.

8x 2 4x

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Na interpretação geométrica de 4x2 12x, podemos perceber que, para completar o quadrado de lado @2x 3#, falta o quadrado de lado 3.O terceiro termo do trinômio deveria ser 9, mas é 8.Voltando à equação 4x2 12x 8 0, somaremos 1 a ambos os membros.

4x2 12x 8 1 0 14x2 12x 9 1

Fatorando o trinômio quadrado perfeito que encontramos no primeiro membro da equação:

(2x 3)2 1

2x 3 1 2x 3 1

2x 1 3 2x 1 3

2x 2 2x 4

x 1 é uma solução da equação. x 2 é outra solução da equação.

A equação tem duas raízes: 1 e 2.

Porque 4, além de ser par, é um número quadrado perfeito. Queremos chegar a um

trinômio quadrado perfeito, certo?Por que não multiplicar por 2,

que também é par?

Vamos acompanhar mais um exemplo.• Na equação x2 3x 2 0 , não temos um trinômio quadrado perfeito.

b 3, e 3 é um número ímpar, ou seja, deixando a equação nessa forma, teríamos de trabalhar frações.

3x 2 x3

2

Por isso, inicialmente multiplicaremos o primeiro e o segundo membros da equação por 4.4 @x2 3x 2# 4 04x2 12x 8 0

2x

3

4x2 6x

3 6x 9

2x

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Exercícios

16 Que número você deve adicionar a cada uma das expressões para que tenhamos um tri-nômio quadrado perfeito?

a) x2 14x 49 c) x2 12x 36

b) x2 6x 9 d) x2 5x

17 Determine as raízes das equações.

a) x2 81 9; 9 c) (x 7)2 0 7

b) x2 100 10; 10 d) (x 5)2 0 5

18 Empregando a fatoração e a lei do anula-mento do produto, resolva as equações.

a) x2 – 6x 9 0 3 (x 3)2 0

b) x2 8x 16 0 4 (x 4)2 0

c) 4x2 12x 9 0 (2x 3)2 0

d) 9x2 6x 1 0 – (3x 1)2 0

19 Fatore o primeiro membro e ache as raízes das equações.

a) x2 4x 4 25 3; 7 (x 2)2 25

b) x2 6x 9 16 7; 1 (x 3)2 16

20 Para resolver a primeira equação, acrescente 36 nos seus dois lados. Para resolver as demais, descubra o número que deve ser somado nos dois lados dela, para tornar o primeiro membro um quadrado perfeito.

a) x2 12x 28 c) x2 10x 39

b) x2 8x 9 d) 2x2 8x 24

254

13

32

c) x2 10x 25 64 x 3 ou x 13

a) x2 12x 36 64 x 2 ou x 14

b) x2 8x 16 25 x 1 ou x 9

d) x2 4x 4 16 x 6 ou x 2

Você achou a técnica de completar quadrados interessante? muitas civilizações antigas utiliza-vam essa técnica, entre elas os babilônios.

Os árabes e os hindus, no século iX, utilizavam essa técnica para resolver equações do 2o grau.

Esses povos tiveram um papel muito importante no desenvolvimento da matemática.

Sabemos que o sistema de numeração decimal posi-cional teve origem na Índia e foi difundido no mundo ocidental pelos árabes. daí os nossos algarismos serem chamados de indo-arábicos.

Falamos anteriormente do matemático árabe al -Khowarizmi, lembra?

do nome dele derivam as palavras algarismo ealgoritmo, e do título de um de seus livros, Al jabr wa’l muqãbalah, veio o nome Álgebra.

Na obra de al-Khowarizmi encontram-se vários exem-plos da técnica de completar quadrados.

◆ Bagdá, atual capital do iraque, é uma cidade de cultura predominantemente árabe. No passado, durante o califado de al-mamun (809-833), Bagdá se transformou em importante centro cultural. O califa levou a essa cidade sábios de toda parte, que traduziram e escreveram importantes obras. Entre eles estava al-Khowarizmi.

Fonte: Carl B. Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

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54

5. Fórmula geral de resolução da equação do 2o grau

2ax b

2ax 4a2x2 2abx

b 2abx b2

x b

2a

O coeficiente a pode não ser um número quadrado perfeito.

Por isso vamos multiplicar os

dois membros da equação por 4a.

Nessa fórmula, precisamos extrair a raiz quadrada de .Se o valor de delta for um número negativo, não será um número real, e a equação não

terá solução no conjunto ®.

Se 0, 0, e x b

2a fica x

b 2a

e a equação terá somente uma solução.

Se o valor de delta for um número positivo, aí a equação terá duas soluções reais.

ax2 bx c 04a2x2 4abx 4ac 0Observe a figura. O terceiro termo do trinômio deve ser b2.Vamos somar b2 a ambos os membros da equação:4a2x2 4abx 4ac b2 b2

Para que no primeiro membro da equação fique somente o trinômio quadrado perfeito, vamos subtrair 4ac de ambos os membros:

4a2x2 4abx b2 b2 4acFatorando o trinômio quadrado perfeito, obtemos:@2ax b#2 b2 4ac A expressão b2 4ac será representada pela letra grega (delta).Fazendo b2 4ac na equação acima, temos:@2ax b#2 Supondo 0 vem:2ax b Subtraindo b de ambos os membros da equação:2ax b e, finalmente, dividindo ambos os membros por 2a para encontrar x:

Há uma fórmula que permite resolver equações do 2o grau. Vamos obtê-la a partir do método

de completar quadrados.

Partiremos da equação genérica ax2 bx c 0 , com a 0.

Nosso objetivo é obter um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro da equação.

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Vamos resolver equações aplicando essa fórmula?

1. x2 3x 10 0

a 1

b 3

c 10

b2 4ac

32 4 1 @10#

9 40 49

Agora aplicamos a fórmula para determinar os valores de x:

x

x

Logo, – 5 e 2 são as soluções, ou as raízes, da equação x2 3x – 10 0.

2. 6x2 x 1 0

a 6 b2 4ac

b 1 12 4 6 (1)

c 1 1 24 25

x

x

Logo, e são as raízes da equação 6x2 x 1 0.

3. 2x2 4x 3 0

a 2

b 4

c 3

b2 4ac

(4)2 4 2 3

16 24 8

A equação 2x2 4x 3 0 não tem raízes reais.

identificamos os coeficientes e o termo

independente na equação.

Calculamos o valor de .

b M

2a

3 72

Fazendo a verificação:

(5)2 3 (5) 10

25 15 10 0 e

22 3 2 10 4 6 10 0

b M

2a

1 512

12

13

Atenção! Neste caso M não é

um número real.

3 72

42

x1 2

3 72

10

2x2

5

1 512

412

13

x1

1 512

612

12

x2


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56

Leonhard Euler

Falamos sobre a contribuição de François Viète

para o desenvolvimento da linguagem algébrica. No

entanto, um brilhante matemático suíço foi notável

nesse aspecto.

Leonhard Euler (1707-1783) é considerado um dos

maiores matemáticos da história. Aos 26 anos, tornou-se

o matemático mais importante da Academia de São

Petersburgo, na Rússia. Publicou mais de 500 livros e

artigos durante sua vida.

Em suas obras, introduziu terminologia e notações

que simplificaram registros na Álgebra, na Geometria

e em outros campos da matemática. muitas notações

são usadas hoje por nós. Vem das obras de Euler, por

exemplo, usar letras maiúsculas para nomear os vér-

tices de um triângulo e letras minúsculas para indicar

as medidas dos lados opostos a cada vértice.

Fonte de pesquisa: Carl B. Boyer. História da Matemática.São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 324-327.

4.

Vamos primeiro encontrar frações equivalentes às dadas e que tenham mesmo denominador:

multiplicando ambos os membros da equação por 6, obtemos:

2x2 3x 2 ou

2x2 3x 2 0

9 16 = 25

x

Logo, e 2 são as raízes da equação.

x2

3

x

2

1

3

3x6

26

2x2

6

2x2 3x6

26

3 54

12

◆ Leonhard Euler (1707-1783).

SHEI

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PHO

TO L

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RY/S

PL D

C/La

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3 54

12

x2

3 54

x1 2

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c b

a

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Exercícios


a) (x 1)2 7 x 2; 3

b) (x 2)2 x 1 5 13 2 ; 5 13

2

c) x2 x 1; 15

d) 0

e) x2 3 ;

f) 1 –1; 8

25 Escreva as equações na forma geral e resolva.

a) x2 3 4x 1; 3

b) 20 x x2 5; 4

c) 13 2x 15x2 0 –1;

d) 4x2 7x 3 2x2 2x –1;

e) x (x 2) 2 (x 6) 2; 6

f) x (2x 1) 6 4 (x 1) ; 2

g) (x 1) (x 2) 6 1; 4

h) (2x 3) (x 8) 34 ; 10

21 Considere y2 4y 6 3y. Escreva essa equação na forma geral e responda às seguin-tes questões: y2 7y 6 0

a) Qual é a incógnita? y

b) Qual é o grau? 2

c) Qual é o termo independente? 6

d) Qual é o coefi ciente do termo de grau 1? 7

e) O número 6 é uma solução? E o 1? Sim; não.

22 Resolva as equações do 2o grau usando a fórmula geral.

a) x2 6x 9 0 3

b) x2 x 12 0 3; 4

c) 7x2 x 1 0 Não tem raízes reais.

d) x2 x 1 0 ;1 5 2

1 5 2

23 A soma de um número com o seu quadra-do é 30. Calcule esse número. 5 ou 6 x x2 30

27 (CPII-RJ) O diagrama abaixo tem um for-mato que lembra um triângulo. Este “triângulo” é formado por seis números que devem ocupar os espaços indicados. Um desses números (o 27) já foi dado. Os outros você terá de desco-brir, sabendo que a soma dos números corres-pondentes a cada “lado do triângulo” deve ser sempre a mesma.

a) Qual é o valor de x? 4

b) Complete, no caderno, o “triângulo” com os números correspondentes:

1315

32

12

12

O quadrado de um número diminuído de seu dobro é 15.

Qual é esse número?

5 ou 3 x2 2x 15

23

45

15

x2

4x3

19

x 36

x2 5x3

2x 113

32

53

3x2

2

8x – 9

2x2 – 10 7x

x2 + 527

24

27

22

23

28

24 21

27

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58

6. Resolvendo problemasmuitas situações e problemas podem ser resolvidos por meio de equações do 2o grau. Acom-

panhe alguns exemplos.

1. Um jardim, com a forma de um quadrado,

foi dividido em três canteiros.

Nesses canteiros serão plantadas margaridas,

papoulas e amores-perfeitos, conforme a ilustração

ao lado.

O canteiro de amores-perfeitos ocupa uma

área de 42 m2.

Qual é a medida do lado do jardim?

Representando a medida do lado do jardim por x, faremos um novo desenho:

A área do canteiro de amores-perfeitos é:

A @x 1#@x 2# x2 2x x 2 x2 3x 2

igualando a área a 42, obtemos a equação do 2o grau:

x2 3x 2 42

Organizando seus termos:

x2 3x 2 42 0

x2 3x 40 0

a 1; b 3 e c 40

@ 3#2 4 1 @40#

9 160 169

x

Como a medida do lado do jardim não pode ser negativa, consideraremos somente a solução

x 8.

Portanto, o lado do jardim mede 8 m.

(3) 132

3 132

162x1

8

3 132

102x2

5

1442443 2

x 2x

x 1 1

x1442443

1 m

margaridas

2 m

papoulas

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e

amores-perfeitos


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O número de cartões na árvore é 156. Representando o número de pessoas por x, podemos

escrever uma equação para representar o problema: x (x 1) 156

A solução deste problema é um número natural, pois x representa o número de pessoas.

Como x e x 1 são números consecutivos,

podemos resolver o problema por tentativas,

procurando dois números consecutivos que

multiplicados resultam em 156:

A partir do quadro, podemos concluir que

o número de pessoas é 13.

Outro caminho é resolver a equação obtida usando a fórmula geral:

x (x 1) 156

x2 x 156

x2 x 156 0

a 1; b 1 e c 156

Δ b2 – 4ac 1 – 4 · 1 · (–156) 625

x b Δ2a

1 625

2

x1 262

13 e x2 242

12

Como o número de pessoas não pode ser negativo, desconsideramos a

solução x 12 e concluímos que 13 pessoas participaram da festa.

2. Um grupo de amigos organizou uma festa para comemorar o Natal.

Como presente, todos escreveram e deram um belo cartão para cada par-

ticipante da festa. Os cartões foram pendurados na árvore de Natal. Se na

árvore havia 156 cartões, quantas pessoas participaram da festa?

Se imaginarmos que o grupo tinha 5 pessoas, cada pessoa deu 4 cartões:

1 para cada participante, menos para ele mesmo, é claro!

Nesse caso, teríamos 20 cartões pendurados na árvore: 5 4 20

A partir desse raciocínio, copie e complete a tabela abaixo em seu caderno.

Número de pessoas que participavam da festa

Número de cartões que cada pessoa deu

Número de cartões na árvore de Natal

5 4 5 4 20

6 5 6 5 307

8

x

... 10 11 12 13 × 9 × 10 × 11 × 12 90 110 132 156

• 6; 7 6 42

• 7; 8 7 56

• x 1; x (x 1) 156

Há problemas em que pensar numa solução como a sugerida acima pode ser difícil ou trabalhoso demais. Nesses casos,

representar e resolver o problema por meio de uma equação é uma boa opção.

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Como o perímetro é de 26 cm, temos que:x x y y 26, ou2x 2y 26, ou ainda, dividindo ambos os membros da equação por 2:• x y 13A área é de 40 cm2, isto é:• x y 40

temos um sistema de equações nas incógnitas x e y. Vamos resolvê-lo: x y 13 x y 40

Se x y 13, então y 13 x.

Substituiremos y por 13 – x na segunda equação:x y 40x@13 x# 4013x x2 40

Organizando a equação:x2 13x 40 0a 1; b 13 e c 40 132 4 @1# @40# 169 160 9

x1 5

x

Falta determinar y.y 13 xPara x 5 y 13 5 8Para x 8 y 13 8 5As soluções do sistema são x 5 e y 8, ou x 8 e y 5.Em ambos os casos, os lados do retângulo medem 5 cm e 8 cm.

13 3 2

13 32

102

13 32

162

x2 8

3. O retângulo representado abaixo tem 26 cm de perímetro e 40 cm2 de área. Quais são as medidas de seus lados?

Epa! Temos duas incógnitas: x e y.

Sem problema! Vamos escrever equações para representar as

informações do problema.

x

y

Quais são os dois números que soma-

dos resultam em 13 e multiplicados

resultam em 40? Se você descobriu,

confira com a solução do sistema de

equações que resolvemos ao lado.

Sempre que possível, exercite o racio-

cínio e utilize o cálculo mental para

resolver problemas!Lá

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Exercícios

28 O quadrado da quantia que Carlos pos-sui, aumentado do dobro da mesma quantia, é igual a R$ 35,00. Quanto Carlos possui?

29 Perguntada sobre sua idade, Juliana respon-deu:

Qual é a idade de Juliana?

30 (Unicamp-SP) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos sabendo que a soma de seus quadrados é 481. 15 e 16

31 A área de um retângulo é de 84 m2. A medida do comprimento supera em 5 m a medida da lar-gura. Quais são as dimensões desse retângulo?

32 Se um quadrado de lado 5 cm tiver seu lado aumentado de x, passará a ter uma área de 49 cm2. Quanto vale x? 2 cm

(5 x)2 49

37 A soma das idades de dois irmãos é12 anos, e o produto delas é 35. Calcule essas idades.

r$ 5,00 x2 2x 35

x2 (x 1)2 481

12 m e 7 m x (x 5) 84

(x 23)(x 12) 476x2 35x 200 0

34 Uma caixa na forma de um bloco retan-gular tem 1200 cm3 de volume. Quais são as dimensões da caixa?

8 cm, 10 cm e 15 cm

15 x (x 2) 1 200 x2 2x 80 0 x 8x 10 (não convém)

35 Para que valor de x a área do quadrado é igual à área do retângulo? x 5

(2x)2 5(x 2x x)

36 Um quadro tem forma retangular de dimen-sões externas 12 cm 15 cm. A moldura tem largura x uniforme, e a área da região interna à moldura é 88 cm2. Qual é a largura da moldura?

2 cm

(15 2x) (12 2x) 882x2 27x 46 0

x 2

x 232 (não pode ser)

38 Quais são as dimensões de um terreno re-tangular que tem 70 m de perímetro e 250 m2 de área?

5 anos e 7 anos x y 12 x y 351

23

2x 2y 70x y 2501

23

10 m e 25 m

13 anosx2 5x 104

O quadrado de minha idade menos o seu quíntuplo é

igual a 104.

33 Um estacionamento retangular tem 23 m de comprimento por 12 m de largura. O proprietário deseja aumentar a área para 476 m2, acrescen-tando duas faixas laterais de mesma largura. Qual deve ser a medida da largura da faixa acrescida? 5 m

x

5

5 x

x 23◆m

12◆mx

2x

xx

5

x◆ 2

x 15◆cm

15◆cm

12◆cm

x

x

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PrATICANdO MATEMÁTICA 9O ANO EdIçãO rENOvAdAPNLd 2014 – mac 4

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62

7. Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau

Escrevemos duas equações do 2o grau e suas raízes:• x2 5x 6 0 tem como raízes x1 2 e x2 3

a 1; b 5 e c 6Observe que:

x1 x2 2 3 5 e x1 x2 2 3 6

• x2 2x 3 0 tem como raízes x1 3 e x2 1a 1; b 2 e c 3 Observe que:

x1 x2 3 1 2 e x1 x2 3 1 3

Fazendo essa atividade,você perceberá que a soma das raízes

e o produto das raízes têm alguma relação com os valores de a, b e c.

Vamos descobrir qual é essa relação? Acompanhe!

Pela fórmula geral, as raízes de uma equação do 2o grau são:

x1 b M

2a e x2

b M

2a. Então,

• x1 x2 b M

2a

b M

2a

2b2a

• x1 x2 b M

2a b M

2a (b M) (b M)

4a2

(b)2 (M)2

4a2

Como b2 4ac◆, temos:

x1 x2 b2 (b2 4ac)

4a2 b2 b2 4ac4a2

4ac4a2

Finalmente: x1 x2 ca

Copie e complete a tabela, encontrando primei ro as raízes

x1 e x2 de cada equação.

se◆anulam

534

–2–5 1

3–2 5

–10–15

4

Finalmente: x1 x2 b

a

ba

b2

4a2

Equação x1 x2 x1 � x2 x1 � x2

x2 3x 10 0a 1; b 3 e c 10

x2 2x 15 0a 1; b 2 e c 15

x2 5x 4 0a 1; b 5 e c 4 Lá

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1. Quais são as raízes da equação x2 4x 3 0 ?

Como a 1, temos que S 4 e P 3.

Procuramos dois números que somados resultam em 4 e multiplicados resultam em 3.

Os números são 1 e 3, pois 1 3 4 e 1 3 3.

descobrimos mentalmente que as raízes da equação x2 4x 3 0 são 1 e 3.

2. Quais são as raízes da equação 2x2 10x 0 ?

a 2; b 10 e c 0

S ba

102 5

P ca 0

Soma 5 e produto zero... Já sei: as raízes

são 0 e 5.

2 e 3, é claro!As raízes da equação são

x1 = 2 e x2 = 3.Quais são os números cuja soma é 5 e o produto é 6?

Se tivermos a = 1, a equação pode ser

escrita como x2 � Sx � P � 0.

Essas relações podem nos ajudar a resolver algumas equações do 2o grau mentalmente.

veja mais exemplos a seguir.

Chamando de S a soma e de P o produto das raízes de uma equação do 2o grau que tenha raízes reais, temos:

e

Na equação x2 5x 6 0, temos a 1.Então: S 5 P 6

S ba P

ca

Fique atento!Nem sempre é fácil descobrir as raízes mentalmente. Por exemplo, na equação 2x2 5x 3 0

teríamos de descobrir números cuja soma é 52

e cujo produto é 32

. Aí fica mais fácil aplicar a

fórmula geral para resolver a equação.

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64

Escrevendo uma equação do 2o grau

Até o momento, tomávamos uma equação do 2o grau e encontrávamos suas soluções ou raízes. Faremos o contrário agora.

Pensaremos nas soluções, e aí obteremos uma equação que tenha essas soluções.

vamos escrever uma equação que tem raízes iguais a 4 e 7.

• A soma das raízes é 4 7 11 S 11

• O produto das raízes é 4 7 28 P 28

• Usando a forma Usando a forma x 2 Sx P 0 , obtemos a equação x 2 11x 28 0.

Marina pensou diferente. Leia o que ela disse e acompanhe como chegou a uma equação que tem raízes 4 e 7.

vamos acompanhar mais um exemplo?

Escreveremos a equação com soluções 2 e 5 utilizando cada uma das ideias que vimos acima: • Soma das raízes: 2 5 3 S � 3

Produto das raízes: 2 5 10 P � �10

Equação: x2 Sx P 0 x2 � 3x � 10 � 0

• Produto igual a zero

A equação (x 2)(x 5) 0 tem soluções 2 ou 5.

Aplicando a propriedade distributiva:

x2 5x 2x 10 0

x2 � 3x � 10 � 0

Qual dos dois procedimentos você

prefere?

x 2 0 ou x 5 0

x 2 ou x 5

Eu pensei em uma equação em que apareça um produto igual a zero, como fizemos

anteriormente...

Se um produto é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é zero.

As soluções da equação (x 4) (x 7) 0 são x 4 ou x 7 Aplicando a propriedade distributiva Marina

obteve:x 2 7x 4x 28 0x 2 11x 28 0

Ilust

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Exercícios

Só vale cálculo mental!

7

6

44 Tente resolver mentalmente as equações. Isso se torna mais fácil se a equação tiver coe-ficientes inteiros e o coeficiente de x2 for 1.

a) x2 8x 15 0 3; 5

b) x2 3x 10 0 2; 5

c) x2 4x 12 0 6; 2

d) x2 x 90 0 10; 9

45 Mateus queria obter uma equação de 2o grau cujas raízes fossem 2 e 3. Ele pode ter obtido a equação:

a) x2 x 1 0

b) x2 x 6 0

c) (x 2) (x 3) 0

d) (x 2) (x 3) 0

Para começar, encontre dois números que tenham soma 8 e produto 15.

46 Somente uma das equações abaixo tem as raízes 2 e 3. Qual é?

x

39 Calcule a soma e o produto das raízes das equações.

a) x2 7x 10 0 S 7 e P 10

b) 2x2 10x 12 0 S 5 e P 6

c) 8x2 7 0 S 0 e P 78

d) 1 12x 9x2 S 43

e P = 19

40 A soma de dois números é 19, e o produ-to, 88. Esses números são as raízes de qual equação?

a) x2 + 88x – 19 = 0

b) x2 – 88x + 19 = 0

c) x2 + 19x + 88 = 0

d) x2 – 19x + 88 = 0x

41 As raízes de uma equação de 2o grau têm por soma 3

4 e por produto 1

8. Essa equa-

ção é:

a) 8x2 6x 1 0

b) 8x2 6x 1 0

c) 34 x2 1

8 x 1 0

d) 34 x2 1

8 x 1 0

42 (Cesep-PE) Qual deve ser o valor de m na equação 2x2 mx 40 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 8?

x2 34

x 18

0x

a) 8

b) 16

c) 8

d) 16x

43 Dois números reais têm soma 7 e produto 6. Quais são eles? Os números são 1 e 6.

8 m2

m 16

a) 49

b) 78

c) 57

d) 60x

(m 7) (n 7) mn 7 (m n) 49 1 7 4 49 78

a) x2 5x 6 0

b) x2 5x 6 0

c) 2x2 5x 6 0

d) x2 5x 6 0

47 Se m e n são as raízes da equaçãox2 4x 1 0, então (m 7) (n 7) vale:

x

Hélio

◆Sen

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66

◆◆ ◆Detalhe◆de◆miniatura◆francesa◆do◆século◆XV,◆que◆retrata◆o◆ comércio◆medieval.◆Anônimo◆ (escola◆francesa).◆Uma◆rua◆com◆lojas,◆século◆XV.◆Iluminura.

O furto da fórmula

A partir dos séculos Xv e XvI, abre-se entre os matemá-ticos italianos uma das páginas mais curiosas da história da Matemática. Naquela época, a Itália era um dos maiores centros comerciais do mundo. Florença e veneza progre-diam a passos largos. Nesse ambiente conviviam desde as pessoas que tinham prática em cálculo até os mais famosos algebristas [...].

◆◆ Fra◆Luca◆Pacioli.

◆◆ Niccolo◆Fortana◆(Tartaglia).

Os algebristas tinham por costume fazer debates públicos para resolver problemas algébricos, pro-movendo suas descobertas e proezas na Matemática. Nesse tempo, estourou uma verdadeira guerra, que tinha como objeto a equação do terceiro grau.

Tudo começou em 1494, quando Fra Luca Pacioli, na Summa de Arithmetica, afirmou que os matemáticos não sabiam solucionar uma equação do terceiro grau por métodos algébricos. O primeiro a aceitar o desafio foi o professor de Matemática da Universidade de Bolonha, Scipione del Ferro. Scipione conseguiu achar a solução para a equação do tipo x3 bx c 0, mas por muito tempo manteve segredo sobre isso. Foi aí que entrou em cena o matemático Niccolo Fortana.

Quem era Tartaglia

Em 1512, os franceses invadiram a cidade italiana de Bréscia. Niccolo Fortana tinha 12 anos e morava lá. Todos os habitantes refugiaram-se na catedral. Isso de nada valeu, pois os invasores fizeram terrível chacina. Niccolo escapou vivo, mas com grandes ferimentos, inclusive na boca, o que produ-ziu uma enorme cicatriz que o tornaria gago para o resto da vida. O defeito valeu-lhe o apelido de Tartaglia. Muito pobre para frequentar uma escola, o pequeno Niccolo arrumou um livro para estudar e usava as pedras sepulcrais do cemitério como lousa.

vencendo todos os obstáculos, Tartaglia torna-se professor de Matemática e Mecânica.

Pressentindo que ia morrer, Scipione revelou a um de seus alunos, Antonio Fiore, a solução da equação do terceiro grau. Com a fórmula, Fiore desafiou o matemático Niccolo Fortana, de apelido Tartaglia, a resolver 30 problemas do terceiro grau. Em contrapartida, Fiore deveria resolver 40 pro-blemas propostos por Tartaglia. Em 40 dias, Niccolo resolveu os problemas. Mas Fiore não conseguiu resolver nenhum dos apresentados por Tartaglia.

PMR9090

Vale a pena ler

66

Bibl

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ca◆d

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pos,◆

Paris

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E q u a ç õ E s d o 2 o g r a u 67E q u a ç õ E s d o 2 o g r a u 67

◆◆ Geronimo◆Cardano

Tartaglia sabia que Fiore conhecia a solução da equação x3 bx c 0, mas desconhecia a solução da equação x3 ax2 c 0, que era uma descoberta sua. Todos os problemas por ele apresentados teriam que ser resolvidos com essa equação.

Tanto Tartaglia como Scipione só conseguiram resolver equações “in-completas” do terceiro grau. Nas de Scipione faltava o termo em x2. Nas de Tartaglia faltava o termo em x. Mas foi na solução da equação completa que surgiu o roubo da fórmula, com a intromissão do inescrupuloso matemático italiano Geronimo Cardano (1501-1576).

Com muita astúcia, Cardano conseguiu que Tartaglia lhe revelasse o seu método de resolução da equação do terceiro grau, comprometendo-se a guardar absoluto segredo. Quebrando todos os juramentos feitos, publicou a solução no livro Ars Magna, no qual ainda afirmava que era ele o autor da descoberta. Indignado, Tartaglia desafiou Cardano para um debate público. Este fugiu do confronto direto, mandando no lugar seu melhor aluno, Ludovico Ferrari, que foi totalmente derrotado.

Apesar de tudo, Cardano teve seus méritos, pois, na Ars Magna, resolvera a equação completa do terceiro grau, apresentara a solução da equação do quarto grau e, além do mais, ainda considerara os números negativos como números. (...) Os matemáticos italianos da época, embora sem muito rigor, prepararam o campo para o formidável desenvolvimento que a Matemática iria ter nos séculos seguintes.

Equações de vários graus

A equação do segundo grau, ou quadrática, é uma expressão da forma

ax2 bx c 0,em que a, b e c são números conhecidos, e x é uma incógnita, que se deseja conhecer.

Para isso, usa-se a seguinte fórmula:

x b b2 4ac

2a

A equação do terceiro grau expressa na forma: ax3 bx c 0pode ser resolvida por meio da seguinte fórmula, já bem mais complicada:

x 3c

2a c

2a 2

b

3a 3

c

2a c

2a 2

b

3a 3

3

A solução de uma equação do quarto grau usando-se fórmulas em que intervêm os coeficientes conhecidos sob os sinais de raiz é tão complicada que, na prática, os matemáticos lançam mão de outros processos de cálculo.

As equações de grau maior que quatro não têm uma fórmula de resolução usando-se radicais. Isso, contudo, não significa que não possamos resolver uma equação do quinto grau, do sexto grau etc. A solução de equações de grau maior que quatro, hoje em dia, é encontrada por processos de aproximação ou usando-se computadores eletrônicos, quando elas são muito complicadas.

Antônio◆Marmo◆Oliveira.◆A◆Álgebra◆e◆o◆furto◆da◆fórmula.◆In:◆Matemática◆–◆Por◆quê◆e◆para◆quê?Rio◆de◆Janeiro:◆SBPC;◆Editora◆Global,◆1999.◆v.◆8.◆p.◆29-30.◆(Coleção◆Ciência◆Hoje◆na◆Escola).

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68

8. Equações fracionárias que recaem em equações do 2o grauEquações fracionárias são equações que apresentam pelo menos um termo com incógnita

no denominador.

você já resolveu equações fracionárias; vamos recordar com um exemplo:

determinaremos o valor de x na equação x 5x 3

23 2 .

Primeiro é preciso observar para que valores de x a equação não existe. Sabemos que não existe divisão por zero.

Temos x 3 no denominador de um dos termos. É preciso termos x 3 0, ou seja, a condição de existência dessa equação é x 3.

Agora escreveremos todos os termos da equação num mesmo denominador. Como nas frações numéricas, esse denominador deve ser um múltiplo dos denominadores originais.

3 (x 3) é uma boa escolha, já que é o mmc dos denominadores.

3 (x 5)3 (x 3)

2 (x 3)3 (x 3)

6 (x 3)3 (x 3)

3 (x 5) 2 (x 3) 6 (x 3) x 3x 3

Como x é diferente de 3, a equação tem solução 3.

Agora vamos resolver um problema...

Os alunos do 9o ano contribuíram todos com certa quantia para comprar o presente de uma colega que faria 15 anos. O presente custaria r$ 180,00.

No dia da compra, dois alunos desistiram de participar, o que fez com que os alunos restantes precisassem dar mais r$1,00 cada um para comprar o presente. Quantos alunos há no 9o ano? Quanto coube a cada um pelo presente?

vamos chamar de x o número de alunos do 9o ano. Como o presente custa r$ 180,00,

obtemos o valor que cada um pagaria inicialmente fazendo 180x .

Como dois alunos desistiram de participar, ficamos com x 2 alunos, e a quantia que coube a

cada um é calculada fazendo 180x 2 .

A diferença entre as duas quantias é de 1 real. Matematicamente, escrevemos:

180x 2 180

x 1

Multiplicamos ambos os membros da

equação por 3 (x 3) cancelando os

denominadores.


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Obtivemos uma equação fracionária. Observe que antes de resolvê-la é preciso escrever que devemos ter x 0 e x 2.

180x 2 180

x 1

O mmc de x e x 2 é x (x 2)

180xx (x 2)

180 (x 2)x (x 2)

x (x 2)x (x 2)

Multiplicamos ambos os membros da equação por x (x 2) cancelando os denominadores.

180x 180x 360 x2 2x

360 x2 2x

x2 2x 360 0

a 1; b 2 e c 360

∆ 4 4 1 (360) 1 444

x 2 382

Não serve, pois x é número de pessoas.

Há, portanto, 20 alunos no 9o ano, mas somente 18 participaram da compra do presente, cabendo a cada um a quantia de r$ 10,00 (180 18 10).

x1 20

x2 18

Junte-se a um colega para resolver o problema.

Vocês sabem que, se x é um número diferente de zero, então o inverso de x é 1x

.

Existem dois números que quando somados ao triplo do seu inverso resultam em 132

.

Descubram quais são esses números.

Nils

on◆S

ugui

no

Os números são 6 e 12

.

É uma equação do 2o grau.

Hélio

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Exercícios 48 Resolva as equações.

a) x 5 4x

0 4; 1

b) 10x3

3x

7 35

; 32

c) 3x

4 x 62x

4

d) x 3

2

1x

3 2 ; 1

e) 5x2

1x

6 0

56

; 1

f) 5x

x 12

x2

23

0 3; 6

g) x 8

3

x 2x

1 x

2x

152

; 1

49 (PUC-RJ) Se 1 4x

4x2 0, então

2x

vale:

a) 1

b) 2

c) 12

d) 14

50 (PUC-SP) Considere o seguinte problema: “Achar um número que, somado com 1, seja igual ao seu inverso”. Qual das equações re-presenta esse problema?a) x² – x 1 = 0

b) x² x – 1 = 0

c) x² x – 1 = 0

d) x² x 2 = 0


a) (USU-RJ) x 5x – 1

x 1 = 0 –3; 2

b) (UFMG) 2

x – 1

1x – 2

= 2 32

; 3

c) (UFPA) 2x 1x – 3

2

x2 – 9 = 1 –5; –2

d) (Fuvest-SP) x 2

2 +

2x – 2

= – 12

–2; 1

x

Seja x ≠ 0 o número; 1x

o seu inverso.

x + 1 = 1x ⇒ x² + x – 1 = 0x

x2 4x 4 0 x 2

x 2

Então: 2x

22

1

52 (Mack-SP) Um grupo de amigos reunidos em um restaurante resolveu “rachar” a conta de R$ 600,00. No entanto, dois deles percebe-ram que estavam sem dinheiro, o que fez cada um dos outros contribuir com mais R$ 10,00. Sendo x o número total de pessoas, a equação que melhor representa a situação é:

a) 600x + 2

– 600x – 2

= 10

b) 600x – 2

– 600x

= 10

c) 600x

– 600x – 2

= 10

d) 590x

– 600x – 2

= 10

53 (FGV-SP) A quantia de R$ 4.000,00 deveria ser repartida para um certo número de crianças. No entanto, quatro crianças deixaram de com-parecer, aumentando com isso em R$ 50,00 a quantia para cada uma das crianças restantes. Qual era o número inicial de crianças?a) 10 c) 30

b) 20 d) 40

54 (PUC-MG) Uma criança gastou R$ 36,00 comprando chocolates. Se cada chocolate custasse R$ 1,00 a menos, ela poderia ter com-prado mais 3 chocolates. O número de choco-lates comprados por essa criança foi:a) 4 c) 9

b) 6 d) 12

x

x

x

4 000x

+ 50 = 4 000x – 4

x² – 4x – 320 = 0

x = 20

x = –16 (não convém)

36x

– 1 = 36x + 3

x² + 3x – 108 = 0

x = 9

x = –12 (não convém)

Hélio

◆Sen

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9. Equações biquadradasvamos resolver a equação x4 7x² 12 0 .

Lembrando que x4 (x²)², vamos reescrever a equação assim:

(x²)² 7x² 12 0

Substituiremos x² por y na equação:

y² 7y 12 0 (recaímos numa equação do 2o grau, que sabemos resolver.)

∆ 49 48 1

y 7 1

2

y1 4

y2 3

Agora podemos determinar os valores de x, pois x² y.

Para y 4:x² 4x 4x 2

Para y 3:x² 3x 3

Então, 2, 2, 3 e 3 são as raízes da equação x4 7x² 12 0.

resolvemos uma equação biquadrada.

Toda equação da forma ax4 bx² c 0 com a 0 é chamada de equação biquadrada.

Mas essa éuma equação do

4 o grau!

Sim, mas podemos resolvê-la por meio de uma substituição conveniente.

Vamos ver?

x 4 � 7x 2 � 12 � 0

Hélio

◆Sen

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72

veja mais um exemplo de resolução desse tipo de equação.

resolveremos a equação x4 3x2 4 0 substituindo x2 por y:y2 3y 4 0

∆ 9 16 25

y 3 5

2

y1 4

y2 1

Como x2 y, temos:

Agora devemos verificar se a solução encontrada satisfaz a equação original, pois nem sempre isso acontece.

Substituindo x por 3:

x 1 2

3 1 2

4 22 2 (igualdade verdadeira)

10. Equações irracionaisvamos resolver a equação x 1 2 .

Elevaremos os dois membros da equação ao quadrado:

[ x 1] 2

22

x 1 4

x 4 1

x 3

Não há número real que elevado ao

quadrado resulte em um número

negativo.

verificado: 3 é a raiz da equação.

Para y 4:x2 4x 2

Para y 1:x2 1

Então, a equação tem como soluções 2 e 2.

Equações que têm incógnita no radicando são

chamadas de equações irracionais.

Incógnita no radicando... Ainda não

tínhamos visto equações desse tipo.

Hélio

◆Sen

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Acompanhe mais exemplos de resolução de equações irracionais.

1. 2x 5 4 3 .

Somaremos 4 a ambos os membros da equação:

2x 5 1

No primeiro membro da equação, ficamos somente com o radical. Agora elevamos ambos os membros ao quadrado:

[ 2x 5 ] 2

12

2x 5 1

2x 1 5

2x 6

x 3

É preciso verificar se x 3 satisfaz a equação inicial:

2x 5 4 3; para x 3 fica:

2 3 5 4 3

6 5 4 3

1 4 3

1 4 3

3 3 (igualdade verdadeira)

2. x 1 x 5 .

(x 1)2 [ x 5 ] 2

x2 2x 1 x 5

x2 2x 1 x 5 0

x2 3x 4 0

∆ ( 3)2 4 1 (4)

∆ 9 16 25

x 3 5

2

Concluímos que x 3

é solução da equação.

x1 3 5

2 4

x2 3 5

2 1

x 1 x 5

• Para x 4:

4 1 4 5

3 9

3 3 (verdadeiro!)

• Para x 1:

1 1 1 5

2 4

2 2 (Falso!)

voltamos à equação original para verificar as soluções:

Consideramos somente a solução x 4.


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74

Exercícios

Equação biquadrada

“duas vezes quadrada”

55 Considere a equação 4x4 37x² 9 0.

a) Essa equação é biquadrada? Sim.

b) Qual é a equação do 2o grau que se obtém ao substituir x² por y? 4y² – 37y + 9 = 0

c) Quais são as raízes da equação do item b?

d) Quais são as raízes da equação4x4 37x2 9 0?

9 ou 14

3; – 3; 12

; – 12


a) x4 16x2 0 4; 0; 4

b) 11x4 7x2 4 0 1; –1

c) 4x4 5x2 9 0 Não tem raízes reais.

d) x4 8x2 15 5 ; 5 ; 3 ; 3

e) x4 36 20x2 0 2 ; – 2 ; 3 2 ; – 3 2

57 (Unirio-RJ) O produto das raízes positivas de x4 11x2 18 = 0 vale:

a) 2M3

b) 3M2

c) 4M2

d) 5M3

58 (UGF-RJ) A diferença entre a maior e a me-nor raiz da equação x4 – 13x2 + 36 = 0 é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

y2 – 11y + 18 = 0y = 9

y = 2

Então: x2 = 9x = 3

x = – 3

Então: x2 = 2x = 2

x = – 2

P = 3 2 = 3 2

x

x

59 Um número real é tal que sua quarta po-tência é igual a 4 somado com o triplo de seu quadrado. Qual é esse número?

60 Calcule mentalmente o valor de x.

a) 2

b) 4

c) 8

d) 16 x


a) x 2 7 47

b) 3x 1 6 2 Não tem raízes reais.

c) 5x 10 3x 2 6

d) 3 3x 1 18 1

e) 3x 6 2 x – 2; 1

62 Se x 2 2, então (x 2)2 equivale a:

63 A diferença entre um número e sua raiz quadrada é 20. Calcule esse número. 25

64 (Fuvest-SP) Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro da sua raiz quadra-da. Qual é esse número? 9

65 (Vunesp) O tempo t, em segundos, que uma pedra leva para cair de uma altura x, em metros, é dado aproximadamente pela fórmula:

t 55x

Se o tempo t da queda é de 4 segundos,a altura x é:

a) 80 m

b) 75 m

c) 55 m

d) 40 m

• x – x = 20

x

y = 4

y = 9

Fazendo x2 = y x4 = y2

Temos: y2 – 13y + 36 = 0

Como x2 = y, vem: A x2 = 4

B x2 = 9

x = 2

x = –2x = 3

x = –3d = 3 – (– 3) = 6

123

2 ou –2x4 = 4 + 3x2

a) Mx 3 7 16

b) 2Mx 12 36

c) x 1 7 48

d) 5

1 25x

x – 3 = 2 xx = 9

x = 1 (não convém)

4 5x5

202 = ( 5x )2

x = 80

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ra◆C

arto

on

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◆Sen

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Seção livre

ricardo tem uma pequena fazenda onde cria gado. Como não gosta de desperdício, ele reaproveita muitas coisas. Ele precisou trocar a cerca ao redor da fazenda e, no final do serviço, constatou que sobraram 120 metros de tela de arame.

Logo teve uma ideia: usar a sobra para cercar um novo pasto para o gado.

Pete

r◆Kim

/Dre

amst

ime.

com

Mas, ao resolver o sistema, ricardo teve uma surpresa!Não seria possível construir o pasto com a área que

ele imaginou. resolva você também o sistema e descubra por quê.depois, observando os desenhos de ricardo, tente

encontrar com seus colegas as medidas que ricardo deve usar para obter a maior área possível de pasto com os 120 m de cerca.

Perímetro◆◆120◆mÁrea◆◆35◆◆25◆◆875◆m2

35◆m

25◆mPerímetro◆◆120◆mÁrea◆◆34◆◆26◆◆884◆m2

34◆m

26◆cmPerímetro◆◆120◆mÁrea◆◆33◆◆27◆◆891◆m2

33◆m

27◆m

y

x

x

y 2x 2y 120x y 1 000

Como gosta de Matemática e sabe o quanto esse conhecimento é útil, começou a desenhar retângulos que tivessem 120 m de perímetro, procurando aquele cuja área fosse igual a 1 000 m2.

Farei um pasto com 1 000 m2 de área.

Isto está demorando muito! Vou usar um

sistema de equações para descobrir as

medidas.

x2 60x 1000 0 400. O sistema não tem solução em R. Maior área possível: 900 m2 (quadrado de lado 30 m).


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◆Sen

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76

70 Qual número real é igual ao seu quadrado?

ax2 � bx � c � 0 valordeb2 � 4ac � 0

Númeroderaízes

reais

2x2 7x 3 0

3x2 2x 4 0

x2 4x 4 0

69 Os ângulos nos cantos da figura são todos retos. Qual deve ser o valor de x para que a área seja 200 cm2? 5 cm 8x2 200

71 Copie e complete o quadro, colocando >, < ou � na coluna do :

72

Resolva as equações.

a) x2 + x = 0 c) 5x2 – x = 0

b) 3x2 + 7x = 0 d) –3x2 + 15x = 0

0; 1

0;

0;

0; 57 3

1 5

73 Escreva as equações na forma geral e re-solva-as.

a) x2 7x 12 3; 4

b) 2x2 3x 2x 1 5 174

5 174

;

c) 2x (4x 1) 21 ;

d) (x 2)2 3x 4 0; 7

e) 1 (x 2)2 0 1; 3

f ) (3x 1)2 (x 2)(x 1) 1 0;

74 O quadrado de um número aumentado de 10 é igual a sete vezes esse número. Qual é o número? 2 ou 5 x2 10 7x

75 Perguntado sobre a idade de seu filho, um pai respondeu: “O quadrado da idade menos o quádruplo dela é igual a 5 anos”. Qual é a idade do filho? 5 anos x2 4x 5

76 Para revestir uma parede de 18 m2 são ne-cessários exatamente 200 azulejos quadrados. Quanto mede o lado de cada azulejo? 30 cm

200x2 180 000x 30x 30 (não convém)1

23

3 2

7 4

66 Indique no caderno as equações que têm as mesmas raízes.

a) x2 6x 8 0 e x2 6x 8 0

b) x2 6x 8 0 e x2 6x 8 0

c) x2 6x 8 0 e x2 6x 8 0

d) x2 6x 8 0 e x2 6x 8 0


a) 2x2 72 0 6; 6

b) x2 99 10x2 3; 3

68 Existe algum número real x que, elevado ao quadrado, dê 9? A equação x2 9 0 tem raízes reais? Não. Não, porque x2 9 0 x2 9, e

não existe número real que elevado ao quadrado dê 9.

?

25; ; 244 ; ; 00; ; 1

x

Revisando

c) 64 4x2 0 4; 4

d) 0,15x2 0,6 2; 2

0 e 1 x2 x

1 2

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x

xx

x

x

3x

x

x

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E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U 77

Exercícios 77 Quais são as raízes da equação?

78 A idade que Sílvia terá daqui a 6 anos será igual ao quadrado da idade que tinha há6 anos. Qual é a idade atual de Sílvia? 10 anos

x � 6 � (x � 6)2

79 A área da parte colorida tem 9 cm2. Quan-to mede o lado do quadrado maior? 6 cm


a) x2

3 � 3 � 2x � 0 3

b) 2x2 � 3x2 � 1

4 � 0 12 ; 1

4

c) x + 12 � x

2 + 13 � 0 3 � 17

43 � 17

4;

d) x2

2 � 15 � 3x – 1

5 0; 65

81 A figura abaixo representa uma quadra re-tangular de futebol de salão. A área da quadra é de 117 m2, sendo:

Determine as dimensões dessa quadra.

x2

4 � 9

x2 � 36x � 6

x � �6(não convém)

9 m e 13 mx (x � 4) � 117 x � 9 x � �13 (não convém)

82 Um terreno de 7 200 m2 de área vai ser di-vidido entre herdeiros. Para isso ele foi divi-dido em seis faixas retangulares iguais, sendo três verticais e três horizontais. O comprimen-to de cada faixa é o triplo da largura. Qual é o perímetro desse terreno? 360 m 6 (3x � x) � 7 200

3x

x

x � 20x � �20 (não convém) P � 2 � 120 � 2 � 60 � 360

��

83 O senhor Alípio dispõe de 100 m de tela para construir uma cerca em um terreno re-tangular com 600 m2 de área. Quais são as di-mensões dessa cerca? 20 m por 30 m

2x � 2y � 100x � y � 600

��

3 17 7

13 9

11 1

5

15

b)

4x2 � 7x � 2 � 0 x � 2x � � 1

4

84 (CPII-RJ) Sabendo que o quadrado abaixo é mágico, pede-se:

x � 1

6x � 1 x2 � 5 2x � 1

4x2 � 1

a) Determine o(s) valor(es) de x.

b) A partir do(s) valor(es) encontrado(s), escreva o quadrado mágico do item anterior usando apenas valores inteiros.

x 2 3+ 0=x − 6 −2 3 3,

x � 1 � x2 � 5 � 4x2 � 1 � 6x � 1 � x2 � 5 � 2x � 1

x

x � 4Ilu

stra

Car

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DesafiosDesafios

78

85 Em um campeonato de futebol, disputado em turno e returno, e com todas as equipes enfrentan-do as demais, foram realizados 56 jogos. Quantas equipes participaram desse campeonato? 8 equipes

Dica: Para resolver este problema, vamos esquematizar esta situação:

• Se fossem 2 equipes, A e B:

A recebe B B recebe A

A B B A

Número de jogos: 2 � 1 � 2

• Se fossem 3 equipes, A, B e C:


• Se fossem 4 equipes, A, B, C e D:


E se fossem n equipes? n (n � 1)

BCD

AACD

BABD

CABC

D

AB

CB

A

CC

A

B

86 Numa reunião de 6 crianças, se cada uma trocar um aperto de mão com todas as outras, quantos apertos de mão serão ao todo? 15 apertos

Mara Ivan Rui Lia Rita Cida

Dica: É preciso levar em conta que, quando Rui estende a mão a Lia e Lia estende a mão a Rui, esses dois cumprimentos devem ser considerados como um só.

x (x � 1) = 56

87 Cortando quadradinhos de 1 dm2 nos cantos de uma placa quadrada de papelão e dobrando as abas para cima, obtivemos uma caixa com um volume de 16 dm3. Qual é a dimensão da placa original de papelão? 6 dm

1 � (x � 2) � (x � 2) � 16x � 6x � �2 (não convém)

88 Uma escola quer organizar um torneio espor-tivo com 10 equipes, de forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras. Quantos jogos terá o torneio? 45 jogos

Nag

ib Z

ahr

89 (Vunesp) Numa festa de final de ano, da qual participou um certo número de pessoas, ficou combinado que cada participante daria uma pe-quena lembrança aos demais. E assim foi feito. Quantas pessoas participaram desta festa, saben-do-se que foram trocadas 132 lembranças?

n (n � 1) � 132 n � 12 n = �11 (não convém)

12 pessoas

6 � 52

� 15

1 dm

1 dm

x

x(x � 2)

1 dm

(x �

2)

10 � 92

� 45

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Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.Autoavaliação

90 (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equa-ção 2x2 � 2x � 1 � 0?

� � (�2)2 � 4 � 2 � 1� � �4� � 0x

93 (PUC-SP) Uma das raízes da equação0,1x2 � 0,7x � 1 � 0 é:

a) 2 c) 0,2

b) 7 d) 0,5

x

95 (Fuvest-SP) Se x (1 � x) � 14 , então:

a) x � 0 c) x � 1

b) x � 12 d) x � 1

4

91 (Obmep) Mariana entrou na sala e viu no quadro-negro algumas anotações da aula anterior, parcialmente apagadas, conforme a figura. Qual número foi apagado na linha de cima do quadro?

a) 11

b) 12

c) 20

d) 22

94 O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O dobro desse número menos 8 é igual a:

96 Em um losango, a diagonal menor mede x e a diagonal maior, x + 3, em centímetros. Se a área desse losango é de 40 cm2, então:

a) x2 � 3x � 80 = 0

b) x2 � 6x � 80 = 0

c) x2 � 3x � 80 = 0

d) 2x2 � 6x � 40 = 0

97 As soluções da equação x2

3 � 3 � x2

6 � 1

2são:

a) �2 e 2 c) � 2 e 2

b) �3 e 3 d) � 6 e 6

98 (Vunesp) Um salão retangular tem área de 204 m2 e seu comprimento tem 5 m a mais do que sua largura. As dimensões desse salão são:

a) 17 m e 12 m c) 21 m e 16 m

b) 19 m e 24 m d) 24 m e 8,5 m

99 (ETF-SP) As áreas do quadrado e do retângulo abaixo são iguais. Sabendo-se que a medida dos lados de ambos está em centímetros, o valor da área é:

a) 592 cm2 c) 224 cm2

b) 850 cm2 d) 784 cm2

x

x

• 2 · 62 – 6b + 60 = 0, ou seja, b = 22

x

x (x � 5) � 204

x (x � 3)2

� 40

x � 0x � 28

x2 � 8 � 72

x

x2 � 28x A � 282 � 784

x

x

8

72

x

x

x

x

x

2x 2 – ... x + 60 = 0

raízes: x = 6 e x = ...

E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U 79

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

92 As soluções da equação (x � 3) (2x � 4) � 0 são:

a) 2 e 3

b) 3 e 4

c) �3 e 4

d) �3 e 2x

x2 � 2x � 24 x � 6 x � – 4 (não convém)

2x – 8 � 2 · 6 – 8 � 4

x � x2 � 14

�4x2 � 4x �1 � 0

x1 � x2 � 12

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Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.


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80

100 (UFPA) As dimensões de um retângulo são indicadas por x 2 e x 2. Se esse retângulo tem 12 m2 de área, seu perímetro é, em metros, igual a: (x 2) (x 2) 12

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

101 (Saresp) Num terreno de 99 m2 de área será construída uma piscina de 7 m de compri-mento por 5 m de largura, deixando-se um re-cuo x ao seu redor para construir um calçadão.

Dessa forma, o recuo x deverá medir:

a) 1 m b) 2 m c) 5 m d) 8 m

102 (Saresp) O perímetro de um retângulo é 20 m, e sua área é 24 m2. Dessa forma, podemos afirmar que as dimensões desse retângulo são:

a) 2 m e 12 m c) 3 m e 7 m

b) 3 m e 8 m d) 4 m e 6 m

103 A figura mostra duas salas quadradas e um corredor retangular que têm, juntos, 84 m2 de área. O corredor tem 1 m de largura, e cada sala tem x metros de lado. As raízes da equa-ção que permitem calcular o valor de x são:

a) 6 e –7 c) 12 e –7

b) 7 e –6 d) 7 e –12

x2 8x 33 0 x 11 x 3 (não convém)

2x 4y 156 y x2123

x

x

x

x

x

x

x

5◆m

7◆m

104 (PUC-SP) Um terreno retangular de área 875 m2 tem o comprimento excedendo em 10 metros a largura. Quais são as dimensões do terreno? Escreva no caderno a equação que representa o problema acima:

a) x2 10x 875 0

b) x2 10x 875 0

c) x2 10x 875 0

d) x2 875x 10 0

105 A idade de Rodrigo daqui a 4 anos multi-plicada pela idade que tinha há 7 anos é igual a 5 vezes a sua idade atual aumentada de 5. A idade atual de Rodrigo é:

a) 3 anos. c) 11 anos.

b) 9 anos. d) 12 anos.

106 (Vestibulinho-SP) Mário e Paulo são ir-mãos. Atualmente, a idade de Mário é igual ao quadrado da idade de Paulo. Daqui a 8 anos, a idade de Mário será o dobro da idade de Paulo. Hoje, as idades de Mário e Paulo são, respectivamente:

a) 4 e 2 c) 16 e 4

b) 9 e 3 d) 25 e 5

107 (Saresp) Um laboratório embalou 156 comprimidos de analgésico em duas caixas, uma com duas cartelas de x comprimidos cada e outra com quatro cartelas de y comprimidos cada. Sabendo-se que y é o quadrado de x, quantos comprimidos havia em cada cartela?

a) 4 e 16 c) 6 e 36

b) 5 e 25 d)7 e 49

x

x

x

123 123(x 4)(x 7) 5x 5

daqui a 4 anos.

Há 7 anos.


dobro

4x2 2x 156 0 x 6 x 13

2 (não convém)

1

x

(7 2x) (5 2x) 99


x

2x 2y 20x y 24123

2x (x 1) 842x2 2x 84 0xI 6xII 7

x

x (x 10) 875x2 10x 875 0

Máriodaqui a 8 anos.

Mário: x2 x2 8 2(x 8)Paulo: x

Paulo

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S I S T E M A C A R T E S I A N O 81

Sistema cartesiano1. Localização

Mãe! Onde você guardou o meu boné?

Abra a porta do meio do armário. O boné está na

prateleira de cima.

B A

A e B são cidades. 20 km

ESTRADA

com as instruções dadas pela mãe, Lúcio encontrou seu boné.É comum precisarmos localizar um objeto, uma rua, um lugar... no trecho de estrada retilínea ilustrado abaixo, há um posto de gasolina. A figura não traz infor-

mações para localizá-lo.

UNIDADE 3UNIDADE

Lápi

s M

ágico

DAE

PrATicAndO mATEmÁTicA 9O AnO EdiçãO rEnOvAdAPnLd 2014 – mac 4

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82

com uma última informação definimos a localização: seguindo pela estrada da cidade B para a cidade A, o posto está a 40 km da cidade B.

E se acrescentarmos uma informação: o posto está a

40 km da cidade B?Melhorou, mas temos duas localizações possíveis para

o posto.

B A

20 km

ESTRADA

40 km40 km

• •

? ?

B A

20 km

ESTRADA

40 km

•

repare que, além da distância, precisamos informar a direção e o sentido.

Observe, nesta ilustração, que as pessoas caminham na mesma direção, mas em sen-tidos opostos.

Nas linhas pretas desta figura,

quantas direções e quantos sentidos

podemos identificar?duas direções e quatro sentidos.

Lápi

s M

ágico

Ilust

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Ilust

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DAE


6ª PrOvAPATriciA

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Jair é um técnico de tráfego e monitora o trân-

sito de uma cidade por meio de câmeras instala-

das em diversos pontos. Uma das câmeras mos-

trou um acidente sem vítimas, como você vê na

ilustração ao lado. Uma viatura policial trafega na

Rua Margarida. Que informações Jair deve passar

por rádio para que a viatura localize rapidamente

o local do acidente?

Para copiar este logotipo, Lúcio quadriculou o dese-nho original, marcou alguns pontos e numerou as linhas horizontais e verticais.

numa folha de papel quadriculado ele localizou os pontos e reproduziu o logotipo.

Ponto A: 2 horizontal e 8 vertical.Ponto B: 6 horizontal e 8 vertical...

Assim fica mais fácil!

0 •

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

A B

C

D

E

FG

H

I

J

virar à esquerda na rua Semente e à esquerda novamente na Av. do Sol.

0 •

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

A B• •

• •

• •

• •

• •

J C

I D

H E

G F

0 •

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7

••AC

•B

1. Numa folha de papel quadriculado, reproduza o logotipo

localizando os pontos como Lúcio fez.

2. Qual dos pontos marcados no quadriculado ao lado corres-

ponde à zero na horizontal e 2 na vertical? c

Hélio

Sen

ator

e

Lápi

s M

ágico

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es: D

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84

2. Sistema cartesianoEm Matemática há um sistema que permite localizar pontos no plano.

Traçamos duas retas numéricas perpendi-

culares que se intersectam no ponto que re-

presenta o zero de cada uma delas. Elas serão

chamadas de eixos.

Repare que as setas indicam o sentido

crescente dos números que seus pontos repre-

sentam.

Localizamos o ponto P no plano:

• 3 no eixo x;

• 4 no eixo y.

A localização de P é dada pelo par ordenado (3; 4) onde 3 e 4 são as coordenadas do ponto P: 3 é a

abscissa e 4 é a ordenada.

Estabeleceu-se que o primeiro elemento do par sempre será a abscissa e o segundo elemento,

a ordenada do ponto.

(3; 4) é o par ordenado que representa o ponto P no plano.

Escrevemos P(3; 4).

Fornecemos os pares ordenados que representam os pontos A, B e C.

• Eixo horizontal: é o eixo das abscissas,ou eixo x.

• Eixo vertical: é o eixo das ordenadas,ou eixo y.

Escreva em seu caderno os pares

ordenados que representam os pontos

D e E, F e G. D(0; 2); E(3;�3); F(�4; �2); e G(1,75; 1,5)

A(1; �2)

B(�3; 3)

C(4; 0)

(1; �2) são as coordenadas de A.

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 x

y

�5 �4 �3 �2 �1�1

�2

�3

�4

P

Hélio

Sen

ator

e

�4 �3 �2 �1�1

�2

�3

�4

01

2

3

4

y

1 2 3 4 x

DG

F

E

B

C

A

Ilust

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AE


6ª PROVAPATRICIA

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Exercícios

1 (Saresp)Observeafiguraabaixo.Emqualposiçãoestáarodadafrentedocarro?

a) C1

b) D3

c) C3

d) D2

2Observeaplantadeumasaladeaula.Nela,hácarteiras individuaisdispostasemlinhasecolunas.

a) Qualéaposição(coluna;linha)dacarteiraA?

b) Qualéaposição(coluna;linha)dacarteiraB?(2; 3)

(3; 2)

3Dêascoordenadasdecadapontodopla-nocartesiano.

A

C

y

B

K

L x

J

IH

G

F

DE

A (5; 5)B (3; 2)c (0; 7)

d (–4; 3)E (–7; 2)F (–5; 0)

G (–6; –3)H (–3; –4)i (0; –6)

J (2; –3)K (5; –2)L (8; 0)

4Useumafolhadepapelquadriculadoere-presente,noplanocartesiano,ospontos:

5IndiquequaldospontosA,B,C,D,E,FeG,abaixo,verificacadaumadasseguintesafirmações:

D

E

0

F

BC

G

A

y

x

a)Aabscissaéigualàordenada.A

b)Aordenadaénegativa.d, F

c)Aabscissaémetadedaordenada.d

d)Aabscissaéodobrodaordenada.B

e)Aordenadaénula.E

f)Aabscissaénula.G

a) A(2;4)

b) B 5; 72

c) C(3;1)

d) D 12 ;6

e) E(–2;–7)

f) F 0; 52

y

x

D

B

C

F

E

A

6OspontosA(5;6);B(6;5);C(5;6);eD(5;6)forammarcadosnumsistemadeco-ordenadas cartesianas. Qual dos seguintessegmentosderetaéparaleloaoeixox?

a) AB

b) CD

c) BC

d) AD

4

3

2

1A B C D E

x

x

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

raçõ

es: D

AE


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86

O grande René Descartes

nesta Unidade trabalhamos com o Sis-tema cartesiano, assim denominado em homenagem a rené descartes du Perron, nascido em 31 de março de 1596 na cidade francesa de La Haye (hoje chamada La Haye--descartes).

descartes, desde cedo na sua vida escolar, impressionou seus professores não só pela inteligência, mas principalmente por ser questionador, querendo saber o porquê de tudo e refletindo sempre a respeito do que aprendia.

Além da matemática, descartes dedicou-se também à Filosofia e à Física. Estudou, por exemplo, o comportamento da luz.

Encha um copo de vidro com água, co-loque dentro dele um canudo e observe-o. você terá a impressão de que o canudo en-tortou. Esse fenômeno chama-se refração e

acontece quando os raios de luz passam de certos meios para outros (ar-água).Uma relação importante para o estudo da refração foi estabelecida por descartes e pelo

astronômo e matemático holandês Willebord Snell. você provavelmente vai conhecê-la quando estudar Ótica no curso de Física do Ensino médio.

descartes provocou profundas mudanças na Filosofia. Sua obra mais importante, intitulada Discurso sobre o Método, foi publicada em 1637. de acordo com descartes, a compreensão de um problema está ligada com a organização e clareza com que pensamos sobre ele. Se dividirmos um problema maior em uma série de pequenos problemas e os analisarmos um a um, chegaremos mais facilmente à solução.

descartes é considerado o “pai da filosofia moderna”. Acreditava que os homens se diferenciavam dos animais porque tinham alma. Essa alma, segundo ele, era a razão – a capacidade de pensar.

A razão, tão valorizada por descartes, está presente em sua mais célebre frase:

“Se duvido é porque penso; se penso é porque existo.”Ou, simplesmente:“Penso, logo existo.”na matemática, trouxe contribuições importantes e desenvol-

veu o campo que hoje conhecemos como Geometria Analítica.Fonte de pesquisa: <www.oregonstate.edu/instruct/phl302/philosophers/descartes.html>

◆ Anônimo (escola alemã). Retrato de René Descartes, 1644. Gravura.

Cole

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Parti

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VALE A PENA LER

O que é Geometria Analítica?

A Geometria Analítica é uma parte da matemática que relaciona Álgebra e Geometria. Ela permite, por exemplo, representar retas ou circunferências por meio de equações e calcular a distância entre dois pontos a partir dos pares ordenados que os representam.

rené descartes contribuiu muito para o desenvolvi-mento dessas ideias.

Em sua homenagem:

• O sistema de localização de pontos no plano que apren-demos chama-se sistema cartesiano.

• Os eixos x e y, eixos cartesianos e o plano que os contém, plano cartesiano.

• Os pares ordenados (x; y) que representam os pontos no plano são as coordenadas cartesianas dos pontos.

2o quadrante

3o quadrante

1o quadrante

4o quadrante

Os eixos cartesianos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

3. Coordenadas geográficasPara localizar pontos na superfície da Terra, utilizam-se as coordenadas geográficas, que se baseiam

em dois tipos de linhas imaginárias: meridianos e paralelos.

O paralelo de maior circunferência é o Equador. Ele divide o globo em dois hemis-férios, o Hemisfério norte e o Hemisfério Sul.

A partir do Equador são traçados 90 para-lelos ao norte e 90 paralelos ao sul, numera-dos de 0° a 90° para cada hemisfério.

O Equador é a linha de referência para os paralelos.

Equador

Fonte: Dicionário cartográfico. Rio de Janeiro: IBGE, 1993.

Círculo Polar Ártico

Trópico de Câncer

Círculo Polar Antártico

Trópico de Capricórnio


Os meridianos passam pelos polos norte e Sul. O meridiano que serve como referên-cia é o meridiano de Greenwich, que corta a cidade de Londres.

O meridiano de Greenwich corresponde a 0° e divide o globo em dois hemisférios – Hemisfério Leste e Hemisfério Oeste. São traçados 360 meridianos: 0° a 180° a leste e 0° a 180° a oeste de Greenwich.


Mer

idia

no d

e Gr

eenw

ich

Fonte: Dicionário cartográfico.Rio de Janeiro: IBGE, 1993.

DAE

© D

AE/S

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Vaz

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AE/S

onia

Vaz


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88

Para localizar um ponto na superfície terrestre, indicamos a latitude (paralelo em que se encontra) e a longitude (meridiano em que se encontra).

As coordenadas geográficas do ponto referente a uma cidade, por exemplo, são dadas pelo par ordenado (latitude; longitude).

Você é capaz de escrever de forma aproximada as coordenadas geográficas

da sua cidade?

Esse mapa, chamado Planisfério, é uma representação plana da Terra.Observe que Brasília, capital do país, está aproximadamente a 18° de latitude sul e 50° de lon-

gitude oeste.

Alex

andr

e Fa

gund

es D

e Fa

gund

es/D

ream

stim

e.co

m

◆ Prédio do Congresso Nacional, onde funcionam o Senado Federal e a Câmara dos Deputados, no centro da Praça dos Três Poderes, em Brasília. Projeto do arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer que contempla duas torres independentes, de 28 andares, ligadas ao meio, formando um H. Na cúpula convexa fica a Câmara dos Deputados, e na cúpula côncava, o Senado Federal.

Planisfério60°L 120°L60°O80°O100°O 20°O 0°40°O 20°L 40°L 100°L 160°L140°L80°L120°O160°O 140°O 180°

Á F R I C A

E U R O P A

Á S I A

O C E A N I A

A M É R I C A

60°S

80°S

40°S

20°S

20°N

40°N

60°N

80°N

Equador

Trópico de Capricórnio

Círculo Polar Antártico

Círculo Polar Ártico

Trópico de Câncer

A N T Á R T I C A0 520 040 km

1 cm – 2

N

S

O L

Mer

idia

no d

e Gr

eenw

ich

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO

OCEANO PACÍFICO

OCEANOPACÍFICO

OCEANOÍNDICO

OCEANO

ATLÂNTICO

2 5

520 km

Fonte: Marcelo Martinelli. Atlas Geográfico: natureza e espaço da sociedade. São Paulo: Ed. Brasil, 2003.

B R A S I L

Brasília

Fonte: Marcello Martinelli. Atlas Geográfico: natureza e espaço da sociedade. São Paulo: Ed. Brasil, 2003.

© D

AE/S

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Vaz

Lápi

s M

ágico


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Valeapenaler

O que é e como funciona o CEP

você já reparou que os números naturais são utilizados para compor códigos que nos ajudam no dia a dia? nos hotéis e hospitais, por exemplo, é comum o número do quarto indicar o andar onde ele se localiza. veja:

• Quarto 52: corresponde ao quarto de número 2 do 5o andar.

Indica o andar.

Outro exemplo importante de utilização dos números naturais na formação de códigos é o cEP.O código de endereçamento postal (cEP) foi criado pelos correios para tornar a entrega de cor-

respondências e encomendas em todo o país mais rápida e eficiente, pois permite que a separação por endereços seja feita por equipamentos eletrônicos.

O cEP é um código composto de oito algarismos. cada um deles fornece uma informação sobre o endereço do destinatário.

O quarto 74 deve ficar no 7o andar.

Para entender esse código, vamos analisar o cEP 13165-000.

no mapa ao lado, vemos como o território brasileiro foi dividido em dez regiões postais numera-das de zero a nove. A numeração foi feita no sentido anti-horário a partir do estado de São Paulo. O primeiro algarismo do cEP indica essa região. no nosso exemplo, o algarismo 1 indica a região 1: interior de São Paulo.

O DDD usado nos números de telefone também é um código: para as cidades da Bahia, por exemplo, o

primeiro algarismo é sempre 7.Ilhéus: 73, Salvador: 71.


Região 1 (Sede Santos)

Interior de SP

Região 2 (Rio de Janeiro)

RJ e ES

Região 3 (Sede Belo Horizonte)

MG

23

4

Região 4 (Sede Salvador)

BA e SE

Região 5 (Sede Recife)

PE, AL, PB, RN

5

Região 8 (Sede Curitiba)

PR e SC

8

Região 0 (Sede São Paulo)

Grande SP

01

Região 9 (Sede Porto Alegre)

RS

9

7

Região 7 (Sede Brasília DF)

DF, GO, TO, MT, MS e RO

6

Região 6 (Sede Fortaleza)

CE, PI, MA, PA, AM, AC, AP e RR

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e


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90

cada região foi dividida em 10 sub-regiões e cada sub-região em 10 setores, que são indicados respectivamente pelo segundo e o terceiro algarismos do cEP. Observe os mapas.

Estamos perto do endereço. você percebeu que o código se baseia num sistema decimal? cada região obtida é dividida em 10 novas regiões menores. Observe abaixo o significado do quarto e do quinto algarismos que permitem chegar ao nome da cidade de Engenheiro coelho.

Os três algarismos após o hífen são denominados de sufixo e destinam-se à identificação indivi-dual do endereço: rua, praça, avenida, caixa postal ou, ainda, podem indicar um cEP promocional como os usados para concursos, por exemplo.

O sufixo 000 no endereço que estamos pesquisando corresponde à rua Pedro Hereman, que fica no centro da cidade de Engenheiro coelho – interior de São Paulo.

Engenheiro Coelho

Engenheiro Coelho

Artur Nogueira

Fonte: <www.correios.com.br/servicos/cep/cep_estrutura.cfm>. Acesso em: jun. 2011.

Casa Branca

Araras

Rio Claro

Piracicaba

Itu Jundiaí

CampinasAmparo

Mogi Mirim

137

Engenheiro Coelho

Artur Nogueira

Cosmópolis

Paulínia

Sumaré

Monte Mor

CampinasHortolândia

13165-000

136138

135 139

131130

132

133

1316

1315

1314

13171318

13001313

1319

13165

13160

134

Ilust

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élio

Sen

ator

e


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Revisando

7Vejaomapaapresentadoabaixo:

Utilizandoosistemadecoordenadas,localize(letra;número)algunspontosdoBrasil.

a) Manaus(E; 3)

b) Cuiabá(F; 6)

c) Macapá(G; 2)

d) Curitiba(H; 9)

e) Belém(H; 2)

f) Salvador(K; 6)

8Completenocadernoosparesordenadosabaixo,segundoaindicação:

a) (7; ) primeiroelementosegundoelemento7

b) ( ;8) primeiroelementosegundoelemento35

c) ( ; ) primeiroelementosegundoelemento4 4; 4

d) (x; ) segundoelementodobrodoprimeiroelemento2x

9Copieecompletecomou:

a) (2;3) (4;6)

b) (2;3) (2;3)

c) (3;2) (2;3)

d) (3;2) ( 9 ; 4 )

OCEANOPACÍFICO

OCEANOATLÂNTICO

VENEZUELA

GUIANASURINAME

GuianaFrancesa(FR)

PERU

BOLÍVIA

PARAGUAI

URUGUAI

ARGENTINA

CHILE

COLÔMBIA

RORAIMA AMAPÁ

AMAZONAS

ACRE

PARÁ

RONDÔNIA

MATO GROSSO

DF

MARANHÃO

PIAUÍ

RIO GRANDEDO NORTE

ALAGOAS

SERGIPE

MINAS GERAIS

BAHIA

SÃO PAULO

PARANÁ

RIOGRANDEDO SUL

PARAÍBA

RIO DE JANEIRO

MATO GROSSODO SUL ESPÍRITO SANTO

Manaus

Rio Branco

Boa Vista

Porto Velho

Belém

Cuiabá

Campo Grande

Brasília

Macapá

São Luís

Fortaleza

Salvador

Goiânia

Palmas

Teresina

Belo Horizonte Vitória

Florianópolis

Porto Alegre

Curitiba

SANTA CATARINA

Rio de JaneiroSão Paulo

Maceió

Aracaju

Recife

Natal

João Pessoa

GOIÁS

TOCANTINS

PERNAMBUCO

CEARÁ

Arq. de Fernandode Noronha

Fonte: Atlas Nacional do Brasil. Rio de Janeiro: IBGE, 2000.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A B C D E F G H I J K L M

11 11

A B C D E F G H I J K L M

© D

AE/S

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Vaz

N

O L

S

0 430 860 km

1 cm – 430 km


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Exercícios

92

10 Observe em que ponto se encontra cada animal e complete a tabela no caderno.

Coordenadas Quadrante

Borboleta

Aranha (�3; 1)

Coelho

Formiga

Rato 3º

Abelha

Passarinho

(4; 2); 1o

(�7; 3); 2o

(�6; �2); 3o

(�4; �3)

(2; �3); 4o

(5; �2); 4o

11 Quais são as coordenadas dos vértices do quadrado de lado 4?

y

x

AB

C D

2

2

A (2; 2)B (�2; 2)C (�2; �2)D (2; �2)

12 Determine mentalmente x e y para que cada uma das igualdades seja verdadeira.

a) (x; 2y) = (5; �8) x = 5 e y = �4

b) (x; y + 1) = (�2; 7) x = �2 e y = 6

c) (5x; 3y) = (�20; 9) x = �4 e y = 3

d) (x � 2; y � 3) = (�4; �5) x = �2 e y = �2

13 (Obmep) Gabriel testou sua pontaria lan-çando cinco flechas que atingiram o alvo nos pontos A, B, C, D e E. As coordenadas desses pontos são:

A (1; �1) B (2,5; 1) C (�1; 4)

D (�4; �4) E (6; 5)

A tabela mostra quantos pontos são obtidos quando a flecha acerta um ponto dentro de cada uma das três regiões, conforme mostra a figura.

a) Marque os pontos A, B, C, D e E.

b) Quantas flechas Gabriel acertou no interior do menor círculo?

c) Quantos pontos Gabriel fez ao todo?

No círculo menor temos apenas o ponto A (300 pontos), portanto, 1 flecha.

c) Ponto B: 100 pontos; ponto; C: 50 pontos; ponto D: 50 pontos; ponto E: não ganha pontos. Total: 300 + 100 + 50 + 50 = 500 pontos.

50 pontos100 pontos300 pontos

ordenada

abscissa0 A

B

C

D

E

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8�1�2�3�4�5�6�7�8

1234

�1�2

�3�4

• coelho

• aranha

• formiga• rato

• borboleta

• abelha• passarinho

o

2o

ordenada

abscissa

0

Ilust

raçõ

es: D

AE


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Autoavaliação Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.


14 (Saresp) Num guia de cidade po-demos encontrar parte de um mapa de ruas e praças como este:

Na posição eE desse mapa está a:

a) Praça do Sol.

b) Praça da Paz.

c) Praça do Vento.

d) Praça da Lua.

15 (Obmep) Carlos pode ir de sua casa à esco-la andando três quilômetros para o norte, dois para o oeste, um para o sul, quatro para o leste e finalmente dois para o sul. Para ir de casa à escola em linha reta, Carlos deve andar:

a) 2 km para o leste.

b) 1 km para o sul.

c) 3 km para o oeste.

d) 4 km para o norte.

x

casa escola

16 (Saresp) Imagine um jogo em que um par-ticipante deva adivinhar a localização de algu-mas peças desenhadas num tabuleiro que está nas mãos do outro jogador. Veja um desses ta-buleiros com uma peça desenhada.

A sequência de comandos que acerta as qua-tro partes da peça desenhada é:

a) D4, E3, F4, E4

b) D4, E4, F4, E5

c) D4, E3, F3, E4

d) D4, E3, F4, E5x

17 O ponto E(�; �) pertence:

a) ao primeiro quadrante.

b) ao segundo quadrante.

c) ao terceiro quadrante.

d) ao quarto quadrante.

x

18 Sendo (x; 2) � (5; y), então o valor de x � y é:

a) 3

b) 4

c) 7

d) 10

x

19 Sendo (x; 5) � (3; 5) e (6; y) � (6; 4), então pode-se ter:

a) x � 3 e y � 4

b) x � 5 e y � 4

c) x � 3 e y � 5

d) x � 5 e y � 3x

x

A B C D E F G H I J

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e

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94

a) 6

b) 8

c) 9

d) 12

x

20 (Ceetesps-SP) O par ordenado de números que representa a represa é:

y

Zoológico

Escola

Igreja

Reservatório de água tratada

x

Represa

1 3 42125 4 3

3

2

1

12

34

a) (5; 3)

b) (3; 4)

c) (5; 3)

d) (4; 3)x

21 Dois pontos simétricos em relação ao eixo das abscissas são:

a) A e C

b) A e D

c) C e F

d) C e Dx

y

x

C

D

2

�4 1 3

�5E

F

B

A

22 A área do triângulo ABC da figura abaixo é:

23 (Saeb-MEC) Num tabuleiro de xa-drez, jogamos com várias peças que se movimentam de maneiras diferentes. O cavalo se move para qualquer casa que possa alcan-çar com movimentos na forma de “L”, de três casas. Na figura abaixo, os pontos marcados representam as casas que o cavalo pode alcan-çar, estando na casa D4.

Dentre as casas que o cavalo poderá alcançar, partindo da casa F5 e fazendo uma única jo-gada, estão:

a) G3 ou D6

b) H5 ou F3

c) H7 ou D7

d) D3 ou D7

x

24 (Vunesp) A área da figura é:

a) 20 cm2

b) 21 cm2

c) 22 cm2

d) 23 cm2x

7

0 1

654321

cm

cm2 3 4 5 6 7 8

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

AE

A

B CUnidade

de medida


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F u n ç õ e s 95

UNIDADE 4UNIDADE

Funções1. Conceito de função

A quantidade de combustível consumida por um automóvel é função da distância que ele percorre.

Nessa afirmação e em outras presentes em nos-so dia a dia, usamos a expressão “é função de” para mostrar que a quantidade de combustível depende do número de quilômetros rodados pelo automóvel.

mas o que é função? Já percebemos a ligação entre a palavra funçãoe a relação de interdepen-dência entre os valores de grandezas.

vamos descobrir mais?

Sand

ra F

anze

res

Eu digo 4.

Vamos lá!

Vamos fazer uma brincadeira: eu digo um número, vocês

calculam o dobro dele, somam 3 e dizem o resultado!

Nós respondemos 11. 2 4 3 11

Ilust

raçõ

es: L

ápis

Mág

ico

PRAtICANdO mAtemÁtICA 9O ANO edIçãO ReNOvAdAPNLd 2014 – mac 4

6ª PROvAPAtRICIA

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96

Qual deveria ser a resposta dos alunos se o

professor dissesse:

• 12 ? 4 • 1,3? 5,6

Formamos um conjunto Acom os números dados pelo professor e um conjunto Bcom as respostas dos alunos.

Como os conjuntos que relacionamos são Ae B, dizemos que essa é uma função de Aem B.

escreve-se: f: A B (Lê-se: f é uma função de A em B).

Sempre que atribuímos um valor a xe determinamos seu correspondente ypor meio da lei de formação da função, obtemos um par de números.

Podemos escrever os pares ordenados (x; y) formados no nosso exemplo.

veja na tabela os números ditos pelo professor e as respostas dos alunos:

A resposta dos alunos depende do número escolhido pelo professor.

Observe que a cada número xdito pelo professor corresponde umúnico resultado correto ypara a resposta dos alunos.

A fórmula que expressa a relação entre xe yé y 2x 3 .

Nesse exemplo, dizemos que yéfunçãodex.

A fórmula y 2x 3 é a lei de formação dessa função.

Outro modo de representar essa tabela é por meio de um diagrama:

Número dado pelo professor

Respostados alunos

4 11

6 15

5 7

0 3

4 • • 11

A B

6 • • 15

• 7

• 3

5 •

0 •

• x 4; y 11 par ordenado (4; 11)• x 6; y 15 par ordenado (6; 15)• x 5; y 7 par ordenado (–5; –7) • x 0; y 3 par ordenado (0; 3)

Cada seta associa o número falado pelo professor

com a respectiva resposta dos alunos.

Os pares são ordenados: o primeiro

elemento do par é x, e o segundo é y.

DAE


6ª PROvAPAtRICIA

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F u n ç õ e s 97

Observe o diagrama:

Agora a brincadeira é outra. Eu digo um número e vocês respondem qual ou quais

dos números escritos no quadro são menores do que ele.

A BFormamos um conjunto Acom os números escolhidos

pelo professor e um conjunto Bcom os números que esta-vam escritos no quadro.

Observe que cada seta faz corresponder o número dado pelo professor com o número (ou os números) registrados no quadro que são menores do que ele.

A relação entre o número xescolhido pelo professor e o número yque é a resposta dos alunos pode ser representada por y x .

No entanto, aqui, ynãoéfunçãodex. veja por quê:• para um mesmo valor de x do conjunto A, temos mais do que um correspondente y no

conjunto B.

• há um valor de xem Aque não tem correspondente yem B.

No nosso exemplo, para x 1 em Anão temos correspondente yem B. Além disso, x 5 tem dois correspondentes em B.

Por isso, não temos uma função.

Eu digo 5.

Nós respondemos

2 e 4.

5 • • 2

• 43 •

1 •• 6

• 8

Para que tenhamos uma função é preciso:• estabelecer dois conjuntos: um primeiro conjunto, do qual tomaremos os valores

de x,e um segundo conjunto, no qual encontraremos os valores correspondentes de y;

• haver uma relação entre xe y de forma que a cada xtomado no primeiro conjunto corresponda um único yno segundo conjunto.

DAE

Ilust

raçõ

es: L

ápis

Mág

ico


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98

Exercícios

9 °C

No 4o dia.

1 Emcincomadrugadasconsecutivas, sem-preàmesmahora,foramregistradasestastem-peraturasemumacidadebrasileira.

A B

�2•

�1•

0•

1•

2•

•0

•1

•2

•3

•4

2Considereodiagramaabaixo:

ParaquesejaumafunçãodeMemN,basta:

a)apagaraseta1eretiraroelementot.

b)apagarassetas1e4eretiraroelementoe.

c)retiraroselementoseet.

d)apagaraseta4eretiraroelementoe.

e)apagaraseta2eretiraroelementoe.

a) AtodonúmeroxtomadoemAcorrespon-deumúniconúmeroyemB?Sim.

b) EssediagramailustraumafunçãodeAemB?

c) Escreva a expressão algébrica que liga asvariáveisxey.y x2

d) Escrevaosparesordenados(x;y)dessafun-ção.(2; 4), (1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4)

3Observeodiagramae responda às ques-tõesnocaderno.

Sim.

x

1o dia •2o dia •3o dia •4o dia •5o dia •

• 0 ºC• 3 ºC• 6 ºC• 9 ºC• 12 ºC

•Arelaçãoque fazacadadiacorresponderumatemperaturaéumafunção?Sim.

12 oC

9 oC

6 oC

3 oC

0 oC

1o dia 2o dia 3o dia 4o dia 5o dia


• 0 °C• 3 °C• 6 °C• 9 °C• 12 °C

b) AcorrespondênciaBemAseriaumafunção?Porquê?Sim. A correspondência levaria cada elemento de B a um

único número de A.

a) Qualfoiatemperaturanosegundodia?

b) Emquediaatemperaturaregistrou12°C?

c) Emquaisdiastivemosamesmatemperatura?No 1o e no 5o dia.

d) Copieecomplete,nocaderno,odiagramadesetas.

Vou recorrera um diagrama

de setas.

4Copieecompleteatabeladafunção.

x 2 0 1 2 3

metade de x

5Observeatabela.

ANúmero de calças vendidas

140 170 230 180 170 190

B Tamanho 40 42 44 46 48 50

Responda.

a) AcorrespondênciarepresentaumafunçãodeAemB?Porquê?

1 0 12 1

32

Não. A correspondência deve relacio-nar cada elemento de A a um único

número de B, e 170 está relacionado a dois números: 42 e 48.

M

2

3

4

5

1 N

a

b

c

d

e

x

y

z

w

t

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

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F u n ç õ e s 99

A ideia da máquina

Faça dupla com um colega para conhecer a brincadeira que Carla fez!O professor fez no quadro a atividade em que ele dizia um número, os alunos faziam as opera-

ções pedidas e davam o resultado. A partir disso, Carla pensou numa nova brincadeira:

Observem o desenho e usem o cálculo mental para responder oralmente qual o valor das bolinhas coloridas que sairão da máquina.

1. Para obtermos na saída a bolinha com o número 71, que número deve ser colocado na bolinha de

entrada? 23

2. Há como obter na saída o número 3? É preciso colocar na entrada uma bolinha com o número 13

.

3. Cada um de vocês inventa uma máquina como a da Carla com 3 bolinhas prontas para serem co-

locadas na entrada. Troquem os cadernos para determinar os valores nas bolinhas que sairão. Confiram

as respostas.

Imaginei a função como uma máquina. Para cada número que

colocamos na entrada, ela faz as operações indicadas e fornece um

número na saída.

2

7

0

1,5

8

ENTRADA

SAIDA

6,5223

“tRIPLICAe dePOIS SOmA 2”

O número que sai é dado em função do número

que entra!

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e


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100

Domínio e imagem

mostraremos, por meio de exemplos, o significado das palavras domínio e imagem no estudo das funções.

1. marcela foi comprar bombons na confeitaria. Cada bombom custa R$1,80. A quantia que ela pagará ( y) será função do número de bombons que levar (x), pois, para cada quantidade de bombons, há um único preço a ser cobrado.

Número debombons (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

etc.Preço a

pagar (y)0 1,80 3,60 5,40 7,20 9,00 10,80 12,60 14,40 16,20 18,00

Os valores de x para essa função são números naturais. Não se compra 2,3 bombons ou algo assim.dizemos que o domínio dessa função é o conjunto dos números naturais. Nessa função, x pode

ser qualquer número natural, como x 320 ou x 1 000, mas x não pode ser uma fração ou número negativo, por exemplo.

Observando a tabela, vemos que quando x 3, por exemplo, temos y 5,40. diremos que 5,40 é a imagem de 3 por esta função.

todo elemento do domínio tem uma única imagem.

Qual seria aimagem de 8 por essa

função? 14,40

2. Ariel pensou em uma função que associa um número x ao seu dobro y (y 2x).

existe algum número que não possui dobro? Não, então nessa função,x pode ser qualquer número real, pois é sempre possível calcular o dobro de um número. diremos, então, que o domínio da função pensada pelo Ariel é ®.

No entanto, se a função associasse, por exemplo, cada número

x ao seu inverso y [y 1x ], teríamos de excluir do domínio ® o nú-

mero zero, pois zero é o único número real que não possui inverso. em geral, quando não se explicita qual é o domínio de uma função, consideramos o domínio como

®, tomando o cuidado de excluir, se necessário, números para os quais não exista y correspondente a ele pela função.

y 2x

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e


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F u n ç õ e s 101

Exercícios

6Considerandoafunçãodadapory1 2x,responda:a) Parax 5,quantovaley?9

b) Parax 6,quantovaley?13

c) Parax 12

,quantovaley?2

d) Paraquevalordexsetemy 15?8

7(Obmep) Antônio tem um papagaio quefaz contas fantásticas com números inteiros,mas não sabe nada sobre decimais. QuandoAntônio sopraumnúmeroemseuouvido,opapagaiomultiplicaessenúmeropor5,depoissoma14,divideoresultadopor6,finalmentesubtrai1egritaoresultado.

9(Fesp-RJ)OcustoC,emreais,parasepro-duzirxunidadesdedeterminadoprodutoédadopela funçãoCx²90x3860.Ocustopara se produzir 29 unidades desse produtocorrespondea:a) R$2.061,00 c) R$2.081,00

b) R$2.071,00 d)R$2.091,00

10(CPII-RJ) Na figura, temos uma sequênciadeoperaçõesquedevemserefetuadascomumnúmerorealde“entrada”.

entrada

multiplique por 2 subtraia 7eleve ao quadradosome 3

resultado

a) Seovalordeentradaé5,qualéoresultado?

b) Chamedexovalordeentradaeobtenhaumaexpressãosimplificadaparaovalordoresultado.4x² 12x 2 • (x 2 3)² 7

c) Utilizando a expressão obtida no item b,determineo(s)valor(es)deentradaquandooresultadoé18.1 ou 4 • 4x² 12x 2 18

11Considereafunçãodefinidapor:

y3x1

a) Copieecompleteatabela.

x y � 3x � 1

0

1

2

11

b) Qualéaimagemdoelemento0,2?1,6

c) Qualéoelementoquetemimagem14? 5

x

• (5 2 3)² 7 162

1

2

7

4

• y 3 ( 0,2) 1 1,6

• 14 3x 1x 5

a) SeAntôniosopraronúmero8,qualnúmeroopapagaiogrita?8 • [(8 � 5) 14] : 6 1 8

b) Seopapagaiogritou3,qualéonúmeroqueAntôniosoprouemseuouvido? 2

c) Porqueopapagaionuncagritaonúmero7?

8Considerandoafunçãodadaporyx27x+6,responda:

a) Parax4,quantovaley?6

b) Parax–1,quantovaley?14

c) Existex,talquey0?1; 6

d) Paraquevaloresdexsetemy6? 0; 7

e) Paraquevalorrealdexsetemy8?Não existe.

O papagaio não opera com decimais.

162

• 5x 14

6 1 3 ⇒ x 2

• 5x 14

6 1 7 ⇒ x 6,8

Hélio

Sen

ator

e


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102

2. As funções e suas aplicaçõesPor que aprender funções?Na ciência e nas mais variadas atividades humanas, as funções são usadas para descrever e estudar

a relação entre grandezas.

◆ O gasto com combustível é função do número de litros colocados no tanque do automóvel.

◆ A dose de remédio dada a uma criança, muitas vezes, é função da massa da criança.

◆ O juro pago por um empréstimo é calculado em função da quantia emprestada.

◆ O preço de uma ligação telefônica interurbana frequentemente é função do tempo de conversação.

Ron

Chap

ple

Stud

ios/

Drea

mst

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com

Dan

Wilt

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tock

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Alex

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F u n ç õ e s 103

xe ysão as variáveis da função.

◆ O funcionário digita na balança o preço do kg de carne (R$ 6,00).

No açougue…

◆ A balança calcula automaticamente 6 x e apresenta no visor o valor a pagar. É o valor de y.

◆ Coloca a carne sobre o prato da balança que registra a massa (é o valor de x).

As funções têm aplicações nas situações do cotidiano e do trabalho. Acompanhe.

1. No açougue, o quilograma de determinado tipo de carne custa R$ 6,00. O preço a pagar yé função da quantidade de carne comprada x. veja a tabela:

Carne (kg) Preço (R$)

x y

1 6 1 6

2 6 2 12

3 6 3 18

4 6 4 24

A cada valor de xcorres-ponde um único valor de y.

A lei de formação dessa função é y 6x .

A lei de formação da função estabelece a relação matemá-tica entre xe y.

vamos aplicá-la para responder a algumas questões.

• Uma pessoa comprou 1,8 kg de carne. Quanto pagou?

Como y 6x, para x 1,8 temos:y 6 1,8 10,80

A pessoa pagou R$ 10,80 por 1,8 kg de carne.

• Com R$ 4,80, quanto de carne é possível comprar?

Agora temos y 4,804,80 6 x

x 4,80

6 0,8

Com R$ 4,80 é possível comprar 0,8 kg de carne.

Observe que, nesse exemplo de função, x não pode assumir valores negativos, pois uma medida de massa nunca é negativa.

0,8 kg 800 g, pois 1 kg 1 000 g

Responda usando cálculo mental: quanto se paga por

2,5 kg dessa carne? R$ 15,00

Fern

ando

Fav

oret

toFo

tos:

Fern

ando

Fav

oret

to


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104

2. em um parque de diversões, os visitantes pa-gam R$ 15,00 pelo ingresso e R$ 3,00 para brincar em cada uma das 20 atrações disponíveis.

A quantia pgasta pelo visitante depende do número de atrações nque ele escolher e pagar.

Podemos representar a relação entre ne ppela fórmula p 15 3n .

Observe:n é o número de atrações pagas pelo visi-

tante. O parque tem no total 20 atrações.então n só pode ser um número inteiro de

zero a 20. Ou seja, 0 n 20 .

A cada valor de n nesse intervalo corres-ponde um único valor a pagar p.

então p é função de n.

3. Uma fábrica produz placas de aço na forma de retângu-los. As medidas variam; no entanto, a medida do comprimento tem sempre 5 cm a mais do que a medida da largura.

Quantos centímetros quadrados de aço são gastos em cada placa?

ne psão as variáveis dessa função

1. Paulo pagou o ingresso e foi a quatro atra-

ções. Ele gastou R$ 27,00.

15 4 3 15 12 27

Calcule mentalmente:

• Quanto gasta o visitante que vai a dez atra-

ções do parque? R$ 45,00

2. Pense e responda no caderno:

• Nessa função, qual é o menor valor que po-

demos ter para p?

• E o maior?

• Explique esses valores.

O visitante pagou por todas as atrações do parque.

O visitante não pagou por atrações do parque. Seu gasto limitou-se ao ingresso.

Depende! Para cada valor de x teremos um valor para

a área do retângulo. E para a empresa é importante saber qual é a

relação entre as medidas dos lados do retângulo e a sua

área. Assim, ela pode prever custos e aproveitar melhor o

material.

x 5

x

• R$ 15,00, que corresponde a n 0.O visitante paga o ingresso, entra, mas não aproveita as atrações do parque.

• R$ 75,00, que corresponde a n 20. O visitante paga o ingresso e aproveita as 20 atrações do parque.

Jona

than

tenn

ant/A

lam

y/O

ther

imag

es

◆ Parque de Diversões na baía de Sydney, na Austrália.

Lápi

s M

ágico

DAE


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F u n ç õ e s 105

Se os lados do retângulo medem (x 5) e x, sua área é y = (x 5) x.

Aplicando a propriedade distributiva obtemos y x2 5x .

A cada valor de x corresponde um único valor de y. então y éfunçãodex.

Podemos montar uma tabela com alguns valores dessa função.

• Qual deve ser a medida x para que a área da peça retangular seja de 104 cm2?

Basta fazer y 104 cm2 na lei de formação da função:

y x2 5x

104 x2 5x

Obtivemos uma equação do 2o grau. vamos resolvê-la para encontrar x.

Quem vai ao qua-

dro calcular os va-

lores de y que fal-

tam na tabela?y = 66 cm2 e y = 150 cm2

x (cm) y x 2 5x (cm2) 1 6 2 14 2,5 18,75 4 36 6 10

x1 5 21

2 8

x2 5 21

2 13

Podemos atribuir infinitos valores a x.

No entanto, como x é a medida do lado do retângulo, devemos

ter x 0.

Reescrevendo a equação:

x2 5x 104 0

a 1; b 5 e c 104

b2 4ac

25 416 441

x b M

2a

x 5 21

2

Consideramos somente a solução positiva, pois x é a medida do lado do retângulo.então, para que a área da peça seja de 104 cm2, devemos ter x 8 cm.

Lápi

s M

ágico


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106

Exercícios

12Observeatabelaeresponda:

Quantidade de refrigerantes

Preço a pagar (R$)

1 2,402 4,803 7,204 9,605 12,006 14,40

a) Qualéopreçoapagarnumacomprade3refrigerantes?R$ 7,20

b) Quantos refrigerantes podem ser compra-doscomR$9,60?4 refrigerantes

c) Opreçoapagardependedonúmerodere-frigerantescomprados?Sim.

d) Qualéopreçoyapagarnumacompradexrefrigerantes?y = 2,40x

Peso (kg) Preço (R$)

até1 6,00

de1a5 15,00

de5a10 20,00

13Numaempresadetransportes,opreçoquesepagapeloenviodeumaencomendadeaté10kgdependedoseupeso.Atabeladepreçoséaseguinte:

Respondaemseucaderno.

a) Quanto custará mandar uma encomendacom750g?R$ 6,00

b) Quanto custará mandar uma encomendacom3kg?Eumacom7kg?R$ 15,00; R$ 20,00

c) Qualdasseguintesafirmaçõesestácorreta?

• Opesoéumafunçãodopreço.• Opreçoéumafunçãodopeso.

14Observenatabelaamedidadoladodeumquadradoeoseuperímetro.

Medida do lado (cm)

Perímetro(cm)

1 42 8

2,5 103 12... ...

� P

a) Qualéoperímetrodeumquadradocujoladomede7cm?28 cm

b) Qualéamedidadoladodeumquadradocujoperímetromede38cm?9,5 cm

c) Éverdadequeoperímetrodependedame-didadolado?Sim.

d) Qualéaleiqueassociaamedidadoladodeumquadradocomoperímetro?P 4 �

15Ostrêsretângulosdafiguratêmáreaiguala18.Ocomprimentodependedalargura,istoé,sealarguraé1,ocomprimentoé18;sealarguraé2,ocomprimentoé9;se...

a) …alargurafor4,qualseráocomprimento?

b) …alarguraforchamadadexeocompri-mentodey,qualéafórmulaquerelacionaycomx?

118

9

2

6

3

x

4,5

y 18x

está em função

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F u n ç õ e s 107

Exercícios16Opreçoaserpagoporumacorridadetáxiinclui uma parcela fixa, denominada bandei-rada,eumaparcelaquedependedadistânciapercorrida.SeabandeiradacustaR$3,50ecadaquilômetrorodadocustaR$0,60,responda:

17Numafábricadesucos,acada12 laranjas,obtém-se1litrodesuco.

a) Qualéafunçãoquetraduza relação entre o númerodelaranjasxeoslitrosdesucoy?

b) Quequantidadedesucoseobtémcom600laranjas?50 litros

c) Quantaslaranjassãonecessáriasparafazer15litrosdesuco?180 laranjas

d) Quantaslaranjassãonecessáriasparafazer3,4litrosdesuco?41 laranjas

The

Nex

tFe

rnan

do F

avor

etto

/Cria

r Im

agem

a) QualéovalorVapagarnumacorridadenquilômetros?v 3,50 0,60 n

b) Quantovaicustarumacorridade11quilô-metros?R$ 10,10

c) Quantovaicustarumacorridade5quilô-metrose800metros?R$ 6,98

d) Qualéadistânciapercorridaporumpassa-geiroquepagouR$13,70pelacorrida?17 km

e) Qual é a distância percorrida por um pas-sageiroquepagouR$9,20pelacorrida?9,5 km

18Aridiziaumnúmero,eRuirespondiaou-trousandoumaregraquesóeleconhecia.

a) Quenúmerodeveser respondidoporRuiparaocuparoúltimoquadradinho?73

b) ChamedexosnúmerosditosporAriedey osnúmeros respondidosporRui. Escre-vaumaexpressãomatemáticaquedêyemfunçãodex.y 2x 1

19Umaparededetijolosseráusadacomoumdosladosdeumcanilretangular,com40m2deárea.Paracercarosoutrostrêslados,umateladearamecom18mdecomprimentoqueserádivididaemtrêspedaços(vejaafigura).

a) Chamandodexumadasdimensõesdoca-nil,qualseráaoutraemfunçãodex?18 2x

b) ExpresseaáreaAemfunçãodex.A x (18 2x)

c) Quantodeverámedircadaumdostrêspe-daçosdatela?

5 m, 5 m e 8 m ou 4 m, 4 m e 10 m

12ARI

RUI 25

14

29

19

39

25

51

36

x (18 2x) 402x2 18x 40 0 x1 5 x2 4

x

y x12

Ilust

raçõ

es: I

lust

ra C

arto

on

DAE

Ilust

ra C

arto

on


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108

3. Da tabela para a lei de formaçãoda função

vimos como obter valores da função a partir da sua lei de formação.Agora faremos o contrário: a partir de uma tabela com valores de uma função, escreveremos

sua lei de formação. Acompanhe.

Calcule mentalmente a distância percorrida

pelo trem em 2,5 horas de viagem. 75 km

A velocidade do trem é constante.

Se ele percorreu 30 km em 1 hora, sua

velocidade é de trinta quilômetros por

hora. escreve-se 30 km/h.

Sand

ra F

anze

res

t (horas) 0 1 2 3 4

d (quilômetros) 0 30 60 90 120

1. Um trem viaja com velocidade constante. A distância percorrida pelo trem (d) é função do tempo de viagem (t). veja na tabela valores de t e de d.

Observe que para cada valor de t obtemos d multiplicando t por 30. Ou seja, d 30t é a lei de formação dessa função.

2. Na classe, durante uma aula de matemática, o professor dizia um número. Os alunos faziam sempre uma mesma sequência de operações e davam o resultado obtido. A cada número n dado pelo professor, correspondia uma única resposta R.

veja a tabela:

R é função de n. Qual é a lei de formação da função?Observe:

22 1 532 1 1042 1 1752 1 260,52 1 0,25 1 1,25

Os alunos elevavam ao quadrado o número n dado pelo professor, somavam 1 e obtinham o resultado R.

Concluímos que R n2 1 é a lei de formação dessa função.

Número dado pelo professor (n)

Resultado calculado pelos alunos (R)

2 5

3 10

4 17

5 26

0,5 1,25


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F u n ç õ e s 109

Exercícios

20UmmetrodecordacustaR$1,30.Copieecompletea tabeladepreçosemfunçãodonúmerodemetros.

21Copieecompleteatabela.

x y � 2x � 3 (x, y)

2

1

0

12

3

0,5

2,60

3,90

5

9,75

7 (2; 7)

5 (1; 5)

3 (0; 3)

1 (1; 1)

1 (2; 1)

3 (3; 3)

2 (0,5; 2)

22(Encceja-MEC)Umvasilhamedeáguami-neralcontendo20litrosfoicolocadoàdispo-sição dos participantes de um evento. Consi-derando que os copos, com capacidade para200 mL, eram servidos totalmente cheios, aexpressão que representa a quantidade (y) deágua,emmL,queres-tou no vasilhame, emfunção do número (x)decoposutilizados,é:

a) y=20–200x

b) y=200x–20

c) y=200x–20000

d) y=20000–200x

Rafa

el R

olim

23Entreasexpressõesseguintes,qualrelacio-naosvaloresdexey?Respondanocaderno.

a) yx1 c) yx

b) yx1 d)yx1

x 3 2 1 0 1

y 2 1 0 1 2

24Asfigurasseguintesmostramazulejosco-loridosxeazulejosbrancosycomarelaçãoqueseguenatabelaaolado.

Qualéafórmulaquerelacio-naycomx?y x 4

x y

1 5

2 6

3 7

4 8

25Estasucessãodeppalitosvaiformandottriângulos.

Qualéafórmulaquerelacionapcomt?p 2t 1

t p1 32 53 7� �

26Onúmerodebolinhasbemcadafiguraéfunçãodaposiçãonqueafiguraocupanasequência.Escrevaa leide formaçãodessafunção e calcule o número de bolinhas dafigura20.

fig. 4fig. 1 fig. 2 fig. 3

• b 3n 1• A figura 20 terá 59 bolinhas.

x

Comprimento (m) Preço (R$)

1 1,30

2

3

6,50

7,5

x

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

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4. Interpretando gráficos

O gráfico nos fornece muitas informações:

• Para t 1 h, temos d 80 km. Isso significa que em 1 hora de viagem o automóvel percorreu 80 km. Sua velocidade média nesse trecho da viagem foi de 80 km/h.

• Repare que entre t 1 h e t 1,5 h, a posição do automóvel permaneceu constante, ou seja, nesse intervalo de tempo de 0,5 hora, ou 30 minutos, o automóvel permaneceu parado (provavel-mente uma parada para um lanche!).

• No trecho final da viagem, depois da parada, o automóvel percorreu 80 km (160 80 80). Isso num intervalo de tempo de 2 horas (3,5 1,5 2).

80 km em 2 horas 40 km em 1 hora

• No trecho final da estrada, a velocidade média do automóvel foi de 40 km/h.

Realmente, nesse trecho Sérgio desenvolveu uma velocidade média menor por causa dos buracos na pista.

1. Sérgio saiu de sua casa dirigindo seu automó-vel e fez uma viagem de 160 km, por uma estrada praticamente retilínea. Chegando ao seu destino, reclamou de um trecho da estrada em que teve de viajar com velocidade baixa por causa dos buracos.

Agora vamos analisar gráficos, retirando deles informações sobre a função.

O gráfico a seguir mostra a distância d percorrida pelo automóvel em função do tempo decorrido de viagem t.

Ana

Caro

lina

Neg

ri/Fo

lhap

ress

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F u n ç õ e s 111

manteve-se constante; provavelmente foi o tempo necessário para a medicação começar a fazer efeito. manteve-se constante; provavelmente foi o tempo necessário para a medicação começar a fazer efeito. manteve-se constante; provavelmente foi o tempo necessário para a medicação começar a fazer efeito.

1. O gráfico ilustra a variação de quais grandezas? variação da temperatura do paciente em função do tempo decorrido.

2. Observe que o eixo vertical está seccionado próximo ao zero. Você tem ideia do significado disso?

3. Observando o gráfico, responda:

a) Qual é a temperatura do paciente anotada pela enfermeira a zero hora? 37 ºC

b) E às 2 horas? 37 ºC

Observe que nesse intervalo de tempo a temperatura manteve-se constante.

4. O que aconteceu com a temperatura entre 2 e 4 horas? Qual é a temperatura do paciente às

4 horas? No intervalo de tempo das 2 às 4 horas, a temperatura do paciente subiu, atingindo os 38 ºC. Seguindo as orientações do médico, às 4 horas a enfermeira medicou o paciente. 38 °C

5. O que ocorreu com a temperatura entre 4 e 5 horas?

Você teria uma possível explicação para a temperatura não ter baixado nesse período?

6. Observe que entre 5 e 7 horas a temperatura do paciente caiu de 38 ºC para 36,5 ºC, permanecendo

constante das 7 às 8 horas.

As temperaturas estão graduadas de 0,5ºC em 0,5ºC a partir de 34,5ºC, pois são temperaturas do corpo humano.

manteve-se constante; provavelmente foi o tempo necessário para a medicação começar a fazer efeito.

2. Um paciente, num leito de hospital, tem sua temperatura tomada pela enfermeira de hora em hora. O médico deixou instruções: se a temperatura do paciente atingisse 38 °C, ele deveria ser medicado.

veja o gráfico construído pela enfermeira mostrando a variação da temperatura do doente em função do tempo.

0

34,5

2 3 4 5 61 7 8

35

35,5

36

36,5

37

37,5

38

Tempo (h)

Temperatura (ºC)

Analisando gráficos como esse, o médico pode verificar de forma mais rápida e fácil como variou a

temperatura do paciente durante a noite.

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112

3. Certa quantidade de água foi aquecida num recipiente e em seguida colocada para esfriar naturalmente. Um termômetro colocado no interior do recipiente permitiu verificar a variação da temperatura da água com o decorrer do tempo.

Com os valores de x para o tempo e dey para a temperatura da água, construiu-se o gráfico abaixo.

No início da contagem do tempo (x 0 min), a temperatura da água era de 80 °C. A partir desse instante, a temperatura da água diminui, atingindo 60 °C quando x 10 min, 45 °C quando x 20 min e 25 °C quando x 45 min.

A partir desse instante, a temperatura da água permaneceu constante, igual a 25 °C, o que significa que o processo de resfriamento natural terminou.

10

0

20

30

40

50

60

70

80(°C)y

(min)5 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 6535 x

Escalas termométricasNos exemplos 2 e 3, trabalhamos com temperaturas em graus Celsius.

A escala Celsius é uma escala termométrica (termo, em grego, significa calor), criada em 1742 por Anders Celsius (1701-1744). essa escala baseia-se em dois pontos fixos:

• ponto de fusão do gelo valor zero;

• ponto de ebulição da água sob pressão normal valor 100 (cem).

O intervalo entre esses dois pontos foi dividido em 100 partes iguais. Cada parte corres-ponde a 1 grau Celsius (1 ºC).

Podemos citar também a escala Fahrenheit, criada por daniel e. Fahrenheit (1686-1736) em 1726. É usada, por exemplo, nos eUA.

Comparando a escala Celsius com a Fahrenheit, temos:

• 0 ºC corresponde a 32 ºF;

• 100 ºC correspondem a 212 ºF.

Para converter temperaturas da escala Fahrenheit para a escala Celsius, utiliza-se a fórmula:

TC � 59

(TF � 32), em que

Uma temperatura de 41 ºF, por exemplo, corresponde a uma temperatura de 5 ºC. Confira substituindo tF por 41 na fórmula e fazendo os cálculos.

tC = temperatura na escala Celsius tF = temperatura na escala Fahrenheit

Vice

nte

Cost

a

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F U N Ç Õ E S 113

Exercícios

27 (Col. Isaac Roldan-Unesp) Na Confeitaria do Céu, quanto maior a encomenda, mais barato sai cada doce. Veja no gráfico:

Se encomendarmos:

a) 150 doces, qual o preço em reais que va-mos pagar? R$ 35,00

b) 50 doces, qual o preço em reais de cada doce? R$ 0,40

c) 200 doces, qual o preço em reais de cada doce? R$ 0,20

a) Para cada um dos gráficos, construa uma ta-bela com os pontos indicados.

b) Ambos os gráficos representam uma fun-ção? Apenas o item 1 é função.

28 Veja os gráficos:

x

y

x

y

29 Procure em jornais ou revistas e re-corte uma função representada por um gráfico e outra por uma tabela. Resposta pessoal.

30 (Unifor-CE) Suponha que o gráfico abaixo represente quantos milhares de turistas argen-tinos e uruguaios entraram no Brasil nos anos indicados.

Nessas condições, é verdade que:

a) O número de turistas argentinos foi cres-cente no período de 2002 a 2006.

b) Em 2004 não vieram turistas uruguaios ao Brasil.

c) De 2004 para 2005, o aumento de turistas argentinos foi menor que o de uruguaios.

d) De 2004 a 2006, entraram no Brasil mais turistas argentinos do que uruguaios.

e) Em 2006, o número de turistas argentinos foi o triplo do de uruguaios.

02 03 04 05 06

argentinos

Milh

ares

de

turis

tas

uruguaios

100

200

0

300

400

Ano

1 2

10

20

30

40

50

50 100 150 200

Preç

o da

enc

omen

da (r

eais)

Número de doces encomendados

x

x 0 1 2 4

y 4 0 2 2

1

x 0 2 4 4

y 2 2 2 �1

2

a)

Ilust

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114

Exercícios31(Cefet-RN)Ográficorepresentaaprevisãodolucromensaldeumaempresaqueestálan-çandoumnovoproduto.

a)Qualolucroprevistoparaofinaldo1omês?

b)Qualolucroprevistoparaofinaldo6omês?–100 mil reais

32(UFMG)Paradesencorajaroconsumoex-cessivodeágua,oDepartamentodeÁguadecertomunicípioaumentouopreçodestelíqui-do.Ovalormensalpagoemreaisporumare-sidência,emfunçãodaquantidadedemetroscúbicosconsumida,éumafunçãocujográficoéapoligonalrepresentadaabaixo.

Escrevaarespostaemseucaderno.Deacordocomográfico,quantoaopagamentorelativoaoconsumomensaldeáguadeumaresidên-cia,écorretoafirmarque,seoconsumo:

a) fornulo,aresidênciaestaráisentadepaga-mento.

b) foriguala5m3,ovalorpagoserámenordoqueseoconsumoforiguala10m3.

c) foriguala20m3,ovalorpagoseráodobrodoqueseoconsumoforiguala10m3.

d) for igual a 25 m3, o valor pago será deR$16,70.

x

33Ográficoabaixorelacionaadistância,emquilômetros, com o tempo, em horas, gastoporRafaelemumpasseio.

a) Aquehoraselepartiu?9h

b) AprimeiravezqueRafaelparou, foiparaalmoçar.Quantotempodemorou?1 hora

c) Quantotempocaminhouantesdoalmoço?

d) Rafaelvoltouaparar?Quantotempo?

e) Quedistânciapercorreuentreoalmoçoeocafé(2aparada)?8 km

f) Quedistânciapercorreuapósocafé?4 km

g) Quantotempoesteveparadodurantetodoopasseio?1 h e 30 m

h) De quantos quilômetros foi o passeio deRafael?18 km

3 horas

Sim, 30 min.

200 mil reais

300

200

100

1 2 3 4 5 6 70

2100

2200

2300

Lucro (em mil reais)

Mês

34,70

R$

16,70

11,70

4,70

0 10 20 25 30 m3

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F u n ç õ e s 115

essa função associa cada nú-

mero real x ao seu dobro y.

em seguida localizamos no plano cartesiano os pontos que representam cada par ordenado.

Observe que os pontos estão alinhados.Quanto mais pares ordenados da função representar-

mos, mais pontos alinhados obteremos.

Nessa função, x pode ser qualquer número real. Escolhemos valores inteiros para facilitar os cálculos, mas poderíamos tomar x = 8,4 ou

x = , por exemplo.17

todos os pontos que representam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico, que é uma reta.

veja ao lado.

x y 2x (x; y)

3 6 (3; 6)2 4 (2; 4)1 2 (1; 2)

0 0 (0; 0)1 2 (1; 2)2 4 (2; 4)3 6 (3; 6)

Escolha outro valor para x na tabela, calcule y

e localize o par (x ; y) no plano. O ponto obtido está

alinhado com os pontos já marcados? Sim.

Se você tomasse x = 150 000 e o seu y

correspondente, esse par estaria na reta? Sim.

5. Construindo gráficos de funções vimos que o gráfico fornece informações sobre a função. vamos aprender a construir gráficos de algumas funções.Começaremos construindo o gráfico da função de lei de

formação y 2x .Inicialmente montamos uma tabela atribuindo valores a x e calculando, por meio da lei de formação,

os valores de y correspondentes. Assim obtemos alguns dos pares ordenados (x; y) dessa função.

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116

Como será o gráfico da função dada por y 3x 1?montamos uma tabela atribuindo alguns valores para x, calculamos os valores de y por meio da lei

de formação da função e representamos no sistema cartesiano os pares ordenados (x; y) obtidos.

Os pontos obtidos estão alinhados.Quanto mais pares ordenados da função representar-

mos, mais pontos alinhados obteremos.São infinitos pares ordenados, pois x pode ser qualquer

número real.O gráfico dessa função é uma reta.

01

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4�5 1 2 3 4 5 x

3

5

6

y

7

4

2

x y 3x 1 (x; y)

3 10 (3; 10)

2 7 (2; 7)

1 4 (1; 4)

0 1 (0; 1)

1 2 (1; 2)

2 5 (2; 5)

3 8 (3; 8)

Será que toda função tem como gráfico uma reta?

A resposta é não. vamos montar uma tabela com alguns valores de x e de y para a função dada por y = x2 + 2x 1 e representar os pares ordenados (x; y) no sistema cartesiano.

x y x2 2x 1 (x; y)

4 7 (4; 7)

3 2 (3; 2)

2 1 (2; 1)

1 2 (1; 2)

0 1 (0; 1)

1 2 (1; 2)

2 7 (2; 7)

vamos atribuir mais valores a x na tabela, obtendo outros pares ordenados (x; y) da função. Repre-sentando mais pontos no sistema cartesiano nos aproximaremos mais da forma final do seu gráfico.

Os pontos não estão alinhados, portanto não determi-nam uma reta.

Nessa função, x pode ser qualquer número real. Pode-mos fazer x 0,5; x 124; x 3

5 etc.

0 1

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�4

�5

�6

�7

�8

1 2 3 4 x

3

4

5

6

7

8

9

10

y

2

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F u n ç õ e s 117

Podemos prosseguir atribuindo valores a x e localizando ainda mais pares ordenados. todos os pontos que represen-tam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico. O gráfico dessa função é uma curva chamada parábola, cuja forma você vê abaixo.

Observe que a parábola possui um eixo de simetria. O ponto da parábola que pertence ao eixo de simetria recebe o nome de vértice (v) da parábola.

No gráfico dessa função o vértice tem coordenadas (1; 2). A parábola que traçamos tem concavidade voltada para cima (ela é “aberta para cima”). No entanto, há funções cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo.

7

6

5

4

3

2

10

�1

�2

�3

1 2 3 4 5 x�1�2�3�4�5

y

01

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4�5 2 3 4 5 x

Vvértice daparábola

eixo de simetriada parábola

3

5

6

y

7

4

2

1

x y x2 2x 1 (x; y)

3,5 4,25 (3,5; 4,25)

2,5 0,25 (2,5; 0,25)

1,5 1,75 (1,5; 1,75)

0,5 1,75 (0,5; 1,75)

0,5 0,25 (0,5; 0,25)

1,5 4,25 (1,5; 4,25)

E como eu vou saber se o gráfico de uma

função será uma reta ou uma parábola?

Observando a lei de formação da função. Leia

o quadro a seguir.Ilu

stra

ções

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118

Funções cuja lei de formação pode ser escrita na forma y � ax � b, sendo a e b números

reais e a diferente de zero, têm como gráfico uma reta. É o caso das funções:

• y 2x (a 2 e b 0)

• y 3x 1 (a 3 e b 1)

essas funções são chamadas funções polinomiais do 1o grau, pois encontramos na sua

lei de formação um polinômio do 1o grau.

Funções cuja lei de formação pode ser escrita na forma y � ax2 � bx � c, sendo a,b, e c

números reais e a diferente de zero, têm como gráfico uma parábola. É o caso das funções:

• y x2 2x 1 (a 1, b 2 e c 1)

• y 2x2 4 (a 2, b 0 e c 4)

essas são funções polinomiais do 2o grau, pois encontramos na sua lei de formação um

polinômio do 2o grau.

Há funções cujo gráfico não é uma reta nem uma parábola.

Ainda como exemplo, veja como obtivemos um esboço do gráfico da função dada por y 2x2 4.

A função é do 2o grau: sabemos que seu gráfico é uma parábola.montamos a tabela com valores da função.

01

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�4 1 2 3 4 x

V (0; 4) é o vérticeda parábola

eixo de simetriada parábolacoincide como eixo y

3

y

4

2

◆ Repare como a forma de parábola é utilizada na arquitetura.

John

Bru

eske

/Shu

tters

tock

x y 2x2 4 (x; y)

2 4 (2; 4)

1 2 (1; 2)

0 4 (0; 4)

1 2 (1; 2)

2 4 (2; 4)

Abaixo localizamos no sistema cartesiano os pontos correspondentes aos pares ordenados e traçamos um esboço da parábola, que nesse caso tem concavidade voltada para baixo.

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F u n ç õ e s 119

vamos estudar mais algumas funções e seus gráficos, em situações práticas?

1. No laboratório do colégio, alguns alunos mediram, usando uma balança, a massa

de blocos retangulares de chumbo cujo volume era conhecido.

Com os valores do volume v e da massa m de

cada bloco, montaram a tabela abaixo.

A massa do bloco é função de seu volume.

A tabela permite observar que a lei de formação dessa função é m 11 v .

V (cm3) m (g) (V; m)

1 11 (1; 11)

2 22 (2; 22)

3 33 (3; 33)

4 44 (4; 44)

5 55 (5; 55)

Luciana quer traçar o esboço do gráfico da função dada por y x 2 4x 4.

Sabendo que o gráfico é uma parábola, montou uma tabela de valores da função. Mas, ao localizar

os pares ordenados no plano cartesiano, não visualizou a forma da parábola!

Sabe o que houve? Os pares (x; y) encontrados por Lucia-

na representam pontos da parábola localizados todos de um

mesmo lado em relação ao seu eixo de simetria. No entanto,

como nessa função a variável x pode assumir qualquer valor

real, basta que ela acrescente à ta-

bela mais valores. Vamos ajudá-la:

observando os pontos já localiza-

dos, sugira valores para x e calcule

y de modo a obter pontos que per-

mitam visualizar melhor a parábo-

la. Trace o esboço do gráfico da fun-

ção em seu caderno.

Não pareceuma parábola...

0

1

�1�2�3 1 2 3 4 x

9

16

25

y

4

x y x 2 4x 4 (x; y)

3 25 (3; 25)

2 16 (2; 16)

1 9 (1; 9)

0 4 (0; 4)

1 1 (1; 1)

Eixo de simetria

O aluno pode, por exemplo, atribuir para x os valores 2, 3 e 4 e localizar os pontos (2; 0), (3; 1) e (4; 4).

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120

Os alunos localizaram os pares ordenados da tabela no siste-ma cartesiano e traçaram o gráfico da função, que é um trecho de reta, pois só temos valores de v e de m positivos.

Observe que o volume v e a massa m dos blocos de chum-bo são grandezas diretamente proporcionais:

• Se v dobra, m dobra, se v triplica, m triplica, e assim por diante.

Funções cuja lei de formação é do tipo relacionam grandezas x e y que são diretamente proporcionais.

Como vimos, essas funções têm como gráfico uma reta.

2. Um caminhão-tanque vai descarregar 20 000 litros de gasolina no reservatório de uma empresa de ônibus. Serão descarregados 500 litros de gasolina por minuto. O volume de gasolina v no tanque do caminhão é função do tempo de descarga t decorrido.

O volume inicial de gasolina no caminhão é de 20 000 litros. desse volume subtrairemos 500 litros para cada minuto de descarga.

A lei de formação dessa função é v = 20 000 500t, e seu gráfico é retilíneo. Quando t 0 minuto, ou seja, no momento em que a descarga se inicia, temos: v 20 000 0 500v 20 000 litrosObtivemos o par ordenado (0; 20 000). esse ponto está sobre o eixo y.Quando o caminhão terminar o processo de descarga, seu tanque estará vazio.Fazendo v 0 na lei de formação v 20 000 500t, temos:0 20 000 500t500t 20 000

t 20 000500

t 40 minutos

Obtivemos o par ordenado (40; 0). esse ponto está sobre o eixo x.

O caminhão levará 40 minutos para descarregar todo o combustível.

marcamos os pontos que representam os pares ordena-dos (0; 20 000) e (40; 0) e traçamos o gráfico da função, que é um trecho de reta, pois a função só se define para valores de t entre 0 e 40 minutos.

t (min)

V (L)

20 000

10 000

(0; 20 000)

(40; 0)

0 10 20 30 40Quando o gráfi co da função é uma

reta, ou um trecho de reta, basta determinar dois de seus pontos para traçá-lo.

y a x V (cm3)

m (g)

55

44

33

22

11

1 2 3 4 50

Enru

ta/D

ream

stim

e.co

m

número diferente de zero

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Lembre-se de que, no sistema cartesiano:• pontos sobre o eixo x têm ordenada y = 0;• pontos sobre o eixo y têm abscissa x = 0.

0

1

�1�1

�2

�2

�3

�3

�4

�4 1 2 3 4 x

3

y

(0; 3)

(4; 0)

(0; �4)

(�2; 0)

4

2

3. É comum em problemas práticos que o gráfico de uma função do 2o grau apresente somente um trecho da parábola. Acompanhe uma dessas situações.

Num teste em pista retilínea, um automóvel partiu do marco zero da pista, e nesse instante um cronômetro foi acionado. A aceleração foi constante durante todo o percurso.

A posição s do automóvel na pista em função do tempo t é dada por s 5t t2, em que o tempo t está em segundos e a posição s está em metros.

A partir da tabela traçamos o gráfico de s em função de t. Observe que se trata de uma função do 2o grau.

t s 5t t2 (t; s)

0 0 (0; 0)

5 50 (5; 50)

10 150 (10; 150)

15 300 (15; 300)

20 500 (20; 500)

25 750 (25; 750)

0

100

5 10 15 20 25 t

300

500

600

s

400

200

700

800

O gráfico é um trecho de parábola, pois nessa situação não podemos atribuir valores nega-tivos para t.

As funções são aplicadas nas Ciências! esse exemplo de função é estudado na Física!

Cool

R/Sh

utte

rsto

ck.c

om

No exemplo 2, usamos os pontos que interceptam os eixos x e y para traçar o gráfico da função.

veja exemplos ao lado.

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Exercícios

34Estabeleça a correspondência entre cadagráficoecadafunção.

35Atribua valores à variável x, construa nocadernoumatabelacomalgunsparesordena-doseconstruaográficodasfunções:

a) y2x

b) yx1

c) y3x

d) y x2

1

Paraestesexercíciosamalhaquadriculadavaibem...

ver respostas na seção: “Respostas dos exercícios”.

36Emummesmosistemadeeixoscartesia-nos,façaográficodasfunções:

37Observeográficoabaixo.Elerepresentaopreçodeumacorridadetáxi.Lembre-sedequebandeiradaéopreçofixoindicadopelotaxíme-troaoseracionadonoiníciodacorrida.

Combasenessasinformações,responda:

a) Foicobradabandeirada?Emcasoafirmati-vo,qualovalor?Sim. R$ 3,00

b) Numpercursode8km,serãopagosR$8,00?

c) Qualéopreçodokmrodado?R$ 0,50

d) Qualéaleiquedefineessegráfico?

Não.

y 0,5x 3

0 2 4 6 (distânciaem km)

3

5

6

(preço em reais)

4

y

x

38Uma determina-da função é repre-sentada pelo gráficoaolado.

a) Copie e comple-teatabelaabaixocom alguns pon-tosdafunção:

b) Oqueaconteceaysexforduplicado?duplica.

c) Oqueaconteceaysexfordivididopor3?

d) Represente essa função por uma fórmulamatemática.y 4x

0 1 2 3 4 x

10

15

y

5

x 0 1 2 3 4y

É dividido por 3.

I e B; II e d; III e A; Iv e C.

y = x + 1 y = –x + 1

y = 3x – 1 y = –2x – 2

A

B

C

D

I

1

1

0

•

•

t

y

x

1

1

0

•

•

p

y

x

II

1

1

0

•

•

r

y

x

III

1

1

0

•

•

s

y

x

IV

Quefatogeométricovocêobserva?Os gráficos das quatro funções são retas paralelas.

a) y = 2xb) y = 2x + 1c) y = 2x – 1d) y = 2x + 3

x

y

0 4 8 12 16

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Exercícios39Ográficorepresentaaquantidadedeme-dicamentoqueumapessoadevetomarem função de seu peso, caso tenhadeterminadainfecção.

a)Quantodeve tomardemedicamentoumapessoaquepesa40kg?20 mL

b) Se uma pessoa tomou 43 mL de medica-mento,qualéoseupeso?86 kg

c) Sabe-se que a quantidade de medicamentoasertomadadeveserdivididaem12doses.QuantosmLdemedicamentodevetomaremcadadoseumapessoaquepesa60kg?2,5 mL

40(Vunesp)Umbotânicomedeocrescimen-to de uma planta, em centímetros, todos osdias.Ligandoospontoscolocadosporelenumgráfico,obtemosafiguraabaixo.Seformanti-dasempreessarelaçãoentretempoealtu-ra,qualaalturadaplantano30odia?6 cm

20 50 100

Peso(kg)

25

10

0

Quantidade demedicamento (mL)

50

y x5 y 30

5 6

ver respostas dos exercícios 41, 42 e 43 na seção: “Respostas dos exercícios”.

x

41Sejaafunçãoyx24x5.Copie,com-pleteatabelanocadernoeconstruaográfico.

42Sejaa funçãoyx24x3.Copie,completeatabelanocadernoeconstruaoseugráfico.

43Seja a função y x2 4x 4. Copie,completeatabelanocadernoeconstruaoseugráfico.

x 2 1 0 1 2 3 4 5 6

y

x 1 0 1 2 3 4 5

y

x 1 0 1 2 3 4 5

y

44(Unirio-RJ)Embuscadeumasimetria,umcaricaturistautilizouaparábolapara traçarorostodafiguraabaixo:

Aequaçãoquedefineessaparábolaé...

a) yx23 c)y3x23

b) yx24 d) yx23x+2

5 10 Tempo (dias)

1

0

Altura (cm)

2

7 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 7

–8 –3 0 1 0 –3 –8

9 4 1 0 1 4 9

y

x11

3

50 10043 x

Paraostrêspróximosexercícios,amalhaquadriculadavaibem...

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124

50Robertoarrumoupalitosdefósforocomomostraafigura:

a) QuantospalitosRobertousouparaformar4“casas”?17 palitos

b) QuantospalitosRobertousariaparaformar10“casas”?41 palitos

c) Escreva a equação que expressa o totalde palitos (p) em função do número de“casas”(c).p 4c 1

a 3b 4c 3d 17

1a 4 b 6 c 8 d 7

Revisando

45Sejaafunçãoy3x2.

a)Qualéovalordeyparax2?8

b)Qualéovalordeyparax 23 ?0

c)Qualéovalordexparay11?3

d)Qualéovalordexparay0? 23

46Sejaafunçãoyx27x10.

a)Qualéovalordeyparax5?70

b)Qualéovalordeyparax 12

? 274

c)Quaissãoosvaloresdexparay0?2; 5

d)Quaissãoosvaloresdexparay18?1; 8

47Determineosvaloresdasletrasa,b,c,d:

yx3 y2x5

2

48OpreçoqueosenhorQuintinocobraparapintarumacasavariaconformeaáreaaserpin-tada.Vejaatabeladepreçosqueeleapresenta.

a)Qualéopreçoaserpagoseaáreaa serpintadaforde83m2?R$ 750,00

b)ComR$1.300,00,qualéamaioráreaquepodeserpintada?200 m2

c)Qualdasseguintesafirmaçõesestácorreta?

• Aáreaaserpintadaéumafunçãodopreço.

• Opreçoasercobradoéumafunçãodaáreaaserpintada.Correta.

errada.

Mau

ricio

Mor

ais

Área (m2) Preço (R$)0a50 400

51a100 750101a200 1300201a300 2400

49Emumestacionamentoparaveículos,pa-ga-se por hora ou fração de hora de acordocomatabela:

Apósphoras,ummotoristaretiraseuveículoedevepagarR$15,70.Qualovalordep,emhoras? 17 horas • 2 1,50 1 0,80p 15,70

p 14 3 17

1a hora 2a hora 3a horaA partir da

4a hora

R$2,00 R$1,50 R$1,00R$0,80por

horaoufração

A

C

B

D

Hélio

Sen

ator

e

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arto

on

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F u n ç õ e s 125

Exercícios

“...ainflação,queestavaaumentando,

estacionouparavoltaracrescer...”

51(Saresp)Emumapromoção,umaeditoraestávendendovárioslivrosaR$12,00cadaum,eco-brandoumataxadeR$5,00pelaentrega.Dessaforma,aexpressãoP12x 5permitecalcularopreçoaserpagoP,emreais,pelacompradexunidadesdesseslivros.SeumapessoapagouR$137,00pelacompradelivrosdessapromo-ção,quantoslivroselacomprou?11 livros

Phot

olib

rary

/Lat

inSt

ock

52Numsupermercado,ossabonetesLave-meestãoempromoção.

Copieecompleteatabelaquepermitasaberquanto deve pagar uma pessoa que compraaté10sabonetes.

53Vejaográficodaproduçãomensaldeumafábrica de agasalhos no primeiro semestre deumano.

200

fev. mar. abr. maio jun.jan.

400

600

800

1 000

1 200

1 400

Mês

Número de agasalhos

0

Respondanocaderno.

a)Quantasunidadesforamproduzidasemfe-vereiro?400 unidades

b) Em que mês a produção foi maior? Emquantasunidades? Junho; 1 200 unidades.

c) Deabrilparamaioaproduçãoaumentououdiminuiu?Emquantasunidades?

54Qualgráficomelhortraduzasituação?

x

y

x

y

x

y

CBA

55Para produzir um objeto, uma firma gas-taR$1,20porunidade.Alémdisso,háumadespesafixadeR$4.000,00,independentedaquantidadeproduzida.OpreçodevendaédeR$2,00porunidade.Qualéonúmerodeuni-dadesqueofabricantedevevenderparanãoterlucronemprejuízo?5 000 unidades

Gráfico C.

Quantidade Preço a pagar (R$)123456789

10

0,70

1,40

1,40

2,10

2,80

2,80

3,50

4,20

4,20

4,90

137 12x 5

1,2x 4 000 2x

diminuiu; 200 unidades.

Ilust

ra C

arto

on

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126

Exercícios

0 5 8 9 8 5 0

56Construaográficodecadaumadasfunções:

a) y1,5x c) yx1

b) y4x1 d)y1x2

Respostas na seção “Respostas dos exercícios”.

57UmadanceteriacobraR$5,00oingressoeR$2,00orefrigerante.

a) Exprima,matematicamente,ovalordacontaynumconsumodexrefrigerantes.y 2x 5

b) Construaumatabelaetraceográficodessafunção.Resposta na seção “Respostas dos exercícios”.

c) Quantos refrigerantes tomou uma pessoaquegastouR$13,00?4 refrigerantes

58Sejaafunçãoyx26x.Copie,comple-teatabelanocadernoeconstruaoseugráfico.

x 0 1 2 3 4 5 6

y

59Dadaafunçãoyx26x5,

a) indiqueospontosemqueseugráficocortaoeixox;(1; 0) e (5; 0)

b) indiqueospontosemqueseugráficocortaoeixoy;(0; 5)

c) façaográficodafunção.

60Vejaesteanúnciodeumalojadeconsertos.

OpreçoCdoconsertoéfunçãodonúmerotdehorasdetrabalho(mãodeobra).

a)Escrevaafórmulamatemáticaqueexpressaaleidafunção.C 20 12t

b)Calculeopreçodoconsertodeumamáqui-nadelavarroupaquelevou2,5horasparaserconsertada.R$ 50,00.

c)DonaElianapagouR$35,00aumtécnicodessalojaquefoiconsertarasuatelevisão.Quantotempolevouotécnicoparaconser-taroaparelho?1 hora e 15 minutos

61(Encceja-MEC)

Afiguraacimarepresentaumcampodefutebol,dedimensõesxey,comperímetrode340m.Aáreadessecampopodesercorretamenterepre-sentada,emfunçãodamenordimensãox,por:

a) A=–x2+170x

b) A=–x2–170x

c) A=–x2+340x

d) A=–x2–340x

y

x

x

Resposta na seção “Respostas dos exercícios”.

Resposta na seção “Respostas dos exercícios”.

• 2x + 2y = 340 y = 170 – x

• A = x · y A = x(170 – x) A = –x2 + 170x

Hélio

Sen

ator

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F u n ç õ e s 127

Exercícios

1 2 3 4 50

15

Guilherme

30

45

60

75

Pedro

Distância (km)

Tempo (h)

62(CPII-RJ)OretânguloABCDéformadoportrêsquadrados,conformemostraafiguraabaixo:

a) Exprima o perímetro do retângulo ABCDemfunçãodex. P 8x

b) Exprimaaáreadoretânguloemfunçãodex.

c)ObserveotrajetodeAaB,marcadonafi-gura.Exprima,emfunçãodex,adistânciapercorridanessetrajeto.d 5x

d)Seotrajetomarcadocorrespondea60cm,quantovalex?12 cm

A 3x2

63Umgarotobrincadearrumarpalitos,fazendoumasequênciadequadrados,comonafigura:

Quantospalitoseleusariaparafazer:

a)4quadrados?13 palitos

b)5quadrados?16 palitos

c)10quadrados?31 palitos

d)nquadrados?(3n 1) palitos

64Ográficomostraadistânciaemquilôme-tros que percorreram dois ciclistas, Pedro eGuilherme. Quatro horas depois da partida,quantos quilômetros Pedro percorreu a maisqueGuilherme?15 km

65(UFPE)Ográficoaseguirforneceoperfildolucrodeumaempresaagrícolaaolongodotempo,sendo1969oanozero,ouseja,oanodesuafundação.

Analiseográficoerespondaemseucadernosecadaafirmaçãoaseguirestácertaouerrada.

a)10foioúnicoanoemqueelafoideficitária.e

b)20foioanodemaiorlucro.C

c)25foiumanodeficitário.e

d)15foiumanodelucro. e

e)5foioanodemaiorlucronoperíodoquevaidafundaçãoatéoano15.C

5 100 15 20 25 Ano

Lucro

A B

D Cx

2quadrados7palitos

3quadrados10palitos

1quadrado4palitos

Hélio

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ator

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DesafiosDesafios

128

Altu

ra

Tempo

Altu

ra

Tempo

Altu

ra

Tempo

Altu

ra

TempoAl

tura

Tempo

Altu

ra

Tempo

Altu

ra

Tempo

Altu

ra

Tempo

Altu

ra

Tempo

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

50 50 50

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

68 Qual gráfico melhor representa a situação? Gráfico A.

Leandro deu uma tacada na sua bola de golfe.

66 (CPII-RJ) Baseado nos dados do IBGE, construiu-se o gráfico referente à varia ção da população brasileira, em milhões de habitan-tes, ao longo de 6 décadas.

De acordo com esse gráfico, responda:

a) Qual a população brasileira no ano de 1970?93 milhões de habitantes

b) Qual a razão entre o crescimento populacio-nal da década de 90 (1990 a 2000) e da dé-cada de 70 (1970 a 1980)? 2

3 • r � 1827 � 2

3

19500

527093

120

151,5

190,5

169,5

1960 1970 1980 1990 20102000 Ano

População (milhões de habitantes)

67 (Saresp) Um motoboy, para fazer entregas ou retirar documentos de escritórios espalha-dos pela cidade de São Paulo, recebe R$ 3,00 por quilômetro rodado. Suponhamos que ele passe a receber, mensalmente, um auxílio fixo de R$ 50,00. Qual o gráfico que representa o seu ganho mensal, em reais, em função dos quilômetros rodados? Gráfico B.

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

50 50 50

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

A

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

50 50 50

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

C

D

A

69 (CAP-Uerj) Considere as três máquinas se-guintes:

São máquinas que efetuam as operações in-dicadas, trabalhando sempre no conjunto IN, dos naturais. Por exemplo:

Façamos uma “composição” com as 3 máquinas:

Se 1 600 é o número obtido na saída da má-quina III, qual o número que foi colocado na entrada da máquina I? 19

Se colocarmos 7 na máquina I, ela nos dará 7 � 1 � 8.

Se colocarmos 9 na máquina II, obteremos 2 × 9 � 18.

Se introduzirmos 6 na máquina III, teremos 62 � 36 na saída.

� 1? � 2 ( )2 1 600

II IIII

19 J 20 J 40 J 1 600

I II III

BC

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

50 50 50

Ganhomensal

No de

quilômetros0

Ganhomensal

No de

quilômetros0

B

�1 �2 ( )2

Ilust

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es: D

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stra

Car

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Ilust

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arto

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70 O valor da função y � �x2 � 1 para x � �1 é:

a) 0 c) �1

b) 2 d) �3

y � �(�1)2 � 1

y � 0

72 (Saresp) Uma população de bactérias cresce, em função do tempo, de acordo com a função:

N � 400 � (1,2)t

N: número de bactériast: tempo em horas

O número de bactérias, na população, depois de 2 horas é:

(SEE-RJ) Leia o texto seguinte para respon-der às questões 73 e 74.

Uma agência de aluguel de automóveis colo-cou um anúncio que dizia:POLUA MENOS E ECONOMIZE MAIS!

Para incentivar o uso do carro a gás, que polui menos, essa agência apresentou uma promo-ção, de acordo com a tabela abaixo.

Categoria Gasolina (R$) Gás (R$)

popular diária: 80,00 km: 1,00

diária: 50,00 km: 0,80

semiluxo diária: 120,00 km: 2,00

diária: 80,00 km: 1,00

luxo diária: 150,00 km: 3,00

diária: 100,00 km: 1,80

O aluguel de um carro é composto da diária e da quilometragem rodada em cada categoria.

73 Considerando y como o preço do aluguel e x como o número de quilômetros rodados, a função que representa o preço do aluguel de um carro popular a gás, por um dia, será ex-presso por:

a) y = 50x

b) y = 80 + x

c) y = 0,80 + 50x

d) y = 50 + 0,80x

74 O aluguel por um dia de um carro de luxo, movido a gasolina, para percorrer 30 quilôme-tros, em reais, vale:

a) 150 c) 240

b) 180 d) 320

N = 400 · (1,2)2

N = 576

x

x

x

71 (Encceja-MEC) Analisando os custos e as vendas da produção artesanal de ovos de Pás-coa, Cristina fez a seguinte relação:

• Despesas fixas de R$ 2.400,00 e R$ 3,60 por ovo produzido. Se x é o número de unidades então a expressão do custo é 2 400 + 3,60x.

a) igual a 275.

b) igual a 375.

c) menor que 275.

d) maior que 375.x

• Cada ovo é vendido por R$ 10,00, assim a expressão da venda é 10x.

A quantidade de ovos a ser produzida e vendi-da para que Cristina tenha lucro é:

10x � 2 400 � 3,60x

y � 150 � 3xy � 150 � 3 � 30 � 240

Gre

g Sa

libia

n/Fo

lhap

ress

a) 400

b) 480

c) 576

d) 960

x

F U N Ç Õ E S 129


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130

Hélio

Sen

ator

e

75AfórmulaN 5p 284 dáovalorapro-

ximadodonúmerodocalçado(N)emfunçãodocomprimento(p),emcentímetros,dopédequalquer pessoa. De acordo com a fórmula,ocomprimentodopédequemcalça37é,emcentímetros,aproximadamente:

a) 22

b) 24

c) 25

d) 26

37 5p 284

p 24x

76(Unisinos-RS) Suponha que o númerode carteiros necessários para distribuir, emcada dia, as correspondências entre as resi-dências de um bairro seja dado pela funçãoy 22x

5002x ,emquexéonúmeroderesi-

dênciaseyéonúmerodecarteiros.Se foramnecessários 6 carteiros para distribuir, em umdia,essascorrespondências,onúmeroderesi-dênciasdessebairroqueasreceberamé:

a) 300 c) 400

b) 340 d) 420

x • 6 22x500 2x

• x = 300

Paul

o Pe

pe

77(SEE-SP) Uma empresa fabrica um únicoproduto e toda sua produção é vendida. Ográficoabaixo representaocusto totalCeareceitaRemfunçãodaquantidadevendida.

DadoqueolucroLdaempresaéadiferençaR–C,podemosgarantirque:

a) aempresasóterálucrosefabricarmaisde20peçasdoproduto.

b) aempresasóterálucrosefabricarmaisde40peçasdoproduto.

c) fabricando40peças,olucroserádeR$2.000,00.

d) olucromáximoocorrefabricando40peças.

x

78(Vunesp) A velocidade (V) de um objetoquesemovianoespaçofoiobservadaemedi-da,duranteumcertotempo(t).Osdadosobti-dosforamarrumadosnatabelaseguinte:

Sabendoqueavariaçãodavelocidadedes-seobjeto como tempodecorrido foi cons-tantedurantetodooperíododeobservação,pode-seconcluirquesuavelocidadedurante17segundoserade:

a) 48m/s c) 63m/s

b) 59,5m/s d) 65,5m/s

t (s) V (m/s)2 73 10,54 145 17,5

• x 59,5

• 27 17

x

x

Custo (R$)

Quantidade0 20 40

1 000

2 000

R

C

DAE


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F u n ç õ e s 131

(UFRJ)Observeatabelaabaixoqueindicaonúmerodecasos(n)registradosdeumadoençaemfunçãodotempo(t),emanos,erespondaàsquestões79e80:

79Aequaçãoqueforneceovalorden,emfunçãodet,é:

a) n50t c) n50t17

b) n67t d) n17t50

80Supondoqueocrescimentodonúmerodecasosdessadoençapermaneçadeacordocomatabela,quandon=567,otempot,emanos,corresponderáa:

a) 10 c) 12

b) 11 d) 13

x

x

• 567 50t 17 t 11

81(Ceeteps-SP) O gráfico mostra o saláriomensaldosvendedoresdeaparelhoseletrôni-cosemfunçãodaquantidadevendida.Afun-çãoquerelacionaosalárioyeaquantidadevendidaxédadapor:

a)y50040x

b)y50040x

c)y58020x

d)y58020x

x

0 2 Quantidadevendida

500

Salário em R$580

83Entreasfigurasseguintes,aquelaquepoderepresentarográficodeumafunçãoé:B

A C

B D

82(Unisinos-RS)x,y,zetsãoquatronúmerosinteiros.Sobreeles,afirma-seque:

• yexcedexemumaunidade

• zéasomadexcomy

• téasomadezcomy

Aexpressãot,emfunçãodex,érepresentadapor:

a) t2x3 c) tx4

b) t3x2 d) t3x1x t z yt (x y) y x 2yt x 2 (x 1) 3x 2

84(UFPE)Aalturahdeumhomemvariacomo tamanhoFdo seu fêmurdeacordocomafórmula(medidasemcm):

h69,0892,238F

Seaidadeultrapassa30anos,sub-trai-se0,06cmporcadaanoapósos30anos.Qualaalturaestimadadeumhomemde40anoscujofêmurmede40cm?

a) 1,50m c) 1,61m

b) 1,58m d) 1,65mx

NPM9030Doutor pal-haço e menina

t n1 672 1173 167

x

y y

x

xx

h 69,089 2,238 40h 69,089 89,52 158,609 158,609 10 0,06 158,009158,009 cm 1,58009 m

y y

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

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es: D

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132

85(Cesgranrio)Ográ-ficoaoladoapresentao preço de custo dedeterminado tipo debiscoitoproduzidoporuma pequena fábrica,em função da quanti-dadeproduzida.

Seopreçofinaldecadapacoteéequivalentea 8

5dopreçodecusto,umpacotede0,5kgé

vendido,emreais,por:

a) 0,90 c) 1,36

b) 1,20 d)1,44x

• 0,5 kg 0,90

• 85 0,90 1,44

86(Ceeteps-SP)Numasalaretangulardeumlaboratório,apartecoloridadafiguraserádes-tinadaàpesquisadeclonagem.Aáreacolori-day,emfunçãodex,édadapor:

a) y12xx2 c)y96xx2

b) y8xx2 d)y20xx2x

87(Saresp)Ográficoquemelhorrepresentaafunçãodefinidaporyx2é:Alternativa c.

x

y

0x

y

0

x

y

0

x

y

0

A

C

B

D

88(Ceeteps-SP)Umprojétil é atiradodoponto0,comomostraa figura,edescreveumaparábolacujafunçãoéy2x280x,sendoxeydadosemmetros.Oalcancedesseprojétilé:

a) 40m c) 80m

b) 60m d)100m

x

x

y

0alcance

• y (12 8) (12 x) (8 x)

1,0 2,00 kg

3,60

1,80

Preço (R$)

Delfi

m M

artin

s/Pu

lsar I

mag

ens

• 2x2 80x 0

x1 0

x2 40

x

x

12 m

8 m

Ilust

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N O Ç õ e s d e p r O b a b i l i d a d e 133

Noções de probabilidade1. Qual é a chance?

com�suas�economias,�rogério�e�césar�compraram�uma�bicicleta�em�sociedade.�combinaram�que�a�bicicleta�ficaria�uma�semana�com�cada�um.

rogério�lançou�o�dado�e�obteve�5.césar�ainda�não� lançou�o�dado.�Qual�deles�você�acha�que�tem�mais�chances�de�ficar�com�a�

bicicleta�na�primeira�semana?

Será�que�há�como�expressar�matematicamente�que�as�chances�de�rogério�ganhar�são�maiores�nessa�situação?

Rogério, claro! César só ganha se obtiver 6 no dado. Se der 5, empata; se der 4, 3, 2 ou 1, o

Rogério ganha.

Com quem a bicicleta ficará na primeira

semana? Vamos jogar um dado. A bicicleta ficará com

quem tirar o maior número.

UNIDADE 5UNIDADE

Ilust

raçõ

es: L

ápis

Mág

ico

PrATicANDO�MATEMÁTicA�9O�ANO�EDiçãO�rENOVADAPNLD�2014�–�mac�4

6ª�PrOVAPATriciA

PMR9_133_144.indd 133 3/19/12 11:00 AM

134

Veja:Quando�césar�lançar�o�dado,�pode�ocorrer�1,�2,�3,�4,�5�ou�6�pontos.�Temos�6�possibilidades�no�

total.�imaginando�que�o�dado�seja�honesto�e�não�tenha�defeitos,�cada�possibilidade�tem�a�mesma�chance�de�ocorrer.

Dos�seis�resultados�possíveis,�somente�um�é�favorável�ao�césar:�o�6.�Há�1�possibilidade�em�6�de�césar�vencer.��

Apenas� 16 �das�possibilidades�favorece�césar.

1�em�6�� 16

como� 16 ��0,1666...,�e�0,1666…:��16,7%,�a�chance�(ou�probabilidade)�de�césar�ficar�com�a�bici-

cleta�na�primeira�semana,�sendo�que�rogério�obteve�5�ao�lançar�o�dado,�é�de�aproximadamente�16,7%.Se�todas�as�possibilidades�têm�a�mesma�chance�de�ocorrer,�a�probabilidade�de�um�fato�ocorrer�

é�expressa�por�meio�de�uma�razão:

probabilidade�� número�de�possibilidades�favoráveis

número�total�de�possibilidades

Qual�é�a�chance�de�haver�um�empate?Dos�seis�resultados�possíveis�para�o�lançamento�de�césar,�somente�um�

determina�um�empate:�césar�também�conseguir�5�no�dado.

A�chance�de�ocorrer�empate�é�de�1�em�6,�ou�seja,�� 16 ,�ou,�aproxima-

damente,�16,7%.

E�qual�é�a�chance�de�rogério�vencer?Dos�seis�resultados�possíveis�para�o�lançamento�de�césar,�quatro�são�

favoráveis�a�rogério:�1,�2,�3�e�4.

A�chance,�ou�a�probabilidade,�de�rogério�vencer�é�de�4�em�6,�ou�seja,��

46

,�ou

�

23

,�que,�em�por-

centagens,�corresponde�a�2�:�3��0,6666...��66,7%.

No�entanto,�no�final�da�história,�césar�lançou�o�dado,�obteve�6�e�foi�o�primeiro�a�usar�a�bicicleta!

O�fato�de�a�probabilidade�de�rogério�vencer�ser�maior�do� que� a� de� césar� vencer� não� garante� que� rogério�vencerá.

Vamos�entender:

Quando�lançamos�um�dado�honesto,�a�probabilidade�de�ocorrer�5�é�de�1�em�6,�ou

�

1��6 .

isso�não�significa�que,�se�lançarmos�o�dado�seis�ve-zes,�em�uma�delas�obteremos�5.�Pode�ser�que�em�seis�lançamentos�não�ocorra�o�5�ou�ocorra�5�em�três�deles,�por�exemplo.

Léo

Burg

osLá

pis

Mág

ico


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Se�a�moeda�for�honesta,�a�probabilidade�de�ocorrer�cara�deve�ser�

12 ,�ou�50%.�Em�500�lança-

mentos,�por�exemplo,�devemos�obter�um�número�de�caras�perto�de�250.

Forme um grupo com mais quatro colegas.

Cada um de vocês deve ter uma moeda de R$ 0,50 e, copiada no caderno, uma

tabela como esta:

Contagem do número de caras Total

Cara etc.

Individualmente vocês completarão a tabela colocando o número de caras obtidas em 100 lançamen-

tos da moeda.

Feito isso, construam uma nova tabela com o número de caras obtidas nos 500 lançamentos execu-

tados pelos elementos do grupo: basta somar o total de caras obtidas individualmente.

De acordo com nossas previsões, o número de caras deve estar próximo de 250. Isso ocorreu?

Agora juntem os resultados de todos os grupos. O total de caras obtidas se aproximou mais de 12

do

total de lançamentos? resposta�pessoal.

É possível que em 100 lançamentos ocorram 100 caras? Sim,�mas�a�probabilidade�é�muito�pequena.

A�probabilidade�

16 ,�nesse�caso,�indica�que,�se�lançarmos�um�dado�um�número�muito�grande

de�vezes,�ocorrerá�5�em�aproximadamente� 16

�dos�lançamentos.

Por�exemplo:

Se� lançarmos�um�dado�6�000�vezes,�em�aproximadamente�1�000� lançamentos�� 16 �de�6�000��

ocorrerá�o�5.

O�cálculo�de�probabilidades�não�nos�dá�a�certeza�de�um�resultado,�mas�permite�prever�as�chances�

de�um�acontecimento.

Tomemos�o�lançamento�de�uma�moeda.

Temos�dois�resultados�possíveis:�cara�ou�coroa.

resposta�pessoal.

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ivo

parti

cula

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Arqu

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Léo

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136

Vamos�trabalhar�mais�um�pouco�com�a�moeda.�

•�Se�lançarmos�uma�moeda�4�vezes,�qual�é�a�probabilidade�de�obter�cara�nos�quatro�lançamentos?�

Podemos�construir�um�diagrama�de�árvore�para�determinar�todos�os�resultados�possíveis:

São�16�resultados�possíveis.Se�você�lembrar�do�princípio�multiplicativo,�economizará�tempo:Para�cada�lançamento�há�duas�possibilidades:�2��2��2��2��16�possibilidades�no�total.

Então,�a�probabilidade�de�obter�cara�nos�4�lançamentos�é�

116 ,�ou�0,0625,�ou,�ainda,�6,25%.

Use o exemplo acima para calcular a probabilidade de obter cinco caras em cinco lançamentos da

moeda. 132

� � � � Ca ••••••� � � Ca�� co� ••••••� � Ca� � � � ca� ••••••� � � co� � � � co� ••••••� Ca� � � � ca� ••••••�� ca

� � � � co� ••••••�� co� � � � ca� ••••••� � � co� � � � co� ••••••

� � � � ca� ••••••� � � ca� � � � co� ••••••� � ca� � � � ca� ••••••� � � co�� co� ••••••� co� � � � ca� ••••••�� ca�� co� ••••••� � co� � � � ca� ••••••� � � co� � � � co� •••••• co cococo

Ca

ca

Ca Ca

ca caca

ca ca ca

ca ca

cacaca

caca

caca

ca

ca ca

ca ca

ca

caca

ca

cacococo

cococo

coco

co coco

coco

coco

co

co coco

coco

coco

co

co co

co

co

Ca

ca ca


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�

•� A�probabilidade�de�o�número�da�bolinha�sorteada�ser�um�número�primo�é�maior�ou�menor�do�que�a�probabilidade�de�ele�ser�múltiplo�de�seis?

� Há�15�números�primos�de�1�a�50:�2,�3,�5,�7,�11,�13,�17,�19,�23,�29,�31,�37,�41,�43�e�47.

� A�probabilidade�de�o�número�da�bolinha�sorteada�ser�primo�é�de�

1550

,�ou�seja,�30%.

� Há�maior�probabilidade�de�o�número�da�bolinha�sorteada�ser�primo.�

� Dos�dados,�moedas�e�urnas�para�a�maravilhosa�poesia...

•� Você�gosta�de�poesia?� Leia�a�estrofe�de�um�poema�de�Fernando�Pessoa:

Fernando Pessoa. Álvaro de Campos – Poesia. São Paulo: Cia. das Letras, 2002, p. 475.

Há sem dúvida quem ame o infinito,Há sem dúvida quem deseje o impossível,Há sem dúvida quem não queira nada –Três tipos de idealistas, e eu nenhum deles:Porque eu amo infinitamente o finito,Porque eu desejo impossivelmente o possível,Porque quero tudo, ou um pouco mais, se puder ser,Ou até se não puder ser...

Agora�vamos�falar�de�um�sorteio.Numa�urna�há�bolinhas�numeradas�de�1�a�50.�Uma�bolinha�será�sor-

teada�ao�acaso.

•� Qual�é�a�probabilidade�de�o�número�dessa�bolinha�ser�múltiplo�de�seis?

� Os�múltiplos�de�6,�de�1�a�50,�são:�6,�12,�18,�24,�30,�36,�42�e�48�.

� Temos�8�resultados�favoráveis�num�total�de�50�resultados�possíveis.� Então,�a�probabilidade�de�a�bolinha�sorteada�ter�um�número�múltiplo�

de�6�é:

�

850

�ou�16%

850

�=� 16100

�=�16%

Repr

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ão Ic

onog

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ia

◆ José de Almada Negreiros. Retrato de Fernando Pessoa, 1935.

Na�atividade�em�grupo�que�fizemos,�perguntamos�se�seria�possível�ocorrer�cara�em�todos�os�

100�lançamentos.�A�probabilidade�de�isso�ocorrer�é�de�1

2100 .

2100�é�um�número�muito�grande,�por�isso�essa�probabilidade�é�muitíssimo�pequena.�Mas�ela�existe.

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Valeapenaler

Nessa�estrofe,�a�repetição�de�palavras�e�as�ideias�contrárias�foram�usadas�com�muita�sensibilidade.

A�professora�de�Língua�Portuguesa�recortou�em�cartolina�cada�uma�das�57�palavras�desse�trecho�

de�poema,�inclusive�as�repetidas.

Os�alunos�sortearam�as�palavras,�uma�a�uma,�para�montar�o�texto�completo�no�quadro.

A�probabilidade�de�a�primeira�palavra�sorteada�ter�sido dúvida�é�de� 357 ,

�ou� 1

19 .

Há outras palavras que têm essa mesma probabilidade de serem sorteadas na primeira vez.

Descubra com seus colegas quais são elas. Há�–�sem�–�quem�–�porque�–�eu

nadaporque

impossívelA�primeira�palavra� sorteada� foi� impossível.�A� segunda�e� a�

terceira�foram�respectivamente�porque�e�nada.restaram� 54� palavras.� Agora� a� probabilidade� de� a� quarta�

palavra�sorteada�ser�dúvida�passa�a�ser�de� 354

,�ou

�118

.

Matemática, poesia e música popular brasileira

Trabalhamos�com�um�poema�do�grande�poeta�português�Fernando�Pessoa�(1888–1935).Vocês�acham�que�Matemática�não�combina�com�poesia?�Pois�então�leiam�o�poema�matemático�

que�apresentamos�a�seguir.�A� letra�é�de�uma�canção�composta�em�parceria�por�Antônio�carlos�Jobim�e�Marino�Pinto,�importantes�compositores�da�música�popular�brasileira.

Aula de Matemática

Pra�que�dividir�sem�raciocinar�Na�vida�é�sempre�bom�multiplicar�E�por�A�mais�BEu�quero�demonstrarQue�gosto�imensamente�de�vocêPor�uma�fração�infinitesimalVocê�criou�um�caso�de�cálculo�integralE�para�resolver�este�problemaEu�tenho�um�teorema�banalQuando�dois�meios�se�encontram�desaparece�a�fração

E�se�achamos�a�unidadeEstá�resolvida�a�questãoPara�finalizar�vamos�recordarQue�menos�por�menos�dá�mais,�amorSe�vão�as�paralelasAo�infinito�se�encontrar-integrarSe�desesperadamente,incomensuravelmente�Eu�estou�perdidamente�apaixonado�por�você

Antônio Carlos Jobim e Marino�Pinto. Aula de Matemática. 1958.

Calcule, com ajuda dos colegas, a probabilidade de a primeira

palavra sorteada ser um verbo. 1357

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Exercícios

1 Observeodiscodeumaroletaqueestádivi-didoem8partesiguaiseresponda.

a) Qualéacorque temmaisprobabilidadedesair?Eaquetemmenosprobabilidadedesair?

b)Quaissãoascoresquetêmamesmapro-babilidadedesair?

c) Dê um exemplo de um acontecimentopossíveledeoutroimpossível.

Verde�e�azul.

Por�exemplo:�possível-vermelho;�impossível-roxo.

MA

M

AT

A

iEc

T

2Numacaixaestãoosseguintescartões:

Retirou-seumcartãodacaixa,semolhar.

a) Qualéaletracommaiorprobabilidadedesair?Qualéessaprobabilidade?A;�

310

b) Qualéaprobabilidadedesairaletrai? 110

c) Qualéaprobabilidadedesairumavogal? 12

d) Quaissãoasletrasquetêmamesmaproba-bilidadedesair?M�e�T�ou�c,�i�e�E.

e) AprobabilidadedesairMémaioroume-norqueadesairE?É�maior.

3Numaviãoviajam20brasileiros,10japo-neses,8italianose3espanhóis.Escolhendoaoacasoumpassageiro,determineaproba-bilidadedeele:

a) serespanhol; 341

b) nãoserespanhol;3841

c) serjaponêsouitaliano;1841

d) sernorte-americano.0

4Nolançamentodeumdado,cujasfacessãonumeradasde1a6,qualéaprobabilidadede:

5Umpresentefoisorteadoentre4meninase3meninos.Qualéaprobabilidadedeumameninaganharopresente? 4

7

Amarelo�e�vermelho.

a) saironúmero4? 16

b) sairumnúmeroímpar? 12

c) sairumnúmeroprimo? 12

d) sairumaletra?0

e) sairummúltiplode3? 13

f ) sairumnúmeromenorouiguala4? 23

Ilust

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onIlu

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Car

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es: D

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140

6Doisdadosdecoresdiferentessãolança-dos,eéobservadaasomadospontosdasfa-cessuperiores.

Sugestão:Elaboreemseucadernoumatabelacomoaseguinte.

+

a) Qualéasomadepontosquetemmaispro-babilidadedeacontecer?7�pontos

b) Qualéasomadepontosquetemmenosprobabilidadedeacontecer?2�pontos�e�12�pontos

c) Determineaprobabilidadedeobterasomadepontosiguala5. 1

9

d) Determineaprobabilidadedeobternúme-rosiguaisnasduasfaces. 1

6

7Umcasalplanejaterdoisfilhos.Qualéaprobabilidadedenascerem:

a) duasmeninas? 14

b) ummeninoeumamenina? 12

8Umamoedaé lançada trêsvezes.Deter-mineaprobabilidadedeseobter(em):

9Numa urna há 9 bolas: três vermelhas,quatro amarelas eduas azuis.Retira-seumaprimeirabola,quenãoéamarela.Ao retirarumasegundabolaaoacaso,qualéaprobabi-lidadedeelaseramarela? 1

2 48 �=� 1

2

10Numaturmado9oano,de28alunos,aprobabilidadede,numaescolhaaoacaso,seobterumameninaé 4

7 .Quantosrapazestematurma?12�rapazes

Léo

Burg

os

a)pelomenosumacara; 78

b)duascoroaseumacara; 38

c)nenhumacara; 18

d)nomáximoumacoroa. 12

5

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Os�planos�de�saúde,�de�maneira�geral,�costumam�cobrar�mais�caro�para�oferecer�cobertura�a�pessoas�com�mais�de�60�anos.�Por�quê?�Porque,�estatisticamente,�a�probabilidade�de�uma�pessoa�a�partir�dessa�idade�precisar�de�assistência�médica�é�maior�do�que�os�mais�jovens.

De�forma�semelhante,�um�seguro�contra�roubo�de�motocicleta�custa�proporcionalmente�mais�do�que�um�seguro�contra�roubo�de�automó-vel,�porque�estatisticamente�as�motos�têm�maior�probabilidade�de�serem�roubadas.

Essas� probabilidades,� tão� importantes�para�as�empresas,�são�calculadas�a�partir�de�dados�estatísticos.

Veja�um�exemplo:

Em�2008,�no�Brasil,�a�probabilidade�de�morrer�num�acidente�de�trânsito�era�de,�aproximadamente,�3%.�isso�quer�dizer�que,�a�cada�100�mortes,�3�ocorreram�nesse�tipo�de�acidente.

como�esse�número�foi�obtido?�A�partir�dos�dados�estatísticos�se�calculou�a�razão:

2. As probabilidades e a estatística

número�de�mortes�por�acidentes�de�trânsitonúmero�total�de�mortes

De�acordo�com�dados�da�Associação�Brasileira�de�Medicina�de�Tráfego,�cerca�de�37�000�pessoas�morrem�por�ano�em�acidentes�de�trânsito�no�Brasil.�Outras�180�000�pessoas�são�hospitalizadas�por�ferimentos�nestes�tipo�de�acidente.

A�Organização�das�Nações�Unidas�(ONU)� definiu� o� período� de� 2011� a�2020� como� a� década� de� ações� para�segurança�viária�no�mundo,�recomen-dando�que�cada�país�planeje�e�execute�ações�para�reduzir�o�número�e�vítimas�do�trânsito.

Você sabe que muitas pessoas fazem seguro: de vida, do automóvel, da casa etc. Analise a situação

abaixo.

Usando o que vimos sobre probabilidade, estime qual dos seguros será mais caro:

• Seguro de dois automóveis do mesmo ano e modelo. O motorista de um deles tem 18 anos e o

carro não fica em garagem. O motorista do outro tem 35 anos e o carro permanece em garagem.

James Steidl/Dreamstim

e.com

resposta�possível:�O�seguro�do�automóvel�pertencente�ao�mais�jovem.

Toni

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Valeapenaler

Os seguros

O�surgimento�dos�seguros�ocorreu�há�mais�de� 5�000� anos� entre� comerciantes� marítimos�mesopotâmicos�e�fenícios,�aplicados�à�perda�de�carga�de�navios�(naufrágio�ou�roubo).�A�prática�foi�continuada�por�gregos�e�romanos�e�acabou�chegando�no�mundo�cristão�medieval�através�de�comerciantes�marítimos�italianos.�Muito�pouco�chegou�até�nós�acerca�das�técnicas�empregadas�pelos�seguradores�daqueles�tempos,�mas�é�ga-rantido�afirmar�que�se�baseavam�em�estimativas�empíricas�das�probabilidades�de�acidentes�para�estipular�as�taxas�e�prêmios�correspondentes.

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es

O início da matematização dos seguros

com�o�término�da�idade�Média,�o�crescimento�dos�centros�urbanos�levou�à�popularização�de�um�novo�tipo�de�seguro:�o�seguro�de�vida.�É�em�torno�destes�que�surgiriam�os�primeiros�estudos�matemá-ticos�sobre�seguros,�nos�1�500�anos.�Não�deixa�de�ser�curioso�observar�que,�nessa�época,�houve�um�enorme�aumento�nos�negócios�de�seguros�marítimos�(associados�aos�preciosos�carregamentos�trazidos�das�Américas�e�das�Índias),�mas�os�seguradores�continuaram�a�usar�as�milenares�técnicas�empíricas.

A�mais�antiga�tentativa�de�um�estudo�matemático�dos�seguros�de�vida�é�devida�a�cardano,�em�1570�(em�seu�De proportionibus Libri V).�Seu�trabalho,�contudo,�quase�não�teve�repercussão,�pro-vavelmente�por�ter�pouca�praticidade.

O amadurecimento da matemática dos seguros

O�primeiro�trabalho�prático�na�área�dos�seguros�de�vida�é�devido�a�Halley�(o�mesmo�do�cometa)�em�1693�(Degrees of Mortality of Mankind).�Nesse�trabalho,�Halley�mostrou�como�calcular�o�valor�da�anuidade�do�seguro�em�termos�da�expectativa�de�vida�da�pessoa�e�da�probabilidade�de�que�ela�sobreviva�por�um�ou�mais�anos.

com�Daniel�Bernoulli,�cerca�de�1730,�a�matemática�dos�seguros�atinge�um�estado�bastante�maduro.�Ele�retoma�o�clássico�problema�de,�a�partir�de�um�dado�número�de�recém-nascidos,�calcular�o�número�esperado�de�sobreviventes�após�n�anos.�Ele�também�dá�os�primeiros�passos�em�direção�a�novos�tipos�de�seguros�calculando,�por�exemplo,�a�mortalidade�causada�pela�varíola�em�pessoas�de�determinada�faixa�de�idade.�Ao�mesmo�tempo,�começaram�a�aparecer�as�primeiras�grandes�companhias�de�seguros,�as�quais�tiveram,�assim,�condições�de�se�estabelecer�com�um�embasamento�científico.

De�lá�para�cá,�os�negócios�de�seguros�ampliaram-se�e�sofistificaram-se�cada�vez�mais,�a�ponto�de,�em�alguns�países�europeus,�tornarem-se�um�mercado�de�trabalho�que�absorve�quase�um�quarto�dos�egressos�de�cursos�de�Matemática.

Disponível em: <www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2c.html>. Acesso em: jul. 2011.


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Exercícios11Copieecompletenocadernoatabelaquemostraalgunsdadosdeumapesquisafeitaen-tre100pessoasqueestavamemumsupermer-cado.

Escolhendoumapessoadentreessas,calculeaprobabilidadedequeelaseja:

a) homem;50%

b) mulhersolteira;17%

c) pessoacasada;69%

d) homemcasado.36%

12Foifeitaumapesquisaentreos50alunosdeumaclasseparasaberquantosgostavamounãodeMPB(MúsicaPopularBrasileira).Partedoresultadodapesquisaencontra-seanotadonatabelaabaixo.

a) Copieecompleteatabela.

b) Escolhidoumestudanteaoacaso,qualéaprobabilidadede:

•sergarota? 2250 = 11

25 •gostardeMPB? 38

50 = 1925

13Dados estatísticos mostram que em umacidadehouve42000nascimentosnosúltimoscincoanos,dosquais21420eramdemeni-nas.Nessacidade,qualé,porcentualmente,achanceestatísticadenascerumamenina?

14(Saresp)Apolíciarodoviáriafezumlevantamento estatístico para medir avelocidadedeautomóveis,ônibusecaminhõesemcertotrechodaestrada.

15(Saresp)Todososdias,umdos inspetoresdequalidadedeumaempresaretira10peçasfabricadasporumamáquinaeverificaquan-tasestãodefeituosas.Natabelaabaixo,tem-separtedorelatóriodessaatividade.

Analisandoessa tabela,pode-seavaliarqueaprobabilidadedeencontrarumapeçadefeituosanaproduçãodessamáquinaéde:

a)12 b)

25 c)

15 d)

310

Umavezquenessetrechoavelocidadelimiteéde120km/h,opróximocaminhãoapassarporalicomprobabilidadedeestarcomavelo-cidadepermitidaé:

a) 5,5% b) 50% c) 94,5% d) 99,7%

Número acumula-do de dias

Número total de peças defeituosas encontradas

1 310 28

100 302200 599300 901

Rapazes Garotas TotalGostamdeMPB 17NãogostamdeMPB 12Total 28 50

21

75

2238

Homens Mulheres Total

Solteiros 14 31

Casados 33 69

Total 50 50 1001736

x

x

Delfi

m M

artin

s/Pu

lsar I

mag

ens

51%�21�42042�000 = 51

100 =�0,51

Velocidade Automóveis Ônibus CaminhõesAbaixode100km⁄h

72,3% 92,6% 90,8%

Entre100e120km⁄h

22,4% 7,1% 3,7%

Acimade120km⁄h

5,3% 0,3% 5,5%

Respondacomumaporcentagem.


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144

3. População e amostraExistem�empresas�especializadas�em�pesquisas�

estatísticas.� Elas� são� contratadas� para� testar� a�aceitação�de�um�novo�produto�no�mercado,�qual�a�qualidade�do�serviço�prestado�por�um�órgão�pú-blico,�um�banco,�uma�rede�de�restaurantes,�para�fazer�previsões�sobre�as�chances�de�cada�candidato�numa�eleição,�entre�outras�coisas.

As�pesquisas�de�intenção�de�voto�aparecem�com�frequência�nos�meios�de�comunicação.�Será�que�a�empresa�encarregada�da�pesquisa�entrevista�todos�os�eleitores?

Não,�isso�seria�muito�trabalhoso�e�levaria�muito�tempo!�

Digamos�que�as�eleições�sejam�para�prefeito.

Todos�os�eleitores�da�cidade�formam�a�população�do�fenômeno�que�será�observado�(tendência�de�voto).�Uma�parcela�da�população�responde�à�pesquisa.�Essa�parcela�é�chamada�de amostra.�Se�a�amostra�for�bem�escolhida,�ela�representará�o�que�ocorre�com�o�total�da�população,�e�as�chances�apontadas�pela�pesquisa�podem�ser�generalizadas�para�o�todo.

A�escolha�da�amostra,�então,�é�importantíssima.

Por�exemplo,�se�forem�entrevistadas�somente�mu-lheres�acima�de�40�anos,�teremos�uma�amostra�viciada�e,�por�consequência,�a�pesquisa�ficará�comprometida.�

As�pessoas�que�dirigem�essas�pesquisas�têm�mé-todos� para� determinar� o� número� de� elementos� da�amostra�e�que�características�ela�deve�ter.

Mas�população�e�amostra�não�são�exclusivas�de�pesquisas�eleitorais.�Veja�mais�uma�situação�em�que�esses�conceitos�são�aplicados.

Você�já�viu,�em�alimentos�como�carne,�leite,�queijo,�iogurte�e�outros,�o�carimbo�do�SiF�–�Sistema�de�inspeção�Federal?�Esse�órgão�tem�a�função�de�verificar�se�esses�produtos�estão�adequados�para�o�consumo�humano.

claro�que�numa�inspeção�a�um�laticínio,�por�exemplo,�não�se�verifica�toda�a�produção.�Os�funcionários�recolhem�determinado�número�de�produtos,�e�estes�são�analisados.

Pela�qualidade�dos�produtos�analisados,�estima-se�a�qua-lidade�do�restante�da�produção.

Nesse�exemplo,�temos:

•�população:�produção�total�do�laticínio.•�amostra:�produtos�recolhidos�para�análise.

Que atributos você consideraria para

escolher uma amostra adequada da po-

pulação de eleitores da sua cidade?

Sexo? Idade? O que mais?

Discuta com os colegas! resposta�pessoal.

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6ª�PrOVAPATriciA

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PNAD – Um retrato do Brasil

reúna-se com um colega para ler o texto a seguir e realizar as atividades propostas.

imagine tirar uma “fotografia” do Brasil que permita analisar as con-dições de vida do nosso povo: situação de moradia, de saúde, educação e trabalho, por exemplo. a partir desse retrato, os governantes podem planejar investimentos e ações mais eficazes buscando resolver problemas.

pois bem, a pnad (pesquisa nacional por amostra de domicílio) tem esse objetivo. todo ano pesquisadores visitam cerca de 154 mil domicílios em todo o Brasil, entrevistando aproximadamente 400 000 pessoas e coletan-do, por meio de um questionário, as informações necessárias para montar o panorama econômico e social brasileiro. a pesquisa é feita e analisada pelo instituto Brasileiro de Geografia e estatística – iBGe.

a pnad é uma pesquisa estatística. Seus resultados são obtidos a partir de uma amostra de domicílios. no entanto, os resultados são ab-solutamente confiáveis, com margem de erro variando entre 3% e 5%.

1. respondam no caderno.a) em número de habitantes, qual é o tamanho da amostra utilizada na pnad? 400 000 habitantes

b) Se a população do Brasil em 2010 era de aproximadamente 190 milhões de habitantes, a amostra representou que porcentagem dessa população? aproximadamente 0,2%.

2007 2008 2009

Rede de água 84,3 83,9 84,4

Rede de esgoto 51,3 59,3 59,1

Coleta de lixo 88,4 87,9 88,6

Fonte: <www.ibge.gov.br>. Dados em porcentagem de domicílios atendidos.Lu

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os resultados da pnad são divulgados pela imprensa. as tabelas e os gráficos estatísticos permitem que o leitor visualize e analise mais facilmente os dados.

2. a tabela acima traz dados da pnad relativos ao saneamento básico. esse é um aspecto im-portante para a análise da qualidade de vida de um povo.

Que tipo de gráfico entre os sugeridos abaixo vocês consideram mais adequado para representar esses dados, por exemplo, num jornal?

a) Gráfico de setores (circular) c) pictograma b) três gráficos de barras d) Gráfico de barras triplas

(um para cada ano) (2007/2008/2009)construam o tipo de gráfico escolhido no caderno e justifiquem a escolha.escrevam em seguida um parágrafo analisando e comentando os dados sobre saneamento básico,

como se vocês fossem os jornalistas responsáveis pela reportagem. respostas pessoais.

os itens b ou d seriam as respostas mais adequadas.


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146

Progressos na alfabetização

3. os dados da pnad em relação à taxa de analfabetismo apresentam-se animadores. o Brasil tem investido muito para diminuir o número de analfabetos e aos poucos estamos conseguindo. veja na tabela a seguir as taxas no período de 2002 a 2009.

Taxa de analfabetismo – pessoas de 15 anos ou mais

ano 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

% de analfabetos 11,8 11,6 11,2 10,9 10,2 10,1 10 9,7

a) em 2009 a população brasileira era de cerca de 190 milhões de habitantes. Quantos eram os

analfabetos? 190 · 0,097 5 18,43; 18,43 milhões

b) de 2002 para 2003, a taxa de analfabetismo recuou em 0,2%. entre quais dois anos houve

o maior recuo dessa taxa? 2005 para 2006, recuo de 0,7%

c) Um jornalista sugeriu representar os dados dessa tabela num gráfico de setores. Seu colega o

corrigiu, dizendo que esse tipo de gráfico não seria adequado, sugerindo que usassem um gráfico

de segmentos. converse com seus colegas: você concorda com qual dos dois jornalistas?

Queda na taxa de desemprego

4. outro indicador importante pesquisado pela pnad é a taxa de desemprego. o gráfico abaixo

mostra a variação dessa taxa nos últimos anos.

resposta pessoal.

Fonte: <www.ibge.gov.br>.

a) analisem e comen-

tem os dados do gráfico no

caderno, apontando o ano

em que o país enfrentou a

maior taxa de desemprego

no período considerado.

2003 – taxa de 9,7%

b) o gráfico mostra que

houve queda na taxa de

desemprego em três anos

consecutivos. Quais são eles?2006, 2007 e 2008

resposta esperada: o gráfico de segmentos seria mais adequado, pois permite melhor visualização da variação porcentual.o gráfico de setores é mais adequado quando queremos comparar partes de um todo.

Taxa de desemprego (em porcentual) Variação da taxa de desemprego

9,49,7

9,2

9,4

9,6

9,8

9,2

8,9

9,3

8,48,2

8,2

8

8,4

8,6

8,8

9

7,1

8,3

7,2

7

7,4

7,67,8

Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento. PNAD – 2009.Ano

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

DAE


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5. apresentamos na tabela ao lado mais informações coletadas pela pnad.

Leiam o título da tabela e examinem os dados. em seguida, usando a criati-vidade, elaborem no caderno questões interessantes envolvendo os dados e a análise deles.

Feitas as questões, proponham que outra dupla as resolva ou discuta.

respostas pessoais.

O que o brasileiro tem em casa (% de domicílios)

2008 2009

Fogão 98,2 98,4

Geladeira 92,1 93,4

TV 95,1 95,7

Filtro de água 51,6 51,4

Telefone 82,1 92,8

Computador 31,2 34,7

N o C õ e s d e p r o b a b i l i d a d e 147

Os oito objetivos de desenvolvimento do milênio – você os conhece?

Falamos sobre saneamento, educação, trabalho, aquisição de bens. a humanidade está sempre em busca de melhores condições de vida. em 2000, a onU – organização das nações Unidas, ao analisar os maiores problemas mundiais, estabeleceu os chamados oito objetivos de desenvolvimento do milênio. São eles:1. erradicar a extrema pobreza e a fome.2. alcançar a educação básica universal.3. promover a igualdade entre os sexos e a autonomia das

mulheres.4. reduzir a mortalidade infantil.5. melhorar a saúde das gestantes.6. combater a aids, a malária e outras doenças.7. assegurar a sustentabilidade ambiental.8. criar parcerias pelo desenvolvimento mundial. os países membros da onU, incluindo o Brasil, comprome-teram-se a cumprir metas estabelecidas para cada objetivo. a ideia é alcançar os objetivos até 2015. avanços significativos para alcançar os objetivos foram re-gistrados nos últimos anos. por exemplo:• o indicador de pessoas vivendo abaixo da linha da pobreza

melhorou em cerca de 80% dos países.• a meta de reduzir em 50% o número de pessoas sem acesso à água potável deve ser cum-

prida dentro do prazo.• para garantir a sustentabilidade ambiental, em 2006 atingiu-se a marca de 20 milhões de

km2 de áreas protegidas na terra e no mar. É importante perceber que todos nós devemos contribuir para atingirmos essas metas. a tarefa não é só dos governantes, é da humanidade como um todo. cada ação cidadã, por menor que seja, ajuda a melhorar nossa comunidade, a cidade em que vivemos, o país.

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Fonte: IBGE – PNAD 2009.


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148

Mão na massa!

Que tal elaborar e aplicar uma pesquisa estatística?1. Forme grupo com mais dois ou três

colegas. o tema da pesquisa vocês escolhem. aqui vão algumas sugestões: – meio de transporte mais usado

pelos alunos para ir à escola. – Hábito de leitura, número de livros

lidos num ano, gênero preferido.– alimentação – saudável ou não?– prática de exercícios físicos.

2. elaborem três ou quatro questões objetivas sobre o tema. cada questão deve ter quatro alternativas para resposta. como exemplo, dentro do tema “alimentação”, uma das perguntas poderia ser esta:

você consome verduras nas refeições?a) diariamente, no almoço e no jantar.b) nunca.c) raramente, pois não gosto de verduras.d) duas a três vezes por semana.

3. escolham uma amostra adequada. pe-çam ajuda ao professor para esta tarefa.

4. Façam as entrevistas, anotando as res-postas de cada pessoa.

5. Juntos, montem uma tabela para cada pergunta e organizem os dados obtidos. veja um modelo ao lado:

• representem os dados das tabelas por meio de gráficos de barras ou de setores. isso permitirá analisar melhor os resultados da pesquisa.

• partam então para a análise da pesquisa. discutam os resultados, escrevam suas conclusões e, se o tema permitir, sugiram ações, medidas, reflexões. por exemplo, ainda no tema “ali-mentação”, se a pesquisa apontar hábitos pouco saudáveis entre os alunos da escola, o grupo pode coordenar uma campanha de educação alimentar, buscando minimizar o problema.

Rafa

el R

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Pergunta 1

Frequência Porcentagem

a)

b)

c)

d)

Hélio

Sen

ator

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16Classifique os acontecimentos utilizandoaspalavras:

a) Lançarumamoedaesaircara.p

b) Sair uma bola azul de um saco de bolasbrancas.i

c) Lançarumdadoesairumnúmeronaturalde1a6.c

d) Sair10vezescoroaem10lançamentosdeumamoeda.pp

Revisando

17Umgrandeprêmiodecorridaautomobilís-ticavaiserdisputadopor24pilotos,dosquaisapenastrêssãobrasileiros.Considerandoquetodosospilotostêmigualchancedevenceraprova,qualéaprobabilidadedeumbrasileirovenceracorrida? 1

8

18Lançamosumdadoquetemumafacebran-ca,duasfacesverdesetrêsfacesazuis.

a) Quecorémaisprovávelsair?azul.

b) Oqueémaisprovável:“sairazul”ou“nãosairazul”?São igualmente prováveis.

c) Oqueémaisprovável:“sairverde”ou“nãosairverde”?não sair verde.

19Ográficodebarrasrepresentaosnúmerosobtidosnolançamentodeumdado.

a) Quantasvezesodadofoilançado?90 vezes

b) Quantoslançamentosoriginaram:

I) onúmero5?7 lançamentos

II) umnúmeromenorque4?50 lançamentos

III)umnúmeropar?47 lançamentos

IV)umnúmeroprimo?41 lançamentos

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

15

1 2 3 4 5 6

Núm

ero

de la

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ento

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Números obtidos no lançamentode um dado

Número de pontos na face do dado

0

Hélio

Sen

ator

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Ilust

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AE


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150

20Aosortearumadestasbolas,qualéapro-babilidadede:

a) seobterumnúmeroímpar? 78

b) seobterumnúmeroprimo?1

c) seobterumnúmeromenorque10? 12

d) seobterumnúmeroímparentre10e20? 12

e) seobterumnúmeroparentre10e20?0

50 segundos

10 segundos

60 segundos

21Se você girasse o ponteiro, qual seria aprobabilidadedeele:

a) pararno? 18

b) pararnumnúmeroímpar? 38

c) pararnumnúmeropar? 38

d) pararnumnúmeroirracional? 14

22Quando se tiraao acaso uma cartadeumbaralhode52cartas,qualéapro-babilidadedesair:

23Umaempresarealizouumapesquisasobreseusprodutoscommilpessoas,dasquais60%sãohomens.Copieatabelaemseucadernoecomplete-a:60% de 1000 5 600

a) Quantoshomensnão responderamàpes-quisa?135 homens

b) QuantasmulherespreferemoprodutoB?

c) Seumapessoaéescolhidaaoacaso,qualéaprobabilidadedequeessapessoaprefiraoprodutoA?34,5%

d) QualéaprobabilidadedequeumapessoaprefiraoprodutoB?44%

24Um ciclo completo de um semáforo de-mora120 segundos. Emcadaciclo, o semá-foro está no verde durante 50 segundos; noamarelodurante10segundos;enovermelhodurante60segundos.Seosemáforoforvistoaoacaso,qualéaprobabilidadedequenãoestejanoverde? 7

12 70

120 5 7

12

Paul

o Pe

pe

345 440 215

Produto A Produto B Não res-ponderam

Homens 225 240

Mulheres 120 80

Total

200

135

a) umacartavermelha? 12 26

52 5 12

b) umrei? 113

452 5

113

c) umáspreto? 126 2

52 5 126

d) umvaletedecopas? 152

São oito setores circulares de mesma medida.

3451 000

5 34,5%

4401 000

5 44%

20

15

12

7

11

36

10

200 mulheres

Lápi

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25Leandrotem8peixesmachosnoseuaquá-rio. Quantas fêmeas ele deve colocar nesseaquárioparaqueaprobabilidadedesetiraraoacasoumpeixemachoseja:

26(Saresp)Paraumapesquisacomoobjetivodeverificaraintençãodevotonumafuturaelei-çãomunicipalcomtrêsconcorrentes,edepois,comosresultados,preveroprovávelganhador,precisamos estabelecer a população e umaamostra significativa. Emqual das alternativasesseselementosestãomaisbemdefinidos?

27Lançando-sesimultaneamentedoisdados,cujasfacessãonumeradasde1a6,qualéaprobabilidadede:

a) serem obtidos números cujo produto sejaímpar? 1

4

b) serem obtidos números cujo produto sejapar? 3

4

28Observeocardápioabaixo:

a) Indiquetodasasrefeiçõesquepodemoses-colhertendocadaumadelasumaentrada,umpratoeumasobremesa.

b) Fernanda escolheu uma refeição (entrada,pratoesobremesa).Qualéaprobabilidadedeela:

• nãotercomidopeixe?

•tercomidopicanhaepudim?

Entrada

•Sopa

•Canja

Prato

•Frango

•Picanha

•Peixe

Sobremesa

•Mamão

•Pudim

28. a) (sopa, frango, mamão), (sopa, frango, pudim), (sopa, picanha, mamão), (sopa, picanha, pudim), (sopa, peixe, mamão), (sopa, peixe, pudim), (canja, frango, mamão), (canja, frango, pudim), (canja, picanha, mamão), (canja, picanha, pudim), (canja, peixe, mamão), (canja, peixe, pudim).

População / Amostra

ATodososmoradoresdacidade.

Todososmoradoresdedeterminadobairro.

BTodososmoradoresdacidade.

Vinteeleitoresdedeterminadobairrodacidade.

CTodososeleitoresdacidade.

Todososeleitoresdosexofeminino.

DTodososeleitoresdacidade.

Dezeleitoresdecadabairrodacidade.x

23

812 5

23

16

212 5

16

a) 1? 0 b) 23

?4

Mist

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152

DesafiosDesafios 29 As 28 pedras de um dominó estão viradas para baixo, e você tira uma ao acaso. Qual é a probabilidade de:

a) a pedra ter 3? 728

� 14

b) a pedra não ter nenhum 3? 2128

� 34

c) a pedra não ter nem 4 nem 5? 1528

d) o total de pintas da pedra ser 7? 328

(1, 6) (2, 5) (3, 4)

30 (UEL-PR) Uma senhora tem quatro filhos: Carlos, que tem 6 filhos; André, que tem 5; Norma, que tem 4; e José, que tem 5. Essa se-nhora quer dar um determinado objeto a um de seus netos e resolveu fazê-lo por sorteio. Atribuiu um número distinto a cada neto; es-creveu cada número em um pedaço de papel; colocou os papéis num saquinho e retirou um deles ao acaso. Qual a probabilidade de que o neto sorteado seja filho de Carlos? 30%

Responda com uma porcentagem.

620

� 30100

� 30%

31 Em uma urna há cinco bolas brancas, três bolas verdes e duas azuis. Quantas bolas preci-sam ser retiradas para que se possa garantir que duas delas tenham a mesma cor?

a) 3 c) 5

b) 4 d) 6x

32 Uma pessoa retirou uma dama de um baralho de 52 cartas e a seguir re-tirou uma segunda carta. Qual é a probabilidade de que essa segunda carta também seja uma dama?

351

ou 117

33 (Unicamp-SP) Ao se tentar abrir uma por-ta, com um chaveiro contendo várias chaves parecidas, das quais apenas uma destranca a referida porta, muitas pessoas acreditam que é mínima a chance de se encontrar a chave certa na 1 tentativa, e chegam mesmo a dizer que essa chave só vai aparecer na última tentativa. Para esclarecer essa questão, calcule, no caso de um chaveiro contendo 5 chaves,

a

1 � 15 � 4

5

a) a probabilidade de se acertar na primeira tentativa; 1

5

b) a probabilidade de se encontrar a chave certa depois da primeira tentativa. 4

5

DAE

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N O Ç Õ E S D E P R O B A B I L I D A D E 153

34 (Ufscar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênti-cas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, a probabilidade de não obtermos a bola número 7 é igual a:

a) 110

c) 910

b) 29

d) 911

x

35 (Saresp) João guardou em uma sacola20 bolas das seguintes cores: 6 vermelhas, 5 azuis, 4 amarelas e 5 verdes. Se ele pegar uma delas ao acaso, qual a probabilidade de ser amarela?

a) 15

c) 35

b) 25

d) 45

x

36 Jogando-se um dado comum, a probabili-dade de ocorrer um número menor do que 5 é:

a) 12

c) 45

b) 35

d) 23

x

37 (Saresp) As pessoas presentes à convenção anual de uma editora distribuem-se assim:

Ao final, será sorteado um prêmio para um dos participantes. A probabilidade de que ganhe uma pessoa solteira é de:

a) 31% c) 55%

b) 50% d) 59%x

Homens Mulheres

Solteiros 31 28

Casados 19 22

38 Qual das roletas abaixo oferece a maior chance de acertar a cor laranja?

39 O número da placa de um carro é ímpar. A probabilidade de o último algarismo ser 7 é:

a) 110

c) 12

b) 15

d) 35

x

40 Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 ver-melhas. A probabilidade de sortearmos uma bola branca é de:

a) 20% c) 40%

b) 25% d) 80%

x

41 (Prominp)

Se o menino da historinha lançar os dois dados ao mesmo tempo, a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja igual a 6 será:

a) 536

b) 118

c) 512

d) 16

x

(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)

a)

b)

c)

d)


630

� 15

� 20%

N O Ç Õ E S D E P R O B A B I L I D A D E 153

2009

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420

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154

42Umaurnacontém100bolinhasnumera-das de 1 a 100. Uma bolinha é sorteada.Aprobabilidadedequeonúmerosorteadosejamúltiplode7é: 7, 14, 21, 28, ..., 91, 98

5 14100

750

a) 110

c) 750

b) 650

d) 425

x

43(Vunesp) Um prêmio da Sena saiu paradoiscartões,umdacidadeA eoutrodacidadeB.Nestaúltima,ocartãoerade6apostadores,tendocadaumcontribuídocomamesmaim-portânciaparaaaposta.Afraçãodoprêmioto-talquecadaapostadordacidadeBreceberáé:

a) 16

c) 19

b) 18

d) 112

x

cada apostador da cidade B receberá a sexta parte da metade do prêmio.

5 16

12

112

44(Uerj)Osnúmerosde1a10foramescri-tos,umaum,semrepetição,emdezbolasdepingue-pongue.Seduasdelasforemescolhidasaoacaso,ovalormaisprovávelda somadosnúmerossorteadoséiguala:

a) 9 c) 11

b) 10 d) 12

x

45(Vunesp)JoãolançaumdadosemqueAn-tonio veja. João diz que o número mostradopelodadoépar.AprobabilidadeagoradeAn-tonioacertaré:

a) 12

c) 13

b) 16

d) 23

x

o espaço amostral é: 2, 4 e 6. assim, a probabilidade deantonio acertar é .1

3

46A roleta apresentada está dividida em6 partes iguais. Gira-seoponteiro e anota-seo número que ele aponta ao parar; repete-seaoperação.Qualéaprobabilidadedequeasomadosdoisnúmerosseja4?(Vejaafigura.)

23 3

1

1 2 2 3 3 3

1

2

2

3

3

3

3

22

3 31

1 2 2 3 3 3

1

2

2

3

3

3

32

Construa uma tabela como essa emseucaderno.

a) 436

c) 1036

b) 936

d) 1236

x

Fern

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Fav

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to

(1 + 10; 2 + 9; 3 + 8; ... ; 10 + 1)

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UNIDADE 6UNIDADE

Teorema de Tales e semelhança de triângulos1. Razões, proporções e segmentos

proporcionaisUm dos conceitos mais importantes da matemática é o de razão.

A razão entre uma quantidade e outra é o quociente da divisão da primeira pela segunda.

Veja um exemplo:

em certa receita de bolo, para cada 2 xícaras de farinha são utilizados 3 ovos. A razão entre a

quantidade de farinha e a de ovos é 2 : 3. Podemos escrever 23

ou 2 : 3 e lemos 2 para 3.

Uma igualdade entre duas razões é uma proporção.

23

46

é um exemplo de proporção.

As proporções têm uma propriedade:Quando multiplicamos seus termos em cruz, obtemos produtos iguais.

Veja:

23

46

2 6 12 e 3 4 12 isso vale para toda proporção.

Aplicamos essa propriedade para descobrir valores desconhecidos numa proporção:4

5

6

x Pela propriedade, 4x 30 ⇒ x

30

4 ⇒ x 7,5

Descubra o valor de x nas proporções a seguir:

a) 1

8

3,5

x 28 b)

x 1

5

8

10 3

t e o r e m a d e ta l e s e s e m e l h a n ç a d e t r i â n g u l o s 155

Para 4 xícaras de farinhas, precisamos colocar 6 ovos para que as quantidades fi quem

proporcionais.

Hélio

Sen

ator

e

PRATiCAndo mATemÁTiCA 9o Ano edição RenoVAdAPnLd 2014 – mac 4

6ª PRoVAAdRiAnA

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156

As razões são iguais.

Segmentos proporcionais

observe as medidas dos segmentos AxBx e Cxdx. A B2 cm

Qual seria a razão entre a medida de AxBx e a de Cxdx? C D4 cm

dividindo 2 por 4 obtemos a razão 2 : 4, ou 24

, ou, simplificando, 12

.

o comprimento de Cxdx é o dobro do comprimento de AxBx. os comprimentos estão na razão 1 para 2.

meça com régua o comprimento de exFx e de GxHx. E F

Calcule a razão eFGH

. 2,5

5

1

2 G H

observe que AB e eF têm medidas diferentes. Cd e GH também.

no entanto, ABCd

eFGH

12

.

diremos que AxBx e Cxdx são proporcionais a eF e GH.

de forma geral, os segmentos AB e Cd são proporcionais aos segmentos eF e GH se seus com-

primentos determinam, nessa ordem, uma proporção: ABCd

eFGH

.

Meça os segmentos traçados com uma régua e responda no caderno as questões a seguir.

1. Quais segmentos têm medidas na razão:

a) 1 para 3? eF e AB

b) 2

3? Cd e AB

2. Os segmentos AB e GH são proporcionais a quais segmentos? Escreva a proporção. AB

GH

Cd

eF

2

1

C D

E F

G H

A B

Confi ra suas respostas com seus colegas

e o professor.

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e


6ª PRoVAAdRiAnA

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Na Matemática é assim: construímos novos

conhecimentos a partir de conhecimentos anteriores.

Hélio

Sen

ator

e

1a propriedade

Chamamos de feixe de paralelas o conjunto de três ou mais retas paralelas em um plano.

Uma reta do mesmo plano que corta essas paralelas é uma transversal ao feixe, e o feixe deter-mina segmentos sobre a transversal.

desenhamos ao lado um feixe de paralelas cortado pela transversal t e pela transversal r.

Ficaram determinados os segmentos AB e BC sobre t e de e eF sobre r.

Vamos mostrar que se AB BC, então de eF.

Para isso, utilizaremos conhecimentos so-bre congruência de triângulos e propriedades dos paralelogramos.

2. Teorema de Tales na ilustração ao lado, percebemos

que as avenidas das Rosas, das margari-das e dos Lírios são pa ralelas.

As ruas dos Pinheiros e dos eucaliptos são transversais a essas avenidas.

Será que podemos, com as informa-ções desta ilustração, determinar a distân-cia entre marcos e débora?

A resposta é sim.

Vamos descobrir como?

A

t r

a

a // b // c

b

c

D

B E

C F

Hélio

Sen

ator

e

PMA9001

Av. das Rosas

200 m

400 m 415 m

Av. das Margaridas

Rua

dos P

inhe

iros

Rua dos Eucaliptos

Av. dos Lírios

400 m

Rua

dos P

inhe

iros

415 m


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158

Traçamos os segmentos tDGu // t e tEHu // t, obtendo os paralelogramos ABGD e BCHE.

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, então:

AB � DG e BC � EH.Como AB � BC, vem que DG � EH.Agora observe os triângulos DGE e EHF.

DG � EH (mostramos acima) (L)x � y (ângulos correspondentes) (A)

z � w (ângulos correspondentes) (A)

u � p (pela soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo)

Pelo caso ALA os triângulos são congruentes. Então, DE � EF como queríamos mostrar.Podemos enunciar a propriedade:

Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

2a propriedade: teorema de Tales

Na figura ao lado, o feixe de paralelas determinou segmentos sobre as transver-sais, mas AB � BC.

Será que há uma relação entre os segmentos determinados nas duas trans-versais? Acompanhe:

Suponhamos que existe uma unidade de medida u tal que AB � 2u e BC � 3u, como vemos na figura.

Nesse caso, ABBC

� 2u3u

� 23

.

Traçamos retas paralelas à reta a, passando pelos pontos em que os segmentos ficaram divididos. Observe que DE � 2v e EF � 3v.

DEEF

� 2v3v

� 23

ABBC

� DEEF

� 23

Concluímos que AxBx e BxCx são proporcionais a DxEx e ExFx e podemos enunciar o famoso teorema de Tales:

A

t r

a

a // b // c

b

y w

x z

c

D

B E

C F

G

H

A

t r

a

a // b // c

b

c

D

u

v

v

v

vu2u 2v

3u 3v

u

u

u

B E

C F

Na demonstração que fizemos, consideramos que existe uma unidade u

que cabe um número inteiro de vezes nos segmentos AxBx e BxCx. Quando

isso não acontecer, a demonstração fica muito complicada para você

por enquanto, mas fique certo de que o teorema de Tales vale também

nesses casos.

Um feixe de paralelas determina, sobre transversais, segmentos que são proporcionais.

v

u

p

Ilust

raçõ

es: D

AE


6ª PROVAADRIANA

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A partir do teorema, podemos escrever ou-tras proporções, como:

ACAB

dFde

ACBC

dFeF

ABde

BCeF

Você deve estar pensando: e a distância entre débora e marcos?

A

t r

a

a // b // c

b

c

d

B e

C F

Vamos voltar ao problema.

Traçamos um modelo matemático para a situação.

Como as avenidas são paralelas, e as ruas, transversais a elas, aplicaremos o teorema de Tales:

200400

x

415

ou, simplificando,

12

x

415

2x 415

x 207,5

A marcos dista 207,5 m do débora se seguirmos pela Rua dos eucaliptos.

r // s // t

Débora

Marcos200 m

400 m 415 m

r

s

t

x

Ilust

raçõ

es: D

AE

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Av. das Rosas

200 m

400 m 415 m

Av. das Margaridas

Rua

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Rua dos Eucaliptos

Av. dos Lírios

400 m

200 m

415 m


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Acompanhe mais dois exemplos de aplicação do teorema de Tales.

1. Vamos determinar x na figura, sabendo que a // b // c.As medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais.

xx 3

4

x 8

x(x 8) 4(x 3)

x2 8x 4x 12

x2 4x 12 0

Recaímos numa equação do 2o grau. Vamos resolvê-la.

16 48 64 x1 4 8

2 2

x 4 8

2 x2

4 82

6

Como x é uma medida de comprimento, só consideraremos a solução positiva, ou seja, x 2.

2. Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a Rua 1 e para a Rua 2, como você vê na representação ao lado. As laterais dos terrenos são paralelas.

Com as informações do desenho, vamos calcular as me-didas das frentes dos lotes que dão para a Rua 2 aplicando o teorema de Tales.

4510

54x

ou 92

54x

4520

54z

9x 108 94

54z

x 12 9z 216

4515

54y

ou 31

54y

z 24

3y 54

y 18

Portanto, as medidas das frentes para a Rua 2 são: lote A: 12 m; lote B: 18 m; lote C: 24 m.

O teorema de Tales nos ajuda a resolver problemas!

160

Lote

A

Lote

B

20 m15 m

54 m

45 mRua 1

Rua 2

10 m

Lote

C

z

yx

4

� 3x � 8x

b

c

a

d e

x

Lápi

s M

ágico

Ilust

ra C

arto

onDA

E


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Exercícios

28 m

x

20 m 25 m

y

40 mRua A

Rua B


1Calculex,sabendoquea// b//c.

a)

b)

BC 50cmCE 60cmCD75cmAB//DE

QualéadistânciaentreasbolasAeC?40 cm

r sa

42 � 2

7b

c

x

3 � 1x

a

6

4 1,8

b c d

e

x ⇒ x 2,76

x4

1,8

⇒ x 92x 23x 1

47

4Calculex,sabendoquea //b //c.

a)

b)

2Aplantaabaixomostraasmedidasdetrêslo-tesquetêmfrenteparaaRuaAeparaaRuaB.Asdivisas laterais sãoperpendicularesàRuaA.Quaissãoasmedidasdexeyindicadasnafigura?

⇒ y 562540

35y

⇒ x 352025

28x

3Nafiguraestárepresentadaumamesadebilharcomcincobolas:A,B,C,DeE.

5Estaplantamostradoisterrenos.Asdivisaslateraissãoperpendicularesàrua.Quaissãoasmedidasdasfrentesdosterrenosquedãoparaaavenida,sabendo-sequeafrentetotalparaessaavenidaéde90metros?

6

3

6

da

b

cx

e

⇒ x 46 xx

36

6

10 8

d

a

b

c

x

e

x 4,8

10 66

8 xx

30 m 45 m

Rua

Avenida

x

y

Lote 1: 36 metrosLote 2: 54 metros

x y 90

xy

3045

x 36 e y 54

AC60

5075

AC 40

Lote 2: 35 m Lote 3: 56 m

C

A B

D E

ii

ii

i

i

iii

Ilust

raçõ

es: D

AE


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162

3. Teorema de Tales nos triângulosVemos ao lado um triângulo ABC qualquer. Traçamos uma reta

r paralela a um dos lados do triângulo, determinando os pontos P e Q sobre os outros dois lados do triângulo.

Como r // BxCx, pelo teorema de Tales, temos que APPB

AQQC

.

os segmentos que a paralela determinou sobre os lados do triângulo são proporcionais.

Propriedade: uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, que corta os outros dois lados em dois pontos distintos, determina sobre estes lados segmentos proporcionais.

observe que poderíamos montar outras proporções utilizando o teorema de Tales:

APAB

AQAC

e PBAB

QCAC

, por exemplo.

no triângulo abaixo, BxCx // PxQx. Vamos usar a propriedade vista para determinar o valor de x.

Pela propriedade,

4x

53

multiplicando os termos da proporção em cruz:

5x 12

x 125

x 2,4

B

Pr

A

C

Q

Junte-se a um colega para resolver esta atividade.

Esta é uma oportunidade para relembrar a resolução

de equações do 2o grau.

No triângulo ao lado, TAB // TQR.

Determinem o valor de x e em seguida determinem

AQ e BR.

É fácil!

6x x 7

3

x2 7x 18 0

x 2 ou x 9 (não convém!)

AQ 4 e BR 6

B

4 5

O

P Q

C

3x

x 3

6 x 7

C

Q R

BA

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

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Seçãolivre

O número de ouro

Se tomarmos um segmento AxBx, temos inúmeras formas de dividi-lo em duas partes.no entanto, uma delas é particularmente interessante. o matemático grego euclides (325 a.C.-265 a.C.

aproximadamente) propôs uma divisão que tem uma propriedade especial:

o ponto C que divide AB é marcado de forma que: .

A razão entre o todo e a maior parte é igual à razão entre a maior parte e a menor parte. dizemos em matemática que o segmento foi dividido na razão áurea.

o número de ouro é justamente o valor encontrado para as razões ABAC

e ACCB

.

Seu valor exato é 1 52

.

Para representá-lo, escolheu-se a letra grega φ (fi). Como o número de ouro é irracional, temos φ 1,618033989…Geralmente utilizamos uma aproximação para φ: φ 1,618.Podemos encontrar φ usando a álgebra. Acompanhe:

Substituindo a, b e a b na proporção ABAC

ACCB

, temos:

a ba

ab

Chamando a razão ab

de x, temos ab

x ou a bx.

Agora, substituiremos a por bx na proporção, obtendo:

multiplicando os termos da proporção em cruz, obtemos x2 x 1 ou x2 – x – 1 0.

Agora é com vocês!

Observe que o x da equação é φ, pois fizemos x a

b. Junte-se a um colega e resolvam essa equação

do 2o grau verificando se a solução confere com o valor exato do número de ouro. Sim, x

ABAC

ACCB

a ba

ab

bx bbx

bxb

colocando b em evidência:

b (x 1)bx

bxb

⇒ x 1

x x

__

A C B

A C B

a b

a b


1 5 2


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164

A ampliação ficou perfeita porque ele dobrou as medidas dos segmentos e conservou as medidas dos ângulos. observe! A figura manteve exatamente a mesma forma, só aumentou de tamanho.

Ao conservar as medidas dos ângulos conservamos a forma da figura, e a multiplicação de todos os comprimentos por um mesmo número garante a proporcionalidade entre os comprimentos.

As figuras desenhadas por Luciano são figuras semelhantes.

dois círculos, por exemplo, serão sempre semelhantes.

multiplicando o diâmetro por um número qualquer obtemos um círculo semelhante ao dado.

45°

45°135°

135°

4. Semelhança

Usando papel quadriculado, Luciano ampliou o distintivo do seu time de futebol.

diâmetro 2

diâmetro 0,5

diâmetro

duas figuras são semelhantes quando todos os comprimentos de uma delas são iguais aos da outra, multiplicados por um número constante. Se há ângulos, os ângulos correspondentes de duas figuras semelhantes devem ser congruentes.

Ilust

ra C

arto

on

DAE


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Semelhança de polígonos

dois polígonos são semelhantes se existe uma correspondência entre os vértices de maneira que os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

observe os pentágonos i e ii .Podemos estabelecer uma correspondência entre os vértices, pois:• os ângulos correspondentes são congruentes;

BA BF

BB BG

BC BH

Bd B i

Be B J

• os lados correspondentes são proporcionais.

ABFG

BCGH

CdHi

deiJ

eAJF

ABFG

4,82,4

2

BCGH

3

1,5 2

CdHi

3,21,6

2

deiJ

3

1,5 2

eAJF

4,82,4

2

Portanto, os pentágonos i e ii são semelhantes. A razão constante é a razão de seme-lhança. nesse caso a razão de semelhança é 2. o pentágono foi reduzido na razão de 2 para 1.

A definição de polígonos semelhantes é compatível com a definição de figuras semelhantes. observe que os ângulos são mantidos e os comprimentos são todos multiplicados por um mesmo número constante. nesse exemplo, todos os comprimentos foram divididos por 2, o que equivale a multiplicar por 0,5.

As razões são todas iguais a 2.

i

A

D C

E B

80o

120o 120o

110o110o

4,8 cm4,8 cm

3 cm 3 cm

3,2 cm

F

I H

J G

80o

120o 120o

110o110o

2,4 cm2,4 cm

1,5 cm 1,5 cm

1,6 cm

ii

Ilust

raçõ

es: D

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166

BC BFBB BBe BA Bd

os triângulos ABC e deF são semelhantes, ou seja, �ABC~ �deF, pois os ângulos correspon-dentes são congruentes:

Símbolo de semelhança

Há um símbolo para indicar semelhança: ~no caso dos pentágonos i e ii , escrevemos ABCde ~ FGHiJ (o pentágono ABCde é se-

melhante ao pentágono FGHiJ).Veja mais um exemplo:

4 cm

1,5

cm 2,5

cm

3 cm

140º

110º

70º 110º

70º

140º40º

40º

2,5 cm

5 cm

2 cm 4 cm

A

105º45º 30º 45º

105º

30º3,0 cm

1,6 cm 2,2 cm

B

2,4 cm

4,5 cm E

3,3 cm

D

FC

Olhe os paralelogramos que eu tracei. Dobrei as medidasdos lados, mas mudei os ângulos.

Os polígonos não são semelhantes!

É preciso verificar as duas condições para a semelhança. Veja os retângulos que traçamos: os ângulos

correspondentes são congruentes, mas as medidas dos lados não são propor cionais. Logo, os retângulos não são semelhantes.

e as medidas dos lados correspondentes são proporcionais.

ABde

2,23,3

23

BCeF

3

4,5

23

CAFd

1,62,4

23

A razão entre as medidas dos lados correspondentes é constante.

A razão de semelhança é 23

.

isso significa que o triângulo ABC foi ampliado na razão 2 para 3.

��

��

��

��

��

Ilust

raçõ

es: D

AE

Lápi

s M

ágico


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Exercícios

7QualéaampliaçãodafiguraA?A figura B.

8Observeospolígonosrepresentadosabaixo.

9Qualdosseguintesprocessosnãopermiteconstruirumafigurasemelhanteaoutra?

Figuras semelhantes

Congruentes

Ampliação

Redução

x

Leiaotextodalousa.

10Sílviaampliouumafotografiadeseusdoisfilhosparacolocarnumporta-retratos.

6Utilize papel quadriculado para ampliarparaodobroafiguradada.

Quaissãoosparesdefigurascomamesmaforma?A e G; B e d; C e H; e e F.

a)Afotocópia.

b)Afotocópiaampliada.

c)Afotocópiareduzida.

d)Osespelhosplanos.

e)Osespelhosesféricos.

f)Ampliação ou redução de uma figura porcontagemdequadradinhos.

Afotografiaoriginaleraumretângulocom14cm×8cmeSílviapediuumaampliaçãode 50%. Quais são as dimensões da fotoampliada? 21 cm × 12 cm

Digi

tal V

ision

A C

HGFE

D

AC

B

E

D

B

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

raçõ

es: D

AE


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168

13Quaisdevemserasmedidasdos ladosedosângulosdoparalelogramomenorparaqueelesejasemelhanteaomaior?• Ângulos: 70°; 110°; 70°; 110°. • Lados: 0,5; 1; 0,5; 1.

•Quaisdevemserasmedidasdosladosedosângulosdeumparalelogramosemelhanteaomaior de modo que a razão de semelhançaseja3? • Ângulos: 70°; 110°; 70º; 110°.

• Lados: 6; 12; 6; 12.

110º

70º

70º

110º

4

2

0,5

x

12Dois polígonos são semelhantes, sendoqueosladosdopolígonomaiormedemodo-brodosladosdopolígonomenor.Nessecaso,osângulosdopolígonomaior:

a) são congruentes aos ângulos do polígonomenor.

b) medemametadedosângulosdopolígonomenor.

c) medemodobrodos ângulosdopolígonomenor.

d) medemoquádruplodosângulosdopolígo-nomenor.

11Ospolígonos seguintes são semelhantes.Calculeoscomprimentosindicados(aunida-deusadaéocm).

x 35 cm; y 25 cm; z 35 cm; w 15 cm

a)Os retângulosAeB são semelhantes? Ex-plique.

b)Os retângulosAeCsãosemelhantes?Ex-plique.

16Estendendo o conceito de polígonos se-melhantesparaformasespaciais,troqueideiascomoscolegaseresponda.

Sim.

14Observeasfiguras.

Sim. os ângulos correspondentes são congruentes e as medidas dos lados são proporcionais 2

3 4

6 .

não, pois as medidas dos lados não são proporcionais

23

45 .

15Vimos que dois retângulos nem sempresãosemelhantes.Doisquadradossãosempresemelhantes?

a)Doiscubossempresãosemelhantes?Sim.

b)Estesblocosretangularessãosemelhantes?não.

A B C35

21

49

14

x25

w

z

y

10

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raçõ

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5. Semelhança de triângulosTriângulos são polígonos; portanto, para que dois triângulos sejam semelhantes é preciso ter os

ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.no entanto, para os triângulos, dois pares de ângulos correspondentes congruentes já garantem

as outras condições.Vamos mostrar que isso é verdade.nos triângulos ABC e deF abaixo, temos BB Be e BC BF. Como a soma das medidas dos ângulos

internos de um triângulo é 180º, temos que obrigatoriamente BA Bd.

Resta mostrar que os lados são proporcionais. Para isso, marcamos um ponto m em eF de modo que em BC e traçamos por m uma paralela a dxFx, determinando o ponto P.

observe que �ABC �Pem pelo caso ALA .

Pelo teorema de Tales, no triângulo deF temos: meFe

Pede

da congruência entre os triângulos temos que AB Pe e BC em. Substituímos na proporção

obtendo: BCeF

ABde

de modo análogo pode-se mostrar que ABde

ACdF

e concluir que:

Bm BF (ângulos correspondentes)

A

B C

A

B C

D

E F

D

E FM

P

dois triângulos que apresentam dois pares de ângulos correspondentes congruentes são

semelhantes.

Ilust

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170

E

AB

D

C8x

2 3

4y

Usando a proporcionalidade das medidas dos lados correspondentes, podemos determinar x e y.

observe na figura uma notação bastante comum para indicar a congruência dos ângulos correspondentes.

A CB Be d

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Temos que: �ABe �CBd

Construa em seu caderno pares de triângulos que tenham lados com medidas respectivamente

proporcionais. Por exemplo, um triângulo com lados de medidas 4 cm, 3 cm e 2 cm e outro com lados

de medidas 8 cm, 6 cm e 4 cm.

Responda:

1. Os ângulos correspondentes são congruentes? Sim.

2. Você construiu pares de triângulos semelhantes? Sim.

3. Dois triângulos que apresentam lados correspondentes proporcionais são semelhantes? Sim.

Lembre-se da importância da

ordem dos vértices!

Construí um triângulo ABC, sendo AB 4 cm; Â 50˚ e B̂ 30˚. Construa em seu caderno um triângulo semelhante a este.

Por exemplo, �deF, sendo de 8 cm; Bd 50º e Be 30º.

A

B C

4 cm

30º

50º

x8

24

4x 16

x 4

3y

24

2y 12

y 6

Ilust

raçõ

es: D

AE

Hélio

Sen

ator

e


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neste exemplo, vamos descobrir a medida de Axdx.

Como dxex e BxCx são paralelos, temos que:• os ângulos de medidas d e b são congruentes, pois são correspondentes.

• os ângulos de medidas e e c são congruentes, pois são correspondentes.

Ainda podemos acrescentar que o ângulo de medida a é comum aos dois triângulos.

os triângulos ABC e Ade são semelhantes. Consequentemente, os lados correspondentes têm medidas proporcionais.

ABAd

BCde

Representando Ad por x e substituindo as medidas conhecidas na proporção acima, temos:

x 2x

53

5x 3(x 2)5x 3x 62x 6

x 3

Não, você vai ver que é fácil! Partiremosda informação de que o segmento DE é

paralelo ao segmento BC.

Ih! Complicou!

Vamos examinar os ângulos dos triângulos ABC e Ade.

Quando traçamos um segmento paralelo a um dos lados de um triângulo, obtemos um triângulo semelhante ao primeiro. essa pro-priedade vale para qualquer triângulo.

A B

C

H

DE

G

F

Daniel desenhou um hexágono ABCDEF e traçou GH paralelo

a ED. Observou que ficou determinado outro hexágono: ABCHGF.

Pense e responda justificando: os dois hexágonos são se-

melhantes? não. os lados correspondentes não são proporcionais.

A

B C

D E3

5

a

x

d e

b c

2

Lápi

s M

ágico

Ilust

raçõ

es: D

AE


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172

Exercícios

21Nafigura,temosDE//BC.

43

5

6

x

y

x 36 e y 12

3015

24y

x18

A xC 10

15

18

D

E

B

R S

U V

T21

5

15

x

x 12

1815

x10

⇒ x 8x 4

x12 6

12

⇒ y 2412 6

12y

16

P 12 24 18 54

P 8 16 12 36

P 4 24 6 16 50

x 10y 8

x5

63

y4

63

17Determinexey,sabendoqueostriângu-lossãosemelhantes.

18OesquadroqueaprofessorausanoquadroéumaampliaçãodoesquadrodaVeranarazão3.

a) Determineamedidadostrêsângulosdoes-quadrodaprofessora.90o, 60o e 30o

b)Determineamedidadostrêsladosdoesqua-drodaprofessora.28,5 cm, 48 cm e 55,8 cm

c) Determineamedidadostrêsladosdeumes-quadrosemelhanteaodaVeraemquearazãoseja3

2.

19Determinexey,sabendoqueostriângu-lossãosemelhantes.

20Se os ângulos com “marcas iguais” sãocongruentes,determinex.

a)

b)

a)Qualéovalordex?

b)Qualéovalordey?

c)Qualéoperímetrodo�ABC?

d)Qualéoperímetrodo�ADE?

e)QualéoperímetrodotrapézioDBCE?

x 7

21x

155

14,25 cm, 24 cm e 27,9 cm

30 x15 18

y

24

B30°

A

C

60°

9,5

cm

18,6 cm

16 cm

x

D

4

B

12

6

y

A

16 E

C

observação: as figuras não respeitam as medidas utilizadas.

Hélio Senatore

Hélio Senatore

Ilust

raçõ

es: D

AE


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esses triângulos são semelhantes, pois:B Q 90º (o poste e o bastão são perpendiculares ao solo);C R (os raios do Sol são paralelos).Agora é só usar a proporcionalidade entre as medidas dos

lados correspondentes dos dois triângulos:

x1

3,20,8

0,8x 3,2

x 3,20,8

x 4

Vamos usar a semelhança de triângulos para calcular a altura aproximada do mastro

da bandeira?

Considerando os raios do Sol aproximadamente paralelos, podemos

imaginar dois triângulos que representam matematicamente essa situação.

É isso, pessoal! O poste tem altura aproximada de 4 m.

6. Aplicando a semelhança de triângulos1. o professor Jorge fixou um bastão de madeira com 1 metro de comprimento ao lado do mastro da Bandeira nacional que fica no pátio da escola. Veja a ilustração:

em seguida, o professor pediu aos alunos que medissem o comprimento da sombra do mastro e da sombra do bastão.

3,2 msombra

do mastro

0,8 msombra

do bastão

1 m

A

B

x

1 m

3,2 m 0,8 mC Q

P

R

ˆ ˆˆˆ

Lápi

s M

ágico

Lápi

s M

ágico

Lápi

s M

ágico

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

on

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174

Se os triângulos são semelhantes, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais:

1812

h3

12h 54

h 5412

92

4,5 A coluna tem 4,5 m de altura.

2. num terreno em declive foi construída uma rampa plana, e uma plataforma é sustentada por duas colunas paralelas, como você vê na ilustração ao lado.

Aplicando a semelhança de triângulos, é pos-sível calcular a medida h da altura da coluna, que ficou faltando no desenho.

Primeiro, apresentamos o modelo matemático para a situação:

Brincando com sombras

Mariana tem 1,40 m de altura. Ela mediu o

comprimento da sua sombra como vemos na ilus-

tração.

Calcule o comprimento da sombra de alguns

dos amigos dela no mesmo dia e à mesma hora.

Nome Marcos Adriana Rafael

Altura 1,60 m 1,48 m 1,56 m

Junte alguns amigos e brinquem com as som-

bras, como a Mariana!

1,75 m

1,40 m

2 m 1,85 m 1,95 m

Quando traçamos uma paralela a um dos lados de um triângulo, obtemos um triângulo semelhante ao original. É isso o que ocorre nessa situação: as colunas são paralelas, ou seja, B xCx é paralelo a d xex.

Temos então �ABC ~ �Ade.

rampa

12 m

18 m

3 m

h

3 mh

B

C

A

18 m

12 m

E

D

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on

DAE


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Exercícios

300 metros

1,20 m

x 2x

41,50

100400

75x

x 300

22Oscomprimentosdosladosdeumtriângu-losão3cm,4cme5cm.Calculeoscompri-mentosdosladosdeumtriângulosemelhantecujoperímetroé18cm.4,5 cm; 6 cm e 7,5 cm

23Qualéaalturadaárvore,deacordocomafigura?22,5 m

430

3x

24Umedifícioprojetaumasombrade10maomesmotempoqueumpostede12mpro-jetauma sombrade4m.Qualéaalturadoedifício,sabendoqueoedifícioeopostesãoperpendicularesaosolo?24 m

x12

84

25Certanoite,umamoçade1,50mdealturaestavaa2mdedistânciadeumposteverticalde4mdealturacomumaluznotopo.Qualéocomprimentodasombradamoçanochão?

26(Cefet-RS)Doistopógrafos,aomediremalarguradeumrio,obtiveramasmedidasmos-tradasnodesenhoabaixo.

27Qualéaalturadeumaestátuaqueprojetaumasombrade6m,sabendo-sequeseupe-destalde1,5mprojetaumasombrade2m?Resolvaemseucaderno. 4,5 m

Qualéamedidadalarguradorio?

x 1,56 2

1,52

4 m

12 m

8 m

x

75 m400 m

100 m

4 m

1,50 m

2 m x

30 m4 m

3 m

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: I

lust

ra C

arto

on

1,5 m

x

2 m6 m


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Seçãolivre

176

Tales de Miletoera grego, nasceu por volta de 624 a.C. na

Jônia, em uma localidade que hoje pertence à Turquia.

Se Tales escreveu alguma obra, esta não re-sistiu ao tempo. no entanto, informações sobre sua história passaram de geração em geração e ele é considerado um grande matemático e filósofo. muitas das realizações atribuídas a ele ficaram conhecidas posteriormente nas obras escritas por historiadores gregos como Heródoto.

Consta que foi um bem-sucedido comer-ciante e que, por conta disso, viajou muito. Aprendeu Geometria com os egípcios e relata--se que calculou a altura da pirâmide de Quéops a partir do comprimento da sombra da pirâmide e da sombra de um bastão fixado verticalmente no solo (num procedimento parecido com o que utilizamos para calcular a altura do mastro da bandeira).

Atribui-se a ele uma inteligência rara e a des-coberta de fatos importantes da matemática.

Tales, Anaximandro e Anaxímenes são consi-derados os principais pensadores da cidade de mileto, cujas ideias foram importantes para a ciência e a filosofia ocidentais.

◆ G. Weng. Thales de Mileto, 1820. Gravura.

AKG

-Imag

es/L

atin

Stoc

k

28(Vunesp)Nafigura,vocêvêumtriânguloABC construído com pedaços de canudinhodeplástico,todosdemesmotamanho.

A B

C

Usandooutrospedaçosdecanudinhodemesmotamanho,construiu-seoutrotriânguloDEFcomosladosDE,EFeDFrespectivamenteparalelosaosladosAB,BCeCAdotriânguloABC,sendoquenoladoDEgastaram-seoitopedaçosdeca-nudinhos.OperímetrodotriânguloDEFcontémumtotaldepedaçosdecanudinhosiguala:a)15 c) 17

b)16 d)18• 8 6 4 18

29(Saeb-MEC)Aprofesso-radesenhouum triângulo,comonoquadroaolado.Emseguida,fezaseguintepergunta: “Se eu ampliaresse triângulo 3 vezes,como ficarãoasmedidasde seus lados e de seusângulos?”.Algunsalunosresponderam:• Fernando:“Osladosterão3cmamaiscada

um.Jáosângulosserãoosmesmos”.

• Gisele:“Osladoseângulosterãosuasme-didasmultiplicadaspor3”.

• Marina:“Amedidadosladoseumultiplicopor3eamedidadosânguloseumantenhoasmesmas”.

• Roberto:“Amedidadabaseseráamesma(5cm),osoutrosladoseumultiplicopor3emantenhoamedidadosângulos”.

Qualdosalunosrespondeucorretamenteaperguntadaprofessora?marina.

x

5 cm

8 cm 8 cm

Hélio Senatore

DAE


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Revisando

r

a

b

d

c

s

30Calculementalmenteovalordex.

31Na Bandeira Nacional, se dividirmos ocomprimento pela altura, o resultado será

sempre 107

. Qual deve ser a altura de uma

bandeirade6mdecomprimento?4,20 m

107

6x

32Estearmáriodecozinhaestádesenhadonarazãode1para18.

Meçacadacomprimentoindicadoecalculeocomprimentorealcorrespondente.

33Asduaspipassãosemelhantes,sendo1,5arazãodesemelhança.Qualéocomprimentodasdiagonaisdapipamaior?36 cm; 57 cm

34Qualdasafirmaçõesestáincorreta?

a)Doistriângulossãosempresemelhantes.

b)Todososquadradossãosemelhantes.

c)Dois triângulosequiláteros são sempre se-melhantes.

d) Paraquedoistriângulossejamsemelhantes,bastaquetenhamdoisânguloscorrespon-dentescongruentes.

x

2

8

y

4

6

3

z

35Omapaabaixomostraquatroestradaspa-ralelasquesãocortadasportrêsviastransver-sais.Calculeasdistânciasentreoscruzamen-tosdessasvias,supondoasmedidasemkm.

x

24 cm38 cm

28

y4

14

3z

x2

63

⇒ z 12

⇒ y 1

⇒ x 4

2

84

6

3

z

y

x

a 50,4 cm; b 30,6 cm; c 126 cm;d 81 cm; r 57,6 cm; s 27 cm

a)3

15

x5

1 c) x1

5

810

3

b)8x

123

2 d)x2

7

37

5

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

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178

1 2 3 4 5 5 m

6 m

630

x20

x 4

1,51,85

x6,1

x 4,95

36(Comperj) Na figura abaixo estão repre-sentadas cinco ruas do bairro onde moramJoão,Marcos,Pedro,VitoreSamuel.Aloca-lizaçãodacasadecadameninoéidentifica-dapelainicialdeseunome.NaesquinadasruasAeDficaaescolaondetodosestudam.Sabe-sequeasruasA,BeCsãoparalelasequetodososmeninosvãoapéparaaesco-la, semprepelo caminhomais curto. Se Sa-muelcaminha100matéaescola,Vitorca-minha260m,Joãocaminha180meMarcos,270m,qualéadistância,emmetros,quePe-dropercorredesuacasaatéaescola?

18090

160x

37AalturadaRaquelé1,50m.Qualéaaltu-radaárvore? 4,95 metros (aproximadamente)

38(Saresp)Observeoslosangosabaixo.

Quaisdesseslosangossãosemelhantesentresi?i e iii

39Considereumapraçaemqueascalçadasquemedem50me60msãoparalelas.Aquedistância do ponto do ônibus se encontra opassageiro?30 m

40(Unisinos-RS) O ponto mais alto de umarampa,emrelaçãoaosolo, ficaa6m.Elaésustentadapor6pilaresdistantesumdooutro5medistribuídosconformeafigura.Despre-zandoalarguradospilares,qualéaalturado3opilar,emmetros?4 m

a)280m

b)300m

c)340m

d)460m

iii

Rua D Rua E

Rua A

Rua B

Rua C

ESCOLAS

J V

M P

x

120º 150º

60º90º

2 cm2 cm

3 cm3 cm

120º 150º

60º90º

2 cm2 cm

3 cm3 cm

iii iV

4,25 m1,85 m

passageiro

ponto de ônibus

50 m

60 m

5 m

xx 5

5060

⇒ x 25

então: 25 5 30

6

Hélio

Sen

ator

eHé

lio S

enat

ore

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

raçõ

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Medindoos ângulos encontrei: 30o e80o emum lote e 80o e 70o em outro. Pude, então,concluirque:

a)osdoislotessãoiguais.

b) os lotes são diferentes, mas têm o mesmoperímetro.

c)oslotestêmamesmaárea.

d)aáreadeumloteéodobrodaáreadooutro.

e)oslotestêmosladoscommedidaspropor-cionais.

x

os triângulos AdB e AeC são semelhantes.

⇒ ⇒ x 20,5 ABAC

BdCe

12,312,3 x

1,54

DesafiosDesafios41 (Saresp) No desenho abaixo estão repre-sentadososterrenos i , ii , iii .

2415

x20

x 32

Quantosmetrosdecomprimentodeveráteromuroqueoproprietáriodoterreno ii cons-truiráparafecharoladoquefazfrentecomaRuadasRosas?32 metros

42Qualéalarguradestarodovia?17,3 metros (aprox.)

4,526

3x

x 17,3 (aprox.)

43Calculeovalordex.

⇒ x 68

6 xx

247

45(SEE-RJ)Encontreiumpedaçodaplantadeumloteamento.

46(Unicamp-SP) Uma rampa de inclinaçãoconstante,comoaquedáacessoaoPaláciodoPlanalto,emBrasília,tem4metrosdealturanasuapartemaisalta.Umapessoa,tendocome-çadoasubi-la,notaqueapóstercaminhado12,3metrossobrea rampa,estáa1,5metrode altura em relação ao solo. Calcule quan-tosmetrosapessoaaindadevecaminharparaatingiropontomaisaltodarampa.20,5 m

44Um azulejo quadrado pesa 80 gramas.Quantopesaráoutroazulejo,domesmoma-terial e com a mesma espessura, cujos ladossejamtrêsvezesmaiores?720 g

• (3x)2 9x2 9 80 720

lote A lote B

Planta dos lotes triangulares A e B

ii

i

iii

4,5 m

26 m3 m

x

x6

8

observação: as medidas dessa figura não são proporcionais aos valores indicados.

C

A E

12,3

B

1,5

x

D

4

Ilust

raçõ

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Hélio

Sen

ator

e


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Exercícios

180


51(Saresp)Doisterrenosretangularessãose-melhantes,earazãodesemelhançaé 2

5.Seo

terrenomaiortem50mdefrentee150mdecomprimento,quaissãoasdimensõesdoter-renomenor?

a) 25me75m

b) 20me60m

c) 25me30m

d) 5me15m

47Ovalordex nafiguraabaixoé:

a) 28

b) 29,5

c) 33,8

d) 36,5

52(Saresp)Três terrenos têm frentes para arua AefundosparaaruaB,comonafigura.AsdivisaslateraissãoperpendicularesàruaA.Sabendo-sequeasomadasmedidasdosfun-dosdessesterrenosé180m,qualamedidadofundodecadaterreno?

x

13x

1026

x

x

Rua

50 m

150 m

50 20

150 60

25

25

x

y

x

Rua B

Rua A20 m30 m40 m

x

1804090

y

1803090

z

1802090

13 10

26 x

48(ETF-SP)Doislotesestãorepresentadosnafi-guraabaixo.CalcularasmedidasdefrenteparaaruaRdecadaumdosterrenos,respectivamente.

a) 15me26m c) 22me33m

b) 21me32m d) 23me34m

49A sombra de uma árvore mede 4,5m. Àmesmahora,asombradeumbastãode0,6m,mantidonavertical,mede0,4m.Aalturadaárvoreé:

a) 3m c) 4,8m

b) 5m d) 6,75m

50(Fuvest-SP)Asombradeumpostevertical,projetadapeloSolsobreumchãoplano,mede12m.Nessemesmoinstante,asombradeumbastãoverticalde1mdealturamede0,6m.Aalturadoposteé:

x1

120,6

x 20

a) 12m c) 72m

b) 20m d) 7,2m

x

x

r // s // t

x0,6

4,50,4

x 6,75

s

t

r

2030

x

x 11

x

x 11

20 m

Rua R

Rua P30 m

a) 60m,90m,30m c) 70m,50m,60m

b) 65m,65m,50m d) 80m,60m,40m

4,5 m0,4 m

0,6 m

12 m 0,6 m

1 m

observação: nas atividades 49 e 50, as medidas não são proporcionais aos valores indicados.

x

x

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

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r e l a ç õ e s m é t r i c a s n o s t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s 181

UNIDADE 7UNIDADE

Fern

ando

Fav

oret

to

Relações métricas nos triângulos retângulos1. O teorema de Pitágoras

Observe o espaço ao seu redor. identifique ângulos retos nos objetos e construções.Os ângulos retos têm importância fundamental, não é?Desde muito cedo em sua história, a humanidade utiliza ângulos retos para demarcar terras,

construir casas, templos etc.Hoje construímos ângulos retos de várias formas:

Anse

lmo

Jr

Hélio

Sen

ator

e

DAE

Ilust

ra C

arto

on

PrAtiCAnDO mAtemÁtiCA 9O AnO eDiçãO renOVADAPnLD 2014 – mac 4

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182

Os antigos egípcios usavam um triângulo com lados de medidas 3,4 e 5 unidades para determinar um ângulo reto. Veja:

numa corda faziam 13 nós igualmente espaçados.

O primeiro nó era fixado no solo com uma estaca.

Com estacas no quarto e no oitavo nós, formava-se o triângulo, como você vê ao lado.

Os egípcios sabiam que, nessa situação, o ângulo assinalado era reto. eles sabiam que um triângulo com lados de medidas 3, 4 e 5 era retângulo.

Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo. Os babilônios foram além: des-cobriram uma relação importante entre as medidas dos lados dos triângulos retângulos. Vamos ver?

3

4

5

Trace em seu caderno um triângulo cujos la-

dos meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm. Meça seus ângulos

internos. O triângulo é retângulo? Sim.

O quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores.

Vamos examinar o triângulo de lados 3, 4 e 5.Há uma relação entre as medidas dos lados desse triângulo:

52 42 32

25 16 9

3

3

9

25

16 4

4

5

5

Observe os quadrados que construímos sobre cada lado do triângulo de lados 3, 4 e 5.

Some as áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados. Você deve ter observado que:

16 9 25

A área do quadrado construído sobre o maior lado é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados.

Qual é a área do quadrado de

maior lado? 25

Ilust

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Hélio

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Observamos a relaçãoentre as medidas dos lados de um triângulo retângulo

específico, de lados 3, 4 e 5. Há como provarmos que essa

relação vale para qualquer triângulo retângulo?

a: medida da hipotenusa

b: medida de um cateto

c: medida de outro cateto

b

ac

Há muitas formas de provar que sim. Você vai acompanhar uma delas!

ca

b

num triângulo retângulo, chamamos os lados que formam o ângulo reto de catetos. O lado oposto ao ângulo reto (lado de maior medida) chama-se hipotenusa.

Vamos mostrar que, num triângulo retângulo qualquer, temos que a2 b2 c2 .

Com quatro triângulos retângulos congruentes, construímos um quadrado de lado (b c).A área desse quadrado é igual à soma das áreas dos quatro triângulos com a área do quadrado

de lado a. isto é:(b c)2 4 A

a2

b2 2bc c2 4 b c

2 a2

b2 2bc c2 2bc a2

Subtraindo 2bc de ambos os membros da igualdade:b2 c2 a2 ou a2 b2 c2 em palavras, provamos que:

b c

c b

c

b

b

c

a

a

a

a

Grego? Não foram os babilônios que descobriram essa

relação?

De fato, os babilônios conheciam e usavam essa

relação para resolver problemas muito antes da

época de Pitágoras.

No entanto, a prova de que ela vale para todo triângulo retângulo foi apresentada pela primeira vez por

Pitágoras e seus seguidores.

em todo triângulo retângulo, o quadrado da me-dida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

essa relação é conhecida como teorema de Pitágoras, que foi um filósofo e matemático grego.

Lápi

s M

ágico

Lápi

s M

ágico

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184 184

Falando de Pitágoras

Assim como acontece com tales, as infor-mações sobre a vida de Pitágoras misturam lenda e realidade. estima-se que Pitágoras nasceu na Grécia entre 590 e 570 a.C. Duran-te sua juventude, viajou e aprendeu muito.

Sem dúvida, foi um homem brilhante, pois a escola fundada por ele em Cretona, colônia grega localizada no sul da itália, teve papel importantíssimo no desenvolvimento da matemática. Os pitagóricos, como eram chamados, dedicaram-se também à música, à filosofia e à astronomia.

Curiosidade!

Como dissemos, há muitas maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras. Você viu uma delas. Um professor de matemática norte-americano, elisha Scott Loomis, colecionou durante 20 anos diferentes demonstrações do teorema de Pitágoras. ele organizou e publicou essas demonstrações em 1927, no livro The Pythagorean Proposition (A Proposição de Pitágoras). na sua primeira edição, o livro continha nada mais nada menos do que 230 demonstrações desse teorema. em 1940, quando publicado em segunda edição, esse número aumentou para 370.

Fonte <www.rpm.org.br/conteudo/74/pitagoras.pdf>.

Acesso em abr. 2011.

◆ Rafael. A escola de Atenas, 1506-1510. Afresco, 500 700 cm.

Pala

zzo

Del V

atica

no, R

oma

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira:• Se em um triângulo, o quadrado da medida do maior lado é igual à soma dos quadrados das

medidas dos outros dois lados, então este triângulo é retângulo.

Sim, basta averiguar se as medidas verificam o teorema de Pitágoras:

medida do maior lado: 17 cm

É só verificar se 172 152 82:

172 289

152 225 e 82 64

Como 289 225 64, concluímos que o triângulo é retângulo.

Posso descobrir, sem desenhar, se o triângulo de lados 17 cm, 15 cm e 8 cm é

um triângulo retângulo?

Hélio

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a 25 cmb 15 cmc ?a2 b2 c2

625 225 c2

c2 625 225 c2 400

c 400

c 20 cm

Fern

ando

Fav

oret

to

O teorema de Pitágoras é importantíssimo, tem muitas aplicações e aparece em diversos tipos de exercícios. Vamos ver alguns exemplos?

Lembre-se: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. É

o lado de maior medida.

A peça que sustenta essa prateleira tem a forma de um triângulo retângulo e é conhecida por “mão francesa”.

Fizemos um modelo com as medidas conhecidas da peça.Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos determinar

a medida que falta no desenho.

Vamos usar oteorema de Pitágoras para

descobrir as medidas dos lados desse triângulo. As medidas

estão em centímetros.

1.

2.

x 1 1x

x 2 7

Hipotenusa: a x 1Catetos: b x e c x 7Por Pitágoras:(x 1)² x² (x 7)²x² 2x 1 x² x² 14x 492x 1 x² 14x 49x² – 16x 48 0 256 192 64

x 16 8

2

x1 12

x2 4

x 4 não serve, pois teríamos x 7 –3, e não existe medida de comprimento negativa.Descobrimos que os lados do triângulo medem 12 cm, 13 cm e 5 cm.

Vamos desenvolver os produtos notáveis!

c

25 cm15 c

m

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Car

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3. Uma porteira de fazenda terá a forma de retângulo. Para dar rigidez à estrutura, uma barra de madeira será colocada na diagonal do retângulo, como você vê no projeto do carpinteiro.

Com as medidas dadas, podemos calcular o comprimento da barra usando o teorema de Pitágoras:

a ?b 2 mc 1,5 ma2 22 1,52

a2 4 2,25 6,25a 6,25a 2,5 m

a1 cm

2 cm

a2 12 12

a2 2a 2 cm

a

1 cm

1 cm

a1 cm

2 cm

A barra deve ter 2,5 m de comprimento.

4. Você sabe que 2 é um número irracional: tem infinitas casas decimais e não apresenta pe-ríodo. Diante disso, como construir um segmento de reta de medida 2 cm?

O teorema de Pitágoras nos ajuda nessa tarefa:traçamos um triângulo retângulo em que ambos os catetos medem 1 cm.A hipotenusa desse triângulo mede 2 cm.

na reta numérica...

... aplicando essa ideia, localizamos, com auxílio do compasso, o ponto que representa o número irracional 2.

1 0 1

1

2

Para traçar um segmento de medida 3 cm, transportamos com compasso o segmento de medida 2 cm, construímos o triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm e 1 cm. A hipotenusa desse triângulo mede 3 cm.

a2 12 ( 2)2 a2 3a 3 cm

Com base nos exemplos acima, determine em seu caderno um segmento de medida 5 cm.a2 12 22

a2 5

a 5 cm

2

2

2 m

a ?

1,5

m

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Exercícios

1 Calculeovalordexnostriângulosretângulos.

a) x 10 c) x 3

3x

x

12

9

4x

20

b) x 15 d) x 4

x

4

5

2Afiguramostraumedifícioquetem15mdealtura.Qualéocomprimentodaescadaqueestáencostadanapartesuperiordoprédio?17 m

d2 82 152

d 17

3Calculeovalordexnostriângulosretângulos.

a) x 5 b) x 3

x


a) x 3 b) x 5

x2x x 5

6

x 3

5UmapessoapercorreatrajetóriadeAatéC,passandoporB.Qualfoiadistânciapercorrida?

5. (AB)2 302 402

AB 50(BC)2 602 802

BC 100então: 50 100 150

150 m

6Afiguramostraumaantenaretransmissorade rádiode72mdealtura.Elaé sustentadapor3cabosdeaçoqueligamotopodaantenaaosolo,empontosqueestãoa30mdopédaantena. Qual é a quantidade aproximada decabo,emmetros,queserágastaparasustentaraantena?234 m

a2 722 302 a 783 78 234

2

3

33

8 m

6

8

x

30 m

30 m

30 m

40 m

80 m

30 m

60 m

6

x53

B

A

C

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2. Teorema de Pitágoras, quadradose triângulos

1. traçamos uma diagonal d do quadrado ABCD de lado �. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ADC:

�2 � �

2 �2

h2

�2 �2

4 h2 Usando frações equivalentes, podemos escrever:

4�2

4

�2

4

4h2

4 multiplicando ambos os membros da igualdade por 4:

4�2 �2 4h2 Subtraindo �2 de ambos os membros da igualdade:

3�2 4h2

3�2

4 h2

d2 �2 + �2

d2 2�2

d 2�2

d 2 �2

d 2 � ou

d � 2

�

B A

C D

d �

Não é necessário. Aplicando o teorema

de Pitágoras, podemos deduzi-las facilmente.Vou ter de saber

de cor essas fórmulas?

2. traçamos um eixo de simetria no triângulo equilátero ABC, cujo lado mede �. A altura h ficou

determinada e temos Bm mC �

2.

O triângulo AmC é retângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

Para obter a medida da altura de um triângulo equilátero,

multiplicamos a medida do lado por 3 e dividimos por 2.

h�

B M C�2

�2

A

h 34

3

4

2 2� ��

⋅

h =⋅� 3

2h

Se d � 2, então d�

2 1,414213…, ou seja, a razão entre a medida da diago-

nal de um quadrado e a medida de seu lado é constante e não é um número racional.

Os seguidores de Pitágoras não usavam a notação de raiz, nem a notação de-cimal, mas, por mais que tentassem, não conseguiram expressar essa relação por meio do quociente entre dois números naturais. isso os intrigou muito!

�

Para obter amedida da diagonal de

um quadrado, multiplicoa medida do lado doquadrado por 2.

Lápi

s M

ágico

Lápi

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ágico

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3. Observe o desenho: nessa praça circular, de raio 20 m, o quadrado colorido de laranja vai ser gramado.

Quantos metros quadrados de grama serão necessários?no modelo matemático para essa situação, temos um

quadrado de lado � inscrito numa circunferência de raio 20 m.Precisamos determinar a área do quadrado, ou seja, pre-

cisamos determinar A �2 .O diâmetro dessa circunferência é de 40 m, certo?e o diâmetro dessa circunferência corresponde à diagonal

d do quadrado.

Como descobrimos que d � 2, temos 40 � 2ou, ainda, elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado:

60 cm 60 cm

60 cm

h

60º

60 cm

60 cm

60º60º

60º 60º60º

A área do tampo hexagonal é igual a seis vezes a área do triângulo.

Ahexágono 6 900 3 5 400 3. Fazendo 3 � 1,7, obtemos A � 9 180 cm2.

Como 1 m2 10 000 cm2, convertemos a área para metros quadrados: 9 180 cm2 0,918 m2.

Concluímos que, com aproximadamente 0,92 m2 de fórmica, o marceneiro fará o serviço.

1 600 (� 2)2

1 600 �2 ( 2)2

1 600 �2 2

�2 800

�2 é a área do quadrado que será gramado. então, serão necessários 800 m2 de grama.

4. O tampo de uma mesa tem a forma de um hexágono regular de lado 60 cm.

Vamos ajudar o marceneiro a calcular quantos metros quadrados de fórmica ele precisa comprar para revestir a face superior do tampo.

Podemos decompor o hexágono em seis triângulos equiláteros con-gruentes, de lado 60 cm.

Descobrimos que a altura do triân-gulo equilátero pode ser calculada

fazendo h � 3

2. Como � 60 cm, temos:

h 60 3

2 30 3 cm

A área de cada triângulo será A b h2

60 30 3

2 900 3 cm2.

d�

�

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Exercícios

b) d)

y 4

y 2 11

x 10

y 15, x 25

8Determineamedidados segmentos indi-cadosnasfiguras.

a) c)

7Quaisdassequênciasdevaloresaseguirsãomedidasdosladosdeumtriânguloretângulo?a)7cm,9cm,12cm

b)12cm,16cm,20cm

c)12cm,5cm,13cm

d)21cm,28cm,30cm

x

x

9Determineamedidadaalturadecadaumdostriângulos.

10A soma dos quadrados dos três lados deum triângulo retânguloé igual a32.Quantomedeahipotenusadotriângulo?a)3

b)4

c)5

d)6

x

(i) Sabemos que a² b² c² 32(ii) temos que: a² b² c²Substituindo (ii) em (i), fica:2a² 32a² 16 ⇒ a 4então, a medida da hipotenusa é 4.

11(Fuvest-SP)Umtrapézioretângulotembases5cme2cmealtura4cm.Operímetrodessetrapézioé:a)14cmb)15cmc)16cmd)17cm

12Umquadradoeumtriânguloequiláterotêmperímetros iguais. Se a diagonal do quadradomede9M2cm,entãoaalturado triângulo,emcm,é:a)2M3

b)4M3

c)6M3

d) M32

13(Saresp)ConsidereotriânguloretânguloABCinscritoemumacircunferênciadecentroO.Sa-bendoqueAB=36cmeAC=15cm,ovalordeAOé:a)18cm

b)39cm

c) 212

cm

d) 392

cm

14 (SEE-SP) Para ir do ponto central O até opontoB,localizadosnumapraçadeformatocir-cular,dediâmetroiguala40m,PedrofoiatéopontoA,edaliseguiuemlinharetaatéopontoB,conformeindicadonafigura.Nessecaso,Pe-drocaminhou:a)15m

b)25m

c) 35m

d) 40m

x

x

x

AB 32 42 5P 5 5 4 2 16

x² x² (9 2)2

2x² 2 · 81x 9h² 6² 12²h² 108h 6 3

x

(BC)² 36² 15²

BC 39

AO BC2

392

(AB)² 15² 20²

AB 25

15 25 40

8

6x

5

3y

6

Triângulo isósceles

25 cm

20 cm30 cm

Triângulo equilátero

10 M3

20 cm

A

B CO

8

5y

11

209

12

yx

ab

c

B

5 mA O

D 2 A

4

C 2 3 B

9M2

x

x

h 12

6

4

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Exercícios

19 (Ceeteps-SP)Seisestaçõesespaciaisestãolocalizadasnummesmoplano,umaemcadavérticedeumhexágonoregulardelado200km.Umadasestaçõesinformaaexistênciadeumobjetonãoidentificadoqueseencontraesta-cionadonaposiçãoMentre as estaçõesA eB, conforme mostraa figura. Para des-truí-lo, um míssil élançado, em linhareta, do centro des-sehexágono.Qualadistância percorridapelomíssil?100 3 km

13121110987654321

18Qualéaáreadoquadradosombreado?50 cm2

(unidade:cm)a2 72 12

a2 49 1a2 50

d 2 1002 2002

d 100 3

20Uma parede da cozi-nha da D. Sílvia foi azu-lejada conforme mostra afiguraaolado.Vejaquefo-ramcolocados13azulejosinteiros,enfileirados.Qualéaalturaaproximadades-sa parede, sabendo quecadaazulejoéumquadra-dode15cmdelado?d2 152 152 Altura 13 15 2 � 275d 15 2 275 cm ou 2,75 m

30

40 x

16Qualéoperímetrodoterreno?380 m

x2 302 402

x 50

P 40 50 90 80 120

17(Saresp)Tenhoumpedaçodepapeldesedadeformacircularcujoraiomede20cm.Que-rofazerumapipaquadrada,domaiortamanhopossível,comessepapeldeseda.Quantome-diráoladodessequadrado?(UseM21,4.) 28 cm

P 380

�4 r 2 20 2 28

15(Vunesp)Umacriançaresolveuconfeccio-narumenvelopeutilizandoparaissodoisre-tânguloseumtriânguloretângulo.Asfiguras1e2mostram, respectivamente,esseenvelopefechadoetotalmenteaberto.Todasasdimen-sõesestãoemcm.

Deacordocomasfiguras,pode-sedizerqueaquantidademínimadepapelutilizadaemumenvelope,emcm²,seráde:a) 416 c) 512

b) 474 d) 546x

1515

9

1414 1414

14 14

envelope fechado

envelope totalmente aberto

figura 1

figura 2

x

área do triângulo 9 x

2

x

80 m

90 m

40 m

120 m

A M B

d

O

1

1 7

17

7

7

1

9

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Há outras relações entre medidas nos

triângulos retângulos.

Não dá para calcular pelo teorema de Pitágoras!

Vamos descobri-las e depois voltaremos ao

problema!

3. Relações métricas nos triângulos retângulos

nessa estrutura de telhado feita com barras de ferro, qual deve ser a medida de x?

Podemos descobrir aplicando o teorema de Pitágoras.hipotenusa: 4 catetos: 3,2 e x

42 x2 3,22

16 x2 10,24

x2 5,76

x 5,76

x 2,4

A barra mede 2,4 m.

Barras de reforço serão colocadas na estrutura. Qual deve ser a medida dessas barras?

3,2 m 3,2 m

yy

4 m 4 m

22 4 e 32 9

5,76 está entre 2 e 3. Como o último algarismo de 5,76 é 6, experimentamos 2,4.

De fato, 2,42 5,76.

Você também pode usar calculadora: digite 5,76

4 m

3,2 m 3,2 m

x4 m

3,2 m

4 mx

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traçamos a altura AH relativa à hipotenusa do triângulo retângulo ABC. Sua medida é h. repare que AH determina dois segmentos sobre a hipotenusa. eles recebem nomes especiais:

CH: projeção do cateto AC sobre a hipotenusa. medida: mBH: projeção do cateto AB sobre a hipotenusa. medida: n

Visualize os três triângulos que aparecem nesta figura:

Vamos comparar os triângulos ABC e HBA. Para facilitar, colocamos o ângulo reto na mesma posição:

A � H (ambos são ângulos retos)B é ângulo comum aos dois triângulos.Os triângulos apresentam dois ângulos correspondentes congruentes. O terceiro, automatica-

mente, também será. Os triângulos são semelhantes, ou seja, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais.

Podemos escrever:

ac

cn

multiplicando os termos da proporção em cruz: c2 a n

BB B

A

HC Bm n

b c

a

h

A

C B

bc

a

n

A

H B

ch

A

HC m

b h

A

HC Bm n

b c

a

h

A

C B

b c

a

H

A B

h n

c

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traçando esses triângulos com os ângulos correspondentes na mesma posição, fica mais fácil encontrar os lados correspon-dentes, que apresentam medidas proporcionais, e obter mais uma fórmula:

A � H (são retos).

C é ângulo comum aos dois triângulos.

ABC � HAC (As medidas dos lados correspondentes são proporcionais.)

Podemos escrever:

ab

bm

e também: ab

ch

multiplicando os termos das proporções em cruz, obtemos:

b2 a m e a h b c

Vamos comparar os triângulos ABC e HAC, colocando os ângulos retos na mesma posição:

Dois ângulos correspondentes congruentes.

h2 m n

hm

nh

B BB

C

marcamos as medidas x, y e z de ângulos que aparecem na ilustração.

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos que no triângulo HAC, x y 90º 180º, ou seja,x y 90º. também temos que, no triângulo ABC,z y 90º. Daí, x z.

Precisaremos examinar mais uma semelhança para obter a próxima relação. Observe:

Concluímos que os triângulos HBA e HAC têm dois ângulos correspondentes congruentes: x z e 90º 90º (ambos têm um ângulo reto). O terceiro ângulo será congruente, e temos HBA ~ HAC.

a

A

C B

bc

H

C A

m h

b

A

HC Bm n

b c

a

h

y z

x

H

h n

A B

z

H

C A

m

b

hx

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As fórmulas que encontramos são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo:

c2 a nb2 a m

a h b c relaciona hipotenusa, altura relativa à hipotenusa e catetos.

h2 m n relaciona a altura relativa à hipotenusa com as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Vamos voltar ao problema da estrutura metálica?

y é a medida da altura relati-va à hipotenusa do triângulo retângulo ABC abaixo.Vimos que a h b cnesse problema: a y b c

a 4 b 2,4 c 3,2

4 y 2,4 3,24 y 7,68

y 7,684

y 1,92

As barras de reforço devem ter 1,92 m de comprimento.Ainda podemos determinar a que distância do ponto C a barra de reforço deve ser fixada.essa distância é a projeção m do cateto b sobre a hipotenusa.

b 2,4 e a 4Usando a relação:b2 a m2,42 4 m 5,76 4 m

m 5,76

4 m 1,44

O ponto de fixação da barra de reforço deve estar a 1,44 m do ponto C.

relacionam cateto, sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa.

12

3

Lembra-se de que demonstramos o teorema de Pitágoras usando equivalência entre áreas?Pois também podemos chegar a esse teorema a partir das relações que acabamos de descobrir. Vamos somar membro a membro as igualdades:c2 a nb2 a mc2 b2 a n a m Colocando o fator comum a em evidência:c2 b2 a (m n) no entanto, (m n) aA igualdade fica: c2 b2 a a ou c2 b2 a2 , que é o teorema de Pitágoras.

12

3

y y

4 m 4 m

3,2 m 3,2 m

1

2

3

m

n

C

A B

y

4 m

2,4 m

3,2 m

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Exercícios

c b

18 m 32 m

b)

a) x2 9 25x 15

5 x 3 4x 2,4

x2 9 5x 3 5


c)

d)

22(Saresp)Ocartazretangulardafigurafoipre-soàparedecomauxíliodeumfio,conformeindicado.Qualéocomprimentodofio?52 cm

c2 102 242

c2 676c 26

• 2 26 52

23(Saresp)Umapraçatemaformadeumtriân-guloretângulo,comumaviadepassagempelogramado,quevaideumvérticedoânguloretoatéacalçadamaior,comoilustradopelafiguraabaixo.

Sabendoqueestaviadivideocontornomaiordogramadoemdoispedaços,umde32meoutro de 18 m, quanto mede, em metros, ocontornob?40 m

24Nafiguraabaixo,adistânciadacasaàes-tradaé1,2km.

a) Qualéamenordistânciadaárvoreàcaixa--d’água?2,5 km

b) Qualéamenordistânciadacasaàárvore?

c) Qualéamenordistânciadacasaàcaixa--d’água?2 km

1,5 km

1,22 x 1,6 x 0,9• 0,9 1,6 2,5

d2 1,22 1,62

d 2

• h2 18 32h 24

• b2 242 322 ou b2 32 50 1 600 b 40 b 40

x2 4 16x 8

d2 1,22 0,92

d 1,5

25

x

9

9

x

5

5

x3 4

x

4 16

1,6 km

1,2

km

10 c

m

48 cm

isósceles

Porfavor,façasilêncio!

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

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R E L A Ç Õ E S M É T R I C A S N O S T R I Â N G U L O S R E T Â N G U L O S 197

Revisando

d 2 � (1,2)2 � (1,6)2

d � 2

h2 � 152 � 202

h2 � 225 � 400h2 � 625h � 25

P � 20 � 15 � 15 � 25 � 15P � 90

x2 � 32 � (0,4)2

x � 3,03 (aprox.)

40 cm

6 m

x

25 Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual é o compri-mento dessa tábua, se a folha da porteira mede 1,2 m por 1,6 m? 2 m

26 Qual é o perímetro da figura? 90 cm

27 Qual é a altura do funil representado pela figura? 17 cm

• x2 � 92 � 152

x � 12• altura � 12 � 5 � 17

28 Calcule o comprimento x nesta estrutura de telhado, que tem a forma de triângulo isósceles. 3,03 m (aprox.)

29 Determine o valor dos elementos desco-

nhecidos:

a) x � 4

b)

30 Observe a figura abaixo. Azul � 10 � 8 � 18

(CE)2 � 152 � 122 ⇒ CE = 369

Um carro azul parte da cidade A para a cidade

C, passando por B. Um carro vermelho parte

da cidade E igualmente para a cidade C, mas

com o trajeto direto. Considere que os carros

se deslocam à mesma velocidade. Qual dos

carros chegará primeiro à cidade C? O carro azul.

x � 3

CB � 8

369 > 18

Observação: as medidas não são proporcionais aos valores indicados.

20 cm15 cm

15 cm

5 cm

15 cm

A

x

O

B

6x

2 13

x

x � 2

x � 1

9 cm

1,6 m

1,2 md = ?

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

raçõ

es: D

AE

4 km15

km

6 km 10 km B

D

E

A

C

Ilust

ra C

arto

on


6ª PROVAADRIANA

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198

Exercícios

h2 (1,20)2 (3,20)2 • h � 2,97

31Umaescadatem3,20mdealturaquandoestáfechada.Qualéaalturadaescadaaberta,sabendo-se que a distância máxima entre osseuspéséde2,40m?2,97 m (aprox.)

32Determineamedidadoapótemaeame-didadoladodeumhexágonoregularinscritonumacircunferênciaderaioiguala4 3cm.Lado: 4 3 cm e apótema: 6 cm. 2

224 3

24 3� � ( )( )a

• a 6

raioapótema

lado

Apótema de um polígono regular é o segmento cujos extremos são o centro do

polígono e o ponto médio de um lado.

33ObserveatabeladePitágoras.

Qualéasomadetodososnúmerosdavigési-malinha?240 60 80 100 240

34(Saresp) Na figura abaixo têm-se os qua-dradosQ1eQ2.x2 122 152

x 9

t 9 122

54

QualéaáreadotriânguloT,emmetrosqua-drados?54 m2

35AchácaradeÂngela tema formadeumtriângulo retânguloeasdimensões indicadasnafigura.Qualéadistânciaentreoportãoeopoço?480 m 1 000 h 600 800

h 480

60

28

x x 45y 53

75

36Observeopapagaiodepapelecalculexey.(unidade:cm)45 cm; 53 cm

y36912…

481216…

5101520…

3,20 m

2,40 m

800 m

600

m

T

15 m

Q2

12 m

Q1

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

raçõ

es: D

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Exercícios37Aprateleiradasecretáriaestáperpendicu-laraomóvel?Justifiquearesposta.

não, porque 352 222 282.

38Dadaatabela,localizenoplanocartesia-no,emfunçãodexey,ospontosdados(A,B,CeD).

Unindoospontosencontrados,obtém-seuma figura geométrica. Qual é o perímetrodessafigura?8 2

x yA 2 0B 0 2C 2 0

D 0 2

39Observeafiguraeresponda:

a) Qualéoperímetrodafigura?28 cm

b) QualéadistânciaemlinharetadopontoAaopontoB?10 cm

40Considerea figuraabaixo,ondeABCDeECGFsãoquadrados.

a) QuantomedeosegmentoEG?

b) QualéaáreadotriânguloECG?18 cm2

c) QualéaáreadoquadriláteroHBGE?66 cm2

d) ComosechamaoquadriláteroHBGE?trapézio retângulo.

41(Cefet-SP) Numa embalagem cúbica de50 cm de aresta, foi encaixada uma placaplanadepapelãoparasepararseuinterioremduaspartesiguais,comomostraafigura.

Para tanto,gastou-se,empapelão,aproxima-damente:

a) 0,20m2

b) 0,25m2

c) 0,30m2

d) 0,35m2x

d 2 502 502

d 2 5 000d � 70A 0,70 0,50A 0,358 cm

6 cm

P 6 8 6 8 28

soma das bases de todos os degraus

soma das alturas de todos os degraus

B

A

x

y

6 2 cm

Respondanocaderno.

A

B C

H

G

D

E F2 cm

6 cm

28 cm

22 cm

35 cm

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

AE


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200

DesafiosDesafios

200

42Qualéovalordex?

a)

b)

x2 62 82

x2 100 → x = 10

43Observeafiguraabaixo.

Qual é o comprimento do cabo de aço doteleférico?2 088 m (AB)2 2 0002 6002

AB � 2 088

44Osladosdoqua-dradoABCD medem3 2 cm. Cada umdosladosfoidivididoemquatropartescon-gruentes, conformeafigura.Qualéasomadasmedidasdosseg-mentoscoloridos?

24 cm

C

DA

B

45Imaginequeafiguraaoladoseja uma caixa de papelão emforma de bloco retangular. Osegmento azul representa a va-retamaislongaquepodecaberdentrodacaixa.Quantomedeavareta?26 cm

d 2 62 82

d 10V2 102 242

V 26

46(Fuvest-SP)Umaescadade25dmdecom-primentoseapoianummurodoqualseupédista7dm.Seopédaescadaseafastarmais8dmdomuro,qualodeslocamentoverificadopelaextremidadesuperiordaescada?4 dm

a) traçando a diagonal mn e calculando:

(mn)2 ( ) ( )2 32 2+(mn)2 5

b) x2 12 5

x 2

d2 3 2 3 22 2+[ ] [ ]

d 6

S 16 64

24

2 km

A

B

600

2 000

A

B

24 c

m

6 cm8 cm

A

C

D 8 dm 7 dm

25 d

m

B

y x

no AOB: x2 252 72 ⇒ x 24no COD: y2 252 152 ⇒ y 20Deslocamento: AC 24 20 4

6

8x

3

14

12

3

x

3

3

A N

M

C

x

1

3

2

• AlturadamontanhaA:2800m

•AlturadamontanhaB:2200m

•Distânciaentreasmontanhas:2km

O

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

AE


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ExercíciosAutoavaliação anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.

a) 1,8m

b) 2,0m

c) 2,4m

d) 2,8m

x

a) 7m

b) 5m

c) 8m

d) 9mx

d2 42 32

d 55 4 9

49(Furb-SC) Uma pessoa está caminhandoemvoltadeumapraçaretangulardemedidas60m40m.Após20voltascompletadas,elaparanomesmopontoemquehaviainiciado(BancadeRevista).Resolve,então,tomarumsorvete,atravessandoapraçaemsuadiagonal.

Sorveteria

Banca de Revista

d2 602 402

d � 72

Dessaforma,onúmerototaldemetrosqueelacaminhoufoi:200 20 72 4 072

a) 2400m

b) 3560m

c) 4072m

d) 6054m

x

50Qualéodiâmetrodocírculo?

a) 10cm

b) 20cm

c) 14cm

d) 28cm

x

51(Ceetesp-SP)AmedidadadiagonaldateladeumatelevisãodeterminaaspolegadasdaTV.Umatelevisãocujatelamede30cmpor40cmpossui:d2 302 402

d 5050 2,5 20

a) 16polegadas

b) 18polegadas

c) 20polegadas

d) 29polegadas

x

Lembrete!1polegada�2,5cm

52(Univali-SC) Dois pedreiros, João e Luís,estavam discutindo sobre as medidas dos la-dosdeumtriângulo(esquadro)maisadequa-dasparautilizaremumaobra.Joãodissequeasmedidasdeveriamser4,5m;2,7me3,6m.Luísafirmavaqueasmedidasdeveriamser9m,5,4me7,2m.Umengenheirofoichamadopararesolveroimpasse,concluindo,correta-mente,que:

a) sóotriângulodoJoãoéretângulo.

b) sóotriângulodoLuíséretângulo.

c) nenhumdosdoistriânguloséretângulo.

d) osdoistriângulossãoretângulos.x(4,5)2 (2,7)2 (3,6)2

92 (5,4)2 (7,2)2


Leel

aryo

nkul

/Shu

tters

tock

8 cm

6 cm4 m

3,2 m

h

47Qualéovalordeh?

4 m

3 m

48Umbambupartiu-seaumaalturade4mdo chão, e a parte de cima, ao cair, tocou ochão,aumadistânciade3mdabasedobambu.Qualeraaalturadobambuantesdepartir-se?

h2 (3,2)2 42

h2 16 10,24h 2,4 O

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e

DAE

Ilust

ra C

arto

on

Lápi

s M

ágico


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202

53(Ufla-MG)Qualdeveseraaltitudedoba-lãoparaquesuadistânciadotopodoprédiosejade10km?

x2 82 102

x 66 000 200 6 200

a) 6km

b) 6200m

c) 5km

d) 11200mx

54Nafiguraabaixoestárepresentadaumapar-tedeummapageográficodeumaregiãoplana.AeBsãopontosdessaregião.Qualdasseguin-tesmedidasmais seaproxima do valordadistânciaentreospontosAeB?

a) 300m

b) 500m

c) 400m

d) 600m

x

55(Saresp)UmmotoristavaidacidadeAatéacidadeE,passandopelacidadeB,conformemostraafigura.Elepercorreu:

a) 41km

b) 15km

c) 9km

d) 36kmx

h2 16 9h 12(AB)2 162 122 ou (AB)2 25 16AB 20P 20 16 36

56(UFRGS-RS)Olampiãorepresentadonafigu-raestásuspensoporduascordasperpendicularespresasaoteto.Sabendo-sequeessascordasme-dem 1

2e 6

5,adistânciadolampiãoaotetoé:

a) 1,69

b) 1,3

c) 12

d) 613

x

x2 12

2 6

52

⇒ 1310 h 1

2 65 ⇒ h 6

13x 1310

57(Puccamp-SP)Parafazeroencanamentodeuma residência, deve-se ligar por um cano ospontosAeB,distantes6mentresi.Comoháumaconstruçãonomeiodessepercurso,resol-veu-seligarAaCeCaB,comomostraafiguraao lado. A quantidademínima de metros decanonecessáriaparafa-zeresseencanamentoé:

a) 3 2

b) 6

c) 6 2

d) 18 2

x

58(UC-BA)Nasituaçãodomapaabaixo,de-seja-seconstruirumaestradaqueligueacida-deAàestradaBC,comomenorcomprimentopossível.Essaestradamedirá,emquilômetros:

(AC)2 402 502

AC 30

50 d 30 40d 24

50 km

a) 24

b) 28

c) 30

d) 32

x

A

B C

d

3 2 3 2 6 2� �

123100 m

123100 m

A

B

8 km

10 km

200 m

40 km

A

CB

45°

45°

A

B

C

observação: a figura não respeita as medidas indicadas.

A

CE

B 16 km

25 km

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

on

DAE

DAE


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t r i g o n o m e t r i a n o t r i â n g u l o r e t â n g u l o 203

UNIDADE 8UNIDADE

Trigonometria no triângulo retângulo1. As razões trigonométricas

Na Unidade 6, determinamos a altura do mastro de uma bandeira sem medi-la diretamente.

Lembram-se?

Nesta unidade,vamos também

calcular a alturado prédio da escola

sem medi-lo diretamente.

Veja, na ilustração a seguir, o procedimento e as medidas que o professor Jorge anotou.na sala de aula, ele desenhou esse triângulo:

Esse triângulo é retângulo, mas só temos a medida de um ângulo e de um cateto. não dá para aplicar as relações métricas que conhecemos.

no entanto, há outras relações para descobrir. Prossiga na leitura do texto. Depois voltaremos à altura do prédio.

O cateto BC é um dos lados do ângulo de 40o.

BC é o cateto adjacenteao ângulo de 40o.

O cateto AB é o catetooposto ao ângulo de 40o.

40°

1,70

m

15 m

40°

C

A

40°15 m B

x

Hélio

Sen

ator

eIlu

stra

ções

: Láp

is M

ágico

DAE

PrAtiCAnDO mAtEmÁtiCA 9O AnO EDiçãO rEnOVADAPnLD 2014 – mac 4

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204

traçamos dois triângulos retângulos semelhantes: �ABC ~ �DEF pois têm um ângulo de medida a e um ângulo reto. identificamos em cada triângulo o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo marcado.

Os lados correspondentes são proporcionais, certo?

ACDF

ABDE

multiplicamos os termos da proporção em cruz:

AC DE DF AB

E escrevemos outra proporção:

ACAB

DFDE

medida do cateto oposto a a

medida do cateto adjacente a a

Qualquer triângulo retângulo que tenha um ângulo de medida a será semelhante aos que de-senhamos acima. A razão entre a medida do cateto oposto a a e a do cateto adjacente a a será a mesma em todos eles.

Essa razão recebe o nome de tangente de a. Abreviadamente escrevemos tg a.Para cada medida de ângulo, de 1º a 89º no triângulo retângulo há um valor constante para a

tangente. Veja na página 209 uma tabela com valores aproximados de tangentes.

O triângulo ABC abaixo tem um ângulo de 35º. Observe qual é o cateto oposto e qual é o cateto adjacente ao ângulo de 35º.

A

B C35°

5 cm

3,5

cm

Calculamos a tangente de 35º fazendo:

tg 35º medida do cateto oposto a 35º

medida do cateto adjacente a 35º

3,55

0,7

Confira na tabela de tangentes o valor de tg 35º.

C

Bcateto adjacente a a

cateto oposto a a

aA

F

Ecateto adjacente a a

cateto oposto a a

aD

Ilust

raçõ

es: D

AE

Atenção!

Para simplificar a escrita, quando

escrevemos “a”estaremos nos referindo

ao ângulo cuja medida é igual a a.


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Agora podemos resolver o problema da altura do prédio da escola...

O triângulo ABC tem um ângulo de 40°.

tg 40º medida do cateto oposto a 40º

medida do cateto adjacente a 40º Verificamos na tabela que tg 40º 0,84.

0,84 x

15

x 0,84 · 15

x 12,6 m

Somando a essa medida 1,70 m, que é a distância do transferidor ao solo, obtemos a altura aproximada h do prédio:

h 12,6 1 1,7 14,3 m

Você percebeu que a tangente nos ajudará a resolver vários problemas, não é?

Ainda há mais duas relações para descobrirmos. Veja abaixo os triângulos que nos levaram à tangente do ângulo a.

Podemos escrever outras duas proporções a partir dos lados correspondentes:

ACDF

BCEF

ABDE

BCEF

AC EF DF BC AB EF DE BC

Assim, chegamos a uma nova proporção em cada caso:

ACBC

DFEF

medida do cateto oposto a a

medida da hipotenusa

ACBC

DEEF

medida do cateto adjacente a a


Encontrando razões que serão constantes em todo triângulo retângulo que tenha um ângulo com medida a.

C

Bcateto adjacente a a

cateto oposto a a

a A

hipotenusa

F

Ecateto adjacente a a

cateto oposto a a

aD

hipotenusa

A

40°C15 m

B

x

40°

1,70

m

15 m

40°

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

AE


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206

Observe um exemplo no qual seno e cosseno de um ângulo dado nos permitirão encontrar medidas desconhecidas:

x: cateto oposto ao ângulo de 32º.y: cateto adjacente ao ângulo de 32º.

sen 32º x4

e cos 32º y4

na tabela, sen 32º 0,53 e cos 32º 0,85.

0,53 x4

0,85 y4

0,53 4 x 0,85 4 y

x 2,12 cm y 3,4 cm

Importante!

A hipotenusa é sempre o lado de maior medida no triângulo retângulo. Por isso, o quociente entre a medida de um cateto e a medida da hipotenusa é sempre um número menor que 1. Se a é a medi-da de um ângulo agudo do triângulo retângulo, temos que sen a 1 e cos a 1.

Se você tem acesso a uma calculadora científica...

• Verifique se no visor aparece DEG: isso indica que os ângulos serão indicados em graus.

• Digite, por exemplo, 24 e a tecla do seno, que em geral aparece como sin.

• No visor você obterá 0,406736643 0,4067, que é o valor aproximado de sen 24°.

Confira na tabela!

Essas razões também recebem nomes especiais.

Chamaremos de seno de � e denotaremos por sen � a razão:

• sen a medida do cateto oposto a amedida da hipotenusa

Chamaremos de cosseno de � e denotaremos por cos � a razão:

• cos a medida do cateto oposto a amedida da hipotenusa

Assim como na tangente, para cada ângulo a de 1º a 89º há um valor único de seno e de cosseno. Observe que na tabela que você usou para achar o valor da tangente de 35º também há os valores de seno e de cosseno para os ângulos apresentados.

tabelas como essa foram usadas por muito tempo. Hoje, as calculadoras científicas determinam os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos.

Estamosarredondando os valores da tabela para 2 casas

decimais.

4 cm

x

y

32°

Hélio

Sen

ator

e

DAE


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As razões tangente, seno e cosseno de um ângulo são chamadas razões trigonométricas.

A palavra “trigonometria” vem do grego:

isso não quer dizer que os gregos descobriram essas relações. Como quase tudo em matemática, a trigonometria não teve um “inventor”. Além dos gregos, outros povos, como egípcios, babilônios, hindus e árabes, durante séculos investigaram e aplicaram essas razões para resolver problemas.

Falando em problemas, aplicaremos a trigonometria para resolver dois deles.

1. Uma madeireira doará pranchas para cons-truir uma rampa com plataforma que será usada numa apresentação de manobras com bicicleta no clube do bairro.

A partir do esboço ao lado, podemos calcular o comprimento das rampas.

no triângulo retângulo destacado abaixo, 1,80 m é a medida do cateto oposto ao ângulo de 37°, e o comprimento x da rampa corresponde à hipotenusa.

sen 37°

medida do cateto oposto ao ângulo de 37° medida da hipotenusa

Consultando a tabela de razões trigonométricas, encontramos:

sen 37° 0,6018 0,6

0,6 1,8x

0,6x 1,8

x 1,80,6

3

Portanto, cada rampa deve ter 3 metros de comprimento.

Phot

odisc

trigono: três ângulosmetria: medida

37°

x 1,80 m

Ilust

ra C

arto

on

DAE


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208

2. marcelo possui um terreno em forma de trapézio, que pretende cercar com tela de arame.

A partir das medidas anotadas no desenho, é possível calcular x e y e descobrir o perímetro do terreno.

traçando o segmento AH perpendicular às bases (lados paralelos) do trapézio, obtemos o triângulo retângulo AHB.

Veja na representação abaixo.

tg 70o

medida do cateto oposto a 70º medida do cateto adjacente a 70º

x13

na tabela, cos 70º 0,3420 0,34

0,34 13y

0,34y 13

y 130,34

y 38,24 m

Consultando a tabela, temos tg 70° 2,7475 2,75

2,75 x

13

x 2,75 13

x 35,75 m

cos 70o

medida do cateto adjacente ao ângulo de 70º medida da hipotenusa

13y

Agora é só encontrar o perímetro do terreno.

Perímetro 60 1 38,24 1 47 1 35,75 180,99

Logo, marcelo precisará de, aproximadamente, 181 m de tela para cercar o terreno.

47 m 13 m

47 m

xx y

H

A

BC

D

70°

Ilust

ra C

arto

onDA

E


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Ângulo Seno Cosseno Tangente Ângulo Seno Cosseno Tangente1o 0,0175 0,9998 0,0175 46o 0,7193 0,6947 1,03552o 0,0349 0,9994 0,0349 47o 0,7314 0,6820 1,07243o 0,0523 0,9986 0,0524 48o 0,7431 0,6691 1,11064o 0,0698 0,9976 0,0699 49o 0,7547 0,6561 1,15045o 0,0872 0,9962 0,0875 50o 0,7660 0,6428 1,19186o 0,1045 0,9945 0,1051 51o 0,7771 0,6293 1,23497o 0,1219 0,9925 0,1228 52o 0,7880 0,6157 1,27998o 0,1392 0,9903 0,1405 53o 0,7986 0,6018 1,32709o 0,1564 0,9877 0,1584 54o 0,8090 0,5878 1,3764

10o 0,1736 0,9848 0,1763 55o 0,8192 0,5736 1,428111o 0,1908 0,9816 0,1944 56o 0,8290 0,5592 1,482612o 0,2097 0,9781 0,2126 57o 0,8387 0,5446 1,539913o 0,2250 0,9744 0,2309 58o 0,8480 0,5299 1,600314o 0,2419 0,9703 0,2493 59o 0,8572 0,5150 1,664315o 0,2588 0,9659 0,2679 60o 0,8660 0,5000 1,732116o 0,2756 0,9613 0,2867 61o 0,8746 0,4848 1,804017o 0,2924 0,9563 0,3057 62o 0,8829 0,4695 1,880718o 0,3090 0,9511 0,3249 63o 0,8910 0,4540 1,962619o 0,3256 0,9455 0,3443 64o 0,8988 0,4384 2,050320o 0,3420 0,9397 0,3640 65o 0,9063 0,4226 2,144521o 0,3584 0,9336 0,3839 66o 0,9135 0,4067 2,246022o 0,3746 0,9272 0,4040 67o 0,9205 0,3907 2,355923o 0,3907 0,9205 0,4245 68o 0,9272 0,3746 2,475124o 0,4067 0,9135 0,4452 69o 0,9336 0,3584 2,605125o 0,4226 0,9063 0,4663 70o 0,9397 0,3420 2,747526o 0,4384 0,8988 0,4877 71o 0,9455 0,3256 2,904227o 0,4540 0,8910 0,5095 72o 0,9511 0,3090 3,077728o 0,4695 0,8829 0,5317 73o 0,9563 0,2924 3,270929o 0,4848 0,8746 0,5543 74o 0,9613 0,2756 3,487430o 0,5000 0,8660 0,5774 75o 0,9659 0,2588 3,732131o 0,5150 0,8572 0,6009 76o 0,9703 0,2419 4,010832o 0,5299 0,8480 0,6249 77o 0,9744 0,2250 4,331533o 0,5446 0,8387 0,6494 78o 0,9781 0,2079 4,704634o 0,5592 0,8290 0,6745 79o 0,9816 0,1908 5,144635o 0,5736 0,8192 0,7002 80o 0,9848 0,1736 5,671336o 0,5878 0,8090 0,7265 81o 0,9877 0,1564 6,318837o 0,6018 0,7986 0,7536 82o 0,9903 0,1392 7,115438o 0,6157 0,7880 0,7813 83o 0,9925 0,1219 8,144339o 0,6293 0,7771 0,8098 84o 0,9945 0,1045 9,514440o 0,6428 0,7660 0,8391 85o 0,9962 0,0872 11,430141o 0,6561 0,7547 0,8693 86o 0,9976 0,0698 14,300742o 0,6691 0,7431 0,9004 87o 0,9986 0,0523 19,081143o 0,6820 0,7314 0,9325 88o 0,9994 0,0349 28,636344o 0,6947 0,7193 0,9657 89o 0,9998 0,0175 57,290045o 0,7071 0,7071 1,0000

Tabela das razões trigonométricas de 1o a 89o (arredondamentos para quatro casas decimais)


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210

Exercícios

c)

1 Considereotriânguloabaixo.

a) Qualéahipotenusa? a

b) Qualéocatetoopostoaa?b

c) Qualéocatetoadjacenteaa?c

d) Qualéocatetoopostoa?c

e) Qualéocatetoadjacentea?b

2No triângulo retângulo da figura, calculeosvaloresde:

a) senÅA 610 0,6

b) cosÅA 810 0,8

c) tgÅA 68 0,75

d) senÅC 810 0,8

e) cosÅC 610 0,6

f ) tgÅC 86 1,333...

3Consulte a tabela trigonométrica e com-pleteoquadronocaderno.

4Calculexemcadaumdostriângulosretân-gulos.

sen 24° x10

x 10 0,4067

x 4,067

tg 40° x120

x 120 0,8391

x 100,692

cos 28° x17

x 17 0,8829

x 15,009

cos 40° x9

x 9 0,7660

x 6,894

5Vejaafiguraabaixo.Pode-setombaraárvo-reemdireçãoàcasa,sematingiraconstrução?não. A altura da árvore é de 25,6 m.

tg 52° x20

x 1,2799 20

x 25,598 (aprox.)

25°

seno 0,6157

cosseno 0,2756

tangente 1,4826

0,42260,90630,4663

38°0,78800,7813

74°0,96133,4874

56°0,82900,5592

a)

b) A

x

BC40°

120

28°

17

C Bx

A

d)

B

A

Cx

9

40°

b

a

a

c

A 8 cm B

6 cm

C

20 m

52°

24°

A

10

BC

x

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

AE


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1,2 m

4,8 m

6Uma escada medindo 3 m precisa fazerumângulode40°comaparedeparaquenãoescorregue. A que distância o pé da escadaprecisaficardaparede?1,93 m (aproximadamente)

sen 40o x3

x 0,6428 3 1,928

7AtorreEiffel,amaiorantesdaeradatele-visão,foiconcluídaem31demarçode1889.Vejaafiguraedetermineaalturadessatorre.324 m

8Useacalculadora.Sugerimosavocêquecalculeovalordosenoedocossenodealgunsângulosecompare-oscomosdatabelaapre-sentadanapágina209dolivro.

9Observe a figura e calcule a medida doânguloqueaescadafazcomosolo.76°

10Vejaafiguraabaixo.Alâmpadaestáa3mdochãoelançaumconedeluzde“abertura”iguala50°.Qualéamedidadoraiodocírculodeluznochão?3,57 m

11Umdosângulosdeumtriânguloretânguloéa.Setga2,4,asmedidasdosladosdessetriângulosãoproporcionaisa:

tg 50° x3 ⇒ x 1,1918 3 3,5754

Respondanocaderno.

a) 12,35,37

b) 30,40,50

c) 50,120,130

d) 80,150,170

x

2,4 2410 120

50

tg 70º x117,9

x 2,7475 117,9x 324

70°

117,9 m

x

3 m

40o

50°

tg x4,81,2 ⇒tg x 4 ⇒ x 76°

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e


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212

Na tabela, sen 45º � 0,7071.

Numa calculadora, digitando 2 � 2 para calcular 2

2, obtemos 0,7071067.

0,7071 é uma aproximação racional para sen 45º e 2

2 é o valor exato de sen 45º.

Ainda no triângulo ABC:

cos 45º �

medida do cateto adjacente ao ângulo de 45º medida da hipotenusa

� �

� 2 �

12

�

22

tg 45º � medida do cateto oposto a 45º medida do cateto adjacente a 45º

� ��

� 1

2. As razões trigonométricas e os ângulos de 30o, 45o e 60o

Há situações em que é melhor trabalhar com valores exatos de seno e de cosseno de 45º.

Já descobrimos, pelo teorema de Pitágoras, que d � � 2.O triângulo ABC é retângulo. Vamos calcular:

sen 45º �

medida do cateto oposto ao ângulo de 45º medida da hipotenusa

sen 45º � �

� 2 �

12

ou 1 � 22 � 2 �

22

racionalizando o denominador

Valor exato de cos 45º.

Sobre a TrigonometriaComo já dissemos, a palavra trigonometria vem

do grego e significa “medida de triângulos”. O desen-volvimento deste ramo da Matemática está ligado a Astronomia, navegação, cartografia, entre outros. Você prosseguirá com o estudo da Trigonometria no Ensino Médio e terá a oportunidade de aplicar estes conheci-mentos na Física, por exemplo.

45°45°

AD

BC

d � �M2

�

�

DAE

A diagonal d é eixo de simetria do quadrado de lado �: divide o ângulo reto em dois ângulos de 45o.


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Faça dupla com um colega. Determinem, a partir do triângulo AHB, os valores exatos de sen 30o,

cos 30o e tg 30o. Copiem e completem a tabela abaixo no caderno. Lembrem-se da racionalização!

Podemos obter também, a partir do triângulo equilátero, os valores exatos das razões trigono-métricas para os ângulos de 30o e de 60o.

Acompanhe:

• sen 60o medida do cateto oposto ao ângulo de 60o


cos 60o

�

2 �

�

2

1�

12

sen 60o

� 32 �

� 32

1�

3

2

• cos 60o medida do cateto adajacente ao ângulo de 60o medida da hipotenusa

• tg 60o

medida do cateto oposto a 60o

medida do cateto adjacente a 60o

Um triângulo equilátero tem três ângulos de 60o. traçamos a altura AH que está num dos eixos de simetria do triângulo equilá-tero de lado �, obtendo o triângulo retângulo AHB.

Lembrando que a altura de um triângulo equilátero de lado � é

h � 3

2 , temos:

tg 60o

� 32 �

2

� 32

2�

3

12 32

ângulo sen cos tg

30o

45o 2

2

2

21

60o 3

2

12

3

12

A

C B

� �

�

60°

60° 60°

h

H�2

�2

A

C B

� �

30°30°

60° 60°

23

33

Ilust

raçõ

es: D

AE


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214

Vamos usar o valor exato de sen 60o para estabelecer uma relação matemática.Com régua, compasso e transferidor, faça junto.

A

BC

r r

r

120°

120°120°O

� �

�

OB OC r

• traçamos uma circunferência de centro O e raio r qualquer.

• Como 360o � 3 120o, construindo três ângulos de 120o com vértice em O, dividi-mos a circunferência em três partes iguais e traçamos o triângulo equilátero ABC.

Esse triângulo está inscrito na circunferência: seus vértices são pontos da circunferência. Vamos descobrir qual é a relação entre o raio r da circun-ferência e a medida � do lado do triângulo.

O triângulo OBC é isósceles de base BC.traçamos a altura OH relativa à base. OH está no

eixo de simetria do triângulo OBC.Obtivemos o triângulo OHB retângulo.

HÔB mede 60o (metade de 120o).

sen 60o

medida do cateto oposto ao ângulo de 60º medida da hipotenusa

Por exemplo, se a circunferência tiver raio de 5 cm, o ladodo triângulo equilátero inscrito nessa circunferência medirá

5 3cm.

32

�

2

r

2 �

2 r 3

� r 3Um triângulo equilátero de lado

4 3 cm está inscrito numa circunfe-

rência de raio r.

Descubra, usando cálculo mental,

qual é a medida r. 4 cm

O

rr

C B

60°

30° 30°H�

2�2

Ilust

raçõ

es: D

AE


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Exercícios

12Calculeovalordexemcadaumdostriân-gulosretângulos.

a)

b)

sen 30o x8

12 x

8

x 4

cos 45o x10

22

x10

x 5 2

13Qualéaalturadoprédio?20 3m

14Umavião levantavoosobumângulode30°emrelaçãoàpista.Qualseráaalturadoaviãoquandoestepercorrer4000memlinhareta?2 000 m

15Umaescadade8méencostadaemumaparede,formandocomelaumângulode60°.Aquealturadaparedeaescadaseapoia?4 m

tg 30o x60 ⇒

16Para permitir o acesso a um monumentoqueestáemumpedestalde1,5mdealtura,seráconstruídaumarampacominclinaçãode30°comosolo,conformeailustração.

1,5 m

30°

Qualseráocomprimentodarampa?3 m

17Calculeoperímetrodafigura,consideran-do 31,7.58,2

sen 30º h

12 12

h12

h 6

• cos 60o x8 ⇒ 1

2 x8 ⇒x 4

30o

8

A

BC

x

sen 30º x

4 00012

x4 000

x 2 000

cos 30o a

1232

a12

a 6 3p 12 1 15 1 10,2 1 15 1 6 58,2

3

3 x60

⇒ x 20 3

A

x

45o

B C10

4 000 m

30°

x30o

12h

a15

30o

12

30°

60 m

60°

8 m

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

onIlu

stra

Car

toon

Ilust

raçõ

es: D

AE


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216

18Calculexey.

a)

sen 30º y6 ⇒ y 3

sen 30o x10 ⇒ x 5

19Umaescada rolante ligadois andaresdeumshoppingetemumainclinaçãode30°.Sa-bendo-sequeaescadarolantetem12metrosdecomprimento,calculeaalturadeumandarparaooutro.

20Calculeaalturadobalãodegás,conside-rando 31,7.85 m

tg 60º h50

3 h50

1,7 h50 ⇒ h 85

23ApirâmidedeQuéops,umadasSete Maravilhas do Mundo, é umapirâmide quadrangular regular cujaarestadabasemede230m.O â n g u l oque o apó-temadeumaface lateralforma comabaseéde,aproximada-mente, 52°.Calculeaalturadapirâmide.

tg 52º h

115 147,18 m (aproximadamente)

52°O

Phot

odisc

◆ Quéops, uma das pirâmides de Gizé, no Egito.

21(Unama-PA)Afiguraabaixorepresentaumbarcoatravessandoumrio,partindodeAemdireçãoaopontoB.A fortecorrentezaarrastaobarcoemdireçãoaopontoC, segundoumângulode60°.Sendoalarguradoriode120m,qualéadistânciapercorridapelobarcoatéopontoC?240 m • cos 60º 120

AC

22Duasrodovias,AeB,encontram-seemO,formandoumângulode30°.NarodoviaAexis-teumpostodegasolinaquedista5kmdeO.Aquedistânciaopostoseencontradaoutrarodovia?

sen 30º

0,5

d 2,5

d5

d5

d

Revisando

6 m

2,5 km

6

4

x

30°

y

30°

5 km

O

B

A

60º

50 m

h

60°

A

B C

12 m

30°

h

sen 30º h12

0,5 h12

h 6

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

AE


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24Uma pessoa tem um terreno com o se-guintedeclive:

Elaquerconstruirummuroparanivelaroter-reno.Quealturadeveráteromuro?4 m • sen 30º m

8

30°

8 m

25Calculeoperímetrodo retângulo,consi-derando 31,7.21,6 m

p 2 4 1 2 6,8p 8 1 13,6p 21,6

26Determineaquealturaseencontraopa-pagaiodosolo,sabendoqueamãodogarotodistadosolo1,2m. 70,48 m

80 m

h

60°

0,866 80 1 1,2 70,48

• tg a = 10100

= 0,1

Assim a6°.

29Uma escada apoiada em uma parede deumprédio,numpontoquedista8mdosolo,formacomessaparedeumângulode21°.

a) Aquedistânciadoprédioestáopédaes-cada?

b)Qualéocomprimentodaescada?• c2 (3,07)2 1 82

c 8,54

• tg 21º ⇒ x 0,3839 8 3,0712x83 m (aproximadamente)

8,54 m (aproximadamente)

cos 60º

a 4

sen 60º

h 4 3h 6,8

a8

12

a8

h8

h8

32

27Umcopotem12cmde altura e dentro deleháumcanudinho.Qualéocomprimentoaproxi-mado desse canudinhosabendo que 6 cm deleestãoforadocopo?21 cm

28O sinal que se encontra representado nafigura significaqueemcada100mmedidosnahorizontalaestradadesce10m,oquere-presentaumperigoconsiderável.

sen 53° = 12x

⇒ x 15

15 + 6 = 21

Qualéamedidadoânguloa? Aproximadamente 6°.

8 m

60°

12 cm

53°

21°

C

A B

10 m

100 ma

Hélio

Sen

ator

eHé

lio S

enat

ore

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

onIlu

stra

Car

toon

Ilust

ra C

arto

on

DAE


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218

DesafiosDesafios

218

Considerandosena0,6ecosa0,8,aárealateraldoprismaé,aproximadamente:

a) 130dm2 c) 120dm2

b)110dm2 d)80dm2

30Observeafigura:

a) Qualéocomprimentodarampa?3 m

b) Qualéadistânciado inícioda rampaaobarranco?2,55 m • cos 30º ⇒ y 2,55

3 32

y

3

1,5xsen 30º ⇒ x 3

31(Saresp)Oprismaretotriangulardafiguraabaixotemalturade10dm.

Suabaseéumtriânguloretângulo,conformeodesenhoapresentadoabaixo.

sen a ⇒ a 3

cos a ⇒ b 4

A (3 1 4 1 5) 10 120

a5

b5

x

32(Vunesp)Afigurarepresentaumteleféricoque será construído para transportar pessoasdopontoPatéumaalturade100metrosemrelaçãoaosolo.Sabendo-sequeocaboficaráperfeitamenteretoeesticadoequeavelocida-dedascadeirasao longodocaboserácons-tanteeiguala1metroporsegundo,otempodedeslocamentodopontoPatéopontomaisaltoserá,aproximadamente,iguala:

a)1minutoe40segundos

b)2minutose10segundos

c)2minutose50segundos

d)3minutose20segundos

33Qualeraaalturadestepinheiro?(Conside-re 31,7.) 16,99 m

x

• sen 30° = 100x

x = 200

cos 30º

tg 30º

Então: x 1 y 16,99

x x 5,6610 33

x10

33

x10

10y

32

10y

20 33

343y y 11,33⇒ ⇒⇒

⇒ ⇒⇒

5 dm

10 dm

b a

a

5 dma

b a

30°P

30°

y

x 1,5 m

10 m

30°

x

y

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on

DAE

DAE


6ª PrOVAADriAnA

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T R I G O N O M E T R I A N O T R I Â N G U L O R E T Â N G U L O 219T R I G O N O M E T R I A N O T R I Â N G U L O R E T Â N G U L O 219

Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.Autoavaliação

A hipotenusa do triângulo ABC formado e o ângulo x medem, respectivamente:

a) 87 cm e 30° c) 120 cm e 30°

b) 87 cm e 60° d) 120 cm e 60°

a) 40 m

b) 80 m

c) 56 m

d) 28 m

34 (Saresp) Um avião levanta voo sob um ân-gulo de 30° em relação ao solo. Após percor-rer 9 km em linha reta, sua altura h em relação ao solo será de:

a) 1 530 m c) 7 200 m

b) 4 500 m d) 8 700 mx

sen 30º �

h � 4 500

h9 000

tg 45º �

h � 40

h40

35 Um prédio projeta uma sombra de 40 m quando os raios solares formam um ângulo de 45° com o solo. A altura desse prédio é:

36 (FCC-SP) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 4 m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 60°. O compri-mento da escada, em metros, é:

a) 2

b) 4

c) 8

d) 16

sen 30º = 60h

h = 120

37 (Ceeteps-SP) Numa pousada isolada, insta-lada na floresta, um lampião está suspenso na parede conforme a figura a seguir:

38 Observe a figura abaixo e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25 m e sen � � 0,6.

a) h � 15 m c) h � 12,5 m

b) h � 20 m d) h � 18,5 m

sen � �

0,6 �

h � 15

h25

h25

x

x

x

x

sen 30º = 0,50cos 30º = 0,87 tg 30º = 0,58

30°

9 kmh

4 m60°

cos 60° �

�

x � 8

4x

12

4x

60 cm

C

B

A

x

30°

45°

40 m

B

A

h

�

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

eIlu

stra

Car

toon

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

ra C

arto

on


6ª PROVAADRIANA

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220

a) 5 3 c) 10 3

b)10 d)20

40(ETF-SP)Asaltitudes (alturaemrelaçãoaoníveldomar)emqueestãodoispontosAeB são,respectivamente,812me1020m.DopontoAvê-seopontoBsobumângulode 30° com o plano horizontal (conformefigura).

39(UMC-SP)Amedidada frenteparaa ruaA,dolotedeterrenosombreadonaplantadaquadratriangulardafiguraabaixo,emmetros,éiguala:

x

cos 30º

x 20 33

10x

20

3

AdistânciaentreospontosAeBé:

a) 400m

b) 416m

c) 208M3m

d) m

sen 30º

AB 416

208AB

416M33

x

41(Cefet-PR) Durante uma tempestade, umposte de 9 m de altura quebra-se e, ao cair,forma com o solo um triângulo retângulo.Apartequebradaformacomosoloumângulode30°.Ocomprimentodapartequeficoufixaaosoloé,emm:

a) 3 c) 5

b)4 d)6

x sen 30°

x 3

x9 x

42(Ceeteps-SP) A informação pode evitardoenças:

“Para evitar a contaminação da água pelafossa,deve-seconstruí-ladistante,nomínimo,20mdopoçodeágua.”

Observando o esquema abaixo, podemosconcluir que a construção da fossa e dopoçoestá:

Considere:sen30°0,5cos30°0,8tg30°0,6ddistânciadopoçoàfossa.

a) correta,poisadistânciadopoçoàfossaéde20m.

b) incorreta,poisadistânciadopoçoàfossaéde15m.

c) correta,poisadistânciadopoçoàfossaéde22m.

d) correta,poisadistânciadopoçoàfossaéde25m.

x

33

33

tg 30º

d 25

15d

150,6

14

24

3

30°

15 m

FOSSA POÇO

d

30°

Rua A

Rua B 10 m

30°10

x

A

30°

B

30°

x9 – x

Ilust

raçõ

es: H

élio

Sen

ator

e

Ilust

ra C

arto

on


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C Í R C U L O E C I L I N D R O 221

Ponto O: centro da circunferênciar: raio da circunferência

UNIDADE 9UNIDADE

Círculo e cilindro1. Área do círculo

Rodas, bordas de xícaras e copos, engrenagens... As formas circulares aparecem com frequência nas construções e nos objetos presentes em nosso mundo.

Stoc

kbyt

e/Th

inks

tock

Mau

ricio

Mor

ais

Phot

odisc

r

r

O

A matemática fornece conhecimentos para que possamos utilizar melhor essas formas em nosso dia a dia.

você já sabe que a circunferência é uma linha formada por todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo, que é o centro da circunferência.

todos os pontos da circunferência distam r de O.você também sabe que o comprimento C de uma circunferência de

raio r pode ser calculado pela relação pode ser calculado pela relação C 2 r .

Juntando à circunferência os pontos do seu interior, obtemos um círculo.O círculo ocupa uma superfície. A medida dessa superfície é a área do

círculo.

Ilust

raçõ

es: D

AE

PRAtiCANDO mAtEmÁtiCA 9O ANO EDiçãO RENOvADAPNLD 2014 – mac 4

6ª PROvAADRiANA

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222

O quadrado tem 36 m2 de área. A área do círculo é menor do que

a do quadrado...

Em muitas situações é preciso calcular a área do círculo. Para calcular a área de um jardim circular de 6 m de diâmetro, Sérgio fez a representação abaixo.

Sérgio desenhou um círculo inscrito num quadrado. O lado

do quadrado é igual ao diâmetro do círculo.

Ele estimou a área do círculo em 34

da área do quadrado.

Em seguida calculou:

34

de 36 27 e concluiu que a área aproximada do círculo é de 27 m2.

Dependendo da situação, uma aproximação como essa pode ser suficiente. No entanto, em al-gumas situações é necessário obter um valor mais preciso para a área do círculo. O ideal é encontrar uma fórmula que permita calcular a área do círculo.

Podemos obter essa fórmula partindo da ideia de Sérgio: aproximação por áreas já conhecidas. A área do retângulo, por exemplo. Acompanhe:

✓ Recorte em papel sulfite um círculo de 5 cm de raio. ✓ Divida-o em doze partes iguais, como você vê na figura. ✓ Recorte e cole cada uma dessas doze partes sobre uma outra folha de papel, obtendo a forma abaixo. ✓ Uma das partes deve ser cortada ao meio e encaixada nas extremidades.

A superfície do círculo que você traçou foi reorganizada, mas conservada. Repare que a área do círculo se aproxima da área de um retângulo.

Se dividíssemos o círculo em 24 partes iguais e fizéssemos a mesma montagem, as áreas fica riam mais próximas. Com 48 partes iguais, ficariam mais próximas ainda. Continuando esse processo indefinidamente, chegaríamos a áreas praticamente iguais.

30º

Lápi

s M

ágico

Ilust

raçõ

es: D

AE


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Vamos trabalhar com situações que envolvem a área de círculos?

1. Uma máquina recorta, de placas retangulares de papel de 100 cm por 80 cm, círculos com 5 cm de diâmetro para fazer forminhas de doce.(veja o esquema ao lado.)

Usando a criatividade, Sérgio conseguiu uma boa aproximação para a área

do jardim!

Esquema representativo dos cortes circulares.

5 cm 100 cm

80 c

m

A área do círculo é igual a vezes a medida do quadrado de seu raio.

Nesse retângulo:

A C2

r

Como C 2 r,

A 2 r 2

r

A r2

Obtivemos a fórmula da área do círculo de raio r.

A r2

voltemos ao Sérgio e seu jardim.O raio do jardim circular é de 3 m.Aplicando a fórmula A r2, temosA 9 9 m2.Adotando 3,14,A 9 3,14 28,26 m2.

A área do círculo seria igual à área de um retângulo

com comprimento C2

(metade do comprimento da

circunferência do círculo) e largura r (raio do círculo).

A área do retângulo é obtida multiplicando a medida

do comprimento pela medida da largura.

r

C2

Observe que sobra espaço entre os círculos, ou seja, uma parte da placa não é aproveitada para as forminhas. mas a empresa não perde esse papel; ela o recicla!

Podemos calcular quantos centímetros quadrados serão reciclados por placa.

Lápi

s M

ágico

Ilust

raçõ

es: D

AE


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224

Os círculos recortados pela máquina têm 5 cm de diâmetro.

100 : 5 20 e 80 : 5 1620 16 320

A máquina recorta 320 círculos em uma placa.A área de cada círculo é A r2 3,14 2,52

A 19,625 cm2

A área de 320 círculos é A 320 19,625 6 280 cm2.

A área da placa é Ap 100 80 8 000 cm2.

Subtraindo da área da placa a área dos 320 círculos, obtemos a área de material não utilizado:

8 000 – 6 280 1 720 cm2

Então, os retalhos que sobram em cada placa somam uma área de 1 720 cm2.

2. marina adora decorar seu caderno com figuras que ela mesma inventa. Observe ao lado uma de suas criações. Com as dicas do desenho você

pode reproduzir a figura em seu caderno, usando régua e compasso.vamos calcular a área dessa figura?

Para obter a figura, marina traçou os semicírculos i e ii .

A área de um semicírculo é igual à metade da área do círculo que o originou.O raio do semicírculo i mede 2 cm. Então,

Ai 22

2 2 cm2

O raio do semicírculo ii mede 1 cm. Então:

Aii 12

2

2 cm2

Subtraindo a área do semicírculo ii da área do semicírculo i ,obtemos a área da figura:

Afigura 2

2

3

2 cm2

Podemos deixar para substituir por 3,14 no final!

Confira com uma calculadora!

É bastante! Em cinco placas, sobram 8 600 cm2 de

papel. Isso corresponde a uma área maior do que a de uma placa!

Ainda bem que o papel pode sertotalmente reciclado!

Fazendo 3,14 e efetuando os cálculos: Afigura 4,71 cm2.

2 cm

iii

Ilust

raçõ

es: L

ápis

Mág

icoDA

E


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3 cmO

2 cm

3. Quando traçamos duas circunferências de mesmo centro e raios diferentes, determinamos uma região plana, chamada coroa circular (como você vê na área colorida da ilustração).

��

O

r

setor circular

Cada região do gráfico é um setor circular.

30%chuveiro elétrico

30%geladeira 15%

lâmpadas

5%lavadora

13%outros

7%ferro elétrico

Saiba o que gasta mais energia elétrica em casa

• Dobrando a medida do ângulo central, a área do setor circular correspondente a ele também dobra.

• Triplicando a medida do ângulo central, a área do setor circular correspondente a ele também triplica, e assim por diante.

Há proporcionalidade direta entre a medida do ângulo central do setor circular e a área desse setor.

4. Já conhecemos os setores circulares, que são regiões do círculo. Um setor circular ocupa uma superfície: apresenta área.A cada setor circular corresponde um ângulo central.

1. Faça dupla com um co-

lega e descubram como

calcular a área da coroa

circular à esquerda.

2. Você é capaz de citar ob-

jetos cuja forma lembre

uma coroa circular? Resposta pessoal.

15,7 cm2

Rica

rdo

Borg

es

Ilust

raçõ

es: D

AE


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226

Aplicaremos a proporcionalidade entre a área do círculo e a área do setor circular para calcular a área do setor circular destacado na figura.

Área do setor circular: x

Área do círculo onde está o setor � � � r2 � 16� cm2.

Ângulo central correspondente ao setor circular: 45º.

Ângulo central correspondente ao círculo: 360º.

x 16�

� 45º

360º

x 16�

� 18

8x � 16�

x � 16�

8

x � 2� ou x � 6,28

Área do setor circular: 6,28 cm2

◆ Joan Miró. A carícia de um pássaro, 1967.

Fund

ação

Miró

/Bar

celo

na

1

1. Desmonte um chapeuzi-

nho de festa como este da

fotografia. Tome cuidado

para não rasgá-lo. Você

obterá a planificação da

superfície lateral de um

cone, que tem a forma de

um setor circular.

2. Meça o raio do círculo a que pertence o setor e o

ângulo central �. Usando a proporcionalidade, cal-

cule quantos centímetros quadrados de papel são

necessários para confeccionar o chapeuzinho.

Valéria Vaz

�r

8

45º

4 cm

Veja na fotografia ao lado as formas circulares pre-sentes em uma obra de arte.

Ilust

raçõ

es: D

AE


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Exercícios

3 28

Mau

ricio

Mor

ais

Moedas Diâmetro Raio Perímetro Área

R$ 0,25

R$ 0,50 2,5 cm 1,25 cm 7,85 cm 4,91 cm2

2,3 cm 1,15 cm 7,22 cm 4,15 cm2

AQ 42 16AC 3,14 22 12,56Ar 28,56 cm2

a)

b)

8 m

h2 62 + 82 ⇒ h 10

Asc 52

2 39,25

Foto

s: Ar

quiv

o pa

rticu

lar

250

39,25 m2

6 cm

A 3,14 32

2

A 14,13

14,13 cm2

1 Utilizando a unidade destacada no canto superior, indique um valor aproximado para a área de cada figura colorida.

2 Um CD tem 12 cm de diâmetro. Calcule sua área. 113,04 cm2

3 Utilizando a figura, faça as medições ne-cessárias das moedas e complete a tabela.

4 Calcule a área do tampo de madeira da mesa representado na figura. 28,56 cm2

5 Os dois azulejos da figura são quadrados com 20 cm de lado. Calcule a área da parte colorida em cada um deles.

AQ 202 400

AC 3,14 202

4 314

AS 400 – 314 86

86 cm2

a)

AQ 202 400AC 3,14 102 314AF 400 314 8686 cm2

b)

6 Qual é a área da parte sombreada da figura?

4 cm

4 cm

6 cm

Ilust

raçõ

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228

a)

b)

7 Numa placa de metal retangular vão ser recortados discos de 50 cm de raio. A placa tem 2 m por 5 m. AC 3,14 0,52 0,785

AR 2 5 10AF 10 10 0,785 2,15

90° → 38,47 cm2 (aprox.)120° → 51,29 cm2 (aprox.)150° → 64,10 cm2 (aprox.)

90°

120° 150°

A 152 8 706,5

8 88,31 (aprox.)

AR 3 4 12

At 3 2

2 3

ASC 1,52

2 1,125

A 12 + 3 + 1,125 15 + 1,125 18,5325

4 cm

2 cm3 cm

AC 22 4

3,14

AQ 2 2 4AF 8 + 3,14 11,14

2 m

5 m

18,5325 cm2

11,14 cm2

Mau

ricio

Mor

ais

a) 2 cm2

b) cm2

A 14 r2

A 14

22

A

1

1

1 1

A 34 r2

34

22 3

A2 r2 12 A 3 2

1 1

1

1

a) Qual é o número máximo de discos que po-dem ser recortados? 10 discos

b) Qual é a área da parte da placa de metal desperdiçada? 2,15 m2

8 Calcule a área das figuras.

10 Calcule a área da parte colorida da figura, sabendo que o raio mede 2 cm.

11 Uma pizza de formato circular foi dividida em 8 pedaços iguais. Se a pizza tem 30 cm de diâmetro, qual é a área do setor circular corres-pondente à superfície de cada uma das fatias?88,31 cm2 (aprox.)

12 Calcule a área de cada setor, sabendo que o raio do gráfico circular é de 7 cm.

9 (FCMSC-SP) Um lago circular de 20 m de diâmetro é circundado por um passeio, a partir das margens do lago, de 2 m de largura. Qual é a área do passeio? 138,16 m2

AL 102 100

At 122 144

AP 144 100 44 138,16

lago

passeio

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm 2 cm

Ilust

raçõ

es: D

AE


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Cite, juntamente com seus colegas, exemplos de objetos e construções onde encontramos a forma do cilindro.

Características do cilindro circular:• É um sólido geométrico.• Suas bases são dois círculos paralelos congruentes.• Apresenta superfície lateral curva.• A altura do cilindro é a distância entre suas bases.

Podemos seccionar um cilindro. Seccionar em matemática significa cortar por um plano. Que figuras planas encontramos quando seccionamos um cilindro?

2. Área da superfície e volume de um cilindro

Sand

ra F

anze

res

base

h (altura)

base

Phot

odisc

P.S. S

tudi

o

Mau

ricio

Mor

ais

1. Que figura plana observamos quando seccionamos um cilindro paralelamente às bases? Círculo.

2. Que figura plana observamos quando seccionamos um cilindro perpendicularmente às bases?

Foto

s: Fe

rnan

do F

avor

etto

DAE

Retângulo.


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230

Área da superfície do cilindro

Já sabemos várias coisas sobre os cilindros, porém há mais a descobrir.Esta lata de molho de tomate tem a forma de um cilindro. Quanto material foi gasto para

confeccioná-la?Para descobrir, precisamos calcular a área da superfície dessa

lata.você pode conseguir uma lata semelhante a essa e também

fazer os cálculos.Observe que as bases são círculos.Com a régua, encontramos a medida do diâmetro das bases:

d 7,0 cm.Como d 2r, o raio do círculo é r 3,5 cm.

Acírculo r2 3,14 3,52 38,5 cm2

Como as duas bases são congruentes,Abases 2 38,5 77 cm2

E a superfície lateral?A planificação da superfície lateral do cilindro é um retângulo.

você pode usar uma calculadora!

Arredonde o valor para uma casa decimal.

A largura do retângulo é a altura h do cilindro. medimos com régua e encontramos h 9 cm.

E o comprimento? O comprimento tem a medida do com-primento C da circunferência do círculo que é a base da lata.

C 2 3,14 3,5 22 cm

Alateral comprimento largura 22 9 198 cm2

Agora podemos calcular a área total da superfície do cilindro.A Abases Alateral 77 198 275 cm2 São necessários 275 cm2 de material para confeccionar essa lata de molho de tomate.

Foto

s: Fe

rnan

do F

avor

etto

C 2 r

9 cm

Arredondamos o resultado.

Fern

ando

Fav

oret

to

DAE


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Volume do cilindro

O cilindro é um sólido geométrico, portanto tem volume. Sabemos calcular o volume de blocos retangulares.

vamos recordar:

• Quantos cubinhos de 1 cm de aresta formam o bloco retangular ilustrado?

São 10 8 4,5 = 360 cubinhos, cujo volume é 1 cm3.

Então,vbloco retangular = c � h = 360 cm3 vbloco retangular = (comprimento largura altura)

Repare que a base do bloco retangular é um retângulo cuja área é c �. Podemos escrever:

vbloco retangular Abase h

Partiremos dessa ideia para descobrir de forma intuitiva como calcular o volume de um cilindro.

Agora imagine que preenchemos a base com cubinhos idênticos cuja aresta mede 1 u. temos um cilindro de altura h = 1 u formado por ( r2) cubinhos, ou seja, o volume do cilindro é v = ( r2) unidades cúbicas.

As partes dos cubinhos que excedem o círculo “compensam” as regiões que ficaram descobertas.

Colocando mais uma camada completa de cubinhos, teremos um cilindro de altura h = 2 u. Seu volume será v = ( r2) 2 unidades cúbicas.

h (altura)

base

base

Usando como unidade de medida de área quadrados de lado 1 unidade (1 u), temos que a base do cilindro tem área igual a ( r2) unidades quadradas.

A base do círculo ocupa uma superfície equivalente a ( r2) qua-dradinhos de lado 1 unidade.

4,5 cm

8 cm

10 cm

Se colocarmos 3 camadas de cubinhos de aresta 1 u, teremos um cilindro de altura h 3 u com volume de v ( r²) 3 unidades cúbicas. A altura do cilindro não precisa ser um número natural. Podemos terh 4,5 u, por exemplo. mas para calcular o volume do cilindro continuaremos fazendo v = ( · r²) 4,5 u.

Escrevendo de forma geral, o volume v de um cilindro de altura h é calculado pela fórmula:

v r² h

Hélio

Sen

ator

e

Hélio

Sen

ator

e

Ilust

raçõ

es: D

AE


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232

Uma situação prática

Para construir uma piscina, foi cavado um buraco cilíndrico de 4 m de diâmetro por 2,5 m de profundidade. vamos calcular o volume de terra retirado do buraco.

Como o buraco tem a forma de cilindro, temos que:

v r² h

Se o diâmetro (d) é de 4 m, o raio (r) mede 2 m, pois d 2 · r.

h = 2,5 m (profundidade do buraco)

Então,

v 22 2,5

v 3,14 4 2,5 31,4 m3

Foram retirados do buraco 31,4 m3 de terra.

Sand

ra F

anze

res

Forme dupla com um colega. Vocês devem criar uma embalagem cilíndrica para um produto.

O cliente fez as seguintes exigências:

• a embalagem deve consumir de 300 cm2 a 700 cm2 de material;

• sua capacidade deve estar entre 900 mL e 1 200 mL.

A embalagem deve ser construída em cartolina, a partir da planificação, e devem ser apresentados os

cálculos que mostrem que a embalagem atende às especificações do cliente.

No solo, a terra está compactada. Quan-do escavada, se solta, passando a ocupar um volume aproximadamente 25% maior do que o ocupado quando compactada.

Considerando esse fato, podemos calcular o volume da terra depois de es-cavada (ve):

25% de 31,4 = 7,85

ve = 31,4 + 7,85 = 39,25 m3


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Exercícios

13 cm

6 cm

r

r

5 cm

18 c

m

a) Qual é o volume das seis latas? 7 065 cm3

b) Qual é o volume da embalagem de papelão?

c) Qual é o volume “perdido”? 1 935 cm3

13 A maioria dos óleos de cozinha tinha emba-lagens com a forma de um cilindro. Quantos cm2

de lata tem a embalagem indicada na figura?

AC 2( 52) 50

CC 2 5 10

AR 18(10) 180

Então: 50 + 180 230 722,2

722,2 cm2

301,44 cm2

“Desmontando” a embalagem.

É feita com dois círculos e um retângulo.

v 42 10 502,4502,4 cm3 0,5024 dm3 0,5024 L

9 000 cm3

vL 52 15 1 177,5vtL 6 1 177,5 7 065vC 30 20 15 9 000

2r

Sim, porque v 0,5024 L > 0,5 L

3 768 viagens

v 32 800 ⇒ v 22 608 22 608 : 6 3 768 viagens

AC 2( 32) 18

CC 2 3 6

AR 13(6) 78

Então: 18 + 78

96 301,44

2 m

3,5 m

14 Calcule a área total de uma lata de suco com 13 cm de altura e 6 cm de diâmetro.

15 Qual é a quantidade de água necessária para encher completamente o reservatório cujas medidas interiores estão indicadas na figura? 10,99 m3

16 Paulo poderá guardar meio litro de leite num recipiente cilíndrico com 4 cm de raio e 10 cm de altura? Apresente os cál-culos.

17 Um túnel circular vai ser cavado em uma montanha. Ele deve medir 800 metros de com-primento e 3 metros de raio.

a) Quantos metros cúbicos de terra serão re-tirados? 22 608 m3

b) Um caminhão leva 6 m3 de terra por via-gem. Quantas viagens serão necessárias para levar toda a terra?

18 As seis latas cilíndricas da figura têm, cada uma, 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro. Foram embaladas como mostra a figura.

Considere o volume da terra compactada e responda:

Leite

4 cm

10 c

m

Lápi

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DAE

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Valeapenaler

Calculando o volume de uma tora de madeiravamos descrever um processo interessante usado em serra-

rias para calcular o volume de toras que serão transformadas em vigas de madeira.

Corta-se um pedaço de barbante com comprimento igual ao de uma volta completa na tora, como vemos na figura ao lado.

Divide-se este pedaço de barbante em 4 partes iguais.

multiplica-se então o comprimento deste 14

do barbante por ele mesmo.

O produto obtido é multiplicado pelo comprimento da tora (veja a figura).O trabalho está feito. O número obtido é considerado como a medida do volume da tora de

madeira. Será que o processo dá mesmo certo? vejamos:Se considerarmos a tora com forma aproximadamente cilíndrica, o volume é dado por

v r2 h, em que r é o raio e h é o comprimento da tora.Ao dar a volta completa no tronco, o pedaço de barbante obtido mede 2 r.

Dividido em 4 partes iguais, cada uma medirá 2 r

4

r2

.

multiplicando esse valor por si mesmo e depois por h, obtemos:

r2

r

2 h

2 r2

4 h

O que há de diferente entre o volume obtido e o esperado?

Podemos escrever 2 r2

4 da seguinte maneira para enxergar melhor:

2 r2

4 h

4 r2 h, ou seja, o volume obtido é uma fração do esperado. Que fração?

Como 3, podemos considerar

4 3

4.

O volume obtido na serraria é cerca de 34

do volume do cilindro de raio r e comprimento h.

As pessoas que usam esse tipo de cálculo nas serrarias sabem disso e não consideram a diferença um problema, pois uma parte do volume de madeira será perdida quando forem aparadas as partes arredondadas e irregulares da tora. O cálculo que fazem fornece, aproximadamente, o volume final.

234

h

barbante

Ilustrações: Hélio Senatore


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a)

b)

c)

d)

19 Observe as figuras.

a) Sabendo que tem 1 cm2 de área, indique a área colorida de cada uma das figuras.

b) O que você pode afirmar das figuras B e C?

A B C

A 4 cm2; B 5 cm2; C 5 cm2

São equivalentes.

20 Calcule a área das partes coloridas, su-pondo as medidas em cm.

5 2,52,5

A1 102 2

157

A2 52

2 39,25

A3 (2,5)2

2 9,8125

A A1 – A2 – 2A3

A 157 – 39,25 – 19,625

A 98,125

98,125 cm2

AR 5 15 75AC 2,52 6,25

A 75 18,75 A 16,13 16,13 cm2

5

15

Ap 8 1,5 12

ASC 42 2

8

A 12 8 Resposta: (12 8) cm2

OA 0,5OB 1,5

Ac R2 r2

2

Ac (1,5)2 (0,5)2

2

At 2,5 2,5 5

Resposta: (5 ) cm2

Só vale cálculo mental.

A

O C

D

B

21 A área do círculo da figura seguinte mede 20 cm2. Se AÔB mede 60o e CÔD mede 30o, quanto mede a área da região do círculo que está sombreada? 5 cm2

22 Veja a cortina confeccionada por Érica. Ela usou pedaços de tecido de duas cores, e alguns deles têm forma circular e correspondem a quartos de círculo de raio 2 m. Quantos m2 de tecido escuro usou, se a cortina tem 4 m de largura?8 m2

Só vale cálculo mental.

a) Qual é a área da região amarela?

b) Qual é a área da região verde?

AL (3,19 2,12)2 – (0,7)2 3,14 1,84

A área da região amarela é 1,84 m2.

AR (4 2,8) – (3,19 2,12)2 7,82

A área da região verde é 7,82 m2.

23 Uma bandeira brasileira foi confecciona-da nas dimensões da figura abaixo:

Revisando

2,5

OA

B

2 m

2 m

2 m

2 m

1,5

O4

4 m

3,19 m

2,12

m

2,8

m

0,70 m

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236

24 Uma pizza de queijo tem diâmetro igual a 30 cm e está dividida em 6 fatias. Qual é a área de cada fatia?

r 30 : 2 15A 3,14 152

A 3,14 225 706,50AF 706,50 : 6 117,75

8 cm

45°

A r2º 360º

A 82 45º360° 8

117,75 cm2

8 cm225 Calcule a área do setor circular.

26 Bruna decorou um frasco cilíndrico colocando duas fitas iguais em volta dele, como mostra a figura. Qual quantidade de fita ela usou?

C 2 3,14 5 31,4

Ct 31,4 2 62,8

62,8 cm

27 Calcule o volume ocupado pela construção.

(Use 3,1.) 2 588,5 cm3

v1 32 15 418,5v2 102 7 2 170vt 2 170 + 418,5 2 588,5

6 cm

20 cm

7 cm

15 cm

28 Este vidro de remédio tem a forma de um cilindro cuja base mede 2,5 cm de raio e 8 cm de altura. Sua embalagem tem a for-ma de um bloco retangular. Qual é a menor medida possível para as arestas desta caixa? 5 cm, 5 cm e 8 cm

29 Qual é o volume aproximado de uma lata de molho de tomate ou de refrigerante? Meça a altura e o raio da base. Resposta pessoal.

30 (Saresp) Cortando-se um cilindro na linha pontilhada da figura, obtém-se sua planifica-ção. Veja:

AB 52 3,1 2

AL 2 3,1 5 10

155 310

465

Se o raio de cada base mede 5 cm e o cilindro tem 10 cm de altura, qual é a área total de sua superfície? (Use 3,1) 465 cm2

31 (Saresp) Uma caixa, sem tampa, de forma cilíndrica, vai ser revestida com papel de pre-sente (sem sobras). Quantos cm2 serão gastos, se o raio da base é 10 cm e a altura é 5 cm?

AB 102 3,14 314AL 2 3,14 10 5 314At 314 + 314 628

10 cmdiâmetro

628 cm2

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DesafiosDesafios

1 m1 m

1,90

m

A base éum quarto de círculo.

6 cm 10 cm

5 cm

32 Observe na figura a piscina que Leandro ganhou no dia de seu aniversário.

a) Qual é o volume da piscina, em litros? 2 512 L

b) Para não derramar água para fora, a sua mãe costuma encher a piscina até de sua capacidade. Quantos litros de água são necessários? 1 884 L

v 102 8 2 5122 512 dm3 2 512 L

34

2 m

80 cm33 (Cesgranrio-RJ) Um salame tem a forma de um cilindro reto com 40 cm de altura e pesa 1 kg. Tentando servir um freguês que queria meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pe-daço variava entre 22 cm e 26 cm. O peso do pedaço é de:

a) 600 g c) 630 g

b) 620 g d) 640 g

x

40 cm 1 kg24 cm x

34 Comprei um boxe para colocar no meubanheiro.

a) Qual é a área do chão ocupada pelo boxe?

b) Qual é o seu volume, em litros? 1,491 5 L

0,785 m2

35 (Unicamp-SP) Em um restaurante, uma fa-mília pede uma pizza grande, de 43 cm de di-âmetro, e outra família pede duas médias, de 30 cm de diâmetro. Qual família come mais pizza?AG (21,5)2 462,25

36 Um cão, preso por uma corda de 1,5 m, desloca-se ao longo de um trilho de 5 m de comprimento. Qual é a área protegida pelo cão?

AC (1,5)2 7,065AR 3 5 15 At 15 + 7,065 22,06522,065 m2

Am 2( 152) 450 A família que pediu a pizza grande.

37 No jardim da minha casa há duas man-gueiras de cor diferente.

Quando estão cheias, qual delas contém mais água? A mangueira azul.

38 Que volume ocupa o baú onde a dona Joa-quina guarda suas bijuterias?

Mangueira azul

Tubo de 16 mm de diâmetro

15 m de comprimento

Mangueira vermelha

Tubo de 8 mm de diâmetro

50 m de comprimento

Nota: a tampa tem

a forma de um

semicilindro.

vB 5 6 10 300

vSC 141,3

vt 300 + 141,3 441,3

32 102

441,3 cm3

5 m

3 m

5 m

A 0,785

v 1,491 5

12 4

12 1,904

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SeçãolivreSeçãolivre

Para evitar desperdício, seria muito bom que cada cidade elaborasse estratégias para a co-leta seletiva do lixo. Tal fato poderia, inclusive, gerar mais empregos. Um incentivo à coleta se-letiva seria, por exemplo, a instalação, em lo-cais públicos, de latões específicos para papel, metal, vidro e plástico. Os latões azuis seriam para papel; os amarelos, para metal; os verdes, para vidro; e os vermelhos, para plástico.A forma de cada latão é a de um cilindro de 12 dm de altura com o raio da base medindo 30 dm.

39 Considerando = 3,14, você pode afirmar que a área da base desse cilindro é, em decí-metros quadrados, igual a:

a) 942

b) 1 884

c) 2 512

d) 2 826

A = 3,14 · 30² = 2 826

40 O volume desse latão pode ser expresso, em metros cúbicos, por:

a) 1 200

b) 3 600

c) 7 200

d) 10 800

x

x

v = · 30² · 12 = 10 800

41 Dobrando-se o diâmetro de um círculo, sua área fica:

a) dobrada.

b) inalterada.

c) quadruplicada.

d) multiplicada por 8.

4(4r)2 (2r)2

x

42 (Enem-MEC) Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa qua-se completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milime-trada.Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medi-ções a serem realizadas é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

x

O líquido no interior da garrafa ocupa o volume de um cilindro. Então as medições necessárias são: o diâmetro da base e a altura do líquido.

43 Se no tambor ao lado colocarmos cem litros de óleo, o óleo:

a) transborda.

b) ultrapassa o meio do tambor.

c) não chega ao meio do tambor.

d) atinge exatamente o meio do tambor.

x

v = (2,5)² · · 10 = 196, 25v = 196,25 dm³ = 196,25 LEntão, 100 L ultrapassam o meio do tambor.

Dado: 1 dm³ = 1 litro

238

(SEE-RJ) Leia o texto para responder às questões 39 e 40.

1 m

Diâmetro interno: 50 cm

Zlat

ko K

ostic

/iSto

ckph

oto.

com

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5 m

15 m

10 m

a) 470 cm2

b) 480 cm2

c) 490 cm2

d) 500 cm2

a) é suficiente, pois a área total do canteiro é igual a 170 m².

b) não é suficiente para cobrir o canteiro, pois a área total dele é maior que 170 m².

c) é suficiente, pois a área total do canteiro é menor que 170 m².

d) não é suficiente para cobrir o canteiro, pois a forma da lona é diferente da forma do canteiro.

16 r2

r 4d 8

A (12,5)2 A 490,62

x

x

45 (Saresp) Observe as figuras abaixo, em que A é um cilindro e B, um prisma de base qua-drada.

x

A

46 Um jardineiro, trabalhando sempre no mesmo ritmo, demora 3 horas para carpir um canteiro circular de 3 m de raio. Se o raio fos-se igual a 6 m, quanto tempo ele demoraria?

44 (PUC-RJ) Uma tela de computador de di-mensões 25 cm 37 cm pode exibir por in-teiro um círculo cuja área tenha no máximo (valor aproximado):

Sabendo-se que as duas embalagens têm a mesma altura e que o diâmetro da embalagem A e o lado da embalagem B são congruentes, podemos afirmar que o volume de A é:

a) menor que o volume de B.

b) maior que o volume de B.

c) igual ao volume de B.

d) metade do volume de B.

a) 6 horas

b) 8 horas

c) 9 horas

d) 12 horasx

47 (Saresp) Juliana colocou um copo molha-do sobre a mesa, e nela ficou a marca da base circular do copo. A área da marca é de 16 cm2. O diâmetro da base do copo é:

a) 4 cm

b) 8 cm

c) 16 cm

d) aproximadamente 5,7 cm

48 (Encceja-MEC) Um jardineiro cultiva suas plantas em um canteiro que tem a forma da figura abaixo, em que uma parte é uma semi-circunferência. Para cobrir todo o canteiro, ele calculou que precisaria comprar uma lona de 170 m² de área.

Quanto ao cálculo do jardineiro, é correto afir-mar que a área da lona:

x

B


A = 10² + (3,14 · 25) : 2A = 100 + 39,25A = 139,25

Horas Área3 32

x 62

Portanto, x = 12

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240

4 cm

4 cm

3 cm 4 cm

4 cm

a) 1 caminhão.

b) 2 caminhões.

c) 4 caminhões.

d) 10 caminhões.

a) transborda.

b) ultrapassa o meio do cano.

c) enche o cano até a borda.

d) não chega ao meio do cano.

a) 32,15 cm2

b) 36,12 cm2

c) 34,50 cm2

d) 33,75 cm2

A 62 – (1,5)2 A 33,75

A1 52 25

A2 102 100Preço 4 1,10 4,40

AR 8 16 128A 2 ( 42) 99,2 AF 128 99,2 28,8

A 26 5333,14 1302

2

12 cm3 cm

v 12 3,14 3 v 9,429,42 : 9,42 1

v 52 30 2 355v 2 355 cm3 2,355 L

49 (Fuvest-SP) Um comício político lotou uma praça semicircular de 130 m de raio. Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por m2, qual é a melhor estimativa do número de pessoas presentes?

a) Dez mil. c) Um milhão.

b) Cem mil. d) Meio milhão.

50 (Ceeteps-SP) Na figura do compact disc (CD), a área hachurada que se destina à grava-ção mede:

51 (Unirio-RJ) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimentos 11 m e 3 m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4 m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximada-mente:

52 (Uniube-MG) Por uma questão de respei-to ao consumidor, um supermercado determi-na que suas pizzas sejam vendidas a um preço propor cional à quantidade de ingredientes uti-lizados. Dessa forma, se o preço de uma pizza pequena de 10 cm de diâmetro é R$ 1,10, o preço de uma pizza média com 20 cm de diâ-metro deve ser:

a) R$ 2,20 c) R$ 4,40

b) R$ 3,30 d) R$ 5,50

53 (Ufal) Na figura abaixo têm-se 4 semicírcu-los, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo. Se o raio de cada semicírculo é 4 cm, a área da região sombreada, em centí-metros quadrados, é: (Use: 3,1.)

a) 28,8

b) 24,8

c) 25,4

d) 32,4

54 (UFR-RJ) Um caminhão-pipa carrega 9,42 mil litros de água. Para encher uma cisterna cilín-drica com 2 metros de diâmetro e 3 metros de altura é (são) necessário(s), no mínimo,

a) 15 072 L c) 50 240 L

b) 15 024 L d) 150 720 L

56 (UF-GO) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro inter-no encontra-se na posição vertical e possui a parte interior vedada. Colocando-se 2 litros de água em seu interior, a água:

55 (UFU-MG) Um tanque de gasolina tem forma cilíndrica. O raio da circunferência da base é 3 m e o comprimento do tanque é 6 m. Colocando-se líquido até os de sua capacidade, pode-se afirmar que nesse tanque há:

89

v 32 6 169,56

169 560 150 72089

AR 3 4 12

ASC 25,12

A 12 + 25,12 37,12

3,14 42

2

x

x

x

x

x

x

x

x

Quantidade de pessoas 4 26 533 106 132

a) 25 m2

b) 34 m2

c) 37 m2

d) 41 m2Hé

lio S

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P o r C e n ta g e m e j u r o 241

UNIDADE 10UNIDADE

Na loja A, o desconto é de 8%. isso significa que o comprador pagará 92% de R$ 250,00, pois:

100% 8% 92%

92% 0,92

92% de 250 0,92 250 230

O preço à vista do produto na loja A é R$ 230,00.

Porcentagem e juro1. Revendo porcentagens, descontose acréscimos

você sabe: os cálculos com porcentagens estão presentes em inúmeras situações do cotidiano. vamos trabalhar com algumas delas?

1. Qual das lojas oferece o melhor preço à vista para este produto?

92100

Mais barato do que na loja C.

R$ 280,00 EM DUAS VEZES OU À VISTA COM 15% DE DESCONTO.

R$ 250,00 EM DUAS VEZES OU À VISTA COM 8% DE

DESCONTO.

DE R$ 275,00POR

R$ 242,00

Calculamos diretamente o preço da mercadoria, já com o desconto.também poderíamos fazer:1% de 250 2,5

Para calcular 1% de uma quantia, basta dividi-la por 100.

8% de 250 8 2,5 20O desconto será de R$ 20,00. Preço à vista 250 20 230.

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PRAtiCANdO mAtemÁtiCA 9O ANO ediçãO ReNOvAdAPNLd 2014 – mac 4

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242

33275

0,12 Confira o valor do quociente com a calculadora!

Eu pensei diferente!

O que você achou da solução proposta pela Ana?

12100

Na loja B, o desconto é de 15%. O comprador pagará 85% de R$ 280,00, pois:

100% 15% 85%85% 0,8585% de 280 0,85 280 238

O preço à vista na loja B é R$ 238,00.

Concluímos que o melhor preço à vista para esse aparelho de som é o da loja A.

A loja C não informou no anúncio qual é a porcentagem de desconto oferecida, mas podemos calculá-la:

Como 275 242 33, o desconto é de R$ 33,00.• R$ 33,00 corresponde a que porcentagem do preço original do produto, que é R$ 275,00?Para descobrir, basta comparar esses valores por meio de uma razão:

12%

A loja oferece um desconto de 12% no preço do produto para pagamento à vista.

Na calculadora...

Para determinar 85% de 280

na calculadora, basta digitar:

280 85 %

Aparece no visor 238.

Mesmo oferecendo uma porcentagem maior de desconto, o produto sairá

mais caro na loja B.

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Mág

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O aluguel da casa do senhor Lima será reajustado este mês. A imobiliária que administra o

imóvel informou a ele que, para obter o valor do novo aluguel, deverá multiplicar o valor do aluguel

atual por 1,07.

Pense, troque informações com os colegas e responda:

1. Multiplicar por 1,07 equivale a calcular o valor do aluguel com um aumento de quantos por

cento? 7%

2. O valor do aluguel da casa do senhor Lima é de R$ 800,00. Quanto será com o aumento? R$ 856,00

Rogé

rio A

lbuq

uerq

ue/F

olha

Imag

em

Cuidado! Se você acha que é de 10%,

se enganou!

2. No mercadinho JJ, os preços de três artigos de perfumaria sofrerão um aumento de 12%.vamos ajudar o Carlos, que é funcionário do mercadinho, a calcular os novos preços?

Como o aumento será de 12%, devemos somar ao preço antigo 12% do seu valor.Preço antigo 100% Preço com aumento 100% 12% 112%

Podemos obter diretamente o preço com aumento calculando 112% do preço antigo:

112% 1,12

Sabonete: 112% de 0,75 1,12 0,75 0,84 R$ 0,84Creme dental: 112% de 1,50 1,12 1,5 1,68 R$ 1,68desodorante: 112% de 2,40 1,12 2,40 2,688 R$ 2,69

3. O gerente de uma loja de automóveis reajustou os preços de todos os veículos em 20%. em seguida, publicou um anúncio oferecendo desconto de 30% em todo o estoque.

Como o gerente subiu os preços antes da promoção, o desconto sobre o preço inicial dos auto-móveis não será de 30%. vamos calcular o porcentual real de desconto?

112100

Artigo Preço antigo (R$)Preço com aumento

(R$)Sabonete 0,75

Creme dental 1,50desodorante 2,40

(Arredondamos para centavos.)

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244

Mau

ricio

Mor

ais

vamos representar o preço inicial de um automóvel por x.O preço desse automóvel com aumento de 20% será 1,2 x.Sobre esse valor será dado um desconto de 30%.O cliente pagará 70% de 1,2 x, ou seja:Preço final com desconto 0,7 1,2 x.Fazendo 0,7 1,2 0,84, temos:Preço final com desconto 0,84 x , o que corresponde a 84% do preço inicial x do veículo.Quem paga 84% de um valor, tem um desconto de 16%, pois 100% 16% 84%.Na verdade, o gerente está oferecendo um desconto de 16% sobre o preço original de cada

automóvel.

4. Um fabricante de embalagens precisava reajustar os preços de seus produtos em 30%. Fez o seguinte: 20% de aumento em janeiro e 10% de aumento em fevereiro. Ao proceder assim, ele reajustou os preços em 32%. veja por quê:

Preço inicial do produto: xPreço em janeiro com aumento de 20%: 1,2 xPreço em fevereiro com aumento de 10% sobre o preço de

janeiro: 1,1 1,2 x 1,32 xO preço inicial x do produto teve um aumento de 32%, e não

de 30% como ele pretendia.

Resolva em dupla.

Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total x das compras de cada cliente, de acordo com a

tabela.

Um cliente compra um ventilador por R$ 180,00 e uma calculadora por R$ 20,00. O vendedor, muito

gentilmente, se oferece para reduzir o preço da calculadora para R$ 15,00, e o cliente aceita a oferta.

No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional.

Nessas condições, pode-se dizer que o cliente:

a) teve um lucro de R$ 5,00. c) teve um prejuízo de R$ 5,50.

b) teve um prejuízo de R$ 7,00. d) não teve nem lucro nem prejuízo.

Aplicadas as regras do desconto, o cliente gastaria:

200 15% 200 170

Aplicada a oferta do vendedor, o cliente gastou:

195,00 10% 195 175,50

Assim, o cliente teve um prejuízo de R$ 5,50.

x

10% para compras entreR$ 10,00 e R$ 199,00DESCONTO

15% para compras deR$ 200,00 ou mais

DAE


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Exercícios

1 Calculementalmente.

a) 10%de25925,9

b) 5%de7000350

c) 50%de128,664,3

d) 25%de848212

e) 50%deR$6.000,00R$ 3.000,00

f) 10%deR$6.000,00R$ 600,00

g) 5%deR$6.000,00R$ 300,00

h) 0,5%deR$6.000,00R$ 30,00

R$ 14,72

P.S. S

tudi

o

2Calculeopreço, em liquidação,de cadaumadaspeçasderoupa.

a)

b)

c)

3Umacaixatem60bombons.

a) Comeram 30% dos bombons. Quantosbombonsaindahánacaixa?42 bombons

b) Se comeram27bombons, qual foi a por-centagemdebombonsconsumidos?45%

c) Cada caixa de bombons custa R$ 48,00.Vaiservendidanapromoçãocomdescon-tode5%.Quantovaicustarcadaumdos60bombonsdacaixa?R$ 0,76

4Qualémaior: Ambos são iguais a 16.

5Umamáquinaque fabrica lâmpadaspro-duz2%deobjetosdefeituosos.Hojeencon-traram 71 lâmpadas com defeito. Quantaslâmpadasproduziuamáquina?3 550 lâmpadas

Foto

s: Pa

ulo

Pepe

R$ 28,90

80% de 20ou

20% de 80?

R$ 36,90

R$ 16,00

8% DEDESCONTO

R$ 34,00

15% DEDESCONTO

R$ 45,00

18% DEDESCONTO

Hélio

Sena

tore

Ilust

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246

6Das240laranjasdeumacaixa,84foramvendidas.Qualéaporcentagemdaslaranjasvendidas?35% • 0,35 84

240

7Numacidade,opreçodapassagemdeôni-bussubiudeR$2,40paraR$2,70.Qualfoiaporcentagemdeaumento?12,5% • 0,125

0,302,40

8Descubraopreçodeumageladeira,saben-doqueumaumentodeR$360,00representa18%doseupreço.R$ 2.000,00 • 18% 360

• 1% 20• 100% 2 000

Léo

Burg

os

9UmsenhorganhaR$840,00pormês.Elegastaseusaláriodoseguintemodo:37%comalimentação, 21% com aluguel e 39% comoutrasdespesas.Qualéovalormensalquelheresta? R$ 25,20 • 0,03 840 25,20

10Umvendedordisse,inicialmente,quedava15%dedescontosobreumamercadoria,mas,no fim, deu mais 10% de desconto sobre oprimeirodesconto.Qualfoiodescontoúnicoequivalentequeeledeunofim?23,5%

Resposta do exercício 10

• desconto de 15% 100 15 85 • Preço após o segundo desconto 85 8,5 76,5 • desconto de 10% sobre 85 8,5 • 100 76,5 23,5

11Depoisdeumaumentode12%,umtele-visor passou a custar R$ 728,00. Qual era opreçodotelevisorantesdoaumento?R$ 650,00

x 0,12x 728

12(CPII-RJ) Abaixo estão dois gráficos rela-cionados ao consumode energia elétricanacasadosenhorAlexandre,nosmesesdejulhoasetembrode2010.Apartirdosgráficos,res-pondaàsperguntas.

Consumo mensal de energia, em kWh (medição feita a cada 30 dias)

Distribuição do consumo de energia por tipo de equipamento

a) 540 · 0,08 = 43,2 330 · 0,08 = 26,4 43,2 – 26,4 = 16,8

a)QualadiferençaentreoconsumodaTVemsetembroeemjulho,emkWh?16,8 kWh

b)Qualfoiaenergiaconsumida,emmédia,acadahoradesetembrode2010? 0,75 kWh

330 450

540

julho agosto setembro

outros7% geladeira

27%ferro8%

TV8%

lâmpadas22%

chuveiro28%

b) 540 : (24 · 30) = 0,75

Ilust

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es: D

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Juro simplesO juro simples é comumente

usado nas cobranças de contas ou prestações em atraso.

veja exemplos:

1. esta prestação foi paga com 10 dias de atraso. Quanto se pagou de juro?

0,5% de 240 0,005 240 1,2

Paga-se R$ 1,20 por dia de atraso.

Como foram 10 dias, temos: 10 1,2 12O total de juro pago foi de R$ 12,00.Repare que, para obter o valor do juro, fizemos:240 0,005 10 (capital taxa tempo)

Podemos escrever que, no cálculo de juro simples:

j C i t

Phot

odisc

SEMINOVOS

SEMINOVOS

SEMINOVOS • Entrada parcelada

• Juro de 1,2% ao mês!!!

você sabe o que é juro?Uma pessoa que faz um empréstimo num banco, por exem-

plo , compromete-se a pagar a quantia emprestada mais um valor correspondente ao juro. O juro é a compensação, o lucro que o banco terá na transação de empréstimo.

2. Juro

Se, ao contrário, a pessoa faz uma aplicação financeira, como a caderneta de poupança, é o banco que lhe paga juro. ela terá direito aos lucros dessa operação.

Quando compromissos como contas, prestações ou impostos não são pagos em dia, em geral cobra-se uma multa mais juro pelo atraso. É uma forma de compensar quem deveria receber e não recebeu.

O valor pago pelo juro depende:

• da quantia (devida, aplicada etc.), que será chamada de capital (C ).

• do tempo de duração da transação (empréstimo, aplicação fi nanceira etc.) (t ).

• da taxa de juro cobrada (i ), que é porcentual.

Há dois tipos de juro: juro simples e juro composto.

Calcule mentalmente o valor da multa:

2% de 240 R$ 4,80

Arqu

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r

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3. Sidnei emprestou R$ 1.000,00 ao seu amigo Paulo, no regime de juro simples. Combinaram uma taxa de 3% ao mês. No final do empréstimo, Paulo pagou a Sidnei R$ 1.045,00. Por quantos dias o dinheiro ficou emprestado?

1 045 1 000 45

Paulo pagou a Sidnei R$ 45,00 de juro.

45 1 000 0,03 t45 30t

t

t 1,5

Como a taxa de juro é mensal, o tempo encontrado está em meses.então, o dinheiro ficou emprestado por 1,5 mês 1 mês e meio 45 dias.

2. Júlio atrasou em 15 dias o pagamento de uma prestação de R$ 180,00. Não havia multa, mas ele pagou R$ 10,80 de juro. Qual é a taxa de juro cobrada ao dia?

j 10,80C 180i t 15

Como j C i t, temos:

10,80 180 i 1510,80 2 700 i

i

i 0,004

0,004 , ou seja, 0,4%

A taxa de juro por atraso foi de 0,4% ao dia.

10,802 700

41 000

0,4100

4530

Dividindo 0,06 por 15 obtenho a taxa de juro

cobrada ao dia: 0,4%.

Eu resolvi o problema de outra

forma!

Calculei quanto por cento R$ 10,80 é de

R$ 180,00.

Ilust

raçõ

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ápis

Mág

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Juro composto

Na maioria das operações envolvendo juro, é utilizado o juro composto. O cálculo do juro com-posto é mais complicado do que o do juro simples. Há fórmulas que auxiliam nessas situações, e você vai conhecê-las mais tarde. No entanto, por meio dos exemplos que daremos, você compreenderá as características fundamentais desse tipo de juro.

Acompanhe.

1. Uma pessoa fez uma dívida de R$ 500,00, que será paga no regime de juro composto a uma taxa de 12% ao mês.

Ao valor da dívida será acrescentado o juro.

Lembrando que 100% 12% 112% e 112% 1,12

podemos calcular diretamente o valor da dívida depois de um mês, fazendo:

1,12 500 560

No final de um mês, a pessoa deverá R$ 560,00. Pagando essa quantia ela quita sua dívida. mas veja o que ocorre se ela deixar para pagar nos meses seguintes: Para o segundo mês, o cálculo do juro não será feito sobre o capital inicial de R$ 500,00, mas sobre R$ 560,00. O juro é somado ao capital inicial.

1,12 560 627,20

No terceiro mês o juro será calculado sobre R$ 627,20:1,12 627,2 702,46Ao final do terceiro mês, a dívida inicial de R$ 500,00 estará em R$ 702,46.

112100

Calcule quanto pagaria de juro uma pessoa que pegasse emprestados os mesmos R$ 500,00 a 12%

ao mês durante três meses, no regime de juro simples. Use calculadora, se preferir.

Quanto a mais de juro a pessoa paga nesse período no regime de juro composto? R$ 22,46

R$ 180,00

2. Nos meses de janeiro, fevereiro e março de certo ano, o rendimento médio pago pela caderneta de poupança foi de 0,7% ao mês. Uma pessoa abriu sua caderneta de poupança em 2 de janei-ro, com R$ 1.000,00 e não fez depósitos nem retiradas nos três meses citados. Que quantia ela tinha nessa caderneta de poupança em 2 de abril do mesmo ano?

Cint

ia S

anch

ez

A caderneta de poupança é um tipo de investimento muito procurado no Brasil. O dinheiro aplicado pelos brasileiros na poupança é investido pelo go-verno no setor de habitação.

É o que comumente se chama de juro sobre juro. Ao

final de cada período, o juro é incorporado ao capital.


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250

Ao capital, serão acrescentados 0,7% de rendimentos.

Primeiro lembre-se de que 100% 0,7% 100,7% e

100,7% 1,007

em 2 de fevereiro foram creditados os rendimentos de janeiro:1,007 1 000 1 007Saldo: R$ 1.007,00

em 2 de março foram creditados os rendimentos de fevereiro:1,007 1 007 1 014,05Saldo: R$ 1.014,05em 2 de abril foram creditados os rendimentos de março:

1,007 1 014,05 1 021,15Saldo: R$ 1.021,15em 2 de abril, a pessoa tinha na caderneta de poupança

R$ 1.021,15, obtendo, portanto, um total de R$ 21,15 de ren-dimentos para essa aplicação, nesse período.

100,7100

Observe que os rendimentos de janeiro foram incorporados ao capital para o cálculo dos

rendimentos de fevereiro.

Com rendimentos creditados,

queremos dizer que o valor

dos rendimentos é depositado

automaticamente na conta de

poupança dessa pessoa.

créd

ito

Compra à vista ou a prazo?

Um dos problemas matemáticos mais comuns no dia a dia é a decisão entre comprar uma mercadoria ou um serviço à vista ou a prazo.

Acompanhe a resolução deste problema:

mesmo Paulo tendo aplicado os R$ 500,00 com rendimento de 2% ao mês, ele pagou R$ 35,57 a mais do que pagaria se tivesse comprado o fogão à vista. Para escolher a opção mais vantajosa, é necessário conhecer as taxas de juros da compra e da aplicação.

NPM9069

(UFmG) Um fogão estava anunciado por R$ 500,00 para paga-mento à vista ou em três prestações mensais de R$ 185,00 cada, a primeira delas a ser paga um mês após a compra. Paulo, em vez de pagar à vista, resolveu depositar, no dia da compra, os R$ 500,00 numa aplicação que lhe renderia 2% ao mês, a juros compostos, nos próximos três meses. desse modo, ele esperava liquidar a dívi-da fazendo retiradas de R$ 185,00 daquela aplicação nas datas de vencimento de cada prestação.

vamos mostrar que a opção de Paulo não foi boa. Para isso, calcularemos quanto a mais ele teve de desembolsar para pagar a última prestação.

1,02%

1o mêsapós a compra

510,00– 185,00 325,00


1,02% 331,50– 185,00 146,50


1,02% 149,43– 185,00

–35,57

500,00

R$ 500,00 à vista ou

em 3x de R$ 185,00

Lápi

s M

ágico

Hélio

Sen

ator

e


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Exercícios

19Uma mercadoria cujo preço à vista éR$100,00foivendidaemduasparcelas:apri-meiranoatodacompra,novalordeR$50,00;a segundacomvencimentoem30dias,novalordeR$69,00.Qualéataxarealdejuro,expressaemporcentagem,cobradadocon-sumidor?

Aplique R$ 700,00 e receba R$ 717,50 ao fi nal de um mês

38% 19 50 i 1 ⇒ i 0,38

1,67% (aprox.) ao mês3 000 15 000 i 12 ⇒ i 0,016 6...

12 X

13OjurodochequeespecialdoBancoMATestáem12%aomês.SePauloficarcomsaldonegativodeR$56,00durante1mês,quantoterádepagardejuro?R$ 6,72

14VocêvaicomprarumeletrodomésticonovalordeR$520,00,sendoovalor financiadoem2anos.

a) Qualéojurodobanco,emreais?R$ 1.872,00

b) Qualéojurodaloja?R$ 1.664,00

c) Qualfinanciamentovocêescolheria?espera-se que o aluno escolha o de menor valor, ou seja, o financia-mento da loja.

15Qualéataxadejurodoanúnciodojornal?2,5% ao mês

16Eliana devia, em seu cartão de crédi-to, R$1.000,00. Como não conseguiu pagar,em dois meses essa dívida aumentou paraR$1.440,00. Nesse caso, qual foi a taxa dejurosimplescobradamensalmentepelocartãodecrédito? 22% ao mês

440 1.000 i 2 ⇒ i 0,22

17Em quanto tempo um capital deR$34.000,00,empregadoaumataxade10%aoano,rendeuR$13.600,00dejurosimples?4 anos13 600 = 34 000 0,1 t ⇒ t = 4

18Umcarroévendidoem12prestaçõesdeR$1.500,00.SeopreçodessecarroàvistaédeR$15.000,00,qualéataxadejurosimplescobrada?

Mak

sim To

ome/

Shut

ters

tock

20O cálculo do juro da caderneta de pou-pançanãoéfeitocomjurosimples.Vamossu-porumaaplicaçãopor3meses,cadamêscomumataxadiferente.

• primeiromês:1,6%R$ 10.160,00

• segundomês:1%R$ 10.261,60

• terceiromês:1,2%R$ 10.384,73

SehátrêsmesesdepositeiR$10.000,00,quan-to tenho agora? R$ 10.384,73

Tabela de fi nanciamento

Nobanco:jurosimplesde15%aomês

Naloja:jurosimplesde160%aoano

Hélio

Sen

ator

e


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252

a) Quaisforamosaumentosporcentuaisdes-sesdoisprodutos?

b) Qualdelesaumentoumais?O macarrão.

5% no feijão e 25% no macarrão

Foto

s: Sa

ndra

Fan

zere

s

21Uma pessoa pesa 95 kg, mas o médicoaconselhou-aaemagrecer,diminuindooseupesoatualem20%.Qualéopesorecomen-dadopelodoutor?76 kg

22Umpacotetem40bolachas.

a) Carloscomeu15%dasbolachas.Quantas bolachascomeu?6 bolachas

b) Secomeram22bolachas,qualéaporcen-tagemdebolachasconsumidas?55%

c) Se um pacote custa R$ 4,00 e é vendidocom 10% de desconto, quanto custam8bolachas?R$ 0,72

23Foi feitaumapesquisa, emquatro indús-trias,sobreogostopelofutebol.Copieecom-pleteatabelaemqueestãoorganizadososre-sultadosdapesquisa.

24Vejaadistribuiçãodeuma“caixinha”en-treosgarçonsdeumrestauranteecompleteatabelanocaderno.

• 28% 196• 1% 196 : 28 = 7• 35% 7 · 35 = 245• 37% 7 · 37 = 259

25AcontadeumclienteemumrestaurantefoideR$52,80,incluindoataxadeserviçode10%paraopagamentodogarçom.Quevalorserádestinadoaogarçom?R$ 4,80• 1% 52, 80 : 110 = 0,48• 10% 0,48 · 10 = 4,80

26UmabicicletaéoferecidaporR$600,00.Essepreçosofreumdescontode8%,seguidodeoutrode2%.Qualéonovopreçodevenda?R$ 540,96

27OquilodefeijãocustavaR$3,20epassouacustarR$3,36,enquantooquilodemacar-rãocustavaR$4,80epassouacustarR$6,00.

Total de pessoas por indústria

Pessoas que gostamde futebol

A 5600 metade 50% 2800B umquinto 1250C 1200 75%D 1473 todos

Revisando

6 250 três quartos 20% 900 100% 1 473

92% de 600 55298% de 552 540,96

Gen

e Ch

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oto.

com

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ka/P

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Porcentagem Reais

Marcos 37%

Saulo 35%

Frede 19628%

259

245

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j 4 800 0,18 6 5 184 total: 4 800 5 184 9 9849 984 : 6 1 664

Dmitr

y M

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kov/

Shut

ters

tock

2 anos3 040 4 000 0,38 t ⇒ t 2

36. dívida do cliente depois de pagar a entrada: R$ 25,00 R$ 15,00 R$ 10,00Ao final de 30 dias o cliente paga R$ 15,00, sendo R$ 10,00 da dívida e R$ 5,00 de juro sobre essa dívida.

0,5. Logo, o juro é de 50%.5

10

28Aquantidadedesanguenocorpode

umhomemé 111

dopesodeseucorpo.

Seosanguecontém80%deágua,quantoslitrosdeáguaexistemnosanguedeumhomemquepesa55kg?4 litros

111

de 55 5 0,8 5 4

29(Fuvest-SP)OsaláriodeAntônioé iguala90%dodePedro.AdiferençaentreossaláriosédeR$50,00.QualéosaláriodeAntônio?R$ 450,00 10% 50 1% 5 90% 450

31Com uma lata de tinta é possível pintar50m2deparede.Parapintarumaparedede72 m2, gasta-se uma lata e mais uma partede uma segunda lata. Qual porcentagem detintarestanasegundalata?56%

30Numlotede1000peças,65%sãodotipoAe35%sãodotipoB.Sabendo-seque8%dotipoAe4%dotipoBsãodefeituosas,quantaspeçasdefeituosasdevehavernolote?66 peças

A 0,08 650 52 B 0,04 350 14 • 52 14 66

32VocêfezumempréstimodeR$240,00ajuro simples de 6,5% ao mês. Que quantiavocêdevolveuapós5meses?R$ 318,00j 240 0,065 5 78 240 + 78 = 318

33Nacompradeumcomputador,cujova-loràvistaéR$6.000,00, foidadaumaen-tradade20%eos80%restantesforamfinan-ciados em6meses.Qual éo valorde cadaprestação,sabendoqueataxadejurosimplesfoide18%aomês?R$ 1.664,00

34Umcomerciante tomouemprestadodeumbancoR$4.000,00.Obancoemprestouodinhei-roaumataxadejurode38%aoano.Ocomer-ciantetevedepagarR$3.040,00dejurosimples.Porquantosanosodinheiroesteveemprestado?

35Uma pessoa deposita R$ 100.000,00 emcadernetadepoupança,querende1%acadamês.Senãofeznenhumaretirada,quequantiateráapós3meses?R$ 103.030,10

36UmsapatocustaR$25,00àvista,maspodetambémserpagoemduasvezes:R$15,00deentradaeR$15,00aofimde30dias.Qualéojuromensalquealojaestácobrandodoclientequepagaemduasvezes?50%

0,56 2850

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254

DesafiosDesafios

janeiro R$1.000,00março R$1.210,00abril R$1.331,00

1,1

1 000 1,1 1 100

1 3311 210

Ouro x

Prata 1,2x

Bronze 1,2 1,25 x 1,5x

x 1,2x 1,5x 37

x 10

Bronze 1,5 10 15

15 medalhas de bronze

Mar

k Hu

ls/Dr

eam

stim

e.co

m

• x + 25%x 1 600 ou • 125% ⇒ 1 600

x + x4

1 600 • 1% ⇒ 1 600 : 125 12,8

x 1 280 • 100% ⇒ 12,8 · 100 1 280

39RafaeldispunhadeR$5.400,00paraumaviagemaoexterior,emjulhode2011.Elere-solveutrocar40%doquepossuíaemdólareseorestanteemeuros.Nodiadatroca,aco-taçãodessasmoedasestavadeacordocomoquadro:

Depoisdatroca,Rafaelficoucomquantosdó-lares?Ecomquantoseuros?1 200 dólares; 1 296 euros• dólares = (40% de 5 400) : 1,80 = 1 200• euros= (60% de 5 400) : 2,50 = 1 296

40(UFJF-MG) Uma loja de eletrodomésticosanunciaaseguintepromoção:

Qualataxamensaldejurosembutidanaven-daaprazo? 25%

41OsaláriodeGustavopassouparaR$1.600,00,apósumreajustede25%.QualeraosaláriodeGustavoantesdoaumento?R$ 1.280,00

42(Fuvest-SP)(10%)2éiguala:a) 1% b)10% c) 20% d)100%

43(UGF-RJ)Emumaescolacom7salas,paraamerendade246alunospaga-sediariamenteR$738,00 ao concessionário do restaurante.Nosegundosemestre,oconcessionárioresol-veuconcederumdescontode50%aos4me-lhoresalunosdecadasala.Quantopassouareceber?R$ 696,00

738 : 246 3218 3 28 1,50 696

44(Unirio-RJ) Carlos contraiu uma dívidaque foipagacomumataxade juroaomês,constante.Porém,orecibodomêsdefeverei-roextraviou-se,eCarlosnecessitadestevalorparaocálculodoimpostoderenda.Osvalo-resconhecidossão:

Combasenosdadosacima,quequantiaCarlospagouemfevereiro?R$ 1.100,00

45(UFRGS-RS) Numa competição esportiva,umadelegaçãodeatletasobteve37medalhas.Sendo o número de medalhas de prata 20%superioraodasdeouro,eodasdebronze25%superioraodasdeprata,qualonúmerodeme-dalhasdebronzeobtidoporessadelegação?

x

Dólar R$1,80Euro R$2,50

• 702 – 390 312 (valor financiado)• 390 – 312 78• 78 312 · i · 1• i 0,25 25%

37Opreçodeumartigotriplicou.Portantoeleteveumaumentode:

a) 3% b) 30% c) 200% d) 300%

38OspreçosdeumlitrodosvinhosA,BeCsão,respectivamente,R$16,00,R$20,00eR$27,00.Faz-seumamisturacom45%deA,30%deBe25%deC.Quantodeverácustarumlitrodessamistura?R$ 19,95

x

100% 200%

aumento

Delfi

m M

artin

s/Pu

lsar I

mag

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(10%)2 ( 10100) 2 100

10 000 1

100 1%

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Seçãolivre SeçãolivreSeçãolivre

Art. P. Se um mercador emprestou a juros grão ou prata e quando emprestou a juros ele deu a prata em peso pequeno ou grão em medida pequena e quando o recebeu ele quis receber a prata em peso grande ou grão em medida grande, esse mercador perderá tudo quanto houver emprestado.

Leia o anúncio ao lado e responda às ques-

tões.

a) A pessoa que comprar o computador a prazo

pagará juros? Sim.

b) Qual é o valor dos juros? R$ 640,00

c) Que porcentagem do preço à vista os juros

representam? 20%

Saiba que o Código de Defesa do Consumidor

exige que as lojas mostrem, na propaganda, o pre-

ço à vista e o preço total a prazo, para que saiba-

mos quanto de juro é cobrado na compra a prazo.


Mus

eu d

o Lo

uvre

, Par

is

◆ Busto do rei Hamurabi, séc. XVIII a.C.

Um pouco sobre a história dos juros

O juro, entendido como uma compensação para quem empresta dinheiro ou bens, é mais antigo que a moeda, o dinheiro. Há registros de que os sumérios, por volta de 3000 a.C., tinham um sistema de empréstimo envolvendo grãos (cereais) e também prata.

Hamurabi, rei da Babilônia de 1792 a. C. a 1750 a.C., escreveu o mais antigo código de leis de que se tem no-tícia. Artigos desse código tratam de juros.

A Lei das Xii tábuas, de 390 a.C., considerada a primeira constituição romana, prevê o empréstimo de dinheiro a juros.

O imperador Justiniano, do império Romano do Oriente, limitou os juros a 33% ao ano em 531 d.C. Na inglaterra, em 1546, Henrique viii proibiu taxa superior a 10% ao ano.

Apesar de a cobrança de juros ser tão antiga, ao longo da história foi constante a reprovação da usura.

Chama-se usura a cobrança de juros muito altos, abusivos. essa prática é considerada crime por diversas legislações. veja no quadro abaixo um dos artigos do Ha-murabi, que pune a pessoa que empresta e quer receber como pagamento mais do que o que seria justo.

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256

a) 5% c) 12%

b) 6% d)15%

52(Vunesp-SP) Para um certo concurso,inscreveram-se27200candidatos.Nodiadaprovafaltaram15%dototaldeinscritos.Seonúmerodeaprovadosfoi1156,oporcentualdeaprovaçãoemrelaçãoaonúmerodecom-parecimentosfoide:

a)27%

b)36%

c)45%

d)54%

49(Fuvest-SP) Uma certa mercadoria, quecustavaR$12,50,teveumaumento,passandoacustarR$13,50.Amajoraçãosobreopreçoantigoéde:

a) 1% c)10,8%

b) 8% d)12,5%

47(UFMG)Umvendedormultiplicaopreçoàvistadeumtelevisorpor2,24,parainformaraumclienteopreçototalaserpagoem24prestaçõesfixasdemesmovalor.Nessa situação, o acréscimo porcentual emrelaçãoaopreçoàvistaéde:

a) 24% c)124%

b) 224% d)22,4%

Aumento: 13,50 12,50 1,00

0,08 8%1,0012,50

85% de 27 200 23 120

0,05 5%1 15623 120

x

x

46Seumacertadordaloteriaesportivaficouapenascom2,5%doprêmio total,podemosafirmarqueonúmerodeacertadoresfoi:a) 20

b) 40

c)50

d)entre40e50

48Paraavendadeumcomputador,ocartazanuncia:

50(SEE-SP) O dono de um carrinho de lan-ches levou90sanduíchesnaturaisparaven-dernapraia.IniciouodiavendendocadaumporR$6,00e,comoatéofinaldamanhãelehaviavendidoapenas30%dototal,reduziuem25%opreçodesses sanduíches e assimvendeu todas as unidades restantes. O totalarrecadadocomavendadossanduíchesna-turaisnessediafoi:

a)R$283,50 c)R$445,50

b)R$405,00 d) R$465,00

x

51(UFV-MG)Numaloja,opreçodeumparde sapatos era de R$ 140,00. Para iludir osconsumidores, odonoaumentouopreçodetodososartigosem50%e,emseguida,anun-ciouumdescontode20%.Essepardesapatosficouaumentadode:

a) R$26,00 c) R$31,00

b) R$28,00 d)R$34,00150% de 140 210 80% de 210 168Aumento: 168 140 28

x

2,24 1 1,24 124%

• 153 · 24 – 2 700 = 972

• 9722700 = 0,36 = 36%

x

x

x

Quemcompraraprazopagaráamais:

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Lápi

s M

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a)15%

b)23%

c)28%

d)33%

56(Vunesp) Num balancete de uma empre-saconstaqueumcertocapitalfoiaplicadoauma taxa de 30% ao ano, durante 8 meses,rendendojurosimplesnovalordeR$192,00.Ocapitalaplicadofoide:

a) R$960,00 c) R$880,00

b) R$288,00 d) R$2.880,00

54(Vunesp)Aspromoçõesdotipo“leve3epague2”,comunsnocomércio,acenamcomumdesconto,sobrecadaunidadevendida,de:

a) 20%

b) 30%

c) %

d) %

192 c 0,025 8c 960

x

x

53Umpintorpintou30%deumaparedeeoutropintou60%doquesobrou.Aporcenta-gemdomuroquefaltapintaré:

55Natabelaabaixo,relativaàvariaçãodepreçosemumsupermercadodejulhode2010amarçode2011,estãofaltandoalgunsvalores:

57(PUC-MG) Um comprador pagou certoeletrodomésticoem trêsparcelas:aprimeira,noatodacompra;a segunda, trintadiasde-pois,acrescidade5%dejuros;aterceira,ses-sentadiasdepois,acrescidade12%dejuros.SeopreçoàvistaeraR$630,00,pode-seesti-marqueovalorpagonasegundaparcela,emreais,foi:

a)R$253,50 c)R$235,20

b)R$210,00 d)R$220,50

58(UFRGS–RS)Umalojainstruiseusvende-doresparacalcularopreçodeumamercado-rianascomprascomcartãodecréditodividin-doopreçoàvistapor0,80.Dessaforma,pode-seconcluirqueovalordacompracomcartãodecréditoemrelaçãoaopreçoàvista,apresenta:

a) umdescontode20%.

b) umaumentode20%.

c) umdescontode25%.

d) umaumentode25%.

PC preço no cartãoPv preço à vista

PC

1,25 125%

Pv0,8

1000,8

503

1003

x

x

• 630 : 3 = 210 • 210 · 0,05 = 10,50 • 210 + 10,50 = 220,50

x

a) 75%;R$1,50;R$1,20

b) 25%;R$1,50;R$1,40

c) 33%;R$1,80;R$1,52

d) 25%;R$1,50;R$1,40

julho/10 (R$)

março/11 (R$)

variação (%)

Massa (500 g) 2,40 1,80 x

Batata (kg) 1,20 y 25

Cebola (kg) z 1,82 30

O desconto é de 1 unidade em 3, ou seja:

0,333... 33,33...% %13

1003

x

Osvaloresx,yezsão,respectivamente:

Baris

Sim

sek/

iSto

ckph

oto.

com

refrigerantes e pague

Leve

• 100% – 30% = 70%

• 70100 · 60

100 = 42100

= 42%

• 70% – 42% = 28%

Ilust

ra C

arto

on

Ilust

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4,20 70 i 1i 0,06 6%

59(Unirio-RJ) Para comprar um tênis deR$70,00,Renatodeuumchequepré-datadode 30 dias no valor de R$ 74,20.A taxa dejuroscobradafoide:

a) 4,2%aomês

b) 6%aomês

c) 42%aomês

d) 60%aomês

60(Ceeteps-SP) Na cidade de São Paulo asentidadesassistenciaisdesaúdeemitemdocu-mentosparapagamentobancáriocomas se-guintescondições:

Pagamentoatéovencimento:x

Pagamentoapósadatadevencimento:x+juros+multa

Considere um conveniado idoso que deverápagarR$599,00atéodiadovencimento.Oatrasoacarretaráumamultade10%ejurosdeR$0,40pordia.ComopagouumacréscimodeR$67,90,onú-merodediasdeatrasoé:

61(PUC-MG) Do salário de Paulo são des-contados:

Convêniomédico......................... 4%INSS.............................................. 8%IR................................................ 15%

62OgráficoabaixomostraoIPCA,queéumdosíndicesutilizadosparareajustaropreçodeváriosprodutos.

x

x

a)15 c)25b)20 d)30

• 599 · 0,1 = 59,90

• 67,90 – 59,90 = 8

• 8 : 0,40 = 20

a) R$2.500,00 c) R$3.500,00

b) R$3.000,00 d) R$4.000,00x

63(SEE-SP) O gráfico abaixo foi obtido emumapesquisarealizadaemcreche,emrelaçãoao saborde sorvetepreferidopelas crianças.

a)30% c)45%b)40% d)50%

x

90300

= 30100

= 30%

Apósessesdescontos,Paulo recebeo saláriolíquido de R$ 2.190,00. O salário bruto dePauloé:

Nessascondições,omêsdemaioraumentoper-centualdoIPCA,emrelaçãoaomêsanterior,foi:

a) julho/2004. c) janeiro/2005.

b) novembro/2004. d)abril/2005.x

A porcentagem de crianças que preferem ossaboresdecremeouflocosé:

x 2 190 0,27xx 3 000

Ilust

ra C

arto

on

IPCA – Índice de Preços ao Consumidor Amplo

índice (%)

Fonte: IBGE e Fundação Getulio Vargas

0,91

0,690,71

0,33

0,44

0,69

0,86

0,580,59

0,61

0,87

jun./2004

jul. ago. set. out. nov. dez. jan./2005

fev. mar. abr.

Ilust

raçõ

es: D

AE

chocolate coco creme flocos morango

90

80

70

60

50

40

30

20

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Sabor

Freq

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Sugestões de leitura e de sites para o alunoPara ler...

Coleção Investigação Matemática. Marion Smoothey. São Paulo, Scipione.Em livros de leitura fácil e rápida, temas da Matemática são apresentados de forma descontraída.

Todos os livros têm atividades como jogos e quebra-cabeças. Para você, aluno do 9o ano, sugerimos os títulos:

• Áreas e Volumes

• Gráficos

• Escalas

Dando corda na Trigonometria. Oscar Guelli. São Paulo: Ática, 2002.Com texto interessante e bem ilustrado, o livro conta um pouco da história da Trigonometria.

Arquimedes, Tales e Pitágoras fazem parte dessa emocionante viagem ao passado. Jogos e problemas desafiam o leitor.

Descobrindo o teorema de Pitágoras. Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. São Paulo: Scipione, 2008.Numa interessante viagem ao passado, você conhecerá Pitágoras e será convidado a redesco brir

e demonstrar o famoso teorema que leva seu nome. Vale a pena fazer todas as atividades pro postas!

Lógica? É lógico. Nilson Machado. São Paulo: Scipione, 2010. Você já ouviu falar de Lógica? Pois saiba que ela está presente no seu dia a dia, nas ciências, nos

mecanismos do pensamento humano. Esse livro é uma excelente oportunidade para aprender as ideias e conceitos básicos desse tema. A linguagem é fácil e simples.

O homem que calculava. Malba Tahan. Rio de Janeiro: Record, 2001.Conta as histórias de Beremiz Samir e outros personagens “das arábias”. Beremiz, brilhante nos cál-

culos e nos raciocínios, resolve problemas envolventes e desafiadores. É um clássico da literatura lúdica da Matemática.

Semelhança. Coleção Pra que serve a Matemática. Imenes, Jakubo e Lellis. São Paulo: Atual, 1992.Em pequenos textos, o livro enriquece os conhecimentos sobre semelhança e suas aplicações. As

atividades e curiosidades apresentadas são interessantes.


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Para navegar...<http://www.ibge.gov.br>

Selecione canais e clique em iBGe teen.• Mão na roda: para encontrar informações gerais sobre o Brasil, em números, gráficos e mapas.

• Calendário: relaciona e comenta datas comemorativas do Brasil e do mundo.

• Censo 2007 e Censo 2010: como o nome já diz, contém dados dos censos, como população, escolaridade, condições de vida do povo brasileiro, produção agrícola e pecuária.

• Mapas: para uso escolar, disponíveis para visualização e download.

• Biblioteca: conteúdo para pesquisa, principalmente em História e Geografia.

• Notícias: para ler o que há de novo em dados sobre o Brasil e outros temas.

<http://www.cienciahoje.uol.com.br>clicando em “cH das crianças”, você encontra um menu que permite acessar não só as pági-

nas sobre matemática, mas também sobre outros ramos da ciência.<http://somatematica.com.br>

cadastrando-se gratuitamente é possível acessar listas de exercícios, artigos, biografias de grandes matemáticos, jogos e também fóruns de discussão.

<http://www.obm.org.br>Site das olimpíadas Brasileiras de matemática, contendo provas e gabaritos, com download

disponível. Bom para testar seus conhecimentos. Há links para sites sobre a História da matemática e sobre constantes famosas como o número p (pi).

<http://www.obmep.org.br> Site das olimpíadas Brasileiras de matemática das escolas públicas. traz provas de anos ante-

riores e um grande banco de questões.<http://www.escolakids.com/matematica>

Site interessante com temas da matemática e de outras ciências.<http://www2.tvcultura.com.br/aloescola>

além de assuntos ligados à matemática, o site aborda temas importantes, como a água, de forma leve e atraente.

<http://www.numaboa.com/escolinha/matematica>Site para consulta sobre vários temas.

<http://www.klickeducacao.com.br>o site permite acesso gratuito a algumas páginas. clique em “matemática” no menu “Biblio-

teca viva” para pesquisar temas em vários campos da matemática.<http://www.sercomtel.com.br/matematica>

traz exercícios resolvidos e propostos, além de informações básicas sobre diversos conteúdos. procurar assuntos destinados a alunos do ensino Fundamental.

<http://www.cabri.com.br/index.php>o software cabri-géomètre é uma ferramenta auxiliar no ensino-aprendizagem da Geometria.

<http://escolovar.org/mat.htm>este site é muito interessante para professores e alunos. Há uma variedade enorme de atividades

disponíveis: jogos, animações, simuladores, brincadeiras envolvendo números e formas. <http://www.wisc-online.com/ListObjects.aspx>

clicando em Learning objects, General education, General math ou technical math, há um grande número de objetos educacionais disponíveis, incluindo apresentações em power point sobre vários conteúdos como equações, frações algébricas e áreas de polígonos. não é preciso cadastro. os textos estão em inglês, mas são simples.

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<http://www.matinterativa.com.br/layout.swf> contém aulas digitais, games, laboratório de matemática, projetos, artigos e variedades.

<http://www.mais.mat.br/wiki/P%C3%A1gina_principal> repositório que reúne mais de 150 recursos educacionais em diversas mídias (áudios, vídeos, sof-

twares, textos e experimentos práticos), voltados para os ensinos Fundamental e médio. <http://www.ime.usp.br/~matemateca/>

mostra objetos matemáticos expostos anualmente na matemateca, no instituto de matemá-tica e estatística da Universidade de São paulo (ime – USp). eles são confeccionados com o intuito de despertar curiosidade, servir de incentivo ao aprendizado e divulgar de maneira interessante e divertida temas da matemática.

<http://matematica.com.br/site/> o site reúne as questões de matemática de grandes vestibulares. também apresenta um ma-

terial didático (artigos, vídeos, provas, desafios, curiosidades etc.) sobre a disciplina para os ensinos Fundamental e médio, bem como conteúdo sobre a aplicação da matemática no dia a dia.

<http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/> contém objetos de aprendizagem do Laboratório virtual de matemática da Universida-

de regional do noroeste do estado do rio Grande do Sul (UniJUÍ) e da rede internacional virtual de educação (rived).

<http://www.peda.com/poly>em inglês, programa para exploração e construção de poliedros.

<http://www.planetaeducacao.com.br>portal educacional que tem como objetivo disseminar as novas tecnologias da informação e da

comunicação. apresenta artigos sobre números inteiros e números decimais para o 6o ano.<http://alea-estp.ine.pt> e <http://alea.ine.pt/html/probabil/html/probabilidades.html>

ação Local de estatística aplicada é um site de portugal que traz textos com noções de esta-tística e probabilidades, textos históricos, problemas, desafios, jogos, curiosidades etc.

<http://www.fc.up.pt/atractor/mat/Polied/poliedros.html>página do site da Faculdade de ciências da Universidade do porto, portugal, apresenta anima-

ções de poliedros em 3d.<http://nautilus.fis.uc.pt/mn/pitagoras/pitflash1.html>

contém diversos jogos abordando temas da matemática, dentre eles sobre o teorema de pitágoras.

<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm29/Global%2003.htm>apresenta conteúdos e atividades sobre sistemas de equações.

<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm208/9ano.html>apresenta atividades para testar conhecimentos de trigonometria, circunferência e polígonos.

<http://www.youtube.com/watch?v=7S3iw_sbqsAvídeo sobre arte e matemática.

<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/numeros.htm#Outras%20curiosidades%20Mate

mÃiticas%20na%20Natureza>apresenta curiosidades sobre os números na natureza.

<http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm>apresenta texto sobre o surgimento do número.

(estes sites foram indicados com base em conteúdos acessados em março de 2012).


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Malha para as atividades

Malha quadriculadaCONSERVE SEU LIVRO.

Tire cópias da malha.

DAE


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UNIDADE 1Exercícios

Página 91. 1000 parafusos2. a) 3 f) 6

b) 2 g) 7

c) 4 h) 2

d) Qualquer número i) 3natural diferente j) 5de zero.

e) 5

3. 222

4.

Lado 3 7 1,5 12

x

Área 9 49 2,2514 x2

Perímetro 12 28 6 2 4x

5. a) 49 b) 2496. a) 81 d) 2125

b) 281 e) 1,96

c) –125 f) –1,96

7. 64 ratos8. a) 1 d) 5 ou (25)

b) 0 e) 2 ou (–2)

c) 2 f) Não há.

9. a) 52 c) 53

b) 2 52 d) 3 · 53

Página 1010. 49 janelas11.

kg g1 103

10 104

100 105

1 000 106

12. a) 1625

c) 9100

e) – 132

b) 165

d) 8164

f) 164

13. 27 refeições14.

3–1 5 13

(–3)–1 5 – 13

3–2 5 19

(–3)–2 5 19

a) Diferentes. b) Iguais.

15. a) 149

c) 8116

e) 1258

b) 4925

d) 1

125 f) 1

2

m cm1 102

10 103

100 104

1 000 105

Exercícios

Página 1316. 324 pontos17. a) 59 c) 76 e) 37

b) a 6 d) 76 f) 102

18. a) E b) E c) E d) C19. 125 chaves20. 821. A – I C – II

B – IV D – III

22. a) 1 b) 3–1 54

23. 9 pacotes24. a) 211 c) 220

b) 212 d) 230

Página 1425. a) 4 103 c) 7,56 10–3

b) 8,2 106 d) 9 10–5

26. a) 3,6 107 c) 5 10–3

b) 6 107 d) 3,844 108

27. a) 2,1 105 c) 8 10–9

b) 6,695 106

Exercícios

Página 17

28. a) 100 d) 6 76,

b) 0 e) 0 04,

c) 169 f) 949

29. a) 1 c) 1,1 e) 0,3

b) 11 d) 0,7 f) 25

30. a) 120 metros b) 8 100 m2

31. a) 1 e) 200b) 8 f) 4c) 8 000 g) 64 000d) 0,2 h) 0,1

32. 233. 10 dm34. a) 81 c) 1 e) 6 b) 32 d) 435. 20 e –20

36. 8

37. 9 metros38. a) 8 f) Não existe.

b) –8 g) 3c) Não existe. h) –3

d) 3 i) 3e) –3

ExercíciosPágina 21

39. a) 8 d) 45 g) 2

b) 20 e) 10 h) 23

c) 4 f) 5

40. a) 7 b) 241. a) 7 e) 5 h) 3 b) 11 f) 7 i) 2 c) 13 g) 3 j) 2

d) 5

42. 24 m2

43. 5 5 5 53636

12= = =

44. a) 73 ; 2 c) 23 ; 5

b) 523 ; 3 d) 34 ; 2

45. a) C c) Eb) C d) C

46. 33

Exercícios

Página 24

47. a) 512 c) 3212

b) 215 d) 58

48. 81

49. a) C c) E

b) C d) C

50. a) 6 d) 11 g) 1 b) 2 e) 10 h) 5 c) 2 f) 251. a) 4 cm2 b) 6 cm2

52. a) 10 c) 49b) 4 d) 81

53. 4554. Sim.

Exercícios

Página 2755. a) C c) E e) C b) C d) C f) C56. a) 7 2 f) 9

b) 3 3 g) 11 3

c) 6 2 h) 3 43

d) 2 33 i) 2 75

e) 2 54 j) 2 154

57. a) 8 cm b) 1cm58. 9 cm59. Demonstração.

60. 72 ou 6 2

61. 48 < 49 < 50 62. a) 3,46 c) 7,92 e) 7,32 b) 4,23 d) 8,92

Exercícios

Página 3063. Falsa, porque 7 5.

Respostas dos exercícios

PrAtICANDo mAtEmÁtICA 9o ANo EDIção rENoVADAPNLD 2014 – mac 4

6ª ProVADéBorA

PMR9_264_267.indd 264 3/19/12 11:26 AM

265

64. a) C c) E

b) E d) C

65. a) 8 7 c) 5 93 e) 4 2

b) 2 5 d) – 5 f) – 3

66. a) 4 3 d) –2 3

b) 3 3 e) 9 2

c) 12 2 f) 3 5 12 3+

67. a) 10 11 b) 12 5

68. 18 2 cm

69. Sim.

70. a) 3,14 c) 0,32

b) 4,73 d) 3,59

71. 4 < 12 + 5

3 < 5

Exercícios

Página 32

72. a) 17 c) 9 e) 30

b) 5 d) 21 f) 18

73. 30 cm2

74. a) 7 c) 8 5

b) 43 d) 4 10

75. 13 cm

76. 8 cm2

77. a) 3 2 2+ b) 5 2 6+

78. a) 2 c) 2

b) 7 d) 2

79. a) 2 3+ b) 1 2–

80. d

Revisando

Página 34

81. a) 0 d) –26 g) 3548

b) – 37 e) 829

c) 1927

f) 74

82. C, D, B, E, F, A

83. 3–2

84. a) 8,41 c) 84 100

b) 0,084 1

85. A e I, B e G, C e K, D e H, E e L, F e J.

86. 4 096

87. a

88. 9 possibilidades

Página 35

89. a) 25, 36 c) 116

, 132

b) 125, 216 d) 1681

, 32243

90. a) 4 “cubinhos” b) 33 “cubinhos”

91. a) 2–4 57 b) 27 32 54

92. 81 crachás

93. a) 3 d) 2 g) –1

b) 0,9 e) 6 h) 23

c) 5 f) 1

94. a) Sim.

b) Não existe.

• é pouco.

• é pouco.

• é muito.

c) Não. Entre 12 e 13.

d) 12,247 cm

Página 36

95. a) 40 c) 7,1

b) 5 d) São iguais.

96. 6

97. a) 24 d) 120 g) 45

b) 3 e) p h) 1112

c) 8 f) 3

98. a) 3 11 c) 20 2

b) 15 2 d) 12 3

99. 316

100. 3 < 5 8

3 2 < 4

101. a) 10 d) 3 g) 2

b) 3 5 e) 20 h) 2

c) 14 f) 30

102. 18 cm2

103. 8 2 cm

104. a) 9 2 d) –8 7

b) 5 5 e) 4 3

c) Não é possível. f) 11

105. 14 3 cm

Página 37

106. a) 2 d) 2 2 + 2 7

b) 7 e) 9 + 2 14

c) 4 7

107. Sim.

108. a) 4 m b) 1 m

109. a) 3 22

d) 15 77

3

b) 405

2 105

= e) 3 2164

c) 4 145

f) 48

3

110. a) 30 m2

b) A sala do Dr. Paulo.111. a112. 16 m

Página 38113.

No de moedas 1 2 3 4 5 6

No de resultados 2 4 8 16 32 64

2n

114. 2,25 m

Desafios115. 221

116. 5 2

117. a) 31, 33, 35, 37, 39, 41b) 216c) 1000

118. 31 partidas

Seção livrePágina 39Aproximadamente 10 milhões e 700 mil reais.

AutoavaliaçãoPágina 40119. a 120. d 121. c 122. d 123. d 124. a 125. b

UNIDADE 2ExercíciosPágina 421. a) 2, 5 e 8 c) 3

b) 1, 4 e 6 d) 72. Não.3. a) Não. c) Não.

b) Sim. d) Sim.4. 2 e – 4

ExercíciosPágina 475. a) 3; –3 c) 0,6; – 0,6

b) 6; – 6 d) 52

; – 52

6. a) 13 m c) 10 mb) 1,3 m d) 1 m

7. a) 5; –5 e) 2 ; – 2b) 7; –7 f) 7; –7

c) 2; –2 g) 12

; – 12

d) 18

; – 18

h) 92

; – 92


6ª ProVADéBorA

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266

08. b; d09. a) 11; –11 d) 1; –1

b) 3; –3 e) 3; –3c) 3; –3 f) 5; –5

10. 6 ou –611. 212. Um dos fatores tem de ser zero.13. a) 0; –1 c) –3; 1

b) 0; 5 d) 6; 2

14. a) 0; 8 c) 0; 59

b) 0; –3 d) 0; –215. a) 8 b) 32 c) 64

ExercíciosPágina 5316. a) 49 c) 36

b) 9 d) 254

17. a) 9; –9 c) 7

b) 10; –10 d) –5

18. a) 3 c) 32

b) – 4 d) – 13

19. a) 3; –7 b) 7; –120. a) x 5 2 ou x 5 –14

b) x 5 1 ou x 5 –9c) x 5 –3 ou x 5 13d) x 5 6 ou x 5 –2

ExercíciosPágina 5721. a) y d) –7

b) 2 e) Sim; não.c) 6

22. a) 3b) –3; 4c) Não tem raízes reais.

d) 1 + 52

; 1 – 52

23. 5 ou –624. 5 ou –325. a)1; 3 e) –2; 6

b) –5; 4 f) 12

; 2

c) –1; 1315

g) –1; 4

d) –1; – 32

h) – 12

; 10

26. a) 2; –3 d) 23

b) 5 132

5 132

+ −; e) –

32

; 53

c) 1; – 15

f) –1; 8

27. a) 4b)

27

22

23

28

24 21

ExercíciosPágina 6128. r$ 5,0029. 13 anos

30. 15 e 1631. 12 m e 7 m32. 2 cm33. 5 m34. 8 cm, 10 cm e 15 cm35. x 5 536. 2 cm37. 5 anos e 7 anos38. 10 m e 25 m

ExercíciosPágina 6539. a) S 5 7 e P 5 10

b) S 5 5 e P 5 –6

c) S 5 0 e P 5 – 78

d) S 5 43

e P 5 – 19

40. d41. a42. b43. os números são 1 e 6.44. a) 3; 5 c) 6; –2

b) 2; –5 d) 10; –945. c 46. d47. b

ExercíciosPágina 7048. a) – 4; 1 e) –

56

; 1

b) 35

; 32

f) 3; 6

c) –4 g) – 152

; 1

d) –2; –149. a50. b51. a) – 3; 2 c) –5; –2

b) 32

; 3 d) –2; 152. b53. b54. c

ExercíciosPágina 7455. a) Sim. b) 4y 2 2 37y 1 9 5 0

c) 9 ou 14

d) 3; –3; 12

; – 12

56. a) – 4; 0; 4 b) 1; –1

c) Não tem raízes reais.

d) M5; –M5; M3; –M3

e) M2; –M2; 3M2; – 3M2

57. b

58. d

59. 2 ou –2

60. a) 16 c) 48 b) 36 d) 25

61. a) 47 b) Não tem raízes reais. c) 6 d) 1 e) 22; 1

62. d

63. 25

64. 9

65. a

Seção livrePágina 75o sistema não tem solução em Ir.maior área: 900 m2

RevisandoPágina 7666. c67. a) 6; –6 c) 4; – 4

b) 3; –3 d) 2; –268. Não. Não. 69. 5 cm70. 0 e 171.

ax2 1 bx 1 c 5 0valor de b2 2 4ac ? 0

Números de raízes reais

2x2 2 7x 1 3 5 0 25 2

3x2 2 2x 1 4 5 0 244 0

x2 2 4x 1 4 5 0 0 5 1

72. a) 0; –1 c) 0; 15

b) 0; – 73

d) 0; 5

73. a) 3; 4 d) 0; 7

b) 5 174

5 174

+ −; e) –1; –3

c) – 32

; 74

f) 0; – 12

74. 2 ou 575. 5 anos76. 30 cm

Página 7777. –2 3 , 3

78. 10 anos79. 6 cm80. a) 3 c) 3 17

43 17

4+ −

;

b) 12

; 14

d) 0; 65

81. 9 m e 13 m82. 360 m83. 20 m por 30 m

84. a) x 5 2 ou x 5 – 14

b)

Página 7885. 8 equipes; n (n 2 1)86. 15 apertos

3 17 713 9 511 1 15

DAE


6ª ProVADéBorA

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267

Desafios87. 6 dm88. 45 jogos89. 12 pessoas

AutoavaliaçãoPágina 7990. a91. d92. d93. a94. b95. b96. a97. c98. a99. d

Página 80100. d101. b102. d103. a104. a105. c106. c107. c

UNIDADE 3ExercíciosPágina 851. d2. a) (2; 3) b) (3; 2)3. A (5; 5)

B (3; 2)

C (0; 7)

D (–4; 3)

E (–7; 2)

F (–5; 0)

4.

5. a) A c) D e) E b) D, F d) B f) G6. b

RevisandoPágina 917. a) (E; 3) c) (G; 2) e) (H; 2)

b) (F; 6) d) (H; 9) f) (K; 6)

8. a) –7 c) –4; –4

b) –5 d) 2x

9. a) c)

b) d) 5

G (–6; –3)

H (–3; –4)

I (0; –6)

J (2; –3)

K (5; –2)

L (8; 0)

Página 9210.

Coordenadas Quadrante

Borboleta (4; 2) 1o

Aranha (–3; 1) 2o

Coelho (–7; 3) 2o

Formiga (–6; –2) 3o

rato (–4; –3) 3o

Abelha (2; –3) 4o

Passarinho (5; –2) 4o

11. A (2; 2), B (–2; 2), C (–2; –2), D (2; –2)12. a) x 5 5 e y 5 –4 c) x 5 –4 e y 5 3

b) x 5 –2 e y 5 6 d) x 5 –2 e y 5 –2

13. a)ordenada

abscissa0 A

B

C

D

E

b) 1 flechac) 500 pontos

Autoavaliação

Página 9314. a15. a16. d17. a18. c19. b

Página 9420. d21. d22. a23. a24. d

UNIDADE 4Exercícios

Página 981. a) 9 ºC

b) No 4o dia.c) No 1o e no 5o dia.d)


• 0 °C• 3 °C• 6 °C• 9 °C• 12 °C

2. d

3. a) Sim. c) y 5 x2

b) Sim. d) (–2; 4), (–1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4)

4.

x 22 0 1 2 3

metade de x

21 012

132

5. a) Não. A correspondência deve rela-cionar cada elemento de A a um único nú-mero de B, e 170 está relacionado a dois números: 42 e 48. b) Sim. A correspondência levaria cada elemento de B a um único número de A.

Exercícios

Página 1016. a) –9 c) 2 b) 13 d) 87. a) 8 b) 2 c) o papagaio não opera com decimais8. a) –6 d) 0; 7 b) 14 e) Não existe. c) 1; 69. d10. a) 162 c) 1 ou 24 b) 4x2 1 12x 1 2

11. a) x 0 1 22 4

y 5 3x 1 1 21 2 27 11

b) 21, 6 c) 5

Exercícios

Página 10612. a) r$ 7,20 c) Sim.

b) 4 refrigerantes d) y 5 2,40x

13. a) r$ 6,00

b) r$ 15,00; r$ 20,00

c) o preço é uma função do peso.

14. a) 28 cm c) Sim.

b) 9,5 cm d) P 5 4

15. a) 4,5 b) y 5 18x

Página 10716. a) V 5 3,50 1 0,60 · n d) 17 km

b) r$ 10,10 e) 9,5 kmc) r$ 6,98

17. a) y 5 x

12 c) 180 laranjas

b) 50 litros d) 41 laranjas18. a) 73 b) y 5 2x 1 119. a) 18 2 2x b) A 5 x (18 – 2x)

c) 5 m, 5 m e 8 m ou 4 m, 4 m e 10 m

Exercícios

Página 10920.

metros 1 2 3 5 7,5

Preço (r$) 1,30 2,60 3,90 6,50 9,75

A

C

D

B

E

F

y

x

Ilust

raçõ

es: D

AE


6ª ProVADéBorA

PMR9_264_267.indd 267 3/19/12 11:26 AM

268

21.

x y 5 2x – 3 (x, y)

–2 –7 (–2; –7)

–1 –5 (–1; –5)

0 –3 (0; –3)

1 –1 (1; –1)

2 1 (2; 1)

3 3 (3; 3)

0,5 –2 (0,5; –2)

22. d23. b24. y 5 x + 425. p 5 2t + 126. b 5 3n – 1, e a figura 20 terá 59 bo-

linhas

Exercícios

Página 11327. a) R$ 35,00 b) R$ 0,40 c) R$ 0,2028. a)

1

2

b) Apenas o item 1 é função.29. Resposta pessoal.30. d

Página 11431. a) –100 mil reais b) 200 mil reais32. d33. a) 9 horas e) 8 km

b) 1 hora f) 4 kmc) 3 horas g) 1 h e 30 md) Sim, 30 min. h) 18 km

Exercícios

Página 12234. I e B; II e D; III e A; IV e C.35.

a)

x y2 41 20 01 22 4

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

54321–1–2–3–4–5 x

y

x 0 1 2 4y 4 0 2 2

x 0 2 4 4y 2 2 2 –1

b)

x y

2 3

1 2

0 1

1 0

2 1

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

54321–1–2–3–4–5 x

y

c)

x y2 51 40 31 22 13 0

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

54321–1–2–3–4–5 x

y

d)

x y

2 0

1

0 1

1 112

2 2

2

12

1

1

0

21–1–2 x

y

12

36. Os gráficos das quatro funções são re-tas paralelas.

37. a) Sim. R$ 3,00 c) R$ 0,50b) Não. d) y 5 0,5x + 3

38. a)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

b) Duplica.c) É dividido por 3.d) y 5 4x

Página 12339. a) 20 mL b) 86 kg c) 2,5 mL40. 6 cm41.

x –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

y 7 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 7

5

4

7

6

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

543 87621–1–2–3–4–5–6 x

y

42.

x –1 0 1 2 3 4 5

y –8 –3 0 1 0 –3 –8

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

543 87621–1–2–3–4–5–6–7–8 x

y

43.

x –1 0 1 2 3 4 5

y 9 4 1 0 1 4 9

12

5

4

3

2

9

8

7

6

1

0

–1543 87621–1–2–3–4–5–6–7–8 x

y

44. c

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pRAtICANDO mAtemÁtICA 9O ANO eDIçãO ReNOVADApNLD 2014 – mac 4

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269

RevisandoPágina 12445. a) 8 c) –3

b) 0 d) 23

46. a) 70 b) 274

c) 2; 5d) –1; 8

47. 1) a 5 4, b 5 6, c 5 8, d 5 72) a 5 –3, b 5 4, c 5 –3, d 5 –17

48. a) R$ 750,00b) 200 m2

c) O preço a ser cobrado é uma função da área a ser pintada.

49. 17 horas50. a) 17 palitos b) 41 palitos c) p 5 4c + 1

Página 12551. 11 livros52.

Quantidade Preço a pagar (R$)

1 0,70

2 1,40

3 1,40

4 2,10

5 2,80

6 2,80

7 3,50

8 4,20

9 4,20

10 4,90

53. a) 400 unidades

b) Junho; 1200 unidades.

c) Diminuiu; 200 unidades.

54. Gráfico C55. 5 000 unidades

Página 12656.

c)

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

54321–1–2–3–4–5 x

y

d)

57. a) y 5 2x + 5b) x 3 2 1 0

y 11 9 7 5

5

4

3

2

9

8

7

11

10

6

1

0

543 7621 x

y

c) 4 refrigerantes

58. x 0 1 2 3 4 5 6y 0 5 8 9 8 5 0

x 2 1 0 1 2

y 3 1,5 0 1,5 3

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

54321–1–2–3–4–5 x

y

x 2 1 0 1 2

y 7 3 1 5 9

5

4

3

2

9

8

7

6

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

54 76321–1–2–3–4–5–6 x

y

b)

x 2 1 0 1 2y 3 2 1 0 1

x 2 1 0 1 2

y32

112

0 12

–2

5

4

3

2

1

0

–154321–1–3–4–5 x

y

5

4

3

2

9

8

7

6

1

0

–1543 87621–1–2–3–4–5–6–7–8 x

y

59. a) (1; 0) e (5; 0)b) (0; 5)c)

x31

5

5

�4

0

y

60. a) C 5 20 + 12 tb) R$ 50,00c) 1 hora e 15 minutos

61. a

Página 12762. a) P 5 8x c) D 5 5x

b) A 5 3x2 d) 12 cm63. a) 13 palitos c) 31 palitos

b) 16 palitos d) (3n + 1) palitos64. 15 km65. a) E; b) C; c) E; d) E; e) C

Página 12866. a) 93 milhões de habitantes

b) 23

67. Gráfico B.

Desafios68. Gráfico A.69. 19

AutoavaliaçãoPágina 12970. a71. d72. c73. d74. c

Página 13075. b76. a77. b78. b

Página 13179. c80. b81. a82. b83. b84. b

a)

Ilust

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PRAtiCAnDO mAtEmÁtiCA 9O AnO EDiçãO REnOvADAPnLD 2014 – mac 4

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270

Página 13285. d86. d87. c88. a

UNIDADE 5ExercíciosPágina 1391. a) Amarelo e vermelho.

b) Verde e azul.

2. a) A; 310

d) m e t ou C, I e e.

b) 110

e) É maior.

c) 12

3. a) 341

b) 3841

c) 1841

d) 0

4. a) 16

c) 12

e) 13

b) 12

d) 0 f) 23

5. 47

Página 1406. a) 7 pontos c)

19

b) 2 pontos e 12 pontos d) 16

7. a) 14

b) 12

8. a) 78

b) 38

c) 18

d) 12

9. 12

10. 12 rapazes

ExercíciosPágina 14311. a) 50% b) 17% c) 69% d) 36%12. a)

Rapazes Garotas totalGostam de mpB 21 17 38

Não gostam de mpB

7 5 12

total 28 22 50

b) garota: 1125

; gostar de mpB: 1925

13. 51%14. c15. d

Seção livrePágina 1451. a) 400 000 habitantes

b) Aproximadamente 0,2%.2. b ou d seriam as respostas mais ade-

quadas.3. a) 18,43 milhões

b) 2005 para 2006, recuo de 0,7%c) Resposta pessoal.

4. a) 2003 – taxa de 9,7%b) 2006, 2007 e 2008

5. Respostas pessoais.

RevisandoPágina 14916. a) p b) I c) C d) pp

17. 18

18. a) Azul.b) São igualmente prováveis.c) Não sair verde.

19. a) 90 vezesb) I) 7 lançamentos II) 50 lançamentos III) 47 lançamentos IV) 41 lançamentos

Página 150

20. a) 78

b) 1 c) 12

d) 12

e) 0

21. a) 18

b) 38

c) 38

d) 14

22. a) 12

b) 113

c) 126

d) 152

23. a) 135 homens c) 34,5%

b) 200 mulheres d) 44%

24. 712

Página 15125. a) 0 b) 426. d

27. a) 14

b) 34

28. a) (sopa, frango, mamão), (sopa, fran-go, pudim), (sopa, picanha, mamão), (sopa, picanha, pudim), (sopa, peixe, mamão), (sopa, peixe, pudim), (canja, frango, mamão), (canja, frango, pu-dim), (canja, picanha, mamão), (can-ja, picanha, pudim), (canja, peixe, ma-mão), (canja, peixe, pudim).

b) não ter comido peixe: 23

ter comido picanha e pudim: 16

Página 152

29. a) 14

b) 34

c) 1528

d) 328

30. 30%

Desafios31. b

32. 351

ou 117

33. a) 15

b) 45

AutoavaliaçãoPágina 15334. c35. a36. d37. d38. c

39. b40. a41. a

Página 15442. c43. d44. c45. c46. c

UNIDADE 6ExercíciosPágina 1611. a) x 5 9 b) x 5 2,72. Lote 2: 35 m; lote 3: 56 m3. 40 cm4. a) x 5 4 b) x 5 4,85. Lote 1: 36 metros; lote 2: 54 metros

Seção livrePágina 163 Sim.

Página 1676.

7. A figura B.8. A e G; B e D; C e H; e e F.9. e10. 21 cm 12 cm

Página 16811. x 5 35 cm; y 5 25 cm z 5 35 cm; w 5 15 cm12. a13. Ângulos: 70°; 110°; 70°; 110° Lados: 0,5; 1; 0,5; 1 Ângulos: 70°; 110°; 70°; 110° Lados: 6; 12; 6; 1214. a) Sim.

b) Não.15. Sim.16. a) Sim. b) Não.

ExercíciosPágina 17217. x 5 10 e y 5 818. a) 90°, 60° e 30°

b) 28,5 cm, 48 cm e 55,8 cmc) 14,25 cm, 24 cm e 27,9 cm

19. x 5 36 e y 5 1220. a) x 5 12 b) x 5 721. a) x 5 8 c) 54 e) 50

b) y 5 24 d) 36

ExercíciosPágina 17522. 4,5 cm; 6 cm e 7,5 cm23. 22,5 m24. 24 m 25. 1,20 m26. 300 metros27. 4,5 m

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271

Seção livrePágina 17628. d29. marina.

RevisandoPágina 17730. a) 1 b) 2 c) 3 d) 531. 4,20 m32. a 5 50,4 cm; b 5 30,6 cm; c 5 126 cm; d 5 81 cm; r 5 57,6 cm; s 5 27 cm33. 36 cm; 57 cm34. a35. y 5 1; z 5 12; x 5 4

Página 17836. c37. 4,95 metros (aproximadamente)38. I e III39. 30 m40. 4 m

Página 17941. 32 metros42. 17,3 metros (aprox.)

43. x 5 247

44. 720 g

Desafios45. e46. 20,5 m

AutoavaliaçãoPágina 18047. c48. c49. d50. b51. b52. d

UNIDADE 7ExercíciosPágina 1871. a) x 5 10 c) x 5 3

b) x 5 15 d) x 5 42. 17 m3. a) x 5 5 b) x 5 34. a) x 5 3 b) x 5 55. 150 m6. 234 m

ExercíciosPágina 1907. b e c8. a) x 5 10 c) y 5 4 b) y 5 2 11 d) y 5 15, x 5 259. 10 3; 20 cm10. b

11. c12. c13. d14. d

Página 19115. b16. 380 m

17. 28 cm18. 50 cm2

19. 100 3 km20. 275 cm ou 2,75 m

ExercíciosPágina 19621. a) x 5 15 c) x 5 2,4

b) x 5 3 5 d) x 5 822. 52 cm23. 40 m24. a) 2,5 km b) 1,5 km c) 2 km

RevisandoPágina 19725. 2 m26. 90 cm27. 17 cm28. 3,03 m (aprox.)29. a) x 5 4 b) x 5 330. O carro azul.

Página 19831. 2,97 m (aprox.)

32. Lado: 4 3 cm e apótema: 6 cm.33. 24034. 54 m2

35. 480 m36. x 5 45 cm; y 5 53 cm

Página 19937. Não.

38. 8 239. a) 28 cm b) 10 cm

40. a) 6 2 cm c) 66 cm2

b) 18 cm2 d) trapézio retângulo.

41. d

Página 20042. a) x 5 10 b) x 5 243. 2 088 m

Desafios44. 24 cm45. 26 cm46. 4 dm

AutoavaliaçãoPágina 20147. c48. d49. c50. b51. c52. d

Página 20253. b54. b55. d56. d57. c58. a

UNIDADE 8ExercíciosPágina 2101. a) a b) b c) c d) c e) b2. a) 0,6 c) 0,75 e) 0,6

b) 0,8 d) 0,8 f) 1,333...3.

25° 38° 74° 56°

seno 0,4226 0,6157 0,9613 0,8290

cosseno 0,9063 0,7880 0,2756 0,5592

tangente 0,4663 0,7813 3,4874 1,4826

4. a) x 5 4,067 c) x 5 15,009b) x 5 100,692 d) x 5 6,894

5. Não.

Página 2116. Aproximadamente 1,93 m.7. 324 m9. 76°10. 3,57 m11. c

Página 21512. a) x 5 4 b) x 5 5 2

13. 20 3 m14. 2 000 m15. 4 m 16. 3 m17. 58,2

RevisandoPágina 21618. y 5 3 e x 5 519. 6 m20. 85 m21. 240 m22. 2,5 km23. 147,18 m (aprox.)

Página 21724. 4 m25. 21,6 m26. 70,48 m27. 21 cm28. Aproximadamente 6°.29. a) 3 m (aprox.) b) 8,54 m (aprox.)

Página 21830. a) 3 m b) 2,55 m31. c

Desafios32. d33. 16,99 m

AutoavaliaçãoPágina 21934. b35. a36. c37. d38. a

Página 22039. d40. b41. a42. d


6ª pROVADÉBORA

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272

UNIDADE 9ExercíciosPágina 2271. 3 ; 28 ; 250 2. 113,04 cm2

3.

moedas Diâme-tro Raio perímetro Área

R$ 0,25 2,5 cm 1,25 cm 7,85 cm 4,91 cm2

R$ 0,50 2,3 cm 1,15 cm 7,22 cm 4,15 cm2

4. 28,56 cm2

5. a) 86 cm2 b) 86 cm2

6. a) 14,13 cm2 b) 39,25 m2

Página 2287. a) 10 discos b) 2,15 m2

8. a) 18,5325 cm2 b) 11,14 cm2

9. 138,16 m2

10. a) 2 cm2 b) cm2

11. 88,31 cm2 (aprox.)12. 90° ⇒ 38,47 cm2 (aprox.)

120° ⇒ 51,29 cm2 (aprox.)150° ⇒ 64,10 cm2 (aprox.)

ExercíciosPágina 23313. 722,2 cm2

14. 301,44 cm2

15. 10,99 m3

16. Sim.17. a) 22 608 m3 b) 3 768 viagens18. a) 7 065 cm3 c) 1 935 cm3

b) 9 000 cm3

RevisandoPágina 23519. a) A 5 4 cm2 ; B 5 5 cm2; C 5 5 cm2 b) São equivalentes.20. a) 98,125 cm2 c) (12 + 8) cm2

b) 16,13 cm2 d) (5 + ) cm2

21. 5 cm2

22. 8 m2 23. a) 1,84 m2 b) 7,82 m2

Página 23624. 117,75 cm2

25. 8 cm2

26. 62,8 cm27. 2 588,5 cm3

28. 5 cm, 5 cm e 8 cm29. Resposta pessoal.30. 465 cm2

31. 628 cm2

Página 23732. a) 2 512 L b) 1 884 L33. a34. a) 0,785 m2 b) 1,491 5 L

DesafiosPágina 23735. A família que pediu a pizza grande.36. 22,065 m2

37. A mangueira azul.38. 441,3 cm3

Seção LivrePágina 23839. d40. d41. c42. b43. b

AutoavaliaçãoPágina 23944. c45. a46. d47. b48. c

Página 24049. b50. d51. c52. c53. a54. a55. d56. b

UNIDADE 10ExercíciosPágina 2451. a) 25,9 e) R$ 3.000,00

b) 350 f) R$ 600,00c) 64,3 g) R$ 300,00d) 212 h) R$ 30,00

2. a) R$ 36,90b) R$ 28,90c) R$ 14,72

3. a) 42 bombons b) 45% c) R$ 0,764. Ambos são iguais a 16.5. 3 550 lâmpadas

Página 2466. 35%7. 12,5%8. R$ 2.000,009. R$ 25,2010. 23,5%11. R$ 650,0012. a) 16,8 kWh b) 0,75 kWh

ExercíciosPágina 25113. R$ 6,7214. a) R$ 1.872,00 c) Resposta pessoal.

b) R$ 1.664,0015. 2,5% ao mês16. 22% ao mês17. 4 anos18. 1,67% (aprox.) ao mês19. 38%20. R$ 10.384,73

RevisandoPágina 25221. 76 kg22. a) 6 bolachas b) 55% c) R$ 0,72

23.

total de pessoas por indústria

pessoas que gostam de futebol

A 5 600 metade 50% 2 800

B 6 250 um quinto 20% 1 250

C 1 200 três quartos 75% 900

D 1 473 todos 100% 1 473

24.

porcentagem Reaismarcos 37% 259Saulo 35% 245Frede 28% 196

25. R$ 4,8026. R$ 540,9627. a) 5% no feijão e 25% no macarrão

b) O macarrão.

Página 25328. 4 litros29. R$ 450,0030. 66 peças31. 56%32. R$ 318,0033. R$ 1.664,0034. 2 anos35. R$ 103.030,1036. 50%

Página 25437. c38. R$ 19,9539. 1 200 dólares; 1 296 euros40. 25%41. R$ 1.280,00

Desafios42. a43. R$ 696,0044. R$ 1.100,0045. 15 medalhas de bronze

Seção livrePágina 255

a) Sim. b) R$ 640,00 c) 20%

AutoavaliaçãoPágina 25646. b47. c48. b49. b50. c51. b52. a

Página 25753. c54. d55. d56. a57. d58. d

Página 25859. b60. b61. b62. d63. a


6ª pROVADÉBORA

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Praticando

Álvaro andrini

Maria José vasconcellos

MatemáticaColeção PraTicandoMaTeMÁTica

9edição renovada

MaTeMÁTica

Álvaro andrini Licenciado em Matemática.

Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais.

Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos.

Autor de diversos livros didáticos.

Maria José vasconcellos Licenciada em Matemática.

Coordenadora e professorade Matemática em escola da rede particular.

Coautora de coleção de Matemáticapara o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR

3a edição, São Paulo, 2012

praticando matemÁtica 9º ano – pnLd 2014MP PARtE COMUM – mac 2

3ª provaeLbert

PMR9_MP_001_051_comum.indd 1 4/25/12 4:29 PM


3ª provaeLbert


COLEGA PROFESSORCOLEGA PROFESSOR


3ª provaeLbert

este manual tem diversos objetivos:

• revelar ideias presentes na concepção desta coleção de matemática,

esclarecendo sua proposta pedagógica.

• contribuir para o processo de formação contínua do docente, apresen-

tando textos e artigos cuja leitura propicia a refl exão sobre educação e

práticas metodológicas.

• Fornecer subsídios para enriquecer as aulas oferecendo orientações

específi cas para o trabalho com o Livro do aluno, sugestões de textos,

atividades propostas para avaliação e integração com outras áreas do

conhecimento.

• refl etir sobre o processo de avaliação em matemática propondo ideias e

sugerindo instrumentos e estratégias que possam lhe ser úteis.

esperamos que este manual o auxilie em seu trabalho, contribuindo para o

sucesso de seus alunos.

Os autores


4 m a n u a l d o p r o f e s s o r

SUMÁRIOSUMÁRIO1. Considerações sobre o ensino da

Matemática e a concepção da obra .... 052. Estrutura da obra ............................... 06 2.1 Principais temas abordados

na obra ................................................ 08 2.1.1 Números ...................................... 08 2.1.2 Álgebra ........................................ 10 2.1.3 Geometria .................................... 10 2.1.4 Medidas ....................................... 11 2.1.5 Razões, porcentagens

e proporcionalidade ................... 11 2.1.6 Estatística..................................... 12 2.1.7 Funções ........................................ 123. Ideias sobre a avaliação em

Matemática ......................................... 13 3.1 Sobre o erro .................................. 14 3.2 Sobre a utilização de portfólios ......154. textos de apoio sobre educação

e práticas metodológicas ................... 19 4.1 Como ensinar Matemática? ......... 19 4.2 Matemática e resolução de

problemas ..................................... 21 4.2.1 Os vários tipos de problema:

uma possível classifi cação ........ 22 4.2.2 Dois tempos e modos

de ensinar a Aritmética ............ 25 4.3 Leitura, escrita e oralidade:

competência de todas as áreas ......36 4.3.1 Parágrafo extraído da

Proposta de Avaliação,presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002 ...........36

4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidadeem Matemática ...........................37

4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino eaprendizagem .............................38

4.3.4 Leitura na escola .........................41

4.4 O comprometimento com

o próprio aprendizado ................. 44

5. Quadro de conteúdos ........................ 46

6. Sobre o livro do 9o ano ...................... 52

Unidade 1 – potenciação e

radiciação ........................................... 52

Unidade 2 – equações do 2o grau ..... 58

Unidade 3 – Sistema cartesiano ........ 64

Unidade 4 – Funções ........................ 65

Unidade 5 – noções de

probabilidade ..................................... 69

Unidade 6 – teorema de tales e

semelhança de triângulos ................... 82

Unidade 7 – relações métricas nos

triângulos retângulos .......................... 92

Unidade 8 – trigonometria no

triângulo retângulo ............................. 99

Unidade 9 – círculo e cilindro ......... 102

Unidade 10 – porcentagem e juro ... 105

7. Avaliação – O que se pede por aí .... 109

8. Sugestões de livros e sites

para o professor ............................... 113

8.1 Livros ........................................... 113

8.1.1 Matemática por meio de jogos

e resolução de problemas .......113

8.1.2 História da Matemática e História

da Educação Matemática .......... 113

8.1.3 Paradidáticos ........................... 113

8.1.4 Educação Matemática ............. 114

8.2 Revistas ....................................... 115

8.3 Sites ............................................ 116

9. Referências bibliográfi cas ................ 119


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m a n u a l d o p r o f e s s o r 5

1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra

a presença cada vez maior da matemática nas atividades humanas torna seu aprendizado fun-

damental para a inserção do cidadão no mundo do trabalho e das relações sociais.

o caráter instrumental e científico da matemática permite resolver problemas práticos e fornece

ferramentas importantes para a construção do saber científico.

conhecimentos matemáticos, mesmo aqueles que não fazem parte do cotidiano imediato, são

necessários para a alfabetização científica e técnica do indivíduo, indispensável nos dias de hoje.

concomitantemente, o desenvolvimento de capacidades intelectuais presentes no pensamento

matemático, como deduzir, generalizar, argumentar e conjecturar, propicia formar indivíduos com

uma visão mais ampla da realidade, preparados para atuar num mundo em constante mudança.

É necessário ressaltar também que o ensino em matemática deve buscar o desenvolvimento de

posturas e atitudes necessárias à formação cidadã: confiança na própria capacidade, perseverança e

disciplina na busca de resultados, respeito pelo pensamento do outro e trabalho cooperativo.

conciliar e contemplar satisfatoriamente cada um destes aspectos em sala de aula não é tarefa

fácil. o livro didático deve, portanto, ser um parceiro eficiente para o professor e para o estudante.

esta foi a intenção dos autores ao escrever esta obra.

acreditamos que o primeiro passo é criar um ambiente de aprendizado que permita dar significa-

do ao que se aprende, aproximando a matemática do dia a dia do aluno. nesse sentido, a contextua-

lização de conteúdos exerce papel de destaque e deve ser explorada. na obra, a contextualização de

conteúdos está presente, mas de forma criteriosa, cuidando para não levar à banalização e à perda

de consistência.

o aluno deve conhecer e aplicar conhecimentos da matemática na vida prática, mas há outro

objetivo também importante: desenvolver nele o gosto pelo desafio, presente em situações da própria

matemática, de maneira que as abstrações não constituam o início ou o fim do processo, e sim

mediações indispensáveis para a construção do conhecimento matemático.

visando ao equilíbrio destes dois aspectos que se complementam, sempre que possível a obra

apresenta os temas e sua exercitação por meio de problemas, valorizando estratégias diversificadas

de resolução, a compreensão e a aplicação de conceitos, o uso adequado de procedimentos e a aná-

lise da solução obtida. Situações que propiciam o desenvolvimento do pensamento abstrato surgem

de forma gradual, respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas dando a sustentação

necessária para a construção de conceitos e demonstração de propriedades.

consideramos indispensável o trabalho com leitura, escrita e oralidade em matemática. essas

habilidades são desenvolvidas em todos os anos, por meio da leitura de textos envolvendo Histó-

ria da matemática, textos de interesse científico ou social e, sobretudo, pela leitura dos próprios

textos didáticos, escritos com foco no aluno e permeados por quadros interativos com propostas

de atividades.

em várias oportunidades o aluno será incentivado a elaborar, explicitar e compartilhar diferentes

caminhos de resolução de questões. com isso, pretendemos que ele reflita sobre sua maneira de

pensar, propiciando a criação de mecanismos que facilitem cada vez mais seu aprendizado.


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a interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capa-

cidades cognitivas, afetivas e de inserção social. contemplamos, nesta coleção, o trabalho em

pequenos grupos. Sugerimos atividades em duplas ou trios, possibilitando o contato com outros

pontos de vista para aprimorar a capacidade de comunicação e de cooperação. contudo, as

atividades em grupo não impedem o exercício individual, importante para o desenvolvimento da

autodisciplina e da autonomia. as atividades de sistematização estão presentes na coleção e têm

como objetivo gerar maior agilidade no uso de técnicas e procedimentos. ressaltamos ainda o

trabalho da obra com cálculo mental, estimativas e o uso da calculadora como forma de prever

e verificar resultados.

a abordagem da História da matemática é uma grande aliada para despertar o interesse

dos alunos. a obra se vale desse recurso em muitos momentos, apresentando a matemática

como construção humana em constante evolução, cuja história tem se construído de forma

não linear, com a contribuição de grandes gênios da ciência e também a partir da prática das

pessoas comuns. disponibilizamos para o docente, neste manual, alguns artigos envolvendo a

História da educação matemática, pois consideramos que conhecimentos sobre práticas escolares

em matemática, ao longo do tempo, permitem refletir sobre a sala de aula hoje, enxergando-a

num contexto histórico.

propomos alguns jogos matemáticos e atividades com material concreto, cuja realização é pos-

sível em sala de aula, buscando contribuir para a construção de um ambiente pedagógico mais des-

contraído onde aprender rime com prazer.

a coleção atende às demandas do mundo atual e valoriza as atuais propostas para o ensino da

matemática. pautados em nossa prática docente, procuramos fornecer uma base sólida por onde

professor e aluno possam transitar com segurança, abrindo espaço para a criatividade, sem perder

de vista a realidade de sala de aula em nosso país.

2. Estrutura da obraa obra compõe-se de quatro volumes, cada um com um manual do professor específico. nos

volumes, a teoria é distribuída de modo equilibrado em unidades e seções, visando dar o suporte

necessário ao professor, sem tirar-lhe a liberdade de criação.

Levando em consideração as diferentes formas e ritmos que cada um tem para aprender, os tex-

tos estabelecem um diálogo com o aluno para facilitar a compreensão e permitir que ele progrida na

leitura com mais facilidade por meio de uma linguagem clara e simples, incluindo fotos, ilustrações,

gráficos e esquemas explicativos. atividades surgem ao longo do texto como forma de levantar co-

nhecimentos prévios e de checar o progresso da leitura.

a História da matemática aparece ao longo dos volumes em diversas oportunidades: textos de

caráter histórico, comentários e informações biográficas, ou no enunciado de alguns exercícios.

além das atividades sugeridas paralelamente à apresentação dos temas, cada unidade apresenta

seções específicas com atividades, descritas a seguir.


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Exercícios

propostos ao fi nal de cada assunto, fornecem ao aluno uma oportunidade de autocontrole

de habilidades e conteúdos procedimentais adquiridos na aprendizagem, utilizando como base a

teoria desenvolvida.

os exercícios estão dispostos em grau crescente de difi culdade, são diversifi cados e muitos deles

foram retirados de avaliações de caráter ofi cial.

Revisando

os exercícios dessa seção constituem mais uma oportunidade de retomar e interligar os diferentes

assuntos, dando ao aluno a possibilidade de mobilizar recursos para exercer as competências adquiridas.

poderão ser encaminhados para tarefa de casa ou ainda reservados pelo professor para aplicação

na recuperação paralela.

Desafi os

agrupamos, nessa seção, questões que exigem soluções mais criativas e elaboradas. Sugerimos

que estes exercícios sejam resolvidos em duplas ou trios, permitindo que cada um contribua para a

resolução, incentivando o trabalho coletivo.

Autoavaliação

São propostas questões do tipo teste, apuradamente selecionadas. muitas delas vêm de olimpía-

das, vestibulares e avaliações da rede ofi cial, observando sempre a adequação ao nível cognitivo dos

alunos a que se destinam.

o professor pode utilizar esses exercícios de diversas maneiras. por exemplo, os alunos podem

resolvê-los sem ajuda, conferindo, ao fi nal, as respostas e analisando seu aproveitamento juntamente

com você.

Seção livreapresenta exercícios ou textos envolvendo curiosidades, fatos históricos, arte, ciência e situações

do cotidiano, buscando motivar o aprendizado.


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Vale a pena lerSão textos variados envolvendo matemática, História da matemática e outras áreas do conheci-

mento. contribuem para desenvolver a habilidade leitora e de interpretação de textos.

Selo que sinaliza textos e atividades que envolvem matemática aplicada a outras áreas do conhe-

cimento e/ou à vivência cotidiana.

2.1 Principais temas abordados na obraa coleção distribui seu conteúdo, nos quatro volumes, em temas que poderiam ser destacados como:

• números;

• Álgebra;

• Geometria;

• medidas;

• razões, porcentagens e proporcionalidade;

• estatística;

• Funções.

São desenvolvidos procedimentos relativos a cálculo mental, estimativas, argumentação e inicia-

ção à articulação lógica e dedutiva.

os problemas estão presentes nos textos e nas seções de exercícios, explorando e buscando desenvolver

habilidades variadas. Lembramos, no entanto, que os alunos devem ter acesso a problemas de outras fontes,

principalmente os propostos a partir de situações que surjam do contexto particular a que pertencem.

acreditamos que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos não se desen-

volve unicamente na aprendizagem da Língua portuguesa, mas em todos os componentes curricu-

lares. Quem deve, preferencialmente, tratar da leitura de textos em matemática é o professor dessa

área, pois a construção das relações entre as duas linguagens diferentes – as palavras e os símbolos

matemáticos – será melhor desenvolvida por ele. Lembramos novamente que todos os textos didá-

ticos foram escritos pensando no aluno como leitor. o professor pode utilizá-los no trabalho com

leitura em matemática.

2.1.1 Númerospesquisando a História da matemática, fi zemos um levantamento sobre a história dos números,

dos processos de contagem e dos sistemas de numeração criados por antigas civilizações. o volume do

6o ano retoma e aprofunda os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal e seus princípios.

a coleção procura sempre que possível articular números com medidas e Geometria.


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no volume do 6o ano apresentamos inicialmente os números naturais e suas aplicações.

retomamos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão nos naturais a partir das

ideias ligadas à elas, bem como os algoritmos usuais e as propriedades da adição e da multi-

plicação. as técnicas de cálculo mental e o uso de arredondamentos para estimar resultados

são incentivados. apresentamos a potenciação, sua notação e cálculo de potência com base e

expoente natural. trabalhamos em seguida com as raízes quadradas de números naturais com

foco nas raízes exatas. precedendo os estudos das frações apresentamos as relações “múltiplo

de” e “divisor de”, os critérios de divisibilidade mais importantes, como facilitadores, o conceito

de número primo e determinação do mmc e do mdc entre números naturais. não construímos

o conjunto Q neste volume, mas o trabalho com frações é retomado e ampliado, tratando as

operações e apresentando problemas envolvendo as frações e suas aplicações. a partir das re-

gras do Sistema de numeração decimal, lembramos o registro e a leitura de números decimais,

bem como suas aplicações no cotidiano. as operações envolvendo números decimais são cuida-

dosamente trabalhadas nos textos e pretendem que o aluno entenda os algoritmos usuais, em

especial nas multiplicações e divisões.

no 7o ano, antes de apresentar os números negativos, relembramos os números naturais, apre-

sentamos o conceito de fração como quociente e retomamos os números decimais, tendo também

como novidade a localização de frações e de números decimais na reta numérica. a ideia de fra-

ção como quociente parte de situações que envolvem desenhos, para facilitar o entendimento dos

alunos. Sugerimos apresentar vários exemplos concretos: 4 chocolates divididos entre 5 crianças, 2

pizzas divididas entre 8 pessoas etc.

optamos por apresentar os números negativos inteiros, fracionários e decimais, sem construir

ainda os conjuntos Z e Q. a ideia é garantir um aprendizado mais consistente das operações e da

resolução de problemas envolvendo números negativos antes de formalizar os conjuntos numéricos.

entendemos que o aluno do 8o ano estará mais preparado para esta construção.

no 8o ano, com apoio na história dos números e sua ligação com o desenvolvimento da humani-

dade, apresentamos os números reais a partir da construção dos conjuntos N, Z e Q, e dos números

irracionais. a apresentação dos números irracionais é feita de forma cuidadosa, com textos acessíveis

e com uma atividade concreta para apresentar o número p (pi).

abordamos a representação na reta numérica estendendo o registro para números reais. num qua-

dro, no final da Unidade 1 do 8o ano, apresentamos formalmente as propriedades dos números reais.

nesse volume, a potenciação, suas propriedades e a radiciação têm destaque, incluindo expoentes

inteiros negativos, raízes com índice natural maior que 2, números quadrados perfeitos e raízes não exatas.

no 9o ano, precedendo o trabalho com radicais, há a retomada da potenciação e suas proprie-

dades, e da radiciação, apresentada agora de maneira mais formal. dessa forma, pretende-se que,

ao final do 9o ano, o aluno tenha formação adequada no campo dos números, para prosseguir seus

estudos no ensino médio.


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2.1.2 Álgebra

o livro do 6o ano trabalha com a observação de regularidades e algumas generalizações.

no 7o ano, esse trabalho é retomado e se inicia o estudo da Álgebra mais formalmente, in-

troduzindo a linguagem algébrica, as equações e as inequações do 1o grau. o maior objetivo

neste volume, é mostrar as equações como ferramenta útil na representação e resolução de

problemas, sem ofuscar as habilidades de cálculo mental, as resoluções por tentativas e por

meio da aritmética. prosseguindo, no 8o ano, o aluno trabalha com o cálculo algébrico, mani-

pulando expressões, construindo o conceito de variável, de fórmula, de incógnita, aprendendo

a utilizar corretamente conhecimentos importantes da Álgebra, como os produtos notáveis e a

fatoração. antes de apresentarmos os sistemas de equações do 1o grau, retomamos a resolução

de equações, resgatando o que foi visto no 7o ano. no 9o ano, vêm as equações do 2o grau,

desenvolvidas por meio de textos simples, que facilitam o progresso do aluno. optamos por

apresentar as equações biquadradas, irracionais e fracionárias, uma vez que estes conteúdos

serão necessários no ensino médio.

Sabemos que a Álgebra possibilita aos alunos uma abertura para o estudo de outros ramos da

matemática, mas é preciso cuidado e calma ao introduzir sua linguagem para não causar confusões,

insegurança e dificuldades.

propomos a abordagem gradual das diferentes concepções ou finalidades que se tem da

Álgebra atualmente: a Álgebra como generalizadora da aritmética; a Álgebra como estudo de

processos para resolver problemas; a Álgebra como estudo da relação entre grandezas; e a Álge-

bra como estudo de estruturas matemáticas (manipulação de expressões). os comentários sobre

funções estão no item 2.1.7.

2.1.3 Geometria

a Geometria é um tema abordado nos quatro volumes da coleção, pois seu estudo permite ao

aluno desenvolver habilidades importantes para a compreensão e a representação organizada do

mundo físico.

apresentamos a Geometria não apenas como conteúdo isolado, mas também como uma ferra-

menta que auxilia (e poderíamos até dizer, seguindo os passos da História, que fundamenta e serve

como recurso didático) o desenvolvimento de conceitos da matemática.

o trabalho com Geometria está relacionado às atividades de observação e construção, valorizan-

do sempre sua conexão com outros campos do conhecimento e com a vida prática. a importância da

Geometria na História da matemática é ressaltada em textos complementares.

a demonstração de propriedades relativas à Geometria aparece inicialmente no volume do

7o ano, ao provarmos a congruência de ângulos opostos pelo vértice. antes disso, nos valemos da

experimentação constatando alguns fatos importantes por meio de atividades. nos volumes do 8o

e do 9o ano as demonstrações em Geometria são mais frequentes e têm por objetivo desenvolver o

raciocínio dedutivo e a argumentação lógica. procuramos apresentar essas demonstrações sempre

respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas entendemos que sua presença é indispen-

sável em um livro didático.


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definições, conceitos e propriedades geométricas importantes são revisitados antes de apresen-

tarmos novos conteúdos. entendemos que a construção do conhecimento geométrico é acumulativa

e fica facilitada se apoiarmos novos conhecimentos em conhecimentos anteriores e se articularmos,

sempre que possível, Geometria com medidas e com Álgebra. para isso, procuramos apresentar tex-

tos acessíveis e atividades interessantes, diversificadas.

outro aspecto valorizado na obra é o uso do material de desenho. ensinamos a usar o transfe-

ridor na Unidade 9 do 6o ano, e, nos volumes do 7o e do 8o anos, os alunos são convidados a fazer

construções com régua, compasso e transferidor em várias oportunidades. consideramos a prática

com material de desenho desejável em todos os anos.

2.1.4 Medidas

as medidas fazem parte de nosso dia a dia e constituem um conhecimento necessário nas mais

variadas profissões. além de ser um tema com importância social, mostra também ao aluno, com

clareza, a utilidade do conhecimento matemático em seu cotidiano. balanças, fitas métricas, relógios

e termômetros, por exemplo, envolvem situações com medidas em geral. tais situações são a base

para a criação de diversos problemas interessantes e significativos para os alunos. É importante que

todos vivenciem experiências concretas com medidas.

assim como o fizemos com Geometria, o trabalho com medidas se estende por toda a

coleção, permitindo uma melhor compreensão do mundo físico e a integração com outras

áreas do conhecimento. as medidas estão presentes em exemplos e atividades nos conteúdos

de álgebra, de geometria, de funções, de estatística, na construção de gráficos, sempre que o

contexto permite.

no volume do 6o ano, trabalhamos com cuidado a construção do conceito de medida, que será

revisitado e consolidado nos demais volumes. muitas das dificuldades dos alunos no trato com medi-

das e conversões entre unidades vêm de um conceito de medida mal desenvolvido.

abordamos, ao longo da obra, medidas de comprimento, de massa, de tempo, de área, de vo-

lume, e, também, medidas de ângulos.

2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidade

as ideias e aplicações de razões, porcentagens e proporcionalidade são abordadas em unidades

específicas nos volumes do 6o, 7o e 9o anos, mas nos demais volumes, estão presentes na abordagem

de conteúdos e exercícios ligados à Álgebra e à Geometria. no 9o ano, retomamos a definição de

razão para definir segmentos proporcionais, antes de demonstrar o teorema de tales.

a Unidade 5, no volume do 7o ano, dedica-se especificamente a razões e porcentagens. destacamos

a preocupação da coleção com o cálculo mental de porcentagens básicas e com o uso da calculadora

como facilitadora no cálculo de porcentagens frequentes no dia a dia das pessoas.

o desenvolvimento do raciocínio proporcional tem importância significativa no conteúdo de

matemática do ensino Fundamental, no cotidiano e, futuramente, na vida profissional dos alunos.

no volume do 9o ano, problemas mais complexos envolvendo porcentagens e noções sobre o

cálculo de juros são abordados na Unidade 10, proporcionando um primeiro contato com a mate-

mática Financeira.


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2.1.6 Estatística

o tema estatística também é constante em toda a obra, devido à sua importância na sociedade atual.

Gráficos, tabelas e dados estatísticos estão presentes em jornais, revistas e meios de comuni-

cação em geral, fazendo parte do cotidiano da população. aproveitando sempre o conhecimento

prévio dos alunos, a coleção retoma e amplia conhecimentos básicos em estatística.

É importante que o aluno seja capaz de ler uma tabela, calcular médias, construir e inter-

pretar gráficos estatísticos para saber analisar situações, fazer previsões e escolher rumos de

ação. por isso, a coleção traz, sempre que possível, atividades envolvendo a leitura de tabelas e

gráficos estatísticos em todos os volumes. dedica unidades e seções específicas para estudar e

apresentar como construir os diversos tipos de gráficos: barras ou colunas, setores, gráficos de

linhas e pictogramas.

esse trabalho é desenvolvido deixando sempre espaço para que o professor enriqueça suas aulas

com atividades que abordem temas atuais, presentes no contexto de seus alunos.

no tema estatística, estão incluídos os problemas de contagem e noções de probabilidade, abor-

dados gradualmente desde o 6o ano. por meio de problemas, pretende-se desenvolver o raciocínio

combinatório, a compreensão do princípio multiplicativo e ideias básicas sobre o cálculo de probabi-

lidades que serão complementadas no ensino médio.

2.1.7 Funções

desde o 7o ano e de forma mais específica a partir do 8o ano, trabalhamos com a observação e

generalização de padrões, a relação de interdependência entre grandezas, o reconhecimento e uso de

variáveis, a escrita e a aplicação de fórmulas para representar algebricamente a relação entre variáveis.

o conceito de função, preparado desde os anos anteriores, surge com mais facilidade e é

desenvolvido com o título “Funções” no volume referente ao 9o ano. procuramos torná-lo menos

formal, uma vez que o estudo desse conteúdo é retomado e aprofundado no ensino médio. na

Unidade 4, definimos função, damos noções sobre domínio e imagem, representamos funções

por meio de diagramas de flechas. em seguida, o aluno trabalhará com gráficos e lei de forma-

ção, terá um primeiro contato com as funções do 1o e do 2o graus e com o tipo de gráfico que as

representam. observará a simetria nas parábolas e o ponto de vértice, sem, contudo, aprofundar

o estudo destas funções, pois isso será feito de forma mais completa, provavelmente, no 1o ano

do ensino médio.

a ênfase está em saber reconhecer uma função, identificar e interpretar suas variáveis e utilizar

suas formas de representação – tabela de valores, lei de formação e gráfico –, para obter informações

sobre o comportamento das grandezas envolvidas na função.

É sempre desejável que o professor busque situações existentes no contexto de seus alunos,

mostrando aplicações práticas para o estudo de funções.


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3. Ideias sobre a avaliação em Matemáticaentendemos a avaliação como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem, cujo obje-

tivo não é somente verificar (por meio de uma medição) a quantidade de informações “retidas” pelo

aluno ao longo de um determinado período.

o conhecimento é construção humana e social, e nosso “saber” não é construído de um dia para

o outro, de uma situação para a outra, do “não saber” ao “saber tudo”.

cada indivíduo trabalha e reelabora, de forma particular, as informações recebidas, daí a neces-

sidade de se considerar, na avaliação, não somente o produto, mas principalmente o processo.

a avaliação deve servir como um instrumento de acompanhamento e regulação do ensinar-

-aprender, oferecendo elementos para uma revisão de postura de todos os componentes desse pro-

cesso (aluno, professor, conteúdo, metodologia e instrumentos de avaliação), ou seja, um diagnós-

tico que permita tomar as ações necessárias para corrigir rumos, renovando sempre o compromisso

com a aprendizagem.

dessa forma, restringir a avaliação a um conceito obtido em uma prova não retrata com fidelida-

de o aproveitamento obtido. Somente a consideração conjunta do produto final e dos processos que

levaram a ele nos permite estabelecer interpretações significativas.

a avaliação será, nessa perspectiva, de grande valia para a continuidade e revisão de seu tra-

balho, indicando os pontos que não estão bem claros para os alunos e que, por isso, deverão ser

trabalhados com mais intensidade. para o aluno, esse será um momento de grande significação,

situando-o em relação a seus progressos.

portanto, é necessário considerar a avaliação como um recurso a serviço do desenvolvimento do

aluno, que o leve a assumir um compromisso com a própria aprendizagem.

durante o desenvolvimento de um conteúdo, deve-se observar nos alunos aspectos como: de-

senvolvimento da autonomia intelectual, criatividade na busca de soluções, habilidade de comuni-

cação oral e escrita, posturas de relacionamento e capacidade de interpretação e de argumentação.

na elaboração de instrumentos mais formais, como provas, é importante considerar que a resolução

de uma questão não deve ter como objetivo uma pontuação em si.

ela serve para revelar se habi-

lidades e competências envolvidas

foram ou não adquiridas. na tota-

lidade das questões, não se deve

considerar uma soma de pontos, e

sim um conjunto de habilidades e

competências adquiridas, e outras

que necessitam ser mais trabalhadas.

nesta coleção, o manual do pro-

fessor traz sugestões de instrumen-

tos diversificados para a avaliação

– incluindo fichas de acompanha-

mento –, contemplando atividades

Fern

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individuais e em pequenos grupos, feitas com ou sem consulta ao material didático, e atividades com

participação oral ou escrita, realizadas em classe ou em casa. esperamos que as sugestões possam ser

aproveitadas ou adaptadas para atender às suas necessidades.

como leitura complementar, sugere-se a edição especial do boletim de educação matemática

– boLema –, cujo tema é a avaliação em educação matemática. esta edição especial, a de número

33, volume 22, de agosto de 2009, está integral e gratuitamente disponível em: <www.periodicos.rc.

biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/issue/view/778>. acesso em: mar. 2012.

3.1 Sobre o erroSempre falamos sobre a importância de considerar os erros que os alunos cometem como uma

estratégia de aprendizagem. o excerto abaixo, de autoria de um grupo de professoras da Universi-

dade do vale do rio dos Sinos (Unisinos), reitera essa disposição de ver nos erros a possibilidade de

perceber como o estudante está procedendo, e, com isso, criar alternativas para orientá-lo.

“[...] a importância que se dá ao erro é uma questão fundamental no processo avaliativo.

o erro representa, entre outras manifestações do aluno, indícios do seu processo de construção

de conhecimentos. pode indicar caminhos diferentes daqueles que o professor espera. o pro-

fessor ou a professora, frente ao erro, pode compreender esse novo trajeto seguido pelo aluno,

valorizando a sua produção e buscando converter ‘o não saber, estático, negativo e definitivo,

em ainda não saber, provisório, relativo e potencial’ (eSteban, 2001, p. 23).

a autora considera excludente a dicotomia entre o acerto e o erro, tornando a avaliação

escolar uma prática que desvaloriza os saberes, impede o diálogo, funcionando como instru-

mento de controle e de limitação das atuações, tanto de alunos como de professores e profes-

soras, no contexto escolar. ela também destaca que aquilo que dizemos sobre o nosso aluno é

apenas uma parte do que pode ser dito, ou seja, é apenas o que nós vimos.

também os pcns trazem considerações acerca do erro, das quais destacamos:

[...] se todos os erros forem tratados da mesma maneira, assinalando-se os erros e expli-

cando-se novamente, poderá ser útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente para

esclarecer algum tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros continuarão sem

compreender e sem condições de reverter a situação (1997, p. 59).

assim, ao avaliar uma situação, o professor ou a professora não apenas constata e

pontua determinada dificuldade do aluno. o professor ou a professora também decide que

tipos de encaminhamentos e intervenções deve inserir em sua prática pedagógica para que

o aluno supere a sua dificuldade inicial. nesse caso, o professor ou a professora considera

não apenas o que o aluno foi capaz de fazer, mas também aquilo que ele já sabe fazer, para,

a partir disso, planejar as atividades seguintes.


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3.2 Sobre a utilização de portfóliosa avaliação é um dos componentes do projeto pedagógico de uma escola e pode estar dirigida

para várias frentes: a avaliação do aluno, a avaliação do professor, a avaliação da instituição etc., além

de poder ser efetivada usando, para isso, vários instrumentos. o texto a seguir, que deixamos como

sugestão de leitura, reforça essas disposições e apresenta, com maior detalhamento, o portfólio, um

desses instrumentos que pode nos auxiliar na complexa atividade da avaliação.

reportamo-nos agora a algumas questões colocadas no Fascículo i [...] sobre números

naturais. está proposto, ao final dos episódios (trabalho do primeiro encontro), como tarefa,

que sejam analisados os trabalhos de alice, Juliana e mariana. Quando é perguntado: o que

ela acerta? o que ela erra?, tais questões estão sugerindo uma atenção sobre o que o aluno

revela saber no processo que ele construiu e que talvez não tenha manifestado para chegar

até sua resposta. no caso de Juliana, poderíamos refletir sobre a possibilidade de outra expli-

cação para o registro que ela fez do número 21. a partir da manifestação do aluno, é possível

acompanhar seu processo de construção da notação do número e interferir, se for o caso, mas

a partir do que ele está compreendendo dessa representação.

em muitas situações-problema em matemática, não há um padrão de resposta. pode acon-

tecer que o resultado numérico seja um, mas o processo de resolução até chegar a esse resultado

seja construído de diversas maneiras, manifestando a compreensão que o aluno teve da situação-

-problema. a observação atenta a esses diferentes caminhos traçados pelos alunos compõe,

entre outras formas e instrumentos utilizados, o processo de avaliação da aprendizagem. [...]”

cHamorro, c. c. W.; GUÉrioS, e.; mÄdcHe, F. c.; SiLva, J. a. da; FiScHer, m. c. b.; enriconi, m. H. S.; baLdiSSera, m. J. S.; WoLFF, r. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). brasília: mec, 2008. p. 9-10.

Identidade da escola

“toda escola situa-se em um sistema de ensino e tem sua identidade expressa no projeto

político-pedagógico (ppp). o ppp é elaborado pela comunidade escolar a partir da realidade da

escola e da legislação e é constituído por marcos de referência, pelos planos de estudo e pelo

regimento escolar.

no dizer de veiga (1997, p.16), o projeto político-pedagógico, como organização do tra-

balho da escola como um todo, está fundado nos princípios que deverão nortear a escola. os

marcos de referência do ppp explicitam, entre outros, as concepções de mundo, de sociedade,

de ser humano, de educação, de aprendizagem, de avaliação. essas concepções precisam ser

evidenciadas no cotidiano da escola, nas suas ações e decisões administrativas e pedagógicas.

É claro que as evidências não ocorrem de maneira linear, como estamos abordando. a rea-

lidade é complexa e as contradições também se fazem presentes no mundo da escola. mas, na

prática, sempre há referências que balizam nossas ações. precisamos nos perguntar para que e

para quem estamos fazendo nossa atividade pedagógica.


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o plano de estudos, outro integrante do ppp, contém os conteúdos básicos a serem abor-

dados, além de objetivos e metodologia de ensino e de avaliação. esses planos de estudos

também devem estar encharcados da realidade dos alunos e dos professores.

Fiss e caldieraro (2000) situam os planos de estudos como elemento ordenador, do ponto

de vista pedagógico, do currículo escolar como a expressão concreta do ppp.

outro componente do ppp é o regimento escolar, que reúne as normas que regem a escola.

dentre as normas do regimento, podemos destacar as de convivência e as da avaliação da

aprendizagem dos alunos.

como se pode constatar, a prática pedagógica do professor ou da professora está em sin-

tonia com os princípios orientadores da escola com o seu regimento escolar. neste contexto

pedagógico situa-se a avaliação da aprendizagem do aluno, que oferece dados para o professor

ou a professora tomar decisões tanto pedagógicas quanto administrativas. Sim, essas decisões

podem ter finalidade pedagógica ou administrativa, dependendo do objetivo dessa avaliação.

A avaliação da aprendizagem

como avaliamos nosso aluno em seu processo de aprendizagem, na escola? em que mo-

mento(s)? através de uma mera conferência de resultados? ou, quem sabe, a partir de observações

quanto a aspectos atitudinais do aluno? no que estas práticas contribuem para a aprendizagem do

aluno e, consequentemente, para o trabalho pedagógico do professor e da professora?

Sustentadas nestas angústias e reflexões, percebemos uma necessidade de mudança de

olhar em relação à avaliação. precisamos repensar a avaliação como uma ação compreensiva e

mediadora da trajetória do aluno, presente em toda prática pedagógica, e não como uma ação

esporádica que seleciona os que sabem.

a avaliação deve ter sempre a preocupação com a aprendizagem dos alunos. Uma avaliação

com essa finalidade tem sido referida por diversos autores como uma avaliação formativa que,

nas palavras de perrenoud (1999), é uma avaliação ‘que ajuda o aluno a aprender e o professor a

ensinar’ (p. 173). descreve a ideia-base desta avaliação, em que o indivíduo aprenderá melhor ‘se

o seu meio envolvente for capaz de lhe dar respostas e regulações sob diversas formas: identifica-

ção dos erros, sugestões e contrassugestões, explicações complementares, revisão das noções de

base, trabalho sobre o sentido da tarefa ou a autoconfiança’ (perrenoUd, 1999, p.173).

a avaliação só tem sentido se estiver contribuindo para melhorar a aprendizagem em

curso, se puder informar o professor ou a professora sobre as condições em que se dá essa

aprendizagem e o aluno sobre seu próprio percurso. essa modalidade de avaliação, identificada

por muitos autores como uma avaliação formativa, destaca-se por uma característica essencial,

ausente na função somativa, que é a de realizar-se de forma contínua, integrada na ação de

formação e incorporada no próprio ato de ensino. [...]

1. Vamos falar de portfólios

Se você olhar em um dicionário, vai ler que portfólio vem de porta-fólio, que significa pasta

ou álbum para guardar papéis. É fácil, portanto, fazer uma comparação para você entender

facilmente o que é um portfólio: pode ser comparado com uma pasta em que você guarda seus

documentos de modo organizado.


3ª provaeLbert



o portfólio tem sido utilizado em muitos ramos da vida cotidiana como meio de divulgação

e de propaganda. Se você entrar num site de busca na internet e solicitar o termo “portfólio”,

observará centenas de exemplos de empresas, escolas e tantos outros ramos divulgando seus

produtos e serviços por meio de portfólios. por que utilizam portfólios? porque permitem às

pessoas visualizar de modo integral, ao mesmo tempo em que permitem a observação detalha-

da de tópicos específicos no conjunto de produtos que estão veiculando.

a pergunta que fazemos é: onde está o valor pedagógico de um portfólio? Um portfólio

permite a você organizar as atividades de seus alunos.

Qual é a relação disto com o portfólio como instrumento de avaliação? É o que ele permite

ao leitor ver. e quem é o professor ou a professora, senão um leitor do desenvolvimento do

aluno? observe que o princípio é o mesmo. com as atividades de seus alunos organizadas,

você pode acompanhar o desenvolvimento de cada um deles de modo sistemático e contínuo.

Portfólios nos anos iniciais

a utilização de portfólios não é uma inovação, pois já é um hábito de muitos professores e

professoras. a inovação reside no modo de utilização dos mesmos.

Um portfólio bem organizado permite ao professor ou à professora acompanhar o

aluno em seu processo de aprendizagem. com ele, você pode acompanhar e identificar

os registros e acertos de seus alunos, assim como problemas de aprendizagem durante o

seu ensinamento, pois os erros ficam evidenciados, ficam visíveis. além disso, você pode

“estudar” os erros e perceber as dificuldades apresentadas. perceber erros quando ocor-

rem – e não depois que são consolidados e observados numa avaliação formal – possibilita

que você realimente seus modos de ensinar, readequando seu planejamento e percebendo

onde está o problema.

você pode ter o portfólio de cada aluno e pode também ter o seu portfólio.

nos de seus alunos, estarão organizadas as atividades que eLeS fazem, as lições deLeS, as

produções deLeS, os registros que eLeS fazem etc.

no SeU, você pode organizar SeUS registros, SUaS observações, SUaS impressões, SeUS

relatos. no SeU, vão constar as observações que vocÊ faz das atividades deLeS.

os alunos gostam de construir seus portfólios e, normalmente, são seus parceiros nisso.

para eles, é como se fosse um de seus álbuns de figurinhas, de papel de carta ou do que quer

que seja. além disso, há uma significativa contribuição que é a de possibilitar que cada criança

seja produtora de seu próprio conhecimento. criança produtora! nada mais profícuo para você

atingir o anseio pedagógico de ter a criança como produtora e não apenas como receptora

de conhecimentos que lhe são transmitidos na escola. temos, então, duas dimensões em sua

utilização: portfólio como coletânea e portfólio como produção.

Se você escutar que há também processofólio e que este é diferente de portfólio, é porque

alguns entendem que no portfólio são armazenadas atividades concluídas dos alunos – uma

sucessão de atividades já desenvolvidas, ou a última versão das diferentes atividades propostas

– e no processofólio vai-se armazenando todas as etapas que vão sendo desenvolvidas. [...]


3ª provaeLbert



no portfólio estaria armazenado o produto final das atividades. no processofólio estariam

sendo armazenadas as tentativas para chegar ao final da atividade.

este exemplo esclarece sobre a diferença entre os dois termos. nós estaremos utilizando

apenas o termo portfólio por entendermos que engloba o outro. Fica a critério do professor

ou da professora a construção de portfólios que contemplam atividades processuais ou não.

adiantamos que as atividades processuais se constituem em uma grande fonte de informações

que os alunos nos dão sobre o desenvolvimento de seu pensamento, assim como sobre suas

estratégias para compreender matemática.

e a avaliação formal que a escola exige que façamos, como se dá, nesse caso?

como o objeto da avaliação em matemática não é apenas a nota – avaliação final – deve-

-se avaliar o processo dos alunos no desenvolvimento de suas atividades. É esta avaliação de

processo que permite saber se o aluno compreendeu ou, em outras palavras, se construiu ideias

matemáticas, se os seus erros refletem dificuldades parciais ou se não passam de distração.

cumpre reforçar que a avaliação está, necessariamente, atrelada aos objetivos que se tem

ao ensinar e as atividades propostas vão ao encontro desses objetivos. portanto, ao avaliarmos

o desenvolvimento dos alunos ao realizarem atividades programadas, devemos nos reportar

aos objetivos tidos ao iniciá-las e às possíveis mudanças de rumo que tiverem ocorrido. [...]

2. Vamos falar de registros

É comum falar-se de registros que professores ou professoras fazem. aqui, vamos ver pos-

sibilidades de avaliar a aprendizagem dos alunos por meio dos registros que oS aLUnoS fazem.

o que são registros? São modos como os alunos expressam o movimento da aprendiza-

gem. os alunos constroem conhecimentos matemáticos ao desenvolverem atividades. enquan-

to falam, desenham e escrevem, eles estão expressando ideias, refletindo sobre suas próprias

palavras e as dos colegas, estabelecendo relações. podemos utilizar os registros orais, os pictó-

ricos e os escritos.

para estudar sobre registros no processo de avaliação de aprendizagem, construa um

portfólio. [...]

O registro oral possibilita a você compreender como o aluno está desenvolvendo seu

pensamento e que estratégias está elaborando na resolução de uma situação matemática.

o registro oral como possibilidade avaliativa transcende o diálogo natural de sala de aula.

torna-se possibilidade avaliativa quando você observa intencionalmente esta fala. em outras

palavras, quando você está prestando atenção, analisa a manifestação oral de seu aluno, faz

SeUS reGiStroS (para, por exemplo, anexar a seu portfólio), e acompanha a evolução das

ideias manifestadas por eles. o registro oral permite que você “entenda” o que seu aluno está

pensando. ao entender, muitas vezes, você observa que o aluno resolveu uma situação mate-

mática de outro modo que o esperado por você, porque ele disse como fez. permite também

observar que errou, mas que este erro não evidencia o desconhecimento do todo em relação

ao conteúdo em estudo. [...]


3ª provaeLbert



por meio da análise do conteúdo dos portfólios de seus alunos e das observações do seu,

imagine que você vai escrever uma carta para a professora que vai substituí-lo durante um mês

em sua sala de aula. nesta carta, você precisa elaborar um parecer sobre sua sala de aula, sobre

os conteúdos que ministrou e o que ela ministrará. você exemplificará seus argumentos com

os dados e reflexões de cinco alunos.

É senso comum que o professor ou professora deve refletir sobre sua prática. ninguém

duvida dessa afirmação. no entanto, a reflexão pela reflexão pode não levar a um resultado

profícuo. Freitas (2002, p. 03) relata em suas pesquisas que:

em algumas situações essa reflexão é desencadeada a partir de um acontecimento específico

ocorrido em determinado momento e que exige do professor reorganizar a sua ação naquele

exato momento. [...] De outra forma, que pareceu não ser comum, foi possível perceber que

esta ‘reflexão na ação’ enquanto intenção deliberada de uma professora em estar atenta du-

rante todo o tempo do trabalho para elementos que lhes permitam repensá-lo na direção de

uma maior aprendizagem dos alunos.

tal afirmação parece validar a contribuição de portfólios como instrumentos de avaliação.

registros, em suas diferentes naturezas, permitem a observação de etapas de aprendizagem e

o desvelamento do pensamento dos alunos.”

cHamorro, c. c. W; GUÉrioS, e.; mÄdcHe, F. c.; SiLva, J. a. da; FiScHer, m. c. b.; enriconi, m. H. S.; baLdiSSera, m. J. S.; WoLFF, r. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática).

brasília: mec, 2008. p. 11-12 e 21-22, 24-25, 29-30.

4. textos de apoio sobre educação e práticas metodológicas

4.1 Como ensinar Matemática? essa questão preocupa e ocupa a mente dos professores de matemática.

a seguir levantamos alguns pontos e apresentamos sugestões sobre a postura e a prática docente.

a inspiração do texto vem de um artigo escrito por George polya, intitulado “dez mandamentos para

professores”.

o artigo é dirigido a professores de matemática, mas sua essência pode ser aproveitada para

professores de todas as disciplinas.

• Demonstre interesse e tenha domínio sobre sua aula

Sem motivação, ninguém é capaz de motivar os alunos para o aprendizado. Se você mostrar que

não gosta de um assunto, dificilmente fará com que seu aluno se interesse por ele. mostre ao

aluno os encantos da matemática e seu entusiasmo por eles.

Junto com a motivação para ensinar, deve vir, é claro, o preparo teórico. elabore seu plano de

aula com cuidado de forma que o aluno perceba consistência em seu trabalho. você precisa

mostrar-se seguro para gerar confiança nos estudantes.


3ª provaeLbert



• Estabeleça contato com seus alunos

procure “enxergar” o conteúdo a ser ensinado sob o ponto de vista do aluno, interagindo com

ele em sala de aula, atendendo às suas expectativas e sendo sensível às suas difi culdades.

• Adquira e use sua experiência

a experiência prática – vivência de sala de aula – é condição básica para melhorar a prática do-

cente. Se você é muito jovem, ouça seus colegas de profi ssão mais experientes. Lembre-se de

quando você mesmo era estudante e das qualidades dos mestres que mais infl uenciaram sua

vida escolar. Se já é professor há tempos, passe aos mais jovens suas vivências e aproveite para

aprender também com eles.

• Corrija os erros por meio da valorização dos acertos

o aluno que escuta sem parar “isto está errado”, provavelmente passará a detestar a ma-

temática e, consequentemente, o professor da disciplina. É difícil quebrar esse bloqueio

e ter sucesso com alunos que passaram por essa experiência. os estudantes não devem

ter medo de experimentar, conjecturar e testar, mesmo que isso leve a um erro inicial.

Localizar e compreender o motivo do erro muitas vezes ajuda a compreensão. a sugestão

é valorizar o que foi feito corretamente, deixando que o aluno descubra seu próprio erro

e aprenda com ele. algo como: “você começou bem, esta parte está correta, mas, acom-

panhe comigo: o que você observa nesta etapa da resolução? Será que juntos podemos

chegar à resposta correta?”.

• Ajude na medida certa e permita que seus alunos “aprendam a aprender”

ajude seus alunos. Que não seja muito pouco, senão não haverá progresso. Que não seja de-

mais, para que o mérito da resolução seja dele. George polya diz que o professor deve ser “uma

espécie de parteira espiritual”, que dá a oportunidade ao aluno de descobrir coisas, fazer con-

jecturas e construir seu conhecimento. você deve dar ao aluno não apenas informações, mas,

principalmente, deve desenvolver nele atitudes que permitam a continuidade de seu aprendi-

zado pelo resto da vida, gerando o gosto pela investigação, a criação de hábitos de estudo, a

autoconfi ança e a disciplina.

George polya acrescenta: “a maneira como você ensina pode ser mais importante nas aulas de

matemática do que aquilo que você ensina”.

George polya (1887-1985) nasceu em budapeste, Hungria. Foi professor em Zu-

rique durante 26 anos e depois em Stanford, estados Unidos, onde se aposentou em

1953. Seu livro A arte de resolver problemas é uma referência para os professores de

matemática de todo o mundo.

o artigo de George polya a que nos referimos pode ser lido na íntegra na Revista

do Professor de Matemática, n. 10, 1987.


3ª provaeLbert



4.2 Matemática e resolução de problemasa resolução de problemas não é de domínio exclusivo da matemática. Lidamos com problemas

pessoais, profi ssionais e sociais todo o tempo: decidir os componentes de um cardápio, optar por

um produto no supermercado, fi nanciar um automóvel e escolher um candidato em quem votar

são exemplos de situações-problema presentes no cotidiano.

podemos dizer que resolver problemas é inerente ao ser humano e, portanto, desenvolver ca-

pacidades nessa área é fundamental para todos.

consideramos que a capacidade de resolver problemas implica ser capaz de mobilizar conhe-

cimentos, organizá-los, planejar estratégias de resolução, executá-las e verifi car se a solução é

adequada.

dentre as diversas ciências, a matemática, por sua estrutura e características, é a que mais

propicia o desenvolvimento da capacidade de resolver alguns tipos de problemas nos estudantes.

os problemas, tanto práticos como teóricos, permeiam por completo a matemática, o que permi-

te gerar, desenvolver e exercitar habilidades na resolução de problemas. muitas pessoas, na vida

adulta, podem não lembrar como utilizar uma propriedade específi ca descoberta em Geometria ou

o processo de resolução de uma equação do 2o grau aprendido em seus tempos de adolescente.

no entanto, o aprendizado em matemática contribui (ou deve contribuir) para que o indivíduo de-

senvolva estruturas de pensamento que lhe permitam, na vida adulta, resolver situações diversas.

por essa razão, você deve aplicar-se na tarefa de fazer com que seus alunos tornem-se capazes de

resolver problemas. o processo é longo, requer paciência e preparo, pois certamente deve estender-

-se por todos os anos do ensino Fundamental e médio.

a resolução de problemas envolve operações mentais. algumas delas são mais frequentes e típi-

cas desse processo. estudiosos como George polya e Wayne Wickelgren buscaram entender melhor

essas operações e apresentaram sugestões ou estratégias que podem ajudar os estudantes (e nós,

professores) a melhorar suas habilidades na resolução de problemas. veja-as de forma simplifi cada:

Passo 1: Analisar e entender o problema

estratégias:

• identifi car e escrever dados: o que se tem, o que se quer descobrir. desenhar esquemas,

diagramas e tabelas que ajudem a representar a situação.

• examinar casos particulares que exemplifi quem o problema.

Passo 2: Imaginar e planejar a resolução

estratégias:

• planejar a resolução passo a passo, hierarquicamente, sendo capaz de explicar, em qualquer

momento da resolução, o que está fazendo e por quê.

• mobilizar conhecimentos, conjecturar, avaliar estratégias, estimar a solução.

• tentar encontrar um problema de forma, dados ou conclusões similares com menor com-

plexidade.

• decompor o problema, trabalhando nele parte por parte.

• explorar o papel de uma variável ou condicionante, deixando o resto fi xo.


3ª provaeLbert



• procurar reformular o problema:

a) mudando a perspectiva de leitura ou a forma de notação;

b) usando a argumentação por contradição;

c) assumindo uma solução particular e descobrindo que características essa solução possui.

Passo 3: Implementar a estratégia e chegar à solução

Passo 4: Fazer um retrospecto da resolução, avaliando o caminho escolhido e a possibilidade de

usar outra estratégia. verifi car se a resposta se ajusta ao contexto do problema.

você pode ajudar o aluno em todos os passos, mediando as ações, por meio de perguntas como:

“o que queremos descobrir ou mostrar nessa situação?”, “Quais as informações de que dispo-

mos?”, “Quais delas são relevantes?”, “como você sugere que encaminhemos a solução?”, “Que

conhecimentos utilizaremos nessa estratégia?”, “alguém tem outras propostas?”, “a resposta que

encontramos satisfaz o problema?”.

essas orientações podem parecer óbvias, triviais e já devem fazer parte de sua prática em sala de

aula. no entanto, a simplicidade não lhes tira a importância. Seu trabalho constante é crucial para

que o aluno adquira o hábito do pensamento metódico, que lhe será valioso, seja qual for seu campo

de atuação no futuro.

“a matemática não é um esporte para expectadores...

não existe método de ensino que seja indiscutivelmente o melhor, como não exis-

te a melhor interpretação de uma sonata de beethoven.

e a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais.”

George polya

4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classifi caçãono livro A resolução de problemas na Matemática escolar (veja referência no fi nal do texto) há

um artigo escrito por thomas butts, da case Western reserve University, situada em cleveland, eUa.

embora escrito com foco no sistema escolar norte-americano, o autor traz uma proposta interessan-

te de classifi cação de problemas que resumiremos aqui. São ideias que podem ajudá-lo a organizar

melhor, e a diversifi car, as atividades propostas em aula e nas avaliações.

butts separa os problemas matemáticos em cinco tipos:

1. exercícios de reconhecimento;

2. exercícios algorítmicos;

3. problemas de aplicação;

4. problemas de pesquisa aberta;

5. situações-problema.

acompanhe a descrição de cada tipo, com exemplos adequados a nosso sistema educacional.


3ª provaeLbert



1. Exercícios de reconhecimento

como o nome já diz, têm por objetivo verifi car um conceito, uma propriedade.

o autor recomenda que se use nesse tipo de exercício enunciados como “dê um exemplo”.

Questões da forma “verdadeiro ou Falso” também são efi cientes.

exemplos:

a) Quais das seguintes equações são do 2o grau?

• 2x 1 5 5 0 • x2 1 x4 5 18 • 3x2 1 5x 5 2

etc.

b) verdadeiro ou falso?

• todo paralelogramo é um retângulo.

• o quadrado é um paralelogramo. etc.

c) dê exemplo de um número racional compreendido entre 2,13 e 2,14.

2. Exercícios algorítmicos

verifi cam a habilidade no uso de algoritmos, procedimentos algébricos e técnicas.

exemplos:

a) calcule 15 1 2(141 : 3 1 7).

b) coloque o fator comum em evidência na expressão 6ay 1 2az.

esses exercícios são importantes para que o aluno adquira mais agilidade no uso das ferramentas

de cálculo. no entanto, devem ser dosados, de forma a não desmotivar os alunos, e apresentados,

sempre que possível, de forma criativa. o autor do texto coloca muito bem esta questão: ”a habili-

dade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática. o desafi o é torná-la

interessante”.

os quadrados mágicos seriam um bom exemplo de exercício de cálculo.

3 10 5 10 5 6

8 6 4 3 7 11

7 2 9 8 9 4

a inversão de sentido também é uma estratégia: “desenhe dois retângulos diferentes que te-

nham área 24 cm2”, por exemplo.

3. Problemas de aplicação

São os que envolvem leitura e interpretação de dados, tradução do problema para a linguagem

matemática e aplicação de procedimentos e algoritmos que levem à solução. os problemas contextu-

alizados são importantes nessa categoria. o autor lembra que a contextualização deve ser feita com

cuidado para não criar situações artifi ciais. a sugestão é criar problemas com base no contexto dos

próprios alunos.


3ª provaeLbert



exemplos:

a) (ceetpS-Sp) Uma empresa operadora de telefones oferece dois planos, a e b, de acordo com

a tabela:

Plano Assinatura mensal (R$)

Ligações locais (R$/minuto)

A 37,24 0,42

B pré-pago 1,40

após quantos minutos de ligação o valor a pagar é o mesmo nos dois planos?

b) (ceetpS-Sp) a medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da tv.

Uma televisão cuja tela mede 30 cm 3 40 cm possui:

• 16 polegadas.

• 20 polegadas.

• 18 polegadas.

• 29 polegadas.

Lembrete: 1 polegada 2,5 cm

4. Problemas de pesquisa aberta

de acordo com o artigo, a função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incenti-

var a habilidade de conjectura. em geral, o enunciado desses problemas envolve comandos do tipo:

“descubra quais”, “mostre que”, “encontre os valores possíveis”.

exemplos:

a) existe um triângulo que tenha:

• dois ângulos retos?

• dois ângulos obtusos?

• um ângulo reto e um obtuso?

Justifique suas respostas.

b) descubra dois números irracionais tais que seu produto seja um número racional.

5. Situações-problema

não são problemas propriamente ditos, mas situações mais amplas, que devem ser analisadas e

enfrentadas, buscando uma solução ou rumos de encaminhamento.

exemplo:

num terreno retangular, de 15 m de frente e 30 m de fundos, pretende-se construir uma casa

térrea que será habitada por uma família com 4 pessoas: casal e dois filhos adolescentes. Junte-se a

um colega para desenhar uma sugestão de planta baixa para essa construção. vocês serão os arqui-

tetos. Fiquem atentos às observações a seguir:


3ª provaeLbert



• pesquisem a porcentagem de terreno que pode ser ocupada e os recuos exigidos por lei.

• a casa deve ter sala, cozinha, 3 quartos com banheiro, lavabo, escritório, varanda e gara-

gem para dois carros.

• a cozinha e os quartos não devem ter porta de comunicação direta com a sala.

repare que a proposta envolve várias questões, imbricadas todas na situação original.

Fonte de pesquisa: KrULiK, Stephen; reYS, robert e. (orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São paulo: atual, 1997.

4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética o artigo a seguir, publicado na Revista História & Educação Matemática, de autoria da professo-

ra maria Laura magalhães Gomes, aborda o ensino da operação de adição em períodos e contextos

históricos diferentes por dois autores de livros didáticos. consideramos o texto interessante para mos-

trar que a forma de ensinar matemática se modifica ao longo do tempo. Se nossos avós aprenderam

muitas das coisas que aprendemos hoje, eles podem ter aprendido essas coisas de modo diferente...

“o objetivo deste artigo é analisar dois excertos de obras do passado escritas com o propó-

sito de ensinar aritmética. Fazemos uma primeira leitura comparativa desses textos, do ponto

de vista do conteúdo matemático que abordam, sem levar em consideração quem os escreveu,

a quem se destinavam, em que lugar e condições históricas foram produzidos. em seguida,

identificando todos esses aspectos, realizamos uma leitura contextualizada dos mesmos escri-

tos para compreender suas características de maneira mais profunda e completa.

Dois modos

os trechos que se vão ler a seguir reproduzem a introdução da operação de adição de números

naturais em dois livros-texto de aritmética escritos por autores de períodos históricos diferentes.

Primeiro Autor:

Para compreender a segunda operação, a adição, é necessário saber que ela é a união de vários

números, pelo menos de dois, de modo que possamos conhecer a soma resultante desse acrés-

cimo. Deve também ser entendido que na operação de adição, pelo menos dois números são

necessários, a saber, o número ao qual adicionamos o outro, que deve ser o maior, e o número

a ser adicionado, que deve ser o menor. Assim, sempre adicionamos o menor número ao maior,

o que é um plano mais conveniente do que seguir a ordem contrária, embora esta última seja

possível, sendo o resultado o mesmo em qualquer caso. Por exemplo, se adicionarmos 2 a 8,

a soma é 10, e o mesmo resultado é obtido somando 8 a 2. Portanto, se desejamos somar um

número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na

ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob

centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor.

Assim, se queremos somar 38 a 59, escrevemos os números assim:

5 9

1 3 8

Soma 9 7


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26 M a n u a l d o p r o f e s s o r

Dizemos então: ‘8 e 9 fazem 17’, escrevendo 7 na coluna que foi somada, e carregando o 1 (pois quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta). Este 1 nós agora somamos a 3, fazendo 4, e este a 5, fazendo 9, que é escrito na coluna da qual veio. Os dois números juntos fazem 97.

Segundo Autor:

...suponha que você conheça dois números, e deseje ou tenha necessidade de ter a sua soma, de conhecer o número que se pode formar juntando um ao outro – o número total de coisas que você sabe existir de uma vez, primeiro em um desses números, em seguida no outro desses números.

Suponha, por exemplo, que você tenha 13 coisas em um lugar, e 26 em um outro, e que queira saber quantas tem ao todo, e, para isso, tomar a soma desses dois números, juntar 26 e 13.

Você vê, à primeira olhadela, que 13 é 1 dezena e 3 unidades: que 26 é 2 dezenas e 6 unidades; você sabe que 3 unidades e 6 unidades são 9 unidades; que 1 dezena e 2 deze-nas são 3 dezenas; os dois números encerram, portanto, 9 unidades e 3 dezenas; sua soma é, pois, 39. Quaisquer que sejam os dois números, você pode usar o mesmo meio, e conhe-cendo a soma das unidades, das dezenas, das centenas que os dois números contêm, você conhecerá sua soma.

Suponha, por exemplo, que você queira juntar 135 a 643, ou 2 345 a 3 621. Você verá que os dois primeiros números reunidos encerram oito unidades, sete dezenas e sete cente-nas; sua soma será 778. Você verá que os dois segundos números reunidos contêm seis uni-dades, seis dezenas, nove centenas e cinco milhares; sua soma será, portanto, 5 966.

Se juntasse assim, um ao outro, números compostos de um número maior de algarismos, você perceberia logo que a necessidade de conservar na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas quando tiver chegado aos milhares, por exemplo, exige uma atenção fatigante, e que se ela lhe faltar, você será obrigado a recomeçar a operação. Mas para fazê- -la mais facilmente, você só tem que escrever um sob o outro os números que quer juntar, colocando as unidades embaixo das unidades, as dezenas embaixo das dezenas, as centenas em baixo das centenas. Você dirá em seguida: 5 e 3 são oito, escrevo 8; 3 e 4 são 7, escre-vo 7; 1 e 6 são 7, escrevo 7; a soma é, então, 778. 135 mais 643 igualam 778.

Da mesma forma, você dirá: 5 e 1 são 6, escrevo 6; 4 e 2 são 6, escrevo 6; 3 e 6 são 9, escrevo 9; 2 e 3 são 5, escrevo 5. A soma é, portanto, 5 966; 2 345 mais 3 621 igualam 5 966.

Fórmula da operação

1 3 5 2 3 4 5

1 6 4 3 1 3 6 2 1

5 7 7 8 5 5 9 6 6

praticando matemÁtica 9º ano – pnLd 2014MP PArte CoMuM – mac 2

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Uma leitura comparativa

podemos observar que ambos os autores focalizam o mesmo algoritmo da adição de dois

números – aquele que é ensinado na escola básica até os dias de hoje. o que podemos notar

nos dois textos, além do fato de o segundo ser mais extenso que o primeiro?

certamente percebemos logo que o primeiro autor aborda mais diretamente o tema,

nomeando imediatamente uma operação a ser ensinada, a adição, sem referir-se a qualquer

motivação para efetuar essa operação. o Segundo autor, por sua vez, não manifesta de

início qualquer interesse em dar um nome a uma operação a ser feita, preocupando-se, em

contrapartida, em apelar para o desejo ou a necessidade de seu leitor de conhecer o número

que se pode formar juntando dois outros.

Seguindo os dois excertos, verificamos que o primeiro autor (embora não explique a ra-

zão disso) procura deixar claro ao leitor que ao adicionar dois números, é mais conveniente

somar o menor número ao maior, apesar de o resultado ser o mesmo se for seguida a ordem

oposta a essa. assim, o primeiro autor instrui diretamente o aprendiz no sentido de escrever

o maior número em cima, e o menor número embaixo dele, colocando os algarismos na or-

dem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob

centenas etc.

o Segundo autor não tem qualquer preocupação em fixar uma ordem para a escrita

dos números a serem somados, mas faz questão de, em três exemplos, chamar a atenção do

leitor para a maneira como são formados os pares de números que se devem somar – tantas

unidades, dezenas e centenas, sendo cada ordem da soma o resultado de juntar as ordens

que compõem os números. mais: ele diz explicitamente que esse procedimento é o que ser-

virá para encontrar a soma de dois números quaisquer.

É somente depois dessas considerações que o Segundo autor alerta o leitor para a aten-

ção fatigante que lhe seria exigida caso tivesse de conservar na memória a soma das unida-

des, das dezenas, das centenas, atenção essa que cresceria com o crescimento dos números

a serem juntados. dessa maneira, o Segundo autor mostra ao seu leitor que seria interes-

sante buscar um procedimento para aliviar o esforço requerido e então, sim, ele se refere a

colocar unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de

centenas. após a descrição desse procedimento por meio de palavras para dois exemplos, o

Segundo autor apresenta ao leitor o que denomina de Fórmula da operação. aí é que apare-

cem armadas e efetuadas as duas adições, nas quais podemos notar a presença dos símbolos

'1’ e '5’, bem como a de um traço que separa os números a serem adicionados de sua soma.

por outro lado, voltando ao escrito do primeiro autor, percebemos que o seu primeiro

exemplo de uso do algoritmo da adição que, como vimos, é introduzido no estilo ‘faça deste

modo’ (se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor em-

baixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades,

dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem

mais baixa, a qual é de menor valor), é de uma ‘adição com reserva’ ou ‘com transporte’:

59 1 38. essa adição aparece armada como foi indicado ao leitor, acompanhada do resulta-


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do, 97, sem os símbolos '1’ e ‘5’ e sem um traço separando o total (identificado pela palavra

Soma) das parcelas. Só em seguida vem a explicação do que foi feito, com a instrução de

“carregar o 1” que veio do 17 (soma de 9 e 8), visto que quando há dois algarismos em um

lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte

de ordem mais alta. o primeiro autor não esclarece o porquê desse procedimento, e na con-

tinuação do texto aqui reproduzido focaliza a ‘prova dos noves’ para a operação que acabou

de ser efetuada. depois disso, ele prossegue apresentando mais dois exemplos de adições

(1 916 1 816 e 45 318 1 2 732) no mesmo estilo do exemplo mostrado no trecho transcrito.

o Segundo autor também aborda a ‘adição com reserva’ no prosseguimento do excerto

que apresentamos. contudo, ele o faz depois dos três exemplos ‘sem reserva’ que mostra-

mos, e de maneira bastante diferente, como vamos descrever a seguir.

a adição escolhida para ilustrar a ‘reserva’ é 18 1 25, e é calculada em duas etapas:’’

1 8 1 3

1 2 5 1 3 0

5 1 3 5 4 3

1 3 0

vem então uma explicação de como reduzir, por comodidade, as duas operações a uma:

... para isso, você notará que depois de ter dito 8 e 5 são 13, não tem mais unidades a consi-

derar: você escreve então 3 unidades; mas você tem ainda dezenas: você não escreverá esta

dezena que obteve juntando 8 a 5, porém (você se lembrará dela) a guardará: dirá, então, 8

e 5 são 13, escrevo 3 e guardo 1 dezena; 1dezena que guardei e 1 dezena são 2, e 2 outras

são 4, e escreverá 4 dezenas.

e só então aparece

1 8

1 2 5

5 4 3

o exame dos dois textos mostra, portanto, claramente, dois modos distintos para ensinar o

algoritmo da adição de dois números naturais. comparando esses dois modos, pudemos notar

que eles se distinguem essencialmente porque:

– o primeiro apresenta ao aprendiz instruções diretas de como proceder para efetuar a

operação, sem a preocupação de esclarecer a razão dos procedimentos aí envolvidos;

– o segundo se caracteriza por uma tentativa de dialogar com o leitor de maneira a con-

vencê-lo da necessidade dos procedimentos mostrados para facilitar uma tarefa e mais, por

buscar explicar os motivos de cada um dos passos executados nas adições.

até aqui fizemos a leitura e a análise dos dois textos de forma isolada do contexto sócio-

-histórico em que foram produzidos, desconhecendo apenas seus autores e a época em que

foram escritos, mas também as finalidades e o público a quem se destinaram. vamos agora

examinar esses aspectos para tentar interpretar à sua luz, as marcas dos novos modos de en-

sinar a adição.


3ª provaeLbert



Dois tempos

comecemos por identificar os livros dos quais foram extraídos os excertos em foco.

o primeiro texto faz parte da Aritmética de Treviso, obra de autor anônimo publicada

em 1478 – trata-se não somente de um incunábulo, isto é, de uma publicação do século da

invenção da imprensa, mas do primeiro texto impresso de matemática. o livro, que não tem

um título próprio, é uma aritmética comercial, ou seja, um texto que se propõe a recordar os

conhecimentos relevantes para o exercício dos negócios, especialmente em treviso e veneza.

É importante situar veneza no cenário do mundo do século Xv: a cidade tinha, nesse pe-

ríodo, se transformado no principal centro comercial da europa e ao mesmo tempo em uma

das cidades mais ricas do planeta então conhecido. era ainda um centro de ensino e difusão

da arte mercantil ao qual acorriam mercadores do norte, particularmente das cidades ale-

mãs, para estudar as práticas de comércio da aritmética comercial e a troca de moedas. Uma

habilidade básica que esses visitantes esperavam adquirir era certamente a proficiência em

métodos da aritmética comercial italiana, a qual havia se desenvolvido cedo em decorrência

do fato de os italianos em geral e os venezianos em particular terem logo compreendido a

importância do uso da aritmética em suas transações diárias a partir de seu contato com o

sistema indo-arábico de numeração em suas relações comerciais em torno do mediterrâneo.

a Aritmética de Treviso é escrita no dialeto veneziano, o que caracteriza uma intenção

de comunicar conhecimentos a um público amplo, evento possibilitado pela invenção da im-

prensa. É, portanto, um texto importante por integrar o movimento da eliminação do mono-

pólio do conhecimento por parte das classes mais elevadas socialmente (que tinham acesso

aos estudos nas universidades, onde a língua usada era o latim) e da consequente ascensão

de uma classe média a partir da aceleração das atividades de comércio. avalia-se terem sido

impressas trinta aritméticas práticas entre o início da imprensa na europa e o final do século

Xv. dessas, mais da metade era escrita em latim, sete em italiano, quatro em alemão e uma

em francês. a crescente publicação de textos impressos em vernáculo está associada a uma

mudança da matemática, do domínio da especulação escolástica para as aplicações das ma-

nufaturas e do mercado.

o ambiente histórico ao qual pertence o nosso primeiro autor, portanto, é o do início da

idade moderna, no qual o desenvolvimento do comércio faz nascer o capitalismo mercantil.

culturalmente, estamos em um contexto marcado pelo florescimento das artes e pelas mu-

danças na orientação das ciências – é a época do renascimento.

na europa do século Xv, tempo em que escreveu o primeiro autor, uma parte importante

da educação matemática consiste no ensino e na aprendizagem da aritmética comercial. a

escola em que tem lugar essa parte não é a universidade, mas a escola mantida pelos mestres

de cálculo, a qual é frequentada pelos filhos de funcionários públicos ou de mercadores, com

idades entre 12 e 16 anos.

embora a autoria da Aritmética de Treviso não seja conhecida, as palavras iniciais do

texto revelam que seu autor é um desses mestres de cálculo, que se dedica, a pedido de

estudantes que desejam aprender a aritmética para seguir a carreira comercial, a colocar por


3ª provaeLbert



escrito os princípios fundamentais da aritmética, comumente chamada ábaco (Swetz, 1989,

p. 40). o livro é um algorismo, isto é, um tratado dedicado a explicar o uso dos símbolos

indo-arábicos. porém, trata-se de um tipo especial de algorismo – uma Practica – por apre-

sentar situações-problema ligadas aos negócios e ao comércio.

É importante referir-nos aqui ao estado de aceitação do sistema de numeração indo-

-arábico, à época dessa Practica. ainda que tal sistema já fosse conhecido na europa desde

aproximadamente o ano 1000, ele ainda não tinha sido adotado universalmente. no início

do século Xv, a itália estava à frente do resto do continente europeu no uso dos novos sím-

bolos para registros e cálculos – a forma física dos algarismos no livro de treviso já é a atual,

o que não acontecia nos outros países. assim, os conhecimentos da obra eram ainda pouco

difundidos no tempo de sua publicação.

como observamos anteriormente, o primeiro autor não usa os símbolos '1’ e '5’. Se-

gundo boyer (1996), o mais antigo aparecimento do sinal '1’ ocorreu em 1489, na aritmé-

tica comercial de Johann Widman, enquanto o sinal '5’ foi registrado pela primeira vez em

1557, em um livro de robert recorde (1510-1558). portanto esses símbolos, que o Segundo

autor usa com naturalidade, só foram incorporados aos textos matemáticos depois da publi-

cação do primeiro texto que analisamos que, lembremos, data de 1478.

retomemos agora outros comentários tecidos na seção anterior deste texto, levando

em conta o que acaba de ser exposto. pudemos constatar que o primeiro autor introduz de

forma um tanto rápida a adição, sem uma tabela com os chamados ‘fatos fundamentais’ e

usando como primeiro exemplo uma operação ‘com reserva’. Swetz (1989) informa que os

primeiros autores de aritmética raramente incluíam essas tabelas em seus livros, mas também

atribui essa abordagem ao fato de que os alunos dos mestres de cálculo eram adolescentes

que já tinham experimentado alguma educação básica na qual haviam aprendido a ler e es-

tudado os ‘fatos fundamentais’ da adição e da multiplicação.

comentamos também a posição do primeiro autor em relação à ordem a ser adotada

na escrita das parcelas da adição: o número maior em cima, e o menor embaixo dele. possi-

velmente essa recomendação se origina da incorporação de uma prática herdada do uso do

ábaco.

Quanto à instrução ao estudante no sentido de, quando a soma dos números em uma

coluna exceder 10, escrever o algarismo da ordem menor e carregar o algarismo da ordem

seguinte para a próxima coluna, Swetz comenta:

Claramente, o conceito físico de ‘carregar’ (portare) um número para a coluna seguinte

deve sua origem ao ábaco, no qual um excesso de fichas em uma coluna ou linha requereria

uma transferência física ou carregamento de fichas para uma posição de ordem superior.

Nessa aritmética, o número carregado é somado ao algarismo que está na posição mais

embaixo na coluna adjacente à esquerda, na qual a adição começa novamente de baixo

para cima. Nem todos os autores antigos usam esse formato: alguns efetuam a adição da

esquerda para a direita e escrevem a soma em cima ou ao lado da fileira das parcelas. (Swetz,

1989, p. 188-189)


3ª provaeLbert



o que podemos notar, então, é que, conquanto o algoritmo seja o mesmo que conhece-

mos e usamos até hoje, a exposição do primeiro autor é portadora de sinais característicos

claros das práticas abacistas, ainda muito frequentes no século Xv.

para concluir estas considerações contextualizadas em relação ao texto do primeiro au-

tor, resta-nos focalizar o seu estilo conciso, marcado pelo ‘Faça desta maneira’, que mostra

a concepção metodológica clara do ‘aprender fazendo’, sem a explicitação das razões dos

procedimentos. tal característica não é exclusiva da Aritmética de Treviso, e está presente

também em muitos outros autores antigos de aritméticas. esse enfoque, evidentemente,

gasta menos palavras – pudemos notar que o texto do primeiro autor é menos extenso do

que o do Segundo autor.

por outro lado, a brevidade do texto está associada ainda ao fator econômico, uma vez

que a impressão era dispendiosa e que havia dificuldades específicas na confecção de textos

matemáticos. Uma outra explicação para o estilo sucinto estaria no fato de o livro ter sido

planejado para ser usado sob a orientação de um mestre de cálculo, ou então em uma au-

toinstrução aplicada, na qual o leitor teria de se esforçar realizando um trabalho suplementar

para chegar a uma compreensão mais completa do material exposto na obra. o autor não

teria, pois, a intenção de escrever um texto abrangente, completo: o livro de treviso não é

uma obra teórica sobre aritmética, à maneira dos acadêmicos da época que se expressavam

em latim. É, sim, um livro no qual se aprendiam conhecimentos matemáticos – os símbolos e

técnicas da aritmética e os métodos do cálculo comercial, e se desenvolvia alguma apreciação

sobre as aplicações dessa matemática.

Finalmente, o trecho comentado neste artigo integra a discussão realizada pelo primei-

ro autor sobre as cinco operações essenciais para o aprendizado dos métodos aritméticos

comerciais – trata-se da parte voltada fundamentalmente para preparar os estudantes para

resolver problemas comerciais nas ocupações mercantis – são esses problemas que tomam o

maior número de páginas do livro e, portanto, constituem seu objeto principal. o acento da

Aritmética de Treviso cai, assim, não no aprendizado fundamentado das técnicas do cálculo

aritmético, mas na aquisição de familiaridade com as mesmas como requisito básico para o

domínio das aplicações demandadas no quotidiano mercantil. em outras palavras, e usando

uma metáfora muito comum, os algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da

divisão constituem a entrada, não o prato principal do livro renascentista.

passemos a abordar novamente o trabalho do Segundo autor.

mais de trezentos anos separam os dois textos de aritmética que estamos analisando,

pois o nosso Segundo autor, o marquês de condorcet, escreveu a sua aritmética, livro de

onde extraímos o trecho inicial da Quarta Lição, em 1794. esse tratado inacabado devido à

morte de seu autor, quando fugia da perseguição do governo do terror durante a revolu-

ção Francesa, é um manual didático redigido com a intenção de participar de um concurso

promovido por esse mesmo governo para selecionar os livros elementares a serem usados na

instrução pública. a realização do concurso resultava de um aspecto característico da política

educacional da França revolucionária – a composição de livros didáticos destinados a todo

o país como praticamente o único meio de efetuar reformas no ensino. (Schubring, 1989).


3ª provaeLbert



devemos enfatizar que o próprio condorcet foi o responsável por um importante projeto

para o ensino no qual eram propostas a elaboração desses livros elementares e a escolha dos

manuais a serem financiados pela república por meio de um concurso público.

na verdade, a situação da França do antigo regime era completamente ineficiente em

relação à escolarização, num momento em que o país precisava de uma mão de obra mais

preparada considerando-se seu contexto socioeconômico. Furet e ozouf (1977) descrevem

o quadro da instrução nesse período dizendo que somente após alguns anos passados na

aprendizagem da leitura e da escrita, poucos estudantes – aqueles de melhor condição mate-

rial – tinham acesso aos rudimentos da aritmética. e essa educação precária ainda se manti-

nha sob o controle direto e constante da igreja; na convocação dos estados Gerais, em 1789,

apresentaram-se vigorosas reivindicações quanto à instrução da população.

com a revolução, tomaram-se medidas contra o clero que levaram ao fechamento de

muitas escolas católicas, e transferiu-se para os poderes civis a supervisão da educação pú-

blica. propuseram-se, então, vários planos para essa educação entre os quais o de nosso

Segundo autor.

Historicamente, assim, o segundo texto aqui focalizado insere-se no começo da idade

contemporânea, no momento em que a burguesia, cuja visão de mundo abraçava funda-

mentalmente o Liberalismo com seus princípios básicos de liberdade, individualismo, igual-

dade, propriedade, democracia, obtinha seus primeiros triunfos. o interesse dos governos

revolucionários franceses pela instrução pública – uma concessão ao povo que apoiava tal

burguesia – está fortemente ligado ao programa de hegemonia dessa classe.

no entanto, os estudos de condorcet acerca da educação começaram bem antes dos

acontecimentos revolucionários, e ele integra a face mais democrática dentre os autores de

planos de educação pública da revolução (Lopes, 1981). na primeira memória sobre a instru-

ção pública, em 1790, escreve: A sociedade deve ao povo uma instrução pública como meio

de tornar real a igualdade de direitos. afirmando a existência de uma desigualdade natural

entre os homens, acrescenta que para garantir a igualdade de direitos prevista na lei, é su-

ficiente que cada indivíduo seja instruído de forma a não depender daqueles que possuem

conhecimentos que ele não tem. entre esses conhecimentos comparece a aritmética:

... (aquele) que ignora a aritmética depende realmente do homem mais instruído, ao qual é

obrigado a recorrer incessantemente. Ele não é igual àqueles a quem a educação deu esses

conhecimentos. Ele não pode exercer os mesmos direitos com a mesma extensão e a mesma

independência... Mas o homem que sabe as regras da aritmética, necessárias para os usos da

vida, não está na dependência do sábio, que possui no mais alto grau o gênio das ciências

matemáticas, e cujo talento lhe será de uma utilidade muito real, sem jamais poder impedi-lo

do gozo de seus direitos... (condorcet, apud buisson, 1929, p. 56).

a visão de nosso Segundo autor contempla, pois, a instrução em geral e o ensino da

aritmética em particular como uma contribuição indispensável no sentido de tornar real a

igualdade de direitos entre os cidadãos proclamada pela lei, devendo o primeiro grau de

ensino previsto em seu projeto de instrução pública (condorcet, 1997) ser acessível a todos


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os franceses. dessa forma, a aritmética de seu livro elementar deveria ser ensinada a todas

as crianças na escola primária. Segundo Schubring (1989), todavia, não se tem qualquer in-

formação sobre a utilização efetiva do manual, cujo uso nas escolas primárias foi autorizado

pelo estado cinco anos após a morte de seu autor.

como pudemos notar no trecho referente ao algoritmo da adição reproduzido neste

texto, a concepção metodológica de condorcet envolve necessariamente a compreensão

dos procedimentos a partir das propriedades do sistema de numeração decimal e, por isso,

ele gasta mais espaço em sua abordagem do que o autor da Aritmética de Treviso para tratar

do mesmo assunto. a forma escolhida para a apresentação dos algoritmos das demais ope-

rações também compreende muitas palavras, pouca formalização matemática, e nenhuma

ilustração, o que reflete a época do manual (picard, 1989), em que, devemos recordar, a

imprensa já avançou muito desde o final de século Xv, tempo do primeiro autor.

a motivação para os algoritmos e a preocupação patente em tornar claras as razões de

tudo o que é feito estão presentes não apenas no trecho que analisamos, mas em todo o

livro. condorcet manifesta seu ponto de vista a respeito disso no prefácio:

Pareceu-me que em geral nada se deveria ensinar às crianças sem lhes ter explicado e

feito sentir os motivos. Esse princípio me parece essencial na instrução, mas eu o creio muito

vantajoso sobretudo em aritmética e geometria. Assim, os elementos dessas ciências não

devem apenas ter como objetivo preparar as crianças para executar seguramente e facilmen-

te em seguida os cálculos dos quais podem ter necessidade, mas devem ainda lhes mostrar

elementos de lógica, e servir para desenvolver nelas a faculdade de analisar suas ideias, de

raciocinar com justeza.” (Condorcet, 1989, p. 19)

assim, nosso Segundo autor embora tenha, como o primeiro autor, o propósito do do-

mínio das técnicas operatórias pelos estudantes, não deseja nem crê que tal domínio ocorra

por meio da repetição e da memorização mecânicas: acredita na potencialidade da educação

aritmética de desenvolver as faculdades intelectuais dos alunos, desde que seja realizada com

ênfase na compreensão.

Uma característica do manual que não podemos deixar de mencionar é o fato de conter,

após o texto para o estudo dos alunos, orientações aos professores, específicas para cada

uma das lições que é apresentada. especificamente quanto ao algoritmo da adição, focaliza-

do neste artigo, ele recomenda que o mestre trabalhe muitos exemplos com os estudantes,

mas que cuide para que eles se tornem autônomos, a fim de que não adquiram o hábito de

repetir as palavras ‘escrevo’, ‘guardo’, sem reflexão, e por meio de uma memória por assim

dizer automática. (condorcet, 1989, p. 120)

a leitura comparativa dos dois trechos referentes à adição de números naturais mostrou-

-nos diferenças claras, as quais tentamos, inicialmente, destacar mediante um enfoque in-

terno ao conteúdo dos textos. em seguida, no que acabamos de expor, procuramos situar

esses textos quanto ao entorno de sua produção a fim de enxergar, sob outro prisma, essas

diferenças. os dois modos de ensinar a aritmética ganham significação em dois tempos: dois

contextos históricos distintos de educação matemática.


3ª provaeLbert



Dois modos em dois tempos: comentários finais

Na leitura dos textos didáticos aqui focalizados, colocamos em evidência uma dicotomia

entre um modo que poderíamos denominar ‘aprender fazendo’, predominante no trabalho

do Primeiro Autor, um mestre de cálculo da república de Veneza no século XV, e um ou-

tro modo que batizaríamos como ‘aprender compreendendo’, indispensável no escrito do

Segundo Autor, um filósofo francês do Século das Luzes. É claro, como tentamos mostrar,

que essas expressões pelas quais estamos chamando em dois estilos, ainda que traduzam a

essência de duas concepções metodológicas, são insuficientes para revelar todos os aspectos

envolvidos nas duas célebres aritméticas aqui abordadas. Todavia, essa dicotomização nos

serve como ponto de partida para considerar a inadequação e as limitações de uma análise

de concepções, materiais e práticas na educação matemática dissociada das muitas variáveis

sociais e culturais que sempre a compõem.

De fato, ao comparar mediante uma leitura descontextualizada o modo de ensinar do

Primeiro Autor – que parece não se preocupar com a compreensão do significado dos pro-

cedimentos que vai ditando ao leitor – com o do Segundo Autor que, diferentemente, quer

evidenciar a quem o lê os motivos de tudo aquilo que é exposto, não alcançamos uma sig-

nificação completa de ambos os textos. Certamente vamos simpatizar mais com o Segundo

Autor, mais próximo do que concebemos como o tratamento adequado da matemática na

escola. Também queremos que os nossos alunos dominem as técnicas do cálculo aritmético

entendendo-as e não simplesmente memorizando-as mecanicamente; assim, identificamo-

-nos mais com a atitude do filósofo iluminista. Defendemos, como Condorcet, que ao lado

da dimensão instrumental da matemática escolar esteja sempre presente a dimensão for-

mativa – enfatizamos a contribuição da matemática no desenvolvimento das faculdades do

intelecto das crianças, dos adolescentes, dos jovens e adultos. E particularmente em relação à

aritmética, no contexto atual em que a destreza no uso dos algoritmos usuais é menos posta

em relevo, se incentiva a utilização das calculadoras e se valorizam procedimentos pessoais

dos alunos bem como as estimativas e o cálculo mental (Brasil, 1997), o enfoque de nosso

Segundo Autor é, sem dúvida, muito pertinente.

Contudo, a abordagem do mestre de Treviso, como comenta Swetz (1989), não era

somente adequada, mas desejável para as necessidades do século XV, em que um jovem fre-

quentador das escolas de cálculo o fazia por pouco tempo – era uma educação dispendiosa.

Esse jovem logo entrava como aprendiz na profissão comercial e continuava a aprender a

aritmética de que precisava. Swetz especula que talvez após vários anos de trabalho e asso-

ciação com outros mestres, um calculador poderia de fato começar a pesquisar os ‘porquês’

da aritmética. A atitude do Primeiro Autor decorre ainda da inexistência da intenção de

escrever um compêndio enciclopédico de conhecimentos mercantis e técnicas matemáticas;

como diz o nome usado na época – Practica – seu livro é claramente orientado para objetivos

mais imediatos.

Assim, se a leitura e a análise dos textos do passado limitar-se a apresentar descrições

das abordagens adotadas para os conteúdos matemáticos, provavelmente encontraremos

PrATiCANDo mATEmÁTiCA 9º ANo – PNLD 2014MP Parte CoMuM – mAC 2

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vários aspectos curiosos e interessantes, mas teremos uma visão restrita do significado da

matemática, da educação matemática e das relações entre elas e as sociedades em que se

desenvolveram.”

Referências bibliográficas:

boYer, charles. História da Matemática. revista por Uta c. merzbach. tradução de elza F.

Gomide. São paulo: editora edgard blücher, 1996.

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manuela albertone. napoli: bibliopolis, 1983.

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par Charles Coutel, Nicole Picard et Gert Schubring. paris: acL Éditions,1989.

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ScHUbrinG, Gert. Introduction: Um savant des lumières. Un livre élémentaire pour la répu-

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3ª provaeLbert



4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas

como trabalhar leitura, escrita e oralidade nas aulas de matemática?

essa pergunta está presente no cotidiano tanto de professores que ainda não estão seguros

de como desenvolverão essas habilidades quanto daqueles que já têm ações nesse sentido e

querem melhorar sua prática.

para focar esse tema, compilamos quatro textos para informação e reflexão. as fontes são

variadas: documentos oficiais, artigos de revistas especializadas em educação e contribuições

de professores presentes em sites de qualidade especializados em educação matemática.

a leitura e a escrita na sala de aula de matemática tem sido um tema cada vez mais pre-

sente nas produções brasileiras na área de educação matemática. no ano de 2010 a revista

Zetetiké, do cempem – círculo de memória e pesquisa em educação matemática, da Unicamp

– dedicou uma edição especial ao tema “Linguagem e práticas Socioculturais: perspectivas para

a educação matemática”. essa edição da revista pode ser acessada integral e gratuitamente no

endereço: <www.fe.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id545>. acesso em: mar. de 2012.

Sugestão de atividade contemplando a História da Educação Matemática, leitura, escrita e oralidade

você pode propor que os alunos pesquisem junto aos pais, avós e conhecidos exemplos de

experiências escolares antigas relativas à matemática. vários conceitos podem ser abordados

dessa maneira, dependendo do momento de escolaridade. por exemplo: “o que é a prova dos

noves?”, “como se ensinava a tabuada no seu tempo?”, “o que se aprendia no primário/

secundário em outros tempos?”, “como se resolviam os problemas na aula de matemática?”,

“como eram os livros didáticos?”, entre outras questões nessa direção. essas experiências de-

vem ser registradas e comunicadas aos demais colegas de classe.

Uma atividade dessa natureza pode envolver vários componentes, como Língua portuguesa

e História, e é uma estratégia para desenvolver a escrita, a oralidade e a habilidade de síntese,

pois a necessidade de comunicação favorece a compreensão. É preciso organizar claramente as

ideias para transmiti-las aos outros colegas. esse esforço de ultrapassar sua própria compreen-

são (e suas estratégias para compreender algo) leva o aluno a refletir sobre o conceito/conteúdo

para torná-lo claro aos demais alunos, o que implica aprendizado significativo.

4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002

“a matriz de competências do enem pressupõe que a competência de ler, compreender,

interpretar e produzir textos, no sentido amplo do termo, não se desenvolve unicamente na

aprendizagem da Língua portuguesa, mas em todas as áreas e disciplinas que estruturam as ati-

vidades pedagógicas na escola. o participante deve, portanto, demonstrar, concomitantemen-

te, possuir instrumental de comunicação e expressão adequado, tanto para a compreensão de

um problema matemático quanto para a descrição de um processo físico, químico ou biológico


3ª provaeLbert



e, mesmo, para a percepção das transformações de espaço/tempo da história, da geografia e

da literatura.”

4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemáticacomo ficou explicitado acima, formar um aluno competente em leitura, interpretação e

escrita não é responsabilidade somente do professor de Língua portuguesa. cada tipo de texto,

romance, poema, notícia de jornal, texto científico, manual de instruções, relatório, enfim, tem

características próprias e requer habilidades leitoras diferenciadas. o aluno precisa construir

essas habilidades por meio do trabalho pedagógico de todos os componentes curriculares.

consideramos que o objetivo final é formar indivíduos capazes de:

• Ler criticamente textos presentes em diferentes suportes (livros, jornais, revistas, internet,

manuais etc.) construindo significados para esta leitura.

• mobilizar conhecimentos prévios utilizando-os para alcançar a compreensão do que lê.

• variar as estratégias de leitura em função dos objetivos desta.

• organizar e expressar o conhecimento obtido por meio da oralidade ou da escrita.

• perceber as diversas funções da leitura: ler para aprender, para se informar, por necessi-

dade, por prazer.

o professor de Língua portuguesa pode e deve ajudar seus colegas, pois provavelmente

terá informações valiosas para melhorar o trabalho dos demais docentes. no entanto, aprender

a ler em matemática envolve a participação efetiva do professor em suas aulas. É importante

ressaltar que esse trabalho deve ser constante, desenvolvendo, ao longo da vida escolar, hábitos

e procedimentos de leitura que acabem por se incorporar à rotina do estudante.

apresentaremos a seguir algumas sugestões para o trabalho em sala de aula tendo por base

o livro didático.

• Ler todos os textos do livro, escolhendo quais serão trabalhados em sala de aula para

desenvolver as habilidades de leitura, escrita e oralidade.

• ter claro qual o objetivo da leitura de cada texto. o aluno precisa saber por que lerá o

texto e para que aspectos deve voltar sua atenção.

• mapear os textos com base nos objetivos de leitura: serão lidos na íntegra ou só em

parte? a leitura será feita em classe ou em casa? a resolução de atividades dos boxes

permeará a leitura?

• criar estratégias diversificadas de leitura.

Exemplos:

• Leitura individual silenciosa identificando no texto palavras-chave previamente

indicadas pelo professor. na seleção das palavras-chave é importante contemplar

termos próprios da matemática: incógnita, radical, expoente etc. terminada a

leitura, o professor pode mediar a discussão dos alunos em torno das palavras-

chave e seus significados, retomando sempre que necessário a leitura de trechos


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mais importantes do texto. o registro das informações, conceitos, conclusões

sobre o texto e exemplos pode ser feito no quadro.

• Leitura de imagens. Solicita-se que observem somente fotos, gráficos, diagramas

etc., presentes no texto, sem lê-lo. pergunta-se, por exemplo: que informações ou

conhecimentos você identifica nestas imagens? o que já conhecemos? o que há

de novo para você? observando as imagens temos uma ideia do assunto do texto?

essa estratégia costuma motivar os alunos para a leitura do texto integral, que

deve acontecer depois dos questionamentos. É uma forma que pode ser eficiente

para resgatar conhecimentos prévios. Uma variação é pedir que leiam previa-

mente os boxes presentes no texto e aí procurem no texto as informações que

precisam para responder às questões.

• criar muitas oportunidades para os alunos expressarem oralmente e por es-

crito suas ideias. o texto 3 deste item discute particularmente esse assunto.

veja exemplos simples de trabalho com a oralidade e a escrita nas aulas de ma-

temática. Usamos aspas para apresentar as ações do professor:

– durante a correção de exercícios:

“eu resolvi o problema desta forma: alguém pensou em uma estratégia dife-

rente? Quem quer vir ao quadro mostrar seu raciocínio para os colegas?”

– no desenvolvimento do tema polígonos:

“todo quadrilátero é um paralelogramo. Quem acha que essa afirmação é ver-

dadeira? Quem acha que é falsa? expliquem sua opinião para os colegas.”

– numa tarefa de casa pede-se:

“explique com palavras como você ensinaria uma pessoa que não sabe operar

com frações a calcular 52

1

16

34

.”

como dissemos, as sugestões têm foco nos textos do livro didático, mas é importante pro-

piciar a leitura de textos de todos os tipos. procure explorar também jornais, internet, textos

técnicos etc.

“a palavra comunicação esteve presente durante muito tempo ligada a áreas curricula-

res que não incluíam a matemática. pesquisas recentes afirmam que, em todos os níveis os

alunos devem aprender a se comunicar matematicamente e que os educadores precisam es-

timular o espírito de questionamento e levar os seus educandos a pensar e comunicar ideias.

a predominância do silêncio, no sentido de ausência de comunicação, é ainda comum

em matemática. o excesso de cálculos mecânicos, a ênfase em procedimentos e a lingua-

gem usada para ensinar matemática são alguns dos fatores que tornam a comunicação

pouco frequente ou quase inexistente.

4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem


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Se os educandos são encorajados a se comunicar matematicamente com seus colegas, com

o educador ou com os pais, eles têm oportunidade para explorar, organizar e conectar seus

pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto.

assim, aprender matemática exige comunicação, no sentido de que é através dos recur-

sos de comunicação que as informações, conceitos e representações são veiculados entre as

pessoas. a comunicação do significado é a raiz da aprendizagem.

promover comunicação em matemática é dar aos alunos a possibilidade de organizar,

explorar e esclarecer seus pensamentos. o nível ou grau de compreensão de um conceito ou

ideia está intimamente relacionado à comunicação bem-sucedida deste conceito ou ideia.

dessa forma, quanto mais os alunos têm oportunidade de refletir sobre um determina-

do assunto, falando, escrevendo ou representando, mais eles compreendem o mesmo.

Somente trocando experiências em grupo, comunicando suas descobertas e dúvidas e

ouvindo, lendo e analisando as ideias do outro é que o aluno interiorizará os conceitos e

significados envolvidos nessa linguagem de forma a conectá-los com suas próprias ideias.

a capacidade para dizer o que se deseja e entender o que se ouve ou lê deve ser um dos

resultados de um bom ensino de matemática.

essa capacidade desenvolve-se quando há oportunidades para explicar e discutir os re-

sultados obtidos e para testar conjecturas.

A oralidade em Matemática

em toda nossa vida de falantes, a oralidade é o recurso de comunicação mais acessível,

que todos podem utilizar, seja em matemática ou em qualquer outra área do conhecimen-

to, é um recurso simples, ágil e direto de comunicação que permite revisões quase que

instantaneamente, que pode ser truncada e reiniciada, assim que se percebe uma falha ou

inadequação, independentemente da idade e série escolar.

criar oportunidades para os alunos falarem nas aulas faz com que eles sejam capazes

de conectar sua linguagem, seu conhecimento, suas experiências pessoais com a linguagem

da classe e da área do conhecimento que se está trabalhando. É preciso promover a comu-

nicação pedindo que esclareçam e justifiquem suas respostas, que reajam frente às ideias

dos outros, que considerem pontos de vista alternativos.

na essência, o diálogo capacita os alunos a falar de modo significativo, conhecer outras

experiências, testar novas ideias, conhecer o que eles realmente sabem e o que mais preci-

sam aprender.

a partir da discussão estabelecida, das diferentes respostas obtidas, o educador será

capaz de aprender mais sobre o raciocínio de cada aluno e poderá perceber a natureza das

respostas, realizando assim intervenções apropriadas.

a comunicação oral favorece também a percepção das diferenças, a convivência dos

alunos entre si, o exercício de escutar um ao outro numa aprendizagem coletiva. possibili-

tando também aos alunos terem mais confiança em si mesmos, se sentirem mais acolhidos

e sem medo de se exporem publicamente.


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A comunicação escritaa escrita é o enquadramento da realidade. Quando escrevemos não podemos ir para

tantos lados como no oral, ela prevê um planejar, esse planejar não é necessariamente escri-to, mas auxilia na escrita. portanto, o oral antecede a escrita e nesse sentido a escrita pode ser usada como mais um recurso de representação das ideias dos alunos.

temos observado que escrever sobre matemática ajuda a aprendizagem dos alunos de mui-tas formas, encorajando reflexão, clareando ideias, e agindo como um catalisador para as discus-sões em grupo. escrever em matemática ajuda o aluno a aprender o que está sendo estudado.

além disso, a escrita auxilia o resgate da memória e muitas discussões orais poderiam ficar perdidas se não as tivéssemos registrado em forma de texto. a História, como disciplina, originou-se graças a esse recurso – escrita de recuperação da memória.

trabalhar essas diferentes funções da escrita em sala de aula leva o aluno a procurar descobrir a importância da língua escrita e seus múltiplos usos.

os textos servem para informar alguma coisa ou para dar ao outro o prazer de ler. nesse sentido, os alunos precisam entender que ao produzir um texto é preciso se preocupar com as informações, com as impressões e se necessário com as instruções.

a escrita também sofre evolução à medida que o educador tiver o cuidado nos momen-tos de correção de não usar um modelo único, mas diversificá-lo, tendo a preocupação de escrever o melhor possível para que a sua comunicação seja o mais eficiente possível.

Sugestões para auxiliar a melhoria dos processos de comunicação nas aulas de matemática:

• explorar interações nas quais os alunos explorem e expressem ideias através de discus-são oral, da escrita, do desenho de diagramas, da realização de pequenos filmes, do uso de programas de computador, da elaboração e resolução de problemas.

• pedir aos alunos que expliquem seu raciocínio ou suas descobertas por escrito.

• promover discussões em pequenos grupos ou com a classe toda sobre um tema.

• valorizar a leitura em duplas dos textos no livro didático.

• propor situações-problema nas quais os alunos sejam levados a fazer conjecturas a partir de um problema e procurar argumentos para validá-las.

com esse trabalho nossos objetivos são levar os alunos a:

• relacionar materiais, desenhos, diagramas, palavras e expressões matemáticas com ideias matemáticas.

• refletir sobre e explicar o seu pensamento sobre situações e ideias matemáticas.

• relacionar a linguagem de todos os dias com a linguagem e os símbolos matemáticos.

• compreender que representar, discutir, ler, escrever e ouvir matemática são uma parte vital da aprendizagem e da utilização da matemática.

• desenvolver compreensões comuns sobre as ideias matemáticas, incluindo o papel das definições.

• desenvolver conjecturas e argumentos convincentes.

• compreender o valor da notação matemática e o seu papel no desenvolvimento das ideias matemáticas.


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A avaliação e a comunicação

a avaliação tem a função de permitir que educador e educando detectem pontos frágeis,

certezas e que extraiam as consequências pertinentes sobre para onde direcionar posterior-

mente a ênfase no ensino e na aprendizagem. ou seja, a avaliação tem caráter diagnóstico,

de acompanhamento em processo e formativo.

nesta proposta a avaliação é concebida como instrumento para ajudar o aluno a apren-

der. assim, o educador revê os procedimentos que vem adotando e replaneja sua atuação,

enquanto o educando vai continuamente se dando conta de seus avanços e dificuldades.

a avaliação só é instrumento de aprendizagem quando o educador utiliza as informações

conseguidas para planejar suas intervenções, propondo procedimentos que levem o educan-

do a atingir novos patamares de conhecimento.

o recurso da comunicação, nesse sentido, é essencial, pois no processo de comunicar o

educando nos mostra ou fornece indícios de que habilidades ou atitudes está desenvolvendo

e que conceitos ou fatos domina, apresenta dificuldades ou incompreensões. os recursos da

comunicação são novamente valiosos para interferir nas dificuldades encontradas ou para

permitir que o educando avance mais, propondo-se outras perguntas, mudando-se a forma

de abordagem.

como podemos ver, há muitas vantagens em estimular a comunicação nas aulas de ma-

temática.

Que tal você tentar?”

SmoLe, Kátia c. S.; diniZ, maria i. Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem. disponível em: <www.mathema.com.br/reflexoes/comunicacao_mat.html>. acesso em: fev. 2009.

4.3.4 Leitura na escola

o texto a seguir é parte do artigo intitulado “Uma reflexão acerca das competências leitoras e

das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de matemática”, assinado por emilio

celso de oliveira e célia maria carolino pires.

o artigo está disponível na íntegra no endereço eletrônico: <www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.

br/index.php/bolema/article/view/4300/3434>.

Leitura na escola

“as considerações acerca dos problemas e dificuldades de apropriação de práticas de

leitura no espaço educativo nos levaram ao estudo das pesquisas de Lerner, Foucambert,

Soares, Solé, e Koch e elias.

Lerner (2002, p. 76) faz uma instigante análise das mazelas que envolvem o trabalho

escolar no que diz respeito à questão da leitura. a autora constata que a leitura aparece

desvinculada dos propósitos que lhe dão sentido no uso social, destacando que cada


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situação de leitura precisa apresentar dois propósitos: por um lado, ensinar e aprender

algo sobre a prática social da leitura; por outro, cumprir com um objetivo que tenha sen-

tido na perspectiva imediata do aluno. Lerner centra sua crítica ao controle rigoroso do

processo de aprendizagem do aluno, levando à produção artificial de textos específicos

para o ensino, que pretensamente respeitem a maturidade do leitor, pela graduação que

vai do simples ao complexo. como resultado, a elaboração teórica de Lerner (2002, p. 80)

sinaliza que a ação educativa com a leitura, para ser efetiva, torna-se uma iniciativa que

tem como pressuposto a articulação dos objetivos didáticos – referentes ao ensino e à

aprendizagem – e os propósitos imediatos da situação social que lhe confere sentido.

Foucambert (1997, p. 95-99) apresenta um conjunto de fundamentos ou caracterís-

ticas comuns, advindos das mais diferentes motivações e modalidades de práticas sociais

que definem o ato de ler, ou, em nosso entendimento, as competências leitoras. a primei-

ra dessas características é a percepção da intencionalidade em relação ao texto, que faz

o leitor definir um projeto de leitura pelo qual reconhece as modalidades e os objetivos

do texto.

a segunda característica é que a leitura, como qualquer comunicação, exige que se

invista uma quantidade de informações bastante superior àquela que se extrai. assim, o

conhecimento prévio do leitor é posto em ação no trabalho de leitura, sendo que, quanto

mais experiência tivermos como leitores em sentido amplo, mais competência ativaremos

no momento de atribuir significados aos textos de interesse nas situações sociais.

a terceira característica diz respeito à experiência linguística, pois a competência do

leitor se manifesta ao organizar as possibilidades semânticas, à medida que o fluxo de

leitura pelo material gráfico vai acontecendo, de forma a transformar informação gráfica

em significados.

a quarta característica está relacionada ao projeto específico que leva o leitor ao tex-

to, no tipo de investigação buscada, podendo ser uma leitura de correção ortográfica, de

triagem de texto, de estilo, de ponto de vista, de funcionamento do discurso.

a quinta característica inerente ao ato de ler reside na possibilidade de emancipação

do leitor, na medida em que o contato com os diferentes textos aguça ainda mais a von-

tade de busca de sentido em outros textos.

a sexta e última característica diz respeito à consciência da intertextualidade, e refere-

se à competência leitora relacionada à concepção de que um texto é um nó em uma trama

de outros textos, o que permite inferir que toda leitura é uma leitura em rede.

como resultado, essas características definem, em nosso entendimento, competên-

cias leitoras que o aluno precisa desenvolver conjuntamente com o trabalho do professor,

não só de língua materna, mas de qualquer área do conhecimento.

Soares (2002) preconiza que ao professor de matemática e de outras áreas cabe a res-

ponsabilidade de ser um parceiro do professor de língua materna em relação ao compro-

misso de aprendizagem de estratégias de leitura. consideramos que o texto matemático,

ao apresentar aspectos específicos, necessita de conhecimentos por parte do leitor, sendo


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o professor de matemática o mediador qualificado na interação ativa do aluno durante o

processo de compreensão e interpretação.

Solé (1998, p. 73-74), ao tratar da leitura na escola, apresenta um conjunto de ques-

tões que o professor pode formular ao aluno-leitor para orientá-lo no processo de com-

preensão do que se lê. a autora verifica que o trabalho do professor em qualquer aula é

excessivamente centrado na estratégia de fazer perguntas aos alunos. para superar esse

centralismo, ela propõe que as estratégias de leitura sejam organizadas pelo professor em

três momentos: antes, durante e depois da leitura.

nesses momentos, o trabalho com o texto progressivamente passa por três etapas:

a etapa do modelo, em que o professor lê em voz alta o texto, tanto para verbalizá-lo

como para comentar dúvidas, falhas de compreensão e os mecanismos que utiliza para

resolvê-las; a etapa de participação do aluno, em que o professor transfere a este a res-

ponsabilidade de interagir e buscar a compreensão do texto, por suas próprias estratégias,

afastando-se aos poucos da tutela do professor; e a etapa de leitura silenciosa, que tem

como finalidade transferir autonomia ao aluno em refazer o trabalho das etapas anterio-

res, ou seja, estabelecer os objetivos de leitura, levantar e verificar hipóteses, detectar e

resolver falhas de compreensão. esse resultado é de interesse, porque tais momentos e

etapas de compreensão leitora podem ser apropriados pelo professor de matemática nas

práticas que fazem uso de textos que tratem do conhecimento matemático.

Koch e elias (2008, p. 31) tomam como pressuposto básico a concepção de que o

texto é lugar de interação de sujeitos sociais que, dialogicamente, nele se constituem e

são constituídos; e que, por meio de ações linguísticas e sociocognitivas, autor e leitor

constroem significados e partilham sentidos, sendo que, em todo e qualquer texto, im-

plícitos dos mais variados tipos emergem na leitura pela mobilização de estratégias de

compreensão para reconstituir o contexto sociocognitivo no interior do qual se encontram

os atores sociais.

dentre a variedade de textos, são de especial interesse para o professor de matemáti-

ca os enunciados de problemas, porque envolvem atividade da investigação científica que

remete ao fazer do matemático e de pesquisadores de ciências.

polya (1978, p. 1-11) desenvolve uma abordagem na resolução de problemas na qual

está presente a preocupação com o desenvolvimento das competências leitoras e escri-

toras, como investigadas por nós. além disso, subjaz o interesse pelo processo de apren-

dizagem da atitude científica, por meio de uma metodologia de resolução de problemas

que seja de interesse à matemática, mas que possa ser aplicada a outras áreas das ciências

naturais.”

oLiveira, emilio celso de; pireS, célia maria carolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de matemática.

Bolema, rio claro (Sp), v. 23, n. 37, p. 931 a 953, dezembro 2010.

Nota dos autores: professor, apresentamos a metodologia proposta por polya no item 4.2 deste manual.


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4.4 O comprometimento com o próprio aprendizadoSabemos que o compromisso do aluno com sua própria aprendizagem é uma das premissas para

o sucesso escolar. no entanto, jovens com idade entre 11 e 17 anos vivem uma fase de descobertas,

repleta de novos interesses, todos mais “importantes”, para eles, do que as aulas e o estudo.

as constantes “broncas” e “sermões” sobre a necessidade de dedicar-se aos estudos não costu-

mam funcionar. ao contrário, podem gerar um clima hostil entre professor e aluno:

— os alunos não querem saber de nada!

— o professor é muito chato, não me entende!

Uma proposta é tentar fazer com que os estudantes tornem-se parceiros do professor no pro-

cesso de ensinar e de aprender.

para que essa parceria se desenhe, o aluno precisa sentir que seu professor quer que ela acon-

teça. isso requer uma postura de acolhimento, de vontade, de entusiasmo por parte do mestre. É

importante tornar efetiva a participação do aluno no desenvolvimento do curso. por exemplo: antes

do início de um conteúdo, o professor propõe um cronograma de trabalho, com o número de aulas

previsto para cada item, compartilhando com eles os objetivos do assunto e as atividades que farão:

trabalhos, provas, leituras etc. tudo isso, é claro, dentro do nível de compreensão e de atuação dos

estudantes. Uma ficha pode ajudar nessa tarefa:

Assunto Objetivos PeríodoNúmero de aulas previstas

Palavras- -chave

LeiturasAtividades avaliativas

conjuntos numéricos

compreender os diversos tipos de números como

criações humanas, analisando as

necessidades que levaram à criação.

classificar os números em conjuntos.

3/3 a 24/3

15

números naturais, inteiros,

racionais, reais,

dízimas, p, números

irracionais, reta

numérica.

p. 7,8,9

p. 11 e 12

p. 14 e 15

p. 17 e 18

p. 20,21,22

p. 25 e 27

texto de criação coletiva envolvendo

a ampliação dos conjuntos numéricos.

a ficha, preenchida em conjunto com o aluno, permitirá que ele acompanhe o desenvolvimento

do curso, sabendo com antecedência o que será tratado nas aulas, quais os objetivos do assunto, os

textos que deverá ler, e em que atividades será avaliado.

no verso da ficha pode ser colocada uma tabela para autoavaliação. veja o modelo:

Ficha de acompanhamento do meu desempenho

Conteúdo Datatarefa/

AtividadeFácil Média Difícil

Dúvidas, dificuldades,

observações e ideias

Como estou em relação a este item?

adição e subtração de frações

5/8exercícios da p. 180.

XÀs vezes esqueço de simplificar o resultado.

exercícios corrigidos na lousa: só errei o 46, mas agora entendi.


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não seremos ingênuos a ponto de achar que somente o uso da ficha fará com que os alunos

se comprometam com os estudos, mas, sem dúvida, pode contribuir nesse processo. o aluno deve

incorporá-la aos poucos, percebendo que não é uma folha de papel a mais, mas sim um instru-

mento útil na gestão de seu aprendizado. para isso, é preciso criar demandas que sistematizem seu

uso, tais como:

• considerá-la como material obrigatório na aula.

• retomá-la constantemente para verificar o caminho já percorrido, ajustar o cronograma e

discutir o aproveitamento.

• nesses momentos, manter o aluno ativo no processo, levantando questões como:

“o que já aprendemos até aqui? precisamos retomar alguma coisa? Quais das palavras-

chave já conhecemos? estamos dentro do cronograma? estamos atrasados (ou adiantados)? por

quê? Quais serão nossas próximas ações?”

• valorizar muito o aluno que utiliza a ficha para preparar-se previamente, que lê o texto a

ser abordado e que traz questões ou dúvidas. Usar, sempre que possível, as observações ou

questões trazidas por ele para encaminhar a aula.

• mostrar que esse aluno aproveita melhor, aprende mais e ajuda a enriquecer a aula, moti-

vando os demais a experimentarem como é bom aprender e ensinar.

• observar e incentivar o uso da ficha de autoavaliação. Se possível, acompanhar ou avaliar os

registros periodicamente.

tudo o que foi proposto precisa ser realizado com constância. adquirir uma postura e cultivá-la

leva tempo e exige paciência. no entanto, se pensarmos que em algum momento teremos alunos

assumindo seu papel de forma consciente e participativa no processo de ensino-aprendizagem,

todo o esforço terá valido a pena.

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5. Quadro de conteúdos6o ano

Unidade Conteúdo

1 – Sistema de numeração decimal

• processos de contagem – história dos números

• noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano

• Sistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos numeraisindo-arábicos

2 – Números naturais

• Sequência dos números naturais

• Sucessor, antecessor, números naturais consecutivos

• aplicações dos números naturais

• reta numérica

3 – Adição e subtração de números naturais

• ideias da adição e da subtração

• cálculo mental nas adições e subtrações

• estimativas por arredondamento

• problemas envolvendo adição e subtração de números naturais

4 – Multiplicação e divisão de números naturais

• as ideias da multiplicação

• divisão – ideias e algoritmos

• multiplicação e divisão – operações inversas

• relação fundamental da divisão

• expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais

• propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração

• cálculo mental de produtos

• resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais

• Unidades de medida de tempo – problemas

5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais

• potenciação – significado, representação e cálculos

• Quadrados e cubos

• expoente zero e expoente 1

• raiz quadrada de números naturais

• expressões numéricas

6 – Múltiplos e divisores

• Sequência dos múltiplos de um número

• Fatores ou divisores de um número natural

• critérios de divisibilidade

• números primos e decomposição em fatores primos

• mínimo múltiplo comum

• divisores comuns e máximo divisor comum

7 – Dados, tabelas e gráficos de barras

• Utilidade dos gráficos

• dados e tabelas de frequência

• construção e interpretação de gráficos de barras

• elaboração e análise de uma pesquisa estatística simples


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8 – Observando formas

• as formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano

• Formas planas e não planas

• blocos retangulares – estudo e planificação

• ponto, reta, plano e segmento de reta

• perspectivas e vistas

• construção de poliedros

9 – Ângulos

• identificação, elementos e representação

• medidas de ângulos e uso do transferidor

• retas paralelas e retas perpendiculares

• Uso dos esquadros

10 – Polígonos e circunferências

• polígonos – características e nomenclatura

• triângulos – classificação

• Quadriláteros – classificação

• polígonos regulares

• perímetro de polígonos

• circunferência – definição e elementos

• Uso do compasso

• Simetria nos polígonos e no círculo

11 – Frações

• Frações como partes do inteiro

• representação e leitura

• Frações de uma quantidade

• números mistos e frações impróprias

• Frações equivalentes

• Simplificação de frações

• comparação de frações

• operações com frações

• problemas envolvendo frações e suas aplicações

12 – Números decimais

• a notação decimal

• números decimais e o registro de medidas

• números decimais na forma de fração

• comparação de números decimais

• adição e subtração de números decimais

• multiplicação e divisão por 10, 100, 1 000, …

• multiplicação de números decimais

• divisão de números naturais com quociente decimal

• divisão de números decimais

• problemas envolvendo números decimais e suas aplicações

13 – Porcentagens• Significado, representação e cálculos simples envolvendo porcentagens

• representação decimal de porcentagens

14 – Medidas

• conceito de medida e de unidade de medida

• medidas de comprimento no Smd

• medidas de superfície e área do retângulo

• relações entre km2, m2 e cm2

• conceito de volume e volume de um bloco retangular

• equivalência entre litro e decímetro cúbico

• medidas de massa


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7o ano

Unidade Conteúdo

1 – Números naturais

retomada e aprofundamento dos conhecimentos sobre os números natu-rais, abordando:• sequência dos números naturais, sucessor, antecessor, números consecutivos• representação na reta numérica• múltiplos e divisores - mmc e mdc• números primos

2 – Frações e números decimais

• Fração e divisão• Frações equivalentes• Frações e números decimais na reta numérica• expressões numéricas• potenciação e raiz quadrada de números decimais• medidas de tempo

3 – Números negativos

• aplicações dos números negativos• comparação• representação na reta numérica• módulo e simétrico• operações com números negativos• expressões numéricas envolvendo operações com números negativos

4 – Proporcionalidade

• Grandezas e comparação de grandezas• razões e proporções• escalas, plantas e mapas• Grandezas diretamente proporcionais• Grandezas inversamente proporcionais

5 – Razões e porcentagens• representação e cálculo de porcentagens• descontos e acréscimos• problemas envolvendo porcentagens

6 – Construindo e interpretando gráficos

• construção e análise de gráficos de barras e de setores• pictogramas• médias

7 – Sólidos geométricos

• poliedros• prismas e pirâmides• poliedros regulares• cilindros, cones e esferas

8 – Áreas e volumes

• dimensionalidade• medidas de superfície – unidades e conversões• comparação de áreas• Área do retângulo e do quadrado• cálculo de áreas por composição e decomposição de figuras• Área do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio• problemas envolvendo o cálculo de áreas• relações entre unidades de medida de volume e de capacidade

9 – Equações

• observação de padrões numéricos – generalizações• Uso das letras – linguagem algébrica• algumas operações com letras• resolução de equações do 1o grau• resolução de problemas por meio de equações do 1o grau

10 – Inequações• desigualdades – símbolos e propriedades• resolução de inequações• inequações e problemas

11 – Ângulos e triângulos

• retomada sobre ângulos• Ângulos suplementares, complementares, opostos pelo vértice• Grau e subdivisões do grau• bissetriz de um ângulo• os ângulos nos triângulos• Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo• Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero


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8o ano

Unidade Conteúdo

1 – Conjuntos numéricos

• números naturais• números inteiros• números racionais• representação dos números racionais• números irracionais• pi – um número irracional• números reais• os números reais e as operações

2 – Potenciação e notação científica

• expoentes inteiros• propriedades das potências• potências de base 10• multiplicação por potências de base 10• notação científica

3 – Radiciação• aprofundamento sobre raízes• raízes exatas• raízes não exatas

4 – Cálculo algébrico

• retomada de equações• variáveis• expressões algébricas• monômios e polinômios• operações e expressões algébricas• Simplificação de expressões com letras• multiplicação de polinômios

5 – Produtos notáveis• desenvolvimento de produtos notáveis• aplicações dos produtos notáveis no cálculo algébrico

6 – Fatoração• principais casos de fatoração• aplicações da fatoração

7 – Frações algébricas

• Letras no denominador• condição de existência• problemas e equações envolvendo frações algébricas• Simplificação de frações algébricas• operações com frações algébricas

8 – Sistemas de equações

• problemas do 1o grau com duas incógnitas – representação por meio de um sistema de equações

• método da substituição• método da adição• dízimas periódicas na forma de fração

9 – Retas e ângulos

• posição relativa entre retas• ponto médio de um segmento• retas perpendiculares e paralelas• distância entre dois pontos• distância de ponto à reta

10 – triângulos• elementos, perímetro e classificação• Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo• propriedade do ângulo externo

11 – triângulos: congruência e pontos notáveis

• congruência de figuras planas• casos de congruência de triângulos• mediana, bissetriz e altura em um triângulo• triângulo isósceles e triângulo equilátero• maior lado e maior ângulo de um triângulo


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12 – Quadriláteros e outros polígonos

• elementos e classificação dos quadriláteros• propriedades dos paralelogramos e dos trapézios isósceles• Ângulos de um polígono

13 – Circunferência e círculo

• caracterização• construção de triângulos• posições relativas de duas circunferências• posições relativas entre reta e circunferência• cordas• arco e ângulo central• comprimento de um arco• construção de polígonos regulares• Ângulo inscrito

14 – Possibilidades e estatística

• tabela e árvore de possibilidades• problemas de contagem• Gráficos estatísticos


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9o ano

Unidade Conteúdo

1 – Potenciação e radiciação

• retomada e aprofundamento da potenciação e suas propriedades

• retomada da radiciação

• expoentes racionais

• propriedades dos radicais

• Simplificação de radicais

• adição e subtração de radicais

• cálculos com radicais

• racionalização

2 – Equações do 2o grau

• equações e grau de uma equação

• equações incompletas do 2o grau

• Forma geral de uma equação do 2o grau

• resolução de equações do 2o grau pela fatoração do trinômio quadrado perfeito

• Fórmula geral de resolução de equações do 2o grau

• resolução de problemas envolvendo equações do 2o grau

• Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau

• equações fracionárias e biquadradas

• equações irracionais

3 – Sistema cartesiano

• Localização no plano

• Sistema cartesiano

• coordenadas geográficas

4 – Funções

• conceito e aplicações

• tabela de valores e lei de formação de uma função

• interpretação de gráficos

• construção de gráficos das funções do 1o grau e do 2o grau

5 – Noções de probabilidade

• probabilidade e estatística

• problemas envolvendo o cálculo de probabilidades

• conceito de população e amostra numa pesquisa estatística

6 – teorema de tales e se-melhança de triângulos

• razões, proporções e segmentos proporcionais

• teorema de tales

• Semelhança

• Semelhança de triângulos

• aplicação da semelhança de triângulos na resolução de problemas

7 – Relações métricas nos triângulos retângulos

• teorema de pitágoras e suas aplicações

• diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero

• relações métricas nos triângulos retângulos

• problemas de aplicação

8 – trigonometria no triângulo retângulo

• razões trigonométricas: tangente, seno e cosseno

• aplicações na resolução de problemas

• as razões trigonométricas e os ângulos de 30°, 45° e 60°

9 – Círculo e cilindro

• Área do círculo

• Área de setor circular e de coroa circular

• Área da superfície e volume de um cilindro

• aplicações na resolução de problemas

10 – Porcentagem e juro• problemas envolvendo porcentagens, descontos e acréscimos

• Juros simples e composto


3ª provaeLbert



6. Sobreolivrodo9oanoEsta seção do manual trata do desenvolvimento dos conteúdos do livro do 9o ano, trazendo, para

cada unidade, objetivos gerais e específicos, sugestões e comentários sobre a utilização do livro do aluno, possibilidades de integração com outras áreas do conhecimento e de atividades para compor o processo de avaliação.

No item 7 do manual de cada volume, apresentamos um conjunto de questões, contextualizadas ou não, selecionadas a partir de exames elaborados de forma criativa e pertinente por instituições públicas conceituadas. Essas questões contemplam conteúdos desenvolvidos no livro do aluno.

Incluímos também, ao final dos comentários sobre cada unidade, sugestões de sites que disponi-bilizam objetos educacionais envolvendo os temas trabalhados: arquivos de vídeo e de áudio, jogos, experimentos, simulações, entre outros.

Unidade1–PotenciaçãoeradiciaçãoI. Objetivosgerais

• Compreender a potenciação e a radiciação como operações inversas, úteis na solução de problemas.

• Desenvolver habilidades relativas à representação e ao cálculo envolvendo potências e raízes.

II. Objetivosespecíficos• Representar e calcular potências com expoentes inteiros.

• Calcular raízes, identificando as que não representam números reais.

• Representar potências de base positiva e expoente racional na forma de radical.

• Aplicar propriedades para simplificar e efetuar cálculos envolvendo potências e raízes.

III.ComentáriosRetomando a potenciação e suas propriedades, o aluno pode aprimorar registros e cálculos já aprendi-

dos. No Ensino Médio, as propriedades das potências serão importantes para a Física, a Química e a própria Matemática. Por essa razão, o item que trata da notação científica (pág. 14) e o texto complementar “Ordem de grandeza”, sugerido para o trabalho com os alunos, merecem sua atenção.

Apresentamos três textos complementares para leitura no item VI – “ Zero é um número natural?” e “Qual é o valor de 00?” – de autoria de Elon Lages Lima publicados pela Revista do Professor de Matemática, e que trazem temas que podem suscitar perguntas por parte dos alunos, daí a importância dessas leituras. O terceiro texto, da mesma revista, aborda expoentes racionais com base em uma questão trazida por um professor.

A radiciação é apresentada como operação inversa da potenciação a partir do quadrado e do cubo: cálculo da área, dada a medida do lado, e cálculo do lado, dada a área; cálculo do volume dada a aresta e cálculo da aresta, dado o volume. Outra relação entre potenciação e radiciação se estabelece ao defi-nirmos potências com expoente racional. Mais uma vez, a ideia da manutenção de padrões foi aplicada. É importante ressaltar a conservação das propriedades das potências para expoentes racionais.

Sugerimos retomar os números irracionais, mostrando a utilidade do registro na forma de radical e a aplicação da calculadora para determinar aproximações de raízes, caso seja necessário. Trabalhamos com

PMR9_MP_052_071_especifica.indd 52 4/25/12 4:30 PM

M a n u a l d o p r o f e s s o r 53

previsão de resultados, pedindo a estimativa da medida do lado e do perímetro de um quadrado com base em sua área. Julgamos importante explorar essas atividades, mostrando que podemos expressar o resultado na forma de radical ou usando para as raízes uma aproximação que seja adequada ao problema.

O texto didático relembra que raízes de índice par de números negativos não representam núme-ros reais. É um bom momento para retomar a ampliação dos conjuntos numéricos numa abordagem voltada agora para alunos do 9o ano, pois as ideias vão ficando cada vez mais claras e consistentes.

Na página 15, relembramos que, embora tenhamos 52 5 25 e (25)2 5 25, consideramos sempre que 25 5 5. O símbolo representa a raiz quadrada positiva do número. Essa convenção garante que, se x é positivo, x tem valor único, bem determinado. Escrevemos 25 5 5 e 2 25 5 25. A igualdade 25 5 25 é falsa. Um cuidado a ser tomado é mostrar que essa convenção não impede que a equação x 2 5 25 tenha soluções como 5 e 25, uma vez que (25)2 5 25. O registro nesse caso fica:

x 2 5 25

x 5 25

x 5 5

A clareza sobre os fatos expostos acima será importante para o aluno, que na Unidade 2 resolverá equações do 2o grau e equações irracionais.

Com a apresentação de propriedades e operações fundamentais envolvendo radicais, pretende-se que o aluno adquira habilidades suficientes para trabalhar com radicais no Ensino Médio. No item “Expoentes racionais”, você deve mostrar aos alunos porque a base adeve ser positiva. O texto apresenta um boxe que ilustra essa situação por meio de um exemplo.

Neste volume, as propriedades das potências foram generalizadas, usando uma notação mais sistematizada. O mesmo acontece com as propriedades dos radicais. Acreditamos que o aluno do 9o ano deve, aos poucos, familiarizar-se com essas notações.

<m3.ime.unicamp.br/recursos/1045>

<www.wisc-online.com/Objects/ViewObject.aspx?ID5TMH5706>


SugestãodeavaliaçãoÉ comum vermos os alunos cometerem erros deste tipo: 102 : 5 5 2,4 (em vez de 20,4). É importante

trabalharmos com estimativas para resultados, levando-os a perceber que se 100 : 5 5 20, então 102 : 5 deve resultar em pouco mais que 20, ou seja, não pode resultar em 2,4.

O texto complementar sobre ordem de grandeza, além de trazer esse conceito presente e importante para o letramento científico, trabalha com estimativas. Sugerimos usar a leitura desse texto e as atividades propostas para avaliar os alunos em habilidades que não são muito cobradas nas avaliações formais.

IV.IntegraçãocomoutrasáreasdoconhecimentoO texto sobre o Papiro de Rhind possibilita que você relembre a importância da civilização egípcia

para a história da humanidade e da Matemática (sistema de numeração egípcio, medidas e esticadores de cordas, método da falsa posição), buscando, se possível, interdisciplinaridade com História.



O trabalho com o texto complementar “Ordem de grandeza” pode ter a parceria de um professor de Física, por exemplo, mostrando aos alunos como a potenciação e os registros na notação científica serão importantes nesse componente que fará parte do currículo dos alunos no Ensino Médio.

V. Textocomplementarparatrabalharcomosalunos

OrdemdegrandezaNas ciências e nas atividades do dia a dia, nem sempre é preciso saber com exatidão o valor

de uma grandeza, bastando determinar o que chamamos de ordemdegrandeza do número que expressa sua medida.

A ordem de grandezade um número é a potência de base dez mais próxima dele. Por exemplo:

• A ordem de grandeza de 2 890 é 103 (ordem de unidade de milhar), pois o valor 2 890 está compreendido entre 103 (1 000) e 104 (10 000) e está mais próximo de 103.

• A ordem de grandeza de 0,03 5 3 · 1022 é 1022 (centésimos) porque 0,03 está compreen-dido entre 1022 (0,01) e 1021 (0,1) e está mais próximo de 1022.

• A ordem de grandeza de 85 000 é 105 porque 85 000 está entre 104 (10 000) e 105 (100 000) e está mais próximo de 105.

Veja exemplos práticos do uso da ordem de grandeza:

1) É comum ouvirmos afirmações do tipo:

“A distância da Terra à Lua é da ordem de 105 km.”

105 5 100 000 km, ou seja, a distância da Terra à Lua é da ordem de centenas de milhares de quilômetros

“O prejuízo foi da ordem de milhões de reais.”

A ordem de grandeza nesse caso é 106 5 1 000 000.

2) Uma fazenda de forma retangular mede 8 270 m por 3 210 m. Podemos não estar inte-ressados na área exata em metros quadrados (m2) dessa fazenda, mas sim na ordem de grandeza dessa área: milhares de m2, milhões de m2, etc. Observe:

8 270 está entre 1 000 e 10 000, mais próximo de 10 000, ordem de grandeza: 104

3 210 está entre 1 000 e 10 000, mais próximo de 1 000, ordem de grandeza: 103

Como a área de um retângulo é obtida multiplicando comprimento e largura, temos que a ordem de grandeza da área da fazenda é de 104 · 103 5 107 (ordem de dezenas de milhão). De fato, efetuando 8 270 m 3 3 210 m obtemos 25 546 700 m2.

Ordemdegrandezaeestimativas

A ideia de ordem de grandeza pode ajudar a fazer previsões e evitar erros nos resultados de operações. Observe os exemplos:

• 196,49 : 9,8 5

196,49 tem ordem de grandeza 102


102 : 101 5 101, ou seja, o quociente terá ordem de grandeza de dezenas

De fato, 196,49 : 9,8 5 20,05.



Se o resultado obtido fosse 2,005 ou 2,5 seria fácil perceber que havia erro.

• 18,65 ? 0,0038 5



101 ? 1023 5 1022, ou seja, o produto terá ordem de grandeza de centésimos

De fato, 18,65 ? 0,0038 5 0,07087 5 7,087 ? 1022

Agora junte-se com um colega para fazer as atividades a seguir.

1) Qual a ordem de grandeza?

a) do diâmetro da uma molécula de DNA humano: 0,000000002 m. 1029 m

b) da população da China em 2008: 1 300 000 000 de pessoas. 109 pessoas

c) da distância entre Porto Alegre e Salvador: 3 071 km. 103 km

d) da massa do meteorito de Bendegó (6 000 kg) que caiu na Bahia no século XVIII. 103 kg

2) Em números redondos, o diâmetro do Sol é cem vezes maior do que o da Terra. Qual é a ordem de grandeza do diâmetro do Sol, sabendo que o da Terra é de aproximadamente 13 000 km? 106 km

3) O Brasil tem aproximadamente 190 000 000 de habitantes. A ordem de grandeza da população brasileira é 108.

Uma pessoa gasta, em média, 200 L de água por dia. Então a ordem de grandeza de consumo de água diário por habitante é de 102 L.

Estime a ordem de grandeza em litros do consumo diário de água da população brasileira. 1010 L

VI.Textoscomplementaresparaoprofessor

ConceitosecontrovérsiasZeroéumnúmeronatural?

“Sim e não. Incluir ou não o número 0 no conjunto n dos números naturais é uma questão de preferência pessoal ou, mais objetivamente, de conveniência. O mesmo professor ou autor pode, em diferentes circunstâncias, escrever 0 n ou 0 n. Como assim?

Consultemos um tratado de Álgebra. Praticamente em todos eles encontramos n 5 {0, 1, 2, ...}. Vejamos um livro de Análise. Lá acharemos quase sempre n 5 {1, 2, 3, ...}.

Por que essas preferências? É natural que o autor de um livro de Álgebra, cujo principal interesse é o estudo das operações, considere zero como um número natural, pois isso lhe dará um elemento neutro para a adição de números naturais e permitirá que a diferença x 2 y seja uma operação com valores em n não somente quando x . y, mas também se x 5 y.Assim, quando o algebrista considera zero como número natural, está facilitando a sua vida, eliminando algumas exceções.

Por outro lado, em Análise, os números naturais ocorrem muito frequentemente como índices de termos numa sequência. Uma sequência (digamos, de números reais) é uma função x: n → ®, cujo



domínio é o conjunto n dos números naturais. O valor que a função x assume no número natural n é indicado como a notação x

n (em vez de x(n)) e é chamado o ‘n-ésimo termo’ da sequência.

A notação (x1, x

2, ..., x

n, ...) é usada para representar a sequência. Aqui, o primeiro termo da se-

quência é x1, o segundo é x

2 e assim por diante. Se fôssemos considerar n 5 { 0, 1, 2, ...}, então

a sequência seria (x0, x

1, x

2, ..., x

n, ...), na qual o primeiro termo é x

0, o segundo é x

1 etc. Em geral,

xn não seria o n ‑ésimo termo e sim o (n 1 1)-ésimo termo. Para evitar essa discrepância, é mais

conveniente tomar o conjunto dos números naturais como n 5 {1, 2, 3,...}.

Para encerrar este tópico, uma observação sobre a nomenclatura matemática. Não adianta encaminhar a discussão no sentido de examinar se o número zero é ou não ‘natural’ (em oposi-ção a ‘artificial’). Os nomes das coisas em Matemática não são geralmente escolhidos de modo a transmitirem uma ideia sobre o que devem ser essas coisas. Os exemplos abundam: um número ‘imaginário’ não é mais nem menos existente do que um número ‘real’; ‘grupo’ é uma palavra que não indica nada sobre seu significado matemático e, finalmente, ‘grupo simples’ é um conceito extremamente complicado, a ponto de alguns de seus exemplos mais famosos serem chamados (muito justamente) de ‘monstros’.

Qualéovalorde00?A resposta mais simples é: 00 é uma expressão sem significado matemático. Uma resposta

mais informativa seria: 00 é uma expressão indeterminada.

Para explicar essas respostas, talvez seja melhor examinar dois exemplos mais simples de

fórmulas desprovidas de significado matemático, que são 00

e 10

. De acordo com a definição de

divisão, ab

5 c significa que a 5 b · c. Portanto, se escrevêssemos 00

5 x e 10

5 y, essas igualda-

des significariam que 0 5 0 · x e 1 5 0 · y. “Ora”, TODO número x é tal que 0 · x 5 0 e NENHUM

número y é tal que 0 · y 5 1. Por isso se diz que 00

é uma ‘expressão indeterminada’ e que 10

é uma ‘divisão impossível’. (Mais geralmente, toda divisão do tipo a0

, com a 0, é impossível.)

Voltando ao símbolo 00, lembramos que as potências de expoente zero foram introduzidas a

fim de que a fórmula am

an 5 am 2 n, que é evidente quando m > n, continue ainda válida para m 5 n.

Pondo am 5 b, teremos então bb

5 b0, logo b051 se b 0. No caso b 5 0, a igualdade bb

5 b0

tomaria a forma 00

5 00, o que leva a considerar 00 como uma expressão indeterminada. Essa

conclusão é ainda reforçada pelo seguinte argumento: como 0 y 5 0 para todo y 0, seria natural pôr 00 5 0; por outro lado, como x0 5 1 para todo x 0, seria também natural pôr 00 5 1. Logo, o símbolo 00 não possui um valor que se imponha naturalmente, o que nos leva a considerá-lo como uma expressão indeterminada.

As explicações acima têm caráter elementar e abordam o problema das expressões indetermina-das a partir da tentativa de estender certas operações aritméticas a casos que não estavam enquadra-dos nas definições originais dessas operações. Existe, porém, uma razão mais profunda, advinda da

teoria dos limites, em virtude da qual 00

e 00 (bem como outras fórmulas análogas) são expressões indeterminadas.

Escreve-se limx→a

f(x) 5 A para significar que o número A é o limite para o qual tende o valor f(x) da função f quando x se aproxima de a. Sabe-se que, se lim

x→af(x) 5 A e lim

x→ag(x) 5 B, então

limx→a

f(x)g(x)

5 AB

, desde que B 0. Por outro lado, quando limx→a

f(x) 5 0 e limx→a

g(x) 5 0, então nada



Expoenteracionalebasenegativa“O leitor pergunta:

• É válido?

Um leitor de MS transcreveu o teste abaixo de um exame de vestibular:

Calculando-se [2 1243

]a

onde a 5 2 25

, obtém-se:

a) 281

b) 29c) 9d) 81e) um número não real.

e escreveu que não encontrou nos livros didáticos o conceito de potência racional de um número

negativo (apq , a < 0). Pergunta-se se é válido escrever

[21

243]

2255 5[2

13

]5 6

225 5 [(23)25]2

25 5 (23)2 5 9

RPM

É válido, mas a questão poderia levantar dúvidas. A RPM examinou uns poucos livros didáticos e não encontrou neles as propriedades de potências quando a base é um número

negativo. Além disso, são famosos os aparentes paradoxos como, por exemplo,

21 5 (21)1 5 (21)22 [(21)2]

12 5 1

12 5 1.

se pode garantir a respeito do limite do quociente f(x)g(x)

quando x se aproxima de a. Dependendo

das funções f e g que se escolham, pode-se conseguir que o quociente f(x)g(x)

tenha como limite

qualquer valor c dado de antemão, ou mesmo que não tenda para limite algum. Por exemplo,

se tomarmos f(x) 5 c(x 2 a) e g(x) 5 x 2 a, então f(x)g(x)

5 c para todo x a, logo limx→a

f(x)g(x)

5 c.

Por esse motivo se diz que 00

é uma expressão indeterminada.

Analogamente, dado a priori qualquer número real c . 0, podemos achar funções f, g tais que lim

x→af(x) 5 0, lim

x→ag(x) 5 0, enquanto lim

x→af(x)g(x)

5 c. Basta, por exemplo, tomar f(x) e

g(x) 5 log clog x

; isso faz com que f(x)g(x) 5 xlog clog x 5 c para todo x . 0, logo lim

x→0f(x)g(x) 5 c. (Para

convencer-se de que xlog clog x 5 c, tome logaritmos de ambos os membros dessa igualdade.)

Portanto, quando limx→a

f(x) 5 0 e limx→a

g(x) 5 0, então limx→a

f(x)g(x) pode ter qualquer valor c, dado de antemão, desde que escolhamos convenientemente as funções f e g. Então se diz que 00 é uma expressão indeterminada.”

LIMA, Elon Lages. Conceitos e Controvérsias. Revista do Professor de Matemática 01. n. 76, p. 8-11. 2011.

Na seção Comentários da Unidade 1, sugerimos que você trabalhe com cuidado o boxe que mos-tra, por meio de um exemplo, por que tomamos base positiva no trabalho com expoentes racionais. O texto a seguir, retirado da seção ‘O leitor pergunta’ da Revista do Professor de Matemática, traz mais informações sobre este assunto.



No conjunto C dos números complexos fica claro como lidar com expoentes racionais de nú-meros negativos. Lá, ‘extrair raízes’ é uma operação que leva a mais de uma resposta e pode-se

provar que, sendo m e n primos entre si, (zn)1m 5 (z

1m)n, ou seja, as duas potências representam o

mesmo conjunto m de valores (o que explica o aparente paradoxo: em C, 112 representa o conjun-

to {21, 1}, em ®, 1). Contudo, no caso em que m é ímpar, não há nenhum problema em dividir a raiz m-ésima de um número real qualquer da maneira usual (

m a é o único número real x tal que

xm 5 a), e depois elevar a raiz m-ésima à potência n. Não há nem necessidade de passar por C.”

PEREIRA, Antonio Luiz, WATANABE, Renate. Revista do Professor de Matemática, n. 66, p. 56, 2008.

VII.SobreasatividadespropostasBoxedapágina23

A calculadora auxilia a compreender a propriedade apresentada no boxe por meio de exemplos. Aproveite a calculadora para retomar a radiciação como operação inversa da potenciação.

Boxedapágina29,atividade1

No trabalho com radicais, é preciso estar atento a erros do tipo:

5 1 5 5 10, 7 2 3 5 4 5 2 etc.

O boxe pretende chamar a atenção do aluno para que ele não cometa esses erros. Sempre que detectados, detenha-se e retome a ideia de radicais semelhantes e a adição e a subtração de radicais.

Unidade2–Equaçõesdo2ograuI. Objetivogeral

• Ampliar os conhecimentos de Álgebra, em particular os relativos à resolução de equações, utilizando-os para representar e resolver problemas.

II. Objetivosespecíficos• Representar e resolver situações e problemas por meio de equações.

• Reconhecer uma equação do 2o grau, identificando seus termos.

• Resolver equações do 2o grau, utilizando vários processos.

• Resolver equações biquadradas e irracionais.

• Resolver equações fracionárias que recaem em equações do 2o grau.

III.ComentáriosRelembramos, por meio de um problema, a resolução de equações do 1o

grau e, em seguida, apresentamos a ideia de grau de uma equação. De acordo com as necessidades dos alunos, você pode abordar mais situações representadas e resolvidas por equações, lembrando o que é incógnita, e o que significa resolver uma equação.

Convém sempre pedir ao aluno que faça a verificação da solução encontrada para a equação e que se certifique de que essa solução é adequada ao problema.



Ao desenvolver a resolução de equações do 2o grau, o aluno deve perceber que pode haver duas, uma, ou nenhuma solução no conjunto dos números reais.

Depois da resolução de algumas equações incompletas, apresentamos a forma geral de uma equação do 2o grau, preparando, assim, a resolução das equações completas.

Recordamos a representação geométrica de um trinômio quadrado perfeito para propor a reso-lução de equações do 2o

grau pela fatoração desse trinômio. É importante falar sobre a contribuição dos árabes, em particular a de Al-Khowarizmi e o método de completar quadrados.

O trabalho com fatoração do trinômio quadrado perfeito permite que o aluno compreenda mais facilmente como se chega à fórmula geral da resolução das equações do 2o grau. Sugerimos que a obtenção da fórmula seja feita passo a passo, com a participação dos alunos.

Os sistemas de equações não foram tratados em separado. Com os conhecimentos que possui e o exemplo dado, envolvendo Geometria, o aluno será capaz de resolver os problemas propostos. A Seçãolivre trata de uma questão que envolve um sistema de equações para representar uma si-tuação contextualizada. O sistema recai em uma equação do 2o grau que não possui solução em ®, e avança, propondo que o aluno busque a maior área possível para um retângulo de perímetro 120 m, esperando que ele descubra que esta área será a do quadrado de lado 30 m.

Consideramos importante valorizar o uso da soma e do produto das raízes de uma equação do 2o

grau como forma, muitas vezes mais rápida, para determinar as soluções da equação.

Na página 64, convidamos o aluno a fazer o contrário do que fez até o momento. Em vez de descobrir as raízes para escrever uma equação do 2o grau, ele partirá das raízes para escrever uma equação do 2o grau. O texto é simples e os alunos têm condições de desenvolvê-lo numa leitura silenciosa. Você pode apresentar um fechamento no quadro, resumindo as informações vistas. Sabemos o quanto estes conhecimentos serão úteis no Ensino Médio, para o estudo das funções do 2o grau.

Ao trabalhar com as equações fracionárias que recaem em equações do 2o grau (página 68), relembre o que é fração algébrica e enfatize o cuidado para não incluir soluções que possam anular denominadores. A resolução de equações irracionais merece alguns comentários. Quando elevamos ambos os membros de uma equação ao quadrado, por exemplo, a nova equação não é equivalente à original, esta pode ter uma solução especial que não é solução da equação dada. Veja um exemplo simples:

x 5 2 → x2 5 4↓ ↓

Solução: 2 Soluções: 2

Nas equações irracionais, elevamos ambos os membros a um expoente conveniente, com o objetivo de retirar o radical. No entanto, é preciso verificar se todas as soluções obtidas são também soluções da equação original.

x 1 5 5 x 2 1

( x 1 5 )2 5 (x 2 1)2

x 1 5 5 (x 2 1)2

x 1 5 5 x2 2 2x 1 1

x 5 21 ou x 5 4

Repare que 21 é solução somente da equação x 1 5 5 (x 2 1)2, pois 21 1 5 5 21 2 1 é falso.

É importante que o aluno perceba que, conhecendo diversas estratégias e processos de resolução de equações do 2o

grau, ele pode e deve escolher aquele que julgar mais adequado para a equação ou problema que pretende resolver.





<www.revista.vestibular.uerj.br/artigo/artigo.php?seq_artigo=8>

<nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instruction&from=category_g_4_t_2.html>

Sugestõesdeavaliação1) Os jogos são sempre bem-vindos para diversificar a dinâmica em sala de aula e proporcionar a

você a observação dos alunos em diferentes situações. Eles possibilitam uma interação maior entre pares, desenvolvendo aspectos sociais importantes.

Apresentamos a seguir uma sugestão de jogo simples que lhe possibilitará avaliar o aprendi-zado do conteúdo e as atitudes dos alunos com relação a seu grupo e aos demais.

Pescandoequações

Improvise varinhas de pescar, com ripas de madeira, linha grossa ou barbante e um gan-cho de arame em forma de anzol. Tome cui-dado para que o gancho não ofereça risco aos alunos e a madeira não tenha farpas.

Em um recipiente, que pode ser uma bacia bem grande, contendo areia de construção, enterre cerca de 20 cartões de papelão ou material similar, cada um com uma equação do 2o grau (como você pode ver na fotogra-fia), de modo a esconder cada uma delas.

Divida a classe em grupos de quatro alu-nos e dê uma varinha para cada grupo. Um representante de cada grupo “pesca” e resolve uma equação com a ajuda dos companheiros. O grupo lhe apresenta a solução. Se estiver correta, outro repre-sentante pesca um novo cartão, e assim por diante, até terminarem os cartões. Você pode montar uma ficha de obser-vação para anotar o desempenho individual e do grupo. No final, vence o grupo que acertou mais equações.

2) O texto complementar sugerido para o trabalho com os alunos”, “Número de diagonais de um polígono”, prepara-os para o estudo de funções, pois parte da observação da interdependência do número de lados e o número de diagonais do polígono. Nas questões propostas, há itens que requerem a resolução de equações do 2o grau, contemplando o conteúdo desta unidade.

Sugerimos que o trabalho seja feito em duplas, na sala de aula. A observação do tra-balho dos alunos e a correção das atividades podem ser utilizadas como instrumento de avaliação.

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NúmerodediagonaisdeumpolígonoQuantas diagonais tem um polígono de 18 lados?

Um polígono com 54 diagonais tem quantos lados?

Será que podemos responder a estas questões sem precisar desenhar estes polígonos?

Para descobrir, vamos utilizar um procedimento muito comum na Matemática: investigar padrões, ou seja, investigar se existe relação entre o número de diagonais e o número de lados do polígono. Acompanhe:

Triângulo:3lados

O triângulo não possui diagonais.

Quadrilátero:4lados

De cada vértice sai uma diagonal.

Número de diagonais 5 4 lados ? 1 diagonal2

5 2

Observe que dividimos por 2 para não contar a mesma diagonal duas vezes.

Pentágono:5lados

De cada vértice saem duas diagonais.

Número de diagonais 5 5 lados ? 2 diagonais2

5 5

Hexágono:6lados

De cada vértice saem três diagonais.

Número de diagonais 5 6 lados ? 3 diagonais2

5 9

IV.IntegraçãocomoutrasáreasdoconhecimentoO assunto equações tem grande envolvimento com a História da Matemática. Os alunos em geral

se interessam pela história da Álgebra. O livro explora isso em boxes que falam de Viète, Descartes, Al-Khowarizmi e Euler. Também apresentamos o texto “O furto da fórmula”, que, além de interessante, traz comentários sobre o panorama europeu nos séculos XV e XVI.

V. Textocomplementarparatrabalharcomosalunos

Ilust

raçõ

es: D

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VI.Textoscomplementaresparaoprofessor

1) Desenhe no caderno um heptágono e descubra quantas diagonais ele tem. Compare com os exemplos anteriores. Lembre-se: queremos encontrar um padrão! O heptágono tem 14 diagonais.

2) Você descobriu a relação entre o número de lados do polígono e o número de diagonais que partem de cada vértice? Escreva por extenso esta relação.

O número de diagonais que partem de cada vértice é igual ao número de lados menos três.

3) O decágono é o polígono de 10 lados. Podemos afirmar quantas diagonais partem de cada vértice deste polígono e quantas diagonais ele tem sem precisar desenhá-lo?

4) Se um polígono tem n lados, como representamos o número de diagonais que partem de cada vértice? n – 3

5) Escreva a fórmula que permite calcular o número de diagonais D de um polígono de n lados. D 5 n · (n – 3)

2

6) Responda agora às perguntas do início do texto.

a) Quantas diagonais tem um polígono de 18 lados? 135

b) Quantos lados tem o polígono que apresenta 54 diagonais?

7) Descubra se existe um polígono com 100 diagonais. Não.

Sim, 10 · 72

5 35 diagonais

D 5 n · (n – 3)2

; 54 5 n (n – 3)2

→

→ n2 – 3n – 108 5 0n 5 12

SobreBhaskaraBhaskara Acharya (Bhaskara, o Instruído) viveu, aproximadamente, de 1114 a 1185, na Índia.Em sua família havia vários astrólogos. Ele combinou essa formação com os estudos científicos,

mas dedicou-se mais intensamente à Matemática e à Astronomia.Foi diretor do Observatório de Ujjain, conceituado centro de pesquisas matemáticas e astro-

nômicas da Índia e é considerado o matemático mais importante da sua época. Seu livro mais famoso, o Lilavati, trata de problemas de Aritmética, Geometria Plana e Análise Combinatória. Lilavatié um nome próprio de mulher.

Outro livro importante escrito por ele chama-se Bijaganita (“Outra Matemática”) e trata de Álgebra. Nesta obra, Bhaskara aborda a resolução de equações. O livro não traz grandes contri-buições para o estudo das equações determinadas, mas é bem-sucedido na resolução de equações indeterminadas ou diofantinas como:

• y 2 x 5 1, que aceita todos os x 5 a e y 5 a 1 1 como soluções, qualquer que seja o valor de a;• a famosa equação de Pell: x2 5 Ny 2 1 1.Seu trabalho com estas equações foi admirado, mas sua história não tem ligação com a fór-

mula geral de resolução de equações do 2o grau.Sabe-se que os hindus já usavam regras para resolver equações do 2o grau muito antes

de Bhaskara, como é possível ver na obra de Aryabhata (500 d.C.). Nessa época, no entanto, as equações ainda eram expressas e resolvidas usando-se palavras. Os símbolos, a notação algébrica que hoje usamos, não existiam. As fórmulas matemáticas só surgiram aproximada-mente 400 anos depois da morte de Bhaskara, ou seja, ele nem sequer sabia o que era uma fórmula.

Portanto, apesar de Bhaskara ser considerado um grande matemático, não se pode atribuir a ele a fórmula de resolução das equações do 2o grau. Hoje, poucas são as publicações que ainda usam o nome “fórmula de Bhaskara”.



Aprendendocomosalunos!Apresentamos a seguir o relato de um professor que se surpreendeu com a esperteza de um

aluno quando trabalhava em sala com a soma e o produto das raízes de uma equação do 2o grau. Isso mostra que o professor ensina e também aprende. E muito!

Denossosalunos

“Numa aula, eu estava mostrando aos meus alunos que algumas vezes podemos achar mentalmente as raízes de uma equação do 2o grau.

Por exemplo, para calcular as raízes de x² 2 5x 1 6 5 0, basta procurar dois números cuja soma é 5 e o produto é 6. Percebe-se logo que 2 e 3 são os números procurados. Dei vários outros exemplos.

Chamei a atenção dos alunos para o fato de que esse cálculo mental fi ca mais fácil se o coe-fi ciente de x² for 1. Assim, na tentativa de resolver mentalmente a equação 6x² 2 x 2 1 5 0, seria

melhor dividir a equação toda por 6 (o que não muda as raízes), obtendo-se x² 2 16

x 2 16

5 0.

Mas agora fi ca difícil fazer o cálculo mental porque apareceram frações.

Para minha felicidade, um aluno falou:

‘Eu fi z de outro jeito. Tirei o 6 da frente do x² e multipliquei o último –1 por 6. Obtive a equação x² 2 x 2 6 5 0. Deu para adivinhar as raízes dessa equação: –2 e 3. Daí as raízes da

equação inicial são 2 26

5 [213 ] e 3

6 5

12 .’

A resposta estava certa. Tentamos usar o ‘jeito’ do aluno em outras equações (tente você também com, por exemplo, 2x² 2 3x 2 2 5 0) e sempre obtivemos as raízes. Procuramos uma explicação.

Se a equação inicial é ax² 1 bx 1 c 5 0, a � 0, o ‘jeito’ do aluno a transforma na equação y² 1 by 1 ac 5 0. Ambas as equações têm o mesmo discriminante � 5 b² – 4ac. As raízes da

primeira são x 5 – b M� 2a

e as da segunda são y 5 – b M� 2

, daí o resultado obtido pelo aluno,

x 5 y a

. Legal, não é?”

MOURA, Edílson de. De nossos alunos. Revista do Professor de Matemática, n. 61, p. 9, 2006.

VII.SobreasatividadespropostasBoxedapágina62

É interessante propor aos alunos que preencham a tabela e conversem entre si, trocando ideias, para que percebam relações entre os coefi cientes e as soluções da equação, antes da apresentação formal da resolução de equações do 2o grau por soma e produto das raízes. O acompanhamento do texto teórico fi cará mais fácil se o boxe for trabalhado.

Seçãolivredapágina75

Proponha a leitura do texto e a resolução da atividade em duplas. O problema recai num sistema impossível. Fale sobre as possibilidades na resolução de um sistema: ele pode ter solução única, pode não ter solução ou ainda ter infi nitas soluções. Se possível, mostre um exemplo de cada um. A atividade também possobilita mostrar que o quadrado tem a maior área possível para um perímetro dado.



Unidade3–SistemacartesianoI. Objetivosgerais

• Identificar referenciais de localização utilizados no mundo real.

• Introduzir um referencial de localização para pontos de um plano.

• Representar um ponto do plano utilizando suas coordenadas cartesianas.

• Localizar um ponto no plano cartesiano por meio de suas coordenadas.

II. Objetivosespecíficos• Identificar a noção de direção e sentido no espaço de vida cotidiana.

• Localizar a posição de um objeto no plano, a partir de um referencial.

• Encontrar determinado local, em um guia, mapa ou planta.

• Identificar e representar pontos no plano cartesiano.

• Identificar e nomear os eixos do sistema cartesiano.

• Identificar abscissa e ordenada de um ponto.

III.ComentáriosOptamos por abordar a representação de pontos no sistema cartesiano neste momento devido a

sua utilização na próxima unidade, que trata de funções. Dessa forma, o aluno aprende e em seguida aplica o que aprendeu.

Antes de introduzir o sistema cartesiano, tratamos da localização de forma mais geral e contex-tualizada, enfatizando, mesmo que informalmente, referencial, direção e sentido.

Mostramos a aplicação da ideia de coordenadas na localização de um acidente e na reprodução de um desenho no papel quadriculado. Você pode, ainda, apresentar exemplos mais comuns como a batalha naval, o jogo de xadrez e a localização de uma rua num guia de cidades.

Não há excesso de atividades diretas de localização de pontos, pois os alunos compreendem a forma de utilização do sistema cartesiano rapidamente. A breve biografia de Descartes não pode ser esquecida, pois é imprescindível para que os alunos conheçam a importância desse matemático.

Apresentamos também um texto sobre coordenadas geográficas, buscando a integração com a Geografia. Esse tema desperta o interesse dos alunos e pode ser mais bem explorado num trabalho conjunto com o professor de Geografia.


SugestãodeavaliaçãoComo dissemos, um trabalho em parceria com Geografia pode explorar mais o assunto “coor-

denadas geográficas”. Esse trabalho faria parte da avaliação. O tema pode ter continuidade, ainda de forma conjunta, quando for desenvolvido o conteúdo da Unidade 9 – “Círculo e cilindro”. (Ver comentários nessa unidade).



IV.IntegraçãocomoutrasáreasdoconhecimentoA interdisciplinaridade com Geografia será contemplada no estudo das coordenadas geográfi-

cas. No sentido mais amplo de localização, você pode explorar os sistemas de localização presentes em guias de cidades, por exemplo.

René Descartes foi filósofo e tem importância significativa para a história do pensamento humano.

Aqui sugerimos a integração com História, que pode mostrar o contexto histórico na época de Descartes e comentar, de forma adequada à faixa etária, as principais ideias dele no campo da Filosofia.

V. SobreasatividadespropostasAtividade7

Você pode solicitar que os alunos localizem e escrevam as coordenadas da capital do estado onde fica a escola, dentro do sistema apresentado.

Atividade14

Seria interessante trazer para a sala de aula um guia da cidade para que os alunos localizem nele o endereço da escola onde estudam e outros lugares importantes como museus, parques etc.

Unidade4–FunçõesI. Objetivogeral

• Estudar a relação entre grandezas por meio de expressões algébricas, tabelas e gráficos.

II. Objetivosespecíficos• Compreender o que é função, identificando suas variáveis e sua lei de formação.

• Determinar e utilizar a lei de formação para construir a tabela de valores da função.

• Escrever a lei de formação a partir da tabela de uma função.

• Analisar e interpretar gráficos, obtendo com base neles informações sobre a função que representam.

• Construir gráficos de funções do 1o e 2o

graus.

III.ComentáriosO trabalho com variáveis e fórmulas desenvolvido a partir do 7o

ano prossegue no 9o ano. As ideias sobre a interdependência entre grandezas foram apresentadas aos poucos, sendo sempre retomadas e ampliadas, para que nesse momento pudesse ser introduzido o conceito de função, mas ainda sem formalismos exagerados. No Ensino Médio, o trabalho com funções deve continuar, portanto não há por que “atropelar” o conteúdo querendo ensinar tudo agora.

Apresentamos a noção de domínio e de imagem de uma função de uma maneira leve e por meio de exemplos somente. Deixamos a notação para o Ensino Médio, destacando apenas o fato de que quando o domínio de uma função não é explicitado, o domínio adotado é o subconjunto mais amplo possível de ® que torne a correspondência possível.



O texto, os exemplos e as atividades têm por objetivo fazer com que o aluno reconheça

uma função e suas variáveis, utilizando as formas de representação das funções para expressar

e analisar variações de grandezas presentes em situações do trabalho, do cotidiano e da própria

Matemática.

Como o assunto apresenta diversidade de aplicações, você pode enriquecer as aulas trazendo

exemplos de funções presentes em contextos mais próximos dos alunos.

Destacamos o trabalho com a leitura de gráficos anterior à construção de gráficos de funções.

Os alunos devem observar as escalas utilizadas em cada eixo, identificar as grandezas envolvidas,

atentar para o tipo de traçado do gráfico, além de saber retirar informações dele.

Propomos que a leitura desse item e a execução de atividades e exercícios sejam feitas em dupla,

para que os alunos possam trocar observações e conclusões.

A construção de gráficos de funções do 1o e 2o graus não se estende muito. Como já dissemos,

o estudo mais aprofundado dessas funções acontece no Ensino Médio, daí optarmos por não tra-

balhar com domínio, imagem, zeros, crescimento e decrescimento etc. Por meio de um exemplo,

explicitamos a relação entre grandezas diretamente proporcionais e a função linear. Outros exemplos

e atividades que trabalhem proporcionalidade e funções podem ser apresentados por você, caso

julgue necessário.

Na construção da parábola que representa uma função quadrática, é conveniente chamar a aten-

ção do aluno para o eixo de simetria e o ponto de vértice, tal como se faz no texto.

<penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/fun_graf.htm>

<www.mais.mat.br/wiki/Funções_-_Ensino_Fundamental>

<nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_191_g_4_t_2.html?from=category_g_4_t_2.html>

<nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_109_g_4_t_2.html?open=activities&from=category_g

_4_t_2.html>

Sugestõesdeavaliação

Há duas ideias para esta unidade:

1) O item “Interpretando gráficos” pode ser desenvolvido em duas aulas, em duplas. Os alunos

leem o texto e ao final da leitura respondem às questões do boxe no caderno. Circulando pela

classe, você faz anotações pontuais de como as duplas se saíram nessa tarefa. Não é necessário

anotar o resultado de todas por enquanto, pois há a segunda etapa, na qual os alunos resolverão

os exercícios desta seção. Na aula seguinte, as duplas e que ainda não foram avaliadas conduzem

a correção dos exercícios no quadro. Mais uma vez você mediará o trabalho solucionando

dúvidas, observando o desempenho das duplas e avaliando mais uma parte da sala. Ao final

da atividade, os alunos compartilham oralmente suas impressões sobre a dinâmica de aula e

listam os aspectos mais importantes do conteúdo visto.



Apresentamos a seguir uma sugestão de ficha de observação que facilitará a avaliação.

Números dos alunos da dupla

Leitura e resolução do

boxe

Resolução dos

exercícios

Correção dos

exercícios

Participação no fechamento da

atividadeObservações

Nota ou

conceito2 A A A

21 A AP AP

14 AP N18 AP A

A: atingiu os objetivos da atividade AP: aproveitamento parcial N: não atingiu os objetivos da atividade

O aluno será avaliado em um ou mais momentos durante a atividade.

2) Na Revista do Professor de Matemática, as autoras Kátia Smole, Marília Centurión e Maria Ignez Diniz apresentam atividades interessantes para o trabalho com gráficos de funções. Reproduzimos aqui as atividades 5, 6, 7 e 8, que podem ser utilizadas como avaliação para esta unidade, aproveitando, inclusive, as ideias expostas anteriormente.

Na atividade 7 seria interessante apresentar dados atualizados.

“ATIVIDADE5

Determinar os gráficos das leis que a cada número natural n associam mdc (2, n) ou mdc (5, n) explorando o conceito de função periódica.

Saídamdc (2, n)

Entrada

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

DAE

Saídamdc (5, n)

Entrada

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

DAE

ATIVIDADE6

Feito o estudo de área e perímetro do quadrado, podemos propor que, a partir do quadrado de lado 1 unidade, o aluno construa a seguinte tabela:

Medida do lado () 1 2 3Perímetro (P 5 4 ) 4 8

Área (A 5 ²) 1 4

Pronta a tabela, a próxima etapa é representar ambos os valores (da área e do perímetro) para cada valor do lado num mesmo par de eixos.

Unindo os pontos obtidos teremos um gráfico compa-rativo da evolução do perímetro e da área de um quadrado, a partir da medida de seu lado.

Podemos colocar as seguintes questões:

O que é maior – a área ou o perímetro de um quadrado?

Observando o ponto Q, que conclusões podemos tirar?

Q

25

20

16

12

98

41

1 2 3 4 5

DAE

área perímetro



ATIVIDADE7

Observando o gráfico, responda:

a) Do que trata o gráfico?

b) De 1970 a 1990 o desmatamento em Rondônia aumen-tou ou diminuiu?

c) Qual a porcentagem aproximada da área desmatada en-tre 1980 e 1985?

d) Se tudo continuar assim, em 1990 qual será, aproxima-damente, a porcentagem da área desmatada?

e) Em que ano a área desmatada atingiu 10%?

f) Por que entre 1970 e 1975 o gráfico está tão próximo à linha onde estão marcados os anos?

g) Qual o valor máximo que a porcentagem da área desma-tada poderá atingir?

ATIVIDADE8

Observe os gráficos de consumo anual de chicletes das marcas ‘Boa Bola’ e ‘Gruda Bem’:

Gruda BemVenda em milhares

70

20

1985 1988 Ano

DAEBoa BolaVenda em

milhares 70

20

1985 1988 Ano

DAE

Qual a marca mais vendida? Por quê?

Esses dois gráficos analisam situações semelhantes. No entanto, a mudança de escala em um dos eixos induz à falsa impressão de que o chiclete ‘Boa Bola’ foi mais consumido que o outro.”

SMOLE, K. C. S.; CENTURIÓN, M. R.; DINIZ, M. I. de S. V.

A interpretação gráfica e o ensino de funções. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 14, p. 5 e 6, 1989.

IV.IntegraçãocomoutrasáreasdoconhecimentoO estudo das funções pode envolver atividades relacionadas a várias disciplinas.

Uma ideia é montar, com o professor de Ciências ou de Física, uma atividade experimental que trabalhe grandezas diretamente proporcionais e função linear. Por exemplo, um estudo de movimento retilíneo uniforme, no qual se observe a variação da posição de um móvel em função do tempo. Sempre é possível improvisar, usando um pedaço de mangueira transparente, graduada em centímetros, um cronômetro ou relógio e um tatuzinho de jardim para percorrer, provavelmente em velocidade constante, a trajetória determinada pela mangueira. Os alunos devem anotar em uma tabela a posição do tatuzinho a cada intervalo de tempo e depois traçar o gráfico da função, verificando se há proporcionalidade direta entre espaço e tempo e tentando determinar a lei de formação da função.

desmatamento em rondônia

Folha de S.Paulo, 12.02.89.

20

15

10

5

01970 1975 1980 1985 1990

% de área desmatada

DAE



Unidade5–NoçõesdeprobabilidadeI. Objetivosgerais

• Ampliar as habilidades de cálculo combinatório.

• Levar o aluno a descobrir que é possível associar a cada evento um número que expresse a chance ou probabilidade de sua ocorrência.

• Relacionar cálculo de probabilidades com Estatística.

II. Objetivosespecíficos• Calcular a probabilidade de ocorrência de alguns eventos por meio da razão:

número de possibilidades favoráveisnúmero total de possibilidades

• Identificar população e amostra.

• Elaborar, aplicar e analisar uma pesquisa estatística simples.

III.ComentáriosApresentamos o conceito de probabilidade de ocorrência de um evento a partir de uma situação

contextualizada. A unidade pode ser iniciada com a leitura dessa situação. Permita que os alunos reflitam e expressem suas ideias sobre a pergunta que encerra a página 133: “Como expressar mate-maticamente que, nessa situação, as chances de Rogério ganhar são maiores?”.

O questionamento pode incluir perguntas do tipo: “Embora Rogério tenha maior chance, pode-mos afirmar que ele ganhará?”. Em seguida, com base nas reflexões dos alunos, você organiza o que foi discutido, encerrando a leitura e concluindo as ideias.

Consideramos importante a atividade do boxe da página 135 para complementar a leitura do texto. A experiência concreta ajuda na compreensão do conceito de probabilidade.

Trabalhamos nos volumes anteriores com problemas simples de contagem. Nesta unidade, os alunos perceberão que é preciso saber contar com outros recursos (montar tabelas, diagramas de árvore etc.) para poder calcular a probabilidade de ocorrência de um evento.

O texto sobre a história dos seguros pretende ressaltar como as relações entre a estatística e o cálculo de probabilidades se estabeleceram desde tempos muito remotos.

<www.cienciamao.usp.br/dados/t2k/_matematica_mat2g53.arquivo.pdf>


<www.cvtv.pt/home/pesquisa.asp?id_ndeo=54>

SugestãodeavaliaçãoA atividade descrita a seguir possibilita avaliar conteúdo, expressão oral e escrita, além de

aspectos atitudinais.

Atividade

Os alunos podem formar grupos de quatro integrantes, que devem estar munidos de dois dados e algumas moedas de R$ 0,50 ou de R$ 1,00. Trabalhar com o material concreto possibilitará que os alunos vivenciem os experimentos, podendo visualizar melhor os resultados possíveis.



Cada item sugerido envolve um experimento com moeda e um com dado. O grupo, antes de

realizar o experimento, discute os eventos, analisando qual deve ter maior probabilidade de ocorrer,

justificando a resposta. Em seguida, explicitam os resultados possíveis e calculam a probabilidade de

ocorrer o evento descrito. Você mediará as atividades, observando, questionando e orientando as

discussões e os registros. Além de avaliar os alunos durante as atividades, no final pode-se também

recolher os registros dos grupos.

• Experimento1:

Moeda: obter cara no lançamento de uma moeda.

Dado: obter o número 5 no lançamento de um dado.

• Experimento2:

Moeda: obter coroa no lançamento de uma moeda.

Dado: obter um número ímpar no lançamento de um dado.

• Experimento3:

Moeda: obter duas caras ou duas coroas no lançamento simultâneo de duas moedas.

Dado: obter um número menor que 5 no lançamento de um dado.

• Experimento4:

Moeda: obter três caras no lançamento simultâneo de três moedas.

Dado: obter faces iguais no lançamento simultâneo de dois dados.

• Experimento5:

Moeda: obter duas caras e uma coroa no lançamento simultâneo de três moedas.

Dado: obter soma de pontos maior que 6 no lançamento simultâneo de dois dados.

IV.IntegraçãocomoutrasáreasdoconhecimentoAs probabilidades estão presentes em vários campos da atividade humana. Você pode mostrar

aplicações verificáveis no cotidiano de seus alunos. Um exemplo que costuma interessá-los: a proba-

bilidade de determinado time vencer um campeonato de futebol.

No Livro do Aluno, enfocamos as aplicações nos ramos dos seguros e no cálculo da probabilidade

de acidentes fatais no trânsito.

A SeçãoLivredas páginas 145 a 148 tem como tema a PNAD (Pesquisa Nacional por Amos-

tra de Domicílio), apresentando-a como exemplo de pesquisa estatística importante para o país.

O texto é permeado por atividades que podem ser realizadas em duplas, para que discutam não

só as respostas, mas também os dados brasileiros relativos a saneamento, alfabetização, empre-

go e posse de bens duráveis. O tema pode ser ampliado para outros aspectos caso seja possível

uma parceria com o professor de Geografia, por exemplo. Nesse caso, sugerimos trabalhar com

os dados numéricos acerca dos oito objetivos do milênio (há um texto sobre estes objetivos na

página 147), ou ainda com os dados do Censo 2010. Um trabalho como este certamente contribui

para a formação cidadã.

A SeçãoLivrese encerra convidando os alunos a fazer uma pesquisa estatística sobre um tema

de sua escolha, envolvendo escolha da amostra, entrevistas, coleta e organização de dados, análise

dos resultados e encaminhamento de possíveis ações.



V.TextocomplementarparaoprofessorO texto a seguir, proposto como leitura complementar, apresenta um jogo chamado Mini-Bozó

para desenvolver a ideia clássica de probabilidade. Além de propor o jogo e explicar minuciosa-mente seus passos, o autor explica brevemente o que é a concepção clássica de probabilidade e, ao final, enumera e comenta vários conceitos que podem ser tratados em sala de aula com o auxílio do jogo proposto.

UmaPropostaDidático-PedagógicaparaoEstudodaConcepçãoClássicadeProbabilidade

1 Introdução

“A concepção clássica de probabilidade é atribuída a Laplace (1749-1827). Entretanto,[...] a definição de probabilidade como quociente do número

de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis foi a primei-ra definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Liber de Ludo Aleae de Jerônimo Cardano

(1501-1576)” (MORGADO et al., 2004, p. 119).

A definição de probabilidade de Laplace é válida somente quando o Espaço Amostral possui um número finito de elementos e os Eventos Elementares são equiprováveis, ou seja, possuem a mesma probabilidade de ocorrência. A concepção clássica de probabilidade possui forte conexão com o raciocínio combinatório. Os Standards (NCTM, 1989) recomendam o seguinte procedi-mento combinatório para que os alunos compreendam matematicamente a origem e aprendam o conceito implícito na definição laplaciana de probabilidade: construir uma tabela ou diagrama de árvore, fazer uma lista e usar um simples procedimento de contagem.

A capacidade combinatória é fundamental para o raciocínio hipotético -dedutivo, o qual ope-ra pela combinação e avaliação das possibilidades em cada situação, e emerge simultaneamente após a idade de 12 a 13 anos, no chamado Estado das Operações Formais da teoria Piagetiana (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e GODINO, 1996).

Para o Ensino Fundamental e Médio, uma outra concepção de probabilidade que pode e deve ser trabalhada é a frequentista, ou seja, a definição de probabilidade obtida por um processo de experimentação e simulação.

Coutinho (2001) mostrou a importância de se trabalhar com a dualidade dos enfoques para a noção de probabilidade, combinatório 3 frequentista, ou seja, oferecer aos alunos situações--didáticas que envolvam problemas, que devem ser resolvidos experimentalmente (simulação), e validados pelo cálculo a priori de uma probabilidade pela definição laplaciana. Assim, os alunos podem construir passo a passo o conceito de probabilidade.

De nossa experiência com professores do Ensino Fundamental e Médio em cursos de formação continuada, em cursos de especialização, em minicursos apresentados em congressos científicos e em projetos de pesquisa desenvolvidos diretamente com estes professores, constatamos que a maioria deles considera difíceis os conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidade. Isto corro-bora o estabelecido no Caderno do Professor, elaborado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo: ‘os conteúdos pertinentes à Análise Combinatória e ao Cálculo de Probabilidades, [...] costumam trazer desconforto não apenas aos estudantes, mas também aos professores’ (SÃO PAULO, 2008, p. 9).



2 Uma proposta construtivista para o uso de jogos em sala de aula

Com base nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, 2000); nas etapas da ação construtivista de Macedo, Petty e Passos (2000) para o trabalho com jogos; nos momentos de intervenção pedagógica com jogos, de Grando (2000); no esquema de aula de Onuchic (1999) sobre o uso da resolução de problemas; no relato de experiência de Borin (2004) sobre o uso de jogos através da metodologia de Resolução de Problemas e na asserção de Moura (1992) sobre a possibilidade da união entre o jogo e a resolução de problemas, propomos, a seguir, uma inter-venção didático-pedagógica para a utilização de um jogo, associada à metodologia de resolução de problemas, para a construção de um conceito matemático. [...]

2.1 O jogo Mini-Bozó

O jogo proposto é original, utiliza dois dados, e pode ser disputado por vários jogadores. É uma simplificação de um jogo bastante popular no estado do Mato Grosso do Sul conhecido como Bozó. A simplificação efetuada foi motivada pelo fato de que nosso objetivo é utilizar o jogo para ensinar conceitos básicos (iniciais) de Probabilidade, o que não seria adequado através do jogo Bozó, tendo em vista que este utiliza cinco dados. O leitor interessado poderá conhecer as regras do jogo Bozó em Brasil (2010).

Objetivo: preencher todo o tabuleiro, de modo a obter mais pontos que o(s) adversário(s).

Material: dois dados de cores diferentes (vermelho e branco), um copo não transparente, papel e caneta para registro dos pontos e um tabuleiro para cada jogador.

Regras:

1. Pode ser disputado por duas pessoas ou mais, não existe limite no número de jogadores, mas um número excessivo de jogadores influencia no tempo do jogo.

2. Em cada jogada, o jogador poderá efetuar até dois lançamentos. O primeiro lançamento é feito sempre com os dois dados. Se o jogador optar pelo segundo lançamento, poderá fazê-lo novamente com os dois dados ou reservar um dos dados, e efetuar o segundo lançamento com apenas um dado.

3. Em toda jogada, o jogador deve, obrigatoriamente, marcar uma casa do seu tabuleiro. Caso não exista possibilidade de marcação ele deve cancelar uma das casas ainda não marcada, fazendo um X sobre a casa que escolheu. Cada casa só pode ser marcada ou cancelada uma única vez.

4. O jogo termina quando todos os jogadores preencherem suas casas em seus respectivos ta-buleiros. Cada jogador soma seus pontos, e ganha aquele que obteve a maior pontuação.

O tabuleiro:

Fú

Seguida

Quadrada

General

Figura 1 — Tabuleiro do Jogo Mini-Bozó

DAE



A pontuação:

Fú: duas faces distintas, mas não em sequência, valem a soma das faces.

Seguida: duas faces distintas em sequência valem 20 pontos.

Quadrada: duas faces iguais, mas diferentes de 6, valem 30 pontos.

General: duas faces iguais a 6 valem 50 pontos.

Quando se obtém Seguida, Quadrada ou General no primeiro lançamento, é dito – de boca – e adicionam-se 5 pontos ao valor original da casa. Por exemplo, se o jogador conseguir Quadrada no seu primeiro lançamento, chama-se Quadrada de boca e marca-se 35 pontos ao invés de 30.

Comentários sobre o jogo:

Consideramos o jogo Mini-Bozó como sendo um Jogo de Estratégia, mas não no sentido defini-do em Borin (2004, p. 15). Como o jogo utiliza dado, então, o fator sorte não pode ser totalmente desprezado. Também, é impossível a determinação de uma estratégia sempre vitoriosa. Assim, o jogo nunca perde o sentido como jogo, e cada partida será, provavelmente, diferente da anterior. Toda jogada é pontuada, entretanto se a casa correspondente àquela pontuação já estiver marcada, a pontuação deve ser desconsiderada e deve-se cancelar uma casa fazendo um X sobre a casa esco-lhida. Como o tabuleiro é composto de 4 casas, então, cada jogador efetua exatamente 4 jogadas, pois em cada jogada ele marca ou cancela uma das casas do seu tabuleiro. A estratégia pode variar, dependendo da posição de momento do jogo. Por exemplo, na primeira jogada, com todas as casas desmarcadas, se o jogador obteve (2, 6) no seu primeiro lançamento, então, a melhor estratégia será reservar o dado com a face 6 e lançar novamente o outro dado. Agora, nesta mesma situação, se o objetivo do jogador for obter a casa Seguida, a melhor estratégia será reservar o dado com a face 2, pois neste caso terá duas chances em 6 de obter Seguida, ou seja, obter as faces 1 ou 3, enquanto que se reservar o dado com a face 6 terá apenas uma chance em 6 de obter, ou seja, obter a face 5. Quando da necessidade de se cancelar uma casa, a melhor estratégia pode não ser cancelar as casas mais difíceis (com menor probabilidade de ocorrerem), isto depende da pontuação já obtida pelo(s) outro(s) jogador(es). Obviamente, na casa cancelada o jogador marcará zero ponto.

No jogo Mini-Bozó, cada jogador, em cada jogada, poderá efetuar até dois lançamentos. Para o primeiro lançamento, o jogador sempre utiliza os dois dados, o que corresponde ao Experimento Aleatório jogar dois dados simultaneamente e observar as faces superiores. Podemos considerar cada resultado possível desse experimento aleatório como sendo um par ordenado de números (a, b) em que a representa o resultado no dado vermelho e b o resultado no dado branco. Assim, teremos o Espaço Amostral, que será denotado por S, constituído dos seguintes 36 elementos: S 5 {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}. Agora, para o segundo lançamento, o jogador terá a opção de utilizar os dois dados novamente ou reservar um dos dados e fazer o lançamento de apenas um deles. Neste caso, se utilizar os dois dados, teremos para este segundo lançamento o mesmo Espaço Amostral S

1 do primeiro lançamento e, se utilizar apenas um dado, teremos o

Espaço Amostral S1 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} que corresponde ao Experimento Aleatório jogar um dado

e observar a face superior.

Na sequência, e para a resolução dos problemas, quando dizemos que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó estamos considerando o Experimento Aleatório que consiste de um único lançamento dos dois dados, ou seja, estamos considerando o Espaço Amostral S.



Depois de realizado o jogo, o professor pode fazer os questionamentos abaixo.

O jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento?

O jogador terá mais chances em marcar a casa Quadrada do que a Seguida?

3 Espaço Amostral, Evento e Definição Clássica de Probabilidade

Formulamos, a seguir, algumas situações-problema que poderão ser utilizadas para a siste-matização do conceito de probabilidade na concepção de Laplace. Vamos supor na sequência a utilização de dois dados com faces equiprováveis. Para cada um dos problemas, fornecemos uma sugestão de solução que pode ser utilizada pelo professor.

Para a solução dos problemas, os alunos deverão utilizar-se de sua própria linguagem. Não devemos exigir neste momento nenhum formalismo ou rigor característico da Matemática. O im-portante é que os alunos apreendam e reconstruam o conceito matemático. Apenas no final dos trabalhos de cada seção é que o professor deverá sistematizar o novo conceito estudado. É conve-niente privilegiar, também, o trabalho e as discussões das soluções apresentadas entre os grupos.

Problema 1: Quais são os pontos possíveis para a casa Fú?

Solução:

Independentemente do fato do jogador ter utilizado um ou dois lançamentos, são válidos para a casa Fú os casos onde as duas faces são distintas, mas não em sequência, ou seja, (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (6; 1), (6; 2), (6; 3) ou (6; 4).

Como para a casa Fú vale a soma das faces, podemos obter, neste caso, as seguintes pontu-ações: 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10. Portanto, a casa Fú poderá receber uma pontuação mínima de 4 e máxima de 10 pontos.

Problema 2: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar a casa Fú? Justificar sua resposta.

Solução:

Temos neste caso os 36 resultados possíveis descritos no Espaço Amostral S. Da solução do problema 1, o jogador marca a casa Fú se ocorrer um dos seguintes 20 casos: (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (6; 1), (6; 2), (6; 3) ou (6; 4). Portanto, o jogador terá 20 chances em 36 de marcar a casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó.

O professor deve explorar o fato de que, quando lançamos dois dados (Experimento Aleatório), não sabemos qual resultado irá ocorrer. Entretanto, sabemos quais serão os resultados possíveis (Es-paço Amostral). A representação de todos os resultados possíveis em uma tabela de dupla entrada é bastante conveniente. A utilização da árvore de possibilidades também deve ser incentivada.

Problema 3: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar 5 pontos na casa Fú? Justificar sua resposta.

Solução:

De maneira análoga ao problema 2, temos que o jogador marcará 5 pontos nos 2 seguintes casos: (1; 4) ou (4; 1). Portanto, o jogador terá 2 chances em 36 de marcar 5 pontos na casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó.

Problema 4: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar 7 pontos na casa Fú? Justificar sua resposta.



Solução:

Ainda da solução do problema 2, temos que o jogador marcará 7 pontos nos seguintes 4 casos: (1; 6), (6; 1), (2; 5) ou (5; 2). Portanto, o jogador terá 4 chances em 36 de marcar 7 pontos na casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó.

Das soluções dos problemas 3 e 4 concluímos que se o jogador utilizar apenas o primei-ro lançamento do jogo Mini-Bozó será mais provável marcar 7 do que 5 pontos na casa Fú. Quando da realização do 1o momento da intervenção pedagógica, ou seja, da Utilização do Jogo, os alunos deverão perceber que algumas pontuações da casa Fú ocorrem com maior frequência do que outras. Isto pode ser explorado pelo professor e significa que, intuitiva-mente, já estamos trabalhando o conceito de probabilidade. O problema a seguir também tem este mesmo objetivo.

Problema 5: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, ele terá mais chances em marcar a casa Seguida do que a Quadrada? Justificar sua resposta.

Solução:

(a) Para marcar a casa Seguida o jogador deverá obter um dos seguintes casos: (1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6) ou (6; 5). Assim, terá 10 chances em 36 para marcar a casa Seguida, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó.

(b) Para marcar a casa Quadrada o jogador deverá obter um dos seguintes casos: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) ou (5; 5). Assim, terá 5 chances em 36 para marcar a casa Quadrada, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó.

Portanto, de (a) e (b) concluímos que o jogador terá mais chances de marcar a casa Seguida, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó.

Para as resoluções dos problemas 2, 3, 4 e 5 podemos observar que, intuitivamente, já esta-mos calculando a probabilidade (chance) como:

probabilidade 5 número de possibilidades favoráveisnúmero total de possibilidades

,

ou seja, estamos utilizando a resolução dos problemas para que os alunos possam construir/re-construir a Concepção Clássica de Probabilidade.

Após o trabalho com problemas, como os acima mencionados, o professor poderá iniciar a sistematização dos conceitos de Experimento Aleatório, Evento, Espaço Amostral, Evento Ele-mentar e apresentar a Definição de Probabilidade de Laplace (6o momento da intervenção peda-gógica). Todos estes conceitos já foram trabalhados nas soluções dos problemas, entretanto, em nenhum momento foram mencionados. Para este nível de escolaridade os PCN recomendam que se deve evitar a teorização precoce.

A partir da sistematização dos conceitos outros problemas podem ser trabalhados como forma de reter os conceitos matemáticos estudados (7o momento da intervenção pedagógica). Agora, os nomes dos conceitos, já definidos, devem ser utilizados e reforçados pelo professor. Os alunos devem se acostumar com as novas nomenclaturas: evento, espaço amostral e proba-bilidade. O termo probabilidade irá aparecer pela primeira vez no problema 6.



4 Probabilidade da união de dois eventos

O objetivo desta seção é calcular a probabilidade da união de dois eventos e mostrar que seu cálculo está relacionado à soma de probabilidades. Inicialmente, consideramos o caso de eventos mutuamente exclusivos e, posteriormente, o caso geral.

Problema 6: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Seguida ou a casa Quadrada?

Solução:Vamos considerar os seguintes eventos:

A: O jogador marcou a casa Seguida no seu primeiro lançamento;

B: O jogador marcou a casa Quadrada no seu primeiro lançamento.

Desejamos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A ou ocorrer o evento B. Utilizando a notação da Teoria de Conjuntos desejamos calcular P(A B).

Agora,

A 5 {(1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5)} tem 10 elementos e

P(A) 5 1036

;

B 5 {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} tem 5 elementos e P(B) 5 536

e

A B 5 {(1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5), (1; 1), (2; 2), (3; 3),

(4; 4), (5; 5)} tem 15 elementos e P(A B) 5 1536

.

Assim,

P(A B) 5 1536

5 1036

1 536

5 P(A) 1 P(B).

A propriedade P(A B) 5 P(A) 1 P(B) não se verifica apenas para o problema 6. Esta relação se verifica sempre que os eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, A B 5 ∅. Na Con-cepção Axiomática de Probabilidade, o matemático Kolmogorov estabeleceu esta propriedade como sendo um de seus axiomas.

Axioma: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A B) 5 P(A) 1 P(B).

Devemos observar que, como os eventos A e B são eventos do mesmo espaço amostral S, então A B também é um evento de S, onde S 5 {(1; 1), (1; 2), ..., (1; 6), (2; 1), ..., (6; 6)} possui 36 elementos.

Em linhas gerais, quando podemos satisfazer uma exigência ou outra, então somamos as probabilidades envolvidas. O professor deve, neste caso, destacar o papel do ou.

Problema 7: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar na casa Fú um número par ou um número menor do que 7?

Solução:

Vamos considerar os dois seguintes eventos:

A: O jogador marcou um número par na casa Fú em seu primeiro lançamento;

B: O jogador marcou um número menor do que 7 na casa Fú em seu primeiro lançamento.

De modo análogo ao problema 6 desejamos calcular P(A B).

Para marcar um número par na casa Fú o jogador deverá obter: 4, 6, 8 ou 10 pontos. Assim,

A 5 {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1), (2; 6), (3; 5), (5; 3), (6; 2), (4; 6), (6; 4)} que tem

12 elementos e P(A) 5 1236

.



Para marcar um número menor do que 7 na casa Fú o jogador deverá obter: 4, 5 ou 6 pontos. Assim,

B 5 {(1; 3), (3; 1), (1; 4), (4; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1)} que tem 8 elementos e P(B) 5 836

.

Agora, A B 5 {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1), (2; 6), (3; 5), (5; 3), (6; 2), (4; 6), (6; 4),

(1; 4), (4; 1)} que tem 14 elementos e P(A B) 5 1436

e A B 5 {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4),

(4; 2), (5; 1)} que tem 6 elementos e P(A B) 5 636

.

Assim,

P(A B) 5 1436

5 1236

1 836

2 636

5 P(A) 1 P(B) 2 P (A B) .

A propriedade P(A B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P (A B) não se verifica apenas para o problema 7. É uma propriedade geral que pode ser demonstrada matematicamente para o cálculo da pro-babilidade da união de dois eventos quaisquer. Veja, por exemplo, Morgado et al. (2004) para uma prova desta propriedade. Se os eventos são mutuamente exclusivos, então, A B 5 ∅ e P(A B) 5 0, ou seja, recaímos no caso anterior do problema 6.

5 Probabilidade Condicional

O cálculo de probabilidades condicionais está relacionado ao cálculo da probabilidade de um evento ocorrer sabendo-se que outro evento já ocorreu a priori. O conceito de Probabilidade Condicional poderá ser sistematizado através do trabalho com situações-problema como as con-sideradas abaixo.

Problema 8: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada, sabendo-se que ele obteve em pelo menos um dos dois dados uma face 5?

Solução:

No primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, o jogador utiliza os dois dados e temos o Espaço Amostral S constituído de 36 resultados possíveis. Agora, como nos foi fornecida a informação de que o jogador obteve em pelo menos um dos dois dados a face 5, então um dos possíveis 11 casos deve ter ocorrido: {(1; 5), (5; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}.

Assim, como dentre os 11 casos possíveis apenas no caso (5; 5) o jogador marcará a casa

Quadrada, então a probabilidade pedida será p 5 111

.

A representação do Espaço Amostral S, dos 11 casos possíveis: {(1; 5), (5; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}, e do caso favorável (5; 5) num eixo cartesiano pode facilitar a compreensão do conceito de Probabilidade Condicional.

Problema 9: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada, sabendo-se que a soma das faces obtidas foi igual a sete?

Solução:

De maneira análoga ao problema 8, sabendo-se que a soma das faces é 7, então um dos 6 possíveis casos deve ter ocorrido: {(1; 6), (6; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 4), (4; 3)}. Assim, não existe neste caso a possibilidade do jogador marcar a casa Quadrada, ou seja, não ocorrem faces iguais quan-do a soma é sete. Portanto, a probabilidade pedida será dada por p 5 0.



Problema 10: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada, sabendo-se que obteve números ímpares nas faces dos dois dados?

Solução:

Da mesma forma que no problema 8, temos que um dos 9 possíveis casos ocorreu: {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)}. Assim, o jogador marcará a casa Quadrada quando obtém um dos três seguintes casos: (1; 1) ou (3; 3) ou (5; 5). Portanto, a probabilidade

pedida será dada por p 5 39

5 13

.

Devemos observar que, nos três problemas anteriores, estamos sempre calculando a proba-bilidade do jogador, em seu primeiro lançamento, marcar a casa Quadrada no jogo Mini-Bozó. Entretanto, a informação fornecida a priori, altera o valor da probabilidade. O cálculo da pro-babilidade está condicionado à informação disponível a priori. Esta é a essência do conceito de Probabilidade Condicional, ou seja, a probabilidade de um evento é modificada pela informação de que outro evento já tenha ocorrido.

Depois do trabalho com situações-problema do tipo dos problemas 8, 9 e 10, o professor, certamente, terá mais facilidade para sistematizar o conceito de Probabilidade Condicional.

No problema 10, definimos os eventos:

A: O jogador marcou a casa Quadrada;

B: O jogador obteve números ímpares nas faces dos dois dados.

Desejamos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se que o evento B já ocorreu. O professor deve mencionar a necessidade de outra notação para indicar esta probabi-lidade; temos, agora, dois eventos envolvidos. A notação comumente utilizada é P(A | B) (leia-se probabilidade de A dado B).

Temos que B 5 {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)} tem 9 elementos.

Assim, P(B) 5 936

.

Agora, A 5 {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} e A B 5 {(1; 1), (3; 3), (5; 5)} tem 3 elementos.

Assim, P(A B) 5 336

.

Desses cálculos, e observando o resultado do problema 10, obtemos:

P(A | B) 5 39

5

3369

36

5 P(A B) P(B)

.

Assim, obtivemos a relação: P(A | B) 5 P(A B)P(B)

, a qual não se verifica apenas para o caso

particular do problema 10. Na verdade, essa relação é a definição de probabilidade condicional (MORGADO et al., 2004). Para obtermos consistência na definição de Probabilidade Condicional exigimos que P(B) > 0.

Segundo Meyer (1976, p. 39), ‘sempre que calcularmos P(A | B), estaremos essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S’.



Após a sistematização do conceito, com a apresentação de sua definição e algumas proprie-dades básicas, pode-se, então, resolver outros problemas com o objetivo de fortalecer o apren-dizado de técnicas e fixar o conceito de Probabilidade Condicional. Neste momento, deve-se privilegiar a utilização do conceito estudado através do uso de suas fórmulas e propriedades e do rigor característicos da matemática.

6 Eventos Independentes

O problema 11 pode ser utilizado para sistematizar o importante conceito de eventos inde-pendentes.

Problema 11: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa General?

Solução:

O jogador marca a casa General no primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó se consegue o resultado (6; 6) em um único e simultâneo lançamento dos dois dados, isto ocorre com probabi-

lidade p 5 136

, ou seja, um caso favorável em 36 casos possíveis (S).

Outra solução:

Consideremos os seguintes eventos:

A: O jogador obtém a face 6 no dado vermelho;

B: O jogador obtém a face 6 no dado branco.

Para o jogador marcar a casa General no primeiro lançamento, deve obter a face 6 no dado ver-

melho e também obter a face 6 no dado branco. Temos, então, a probabilidade p 5 16

3 16

5 136

.

Assim P(A B) 5 136

.

Temos ainda que P(A) 5 P(B) 5 16

.

Portanto,

P(A B) 5 136

5 16

3 16

5 P(A) P(B).

Concluímos, então, que neste caso, P(A B) 5 P(A) P(B). Em termos de probabilidade con-dicional obtemos que:

P(A | B) 5 P(A B)

P(B) 5 P(A) P(B)

P(B) 5 P(A)

ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B é igual à probabili-dade de A. Assim, a ocorrência do evento B não interfere sobre a ocorrência ou não do evento A. Se P(A B) 5 P(A) P(B) os eventos A e B são chamados Eventos Independentes. De maneira análoga, se A e B são eventos independentes, então P(B | A) 5 P(B).

Para marcar a casa General o jogador deverá obter a face 6 no dado vermelho e a face 6 no dado branco; observa-se o destaque dado ao e. Em linhas gerais, quando duas ações sucessivas devem ser satisfeitas, então multiplicamos as probabilidades envolvidas.

7 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes

Os problemas desta seção podem ser utilizados para a sistematização de dois importantes teoremas da teoria de probabilidades, a saber: o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes. Esses teoremas envolvem os conceitos de soma e produto de probabilidades bem como o conceito de Probabilidade Condicional.



Problema 12: Qual a probabilidade do jogador marcar a casa Quadrada no jogo Mini-Bozó?

Solução:

Neste caso, o jogador dispõe de até dois lançamentos e utilizará ou não o seu possível segun-do lançamento, dependendo dos pontos que obteve no primeiro. Como o objetivo do jogador é marcar a casa Quadrada, dois casos devem ser considerados:

(a) obtém (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) ou (5; 5) no primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó.

Temos neste caso a probabilidade p1 5 5

36.

(b) obtém faces distintas no primeiro lançamento do jogo. Reserva um dos dados e lança novamente o outro dado, obtendo a mesma face do dado já reservado. Temos, neste caso, a

probabilidade p2 5 30

36 3

16

.

Portanto, se ocorrer o caso (a) ou (b) o jogador marcará a casa Quadrada. Assim, a probabili-

dade pedida será: p 5 p1 1 p

25

536

1 3036

3 16

5 60216

0,27777 ou 27,78%.

Observar que no caso (a) do problema 12 não consideramos o caso (6; 6), nesta situação o jogador marcará a casa General e não a Quadrada. Ainda no caso (a) devemos observar que como o jogador já marcou a casa Quadrada em seu primeiro lançamento com os dois dados, então, ele não usará o seu possível segundo lançamento nesta jogada do jogo Mini-Bozó.

Problema 13: Qual a probabilidade do jogador marcar a casa General no jogo Mini-Bozó?

Solução:

Como o objetivo do jogador é marcar a casa General, três casos devem ser considerados:

(a) obteve duas faces 6 no seu primeiro lançamento, ou seja, obteve (6; 6). Temos, neste caso,

a probabilidade p1 5 1

36.

(b) obteve uma face 6 no primeiro lançamento, ou seja, obteve um dos 10 seguintes resultados: (1; 6), (6; 1), (2; 6), (6; 2), (3; 6), (6; 3), (4; 6), (6; 4), (5; 6) ou (6; 5). Reserva o dado com a face 6.

Lança o outro dado e obtém a face 6. Temos, neste caso, a probabilidade p2 5 10

36 3

16

.

(c) não obteve a face 6 no primeiro lançamento, ou seja, obteve um dos 25 seguintes resulta-dos: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4) ou (5; 5). Lança novamente os

dois dados e obtém (6; 6). Temos, neste caso, a probabilidade p3 5 25

36 3

136

.

Portanto, se ocorrer o caso (a) ou (b) ou (c) o jogador marcará a casa General. Assim, a proba-bilidade pedida será:

p 5 p1 1 p

2 1 p

3 5

136

1 1036

3 16

1 2536

3 136

5 1211 296

0,09336 ou 9,34%.

Outra solução:

Definimos os seguintes eventos:

B: O jogador marcou a casa General no jogo Mini-Bozó;

A1: O jogador marcou a casa General no seu primeiro lançamento;

A2: O jogador obteve uma face 6 no seu primeiro lançamento;

A3: O jogador não obteve a face 6 em seu primeiro lançamento.



Assim,

P(B) 5 P(A1 B)

1 P(A

2 B)

1 P(A

3 B)

5 P(A1) P(B | A

1) 1 P(A

2) P(B | A

2) 1 P(A

3) P(B | A

3)

5 1

36 3 1 1 10

36 3 1

6 1 25

36 3 1

36 5 121

1 296 0,09336 ou 9,34%.

Usamos na segunda igualdade a definição de Probabilidade Condicional, observando que P(B | A

1) 5 1, pois se o jogador marcou a casa General em seu primeiro lançamento, então não

usará o seu possível segundo lançamento.

Após o trabalho com situações-problema do tipo dos problemas 12 e 13, o professor poderá ter mais facilidade para sistematizar o seguinte teorema (MORGADO et al., 2004).

Teorema 1. (Teorema da Probabilidade Total)

Se B é um evento contido numa união de eventos disjuntos A1, A

2, ..., A

n e P(A

1) > 0, P(A

2) > 0,

..., P(An) > 0, então

P(B) 5 P(A1) P(B | A

1) 1 P(A

2) P(B | A

2) 1 ... 1 P(A

n) P(B | A

n).

Problema 14: Qual a probabilidade do jogador não ter obtido nenhuma face 6 no seu primei-ro lançamento, sabendo-se que ele marcou a casa General?

Solução:

Considerando-se os mesmos eventos definidos no problema 13, desejamos agora calcu-lar P(A

3 | B). Assim,

P(A3 | B) 5

P(B A3) P(B)

5 P(A3) P(B | A3)

P(B) 5

2536

3 136

0,09336 0,20662 20,66%.

As duas primeiras igualdades da relação anterior seguem diretamente da definição de Pro-babilidade Condicional. Na solução do problema 14, utilizamos o seguinte e importante teorema (MORGADO et. al., 2004).

Teorema 2. (Teorema de Bayes)

Nas condições do teorema 1, se P(B) > 0, então, para i, i 5 1, 2, ..., n,

P(Ai | B) 5

P(Ai) P(B | A

i)

P(A1) P(B | A

1) 1 P(A

2) P(B | A

2) 1 ... 1 P(A

n) P(B | A

n)

”

LOPES, J. M. Uma proposta didático-pedagógica para o estudo da concepção

clássica de probabilidade. Bolema. Rio Claro (SP), v. 24, n. 39, p. 608-609; 611-625, ago., 2011.

VI. Sobre as atividades propostasBoxe da página 135

Esta atividade experimental ajuda a compreender a ideia de chance. Se não for viável realizá-la em classe, peça para que cada aluno faça os lançamentos em casa e traga a tabela já preenchida. Durante a aula eles podem socializar seus resultados e respostas e então juntar os dados obtidos pela classe como um todo.



Atividade 6Se possível peça para que vários alunos levem dois dados para esta aula. Monte a tabela no qua-

dro e a preencha com ajuda deles. Em geral, a atividade surpreende os alunos – muitos acham que as probabilidades são as mesmas. Você pode em seguida montar uma tabela que explore o produto dos pontos obtidos: qual a probabilidade de o produto ser par, de o produto ser maior do que 10 etc.

Seção livre da página 147Uma ideia que pode complementar as atividades sobre o PNAD: pesquisar dados atuais sobre os

objetivos do milênio no ano em curso: quais estão próximos de serem alcançados? Quais precisam de maior investimento? Como está o Brasil em cada um deles?

Unidade 6 – Teorema de Tales e semelhança de triângulosI. Objetivo geral

• Desenvolver o conceito de semelhança de figuras, em particular semelhança de triângulos, identificando essas propriedades em figuras presentes no espaço de vivência e usando-as na resolução de problemas.

II. Objetivos específicos• Identificar segmentos proporcionais.

• Aplicar o teorema de Tales na resolução de problemas.

• Caracterizar e identificar figuras semelhantes.

• Definir polígonos semelhantes e razão de semelhança.

• Identificar triângulos semelhantes pelo caso AA.

• Resolver problemas aplicando a semelhança de triângulos.

III. ComentáriosA unidade se inicia retomando o conceito de razão e proporção, aplicando-os para definir seg-

mentos proporcionais. A leitura desta parte da teoria e a resolução dos boxes propostos pode ser feita em duplas só com mediação do professor, pois os conceitos iniciais são conhecidos. A Seção livre da página 163 pode ser explorada nesse momento.

Propusemos um problema contextualizado para motivar o aprendizado do teorema de Tales. Se a escola dispõe de computador, os softwares Cabri Géomètre ou Geogebra, este gratuito, podem ser gran-des aliados para apresentar o teorema, antes de demonstrá-lo formalmente. A demonstração do teorema de Tales não é simples para os alunos. Como já dissemos anteriormente, isso não deve ser motivo para ignorá-lo. Deixe que os alunos leiam o texto várias vezes, passo a passo. Em seguida, no quadro, repita a demonstração, permitindo que o ajudem a desenvolvê-la. Acreditamos que isso facilitará o entendimento.

Iniciamos o assunto “semelhança” a partir da ideia de ampliação e redução de figuras. Seria inte-ressante propor atividades com papel quadriculado envolvendo ampliações e reduções. Uma parceria com o professor de Arte pode ser pensada.

Antes de iniciar o estudo de polígonos semelhantes, explore a semelhança de círculos, cubos e de outras figuras planas e espaciais.

Demonstramos o caso AA de semelhança de triângulos usando o teorema de Tales. É uma de-monstração relativamente simples, mas sempre vale verificar se os alunos realmente compreenderam. As aplicações da semelhança em problemas contextualizados devem ser enfatizadas. As atividades propostas são interessantes e variadas.



<revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/teorema-tales-proporcao-apli-cada-geometria-594437.shtml>.

<www.mais.mat.br/wiki/Um_certo_fator_de_escala>

<penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice2/sistems2.htm#volta0>

<portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=29925>

Sugestão de avaliaçãoVocê pode utilizar o trabalho com o texto “O número de ouro” da Seção livre (página 163)

como instrumento de avaliação. Também é interessante propor uma pesquisa sobre esse tema. Há inúmeros sites (sugerimos alguns a seguir) com conteúdo de qualidade e apropriados à faixa etária dos alunos. A leitura pode ser feita em classe, individualmente. Você pode verificar a resolução da equação cuja solução é , solicitando a entrega da pesquisa e deste exercício.

Sugestões de sites:

<www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/curiosidouro.htm>

<cmup.fc.up.pt/cmup/mecs/O%20Misterioso%20Numero%20de%20Ouro.pdf>

<www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm>

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoAlém do trabalho com o texto “O número de ouro”, que envolve Matemática, Arte e Ciências,

os conceitos de congruência e semelhança podem integrar Matemática e Educação Artística.

Sugerimos a execução de trabalhos envolvendo ampliação/redução de figuras em papel quadri-culado. Os alunos gostam muito desse tipo de atividade e as produções podem ser surpreendentes!

Essa parceria permite também explorar a proporcionalidade na arte e na arquitetura, comple-mentando o trabalho com o número de ouro.

Uma aplicação interessante para a semelhança e congruência está no setor da moda: confecções e fábricas de calçados utilizam estes conceitos para produzir roupas e sapatos em tamanhos diferentes.

V. Texto complementar para o professor

O teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico“1 Introdução

Um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana é o chamado teorema de Tales, cujo enunciado clássico é: ‘Se um feixe de retas paralelas é interceptado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais’. Esse teorema que encontra a sua origem na resolução de problemas práticos envolvendo paralelismo e propor-cionalidade está no cerne da relação entre o geométrico e o numérico. Ele tem um papel funda-mental na teoria da semelhança e consequentemente na trigonometria, onde justifica as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Na geometria espacial ele aparece no tratamento das secções de um sólido por um plano paralelo à base. Na perspectiva, ele surge quando se estudam as



propriedades das figuras geométricas que se conservam quando traçadas em um plano e projetadas em outro plano a partir de uma fonte no infinito; dessas propriedades (conservação do ponto mé-dio, conservação do baricentro, conservação do alinhamento etc.), a fundamental é a conservação das razões das distâncias entre pontos alinhados. Na figura abaixo temos duas representações de um quadrado em dois planos distintos. Os pontos A, B e C alinhados do primeiro quadrado e os pontos correspondentes A´, B´ e C´ no outro plano têm como invariante fundamental a conservação

das razões: ACAB

5 A’C’A’B’

.

Assim, a configuração abaixo, associada ao Teorema de Tales, pode também ser interpretada como três pontos de uma reta contida num plano e as suas projeções cilíndricas contidas num outro plano.

No estudo da geometria vetorial, o teorema de Tales está ‘escondido’ na propriedade: a(→u 1 →v ) 5 a →u 1 a →v com a R. As duas configurações abaixo correspondem aos casos em que a 0 e a 0. O teorema de Tales faz-se necessário para justificar esta propriedade se não quisermos considerá-la como axioma.

Uma outra ligação importante do Teorema de Tales com outros saberes está relacionada com as representações gráficas das funções lineares e afins. Ele justifica que tais representações são retas.

Observamos pelos exemplos dados que o Teorema de Tales corresponde a uma situação di-dática bastante rica em consequências.

2 Quem foi Tales de Mileto?

Tales de Mileto foi um filósofo grego que viveu por volta de 630 a.C. Sabe-se muito pouco a respeito de sua vida e de sua obra. ‘Conjectura-se ter sido ele o criador da geometria demonstrati-va. Por isto, ele é saudado como o primeiro matemático a dar uma contribuição à organização da geo metria’ (Boyer). A primeira referência que temos de Tales como iniciador do método dedutivo na matemática nos é dada pelo filósofo Proclus (420-485 d.C.) no seu livro Comentário sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides. Proclus nos diz: ‘Tales primeiro foi ao Egito e de lá introdu-ziu esse estudo na Grécia. Descobriu muitas proposições ele próprio, e instruiu seus sucessores nos princípios que regem muitas outras, seu método de ataque sendo em certos casos mais geral, em

A’ A

B’ B

C’ C

A’

A

C

b

a

C’B’

B

ava(u 1 v)

a(u 1 v)

u 1 v

u 1 v

au

au

av

v

v

uu



outros mais empíricos.’ Proclus atribui a Tales haver afirmado ou demonstrado pela primeira vez que um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto; que os ângulos opostos pelo vértice são iguais; que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; que um círculo é dividido igualmente pelo seu diâmetro; que se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais res-pectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes.

Cada um desses resultados certamente deveria ser necessário para justificar ou resolver al-guma situação prática. Encontramos em Proclus um provável motivo pelo qual Tales cita a última proposição (conhecido hoje como o caso ALA de congruência de triângulos). Proclus diz que ‘Eu-demo (320 a.C.), no seu livro História da Geometria atribui a Tales esse teorema para determinar a distância que um barco se encontra da costa.’

Podemos supor como Tales teria feito para medir a distância terra-barco. A partir de um instru-mento (quadrante, duas hastes articuladas, ...) Tales poderia ter medido o ângulo (homem, barco, pé da torre). A seguir, sem mudar o ângulo, poderia ter girado o instrumento de meia-volta, pedindo a alguém que marcasse no chão do outro lado o ponto para o qual o instrumento estaria apontado. A igualdade de visões implicaria na igualdade das distâncias. Michel Serres comenta: ‘A geometria resul-ta de um artifício, de um desvio, cujo caminho indireto permite o acesso àquilo que ultrapassa uma prática imediata.’ O artifício, aqui, consiste em produzir um modelo reduzido. Desenham-se os triângulos HTN e HTS para explicar e interpretar a re-alidade. O teorema ALA é utilizado para justificar que os triângulos são congruentes, e concluir que a me-dida TS conhecida é igual à medida TN desconhecida. Diz Serres ‘medir o inacessível consiste em reproduzi-lo ou imitá-lo no acessível.’

Auguste Comte por sua vez escreve ‘[...] devemos considerar como suficientemente verificada a impossibilidade de determinar, pela medição direta, a maioria das grandezas que desejamos conhe-cer. É este fato de caráter geral que necessita da formação da ciência matemática. Pois ao renunciar, em quase todos os casos, à medição imediata das grandezas, o espírito humano teve de procurar determiná-las indiretamente, e foi assim que foi levado à criação das matemáticas.’

Citamos outras fontes que falam da atividade matemática realizada por Tales.

O historiador Diógenes Laércio (século III d.C.) nos informa que: ‘Hierônimos (discípulo de Aristó-teles) diz que Tales mediu as pirâmides pela sombra, depois de observar o tempo que a nossa própria sombra demora a ficar igual à nossa altura.’ Nesse caso, a astúcia a qual se refere Michel Serres estaria em construir uma pirâmide redu-zida em suas dimensões: ‘Para alcançar uma altura inacessível, Tales inventa a escala.’

O historiador Plutarco (século I d.C.) dá um outro relato a respeito da medição da altura da pirâmide feita por Tales. Ele diz que ‘...limitando-te a colocar o bastão no limite da sombra lançada pela pirâmide, gerando o raio de sol tangente aos dois triângulos, demonstraste que a relação entre a primeira sombra e a segunda era a mesma que entre a pirâmide e o bastão.’ Baseado nesse relato pode-se representar a situação da seguinte maneira:

B

A C D

E

F

Terra Mar

distância desconhecidadistância conhecida

T

H

S N

DAE



Percebe-se que este relato é mais geral que o outro.

A pergunta que paira no ar é se esses textos que tratam da sombra da pirâmide descrevem apenas uma aplicação do teorema de Tales ou, pelo contrário, a sua origem?

3 O surgimento do nome teorema de Tales

A questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos, principalmente na arquitetura e agrimensura. Por isso, conjectura-se que a primeira sistematização da geometria pode ter sido em torno da questão da proporcionalidade de segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outro de retas transversais. Essa questão durante muitos séculos foi denominada de teorema dos segmentos proporcionais. No final do século XIX, na França, alguns autores denominaram esse resultado de teorema de Tales, denominação que persiste até hoje.

A primeira publicação de que se tem notícia e que substitui o nome de ‘teorema dos segmen-tos proporcionais’ pelo ‘Teorema de Tales’ é o livro francês Éléments de géométrie de Rouche e Comberousse (reedição de 1883).

Em alguns países, como por exemplo a Alemanha, o nome teorema de Tales é dado a um outro enunciado: ‘todo triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo’.

4 Outros enunciados do teorema de Tales

Na Itália ele é chamado de teorema de Talete e é apresentado da seguinte maneira :

I segmenti staccati da un fascio di rette parallele su due trasver-sali sono direttamente proporzionali. (Os segmentos determinados por um feixe de retas paralelas sobre duas transversais são direta-mente proporcionais.)

Obs.: o enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos de uma mesma transversal.

Na Espanha temos um outro enunciado para o teorema de Tales :

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias retas parale-las, los segmentos correspondientes determinados en ambias son proporcionales. (Se cortamos duas retas quaisquer por várias retas paralelas, os segmentos correspondentes determinados em ambas são proporcionais.)

Obs.: o enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos correspondentes de duas retas transversais.

Na Alemanha o teorema de Tales é chamado teorema dos feixes de retas concorrentes: ‘se um feixe de retas concorren-tes é cortado por duas retas paralelas, então a razão entre as medidas dos segmentos determinados por uma reta do feixe é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes determinados sobre qualquer outra reta do feixe.’

Obs.: o enunciado destaca, como na Itália, que a razão é entre dois segmentos de uma mesma transversal. Contudo, enquanto na Itália são duas retas transversais e um feixe de retas paralelas, na Alemanha são duas retas paralelas e um feixe de retas con-correntes.

a

b d

c

ab

5 cd

a

b d

c

ac

5 bd



Na França, é comum a apresentação do teorema de Tales a partir de um triângulo e três pontos de vista são considerados.

No primeiro ponto de vista, a razão é considerada apenas entre segmentos da mesma transversal.

No segundo ponto de vista (razão entre as projeções), a razão é considerada entre um segmento e a sua projeção na outra transversal.

No terceiro ponto de vista, a razão é considerada como a razão de homotetia entre os dois triângulos.

Obs.: Chama-se homotetia de centro O e razão k (k real diferente de zero) a uma transfor-mação do plano em si mesmo que associa a cada ponto P do plano um ponto P’ do plano tal que →OP´5 k

→OP .

(Dizer que →OP´5 k

→OP implica dizer que O, P e P’ são alinhados.)

5 A demonstração do teorema de Tales

Em nível do Ensino Fundamental ou Médio, uma opção para demonstrar o teorema de Tales seria a prova incompleta dos pitagóricos que supõe todos os segmentos comensuráveis. (Dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existem um segmento u e dois inteiros m e n tais que AB 5 m u e CD 5 n u). Em geral, os textos didáticos apresentam essa demonstração ‘escon-dendo’ o caso dos segmentos serem incomensuráveis visto que nesse caso haveria necessidade da construção da reta real e dos números reais. O Exame Nacional de Cursos realizado em 1999 apresentou uma questão específica, relacionada com o teorema de Tales, para os formandos de licenciatura em matemática. Segue a questão:

Questão do Exame Nacional de cursos de 1999

Teorema de Tales

‘Se três retas paralelas r, s e t cortam duas transversais m e n nos pontos A, B, C, D, E, F,

respectivamente, então as razões ABBC

e DEEF

são iguais.’ (ver figura)

A demonstração do Teorema de Tales usual-mente encontrada nos textos para o ensino fun-damental segue duas etapas:

A D

B E

C F

A

D

B

E

CADAB

5 AEAC

ou ADDB

5 AEEC

A

D

B

E

CADAE

5 ABAC

ou ADAE

5 DBEC

A

D

B

E

CADAB

5 AEAC

5 DEBC

m n

r

s

t

PMR9_MP_072_092_especifica.indd 87 4/29/12 7:18 AM


I - Prova-se que, se AB 5 BC, então DE 5 EF.

II - Supondo que AB BC, considera-se um segmento de comprimento u tal que:

AB 5 p u e BC 5 q u, sendo p, q N, p q.

Utiliza-se, então, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdi-visão de AB e BC dividirão também DE e EF em partes iguais (de comprimento u’). Daí, conclui-se

que: ABBC

5 pq

5 DEEF

.

a) Este tipo de demonstração abrange os casos nos quais ABBC

é natural? racional? real qual-quer? Justifique.

b) Cite dois exemplos de conteúdos da geometria elementar cujo ensino utilize o Teorema de Tales.

O padrão de resposta esperado pela banca examinadora era:

a) Abrange o caso em que a razão ABBC

é racional que é, exatamente, o caso tratado na se-

gunda parte da demonstração apresentada. Os casos em que ABBC

é natural são casos particulares

dos racionais, quando p é múltiplo de q. No entanto, se ABBC

não é racional, não existirá nenhum

segmento que esteja contido um número inteiro p de vezes em AB e um número inteiro q de vezes em BC (AB e BC são incomensuráveis). Assim, a demonstração dada não se aplica.

b) Exemplos:

– Estudo de semelhança de figuras: demonstração dos casos de semelhança de triângulos,

teorema da base média do triângulo etc.

– Construções com régua e compasso: divisão de segmentos em partes iguais ou numa razão dada, obtenção da quarta proporcional etc.

– Demonstrações dos teoremas das bissetrizes interna e externa de um triângulo etc.

A primeira demonstração conhecida do Teorema de Tales, aparece três séculos após Tales, na proposição 2 do livro VI de Os Elementos de Euclides (300 a.C.) e se apoia na teoria das proporções de Eudoxo apresentada no livro V de Euclides. O livro Geometria Moderna de Moise Downs (volu-me 1, capítulo 12, página 307) apresenta uma demonstração do teorema de Tales, a nível elemen-tar, pelo método das áreas. A passagem por ‘objetos de dimensão 2’ (áreas) para estabelecer uma propriedade relacionada com ‘objetos de dimensão 1’ (segmentos) evita o problema da natureza dos números. A demonstração pelo método das áreas não segue um caminho natural mas é uma prova completa e convincente. Vale lembrar que essa demonstração necessita apenas do conhe-cimento que a área de um retângulo é igual ao produto das medidas dos dois lados tomados na mesma unidade. No entanto, deve-se ressaltar que esse resultado costuma ser postulado pois que a sua demonstração é tão difícil quanto a análise do caso dos segmentos incomensuráveis.

Segue a prova do teorema de Tales pelo método das áreas.

Sejam ABC um triângulo e D um ponto entre A e B. Tracemos pelo ponto D uma reta r paralela ao

lado BC com r AC5 {E}. Provemos que ADDB

5 AEEC

.

A área do triângulo ADE pode ser calculada de

duas maneiras AD EF2

ou AE DG2

.

A

CB

D E

GF



Da igualdade das duas expressões conclui-se que AD EF 5 AE DG. (1)

Os triângulos BDE e CED têm áreas iguais (mesma base DE e mesma altura).

Logo DB EF2

5 EC DG2

(2)

De (1) e (2) vem: ADAE

5 DBEC

ou ADDB

5 AEEC

O caso em que os segmentos AC e DF (vide figura abaixo) formam um trapézio, recai-se no caso anterior mediante a construção de uma reta paralela a AC pelo ponto D.

A D

B B’ E

C C’ F

Nesse caso teremos DB’B’C’

5 DEEF

e como AB 5 DB’ e BC 5 B’C’ tem-se ABBC

5 DEEF

. [...]”

BONGIOVANNI, V. O Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico.

Revemat, v. 2.5, p. 94-104, UFSC, 2007.

VI. Sugestão de leitura para os alunosJulgamos importante mostrar ao aluno como se constrói o conhecimento em Matemática. No

livro do 8o ano apresentamos a eles textos acessíveis que introduzem as ideias do método axiomático. O texto que apresentamos a seguir abre o livro Geometria I, de Augusto Cesar Morgado, Eduardo Wagner e Miguel Jorge, de maneira leve e interessante, abordando o que é definição, conceito pri-mitivo e axioma.

Acreditamos que esta leitura pode ser feita com os alunos do 9o ano e mais: será útil quando você apresentar as diversas demonstrações presentes neste 4o volume.

INTRODUÇÃO“0.1 – UM POUCO DE HISTÓRIA

Possivelmente o primeiro documento importante da história da Geometria foi um papiro que datava do séc. XIX a.C. e que esteve em posse do escriba Ahmes, que o recopiou dois séculos mais tarde.

Até o quarto século antes de Cristo, a Geometria não passava de receitas descobertas experi-mentalmente, sem fundamento científico. Por exemplo, era de conhecimento dos egípcios que o triângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 é retângulo, e era do conhecimento dos gregos que o com-primento de um círculo era aproximadamente 3 vezes o comprimento de seu próprio diâmetro.

Com o desenvolvimento da Lógica e com a contribuição de grandes sábios como Tales, Pitágo-ras, Platão e outros, a Geometria toma dimensão nova com o aparecimento de uma grande obra em 13 volumes chamada Os Elementos de Euclides, com mais de mil edições até os dias de hoje.



Nele a Geometria é apresentada de forma lógica e organizada, partindo de algumas suposições simples e desenvolvendo-se por raciocínio lógico.

0.2 – PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

0.2.1. – Princípio da Identidade:

‘Todo conceito é igual a si mesmo.’

0.2.2. – Princípio da Contradição:

‘É impossível que algo seja e não seja verdadeiro ao mesmo tempo e sob uma mesma condição.’

0.2.3. – Princípio do Meio Excluído:

‘Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.’

0.2.4. – Princípio da Razão Suficiente:

‘Todo juízo deve ter uma razão suficiente.’

Para esclarecer este último princípio, considere a afirmação:

‘Se C é um círculo, ENTÃO C tem centro.’

C é um círculo é a causa ou razão suficiente.

C tem centro é o efeito (conclusão).

Devemos notar que, se o efeito é dado, não podemos concluir a causa. Por exemplo, se dissermos que C tem centro, não podemos concluir que C seja um círculo. Pode ser uma elipse ou uma infinidade de outras curvas.

0.3. – AS DEFINIÇÕES – OS CONCEITOS PRIMITIVOS

‘Definir um conceito, representado por uma palavra ou símbolo, é expressar seu significado por meio de outras palavras ou símbolos já conhecidos.’

É claro que toda definição deve ser suficientemente precisa para que, definido um conceito, possamos afirmar com segurança se um elemento está ou não contido na definição.

Sabendo que se deve definir um conceito por meio de outros já anteriormente definidos, sen-do estes também definidos por meio de outros anteriores, e assim sucessivamente, chegaremos a um conceito primeiro cuja impossibilidade de defini-lo é evidente posto que não existe nenhum outro anterior. Chegamos, portanto, a um conceito primitivo.

Aluno: O que é um losango?

Professor: Losango é uma figura formada por quatro segmentos de reta de mesmo compri-mento, blá blá...

Aluno: O que é um segmento de reta?

Professor: Segmento de reta é toda porção limitada de uma reta! Hum!

Aluno: O que é uma reta?

Professor: Bem... He, he... Sabe, é aquilo que, olha, sabe como é né...



0.4. – OS AXIOMAS

O grande passo dado por Euclides consistiu na introdução do método axiomático que con-siste em estabelecer um conjunto de proposições que admitimos serem verdadeiras. Os axiomas são, pois, relações entre os conceitos primitivos admitidas como verdadeiras e não concluídas, mediante encadeamento lógico de conceitos anteriores.

0.5. – OS TEOREMAS

Professor: É sempre possível traçar uma reta que passe por dois pontos distintos.

Aluno: É... é claro.

Professor: Em um triângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

Aluno: Mas qual é? Tá pensando o quê? Demonstra aí!

É fácil notar que algumas afirmações em Geometria nos parecem tão óbvias que nunca nos lembraríamos de descobrir por que elas são verdadeiras e outras não são absolutamente óbvias, a ponto de despertar nossa curiosidade para a verificação de sua veracidade.

Estamos, então, em frente a um teorema.

Um teorema é, pois, qualquer proposição que seja consequência de proposições anteriores. Os teoremas constam de duas partes essenciais: a HIPÓTESE, que é o conjunto de proposições dadas, e a TESE, que é a proposição deduzida da hipótese mediante encadeamento lógico das proposições dadas; é, pois, a conclusão.

Se tomarmos a experiência e intuição como únicas bases das investigações matemáticas, fatalmente erraremos em algum ponto, pois, sendo imperfeitos nossos sentidos, deveremos con-cluir que não necessariamente nossa intuição sempre nos levará a um resultado correto. Real-mente, deveremos apoiar nossas primeiras deduções em conceitos não definidos e proposições indemonstráveis, que admitiremos verdadeiras, mas, a partir daí, a lógica deve ser a responsável pela elaboração de outras proposições e propriedades decorrentes.

O conjunto de proposições que servem de fundamento a uma ciência é seu SISTEMA DE AXIOMAS. Como ele é arbitrário, respeitando certas normas, poderemos inventar Geometrias tão esquisitas, mas tão lógicas, quanto quisermos.”

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Geometria I. Rio de Janeiro:Livraria Francisco Alves Editora, 1974. p. 1-5.

VII. Sobre as atividades propostasSeção livre da página 163

Seria interessante propor uma parceria com os professores de Arte para mostrar retângulos áureos na arquitetura, na pintura, escultura etc.

Atividade 16

Sugerimos ampliar as questões perguntando se são sempre semelhantes outras figuras espaciais como pirâmides, esferas, cilindros etc. O uso de objetos comuns no dia a dia também contribui para a construção do conceito de semelhança: duas garrafas PET de refrigerante com tamanhos diferentes, por exemplo, não são semelhantes, pois a boca (gargalo) delas têm o mesmo diâmetro.



Boxe da página 171

Como GH é paralelo a ED, relembre com os alunos a congruência de ângulos correspondentes.

Verifique se percebem que somente os lados FE e DC foram reduzidos, o que inviabiliza a semelhança

entre os dois hexágonos.

Unidade 7 – Relações métricas nos triângulos retângulosI. Objetivos gerais

• Perceber a presença e a importância dos ângulos retos e das formas triangulares, em especial

as que envolvem triângulos retângulos no mundo real.

• Estabelecer relações entre medidas de elementos dos triângulos retângulos que possibilitam

resolver situações do cotidiano, do trabalho e das ciências.

II. Objetivos específicos

• Verificar e demonstrar a relação de Pitágoras.

• Aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de problemas.

• Usar o teorema de Pitágoras para representar números irracionais na reta real.

• Aplicar o teorema de Pitágoras para chegar às relações entre:

– lado e diagonal de um quadrado;

– lado e altura de um triângulo equilátero.

• Estabelecer, por meio da semelhança de triângulos, relações entre as medidas dos catetos, da

hipotenusa, altura relativa à hipotenusa e projeções dos catetos.

• Utilizar as relações métricas obtidas para descobrir medidas desconhecidas em triângulos re-

tângulos e para resolver problemas.

III. Comentários

O destaque para os ângulos retos e sua importância no mundo real, e o fato de que as antigas

civilizações sabiam que o triângulo de lados 3, 4 e 5 era retângulo pretendem motivar para o estudo

do teorema de Pitágoras. O texto inicial desta unidade traz fotografias mostrando a abundância dos

ângulos retos no mundo que nos cerca, mas seria interessante pedir aos alunos que eles também pro-

curassem exemplos. Recorrer à História da Matemática é valioso neste conteúdo. Os alunos devem

perceber que a relação entre os lados de um triângulo retângulo era conhecida e aplicada centenas

de anos antes de Pitágoras, pelos egípcios e babilônios, por exemplo.



No texto, inicialmente, os alunos constatarão geometricamente que nos triângulos retângulos temos a2 5 b2 1 c2.

ba

c

Lembre sempre a eles que essa relação só vale para triângulos retângulos.

Do questionamento sobre a validade da relação de Pitágoras para todos os triângulos retângulos

(página 183), surge a demonstração do teorema de Pitágoras por um processo acessível aos alunos.

Em seguida, apresentamos aplicações desse teorema em problemas contextualizados. É interes-

sante pedir que criem problemas cuja solução envolva Pitágoras observando o espaço a seu redor.

Destacamos a representação de números irracionais na reta utilizando o teorema de Pitágoras e o

compasso. Os alunos devem realmente fazer as construções usando o material de desenho. Isso

complementa o trabalho feito no 8o ano, pois cada novo passo resgata e ajuda a solidificar os conhe-

cimentos sobre os campos numéricos.

Ao deduzir as relações: d 5 2 para a diagonal d do quadrado de lado e h 5 32

para a

altura do triangulo equilátero, voltamos a falar dos números irracionais e sua relação com a escola

pitagórica. Não há por que incentivar os alunos a decorar essas fórmulas. É preferível mostrar que é

fácil deduzi-las a partir do teorema de Pitágoras.

Um problema envolvendo a estrutura de um telhado motiva-os para a obtenção das demais relações

métricas no triângulo retângulo. Os alunos devem descobrir as relações acompanhando o texto, que utiliza

a semelhança de triângulos. Nesse item, apresentamos outra demonstração para o teorema de Pitágoras.

Na página 184, um boxe comenta a existência de muitas demonstrações do teorema de Pi-

tágoras. No item V, apresentamos o texto complementar “Mania de Pitágoras”, que traz algumas

dessas demonstrações para sua consulta. Ainda nesse item, sugerimos em texto uma possível opção

para demonstrar as demais relações métricas a partir do teorema de Pitágoras, sem recorrer à seme-

lhança de triângulos, como optamos por fazer no Livro do Aluno.

<nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_164_g_4_t_3.html?open=instruction&from=category_g_4_t_3.html>


<nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_335_g_4_t_3.html?from=category_g_4_t_3.html>

<m3.ime.unicamp.br/recursos/search:pit%C3%A1goras>

Sugestão de avaliação

O teorema de Pitágoras aparece em muitas obras matemáticas ao longo da história. Uma ideia

seria selecionar alguns desses problemas explicitando a fonte histórica e propor aos alunos que os

resolvam em duplas, durante a aula. Essa é uma maneira de verificar o aprendizado usando proble-

mas com uma linguagem diferente da atual, com termos e unidades de medida usados na época em

DAE

PrATICANDO MATEMÁTICA - 9º ANO – PNLD 2014MP - PArTE EsPECífICA – MAC 2



Hélio

Sen

ator

e

que foram criados. Esse recurso ajuda a despertar o interesse dos alunos. O professor pode recolher

os trabalhos ou propor que as duplas mostrem suas resoluções no quadro. Apresentamos a seguir

sugestões de problemas para esta lista.

• Tábua em argila – Babilônia (entre 1650 e 1200 a.C.):

1) Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 GAR

abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente colocada. A que distância da parede

está a sua parte de baixo?

• Tábua em argila – Babilônia (aproximadamente 300 a.C.):

2) Uma cana está encostada a uma parede. se desce [na parte de cima] 3 GAR a [parte de baixo]

desliza 9 GAR. Qual é o comprimento da cana? Qual é a altura da parede?

• Papiro do Cairo (aproximadamente 300 a.C.):

3) Uma vara de 10 cúbitos tem a sua base afastada 6 cúbitos. Determine a sua nova altura e a

distância que o cimo da vara baixou.

(A vara e a parede a que está encostada têm exatamente o mesmo comprimento.)

4) Um retângulo de área 60 cúbitos quadrados tem diagonal de 13 cúbitos. Qual a medida dos

lados do retângulo?

• China (aproximadamente 200 a.C.):

5) No alto de um bambu vertical, está

presa uma corda. A parte da corda em

contato com o solo mede 3 chih. Quan-

do a corda é esticada, sua extremidade

toca no solo a uma distância de 8 chih

do pé do bambu. Que comprimento

tem o bambu?

• Obra escrita por Bhaskara – índia

(aproximadamente em 1150):

6) se um bambu medindo 32 cúbitos e estando em pé, se partisse, num local, por ação do ven-

to, e a sua extremidade encontrasse o chão a 16 cúbitos da base do bambu. Diz, matemático,

a quantos cúbitos da raiz é que ele se partiu?

7) Havia uma palmeira de 100 cúbitos de altura e havia um poço a uma distância de 200 cúbitos

da árvore. Estavam dois macacos no cimo da árvore. Um deles desceu da árvore e foi até o

poço. O outro pulou para cima e saltou para o poço seguindo a hipotenusa. se os dois per-

correram a mesma distância, descobre o comprimento do pulo do

macaco.

• Tratado da Prática D’aritmética – Portugal (1519):

8) É uma torre de 20 braças de comprimento, a saber, a altura dela é

20 braças. E está uma escada encostada a ela, de tamanho igual

à dita torre e a escada afastou-se embaixo 12 braças. Pergunto:

quanto abaixou de cima?

Hélio

Sen

ator

e




• Manuscrito alemão – 1568:

9) Há uma torre com 200 pés de altura, e à volta da torre há um canal

com 60 pés de largura. Alguém precisa fazer uma escada que passe

por cima da água até ao topo da torre. A pergunta é: que compri-

mento deve ter a escada?

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoO conteúdo desta unidade possibilita a exploração da História da Matemática, em especial a contri-

buição dos gregos e da escola pitagórica. Uma parceria com o professor de História pode enriquecer as

aulas com textos sobre as ideias de Pitágoras e seus seguidores. A atividade sugerida acima para a ava-

liação também pode promover a integração com História, pois os problemas virão de diferentes épocas.

Outra sugestão: elaborar, com auxilio dos alunos, entrevista com profissionais como arquitetos,

engenheiros, físicos, projetistas, para verificar como os conhecimentos adquiridos nesta unidade são

aplicados nessas profissões. A presença de alguns desses profissionais para uma conversa com os

alunos seria muito proveitosa, principalmente se puderem apresentar exemplos reais de aplicação do

teorema de Pitágoras.

V. Textos complementares para o professor

Hélio

Sen

ator

e

H

Usando o teorema de Pitágoras para obter as relações métricas nos triângu-los retângulos

No Livro do Aluno, utilizamos a semelhança de triângulos para obter as relações b2 5 a ? n; c2 5 a ? m; h2 5 m ? n; a ? h 5 b ? c válidas num triângulo retângulo de catetos b e c, hipotenusa a e altura relativa à hipotenusa, h.

Apresentamos a seguir outro caminho para chegar a essas relações aplicando o teorema de Pitágoras.

Os triângulos AHC e AHB são retângulos. Aplicando Pitágoras, temos:

b2 5 h2 1 n2

c2 5 h2 1 m2

somando as igualdades membro a membro:

b2 1 c2 5 2h2 1 n2 1 m2

como b2 1 c2 5 a2, vem que:

a2 5 2h2 1 n2 1 m2

Acontece que a 5 m 1 n e, portanto, a2 5 (m 1 n)2 5 m2 1 2mn 1 n2 (produto notável).

substituindo a2 na igualdade acima destacada, temos:

m2 1 2mn 1 n2 5 2h2 1 n2 1 m2

2mn5 2h2, ou seja, h25 mn.

Voltando ao triângulo retângulo AHB, por Pitágoras, temos: c2 5 h2 1 m2.

substituindo h2 por mn:

c2 5 mn 1 m2

A

CB

c bh

m n

a

1444442444443

DAE




Colocando m em evidência:

c2 5 m(n 1 m)

Como n 1 m 5 a, vem que c2 5 am.

Usando o mesmo raciocínio para o triângulo AHC, mostra-se que b2 5 an.

finalmente, partiremos das relações c2 5 am e b2 5 an para mostrar que ah 5 bc.

O produto c2b2 escreve-se como:

c2 ? b2 5 a ? m ? a ? n 5 a2 ? m ? n

c2 ? b2 5 a2 ? h2, ou seja, ah 5 bc.

Mania de PitágorasElisha scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio (Estados Unidos), era re-

almente um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecio-nou demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou The Pythagorean Proposition (A Proposição de Pitágoras). A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. Na segunda edição, publicada em 1940, esse número foi aumentado para 370 demonstrações. Depois do falecimento do autor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo National Council of Teachers of Mathematics daquele país.

O Professor Loomis classifica as demonstrações do teorema de Pitágoras em basicamente dois tipos: provas ‘algébricas’ (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos) e provas ‘geométricas’ (baseadas em comparações de áreas). Ele se dá ao trabalho de observar que não é possível provar o teorema de Pitágoras com argumentos trigonométricos porque a igualdade fundamental da Trigonometria, cos2 x 1 sen2 x 5 1, já é um caso particular daquele teorema.

Como sabemos, o enunciado do teorema de Pitágoras é o seguinte: ‘A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos’. se a, b são as medidas dos catetos e c é a medida da hipotenusa, o enunciado equivale a afirmar que a2 1 b2 5 c2.

Documentos históricos mostram que os egípcios e os babilônios, muito antes dos gregos, conhe-

ciam casos particulares desse teorema, expressos em relações como 32 1 42 5 52 e 12 1 [ 34

]2

5 [114

]2

.

O fato de que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo era (e ainda é) útil aos agrimensores. Há também um manuscrito chinês, datado de mais de mil anos antes de Cristo, onde se encontra a seguinte afirmação: ‘Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz quadrada dessa soma é a hipotenusa’. Outros documentos antigos mostram que na índia, bem antes da era Cristã, sabia-se que os triângulos de lados 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 ou 12, 35, 37 são retângulos.

O que parece certo, todavia, é que nenhum desses povos sabia demonstrar o teorema. Tudo indica que Pitágoras foi o primeiro a prová-lo. (Ou alguém da sua Escola o fez, o que dá no mes-mo, pois o conhecimento científico naquele grupo era propriedade comum.)

A mais bela prova

Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração do tipo ‘geo-métrico’, isto é, baseada na comparação de áreas. Não foi a que se encontra em ‘Os Elementos’ de Euclides, e que é ainda hoje muito encontrada nos livros de Geometria, pois tal demonstração parece ter sido concebida pelo próprio Euclides. A demonstração de Pitágoras pode muito bem ter sido a que decorre das figuras a seguir.




Do quadrado que tem a 1 b como lado, retiremos 4 triângulos iguais ao dado. se fizermos isso como na figura à esquerda, obteremos um quadrado de lado c. Mas, se a mesma operação for feita como na figura à direita, restarão dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b.

a

bc

ca

b b

a

a

cb

Essa é, provavelmente, a mais bela demonstração do teorema de Pitágoras. No livro de Loo-mis, entretanto, ela aparece sem destaque, como variante de uma das provas dadas, não sendo contada entre as 370 numeradas.

Apresentamos a seguir algumas demonstrações do teorema de Pitágoras que têm algum interes-se especial, por um motivo ou por outro. As quatro primeiras constam da lista do Professor Loomis.

A prova mais curta

É também a mais conhecida. Baseia-se na consequência da semelhança de triângulos retângulos: ‘Num triângulo re-tângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela’. Assim, se m e n são respectivamente as projeções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c, temos a2 5 mc, b2 5 nc, enquanto m 1 n 5 c. somando, vem a2 1 b2 5 c2.

A demonstração do presidente

James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881), era também general e gostava de Matemática. Ele deu a seguinte prova do teorema de Pitágoras baseada na figura ao lado: A área do trapézio com bases a, b e altura a 1 b é igual à semis-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos retângulos. Portanto,

a 1 b2

(a 1 b) 5 ab2

1 ab2

1 c2

2, e, simplificando, a2 1 b2 5 c2.

A demonstração de Leonardo da Vinci

O grande gênio criador da Mona Lisa também concebeu uma demonstração do teorema de Pitágoras, que se baseia na figura ao lado.

Os quadriláteros ABCD, DEfA, GfHI e GEJI são congruen-tes. Logo os hexágonos ABCDEf e GEJIHf têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado fEJH é a soma das áreas dos quadrados ABGf e CDEG.

b

ba

ac

c

D

E

J

I

H

F

G

A

C

B

a b

c

nm

Ilust

raçõ

es: D

AE




A demonstração de Papus

Na realidade, não se trata apenas de uma nova demons-tração, mas de uma generalização bastante interessante do teorema de Pitágoras. Em vez de um triângulo retângulo, toma-se um triângulo arbitrário ABC; em vez de quadrados sobre os lados, tomam-se paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, exigindo-se que o terceiro cumpra a condição de CD ser paralelo a HA, e com o mesmo comprimento.

O teorema de Papus afirma que a área do paralelogramo BCDE é a soma das áreas de ABfG e AIJC. A demonstração se baseia na simples observação de que dois paralelogramos com bases e alturas de mesmo comprimento têm a mesma área.

Assim, por um lado, AHKB tem a mesma área que ABfG e, por outro lado, a mesma área que BMNE. segue-se que as áreas de BMNE e ABfG são iguais. Analogamente, são iguais as áreas de CDNM e CAIJ. Portanto, a área de BCDE é a soma das áreas de ABfG e CAIJ.

O teorema de Pitágoras é caso particular do de Papus. Basta tomar o triângulo ABC retângulo e três quadrados em lugar dos três paralelogramos.

O argumento de Polya

No meu entender, entretanto, a demonstração mais inteligente do teorema de Pitágoras não está incluída entre as 370 colecionadas pelo Professor Loomis. Ela se acha no livro Induction and Analogy in Mathematics, de autoria do matemático húngaro George Polya.

O raciocínio de Polya se baseia na conhecida proposição, segundo a qual ‘as áreas de duas figuras semelhantes estão entre si como o quadrado da razão de semelhança’.

Lembremos que duas figuras f e f’ dizem-se semelhantes quando a cada ponto A da figura f corresponde um ponto A’ em f’, chamado o seu homólogo, de tal maneira que, se A, B são pon-

tos quaisquer de f e A’, B’ são seus homólogos em f’, então a razão A’B’AB

é uma constante k,

chamada a razão de semelhança de f para f’. Por exemplo, dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos de um deles são congruentes aos ângulos do outro. Por outro lado, dois quadrados quaisquer, um de lado e outro de lado ’, são semelhantes e a razão de semelhança

do primeiro para o segundo é k 5 ’

.

Em vez do teorema de Pitágoras, Polya prova a seguinte proposição mais geral (que, diga-se de passagem, já se acha ‘Elementos’ de Euclides):

Se F, F’ e F’’ são figuras semelhantes, cons-truídas respectivamente sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a, b de um triângulo retângulo, então a área de F é igual à soma das áreas de F’ e F”.

O enunciado acima implica que a razão de

semelhança de f’ para f” é ba

, de f’ para f é ca

e

de f” para f é cb

.

Por simplicidade, escrevamos f em vez de área de f, G em vez de área de G etc.

H

B

E

M

AF

K

GI

L

J

C

N D

F

F’F’’ Ilust

raçõ

es: D

AE




Se G, G’, G” são outras figuras semelhantes construídas sobre a hipotenusa e os catetos, respectivamente, em virtude da proposição acima enunciada, teremos:

G’G’’

5 b2

a2 5 F’F’’

, logo G’F’

5 G’’F’’

.

De modo análogo teremos: G’F’

5 GF

.

Portanto, GF

5 G’F’

5 G’’F’’

5 a, digamos. Escrevendo de outro modo:

G 5 aF, G’ 5 aF’ e G” 5 aF”.

Que significam essas três últimas igualdades? Elas querem dizer que, se conseguirmos achar três figuras semelhantes especiais F, F’ e F”, construídas sobre a hipotenusa e os catetos do nosso triângulo, de tal maneira que se tenha F 5 F’ 1 F” então teremos também G 5 G’ 1 G” sejam quais forem as figuras semelhantes G, G’ e G” construídas do mesmo modo. Com efeito, teremos:

G 5 aF, G’ 5 aF’ e G” 5 aF”, logo G’ 1 G” 5 aF’ 1 aF” 5 a(F’ 1 F”) 5 aF 5 G.

Agora é só procurar as figuras especiais. Mas elas estão facilmen-te ao nosso alcance. Dado o triângulo retângulo ABC, tracemos a al-tura CD, baixada do vértice do ângulo reto C sobre a hipotenusa AB.

A figura F será o próprio triângulo ABC. Para F’ escolheremos ADC e para F” o triângulo BCD. Evidentemente, F, F’ e F” são figuras semelhantes. Mais evidentemente ainda, temos F 5 F’ 1 F”.”

ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. Revista do Professor de Matemática. n. 74, p. 21-26. 2011.

VI.SobreasatividadespropostasPágina182

Aproveite a oportunidade para retomar o uso do transferidor.

Boxedapágina186

Depois da leitura do texto do exemplo 4, peça que façam a construção proposta no boxe. Termi-nada a atividade, seria interessante você traçar a reta real no quadro e localizar com a participação dos alunos as raízes quadradas de 2, de 5, de 7 etc. usando régua e compasso.

Unidade8–TrigonometrianotriânguloretânguloI. Objetivogeral

• Por meio da aplicação do conceito de razão e de semelhança de triângulos, obter relações entre ângulos e medidas dos lados de um triângulo retângulo que possibilitem resolver pro-blemas.

II. Objetivosespecíficos• Determinar a tangente, o seno e o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

• Obter valores de tangente, seno e cosseno de um ângulo agudo na tabela de razões trigonométricas.

• Determinar os valores exatos de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°.

• Utilizar as razões trigonométricas para resolver problemas.

C

DA B

PRATiCAnDO MATEMÁTiCA - 9º AnO – PnLD 2014MP - ParTeeSPecífIca – MAC 2



III.comentáriosSugerimos que você realize com seus alunos a atividade inicial do cálculo aproximado da altura

do prédio da escola (outra opção seria o cálculo da altura de um poste ou muro alto) seguindo as orientações do texto. Os alunos anotam o ângulo de visão e medem a distância correspondente ao cateto adjacente. Guardam os dados para depois descobrir a altura do prédio da escola. Caso opte por trabalhar o texto complementar “Usando os ângulos para navegar”, eles podem construir o qua-drante e usá-lo para medir o ângulo.

iniciamos a apresentação da tangente utilizando a semelhança de triângulos e a propriedade fundamental das proporções.

A tangente é imediatamente aplicada para resolver o problema da altura do prédio da escola. Mostre a tabela de ângulos e ensine como utilizá-la já na resolução do boxe da página 204.

Apresentamos a seguir seno e cosseno aplicando-os em exemplos. Se tiver acesso a uma calcu-ladora científica, mostre aos alunos como utilizá-la para obter tangentes, senos e cossenos. Há um boxe sobre o assunto na página 206.

As atividades são diversificadas e pretendem mostrar a aplicação das razões trigonométricas a situações contextualizadas.

A unidade se encerra mostrando os valores dessas razões para os ângulos de medida 30°, 45° e 60° e suas aplicações, em particular na relação entre o lado do triângulo inscrito na circunferência e seu raio.



SugestãodeavaliaçãoA atividade que propõe o cálculo da altura do prédio usando a tangente do ângulo pode ser

avaliada em conjunto com a leitura do texto e a descoberta das razões trigonométricas. Os alunos podem realizar as medições em duplas. na sala de aula, iniciam a leitura do texto, constroem mais um triângulo retângulo com ângulo de 40° para verificar a manutenção do valor da tangente e, por fim, determinam a altura do prédio usando a tangente do ângulo medido, e entregam um relatório para avaliação contendo:

• os procedimentos e o material usado nas medições;

• as medidas obtidas e um esboço do modelo matemático para a situação;

distância medida

ângulo medidoprédio

DAE

• o triângulo retângulo traçado e o cálculo da tangente usando as medidas desse triângulo;

• o cálculo da altura do prédio da escola.

PRATiCAnDO MATEMÁTiCA - 9º AnO – PnLD 2014MP - ParTeeSPecífIca – MAC 2



IV. Integração com outras áreas do conhecimentoAs razões trigonométricas são muito utilizadas na física. seria interessante, uma vez que o aluno

de 9o ano está próximo do Ensino Médio, que um professor de física participasse de uma aula de Ma-temática na qual as relações trigonométricas fossem o assunto, para mostrar aos alunos, por meio de exemplos bem simples, que estejam ao alcance deles, a importância dessas razões no estudo da física.

O texto complementar “Usando os ângulos para navegar” oferece oportunidade de aplicar a trigonometria no triângulo retângulo à navegação. A Geografi a pode fornecer mais informações a respeito das formas de localização usadas pelos antigos navegadores.

V. Texto complementar para trabalhar com os alunos

Hélio

Sen

ator

e

Usando os ângulos para navegar

O quadrante é um instrumento de medi-da usado na navegação desde o século XV. Nessa época, era feito geralmente de latão ou madeira. Ele serve para medir ângulos e, com base nas relações trigonométricas, calcular distâncias e alturas. Os cálculos envolvem a posição de astros no céu, como a Estrela Polar ou, durante o dia, o sol. Lembre-se de que os antigos navegadores só usavam os astros para se orientarem nas viagens.

O quadrante é um instrumento muito simples. Como vemos na imagem, ele é for-mado por um quarto de círculo (por isso o nome quadrante) graduado de 0° a 90°, com duas peças perfuradas alinhadas que funcio-nam como uma espécie de mira. Um fi o com um pequeno peso na ponta é preso no vértice do ângulo reto, como num fi o de prumo.

Para medir o ângulo, basta apontar a mira do quadrante, como vemos na fi gura, até ver o ponto desejado simultaneamente pelos dois orifícios. O fi o pendurado indica na escala de 0° a 90° a medida desejada. Você mesmo pode construir um quadrante como este!

Corte um quarto de círculo em papelão, cole papel sulfi te sobre ele e, usando o trans-feridor, gradue o quadrante com caneta hi-drocor. Prenda um fi o de náilon no vértice do ângulo reto e amarre na ponta uma pedrinha. Para fazer a mira, use, por exemplo, um canu-dinho. Depois, é só testar!

Scott Maxw

ell/Dreamstim

e.com

Hélio

Sen

ator

e





Peça aos alunos que façam a leitura do texto das páginas 212 e 213 individualmente. Depois desenvolva o texto no quadro, com a participação deles, propiciando a compreensão dos cálculos para os ângulos de 60° e de 45°. Em seguida, deixe que façam o boxe em duplas, que descubram sozinhos os valores de seno, cosseno, tangente de 30°.

Unidade 9 – Círculo e cilindroI. Objetivo geral

• Levar o aluno a construir conhecimentos sobre círculo e cilindro, formas frequentes no mundo material.

II. Objetivos específicos• Diferenciar circunferência e círculo.

• Obter a relação matemática para a área do círculo.

• Usar a proporcionalidade para calcular a área de setores circulares.

• reconhecer a planificação de um cilindro.

• Calcular a área da superfície de um cilindro.

• Calcular o volume de um cilindro.

III. ComentáriosJulgamos importante relembrar as características e elementos de uma circunferência para melhor

diferenciar circunferência e círculo.

Optamos por obter fórmula da área do círculo por meio da ideia de aproximação: primeiro, com um problema contextualizado, aproximando a área do círculo a partir da área do quadrado circunscrito a ele; depois, pela decomposição do círculo em setores circulares, aproximando a área do círculo da área de um retângulo. Acreditamos ser esse o caminho para facilitar o entendimento dos alunos.

Visando também facilitar a compreensão dos alunos, valorizamos a aplicação da proporciona-lidade para calcular a área de setores circulares. A noção de proporcionalidade deve ser revisitada sempre que possível.

sugerimos que você aproveite a abundância das formas cilíndricas no cotidiano e faça com que o aluno observe e manuseie essas formas (latas, por exemplo), caracterizando os cilindros e seus elementos.

Por meio da proposta de um problema contextualizado e da observação da planificação, o aluno descobrirá como calcular a área da superfície do cilindro.

A atividade da pagina 229, que investiga algumas secções do cilindro, introduz as ideias necessá-rias para apresentarmos de maneira intuitiva a fórmula do volume de um cilindro. Veja a seguir mais uma sugestão de atividade que contempla esse mesmo objetivo.

Para realizar a atividade seguinte, você vai precisar construir o kit no 3, apresentado no final

deste texto.




Atividade no 22faça uma pilha de discos azuis e uma de discos vermelhos. Os discos azuis têm a mesma espes-

sura dos discos vermelhos.1. Que sólidos estas duas pilhas representam?

2. faça uma pilha com 10 discos vermelhos e outra com 15 discos, também vermelhos. Qual delas tem maior volume? Por quê?

3. se você fizer uma pilha com 10 discos vermelhos e uma pilha com 10 discos azuis, qual destas duas pilhas tem maior volume? Por quê?

Teste no 7Assinale a(s) alternativa(s) verdadeira(s):a) O raio do disco azul é menor que o raio do disco vermelho.

b) A altura de uma pilha de 10 discos azuis é maior que a altura de uma pilha de 10 discos vermelhos.

c) O volume de uma pilha de discos depende da altura da pilha e do raio do disco.

d) O volume de uma pilha de discos é independente da altura da pilha.

e) O volume de uma pilha de discos é independente do raio do disco.

f) Duas pilhas de discos vermelhos, com a mesma altura, têm volumes iguais.

Kit no 3Material necessário:• papelão grosso de embalagens;

• tinta azul e vermelha;

• tesoura.

Instruções para a construção (discos):

1. faça 2 moldes de disco, sendo um com 4 cm de diâmetro e outro com 5 cm de diâmetro.

2. A partir dos moldes, construa no pa-pelão 25 discos de 4 cm de diâmetro e 10 discos de 5 cm de diâmetro.

3. Pinte de vermelho os discos de 4 cm e de azul os de 5 cm.

Atividade extraída da ficha número 7 da publicação: Geometria experimental, v. 3. Unicamp.

rio de Janeiro: fAE, 1984.

http://faraday.physics.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/flash/AreaOfCircle/AreaOfCircle.html

Sugestões de avaliação

1) Um trabalho individual envolvendo a planificação da superfície lateral do cone e do cilindro como sugerido nas paginas 226 e 230 e interessante e motivador. seguindo a mesma linha, pode-se incluir nesse trabalho a investigação das secções destas figuras usando massa de modelar, como sugerido na pagina 229.

DAE




2) Construções com os instrumentos de desenho são sempre desejáveis. No exemplo 2 da pa-gina 224, sugerimos que o aluno reproduza o desenho envolvendo partes do círculo para calcular a área da figura colorida. Pode-se propor a construção de mais figuras criadas e desenhadas por eles envolvendo círculos, semicírculos, coroas, setores, etc., e o cálculo das respectivas áreas pintadas. A elaboração dos desenhos, o trabalho em classe e o cálculo das áreas poderiam fazer parte de alguma avaliação, compondo uma nota.

IV. Integração com outras áreas do conhecimentoCircunferências e arcos são usados em Geografia, como paralelos e meridianos, por exemplo. O

professor de Geografia pode enriquecer o conteúdo explicando estes conceitos, ou dando continui-dade ao trabalho sugerido na Unidade 3.

Outro caminho é explorar circunferências, círculos e suas partes na arte, arquitetura, decoração, de-sign, propondo a montagem de painéis fotográficos com obras arquitetônicas, móveis, objetos que apre-sentem formas circulares, bem como pesquisar os artistas que utilizaram essas formas em suas obras.

V. Texto complementar para o professor“O número p é realmente instigante”. Apresentamos a seguir um texto publicado na Revista do

Professor de Matemática que descreve dois procedimentos experimentais que permitem obter este número. Vale a pena ler.

Experiências curiosas que nos levam ao número p“Georges Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), e Pierre simon Laplace (1749-1827)

propuseram uma maneira curiosa para se obter praticamente o valor de p:

Lança-se, ao acaso, de baixo para cima, uma agulha, que deverá cair livremente sobre uma superfície com linhas paralelas, igualmente espaçadas. A distância entre as linhas deverá ser maior do que o comprimento da agulha. (Um assoalho com tábuas paralelas poderá ser usado para a experiência). Efetuando um grande número de lançamentos, conta-se quantas vezes a agulha intercepta as linhas paralelas. A seguinte fórmula dará um valor aproximado de p.

p 2a ? Nb ? n

onde N é o número de lançamentos; n, o número de interseções; a, o comprimento da agulha e b, a distância entre as linhas.

Ambrose smith, em 1855, com 3 204 lançamentos e com uma agulha de comprimento igual

a 35

da distância que separa as linhas, encontrou

p 65

? 3 2041 224

5 3,141

Uma outra experiência para obter um valor aproximado de p consiste em traçar um quadrado de lado 2r (r bem grande em relação ao tamanho de uma moeda) e inscrever neste quadrado um círculo. Lançando-se, ao acaso, a moedinha sobre a figura, anota-se o número m de vezes que ela cairá dentro do círculo e o número n de vezes que ela cairá dentro do quadrado mas fora do círculo.




A razão mm 1 n

é, aproximadamente, igual à razão das áreas do círculo e do quadrado

mm 1 n

pr2

4r2 ou seja, p 4mm 1 n

.

AzEVEDO NETO, José M. de. Experiências curiosas que nos levam ao número p. Revista do Professor de

Matemática, n. 9, p. 10, 1986.


Não julgamos necessário apresentar uma fórmula específica para o cálculo da área da coroa cir-cular. Os alunos provavelmente calcularão a área do circulo maior e, dela, subtrairão a área do círculo menor, o que é correto e suficiente.

Boxe da página 226

Não apresentamos fórmula para o cálculo da área de setores circulares. Julgamos suficiente mos-trar como obtê-la por proporcionalidade.

Boxe da página 232

Essa atividade pode envolver Arte. A embalagem deverá ser eficiente, mas também bonita.

Unidade 10 – Porcentagem e juroI. Objetivo geral

• Desenvolver conhecimentos básicos de Matemática financeira, necessários para avaliar e re-solver problemas da vida prática.

II. Objetivos específicos• resolver problemas envolvendo porcentagens.

• Compreender o que é juro.

• resolver problemas relacionados com juro.

III. ComentáriosPor meio de situações comuns do cotidiano, relembramos o registro e o cálculo de porcenta-

gens, com destaque para descontos e acréscimos.

Você pode enriquecer as aulas trazendo mais situações ligadas ao contexto de seus alunos e aos assuntos atuais – pode ser feito um trabalho com jornais, por exemplo.

Conceituamos juro como compensação financeira, o que se ajusta as situações de empréstimo, aplicações financeiras, prestações e impostos em atraso.

Um problema introduz a fórmula j 5 C ? i ? t.

É importante enfatizar as variáveis presentes no cálculo de juro. Por exemplo:

• fixados o capital e a taxa, o juro é função do tempo;




• fixados o capital e o tempo, o juro é função da taxa;

• fixados a taxa e o tempo, o juro é função do capital.

Por meio de exemplos, apresentamos a ideia de juro composto. Tomando períodos curtos de tempo, você pode trabalhar o cálculo de juro sobre juro com dados do momento. O cálculo da infla-ção acumulada (no trimestre, no semestre etc.) pode ser uma boa opção de atividade.

Esta unidade pode contribuir para a educação dos alunos como consumidores. Você deve aproveitar problemas e situações que envolvem, por exemplo, diferença entre preço a vista e a prazo, juros do cheque especial, saldo devedor em cartão de crédito, entre outros, sempre respeitando, é claro, o nível de compreensão e maturidade dos alunos.

<www.mais.mat.br/wiki/juros_divididos>

Sugestões de avaliação

O aluno do 9o ano tem condições de utilizar o conhecimento sobre porcentagens na análise de

dados relativos à situação econômica e social do país. Um trabalho interdisciplinar com Geografia para estudar indicadores como o PIB, renda per capita e IDH é interessante.

A seguir, há uma sugestão de roteiro para esse trabalho.

Dividir a turma em grupos de, no máximo, quatro alunos. Cada grupo desenvolverá um dos quatro temas propostos a seguir pesquisando na internet, jornais, revistas, mídia em geral, coletando e selecionando dados, tabelas, gráficos e textos pertinentes.

Em aulas marcadas pelos professores de Matemática e de Geografia, os componentes do gru-po se reunirão para organizar as pesquisas e elaborar o trabalho. Todos os itens apresentados na descrição dos temas precisam ser abordados, e o grupo pode incluir novos itens, desde que sejam aprovados pelos professores.

Cada aluno deve ter uma pasta com todo o material de pesquisa e levá-la às aulas destinadas ao projeto. Em data marcada pelos professores, os alunos devem entregar a primeira versão do trabalho, que será avaliada e devolvida com observações, correções e sugestões.

Essa versão preliminar deve conter no momento do recolhimento para avaliação: folha de rosto com o título do trabalho, nome, número e ano dos componentes do grupo. Utilizar uma folha para cada item do tema, e uma folha com as referências bibliográficas e a fonte dos dados pesquisados. Capricho, clareza e organização também serão avaliados. Os grupos terão um prazo para reformular a primeira versão do trabalho de acordo com as observações feitas pelos professores e entregar então a versão final para nova avaliação.

TEMAS / CONTEÚDO

1. PIB (Produto Interno Bruto) – Brasil 1

• O que é PIB? Como é calculado?

• Gráfico de barras: evolução do PIB brasileiro nos últimos anos.

• Comparar (utilizar gráficos de barras) o PIB do Brasil com o de outros países (2007 ou mais recente). sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chile.




• Análise dos dados.

• Conclusões.

2. PIB (Produto Interno Bruto) – Brasil 2

• Tabela e gráfico de setores com a participação porcentual das regiões brasileiras na compo-sição do PIB (2007 ou mais recente).

• Gráfico de barras ilustrando a participação porcentual dos estados brasileiros na composi-ção do PIB.


• Conclusões.

3. Renda per capita

• O que é renda per capita?

• Evolução da renda per capita no Brasil nos últimos anos.

• Gráfico de barras: renda per capita dos estados brasileiros.

• Comparar (utilizar gráficos de barras) a renda per capita do Brasil com a de outros países (2007 ou mais recente). sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etió-pia, Argentina, Chile.


• Conclusões.

4. IDH (Índice de Desenvolvimento Humano)

• O que é IDH? Quais os valores considerados satisfatórios?

• IDH do Brasil.

• Gráfico de barras – IDH dos estados brasileiros (2007 ou mais recente).

• Comparar (com gráficos de barras) o IDH do Brasil com o de outros países (2007 ou mais re-cente). sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chile.

• Analise dos dados.

• Conclusões.

Combine com o professor de Geografia um cronograma de acompanhamento dos trabalhos e a forma de avaliação de cada componente.

Sugestão para a distribuição da nota (0 a 10)

• 3 pontos para o envolvimento, pesquisa e postura nas aulas destinadas ao trabalho (nota indi-vidual)

• 3 pontos pela avaliação da versão preliminar (nota do grupo)

• 4 pontos pela avaliação da versão final (nota do grupo)

Sugestões de sites para pesquisa

<www.ibge.gov.br>

<www.ipea.gov.br>

<www.pnud.org.br>

<www.estadao.com.br>

<www.folha.com.br>

<www.logisticadescomplicada.com/ranking-do-pib-mundial-brasil-e-outros-paises-comparados>Acessos em: jun. 2011.




IV. Integração com outras áreas do conhecimentoA interpretação e cálculo com porcentagens e os conhecimentos sobre Matemática financeira são

indispensáveis para o cidadão. É natural a integração com outras disciplinas nesse tema. Uma sugestão é o trabalho com Geografia sugerido no item anterior. Apontamos a seguir outras possibilidades.

1) Apresentamos na Seção livre um texto interessante sobre a história dos juros, que pode ser usado para desenvolver habilidades de leitura e para integrar Matemática e História. O profes-sor de História pode enriquecer as informações do texto, relatando o empréstimo de grãos e de prata na Babilônia, Código Hamurabi e a Lei das XII Tabuas, por exemplo.

2) O Código Hamurabi é importante no campo do Direito. seria ótimo levar um advogado para conversar com os alunos sobre a influência desse código milenar nos códigos e leis atuais.

3) Um advogado também pode contribuir conversando com os alunos sobre o Código dos Direi-tos do Consumidor.

V. Sobre as atividades propostasBoxe da página 249

É um bom momento para conversar sobre a importância da educação financeira e como os co-nhecimentos em Matemática são importantes para o cidadão. fale sobre cobrança de juros compos-tos em situações reais, como cheque especial, cartão de crédito etc.




7. Avaliação – O que se pede por aí

O objetivo deste item é oferecer a você, professor, exemplos de questões sintonizadas com as atuais tendências para a avaliação em Matemática, que têm, como pontos básicos, a aproximação com o cotidiano, a articulação entre conteúdos e a mobilização de habilidades diversificadas para a resolução de problemas.

Neste volume, as questões foram selecionadas a partir de avaliações aplicadas pelo Colégio Pe‑dro II (autarquia federal – Rio de Janeiro).

Questão 1

Paulo e Henrique fizeram uma viagem da cidade A até a cidade B. Existem duas estradas que ligam as cidades. A estrada 1 tem 120 km de extensão e um pedágio de R$ 10,00. Já a estrada 2 tem 160 km de extensão, mas não possui pedágios. Ele abasteceu seu carro com combustível a R$ 2,00 o litro.

a) Paulo escolheu a estrada 1 e percorreu 80 km a cada hora. Quanto tempo Paulo gastou para ir da cidade A até a cidade B, em horas e minutos?

b) O carro de Paulo tem um consumo de 1,2 litros a cada 10 km percorridos em estradas. Já o carro de Henrique tem um consumo 25% menor que o de Paulo. Qual das estradas Henrique deve escolher para que sua viagem fique mais econômica? Justifique sua resposta.

Questão 2

Uma banda de rock vai se apresentar em um clube. A pista de dança está em um salão retangular, onde há um palco em forma de trapézio retângulo, com 15 m² de área, no qual ficarão os integran‑tes da banda e seus equipamentos. A figura abaixo é uma representação do salão com suas medidas, todas expressas em metros.

a) O salão é considerado lotado quando há 3 pessoas por metro quadrado, em média, excluindo ‑se a área do palco. Determine a lotação máxima desse salão com o palco montado.

b) Determine o valor de x.

Questão 3

José e Luisa foram a um bar e gastaram um total de R$ 56,00. No dia seguinte, Luisa pegou a nota na qual estava a conta para verificar o gasto. Porém, havia alguns numerais borrados, conforme a tabela abaixo.

Produto Quantidade Valor Unitário (R$)

refrigerante lata

bolinho de bacalhau 4,00

pizza calabreza média 1,00 20,00

água sem gás 2,00 2,00

estrada 1

estrada 2

AB

DAE

DAE

16 m

8 mx 1 3

x

x 1 4 palco

PRAtICANDO MAtEMÁtICA ‑ 9º ANO – PNLD 2014MP ‑ PARte esPecíficA – MAC 2



Luisa lembrava‑se apenas que os numerais borrados eram todos iguais, o que foi suficiente para que ela os calculasse.

a) Represente por x cada numeral borrado na nota. Descreva a situação acima por meio de uma equação do 2o grau.

b) Resolva a equação obtida no item anterior e determine o valor borrado na nota.

Questão 4

É possível representar expressões polinomiais do segundo grau através da expressão da área de figuras geométricas planas. Para isso, consideram‑se quadrados e retângulos que possuam lados medindo apenas 1 ou x unidades de comprimento, sendo x um número maior que 1. Um exemplo pode ser visto a seguir:

O esquema geométrico acima representa a expressão polinomial: x2 1 3x 1 1.

Pedro resolveu fazer uma estampa em uma de suas camisas usando essas figuras. A estampa que usou tinha o desenho abaixo:

a) Escreva a expressão polinomial sim‑plificada que representa a área do desenho utilizado por Pedro para fa‑zer a estampa.

b) A área do desenho feito por Pedro media 98 unidades de área. Qual era a medida x do lado do quadrado sombreado?

Questão 5

Na cidade de Cusco, no Peru, um fabricante de camisas usa um dodecágono para representar a conhecida PEDRA DOS DOZE ÂNGULOS, um de seus pontos turísticos. A figura ao lado mos‑tra esta representação e suas respectivas medidas. Observe que dois lados consecutivos são sempre perpendiculares.

Usando como base a representa‑ ção ao lado, o fabri‑ cante monta dois modelos de cami‑sas X e Y.

x

x x x x

1 1 1

1

1

DAE

L K

A

J IG

E

D C

B

HF

Medidas

AB 5 22 cm GH 5 7 cm

CD 5 KL 5 2 cm IJ 5 4 cm

EF 5 7 cm AL 5 BC 5 15 cm

HI 5 FG 5 1 cm JK 5 5 cm

DAE

PRAtICANDO MAtEMÁtICA ‑ 9º ANO – PNLD 2014MP ‑ PARte esPecíficA – MAC 2



a) O modelo X, mais barato, tem uma linha reta vermelha bordada entre os pontos B e K, con-forme a figura a seguir. Determine o comprimento da linha bordada BK.

L

Cusco

peru

K

A

J IG

E

D C

B

HF

Ilust

raçõ

es: D

AE

L

Cusco

peru

K

A

J IG

E

D C

B

HF

b) O modelo Y, mais caro, apresenta um triângulo que será bordado em vermelho, conforme mostra a figura abaixo. Determine a área, em cm², que será bordada de vermelho no modelo Y.

Questão 6

Uma formiga saiu de sua toca, localizada no ponto T, em busca de alimento. Ela andou 16 m até o ponto A, girou 90° para a esquerda e andou me-tade do percurso anterior até o ponto B. Ela repete o mesmo padrão: virar 90° para a esquerda e an-dar metade do percurso imediatamente anterior, até chegar ao ponto D, onde está localizado um alimen-to. Do ponto D, a formiga caminha em linha reta de volta à sua toca, localizada em T.

O percurso descrito acima foi todo feito no plano e está representado na figura acima:

a) Determine a distância entre os pontos D e T.(Considere 5 2,2.)

b) Determine a área do polígono TABCD.

prATiCAnDO mATEmÁTiCA - 9º AnO – pnLD 2014MP - Parte esPecífica – mAC 2



Questão 7

Gustavo escorrega na rampa de um tobogã com inclinação de 40º com o plano horizontal e

mergulha em uma piscina com borda retangular. Depois, nada do ponto p, onde mergulhou, até o

ponto Q, na borda da piscina. Observe a situação descrita na fi gura abaixo:

Considere: sen 40° � 0,64; cos 40° � 0,77; tg 40° � 0,84 e 13 3,61)

a) Qual é o comprimento, em metros, da rampa inclinada do tobogã?

b) Quantos metros Gustavo nadou?

Questão 8

Os ingressos seriam mais baratos se não houvesse meia entrada?

Sim. O preço é maior porque 80% pagam meia.

[... ]

A conta é simples: o produtor sabe quanto quer ganhar e estima que 80% vão entrar pagando meia; cabe aos outros 20% cobrir o prejuízo. “Como a maioria paga metade, o ingresso tem que subir para a conta fechar”, diz um produtor de eventos.

Fonte: revista Superinteressante, jul. 2011.

Considere as informações contidas no texto acima, em uma sala de cinema lotada, com 180 lugares, cujo ingresso custa r$ 15,00.

a) Qual terá sido a arrecadação total desta sessão?

b) Qual o preço médio dos ingressos nesta sessão?

respostas:

1. a) 1 h 30 min b) Estrada 2

2. a) 339 pessoas b) 2,5 m

3. a) x2 � 4x � 32 � 0 b) 4

4. a) 2x2 � 4x � 2 b) x � 6

5. a) 25 cm b) 30 cm2

6. a) 13,2 m b) 68 cm2

7. a) 20 m b) 21,66 m

8. a) r$ 1.620,00 b) r$ 9,00

18 m

40º

15,4 m

P

12 m

Q

HÉLI

O S

ENAT

ORE

prATiCAnDO mATEmÁTiCA - 9º AnO – pnLD 2014MP - Parte esPecífica – mAC 2



8. SugestõesdelivrosesitesparaoprofessorNo magistério, como em várias outras profissões, estudar continuamente e atualizar-se é

indispensável.

Fornecemos algumas sugestões de livros e sites que podem auxiliá-lo nessa nobre tarefa – a de ensinar.

8.1Livros

8.1.1Matemáticapormeiodejogoseresoluçãodeproblemas• BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática.

São Paulo: IME–USP, 1995.

• ENZENSBERGER, Hans. O diabo dos números. São Paulo: Cia. das Letras, 1997.

• KALEFF, Ana Maria. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Rio de Janeiro: Eduff, 2003. (Coleção O Prazer da Matemática.)

• KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1996.

• LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 1997.

• OBERMAIR, G. Quebra-cabeças: truques e jogos com palitos de fósforos. Rio de Janeiro: Ediouro, 1981.

• SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; MILANI, Estela. Cadernos do Mathema: Jogos de Matemática de 6o a 9o ano. São Paulo: Artmed, 2007.

• TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987.

• ______. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2001.

8.1.2HistóriadaMatemáticaeHistóriadaEducaçãoMatemática• BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996.

• CARAÇA, Bento Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1998.

• IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992.

• MIGUEL, A.; MIORIM, M.A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Ho-rizonte: Autêntica, 2004.

• MIORIM, M.A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998.

• STRUICK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.

8.1.3Paradidáticos• Coleção Contando a História da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1996. Flashes

da História da Matemática e situações-problema para o aluno resolver.

• Coleção Pra que serve Matemática? Diversos autores. São Paulo: Atual, 1990. Temas variados como: Números negativos, Ângulos e Álgebra, entre outros.

PRATICANDO MATEMÁTICA - 9º ANO – PNLD 2014MP - PartEESPEcífica – MAC 2



• Coleção Vivendo a Matemática. Diversos autores. São Paulo: Scipione, 1990. Temas varia-dos como: problemas curiosos, os números na história das civilizações, teorema de Pitágoras, Lógica, Poliedros etc.

• Série A descoberta da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1991. Temas variados como: Números negativos, Frações e Ângulos, entre outros.

• BELLOS, Alex. Alex no país dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.

8.1.4EducaçãoMatemática• CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, na escola

zero. São Paulo: Cortez, 1995.

• Coleção Matemática: aprendendo e ensinando. Diversos autores. São Paulo: Atual.

• Coleção Tendências em Educação Matemática. Diversos autores. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

• COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.). As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1994.

• D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 2001.

• KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1980.

• LINDQUIST, M. M.; SCHULTE, Albert P. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.

• MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna. São Paulo: Cortez, 1990.

• MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. O ensino da Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986.

• POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

coleçãodepublicaçõesdocaEM–iME/USP:

1. O uso de malhas no ensino de Geometria.

2. Materiais didáticos para as quatro operações.

3. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria.

4. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil.

5. Álgebra: das variáveis às equações e funções.

6. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática.

7. A Matemática das sete peças do Tangram.

O Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) é um órgão de extensão vinculado ao Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP). O Caem assessora professores, promovendo cursos e produzindo materiais de apoio para as aulas de Matemática. O site do Caem e o e-mail para contato são, respectivamente, <http://www.ime.usp.br/caem> e [email protected].

PRATICANDO MATEMÁTICA - 9º ANO – PNLD 2014MP - PartEESPEcífica – MAC 2



8.2 Revistas• revista do Professor de Matemática (rPM)

Conhecida como RPM, a revista é distribuída ininterruptamente desde o ano de 1982, e é uma publicação da sociedade Brasileira de Matemática que, dentre outras atividades, promove também as Olimpíadas de Matemática. O endereço para contato com a rPM é Caixa Postal 66.281 – são Paulo (sP), CEP 05311-970, fone: (11) 3091-6124, e o ende-reço eletrônico é [email protected]. O site da revista é www.rpm.org.br, e nela o professor encontrará artigos sobre ensino de Matemática e discussões gerais que podem auxiliá-lo em suas dúvidas.

• Boletim de Educação Matemática (Bolema)

O Bolema foi criado no ano de 1985, no Programa de Pós-graduação em Educação Matemá-tica da Unesp de rio Claro, que é o mais antigo Programa de Pós-graduação, nessa área, na América Latina. Voltado à divulgação de artigos de pesquisa, todo o conteúdo da revista está disponível gratuitamente no site <www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br>. Atualmente o BO-LEMA tem três edições anuais e alguns números especiais, voltados à discussão de temas espe-cíficos (Ensino de números racionais (de 2008), Avaliação em Matemática (de 2009), História da Educação Matemática (de 2010), Educação Estatística (de 2011) e Modelagem Matemática (de 2012).

• revista zetetiké

O nome zetetiké está relacionado ao termo “pesquisa”. A revista Zetetiké é uma publicação do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) da faculdade de Edu-cação da Unicamp. A zetetiké circula bimestralmente desde o ano de 1993 e todas as suas edições podem ser acessadas gratuitamente em: <www.fe.unicamp.br/zetetike/archive.php>.

• Boletim Gepem

O Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática (Gepem) é um grupo carioca que começou a funcionar no ano de 1976 e é o mais antigo ainda em funcionamento no Brasil. Voltado a publicar artigos de pesquisa e experiências em sala de aula, o Boletim Gepem, de periodicidade bimestral, pode ser acessado gratuitamente no site: <www.gepem.ufrrj.br>.

• revista Nova Escola

Publicada pela Editora Abril, a revista Nova Escola é uma revista especifica de Educação Matemática, seu conteúdo é sobre Educação. frequentemente, porém, podemos encon-trar em suas páginas artigos que tratam do ensino e aprendizagem de Matemática, além de textos relativos a outras disciplinas e de discussões gerais acerca das práticas escolares. Ao contrário das demais publicações aqui referenciadas, a revista Nova Escola é uma edi-ção comercial, que pode ser comprada em bancas e cujas edições são mensais. O site da revista é: <www.novaescola.org.br>.




• revista Educação e Matemática

A Educação e Matemática é um periódico da Associação de Professores de Matemática de Portugal, publicada desde 1987 e com periodicidade atual de cinco edições anuais. A revista publica artigos sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, relatos de experiências e pro-postas de atividades para a sala de aula. Há alguns artigos e materiais disponíveis on-line (o acesso integral a todos os artigos só é possível a associados) pelo site: <www.apm.pt/portal/em.php>.

8.3 SitesVivemos num mundo de comunicação e informação, o que implica serem infinitas as pos-

sibilidades de encontrarmos, à nossa disposição, motivações e propostas para implementarmos em sala de aula ou usarmos para nossa formação complementar continuada, para atualizarmos nossos conhecimentos. A internet é um dos melhores exemplos dessas infinitas possibilidades. Mas exatamente por serem tantas as informações disponíveis, os professores devem ser caute-losos quando “passeando” pelo mundo virtual. Embora sugestões criativas para nosso trabalho possam vir de onde menos se espera – o mundo está cheio de situações que podem ser usadas criativa e criteriosamente em nossas salas de aula – nossas visitas a sites na internet não podem prescindir de uma boa dose de cuidado. Para auxiliar os professores em suas buscas, oferecemos alguns sites. Páginas virtuais de grupos de pesquisa, universidades, centros de formação conhe-cidos, profissionais experientes, instituições oficiais e não governamentais reconhecidas por sua atuação e programas de pós-graduação são endereços mais seguros – embora não sejam os únicos – que podem, ao serem acessados, informar o professor e motivá-lo a criar atividades e abordagens para seu cotidiano escolar. Alguns sites já foram disponibilizados nos tópicos ante-riores, outros seguem abaixo:

• www.mathema.com.br

O Mathema é um grupo que investiga novos métodos e materiais para o ensino de Matemá-tica. seu site contém textos e materiais para vários níveis de escolaridade.

• www.sbm.org.br

• www.sbem.com.br

• www.apm.pt

A sociedade Brasileira de Matemática (sBM) –, a sociedade Brasileira de Educação Matemá-tica (sBEM) e a Associação de Professores de Matemática de Portugal (APM) são sociedades voltadas à pesquisa e ao ensino, e em seus sites os professores podem encontrar informações sobre eventos e publicações. Essas sociedades mantêm revistas especializadas em ensino de Matemática – a sBM publica a Revista do Professor de Matemática; a APM publica as revistas Quadrante (revista teórica e de investigação) e Educação e Matemática; a sBEM publica, além de boletins eletrônicos frequentes, a Educação Matemática em Revista e a Revista Internacio-nal de Pesquisa em Educação Matemática (Ripem). Cada estado da federação tem uma sBEM regional, e muitas delas também mantêm boletins e revistas com informações e atividades para professores de Matemática.




• www.ibge.gov.br

• www.ibge.gov.br/paisesat/main.php

site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística e do link em que recentemente foi dis-ponibilizado um mapa-múndi digital. Esse mapa-múndi traz síntese, histórico, indicadores sociais, economia, redes, meio ambiente, entre outras curiosidades, relativos a todos os países do mundo.

Veja, a seguir, exemplos – dentre os muitos existentes – de sites de Programas de Pós-graduação em Educação Matemática ou de Ensino de Ciências e Matemática em funcionamento no Brasil. Nesses sites o professor pode encontrar informações sobre cursos, disciplinas, eventos e outras atividades rela-tivas à pesquisa sobre o ensino de Matemática e a práticas de ensino de Matemática.

• www.rc.unesp.br/igce/pgem/

• www.pucsp.br/pos/edmat/

• www.propesq.ufpe.br/index.php?option=com_content&view=article&id=70&Itemid=138

• www.pg.im.ufrj.br/pemat/mestrado.htm

• www.edumat.ufms.br/

• www.mat.ufrgs.br/~ppgem/

• www.ufjf.br/mestradoedumat/

• www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/

Outros sites de interesse para os professores de Matemática • www.cabri.com.br/index.php

• www.matinterativa.com.br/layout.swf

• www.ime.usp.br/~matemateca

• www.somatematica.com.br

• educar.sc.usp.br/matematica

• matematica.com.sapo.pt

• nautilus.fis.uc.pt

• www.programaescoladigital.org.br

• www.obm.org.br

• www.obmep.org.br

Portais educacionais e objetos de aprendizagemObjetos de aprendizagem (OA) são jogos, animações, experimentos, vídeos, textos etc., disponi-

bilizados na internet para uso de professores e alunos.

Há vários portais e repositórios que podem ser consultados. seguem sugestões:

• mdmat.mat.ufrgs.br

• www.wisc-online.com/ListObjects.aspx

• www.apm.pt/portal/index.php?id=26373

• www.mais.mat.br/wiki/Pagina_principal




• www.portaldoprofessor.mec.gov.br/índex.html

• objetoseducacionais2.mec.gov.br

• escolovar.org/mat.htm

• www.diaadia.pr.gov.br

• repositórios de Objetos de Aprendizagem:

Rived – rived.mec.gov.brBioe – objetoseducacionais2.mec.gov.br/LabVirt – www.labvirt.fe.usp.brCesta – www.cinted.ufrgs.br/CEsTA

• repositórios Internacionais:

Merlot – www.merlot.orgAriadne – www.ariadne-eu.org




9. Referências bibliográficasBOrIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. são

Paulo: IME–UsP, 1995.

BOYEr, Carl B. História da Matemática. são Paulo: Edgard Blücher, 1996.

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27454C0227 M

praticando matemática 9

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