Ensino Superior

7. Integrais DuplasConceitos e Propriedades

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Integrais Duplas

• Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

Exemplo 1

Exemplo 2

dx

Exemplo 3

2/32

3/2

2

2

131

3u-

du 21

21-dr

21

dr .1

r

u

dur

dudrrur

rr

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Exemplo 7

Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].R

dAxyysen )(

R

dAxyy )sin( dydxxyy2

1 0 )sin(

dxxyydx 2

1 0 ))(cos(1 dxdyxyxyy xx 2

1 00 ])cos(|)cos([ 11

dxxyxxx 2

1 02 ]|)sin()cos([ 11 dxxx

xx

2

1 2 ][ )cos()sin(

2

1

2

1 2

)cos()sin( dxdx xx

xx

2

1

2

1 2

)sin()sin(x

xdx

x dx

2

1 2

2

1 2

)sin(2

1)sin()sin( dxdx

xx

xx

xx 0

2

1)sin(

xx

Exemplo 8Calcule a integral Iterada 1 1 2

0sin

xy dy dx

D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}

1 1 2 2

0sin sin

xD

y dy dx y dA

Exemplo 8Calcule a integral Iterada 1 1 2

0sin

xy dy dx

D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

1 1 2 2

0sin sin

xD

y dy dx y dA

Exemplo 8Calcule a integral Iterada 1 1 2

0sin

xy dy dx

1 1 2 2

0

1 2

0 0

1 200

1 2

0

1212 0

12

sin sin

sin

sin

sin

cos

(1 cos1)

xD

y

x y

x

y dy dx y dA

y dx dy

x y dy

y y dy

y

Exercícios

1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1.

dAx

x

R

sen

2) Resolver a integral dupla . 2

0

2

2

)24(.x

x

dydxx

3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .

Propriedades das Integrais Duplas

Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

Múltiplo constante:

Soma e diferença:

Aditividade: (R = R1 + R2)

RR

dxdyyxfkdxdyyxfk ),(),(.

RRR

dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([

21

),(),(),(RRR

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf

Cálculo de Integrais Duplas

Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada.

a bx

y

c

d

x

y

b

a

d

c

d

c

b

aR

dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(

fixo fixo

Cálculo de Integrais Duplas

a bx

y

h(x)

g(x)

x

b

a

xg

xhA

dydxyxfdAyxf)(

)(

),(),(

A

Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada.

Cálculo de Integrais Duplas

d

x

y

d

c

yg

yhR

dxdyyxfdAyxf)(

)(

),(),(

c

h(y) g(y)y

A

Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada.

Cálculo de Integrais Duplas

b

a

b

a

xg

xg

dxdyyxfdxxAV)(2

)(1

]),(.[)( b

a

d

c

yh

yh

dydxyxfdyyAV)(2

)(1

]),(.[)(

Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares

b

a

b

a

xg

xg

dxdyyxfdxxAV)(2

)(1

]),(.[)(

Cálculo de Integrais Duplas

Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

b

a

d

c

yh

yh

dydxyxfdyyAV)(2

)(1

]),(.[)(

Cálculo de Integrais Duplas

Integrais Iteradas – Definição

d

c

b

a

b

a

d

cR

dydx)y,x(f

dxdy)y,x(fdA)y,x(f

Exercícios

Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas

y = 2x2 e y = 1 + x2.

D

dA)y2x(

dxdyyxx

x

1

1

1

2

2

2 )2(

dxyxyxy

xy

2

2

1

2

1

1

2

dxxxxxx

1

1

43222 42)1()1(

dxxxxx

1

1

234 1231

1232

453

345

xxxxx

1532

Exercícios

Resposta: 36

Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6.

D

xydA

Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6.

D

xydA

212

212

4 1

2 3

124

23

4 2 2 21 12 22

54 3 212 2

46 34 21

22

2

( 1) ( 3)

4 2 84

2 4 3624 3

y

yD

x y

x y

xydA xy dx dy

x y dy

y y y dy

y y y y dy

y yy y

Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6.

D

xydA

1 2 6 5 2 6

3 2 6 1 1

x x

x xD

xydA xy dy dx xy dy dx

Exercícios

Exercícios

)4(2

0

23

2

dydxyxx

x

dxyyx xx

2

0

22

32)

24(

dxxxxxxx 2

0

22323 )(2.)2(22

)8(2

0

52 dx -xx 20

63

638 x -x

332

664

664

364

-

Exercícios

)4(4

02

3 dxdyyxy

ydyxyx y

y2

4

0

4

44

dyyy

y

yyy

4

0

4

.2

442.4

4

2

84

64

4

0

2232

dyyyyy

40

3225

3

32

8.225

464.3

yyyy

Exercícios

40

3225

3

32

8.225

464.3

yyyy

40

3225

3

32

1658

192yyyy

34.2

164

54.8

1924 322

53

332

31281

54.128

31

34.2

164

54.8

1924 322

53

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

b

a

d

c

b

a

d

cR

dydx

dydxyxfdxdyyxf

RdeàreaVM

),(),(

..1

Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

Exemplo:

Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no retângulo 0 x e 0 x /2.