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<p>POSCOMP 2011</p> <p>Exame Nacional para Ingresso na Ps-Graduao em Computao 9/10/2011 INSTRUES1. Conra, abaixo, seu nome e nmero de inscrio. Assine no local indicado. 2. Verique se os dados impressos no Carto-Resposta correspondem aos seus. Caso haja alguma irregularidade, comunique-a imediatamente ao Aplicador da Prova. 3. No sero permitidos emprstimos de materiais, consultas e comunicao entre os candidatos, tampouco o uso de livros e apontamentos. Relgios e aparelhos eletrnicos em geral devero ser desligados. O no cumprimento dessas exigncias ocasionar a excluso do candidato deste Exame. 4. Aguarde o Aplicador da Prova autorizar a abertura do Caderno de Prova. Aps a autorizao, conra a paginao antes de iniciar a Prova. 5. Este Caderno de Prova contm 70 (setenta) questes objetivas, cada qual com apenas 1 (uma) alternativa correta. No Carto-Resposta, preencha, com tinta preta, o retngulo correspondente alternativa que julgar correta para cada questo. 6. No Carto-Resposta, anulam a questo: a marcao de mais de uma alternativa em uma mesma questo, as rasuras e o preenchimento alm dos limites do retngulo destinado para cada marcao. No haver substituio do Carto-Resposta por erro de preenchimento. 7. No sero permitidas perguntas ao Aplicador da Prova sobre as questes da Prova. 8. A durao desta prova ser de 4 (quatro) horas, j includo o tempo para o preenchimento do Carto-Resposta. 9. O tempo mnimo para ausentar-se denitivamente da sala de 1 (uma) hora. 10. Ao concluir a prova, permanea em seu lugar e comunique ao Aplicador da Prova. 11. Aguarde autorizao para devolver, em separado, o Caderno de Prova e o Carto-Resposta, devidamente assinados.</p> <p>Transcreva abaixo as suas respostas, dobre na linha pontilhada e destaque cuidadosamente esta parte. .................................................................................................................................... RESPOSTAS</p> <p>01 19 37 55</p> <p>02 20 38 56</p> <p>03 21 39 57</p> <p>04 22 40 58</p> <p>05 23 41 59</p> <p>06 24 42 60</p> <p>07 25 43 61</p> <p>08 26 44 62</p> <p>09 27 45 63</p> <p>10 28 46 64</p> <p>11 29 47 65</p> <p>12 30 48 66</p> <p>13 31 49 67</p> <p>14 32 50 68</p> <p>15 33 51 69</p> <p>16 34 52 70</p> <p>17 35 53</p> <p>18 36 54</p> <p>O gabarito ocial provisrio estar disponvel no endereo eletrnico www.cops.uel.br a partir das 20 horas do dia 9 de outubro de 2011.</p> <p>MATEMTICA 1 Considere a matriz a seguir. 2 4 2 A= 1 5 2 4 1 9 No mtodo da eliminao de Gauss, foram efetuados os seguintes passos para se obter uma matriz na forma degrau: I. Subtraiu-se a metade da primeira linha da segunda. II. Subtraiu-se o dobro da primeira linha da terceira. III. Adicionou-se o triplo da segunda linha terceira. Em termos matriciais, o processo descrito corresponde a: a) Adicionar A a matriz 0 0 0 1 2 0 4 1 1 0 0 0 2 0 0 1/2 1/3 0 1 1/2 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1/2 1 0 7/2 3 1 2 0 0 4 2 5 2 0 9 x a + y b = 1 que formam</p> <p>b) Multiplicar A, esquerda, por</p> <p>c) Multiplicar A, direita, por</p> <p>d) Multiplicar A, esquerda, por</p> <p>e) Subtrair de A a matriz</p> <p>2 Sejam a e b nmeros reais no nulos. As duas retas perpendiculares reta a) ax by = 1 e ax + by = 1 x y y x b) =1e =1 a b b a x2 y2 x2 y2 c) 2 + 2 = 1 e 2 2 = 1 b a b a x y y x d) = 2e = 2 b a a b x x y y e) + = 2e + = 2 |b| |a| |b| |a| tringulos de rea |ab| com os eixos ordenados so descritas pelas equaes:</p> <p>3 Suponha que, em vez de usar a base padro {e1 , e2 } para R2 , onde e1 = [1, 0]T e e2 = [0, 1]T , deseja-se utilizar a base {u1 , u2 }, com u1 = [3, 2]T e u2 = [1, 1]T As coordenadas do vetor x = [7, 4]T em relao a u1 e u2 so: a) [0, 1]T b) [1, 2]T d) [4, 3]T c) [3, 2]T</p> <p>e) [15, 18]T 1 / 24</p> <p>4 O valor de x &gt; 0, pertencente ao primeiro quadrante, para a expresso 2 + 2cos(x) + 2cos(x)cos(x) + 2cos(x)cos(x)cos(x) + 2cos(x)cos(x)cos(x)cos(x) + ... = 4 : a) 0 b) 6 c) 3 d) 2 e) 5 Em muitos problemas prticos, deseja-se encontrar a reta r(x) = ax + b que melhor se ajusta a um conjunto {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ..., (xn , yn )} de pontos no plano. No mtodo dos mnimos quadrados, os coecientes a e b da reta so determinados de modo que o erro, dado pela soma do quadrado da diferena entre yi e r(xi ), isto ,n</p> <p>Erro(a, b) =i=1</p> <p>(yi r(xi ))2 ,</p> <p>seja o menor possvel. A tabela a seguir mostra o conjunto de pontos {(3, 3), (2, 2), ..., (2, 6), (3, 6)} no plano. x y -3 -3 -2 -2 -1 2 0 2 1 4 2 6 3 6</p> <p>A reta que melhor se ajusta aos dados apresentados nessa tabela, no sentido dos mnimos quadrados, : a) r(x) = x 15 x b) r(x) = 7 3 3 c) r(x) = x + 2 2 15 45 x+ d) r(x) = 28 7 7 45 e) r(x) = x + 2 7 6 O problema de determinar um vetor normal a um tringulo ou polgono muito comum em computao grca. Dado o tringulo formado pelos pontos A(1, 2, 3), B(3, 2, 1) e C(1, 1, 1), um vetor normal, n, a esse tringulo dado por: a) n = [2, 4, 2]T b) n = [0, 0, 4]T d) n = [3, 4, 5]T e) n = [5, 5, 5]T 7 Com base em f (x, y, z) = x2 ey + 2zy, uma funo real de trs variveis reais, considere as armativas a seguir. I. O ponto P0 = (1, 0, 1) um ponto crtico de f . II. A funo f contnua no ponto P0 = (1, 0, 1). 3 2 III. A direo unitria em que f cresce mais rapidamente no ponto P0 = (1, 0, 1) i + j. 13 13 IV. O vetor gradiente de f no ponto P0 nulo se, e somente se, P0 = (0, 0, 0). Assinale a alternativa correta. a) Somente as armativas I e II so corretas. b) Somente as armativas I e III so corretas. 2 / 24 c) n = [2, 1, 4]T</p> <p>c) Somente as armativas III e IV so corretas. d) Somente as armativas I, II e IV so corretas. e) Somente as armativas II, III e IV so corretas. 8 Relacione a equao em coordenadas polares da coluna da esquerda com a gura geomtrica correspondente apresentada na coluna da direita.</p> <p>(I) sen() =</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>(A)</p> <p>(II) r = 2cos(3)</p> <p>(B)</p> <p>(III) r =</p> <p>1 1 sen()</p> <p>(C)</p> <p>(IV) cos(r) = 0</p> <p>(D)</p> <p>(V) r = 2cos() a) I-A, II-C, III-D, IV-E, V-B. b) I-A, II-D, III-B, IV-C, V-E. c) I-B, II-C, III-E, IV-A, V-D. d) I-B, II-E, III-A, IV-D, V-C. e) I-D, II-E, III-C, IV-B, V-A.</p> <p>(E)</p> <p>Assinale a alternativa que contm a associao correta.</p> <p>3 / 24</p> <p>9 Considere o polinmio pn (x) = an xn + ... + a1 x + a0 em seu formato padro que pode ser escrito no formato encadeado pn (x) = x(x(...x(x(an x + an1 ) + an2 ) + ... + a2 ) + a1 ) + a0 , colocando a varivel x em evidncia num nmero nito de vezes at que no seja mais possvel faz-lo. Considerando que todos os coecientes do polinmio so diferentes de zero, correto armar que o total de operaes de adio e multiplicao para obter o valor de p100 (5) : a) Duas vezes maior no formato encadeado que no padro. b) Igual no formato padro e no encadeado. c) Impossvel de ser calculado. d) Maior no formato encadeado que no padro. e) Maior no formato padro que no encadeado. 10 A proporo de computadores acessando um provedor em um dado instante t a partir das 8 horas dada por 1 N (t) = 1 + 3ekt onde o instante t dado em horas e k uma constante positiva. A proporo estimada de computadores acessando este provedor ao meio-dia de: 1 a) ln(2 + e4k ) k 1 (3e12k + 1) b) ln k 4 1 (3e12k + 1) c) ln k (3 + e8k ) 1 (3 + e4k ) ln k 4 1 (3 + e4k )3k e) ln k 4 d) 11 Sobre a funo f : R (1, 1) denida pela lei f (x) = a) f bijetora. b) f decrescente. c) f no injetora, mas sobrejetora. d) f no sobrejetora, mas injetora. e) f no sobrejetora nem injetora. 12 Com base na funo f (x) = 6x3/2 x2 1, considere as armativas a seguir. I. f tem um zero no intervalo [0,1] II.x+</p> <p>x 1 + |x|</p> <p> correto armar:</p> <p>lim f (x) = + 81 4</p> <p>III. f assume o valor mximo no ponto x = IV. f possui uma descontinuidade em zero Assinale a alternativa correta. a) Somente as armativas I e II so corretas. b) Somente as armativas I e III so corretas. c) Somente as armativas III e IV so corretas. d) Somente as armativas I, II e IV so corretas.</p> <p>e) Somente as armativas II, III e IV so corretas.</p> <p>4 / 24</p> <p>13 Considere o grafo a seguir.</p> <p>O grafo representa a relao: a) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (4, 3)} b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 4)} d) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 4), (4, 3)} c) R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4)}</p> <p>e) R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (4, 3)} 14 Considere as proposies p e q, cujas respectivas negaes so p e q. Ento correto armar que a recproca de p q : a) q p c) p q b) q p</p> <p>d) p e q e) p e q</p> <p>15 Considere o inteiro 360. Se x a quantidade de seus divisores inteiros e positivos e y a quantidade de seus divisores inteiros, positivos e pares, ento correto armar: a) x divide y. b) y divide x. c) x = y. e) x y divide x e x y divide y. 16 Considere a armao a seguir. Se um nmero inteiro primo e quadrado perfeito, ento ele negativo. Com relao a essa proposio, assinale a alternativa correta. a) A armao falsa. b) A armao verdadeira. c) A armao verdadeira e falsa. d) No possvel decidir se a armao verdadeira ou falsa. e) No existe um inteiro primo negativo. 17 Sejam A e B eventos arbitrrios de um espao amostral, em que B o complementar de B. Nessas condies, correto armar: a) P (A) &gt; P (B) b) P (A) &lt; P (B) c) P (A) = P (B) d) P (A) = P (B) e) P (A) = P (A B) + P (A B) 5 / 24 d) x y mltiplo de 5.</p> <p>18 Sejam 10 cidades conectadas por rodovias, conforme o grafo a seguir.</p> <p>Um vendedor sai de uma das cidades com o intuito de visitar cada uma das outras cidades uma nica vez e retornar ao seu ponto de partida. Com base no grafo e nessa informao, considere as armativas a seguir. I. O vendedor cumprir seu propsito com xito se sair de uma cidade par. II. O vendedor cumprir seu propsito com xito se sair de uma cidade mpar. III. O vendedor no cumprir seu propsito com xito se sair de uma cidade par. IV. O vendedor no cumprir seu propsito com xito se sair de uma cidade mpar. Assinale a alternativa correta. a) Somente as armativas I e II so corretas. b) Somente as armativas I e IV so corretas. c) Somente as armativas III e IV so corretas. d) Somente as armativas I, II e III so corretas. e) Somente as armativas II, III e IV so corretas. 19 Zezinho aposta 6 nmeros, dentre os 60 disponveis, no jogo da mega-sena. Aps o sorteio, Zezinho observa que o resultado formado por 6 nmeros primos. Se, no momento de sua aposta, Zezinho tivesse essa informao, ento a probabilidade de acerto de Zezinho seria de:</p> <p>a)</p> <p>b)</p> <p>c)</p> <p>d)</p> <p>e)</p> <p>20 O cdigo Morse usa dois smbolos: ponto e trao horizontal. Se as palavras desse alfabeto tiverem de 1 a 4 letras, correto armar que o cdigo Morse permitir escrever: a) 8 palavras. b) 16 palavras. c) 30 palavras. d) 32 palavras. e) 256 palavras.</p> <p>6 / 24</p> <p>FUNDAMENTOS DE COMPUTAO Para responder s questes 21 e 22, considere a seguinte variante do algoritmo quicksort para ordenao de uma lista de inteiros x1 , . . . , xn : Algoritmo QS(x1 , . . . , xn ) Entrada: x1 , . . . , xn Z.</p> <p>1. Se n = 2 e x1 &gt; x2 , permutar x1 com x2 . 2. Se n 2, retornar. 4. Enquanto i &lt; j, 4.1 4.2 4.3 Enquanto x1 xi e i &lt; n + 1, incrementar i. 3. i 2, j n,</p> <p>Sada: x1 , . . . , xn Z.</p> <p>Enquanto x1 &lt; xj , decrementar j. Se i &lt; j, permutar xi com xj .</p> <p>5. Permutar x1 com xj . 6. QS(x1 , . . . , xj1 ) 7. QS(xj+1 , . . . , xn ) 21 Seja (x1 , ..., xn ) o nmero total de permutaes de dois elementos durante a execuo do algoritmo QS, inclusive durante as chamadas recursivas. Seja max (n) o maior valor de (x1 , . . . , xn ) para todas as listas possveis de comprimento n. Sabendo que max (n) = max max (j 1) + max (n j) + min(j 1, n j) + 1,1jn</p> <p>a) b) c) d) e)</p> <p>max(n) max(n) max(n) max(n) max(n)</p> <p>= n 1. est em o(n). est em O(n log(n)), mas no em O(n). est em O(n2 ), mas no em O(n log n). &gt; 2n .</p> <p>22 Assinale a alternativa correta. a) O tempo de execuo do algoritmo QS, no pior caso, para entradas de tamanho n, de (n log2 (n)). b) O tempo de execuo total do algoritmo para a entrada x1 , . . . , xn sempre de O((x1 , . . . , xn )). c) O tempo de execuo total do algoritmo QS para a entrada x1 , . . . , xn no proporcional soma das vezes que cada uma das linhas foi executada. d) O tempo de execuo do algoritmo QS, no pior caso, para entradas de tamanho n, de (n2 ). e) O nmero total de comparaes do algoritmo QS, incluindo as chamadas recursivas, de O(max (n)) no pior caso. 23 Ao usar o clculo de endereo ou hashing, geralmente necessrio o uso de um mtodo de tratamento de colises. Sobre esse mtodo, correto armar: a) O tratamento de colises necessrio apenas quando a tabela est cheia e se necessita inserir mais uma chave. b) O tratamento de colises necessrio para determinar o local da chave no momento da insero na tabela. c) O tratamento de colises necessrio quando a tabela est vazia, pois no possvel calcular o endereo diretamente nesse caso. d) O tratamento de colises necessrio quando a chave inserida ainda no existir na tabela de endereamento. e) O tratamento de colises necessrio, pois o hashing gera repetio de endereo para diferentes chaves. 7 / 24</p> <p>24 Sejam TA (n) e TB (n) os tempos de execuo de pior caso de dois algoritmos A e B propostos para um mesmo problema computacional, em funo de um certo parmetro n. Dizemos que o algoritmo A mais eciente que o algoritmo B assintoticamente no pior caso quando a) TA (n) = o(TB (n)). b) TB (n) = o(TA (n)). c) TA (n) = O(TB (n)). d) TB (n) = O(TA (n)). e) TA (n) = (TB (n)). 25 Com relao aos mtodos de ordenao, relacione a coluna da esquerda com a coluna da direita. (I) (II) Insero Seleo (A) (B) Encontra o menor elemento e o troca com a primeira posio, depois o segundo menor com a segunda posio e assim sucessivamente (n-1 vezes). As comparaes e trocas so feitas baseadas em uma distncia determinada (por exemplo: distncia 4, onde o primeiro seria comparado com o quinto elemento, o segundo com o sexto, e assim sucessivamente), depois a distncia reduzida. Este processo se repete at que a distncia seja 1 e as ltimas comparaes e trocas sejam efetuadas. A partir do segundo elemento, este deve ser colocado na sua posio correspondente (entre os elementos j analisados, como ao se organizarem as cartas de baralho na mo do jogador). Repete-se o procedimento at o ltimo elemento. Escolhe-se um ponto de referncia (piv) e separam-se os elementos em 2 partes: esquerda, cam os elementos menores que o piv, e direita, os maiores. Repete-se este processo para os grupos de elementos formados (esquerda e direita) at que todos os elementos estejam ordenados. Divide-se o grupo de elementos ao meio, repete-se a diviso para cada um dos subgrupos, at que cada subgrupo tenha apenas 1 elemento. Nesse ponto, faz-se o reagrupamento dos subgrupos comparando os elementos e trocando, se necessrio, para que eles quem ordenados. Repete-se este procedimento at restar um s grupo de elementos.</p> <p>(III)</p> <p>QuickSort</p> <p>(C)</p> <p>(IV)</p> <p>ShellSort</p> <p>(D)</p> <p>(V)</p> <p>MergeSort (ou ordenao por fuso)</p> <p>(E)</p> <p>Assinale a alternativa que contm a associao correta. a) I-A, II-D, III-B, IV-C, V-E. b) I-B, II-A, III-C, IV-E, V-D. c) I-B, II-A, III-E, IV-D, V-C. d) I-C, II-A, III-D, IV-B, V-E. e) I-D, II-E, III-B, IV-A, V-C. 26 A teoria da computabilidade, em conjunto com a lgebra booleana, g...</p>