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POSCOMP 2011

Exame Nacional para Ingresso na Ps-Graduao em Computao 9/10/2011 INSTRUES1. Conra, abaixo, seu nome e nmero de inscrio. Assine no local indicado. 2. Verique se os dados impressos no Carto-Resposta correspondem aos seus. Caso haja alguma irregularidade, comunique-a imediatamente ao Aplicador da Prova. 3. No sero permitidos emprstimos de materiais, consultas e comunicao entre os candidatos, tampouco o uso de livros e apontamentos. Relgios e aparelhos eletrnicos em geral devero ser desligados. O no cumprimento dessas exigncias ocasionar a excluso do candidato deste Exame. 4. Aguarde o Aplicador da Prova autorizar a abertura do Caderno de Prova. Aps a autorizao, conra a paginao antes de iniciar a Prova. 5. Este Caderno de Prova contm 70 (setenta) questes objetivas, cada qual com apenas 1 (uma) alternativa correta. No Carto-Resposta, preencha, com tinta preta, o retngulo correspondente alternativa que julgar correta para cada questo. 6. No Carto-Resposta, anulam a questo: a marcao de mais de uma alternativa em uma mesma questo, as rasuras e o preenchimento alm dos limites do retngulo destinado para cada marcao. No haver substituio do Carto-Resposta por erro de preenchimento. 7. No sero permitidas perguntas ao Aplicador da Prova sobre as questes da Prova. 8. A durao desta prova ser de 4 (quatro) horas, j includo o tempo para o preenchimento do Carto-Resposta. 9. O tempo mnimo para ausentar-se denitivamente da sala de 1 (uma) hora. 10. Ao concluir a prova, permanea em seu lugar e comunique ao Aplicador da Prova. 11. Aguarde autorizao para devolver, em separado, o Caderno de Prova e o Carto-Resposta, devidamente assinados.

Transcreva abaixo as suas respostas, dobre na linha pontilhada e destaque cuidadosamente esta parte. .................................................................................................................................... RESPOSTAS

01 19 37 55

02 20 38 56

03 21 39 57

04 22 40 58

05 23 41 59

06 24 42 60

07 25 43 61

08 26 44 62

09 27 45 63

10 28 46 64

11 29 47 65

12 30 48 66

13 31 49 67

14 32 50 68

15 33 51 69

16 34 52 70

17 35 53

18 36 54

O gabarito ocial provisrio estar disponvel no endereo eletrnico www.cops.uel.br a partir das 20 horas do dia 9 de outubro de 2011.

MATEMTICA 1 Considere a matriz a seguir. 2 4 2 A= 1 5 2 4 1 9 No mtodo da eliminao de Gauss, foram efetuados os seguintes passos para se obter uma matriz na forma degrau: I. Subtraiu-se a metade da primeira linha da segunda. II. Subtraiu-se o dobro da primeira linha da terceira. III. Adicionou-se o triplo da segunda linha terceira. Em termos matriciais, o processo descrito corresponde a: a) Adicionar A a matriz 0 0 0 1 2 0 4 1 1 0 0 0 2 0 0 1/2 1/3 0 1 1/2 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1/2 1 0 7/2 3 1 2 0 0 4 2 5 2 0 9 x a + y b = 1 que formam

b) Multiplicar A, esquerda, por

c) Multiplicar A, direita, por

d) Multiplicar A, esquerda, por

e) Subtrair de A a matriz

2 Sejam a e b nmeros reais no nulos. As duas retas perpendiculares reta a) ax by = 1 e ax + by = 1 x y y x b) =1e =1 a b b a x2 y2 x2 y2 c) 2 + 2 = 1 e 2 2 = 1 b a b a x y y x d) = 2e = 2 b a a b x x y y e) + = 2e + = 2 |b| |a| |b| |a| tringulos de rea |ab| com os eixos ordenados so descritas pelas equaes:

3 Suponha que, em vez de usar a base padro {e1 , e2 } para R2 , onde e1 = [1, 0]T e e2 = [0, 1]T , deseja-se utilizar a base {u1 , u2 }, com u1 = [3, 2]T e u2 = [1, 1]T As coordenadas do vetor x = [7, 4]T em relao a u1 e u2 so: a) [0, 1]T b) [1, 2]T d) [4, 3]T c) [3, 2]T

e) [15, 18]T 1 / 24

4 O valor de x > 0, pertencente ao primeiro quadrante, para a expresso 2 + 2cos(x) + 2cos(x)cos(x) + 2cos(x)cos(x)cos(x) + 2cos(x)cos(x)cos(x)cos(x) + ... = 4 : a) 0 b) 6 c) 3 d) 2 e) 5 Em muitos problemas prticos, deseja-se encontrar a reta r(x) = ax + b que melhor se ajusta a um conjunto {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ..., (xn , yn )} de pontos no plano. No mtodo dos mnimos quadrados, os coecientes a e b da reta so determinados de modo que o erro, dado pela soma do quadrado da diferena entre yi e r(xi ), isto ,n

Erro(a, b) =i=1

(yi r(xi ))2 ,

seja o menor possvel. A tabela a seguir mostra o conjunto de pontos {(3, 3), (2, 2), ..., (2, 6), (3, 6)} no plano. x y -3 -3 -2 -2 -1 2 0 2 1 4 2 6 3 6

A reta que melhor se ajusta aos dados apresentados nessa tabela, no sentido dos mnimos quadrados, : a) r(x) = x 15 x b) r(x) = 7 3 3 c) r(x) = x + 2 2 15 45 x+ d) r(x) = 28 7 7 45 e) r(x) = x + 2 7 6 O problema de determinar um vetor normal a um tringulo ou polgono muito comum em computao grca. Dado o tringulo formado pelos pontos A(1, 2, 3), B(3, 2, 1) e C(1, 1, 1), um vetor normal, n, a esse tringulo dado por: a) n = [2, 4, 2]T b) n = [0, 0, 4]T d) n = [3, 4, 5]T e) n = [5, 5, 5]T 7 Com base em f (x, y, z) = x2 ey + 2zy, uma funo real de trs variveis reais, considere as armativas a seguir. I. O ponto P0 = (1, 0, 1) um ponto crtico de f . II. A funo f contnua no ponto P0 = (1, 0, 1). 3 2 III. A direo unitria em que f cresce mais rapidamente no ponto P0 = (1, 0, 1) i + j. 13 13 IV. O vetor gradiente de f no ponto P0 nulo se, e somente se, P0 = (0, 0, 0). Assinale a alternativa correta. a) Somente as armativas I e II so corretas. b) Somente as armativas I e III so corretas. 2 / 24 c) n = [2, 1, 4]T

c) Somente as armativas III e IV so corretas. d) Somente as armativas I, II e IV so corretas. e) Somente as armativas II, III e IV so corretas. 8 Relacione a equao em coordenadas polares da coluna da esquerda com a gura geomtrica correspondente apresentada na coluna da direita.

(I) sen() =

2

2

(A)

(II) r = 2cos(3)

(B)

(III) r =

1 1 sen()

(C)

(IV) cos(r) = 0

(D)

(V) r = 2cos() a) I-A, II-C, III-D, IV-E, V-B. b) I-A, II-D, III-B, IV-C, V-E. c) I-B, II-C, III-E, IV-A, V-D. d) I-B, II-E, III-A, IV-D, V-C. e) I-D, II-E, III-C, IV-B, V-A.

(E)

Assinale a alternativa que contm a associao correta.

3 / 24

9 Considere o polinmio pn (x) = an xn + ... + a1 x + a0 em seu formato padro que pode ser escrito no formato encadeado pn (x) = x(x(...x(x(an x + an1 ) + an2 ) + ... + a2 ) + a1 ) + a0 , colocando a varivel x em evidncia num nmero nito de vezes at que no seja mais possvel faz-lo. Considerando que todos os coecientes do polinmio so diferentes de zero, correto armar que o total de operaes de adio e multiplicao para obter o valor de p100 (5) : a) Duas vezes maior no formato encadeado que no padro. b) Igual no formato padro e no encadeado. c) Impossvel de ser calculado. d) Maior no formato encadeado que no padro. e) Maior no formato padro que no encadeado. 10 A proporo de computadores acessando um provedor em um dado instante t a partir das 8 horas dada por 1 N (t) = 1 + 3ekt onde o instante t dado em horas e k uma constante positiva. A proporo estimada de computadores acessando este provedor ao meio-dia de: 1 a) ln(2 + e4k ) k 1 (3e12k + 1) b) ln k 4 1 (3e12k + 1) c) ln k (3 + e8k ) 1 (3 + e4k ) ln k 4 1 (3 + e4k )3k e) ln k 4 d) 11 Sobre a funo f : R (1, 1) denida pela lei f (x) = a) f bijetora. b) f decrescente. c) f no injetora, mas sobrejetora. d) f no sobrejetora, mas injetora. e) f no sobrejetora nem injetora. 12 Com base na funo f (x) = 6x3/2 x2 1, considere as armativas a seguir. I. f tem um zero no intervalo [0,1] II.x+

x 1 + |x|

correto armar:

lim f (x) = + 81 4

III. f assume o valor mximo no ponto x = IV. f possui uma descontinuidade em zero Assinale a alternativa correta. a) Somente as armativas I e II so corretas. b) Somente as armativas I e III so corretas. c) Somente as armativas III e IV so corretas. d) Somente as armativas I, II e IV so corretas.

e) Somente as armativas II, III e IV so corretas.

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13 Considere o grafo a seguir.

O grafo representa a relao: a) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (4, 3)} b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 4)} d) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 4), (4, 3)} c) R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4)}

e) R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (4, 3)} 14 Considere as proposies p e q, cujas respectivas negaes so p e q. Ento correto armar que a recproca de p q : a) q p c) p q b) q p

d) p e q e) p e q

15 Considere o inteiro 360. Se x a quantidade de seus divisores inteiros e positivos e y a quantidade de seus divisores inteiros, positivos e pares, ento correto armar: a) x divide y. b) y divide x. c) x = y. e) x y divide x e x y divide y. 16 Considere a armao a seguir. Se um nmero inteiro primo e quadrado perfeito, ento ele negativo. Com relao a essa proposio, assinale a alternativa correta. a) A armao falsa. b) A armao verdadeira. c) A armao verdadeira e falsa. d) No possvel decidir se a armao verdadeira ou falsa. e) No existe um inteiro primo negativo. 17 Sejam A e B eventos arbitrrios de um espao amostral, em que B o complementar de B. Nessas condies, correto armar: a) P (A) > P (B) b) P (A) < P (B) c) P (A) = P (B) d) P (A) = P (B) e) P (A) = P (A B) + P (A B) 5 / 24 d) x y mltiplo de 5.

18 Sejam 10 cidades conectadas por rodovias, conforme o grafo a seguir.

Um vendedor sai de uma das cidades com o intuito de visitar cada uma das outras cidades uma nica vez e retornar ao seu ponto de partida. Com base no grafo e nessa informao, considere as armativas a seguir. I. O vendedor cumprir seu propsito com xito se sair de uma cidade par. II. O vendedor cumprir seu propsito com xito se sair de uma cidade mpar. III. O vendedor no cumprir seu propsito com xito se sair de uma cidade par. IV. O vendedor no cumprir seu propsito com xito se sair de uma ci