pontes - vigas em seção t

7/24/2019 Pontes - Vigas em Seção T

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍCENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

PONTES – NOTAS DE AULAPONTE EM VIGA DE SEÇÃO T

SUPERESTRUTURA – ELEMENTOS PRINCIPAIS

Pedro Wellington G. N. Teixeira

Teresina – PI

Junho de 2003



SUMÁRIO

1. Introdução

2. Dados gerais da obra

3. Ações

4. Dimensionamento das longarinas

Anexo 1

Anexo 2

Anexo 3Bibliografia

2



1. Introdução

Neste trabalho, apresenta-se roteiro de cálculo para projeto de viaduto

rodoviário em concreto armado de acordo com as normas brasileiras. Trata-

se de material didático, apresentado aos alunos da Disciplina Pontes, do

nono período do curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade

Federal do Piauí.

A Disciplina Pontes tem como pré-requisitos Hiperestática II e Concreto II.

Portanto, os conhecimentos de determinação de esforços em estruturas

hiperestáticas, linhas de influência e envoltórias, e dimensionamento de

elementos de concreto armado já devem ser conhecidos pelo aluno .

O projeto que se apresenta neste trabalho é desenvolvido ao longo do

semestre letivo, compreendendo cálculo das ações, determinação dos

esforços devidos às ações permanentes e variáveis e dimensionamento dos

elementos principais e secundários da estrutura. Nesta primeira parte,

estudam-se apenas o cálculo das ações e o dimensionamento das

longarinas.

Convém lembrar que o conteúdo deste trabalho é complementado por

informações apresentadas aos alunos nas aulas teóricas. Devido a isso,

outros leitores podem vir a ter dúvidas ao utilizarem o presente trabalho.

Nesse caso, esclarecimentos adicionais podem ser obtidos no endereço

abaixo.

O autor deste trabalho agradece antecipadamente por críticas e sugestões

que possam contribuir para aprimorá-lo.

Endereço para correspondência:

Pedro Wellington G. N. TeixeiraProfessor Adjunto

Universidade Federal do PiauíCentro de Tecnologia – Departamento de Estruturas

Câmpus Ministro Petrônio Portela – S/No – Bairro Ininga – CEP 64000-000Teresina, Piauí

e-mail: [email protected]

3

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



2. Dados gerais da obra

Trata-se de viaduto rodoviário, Classe 45, conforme definição da NBR 7188

– Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre. A obra tem30m de comprimento. O gabarito transversal apresenta duas pistas de

rolamento com 3,00m de largura cada, dois acostamentos com 1,50m de

largura cada e duas barreiras laterais tipo New Jersey , compreendendo

assim 9,80m de largura no total (Fig.1).

O sistema estrutural é em viga simplesmente apoiada com balanços. O vão

central da viga é de 20m e os balanços têm 5m cada, totalizando ocomprimento de 30m.

Na extremidade dos balanços, encontram-se transversinas extremas que

servem como arrimo para o aterro de acesso (Fig.2).

A superestrutura do viaduto apresenta seção transversal tipo T com duas

longarinas. As longarinas têm altura de 2,00m e largura variável,

aumentando de 40cm no vão para 80cm sobre os apoios. A função desse

alargamento é fornecer maior área de contato nos apoios e também

aumentar a resistência da viga a momentos fletores negativos. (Fig.3).

A solução de se projetar viadutos com extremos em balanço tem como

motivo principal, propiciar economia para a obra por meio da eliminação de

encontros de grande porte nos acessos à ponte. Os encontros são obras

muito caras – de custo unitário geralmente superior ao custo da ponte

propriamente dita. Cumpre observar que tal solução não deve ser usada em

pontes se houver risco do nível da água atingir a saia do aterro.

Com a solução de extremos em balanço consegue-se reduzir bastante os

empuxos de terra dos aterros de acesso, pois o talude da estrada é

projetado sob a ponte. Porém, a manutenção desse aterro em boas

condições pode ser uma tarefa difícil.

4



1500

6 0 0

CL3000

1500

2 0 0

m>1,5

1

8 7

4040 150

180

2 6

1 0

54040

1 4 5

2 5

18040

2 0

3 5 1

8

300 300 150

80 80 2 0 0

980

Figura 1. Vista longitudinal do viaduto e seção no meio do vão

300 180 40 540 40 180 300

5 0

2 0 0

980

Figura 2. Seção transversal na extremidade

5



170 440100 170100

980

8 7

2 6

2 0

ATERRO

80 460 80

Figura 3. Seção transversal nos apoios

Não são raros exemplos de obras com extremos em balanços que

apresentam erosão no aterro de acesso, chegando em alguns casos àinterrupção do tráfego. Tais problemas ocorrem principalmente devido a

deficiências do sistema de drenagem de águas pluviais, na transição da obra

de terra para a obra de arte. Como agravante, há ainda o fato de que as

extremidades dos balanços apresentam vibração com a passagem da carga

móvel. Recomenda-se não utilizar balanços muito longos. Em geral adotam-

se balanços com extensão de 15% a 20% do comprimento, limitando-se

ainda ao máximo de 6m. Para minimizar os problemas nos aterros deacesso deve-se:

6



• executar e manter em boas condições de conservação juntas de

vedação adequadas na transição da estrada para o viaduto;

• executar de maneira adequada os aterros de acesso;• executar dreno na cortina;

• executar e manter desobstruídos drenos na ponte;

• executar meio-fio com sarjeta e canaleta de drenagem na obra de

terra próximo à ponte, conduzindo a água de chuva para locais

adequados e seguros contra erosão;

• proteger a saia do aterro contra erosão causada por água, vento ou

até mesmo vandalismo – nesse caso, a proteção mais eficaz se dácom grama, o que não é possível debaixo da ponte devido à sombra

criada pela estrutura, originando-se necessidade de proteção com

concreto;

Além disso, é indispensável a existência de placas de aproximação que

complementam o sistema de proteção contra erosão. Originalmente

projetadas para reduzir o impacto de veículos na transição da estrada para a

ponte, as placas de aproximação – ou lajes de transição – têm em muitoscasos funcionado como “ponte” sobre vazios criados no aterro de acesso

pela ação erosiva da água.

Na Figura 4, apresentam-se, esquematicamente, os artifícios que podem

amenizar os problemas no aterro de acesso. Porém, deve-se sempre

lembrar que a manutenção preventiva é um complemento também

indispensável para que a obra apresente bom desempenho.

A seqüência construtiva para esse tipo de obra consiste em primeiro

executar a estrutura e posteriormente os aterros. Dessa maneira, os pilares

estarão sujeitos também a empuxos de terra, além da cortina. Porém ainda

assim o empuxo é consideravelmente menor que o que se obteria com

encontros nos acessos.

De acordo com o Item 7.1.4 da norma NBR-7187, na consideração dos

empuxos de terra, deve-se prever o empuxo atuando apenas em uma

extremidade.

7



COMPACTADABRITA GRADUADA JUNTA

CAMADA DRENANTE DRENO

PROTEÇÃO COM CONCRETO

LAJE DE TRANSIÇÃO

PAVIMENTO

COM DECLIVIDADE

ATERRO DE ACESSO

DEFENSA MALEÁVEL

Figura 4.

Nas figuras a seguir, complementam-se as informações necessárias para

desenvolvimento do projeto, no tocante às características geométricas daobra.

2 6

8 7

1 5

2 5

4 7

17.5 5 17.5

40

PINGADEIRA

i = 20%

Figura 5. Detalhe da defensa tipo New Jersey

8



25

25

80

120

8 0

500 1000

415 415

8 0

8 0

3 0 0

4 0

1 4 0

4 0

5 4 0

4 0

1 4 0

4 0

3 0 0

6 0 0

15001000

650500

350

LC

CL

8 0

2 0 0

Figura 6. Meio corte longitudinal e meia vista inferior do tabuleiro (laje detransição não representada)

9



1500

500

1 5 8 0

500 250

TUBOS DE

250

DRENAGEM

Figura 7. Meia vista superior do tabuleiro

10



Os apoios são formados por pilares isolados de concreto armado, com

seção transversal circular, com diâmetro de 100cm, engastados na base e

articulados no topo.O sistema construtivo previsto é moldagem no local, devendo-se para isso

desenvolver projeto de cimbramentos, plano de concretagem, dispositivos de

descimbramento e plano de de descimbramento.

Os materiais empregados serão:

• Concreto C-25

• f ck = 25MPa

• f ctk = 2,2MPa• Ec = 23800MPa

• Aço CA-50/A:

• f yk = 500MPa

• ∆f sd = 180MPa para barras retas e 90MPa para estribos, com

raio de dobramento r = três vezes o diâmetro da barra.

• ηb ≥ 1,5

• Es = 205000MPaOs coeficientes a serem utilizados na determinação dos valores de cálculo

das resistências dos materiais serão:

• γs = 1,15

• γc = 1,5

3. Ações

3.1. GeneralidadesDe acordo com a Norma de Ações e Segurança, NBR 8681, as ações

podem ser classificadas em:

• Ações permanentes;

• Ações variáveis;

• Ações excepcionais

As ações permanentes a serem consideradas no projeto de pontes são

definidas no Item 7 da NBR 7187 e relacionadas abaixo:• Peso próprio de elementos estruturais;

11



• Peso próprio de elementos não estruturais;

• Empuxos de terra e líquidos;

• Forças de protensão;• Deformações impostas, isto é, as provocadas por fluência e

retração do concreto, variações de temperatura e deslocamentos

de apoio;

De acordo com a mesma norma, são as seguintes as ações variáveis a

serem consideradas:

• Cargas móveis e seus efeitos:

• Efeitos dinâmicos, simulados com uso do coeficiente deimpacto;

• Força centrífuga, para pontes em curva;

• Choque lateral;

• Efeitos da frenação e aceleração;

• Cargas de construção;

• Forças devidas ao vento;

• Pressão da água em movimento;Relacionam-se ainda na NBR 7187 as ações excepcionais, definidas como

ações que ocorrem em circunstâncias anormais, como por exemplo:

• Choques de objetos móveis;

• Explosões;

• Fenômenos naturais pouco freqüentes, como ventos ou enchentes

catastróficas e sismos entre outros;

Note-se que é necessário definir o que se considera pouco freqüente a fimde que o projetista faça as considerações adequadas de cálculo. Isso deve

ser feito a critério do proprietário da obra.

As ações determinadas com seus valores característicos, devem ser

combinadas, nas situações normais, com uso da Eq.1, reproduzida do Item

10.2.1 da NBR 7187:

12



Equação 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑>

++ ××+×+×+×+×=1

1 5,005,105,10,19,02,100,135,1i

qik k qk tecscc pk gk d F F F F F F

Os valores entre parênteses devem ser usados quando a ação produzir

efeito favorável.

3.2. Ações permanentes

3.2.1. Peso próprio de elementos estruturais (G1)

O peso próprio de elementos estruturais é calculado considerando-se o peso

específico do concreto armado (γc) de 25kN/m3, e será denominado G1.

No que segue, calcula-se o valor desse carregamento sobre cada pórtico do

sistema estrutural, formado por longarina e pilar.

• Carregamento correspondente ao peso das lajes e longarinas (g1a)

g1a = 0,5 x Aseção x γconc

g1a = 0,5 x 3,948m2 x 25kN/m3 ≅ 50kN/m

• Carregamento correspondente ao alargamento das longarinas

sobre os pilares (g1b)

g1b = Aalargamento x γconc

g1b = 0,4m x 1,75m x 25kN/m3 = 17,5kN/m

• Carregamento correspondente ao peso próprio dos pilares (g1c)

g1c = Apilar x γconc

g1c = 0,79m2 x 25kN/m3 ≅ 20kN/m

• Carregamento correspondente ao peso da cortina (G1a)

G1a = 0,5 x Vcortina x γconc

G1a = 0,5 x 7,98m3 x 25kN/m3 ≅ 100kN

• Carregamento correspondente ao peso das transversinas (G1b)

G1b = 0,5 x Vtransversina x γconc

G1b = 1,9575m3 x 25kN/m3 ≅ 25kN

13



3.2.2. Peso próprio de elementos não estruturais (G2)

O peso próprio dos elementos não estruturais corresponde ao pavimento, às

defensas e à carga de recapeamento. O pavimento será em concretosimples, com peso específico de 24kN/m3. O recapeamento será

considerado de acordo com a NBR 7187, como uma carga uniforme de

2kN/m2, distribuída no tabuleiro.

A partir dessas definições calcula-se o valor de g2, carregamento

correspondente a todos os elementos não estruturais:

• g2 = 0,5x(Apav x 24kN/m3 + Lpav x 2kN/m2 + 2 x Adefensa x 25kN/m3)

g2 = 0,5x(0,81m2

x 24kN/m3

+ 9m x 2kN/m2

+ 0,464m2

x 25kN/m3

)g2 ≅ 25kN/m

3.2.3. Empuxos de terra

Os empuxos de terra serão calculados com as seguintes hipóteses:

• γsolo = 18kN/m3 (peso específico do solo)

• φ = 30o

(ângulo de atrito interno do solo)• c = 0 (coesão do solo)

• ka1 = 1/3 (coeficiente de empuxo ativo para o terrapleno em nível);

• ka2 = 0,75 (coeficiente de empuxo ativo para o terrapleno inclinado)

Com esses dados chega-se aos seguintes valores:

• E1 = 0,5 x (ka1) x γsolo x h1

2

= 12kN/m• E2 = 0,5 x (ka2) x γsolo x h2

2 ≅ 61kN/m

Os valores acima são dados por metro de largura do paramento. No caso do

empuxo atuante na cortina a largura corresponde à largura da ponte. No

caso do empuxo atuante no pilar, toma-se uma largura fictícia de três vezes

a largura real do pilar, devido ao efeito de arqueamento do solo.

14



3.2.4. Deformação imposta ao tabuleiro por retração do concreto (εcs)

A deformação por retração do concreto (εcs) será adotada com valor de -15 x

10-5, de acordo com indicações da NBR 7187. Convém lembrar que, empeças com taxas de armadura pequena – menores que 0,5% – deve-se

adotar valores maiores. De qualquer maneira, estimativas mais precisas

desse valor podem ser obtidas com uso das recomendações da NBR-7197.

A retração corresponde a uma diminuição no volume da peça de concreto.

Devido às características geométricas da obra, porém, será considerado

apenas o efeito da retração na direção longitudinal do viaduto.

Com o valor de εcs citado acima, o encurtamento do tabuleiro será de0,15mm/m. Devido à restrição imposta pelos apoios à livre deformação do

tabuleiro, surgem forças longitudinais horizontais aplicadas no topo dos

apoios (Hcs).

3.2.4. Deformação imposta ao tabuleiro por variação de temperatura

Apesar da variação de temperatura se constituir em ação variável, neste

trabalho serão consideradas as definições da NBR 7187, que enquadra avariação de temperatura entre as ações permanentes. Deve ser considerada

uma variação uniforme de ± 15o C. Combinada com essa variação, deve ser

considerada ao longo da altura de cada seção transversal, a distribuição de

temperatura definida na figura 1 da norma e reproduzida na Figura 8.

A variação uniforme de temperatura irá causar efeitos análogos aos da

retração, já comentados no Item 3.2.3. Considerando-se uma barra de

comprimento L, uma variação uniforme de temperatura (∆T), irá causarvariação do comprimento da estrutura, dado pela conhecida fórmula da

física:

∆L=α x L x ∆T

Como o coeficiente de dilatação térmica do concreto (α) é de 10-5 oC-1,

aplicando-se na fórmula acima esse valor e uma redução de temperatura de

15o C, tem-se

∆L=(10-5 oC-1) x L x (-15oC)

15



ou seja

∆L/L = -15 x 10-5 = ε∆T

O que é análogo ao caso da retração (εcs = -15 x 10-5). No caso de aumentoda temperatura, a única diferença é que o valor de ε será positivo.

O gradiente de temperatura poderá causar esforços longitudinais e

transversais. No caso específico deste projeto, como o sistema estrutural é

isostático e a seção transversal aberta, tais efeitos não serão considerados.

O gradiente de temperatura ao longo da altura pode ser linearizado,

utilizando-se o Item 7.1.9.2 da NBR 7187, para determinação das

solicitações.

T1

T2

T3 h 3

h 2

h 1

h

h1 = 0,3h > 0,15m

h2 = 0,3h

h3 = 0,3h

< 0,10m

> 0,25m

> h - h1 - h2

> 0,10m + hpav

h (m) T1 T2 T3( C)o ( C)o ( C)o

0,2<

0,4

0,6

0,8

8,5

12,0

13,0

13,5

3,5

3,0

3,0

3,0

0,5

1,5

2,0

2,5

Figura 8. Gradiente de temperatura de acordo com a NBR 7187

3.2.5. Esquema de carregamento no pórtico

A partir dos dados calculados anteriormente, chega-se ao esquema de

carregamento permanente mostrado na Figura 9.

16



G1a

Hcs

g1a

g2

g1b

E1

E2

G1a G1bG1b G1b

G1b

g1b

Hcs

g1c g1c

(a)

g1b

(b)

Figura 9. Carregamento permanente no viaduto: (a) esquema geral; (b)

esquema para cálculo de g1b.

3.2. Ações variáveis3.2.1. Carga móvel e seus efeitos

A carga móvel será calculada de acordo com as indicações da NBR 7188. A

classe do viaduto é 45, e portanto o carregamento será formado por um

veículo tipo com peso bruto total (Q) de 450kN e carga de multidão (q) de

5kN/m2.

As dimensões do veículo tipo são apresentadas na Figura 10. De acordo

com a NBR 7188, o veículo tipo deverá ser sempre orientado na direção dotráfego, e colocado na posição mais desfavorável para cálculo de cada

17



elemento, não se considerando a porção do carregamento que provoque

redução de solicitações. A carga de multidão deve atuar em toda a pista. Os

coeficientes de impacto serão determinados conforme indicação da NBR7187, com a Eq.2.

Equação 2

l×−= 007,04,1φ

sendo que o valor de l é dado em metros e corresponde ao vão do elemento

estrutural considerado. No caso de balanços, adota-se o dobro do

comprimento do balanço na Eq.1. O posicionamento da carga móvel para

cálculo das solicitações nas longarinas é detalhado no Anexo 1.

150 150 150 150

5 0

3 0 0 2 0 0

600

5 0

2020 2020 2020

3 , 0

m

6,0m

q=5kN/m2

VEÍCULO

150kN 150kN 150kN

Figura 10. Carga móvel (dimensões em cm)

18



A força de frenagem (F) é suposta atuando no pavimento, na direção

longitudinal, em qualquer sentido, com valor dado pela Eq.3. No caso em

questão, o valor da força de frenagem será de F = 135 kN (0,3 x Q).

Equação 3

×

×≥

Q

A F

tabuleiro

3,0

05,0

A carga móvel, produz também empuxo de terra, que será calculado como

se mostra na Figura 11.

900

300

Eq

q Q q

q1

Figura 11. Esquema para cálculo do empuxo de terra

causado por carga móvel (Eq)

19



O valor de Eq será dado por:

• Eq = ka1 x q1 x h

O valor de q1 é obtido uniformizando-se a carga móvel. O valor total de Eq será de:

• Eq = (1/3) x 11,7kN/m2 x 2m ≅ 8kN/m

Na Figura 12, apresenta-se esquema de carregamento variável devido à

carga móvel na estrutura.

3.2.1. Ação do vento

A ação do vento deve ser calculada de acordo com os critérios da NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações (1988). Porém, neste trabalho, a

ação do vento será simulada de maneira simplificada por meio de

carregamento transversal com valor de 1,0kN/m2 no caso de ponte

carregada, e 1,5kN/m2 no caso de ponte descarregada (Fig. 13). No caso de

ponte carregada, utilizar-se-á altura de obstrução, causada pelos veículos,

de 2m contados a partir da altura da pista de rolamento.

EqF

ØQ1 ØQ2 ØQ3Øq1

Øq2

Figura 12. Esquema da carga móvel e seus efeitos (v. Anexo 1)

20



W2=1,5kN/m2

W1=1kN/m2

2 8 7

2 0 0

8 0 0 6

0 0

Figura 13. Esquema de cálculo da ação do vento

4. Dimensionamento das longarinas4.1. Cálculo dos esforços

Devido às características geométricas da estrutura e ao fato da ligação viga

pilar ser articulada, a superestrutura pode ser analisada como viga

simplesmente apoiada com balanços, sob ação dos carregamentos verticais,

permanentes ou variáveis. Isso não irá introduzir nenhum erro de cálculo.

As forças horizontais, decorrentes de ação permanente ou variável, não

causarão efeitos significativos nas longarinas e serão desprezadas nessaanálise. O mesmo não pode ser feito na análise dos apoios, pois nesses

elementos as forças horizontais irão causar esforços significativos, como se

verá no terceiro volume deste trabalho.

Efetuando-se dessa maneira o cálculo dos esforços devidos à carga

permanente, chegou-se aos valores apresentados na Tabela 1 e Tabela 2. A

carga permanente foi simplificada, tomando-se a resultante de g1b e das

forças concentradas G1b e dividindo-a pelo comprimento da ponte.

21



Para análise da estrutura sob ação do trem-tipo, devem ser traçadas as

linhas de influência das seções que se pretende estudar. Para facilitar o

cálculo, preparou-se programa que determina as envoltórias de momentofletor e força cortante na viga, para um determinado trem-tipo. O programa é

fornecido no disquete anexo a este trabalho. Utilizando-se o programa,

foram obtidos os valores apresentados na Tabela 1 e Tabela 2.

Tabela 1. Momentos fletores na longarina (unidade kN.m)

SEÇÃO x

(m)

Mgk φMqkmáx φMqkmín Mg+φMqkmáx Mg+φMqkmín

1 0 0 0 0 0 0

2 2,5 -515,6 0 -800 -515,6 -1315,6

A 5 -1562,5 0 -2443 -1562,5 -4005,5

3 7 -32,5 1431 -2124 1398,5 2156,5

4 9 1157,5 2509 -1934 3666,5 -776,5

5 11 2007,5 3259 -1744 5266,5 -263,5

6 13 2517,5 3735 -1554 6252,5 963,5

7 15 2687,5 3900 -1364 6587,5 1323,5

Tabela 2. Esforços cortantes na longarina (unidade kN)

SEÇÃO x

(m)

Vgk φVqkmáx φVqkmín Vg+φVqkmáx Vg+φVqkmín

1 0 -100 0 -217 -100 -317

2 2,5 -312,5 0 -465 -312,5 -777,5

Aesq 5 -525 0 -727 -525 -1252

Adir 5 850 838 -116 1688 734

3 7 680 724 -119 1404 561

4 9 510 615 -129 1125 381

5 11 340 513 -172 853 168

6 13 170 418 -247 588 -77

7 15 0 329 -329 329 -329

Obs.: Os valores de esforços causados pela carga permanente apresentados na Tabela 1 e na Tabela 2, foram

obtidos com carga uniforme de 85kN/m ao longo de todo o comprimento da viga e duas forças concentradas nas

extremidades dos balanços, com valor de 100kN cada.

22



85 kN/m100 kN 100 kN

1562 kN.m

2687 kN.m850 kN

1562 kN.m

850 kN

525 kN

525 kN

Mg

Vg

Figura 14. Esforços na longarina para carga permanente

23



162,9kN

26,2kN/m

9,9kN/m

Ø = 1,26 PARA O VÃOØ = 1,33 PARA O BALANÇO

162,9kN 162,9kN

838 kN

2443KN.m

3900 kN.m

838 kN

2443KN.m

727 kN

727 kN

ØMq

ØVq

Figura 15. Esforços na longarina para carga móvel

24



4.2. Cálculo das armaduras

4.2.1. Cálculo da armadura longitudinal (As)

A armadura longitudinal (As), destinada a combater as tensões de traçãodecorrentes de momento fletor, serão compostas bor barras retas. Calculada

a armadura As, necessária para resistir aos momentos fletores de cálculo,

deve-se determinar posteriormente a variação das tensões na armadura

(∆σs) sob ação dos momentos fletores máximo e mínimo, para verificar a

segurança com relação á fadiga. Isso deve ser feito porque os momentos

devidos à carga móvel ocorrem com número de repetições muito grande, e

como se sabe, a resistência do aço é reduzida devido ao grande número deciclos de carregamento.

De acordo com a NBR 7187, estima-se número de repetições de

carregamento – carga móvel – da ordem 2 x 106 ciclos.

As tensões máxima e mínima serão calculadas conforme Item 10.11.1.1 da

NBR 7187. Será considerada a seção em Estádio II, e serão utilizadas as

fórmulas simplificadas abaixo (Eq.4, Eq.5 e Eq.6), extraídas de PFEIL

(1985).

A Eq.4 deve ser usada quando se tem seção retangular, com altura útil d,

com armadura simples, de área As, e a armadura está tracionada pelo

momento fletor Md,uti,máx.

A Eq. 5 deve ser utilizada no caso de seção retangular se a armadura As

estiver comprimida pelo momento fletor Md,uti,mín. Nessa equação, o valor αe

representa a relação entre os módulos de deformação longitudinal do aço

(Es) e do concreto (Ec). Simplificadamente, adotou-se um valor médio de

αe=10. W representa o módulo resistente de seção e pode ser adotado com

o valor b x h2 / 6. Um procedimento mais rigoroso pode ser utilizado para

cálculo da tensão na armadura comprimida, porém neste trabalho adota-se o

procedimento simplificado que resulta na Eq.5.

A Eq.6, deve ser usada para seção T, com a mesa comprimida e com

armadura simples, tracionada sob ação de Md,uti,máx, sendo d a altura útil da

seção e hf a espessura da mesa.

25



Equação 4

s

máxutid

máx s

Ad

M

××=

85,0

,,,σ

Equação 5

se

mínutid

mín s AW

M

××=

ασ ,,

,

Equação 6

s

f

máxutid

máx s

Ah

d

M

×−

=

)2

(

,,,σ

Para ilustrar o cálculo da armadura longitudinal, serão apresentados

exemplos de duas seções.

a) Seção no meio do vão da longarina

Os esforços mostrados na Figura 14 e na Figura 15 são

Mgk = 2687,50kN.m

φMqk,máx = 3900kN.m

φMqk,mín = -1364kN.m

Combinando-se esses esforços com uso da Eq.1, chega-se a

Md,máx = 1,35x2687,5 + 1,5x3900 = 9478kN.m

Md,mín = 1,0x2687,5+1,5x(-1364) = 641,5kN.m

Nota-se que haverá apenas momento fletor positivo na seção do meio do

vão. O cálculo da armadura é feito considerando-se a largura colaborante

26



fornecida pela laje, que pode ser calculada com o Item 11.4.2.1 da NBR

7187

bf = bw + 0,20 x L0 = 40cm + 0,20 x 1200 = 280cm

A altura útil da seção (d), será adotada como

d = 200 – 15 = 185cm

Utilizando-se a tabela apresentada no Anexo 2, extraída de PINHEIRO(1986), chega-se a

Kc = 280 x (1,4/1,5) x 1852 / 947800 = 9,44

Ks = 0,024 x=18,5cm < hf = 25cm (ok)

As = 0,024x947800/185 = 123cm2

Para a seção em estudo, efetuando-se o cálculo das tensões máxima e

mínima (Eq.6), chega-se a

σs,máx = (268750+0,8x390000)/((185-12,5)x123)=27,37kN/cm2

σs,mín = (268750-0,8x136400)/((185-12,5)x123)=7,52kN/cm2

A variação de tensões será portanto de

∆σs = 27,37 – 8 = 19,85kN/cm2

O valor de ∆σs calculado é superior à resistência à fadiga considerada no

projeto:

∆f sd = 18kN/cm2

Dessa maneira, é necessário corrigir a armadura calculada, utilizando-se o

procedimento usual

27



Kfad = ∆σs / ∆f sd = 1,10

As,fad = kfad x As = 1,10 x 123 = 135,6cm2 = 27 φ 25mm

b) Seção sobre o apoio

Na seção sobre o apoio, os momentos são negativos e a alma da viga é que

resiste à compressão. Portanto, tem-se seção retangular. A armadura que

ancora no apoio poderia ser levada em consideração como armadura de

compressão, porém, será desconsiderada no cálculo.

Assim como foi feito para a seção do meio do vão, será inicialmentecalculada a armadura necessária e depois será verificada a fadiga. O cálculo

é descrito a seguir.

Mgk = -1562,5kN.m

Mqk,máx = 0

Mqk,mín = -2124,4kNm

Só há necessidade de armadura negativa.

Md,mín = 5296kN.m

KC = 80 x (1,4/1,5) x 1852 / (529600) = 4,87

KS = 0,025

AS = 0,025 x 529600/185 = 72cm2

Procedendo-se à verificação de fadiga (Eq.4), chega-se a:

∆σs = (0,8x212440)/(0,85x185x72) = 18,76 kN/cm2

kfad = 18,76/18 = 1,04

As,fad = 1,04x72 = 75cm2

28



c) demais seções

Para as demais seções, automatizou-se o cálculo de As, com a verificação

de fadiga, no programa fornecido no disquete em anexo. Note-se que oprograma tem como limitação a seção trabalhando sempre em domínios 2

ou 3. Além disso, resolve-se apenas seção retangular com armadura

simples. Para a seção T, pode-se utilizá-lo desde que a linha neutra fique na

mesa comprimida.

Os resultados são apresentados na forma de gráfico (Figura 17).

4.2.2. Cálculo da armadura transversal (Asw) A armadura transversal (Asw), destinada a combater as tensões de tração

causadas pela força cortante V, será constituída exclusivamente por estribos

verticais.

Tomando-se a seção à direita do apoio, tem-se os seguintes valores de

esforços cortantes:

Vg = 850kN

φVq,máx = 838kN

φVq,mín = -116kN

O esforço cortante máximo na seção será

Vd,máx = 1,35x850 + 1,5x838 = 2404,5kN

De acordo com o Item 10.8.2 da NBR 7187, nos elementos de concreto com

armadura para força cortante – excluindo-se os casos de elementos com

armadura de protensão não aderente – a verificação de segurança consiste

em satisfazer simultaneamente às desigualdades

Vsd ≤ VRd2 nas faces dos apoios

29



Vsd ≤ VRd3 nas seções situadas a uma distância igual a d da face dos

apoios, desde que a armadura para a força cortante aí calculada seja

estendida até o apoio.

Calculando-se o valor de VRd2, conforme a norma, chega-se a

VRd2 = 0,30 x f cd x bw x d = 0,30 x (2,5kN/cm2/1,5) x 80 x 185

VRd2 = 7400kN « Vd,máx = 2404,5kN

Esse valor é bastante superior ao Vd,máx calculado anteriormente.Calculando-se o valor de VRd3, conforme a norma, chega-se a

VRd3 = Vwd + Vcd

Sendo

Vwd

= (Asw

/s) x 0,9 x d x f ywd

Vcd = 2,5 x τRd x bw x d

O valor de τRd é apresentado na Tabela 7 da NBR 7187, em função das

categorias do concreto. Para a categoria C-25, τRd = 0,30MPa.

Esse valor deve ser inferior ao valor de VSd a uma distância d da face do

apoio. Nessa seção, tem-se praticamente os seguintes valores

Vgk = 680kN

φVqk,máx = 724kN

Vd,máx = 1,35x680+1,5x724=2004kN

Efetuando-se os cálculos, chega-se a Asw= 16,19cm2/m, considerando-se bw

= 60cm, como se mostra a seguir.

30



Vwd = (16,19/100) x 0,9 x 185 x 43,47kN/cm2 = 1172kN

Vcd = 2,5 x 0,03kN/cm2 x 60 x 185 = 832kN

VRd3 = 2004kN

Portanto, as duas desigualdades são satisfeitas. Resta verificar a fadiga da

armadura transversal. Considerando-se que não há inversão dos esforços

cortantes em serviço – como pode ser visto na Tabela 2 – utiliza-se a Eq. 7,

adaptada a partir de PFEIL (1985). Caso exista inversão do valor do esforço

cortante em serviço, as tensões nos estribos variam entre zero e o valordado na Eq.8.

Equação 7

)8,0(9,0

)(8,0)5,08,0( ,,

q g sw

mínqmáxqcd q g

swV V d A

V V V V V

××+×××

×−××××−××+=∆

φ

φφφσ

Equação 8

d A

V V V

sw

cd q g

máxest ××

×−××+=

9,0

5,08,0,

φσ

Nesse caso o valor da variação de tensão será de

∆σsw = (680+724-0,5x555)x(724+119)/(0,9x0,1619x185x(680+724))=16,75kN/cm2

O valor acima calculado para a variação de tensões nos estribos é superior à

resistência à fadiga adotada para os estribos, de 9kN/cm2, e portanto, deve-

se corrigir a armadura, da maneira convencional.

No caso dessa seção, tem-se:

Kfad = 16,75 / 9 = 2,09

Asw,fad = 2,09 x 16,19 = 33,89cm2

31



O cálculo deve ser repetido para as demais seções. Os resultados

encontrados são:

SEÇÃO 4

32,31 cm2/m

SEÇÃO 5

25,93 cm2/m

SEÇÃO 6

17,03 cm2/m

SEÇÃO 76,00 cm2/m (armadura mínima)

A definição precisa da armadura transversal, em termos de diâmetro e

espaçamento das barras, deverá ser feita quando forem calculadas as

armaduras necessárias para combater a flexão transversal da alma, o que

será visto no volume 2 deste trabalho.

4.3. Dados adicionais para o arranjo das armaduras

4.3.1. Ancoragem no apoio

De acordo com LEONHARDT (1979), deve-se estender ao apoio, armadura

longitudinal capaz de ancorar uma força de 0,7V onde V seria o cortante

máximo, calculado no Item anterior. Dessa maneira, efetuando-se o cálculo,

chegas-se a

As,cal = 0,7 x 2404 / 43,47 = 38,7cm2

ou seja, 8 barras de 25mm. Essas barras devem ser ancoradas além da face

do apoio. O comprimento de ancoragem sem ganchos, considerando-se

concreto Categoria C-25 e região de boa aderência, é de 38φ = 95cm

(PINHEIRO, 1986). No caso, há espaço suficiente para muito mais que

95cm, devido ao balanço da longarina.

32



De acordo com a NB-1, deve-se estender aos apoios extremos, no mínimo

1/3 de armadura do vão, ou seja, pelo menos nove barras.

4.3.2. Armadura transversal

LEONHARDT (1979), cita que a melhor forma da armadura transversal na

alma é a em forma de estribos que, embaixo envolvam a armadura do banzo

e, em cima, sejam ancorados na laje através de ganchos abertos ou

fechados (Figura 16). Estribos fechados em cima não são necessários se o

diâmetro do estribo for menor que 1/20 da espessura da mísula da laje.

Junto aos apoios, o espaçamento dos estribos é pequeno, geralmentemenor que 10cm, e devem ser usados quatro ramos, devido à grande

largura da alma da viga.

Figura 16. Forma do estribo (armadura da laje não representada)

4.3.3. Armadura longitudinal

a) Armadura inferior (positiva)

A armadura inferior será disposta em camadas, sendo que a partir da

segunda camada serão utilizadas menos barras para a passagem do

vibrador durante a concretagem. Consideram-se nesse caso emendas com

luvas, com resistência à fadiga a ser comprovada por testes realizados pelofabricante. As barras devem cobrir a envoltória de armaduras apresentada

33



na Figura 16, com decalagem de 0,75d. No apoio, as barras serão cintadas

com estribos pequenos para melhorar as condições de ancoragem. Esses

estribos são calculados, conforme SUSSEKIND (1989), para absorver 50%da força a ancorar no apoio. Daí a área necessária é de 19,35cm2.

Considerando-se que as barras da primeira camada encontram-se cintadas

pelos estribos existentes, adota-se metade dessa área como cintamento da

segunda camada. Essa armadura será disposta no trecho de 120cm do

bloco sobre o apoio e pode ser constituída por 12 estribos de 10mm (Figura

17).

Como a viga foi dimensionada como viga T considerado-se a larguracolaborante fornecida pela laje, deve-se verificar a resistência dos planos de

ligação entre a mesa e a alma, de acordo com o Item 10.8.10 da NBR 7187.

Calcula-se a força tangencial nesse plano (vsd) com a Eq.11, a partir da força

cortante vertical atuante (Vsd). Esse valor de vsd deve ser inferior ao limite

dado pela Eq.10. Além dessa verificação, deve-se dimensionar armadura de

ligação, com a Eq.9.

Equação 9

yd

f Rd sd

f

sf

f

hv

s

A ××−≥

τ5,2

Equação 10

f cd sd h f v ××≤ 3,0

Equação 11

tot

sd sd

A

A

Z

V v 1×=

Na Eq.11, o valor de A1 representa a área de concreto da mesa situada deuma lado da alma e Atot é a área da mesa comprimida.

34



Efetuando-se os cálculos, chega-se à armadura de ligação (também

denominada armadura de costura) mínima necessária

vsd = 5,99 kN/cm0,30 x f cd x hf = 12,5kN/cm (OK)

(Asf /s) ≥ 10,8cm2/m

Adotou-se Z = (d – hf /2) = 185 – 12,5 = 172,5 e, nesse caso, A1/Atot =

0,43.

35



C L

A

s

A

s , f a

d

Figura 16. Envoltória de armadura longitudinal

36



Figura 17. Estribos de cintamento no apoio (pode ser incorporado à

armadura de fretagem, não representada)

Na seção do meio do vão, o arranjo da armadura positiva é como se

apresenta na Figura 18.

As(+)=27Ø25=135cm2

2 7 Ø 2 5

40

9.3

5.25

5.95.95.95.95.9

5.25

3 5

. 2 5

7 . 5

7 . 5

7 . 5

7 . 5

5 . 2

5

Figura 18. Arranjo da armadura positiva no meio da vão (cobrimento da

armadura = 3cm)

b) Armadura superior (negativa)

A armadura negativa calculada no apoio de 75cm2 será distribuída entre a

alma e a mesa da viga T, formada pela laje. A NBR 7187 recomenda que

40% a 60% da armadura tracionada seja disposta na laje, de um ou de

ambos os lados da alma, conforme o caso. Deve-se lembrar que pelo menos

duas barras devem ser posicionadas na alma, com espaçamento não maior

que 20cm. As barras dispostas na laje devem ter diâmetro menor que 1/10

da espessura dessa laje, e não devem distar mais do que 0,25 x bf da face

37



mais próxima da alma, sendo no caso bf = 230cm para o balanço, conforme

calculado anteriormente.

Deve ser calculada armadura de ligação mesa-alma conforme o Item 10.8.10da NBR 7187, descrito anteriormente. Na Eq.11, A1 representa a área da

armadura situada de um lado da alma e Atot é a área total da armadura de

tração. A armadura de 10,80cm2/m, já calculada anteriormente é suficiente.

Como a mesa funciona como laje, a armadura de flexão da laje, que

atravessa o plano de ligação mesa-alma pode ser considerada como

armadura de costura, devendo apenas ser complementada, quando for o

caso. A armadura da laje será calculada no segundo volume deste trabalho.O arranjo da armadura negativa é apresentado na Figura 19. Optou-se por

reduzir o diâmetro das barras, à medida que a armadura se distancia da

alma da viga. A extremidade das barras dispostas na laje, determinada com

a consideração da envoltória de armadura deslocada e do comprimento de

ancoragem necessário, deve ainda ser prolongadas de um comprimento

igual à distância horizontal existente entre a barra em questão e a face mais

próxima da alma. Isso é feito com base na hipótese de que as bielas de

compressão na mesa inclinam-se a 45º

4Ø20

13

16

4Ø25

4Ø25

3Ø16 4Ø20

101010 10 10 10 10 10

3Ø16

10107

As(-)=8Ø25+8Ø20+6Ø16=77,2cm2

Figura 19. Arranjo da armadura negativa no apoio (armadura da laje nãorepresentada)

38



c) Armadura de pele

Complementando as armaduras dos banzos, superior e inferior, deverá ser

disposta a armadura de pele, conforme Figura 20.

3 Ø 1 2

. 5

1 5

2 7 Ø 2 5

3 5 . 2 5

3 Ø 1 6

1 5

1 5

1 0

1 0

2 Ø 1 0

. 0

2 0

2 0

2 0

Figura 20. Armadura de pele no vão (cobrimento da armadura=3cm)

No apoios, a armadura de pele será mantida com espaçamento uniforme,

como se apresenta na Figura 21.

d) Considerações finais

Os detalhes apresentados nesse item servem como diretrizes para o

desenho completo da armadura da longarina, mas devem ser ajustados porquestões de ordem prática. Cabe ao engenheiro utilizar seu bom senso, para

conciliar todas as armaduras calculadas e produzir um detalhamento que

atenda os requisitos do projeto. Essa consideração final tem por objetivo

lembrar ao leitor que o projeto envolve bem mais que a utilização de

fórmulas existentes em normas ou em programas de computador.

Na Figura 21, apresenta-se de maneira esquemática o desenvolvimento da

armadura em elevação.

39



5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

C L

200

Figura 21. Esquema da armadura na longarina

40



ANEXO 1

TRAÇADO DAS ENVOLTÓRIAS DE ESFORÇOS

41



Neste Anexo, apresenta-se programa desenvolvido para cálculo das

ordenadas das envoltórias de esforços, momento fletor e força cortante, em

vigas isostáticas submetidas à carga móvel.Para cálculo dos esforços nas longarinas causados por carga móvel, dividiu-

se a análise em duas fases. Primeiro é feita a distribuição transversal da

carga móvel entre as longarinas, calculando-se o trem-tipo (Figura A1.1). Na

segunda fase, é feita análise longitudinal da viga sob ação do trem-tipo.

Esse procedimento é uma simplificação de cálculo, usual em projetos de

pontes com duas vigas com pequena rigidez à torção. Dessa maneira, a

análise pode ser dividida em cálculo transversal e cálculo longitudinal.

Q/6

q

Q/6Q/6 Q/6

LIR(A)

1,0+++

q

q

200 580 200

Figura A1.1. Cálculo do trem-tipo

Na Figura A1.2, apresenta-se o posicionamento do trem-tipo na longarina

para cálculo dos valores extremos do momento fletor na seção 7, no meio dovão. Deve-se pesquisar a posição mais desfavorável para o trem-tipo a fim

42



de se determinar os valores máximo e mínimo do momento fletor naquela

seção. Repetindo-se o procedimento para as demais seções, obtém-se os

pontos da envoltória de momentos.Na Figura A1.3 e na Figura A1.4, apresentam-se telas do programa

ENVELOPE, elaborado para determinar as envoltórias de momento fletor,

força cortante e calcular as reações de apoio máxima e mínima em viga

simplesmente apoiada com balanços de ponte rodoviária. Pode-se entrar

com os valores das cargas do trem-tipo, ou como alternativa, pode-se

fornecer os dados da seção transversal da ponte – no caso de seção T com

duas longarinas – e a classe para que o programa calcule o trem-tipo. Casose forneça o trem-tipo diretamente deve-se especificar classe 0. As unidades

do programa são tf (1tf=10kN) e metros como unidades de comprimento

ØqL2ØQ1 ØQ2

ØqL1

ØQ3

LIM(S7)

ØqL1

ØQ2ØQ1 ØQ3

ØqL2

ØqL2

Figura A1.2. Linha de influência de momento fletor na seção 7, com

posicionamento da carga móvel para cálculo de Mmáx e Mmín

43



Figura A1.3. Tela inicial do programa ENVELOPE

Figura A1.4. Tela do programa ENVELOPE com os resultados

44



ANEXO 2

TABELA PARA CÁLCULO DE ARMADURAS

45



Na Figura A2.1, apresenta-se tabela, extraída de PINHEIRO (1986) para

cálculo de armaduras em seção retangular de concreto armado com

armadura simples, sob ação de momento fletor. As unidades adotadas sãokN (1kN=0,1tf) e centímetros. Deve-se entrar com o valor de cálculo do

momento fletor (Md). Para elaboração da tabela, de acordo com PINHEIRO

(1986), adotou-se diagrama retangular de tensões de compressão no

concreto. Além disso, utilizou-se γs = 1,15 e γc = 1,4. Caso se adote outro

valor de γc, por exemplo γc = 1,5, pode-se utilizar a tabela adotando-se

largura fictícia para a viga, dada pelo valor bw,fic = bw x (1,4/1,5). Foi o que se

fez neste trabalho.

FLEXÀO SIMPLES EM SEÇÀO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES

KC=bd2/Md (cm2/KN) Ks=Asd/Md (cm2/KN)ßX=x/d

C-10 C-15 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 CA-25 CA50A CA50B CA60B D O M ,

0,02 103,8 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,023 0,019

0,04 52,3 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,023 0,019

0,06 35,2 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,047 0,024 0,024 0,020

0,08 26,6 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,024 0,020

0,10 21,4 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,024 0,020

0,12 18,0 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,024 0,020

0,14 15,6 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,024 0,020

0,16 13,7 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,025 0,020

0,18 12,3 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,025 0,021

0,20 11,2 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,025 0,021

0,22 10,3 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,050 0,025 0,025 0,021

0,24 9,5 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,050 0,025 0,025 0,021

0,26 8,8 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,026 0,026 0,021

2

0,28 8,3 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,026 0,022

0,30 7,8 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,026 0,022

0,32 7,4 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,026 0,022

0,34 7,0 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,027 0,022

0,36 6,7 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,027 0,022

0,38 6,4 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,027 0,023

0,40 6,1 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,027 0,027 0,023

0,438 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

3

0,44 5,7 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,028 0,023

0,462 5,5 3,6 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,028 0,024

0,48 5,3 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,029 0,025

0,52 5,0 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,031 0,0270,56 4,7 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,030 0,033 0,029

0,60 4,5 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,035 -

0,628 4,4 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,037 -

0,64 4,3 2,9 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 - - -

0,68 4,2 2,8 2,1 1,7 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,063 - - -

0,72 4,0 2,7 2,0 1,6 1,3 1,2 1,0 0,9 0,8 0,065 - - -

0,76 3,9 2,6 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 - - -

0,772 3,9 2,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,067 - - -

4

Figura A2.1. Tabela tipo k para cálculo de armadura longitudinal em seção

retangular com armadura simples (PINHEIRO, 1986)

46



ANEXO 3

PROGRAMA PARA CÁLCULO DE ARMADURAS

47



Apresenta-se programa para cálculo das armaduras longitudinais em seção

retangular com armadura simples e verificação de fadiga da armadura

(Figura A3.1). O programa é limitado aos domínios de deformação 2 e 3.Caso a seção seja T, com mesa comprimida sob ação de M, pode-se utilizar

o programa tratando-a como seção retangular com largura bw = bf , desde

que a linha neutra esteja na mesa comprimida.

Figura A3.1. Tela do programa para cálculo das armaduras

A listagem dos resultados é apresentada a seguir e foi utilizada para traçado

da envoltória de armaduras.

48



--------------------------------------------------------------------

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI

CENTRO DE TECNOLOGIA - CT

CALCULO DE VIGA T

--------------------------------------------------------------------

# DADOS DO MATERIAL

fck do Concreto (Mpa) : 25,00

Coeficiente de minoração da resistência do concreto : 1,50

Classe do Aço : A

fyk do Aço : 500,00

Coeficiente de minoração da resistência do Aço : 1,15

Resistência caracteristica do aço a fadiga (MPa) : 180,00

Coeficiente de segurança a fadiga : 1,00

********** COMBINAÇÃO DE AÇÕES DE ACORDO COM A NBR 7187 ************

# RESULTADO POR SEÇÃO

Número de Seções analisadas : 7

--------------------------------------------------------------------

# SEÇÃO : 1

Largura da alma (cm) : 60

Altura da seção (cm) : 200

Largura da mesa (cm) : 230

Espessura da mesa (cm) : 25

Altura útil adotada (cm) : 185

Momento de cálculo máximo (tf.cm) : -18960,60

Valor de bx=x/d no ELU1 : 8,431391E-02

Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219

Posição da LN (cm) : 15,598073

Aramdura calculada (cm²) : 24,39539

k de fadiga da armadura calculada : 1,00

Armadura com fadiga (cm²) : 24,39539

Momento de cálculo mínimo (tf.cm) : -4640,40

Valor de bx=x/d no ELU1 : 0,000000E+00

Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219

49







--------------------------------------------------------------------

# SEÇÃO : 2








Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219







Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219





--------------------------------------------------------------------

# SEÇÃO : 3






50





Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219





Momento de cálculo mínimo (tf.cm) : 21172,50


Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219





--------------------------------------------------------------------

# SEÇÃO : 4






Momento de cálculo máximo (tf.cm) : 53261,25


Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219







Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219




51




--------------------------------------------------------------------

# SEÇÃO : 5








Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219







Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219





--------------------------------------------------------------------

# SEÇÃO : 6








Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219

52









Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219





--------------------------------------------------------------------

# SEÇÃO : 7








Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219





Momento de cálculo mínimo (tf.cm) : 3727,50


Valor de bxlim. 3/4 : 0,6283219





53



BIBLIOGRAFIA

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 7187.

Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido. Rio

de Janeiro, 1987.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 7188.

Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestres. Rio de

Janeiro, 1982.

BRASIL. Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de

projeto de obras-de-arte especiais. Rio de Janeiro, 1996. 225p. (IPR.

Publ., 698).

BRASIL. Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de

construção de obras-de-arte especiais. 2 ed. Rio de Janeiro, 1995.

206p. (IPR. Publ., 602).

EL DEBS, M. K & TAKEYA, T. Pontes de concreto – notas de aula.

Publicação da EESC-USP. São Carlos, 1995.

LEONHARDT, W. (1979) Construções de concreto, v.6: princípios básicos

da construção de pontes de concreto. Rio de Janeiro: Interciência,

1979.

PFEIL, W. (1985) Pontes em concreto armado. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC –

Livros Técnicos e Científicos, 1985. 2v.

PINHEIRO, L. M. (1986). Concreto armado: tabelas e ábacos. Publicação

075/93 da EESC-USP. Reimpressão. São Carlos, Maio de 1986.

SUSSEKIND, J. C. (1989) Curso de concreto: concreto armado. São Paulo:

Globo, 1989.

pontes - vigas em seção t

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