polinômios -...

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Polinômios

1. (Ufsc 2015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar que: 01) Se o gráfico abaixo representa a função polinomial f, definida em por

3 2f(x) ax bx cx d, com a, b e c coeficientes reais, então f(2) 24.

02) Se 3 3f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por 2(x 1) , então

a b 1.

04) As raízes da equação 3 2x 9x 23x 15 0 estão em progressão aritmética de razão 1.

08) Se 2f(x) x (p q)x e 3 2g(x) x (p q)x qx são divisíveis por (3 x), com p e q

reais, então q p 3.

16) Os valores reais de p para que a equação 3x 3x p 0 admita uma raiz dupla são 2 e

2.

2. (Pucpr 2015) Se (x 2) é um fator do polinômio 3 2x kx 12x 8, então, o valor de k é

igual a: a) 3. b) 2. c) 3. d) 6. e) 6.

3. (Uece 2015) Se a expressão algébrica 2x 9 se escreve identicamente como 2a(x 1) b(x 1) c onde a, b e c são números reais, então o valor de a b c é

a) 9. b) 10. c) 12. d) 13.


4. (Espcex (Aman) 2015) O polinômio 5 3 2f(x) x x x 1, quando dividido por

3q(x) x 3x 2 deixa resto r(x).

Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é

a) 10.

b) 4.

c) 0.

d) 4.

e) 10.

5. (Unicamp 2015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com

razão q 0 e a 0.

a) Mostre que 1

xq

é uma raiz do polinômio cúbico 2 3p(x) a bx cx dx .

b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y,

a c x e.

d b y f

Determine para que valores da razão q esse tem solução única.

6. (Udesc 2015) Um polinômio p(x) dividido por x 1 deixa resto 16; por x 1 deixa resto 12,

e por x deixa resto 1. Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x 1)(x 1)x é da forma

2ax bx c, então o valor numérico da soma das raízes do polinômio 2ax bx c é:

a) 3

5

b) 2

c) 2

15

d) 4 e) 2

7. (Unicamp 2014) O polinômio 3 2p(x) x 2x 9x 18 tem três raízes: r, –r e s.

a) Determine os valores de r e s. b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade imaginária.

8. (Pucrj 2014) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 3 2p(x) 2x ax 2x, podemos afirmar que

p(x) é igual a:

a) 22x x 2

b) 2x x 1 x 1

c) 22x x 2

d) x x 1 x 1

e) 2x 2x 2x 1

9. (Pucrs 2014) A representação gráfica da função dada por 2y f(x) ax bx c, sendo

a 0, intercepta o eixo das abscissas no ponto em que x 2. Então, o resto da divisão de

f(x) por x 2 é

a) 2 b) 0 c) 2 d) c e) c


10. (Espcex (Aman) 2014) Sabendo que 2 é uma raiz do polinômio 3 2P(x) 2x 5x x 2,

então o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão P(x) está definida

é: a) {x /1 x 2}

b) 1

{x / x }2

c) 1

{x / x 12

ou x 2}

d) {x / x 2}

e) {x / x 2 e x 1}

11. (Uerj 2014) Observe o gráfico da função polinomial de em definida por

3 2P(x) 2x 6x 3x 2.

Determine o conjunto solução da inequação P(x) 0.

12. (Unesp 2014) O polinômio 3P(x) a x 2 x b é divisível por x – 2 e, quando divisível

por x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são a) 1 e 4. b) 1 e 12. c) –1 e 12. d) 2 e 16. e) 1 e –12. 13. (Pucrj 2014) Assinale a alternativa correta:

a) 4 3 2x x 2 x 2x 8 16

b) 4 3 2x x 2 x 2x 4x 8 16

c) 4 3 2x x 2 x 2x 4x 8 16

d) 4 3 2x x 2 x 2x 4 8

e) 4 3 2x x 2 x 2x 4 8


14. (Uepg 2014) Ao dividir o Polinômio P(x) por x 2, obtém-se o quociente 22x 5 e o resto

3. Nessas condições, assinale o que for correto. 01) P(x) é divisível por x 1.

02) P(x) é um polinômio do 3º grau.

04) P(x) 7.

08) O termo independente de x no polinômio vale 11.

15. (Unesp 2014) Sabe-se que, na equação 3 2x 4x x 6 0, uma das raízes é igual à

soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é a) S = {– 3, – 2, – 1} b) S = {– 3, – 2, + 1} c) S = {+ 1, + 2, + 3} d) S = {– 1, + 2, + 3} e) S = {– 2, + 1, + 3}

16. (Fuvest 2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio 3 2p(x) x ax bx c são reais.

Sabendo que 1 e 1 i,α com 0,α são raízes da equação p(x) 0 e que o resto da divisão

de p(x) por (x 1) é 8, determine

a) o valor de ;α

b) o quociente de p(x) por (x 1).

i é a unidade imaginária, 2i 1.

17. (Espm 2014) O trinômio 2x ax b é divisível por x 2 e por x 1. O valor de a b é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18. (Ufrgs 2014) Considere os polinômios 3p(x) x e 2q(x) x x. O número de soluções da

equação p(x) q(x), no conjunto dos números reais, é

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.


Gabarito: Resposta da questão 1: 02 + 16 = 18.

[01] Incorreta. Do gráfico, sabemos que as raízes de f são 2, 1 e 1. Além disso, tem-

se f(0) 2. Desse modo, encontramos

f(x) a(x 2)(x 1)(x 1)a 1.

f(0) 2

Portanto, segue que

f(2) (2 2)(2 1)(2 1) 12.

[02] Correta. Sabendo que 3 2f(x) 2x 3x (15 5a)x 7 2b é divisível por 2(x 1) , então,

pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, vem

1 2 3 15 5a 7 2b

1 2 1 14 5a 7 5a 2b

2 1 15 5a

Donde obtemos a 3 e b 4. Em consequência, segue que a b 1.

[04] Incorreta. Por inspeção, concluímos facilmente que x 1 é raiz da equação. Ademais,

x 0 não é raiz e, portanto, se as raízes constituíssem uma progressão aritmética de

razão 1, então elas seriam 1, 2 e 3. Contudo, segue que x 2 não é raiz.

[08] Incorreta. Se f e g são divisíveis por (3 x), então f(3) g(3) 0. Porém, tem-se

23 (p q) 3 0 q p 3.

[16] Correta. Toda raiz dupla de 3x 3x p 0 também é raiz da equação 23x 3 0.

Portanto, como as raízes dessa equação são 1 e 1, segue-se que p 2 ou p 2.

Resposta da questão 2:

[E] Se (x – 2) é fator do polinômio dado, então 2 é raiz desse polinômio. Portanto:

3 22 k 2 12 2 8 0 4k 24 k 6



[D] Desenvolvendo e agrupando termos semelhantes, obtemos

2 2a(x 1) b(x 1) c ax (2a b)x a b c.

Assim, para que 2x 9 seja idêntica 2a(x 1) b(x 1) c, deve-se ter

a 1 a 1

2a b 0 b 2.

a b c 9 c 10

Portanto, temos a b c 1 ( 2) 10 13.

Resposta da questão 4: [A]

5 4 3 2 3 2

5 4 3 2 2

x 0x x x 0x 1 x 0x 3x 2

x 0x 3x 2x x 2

3 2

3 2

2x x 0x 1

2x 0x 6x 4

2x 6x 3

Portanto, 2r(x) x 6x 3 e 2r( 1) ( 1) 6( 1) 3 10.


a) Tem-se que 2b aq, c aq e 3d aq . Logo, vem

2 3

2 31 1 1 1p a aq aq aq

q q q q

a a a a

0.

Por conseguinte, 1

xq

é uma raiz do polinômio p(x).

b) De (a), obtemos

2

3

a c x e a aq x e.

d b y f y faq aq

Sabendo que a 0, q 0 e q , o sistema terá solução única se, e somente se,


22 2 5

3

2 2 2

a aq0 a q a q 0

aq aq

a q(1 q )(1 q ) 0.

Portanto, além de q 0, deve-se ter q 1.

Resposta da questão 6: [C]

Tem-se, pelo Teorema do Resto, que p( 1) 16, p(1) 12 e p(0) 1. Além disso, sabemos

que

2p(x) (x 1)(x 1)x q(x) ax bx c,

com q(x) sendo o quociente da divisão de p(x) por (x 1)(x 1)x.

Desse modo, temos

p( 1) a b c a b c 16,

p(1) a b c 12

e

p(0) c c 1.

Resolvendo o sistema formado pelas equações a b 17 e a b 13, concluímos que a 15,

b 2.

Portanto, vem 2 2ax bx c 15x 2x 1 e, assim, o resultado pedido é 2 2

.15 15


a) Fatorando p(x), obtemos

3 2

2

2

p(x) x 2x 9x 18

x (x 2) 9(x 2)

(x 2)(x 9).

Portanto, r 3 e s 2.

b) Se z 1 i, então 2 2z (1 i) 2i. Logo,

2

p(z) (1 i 2)(2i 9)

2i 9i 2i 9

7 11i.



[B]

Se p(1) 0, então 3 22 1 a 1 2 1 0. Logo, a 0 e, portanto,

3

2

p(x) 2x 2x

2x(x 1)

2x(x 1)(x 1).

Resposta da questão 9: [B] Como a função f intercepta o eixo x no ponto (2,0), concluímos que f(2) = 0. Considerando agora o teorema do resto, temos que o resto da divisão de f(x) por (x – 2) é f(2). Portanto, o resto é 0. Resposta da questão 10: [C] Já que 2 é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial.

Logo, 2x 2P(x) ) 2 1( xx ,( ) fazendo 2x 0,x2 1 temos x = 1 ou x = -1/2, que são as

outras duas raízes. Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos:

A expressão P(x) estará definida para P(x) 0, ou seja,

1x / x 1 ou x 2

2



O número 2 é raiz, pois p(2) = 0. Dividindo p(x) por (x – 2), temos:

Logo, 2P x x 2 2x 2x 1

Onde suas raízes são 1 3

x 2, x .2

Resolvendo, agora a inequação P(x) 0 através do gráfico do polinômio P(x).

Portanto, a solução da inequação será dada por 1 3 1 3

S x / x ou x 2 .2 2

Resposta da questão 12: [E] De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos que: P(2) = 0 e P(–3) = – 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos:

8a 4 b 0

27a 6 b 45

Multiplicando a primeira equação por –1 e somando com a segunda temos: –35a = –35, ou seja, a = 1. Substituindo a = 1 na primeira equação, temos: 8 + 4 + b = 0, ou seja, b = –12.



[B]

Tomando convenientemente x 2, é fácil ver que as únicas opções possíveis são as

identidades dos itens [A] e [B]. Agora, basta fazer x 2 para concluir que a identidade correta é a do item [B]. Resposta da questão 14: 02 + 04 = 06.

O polinômio P(x) é dado por

2 3 2P(x) (x 2) (2x 5) 3 2x 4x 5x 7.

[01] Incorreto. Note que 3 2P( 1) 2 ( 1) 4 ( 1) 5 ( 1) 7 18. Logo, P(x) não é divisível

por x 1.

[02] Correto. De fato, o grau de P é P 3.

[04] Correto. Com efeito, tem-se que 3 2P(0) 2 0 4 0 5 0 7 7.

[08] Incorreto. O termo independente de x vale 7. Resposta da questão 15: [B]

Sejam r, s e t as raízes da equação 3 2x 4x x 6 0 e considere que r = s + t.

Utilizando a relação de soma de Girard, temos:

r s t

r r

r 2

4

1

4

Concluímos então que dois é uma de suas raízes.

Dividindo, agora 3 2x 4x x 6 por (x 2)

3 2

2

2

x 2

x 4x x 6 (x 2) (x 2x 3

0 x 2

x 2x – 3 x 3 ou x 1

) 0

Logo, S = {– 3, – 2, + 1}.



a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são 1,1 iα

e 1 i.α Logo,

2 2

p(x) (x ( 1))(x (1 i))(x (1 i))

(x 1)(x 2x 1).

α α

α

Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8 e 0,α pelo Teorema do Resto,

vem

2 2

2

p(1) 8 (1 1)(1 2 1 1) 8

4

2.

α

α

α

b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x 1 é

2

2p(x) (x 1)(x 2x 5)x 2x 5.

x 1 x 1

Resposta da questão 17: [D] Tem-se que

2

2

x ax b (x 2)(x 1)

x x 2.

Daí segue que a 1, b 2 e, portanto, a b 1 ( 2) 3.


[D]

3 2

2

p(x) q(x)

x x x

x (x x 1) 0

Temos então duas equações:

x 0 (já resolvida) ou 2x x 1 0 (com discriminante 5,Δ portanto, com duas raízes

distintas).

Portanto, o número de soluções da equação p(x) q(x) é 3.

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