polícia científica pr ibfc 2017
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PERITO CRIMINAL – ÁREA 8
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Dentre os números descritos nas
alternativas, o único que não é divisível por 9 é:
a) 1359
b) 21744
c) 8766
d) 123456
e) 23130
RESOLUÇÃO:
Para que um número natural seja divisível por 9, é necessário que a soma dos
algarismos que o compõe seja também divisível por 9. Assim, devemos analisar
esse critério de divisibilidade em cada alternativa.
a) 1359→ a soma dos algarismos desse número equivale a 1 + 3 + 5 + 9 = 18.
Como 18 é divisível por 9, então o número formado pelos algarismos 1, 3, 5 e 9
também é divisível por 9, ou seja, o número 1359 é divisível por 9.
b) 21744→ a soma dos algarismos desse número equivale a 2 + 1 + 7 + 4 + 4 =
18. Como 18 é divisível por 9, então o número formado pelos algarismos 2, 1, 7,
4 e 4 também é divisível por 9, ou seja, o número 21744 é divisível por 9
c) 8766→ a soma dos algarismos desse número equivale a 8 + 7 + 6 + 6 = 27.
Como 27 é divisível por 9, então o número formado pelos algarismos 8, 7, 7, 6 e
6 também é divisível por 9, ou seja, o número 8766 é divisível por 9
d) 123456→ a soma dos algarismos desse número equivale a 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +
6 = 21. Como 21 não é divisível por 9, pois numa divisão o resto é 3, ou seja,
21 = 2x9 + 3, então o número formado pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 também
não é divisível por 9, ou seja, o número 123456 não é divisível por 9
e) 23130→ a soma dos algarismos desse número equivale a 2 + 3 + 1 + 3 + 0 =
9. Como 9 é divisível por 9, então o número formado pelos algarismos 2, 3, 1, 3
e 0 também é divisível por 9, ou seja, o número 23130 é divisível por 9
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)O total de múltiplos de 5 compreendidos
entre 101 e 999 é igual a:
a) 80
b) 100
c) 120
d) 150
e) 179
RESOLUÇÃO:
Os múltiplos de 5 compreendidos entre 101 e 999 são 105, 110, 115, ...,990,995.
Repare que a sequência vai aumentando de 5 em 5 a partir de 105. Considere
que temos N aumentos de 5 unidades até chegar aos 995, de modo que
formamos a expressão 105 + 5xN = 995→5xN = 890→N = 178 aumentos.
Assim, teremos 178 múltiplos de 5, ao incluir o 105, teremos 179 múltiplos de 5.
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Fatorando o número 420, a soma dos
expoentes dos fatores primos será igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
RESOLUÇÃO:
Fazendo a fatoração desse número em fatores primo que são aqueles números
naturais maiores que 1, tendo apenas dois divisores naturais: 1 e ele mesmo. Ou
seja:
420|2
210|2
105|3
35|5
7|7
1
Assim, após essa fatoração teremos:
Dois fatores 2, isto é, 2²
Um fator 3, isto é, 31
Um fator 5, isto é, 51
Um fator 7, isto é, 71
O número 420 corresponde ao produto desses fatores primos, ou seja,
420 = 2² x 31 x 51 x 71
A soma dos expoentes desse fatores equivale a 2 + 1 + 1 + 1 + = 5
Resposta: B
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Numa proporção, sabe-se que x está para
5 assim como y está para 3 e que x + y = 32. Nessas condições, o valor que
representa o triplo de x é:
a) 9
b) 12
c) 60
d) 36
e) 15
RESOLUÇÃO:
Afirmar que x está para 5 assim como y está para 3 equivale a formular a
seguinte expressão: = . Assim, podemos formar as equações a seguir:
I ) =
II ) x + y = 32
Uma vez que queremos encontrar o valor da incógnita “x”, então devemos isolá-
la na equação x + y = 32, Isto é, y = 32 – x. Substituindo na equação I, teremos:
=
Igualando o produto dos meios aos extremos, encontramos
3x = 5. (32 - x)
3x = 160 – 5x
3x + 5x = 160
8x = 160
x = 160/8
x = 20
O triplo de x corresponde a 3x = 3.20 = 60
Resposta: C
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Em uma P.G (progressão geométrica), o
primeiro é igual a 5 e a razão é q= 2, determine seu último termo e indique a
alternativa correta.
a) 1280
b) 528
c) 256
d) 10240
e) 10250
RESOLUÇÃO:
O termo geral de uma P.G é dado por = x , onde ,q e n
representam primeiro termo, razão da P.G e número de termos, respectivamente. Deste modo, teremos:
= x Note que o enunciado da questão não traz a informação sobre o número de termos, restando-nos fazer tentativas com as alternativas, ou seja:
a) 1280 → x = 1280
= 1280/5
= 256
= 28
n – 1 = 8
n = 9
b) 528 → x = 528
= 528/5
= 105,6-----inviável continuar, pois potência de 2 é um número natural.
c) 256 → x = 256
= 256/5
= 51,2-----inviável continuar, pois potência de 2 é um número natural.
d) 10240 → x = 10240
= 10240/5
= 2048
= 211
n – 1 = 11
n = 19
e) 10250 → x = 10250
= 10250/5
= 2050-----inviável continuar, pois potência de 2 é um número natural
terminado em 2, 4, 8 ou 6 e não em 0.
Assim, temos duas alternativas “A” e “D” que possibilitariam ser o último termo. Como o enunciado da questão pede para assinalar apenas uma alternativa correta, não se pode atender ao critério objetivo da banca, tendo em vista duas alternativas corretas. Deste modo, rogamos pela anulação da questão em tela.
Resposta: A
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Com relação à semelhança de triângulos,
analise as afirmativas a seguir:
I. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três
ângulos ordenadamente congruentes.
II. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os lados
homólogos proporcionais.
III. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três
ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Nessas condições, está correto o que se afirma em:
a) I e II, apenas
b) II e III, apenas
c) I e III, apenas
d) I, II e III
e) II, apenas
RESOLUÇÃO:
I. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três
ângulos ordenadamente congruentes.
Lados homólogos são lados de dois triângulos, onde seus lados ficam
opostos aos mesmos ângulos, ou seja, suponhamos que existem dois
lados de um triângulo1, quais sejam, 6cm e 3cm, sendo estes opostos a
90º e 30º, respectivamente. Existe ainda outro triângulo2 cujos lados valem
18cm e 9cm, sendo que seus ângulos opostos são 90º e 30º,
respectivamente. Assim, os lados 6cm e 18cm juntamente com os lados
3cm e 9cm são ditos homólogos, pois se opõem aos mesmos ângulos.
Além disso, esses pares de lados homólogos são proporcionas, pois
18cm/6cm = 9cm/3cm = 3. Com isso, podemos concluir que quando há
pares de lados homólogos proporcionais, então os ângulos são os
mesmos e, por conseqüência, quando dois triângulos têm os mesmos
ângulos, eles são semelhantes. ---Correto
II. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os lados
homólogos proporcionais.
Lados homólogos são lados de dois triângulos, onde seus lados que ficam
opostos aos mesmos ângulos, ou seja, suponhamos que existem dois
lados de um triângulo1, quais sejam, 6cm e 3cm, os quais são opostos a
90º e 30º, respectivamente. Existe ainda outro triângulo2 cujos lados valem
18cm e 9cm, sendo que seus ângulos opostos são 90º e 30º,
respectivamente. Assim, os lados 6cm e 18cm juntamente com os lados
3cm e 9cm são ditos homólogos, pois se opõem aos mesmos ângulos.
Além disso, esses pares de lados homólogos são proporcionas, pois
18cm/6cm = 9cm/3cm = 3. Com isso, podemos concluir que quando há
pares de lados homólogos proporcionais, então os ângulos são os
mesmos e, por conseqüência, quando dois triângulos têm os mesmos
ângulos, eles são semelhantes. ---Correto
III. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três
ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Nessas condições, está correto o que se afirma em:
Aqui se reúne as afirmações ditas nos dois itens anteriores, portanto está
Correta também.
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Um triângulo ABC tem perímetro igual a
37cm e dois de seus lados medem 12cm e 14cm e é semelhante ao triângulo
DEF. Se um lado do triângulo DEF mede 27,5cm e esse lado é homólogo ao
menor lado do triângulo ABC, então o perímetro do triângulo DEF é, em cm:
a) 88 cm
b) 66,5 cm
c) 101 cm
d) 95 cm
e) 92,5 cm
RESOLUÇÃO:
Triângulo menor----> 11cm 12cm 14cm
Triângulo maior-----> 27,5cm xcm ycm
Uma vez que esses triângulos são semelhantes, admite-se uma relação de
proporcionalidade, ou seja:
= =
O perímetro do triângulo menor corresponde a 37 cm enquanto o perímetro do
triângulo maior equivale à expressão “27,5 + x + y”. Assim, podemos ainda
encontrar a seguinte relação de proporcionalidade:
= = =
=
Seja P o perímetro do triângulo DEF
=
11xP = 37 x 27,5
P = (37 x 27,5)/11
P = 37 x 2,5
P = 92,5
Portanto, o perímetro do triângulo DEF corresponde a 92,5cm
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A medida da altura relativa à hipotenusa
de um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm é igual a:
a) 2
b) 4
c) 4,8
d) 6
e) 10
RESOLUÇÃO:
Temos o seguinte triângulo retângulo para ilustrar a situação:
Conforme o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos, pelo triângulo temos:
a2 = 62 + 82
a2 = 36 + 64
a2 = 100
a =
a = 10
Para encontrar a área desse triângulo, basta calcular a metade do produto dos
catetos ou metade do produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela. Isto é:
a x h / 2 = 6 x 8 / 2
10 x h/2 = 6x4
5xh = 24
h = 24/5
h = 4,8
Assim, a altura relativa à hipotenusa corresponde a 4,8 cm.
Resposta: C
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Em um triângulo equilátero de lado igual a
4 cm, a medida de sua altura é igual a:
a) 2 cm
b) √12 cm
c) 8 cm
d) 16 cm
e) 10 cm
RESOLUÇÃO:
Pela figura temos:
Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa corresponde à soma dos
quadrados dos catetos, ou seja:
42 = h2 + 22
16 = h2 + 4
h2 = 16 - 4
h2 = 12
h =
Logo, a altura desse triângulo equilátero vale cm.
Resposta: B
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A medida das diagonais de um quadrado
de lado igual a 8 cm, é:
a) 8 * √12 cm
b) 8 cm
c) 14 *√12 cm
d) 16 cm
e) 22 * √13 cm
RESOLUÇÃO:
A diagonal D do quadrado juntamente com dois lados L vizinhos forma um
triângulo retângulo, onde a hipotenusa é a diagonal D e os catetos são os lados
L. Assim, pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa corresponde á
soma dos quadrados dos catetos, isto é,
D2 = L2 + L2
D2 = 82 + 82
D2 = 2x 82
D =
D = x D = 8 .
Assim, a Diagonal do quadrado equivale a 8 cm.
Nota-se que não há alternativa correspondente a esse valor. Assim, tendo em
vista que o desejo da douta banca é uma única alternativa correspondente, rogo
pela anulação da questão.
Resposta: A
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Um retângulo tem 36cm de perímetro.
Sabendo que a diferença entre as medidas da base e da altura é 2 cm, a área
desse retângulo é igual a:
a) 20 cm2
b) 40 cm2
c) 60 cm2
d) 80 cm2
e) 100 cm2
RESOLUÇÃO:
Suponhamos que a base meça “xcm” e a altura, “(x + 2)cm”, sendo que o
perímetro equivale à soma das medidas do retângulo:
x + (x + 2) + x + (x + 2) = 36
4x + 4 = 36
4x = 36 – 4
4x = 32
x = 32/4
x = 8
A área de um retângulo corresponde ao produto entre a base e a altura. Logo,
teremos:
Área = base x altura
Área = x. (x + 2)
Substituindo x por 8cm, teremos:
Área = 8. (8 + 2)
Área = 8. 10
Área = 80cm2
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A área de um retângulo é igual a 120 cm2.
Sabendo que a medida da base e a da altura desse retângulo são números
pares e consecutivos, então a medida do perímetro do retângulo é:
a) 24 cm
b) 44 cm
c) 60 cm
d) 80 cm
e) 120 cm
RESOLUÇÃO:
A diferença entre dois números pares consecutivos é igual a 2. Exemplo de
pares consecutivos: 2 e 4, 4 e 6, 6 e 8, etc.
Assim, suponhamos que as dimensões desse retângulo sejam “xcm” de base e
“(x + 2)cm” de altura, sendo que a área do retângulo equivale a ao produto entre
a base e a altura. Isto é,
Área = base x altura
Área = x. (x + 2)
120 = x2 + 2x
x2 + 2x – 120 = 0
Para resolvermos a equação de 2º grau do tipo “ax2 + bx + c = 0”, usaremos as raízes de Bháskara, ou seja:
x =
Assim, teremos x =
X =
X =
X =
X =
= = 10 cm
Ou
= = - 12 (não convém)
Assim, o retângulo tem dimensões 10cm e 12cm e seu perímetro corresponde a 2x(10cm + 12cm) = 44cm. Verifica-se que a alternativa correta é a alternativa “B” e não a “E”. Deste modo, Sr. Presidente da comissão da banca, rogo pela alteração de gabarito de “E” para “B”.
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A medida do menor ângulo formado pelos
ponteiros de um relógio que marca 10h 25 min é:
a) 120º 30’
b) 130º
c) 150º 30’
d) 162º 30’
e) 162º
RESOLUÇÃO:
Vamos imaginar o seguinte relógio:
Suponhamos que no momento em que marcasse às dez horas, o ponteiro das
horas se fixasse em sua posição e não mais se movimentasse de modo que
somente o ponteiros dos minutos e o que avançou. Nesse caso, o menor ângulo
entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos está compreendido entre os
pontos 10 e 5, pois aí a abertura angular se verifica menor. De maneira que
entre duas marcações de horas consecutivas temos 360º/12 = 30º. Assim, entre
10 horas e 5 horas teremos um ângulo de 5x30º = 150º.
Contudo, essa hipótese foi somente para termos uma referência, pois à medida
que o ponteiro dos minutos avança, o ponteiro das horas avança também de
forma proporcional. Como já se passaram 25 minutos, então o ponteiro das
horas se deslocou uma fração angular correspondente a 25/60 de 30º, ou seja,
(25/60) x 30º = 25º/2 = 12,5º
Deste modo, o menor ângulo entre os ponteiros do relógio no horário de
10h25min é 150º com um acréscimo de 12,5º, ou seja, 162,5º. Já que 1º
equivale a 60’, então 0,5º equivale a 30’, ou seja, 162,5º corresponde a 162,30’
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)O comprimento de uma pista circular de 50
m de raio que descreve um arco de meia volta (π rad), dado π=3,14, é igual a:
a) 121 m
b) 132 m
c) 157 m
d) 162 m
e) 165 m
RESOLUÇÃO:
O uma volta completa numa circunferência é dado pela relação 2πR, onde R é a
medida do raio. Com isso, o comprimento da pista circular vale 2π x 50 = 100π
metros. Um arco de meia volta equivale a 50π metros, ou seja, 50 x 3,14 = 157
metros
Resposta: C
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Dadas a matriz2 3 0
0 1 1A
e a matriz
3 1 1
1 1 2B
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa a
soma da matriz A e B, ou seja, C = A + B:
a)2 3 0
0 1 1C
b)3 1 1
1 1 2C
c)2 3 0
1 1 1C
d)3 1 1
1 3 2C
e)5 4 1
1 0 1C
RESOLUÇÃO:
A soma de duas matrizes A e B equivale à matriz resultante da soma dos
elementos correspondentes entre A e B, ou seja, se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n,
então os elementos da matriz C = A + B é dado por cij = (aij + bij)m x n.
Assim, teremos
A + B = C
+ = C
+ =
+ =
C =
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)) Dadas a matriz3 0
4 7A
e a matriz
1 2
0 2B
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa a
subtração da matriz A e B, ou seja, C = A - B.
a)3 0
4 7C
b)1 2
0 2C
c)3 0
4 7C
d)2 2
4 5C
e)2 2
4 5C
RESOLUÇÃO:
Quando se tem a operação matricial C = A – B temos uma soma da matriz A
com a matriz oposta de B, ou seja, C = A + (- B)
A soma de duas matrizes A e B equivale à matriz resultante da soma dos
elementos correspondentes entre A e B, ou seja, se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n,
então os elementos da matriz C = A + B é dado por cij = (aij + bij)m x n.
Assim, teremos:
Se B = ,então (- B) =
C = +
C =
C =
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Dada a matriz 1 3
4 2A
e a
matriz1 2
3 4B
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que
representa o produto da matriz A e B, ou seja, C = A * B.
a)2 10
10 16C
b)1 2
0 2C
c)3 0
4 16C
d)2 2
4 15C
e)8 10
10 16C
RESOLUÇÃO:
Quando se tem duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, o produto de A por B é
a matriz C = (cij)m x p, na qual cada elemento cij é a soma dos produtos obtidos ao
multiplicar o 1º elemento da linha i de A pelo 1º elemento da coluna j de B; o 2º
elemento da linha i de A pelo 2º elemento da coluna j de B, e assim
sucessivamente. Ou seja:
C11 = a11 x b11 + a12 x b21 = (- 1) x 1 + 3 x 3 = -1 + 9 = 8
C12 = a11 x b12 + a12 x b22 = (- 1) x 2 + 3 x 4 = -2 + 12 = 10
C21 = a21 x b11 + a22 x b21 = 4 x 1 + 2 x 3 = 4 + 6 = 10
C22 = a21 x b12 + a22 x b22 = 4 x 2 + 2 x 4 = 8 + 8 = 16
Assim, teremos a seguinte matriz C =
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A probabilidade de se sortear um número
múltiplo de 5 de uma urna que contém 40 bolas numeradas de 1 a 40, é:
a) 0,2
b) 0,4
c) 0,6
d) 0,7
e) 0,8
RESOLUÇÃO:
As bolas da urna que é um número múltiplo de 5 são 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,
40. Assim, a probabilidade de se sortear um número múltiplo de 5 é
P = (número de casos favoráveis) / ( número de casos possíveis)
P = 8/40 P = 0,2
Resposta: A
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A alternativa que apresenta o número total
de faces, vértices e arestas de um tetraedro é:
a) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas
b) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas
c) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas
d) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas
e) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas
RESOLUÇÃO:
A figura abaixo é um tetraedro
Temos 4 vértices A, B, C e V
Ao planificar a figura, teremos 4 faces que são triangulares, ou seja, três nas
laterais e uma na base.
Além disso, ainda temos 6 arestas de medida a, isto é, 3 nas laterais e três na
base.
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)) Dado um prisma hexagonal regular de
aresta da base com medida A e aresta lateral com medida H, assinale a
alternativa que apresenta a equação que identifica a área total desse prisma:
a) Área total=3*A* (2*H+A √3)
b) Área total=4*A* (2*H+A √3)
c) Área total=5*A* (4*H+A √5)
d) Área total=6*A* (3*H+A √3)
e) Área total=3*A* (3*H+A √3)
RESOLUÇÃO:
O prisma citado pela questão assume a seguinte ilustração:
Além disso, nota-se que as duas bases são hexágonos regulares, onde temos:
Repare que para calcular a área total desse prisma, devemos calcular a área
lateral e a área da base, uma vez que a área total corresponde à soma da área
lateral com as duas áreas da base, ou seja: Atotal = ALateral + 2xAbase
A área lateral é composta por seis retângulos de base A e altura L, portanto essa
área corresponde a 6x(AxH).
A área da base corresponde à área de um hexágono, o qual é composto por seis triângulos eqüiláteros de lado A, onde a área de cada triângulo eqüilátero
equivale à expressão
. Assim, a área da base resulta em
2x(6x
) = 3x .
Deste modo, a área total equivale a
Atotal = ALateral + 2xAbase
Atotal = 6x(AxH) + 3x
Atotal = 3xA x (2H + )
Resposta: A
AUXILIAR DE NECRÓPSIA
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)No dia anterior ao pagamento do seu
salário, a conta corrente de Teodoro apresentava o saldo negativo de R$
2.800,00. Com o salário creditado em sua conta, o saldo passou a ser positivo e
ficou em R$ 450,00. Assinale a alternativa que indica o salário que Teodoro
recebeu.
a) R$ 3.250,00
b) R$ 3.350,00
c) R$ 2.350,00
d) R$ 2.950,00
e) R$ 1.900,00
RESOLUÇÃO:
Seja S o salário que Teodoro recebeu, sendo que ao receber o salário S ao
saldo negativo 2.800, sua conta saldo ficou com a seguinte expressão:
– 2800 + S
Esse saldo corresponde a 450 reais, ou seja:
– 2800 + S = 450
S = 450 + 2800
S = 3.250
Assim, o salário que foi creditado na conta de Teodoro foi R$ 3.250,00
Resposta: A
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)) Em uma festa, compareceram 135
pessoas, sendo que 81 são do sexo feminino e o restante do sexo masculino.
Desse modo, a razão entre o número de pessoas do sexo feminino e o número
de pessoas do sexo masculino é:
a)8
27
b)3
2
c)5
6
d)91
54
e)81
135
RESOLUÇÃO:
O total de pessoas equivale a 135, sendo 81 do sexo feminino e o restante, ou
seja, 135 – 81 = 54, são homens.
Portanto a razão entre o número de pessoas do sexo feminino e o número de pessoas do sexo masculino é 81/54, ou seja
=
=
=
=
Assim, a razão pedida pelo enunciado corresponde a 3/2
Resposta: B
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)José tem três flhas, Ana de 15 anos, Alice
de 20 anos e Andressa de 25 anos. José pretende dividir R$ 3.000,00 para as
três flhas em valores proporcionais às suas idades. Nessas condições, o valor
que Ana deve receber é:
a) R$ 1.000,00
b) R$ 1.250,00
c) R$ 750,00
d) R$ 850,00
e) R$ 900,00
RESOLUÇÃO:
Ana Alice Andressa
Idade em anos 15 20 25
Quantia x y z
Uma vez que as quantias são proporcionais às idades, então teremos a seguinte
relação proporcional:
15/x = 20/y = 25/z
E ainda x + y + z = 3000
Em proporção temos o seguinte:
15/x = 20/y = 25/z = (15 + 20 + 25) / (x + y + z)
15/x = 20/y = 25/z = (60) / (3000)
Como desejamos obter qual quantia cabe à Ana, então basta calcular o valor de
x, isto é:
15/x = (60) / (3000)
60x = 3000.15
60x = 45000
x = 45000/60
x = 750
Assim, a quantia que cabe à Ana equivale a R$ 750,00
Resposta: C
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Sabe-se que x e y são números inteiros.
Nessas condições e considerando as operações elementares, a única alternativa
incorreta é:
a) O produto entre x e y pode resultar num número negativo
b) Se x é maior que y, então a divisão entre eles, nessa ordem, pode resultar
num número negativo
c) O resultado sempre é negativo quando se multiplicam x e y, sendo x maior
que zero e y negativo
d) Sendo x menor que y, a subtração entre eles, nessa ordem, resulta num
número menor que zero
e) Se x e y forem negativos e y maior que x, então a soma entre eles resulta
num número positivo
RESOLUÇÃO:
a) O produto entre x e y pode resultar num número negativo
o produto x.y < 0, desde que x e y tenham sinais contrários. Assim, é
perfeitamente possível que x, y {..., - 3, -2, -1 ,0 , 1 ,2 , 3,...}. Por exemplo,
(-3) x 4 = -12
b) Se x é maior que y, então a divisão entre eles, nessa ordem, pode resultar
num número negativo
Exemplificando, poderíamos ter 12 e -3, onde 12 > -3, além disso, efetuando
a divisão 12/(-3) obtemos -4.
c) O resultado sempre é negativo quando se multiplicam x e y, sendo x maior
que zero e y negativo
se x > 0 e y < 0, então x.y < 0, por exemplo, (-5) x 6 = -30
d) Sendo x menor que y, a subtração entre eles, nessa ordem, resulta num
número menor que zero
Quando x < y--------adicionando “–y” aos dois membros temos
x – y < y – y
x – y < 0
por exemplo, 5 – 8 = - 3
e) Se x e y forem negativos e y maior que x, então a soma entre eles resulta
num número positivo
Quando y > x--------adicionando “x” aos dois membros temos
y + x > x + x
y + x > 2x
Uma vez que x é negativo, então 2x < 0 e portanto y + x < 0
por exemplo, (-5) + (-3) = - 8-------o resultado deve ser negativo e não
positivo como declara o enunciado.
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Alípio foi ao hortifruti e comprou laranjas e
limões, no total de 22 unidades. O número de laranjas é igual ao número de
limões diminuído de 6 unidades. Desse modo, o número de limões comprados
por Alípio foi:
a) 8
b) 10
c) 14
d) 16
e) 17
RESOLUÇÃO:
Seja LA o número de laranjas e LI a quantidade de limões. Pelo enunciado,
podemos formar as seguintes expressões:
I) LA + LI = 22
II) LA = LI – 6
Substituindo LA por LI – 6 na equação I, temos:
LA + LI = 22
(LI – 6) + LI = 22
2x LI - 6 = 22
2x LI = 22 + 6
2x LI = 28
LI = 28/2
LI = 14
Assim, o número de limões corresponde a 14.
Resposta: C
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Em um retângulo, a medida do lado maior
é o dobro da medida do lado menor acrescido de 5 centímetros. Se o perímetro
do retângulo é 130 centímetros, então o comprimento do maior lado desse
retângulo é:
a) 15 cm
b) 45 cm
c) 80 cm
d) 30 cm
e) 35 cm
RESOLUÇÃO:
Seja x a medida da largura e o comprimento correspondente a 2x + 5.
O perímetro de 130cm equivale à soma dos quatros lados do retângulo, ou seja,
a somas das duas larguras e os dois comprimentos, isto é:
2.x + 2.(2x + 5) = 130
2.x + 4.x + 10 = 130
6.x + 10 = 130
6x = 130 – 10
6x = 120
x = 120/6
x = 20
o maior lado corresponde a “(2x + 5)cm”, ou seja, (2.20 + 5)cm = 45cm.
Resposta: B
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Assinale a alternativa correta referente à
quantidade de números primos distintos que encontramos ao decompor o
número 360 em fatores primos.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 9
RESOLUÇÃO:
Fazendo a decomposição de 360, temos:
360|2
180|2
90|2
45|3
15|3
5|5
Nota-se que 360 equivale 23 x 32 x 51. Assim, os fatores primos que compõe o
produto são 2, 3 e 5, ou seja, três fatores primos.
Resposta: C
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Assinale a alternativa que indica as raízes
da equação 2x2+7x+5=0.
a) -1; 5
b) -1; 5
2
c) 1; 5
2
d) 1; 5
2
e) -1; 5
2
RESOLUÇÃO:
Para resolvermos a equação de 2º grau do tipo “ax2 + bx + c = 0”, basta usar as raízes de Bháskara, ou seja:
x =
x =
x =
x =
x =
x1 = = -1
x1 = -1
ou
x2 =
x2 = -
x2 =
Assim, as raízes são -1 e -5 /2
Resposta: B
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A alternativa que apresenta a equação de
2.º grau cujas raízes reais são 5 e (-1) é:
a) x2 + 4x + 5 = 0
b) x2 + 4x2 – 5 = 0
c) 2x2 - 2x + 10 = 0
d) 2x2 + 2x – 10 = 0
e) x2 - 4x – 5 = 0
RESOLUÇÃO:
Uma vez que as raízes são 5 e -1, ou seja, podemos ter x = 5 → x – 5 = 0 ou
x = -1 → x +1 = 0. Assim, o produto (x – 5).(x +1) equivale a zero, isto é,
(x – 5).(x +1) = 0
(x – 5).(x +1) = 0
x.(x +1) – 5. (x +1) = 0
x2 + x – 5x – 5 = 0
x2– 4x – 5 = 0
Assim, a equação formulada é “x2– 4x – 5 = 0”
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Considerando o conjunto numérico que
contém as raízes da equação x²+1=0. Os elementos desse conjunto numérico
tem a forma a+bi, onde a e b são números reais e a unidade imaginária i tem a
propriedade i²=−1. As informações referem-se ao conjunto dos números:
a) Racionais
b) Inteiros
c) Irracionais
d) Complexos
e) Naturais
RESOLUÇÃO:
Ao solucionarmos a equação x²+1=0, encontramos a raiz igual a
x = , pois x2 = -1, sendo que devemos perceber que não há número real em que o produto por ele mesmo resulta -1. Em uma multiplicação de dois números reais cujo resultado é negativo, os fatores desse produto devem ter sinais contrários e não iguais. Portanto, não há solução no campo dos números
reais em que x2 = -1. Assim, precisamos de uma ferramenta que busque uma unidade imaginária para representar o conjunto que soluciona e equação dada. Mas esse problema foi resolvido no século XVIII, quando o matemático alemão
Leonard Euler utilizou pela 1ª vez a letra i para simbolizar , ou seja, i2 = -1. Esse foi um passo decisivo para a ciência, surgindo então um novo modelo algébrico e uma nova espécie de conjuntos, o qual nomeou-se por conjuntos dos números complexos.
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)A fgura apresenta um trapézio retângulo
ABCD de bases AD = 12 centímetros, BC = 20 centímetros e altura AB = 15
centímetros. Nessas condições, a medida do lado CD é igual a:
a) 11 cm
b) 12 cm
c) 13 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
RESOLUÇÃO:
Transportando o segmento de reta AB da esquerda para direita, de modo que o
vértice A coincida com vértice D e o vértice B’(vértice B transportado) seja o pé
da altura do triângulo CB’A’.
Repare que o triângulo CB’A’ é retângulo em B’. Com isso, podemos usar o
teorema de Pitágoras, o qual enuncia: o quadrado da hipotenusa corresponde à
soma dos quadrados dos catetos. Assim, podemos estabelecer essa regra em
relação ao triângulo retângulo CB’A’, ou seja:
Além disso, B’C = BC – AD e A’B’ = AB, isto é:
B’C = 20 – 12 => B’C = 8
A’B’ = AB => A’B’ = 15
(CA’)2 = 152 + 82
(CA’)2 = 225 + 64
(CA’)2 = 289
CA’ =
CA’ = 17
Note que CA’ = CD, isto é, CD = 17cm
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Assinale a alternativa que indica a medida
aproximada do comprimento de uma circunferência de raio r = 10 cm.
a) 31,41 cm
b) 41,23 cm
c) 53,54 cm
d) 60,71 cm
e) 62,83 cm
RESOLUÇÃO:
O uma volta completa numa circunferência é dado pela relação C = (2 x π x r),
onde r é a medida do raio e π (pi) é uma constante de aproximadamente 3,1415.
Quando o raio assume valor igual a 10cm, teremos um comprimento de uma
circunferência de aproximadamente:
C 2 x 3,1415 x 10
C 62,83 cm
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Assinale a alternativa que NÃO apresenta
uma equação linear.
a) x2 + y = 6
b) 2x + 3y - 2z = 10
c) x +y = z - 2
d) 3x + 2y = 7
e) 4x – 3y = x +y +1
RESOLUÇÃO:
Equação Linear é toda equação do tipo a1x1+ a2x2+...+ anxn= b, onde n pertence
ao conjunto dos números reais não nulos em que x1, x2,..., xn são incógnitas; e
os números reais a1, a2, ..., an são os coeficientes das incógnitas; Além disso, b
é um número real, o qual chamamos de termo independente.
*Perceba que os expoentes naturais das incógnitas devem sempre corresponder
a 1.
Com isso, a única alternativa que não atende à definição é a alternativa A, pois
existe um expoente natural superior a 1.
Resposta: A
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Considere a seguinte progressão
aritmética: (23, 29, 35, 41, 47, 53, ...) Desse modo, o 83.º termo dessa
sequência é:
a) 137
b) 455
c) 500
d) 515
e) 680
RESOLUÇÃO:
Repare que a partir do 1º termo, a sequência aumenta de 6 em 6 para cada
termo seguinte. Assim, até chegar ao 83º termo dessa secessão, será preciso
adicionar ao 1º termo em 82 aumentos de 6 unidades, ou seja:
83º termo = 23 + 82 x 6
83º termo = 23 + 492
83º termo = 515
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Uma determinada empresa vendeu 7500
produtos no primeiro semestre de 2016, sendo que a tabela a seguir indica a
representação decimal percentual em relação ao total, mês a mês.
Com base nesses dados, o número total de produtos vendidos nos meses de
maio e junho foi de:
a) 1125
b) 1275
c) 2350
d) 3190
e) 3375
RESOLUÇÃO:
A porcentagem resultante das vendas dos meses de Maio e Junho vale 0,20 +
0,25 = 0,45 que por sua vez equivale a 45%, pois 0,45 = 45/100 = 45%. Assim,
45% do total das vendas dos 7500 produtos correspondem a
45% de 7500 = 45% x 7500 = 0,45 x 7500 = 3375 produtos
Resposta: E
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)O valor da soma dos termos da progressão
geométrica finita (1,5, ..., 78125) é:
a) 97656
b) 98342
c) 88654
d) 99936
e) 83525
RESOLUÇÃO:
A soma dos termos de uma progressão geométrica finita de n termos, onde q é a
razão da P.G e a1 é o primeiro termo é dada por: = ).
Repare que para efetuar o cálculo da soma desses termos será preciso saber
três termos: primeiro termo (a1), razão (q) e número de termos (n).
Sabe-se que a1 = 1 e q = 5, então devemos ir a busca de n(número de termos).
Isso é feito por meio do termo geral da P.G, a saber: an = a1 x q(n - 1).
Ou seja: 78125 = 1 x q(n - 1)
78125 = q(n - 1)
Fazendo a fatoração de 78125 encontramos 57, assim, n – 1 = 7 e, por
consequência, n = 8. Portanto, a soma pedida vale:
= ) = = 97.656
= 97.656
Resposta: A
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Um paralelepípedo retângulo tem as
seguintes dimensões: 5 m de comprimento, 6 m de largura e 8 m de altura.
Nessas condições, a medida da área total e o volume deste paralelepípedo são,
respectivamente:
a) 60m2 e 138m3
b) 236m2 e 240m3
c) 236m2e 260m3
d) 240m2e 260m3
e) 280m2 e 240m3
RESOLUÇÃO:
Por meio da ilustração acima, podemos calcular a área total, bem como o
volume de um paralelepípedo. Ou seja:
Repare que temos três pares de retângulos idênticos cujas áreas valem
“Largura x Comprimento”, “Largura x altura” e “Comprimento x altura”. Assim,
Atotal = 2x(Largura x Comprimento + Largura x altura + Comprimento x altura)
Isto é,
Atotal = 2x(6x5 + 6x8 + 5x8)
Atotal = 2x (30 + 48 + 40)
Atotal = 2x118
Atotal = 236m2
Já o volume do paralelepípedo corresponde ao produto da área da base pela
altura. Considerando a base formada pelo comprimento e largura, teremos uma
área equivalente a
Abase = 6x5
Abase = 30m2
Volume = Abase x altura
Volume = 30m2 x 8m
Volume = 240m3
Assim, a área total equivale a 236m2 e o volume corresponde a 240m3
Resposta: B
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Dados os pontos distintos Q (5,2) e R (1,3)
do plano cartesiano, assinale a alternativa que apresenta a distância entre eles.
a) 17
b) √18
c) 16
d) √17
e) √15
RESOLUÇÃO:
A distância entre dois pontos localizados no plano cartesiano vale:
D2 = (xQ – xR)2 + (yQ – yR)2
D2 = (5 – 1)2 + (2 – 3)2
D2 = 42 + (-1)2 = 16 + 1
D2 = 17 => D =
Resposta: D
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)Um professor que leciona aulas
particulares de Matemática, montou a seguinte tabela referente ao valor a ser
pago por cada estudante por 8 horas de aula.
Um pequeno grupo composto somente de 6 alunos queria exclusividade para
eles, não importando o quanto pagariam pelas 8 horas de aula com o professor.
Assinale a alternativa que apresenta o preço que cada um dos 6 alunos vai
desembolsar.
a) R$ 200,00
b) R$ 215,00
c) R$ 150,00
d) R$ 100,00
e) R$ 90,00
RESOLUÇÃO:
Repare que quanto mais alunos, menor será o valor a pagar por aluno, além
disso, independentemente da quantidade de alunos, o total a ser pago é sempre
constante e igual a 1200 reais, tendo em vista que:
15x80 = 20x60 = 25 x 48
Assim, as grandezas “valor por aluno” e “”número de alunos” são inversamente
proporcionais entre si, sendo a constante de proporcionalidade equivale a 1200.
Assim, se temos 6 alunos e cada qual contribui com x reais, então essas
grandezas são inversamente proporcionais, de modo que 6x = 1200 e, por
consequência, x = 200. Deste modo, cada aluno desembolsará 200 reais.
Resposta: A