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Aula 2

Polarização da luz

2.1 Resumo

Nessa aula relembramos a descrição dada pelo eletromagnetismo `clássico' (i.e., de Maxwell) para a polar-

ização da luz. Ainda, reescrevemos essa descrição usando uma nova notação (notação de Dirac), a qual se

revelará especialmente útil quando passarmos à descrição quântica do mesmo fenômeno.

Bibliogra�a: a maior parte do conteúdo desta aula pode ser encontrada no livro do Moysés vol 4, seção

5.3, ou em muitos livros de eletromagnetismo. Entretanto, o formato de apresentação usado aqui é bastante

distinto, especialmente a partir da seção 2.2.3.

2.2 Polarização da luz (tratamento clássico)

A nossa porta de entrada para a mecânica quântica será através de um estudo cuidadoso da polarização

da luz. Recorde que é possível polarizar a luz usando, por exemplo, �ltros feitos de materiais especiais

como o `polaróide'. Essa substância contém moléculas muito longas e �nas (polímeros), todas orientadas

na mesma direção. Observamos que, após atravessar um �ltro desse tipo, a luz proveniente de uma fonte

qualquer adquire propriedades inusitadas. Um exemplo ocorre se colocarmos um segundo �ltro polaróide no

caminho do feixe luminoso, mas com as moléculas orientadas em uma direção diferente da do primeiro �ltro.

Observa-se então que a taxa de transmissão através do segundo �ltro depende do ângulo entre essas duas

orientações. Em particular, é possível bloquear totalmente a transmissão se o segundo �ltro se encontra a

90 graus em relação ao primeiro. (Esse tipo de polarização chama-se polarização linear. Veremos adiante

outros tipos de polarização).

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2.2. POLARIZAÇÃO DA LUZ (TRATAMENTO CLÁSSICO) 3

Propriedades como a que descrevemos acima podem ser facilmente compreendidas usando teoria do

eletromagnetismo clássico (equações de Maxwell). Veremos mais adiante, porém, que por trás deste compor-

tamento simples existem sutilezas que acabam exigindo uma teoria completamente diferente - a mecânica

quântica - para fazerem sentido.

Antes de podermos entrar nessa discussão, vamos relembrar a descrição matemática da polarização na

física clássica. Recorde que, segundo o eletromagnetismo, a luz propagando-se no vácuo (ou num meio

dielétrico simples) é uma onda transversa, ou seja, o seu campo elétrico é sempre perpendicular à direção z

de propagação:

~E(z, t) = Ex(z, t)x+ Ey(z, t)y. (2.1)

No caso de um feixe monocromático, de freqüência ω:

Ex(z, t) = E0x cos(kz − ωt+ φx); Ey(z, t) = E0y cos(kz − ωt+ φy) (2.2)

(podemos considerar E0x, E0y ≥ 0). Note que ambas as componentes de ~E são ondas de mesma freqüência

e velocidade, mas suas fases φx, φy podem em geral ser diferentes.

Para satisfazer as equações de Maxwell, o campo magnético precisa então ser

~B(z, t) =1v

(−Ey(z, t)x+ Ex(z, t)y) , (2.3)

onde v = ω/k é a velocidade de propagação. Observe que os campos elétrico e magnético e o vetor de

propagação z são todos mutuamente ortogonais. Pode-se ver que ~B(z, t) é totalmente determinado por

~E(z, t).

É conveniente reescrever a eq. (2.1) usando notação complexa:

~E(z, t) = Re[(E0xx+ E0ye

i(φy−φx)y)ei(kz−ωt)+φx

](2.4)

que podemos simpli�car ainda escrevendo

~E(z, t) = E.Re[~Pei(kz−ωt+φx)

](2.5)

onde

E =√E2

0x + E20y > 0 (2.6)

~P = ax+ beiφy; a ≡ E0x

E, b ≡ E0y

E, φ ≡ φy − φx (2.7)

Para simpli�car ainda mais, vamos assumir que φx = 0 (note que sempre podemos fazer isso, escolhendo

adequadamente o instante t = 0). Temos então:

~E(z, t) = E.Re[~Pei(kz−ωt)

](2.8)

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4 AULA 2. POLARIZAÇÃO DA LUZ

O escalar real E é a chamada amplitude do campo, e está diretamente ligado à intensidade Irms (en-

ergia transportada por unidade de tempo, em média) da onda. Para ver isso, lembre-se que a intensidade

instantânea da onda é

I(z, t) =12κε0| ~E(z, t)|2 +

12v2µ0

| ~B(z, t)|2 = κε0| ~E(z, t)|2

= κε0(E2

0x cos2(kz − ωt) + E20y cos2(kz − ωt+ φ)

)(2.9)

onde a segunda equação vem da eq. (2.3) e do fato de que v = (κε0µ0)−1/2. Como de hábito, tomando a

média sobre um período faz os termos oscilantes no tempo → 1/2, de modo que a intensidade média (rms) é

Irms ≡1T

∫ T

0

I(z, t)dt =12κε0(E2

0x + E20y) =

12κε0E

2 (2.10)

Podemos veri�car que, como esperado, a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude do campo.

2.2.1 O vetor de polarização

O vetor ~P é chamado vetor de polarização da onda, e ele será o objeto central de nossas atenções. Perceba

que ele é um vetor complexo de duas componentes, ou seja, os seus coe�cientes na base {x, y} podem ser

números complexos. (Atenção - não confundir com o vetor de duas componentes reais usado para representar

um único número complexo!). Vetores complexos compartilham a maioria das propriedades de seus similares

reais. Por exemplo, a soma componente a componente de dois vetores é um vetor, bem como a multiplicação

de um vetor por um número escalar (que pode ser complexo)

O parâmetro φ representa a diferença de fase entre as componentes x e y da onda, e assume valores em

um intervalo de comprimento 2π. Ainda, como a, b > 0 e a2+b2 = 1, podemos de�nir um ângulo 0 ≤ θ ≤ π/2

tal que a = cos(θ) e b = sen(θ). Em outras palavras:

~P (θ, φ) = cos (θ) x+ sen (θ) eiφy (2.11)

Para entender o signi�cado de ~P (θ, φ), convém analisarmos em alguns casos especí�cos o que ocorre com

o campo ~E(z, t) em um plano transversal com z �xo, à medida em que variamos t (ou, equivalentemente, o

que ocorre em um instante t �xo à medida em que variamos z):

1. φ = 0 ou π, θ qualquer (Polarização linear):

Nesse caso,

~P = cos (θ) x± sen (θ) y (2.12)

se reduz a um vetor real unitário, e temos

~E(z, t) = E cos(kz − ωt)~P (2.13)

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2.2. POLARIZAÇÃO DA LUZ (TRATAMENTO CLÁSSICO) 5

Vemos assim que, em um plano com z �xo, o campo ~E se mantém ao longo do tempo sempre paralelo

a uma direção �xa ~P , com uma constante de proporcionalidade que oscila periodicamente no tempo

entre ±E. Visto de outra forma, se percorrermos o eixo z em um instante t �xo, veremos o campo ~E

variando periodicamente sua amplitude, sem alterar a sua direção. Por este motivo, chamamos esse

caso de polarização linear. Note que o ângulo entre ~P e o eixo x é igual a θ se φ = 0, e a −θ se φ = π.

Chamamos esse ângulo de �ângulo de polarização�. Em particular: para θ = 0, ~P = x ≡ ~H (polarização horizontal)

para θ = π/2, ~P = y ≡ ~V (polarização vertical)(2.14)

No caso de um �ltro polaróide, as longas moléculas no material absorvem preferencialmente luz lin-

earmente polarizada na direção paralela a elas. Assim, o material é opaco a essa polarização, mas é

transparente à polarização linear na direção ortogonal (v. seção 3.2).

Figure 2.1: Polarização circular c© Hyperphysics (Carl Nave, Georgia State Univ.)

2. φ = ±π/2, θ = π/4 (Polarização circular):

Nesse caso

~P =1√2

(x± iy) (2.15)

(~P não é real), o que leva a

~E(z, t) =E√2

[cos(kz − ωt)x∓ sen(kz − ωt)y] (2.16)

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6 AULA 2. POLARIZAÇÃO DA LUZ

Vemos nesse caso que, para todo z, t, o campo ~E(z, t) está sempre localizado sobre um círculo de raio

E√2. Em um plano com z �xo, o campo ~E percorre o círculo com velocidade angular constante à medida

em que t varia. Por este motivo, chamamos esse caso de polarização circular. Se nos orientarmos de

modo a estarmos olhando na direção da fonte da onda, o sentido de rotação é anti-horário no caso

φ = π/2 e horário se φ = −π/2 1

Nos referimos assim a esses casos respectivamente como �polarização circular à esquerda� (que denotare-

mos ~P) e �polarização circular à direita� (que denotaremos ~P�). Alternativamente, se percorrermos

o eixo z em um instante t �xo, veremos o campo ~E circulando o eixo como uma hélice ou �parafuso�.

Figure 2.2: Polarização elíptica c© Hyperphysics (Carl Nave, Georgia State Univ.)

3. Todos os demais casos: Polarização elíptica.

Não é difícil adivinhar que, nas demais combinações de θ e φ, o campo elétrico em um z �xo percorrerá

uma curva intermediária entre uma reta e um círculo - por exemplo, uma elipse. De fato, isto é

precisamente o que acontece. O grau de achatamento (excentricidade) da elipse, bem como a sua

orientação com respeito aos eixos x, y dependem dos valores de θ e φ. (Vide exercício 2 da Lista 1)

1Para ver isso, note que, se em um dado instante t tivermos kz − ωt = 0 (de modo que ~E(z, t) = E√2x), no instante seguinte

teremos uma componente y positiva no caso φ = +π/2 (note que há dois sinais negativos se cancelando), e vice-versa.

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2.2. POLARIZAÇÃO DA LUZ (TRATAMENTO CLÁSSICO) 7

2.2.2 Decomposição da polarização em bases ortonormais

Pela eq. (2.11), todos os vetores de polarização podem ser escritos como uma combinação linear das polar-

izações horizontal x e vertical y. Por outro lado, se invertermos a eq. (2.15), temos:

x =1√2

(~P + ~P�

)y =

−i√2

(~P − ~P�

)(2.17)

Substituindo de volta na eq. (2.11), podemos ver que qualquer polarização pode também ser considerada

uma combinação das polarizações circulares esquerda e direita:

~P (θ, φ) =1√2

((cos θ − i sen θeiφ

)~P +

(cos θ + i sen θeiφ

)~P�

)(2.18)

Matematicamente, isto corresponde a uma mudança de base no espaço dos vetores de polarização. Perceba

novamente que este é um espaço vetorial complexo de duas dimensões. Em outras palavras, os dois coe�cientes

dos elementos de base nas eqs. (2.11) ou (2.18) em geral são complexos.

Vetores complexos compartilham a maioria das propriedades de seus similares reais. Por exemplo, a

soma componente a componente de dois vetores complexos é um vetor complexo. O mesmo vale para a

multiplicação de um vetor complexo por um número escalar (que também pode ser complexo). Há uma

diferença pequena mas importante, porém, se quisermos ter uma noção de ortogonalidade entre vetores

complexos. No caso de vetores reais, dizemos que dois vetores ~v, ~w são ortogonais se seu produto escalar

~v · ~w = 0, onde o produto é de�nido da maneira usual, ou seja, ~v · ~w =∑i viwi.

Não é difícil ver, porém, que esta noção tem problemas se aplicada a vetores complexos. Por exemplo,

no caso do vetor ~P, teríamos

~P · ~P?=

12(1.1 + i.i) = 0 (!?) (2.19)

Portanto o vetor ~P (que certamente não é nulo) seria ortogonal a si mesmo!

Para resolver esse problema, precisamos, no caso de vetores complexos, usar uma de�nição diferente de

produto escalar (a qual se reduz à noção usual no caso de vetores reais):

De�nição (produto escalar complexo): Dados dois vetores complexos2 ~v = (v1, v2, . . . vn) e ~w =

(w1, w2, . . . wn), de�nimos o seu produto escalar como:

~v ·c ~w ≡n∑i=1

v∗iwi (2.20)

2Embora os vetores de polarização têm só 2 componentes complexos, a de�nição dada aqui vale, de modo mais geral, para

vetores com um número n arbitrário de componentes complexas.

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8 AULA 2. POLARIZAÇÃO DA LUZ

onde ‘∗′ denota o conjugado complexo, e onde usamos a notação ` ·c' para diferenciar do produto escalar real

usual. Esse produto complexo tem muitas semelhanças com o produto usual: por exemplo, é fácil veri�car

que ~v ·c ~v ≥ 0, com igualdade apenas para o vetor nulo ~v = (0, . . . , 0). Podemos assim de�nir a norma de um

vetor da forma usual

‖~v‖ ≡√~v ·c ~v ≥ 0 (2.21)

Por outro lado, há também algumas diferenças importantes: por exemplo, note que

~w ·c ~v = (~v ·c ~w)∗ 6= ~v · ~w (2.22)

já que ~v ·c ~w é, em geral, um número complexo. (Para outras propriedades, vide Exercício 3, Lista 1).

Com esta de�nição de produto, você pode (deve!) veri�car que todos os vetores de polarização na eq.

(2.11) são normalizados, ou seja,∥∥∥~P (θ, φ)

∥∥∥ = 1. Ainda, para cada ~P (θ, φ), existe uma polarização ortogonal

~P⊥(θ, φ) ≡ sen (θ) x− cos (θ) eiφy (2.23)

satisfazendo

~P⊥(θ, φ) ·c ~P (θ, φ) = 0. (2.24)

É fácil checar que {~P⊥(θ, φ), ~P (θ, φ)} são linearmente independentes, i.e., não existe nenhuma combinação

linear destes dois vetores que se anula. Juntando todos estes fatos, vemos assim, que qualquer um destes

pares constitui uma base ortonormal para o espaço de vetores de polarização. (Em particular, ~P ·c ~P� = 0,

de modo que as duas polarizações circulares formam realmente uma base ortonormal).

Isto signi�ca então que qualquer vetor de polarização ~P pode ser escrito como uma combinação linear

~P = a~P (θ, φ) + b ~P⊥(θ, φ) (2.25)

com coe�cientes, em geral complexos, a e b (os quais dependerão da base que estamos usando).

Finalmente, note que, dado o vetor ~P , podemos encontrar os seus coe�cientes na base {~P⊥(θ, φ), ~P (θ, φ)}

tomando o produto escalar de cada lado da eq. (2.25) com os vetores da base. Usando a eq. (2.24), e o fato

de que os vetores de polarização são normalizados, temos então:

~P⊥(θ, φ) ·c ~P = a.0 + b.1 = b (2.26)

~P (θ, φ) ·c ~P = a.1 + b.0 = a (2.27)

2.2.3 Notação de Dirac

Vamos introduzir agora uma notação alternativa para descrever vetores complexos, como o vetor de polar-

ização. Essa notação, criada pelo físico Paul Dirac, é particularmente útil para os cálculos da mecânica

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2.2. POLARIZAÇÃO DA LUZ (TRATAMENTO CLÁSSICO) 9

quântica. Apesar de ainda não estarmos falando de mecânica quântica, já é conveniente neste ponto fazer

essa mudança de linguagem.

Primeiramente, ao invés de representar um vetor ~v com uma �seta em cima�, vamos representá-lo por um

ket (nome dado por Dirac):

|v〉 ≡ ~v (2.28)

Ainda, o vetor obtido quando tomamos o complexo conjugado3 dos elementos de |v〉 é escrito como um �ket

inverso� (ou bra):

〈v| ≡ ~v∗ = (v∗1 , ..., v∗n) (2.29)

Comparando com a eq. (2.20) vê-se que o produto escalar complexo entre dois vetores |v〉 e |w〉 é:

~v ·c ~w ≡ |v〉 ·c |w〉 = 〈v| · |w〉 (2.30)

Para simpli�car essa última expressão, suprimimos o operador produto, e escrevemos apenas

〈v|w〉 ≡ |v〉 ·c |w〉 =n∑i=1

v∗iwi (2.31)

A expressão à esquerda é chamada de um bracket (�colchete�, em inglês). Note que, reescrevendo a eq. (2.22)

temos

〈v|w〉 = 〈w|v〉∗ (2.32)

De agora em diante, vamos utilizar exclusivamente bras, kets e brackets, deixando de lado as outras

notações para vetores e produtos escalares complexos. Por exemplo, a eq. (2.11) para um vetor de polarização

genérico pode ser reescrita como:

|P (θ, φ)〉 = cos (θ) |x〉+ sen (θ) eiφ |y〉 (2.33)

e a eq. (2.24) para polarizações ortogonais �ca:

⟨P⊥(θ, φ)|P (θ, φ)

⟩= 0 (2.34)

Ainda, juntando as eqs. (2.25) e (2.26) temos

|P 〉 = 〈P (θ, φ)|P 〉 |P (θ, φ)〉+⟨P⊥(θ, φ)|P

⟩ ∣∣P⊥(θ, φ)⟩. (2.35)

3Mais à frente vamos ver que, rigorosamente, o bra 〈v| deve ser visto como o vetor |v〉 `transposto e conjugado'. Em outras

palavras, se considerarmos |v〉 como um vetor coluna, de componentes (v1, . . . , vn)T , então 〈v| corresponde ao vetor linha de

componentes (v∗1 , . . . , v∗n). Por enquanto, porém, essa distinção entre vetores linha e vetores coluna não é importante.