po-caderno 01 r1

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Manuel Meireles Introdução à Pesquisa Operacional 2a. edição Texto básico da disciplina Pesquisa Operacional. Este texto está disponibilizado no site http://www.profmeireles.com.br/novo/ : DIDÁTICOS > Métodos Quantitativos > Pesquisa Operacional São Paulo 2013

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Page 1: PO-Caderno 01 r1

Manuel Meireles

Introdução à Pesquisa Operacional

2a. edição

Texto básico da disciplina Pesquisa Operacional. Este texto está disponibilizado no site http://www.profmeireles.com.br/novo/ : DIDÁTICOS > Métodos Quantitativos > Pesquisa Operacional

São Paulo 2013

Page 2: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 2

Caderno 1 Introdução à Pesquisa Operacional

1- INTRODUÇÃO

A pesquisa operacional (PO) é um método científico de tomada de decisões e, para tal, usa

diversas técnicas, tais como modelos determinísticos, modelos estocásticos e outras técnicas.

Eom e Kim (2006)1 apontam as seguintes técnicas

Programação linearProgramação em redesProgramação binária e inteiraProgramação não-linearPorgramação por metas ou multiobjetivoProgramação dinâmica determinística

Teoria das filasModelos de simulaçãoProgramação Dinâmica Estocástica (Cadeias de Markov)Teoria dos Jogos

Metodologia Multicritério de Apoio à Decisão (AHP) (T-ODA)Análise envoltória de dados (DEA)Inteligência ArtificialInteligência computacionalHeurísticas e meta-heurísticas

Modelos Determinísticos

Modelos Estocásticos

Outras técnicas

Os modelos determinísticos2 dão resultados em valores precisos partir dos valor introduzidos

no sistema. Os modelos estocásticos3 são probabilísticos: estes modelos não oferecem soluções

1 EOM, S.; KIM, E. A survey of decision suport system applications. Jounar of the Operational Research Society,

v.57, p.1264-1278, 2006

2 Por exemplo, a técnica de Programação Linear, que é determinística, dá como resultado, para maximizar o lucro,

produzir 50 cadeiras e 30 mesas.

3 Exemplo: a teoria das filas é uma técnica estocástica de Pesquisa Operacional. Ela dá, por exemplo, a

probabilidade de um cliente esperar na fila por mais de 10 minutos.

Page 3: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 3

únicas, mas apresentam uma distribuição de soluções associadas a uma probabilidade, segundo

uma determinada distribuição de probabilidades4.

Ocupa-se a PO do desenvolvimento de modelos de solução de problemas e das questões de

maximização e minimização. O método do caminho crítico, PERT/COM e os problemas de

transporte e análise de sensibilidade também são comuns em cursos introdutórios de pesquisa

operacional (PO).

A finalidade básica da disciplina é demonstrar as possibilidades cientificas de maximizar

resultados e minimizar dispêndios.

1.1- CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

A disciplina contempla o seguinte programa:

1 – Introdução à Pesquisa Operacional

1.1– Histórico da Pesquisa Operacional

1.2– Objetivos e Metodologia da Pesquisa Operacional.

1.3– Modelagem e formas de representação de problemas.

1.4– Conflitos entre a incerteza e eficiência das decisões.

1.5– Campos de Aplicação da Pesquisa Operacional: Técnicas e Métodos.

2 – Programação Linear

2.1 – Modelo em Programação Linear.

2.2 – Maximização “versus” Minimização.

2.3 – Método Gráfico de Solução de Problemas.

2.4 – Tipologia de problemas: viável x inviável; limitado x ilimitado, solução única x múltiplas

soluções.

3 – Método Simplex

3.1 – Solução Básica Viável.

3.2 – Descrição do Método para Maximização e Minimização.

3.3 – Algoritmo Simplex.

3.4 – Teoria da Dualidade.

3.5 – Método dual do simplex - a lógica do método; a definição de solução básica dual viável.

3.6 – Principais softwares de aplicação e programação: LINDO, SAS, GLP.

4- Problemas de Transporte

4.1 – Modelo linear de transporte

4.2 – Informações sobre o problema de transportes a partir do seu dual

4.3 – Algoritmo dos Transportes

4.4 – Degenerescência

5 – Análise de Sensibilidade

5.1 – Mudanças nos Lucros Unitários.

5.2 – Mudanças nos Valores dos Recursos.

4 Algumas distribuições de probabilidades muito usadas nos modelos estocásticos ou probabilísticos são:

distribuição de Poisson [pronunciar /puáçon/], distribuição geométrica, distribuição exponencial, distribuição de

Erlang, distribuição normal e distribuição beta.

Page 4: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 4

1.2- ESTRATÉGIA DE TRABALHO E AVALIAÇÃO

As aulas serão expositivas destacando-se que o importante é a aquisição de novas competências

pelos alunos. Em sala de aula será dada ênfase aos métodos quantitativos. Quando se fala em

aquisição de competências tem-se

em conta que aqui competência é o

conjunto de conhecimentos

(conteúdo), habilidades (reconhecer

a aplicação do conteúdo) e atitudes

(estar atento às situações que

demandam aplicar o conhecimento e

proceder adequadamente).

Desta forma o presente curso está muito vinculado às seguintes competências:

pensamento estratégico: ter consciência da questão temporal das situações,

desenvolvendo uma perspectiva futura que associa as decisões e ações atuais com

possíveis consequências futuras;

tomada de decisão: capacidade de escolher alternativas utilizando a técnica mais

adequada ao processo de decidir;

usar tecnologia de forma a elevar a eficiência e eficácia do processo que opera

raciocínio lógico como princípio básico do pensamento; ideias alicerçadas em uma

relação coerente de causa e efeito;

aplicação do conhecimento, pela aplicação das técnicas adquiridas.

Mais do que saber a disciplina-se estrutura-se no saber fazer, o que implica em adquirir

conhecimentos sobre pesquisa operacional e saber discernir quando e como esse saber se pode

aplicar.

Para o bom desenvolvimento de competências pelo aluno é importante a prática, especialmente a

solução de exercícios em sala, fora da sala, bem como a eliminação das dúvidas muito frequentes

nas questões que se utilizam de cálculos e estruturações de soluções.

As aulas fazem referencia às aplicações da Pesquisa Operacional no contexto das organizações, e

sempre se busca conectar o cotidiano dos alunos com seus ambientes organizacionais.

São apresentados e recomendados materiais de leitura e lista de exercícios de reforço que

relacionem a Pesquisa Operacional com a Administração de Empresas estimulando os alunos a

contextualizar a disciplina.

Avaliação: Serão respeitados os critérios de avaliação e aprovação definidos pela Universidade,

procurando sempre entender a avaliação como mais uma oportunidade de aprendizado, e de

desenvolvimento das competências.

A avaliação será feita por provas individuais e sem qualquer tipo de consulta.

Competências

=

Conhecimentos (saber)

+

habilidades (saber fazer)

+

Atitudes (querer fazer)

Page 5: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 5

Para ser aprovado um aluno necessita ter média 5, ou seja: obter 5 na prova P1, obter 5 na

prova P2 e obter 5 no Exame.

1.3- REGRAS DE CONVIVÊNCIA EM SALA DE AULA5

São estabelecidas as seguintes regras para a boa convivência em sala de aula:

1- A sua participação é sempre bem-vinda, pois dela depende o sucesso das aulas. Por

participação entende-se o acompanhamento da aula e formulação de intervenções apropriadas.

2- O professor não pode retomar a matéria que você não estudou, por desinteresse ou falta à aula

anterior: isso compromete o bom andamento dos trabalhos. Caso tenha faltado, veja com um

colega a matéria dada e se informe convenientemente do conteúdo. Entenda que o professor não

pode resumir em “cinco minutos” uma aula de quase duas horas. Portanto, não interrompa a aula

perguntando o que não está entendendo se o não entendimento é decorrência da sua ausência da

sala de aula.

3- Acompanhe a aula com atenção e tire suas dúvidas nos pontos específicos nos quais elas

ocorrem. Ao tirar uma dívida diga claramente do que se trata. Expressões do tipo “não entendi

nada” expressam desatenção e não dúvida.

4- Alunos e professores são responsáveis pela manutenção do clima de respeito e cordialidade

entre si.

5- O telefone celular deve ser desligado durante as aulas. Em casos especiais, o professor deverá

ser avisado da necessidade de o telefone estar legados (em modo vibrar). Em hipótese alguma

atenda o telefone na sala ou envie ou receba mensagens por ele.

6- A lista de presença expressa presença à aula e não a simples presença física pelo que um aluno

que dorme durante a aula, embora “presente” tem a falta anotada. O mesmo procedimento é dado

ao aluno que passa a aula com os seguintes comportamentos: a) lendo conteúdos não associados

à matéria; b) fazendo o trabalho de outra disciplina; c) “conversando” via SMS ou semelhante; d)

“navegando” na Internet.

7- As chamadas para verificação da presença física acontecerão no início de cada aula,

observados 30 minutos de tolerância.

8- O aluno atrasado pode entrar na sala de aula desde que o faça discretamente e se sente sem

cumprimentar os colegas ou o professor. A permissão da entrada é feita com o intuito de não

prejudicar o processo de ensino-aprendizagem. Se o aluno chegou depois da chamada a falta não

será tirada. Ao final da aula deve procurar o professor para garantir a presença da segunda aula.

9- O aluno é obrigado a trazer para a sala de aula o material necessário à mesma e isso inclui:

lápis ou caneta, material instrucional, caderno e calculadora.

10- Em dia de prova, não é permitido o empréstimo de material de qualquer espécie. A

calculadora que o aluno pode utilizar é física e não virtual.

11- As conversas paralelas devem ser evitadas para não prejudicarem o bom andamento das

aulas.

12- Eventual tolerância a alguma destas regras não representa a rescisão das normas

estabelecidas.

5 Adaptadas de: Roberto Patrus Mundim Pena: O PROFESSOR COMO GERENTE: RELATO DE UMA

EXPERIÊNCIA ÉTICA EM SALA DE AULA

Page 6: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 6

1.4- BIBLIOGRAFIA

O texto mínimo é constituído pelos presentes Cadernos “Introdução à Pesquisa Operacional” que

são disponibilizados no site www.profmeireles.com.br . Selecione: DIDÁTICOS > Métodos

Quantitativos > Pesquisa Operacional.

Além dos Cadernos de PO a página da disciplina no site www.profmeireles.com.br também

disponibiliza outros textos relacionados.. Estes textos podem ser considerados anexos dos

Cadernos e devem ser consultados ou utilizados de acordo com o texto..

Bibliografia Básica

BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de

gestão. Curitiba: IBPEX, 2010.

LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2009.

TAHA, H. A. Pesquisa operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

Bibliografia Complementar

ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para análise de

decisões. São Paulo: LTC, 2009.

BELFIORE, P.; FÁVERO, L.P. Pesquisa operacional (para cursos de Administração,

Contabilidade e Economia). Rio de Janeiro, Elsevier, 2012.

BRONSON, R. Pesquisa operacional e estatística. São Paulo: McGraw-Hill. 1995

CORRAR, L. J.; THEÓPHILO, C. R. Pesquisa operacional. São Paulo: Atlas, 2008.

EHRLICH, P. J. Pesquisa operacional: curso introdutório. 7. ed. São Paulo: Atlas, 1991.

HILLIER, F.S.; LIEBERMAN, G.J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9.ed. Porto Alegre:

AMGH, McGraw Hill, 2013.

SILVA, E. M. et al. Pesquisa operacional para os cursos de administração e engenharia. 4.

ed. São Paulo: Atlas, 2010.

Biografia Digital

BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de

gestão. Curitiba: IBPEX, 2010.

LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2009.

TAHA, H. A. Pesquisa operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

Page 7: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 7

1.5- CONCEITO DE PO

Para Ackoff e Sasieni (1974)6 PO é a aplicação de instrumentos, técnicas e métodos científicos a

problemas relativos ao funcionamento de um sistema, permitindo a obtenção de soluções ótimas

para os problemas.

Pesquisa Operacional (PO) é a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para

auxiliar no processo de tomada de decisões, tais como: projetar; planejar; e operar sistemas em

situações que requerem alocações eficientes de recursos escassos.

De acordo com Hillier (2010), a PO é aplicada a problemas envolvendo como conduzir e

coordenar as operações (atividades) em uma organização.

De forma sucinta, podemos dizer que Pesquisa Operacional é uma abordagem científica para a

tomada de decisões.

Lachtermacer (2004, p.1) afirma que a PO pode ser utilizada para ajudar nos processos de

decisão e dá como exemplos:

• Problemas de Otimização de Recursos7;

• Problemas de Localização;

• Problemas de Roteirização;

• Problemas de Carteiras de Investimento;

• Problemas de Alocação de Pessoas e Materiais8; e

• Problemas de Previsão e Planejamento.

Agosti (2003) apresenta um resumo das áreas mais citadas nos Simpósios da SOBRAPO, em

cerca de 1000 trabalhos.

Áreas de PO mencionadas %Transportes 21.0Energia 19.0Economia e Finanças 11.5Logística 9.0Planejamento e Controle da Produção 8.0

Telecomunicações 8.0Siderurgia 6.5Agropecuária 5.0Administração 4.0Saúde 2.5Educação 2.0Outras 3.5

6 Pesquisa Operacional. Russell L. Ackoff & Maurice W. Sasieni. Rio de Janeiro: Livros Técnicos, 1974

7 Veja no Caderno 01ª-Softwares o software PLACORTE que é um sistema integrado para a Otimização do Corte de

placas e perfis ou rolos. É utilizável numa vasta gama de sectores industriais: madeiras, metalomecânica, vidro,

papel, caixilharia de alumínio e, de uma forma geral, em qualquer indústria onde existam processos de corte uni ou

bidimensional de matéria-prima. A eficiência é aumentada pela integração de um sistema de gestão de base de dados

dedicada que proporciona facilidades na gestão de stocks de matéria-prima, reaproveitáveis e encomendas. Ver

também o software TOPOS com o qual é possível planejar o corte de matérias-primas com formas irregulares (não

rectangulares) noutras formas mais pequenas também irregulares. São áreas de aplicação importantes as indústrias

têxtil e das confecções, assim como a metalomecânica ou a indústria do calçado.

8 Veja no Caderno 01ª- Softwares o sistema EMPAC que foi concebido para a otimização do empacotamento em

contentores e para o carregamento de caminhões. É o caso também do software Thor32 que elabora de modo manual

e/ou automático o conjunto dos horários dum estabelecimento de ensino sem qualquer restrição ao número de

professores nem ao número de turmas. Principais características: 100% de colocação automática das aulas; três

algoritmos de resolução; facilidades na expressão de preferências; mapas com a totalidade dos horários das turmas,

dos docentes, das salas.

Page 8: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 8

O anexo Caderno 01b-Seget é um artigo do SEGeT (Simpósio de Excelência em Gestão e

Tecnologia) e apresenta a PO como uma ferramenta de tomada de decisão muito importante

devido à sua forma racional de proceder. O objetivo do artigo é mostrar a importância da PO

para tomada racional de decisão, e como utilizar o recurso Solver do Excel9, e como chegar ao

resultado de maximização da receita da Academia Núcleo de ginástica. Foi utilizado diversas

bibliografias para o embasamento teórico do trabalho, também utilizamos de pesquisa junto a

academia Núcleo de ginástica, e o programa Microsoft Office Excel para resolução do problema

de maximização da receita. Concluiu-se: a solução matemática para o problema da academia

Núcleo, a percepção da importância da Pesquisa Operacional, a montagem de um problema de

programação linear, e como utilizar o Solver do Microsoft Office Excel.

1.6- ORIGEM DO TERMO PO

A denominação Pesquisa Operacional é o motivo de críticas e reflexões, pois não reflete a

abrangência atual da área e pode dar a falsa impressão de estar limitada à análise de operações.

Alguns autores sugerem outras denominações preferíveis semanticamente, por exemplo, análise

de decisões; entretanto, o termo Pesquisa Operacional é bastante difundido no âmbito das

engenharias (particularmente a Engenharia de Produção) e outras ciências. (MORABITO in

BATALHA, 2008 p. 157)

Arenales (2007, p. 1) afirma que o termo Pesquisa Operacional é uma tradução (brasileira) direta

do termo inglês Operational Research, que em Portugal foi traduzido por Investigação

Operacional e nos países hispânicos, por Investigación Operativa.

1.7- HISTÓRIA DA PO

1.7.1- Primórdios da PO

Salles Neto (2010)10

afirma que “a busca pelo ótimo encontra as suas raízes na Antiguidade.

Podemos citar Euclides, Newton, Euler, Monge, Lagrange, Hamilton, Leontief, Von Neumann...

Gaspard Monge1, por exemplo, publicou em 1781, num trabalho intitulado “Mémoire sur la

théorie des déblais et des remblais”11

, um estudo sobre o melhor caminho para mover pedras de

um lugar para outro.

Contudo, a Pesquisa Operacional ganhou substancial importância durante a segunda guerra

mundial. Em 1939, o matemático e economista soviético L.V. Kantorovich formulou e resolveu

problemas ligados à otimização na administração das organizações, só que o seu trabalho se

manteve desconhecido até 1959. Por isso, a história registra que cientistas contratados pelo

governo da Inglaterra e dos EUA para desenvolver e aprimorar a logística de guerra foram os

pioneiros na área de Pesquisa Operacional, ou seja, de pesquisa das operações, neste caso,

militares.

Em 1947, George Dantzig e outros pesquisadores da SCOOP (Scientific Computation of

Optimum Programs), programa do Departamento da Força Aérea Americana, divulgaram um

método eficiente para resolução de Problemas de Programação Linear chamado Método

9 O Solver acompanha o Microsoft Excel. É uma ferramenta de programação linear que pode ser utilizada para

problemas de programação não-linear.

10 Luiz Leduino de Salles Neto. Tópicos de pesquisa operacional para o ensino médio

11 Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais pode ser traduzido como Memória sobre a teoria de arrimos

de pedra e diques.

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 9

Simplex12

. A partir deste trabalho a Pesquisa Operacional se desenvolveu rapidamente, sendo,

desde então, aplicada às mais diversas áreas, desde a produção industrial à medicina. O avanço

da pesquisa operacional nos últimos 50 anos se deu também em função do grande

desenvolvimento da informática, ferramenta indispensável para extensão prática dos métodos

desenvolvidos nos problemas reais.

Em 1975 o mundo todo se voltou para a Pesquisa Operacional quando foi anunciado o Prêmio

Nobel de Economia para L.V. Kantorovich e T. C. Koopmans “por suas contribuições à alocação

ótima de recursos”.

Formalmente, podemos dizer que a PO consiste numa abordagem científica na tomada de

decisões, ou um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados à resolução de

complexos problemas nas operações de uma organização, ou de um sistema real. A tabela 1 traz

alguns ramos da Pesquisa Operacional.

Muitos consideraram injustiça a Royal Sweden Academy of Sciencies, que concede o Nobel, não

ter incluído Dantzig, mas consideraram seu trabalho “muito matemático” (como é de

conhecimento público, não existe Prêmio Nobel de Matemática)”.

Problemas de Otimização Outros Ramos

Programação Linear Teoria das Filas

Programação Inteira Cadeias de Markov

Programação Dinâmica Teoria dos Jogos

Programação Não-linear Teoria dos Grafos

Programação Multi-objetivo Metaheurísticas Tabela 1. Ramos da Pesquisa Operacional

1.7.2- PO no Brasil

De acordo com Agosti (2003) nos anos 50, professores da USP, ITA e PUC-RJ, com formação

no exterior, criaram os primeiros cursos de graduação que incluíam disciplinas de P.O, como o

de Engenharia da Produção, e que foram incluídas também em outros cursos, já existentes, como

os de Economia, Engenharia, Matemática e Estatística.

A partir de 1960, a criação de cursos de pós-graduação na área de PO e a aquisição dos primeiros

computadores multiplicaram as possibilidades de sua aplicação. Várias empresas começaram a

utilizar a PO, estreitando um proveitoso relacionamento com as Universidades.

Os principais setores a empregar técnicas de PO, na época, foram os de siderurgia (CSN, Cia.

Vale do Rio Doce), eletricidade (Cia Nacional de Energia Elétrica), transportes (FRONAPE),

petróleo (PETROBRÁS, ESSO) e telecomunicações, além de grandes projetos e obras estatais.

Em função disso, foi criada, em 1968, a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional

(SOBRAPO). A década seguinte consolidou a PO, no Brasil, com o maior interesse das

empresas e o maior contingente de profissionais habilitados na área, permitindo a formação de

grupos próprios de P.O, visando à solução de problemas táticos e o planejamento estratégico,

naquelas empresas.

Nos anos seguintes, embora consolidada, a PO aplicada ao planejamento estratégico de empresas

perdia o sentido frente à situação imprevisível da economia nacional. Ao mesmo tempo, no

entanto, houve grande incremento do instrumental científico, com o desenvolvimento de

softwares e dos microcomputadores.

Profissionais da área acreditam que a P.O ganha um novo impulso nas áreas de administração

(tomada de decisões), visando à qualidade dos processos de produção e atendimento (serviços,

desenvolvimento de linhas de produtos, comercialização e marketing).

12

O Método Simplex é uma técnica utilizada para se determinar, numericamente, a solução ótima de um modelo de

Programação Linear.

Page 10: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 10

1.8- SOFTWARES PARA PO

Veja no anexo Caderno 01a-Softwares alguns softwares desenvolvidos por pesquisadores

portugueses. “Trata-se duma coleção variada de produtos, todos eles baseados em métodos e

técnicas da Investigação Operacional, estando vocacionados para a resolução de problemas

práticos, de inegável interesse socioeconômico”

Veja o software PO disponível em http://www.mpsantos.com.br/ O software PO é um aplicativo

de apoio no ensino dos tópicos de Pesquisa Operacional.É gratuito, podendo ser usado e copiado

livremente. Na sua versão atual (10.4), em 11 diferentes módulos, ele resolve pequenos

problemas dos seguintes tópicos:

Programação Linear

Transportes

Atribuição

Fluxo máximo

Árvore Tamanho Mínimo

Menor caminho em uma rede

Maior caminho em uma rede

Pert

Cpm

Filas

Simulação (Filas)

Lubianco e Angulo-Meza (2007)13

apresentam alguns softwares utilizados na programação linear

multiobjetivo:

ADBASE (Steuer, 1983): software baseado na ponderação das funções objetivo do

problema multiobjetivo. É executado em ambiente DOS.

TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 19892004): software interactivo que gera soluções

não dominadas e permite a visualização das regiões de indiferença dos pesos das funções

objetivo. Restringe em três, o número de funções objetivo. Pode ser utilizado em

ambiente Windows e Macintosh.

VIG: é um software interativo, visual e dinâmico que implementa o Pareto Race

(Korhonen e Wallenius, 1988). A informação requerida ao decisor consiste na

especificação das funções objetivo a serem melhoradas. Ele está baseado no método de

minimização da distância a um ponto de referência.

1.7.1- Sites sobre PO

Para quem deseja estudar mais sobre o assunto de PO recomendamos alguns sites:

1) No Brasil existe a SOBRAPO- Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional

(http://www.sobrapo.org.br/).

2) No site http://www.pesquisa-unificada.com/pesquisas/iniciacao-cientifica-teses-tcc-

doutorados/matematica-pesquisa-operacional/ encontra-se uma lista de 30 instituições

dedicada à PO.

13

Alcino Teixeira de Mello Lobianco e Lidia Angulo-Meza. Uma comparação de métodos de solução para

problemas de programação linear multiobjetivo. SPOLM 2007 ISSN 1806-3632 Rio de Janeiro, Brasil, 8 e 9 de

novembro de 2007.

Page 11: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 11

3) Em Portugal existe a APDIO - Associação Portuguesa de Investigação Operacional

(http://apdio.pt/home) que é uma sociedade científica que congrega a comunidade

portuguesa interessada em Investigação Operacional. Foi fundada em 1978 e é filiada à

Federação Internacional das Sociedades de Investigação Operacional (IFORS -

International Federation of Operational Research Societies) e à Associação das

Sociedades de Investigação Operacional Europeias (EURO - Association of European

Operational Research Societies).

4) Site do Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional: http://www.sbpo2013.ect.ufrn.br/

5) Site da Central de Estudos em Pesquisa Operacional: http://www.fearp.usp.br/po/index2.html

6) Site do Simpósio de Pesquisa Operacional e Logística da Marinha

https://www.casnav.mar.mil.br/spolm/

7) Mestrado em Logística e Pesquisa Operacional: http://www.geslog.ufc.br/

8) No site https://sites.google.com/site/profaelizabethfreitas/pesquisa-operacional pode ser

encontrado material didático, assim como as listas de exercício da discplina PO do curso

de graduação em Administração Industrial do CEFET-RJ da Professora Doutora Elisabeth

Freitas.

9) Artigos do Prof. Sobre método Simplex e Programação Linear em

http://lucastdcj.wordpress.com/category/algoritmo/

10) Algumas vídeo-aulas sobre pesquisa operacional

http://www.lookfordiagnosis.com/videos.php?title=Tira+D%C3%BAvidas+-

+Pesquisa+Operacional&content=11+de+mar%C3%A7o+de+2010&lang=3

Vídeo-aula 1: Tira Dúvidas - Pesquisa Operacional

Vídeo-aula 2: Vídeo-aula de Pesquisa Operacional - Unidade 1

Vídeo-aula 3: Solver Pesquisa Operacional

Vídeo-aula 4: Introdução a programação linear - vídeo aula 2 de 2

Vídeo-aula 5: USJT:Aula Pesquisa Operacional - 5AERN:

Vídeo-aula 6: Programação Linear:

1.9- OBJETIVOS E METODOLOGIA DA PO

A PO basicamente é uma técnica para boas decisões gerenciais, estando muito associada a

problemas de “maximização” (maximizar lucros) ou de “minimização” (minimizar perdas). PO

é a aplicação de análises quantitativas em problemas gerenciais. O objetivo da análise é

encontrar as melhores soluções dos problemas, isto é, escolher as boas decisões. A otimização,

portanto, produz a melhor solução para o problema que foi modelado.

As ferramentas da PO geralmente são técnicas de modelos matemáticos que requerem

conhecimentos de álgebra, geometria, estatística e probabilidade, álgebra matricial,

programação, algoritmos, teoria da decisão e lógica. A melhor forma de aprender PO é estudar

cada uma das suas técnicas ou métodos.

Agosti (2003) fornece uma lista das técnicas mais utilizadas em trabalhos sobre PO:

Page 12: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 12

Técnicas de PO utilizadas %Programação Matemática 26.0

Grafos 14.0SériesTemporais/Modelos de Previsão 14.0Estatística 11.0Otimização 9.0Processos Estocásticos 6.0

Técnicas de Análise Combinatória 4,5Teorias de decisão e de Jogos 4.0Sistemas Especialistas 3.0

Heurísticas 3.0Fluxos em Rede 2.0

Teoria de Filas 2.0

Redes Neurais 1,4

Foi visto acima que Eom e Kim (2006) apontam as técnicas abaixo resumidamente descritas:

Modelos determinísticos: dão resultados em valores precisos partir dos valor introduzidos no

sistema.

Programação linear

A Programação Linear é um ramo muito jovem da Matemática. Teve o seu início em 1947

quando G. B. Dantzig inventou e desenvolveu o “Método Simplex” para resolver problemas de

otimização formulados a partir de questões de logística da Força Aéreas dos Estados Unidos

durante a segunda Guerra Mundial. Seguiu-se um período de rápido e grande desenvolvimento

neste novo ramo da Matemática, pois até 1947 os problemas logísticos eram tradicionalmente

resolvidos intuitivamente por tentativa e erro.

Agosti (2003) afirma que a Programação Linear consiste em dispor os dados de um problema

cujas incógnitas guardem relações lineares, pede a forma de um sistema de equações e/ou

inequações14

composto de uma equação chamada objetivo para qual se deseja obter um resultado

máximo ou mínimo sujeito a restrições ou condicionamento constituído por várias equações ou

inequações15

.

Quando o número de incógnitas é igual a 2 ou 3 o sistema admite uma solução gráfica16

. Muito

complicada no segundo caso por se tratar de um problema no espaço tri-dimensional. Os

problemas com quatro ou mais incógnitas pertencendo a um espaço n-dimensional só admitem

soluções algébricas através do calculo matricial17

.

Programação em redes

Matias (2006)18

afirma que a programação em redes envolve o estudo das atividades, de forma a

se obter uma base para a tomada de decisões quanto ao tempo, custo e áreas críticas. É o caso do

14

Exemplos de inequações do primeiro grau ou inequações lineares:

-2x + 11 > 0

x – 9 ≤ 0

2x + 7 ≤ 0

16 – x < 0

15

Ver adiante item 1.11

16 Exemplo de uma solução gráfica:

17 O cálculo matricial faz uso de matrizes de diversos tipos.

18 Márcia Athayde Matias: Análise do comportamento de preços. Brasília: 2006

Page 13: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 13

estudo de atividades de rede como o PERT (Program Evaluation and Review Technique) e o

CPM (Critical Path Method). Ver figura 1.

Finalizar

Planos

Assinar

contrato

Limpar

terreno Escavar para

fundações

Serviço

energia

Instalações

subterrâneas

Concretar

Funda-

ções

Executar

formasSecar

Paredes

Retirar

Formas

Isolar/

Impermea-

bilizar

Inspecionar

Fundações

Figura 1: Exemplo de rede PERT/COM

Programação binária e inteira

Alves e Delgado (1997)19

afirmam que um problema de Programação Linear Inteira (PLI) é um

problema de Programação Linear (PL) em que todas ou alguma(s) das suas variáveis são

discretas (têm de assumir valores inteiros). Quando todas as variáveis estão sujeitas à condição

de integralidade estamos perante um problema de Programação Linear Inteira Pura (PLIP); e se

apenas algumas o estão trata-se de um problema de Programação Linear Inteira Mista (PLIM).

Embora a Programação Inteira (PI) inclua também a Programação Não-Linear Inteira, em

praticamente todos os modelos da vida real se preserva a estrutura linear das funções, pelo que

quase não existe diferença entre a PI e a PLI.

Existe um caso especial de variáveis inteiras: as variáveis binárias que apenas podem tomar os

valores 0 (zero) ou 1 (um). Quando todas as variáveis de um modelo são binárias, o modelo diz-

se de Programação Inteira Binária. As variáveis binárias são muito úteis para exprimirem

situações dicotômicas (sim ou não, fazer ou não fazer, etc.).

Programação não-linear

Rocha et al (2005) afirmam que a programação não-linear visa determinar o valor ótimo de uma

função não linear (um máximo e um mínimo) dado um conjunto de restrições lineares ou não

lineares de natureza estrita ou não estrita. Dependendo da forma de apresentação do problema

podemos utilizar vários métodos, como o método de Lagrange, o método de Gradiente, o método

de Newton e os Testes de Otimalidade pelas condições de Kunh-Tucker.

A Programação Linear é utilizada para analisar modelos onde as restrições e a função objetivo

são lineares; programação inteira se aplica a modelos que possuem variáveis inteiras (ou

discretas); programação dinâmica é utilizada em modelos onde o problema completo pode ser

decomposto em subproblemas menores; programação estocástica é aplicada a uma classe

especial de modelos onde os parâmetros são descritos por funções de probabilidade; finalmente,

programação não-linear é utilizada em modelos contendo funções não-lineares.

Programação por metas ou multiobjetivo

Lubianco e Angulo-Meza (2007) afirmam que a utilização de problemas multiobjetivo pode

representar uma grande vantagem com relação à programação linear mono objetivo, pois

considera vários aspectos de um problema. Além disso, enquanto que ao otimizar um problema

19

Rui Alves e Catarina Delgado. Programação linear inteira. Faculdade de Economia da Universidade do Porto,

1997.

Page 14: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 14

de programação linear mono objetivo (ou na otimização escalar) é obtida uma solução ou um

conjunto de soluções ótimas, com um mesmo valor na função objetivo. Já , na otimização de

problemas linear multiobjetivo (ou na otimização vetorial) obtém-se um conjunto de soluções

eficientes, também chamadas de não dominadas, não comparáveis entre si em termos dos valores

das funções objetivo, dentre as quais o decisor ou usuário poderá escolher levando em

consideração aspectos operacionais e gerenciais.

Programação dinâmica determinística

Para Matias (2006) a programação dinâmica determinística é uma programação aplicável á

otimização de eventos que sofrem uma sequencia de estados, podendo ser aplicada a sistemas

lineares ou não lineares.

Modelos estocásticos: são probabilísticos: estes modelos não oferecem soluções únicas, mas

apresentam uma distribuição de soluções associadas a uma probabilidade, segundo uma

determinada distribuição de probabilidade

Teoria das filas

A abordagem matemática de filas se iniciou no princípio deste século (1908) em Copenhague,

Dinamarca, com A. K. Erlang, considerado o pai da Teoria das Filas, estudando o problema de

redimensionamento de centrais telefônicas, mas somente após a Segunda Guerra Mundial ela foi

utilizada em outros problemas. Devido à complexidade matemática alguns problemas não são

resolvidos pela teoria.

A teoria das filas é um ramo da probabilidade que estuda a formação de filas, através de análises

matemáticas precisas e propriedades mensuráveis das filas. Faz uso de fórmulas derivadas das

distribuições de Poisson e Exponencial. Por exemplo para determinar a probabilidade de o

tempo gasto no sistema ser superior a um dado valor W, faz uso da fórmula:

Modelos de simulação

Modelos de simulação (ou simulação de modelos) tem por objetivo descrever o funcionamento

da realidade através de um pequeno número de variáveis que permita a sua conversão. Um

software muito utilizado em simulação é o ARENA: http://www.erlang.com.br/arena.asp .20

Na simulação de uma realidade é possível utilizar Modelos Reais e Modelos Virtuais.

20 Para os interessados sobre o assunto: Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas Com

Aplicações Arena de Paulo José Freitas Filho. Visual books, 2008

Outra obra é Usando o Arena Em Simulação de Darci Prado, Julian Livros, 2009..

Page 15: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 15

Programação dinâmica estocástica (Cadeias de Markov)

Silvia e Vargas Junior (xx) 21

afirmam que uma Cadeia de Markov ´e um tipo especial de

processo estocástico que possui a chamada propriedade markoviana . Um processo estocástico

tem a propriedade markoviana se os estados anteriores do processo são irrelevantes para a

predição dos próximos estados, desde que o estado atual seja conhecido. O matemático Andrey

Markov em 1906 conseguiu os primeiros resultados para estes processos. Atualmente, Cadeias

de Markov têm sido estudadas e utilizadas em diversas áreas do conhecimento como, por

exemplo, ciências biológicas, sociais e administrativas . Probabilidades ligadas a jogos, evolução

de populações e resultados sobre teoria de filas são algumas aplicações.

Teoria dos Jogos

Matias (2006) afirma que a teoria das filas tem larga aplicação em leilões, operações de bolsa de

valores e de mercadorias. Utilizado em eventos para os quais as regras estejam claramente

definidas e na condição de se otimizar os resultados.

Outras técnicas: são geralmente técnicas específicas que fazem uso de princípios matemáticos e

estatísticos.

Metodologia multicritério de apoio à decisão (AHP, T-ODA)

Os métodos multicritérios são considerados uma vertente da pesquisa operacional, que

passou a ser utilizada em finanças no início na década de 1950, com a introdução da teoria de

portfólio de Markovitz (1959). Conforme afirmam Wernke e Bornia (2001), nas décadas de 1970

e 1980, houve o surgimento de várias novas técnicas de avaliação por multicritérios visando

ajudar os administradores a decidir de forma eficaz em relação a custos e também como uma

forma de avaliar riscos e desempenho quando da análise de alternativas de investimentos. Desde

então, essa área do conhecimento vem contribuindo com os problemas de tomada de decisão em

outros campos de estudo em finanças, tais como investimentos em capital de risco, previsão de

falência, planejamento financeiro, fusões e aquisições corporativas, avaliação de risco, etc.

(SPRONK, 2005).

Modelo AHP: De acordo com Gomes (1997) e Gomes et al. (2002), o método AHP

(Analytic Hierarchy Process) é um dos primeiros métodos que surgiram dedicados ao ambiente

das decisões multicritério, talvez sendo hoje o mais utilizado em todo mundo. Foi originalmente

criado por Saaty (1990) na década de setenta e desenvolvido e intensamente aplicado nos últimos

vinte anos. A figura 2 ilustra um exemplo de decisão multicritério: a escolha do local onde

trabalhar está sujeita a quatro critérios: salários e benefícios, ambiente de trabalho, localização

(distância) e crescimento da carreira.

A AHP é uma metodologia de Auxilio Multicritério à Decisão, proposta por Saaty no

final dos anos 60 e que busca tratar de forma simples problemas de escolha complexos. Este

método está baseado em três princípios do pensamento analítico:

1-Construção de hierarquias: No AHP o problema é decomposto em níveis hierárquicos,

como forma de buscar uma melhor compreensão e avaliação do mesmo.

2-Estabelecer prioridades: O ajuste das prioridades no AHP fundamenta-se na habilidade

do ser humano de perceber o relacionamento entre objetos e situações observadas, comparando

pares à luz de um determinado foco ou critério (julgamentos paritários).

21

Tallyta Carolyne Martins da Silva; Valdivino Vargas Júnior . Cadeias de Markov: Conceitos e Aplicações em

Modelos de Difusão de Informação.

Page 16: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 16

3-Consistência lógica: No AHP, é possível avaliar o modelo de priorização construído

quanto a sua consistência.

Selecionar o melhoremprego

Localização(distância)

Crescimentoda carreira

Salário ebenefícios

Ambiente detrabalho

UniversidadeProdutosQuímicos Consultoria

Objetivo

Critérios

Opções deemprego

Figura 2: Exemplo de decisão multicritério.

Meireles e Sanches (2009)22

propuseram o modelo T-ODA (Trade-off Decision Analysis)

que é um modelo de decisão multicritério. Em relação aos modelos concorrentes, e em especial

ao modelo AHP, o T-ODA destaca-se pelo fato de prescindir os trabalhosos e complexos

cálculos para mostrar que há ou não consistência nas avaliações dos decisores. No modelo T-

ODA a consistência é obtida automaticamente.

O modelo T-ODA pode ser utilizado em http://www.profmeireles.com.br/novo/

Análise Envoltória de Dados23

[Ver Caderno 01c- DEA] A Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis - DEA)

tem sido extensivamente utilizada como apoio à gestão, na estimativa do desempenho relativo de

unidades produtivas semelhantes entre si. Particularmente vem sido aplicada à empresas que

trabalham utilizando múltiplos insumos para a produção de múltiplos produtos, para os quais é

difícil designar preços ou pesos.

Inteligência Artificial

Douglas Ciriaco (2008)24

afirma que a Inteligência Artificial (IA) é um ramo da ciência da

computação que se propõe a elaborar dispositivos que simulem a capacidade humana de

raciocinar, perceber, tomar decisões e resolver problemas, enfim, a capacidade de ser inteligente.

Existente há décadas, esta área da ciência é grandemente impulsionada com o rápido

desenvolvimento da informática e da computação, permitindo que novos elementos sejam

rapidamente agregados à IA.

Para Winston (1984)25

a IA é o estudo das ideias que permitem aos computadores serem

inteligentes. Schalkoff (1990)26

conceitua IA com o campo de estudo que tenta explicar e simular

22

Manuel Meireles e Cida Sanches. ST-ODA: Processo de tomada de decisões gerenciais multicritério subordinadas

à vantagem competitiva. FACCAMP, 2009

23 João Roberto Lorenzett, Ana Lúcia Miranda Lopes, Marcus Vinicius Andrade de Lima. Aplicação de Método de

Pesquisa Operacional (DEA) na Avaliação de Desempenho de Unidades Produtivas para Área de Educação

Profissional

24 Disponível em: http://www.tecmundo.com.br/intel/1039-o-que-e-inteligencia-artificial-.htm

25 WINsTON, Patrick henry. Inteligencia artificial. Rio de Janeiro: LTC, 1988

26 SCHALKOFF, Robert J. 1997.

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 17

o comportamento inteligente em termos de processos computacionais e Kurzweil (1990)27

afirmas que a IA é a arte de criar máquinas que executam funções que requerem inteligência

quando executadas por pessoas.

Inteligência computacional

A Inteligência Computacional28

compreende a teoria e a aplicação de técnicas computacionais

inspiradas em fenômenos naturais que incluem: Redes Neurais, Lógica Fuzzy e Computação

Evolucionária. Essas técnicas têm sido aplicadas com sucesso em diversas áreas da engenharia e

tecnologia, resolvendo problemas que eram difíceis para métodos convencionais ou mesmo sem

solução. Sistemas computacionais desenvolvidos a partir dessas técnicas ditas inteligentes são,

tipicamente: sistemas de apoio à decisão, classificação, planejamento, modelagem,

reconhecimento de padrões, otimização, previsão, controle e automação industrial, mineração de

dados e de síntese de sistemas. Tais sistemas encontram amplo emprego nos mais diversos

setores, incluindo os de Energia, Comércio, Finanças, Indústria, Meio Ambiente, Medicina e

Engenharias em geral.

Heurísticas e meta-heurísticas

A palavra heurística deriva do grego “heuriskein”, que significa descobrir. Os métodos

heurísticos ganharam destaque na comunidade científica após a publicação do livro “How to

solve it?” de George Polya em 1950. No Brasil o livro ficou com título “A arte de resolver

problemas”29

. Podemos definir heurística, do ponto de vista da Pesquisa Operacional, como

procedimento para resolver problemas através de um enfoque intuitivo, em geral racional, no

qual a estrutura do problema possa ser interpretada e explorada inteligentemente para obter uma

solução razoável.

Do ponto de vista da resolução de problemas podemos definir heurística como “sugestão ou

estratégia geral, independente de algum tópico particular ou do assunto em questão, que ajude os

resolvedores de problemas a abordar e entender um problema e a dirigir eficientemente seus

recursos para resolvê-lo”30

. O estudo de heurísticas para resolução de problemas pode contribuir

para desmistificar que os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta e

também que existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático e,

normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula pelo professor.

Algumas heurísticas gerais aplicadas à vários tipos de problemas de pesquisa operacional,

chamadas de metaheurísticas são:

• Algoritmos Genéticos: Os algoritmos Genéticos simulam os processos naturais de

evolução para resolução de problemas de pesquisa operacional e inteligência artificial,

aplicando a ideia darwiniana de seleção. De acordo com a aptidão e a combinação com

outros operadores genéticos, são produzidos métodos de grande robustez e aplicabilidade;

• Colônia de Formigas: Um procedimento de otimização inspirado em colônia de

formigas é uma (meta)heurística baseada em uma população de agentes (formigas) que

faz uso de mecanismos de adaptação, cooperação e paralelismo, visando a obtenção de

um procedimento para resolução de problemas de otimização combinatória;

27

O primeiro livro de Kurzweil foi publicado em 1990, The Age of Intelligent Machines, uma obra não fictícia que

discute a história da inteligência artificial.

28 Disponível em http://www.ica.ele.puc-

rio.br/disciplines/view.rails?idDiscipline=50&name=Intelig%C3%AAncia%20Computacional%20Aplicada%20(EL

E1361)

29 Polya, G. A Arte de Resolver Problemas, Interciência, Rio de Janeiro, (1995)

30 Shoenfeld, Alan. Mathematical Problem Solving, Academic Press, Nova York, (1985).

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 18

• Redes Neurais: A inspiração original para esta (meta)heurística advém do exame das

estruturas do cérebro, em particular do exame de neurônios.

Simulação

Santos (1999)31

afirma que uma simulação é a imitação, durante determinado período de tempo,

da operação de um sistema ou de um processo do mundo real. Feita a mão (raramente) ou em um

computador (quase sempre), a simulação envolve a geração de uma história artificial do sistema,

e a partir desta história artificial a inferência de como o sistema real funcionaria. O

comportamento do sistema é estudado pela construção de um Modelo de Simulação. Este

modelo normalmente toma a forma de um conjunto de considerações relacionadas a operação do

sistema. Estas considerações são expressas através de relações matemáticas, lógicas e simbólicas

entre as entidades, ou objetos de interesse, do sistema. Uma vez construído e validado, um

modelo pode ser usado para investigar uma grande quantidade de questões do tipo “e se...” sobre

o sistema do mundo real. Alterações no sistema podem ser inicialmente simuladas para se prever

as consequências no mundo real. A Simulação também pode ser usada para estudar sistemas no

estágio de projeto, ou seja antes do sistema ser construído. Assim, a Simulação pode usada tanto

como uma ferramenta de análise para prever o efeito de mudanças em sistemas já existentes,

quanto como uma ferramenta para prever a performance de novos sistemas sobre as mais

variadas circunstâncias.

1.10- MODELAGEM E FORMAS DE REPRESENTAR O PROBLEMA

De acordo com Belchior (1974), os instrumentos mais utilizados na aplicação da PO são os

seguintes:

• Cálculo Integral e Diferencial

• Cálculo das Probabilidades

• Processos Estocásticos

• Equações Lineares e Não-Lineares

• Matrizes e Determinantes

• Teoria dos Conjuntos

• Cálculo Vetorial

• Lógica e Desenho

1.11-MODELAGEM E FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE PROBLEMAS

A PO para fornecer soluções “ótimas” faz uso de modelagens. Um modelo é algo que representa

a realidade e geralmente se expressa de forma matemática. Um modelo matemático é uma

representação ou interpretação simplificada da realidade, ou uma interpretação de um fragmento

de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais.

O modelo pode ser simples ou complexo, dependendo da realidade que ele retrata.

Um exemplo simples de modelo seria este:

Realidade: “José faz bonecas de argila. Vende cada boneca por $7. O custo para fazer uma

boneca, compreendendo material, tintas, sua mão de obra e outros custos, é de $4. Ele tem um

custo fixo de $20/mês”

Modelo matemático do Lucro mensal de José:

L mensal= 3x- 20

31

Mauricio Pereira dos Santos. Introdução à Simulação Discreta. Departamento de Matemática Aplicada do

Instituto de Matemática e Estatística. Universidade do Estado Do Rio De Janeiro, 1999.

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 19

onde x é a quantidade de bonecas produzidas e vendidas no mês

Cada boneca é vendida por $7 e custa $4: logo o lucro unitário é de $7-$4=$3. Se José

produzir 10 bonecas por mês terá um lucro de:

L mensal= 3x- 20 = 3(10)-20 = 10

O importante aqui é entender que um modelo pode ser bem simples de expressar.

As três fases básicas num projeto de PO são:

1. Formulação do problema

2. Construção do modelo

3. Obtenção da solução

Os modelos de maior interesse em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos, isto é,

modelos formados por um conjunto de equações e inequações. Uma das equações do conjunto

serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou

função de eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou restrições

técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:

· Variáveis controladas ou de decisão: são as variáveis cujos valores estão sob controle. Decidir,

neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de

produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que

compete ao administrador controlar;

· Variáveis não controladas: são as variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do

controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são

variáveis não controladas.

Vejamos um exemplo de modelagem de problema (Adaptado de Lachtermacher, 2002):

Considere que você está saindo com duas namoradas: Juliana Paes e Kelly Key.

Se você pudesse planejaria sair com as duas ao mesmo tempo, e a todo tempo. Mas, sair com as

duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas.

E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre outras coisas) para sair todo dia.

Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradáveis, você precisa decidir

quantas vezes no mês sair com cada uma!

Chamemos

x1 a quantidade de vezes que você vai sair com a Juliana por semana;

x2 a quantidade de vezes que você vai sair com a Kelly Key por semana;

As variáveis x1 e x2, são as chamadas Variáveis de Decisão;

As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que

podemos escolher (decidir) livremente;

Veja que, a princípio você pode sair quantas, quantas vezes quiser com Juliana e com Kelly Key.

Entretanto, existe um pequeno problema:

Juliana é chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa R$180,00;

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 20

Kelly Key é mais simples, gosta de passeios mais baratos. Sair com ela custa só R$100,00;

Mas a sua semanada é de apenas R$ 800,00!

Como fazer para garantir que você não se endivide?

Se você sai com a Juliana x1 vezes na semana, e cada vez gasta R$180,00, então você gasta R$

180x1 por semana!

Fazendo o mesmo raciocínio para Kelly Key obtemos o seguinte:

100 x1 + 180 x2 ≤ 800

As diferenças entre as duas não são apenas no volume de gastos:

Quando sai com Juliana, que é a mais sossegada, você gasta apenas 2 horas. Kelly Key é muito

mais agitada. Cada vez que você sai com ela gasta em média 4 horas do seu precioso tempo.

Considere que os seus afazeres profissionais só lhe permitem 20 horas de lazer por semana.

Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai extrapolar este tempo?

2 x1 + 4 x2 ≤ 20

Como as vezes que sai com Juliana ou Kelly Key são valores nulos ou maiores do que zero

(condição de não-negatividade) pode-se escrever ainda:

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Você já pode se planejar! Decida quantas vezes você vai sair com Juliana (x1) e com Kelly

Key(x2)

Em suma: o modelo se expressa da seguinte forma:

Maximizar o número de saídas com Juliana e Kelly Key

max x1 + x2

sujeito a

100 x1 + 180 x2 ≤ 800

2 x1 + 4 x2 ≤ 20

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

1.11.1- Minimizar

Para converter um problema cuja função objetivo é minimizar em um que é maximizar, basta

trocar o sinal dos coeficientes da função objetivo e fazer certos ajustes. Isso será visto mais tarde.

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 21

1.12- EFICIÊNCIA DAS DECISÕES EM PO

O uso da PO é uma maneira racional de tomar decisões o que não significa que o resultado seja

sempre capaz de alcançar o objetivo. Isso não se dá em decorrência do método que é correto mas

da possibilidade de os dados utilizados não serem adequados para expressar a realidade.

Wilker (2011)32

afirma que por ser uma ferramenta matemática aplicada, a PO nos dá condições

para:

Solucionar problemas reais;

Tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas;

Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da

tecnologia bem como de métodos de outras áreas do conhecimento;

Minimizar custos e maximizar o lucro;

Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima.

1.13- EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Os exercícios propostos buscam trabalhar o conceito de modelagem de problemas. Resolva-os

antes de ver o gabarito.

Um Modelo Matemático33

é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz ,de

alguma forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real (BIEMBENGUT,

1997, p. 89).

Exercício Proposto 1:

Um pai distribuiu 94 balas entre seus três filhos de modo que o primeiro recebeu 3 a mais do que

o segundo e este cinco a mais do que o terceiro. Construa o modelo do problema e resolva

calculando a parte de cada um.

Exercício Proposto 2:

Definir dois números sabendo-se que a sua diferença é 326 e que o maior é o triplo do menor.

Construa o modelo do problema e resolva calculando cada número.

Exercício Proposto 3:

Um pai é 16 anos mais velho do que o filho. Daqui a 4 anos o pai tem o triplo da idade do filho.

Construa o modelo do problema e resolva calculando a idade atual de cada um.

Exercício Proposto 4:

Definir a quantidade de metros de arame farpado que são precisos para cercar um terreno

empregando 6 voltas, tendo o terreno uma área de 1800 m2 e uma largura de 36m. Construa o

modelo do problema e resolva calculando a quantidade de arame farpado.

32

Bráulio Wilker. Pesquisa operacional: visão geral. 2011. Disponível:

http://www.administradores.com.br/artigos/tecnologia/pesquisa-operacional-visao-geral/57475/

33 Ver Simone Leal. Modelação matemática uma proposta metodológica para o curso de economia. Dissertação

submetida à Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do título de Mestre em Engenharia de

Produção . Florianópolis ,1999 http://www.eps.ufsc.br/disserta99/leal/

Page 22: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 22

Exercício Proposto 5:

Um pai repartiu $720 entre seus três filhos, de tal modo que o mais velho recebeu a metade do

total, e o mais novo 1/5 do que recebeu o filho do meio. Construa o modelo do problema e

resolva calculando o valor que cada filho recebeu..

Exercício Proposto 6:

Um fazendeiro dispõe de 600 metros lineares de cerca. Qual o tipo de polígono que deve adotar

para maximizar a área cercada? (Considere as opções abaixo)

Polígono Lado Área

Triângulo 3R 3

4

3 2R

Quadrado 2R 22R

Hexágono R 3

2

3 2R

Círculo - 2R

Exercício Proposto 7:

Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele

necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de

pêssegos a $10 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30 de lucro por

caixa34

.

De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?

Construa o modelo do problema.

Exercício Proposto 8:

Um sapateiro faz sapatos para homem e sandálias para mulheres. Em cada sapato ganha $15

além do custo do material e em cada sandália ganha $20 além do custo de material. Ele demora 7

horas para fazer um sapato e 10 horas para fazer uma sandália. Ele dispõe de 200 horas de

trabalho por mês.

Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?

Construa o modelo do problema.

Exercício Proposto 9:

Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $1000 e o lucro

unitário do P2 é de $1800. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de

30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 1200

horas. A demanda esperada de cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades para

P234

.

Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?

Construa o modelo do problema.

34

Ermes da Silva, Elio da Silva, Valter Gonçalves e Afrânio Murolo. Pesquisa Operacional. São Paulo: Atlas, 1996.

Page 23: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 23

Exercício Proposto 10:

Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $100 e o lucro

unitário do P2 é de $150. A empresa precisa de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 3

horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 120 horas.

As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes

produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês34

.

Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?

Construa o modelo do problema.

Exercício Proposto 11:

Uma empresa pode fabricar dois produtos (A e B). Na fabricação do produto A a empresa gasta

9h-h (horas homem) e 3h-m (horas máquina). Na fabricação do produto B a empresa gasta 1h-h e

1h-m. A empresa dispõe de 18h-h e 12 h-m. O lucro unitário do produto A é de $4 e do produto

B é de $1.

Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro possível?35

Construa o modelo do problema.

Exercício Proposto 12:

Um fabricante de banheiras de hidromassagem produz dois tipos de banheira com designer

arrojado. O proprietário precisa decidir quantas de cada modelo deve fabricar no próximo ciclo

de produção para entregar a uma rede de motéis. Esse fabricante compra as banheiras pré-

fabricadas da empresa Paulista Ltda e coloca nelas as bombas e os tubos necessários. Instala o

mesmo tipo de bomba nos dois modelos de banheira. O fabricante tem disponível 200 bombas

para o próximo ciclo de produção.

O modelo A requer 9 horas de trabalho para a sua montagem e consome 12 metros de tubo

enquanto o modelo B requer 6 horas de montagem e consome 16 metros de tubo.

Para esse ciclo de produção a empresa dispõe de 1566 horas e 2880 m de tubo. O lucro líquido

na produção do modelo A é de $350 e do modelo B é de $300.

Admitindo que toda a produção será vendida, quantas banheiras de cada modelo deverão ser

produzidas para maximizar o lucro no próximo ciclo de produção da empresa? (Adaptado de

Ragsdale, 2001)35

.

Construa o modelo do problema.

TEXTOS DE APOIO

O Caderno 01a- Softwares mostra alguns tipos de softwares na área de Pesquisa Operacional.

Alguns possuem versão Demo.

O Caderno 01b-Seget mostra “o que vem a ser pesquisa operacional e sua importância.

Também diz como montar a formulação matemática de maximização para resolução de um

problema de programação linear”. O artigo é uma aplicação da PO: “O problema aqui

apresentado é: Como utilizar a Pesquisa Operacional para resolver o problema de maximização

35

Cláudio Boghi e Ricardo Shitsuka. Aplicações práticas com Microsoft Office Excel 2003 e Solver. São Paulo:

Érica, 2005.

Page 24: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 24

da receita da Academia Núcleo”. Os autores apresentam o “ exemplo hipotético de Montevechi:

Uma fábrica produz dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é

vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo

adicional de $14 relativo à mão de obra....” No item 6. formulação do problema os autores

apresentam o problema da Núcleo consiste em estabelecer qual o número de vagas a oferecer no

período noturno em cada modalidade com o objetivo de maximizar a receita da empresa. No

item 6.5. é apresentada a resolução do problema utilizando a ferramenta SOLVER do Microsoft

Office Excel.

O Caderno 01c- DEA mostra uma “aplicação de Método de Pesquisa Operacional (DEA) na

Avaliação de Desempenho de Unidades Produtivas para Área de Educação Profissional”. O

trabalho utiliza a Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis - DEA) e descreve

esta técnica.

.O Caderno 01d-Varejo é um artigo publicado na Revista de Administração de Empresas que

aborda aplicação da PO no varejo. “Entre os muitos exemplos onde a PO pode ser aplicada no

varejo, mencionamos os seguintes:

1. A distribuição do planejamento total de compras entre os vários departamentos de uma

loja;

2. A distribuição da verba total de propaganda entre os departamentos;

3. A distribuição do orçamento total de propaganda entre os diversos meios disponíveis;

4. A distribuição do esforço promocional;

5. A distribuição do espaço de uma loja entre os diversos departamentos.

O artigo apresenta casos de estudo:

CASO A: Distribuição Econômica do Espaço

CASO B: Determinação do Lote Econômico de Compra

Gabarito

Exercício Proposto 1:

Um pai distribuiu 94 balas entre seus três filhos de modo que o primeiro recebeu 3 a mais do

que o segundo e este cinco a mais do que o terceiro. Construa o modelo do problema e resolva

calculando a parte de cada um.

Modelagem:

Seja x1, x2, x3 as quantidades recebidas pelos filhos

x1+x2+x3=94

x2=x3+5

x1=x3+8

Modelo (x3+8) + (x3+5)+ x3= 94

Resolução x3+8+x3+5+x3=94

3x3+13=94

3x3=81

x3=27

x1 recebe 27+8=35

x2 recebe 27+5=32

x3 recebe 27

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 25

Exercício Proposto 2:

Definir dois números sabendo-se que a sua diferença é 326 e que o maior é o triplo do menor.

Construa o modelo do problema e resolva calculando cada número.

Seja número é x1 e o outro é x2.

...a sua diferença é 326... x1-x2=326 (o que quer dizer que x1 é o maior dos números)

...o maior é o triplo do menor... x1=3x2

Modelo: x1-x2=326

x1=3x2

Resolução: Na primeira equação [x1-x2=326] substitui-se o valor de x1 por 3x2 pois

[x1=3x2]

3x2-x2=326

2x2=326

x2=163

x1=326+x2

x1=326+163

x1=489

Exercício Proposto 3:

Um pai é 16 anos mais velho do que o filho. Daqui a 4 anos o pai tem o triplo da idade do filho.

Construa o modelo do problema e resolva calculando a idade atual de cada um.

Seja x1 a idade do pai e x2 a idade do filho

...Um pai é 16 anos mais velho do que o filho... x1=x2+16

... Daqui a 4 anos o pai tem o triplo da idade do filho... x1+4=3(x2+4)

Modelo:

x1=x2+16

x1+4=3(x2+4)

Resolução: Na última equação x1+4=3(x2+4) substitui-se x1 por x2+16

x1+4=3(x2+4)

(x2+16)+4=3(x2+4)

x2+20 = 3x2+12

20-12=3x2-x2

8=2x2

4=x2

Como x2 é a idade atual do filho, o filho tem 4 anos e o pai tem x2+16=20 anos. Daqui a 4 anos o

filho terá 8 anos e o pai 24 anos, o que corresponde ao triplo da idade do filho.

Pode-se ver que o pai não é exemplo que se deve seguir, diga-se de passagem.

Exercício Proposto 4:

Definir a quantidade de metros de arame farpado que são precisos para cercar um terreno

empregando 6 voltas, tendo o terreno uma área de 1800 m2 e uma largura de 36m. Construa o

modelo do problema e resolva calculando a quantidade de arame farpado.

Seja F o comprimento total do arame farpado e P o perímetro do terreno.

O perímetro P do terreno é duas vezes o comprimento C do terreno + duas vezes a largura L

P=2C+2L

Como a área de um retângulo é C.L o comprimento

C=1800/L

Page 26: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 26

L=36

Modelo: F=6P

P=2(C+L)

C=1800/L

L=36

Resolução: C=1800/L = 1800/36 =50

P=2(50+36) = 172

F=6P = 6*172 =1032 m

Para cercar o terreno com 6 voltas é necessário 1032 m de arame farpado.

Exercício Proposto 5:

Um pai repartiu $720 entre seus três filhos, de tal modo que o mais velho recebeu a metade do

total, e o mais novo 1/5 do que recebeu o filho do meio. Construa o modelo do problema e

resolva calculando o valor que cada filho recebeu.

... Um pai repartiu $720 entre seus três filhos sendo as partes x1, x2, x3

...Seja T o dinheiro a repartir x1+x2+x3=T

... o mais velho recebeu a metade do total...--> x1=(T/2)

Logo, x2 e x3 recebem x2+x3= T-(T/2) = T/2

...o mais novo 1/5 do que recebeu o filho do meio... x3=x2/5

Modelo: T=720

x1+x2+x3=T

x1=T/2

x2+x3=T/2

x3=x2/5

Resolução: T=720

x1=T/2= 720/2 = 360

x2+x3=360

x2+x2/5=360

6x2 /5 = 360

6x2= 1800

x2=300

x3=300/5=60

O valor seria distribuído da seguinte forma: x1=360, x2=300 e x3= 60.

Exercício Proposto 6:

Um fazendeiro dispõe de 600 metros lineares de cerca. Qual o tipo de polígono que deve adotar

para maximizar a área cercada? (Considere as opções abaixo)

Polígono Lado Área

Triângulo 3R 3

4

3 2R

Quadrado 2R 22R

Hexágono R 3

2

3 2R

Círculo - 2R

Page 27: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 27

Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um triângulo o lado terá 200m.

47,1153

200

2003

R

R

A área do triângulo é dada por 222 173203)47,115(4

33

4

3mR

Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um quadrado o lado terá 150m.

07,1062

150

1502

R

R

A área do quadrado é dada por 222 22502)07,106(22 mR

Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um hexágono o lado terá 100m.

100R

A área do hexágono é dada por 222 259813)100(2

33

2

3mR

Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um círculo temos o perímetro com 600m.

49,952

600

6002

R

RD

A área do círculo é dada por 222 28646)49,95( mR

Para maximizar a área, com 600 metros de cerca deve-se construir um círculo com 95,49 m de

raio.

Exercício Proposto 7:

Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele

necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de

pêssegos a $10 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30 de lucro por

caixa.

De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?

Construa o modelo do problema.

Seja L=caixas de laranjas, P=caixa de pêssegos e T=caixa de tangerinas

... laranjas a $20 de lucro por caixa... lucro 20L

... pêssegos a $10 de lucro por caixa... lucro 10P

... tangerinas a $30 de lucro por caixa...lucro 30T

... necessita transportar 200 caixas de laranjas... L=200

... pelo menos 100 caixas de pêssegos... P>100

... máximo 200 caixas de tangerinas... T≤200

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 28

Modelo: maximizar 20L+10P+30T

Sujeito a L=200

P>100

T≤200

T >0 (condição de não-negatividade)

Exercício Proposto 8:

Um sapateiro faz sapatos para homem e sandálias para mulheres. Em cada sapato ganha $15

além do custo do material e em cada sandália ganha $20 além do custo de material. Ele demora

7 horas para fazer um sapato e 10 horas para fazer uma sandália. Ele dispõe de 200 horas de

trabalho por mês.

Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?

Construa o modelo do problema.

Seja H=sapatos para homem M=sandálias para mulheres

... em cada sapato ganha $15... 15H

... em cada sandália ganha $20... 20M

... demora 7 horas para fazer um sapato... 7H

... e 10 horas para fazer uma sandália... 10M

Ele dispõe de 200 horas de trabalho por mês...--> 7H+10M ≤200

.

Modelo: maximizar 15H+20M

Sujeito a 7H+10M ≤200

H,M>0 (condição de não-negatividade)

Exercício Proposto 9:

Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $1000 e o lucro

unitário do P2 é de $1800. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de

30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 1200

horas. A demanda esperada de cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades

para P2.

Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?

Construa o modelo do problema.

... lucro unitário do produto P1 é $1000... 1000 P1

... o lucro unitário do P2 é de $1800... 1800 P2

... precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1... 20 P1

Page 29: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 29

... e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2 30 P2

... O tempo anual de produção disponível é de 1200 horas 20 P1 + 30 P2 ≤ 1200

... demanda esperada de cada produto é de 40 unidades anuais para P1 P1 ≤40

... e 30 unidades para P2 P2 ≤30

Modelo: maximizar 1000 P1+ 1800 P2

Sujeito a 20 P1 + 30 P2 ≤ 1200

P1 ≤40

P2 ≤30

P1, P2>0 (condição de não-negatividade)

Exercício Proposto 10:

Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $100 e o lucro

unitário do P2 é de $150. A empresa precisa de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 3

horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 120 horas.

As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes

produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês34

.

Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?

Construa o modelo do problema.

... lucro unitário do produto P1 é $100... 100 P1

... o lucro unitário do P2 é de $150... 150 P2

... precisa de 2 horas para fabricar uma unidade de P1... 2 P1

... e de 3 horas para fabricar uma unidade de P2 3 P2

... O tempo anual de produção disponível é de 120 horas 2 P1 + 3 P2 ≤ 120

... os montantes produzidos não devem ultrapassar 40 unidades de P1 P1 ≤ 40

... e 30 unidades de P2 P2 ≤ 30

Modelo: maximizar 100 P1+ 150 P2

Sujeito a 2 P1 + 3 P2 ≤ 120

P1 ≤40

P2 ≤30

P1, P2>0 (condição de não-negatividade)

Page 30: PO-Caderno 01 r1

Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 30

Exercício Proposto 11:

Uma empresa pode fabricar dois produtos (A e B). Na fabricação do produto A a empresa gasta

9h-h (horas homem) e 3h-m (horas máquina). Na fabricação do produto B a empresa gasta 1h-h

e 1h-m. A empresa dispõe de 18h-h e 12 h-m. O lucro unitário do produto A é de $4 e do produto

B é de $1.

Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro possível?

Construa o modelo do problema.

... O lucro unitário do produto A é de $4 ... 4A

...e do produto B é de $1... 1B

... Na fabricação do produto A a empresa gasta 9h-h (horas homem) 9h-h A

... e 3h-m (horas máquina). 3h-m A

... Na fabricação do produto B a empresa gasta 1h-h 1h-h B

... e 1h-m 1h-m B

... A empresa dispõe de 18h-h .... 9h-h A + 1h-h B ≤ 18

...e 12 h-m 3h-m A + 1h-m B ≤ 12

Modelo: maximizar 4 A+ 1 B

Sujeito a 9h-h A + 1h-h B ≤ 18

3h-m A + 1h-m B ≤ 12

A, B >0 (condição de não-negatividade)

Exercício Proposto 12:

Um fabricante de banheiras de hidromassagem produz dois tipos de banheira com designer

arrojado. O proprietário precisa decidir quantas de cada modelo deve fabricar no próximo ciclo

de produção para entregar a uma rede de motéis. Esse fabricante compra as banheiras pré-

fabricadas da empresa Paulista Ltda e coloca nelas as bombas e os tubos necessários. Instala o

mesmo tipo de bomba nos dois modelos de banheira. O fabricante tem disponível 200 bombas

para o próximo ciclo de produção.

O modelo A requer 9 horas de trabalho para a sua montagem e consome 12 metros de tubo

enquanto o modelo B requer 6 horas de montagem e consome 16 metros de tubo.

Para esse ciclo de produção a empresa dispõe de 1566 horas e 2880 m de tubo. O lucro líquido

na produção do modelo A é de $350 e do modelo B é de $300.

Admitindo que toda a produção será vendida, quantas banheiras de cada modelo deverão ser

produzidas para maximizar o lucro no próximo ciclo de produção da empresa? (Adaptado de

Ragsdale, 2001).

Construa o modelo do problema.

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Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 31

O lucro líquido na produção do modelo A é de $350 e do modelo B é de $300 350 A+300 B

O fabricante tem disponível 200 bombas para o próximo ciclo de produção A + B =200

O modelo A requer 9 horas de trabalho... 9h A

...o modelo B requer 6 horas de montagem 6h B

O modelo A ...consome 12 metros de tubo 12m A

... o modelo B ... consome 16 metros de tubo 16m B

Para esse ciclo de produção a empresa dispõe de 1566 horas 9h A + 6h B ≤ 1566

... e 2880 m de tubo 12m A + 16m B ≤ 2880

Modelo: maximizar 350 A+ 300 B

Sujeito a 9h A + 6h B ≤ 1566

12m A + 16m B ≤ 2880

A + B =200

A, B >0 (condição de não-negatividade)

REFERÊNCIAS

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(Coleção Universitária de Administração )

ARENALES, M.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R.; YANASSE, H. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. Editora

Campus, 2007.

BATALHA, M.O. Introdução á Engenharia de Produção. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008

CLOSKEY, J.F.M.; TREFETHEN, F.N. Pesquisa operacional como instrumento de gerência. Rio de Janeiro: Edgard Blücher,

1956

COSTA, J. J. S. Tópicos de pesquisa operacional. Editora LTC, 1973.

HILLER, F.S. Introduçao á Pequisa Operacional. Porto Alegre: Bookmen, 2010.

MARINS, Fernando Augusto Silva; SILVA, Guilherme Martin; LOPES, Paulo Roberto Marcondes de Andrade. Pesquisa

operacional: desenvolvimento e otimização de modelos matemáticos por meio da linguagem GAMS. UNESP, 2010.

ESCUDERO, L.F. La simulacion em la empresa. Bilbao: Deusto, 1973.

SALIBY, E. Repensando a simulação: a amostragem descritiva. São Paulo: Atlas, 1989

LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.