po-caderno 01 r1
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Manuel Meireles
Introdução à Pesquisa Operacional
2a. edição
Texto básico da disciplina Pesquisa Operacional. Este texto está disponibilizado no site http://www.profmeireles.com.br/novo/ : DIDÁTICOS > Métodos Quantitativos > Pesquisa Operacional
São Paulo 2013
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 2
Caderno 1 Introdução à Pesquisa Operacional
1- INTRODUÇÃO
A pesquisa operacional (PO) é um método científico de tomada de decisões e, para tal, usa
diversas técnicas, tais como modelos determinísticos, modelos estocásticos e outras técnicas.
Eom e Kim (2006)1 apontam as seguintes técnicas
Programação linearProgramação em redesProgramação binária e inteiraProgramação não-linearPorgramação por metas ou multiobjetivoProgramação dinâmica determinística
Teoria das filasModelos de simulaçãoProgramação Dinâmica Estocástica (Cadeias de Markov)Teoria dos Jogos
Metodologia Multicritério de Apoio à Decisão (AHP) (T-ODA)Análise envoltória de dados (DEA)Inteligência ArtificialInteligência computacionalHeurísticas e meta-heurísticas
Modelos Determinísticos
Modelos Estocásticos
Outras técnicas
Os modelos determinísticos2 dão resultados em valores precisos partir dos valor introduzidos
no sistema. Os modelos estocásticos3 são probabilísticos: estes modelos não oferecem soluções
1 EOM, S.; KIM, E. A survey of decision suport system applications. Jounar of the Operational Research Society,
v.57, p.1264-1278, 2006
2 Por exemplo, a técnica de Programação Linear, que é determinística, dá como resultado, para maximizar o lucro,
produzir 50 cadeiras e 30 mesas.
3 Exemplo: a teoria das filas é uma técnica estocástica de Pesquisa Operacional. Ela dá, por exemplo, a
probabilidade de um cliente esperar na fila por mais de 10 minutos.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 3
únicas, mas apresentam uma distribuição de soluções associadas a uma probabilidade, segundo
uma determinada distribuição de probabilidades4.
Ocupa-se a PO do desenvolvimento de modelos de solução de problemas e das questões de
maximização e minimização. O método do caminho crítico, PERT/COM e os problemas de
transporte e análise de sensibilidade também são comuns em cursos introdutórios de pesquisa
operacional (PO).
A finalidade básica da disciplina é demonstrar as possibilidades cientificas de maximizar
resultados e minimizar dispêndios.
1.1- CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
A disciplina contempla o seguinte programa:
1 – Introdução à Pesquisa Operacional
1.1– Histórico da Pesquisa Operacional
1.2– Objetivos e Metodologia da Pesquisa Operacional.
1.3– Modelagem e formas de representação de problemas.
1.4– Conflitos entre a incerteza e eficiência das decisões.
1.5– Campos de Aplicação da Pesquisa Operacional: Técnicas e Métodos.
2 – Programação Linear
2.1 – Modelo em Programação Linear.
2.2 – Maximização “versus” Minimização.
2.3 – Método Gráfico de Solução de Problemas.
2.4 – Tipologia de problemas: viável x inviável; limitado x ilimitado, solução única x múltiplas
soluções.
3 – Método Simplex
3.1 – Solução Básica Viável.
3.2 – Descrição do Método para Maximização e Minimização.
3.3 – Algoritmo Simplex.
3.4 – Teoria da Dualidade.
3.5 – Método dual do simplex - a lógica do método; a definição de solução básica dual viável.
3.6 – Principais softwares de aplicação e programação: LINDO, SAS, GLP.
4- Problemas de Transporte
4.1 – Modelo linear de transporte
4.2 – Informações sobre o problema de transportes a partir do seu dual
4.3 – Algoritmo dos Transportes
4.4 – Degenerescência
5 – Análise de Sensibilidade
5.1 – Mudanças nos Lucros Unitários.
5.2 – Mudanças nos Valores dos Recursos.
4 Algumas distribuições de probabilidades muito usadas nos modelos estocásticos ou probabilísticos são:
distribuição de Poisson [pronunciar /puáçon/], distribuição geométrica, distribuição exponencial, distribuição de
Erlang, distribuição normal e distribuição beta.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 4
1.2- ESTRATÉGIA DE TRABALHO E AVALIAÇÃO
As aulas serão expositivas destacando-se que o importante é a aquisição de novas competências
pelos alunos. Em sala de aula será dada ênfase aos métodos quantitativos. Quando se fala em
aquisição de competências tem-se
em conta que aqui competência é o
conjunto de conhecimentos
(conteúdo), habilidades (reconhecer
a aplicação do conteúdo) e atitudes
(estar atento às situações que
demandam aplicar o conhecimento e
proceder adequadamente).
Desta forma o presente curso está muito vinculado às seguintes competências:
pensamento estratégico: ter consciência da questão temporal das situações,
desenvolvendo uma perspectiva futura que associa as decisões e ações atuais com
possíveis consequências futuras;
tomada de decisão: capacidade de escolher alternativas utilizando a técnica mais
adequada ao processo de decidir;
usar tecnologia de forma a elevar a eficiência e eficácia do processo que opera
raciocínio lógico como princípio básico do pensamento; ideias alicerçadas em uma
relação coerente de causa e efeito;
aplicação do conhecimento, pela aplicação das técnicas adquiridas.
Mais do que saber a disciplina-se estrutura-se no saber fazer, o que implica em adquirir
conhecimentos sobre pesquisa operacional e saber discernir quando e como esse saber se pode
aplicar.
Para o bom desenvolvimento de competências pelo aluno é importante a prática, especialmente a
solução de exercícios em sala, fora da sala, bem como a eliminação das dúvidas muito frequentes
nas questões que se utilizam de cálculos e estruturações de soluções.
As aulas fazem referencia às aplicações da Pesquisa Operacional no contexto das organizações, e
sempre se busca conectar o cotidiano dos alunos com seus ambientes organizacionais.
São apresentados e recomendados materiais de leitura e lista de exercícios de reforço que
relacionem a Pesquisa Operacional com a Administração de Empresas estimulando os alunos a
contextualizar a disciplina.
Avaliação: Serão respeitados os critérios de avaliação e aprovação definidos pela Universidade,
procurando sempre entender a avaliação como mais uma oportunidade de aprendizado, e de
desenvolvimento das competências.
A avaliação será feita por provas individuais e sem qualquer tipo de consulta.
Competências
=
Conhecimentos (saber)
+
habilidades (saber fazer)
+
Atitudes (querer fazer)
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 5
Para ser aprovado um aluno necessita ter média 5, ou seja: obter 5 na prova P1, obter 5 na
prova P2 e obter 5 no Exame.
1.3- REGRAS DE CONVIVÊNCIA EM SALA DE AULA5
São estabelecidas as seguintes regras para a boa convivência em sala de aula:
1- A sua participação é sempre bem-vinda, pois dela depende o sucesso das aulas. Por
participação entende-se o acompanhamento da aula e formulação de intervenções apropriadas.
2- O professor não pode retomar a matéria que você não estudou, por desinteresse ou falta à aula
anterior: isso compromete o bom andamento dos trabalhos. Caso tenha faltado, veja com um
colega a matéria dada e se informe convenientemente do conteúdo. Entenda que o professor não
pode resumir em “cinco minutos” uma aula de quase duas horas. Portanto, não interrompa a aula
perguntando o que não está entendendo se o não entendimento é decorrência da sua ausência da
sala de aula.
3- Acompanhe a aula com atenção e tire suas dúvidas nos pontos específicos nos quais elas
ocorrem. Ao tirar uma dívida diga claramente do que se trata. Expressões do tipo “não entendi
nada” expressam desatenção e não dúvida.
4- Alunos e professores são responsáveis pela manutenção do clima de respeito e cordialidade
entre si.
5- O telefone celular deve ser desligado durante as aulas. Em casos especiais, o professor deverá
ser avisado da necessidade de o telefone estar legados (em modo vibrar). Em hipótese alguma
atenda o telefone na sala ou envie ou receba mensagens por ele.
6- A lista de presença expressa presença à aula e não a simples presença física pelo que um aluno
que dorme durante a aula, embora “presente” tem a falta anotada. O mesmo procedimento é dado
ao aluno que passa a aula com os seguintes comportamentos: a) lendo conteúdos não associados
à matéria; b) fazendo o trabalho de outra disciplina; c) “conversando” via SMS ou semelhante; d)
“navegando” na Internet.
7- As chamadas para verificação da presença física acontecerão no início de cada aula,
observados 30 minutos de tolerância.
8- O aluno atrasado pode entrar na sala de aula desde que o faça discretamente e se sente sem
cumprimentar os colegas ou o professor. A permissão da entrada é feita com o intuito de não
prejudicar o processo de ensino-aprendizagem. Se o aluno chegou depois da chamada a falta não
será tirada. Ao final da aula deve procurar o professor para garantir a presença da segunda aula.
9- O aluno é obrigado a trazer para a sala de aula o material necessário à mesma e isso inclui:
lápis ou caneta, material instrucional, caderno e calculadora.
10- Em dia de prova, não é permitido o empréstimo de material de qualquer espécie. A
calculadora que o aluno pode utilizar é física e não virtual.
11- As conversas paralelas devem ser evitadas para não prejudicarem o bom andamento das
aulas.
12- Eventual tolerância a alguma destas regras não representa a rescisão das normas
estabelecidas.
5 Adaptadas de: Roberto Patrus Mundim Pena: O PROFESSOR COMO GERENTE: RELATO DE UMA
EXPERIÊNCIA ÉTICA EM SALA DE AULA
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 6
1.4- BIBLIOGRAFIA
O texto mínimo é constituído pelos presentes Cadernos “Introdução à Pesquisa Operacional” que
são disponibilizados no site www.profmeireles.com.br . Selecione: DIDÁTICOS > Métodos
Quantitativos > Pesquisa Operacional.
Além dos Cadernos de PO a página da disciplina no site www.profmeireles.com.br também
disponibiliza outros textos relacionados.. Estes textos podem ser considerados anexos dos
Cadernos e devem ser consultados ou utilizados de acordo com o texto..
Bibliografia Básica
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de
gestão. Curitiba: IBPEX, 2010.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
TAHA, H. A. Pesquisa operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Bibliografia Complementar
ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para análise de
decisões. São Paulo: LTC, 2009.
BELFIORE, P.; FÁVERO, L.P. Pesquisa operacional (para cursos de Administração,
Contabilidade e Economia). Rio de Janeiro, Elsevier, 2012.
BRONSON, R. Pesquisa operacional e estatística. São Paulo: McGraw-Hill. 1995
CORRAR, L. J.; THEÓPHILO, C. R. Pesquisa operacional. São Paulo: Atlas, 2008.
EHRLICH, P. J. Pesquisa operacional: curso introdutório. 7. ed. São Paulo: Atlas, 1991.
HILLIER, F.S.; LIEBERMAN, G.J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9.ed. Porto Alegre:
AMGH, McGraw Hill, 2013.
SILVA, E. M. et al. Pesquisa operacional para os cursos de administração e engenharia. 4.
ed. São Paulo: Atlas, 2010.
Biografia Digital
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de
gestão. Curitiba: IBPEX, 2010.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
TAHA, H. A. Pesquisa operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 7
1.5- CONCEITO DE PO
Para Ackoff e Sasieni (1974)6 PO é a aplicação de instrumentos, técnicas e métodos científicos a
problemas relativos ao funcionamento de um sistema, permitindo a obtenção de soluções ótimas
para os problemas.
Pesquisa Operacional (PO) é a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para
auxiliar no processo de tomada de decisões, tais como: projetar; planejar; e operar sistemas em
situações que requerem alocações eficientes de recursos escassos.
De acordo com Hillier (2010), a PO é aplicada a problemas envolvendo como conduzir e
coordenar as operações (atividades) em uma organização.
De forma sucinta, podemos dizer que Pesquisa Operacional é uma abordagem científica para a
tomada de decisões.
Lachtermacer (2004, p.1) afirma que a PO pode ser utilizada para ajudar nos processos de
decisão e dá como exemplos:
• Problemas de Otimização de Recursos7;
• Problemas de Localização;
• Problemas de Roteirização;
• Problemas de Carteiras de Investimento;
• Problemas de Alocação de Pessoas e Materiais8; e
• Problemas de Previsão e Planejamento.
Agosti (2003) apresenta um resumo das áreas mais citadas nos Simpósios da SOBRAPO, em
cerca de 1000 trabalhos.
Áreas de PO mencionadas %Transportes 21.0Energia 19.0Economia e Finanças 11.5Logística 9.0Planejamento e Controle da Produção 8.0
Telecomunicações 8.0Siderurgia 6.5Agropecuária 5.0Administração 4.0Saúde 2.5Educação 2.0Outras 3.5
6 Pesquisa Operacional. Russell L. Ackoff & Maurice W. Sasieni. Rio de Janeiro: Livros Técnicos, 1974
7 Veja no Caderno 01ª-Softwares o software PLACORTE que é um sistema integrado para a Otimização do Corte de
placas e perfis ou rolos. É utilizável numa vasta gama de sectores industriais: madeiras, metalomecânica, vidro,
papel, caixilharia de alumínio e, de uma forma geral, em qualquer indústria onde existam processos de corte uni ou
bidimensional de matéria-prima. A eficiência é aumentada pela integração de um sistema de gestão de base de dados
dedicada que proporciona facilidades na gestão de stocks de matéria-prima, reaproveitáveis e encomendas. Ver
também o software TOPOS com o qual é possível planejar o corte de matérias-primas com formas irregulares (não
rectangulares) noutras formas mais pequenas também irregulares. São áreas de aplicação importantes as indústrias
têxtil e das confecções, assim como a metalomecânica ou a indústria do calçado.
8 Veja no Caderno 01ª- Softwares o sistema EMPAC que foi concebido para a otimização do empacotamento em
contentores e para o carregamento de caminhões. É o caso também do software Thor32 que elabora de modo manual
e/ou automático o conjunto dos horários dum estabelecimento de ensino sem qualquer restrição ao número de
professores nem ao número de turmas. Principais características: 100% de colocação automática das aulas; três
algoritmos de resolução; facilidades na expressão de preferências; mapas com a totalidade dos horários das turmas,
dos docentes, das salas.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 8
O anexo Caderno 01b-Seget é um artigo do SEGeT (Simpósio de Excelência em Gestão e
Tecnologia) e apresenta a PO como uma ferramenta de tomada de decisão muito importante
devido à sua forma racional de proceder. O objetivo do artigo é mostrar a importância da PO
para tomada racional de decisão, e como utilizar o recurso Solver do Excel9, e como chegar ao
resultado de maximização da receita da Academia Núcleo de ginástica. Foi utilizado diversas
bibliografias para o embasamento teórico do trabalho, também utilizamos de pesquisa junto a
academia Núcleo de ginástica, e o programa Microsoft Office Excel para resolução do problema
de maximização da receita. Concluiu-se: a solução matemática para o problema da academia
Núcleo, a percepção da importância da Pesquisa Operacional, a montagem de um problema de
programação linear, e como utilizar o Solver do Microsoft Office Excel.
1.6- ORIGEM DO TERMO PO
A denominação Pesquisa Operacional é o motivo de críticas e reflexões, pois não reflete a
abrangência atual da área e pode dar a falsa impressão de estar limitada à análise de operações.
Alguns autores sugerem outras denominações preferíveis semanticamente, por exemplo, análise
de decisões; entretanto, o termo Pesquisa Operacional é bastante difundido no âmbito das
engenharias (particularmente a Engenharia de Produção) e outras ciências. (MORABITO in
BATALHA, 2008 p. 157)
Arenales (2007, p. 1) afirma que o termo Pesquisa Operacional é uma tradução (brasileira) direta
do termo inglês Operational Research, que em Portugal foi traduzido por Investigação
Operacional e nos países hispânicos, por Investigación Operativa.
1.7- HISTÓRIA DA PO
1.7.1- Primórdios da PO
Salles Neto (2010)10
afirma que “a busca pelo ótimo encontra as suas raízes na Antiguidade.
Podemos citar Euclides, Newton, Euler, Monge, Lagrange, Hamilton, Leontief, Von Neumann...
Gaspard Monge1, por exemplo, publicou em 1781, num trabalho intitulado “Mémoire sur la
théorie des déblais et des remblais”11
, um estudo sobre o melhor caminho para mover pedras de
um lugar para outro.
Contudo, a Pesquisa Operacional ganhou substancial importância durante a segunda guerra
mundial. Em 1939, o matemático e economista soviético L.V. Kantorovich formulou e resolveu
problemas ligados à otimização na administração das organizações, só que o seu trabalho se
manteve desconhecido até 1959. Por isso, a história registra que cientistas contratados pelo
governo da Inglaterra e dos EUA para desenvolver e aprimorar a logística de guerra foram os
pioneiros na área de Pesquisa Operacional, ou seja, de pesquisa das operações, neste caso,
militares.
Em 1947, George Dantzig e outros pesquisadores da SCOOP (Scientific Computation of
Optimum Programs), programa do Departamento da Força Aérea Americana, divulgaram um
método eficiente para resolução de Problemas de Programação Linear chamado Método
9 O Solver acompanha o Microsoft Excel. É uma ferramenta de programação linear que pode ser utilizada para
problemas de programação não-linear.
10 Luiz Leduino de Salles Neto. Tópicos de pesquisa operacional para o ensino médio
11 Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais pode ser traduzido como Memória sobre a teoria de arrimos
de pedra e diques.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 9
Simplex12
. A partir deste trabalho a Pesquisa Operacional se desenvolveu rapidamente, sendo,
desde então, aplicada às mais diversas áreas, desde a produção industrial à medicina. O avanço
da pesquisa operacional nos últimos 50 anos se deu também em função do grande
desenvolvimento da informática, ferramenta indispensável para extensão prática dos métodos
desenvolvidos nos problemas reais.
Em 1975 o mundo todo se voltou para a Pesquisa Operacional quando foi anunciado o Prêmio
Nobel de Economia para L.V. Kantorovich e T. C. Koopmans “por suas contribuições à alocação
ótima de recursos”.
Formalmente, podemos dizer que a PO consiste numa abordagem científica na tomada de
decisões, ou um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados à resolução de
complexos problemas nas operações de uma organização, ou de um sistema real. A tabela 1 traz
alguns ramos da Pesquisa Operacional.
Muitos consideraram injustiça a Royal Sweden Academy of Sciencies, que concede o Nobel, não
ter incluído Dantzig, mas consideraram seu trabalho “muito matemático” (como é de
conhecimento público, não existe Prêmio Nobel de Matemática)”.
Problemas de Otimização Outros Ramos
Programação Linear Teoria das Filas
Programação Inteira Cadeias de Markov
Programação Dinâmica Teoria dos Jogos
Programação Não-linear Teoria dos Grafos
Programação Multi-objetivo Metaheurísticas Tabela 1. Ramos da Pesquisa Operacional
1.7.2- PO no Brasil
De acordo com Agosti (2003) nos anos 50, professores da USP, ITA e PUC-RJ, com formação
no exterior, criaram os primeiros cursos de graduação que incluíam disciplinas de P.O, como o
de Engenharia da Produção, e que foram incluídas também em outros cursos, já existentes, como
os de Economia, Engenharia, Matemática e Estatística.
A partir de 1960, a criação de cursos de pós-graduação na área de PO e a aquisição dos primeiros
computadores multiplicaram as possibilidades de sua aplicação. Várias empresas começaram a
utilizar a PO, estreitando um proveitoso relacionamento com as Universidades.
Os principais setores a empregar técnicas de PO, na época, foram os de siderurgia (CSN, Cia.
Vale do Rio Doce), eletricidade (Cia Nacional de Energia Elétrica), transportes (FRONAPE),
petróleo (PETROBRÁS, ESSO) e telecomunicações, além de grandes projetos e obras estatais.
Em função disso, foi criada, em 1968, a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional
(SOBRAPO). A década seguinte consolidou a PO, no Brasil, com o maior interesse das
empresas e o maior contingente de profissionais habilitados na área, permitindo a formação de
grupos próprios de P.O, visando à solução de problemas táticos e o planejamento estratégico,
naquelas empresas.
Nos anos seguintes, embora consolidada, a PO aplicada ao planejamento estratégico de empresas
perdia o sentido frente à situação imprevisível da economia nacional. Ao mesmo tempo, no
entanto, houve grande incremento do instrumental científico, com o desenvolvimento de
softwares e dos microcomputadores.
Profissionais da área acreditam que a P.O ganha um novo impulso nas áreas de administração
(tomada de decisões), visando à qualidade dos processos de produção e atendimento (serviços,
desenvolvimento de linhas de produtos, comercialização e marketing).
12
O Método Simplex é uma técnica utilizada para se determinar, numericamente, a solução ótima de um modelo de
Programação Linear.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 10
1.8- SOFTWARES PARA PO
Veja no anexo Caderno 01a-Softwares alguns softwares desenvolvidos por pesquisadores
portugueses. “Trata-se duma coleção variada de produtos, todos eles baseados em métodos e
técnicas da Investigação Operacional, estando vocacionados para a resolução de problemas
práticos, de inegável interesse socioeconômico”
Veja o software PO disponível em http://www.mpsantos.com.br/ O software PO é um aplicativo
de apoio no ensino dos tópicos de Pesquisa Operacional.É gratuito, podendo ser usado e copiado
livremente. Na sua versão atual (10.4), em 11 diferentes módulos, ele resolve pequenos
problemas dos seguintes tópicos:
Programação Linear
Transportes
Atribuição
Fluxo máximo
Árvore Tamanho Mínimo
Menor caminho em uma rede
Maior caminho em uma rede
Pert
Cpm
Filas
Simulação (Filas)
Lubianco e Angulo-Meza (2007)13
apresentam alguns softwares utilizados na programação linear
multiobjetivo:
ADBASE (Steuer, 1983): software baseado na ponderação das funções objetivo do
problema multiobjetivo. É executado em ambiente DOS.
TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 19892004): software interactivo que gera soluções
não dominadas e permite a visualização das regiões de indiferença dos pesos das funções
objetivo. Restringe em três, o número de funções objetivo. Pode ser utilizado em
ambiente Windows e Macintosh.
VIG: é um software interativo, visual e dinâmico que implementa o Pareto Race
(Korhonen e Wallenius, 1988). A informação requerida ao decisor consiste na
especificação das funções objetivo a serem melhoradas. Ele está baseado no método de
minimização da distância a um ponto de referência.
1.7.1- Sites sobre PO
Para quem deseja estudar mais sobre o assunto de PO recomendamos alguns sites:
1) No Brasil existe a SOBRAPO- Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional
(http://www.sobrapo.org.br/).
2) No site http://www.pesquisa-unificada.com/pesquisas/iniciacao-cientifica-teses-tcc-
doutorados/matematica-pesquisa-operacional/ encontra-se uma lista de 30 instituições
dedicada à PO.
13
Alcino Teixeira de Mello Lobianco e Lidia Angulo-Meza. Uma comparação de métodos de solução para
problemas de programação linear multiobjetivo. SPOLM 2007 ISSN 1806-3632 Rio de Janeiro, Brasil, 8 e 9 de
novembro de 2007.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 11
3) Em Portugal existe a APDIO - Associação Portuguesa de Investigação Operacional
(http://apdio.pt/home) que é uma sociedade científica que congrega a comunidade
portuguesa interessada em Investigação Operacional. Foi fundada em 1978 e é filiada à
Federação Internacional das Sociedades de Investigação Operacional (IFORS -
International Federation of Operational Research Societies) e à Associação das
Sociedades de Investigação Operacional Europeias (EURO - Association of European
Operational Research Societies).
4) Site do Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional: http://www.sbpo2013.ect.ufrn.br/
5) Site da Central de Estudos em Pesquisa Operacional: http://www.fearp.usp.br/po/index2.html
6) Site do Simpósio de Pesquisa Operacional e Logística da Marinha
https://www.casnav.mar.mil.br/spolm/
7) Mestrado em Logística e Pesquisa Operacional: http://www.geslog.ufc.br/
8) No site https://sites.google.com/site/profaelizabethfreitas/pesquisa-operacional pode ser
encontrado material didático, assim como as listas de exercício da discplina PO do curso
de graduação em Administração Industrial do CEFET-RJ da Professora Doutora Elisabeth
Freitas.
9) Artigos do Prof. Sobre método Simplex e Programação Linear em
http://lucastdcj.wordpress.com/category/algoritmo/
10) Algumas vídeo-aulas sobre pesquisa operacional
http://www.lookfordiagnosis.com/videos.php?title=Tira+D%C3%BAvidas+-
+Pesquisa+Operacional&content=11+de+mar%C3%A7o+de+2010&lang=3
Vídeo-aula 1: Tira Dúvidas - Pesquisa Operacional
Vídeo-aula 2: Vídeo-aula de Pesquisa Operacional - Unidade 1
Vídeo-aula 3: Solver Pesquisa Operacional
Vídeo-aula 4: Introdução a programação linear - vídeo aula 2 de 2
Vídeo-aula 5: USJT:Aula Pesquisa Operacional - 5AERN:
Vídeo-aula 6: Programação Linear:
1.9- OBJETIVOS E METODOLOGIA DA PO
A PO basicamente é uma técnica para boas decisões gerenciais, estando muito associada a
problemas de “maximização” (maximizar lucros) ou de “minimização” (minimizar perdas). PO
é a aplicação de análises quantitativas em problemas gerenciais. O objetivo da análise é
encontrar as melhores soluções dos problemas, isto é, escolher as boas decisões. A otimização,
portanto, produz a melhor solução para o problema que foi modelado.
As ferramentas da PO geralmente são técnicas de modelos matemáticos que requerem
conhecimentos de álgebra, geometria, estatística e probabilidade, álgebra matricial,
programação, algoritmos, teoria da decisão e lógica. A melhor forma de aprender PO é estudar
cada uma das suas técnicas ou métodos.
Agosti (2003) fornece uma lista das técnicas mais utilizadas em trabalhos sobre PO:
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 12
Técnicas de PO utilizadas %Programação Matemática 26.0
Grafos 14.0SériesTemporais/Modelos de Previsão 14.0Estatística 11.0Otimização 9.0Processos Estocásticos 6.0
Técnicas de Análise Combinatória 4,5Teorias de decisão e de Jogos 4.0Sistemas Especialistas 3.0
Heurísticas 3.0Fluxos em Rede 2.0
Teoria de Filas 2.0
Redes Neurais 1,4
Foi visto acima que Eom e Kim (2006) apontam as técnicas abaixo resumidamente descritas:
Modelos determinísticos: dão resultados em valores precisos partir dos valor introduzidos no
sistema.
Programação linear
A Programação Linear é um ramo muito jovem da Matemática. Teve o seu início em 1947
quando G. B. Dantzig inventou e desenvolveu o “Método Simplex” para resolver problemas de
otimização formulados a partir de questões de logística da Força Aéreas dos Estados Unidos
durante a segunda Guerra Mundial. Seguiu-se um período de rápido e grande desenvolvimento
neste novo ramo da Matemática, pois até 1947 os problemas logísticos eram tradicionalmente
resolvidos intuitivamente por tentativa e erro.
Agosti (2003) afirma que a Programação Linear consiste em dispor os dados de um problema
cujas incógnitas guardem relações lineares, pede a forma de um sistema de equações e/ou
inequações14
composto de uma equação chamada objetivo para qual se deseja obter um resultado
máximo ou mínimo sujeito a restrições ou condicionamento constituído por várias equações ou
inequações15
.
Quando o número de incógnitas é igual a 2 ou 3 o sistema admite uma solução gráfica16
. Muito
complicada no segundo caso por se tratar de um problema no espaço tri-dimensional. Os
problemas com quatro ou mais incógnitas pertencendo a um espaço n-dimensional só admitem
soluções algébricas através do calculo matricial17
.
Programação em redes
Matias (2006)18
afirma que a programação em redes envolve o estudo das atividades, de forma a
se obter uma base para a tomada de decisões quanto ao tempo, custo e áreas críticas. É o caso do
14
Exemplos de inequações do primeiro grau ou inequações lineares:
-2x + 11 > 0
x – 9 ≤ 0
2x + 7 ≤ 0
16 – x < 0
15
Ver adiante item 1.11
16 Exemplo de uma solução gráfica:
17 O cálculo matricial faz uso de matrizes de diversos tipos.
18 Márcia Athayde Matias: Análise do comportamento de preços. Brasília: 2006
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 13
estudo de atividades de rede como o PERT (Program Evaluation and Review Technique) e o
CPM (Critical Path Method). Ver figura 1.
Finalizar
Planos
Assinar
contrato
Limpar
terreno Escavar para
fundações
Serviço
energia
Instalações
subterrâneas
Concretar
Funda-
ções
Executar
formasSecar
Paredes
Retirar
Formas
Isolar/
Impermea-
bilizar
Inspecionar
Fundações
Figura 1: Exemplo de rede PERT/COM
Programação binária e inteira
Alves e Delgado (1997)19
afirmam que um problema de Programação Linear Inteira (PLI) é um
problema de Programação Linear (PL) em que todas ou alguma(s) das suas variáveis são
discretas (têm de assumir valores inteiros). Quando todas as variáveis estão sujeitas à condição
de integralidade estamos perante um problema de Programação Linear Inteira Pura (PLIP); e se
apenas algumas o estão trata-se de um problema de Programação Linear Inteira Mista (PLIM).
Embora a Programação Inteira (PI) inclua também a Programação Não-Linear Inteira, em
praticamente todos os modelos da vida real se preserva a estrutura linear das funções, pelo que
quase não existe diferença entre a PI e a PLI.
Existe um caso especial de variáveis inteiras: as variáveis binárias que apenas podem tomar os
valores 0 (zero) ou 1 (um). Quando todas as variáveis de um modelo são binárias, o modelo diz-
se de Programação Inteira Binária. As variáveis binárias são muito úteis para exprimirem
situações dicotômicas (sim ou não, fazer ou não fazer, etc.).
Programação não-linear
Rocha et al (2005) afirmam que a programação não-linear visa determinar o valor ótimo de uma
função não linear (um máximo e um mínimo) dado um conjunto de restrições lineares ou não
lineares de natureza estrita ou não estrita. Dependendo da forma de apresentação do problema
podemos utilizar vários métodos, como o método de Lagrange, o método de Gradiente, o método
de Newton e os Testes de Otimalidade pelas condições de Kunh-Tucker.
A Programação Linear é utilizada para analisar modelos onde as restrições e a função objetivo
são lineares; programação inteira se aplica a modelos que possuem variáveis inteiras (ou
discretas); programação dinâmica é utilizada em modelos onde o problema completo pode ser
decomposto em subproblemas menores; programação estocástica é aplicada a uma classe
especial de modelos onde os parâmetros são descritos por funções de probabilidade; finalmente,
programação não-linear é utilizada em modelos contendo funções não-lineares.
Programação por metas ou multiobjetivo
Lubianco e Angulo-Meza (2007) afirmam que a utilização de problemas multiobjetivo pode
representar uma grande vantagem com relação à programação linear mono objetivo, pois
considera vários aspectos de um problema. Além disso, enquanto que ao otimizar um problema
19
Rui Alves e Catarina Delgado. Programação linear inteira. Faculdade de Economia da Universidade do Porto,
1997.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 14
de programação linear mono objetivo (ou na otimização escalar) é obtida uma solução ou um
conjunto de soluções ótimas, com um mesmo valor na função objetivo. Já , na otimização de
problemas linear multiobjetivo (ou na otimização vetorial) obtém-se um conjunto de soluções
eficientes, também chamadas de não dominadas, não comparáveis entre si em termos dos valores
das funções objetivo, dentre as quais o decisor ou usuário poderá escolher levando em
consideração aspectos operacionais e gerenciais.
Programação dinâmica determinística
Para Matias (2006) a programação dinâmica determinística é uma programação aplicável á
otimização de eventos que sofrem uma sequencia de estados, podendo ser aplicada a sistemas
lineares ou não lineares.
Modelos estocásticos: são probabilísticos: estes modelos não oferecem soluções únicas, mas
apresentam uma distribuição de soluções associadas a uma probabilidade, segundo uma
determinada distribuição de probabilidade
Teoria das filas
A abordagem matemática de filas se iniciou no princípio deste século (1908) em Copenhague,
Dinamarca, com A. K. Erlang, considerado o pai da Teoria das Filas, estudando o problema de
redimensionamento de centrais telefônicas, mas somente após a Segunda Guerra Mundial ela foi
utilizada em outros problemas. Devido à complexidade matemática alguns problemas não são
resolvidos pela teoria.
A teoria das filas é um ramo da probabilidade que estuda a formação de filas, através de análises
matemáticas precisas e propriedades mensuráveis das filas. Faz uso de fórmulas derivadas das
distribuições de Poisson e Exponencial. Por exemplo para determinar a probabilidade de o
tempo gasto no sistema ser superior a um dado valor W, faz uso da fórmula:
Modelos de simulação
Modelos de simulação (ou simulação de modelos) tem por objetivo descrever o funcionamento
da realidade através de um pequeno número de variáveis que permita a sua conversão. Um
software muito utilizado em simulação é o ARENA: http://www.erlang.com.br/arena.asp .20
Na simulação de uma realidade é possível utilizar Modelos Reais e Modelos Virtuais.
20 Para os interessados sobre o assunto: Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas Com
Aplicações Arena de Paulo José Freitas Filho. Visual books, 2008
Outra obra é Usando o Arena Em Simulação de Darci Prado, Julian Livros, 2009..
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 15
Programação dinâmica estocástica (Cadeias de Markov)
Silvia e Vargas Junior (xx) 21
afirmam que uma Cadeia de Markov ´e um tipo especial de
processo estocástico que possui a chamada propriedade markoviana . Um processo estocástico
tem a propriedade markoviana se os estados anteriores do processo são irrelevantes para a
predição dos próximos estados, desde que o estado atual seja conhecido. O matemático Andrey
Markov em 1906 conseguiu os primeiros resultados para estes processos. Atualmente, Cadeias
de Markov têm sido estudadas e utilizadas em diversas áreas do conhecimento como, por
exemplo, ciências biológicas, sociais e administrativas . Probabilidades ligadas a jogos, evolução
de populações e resultados sobre teoria de filas são algumas aplicações.
Teoria dos Jogos
Matias (2006) afirma que a teoria das filas tem larga aplicação em leilões, operações de bolsa de
valores e de mercadorias. Utilizado em eventos para os quais as regras estejam claramente
definidas e na condição de se otimizar os resultados.
Outras técnicas: são geralmente técnicas específicas que fazem uso de princípios matemáticos e
estatísticos.
Metodologia multicritério de apoio à decisão (AHP, T-ODA)
Os métodos multicritérios são considerados uma vertente da pesquisa operacional, que
passou a ser utilizada em finanças no início na década de 1950, com a introdução da teoria de
portfólio de Markovitz (1959). Conforme afirmam Wernke e Bornia (2001), nas décadas de 1970
e 1980, houve o surgimento de várias novas técnicas de avaliação por multicritérios visando
ajudar os administradores a decidir de forma eficaz em relação a custos e também como uma
forma de avaliar riscos e desempenho quando da análise de alternativas de investimentos. Desde
então, essa área do conhecimento vem contribuindo com os problemas de tomada de decisão em
outros campos de estudo em finanças, tais como investimentos em capital de risco, previsão de
falência, planejamento financeiro, fusões e aquisições corporativas, avaliação de risco, etc.
(SPRONK, 2005).
Modelo AHP: De acordo com Gomes (1997) e Gomes et al. (2002), o método AHP
(Analytic Hierarchy Process) é um dos primeiros métodos que surgiram dedicados ao ambiente
das decisões multicritério, talvez sendo hoje o mais utilizado em todo mundo. Foi originalmente
criado por Saaty (1990) na década de setenta e desenvolvido e intensamente aplicado nos últimos
vinte anos. A figura 2 ilustra um exemplo de decisão multicritério: a escolha do local onde
trabalhar está sujeita a quatro critérios: salários e benefícios, ambiente de trabalho, localização
(distância) e crescimento da carreira.
A AHP é uma metodologia de Auxilio Multicritério à Decisão, proposta por Saaty no
final dos anos 60 e que busca tratar de forma simples problemas de escolha complexos. Este
método está baseado em três princípios do pensamento analítico:
1-Construção de hierarquias: No AHP o problema é decomposto em níveis hierárquicos,
como forma de buscar uma melhor compreensão e avaliação do mesmo.
2-Estabelecer prioridades: O ajuste das prioridades no AHP fundamenta-se na habilidade
do ser humano de perceber o relacionamento entre objetos e situações observadas, comparando
pares à luz de um determinado foco ou critério (julgamentos paritários).
21
Tallyta Carolyne Martins da Silva; Valdivino Vargas Júnior . Cadeias de Markov: Conceitos e Aplicações em
Modelos de Difusão de Informação.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 16
3-Consistência lógica: No AHP, é possível avaliar o modelo de priorização construído
quanto a sua consistência.
Selecionar o melhoremprego
Localização(distância)
Crescimentoda carreira
Salário ebenefícios
Ambiente detrabalho
UniversidadeProdutosQuímicos Consultoria
Objetivo
Critérios
Opções deemprego
Figura 2: Exemplo de decisão multicritério.
Meireles e Sanches (2009)22
propuseram o modelo T-ODA (Trade-off Decision Analysis)
que é um modelo de decisão multicritério. Em relação aos modelos concorrentes, e em especial
ao modelo AHP, o T-ODA destaca-se pelo fato de prescindir os trabalhosos e complexos
cálculos para mostrar que há ou não consistência nas avaliações dos decisores. No modelo T-
ODA a consistência é obtida automaticamente.
O modelo T-ODA pode ser utilizado em http://www.profmeireles.com.br/novo/
Análise Envoltória de Dados23
[Ver Caderno 01c- DEA] A Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis - DEA)
tem sido extensivamente utilizada como apoio à gestão, na estimativa do desempenho relativo de
unidades produtivas semelhantes entre si. Particularmente vem sido aplicada à empresas que
trabalham utilizando múltiplos insumos para a produção de múltiplos produtos, para os quais é
difícil designar preços ou pesos.
Inteligência Artificial
Douglas Ciriaco (2008)24
afirma que a Inteligência Artificial (IA) é um ramo da ciência da
computação que se propõe a elaborar dispositivos que simulem a capacidade humana de
raciocinar, perceber, tomar decisões e resolver problemas, enfim, a capacidade de ser inteligente.
Existente há décadas, esta área da ciência é grandemente impulsionada com o rápido
desenvolvimento da informática e da computação, permitindo que novos elementos sejam
rapidamente agregados à IA.
Para Winston (1984)25
a IA é o estudo das ideias que permitem aos computadores serem
inteligentes. Schalkoff (1990)26
conceitua IA com o campo de estudo que tenta explicar e simular
22
Manuel Meireles e Cida Sanches. ST-ODA: Processo de tomada de decisões gerenciais multicritério subordinadas
à vantagem competitiva. FACCAMP, 2009
23 João Roberto Lorenzett, Ana Lúcia Miranda Lopes, Marcus Vinicius Andrade de Lima. Aplicação de Método de
Pesquisa Operacional (DEA) na Avaliação de Desempenho de Unidades Produtivas para Área de Educação
Profissional
24 Disponível em: http://www.tecmundo.com.br/intel/1039-o-que-e-inteligencia-artificial-.htm
25 WINsTON, Patrick henry. Inteligencia artificial. Rio de Janeiro: LTC, 1988
26 SCHALKOFF, Robert J. 1997.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 17
o comportamento inteligente em termos de processos computacionais e Kurzweil (1990)27
afirmas que a IA é a arte de criar máquinas que executam funções que requerem inteligência
quando executadas por pessoas.
Inteligência computacional
A Inteligência Computacional28
compreende a teoria e a aplicação de técnicas computacionais
inspiradas em fenômenos naturais que incluem: Redes Neurais, Lógica Fuzzy e Computação
Evolucionária. Essas técnicas têm sido aplicadas com sucesso em diversas áreas da engenharia e
tecnologia, resolvendo problemas que eram difíceis para métodos convencionais ou mesmo sem
solução. Sistemas computacionais desenvolvidos a partir dessas técnicas ditas inteligentes são,
tipicamente: sistemas de apoio à decisão, classificação, planejamento, modelagem,
reconhecimento de padrões, otimização, previsão, controle e automação industrial, mineração de
dados e de síntese de sistemas. Tais sistemas encontram amplo emprego nos mais diversos
setores, incluindo os de Energia, Comércio, Finanças, Indústria, Meio Ambiente, Medicina e
Engenharias em geral.
Heurísticas e meta-heurísticas
A palavra heurística deriva do grego “heuriskein”, que significa descobrir. Os métodos
heurísticos ganharam destaque na comunidade científica após a publicação do livro “How to
solve it?” de George Polya em 1950. No Brasil o livro ficou com título “A arte de resolver
problemas”29
. Podemos definir heurística, do ponto de vista da Pesquisa Operacional, como
procedimento para resolver problemas através de um enfoque intuitivo, em geral racional, no
qual a estrutura do problema possa ser interpretada e explorada inteligentemente para obter uma
solução razoável.
Do ponto de vista da resolução de problemas podemos definir heurística como “sugestão ou
estratégia geral, independente de algum tópico particular ou do assunto em questão, que ajude os
resolvedores de problemas a abordar e entender um problema e a dirigir eficientemente seus
recursos para resolvê-lo”30
. O estudo de heurísticas para resolução de problemas pode contribuir
para desmistificar que os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta e
também que existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático e,
normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula pelo professor.
Algumas heurísticas gerais aplicadas à vários tipos de problemas de pesquisa operacional,
chamadas de metaheurísticas são:
• Algoritmos Genéticos: Os algoritmos Genéticos simulam os processos naturais de
evolução para resolução de problemas de pesquisa operacional e inteligência artificial,
aplicando a ideia darwiniana de seleção. De acordo com a aptidão e a combinação com
outros operadores genéticos, são produzidos métodos de grande robustez e aplicabilidade;
• Colônia de Formigas: Um procedimento de otimização inspirado em colônia de
formigas é uma (meta)heurística baseada em uma população de agentes (formigas) que
faz uso de mecanismos de adaptação, cooperação e paralelismo, visando a obtenção de
um procedimento para resolução de problemas de otimização combinatória;
27
O primeiro livro de Kurzweil foi publicado em 1990, The Age of Intelligent Machines, uma obra não fictícia que
discute a história da inteligência artificial.
28 Disponível em http://www.ica.ele.puc-
rio.br/disciplines/view.rails?idDiscipline=50&name=Intelig%C3%AAncia%20Computacional%20Aplicada%20(EL
E1361)
29 Polya, G. A Arte de Resolver Problemas, Interciência, Rio de Janeiro, (1995)
30 Shoenfeld, Alan. Mathematical Problem Solving, Academic Press, Nova York, (1985).
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 18
• Redes Neurais: A inspiração original para esta (meta)heurística advém do exame das
estruturas do cérebro, em particular do exame de neurônios.
Simulação
Santos (1999)31
afirma que uma simulação é a imitação, durante determinado período de tempo,
da operação de um sistema ou de um processo do mundo real. Feita a mão (raramente) ou em um
computador (quase sempre), a simulação envolve a geração de uma história artificial do sistema,
e a partir desta história artificial a inferência de como o sistema real funcionaria. O
comportamento do sistema é estudado pela construção de um Modelo de Simulação. Este
modelo normalmente toma a forma de um conjunto de considerações relacionadas a operação do
sistema. Estas considerações são expressas através de relações matemáticas, lógicas e simbólicas
entre as entidades, ou objetos de interesse, do sistema. Uma vez construído e validado, um
modelo pode ser usado para investigar uma grande quantidade de questões do tipo “e se...” sobre
o sistema do mundo real. Alterações no sistema podem ser inicialmente simuladas para se prever
as consequências no mundo real. A Simulação também pode ser usada para estudar sistemas no
estágio de projeto, ou seja antes do sistema ser construído. Assim, a Simulação pode usada tanto
como uma ferramenta de análise para prever o efeito de mudanças em sistemas já existentes,
quanto como uma ferramenta para prever a performance de novos sistemas sobre as mais
variadas circunstâncias.
1.10- MODELAGEM E FORMAS DE REPRESENTAR O PROBLEMA
De acordo com Belchior (1974), os instrumentos mais utilizados na aplicação da PO são os
seguintes:
• Cálculo Integral e Diferencial
• Cálculo das Probabilidades
• Processos Estocásticos
• Equações Lineares e Não-Lineares
• Matrizes e Determinantes
• Teoria dos Conjuntos
• Cálculo Vetorial
• Lógica e Desenho
1.11-MODELAGEM E FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE PROBLEMAS
A PO para fornecer soluções “ótimas” faz uso de modelagens. Um modelo é algo que representa
a realidade e geralmente se expressa de forma matemática. Um modelo matemático é uma
representação ou interpretação simplificada da realidade, ou uma interpretação de um fragmento
de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais.
O modelo pode ser simples ou complexo, dependendo da realidade que ele retrata.
Um exemplo simples de modelo seria este:
Realidade: “José faz bonecas de argila. Vende cada boneca por $7. O custo para fazer uma
boneca, compreendendo material, tintas, sua mão de obra e outros custos, é de $4. Ele tem um
custo fixo de $20/mês”
Modelo matemático do Lucro mensal de José:
L mensal= 3x- 20
31
Mauricio Pereira dos Santos. Introdução à Simulação Discreta. Departamento de Matemática Aplicada do
Instituto de Matemática e Estatística. Universidade do Estado Do Rio De Janeiro, 1999.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 19
onde x é a quantidade de bonecas produzidas e vendidas no mês
Cada boneca é vendida por $7 e custa $4: logo o lucro unitário é de $7-$4=$3. Se José
produzir 10 bonecas por mês terá um lucro de:
L mensal= 3x- 20 = 3(10)-20 = 10
O importante aqui é entender que um modelo pode ser bem simples de expressar.
As três fases básicas num projeto de PO são:
1. Formulação do problema
2. Construção do modelo
3. Obtenção da solução
Os modelos de maior interesse em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos, isto é,
modelos formados por um conjunto de equações e inequações. Uma das equações do conjunto
serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou
função de eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou restrições
técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:
· Variáveis controladas ou de decisão: são as variáveis cujos valores estão sob controle. Decidir,
neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de
produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que
compete ao administrador controlar;
· Variáveis não controladas: são as variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do
controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são
variáveis não controladas.
Vejamos um exemplo de modelagem de problema (Adaptado de Lachtermacher, 2002):
Considere que você está saindo com duas namoradas: Juliana Paes e Kelly Key.
Se você pudesse planejaria sair com as duas ao mesmo tempo, e a todo tempo. Mas, sair com as
duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas.
E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre outras coisas) para sair todo dia.
Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradáveis, você precisa decidir
quantas vezes no mês sair com cada uma!
Chamemos
x1 a quantidade de vezes que você vai sair com a Juliana por semana;
x2 a quantidade de vezes que você vai sair com a Kelly Key por semana;
As variáveis x1 e x2, são as chamadas Variáveis de Decisão;
As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que
podemos escolher (decidir) livremente;
Veja que, a princípio você pode sair quantas, quantas vezes quiser com Juliana e com Kelly Key.
Entretanto, existe um pequeno problema:
Juliana é chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa R$180,00;
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 20
Kelly Key é mais simples, gosta de passeios mais baratos. Sair com ela custa só R$100,00;
Mas a sua semanada é de apenas R$ 800,00!
Como fazer para garantir que você não se endivide?
Se você sai com a Juliana x1 vezes na semana, e cada vez gasta R$180,00, então você gasta R$
180x1 por semana!
Fazendo o mesmo raciocínio para Kelly Key obtemos o seguinte:
100 x1 + 180 x2 ≤ 800
As diferenças entre as duas não são apenas no volume de gastos:
Quando sai com Juliana, que é a mais sossegada, você gasta apenas 2 horas. Kelly Key é muito
mais agitada. Cada vez que você sai com ela gasta em média 4 horas do seu precioso tempo.
Considere que os seus afazeres profissionais só lhe permitem 20 horas de lazer por semana.
Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai extrapolar este tempo?
2 x1 + 4 x2 ≤ 20
Como as vezes que sai com Juliana ou Kelly Key são valores nulos ou maiores do que zero
(condição de não-negatividade) pode-se escrever ainda:
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Você já pode se planejar! Decida quantas vezes você vai sair com Juliana (x1) e com Kelly
Key(x2)
Em suma: o modelo se expressa da seguinte forma:
Maximizar o número de saídas com Juliana e Kelly Key
max x1 + x2
sujeito a
100 x1 + 180 x2 ≤ 800
2 x1 + 4 x2 ≤ 20
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
1.11.1- Minimizar
Para converter um problema cuja função objetivo é minimizar em um que é maximizar, basta
trocar o sinal dos coeficientes da função objetivo e fazer certos ajustes. Isso será visto mais tarde.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 21
1.12- EFICIÊNCIA DAS DECISÕES EM PO
O uso da PO é uma maneira racional de tomar decisões o que não significa que o resultado seja
sempre capaz de alcançar o objetivo. Isso não se dá em decorrência do método que é correto mas
da possibilidade de os dados utilizados não serem adequados para expressar a realidade.
Wilker (2011)32
afirma que por ser uma ferramenta matemática aplicada, a PO nos dá condições
para:
Solucionar problemas reais;
Tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas;
Conceber, planejar, analisar, implementar, operar e controlar sistemas por meio da
tecnologia bem como de métodos de outras áreas do conhecimento;
Minimizar custos e maximizar o lucro;
Encontrar a melhor solução para um problema, ou seja, a solução ótima.
1.13- EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Os exercícios propostos buscam trabalhar o conceito de modelagem de problemas. Resolva-os
antes de ver o gabarito.
Um Modelo Matemático33
é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz ,de
alguma forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real (BIEMBENGUT,
1997, p. 89).
Exercício Proposto 1:
Um pai distribuiu 94 balas entre seus três filhos de modo que o primeiro recebeu 3 a mais do que
o segundo e este cinco a mais do que o terceiro. Construa o modelo do problema e resolva
calculando a parte de cada um.
Exercício Proposto 2:
Definir dois números sabendo-se que a sua diferença é 326 e que o maior é o triplo do menor.
Construa o modelo do problema e resolva calculando cada número.
Exercício Proposto 3:
Um pai é 16 anos mais velho do que o filho. Daqui a 4 anos o pai tem o triplo da idade do filho.
Construa o modelo do problema e resolva calculando a idade atual de cada um.
Exercício Proposto 4:
Definir a quantidade de metros de arame farpado que são precisos para cercar um terreno
empregando 6 voltas, tendo o terreno uma área de 1800 m2 e uma largura de 36m. Construa o
modelo do problema e resolva calculando a quantidade de arame farpado.
32
Bráulio Wilker. Pesquisa operacional: visão geral. 2011. Disponível:
http://www.administradores.com.br/artigos/tecnologia/pesquisa-operacional-visao-geral/57475/
33 Ver Simone Leal. Modelação matemática uma proposta metodológica para o curso de economia. Dissertação
submetida à Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do título de Mestre em Engenharia de
Produção . Florianópolis ,1999 http://www.eps.ufsc.br/disserta99/leal/
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 22
Exercício Proposto 5:
Um pai repartiu $720 entre seus três filhos, de tal modo que o mais velho recebeu a metade do
total, e o mais novo 1/5 do que recebeu o filho do meio. Construa o modelo do problema e
resolva calculando o valor que cada filho recebeu..
Exercício Proposto 6:
Um fazendeiro dispõe de 600 metros lineares de cerca. Qual o tipo de polígono que deve adotar
para maximizar a área cercada? (Considere as opções abaixo)
Polígono Lado Área
Triângulo 3R 3
4
3 2R
Quadrado 2R 22R
Hexágono R 3
2
3 2R
Círculo - 2R
Exercício Proposto 7:
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele
necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de
pêssegos a $10 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30 de lucro por
caixa34
.
De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?
Construa o modelo do problema.
Exercício Proposto 8:
Um sapateiro faz sapatos para homem e sandálias para mulheres. Em cada sapato ganha $15
além do custo do material e em cada sandália ganha $20 além do custo de material. Ele demora 7
horas para fazer um sapato e 10 horas para fazer uma sandália. Ele dispõe de 200 horas de
trabalho por mês.
Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?
Construa o modelo do problema.
Exercício Proposto 9:
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $1000 e o lucro
unitário do P2 é de $1800. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de
30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 1200
horas. A demanda esperada de cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades para
P234
.
Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?
Construa o modelo do problema.
34
Ermes da Silva, Elio da Silva, Valter Gonçalves e Afrânio Murolo. Pesquisa Operacional. São Paulo: Atlas, 1996.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 23
Exercício Proposto 10:
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $100 e o lucro
unitário do P2 é de $150. A empresa precisa de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 3
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 120 horas.
As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes
produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês34
.
Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?
Construa o modelo do problema.
Exercício Proposto 11:
Uma empresa pode fabricar dois produtos (A e B). Na fabricação do produto A a empresa gasta
9h-h (horas homem) e 3h-m (horas máquina). Na fabricação do produto B a empresa gasta 1h-h e
1h-m. A empresa dispõe de 18h-h e 12 h-m. O lucro unitário do produto A é de $4 e do produto
B é de $1.
Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro possível?35
Construa o modelo do problema.
Exercício Proposto 12:
Um fabricante de banheiras de hidromassagem produz dois tipos de banheira com designer
arrojado. O proprietário precisa decidir quantas de cada modelo deve fabricar no próximo ciclo
de produção para entregar a uma rede de motéis. Esse fabricante compra as banheiras pré-
fabricadas da empresa Paulista Ltda e coloca nelas as bombas e os tubos necessários. Instala o
mesmo tipo de bomba nos dois modelos de banheira. O fabricante tem disponível 200 bombas
para o próximo ciclo de produção.
O modelo A requer 9 horas de trabalho para a sua montagem e consome 12 metros de tubo
enquanto o modelo B requer 6 horas de montagem e consome 16 metros de tubo.
Para esse ciclo de produção a empresa dispõe de 1566 horas e 2880 m de tubo. O lucro líquido
na produção do modelo A é de $350 e do modelo B é de $300.
Admitindo que toda a produção será vendida, quantas banheiras de cada modelo deverão ser
produzidas para maximizar o lucro no próximo ciclo de produção da empresa? (Adaptado de
Ragsdale, 2001)35
.
Construa o modelo do problema.
TEXTOS DE APOIO
O Caderno 01a- Softwares mostra alguns tipos de softwares na área de Pesquisa Operacional.
Alguns possuem versão Demo.
O Caderno 01b-Seget mostra “o que vem a ser pesquisa operacional e sua importância.
Também diz como montar a formulação matemática de maximização para resolução de um
problema de programação linear”. O artigo é uma aplicação da PO: “O problema aqui
apresentado é: Como utilizar a Pesquisa Operacional para resolver o problema de maximização
35
Cláudio Boghi e Ricardo Shitsuka. Aplicações práticas com Microsoft Office Excel 2003 e Solver. São Paulo:
Érica, 2005.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 24
da receita da Academia Núcleo”. Os autores apresentam o “ exemplo hipotético de Montevechi:
Uma fábrica produz dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é
vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo
adicional de $14 relativo à mão de obra....” No item 6. formulação do problema os autores
apresentam o problema da Núcleo consiste em estabelecer qual o número de vagas a oferecer no
período noturno em cada modalidade com o objetivo de maximizar a receita da empresa. No
item 6.5. é apresentada a resolução do problema utilizando a ferramenta SOLVER do Microsoft
Office Excel.
O Caderno 01c- DEA mostra uma “aplicação de Método de Pesquisa Operacional (DEA) na
Avaliação de Desempenho de Unidades Produtivas para Área de Educação Profissional”. O
trabalho utiliza a Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis - DEA) e descreve
esta técnica.
.O Caderno 01d-Varejo é um artigo publicado na Revista de Administração de Empresas que
aborda aplicação da PO no varejo. “Entre os muitos exemplos onde a PO pode ser aplicada no
varejo, mencionamos os seguintes:
1. A distribuição do planejamento total de compras entre os vários departamentos de uma
loja;
2. A distribuição da verba total de propaganda entre os departamentos;
3. A distribuição do orçamento total de propaganda entre os diversos meios disponíveis;
4. A distribuição do esforço promocional;
5. A distribuição do espaço de uma loja entre os diversos departamentos.
O artigo apresenta casos de estudo:
CASO A: Distribuição Econômica do Espaço
CASO B: Determinação do Lote Econômico de Compra
Gabarito
Exercício Proposto 1:
Um pai distribuiu 94 balas entre seus três filhos de modo que o primeiro recebeu 3 a mais do
que o segundo e este cinco a mais do que o terceiro. Construa o modelo do problema e resolva
calculando a parte de cada um.
Modelagem:
Seja x1, x2, x3 as quantidades recebidas pelos filhos
x1+x2+x3=94
x2=x3+5
x1=x3+8
Modelo (x3+8) + (x3+5)+ x3= 94
Resolução x3+8+x3+5+x3=94
3x3+13=94
3x3=81
x3=27
x1 recebe 27+8=35
x2 recebe 27+5=32
x3 recebe 27
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 25
Exercício Proposto 2:
Definir dois números sabendo-se que a sua diferença é 326 e que o maior é o triplo do menor.
Construa o modelo do problema e resolva calculando cada número.
Seja número é x1 e o outro é x2.
...a sua diferença é 326... x1-x2=326 (o que quer dizer que x1 é o maior dos números)
...o maior é o triplo do menor... x1=3x2
Modelo: x1-x2=326
x1=3x2
Resolução: Na primeira equação [x1-x2=326] substitui-se o valor de x1 por 3x2 pois
[x1=3x2]
3x2-x2=326
2x2=326
x2=163
x1=326+x2
x1=326+163
x1=489
Exercício Proposto 3:
Um pai é 16 anos mais velho do que o filho. Daqui a 4 anos o pai tem o triplo da idade do filho.
Construa o modelo do problema e resolva calculando a idade atual de cada um.
Seja x1 a idade do pai e x2 a idade do filho
...Um pai é 16 anos mais velho do que o filho... x1=x2+16
... Daqui a 4 anos o pai tem o triplo da idade do filho... x1+4=3(x2+4)
Modelo:
x1=x2+16
x1+4=3(x2+4)
Resolução: Na última equação x1+4=3(x2+4) substitui-se x1 por x2+16
x1+4=3(x2+4)
(x2+16)+4=3(x2+4)
x2+20 = 3x2+12
20-12=3x2-x2
8=2x2
4=x2
Como x2 é a idade atual do filho, o filho tem 4 anos e o pai tem x2+16=20 anos. Daqui a 4 anos o
filho terá 8 anos e o pai 24 anos, o que corresponde ao triplo da idade do filho.
Pode-se ver que o pai não é exemplo que se deve seguir, diga-se de passagem.
Exercício Proposto 4:
Definir a quantidade de metros de arame farpado que são precisos para cercar um terreno
empregando 6 voltas, tendo o terreno uma área de 1800 m2 e uma largura de 36m. Construa o
modelo do problema e resolva calculando a quantidade de arame farpado.
Seja F o comprimento total do arame farpado e P o perímetro do terreno.
O perímetro P do terreno é duas vezes o comprimento C do terreno + duas vezes a largura L
P=2C+2L
Como a área de um retângulo é C.L o comprimento
C=1800/L
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 26
L=36
Modelo: F=6P
P=2(C+L)
C=1800/L
L=36
Resolução: C=1800/L = 1800/36 =50
P=2(50+36) = 172
F=6P = 6*172 =1032 m
Para cercar o terreno com 6 voltas é necessário 1032 m de arame farpado.
Exercício Proposto 5:
Um pai repartiu $720 entre seus três filhos, de tal modo que o mais velho recebeu a metade do
total, e o mais novo 1/5 do que recebeu o filho do meio. Construa o modelo do problema e
resolva calculando o valor que cada filho recebeu.
... Um pai repartiu $720 entre seus três filhos sendo as partes x1, x2, x3
...Seja T o dinheiro a repartir x1+x2+x3=T
... o mais velho recebeu a metade do total...--> x1=(T/2)
Logo, x2 e x3 recebem x2+x3= T-(T/2) = T/2
...o mais novo 1/5 do que recebeu o filho do meio... x3=x2/5
Modelo: T=720
x1+x2+x3=T
x1=T/2
x2+x3=T/2
x3=x2/5
Resolução: T=720
x1=T/2= 720/2 = 360
x2+x3=360
x2+x2/5=360
6x2 /5 = 360
6x2= 1800
x2=300
x3=300/5=60
O valor seria distribuído da seguinte forma: x1=360, x2=300 e x3= 60.
Exercício Proposto 6:
Um fazendeiro dispõe de 600 metros lineares de cerca. Qual o tipo de polígono que deve adotar
para maximizar a área cercada? (Considere as opções abaixo)
Polígono Lado Área
Triângulo 3R 3
4
3 2R
Quadrado 2R 22R
Hexágono R 3
2
3 2R
Círculo - 2R
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 27
Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um triângulo o lado terá 200m.
47,1153
200
2003
R
R
A área do triângulo é dada por 222 173203)47,115(4
33
4
3mR
Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um quadrado o lado terá 150m.
07,1062
150
1502
R
R
A área do quadrado é dada por 222 22502)07,106(22 mR
Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um hexágono o lado terá 100m.
100R
A área do hexágono é dada por 222 259813)100(2
33
2
3mR
Se ele tem 600 m lineares de cerca, fazendo um círculo temos o perímetro com 600m.
49,952
600
6002
R
RD
A área do círculo é dada por 222 28646)49,95( mR
Para maximizar a área, com 600 metros de cerca deve-se construir um círculo com 95,49 m de
raio.
Exercício Proposto 7:
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele
necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de
pêssegos a $10 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30 de lucro por
caixa.
De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?
Construa o modelo do problema.
Seja L=caixas de laranjas, P=caixa de pêssegos e T=caixa de tangerinas
... laranjas a $20 de lucro por caixa... lucro 20L
... pêssegos a $10 de lucro por caixa... lucro 10P
... tangerinas a $30 de lucro por caixa...lucro 30T
... necessita transportar 200 caixas de laranjas... L=200
... pelo menos 100 caixas de pêssegos... P>100
... máximo 200 caixas de tangerinas... T≤200
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 28
Modelo: maximizar 20L+10P+30T
Sujeito a L=200
P>100
T≤200
T >0 (condição de não-negatividade)
Exercício Proposto 8:
Um sapateiro faz sapatos para homem e sandálias para mulheres. Em cada sapato ganha $15
além do custo do material e em cada sandália ganha $20 além do custo de material. Ele demora
7 horas para fazer um sapato e 10 horas para fazer uma sandália. Ele dispõe de 200 horas de
trabalho por mês.
Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?
Construa o modelo do problema.
Seja H=sapatos para homem M=sandálias para mulheres
... em cada sapato ganha $15... 15H
... em cada sandália ganha $20... 20M
... demora 7 horas para fazer um sapato... 7H
... e 10 horas para fazer uma sandália... 10M
Ele dispõe de 200 horas de trabalho por mês...--> 7H+10M ≤200
.
Modelo: maximizar 15H+20M
Sujeito a 7H+10M ≤200
H,M>0 (condição de não-negatividade)
Exercício Proposto 9:
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $1000 e o lucro
unitário do P2 é de $1800. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de
30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 1200
horas. A demanda esperada de cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades
para P2.
Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?
Construa o modelo do problema.
... lucro unitário do produto P1 é $1000... 1000 P1
... o lucro unitário do P2 é de $1800... 1800 P2
... precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1... 20 P1
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 29
... e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2 30 P2
... O tempo anual de produção disponível é de 1200 horas 20 P1 + 30 P2 ≤ 1200
... demanda esperada de cada produto é de 40 unidades anuais para P1 P1 ≤40
... e 30 unidades para P2 P2 ≤30
Modelo: maximizar 1000 P1+ 1800 P2
Sujeito a 20 P1 + 30 P2 ≤ 1200
P1 ≤40
P2 ≤30
P1, P2>0 (condição de não-negatividade)
Exercício Proposto 10:
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é $100 e o lucro
unitário do P2 é de $150. A empresa precisa de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 3
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível é de 120 horas.
As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes
produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês34
.
Qual é o plano de produção que maximiza o lucro?
Construa o modelo do problema.
... lucro unitário do produto P1 é $100... 100 P1
... o lucro unitário do P2 é de $150... 150 P2
... precisa de 2 horas para fabricar uma unidade de P1... 2 P1
... e de 3 horas para fabricar uma unidade de P2 3 P2
... O tempo anual de produção disponível é de 120 horas 2 P1 + 3 P2 ≤ 120
... os montantes produzidos não devem ultrapassar 40 unidades de P1 P1 ≤ 40
... e 30 unidades de P2 P2 ≤ 30
Modelo: maximizar 100 P1+ 150 P2
Sujeito a 2 P1 + 3 P2 ≤ 120
P1 ≤40
P2 ≤30
P1, P2>0 (condição de não-negatividade)
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 30
Exercício Proposto 11:
Uma empresa pode fabricar dois produtos (A e B). Na fabricação do produto A a empresa gasta
9h-h (horas homem) e 3h-m (horas máquina). Na fabricação do produto B a empresa gasta 1h-h
e 1h-m. A empresa dispõe de 18h-h e 12 h-m. O lucro unitário do produto A é de $4 e do produto
B é de $1.
Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro possível?
Construa o modelo do problema.
... O lucro unitário do produto A é de $4 ... 4A
...e do produto B é de $1... 1B
... Na fabricação do produto A a empresa gasta 9h-h (horas homem) 9h-h A
... e 3h-m (horas máquina). 3h-m A
... Na fabricação do produto B a empresa gasta 1h-h 1h-h B
... e 1h-m 1h-m B
... A empresa dispõe de 18h-h .... 9h-h A + 1h-h B ≤ 18
...e 12 h-m 3h-m A + 1h-m B ≤ 12
Modelo: maximizar 4 A+ 1 B
Sujeito a 9h-h A + 1h-h B ≤ 18
3h-m A + 1h-m B ≤ 12
A, B >0 (condição de não-negatividade)
Exercício Proposto 12:
Um fabricante de banheiras de hidromassagem produz dois tipos de banheira com designer
arrojado. O proprietário precisa decidir quantas de cada modelo deve fabricar no próximo ciclo
de produção para entregar a uma rede de motéis. Esse fabricante compra as banheiras pré-
fabricadas da empresa Paulista Ltda e coloca nelas as bombas e os tubos necessários. Instala o
mesmo tipo de bomba nos dois modelos de banheira. O fabricante tem disponível 200 bombas
para o próximo ciclo de produção.
O modelo A requer 9 horas de trabalho para a sua montagem e consome 12 metros de tubo
enquanto o modelo B requer 6 horas de montagem e consome 16 metros de tubo.
Para esse ciclo de produção a empresa dispõe de 1566 horas e 2880 m de tubo. O lucro líquido
na produção do modelo A é de $350 e do modelo B é de $300.
Admitindo que toda a produção será vendida, quantas banheiras de cada modelo deverão ser
produzidas para maximizar o lucro no próximo ciclo de produção da empresa? (Adaptado de
Ragsdale, 2001).
Construa o modelo do problema.
Introdução à Pesquisa Operacional Manuel Meireles 31
O lucro líquido na produção do modelo A é de $350 e do modelo B é de $300 350 A+300 B
O fabricante tem disponível 200 bombas para o próximo ciclo de produção A + B =200
O modelo A requer 9 horas de trabalho... 9h A
...o modelo B requer 6 horas de montagem 6h B
O modelo A ...consome 12 metros de tubo 12m A
... o modelo B ... consome 16 metros de tubo 16m B
Para esse ciclo de produção a empresa dispõe de 1566 horas 9h A + 6h B ≤ 1566
... e 2880 m de tubo 12m A + 16m B ≤ 2880
Modelo: maximizar 350 A+ 300 B
Sujeito a 9h A + 6h B ≤ 1566
12m A + 16m B ≤ 2880
A + B =200
A, B >0 (condição de não-negatividade)
REFERÊNCIAS
ACKOFF, Russell Lincoln; SASIENI, Maurice W. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: LTC, São Paulo, SP: Edusp, 1971.
(Coleção Universitária de Administração )
ARENALES, M.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R.; YANASSE, H. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. Editora
Campus, 2007.
BATALHA, M.O. Introdução á Engenharia de Produção. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008
CLOSKEY, J.F.M.; TREFETHEN, F.N. Pesquisa operacional como instrumento de gerência. Rio de Janeiro: Edgard Blücher,
1956
COSTA, J. J. S. Tópicos de pesquisa operacional. Editora LTC, 1973.
HILLER, F.S. Introduçao á Pequisa Operacional. Porto Alegre: Bookmen, 2010.
MARINS, Fernando Augusto Silva; SILVA, Guilherme Martin; LOPES, Paulo Roberto Marcondes de Andrade. Pesquisa
operacional: desenvolvimento e otimização de modelos matemáticos por meio da linguagem GAMS. UNESP, 2010.
ESCUDERO, L.F. La simulacion em la empresa. Bilbao: Deusto, 1973.
SALIBY, E. Repensando a simulação: a amostragem descritiva. São Paulo: Atlas, 1989
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.