Ministério da Educação

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Campus Medianeira

PLANO DE ENSINO

CURSO ENGENHARIA AMBIENTAL MATRIZ 519

FUNDAMENTAÇÃO LEGAL

- Abertura e aprovação do projeto do curso: Resolução n° 075/09-COEPP, de 21/08/2009 e Resolução n° 092/09-COEPP, de 11/09/2009. - Alterações: Resolução n° 134/09, de 07/12/2009-COEPP, Resolução n° 089/11, de 21/12/2011-COGEP e Resolução n° 052/13- COGEP, de 03/09/2013.

- Autorização de curso: Portaria n. 394, de 20/04/2010 – DOU 22/04/2010 - seção 1-página 46.

DISCIPLINA/UNIDADE CURRICULAR CÓDIGO PERÍODO CARGA HORÁRIA (horas)

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 PP52A 2º AT AP Total

60 00 60

AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades Práticas como Componente Curricular.

PRÉ-REQUISITO Cálculo Diferencial e Integral 1

EQUIVALÊNCIA Não tem

OBJETIVOS

Específicos: Capacitar o aluno com os métodos de cálculo de funções de n variáveis reais. Objetivos Gerais: Desenvolvimento da capacidade de participar, investigar, se expressar (escrita e verbalmente), compreender, abstrair, raciocinar logicamente, interpretar (textos e oratórias), sintetizar, criar, organizar, analisar, refletir, criticar, resolver, generalizar e concluir.

EMENTA

Sistemas de Coordenadas Polares. Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais. Relações e

Funções em Espaços Reais n-Dimensionais. Limite e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais.

Derivadas Parciais. Derivadas de Funções Compostas, Implícitas e Homogêneas. Diferenciais de Funções

de n-Variáveis. Máximos e Mínimos de Funções de n-Variáveis Reais. Integrais Múltiplas. Aplicações

Geométricas das Integrais Múltiplas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

ITEM EMENTA CONTEÚDO

1 Sistemas de Coordenadas Polares.

-Equações Paramétricas -Reta Tangente , Comprimento de arco, área envolvendo equações paramétricas. -Sistema de Coordenadas Polares; -Transformação de Coordenadas Polares em Retangulares e vice-versa; -Construção de Gráficos em Coordenadas Polares; -Principais Gráficos em Coordenadas Polares: Cardióide, Limaçon, Lemniscata de Bernoulli, Espiral de Arquimedes, Rosáceas, Espiral, Logarítmica, Hipociclóide, Ciclóide e outras; - Reta Tangente , Comprimento de arco, área envolvendo de Curvas na Forma Polar.

2 Tópicos de Topologia dos -Conjuntos nos Espaços Reais n-Dimensionais;

Espaços Reais n- Dimensionais. -Os Espaços Reais n-Dimensionais como Espaços Vetoriais; -Produto Interno, Norma, Distância, Interior, Exterior e Fronteira de um Conjunto; -Vizinhanças e Ponto de Acumulação; -Definição de Conjunto Aberto; -Definição de Curva Regular; -Definição de Região e Domínio.

3 Relações e Funções em Espaços Reais n-Dimensionais.

-Definição e Principais Gráficos das Relações; -Definição de Funções de duas ou mais Variáveis; -Representação Gráfica de Funções de duas Variáveis; -Domínio de Funções de n-Variáveis Reais.

4 Limite e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais.

-Definição de Limites de Funções em Espaços Reais n-Dimensionais - Métodos de Determinação de Limites de funções de n-Variáveis; -Continuidade de Funções em Espaços Reais n- Dimensionais.

5 Derivadas Parciais.

-Acréscimos Parciais e Totais; -Razão Incremental Parcial e Total; -Definição de Derivadas Parciais; -Significado das Derivadas Parciais no Ponto; -Derivadas Parciais Sucessivas; -Equação do Plano Tangente a uma Superfície em um Ponto; -Equação da Reta Normal a uma Superfície em um Ponto; -Equação de Laplace;

6 Derivadas de Funções Compostas

-Funções compostas e a Regra da Cadeia; -Aplicações da Regra da Cadeia.

7 Deriva de funções Implícitas e Homogêneas.

-Definição de função implícita e de função homogênea; -Derivadas de funções implícitas e homogêneas.

8 Diferenciais de Funções de n-Variáveis.

-Diferencial de Funções de n-Variáveis; -Diferencial de Funções Compostas; -Diferenciais Totais de Ordem Superior; -Aplicações dos Diferenciais Totais; -Cálculos Aproximados.

9 Máximos e Mínimos de Funções de n-Variáveis Reais.

-Máximos e Mínimos Relativos; -Máximos e Mínimos Condicionados; -Multiplicadores de Lagrange; -Método de Newton; -Aplicações em Problemas de Otimização.

10 Integrais Múltiplas.

-Definição de Integrais Duplos; -Definição de Integrais Triplos; -Transformações de Integrais Múltiplos; -Transformações de Coordenadas Cartesianas, Polares, Cilíndricas e Esféricas;

-Generalização das transformações; -Integrais Múltiplos; -Significado Geométrico dos Integrais Duplos e Triplos.

11 Aplicações Geométricas das Integrais Múltiplas.

-Integrais Duplos no Cálculo de Áreas e Volumes; -Integrais Triplos no Cálculo de Volumes; -Densidade Superficial; -Determinação do Momento Estático; -Determinação das Coordenadas do Centro de Gravidade; -Determinação do Momento de Inércia; -Aplicações Específicas Diversas.

PROFESSOR TURMA

LUCAS DA SILVA RIBEIRO M21

ANO/SEMESTRE CARGA HORÁRIA (aulas)

2° Semestre/2015 AT AP APS AD APCC Total

66 00 04 00 00 70

AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades Práticas como Componente Curricular.

DIAS DAS AULAS PRESENCIAIS

Dia da semana Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

Número de aulas no semestre 30 36 00 00 00 00

PROGRAMAÇÃO E CONTEÚDOS DAS AULAS (PREVISÃO)

Dia/Mês/Ano Conteúdo das Aulas Número

de Aulas

10/08/2015 - Apresentação do conteúdo, formas de avaliação e bibliografia. - Parametrização de curvas, definição, exemplos.

02

11/08/2015 - Cálculo com curvas paramétricas, Integrais nas curvas paramétricas 02

17/08/2015

- Coordenadas polares: Definição, Notação e Propriedades do Sistema de Coordenadas Polares;

- Transformação de Coordenadas Polares em Retangulares e vice-versa; 02

18/08/2015

- Construção de Gráficos em Coordenadas Polares; - Principais Gráficos em Coordenadas Polares: Cardióide, Limaçon, Lemniscata de Bernoulli, Espiral de Arquimedes, Rosáceas, Espiral Logarítmica, Hipociclóide, Ciclóide e outras;

- Cônicas na Forma Polar.

02

24/08/2015

- Integrais de Curvas na Forma Polar; - Cálculo de Áreas e Comprimento de Arcos em Coordenadas Polares; - Equação da Reta Tangente a Curvas em Coordenadas Polares.

02

25/08/2015 - Cônicas e quádricas (revisão) 02

31/08/2015

- Conjuntos nos Espaços Reais n-Dimensionais; - Os Espaços Reais n-Dimensionais como Espaços Vetoriais; - Produto Interno, Norma, Distância, Interior, Exterior e Fronteira de um Conjunto; - Vizinhanças e Ponto de Acumulação; - Definição de Conjunto Aberto; - Definição de Curva Regular; - Definição de Região e Domínio.

02

01/09/2015

- Definição e Principais Gráficos das Relações; - Definição de Funções de duas ou mais Variáveis; - Representação Gráfica de Funções de duas Variáveis; - Domínio de Funções de n-Variáveis Reais.

02

PROGRAMAÇÃO E CONTEÚDOS DAS AULAS (PREVISÃO)

Dia/Mês/Ano Conteúdo das Aulas Número

de Aulas

08/09/2015

- Definição de Limites de Funções em Espaços Reais n-Dimensionais - Métodos de Determinação de Limites de funções de n-Variáveis; - Continuidade de Funções em Espaços Reais n- Dimensionais.

02

14/09/2015 1a Avaliação: Coordenadas Paramétricas, Polares, Conjuntos nos Espaços

Reais n-Dimensionais e Limites. 02

15/09/2015

- Acréscimos Parciais e Totais; - Razão Incremental Parcial e Total; - Definição de Derivadas Parciais; - Significado das Derivadas Parciais no Ponto.

02

21/09/2015 - Definição de Derivadas Parciais; - Significado das Derivadas Parciais no Ponto.

02

22/09/2015

- Equação do Plano Tangente a uma Superfície em um Ponto; - Equação da Reta Normal a uma Superfície em um Ponto. - Equação de Laplace;

02

28/09/2015 - Funções compostas e a Regra da Cadeia. - Aplicações da Regra da Cadeia. 02

29/09/2015 - Definição de função implícita e de função homogênea; - Derivadas de funções implícitas e homogêneas. 02

05/10/2015

- Diferencial de Funções de n-Variáveis; - Diferencial de Funções Compostas; - Diferenciais Totais de Ordem Superior.

02

06/10/2015 - Aplicações dos Diferenciais Totais; - Cálculos Aproximados. 02

13/10/2015 - Máximos e Mínimos Relativos. - Máximos e Mínimos Condicionados. 02

19/10/2015 - Aplicações de máximos e mínimos 02

20/10/2015 - Multiplicadores de Lagrange. 02

26/10/2015 - Exercícios sobre multiplicadores de Lagrange 02

27/10/2015 2a Avaliação: Derivadas Parciais 02

03/11/2015 - Definição de Integrais Duplas; - Cálculo de integrais duplas iteradas; 02

09/11/2015 - Integrais duplas no cálculo de áreas e volumes 02

10/11/2015 - Integrais duplas em regiões não retangulares 02

16/11/2015 - Transformações de Coordenadas Cartesianas em Polares em integrais duplas

02

17/11/2015 - Definição de Integrais Triplas. - Transformações de Integrais Múltiplas.

02

23/11/2015 - Gráfico de sólidos delimitados por várias equações 02

24/11/2015 - Integrais Triplas em regiões gerais - Integrais triplas para cálculo de volumes

02

30/11/2015 - Integrais triplas em Coordenadas Cilíndricas. 02

01/11/2015 - Integrais triplas em Coordenadas Esféricas. 02

07/12/2015 - Exercícios sobre coordenadas cilíndricas e esféricas. 02

08/12/2015 3a Avaliação: Integrais Múltiplas, Duplas e Triplas 02

10/12/2015 APS (Atividade Prática Supervisionada) 04

PROCEDIMENTOS DE ENSINO

AULAS TEÓRICAS

Aulas expositivas, práticas e dialogadas com quadro negro e, quando necessário com recursos audiovisuais; Aulas teóricas será o momento em que o aluno terá a oportunidade de conhecer ou se interar do conteúdo proposto. Listagem de exercícios individuais ou em grupos (a critério do aluno), onde poderá verificar sobre

conhecimentos adquiridos, sanar dúvidas e aplicar o que aprendeu na resolução de situações-problemas, além de desenvolver o uso do raciocínio.

AULAS PRÁTICAS

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

APS: Trabalho sobre aplicações de integrais duplas e triplas. A APS terá valor 20% na nota final para possibilitar a

recuperação do aproveitamento acadêmico. ATIVIDADES A DISTÂNCIA

ATIVIDADES PRÁTICAS COMO COMPONENTE CURRICULAR

PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

A avaliação será composta de 3 provas escritas individuais valendo 10 pontos e 1 trabalho individual valendo 10 pontos. PROVA 1- Prova dissertativa - Avaliação sobre os conteúdos de Coordenadas Polares, Funções e Limites de funções de várias variáveis. PROVA 2 – Prova dissertativa - Avaliação do conteúdo de derivadas parciais. PROVA 3 – Prova dissertativa – Avaliação do conteúdo de Integração múltipla. Forma de calcular média final: - Trabalho tem peso 2 - As três Provas têm peso 8. A nota final do aluno será a média ponderada das notas obtidas no trabalho e nas provas escritas, ou seja, Nfinal = 0,2 T + 0,8 (P1 + P2 + P3)/3.

REFERÊNCIAS

Referencias Básicas:

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 2 v.

FLEMMING, Diva Marilia; GONCALVES, Mirian Buss (Autora). Calculo A: funcões, limite, derivação, integracão. 5. ed. São Paulo, SP: Makron; Florianopolis, SC: Ed. da UFSC.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo, SP: HARBRA, 1994. V 2.

SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Mcgraw-Hill, 1987.

THOMAS, George B. Cálculo. Vol 1 e 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003.

Referências Complementares:

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos, 1985-c1988. V (1 e 2)

LARSON, R; HOSTETLER, R.P; EDWARDS, B. H. Cálculo com aplicações. 4.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

ROCHA, Luiz Mauro. Calculo. 11. ed. São Paulo: Atlas, 1996. V.2.

STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo, SP: Thomson Learning, 2006. 2 v

SWOKOWSKI, Earl Willian. Calculo com geometria analitica. São Paulo, SP: McGraw-Hill do Brasil, 1983. 2 v.

ORIENTAÇÕES GERAIS

Assinatura do Professor Assinatura do Coordenador do Curso