Plano de aulaPropagação de Ondas Mecânicas

Elton José Figueiredo de Carvalho

Guarapuava, 5 de dezembro de 2012

1 Objetivos

Apresentar ao aluno um conceito formal de onda.Deduzir a equação de onda com base nesse con-ceito. Demonstrar como cordas vibrantes satisfa-zem à equação de onda. Utilizar ondas harmônicaspara demonstrar fenômenos como interferência, re-flexão e ondas estacionárias.

2 Requisitos

• Cálculo diferencial e integral

• Física newtoniana

3 Conteúdo

• O conceito de onda

– Ondas transversais e longitudinais

• A equação de onda

• Corda vibrante

• Princípio da superposição

• Ondas harmônicas

– Séries de Fourier

– Notação complexa

• Intensidade

• Interferência

– Batimentos

– Ondas estacionárias

4 Desenvolvimento

4.1 O conceito de onda• Uma onda pode ser entendida como um sinalque se transmite de um ponto a outro de ummeio, com velocidade definida [Nussenzveig,2002, p. 98] ou uma perturbação de um meiocontínuo que se propaga com uma forma fixaa uma velocidade constante [Griffiths, 1999, p.364]

• O sinal pode ser de várias naturezas: desloca-mento transversal numa corda, compressão deuma mola, compressão de um fluido como o ar,perturbações no campo eletromagnético.

• Com isso, a perturbação no meio pode se dartanto na direção da propagação (onda longitu-dinal) quanto perpendicular a ela (onda trans-versal)

• De qualquer forma, a perturbação é descritapor uma função que depende da posição e dotempo.

4.2 A equação de onda• Para que o sinal se propague sem distorção,

é necessário que, por uma transformação deGalileu,

y(x, 0) = y(x− vt, 0) = f(x− vt) (1)

• Calculando a segunda derivada de g(x, t) emrelação ao tempo e usando a (1), chegamos àequação de onda

1

v2∂2f

∂t2=∂2f

∂x2(2)

1

4.3 Corda vibrante• Supor uma corda uniforme de massa µ por uni-

dade de comprimento sob tensão T

• Descrever a componente transversal da tensãoquando a corda sofre uma pequena perturba-ção

• Aplicar essa força resultante na segunda lei deNewton e obter a equação de onda para a cordavibrante:

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2(3)

4.4 Princípio da superposição• Demonstrar rapidamente que se duas funções

são soluções da equação de onda, sua somatambém é.

• Usar esse fato para mostrar que a solução geralpara uma equação de onda é

y(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt), (4)

o que pode ser interpretado como a superposi-ção de ondas progressivas e regressivas.

4.5 Ondas harmônicas• Mostrar que as funções

A cos (kx− ωt+ δ) e (5)B sen (kx− ωt+ δ) (6)

são soluções da equação de onda

• Mostrar que ω é a frequência angular

ω = kv =2π

τ(7)

• Introduzir o comprimento de onda

λ =2π

k(8)

• Ilustrar o conceito de séries de Fourier e co-mentar que qualquer função periódica pode serescrita como uma série de Fourier. Utilizar issocomo argumento para que o foco de agora emdiante seja nas funções harmônicas

• Mostrar que uma função harmônica pode serescrita como

f(x, t) = Re [Aei(kx−ωt+δ)] (9)

4.6 Interferência• Mesma frequência e sentido: interferência

construtiva e destrutiva dependendo da fase.

• Mesma frequência, sentidos opostos: Ondas es-tacionárias.

• Frequências diferentes: batimentos.

ReferênciasH. Moysés Nussenzveig. Curso de Física Básica 2– Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. EdgardBlücher, 4 edition, 2002. ISBN 8–52–120288–7.

David Jeffrey Griffiths. Introduction to electrodyna-mics. Prentice-Hall, Inc., 3 edition, 1999. ISBN0–13–805326–X.

2