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1 IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: Marcel Bertoni
Área/Disciplina: Matemática
Professor orientador: Valdeni Soliani Franco
IES vinculada: Universidade Estadual de Maringá- UEM
NRE: Maringá
Escola de Implementação: Colégio Estadual Alberto Jackson Byington Júnior – Ens.
Fundamental e Médio
Público Objeto da Intervenção: Alunos 8ª séries
TEMA DE ESTUDO PROFESSOR PDE
O uso de softwares como auxiliar para a implementação da tendência da Educação
Matemática: Resolução de Problemas.
TÍTULO
A Resolução de Problemas como metodologia de ensino da Geometria Euclidiana
Plana: uma proposta utilizando software Geogebra.
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2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E AMBIENTAÇÃO AO SOFTWARE
OBJETIVOS:
Conhecer o software Geogebra e sua disponibilidade de download;
Referenciar geometria dinâmica;
Ambientar ao software, conhecendo seus comandos e ferramentas.
METODOLOGIA/AÇÃO:
Aula expositiva: explanação e objetivos do projeto.
Exploração do software com auxílio da projeção dos textos e imagens via TV
pendrive como monitor ou projetor multimídia, possibilitando ao professor mostrar os
conteúdos com clareza.
Lembrar o fato que este software é de uso livre, já instalado nos laboratórios de
informática das escolas públicas do Paraná Digital, e maiores referências, inclusive
baixar o instalador no site http://www.geogebra.org/cms.
2.1 GEOGEBRA
GeoGebra é um programa livre de geometria dinâmica criado por Markus
Hohenwarter para ser utilizado em ambientes de sala de aula. Seu criador iniciou o
projeto em 2001 na University of Salzburg e continuado o desenvolvimento na
Flórida Atlantic University. O GeoGebra é escrito em Java e assim está disponível
em múltiplas plataformas.
Geometria Dinâmica
“O ambiente dinâmico e interativo também entendido como o ambiente do computador formado pelos softwares que possibilitam trabalhar com a geometria explorando, principalmente, o movimento e a manipulação, e no qual os usuários desses softwares podem mover dinamicamente partes e, quando necessário, o todo da figura construída. Isso faz com que eles sejam estimulados a explorar a geometria de forma a ver a Matemática não como uma coleção de regras formais e acabadas em si mesmas, mas como uma ciência dinâmica e passível de manipulação”. (AMORIM, 2003).
O GeoGebra é um software de geometria, álgebra e introdução ao cálculo
diferencial e integral, e serve como uma ferramenta que permite ao usuário construir
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e manipular, dinamicamente, as figuras construídas, criando assim, condições para
que o conhecimento possa ser construído. A idéia do movimento é uma diversidade
considerável que permite a análise da figura, sob vários pontos de vista (visual).
Computadores e softwares compõem-se de um poderoso ambiente de
aprendizagem, no qual é possível trabalhar com uma perspectiva que possibilita a
construção de conhecimentos relacionados a conteúdos específicos da Educação
Matemática. Para Vygotski (1994, p.73), “o uso de meios artificiais – a transição para
a atividade mediada – muda, fundamentalmente todas as operações psicológicas,
assim como o uso de instrumentos amplia de forma ilimitada a gama de atividades
em cujo interior as novas funções psicológicas podem operar”. São as ferramentas
computacionais, que reincide sobre ensino da matemática e proporciona maior
interação, troca comunicação e ações para se buscar uma resposta, ou seja, a ação
do aluno se encontra descentralizada por conta dos processos com ambientes
dinâmicos e interativos.
Por meio de suas ferramentas é possível, com o GeoGebra, realizar
construções utilizando pontos, vetores, segmentos, retas, ângulos, polígonos,
círculos entre outros, bem como trabalhar com gráficos de funções. Uma das
grandes vantagens da utilização dos softwares dinâmicos é a possibilidade de
alterar todos os objetos construídos a qualquer momento que desejar, sem perder os
vínculos das construções. Deste modo, o programa reúne as ferramentas
tradicionais de geometria, com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Por
isso, o GeoGebra tem a primazia didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas
representações diferentes de um mesmo objeto que interage entre si: sua
representação geométrica e sua representação algébrica.
Assim, todas as representações do mesmo objeto estão ligadas
dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em
qualquer delas, independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente
criados.
Computadores e softwares compõem-se de um poderoso ambiente de
aprendizagem, no qual é possível trabalhar com uma perspectiva que possibilita a
construção de conhecimentos relacionados a conteúdos específicos da Educação
Matemática.
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2.2 FERRAMENTAS GEOGEBRA
Ao iniciar o programa Geogebra, o usuário verá a interface de trabalho,
composta e dois campos: no lado esquerdo a coluna algébrica e à direita geométrica
(plano cartesiano “área de desenho”). O menu principal, apresenta acesso às
ferramentas para tratamento de arquivo, ferramentas de edição, de exibição etc. Ao
clicar sobre cada uma dessas opções, aparecerá uma paleta contendo novos
comandos a serem escolhidos.
A coluna algébrica pode ser fechada, clicando com o botão esquerdo do
mouse, no x que aparece em seu canto direito superior. Para visualizá-lo
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novamente, clique em Exibir (menu principal) e selecione com o mouse janela de
álgebra.
Além disso, em Exibir, verifique que a opção eixos está acionada e aparecem
os eixos cartesianos na coluna geométrica. Para remover basta desativar essa
opção. Se quiser que a coluna geométrica permaneça quadriculada (xadrez), acione
Malha. Essa opção pode ser feita também clicando com o botão direito do mouse
sobre a coluna geométrica, abrirá uma caixa com as opções, conforme figura:
Em baixo do menu principal existem onze botões de desenho. Cada um
deles, quando selecionado em seu respectivo canto inferior direito, dá acesso a um
grupo de ferramentas de desenho.
Ao lado dos botões de desenho aparece um campo que mostra qual é
ferramenta selecionada e uma breve descrição dela.
O grupo de o botão Mover dá acesso às ferramentas Mover, Girar em torno
de um ponto e Gravar para a planilha de cálculo.
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O grupo do botão Novo ponto da acesso às ferramentas Novo Ponto,
Interseção de dois Objetos e Ponto Médio ou Centro.
O grupo do botão Reta Definida por Dois Pontos dá acesso às ferramentas
Reta Definida por Dois Pontos, Segmento definido por Dois Pontos, Segmento
com Comprimento Fixo, Simerreta definida por Dois Pontos, Vetor definido por
Dois Pontos e Vetor a Partir de um Ponto.
O grupo do botão Reta Perpendicular dá acesso às ferramentas Reta
Perpendicular, Reta Paralela, Mediatriz, Bissetriz, Tangentes, Reta Polar ou
Diametral, Reta de Regressão Linear e Lugar Geométrico.
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O grupo do botão Polígono dá acesso às ferramentas Polígono e Polígono
Regular.
O grupo do botão Círculo definido pelo centro e um de seus pontos dá
acesso às ferramentas Círculo definido pelo Centro e um de seus Pontos,
Círculo dados Centro e Raio, Compasso, Círculo definido por Três Pontos,
Semicírculo Definido por Dois Pontos, Arco Circular dados o Centro e dois
Pontos, Arco Circuncircular dados Três Pontos, Setor Circular dado o Centro e
dois Pontos e Setor Circuncircular dados Três Pontos.
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O grupo do botão Elipse dá acesso dá acesso às ferramentas Elipse,
Hipérbole, Parábola e Cônica Definida por Cinco Pontos.
O grupo do botão Ângulo dá acesso às ferramentas Ângulo, Ângulo com
Amplitude fixa, Distância, Comprimento ou Perímetro, Área e Inclinação.
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O grupo do botão com Relação a uma Reta dá acesso às ferramentas
Reflexão com Relação a Uma Reta, Reflexão com Relação a um Ponto, Girar
em Torno de Um Ponto por um Ângulo, Transladar Objeto por Um Vetor e
Ampliar ou Reduzir Objeto dados Centro e Fator da Homotetia.
O grupo do botão Seletor dá origem às ferramentas Seletor, Caixa para
Exibir/Esconder Objetos, Inserir Texto, Incluir Imagens e Relação entre Dois
Objetos.
O grupo de o botão Deslocar Eixos dá acesso às ferramentas Deslocar
Eixos, Ampliar, Reduzir, Exibir/Esconder Objetos, Exibir/Esconder Rótulo,
Copiar Estilo Visual e Apagar Objetos.
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À direita do campo de mensagens, existem dois botões para Desfazer
(CTRL+Z) e Refaze Ações.
O software contém no menu superior a opção Ajuda que pode orientar muito
sobre a utilização dos comandos.
2.3 ATIVIDADES/ AMBIENTAÇÃO ÀS FERRAMENTAS DO
GEOGEBRA
As descrições acerca da utilização das ferramentas do Geogebra estão em
algumas atividades básicas indicadas
Atividade1:
Abra um arquivo novo.
Crie um ponto e renomeie por P. Modifique a cor para verde e seu estilo para
tamanho “5”.
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Para fazer isso, escolha a ferramenta Novo Ponto e clique sobre qualquer
local da área de desenho. Automaticamente, o Geogebra marcará um ponto com o
nome de A na cor azul e estilo 3.
Para alterar o aspecto do ponto, clique com o botão direito do mouse, escolha
Propriedades:
Escolha a paleta Básico, você pode apagar o nome A e renomear para P.
Escolha a paleta COR, clique na cor verde.
Escolha paleta Estilo, deslize o controle da posição “3” para a posição “5”.
Feche a janela Propriedades e confira as modificações.
Outra opção para renomear clique com o botão direito mouse sobre o ponto,
escolha Renomear, apague o nome A e digite o nome P.
Atividade2:
Abra um arquivo novo.
Crie uma reta que passe pelos pontos A e B, renomei-a por r e modifique sua
cor para vermelho e estilo para tracejado de espessura “4”.
Para fazer isso, escolha a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos, e
clique sobre qualquer local da área do plano, mova o cursor e verifique uma posição
para reta e clique novamente com o botão esquerdo mouse, para determinar um
segundo ponto da reta.
O Geogebra por padrão nomeará o primeiro ponto escolhido como A
e o segundo de B e nomeará a reta de “a”.
Par modificar essas atribuições, clique com o botão direito sobre a reta e
escolha Propriedades:
Escolha a paleta Básico, renomeie de “a” para “r”.
Escolha a paleta Cor, clique na cor vermelho.
Escolha a paleta Estilo, deslize o controle da Espessura da Reta até a
posição “4”, e na opção Estilo das Linhas, escolha um padrão tracejado.
Feche a janela Propriedades e confira as modificações.
Atividade3:
Abra um arquivo novo.
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Construa um Segmento definido por Dois Pontos na cor vermelha,
espessura “4”, marque o ponto médio desse segmento e calcule a distâncias ,
e .
Use a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos e clique sobre em
dois locais do plano. Por padrão, software atribui os nomes A e B aos extremos e
atribui o nome “a” ao próprio segmento AB. Tome a ferramenta Ponto médio ou
Centro e clique sobre o segmento AB. O Geogebra marcará o ponto médio, e lhe
atribuirá o nome C. Tome a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, que
se encontra no grupo de ferramentas Ângulo e calcule o comprimento dos
segmentos AB, AC e CB. Para calcular o segmento AB, clique primeiro em A depois
em B, para calcular AC, clique em A depois em C e para calcular CB, clique em C
depois em B, o Geogebra coloca a notação e escreve o valor dos segmentos.
Par modificar essas atribuições, clique com o botão direito sobre o segmento
e escolha Propriedades:
Escolha a paleta COR, clique na cor vermelha.
Escolha paleta Estilo, deslize o controle Espessura da linha para a
posição “4”.
Feche a janela Propriedades e confira as modificações.
Clique com o botão direito mouse sobre o ponto médio C, escolha
Renomear, apague o nome C e digite o nome M e tecle Enter.
Tente movimentar o ponto M, você consegue? Por quê?
Mova os pontos A e B. O que acontece com os comprimentos AB, AM
e MB?
Atividade4:
Crie um arquivo novo.
Crie uma reta r qualquer.
Crie um ponto fora da reta e nomeie de P.
Construa uma reta paralela a reta r passando por P.
Para fazer isso, escolha a ferramenta Reta Paralela, clique primeiro no ponto
depois na reta.
Movimente o ponto A, B e P e observar as modificações.
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Atividade5:
Crie um arquivo novo
Construa uma circunferência circunscrita a um triângulo.
Para fazer isso, escolha a ferramenta Polígono e clique em três pontos
diferentes no plano e volte ao ponto de origem, criando triângulo ABC ou polígono1.
Com a ferramenta Mediatriz na quarta paleta de desenho, trace a mediatriz
dos três lados, clique sobre cada um dos lados.
Com a ferramenta Interseção de Dois objetos segunda paleta de desenho,
clique em dois objetos “mediatriz” e ele nomeará ponto D de interseção das
mediatrizes “circuncentro”
Trace a circunferência, com centro em D, na qual ABC está inscrito. Com a
ferramenta Círculo Definido pelo Centro e Um de seus Pontos na sexta paleta,
clique sobre o ponto D arraste o mouse e clique sobre o ponto A.
Calcule as medidas dos ângulos Â, e , para isso com a ferramenta
Ângulo clique em dois segmentos no sentido horário, por exemplo: AB e AC, AC e
CB e CB e AB.
Movimente os pontos A, B e C. Verifique que o circuncentro pode estar dentro
da região triangular ou fora da mesma. Levante conclusões sobre os ângulos do
triângulo.
Atividade6:
Abra um arquivo novo.
Construir quatro pontos no plano não colineares A, B, C e D.
Construir o quadrilátero ABCD. Calcule a medida dos seus segmentos,
perímetro e sua área.
Para fazer isso, use a ferramenta Polígono e clique nos pontos A, B, C, D e
volte ao ponto de origem A, criando quadrilátero ABCD ou polígono1.
Tome a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, que se encontra
no grupo de ferramentas Ângulo e clique sobre os segmentos AB, BC, CD e DA. O
Geogebra mostrará as medidas dos segmentos, você pode conferi-las na coluna
algébrica.
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Tome a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, que se encontra
no grupo de ferramentas Ângulo e clique sobre qualquer ponto da região do
polígono. O Geogebra mostrará o perímetro do polígono.
No mesmo grupo de ferramentas Ângulo, clique sobre a ferramenta Área e
clique sobre qualquer ponto da região delimitada pelo polígono. Você pode conferir
também o valor na coluna algébrica.
Arreste os vértices do polígono. Verifique a variação das medidas dos
segmentos, perímetro e área.
Atividade7:
Abra um arquivo novo.
Crie um hexágono regular.
Use a ferramenta Polígono Regular, clique sobre qualquer ponto do plano
para que seja demarcado um vértice. Por padrão o Geogebra nomeará esse vértice
como A. Clique em outro local do plano para que seja demarcado um segundo
vértice B.
O polígono terá lados de medida igual à de AB.
Aparecerá uma janela na qual deverá ser escrita a quantidade de lados.
Escreva “6” e clique em OK. O Geogebra desenhar um polígono regular de seis
lados de medida AB.
Use a ferramenta Área que está no grupo de ferramentas Ângulos e clique
sobre qualquer ponto da região delimitada pelo polígono.
Movimente os vértices A e B do polígono. Verifique a variação da área.
Altere a quantidade de lados do polígono, clique com o botão direito do
mouse sobre a região do polígono, escolha Propriedades, procure a paleta Básico,
observe o campo Definição. Esse objeto é um polígono com vértices iniciais A e B e
com seis lados. Altere o número 6 por 10 e feche a janela.
Movimente os vértices e observe as variações.
Atividade8:
Abra um arquivo novo
Com a ferramenta Semirreta Definida por Dois Pontos crie duas semirretas
com a mesma origem. Clique no plano, por padrão o Geogebra nomeará o vértice de
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origem como A, mova o mouse e clique no plano e o Geogebra nomeará o ponto B e
a primeira semirreta como “a”. Clique sobre A e mova o mouse e clique no plano, o
Geogebra nomeará o ponto C e a segunda reta como “b”.
Assim você terá construído o ângulo BÂC.
Para registrar o ângulo como elemento construído no Geogebra, tome a
ferramenta Ângulo e clique sequencialmente em B, A e C (três pontos). Se nesse
sentido do giro for horário, o Geogebra marcará o menor ângulo. Inverta a sequência
para C, A e B, observe as mudanças, inclusive na coluna algébrica.
Movimente os pontos A, B e C e verifique as mudanças.
Atividade 9:
Abra um arquivo novo
Construa um polígono de três lados no plano.
Para fazer isso, use a ferramenta Polígono, clique no plano, mova o cursor e
construa os pontos A, B e C, volte ao ponto de origem A, criando polígono ABC.
Marque um ponto D fora do triângulo e logo após, crie retas que passe por um
dos vértices do triângulo e pelo ponto D.
Tome a ferramenta Homotetia de Um ponto por um Fator, que se encontra
na paleta do grupo de ferramentas Reflexão e clique sobre qualquer ponto da região
interior do polígono e depois no ponto D. O Geogebra abrirá uma caixa, pedindo o
fator de Ampliação ou Redução. Digite 1.5 depois OK; repita a operação e digite
0.5. Um novo polígono será criado a partir do polígono ABC. O Geogebra nomeará
de A’B’C’.
Movimente os vértices do polígono ABC e ponto D. Qual a relação entre os
polígonos? Movimente os vértices A’, B’ e C’. É possível movê-los? Por quê?
Atividade 10:
Abra um arquivo novo.
Construa um polígono de três lados no plano.
Para fazer isso, use a ferramenta Polígono, clique no plano, mova o cursor e
construa os pontos A, B e C, volte ao ponto de origem A, criando polígono ABC.
Crie uma reta (eixo) definida por dois pontos em relação ao polígono.
Selecione a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos. Clique sobre no
plano, mova o cursor definindo a reta em relação ao polígono.
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Com a ferramenta Reflexão com Relação a Uma Reta, clique primeiro no
objeto (polígono), depois, na reta (eixo) de reflexão.
Movimente os vértices do polígono, o eixo de simetria. O que você observou?
Meça as distâncias dos vértices dos polígonos até o eixo. Tome a ferramenta
Distância, Comprimento ou Perímetro, que se encontra no grupo de ferramentas
Ângulo e clique sobre o vértice do polígono e sobre e a reta (eixo). Movimente
novamente os vértices, o eixo e observe as distâncias. É possível movimentar o
polígono A’, B’ e C’? Qual a relação entre os polígonos? Podemos comparar o eixo
com qual objeto?
2.4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Ao ter como primazia a construção do conhecimento pelo produzir e pensar, a
função da resolução de problemas é essencial para incentivar o aluno na construção
dos significados da linguagem matemática, formalizada através de expressões
algébricas, algoritmos, gráficos, operações e signos (símbolos matemáticos).
Segundo Onuchic (1999), problema: “[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer,
mas que está interessado em resolver” (p.215).
Assim, em síntese a resolução de problemas significa envolver-se em um
lavor, cujo processo de solução desconhecido, requer busca de informações
diferentes e, em geral, novas para tentar resolvê-lo.
Para encontrar uma solução, os alunos devem empregar seus cognoscere
prévios e por meio desses procedimentos, eles poderão construir ou adquirir novos
conhecimentos matemáticos. Solucionar problemas não é apenas procurar aprender
matemática e sim fazê-la. Os estudantes deveriam ter oportunidades frequentes
para construir, tentar e solucionar problemas que requerem uma quantidade
significativa de esforço, e deveriam então, ser estimulados a refletir sobre seus
conhecimentos.
“Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de
aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a
resolver a questão proposta” (DANTE, 2003).
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O trabalho cotidiano nas aulas de Matemática vem sendo efetuado na sua
maioria de forma rotineira, onde os conteúdos trabalhados são aqueles presentes no
livro didático e o método se restringe a aulas expositivas e a exercícios de fixação ou
de aprendizagem. Essa prática faz com que os alunos entendam o processo como
sendo mera memorização, desestimulando dessa forma, a busca por atividades
mais elaboradas que envolvam o raciocínio. A resolução de problemas vem sendo
indicada como uma metodologia que pode contribuir para minimizar problemas
relacionados ao processo de ensino e de aprendizagem, proporcionando aos alunos
uma forma diferenciada de construir o conhecimento matemático.
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores
matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a
capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Assim os
alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e
procedimentos matemáticos bem como ampliar a visão que tem dos problemas, da
matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (BRASIL, 1998,
p.40).
Adquirir conhecimentos matemáticos por meio de resolução de problemas é
desenvolver maneiras de pensar, praxe de persistência e curiosidade, bem como
autonomia em situações não familiares, é o centro do trabalho na matemática, a
criança constrói e vê significado no aprendizado, valorizando o uso social da
matemática (dia-a-dia).
Segue alguns procedimentos para melhor atingir essa metodologia.
Os objetivos têm por meta:
fazer o aluno pensar;
desenvolver o raciocínio lógico do aluno;
ensinar o aluno a enfrentar situações novas;
levar o aluno a conhecer as primeiras aplicações da Matemática;
tornar as aulas mais interessantes e motivadoras.
As etapas que o aluno deve adotar na resolução de um problema:
Compreensão do problema:
Leitura e interpretação cuidadosa do problema.
Buscar os dados do problema.
Entender o que se pede e o que se pergunta no problema.
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Tentar se possível, fazer um diagrama ou figura que o ilustra.
Elaboração de um plano de solução:
Qual seu plano, estratégia para desenvolver o problema?
Você conhece algum problema semelhante que possa ajudá-lo a
resolver este problema?
Organize os dados.
Tente resolver o problema por partes.
Execução do plano:
Execute o plano elaborado.
Execute as estratégias pensadas
Efetue os cálculos indicados no plano.
Verificação ou retrospectiva:
Você leu e interpretou corretamente o problema?
Executou com precisão o que foi planejado?
Conferiu os cálculos?
Há maneira de tirar a prova para verificar o acerto?
A solução está correta?
É possível usar a estratégia empregada para resolver problemas
semelhantes?
Emissão da resposta:
A resposta é compatível com a pergunta?
Considerando a integração das Mídias Tecnológicas com a Resolução de
Problemas, o uso do computador é como um instrumento de apoio à descoberta de
conceitos e à resolução de problemas, e o uso da capacidade de resolução de
problemas apresentados pelos computadores é uma forma de ampliar as
abordagens tradicionais de resolução e implementação de novas estratégias de
interação e simulação.
2.5 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA
A construção do saber geométrico Euclidiano tem sido uma grande
dificuldade para os educadores, não somente pela quantidade de conceitos
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envolvidos, mas pela busca em torná-los claros e coesos para o aluno, bem como,
aplicáveis a problemas.
O estudo da Geometria Euclidiana Plana objetivando a resolução de
problemas numa proposta com softwares exige do professor grande habilidade
pedagógica que envolve o conhecimento sobre o que expor, que conteúdos
apresentar aos estudantes, em que sequência expor os conteúdos selecionados,
como expor para tornar significativa aprendizagem de cada um destes conteúdos
expostos.
A Geometria Euclidiana, denominada assim pela literatura matemática por
estar sistematizada e fundamentada nos postulados de Euclides.
O ramo da Matemática conhecido como geometria tem suas origens no antigo Egito e na Babilônia. Naquela época, o conhecimento geométrico era composto por regra práticas advindas de experimentações. O caráter lógico-dedutivo da geometria iniciou-se muito tempo depois, na Antiga Grécia, com Tales de Mileto (624-547 a.C.) e Pitágoras (569-475 a. C.). Mas a obra sobre Geometria, mais famosa e citada até hoje é Elementos, cujo autor foi um professor da biblioteca de Alexandria chamado Euclides (325-265 a.C.) (GERÔNIMO; BARROS; FRANCO, 2010, p.11, introdução).
Em Elementos, a geometria apresenta-se como um sistema axiomático,
deduzido a partir de afirmações evidentes por si mesmas (axiomas) e intuitivas não
demonstradas (postulados), atualmente usa-se indistintamente os termos, como
proposições admitidas sem demonstrações. A contribuição de Euclides para o
conhecimento matemático inicia com definições fundamentais, porém existem as
noções primitivas, como Ponto, Reta e Plano, que devem ser aceitas sem
definições, que são objetos básicos da geometria Euclidiana.
A partir desses conceitos, realiza-se uma sistematização geométrica por meio
de cinco axiomas ou postulados que constituem o fundamento de toda a sua obra:
1.° - Dois pontos distintos determinam uma reta.
2.° - A partir de qualquer ponto de uma reta dada é possível marcar um
segmento de comprimento arbitrário.
3.° - É possível obter uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio.
4.° - Todos os ângulos retos são iguais.
5.° - Dadas duas retas num plano, se uma terceira reta transversal fizer
com elas ângulos internos do mesmo lado com soma inferior a dois retos, então as
duas primeiras retas caso prolongadas indefinidamente, intersectam-se desse lado.
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A Geometria Euclidiana Plana faz parte do currículo de ensino fundamental,
tem espaço como referência, hoje dentre várias funções, além de familiarizar o aluno
com linguagem formal da matemática, a geometria euclidiana desenvolve a
capacidade de redigir demonstrações de resultados teóricos; facilita a visualização
de objetos geométricos e a interpretação de resultados; possibilita o reconhecimento
e a aplicabilidade desses mesmos resultados, tanto em situações abstratas de
teorias matemáticas quanto em resolução de problemas da vida real; favorece a
aquisição de um sólido conhecimento de resultados, inclusive aqueles consagrados
por Euclides; e ainda, produz uma postura crítica durante a utilização da geometria
em problemas diários.
Neste nível de ensino os alunos devem compreender os conceitos
geométricos necessários para operar eficientemente no mundo a três dimensões.
Devem conhecer conceitos como paralelismo, perpendicularismo, congruência,
semelhança, simetria, associar e conhecer medidas, propriedades dos objetos
geométricos, como comprimento, perímetro, área e volume, conceitos que devem
ser explorados em contextos que envolvam a resolução de problemas sociais (dia-a-
dia).
3 TEOREMAS E DEFINIÇÕES A PARTIR DE CONSTRUÇÕES
GEOMÉTRICAS NO GEOGEBRA
3.1 ATIVIDADES/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
OBJETIVO:
Desenvolver o pensamento e o raciocínio geométrico por meio da resolução de
problemas com flexibilidade ao ambiente interativo dinâmico GeoGebra.
METODOLOGIA/AÇÃO:
Aula expositiva, enunciar teoremas a partir de construções geométricas, fazer
conjecturas
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O programa será explorado, com uso da projeção dos textos e imagens via TV
pendrive como monitor e ou data show, possibilitando ao professor demonstrar os
conteúdos com clareza.
Lembrar da disponibilidade que este software é de uso livre, já instalado nos
laboratórios de informática das escolas públicas do Paraná Digital, e maiores
referências, inclusive baixar o instalador no site http://www.geogebra.org/cms
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E O TEOREMA DE TALES
Intuitivamente, duas figuras geométricas são semelhantes se tiverem
exatamente a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Atividade11:
Abra um arquivo novo.
Com a ferramenta Polígono, crie um polígono qualquer numa região central
da área de desenho.
Marque um ponto P interior ao polígono.
Tome a ferramenta Seletor, clique na área superior da área de desenho.
Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome
para n, intervalo min:2, máx:10 e Aplicar
Escolha a ferramenta Ampliar ou Reduzir Objetos dados Centro e Fator de
Homotetia, clique sobre o polígono, depois clique sobre o ponto P e na janela que
aparecerá para a escolha do fator de homotetia escreva n. Assim, será criado um
polígono obtido do primeiro por uma homotetia de centro P e fator n.
Altere o valor de n no controle deslizante e observe a posição do novo
polígono. Atribua valores negativos para n e observe o efeito. Para isso clique com
botão direito do mouse em cima do seletor e selecione propriedades, altere min: –5
e max:5.
Movimente o seletor e perceba que todos os polígonos obtidos por homotetia
são semelhantes ao primeiro, isto é, têm a mesma geometria, diferem apenas pelo
tamanho. Você pode mover os vértices do primeiro polígono e observar que o
segundo respeita essas novas proporções.
Considere mais alguns exemplos de semelhança como quaisquer: duas
circunferências, dois quadrados, dois triângulos eqüiláteros. Outra maneira de
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expressar duas figuras semelhantes se uma delas é, em escala, um modelo da
outra. Procedimentos esses usados na confecção de mapas, maquetes, plantas.
Diminuir o tamanho do modelo sem perder a proporcionalidade.
Dados dois números x e y, a razão ente x e y é a relação entre x e y, isto é, o
quociente x/y. Dados duas razões x1/y1 e x2 e y2, a igualdade x1/y1 = x2 e y2 é
denominado proporção e as sequências (x1 e x2) e (y1 e y2) são denominadas
proporcionais.
Podemos generalizar esse conceito para uma quantidade qualquer de
números reais.
Definição: Dados duas sequências (x1, x2,...... xn) e (y1,y2,......yn) de números
reais positivos, se x1/y1=x2/y2=........=xn/yn=....., diremos que as sequências são
proporcionais.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Definição: Dois triângulos ABC e DEF são ditos semelhantes, se existir uma
função bijetora f: {A, B, C} {D, E, F}, que leva os vértices de um nos vértices do
outro, de tal modo que os ângulos correspondentes sejam congruentes e os lados
correspondentes formam uma sequência proporcional. Neste caso, denotaremos por
ABC~DEF, em que se lê: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.
Atividade12:
Crie um triângulo ABC (BC base). Calcule os pontos médios D e E dos lados
AC e AB, respectivamente. Trace o segmento DE.
Considere os triângulos ABC e ADE. Observe que o ângulo  é comum aos
dois triângulos.
Calcule as medidas dos ângulos A E e A C. Por que elas são iguais?
Calcule as medidas dos ângulos AÊD e AĈB. Por que elas são iguais?
Há uma correspondência entre os vértices dos dois triângulos?
Vejamos a proporcionalidade dos lados correspondentes?
Calcule as medidas dos lados AB, AC, BC, AE, AD e ED. Escreva no campo
de entrada para calcular os seguintes quocientes: AB/AD, AC/AE e BC/ED.
Q1= distânciaAB/distânciaAD e clique Enter
22
Q2= distânciaAC/distânciaAE
Q3= distânciaBC/distânciaED
Qual a relação do segmento DE que liga os dois pontos médios dos lados AB
e AC ao terceiro lado.
Movimente os vértices do triângulo ABC. Observe os quocientes ”razões”
expressos na coluna algébrica. As medidas dos lados correspondentes dos
triângulos ABC e ADE formam uma proporção? Qual a relação entre os triângulos
ABC e ADE?
A relação de semelhança no conjunto dos triângulos do plano apresenta as
propriedades: reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo; simétrica: se um
triângulo é semelhante a outro, então esse outro é semelhante ao primeiro e
transitiva: se um triângulo é semelhante a outro e esse outro é semelhante a um
terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
Atividade13:
Abra um arquivo novo.
Crie um triângulo ABC.
Marque um ponto P externo ao triângulo ABC.
Trace uma reta r paralela ao lado BC que passe por P e que intercepte o
triângulo. Determine respectivamente os pontos D e E da interseção de r com os
lados AB e AC.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas dos segmentos AD, AB, AE, AC, BC e DE.
Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões
AB/AD e AC/AE. Digite no campo de entrada:
R1= distânciaAB/distânciaAD
R2=distânciaAC/distânciaAE
R3=distânciaBC/distânciaDE
Movimente os vértices do triângulo e a reta r. O que acontece com as razões?
Conjecture o teorema fundamental da semelhança de triângulos.
23
Teorema de Tales: Se três ou mais paralelas são cortadas por duas
transversais, os segmentos determinados numa das transversais são proporcionais
aos segmentos correspondentes determinados na outra transversal.
Atividade14:
Abra um arquivo novo.
Crie uma reta r.
Crie outras duas retas s e t paralelas à r.
Crie duas retas u e v transversais ao feixe de paralelas {r,s,t}. Esconda todos
os pontos das construções.
Determine os pontos A, B e C de interseção de u com r, s e t,
respectivamente.
Determine os pontos A1, B1 e C1 de interseção de v com r, s e t,
respectivamente.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas dos segmentos AB, BC, A1 B1, B1C1, AC e A1 C1.
Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões
AB/BC, A1 B1/ B1 C1, AC/AB e A1 C1/ A1 B1. Digite no campo de entrada:
R1= distânciaAB/distânciaBC
R2=distânciaA1B1/distânciaB1C1
R3=distânciaAC/distânciaAB
R4=DistânciaA1C1/distânciaA1/B1
Movimente as retas u, v e r. Verifique a veracidade do teorema. As razões são
iguais?
O conceito de triângulos semelhantes fixou as seguintes condições para um
triângulo ABC ser semelhante a outro, A’B’C’.
Â≡Â’, ≡ ’, Ĉ≡ Ĉ’ (ângulos congruentes) e AB/A’B’=AC/A’C’=BC=B’C’
(proporcionalidade dos lados).
Entretanto, essas exigências podem ser reduzidas. Os casos de semelhança
mostram quais as condições mínimas para dois triângulos serem semelhantes.
1° caso:
Atividade15:
Abra um arquivo novo.
24
Crie em uma região afastada do centro da tela uma reta r.
Marque um ponto P na mesma.
Crie mais duas semirretas, partindo de P, ambas num mesmo semiplano
definido por r. Desse modo, teremos três ângulos α, β e γ cuja soma é igual a 180° .
Com a ferramenta Ângulo, calcule as medidas desses ângulos.
Na região central da tela crie dois triângulos ABC e DEF cujos ângulos sejam
os construídos anteriormente, isto é, Â= α, = β, Ĉ= γ, = α, Ê= β e = γ. Para isso,
use a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos, crie dois segmentos
arbitrários AB e DE. Selecione a ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa, clique
sobre o ponto A depois sobre o ponto B, o Geogebra abrirá uma caixa, limpe o texto
e digite β e sentido horário. Com a ferramenta Semirreta Definida por Dois
pontos, una os pontos B e A’. Novamente com a ferramenta Ângulo com
Amplitude Fixa, clique sobre ponto B depois sobre A, limpe o texto da caixa e digite
α e sentido antihorário. Com a ferramenta Semirreta Definida por Dois pontos,
una os pontos A e B’. Com a ferramenta Interseção de Dois Objetos, encontre o
ponto C das duas semirretas, criando o triângulo ABC. Repita a operação no
segmento DE, criando o triângulo DEF. Com a ferramenta Polígono, defina os
triângulos ABC e DEF. Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro,
calcule as medidas dos lados desses triângulos.
Digite no campo de entrada as razões:
R1=distânciaAB/distânciaDE
R2=distâniaBC/distânciaEF
R3=distânciaAC/distânciaDF
Movimente AB, DE e vértices dos ângulos α, β e γ. Observe as razões.
Porque elas são iguais? O valor do ângulo γ nos dois triângulos é realmente igual?
Por quê?
A partir dos resultados obtidos, conjecture uma condição para que dois
triângulos sejam semelhantes.
2° caso:
Atividade16:
Abra um arquivo novo.
Tome a ferramenta Seletor, clique em algum local da área de desenho.
25
Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome
para n, intervalo min: 1, máx:20 e Aplicar.
Crie um segmento AB com comprimento fixo. Para isso, selecione a
ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique no plano e digite na caixa n
e Aplicar, o Geogebra nomeará segmento com comprimento fixo AB.
Com a ferramenta Polígono, crie um triângulo ABC, a partir do segmento AB.
Marque um ponto P externo ao triângulo ABC.
Trace uma reta r paralela ao lado AB que passe por P e que intercepte o
triângulo ABC. Determine respectivamente os pontos D e E da interseção com os
lados AC e BC.
Use a ferramenta Segmento Definido por Dois pontos, una os pontos D e
E. Apague a reta r paralela.
Com a ferramenta Ângulo, calcule a medida do ângulo Ĉ.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas dos segmentos AC, DC, BC e EC.
Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões
DC/AC e EC/BC. Para isso digite no campo de entrada:
R1= distânciaDC/distânciaAC
R2=distânciaEC/distânciaBC
Movimente o seletor e os vértices do triângulo. Observe as razões na coluna
algébrica. Porque elas são iguais? O valor do ângulo Ĉ é congruente nos triângulos
ABC e DEC? Qual a relação dos ângulos C E e CÂB? Qual a relação das razões
dos lados dos triângulos ABC e DEC com Teorema de Tales? A partir dos
resultados obtidos, conjecture uma condição para que dois triângulos sejam
semelhantes.
3°caso:
Atividade17:
Abra um arquivo novo.
Com a ferramenta Polígono, crie um triângulo ABC qualquer numa região
central da área de desenho.
Marque um ponto P interior ao polígono.
Tome a ferramenta Seletor, clique na parte superior da área de desenho.
26
Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome
para n, intervalo min: 1.2 e máx:5 e Aplicar
Escolha a ferramenta Ampliar ou Reduzir Objetos dados Centro e Fator de
Homotetia, clique sobre o polígono, depois clique sobre o ponto P e na janela que
aparecerá para a escolha do fator de homotetia escreva n. Assim, será criado um
triângulo A’B’C’ obtido do primeiro por uma homotetia de centro P e fator n.
Deslize o seletor com mouse e observe a posição e forma do novo triângulo.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas dos segmentos AB, A’B’ CB, C’B’, AC e A’C’. (clique em dois pontos
extremos do segmento).
Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões
AB/A’B’, CB/C’B’ e AC/A’C’. Para isso digite no campo de entrada:
k1= distânciaAB/distânciaA’B’
k2=distânciaCB/distânciaC’B’
k3=distânciaAC/distânciaA’C’
Movimente o seletor e os vértices do triângulo ABC. Observe as razões na
coluna algébrica. Porque elas são iguais? Qual a relação das razões dos lados dos
triângulos ABC e A’B’C’. A partir dos resultados obtidos, conjecture uma condição
para que dois triângulos sejam semelhantes.
Atividades18:
Faça três construções indicadas abaixo na mesma área de desenho:
a) Construa um triângulo ABC. Determine os pontos D e E,
respectivamente, nos pontos médios de AC e BC. O triângulo CDE
é semelhante ao triângulo BAC?
b) Construa um triângulo FGH. Construa um novo triângulo IJK cujos
vértices são os pontos médios dos lados de FGH. O triângulo IJK é
semelhante ao triângulo FGH?
c) Construa um triângulo isóscele LMP, de base LM e lados
congruentes NO e P o ponto de interseção dos segmentos NO.
Construa um novo triângulo QRS, cujos vértices são os pontos
médios dos lados de LMP. O triângulo QRS é semelhante ao
triângulo LMP?
Conjecture sobre as três situações.
27
Atividades19:
Com a ferramenta Polígono, construa um triângulo ABC. Determine os
pontos D e E, respectivamente dos pontos médios de AC e BC. Com a
ferramenta Polígono construa o triângulo CDE.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas AC e DC. Com ferramenta Área calcule a área do triângulo ABC
(polígono 1) e área do triângulo CDE (polígono 2).
Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões:
AABC/ACDE e (AC/DC)². Digite no campo de entrada:
R1=polígono1/polígono2
R2=(distânciaAC/distânciaDC)²
Observe as razões calculadas na coluna algébrica. Conjecture a razão de
semelhança das áreas com a razão de dois lados correspondentes dos dois
triângulos.
Atividades20:
A medida do lado de um de dois triângulos semelhantes é o triplo maior que
o lado correspondente do outro. Se a área do triângulo menor é 5cm², qual a área do
maior?
Atividades21:
Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C e seja CD a altura em
relação a AB. Então ΔACD~ΔABC~ΔCBD. Verifique a veracidade da afirmação.
Atividades22:
(Adaptado Matemática e Realidade 9° ano) Supor que um monitor tem 30
polegadas, equivale dizer que sua diagonal tem medida 30 de polegadas. Quantos
monitores de 30 polegadas cabem numa tela de 90 polegadas?
Atividades23:
Os lados de um triângulo tem medidas 4cm; 4,8cm e 6,4cm. Esse triângulo é
semelhante a um triângulo cujo contorno é de 38cm. Determine as medidas dos
lados do segundo triângulo.
Atividades24:
Um agrimensor, situado num ponto num ponto A da margem de um rio,
precisava determinar, sem atravessar o rio, sua distância até uma árvore na outra
margem do rio (C). Para isso, marcou com varetas pontos do lado da margem onde
28
se localizava de tal forma que C, A e D ficaram alinhados entre si e C, B e E também
ficaram alinhados si. Sabendo que AB é paralelo a DE, AB mede 40m, DE vale 64m
e AD vale 42m. Qual a distância determinado pelo agrimensor de A até C na outra
margem?
REGIÕES POLIGONAIS E SUAS ÁREAS
Postulado ou Axioma da Área: A toda região poligonal R corresponde um
número real positivo.
Definição: A área de uma região poligonal R, denotada por A(R) (lê-se área
de R), é o número real dado pelo axioma da área.
Regiões Poligonais
Definição: Dado um triângulo, a região triangular é o conjunto dos pontos do
plano formado por todos os segmentos cujas extremidades estão sobre os lados do
triângulo. O triângulo é chamado fronteira de a região triangular. O conjunto de
pontos de uma região triangular que não pertence a sua fronteira é chamado de
interior da região triangular.
Dessa forma, um triângulo divide o plano em dois conjuntos: os pontos que
pertencem à região triangular e os pontos que não pertencem.
Polígono Convexo
Definição: Um Polígono é convexo quando, para todo lado, o polígono está
contido num dos semiplanos determinados por este lado.
Polígono Regular
Definição: a) é convexo, b) todos os seus ângulos são congruentes, c) todos
os seus lados são congruentes.
Todo polígono regular é inscrito numa circunferência. O centro dessa
circunferência é chamado centro do polígono. Ao conectarmos o centro do polígono
com todos os seus vértices, estaremos construindo um triângulo isósceles
congruentes de base In .
Utilize o Geogebra e explore as seguintes situações:
Atividades25:
1 ) Calculando área, perímetro e apótema de um polígono regular.
29
Num arquivo novo use a ferramenta Polígono Regular e crie um hexágono
regular.
Calcule a área do polígono, para isso use a ferramenta Área clique sobre
qualquer ponto da região limitada pelo polígono.
Calcule a medida do segmento AB. Use a ferramenta Distância,
Comprimento ou Perímetro, clique sobre os pontos A e B.
Digite no campo de entrada os textos dinâmicos:
perímetro=6*(distânciaAB)
semiperímetro=perímetro/2
Calcule a medida do apótema do polígono (altura do polígono “segmento de
reta que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus
lados). Para isso, será necessário descobrir a mediatriz dos lados AB e BC. Use a
ferramenta Mediatriz e clique sobre os segmentos AB e BC. Nomeie G o ponto de
interseção dessas perpendiculares (mediatrizes), H e I os pontos de interseção das
perpendiculares com os segmentos AB e BC. Com a ferramenta Segmento
Definido por Dois Pontos, trace os segmentos que ligam o centro de interseção G
ao pé das perpendiculares H e I, sendo GH e GI o apótema. Com a ferramenta
Segmento Definido por Dois Pontos trace segmentos que ligam o centro de
interseção G aos vértices A, B e C de maneira que sejam visíveis os triângulos
isósceles da decomposição do hexágono. Apague as mediatrizes.
Digite no campo de entrada o texto dinâmico:
apótema=distânciaGH
Verifique a igualdade das medidas mostradas na coluna algébrica e
conjecture a relação do apótema, semiperímetro com a área do polígono regular.
Atividades26:
Dados três polígonos regulares com 3 lados, 4 lados e 6 lados com o mesmo
perímetro, que é 32,4cm. Qual tem a maior área? E a menor?
Atividades27:
Se duplicarmos, triplicarmos a medida do lado de um polígono regular, de
quanto aumento sua área? Transforme esses aumentos em porcentagem.
Estabelecido que a uma região poligonal está associado um número real
positivo. Precisamos estabelecer como calcular a área de uma região. Para isso
30
será preciso fixar o valor de uma região poligonal inicial, para a partir dessa área,
contabilizar áreas de outras regiões. Por praticidade, a melhor região para ter sua
área definida é o quadrado.
Axioma: A área de uma região quadrada é o quadrado do comprimento do
seu lado.
Utilize o Geogebra e explore as seguintes situações:
Atividades28:
Construção de quadrados usando a ferramenta Polígonos Regulares:
Num arquivo novo selecione a ferramenta Polígono Regular. Clique no plano
deslize ou mouse e clique novamente e aparecerá uma caixa, digite 4, criando um
quadrado qualquer. Com a ferramenta Área clique sobre qualquer ponto da região
limitada pelo polígono. Observe o valor na coluna algébrica (polígono1).
Sugiro outra maneira de construção.
No mesmo plano, na área central, construa dois segmentos com comprimento
fixo: Para isso selecione a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique
no plano e o Geogebra abrirá uma caixa, digite 2a “dobro do segmento a”, o
Gegebra nomeará o segmento de EF, repita o processo, digitando na caixa 3a, o
segmento será nomeado de GH.
Selecione a ferramenta Polígono Regular e clique nos extremos do
segmento EF e digite “4” na caixa “número de lados”, repita o mesmo no segmento
GH.
Com a ferramenta Área clique sobre qualquer ponto da região limitada pelos
polígonos 2 e 3. Calcule as medidas dos segmentos AB, EF e GH. Para isso
selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre os
pontos A e B, E e F e G e H nos três polígonos.
Digite no campo de entrada os textos dinâmicos:
Área1=distânciaAB*distânciaAB
Área2=distânciaEF*distânciaEF
Área3=distânciaGH*distânciaGH
Movimente os vértice A e B do polígono1 e observe os resultados obtidos na
coluna algébrica. Conjecture a relação da medida do lado do quadrado com sua
área? Por que não é possível movimentar EF e GH?
Atividades29:
31
Como muda a área de um quadrado se seu lado é duplicado? Triplicado?
Dividido por 2?
Atividades30:
(Readaptado Matemática e Realidade 9°ano) De quanto por cento aumenta a
área de um quadrado quando a medida do seu lado é aumentada em 25%?
Atividades31:
(Vunesp-SP) O menor país do mundo em extensão é o Estado do vaticano,
com uma área de 0,4km². Se o território do Vaticano tivesse forma de um quadrado,
então a medida de seus lados estaria entre quantos metros inteiros?
Atividades32:
ABCD são os vértices de um quadrado. E é ponto médio de AD, F é ponto
médio de AB, G é ponto médio de BC e H é ponto médio de DC. A interseção dos
segmentos AH, FC, EB e DG forma um novo quadrado IJKL. Qual a razão entre
área de quadrado IJKL e área do quadrado ABCD?
Teorema: A área de um retângulo é o produto de sua base pela sua altura.
Demonstração: Considere a figura à abaixo:
AR denota a área do retângulo. As áreas dos dois quadrados são b² e h², pelo
axioma da área do quadrado; e a área da figura total é (b+h)². Portanto, através do
axioma da Adição de Áreas:
b² + 2AR+ h² = (b+h)²
b² + 2AR + h² = b² +2bh + h²
2AR = 2bh
AR = bh
Utilize o Geogebra e explore as seguintes situações:
32
Atividades33:
Abra um arquivo novo
Crie dois segmentos AB e CD de mesmo comprimento. Selecione a paleta
Segmento Definido por Dois Pontos, clique em dois pontos no plano e o
Geogebra criará o segmento AB. Com a ferramenta Segmento com Comprimento
Fixo, clique em outra região do plano e aparecerá uma caixa e digite “a”. O
Geogebra apresentará o segmento CD de mesma medida AB. Crie duas retas
perpendiculares ao segmento AB, uma passando por A e outra passando por B.
Repita a operação no outro segmento CD. Marque um ponto E na perpendicular (c).
Marque outro ponto F na perpendicular (e), que esteja no mesmo semiplano de E
em relação ao segmento (a), mas com distância diferente de E em relação (a). Crie
duas paralelas, uma passando por E relação a AB e outra passando por F em
relação a CD. Obtenha os pontos de interseção G e H dessas com as
perpendiculares. Com a ferramenta Polígono, clique nos vértices ABGE, para definir
o polígono ABGE, repita a operação no outro polígono CDHF. O Geogebra denota
esses polígonos por Polígono1 e Polígono2. Esconda todas as perpendiculares e
as paralelas.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre
todos os segmentos dos dois polígonos. Observe a coluna algébrica ao nome de
cada um deles.
Digite no campo de entrada um campo de texto dinâmico e calcule o
quociente da área de ABGE pela área CDHF. Escreva “áreaABGE por áreaCDHF=”
+ (polígono1/polígono2), e clique enter.
Crie outro campo de texto dinâmico e calcule o quociente da medida AE pela
medida CF. Digite no campo de entrada “altura AE por altura CF=” +
(nome1/nome2). Utilize os nomes dados pelo Geogebra às alturas na coluna
algébrica.
Movimente o ponto A, B, E e F observando as razões. Conjecture a relação
da razão das áreas com alturas dos retângulos.
Atividades34:
Um quadrado e um retângulo têm áreas iguais. Se o retângulo mede 9m por
4m, quanto mede um lado do quadrado?
Atividades35:
33
Se a altura de um retângulo é duplicada enquanto a base permanece a
mesma, como muda a área?
Atividades36:
Se a base de um retângulo é duplicada enquanto a altura permanece a
mesma, como muda a área?
Atividades37:
Se a base e altura de um retângulo são duplicadas, como muda a área?
Atividades38:
Encontre o retângulo que tem o mesmo perímetro e a mesma área.
Crie um arquivo novo.
Clique na paleta Seletor, o Geogebra abrirá uma caixa e digite nome “C”,
intervalo mínimo 0, máximo 10 e incremento 0,001 e aplicar. Crie outro Seletor com
nome “L”, intervalo mínimo 0, máximo 10 e incremento 0,001 e aplicar. Crie um
segmento com comprimento fixo. Selecione a ferramenta Segmento com
Comprimento Fixo e clique sobre o plano e o Geogebra abrirá uma caixa e digite
“C” e ok. Trace por A uma reta perpendicular que passe pelo segmento AB. Repita o
processo por B.
Selecione ferramenta Círculo Dados Centro e Raio e clique sobre o ponto A
e digite na caixa “L”. Repita o mesmo processo no ponto B. Com a ferramenta
Interseção de Dois Objetos determine ponto D de interseção do círculo “d” e a
perpendicular “b”. Selecione ferramenta Círculo Dados Centro e Raio e clique
sobre o ponto D e digite na caixa “C”. Com a ferramenta Interseção de Dois
Objetos determine ponto E de interseção do círculo “f” a perpendicular “c”. Com a
ferramenta Polígono defina o retângulo ABED. Esconda todos os círculos e as
retas. Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre os
segmentos do retângulo. Digite no campo de entrada os textos dinâmicos:
“perímetroABED =2C+2L” clique enter.
“perímetroABED=” + (2*C+2*L) clique enter.
“áreaABED =CL” clique enter,
“áreaABDC=” + (C*L), e clique enter.
No menu principal acione a tecla Opções e selecione Arredondamento 1
casa decimal.
Movimente os seletores e verifique a solução do problema.
34
TEOREMA: A área de um triângulo retângulo é o semiproduto de seus
catetos.
Atividades39:
Abra um arquivo novo.
Crie uma reta r e, por um ponto A na mesma trace, uma reta s perpendicular à
r.
Marque um ponto C em s e um ponto B em r.
Com a ferramenta Polígono crie um triângulo ABC.
Trace uma reta t paralela à r, passando por C.
Trace uma reta u paralela à s, passando por B.
Marque o ponto D de interseção de t e u. Observe que, por construção, ABDC
é um retângulo.
Calcule a medida de AB e AC. Observe atentamente na coluna algébrica o
nome que o Geogebra dá a esses elementos.
No campo de entrada crie um campo de texto dinâmico que calcule a área de
ABDC. Digite:
áreaABDC=” + (nome*nome2), colocando os nomes de AB e AC
registrados na coluna algébrica.
Calcule as medidas dos ângulos AĈB e . Essas medidas são iguais
porque os ângulos são alternos internos da transversal CB nas paralelas s e u.
Como  e são retos e o lado CB é comum aos triângulos ABC e CBD,
estes são congruentes pelo caso LAAo. Se dois triângulos são congruentes, então
as regiões triangulares determinadas por eles têm a mesma área.
Portanto, a área de ABDC é igual ao dobro da área de ABC.
Logo deduzimos que:
A (ΔABC) = ½ (AB).(AC)
No campo de entrada crie um texto dinâmico “área ABC =” +
(nome1*nome)/2. Demonstração: Sejam b e h a base e altura dadas e seja A
área. Há três casos a considerar:
35
1) Triângulo ABC que seja acutângulo tal que o pé da altura está entre as
extremidades da base, então a altura divide o triângulo em dois outros com bases b 1
e b2 e b1 + b2 = b.
Pelo teorema precedente, as áreas destes novos triângulos são ½ b1h e ½
b2h. Pelo axioma da adição de áreas:
A= ½ b1h + ½ b2h
A= ½( b1+b2 )h
A= ½ bh
2) Triângulo ABC que seja retângulo tal que o pé da altura é uma extremidade
da base, então o triângulo é retângulo e A = ½ bh, pelo teorema precedente.
3) Triângulo ABC que seja obtusângulo tal que o pé da altura está fora da
base, temos
½ b1h + A = ½ (b1 + b)h
A = ½ bh
Teorema: A área de qualquer triângulo é o semiproduto da medida de
qualquer base pela medida da altura correspondente.
Utilize o Geogebra e explore as seguintes situações:
Atividades40:
Abra um arquivo novo
Com a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos crie uma reta r que passe
por A e B. Deixe os pontos A e B bem próximos da lateral da área do desenho.
Trace uma perpendicular s à reta r, passando pelo ponto A.
Marque um ponto C sobre s. Calcule a medida de AC.
36
Trace uma paralela t à reta r, passando por C.
Marque em r dois pontos D e E. Marque em t um ponto F. Com a ferramenta
Polígono crie o triângulo DEF. Por padrão o Geogebra nomeia este elemento como
“polígono 1”.
Marque em r outros dois pontos G e H. Marque em t um ponto I. Com a
ferramenta Polígono crie o triângulo GHI. Por padrão o Geogebra nomeia este
elemento de “polígono 2”.
Selecione a ferramenta Área e calcule as áreas de DEF e GHI.
Calcule as medidas das bases DE e GH. Por padrão o Geogebra denota
esses elementos como “distância DE” e “distância GH”. No campo de entrada digite
um texto dinâmico que calcule o quociente da área de DEF por área de GHI:
“razão das áreas=” + (polígono1/polígono2).
Digite um campo de texto dinâmico que calcule o quociente da base de DEF
pela base de GHI.
“razão das bases=” + (distânciaDE/distânciaGH).
Movimente a reta t e verifique os valores das razões calculadas.
Movimente os vértices Fe I e observe os valores das razões calculadas.
Movimente os vértices das bases dos dois triângulos e verifique os valores
das razões. Conjecture a relação da razão das áreas com relação razão das bases.
As bissetrizes, as alturas, as medianas e as mediatrizes são objetos
especiais num triângulo. Uma mediana qualquer de um triângulo separa o mesmo
em dois novos triângulos. Qual será a relação entre as áreas destes últimos?
Atividades41:
Crie um arquivo novo.
Com a ferramenta Polígono crie um triângulo ABC.
Trace uma mediana AM. Por exemplo, a que liga o vértice A ao ponto médio
M de BC.
Calcule a altura h relativa ao lado BC. Para isso trace uma perpendicular do
vértice A ao lado oposto BC. Com a ferramenta Interseção de dois objetos marque
um ponto D de interseção perpendicular com lado BC. Com a ferramenta Segmento
Definida por Dois Pontos una vértice A ao ponto D, ou seja, altura h desejada.
37
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as medidas de
BM e MC.
Use a ferramenta Polígono e defina os dois novos triângulos ABM e AMC.
Coloque em cores diferentes. Calcule as áreas dos triângulos ABM e AMC.
Selecione a ferramenta Área, de um clique sobre cada uma das regiões.
Movimente os vértices A, B, e C. Conjecture a relação das áreas
determinadas.
Atividades42:
(Adaptado- A Conquista da Matemática) Um engenheiro agrônomo mapeou a
área de plantio (AP) de cana-de-açúcar de um fazenda, conforme formato e medidas
indicadas na figura. Sabe-se que a área de corte diária de cada trabalhador é de
0,001km², enquanto uma colheitadeira colhe por dia, uma área correspondente a
0,06km².
Use malha do Geogebra conforme pontos da figura. Defina os polígonos com
a ferramenta Polígono. Com a ferramenta Área clique sobre cada um dos polígonos
para calcular suas áreas. Área total terreno é igual soma de todas as áreas.
Sabendo área total responda os itens a e b.
Em quantos dias se faria a colheita total do terreno se:
a) Fossem admitidos 300 trabalhadores para esse serviço?
38
b) Fossem usadas 20 colheitadeiras?
Atividades43:
A base BC de um triângulo ABC, de base b e altura h, foi dividida em oito
partes congruentes:
a) Calcule as áreas dos triângulos ABC, ABD e ACD.
b) Qual a razão entre as áreas do triângulo ABE e do triângulo ABG?
c) Os triângulos ABD, ADE, AEF, AFG, AGH, AHI, AIJ e AJC têm a mesma?
Por quê?
Definição: Uma altura de um trapézio é qualquer segmento com extremos
nas bases e perpendicular a elas.
Atividade44:
Crie um arquivo novo.
Crie uma reta r e marque dois pontos A e B pertencentes a ela.
Por um ponto C fora de r trace uma reta s paralela à r.
Marque um ponto D em s distinto de C. Com A ferramenta Polígono crie o
trapézio ABDC.
Trace pelo ponto C uma reta t perpendicular à r.
Determine o ponto M de interseção de r e t.
Esconda as retas r, s e t.
Crie o segmento MC com estilo tracejado.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medida de AB, CD e MC. Essas medidas são suficientes para o cálculo da áreas de
ABC e CBD. (Diga de que maneira).
Com a ferramenta Polígono crie os triângulos ABC e CBD. Deixe-os de
cores diferentes.
Use a ferramenta Área e calcule as áreas de ABC e BCD.
A área do trapézio ABCD é a soma das áreas dos triângulos ABC CBD,
nomeados pelo Geogebra polígono2 e polígono3. Podemos adicionar esses dois
valores. Digite no campo de entrada:
“Área do trapézio ABDC=” + (polígono2 + polígono3) e tecle enter.
Conjecture uma fórmula para o cálculo da área do trapézio.
39
Teorema: A área de trapézio é a metade do produto da medida da altura pela
soma das medidas das bases.
Outra representação:
Área trapézio = área ΔABC + ΔADC
Área trapézio = ½ b1h + ½ b2h
Área trapézio = ½ (b1 + b2)h
Base média de um trapézio é o segmento de reta que une os pontos médios
dos lados não paralelos. A base média é paralela às bases do trapézio e seu valor é
igual à média aritmética das medidas das bases.
Atividade45:
Abra um arquivo novo.
Crie uma reta r passando por A e B. Para isso clique no plano mova o mouse
e clique novamente no plano e o Geogebra criará reta r passando por A e B.
Trace uma reta s perpendicular à reta r, passando por A.
Marque um ponto C sobre a reta s.
Trace uma reta t, paralela a r, passando por C.
Marque um ponto D sobre a reta t, à direita de C.
Com a ferramenta Polígono, defina o polígono ABDC.
Com a ferramenta Ponto Médio clique sobre o segmento AC, determinando
ponto E. Repita a operação no segmento BD, determinando o ponto F. Com a
ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos una os pontos E e F. Com a
ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre os segmentos AB,
CD e EF.
40
Crie um campo de texto dinâmico no campo de entrada. Digite:
“(AB + CD)/2=” + (distânciaAB+distânciaCD)/2
Movimente os vértices do polígono. Conjecture a relação entre a expressão
das bases do trapézio e o segmento EF (base média do trapézio). Salve a atividade,
como Atividade1. ggb .
Atividade46:
Use a atividade anterior
Trace uma reta u perpendicular por F em relação ao segmento AB. Com a
ferramenta Interseção de Dois Objetos marque ponto G de interseção da reta
paralela t com interseção da perpendicular u e ponto H da interseção da reta u
perpendicular com segmento AB. Observe que os dois triângulos FGD e FHB são
congruentes pela caso LAL. Confira as medidas com a ferramenta Distância,
Comprimento ou Perímetro, clicando sobre segmentos DG, GF, HB e HF. Com a
ferramenta Ângulo, calcule o ângulo formado entre os segmentos dados e confira a
congruência. Observe o polígono EFGC é um retângulo. Sabe-se que a área de um
retângulo é bh e área do trapézio (½ (b1 + b2)h.
Conjecture sobre a área limitada por um trapézio de base média e altura h.
Teorema: A área de um paralelogramo é o produto de qualquer base pela
altura correspondente.
Demonstração: Todo paralelogramo é um trapézio com b1=b2=b, assim
temos que a área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base pela sua
altura.
A(P)= ½ (b +b)h
A(P)= bh
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Utilize o Geogebra e explore as seguintes atividades:
Atividades47:
Um triângulo e um paralelogramo têm áreas e bases iguais? Qual a relação
entre as suas alturas?
Abra um arquivo novo.
Construa um triângulo e um paralelogramo de bases iguais.
Com a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique no plano e
abrirá uma caixa e digite 3 e o Geogebra exibirá segmento AB de medida 3. Com a
ferramenta Polígono construa um triângulo ABC
Crie uma perpendicular que passe por C em relação AB. Selecione a paleta
Interseção de Dois objetos e determine o ponto H de interseção da perpendicular
com AB. Com a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos clique em C
depois em H, mude o estilo para pontilhado. Com a ferramenta Distância,
Comprimento ou Perímetro, calcule as medidas de AB, CH. Com a ferramenta
Área, clique na região do polígono para calcular sua área.
Com a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique no plano e
abrirá uma caixa digite 3 e o Geogebra exibirá segmento DE de medida 3. Crie um
ponto F fora do segmento DE. Crie uma reta paralela r que passe por F em relação à
DE. Com a ferramenta “Compasso” ou Circulo Dado Centro e Raio clique sobre
os pontos D e E, transporte com centro em F e determine ponto G de interseção do
círculo com a paralela r. Com a ferramenta Polígono, defina o paralelogramo DEGF.
Crie uma perpendicular que passe por F em relação DE. Selecione a paleta
Interseção de Dois objetos e determine o ponto I de interseção da perpendicular
com DE. Com a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos clique em F
depois em I, mude o estilo para pontilhado. Com a ferramenta Distância,
Comprimento ou Perímetro, calcule as medidas de DE e FI. Com a ferramenta
Área clique na região do polígono para calcular sua área. Mova as alturas e
observe os valores das áreas, bases e alturas.
Então qual a relação entre as alturas do triângulo e do paralelogramo para
que as áreas ambos sejam iguais?
Atividades48:
Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente,
indicadas por b e h. Se construirmos outro paralelogramo que tem o triplo da base e
42
o triplo da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos
paralelogramos?
Losango: Cálculo da área quando são fornecidas, não as medidas de seus
lados, mas sim as medidas de suas diagonais.
Como calcular a área de um quadrilátero convexo cujas diagonais são
perpendiculares entre si.
Atividade49:
Crie um arquivo novo.
Construa um círculo definido por dois pontos com centro em A e raio AB.
Selecione a ferramenta Círculo Definido pelo Centro e Um de seus
Pontos, clique no plano (ponto A) e deslize o mouse e clique novamente (ponto B).
Trace outro círculo com centro em B e raio BA.
Marque C e D a interseção entre os dois círculos
Com a ferramenta Polígono construa o polígono ACBD, o Geogebra nomeará
de polígono1. Use a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos e trace o
segmento AB.
Marque o ponto médio do segmento AB, o Geogebra nomeará de ponto E.
Trace o segmento CD passando por E.
Com a ferramenta Polígono defina os triângulos ACE, BCE, ADE e BDE.
Por padrão, o Geogebra os nomeia como polígono2, polígono3, polígono4 e
polígono5. Mude a cor de cada um deles, par isso observe na coluna algébrica os
polígonos 2, 3, 4 e 5 e clique com botão direito sobre o polígono2, selecione
propriedades, paleta cor e muda cor. Repita para todos os triângulos.
Os quatro triângulos são triângulos retângulos?
Com a ferramenta Área, calcule a medida das áreas, clicando sobre cada um
dos polígonos 2, 3, 4 e 5.
A área do losango é igual a soma das áreas dos triângulos. Digite no campo
de entrada um texto dinâmico:
“área losango=” + (polígono2 + polígono3 + polígono4 + polígono5) e
tecle “enter”.
Compare a soma com valor do polígono 1 na coluna algébrica.
Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas das diagonais AB e CD. Escreva no campo de entrada um texto dinâmico:
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“(AB * CD)/2=” + (distânciaAB*distânciaCD)/2. Compare esse valor
com polígono 1 na coluna algébrica ou área do losango.
Movimente os vértices A e B. Conjecture qual a relação da área com as
diagonais do losango?
Outra representação:
A área do losango é quatro vezes a área de um triângulo retângulo de catetos
D/2 e d/2.
Atividade50:
Crie um arquivo novo.
Construa uma reta r passando por A e B. Para isso selecione a ferramenta
Reta Definida por Dois Pontos, clique no plano e deslize o mouse, o Geogebra
criará uma reta passando pelos pontos A e B.
Construa uma reta s perpendicular a r, passando por B.
Marque um ponto C sobre a reta s não coincidente com ponto B.
Construa uma reta t paralela a r, passando por C.
Construa uma reta u paralela a s, passando por A.
Com a ferramenta Interseção de Dois Objetos, nomeie o ponto D de
interseção entre as retas u e t.
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Selecione a ferramenta Polígono e construa o polígono ABCD.
Com a ferramenta Ponto Médio ou Centro, clique sobre os segmentos AB,
BC, CD e AD e o Geogebra nomeará os pontos de F, G, E e H. Com a Ferramenta
Segmento Definido por Dois Pontos, crie os segmentos FG, GE, EH e HF.
Com a ferramenta Polígono, defina o polígono EGFH. Mude a cor de EGFH.
Com a ferramenta Área, calcule a área do polígono 1 (retângulo ABCD) e
polígono2 (losango EGFH). Digite no campo de entrada um texto dinâmico:
“áreaABCD/áreaEGFH=” + (polígono1/polígono2).
Movimente os vértices A, B e C e conjecture a razão da área do retângulo
ABCD pela área do losango EGFH. Conjecture características do losango.
Atividade51:
Qual é o quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um
losango? Conjecture sobre esse quadrilátero. Determine qual a razão entre as
áreas do losango e do quadrilátero. Qual a relação das áreas dos triângulos da
decomposição do quadrilátero formada pelas suas diagonais. Todos são
congruentes ou são equivalentes?
Definição: Uma corda de uma circunferência é um segmento cujas
extremidades estão na circunferência. Uma reta que intercepta a circunferência em
dois pontos é chamada secante.
Definição: Um diâmetro de uma circunferência é uma corda que contém o
centro. Um raio de uma circunferência é um segmento cujas extremidades são o
centro e um ponto sobre a circunferência.
Teorema: Se X é o conjunto dos perímetros dos polígonos regulares inscritos
e Y é o conjunto dos perímetros dos polígonos regulares circunscritos numa
circunferência qualquer, então o par (X,Y) é de classes vizinhas.
Definição: Denomina-se comprimento da circunferência ou perímetro da
circunferência ao número real obtido pelo par de classes vizinhas (X,Y), dado pelo
teorema acima.
Lema: A razão entre o comprimento de qualquer circunferência e a medida de
seu diâmetro é um número constante.
Essa razão constante é designada por π.
45
Atividade52:
Crie uma circunferência c com a ferramenta Círculo Definida pelo Centro e
Um de seus Pontos. Com a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos, trace uma
reta r passando por A e B. Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos e
marque ponto C de interseção da reta r com circunferência c. Com a ferramenta
Segmento Definido por Dois pontos crie segmento CB passando por A (centro).
Calcule o perímetro da circunferência c e a medida do segmento CB. Para
isso, selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre a
circunferência c e sobre os pontos C e B.
Digite no campo de entrada um campo de texto dinâmico:
“perímetroc/diâmetroCB=” + (perímetroc/distânciaCB).
Movimente os pontos A e B. Verifique o valor encontrado para a constante π.
Atividade53:
O perímetro da circunferência de uma tora é 125,6cm. Qual é o comprimento
do lado de uma seção da maior viga quadrangular que pode ser obtida da tora? Qual
a medida do contorno da tora quadrangular?
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Definição: A área de um círculo é igual ao supremo do conjunto das áreas
poligonais correspondentes a polígonos regulares inscritos na circunferência
adjacente ao círculo.
Teorema: A área do círculo cuja circunferência subjacente tem raio r é igual a
πr².
Atividade54:
Abra um arquivo novo.
Com a ferramenta Círculo Definido pelo Centro e Um de seus Pontos, crie
uma circunferência C de centro O. Crie um ponto A em C.
Tome a ferramenta Seletor, clique em algum local da área de desenho.
Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome
para n, intervalo min: 3, Max:300 e incremento 1 e Aplicar.
Calcule a divisão de 360 por n. Para fazer isso, escreva no campo de entrada:
ang=360/n e tecle Enter. Observe na coluna algébrica o objeto numérico ang
assume o valor 120.
Tome a ferramenta Girar em Torno de Um Ponto por Um Ângulo, clique em
A e depois no centro O. Aparecerá uma janela e escreva no campo ângulo: ang°
(mantenha o símbolo graus”°”) e escolha o sentido anti-horário e clicar OK. O
Geogebra marcará um ponto A’ em C, obtido por rotação de A ao redor de O com
um ângulo de 120°.
Use a ferramenta Polígono Regular e clique primeiramente em A, depois em
A’. Aparecerá uma janela na qual deverá inserir a quantidade de pontos, ou seja
vértices, digite n e clique OK. O Geogebra mostrará um triângulo eqüilátero inscrito
em S.
Com a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos crie os segmentos
AO e A’O. Com a ferramenta Ponto Médio ou Centro clique sobre o segmento AA’.
O Geogebra nomeará esse ponto médio de C. Com a ferramenta Segmento
Definido por Dois Pontos crie os segmentos OC, o apótema do polígono. Deslize
o seletor e observe as mudanças.
Selecione ferramenta a Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as
medidas AA”, OC e AO.
Digite no campo de entrada os textos dinâmicos:
“ladoAA’=” + nome (nome ladoAA’ na coluna algébrica)
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“apótemaOC=” + nome (nome apótema OC na coluna algébrica)
“raioOA=” + nome (nome raio OA na coluna algébrica)
pp=n*nome (nome ladoAA’ na coluna algébica) (pp= perímetro
polígono)
pc=2*π*nome (nome raioOA na coluna algébrica) (pc= perímetro
círculo)
“Superfície polígono=” + (pp*nome)/2 (nome do apótema na coluna
algébrica).
“Superfície círculo=” + (π*nome²) (nome do raio do polígono na coluna
algébrica).
Deslize o seletor com o mouse, movimente o ponto A, observe os valores dos
perímetros e superfícies e conjecture qual a relação da área e do perímetro dos
polígonos regulares com área e perímetro do círculo. Por que no seletor usamos n
(nº lados) mín: 3?
Atividade55:
O comprimento de uma circunferência C1 vale duas vezes o comprimento de
uma circunferência C2. Qual a relação entre as áreas dos círculos que tem C1 e C2
com as fronteiras?
Atividade56:
(ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tambores
cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2m de lado. Conforme figura. Para 1
tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 pequenas.
As sobras do material da produção diária das tampas grandes, médias e
pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III,
para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, podemos
afirmar que:
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a ) a entidade I recebe mais material do que a intidade II.
b) a entidade I metade do material do que a entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
Atividade 57:
Tome a ferramenta Seletor, clique em algum local da área de desenho.
Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome
para n, intervalo min: 2 e max:5 e Aplicar. Crie outro seletor, altere nome para m
intervalo min:3 e max:7 e Aplicar.
Crie 2 círculos um em cada lado da área de desenho. Selecione a ferramenta
Círculo dado Centro e Raio, clique no plano e aparecerá uma caixa digite n e tecle
OK. Repita a operação para outro círculo e digite na caixa m e tecle OK.
Com a ferramenta Área, calcule a área de C1 e C2, clicando nas fronteiras
dos círculos C1 e C2.
No campo de entrada digite os textos dinâmicos:
“áreac1/áreac2=” + (nome1/nome2) (nome1 e nome2, observar
na coluna algébrica, área de C1 e área de C2).
“(raioc1/raioc2)²=” + (n/m)² (n e m são os seletores que
indicam o raio de c1 e c2 na coluna algébrica).
Movimente os seletores e observe os textos dinâmicos. Conjecture sobre o
teorema da relação razão das áreas com raios dos círculos C1 e C2.
Atividade58:
Dois círculos tem raios 3 e 12 respectivamente. Qual a razão de suas áreas.
Atividade59:
O perímetro de um quadrado é igual ao comprimento de uma circunferência.
Qual determina uma área maior? Qual a razão entre a área do quadrado e a área do
círculo?
4 REFERÊNCIAS
Dante, Luiz Roberto. Tudo é matemática 8ª série. São Paulo: Editora Ática, 2002.
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Gerônimo, João Roberto, Rui Marcos de Oliveira, Valdeni Soliani Franco. Geometria Euclidiana Plana: um estudo com Software Geogebra. Maringá: Eduem, 2010.
Lezzi, Gelson, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. Matemática e realidade 9° ano. São Paulo: Atual Editora, 2009.
MOISE, Edwin E., Floyd L. Downs Jr. Geometria Moderna Parte I, Tradutores: Renate G. Watanabe, Dorival A. Mello. São Paulo, SP: Editora Edgard Blucher Ltda, 1971.
http://www.geogebra.org/cms acesso em 13/07/11
http://profpereira.com.sapo.pt/icemcn/geo_area.html acesso 13/07/11
http://pt.scribd.com/doc/2972270/Matematica-Exercicios-Resolvidos-Geometria-Areas-I acesso em 13/07/11
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