Preparatório Saresp 2015

Exercícios resolvidos e comentados

1) (Unicamp) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto

A R$ 35,00 R$ 0,50

B R$ 20,00 R$ 0,80

C 0 R$ 1,20

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?

Resolução:

a) Com os dados fornecidos pela tabela, uma pessoa que utilize 25 minutos por mês teria os seguintes

custos:

I) Plano A: 35,00 + 25 ∙ 0,50 = 𝑅$ 47,50

II) Plano B: 20,00 + 25 ∙ 0,80 = 𝑅$ 40,00

III) Plano C: 25 ∙ 1,20 = 𝑅$ 30,00

Logo, o plano mais vantajoso é o Plano C.

b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?

Resolução:

Para que o plano A seja mais vantajoso precisamos ter: plano A < plano B e plano A < plano C.

Algebricamente: {𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟑𝟓 < 𝟎, 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎

𝑒𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟑𝟓 < 𝟏, 𝟐𝒙

Resolvendo as inequações temos:

0,5x + 35 < 0,8x + 20 ⇒ 35 − 20 < 0,8x − 0,5x ⇒ 15 < 0,3x ⇒ 15

0,3 < x ⇒ 𝒙 > 𝟓𝟎

0,5x + 35 < 1,2x ⇒ 35 < 1,2x − 0,5x ⇒ 35 < 0,7x ⇒ 35

0,7 < x ⇒ 𝒙 > 𝟓𝟎

Nos dois casos x > 50 satisfaz as inequações. Portanto o plano A é mais vantajoso a partir de 51

minutos.

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Explorando um pouco mais o problema:

Nessa situação podemos perceber que existe proporcionalidade direta na variação das grandezas “custo

da ligação” e “quantidade de minutos gastos”. Essa é uma característica da função do 1º grau. Podemos,

portanto, representar cada plano de telefonia por meio de uma expressão algébrica do tipo

𝐶(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde C corresponde ao custo da ligação e x a quantidade de minutos gastos.

Veja como fica: Plano A: 𝑪𝑨(𝒙) = 𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟑𝟓

Plano B: 𝑪𝑩(𝒙) = 𝟎, 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎

Plano C: 𝑪𝑪(𝒙) = 𝟏, 𝟐𝒙

Na expressão: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o coeficiente a representa a taxa de variação ou, nesse exemplo, quanto é

pago por minuto utilizado. No plano A variação é de R$ 0,50; no plano B – R$ 0,80 e no plano C –

R$ 1,20.

A função do 1º grau pode ser representada no plano cartesiano por meio de uma reta.

Observe a representação gráfica das funções acima. Note como o plano C é mais vantajoso pois para x

igual a 25 minutos a reta da função do plano C está abaixo das retas das funções do plano A e B.

Observe também que quando temos x igual a 50 minutos todos os planos apresentam o mesmo custo,

isto é indicado pela intersecção das três retas e podemos encontrar esse valor de intersecção por resolver

as igualdades {𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟑𝟓 = 𝟎, 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎

𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟑𝟓 = 𝟏, 𝟐𝒙 𝟎, 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟏, 𝟐𝒙

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2) Considere dois cilindros como os das figuras, de volumes V1 e V2:

Sabe-se que o volume (V) do cilindro é obtido pela fórmula 𝑉 = 𝜋 · 𝑟 ² · ℎ. Desse modo, é correto

afirmar que

𝑎) 𝑉1 = 𝑉2.

b) 𝑉1 =𝑉2

2.

c) 𝑉1 =𝑉2

3.

d) 𝑉1 = 2𝑉2.

Resolução:

Vamos calcular primeiro o volume de cada cilindro para podermos compará-los.

Cilindro (1)

Diâmetro: 𝑑 = 8 𝑐𝑚

Raio: 𝑟 =𝑑

2= 4 𝑐𝑚

𝑉1 = 𝜋. 42 . 10

𝑉1 = 160𝜋 𝑐𝑚3

Resposta (d) => 𝑉1 = 2𝑉2.

Explorando um pouco mais o problema:

Podemos também calcular a área do cilindro que corresponde à área dos círculos da base mais a área da

superfície lateral que tem a forma de um retângulo conforme vemos em sua planificação:

𝑉2 = 𝜋. 22 . 20

𝑉2 = 80𝜋 𝑐𝑚3

Cilindro (2)

Diâmetro: 𝑑 = 4 𝑐𝑚

Raio: 𝑟 =𝑑

2= 2 𝑐𝑚

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Então a área dos círculos da base será obtida por 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋 ∙ 𝑟2 e a área do retângulo 𝐴𝑟𝑒𝑡 = 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ.

Para o cilindro (1) temos 𝐴1 = 2𝜋 ∙ 42 + 2𝜋 ∙ 4 ∙ 10 ⇒ 𝐴1 = 32𝜋 + 80𝜋 𝑐𝑚2 ⇒ 𝐴1 = 112𝜋 𝑐𝑚2.

Para o cilindro (2) temos 𝐴2 = 2𝜋 ∙ 22 + 2𝜋 ∙ 2 ∙ 10 ⇒ 𝐴2 = 8𝜋 + 40𝜋 𝑐𝑚2 ⇒ 𝐴2 = 48𝜋 𝑐𝑚2.

3) Determine as equações, reduzida e normal, da circunferência de centro (2, 5) e raio 4.

Fonte da Imagem: http://www.colegioweb.com.br/geometria-analitica-ii/circunferencia.html#ixzz3qlYaLNQC

Resolução:

Equação Reduzida: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

Sendo 𝑎 = 2, 𝑏 = 5 𝑒 𝑟 = 4, temos:

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 42 ⇒ (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 16

Equação Normal: podemos escrever a equação normal, ou geral, da circunferência desenvolvendo a

equação reduzida (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2.

Assim temos:

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 2.2𝑥 − 2.5𝑦 + 22 + 52 − 42 = 0 ⇒

⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 10𝑦 + 4 + 25 − 16 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 10𝑦 + 13 = 0

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Exercícios

1) Encontre as coordenadas do ponto P, intersecção das retas das funções g(x) e f(x).

2) Um aquário possui o formato de um bloco retangular, cujas dimensões da base são 50 cm e 20 cm, e a

água. Contida em seu interior esta atingindo um nível de altura 15 cm (Figura 1). Mergulhando, a seguir,

5 bolas coloridas de metal, de volumes iguais, o nível de água do aquário atinge uma altura de 25 cm

(Figura 2).

Calcule o volume, em cm³, ocupado por cada bola.

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3) A planificação da superfície lateral de um cilindro reto tem dimensões 6 cm e 8 cm. Determine a área

total e o volume do cilindro usando a aproximação 𝜋 = 3,1.

4) Qual das equações abaixo representa uma circunferência? Determine as coordenadas do centro (C) e o

raio (r) dessa circunferência.

𝑎) 𝑥2 + 3𝑦2 − 5𝑥 − 7𝑦 − 1 = 0

𝑏) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 − 4𝑥 − 6𝑦 − 9 = 0

𝑐) 3𝑥2 + 3𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 15 = 0

𝑑) 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 12𝑦 + 36 = 0

𝑒) 2𝑥2 + 2𝑦2 − 8𝑥 − 12𝑦 + 26 = 0

5) Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação

𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0.

6) Escreva a equação da circunferência com centro na origem do sistema cartesiano e raio igual a 5.