pitÁgoras trabalho da especializaÇÃo

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PROGRAMA DE ESTUDOS PÓS-GRADUADOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA IVANIA DE OLIVEIRA ADRIANO BARBOSA CÉLIO ROBERTO ROBERTO ASSUNÇÃO VITOR MASAKATSU TEOREMA DE PITÁGORAS, ANÁLISE SEGUNDO A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICA E DEMONSTRAÇÕES INSTRUMENTO DE AVALIAÇÃO FUNDAMENTOS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA SÃO PAULO, MAIO/2010

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Page 1: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PROGRAMA DE ESTUDOS PÓS-GRADUADOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

IVANIA DE OLIVEIRA ADRIANO BARBOSA

CÉLIO ROBERTO ROBERTO ASSUNÇÃO

VITOR MASAKATSU

TEOREMA DE PITÁGORAS, ANÁLISE SEGUNDO A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICA E DEMONSTRAÇÕES

INSTRUMENTO DE AVALIAÇÃO FUNDAMENTOS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

SÃO PAULO, MAIO/2010

Page 2: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

2

ÍNDICE

INTRODUÇÃO........................................................................................................ 3

CAPÍTULO I. PROBLEMÁTICA............................................................................. 5

CAPÍTULO II. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLOGIA DE PESQUISA.....................9

Etapa 1. Dialética da ação.......................................................................................8

Etapa 2. Dialética da formulação.............................................................................8

Etapa 3. Dialética da validação................................................................................9

Etapa 4. Dialética da institucionalização..................................................................9

CAPÍTULO III. UM POUCO DE HISTÓRIA...........................................................12 CAPÍTULO IV. OBJETO DE ESTUDO..................................................................17

Análise do ponto de vista didático..........................................................................19

Demonstração 1.....................................................................................................20

Demonstração 2 W. Rupert....................................................................................22

Demonstração 3.....................................................................................................23

Demonstração 4.....................................................................................................24

Demonstração 5.....................................................................................................25

Demonstração 6.....................................................................................................26

Demonstração 7 Bháskara.....................................................................................27

Demonstração 8 Hindu...........................................................................................28

Demonstração 9.....................................................................................................30

Demonstração 10 Leonardo Da Vinci.....................................................................31

Demonstração 11 Papus........................................................................................32

Demonstração 12 Bháskara...................................................................................30

Demonstração 13...................................................................................................35

Demonstração 14 Paulus Gerdes..........................................................................37

Demonstração 15 Euclides.....................................................................................38

CAPÍTULO V. LIVROS DIDÁTICOS.....................................................................43 CAPÍTULO VI. SITUÇÃO PROBLEMA E SEQUENCIA DIDÁTICA.....................47

Situação Problema.................................................................................................47 CONCLUSÃO........................................................................................................56 REFERÊNCIAS.....................................................................................................57

APÊNDICE.............................................................................................................59

Page 3: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

3

INTRODUÇÃO

O teorema de Pitágoras fez e ainda faz muito sucesso, principalmente, no

ensino, isso devido a sua grande aplicabilidade na resolução de diversos

problemas, assim, esse trabalho se propõe a analisá-lo em diversos aspectos,

tendo como objetivos, mostrar um pouco sobre a sua evolução, suas

demonstrações, sua transposição no ensino e os entraves enfrentados por alunos

em sua construção e uso. Além disso, propõe mais uma forma de determinar e

introduzir o Teorema de Pitágoras no Ensino Fundamental II em turmas de nonos

anos, a antiga oitava série.

O primeiro capítulo desenvolve-se sobre a problemática abordada, para

possível intervenção no processo de ensino e aprendizagem do teorema de

Pitágoras, considerando alguns estudos já realizados em torno dos fenômenos de

ensino e aprendizagem ligados a esse tema.

O segundo capítulo, Fundamentação Teórica e Metodologia de Pesquisa,

apresentam alguns conceitos básicos da Didática da Matemática que

fundamentaram nossa pesquisa, bem como a metodologia e os procedimentos

que serviram de instrumentos teóricos para responder as questões do trabalho.

O terceiro capítulo trata da parte histórica da matemática, isto é, o período

em que a teoria foi desenvolvida, fala do seu percussor que deu início ao estudo a

partir da observação da medição de terras por egípcios. O capítulo irá relatar a

vida de Pitágoras, suas viagens pelo mundo e o grupo pitagórico que se formou

para se estudar matemática e filosofia.

O quarto capítulo, Objeto de Estudo, trata do objeto de estudo que é o

Teorema de Pitágoras. Nesta etapa ocorre a demonstração do teorema de

diversas formas e por diversos teóricos e uma pequena análise didática e

matemática sobre as demonstrações. As demonstrações foram retiradas de

trabalhos acadêmicos e algumas demonstrações foram realizadas pelo próprio

grupo.

O quinto trata da análise e comparação do conceito, em livros didáticos

com o PCN. Os livros foram escolhidos a partir da publicação de 2000, porque se

acredita que estes seguem ou tentam obedecer à proposta dos PCNs, trazendo

Page 4: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

4

algumas informações históricas, pequenas demonstrações e atividades que

envolvem objetos do dia a dia dos alunos.

No capítulo seis, Situação-Problema e Seqüência Didática, discorre nossa

possível intervenção no processo de ensino e aprendizagem. Nesta fase

encontra-se a proposta de situação-problema e como essa pode ser aplicada,

primeiramente com a interpretação da situação com o auxilio de um texto e

posteriormente com a manipulação de recortes de figuras geométricas que

determinam triângulos retângulos relacionados com a situação-problema.

Serão tratadas também nesse trabalho, as principais variáveis didáticas

envolvidas na situação-problema proposta, fazendo-se as considerações sobre as

estratégias que deverão ser tomadas, destacando os conhecimentos prévios dos

alunos, prevendo dificuldades para a resolução do problema e os conhecimentos

que os alunos podem adquirir durante a realização da atividade e por fim

institucionalizar o conceito do Teorema de Pitágoras.

Page 5: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

5

CAPÍTULO I. PROBLEMÁTICA

Um dos problemas que sempre encontramos no processo de ensino-

aprendizagem no terceiro e no quarto ciclos do ensino fundamental, bem como

nas últimas séries do ensino médio é a não compreensão de vários conceitos

matemáticos, que em sua maioria se não absoluta, não é demonstrada, não é

provada, são simplesmente mostradas. A não demonstração dos conceitos

matemáticos e por conseqüência a dificuldade na aprendizagem por parte dos

alunos, seria um problema estrutural nas diretrizes educacionais? Ou seria a falta

de conhecimentos teóricos por parte dos professores para fundamentar os

conceitos matemáticos? Para analisar e responder a essas questões procuramos

nos orientar nos PCN e conceituar com objeto matemático. O que diz o PCN:

Em nosso país o ensino de matemática ainda é marcado pelos

altos índices de retenção, pela formalização precoce de conceitos,

pela excessiva preocupação com o treino de habilidades e

mecanização de processos sem compreensão (PCN, terceiro e

quarto ciclo do ensino fundamental, 1998, p. 21).

Em outro trecho do PCN com título quadro atual do ensino de matemática no Brasil diz (... os professores apóiam - se quase que

exclusivamente nos livros didáticos, que, muitas vezes, são de qualidade

insatisfatória).

Se compararmos o que diz o PCN e os baixos índices de aproveitamento

dos alunos, principalmente da rede pública, percebemos que não mudou muita

coisa de 1998 até agora. Uma reflexão mais ampla deve ser feita, para situar

cada parte do processo de ensino e aproximar a matemática aos alunos como

instrumento de utilidade na sociedade.

O objeto de estudo que escolhemos para situar com a falta de

demonstração dos conceitos matemáticos foi o teorema de Pitágoras, poderíamos

ter escolhido equação do segundo grau e analisar a “fórmula de Bháskara” que na

maioria das vezes não é necessária, e outros diversos objetos matemáticos que

na maioria das vezes é apresentado através de fórmulas para aprendizado. Ao

Page 6: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

6

pesquisar vários livros sobre o teorema de Pitágoras, percebemos que todos

trazem a mesma proposta para fixação do teorema, que aparece com a seguinte

apresentação:

Figura 31 – Teorema de Pitágoras.

Fazendo um levantamento relacionado ao desenvolvimento do Teorema de

Pitágoras identificam-se erros freqüentes cometidos pelos alunos ao utilizá-lo. Os

erros podem ser listados como os a seguir:

Aplicam o teorema para qualquer triângulo;

Não identificam os catetos e a hipotenusa, além disso, no cálculo algébrico

a incógnita sempre fica no lugar da hipotenusa

Não identificam a propriedade de existência do triângulo e tiram os

números de dentro da raiz sem resolver os quadrados e a soma;

Ao ser apresentado figuras geométricas, os alunos têm dificuldades em

identificar os triângulos retângulos presentes nas figuras.

Segundo Irma Verri Bastian em sua dissertação de mestrado sobre o

Teorema de Pitágoras, uma pesquisa foi realizada por Annie Berté (1995) -

França que apresentou o processo ensino aprendizagem em diversas formas de

desenvolver o conteúdo do Teorema de Pitágoras. Colocou em seu trabalho que

as dificuldades encontradas pelos alunos são devidas a não estarem engajados

na situação problema, ou a situação não traz claro qual é seu objetivo ou o

Page 7: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

7

modelo proposto por tabelas pelo professor, as quais deverão ser preenchidas

pelos alunos fazendo cálculos utilizando a regra do teorema.

Berté defende que o Teorema de Pitágoras QUADRADO DA

HIPOTENUSA É IGUAL À SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS deveria ser

apresentado no processo de institucionalização. Primeiro deveria ser construída

conceitos de construção de triângulos através de mediatrizes, construção de

circunferência, condição de existência de triângulos e triângulos retângulos para

em fim ser institucionalizado o Teoremas de Pitágoras.

De acordo com a teoria proposta por Duval, Registros de Representação

Semiótica, as atividades exigem que os alunos façam mudanças de registros para

que consigam resolver os problemas. Um exemplo a ser citado é o registro da

Geometria onde há o destaque para as figuras geométricas que são

transportadas para a linguagem da língua materna quando recorremos ao

enunciado, ou quando buscamos respostas na álgebra, etc. As mudanças de

registros são feitas pelos alunos inconscientemente, muitos não percebem a

mudança e outros não conseguem realizar por não identificarem as necessidades

de ferramentas para as resoluções das atividades. Baseando-se na teoria, as

interpretações de figuras geométricas se baseiam em perceptiva, discursiva e

operatória. A perceptiva é imediata, ao olhar a figura pode-se enxergar sua

estrutura, a figura vem acompanhada de legendas enunciadas para evitar que

várias hipóteses surjam para resolver o problema. Assim a interpretação

discursiva surge logo após a perceptiva com o objetivo de levar a uma solução

certa do problema. A interpretação operatória vem com o objetivo de modificar a

figura procurando a melhor estratégia de resolução.

Identificando os problemas existentes nos alunos de 9º ano do Ensino

Fundamenta II, no entendimento do Teorema de Pitágoras e com base nos

estudos realizados em livros didáticos e trabalhos já realizados por outras

pessoas, propomos no capítulo 6, uma situação-problema e uma seqüência

didática a qual visa uma melhor introdução do teorema, a fim de que os alunos

analisem, experimentem e conjecturem esse conceito de um modo implícito,

passando a perceber que esse teorema é válido somente em triângulos

retângulos. A situação virá composta por um problema com enunciado na língua

materna acompanhada de uma figura que representa a situação, após as

Page 8: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

8

tentativas de resolução com o professor servindo de mediador será, fornecido aos

alunos oito triângulos retângulos, os quais serão manipulados para formação de

figuras com o objetivo de formar quadrados e triângulos, buscando a

demonstração do Teorema de Pitágoras.

Page 9: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

9

CAPÍTULO II. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLOGIA DE PESQUISA

Para a realização do trabalho e construção da situação-problema, foi

primeiramente realizado um estudo sobre alguns trabalhos acadêmicos existentes

sobre o Teorema de Pitágoras, análises de livros históricos e didáticos que trazem

a teoria, pesquisas em sites, estudo sobre teorias relacionadas com o ensino da

matemática e a proposta do PCN’s, no intuito de termos um panorama geral do

posicionamento que ocupa o Teorema de Pitágoras no ensino.

E para o desenvolvimento da situação-problema e etapas para a sua

solução, tendo em vista, a aquisição “inicial” do teorema de Pitágoras por parte

dos alunos, consideramos a Teoria das Situações Didáticas, já que está, propõe

um processo de ensino e aprendizagem dos objetos matemáticos em que o aluno

é o principal ator na construção de seu saber, ficando o professor como mediador

de todo esse processo.

A teoria das situações didáticas foi desenvolvida por Guy Brousseau no

intuito de modelar o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos

matemáticos. Para o autor,

Um processo de aprendizagem pode ser caracterizado de modo

geral (se não determinado) por um conjunto de situações

identificáveis (naturais ou didáticas) reprodutíveis, conduzindo

freqüentemente à modificação de um conjunto de

comportamentos de alunos, modificação característica da

aquisição de um determinado conjunto de conhecimentos.

Para chegar ao objeto matemático o aluno passará por quatro etapas (de

ação, de formulação, de validação e de institucionalização) descritas na TSD

como modelagem das situações didáticas, sendo as três primeiras

correspondentes a fase adidática.

Na fase adidática o aluno é o personagem principal na construção de seu

saber, sendo a etapa de institucionalização correspondente à fase didática, em

que o professor é o principal ator.

Page 10: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

10

Etapa 1. Dialética da ação.

Ela consiste em colocar o aprendiz numa situação, chamada de situação

de ação, tal que:

– coloca um problema para o aluno cuja melhor solução, nas condições

propostas, é o conhecimento a ensinar;

– o aluno possa agir sobre essa situação e que ela lhe retorne informações sobre

sua ação.

Etapa 2. Dialética da formulação.

Nesta fase de uma situação adidática, o aluno troca informações com

uma ou várias pessoas, que serão os emissores e receptores, trocando

mensagens escritas ou orais. Estas mensagens podem estar redigidas em língua

natural ou matemática, segundo cada emissor. Como resultado essa dialética

permite criar um modelo explícito que pode ser formulado com sinais e regras

comuns, já conhecidas ou novas. É o momento em que o aluno ou grupo de

alunos explicita por escrito ou oralmente, as ferramentas que utilizou e a solução

encontrada.

Etapa 3. Dialética da validação.

É a etapa na qual o aprendiz deve mostrar a validade do modelo por ele

criado, submetendo a mensagem matemática (modelo de situação) ao julgamento

de um interlocutor. De um lado, o emissor deve justificar a exatidão e a

pertinência de seu modelo e fornecer se possível, uma validação semântica e

sintática. O receptor, por sua vez, pode pedir mais explicações ou rejeitar as

mensagens que não entende ou de que discorda, justificando sua rejeição.

Etapa 4. Dialética da institucionalização.

O professor fixa convencionalmente e explicitamente o estatuto cognitivo

do saber. Uma vez construído e validado, o novo conhecimento vai fazer parte do

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11

patrimônio matemático da classe. Depois da institucionalização feita pelo

professor, o saber torna-se oficial e os alunos devem incorporá-lo a seus

esquemas mentais, tornando-o assim disponível para utilização de problemas

matemáticos. A partir da fase de institucionalização outras situações com maior

grau de dificuldades serão aplicadas.

Além dessas etapas, temos a dialética da devolução que ocorre na fase

adidática. Nela, o professor posiciona-se como mediador da construção dos

saberes por parte dos alunos.

Page 12: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

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CAPÍTULO III. O Teorema de Pitágoras – Um pouco de História

Os Parâmetros Curriculares Nacionais justificam a utilização da História

da Matemática com objetivo de responder aos porquês e não os pra quês, de

forma a contribuir para um olhar mais crítico, por parte dos alunos, sobre os

objetos de conhecimento matemático, ressaltando que esse de conhecimento

sofreu modificações ao longo da história até se consolidar.

Assim, trataremos o objeto do conhecimento matemático – O Teorema de

Pitágoras – sob o ponto de vista de seu aspecto histórico.

No antigo Egito, mesmo antes de Pitágoras, pessoas já utilizavam

algumas propriedades do triângulo retângulo para resolver problemas práticos.

Um triângulo retângulo particular feito com corda, como o representado abaixo,

era usado para construir ângulos retos, pois, esse tipo de retângulo possui a

propriedade pitagórica, garantindo um ângulo reto, ou seja, as medidas dos lados

desse tipo de retângulo correspondem a 3, 4 e 5, assim, Pitágoras percebeu a

relação entre esse triangulo e outros que eram formados por ternas semelhantes

e concluiu seu teorema.

Figura 0: Fonte: GIOVANNI, J. R.. JUNIOR, José R. G.. Matemática: Pensar e Descobrir. São Paulo: FTD, 2005. p. 256.

Page 13: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

13

Pitágoras (c. 569 – c. 480 a. C) nasceu na ilha de Samos, perto de Mileto,

onde 50 anos antes tinha nascido Tales. Embora alguns relatos afirmem que

Pitágoras foi discípulo de Tales, isto é, improvável dada diferença de meio século

de idade. Foi a partir das idéias desses dois grandes personagens que a

Matemática se inicia como ciência e pode se desenvolver enormemente nos

séculos seguintes.

Pitágoras viajou bastante, esteve no Egito e na Babilônia, há rumores que

também esteve na Índia, onde absorveu os conhecimentos matemáticos e as

doutrinas religiosas de cada região onde visitou, aliás, foi contemporâneo de

Buda, Confúcio e Lao Tse.

Voltando a sua terra natal, fundou em Crotona, sudeste da atual Itália,

uma escola, uma sociedade secreta, dedicada ao estudo da Matemática e

Filosofia, principalmente. Inúmeras biografias de Pitágoras foram escritas,

inclusive uma de Aristóteles, mas se perderam, dificultando sua caracterização,

além do fato de que sua sociedade secreta era comunitária, onde o conhecimento

e propriedade eram comuns, por isso a atribuição de descobertas não era feita a

nenhum membro específico, embora na antigüidade fosse usual dar todo crédito

ao mestre.

Sua sociedade secreta era politicamente conservadora, e havia um rígido

código de conduta, seus membros deveriam ser vegetarianos, pois a princípio

acreditavam na doutrina da metempsicose ou transmigração das almas, com a

preocupação conseqüente de que se podia matar um animal que fosse a nova

moradia da alma de um amigo morto. Mas, dentre as doutrinas rígidas da escola,

a que mais se destaca consistia na confiança que mantinha no estudo da Filosofia

ou “amor à sabedoria” e na Matemática “o que é aprendido”, supõe-se que estas

palavras tenham sido criadas pelo próprio Pitágoras para descrever suas

atividades intelectuais. Para eles, os Pitagóricos, a Matemática estava mais

relacionada com o amor à sabedoria do que com as exigências da vida prática, e

essa foi sua tendência a partir daí.

O Teorema de Pitágoras é um dos mais belos e importantes teoremas da

Matemática de todos os tempos e ocupa uma posição especial na história do

nosso conhecimento matemático, foi onde tudo começou, pois até então, a

Matemática se preocupava apenas com os problemas de exigência prática. Tales

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14

foi o primeiro a se preocupar em demonstrar, mas sem dúvida, foram os

Pitagóricos, que contribuíram de forma significativa na consolidação desta prática.

Não temos certeza qual foi á demonstração do teorema que Pitágoras

utilizou, há indícios que se trata de uma demonstração referente á áreas de

quadrados a partir dos lados de um triângulo retângulo, a partir daí, diversas

demonstrações do teorema apareceram. Em 1940 o matemático americano Elisha

Scott Loomis publicou 370 demonstrações do teorema.

Mas há provas concretas que os babilônios antigos conheciam o Teorema

de Pitágoras. Muitos tabletes de barro, dotados de 1800 a 1600 a.C foram

encontrados, decifrados e hoje estão em diversos museus.

Figura 1 - Plimptom 322

Um deles, chamado Plimptom 322, ou melhor, tableta número 322 na

Plimptom Collection da Columbia University, e o fragmento que foi que foi

preservado mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas de números .Os

pesquisadores descobriram que esta tabela continha ternos pitagóricos, ou seja,

lados de uma triângulo retângulo. Como o que restou é apenas um pedaço de um

Page 15: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

15

tablete, que deveria fazer parte de um conjunto de tabletes, não se sabe ao certo

como esses números foram encontrados.

Figura 2 - Podemos evidenciar na imagem acima uma tabela de 15 linhas com 3 colunas

como no tablete Plimptom 322.

Mais uma evidência de que os Babilônios conheciam os ternos pitagóricos,

está num tablete do museu da Universidade de Yale, é o único que contém

figuras; um quadrado e suas diagonais.

Figura 3 - Tablete em exposição na Universidade de Yale

Page 16: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

16

Neste pequeno fragmento de tablete, o lado do quadrado é igual a 30 e o

comprimento da diagonal aparece como 42, 25, 35. Como os Babilônios

escreviam os números na base 60, o comprimento de sua diagonal, em notação

moderna

Assim, dividindo por , resulta em , uma aproximação

excepcional para com seis casas decimais corretas.

Isto mostra, sem dúvida, que os Babilônios tinham conhecimento da

relação entre os lados de um triângulo retângulo. Não há nenhuma demonstração,

evidentemente, pois ainda estava longe de ser uma preocupação dos

matemáticos da época, afinal conheciam as receitas que davam certo e, com

elas, resolviam inúmeros problemas. Coube a Pitágoras, ou a sua sociedade

secreta, os pitagóricos, em demonstrar o teorema e romper com o modelo de

matemática praticado até o momento, dando início a uma nova forma de se fazer

matemática, de se estudar matemática e principalmente, de aprender matemática,

através de suas demonstrações.

Page 17: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

17

CAPÍTULO IV. OBJETO DE ESTUDO

O teorema de Pitágoras é importante, pois a partir dele construímos e

generalizamos diversas situações matemáticas, na área da Geometria em

relações métricas de triângulos, e Trigonometria em razões trigonométricas e

também possui grande importância no estudo da Física como, por exemplo, no

campo da Óptica.

Sua definição é determinada e dada por: o quadrado da hipotenusa é

igual à soma dos quadrados dos catetos. A demonstração pode ser realizada de

diversas maneiras que iremos mostrar de acordo com que aparece nos livros

didáticos analisados.

Baseado nos estudos de Pitágoras, Euclides faz a demonstração do

teorema desenhando três quadrados em cada um dos lados do triângulo 3 ,4 , 5,

dividindo depois esse quadrado em quadrados menores com lados de uma

unidade de medida.

Figura 5 – Demonstração do teorema por quadrados.

Analisando a figura temos que a área do quadrado desenhado sobre a hipotenusa

é igual à soma dos quadrados desenhados sobre os catetos.

5² = 4² + 3² → 25 = 16 + 9 → 25 = 25

Portanto: a² = b² + c²

Outra demonstração que aparece nos livros 2, 3 e 4 é a demonstração

através de áreas de quadrados inscritos.

Page 18: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

18

Figura 6 - Demonstração através de áreas de quadrados inscritos.

A demonstração a seguir é através do cálculo de áreas, utilizando

quadrado de medida de lado b + c.

Nesta figura VTRS é um quadrado de lado a e as demais figuras são

retângulos congruentes com lados de medidas a, b, e c.

área AMNP = área de VTRS + 4 . área de QVT

↓ ↓ ↓

( b + c )² = a² + 4 . b . c

2

( b + c)² = a² + 2 . b . c

b² + 2. b . c + c² = a² + 2 . b. c

b² + c² = a²

Page 19: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

19

Figura 7 – Cálculo de áreas.

Na figura 7, XFYL e HJLZ são quadrados com lados de medida c e b,

respectivamente; já EXLJ e LYGZ são retângulos congruentes com lados de

medida c e b.

, área RFGH = área HLJZ + área XFYL + 2 . área EXLJ

↓ ↓ ↓ ↓

( b + c )² = b² + c² + 2 . bc

Como os quadrados ABCD e EFGH têm lados de medidas iguais, eles têm

áreas iguais, ou seja:

a² + 2bc = b² + c² + 2bc → a² = b² + c²

Análise do ponto de vista didático

Essas demonstrações fazem com que o aluno mobilize seus

conhecimentos de áreas, principalmente áreas de triângulos e quadrados. Através

do quadrado é possível calcular as áreas de outras figuras inseridas no mesmo

Page 20: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

20

em função das medidas de seus lados, criando assim uma relação entre as

medidas dos lados das figuras inseridas e do quadrado.

Somando as áreas das figuras inseridas temos a área do quadrado externo

onde iremos encontrar a definição do Teorema de Pitágoras.

Existem outras demonstrações que envolvem lei dos cossenos, teorema de

Tales. Abaixo segue outras demonstrações mais complexas apropriadas para

serem desenvolvidas no Ensino Médio, pois exigem mais conhecimentos em

relações as demonstrações acima, que são orientadas para Ensino Fundamental

II.

As demonstrações abaixo foram retiradas da tese de Mestrado de Irma

Verri Bastian – Teorema de Pitágoras, defendida em 2000 na instituição Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).

Demonstração 1:

Usando-se a semelhança de triângulos pode ser feita a demonstração da

relação do Teorema de Pitágoras.

Figura 8 – Semelhança de triângulos.

Seja ABC um triângulo retângulo em A.

AH é a altura relativa à hipotenusa.

Page 21: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

21

I)

bcahamc

ac

bh

cmou

BCBA

ACHA

ABHBABCHBA

2

~

II)

mnhba

nh

hmou

BCBA

ACHA

ABHBABCHBA

2

~

III)

anbab

bn

chou

BCAC

ACHC

ABHAABCHAC

2

~

IV)

De amc 2 e nab 2 decorre que

)(2222 mnacbamancb

Mas como anm então 222 acb

Page 22: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

22

Demonstração 2

Do tipo algébrico atribuída a W. Rupert, 1900; utilizando-se uma

circunferência.

Figura 9 – Demonstração utilizando circunferência.

Seja o triângulo AHB retângulo em H.

Com centro em B e raio AB, traça-se a circunferência.

Pelo teorema das Cordas:

HDAHHCHE

mas ahHE bAH

ahHC bHD

bbahah ))((

222

222

bahbah

Page 23: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

23

Demonstração 3:

Demonstração do tipo algébrico por meio do uso de uma circunferência.

Figura 10 – Demonstração utilizando circunferência.

Seja o triângulo AHB retângulo em H, hAB . Com centro em A, traça-se a

circunferência de raio bAH .

Tem-se BDHBHC ~ pois )(21)(

^arcCHCHBm e

)(21)(

^arcCHCDBm , então

DHHC

BHBC

BDBH

.

abh

bha

222

222

bahbha

Page 24: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

24

Demonstração 4:

Demonstração do tipo algébrico por meio da razão entre áreas.

Figura 11 – Demonstração utilizando razão entre áreas.

Seja ABHC

Tem-se 222

)(21)(

21)(

21

~~a

yz

b

xz

h

zyxHBCAHCABH

Pois as áreas de figuras semelhantes são proporcionais ao quadrado da

razão de semelhança, sendo:

hAB xAC

aHB yCB

bHA zHC

Mas 222

)(21)(

21)(

21

ab

yzxz

h

zyx

Pela propriedade das proporções, podemos dizer que, a soma dos

antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente

está para seu conseqüente.

Então, 222

)(21)(

21

ab

zyx

h

zyx

Page 25: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

25

222 bah

Do fato de os antecedentes serem iguais, conclui-se que a igualdade dos

conseqüentes.

Demonstração 5

Demonstração do tipo algébrico utilizando-se cosseno.

Figura 12 – Demonstração utilizando cosseno.

Usando os triângulos retângulos AHC e ABC tem-se: ^

cosCCBCA

CACH

Nos triângulos retângulos AHB e ABC valem:

^

cos BBCBA

BABH

Então, CHCBCA 2)( e BHBCBA 2)(

Logo )()()( 22 HCBHBCACAB 222 )()()( BCACAB

Page 26: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

26

Demonstração 6

Demonstração do tipo algébrico ou geométrico, por meio da comparação

de áreas.

Figura 13 – Demonstração utilizando comparação de áreas.

A área do trapézio retângulo de bases b e c e altura )( cb é igual a

2))(( cbbc .

Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de três triângulos

retângulos:

222

2abcbc

Então 22

22

)( 22 abccb

i.é. 222 22 abccbcb 222 acb

Page 27: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

27

Demonstração 7

Demonstração de Bhaskara, século XII d.C. Segundo os historiadores,

Bhaskara desenhou apenas a figura com o comentário “Veja!”. Entretanto, não

fica muito claro se “a figura” compreende o quadrado inicial (Fig. 2) e também a

reconfiguração (Fig. 3). Se somente a Fig. 2 for considerada, a demonstração

pode ser pensada como sendo do tipo algébrico, mas a inclusão da Fig. 3, a qual

é uma reconfiguração da Fig. 2, Leva a crer numa demonstração do tipo

geométrico.

Figura 14 – Demonstração de Bhaskara.

O quadrado sobre a hipotenusa na Figura 14 (Fig. 2) é decomposto em

quatro triângulos, cada um deles congruente ao triângulo dado, mas um quadrado

cuja medida de lado é b - c.

Dispondo as partes como mostra a Figura 14 (Fig. 3), obtém-se dois

quadrados justapostos.

Mas a área da Figura 14 (Fig. 2) é igual a área da Figura 14 (Fig. 3).

Como área da Figura 14 (Fig. 2) é igual a a2, área da Fig. 3 é b2 + c2

Então, 222 cba

Algebricamente, na Figura 14 (Fig. 2):

22)(2

4 acbbc , então: 222 22 acbcbbc

222 acb

Page 28: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

28

Demonstração 8 - Hindu

Demonstração geométrica por transposição de elementos, por meio de

equivalência.

Figura 15 – Demonstração de Hindu.

Retirando-se os quatro triângulos hachurados de cada uma das figuras

obtêm-se:

Na Figura 15 (Fig. 1), um quadrado de lado a e na Figura 15 (Fig. 2), um

quadrado de lado b e um quadrado de lado c.

Em outra palavras, o complementas dos quatros triângulos, na Figura 15

(Fig. 1), é o quadrado que tem como lado a hipotenusa do triângulo retângulo.

Reconfigurando-se de modo conveniente os quatro triângulos, o complementar

deles, em relação ao quadrado maior, é a reunião dos quadrados cujos lados são

os catetos.

Logo, a área do quadrado de lado “a” é a soma das áreas dos quadrados

cujos lados medem “b” e “c” ou seja, cba 22

Algebricamente:

Para a Figura 15 (Fig. 1): 2

4)( 22 bcacb

Para a Figura 15 (Fig. 2): 2

4)( 222 bccbcb

bccbbca 22 222 222 cba

Rigorosamente, o que ocorre é a seguinte Figura 15 (Fig. 3):

Page 29: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

29

A partir do triângulo ABC, retângulo em A, traça-se o quadrado APQR,

tomando

ABNRMQPC e

ACBRQNPM

Quando os quatro triângulos retângulos, que tem respectivamente as

mesmas medidas para os catetos, são “recortados”, está sendo admitido

implicitamente o fato de que as hipotenusas e os ângulos agudos têm também,

respectivamente, as mesmas medidas, pois os triângulos são os mesmos.

É necessário utilizar o caso L.A.L de congruência de triângulos para

justificar que BCMN é um quadrado. Em detalhes:

RNBQMNPCMABC

Então BCNBMNCM ,

Resta mostrar que os ângulos do quadrilátero BCMN são retos.

Figura 16 – Ampliação da figura 3.

Das congruências do item anterior, decorrem:

xMCPm )(^

e yCMPm )(^

Page 30: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

30

Mas oyBCMmx 180)(^

Como oyx 90 , segue que BCM^

é reto (analogamente para os outros

triângulos).

As demonstrações a seguir é proveniente de uma monografia de conclusão

do curso de licenciatura em Matemática dos autores: Ana Caroline Silva

Nascimento, Augusto Raimundo Santana Aguiar, Inês Meira Lima, da

Universidade de estadual do Sudoeste da Bahia em 2004.

Demonstração 9 -Tradicional

No triângulo BAC retângulo em A, a altura AD,(perpendicular a BC) relativa

a Hipotenusa, forma dois ângulos semelhantes ao próprio triângulo, em vista da

congruência dos ângulos (BÂD =C , complemento de B, CÂD= B, complemento

de C). Portanto, temos proporcionalidades entre os dois lados homólogos, um

para cada triângulo parcial com o total:

Figura 17 – Demonstração por congruência de triângulos.

Page 31: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

31

222

22

22

22

2

2

)(

acbaacb

nmacbanamcb

ambanc

bm

ab

cn

ac

Análise do ponto de vista didático

A demonstração acima irá mobilizar o conhecimento já existente no aluno

sobre o conteúdo de relações métricas em triângulos retângulos.

Demonstração 10 Leonardo Da Vinci

O italiano Leonardo da Vinci (1452- 1519) foi um homem brilhante, cujas

idéias estavam á frente de seu tempo. Além de ter sido um excelente pintor e

escultor, aprofundou-se em diversas áreas do conhecimento, entre elas,

anatomia, arquitetura, astronomia e botânica. O gênio criador de Mona Lisa

também concedeu uma demonstração do teorema de Pitágoras.

Figura 18 – Demonstração Leonardo Da Vinci.

Page 32: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

32

Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI E GEJI são congruentes, pois têm a

mesma forma e as mesmas medidas. Logo os hexágonos ABCDEF e GEJIHF

têm a mesma área.

Daí resulta que a área do quadrado FEJH é soma dos quadrados ABGF e

CDEG.

Análise do ponto de vista didático

O aluno irá tentar descobrir o teorema através do calculo de áreas de

quadriláteros.

Demonstração11 Papus

Não se trata apenas de uma nova demonstração, mas de uma generalização

bastante interessante do teorema de Pitágoras. Em vez um triângulo retângulo,

toma-se um triângulo qualquer ABC, em vez de quadrados sobre os lados, toma-

se paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, exigindo-se que o terceiro

cumpra a condição de CD ser paralelo a há e com o mesmo comprimento.

Figura 19 – Demonstração Papus.

Page 33: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

33

O teorema de Papus afirma que a área do paralelogramo BCDE é a soma

das áreas de ABFG e AIJC. A demonstração se baseia na simples observação de

que dois paralelogramos com base de mesmo comprimento têm a mesma área.

Assim por um lado, a mesma área que BMNE. Seguem-se as áreas de

BMNE e ABFG são iguais. Da mesma forma são iguais as áreas de CDNM e

CAIJ. Portanto, a área de BCE é a soma das áreas de ABFG e CAIJ.

O teorema de Pitágoras é o caso particular do de Papus. Basta tomar o

triângulo ABC retângulo e três quadrados em lugar dos três paralelogramos.

Análise didática

O teorema é demonstrado pela área de um triângulo retângulo e três

quadrados.

Demonstração 12. Bháskara

Bháskara (1114- 1185), matemático hindu, ensinou no maior centro do

país, em Ujjaim, e seu trabalho mais célebre foi o manuscrito Lilavati (nome de

sua filha).

Certamente nenhuma demonstração do teorema usa menos palavras que

a do matemático Bháskara, que se limitou a desenhar a figura e escrever junto a

ela a palavra “veja”. Um pouco de álgebra, porém, explica o que Bháskara via de

tão fascinante. Vamos acompanhar outra demonstração de Bháskara.

Desenhamos quatro triângulos retângulos.

Figura 20 – Demonstração Bháscara.

Desenhamos e recortamos um quadrado cujo lado seja igual à diferença entre os

catetos do triângulo retângulo, o lado do quadrado deve ser:

c-b (suponhamos c>b)

Page 34: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

34

Figura 21 – Demonstração Bháscara.

Com os quatros triângulos e este quadrado, montamos um quadrado

maior de lado a

Page 35: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

35

Figura 22 – Demonstração Bháskara.

A área da figura toda é igual à soma das áreas das partes em que ela foi

dividida, isto é, a área do quadrado de lado a é igual à área do quadrado de lado

c-b, mais as áreas dos quatro triângulos.

Cada triângulo retângulo é metade de um retângulo de lados b e c, a área

de cada de um dos quatro triângulos será igual a bc/2.

Figura 23 – Demonstração Bháskara.

É uma prova que utiliza as áreas do quadrado, tem uma semelhança com a

prova dada por Pitágoras.

Análise didática

A demonstração de Bháskara é feita na formação de quadrado por quatro

triângulos retângulos e a relação da área do quadrado com as áreas dos

triângulos.

Demonstração 13

Baseada na justaposição de figuras

Tomamos um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c.

Recortamos oito cópias deste triângulo e mais dois quadrados de lados iguais á

diferença dos catetos do triângulo.

Page 36: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

36

Figura 24 – Demonstração por justaposição de figuras.

Figura 25 – Demonstração por justaposição de figuras.

Verificamos que elas se encaixam perfeitamente, com efeito, na Figura

13, em torno de cada vértice de quadrado Q os ângulos somam 360º. A partir

desse fato e da análise dos comprimentos dos dados do triângulo verifica-se que

a figura maior, em I, é um quadrilátero, cujos ângulos medem 90º e que tem os

quatro ângulos iguais. Seguindo raciocínios semelhantes, constata-se que a figura

II é composta de dois quadrados justapostos.

Como as figuras I e II foram montadas com peças iguais, temos:

Área da figura I = Área da figura II, mas a figura I é um quadrado de lado

a e, portanto sua área é a². A figura II compõe-se de dois quadrados: um do lado

b (à esquerda da linha pontilhada). Logo sua área é b² + c².

Page 37: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

37

Demonstração 14 Paulus Gerdes

Paulus Gerdes, estudioso de Cestaria (cestas trançadas) e suas relações

com o conhecimento no passado dos povos índios e a possível incorporação

dessa atividade ao ensino, o eminente educador forneceu demonstrações (

visualizações ) quantas desejarmos do teorema de Pitágoras com os seus

quadrados denteados.

Figura 26 – Demonstração Paulus Gerdes.

Consideramos um triângulo retângulo de “hipotenusa denteada” de

catetos 3 e 4 unidades.

Encostemos o quadrado denteado à hipotenusa e os quadrados (reais)

aos catetos.

O quadrado denteado se ajusta perfeitamente à hipotenusa denteada.

Concluindo: o quadrado da “hipotenusa denteada” é igual á soma dos

quadrados catetos.

Page 38: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

38

Demonstração 15. Euclides

A proposição de Euclides é o teorema Pitágoras, com uma demonstração

creditada ao próprio Euclides.

Figura 27 – Demonstração Euclides.

Suponhamos que o ângulo BAC da figura seja o ângulo reto do triângulo

ABC. Os quadrados BG, BE e CH são construídos sobre os respectivos lados, e

AL é traçada paralela á BD (OU CE).

Mostra-se que os pontos C, A, G assim como os pontos B, A, H são

colineares. Isto é, está na mesma reta. Então se prova que o triângulo ABD é

congruente ao triângulo FBC, (Euclides dizia os “iguais”) pela proposição 4, I, que

é a afirmação de

Euclides do caso L. A.L. de congruência. O retângulo BL é o dobro do

triângulo FBC, portanto o retângulo BL é igual ao quadrado BG.

Page 39: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

39

Analogamente, pode-se provar que o retângulo CL é igual ao quadrado

CH. Então o quadrado BDEC, formado pelos dois retângulos BL e CL aos dois

quadrados BG e CH.

A figura às vezes é mencionada como “cadeira da noiva”, supostamente

porque lembra a cadeira que as noivas orientais eram às vezes transportadas nas

costas de um escravo para a cerimônia matrimonial.

Análise didática

A demonstração é feita por congruência de triângulos, com os lados e

ângulos congruentes faz-se as relações entre as medidas dos lados quadrados e

dos triângulos formados por retas que saem dos vértices dos quadrados em

direção aos vértices do triângulo retângulo.

O TEOREMA DE PITÁGORAS ATRAVÉS DE RECORTES

A demonstração a seguir pode ser encontrada no site da Universidade

Federal do Rio Grande do Sul

Como sabemos, o Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo

retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses

quadrados terão área a2, b 2 e c2.

Figura 28 – Teorema de Pitágoras através de recortes.

Page 40: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

40

Podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do

quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) é igual à soma das áreas dos

dois quadrados menores (construídos sobre os catetos).

Vamos, então, trabalhar com uma das muitas demonstrações do Teorema

de Pitágoras através de recortes.

Figura 29 – Teorema de Pitágoras através de recortes.

Veja, com o auxílio das cores, como a área do quadrado maior é igual à

soma da área dos dois quadrados menores.

Procure identificar com que critérios foram construídos os recortes nos

quadrados.

Page 41: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

41

Figura 30 – Teorema de Pitágoras através de recortes.

CRITÉRIOS DE RECORTE

Os critérios de recorte da figura serão nossas hipóteses na demonstração.

As diagonais pontilhadas desenhadas na figura vão auxiliar a visualização durante

a demonstração.

Considere o quadrado médio (de lado AB).

Encontrar o centro M deste quadrado.

Trace retas paralelas aos lados do quadrado maior (de lado BC) passando por M.

O quadrado médio está, agora, divido em quatro partes.

Observe que para montar o quadrado grande basta transladar as peças do

quadrado médio e completar o centro com o quadrado menor. Os vetores de

Page 42: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

42

translação têm origem no ponto M e extremidades nos vértices do quadrado

maior. A "figura chave" desta demonstração é o paralelogramo BCDF.

1. Os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 que compõem o quadrado médio são

congruentes, pois os lados DF e EG resultam da rotação das diagonais,

mantendo, assim, a área das figuras constante. Tente observar na figura

com o auxílio das diagonais pontilhadas.

2. Os segmentos DF e CB são congruentes, assim como os segmentos CD e

BF, pois são lados opostos de um paralelogramo. Procure observar na

figura.

3. Os segmentos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) e portanto, com

comprimento igual a metade da medida do lado do quadrado maior (de 1 e

2).

4. Como os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem um ângulo reto, eles encaixam-

se no quadrado maior.

5. O quadrado vermelho restante tem lado AC, pois CD-AD=AC e CD=BF.

Page 43: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

43

CAPÍTULO V

Análise de propostas de ensino do conceito

Livros Didáticos

O estudo visa comparar e analisar como o Teorema de Pitágoras é

proposto nos livros didáticos, confrontando com os PCNs. Os livros selecionados foram editados entre os anos de 2000 a 2010,

suas análises são importantes, pois irão determinar ou orientar a forma de

pensamento dos alunos nesta época. Foram escolhidos livros deste período

porque se acredita que estes são os que mais se aproximam da proposta dos

PCNs. Os alunos escolhidos são alunos de sétima série (8º ano atualmente) e

oitava série (9º ano atualmente), pois é nesta fase o primeiro contato com a dos

alunos com o Teorema de Pitágoras. Sua inserção nas séries está relacionada de

acordo com o método educativo de cada instituição, que julga quando é

necessária a introdução do conceito.

Foram analisados quatros livros (um de sétimas 1 Jogos e conceitos e

três de oitava série 2-Pensar e Descobrir, 3 – Praticando Matemática e 4

Matemática Idéias e Desafios) todos trazem a parte histórica de como Pitágoras

determinou o teorema, através das cordas com nós. Todos têm impressão

coloridas e figuras de diálogos entre garotos que vão interpretando e decifrando

passo a passo o Teorema de Pitágoras completando assim o texto teórico, há

exemplos de como aplicar ou identificar o triângulos retângulos em outras figuras

geométricas para que possa ser aplicado o teorema. Os exercícios apresentados

são diversos alguns são de triângulos retângulos e os alunos devem determinar

um dos lados, outros são compostos de figuras geométricas que exige do aluno a

percepção de identificar os triângulos retângulos e exercícios que exigem do

aluno uma interpretação maior onde o aluno irá aplicar o teorema em situações

cotidianas como cálculos de alturas de edifícios, distâncias percorridas,

construções de engenharia, etc.

Para uma análise detalha foram utilizados como critérios:

Page 44: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

44

1. Introdução histórica: o uso do teorema por povos egípcios, informações

sobre Pitágoras e a demonstração do teorema.

2. Demonstração: através da reconfiguração da figura, utilização de relações

métricas para a dedução do teorema.

3. Dedução de fórmulas: onde será determinada a diagonal do quadrado e

altura do triângulo eqüilátero.

4. Aplicação do teorema: exercícios resolvidos e propostos, alguns trazem

exercícios de vestibulares e da prova aplicada pelo governo SARESP.

5. Variáveis didáticas: numéricas (números naturais e racionais), enunciados

com ou sem figuras, uso de figuras planas, e posição entre os triângulos.

6. Contrato Didático

De acordo com o PCN a introdução da História da Matemática junto com

o modelo teórico é importante para a formação do aluno, pois o aluno

reconhecerá a Matemática como uma produção humana, que foi construída de

acordo com as necessidades de um povo em determinada época. Isso tem como

objetivo estimular o aluno a desenvolver seu conhecimento de acordo com as

necessidades de resolução das tarefas, contribuindo assim com um olhar crítico

em relação à construção do saber.

Em todos os livros temos a apresentação da história de Pitágoras, onde

viveu e como descobriu o Teorema de Pitágoras através dos povos egípcios.

O segundo momento que trata da demonstração e acordo com o PCN o

conhecimento, isto é, a demonstração deve ser construída junto com o aluno. O

professor deve usar metodologias que ajudem o aluno a desenvolver o

conhecimento e chegar à conclusão esperada conceitualmente. No livro de

sétima série a demonstração é feita pela corda de nós com uma unidade de

distância entre os nós e pela demonstração dos quadrados um em cada lado do

triângulo.

No livro 2 temos a mesma demonstração do livro 1mas temos uma que

diz que Pitágoras teve a intuição do seu teorema fazendo observações em

mosaicos de áreas, dando como exemplo o mosaico. Após essas demonstrações

propõe exercícios e dá seqüência no desenvolvimento da teoria a demonstração

Page 45: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

45

da diagonal do quadrado, a altura do triângulo eqüilátero e propõe exercícios e

parte para as demonstrações das relações métricas no triângulo retângulo. O livro 3 e 4 traz a demonstração das cordas, dos quadrados colocados

em todos os lados do triangulo e uma demonstração de quadrado inserido dentro

de outro quadrado. Um quadrado de lado (b+c) foi construído por quatro

triângulos retângulos de lado b e c. A área do quadrado d será igual a soma a

soma das áreas dos quatros triângulos com a soma do quadrado inscrito de lado

a. Em seguida propõe o estudo das relações métricas no triângulo retângulo.

Enfatizando o livro 4 como uma atividade de manipulação que é uma corda onde

os alunos farão cinco nós todos a mesma distância, onde deverão tentar forma

um triângulo retângulo.

O terceiro e o quarto momento estão caracterizados pela dedução das

fórmulas vem proposto no PCN que os alunos sejam estimulados a desenvolver

métodos de resolução de problemas e não fique presa a aplicação de fórmulas. O

professor deve escolher atividades que estimulem o caráter investigativo dos

alunos fazendo - os encontrar os caminhos de raciocínio para a solução do

problema.

No livro 1 há atividades onde o aluno irá identificar o triângulo retângulo

em outras figuras planas e aplicar a fórmula. Porém em sua teoria não demonstra

o teorema em figuras planas.

Nos demais livros há exercícios de aplicação de fórmulas, há exercícios

que apresentam situações, as quais os alunos deverão mobilizar seus

conhecimentos para identificar a tarefa e meios de resolvê-la e por fim aplicar o

Teorema de Pitágoras. Pode ser citada como exemplo no livro 2 a construção de

um barco com uma folha de papel, no livro 3 a medição da distância entre as

margens de rio e no livro 4 o cálculo da altura de um edifício fazendo comparação

com a altura de um poste.

No quinto momento as varáveis predominantes é o cálculo numérico,

figuras providas de enunciados e problemas que devem ser interpretados. No livro

1 como nos demais há presença de cálculo numérico com números naturais,

racionais e irracionais, no livro 2, 3 e 4 há registro de figuras e problemas na

língua materna e várias posições de triângulos retângulos.

Page 46: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

46

O último momento que é o contrato didático que está de acordo com o

PCN, pois os livros, menos o livro1, trazem situações em que o aluno irá ter a

oportunidade de traçar seus meios de investigação e seu momento de reflexão. O

professor deve propiciar condições para que o aluno mobilize seus

conhecimentos prévios e tente resolver a situação.

Page 47: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

47

CAPÍTULO VI

Situação-problema e seqüência didática

A situação-problema consiste na determinação de distâncias entre

cidades. Para tanto, a Teoria das Situações Didáticas fundamenta as etapas

desse processo.

Situação - problema

Determine a distância entre as cidades A e B, bem como das cidades A e

C, sabendo que a distância da cidade A até a cidade E é de 12 Km, da cidade B

até a cidade E de 16 Km e da cidade E até a cidade C de 9 Km.

Figura 36 - Situação problema.

De acordo com a Teoria das Situações Didáticas as três etapas

seguintes, caracterizam-se pela fase adidática, onde as dialéticas de devolução,

ação, formulação e validação são exigidas, no entanto, a validação da situação e

consequentemente do teorema de Pitágoras, podem ser mais difíceis nas duas

primeiras etapas, pois, a cada nova etapa, novos meios para a resolução do

problema são disponibilizados. No entanto, a institucionalização se realizará após

a validação das três etapas.

Page 48: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

48

Primeira etapa

Na primeira fase, introduzimos o problema em uma situação real para

despertar um maior interesse nos alunos, desse modo, os alunos terão a

oportunidade de ter um primeiro contato com a situação, devendo reconhecer os

elementos que compõem a situação, passando a mobilizar conhecimentos

prévios, tais como medidas de segmento de reta, distância entre os pontos,

identificação de figuras geométricas e identificação de ângulos.

Entretanto, caso eles apresentem dificuldades nessa análise, o professor

como mediador, irá levantar questionamentos, sempre que necessário, seguindo

uma ordem gradativa, justamente, para ficar mais claro aos alunos o objetivo a

tratar na situação.

Possíveis intervenções do professor ao longo do processo inicial:

Antes de determinarem as distâncias pedidas, procurem identificar na

figura, elementos ou formas aos quais vocês já estudaram ou tiveram

contato.

De acordo com a análise de vocês, o que vocês podem destacar?

Em relação à condição de existência de triângulos, o que vocês podem

dizer a respeito do lado AB? E do lado AC?

Os triângulos são retângulos? Justifique.

Procurem relacionar as medidas indicadas nas figuras, a fim de

determinarem as medidas desconhecidas.

Lembrando que as intervenções citadas acima serão feitas, caso sejam

necessárias, podendo o professor adaptá-las, dependendo do desenvolvimento

dos alunos no processo, além disso, entre uma intervenção e outra, o professor

deixará que os alunos façam análises sobre a situação, chegando a conclusões

sobre ela, ou seja, os deixará como personagens principais do processo.

É claro que muitos alunos podem sentir dificuldades em relacionar as

medidas, pensando nos triângulos retângulos, podendo misturá-las, chegando a

não determinarem nada ou até mesmo determinarem outras coisas que não vão

de encontro com o objetivo proposto pela situação. No entanto, existe a

possibilidade de os alunos chegarem a respostas válidas ou em alguma relação,

Page 49: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

49

porém, para garantir as repostas corretas, é necessário algo mais claro que

mostre realmente a relação existente entre os catetos e a hipotenusa de

triângulos retângulos, no caso, a segunda parte do processo irá buscar isso.

Segunda Etapa

Esta etapa consiste em propor aos alunos dois conjuntos de triângulos

para eles manipularem, um de cada vez, sendo que cada conjunto é composto

por 8 triângulos congruentes, assim, os alunos deverão identificar as relações

dessas figuras com a situação, que no caso, dizem respeito aos mesmos

triângulos que podem ser vistos na figura da situação.

Na manipulação do primeiro conjunto, os alunos deverão montar, unindo as

peças e sem sobreposição, um quadrado com uma figura quadrangular no meio,

de modo que a medida do lado desse quadrado seja de 28 cm.

Figura 37 – Situação problema.

Page 50: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

50

Figura 38 – Situação problema.

Page 51: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

51

Tendo em vista os objetivos propostos pela situação, os alunos após a

montagem do quadrado, deverão identificar mais um “quadrado” que se formará

com a união dos lados maiores dos triângulos retângulos. Será exigido que os

alunos justifiquem porque se formou um “quadrado”, verificando que os ângulos

desse novo “quadrado” são congruentes, pelo fato de serem formados por

ângulos obtidos através das diagonais dos retângulos, que por sua vez, são

complementares, bem como observando que a medida dos lados do novo

“quadrado” obtido é a mesma, já que se trata dos lados maiores dos triângulos

retângulos congruentes.

Figura 39 – Situação problema.

Após a montagem do quadrado com um furo retangular no meio e a

identificação do outro “quadrado” obtido com os lados maiores dos triângulos

retângulos, espera-se que os alunos cheguem à conclusão que a área do

quadrado obtido com a união dos lados maiores dos triângulos retângulos pode

Page 52: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

52

ser determinada, calculando a diferença entre a área do quadrado de lado 28 cm

e a soma das áreas de 4 triângulos retângulos.

Figura 40 – Situação problema.

Logo, sabendo-se a área do “quadrado” obtido com a união dos lados

maiores dos triângulos retângulos é possível determinar a medida do lado desse

“quadrado” e conseqüentemente a medida do lado maior do triângulo retângulo.

Este lado corresponde na situação-problema a distância da cidade A até a cidade

B, isso através da relação existente entre a medida do lado do quadrado e a área

do quadrado.

Até esse momento os alunos terão resolvido um problema da situação, a

distância entre as cidades A e B, mas, voltando ao momento, antes da entrega

dos materiais manipuláveis, em que os alunos deverão relacionar as medidas já

determinadas pela situação. A fim de determinar as outras duas, o professor fará

um novo questionamento, focando o triângulo retângulo maior, que no caso será o

seguinte: vocês conseguem encontrar uma relação entre as medidas desse

triângulo retângulo? Nesse momento os alunos passarão a trabalhar novamente,

buscando essa relação, mas, considerando que alunos já tenham encontrado

Page 53: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

53

uma relação, esse momento de manipulação servirá para validar ou não a relação

encontrada na primeira etapa.

Se caso os alunos não encontrarem a relação entre as medidas do

triângulo retângulo maior, esses dependerão do outro conjunto de triângulos

retângulos para possivelmente reforçarem as idéias nessa busca da relação entre

as medidas de triângulos retângulos. Para os alunos que encontraram alguma

relação o outro conjunto ficará como um novo teste para a relação, levando-se em

conta que ao se propor o novo conjunto de triângulos retângulos congruentes, os

alunos irão manipulá-los, buscando determinar a medida desconhecida, seguindo

o mesmo processo referente ao triângulo maior. Estando essa medida

determinada, os alunos tentarão relacionar as medidas do triângulo menor.

Terceira etapa

Essa etapa busca uma validação mais adequada do teorema de

Pitágoras por parte dos alunos, no caso, referente à sua forma geral. Assim,

propomos que os alunos nomeiem os vértices dos triângulos retângulos com

letras maiúsculas e os segmentos de reta que formam os triângulos retângulos

com letras minúsculas, a fim de que os alunos convertam o registro geométrico

para o registro algébrico, passando em seguida, a relacionarem as áreas das

figuras seguindo o mesmo processo da segunda etapa, que por sua vez, diz

respeito à determinação da área do quadrado obtido com os lados maiores dos

triângulos retângulos, tendo em vista também, a busca da relação entre as

medidas dos lados de um triângulo retângulo.

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Figura 41 – Situação problema.

Essa determinação envolve o cálculo de áreas das sub-figuras.

- A área do quadrado ABCD é (b+c)2.

- A área do triângulo retângulo é (bc) / 2.

- A área do quadrado MNPQ é (b+c)2 - 4(bc) / 2.

Desenvolvendo a equação na forma geral, ficará

Área do quadrado MNPQ = b2+c2

Conforme a figura anterior, chamamos de “a” o lado do quadrado MNPQ, ou seja,

a área MNPQ é a2. Podemos escrever que

a2 = b2 + c2

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Dessa maneira, após as possíveis validações dos alunos em torno da

forma geral do teorema, confrontando com as etapas anteriores, o professor

descontextualiza o teorema de Pitágoras, com o objetivo de institucionalizar que a

medida da hipotenusa “a” e a medida dos catetos “b” e “c”, segue a expressão

geral a2 = b2 + c2 para um triângulo retângulo qualquer. Portanto, em qualquer

triângulo retângulo, a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao

quadrado da medida da hipotenusa.

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Conclusão

Esse trabalho propõe mais uma forma de como introduzir o objeto

matemático Teorema de Pitágoras de um modo diferente do tradicional, levando-

se em conta algumas pesquisas realizadas sobre esse conceito e sua

transposição no ensino.

E com base no que analisamos, podemos considerar que o Teorema de

Pitágoras ainda é um problema para muitos alunos, pois, os alunos muitas vezes

não percebem que esse teorema é válido somente em triângulos retângulos, além

disso, eles possuem dificuldades para estabelecer essa relação entre as medidas

de um triângulo retângulo qualquer. Isso devido a pouca bagagem que os alunos

possuem para a apropriação de novos conhecimentos, bem como pela

inadequada transposição desse teorema no ensino. Logo, sentimos a

necessidade de propor uma situação-problema e seqüência didática que procura

amenizar esses problemas de identificação, aplicação e dedução da fórmula, que

por sua vez, conta também com materiais manipuláveis que fazem

correspondência com a situação-problema, exigindo do aluno a mobilização de

diversos conhecimentos e o desenvolvimento de diversas estratégias para a

apropriação do Teorema de Pitágoras, ficando o professor como planejador e

mediador desse processo, caracterizando uma situação adidática, esta, defendida

por Brousseau.

Page 57: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

57

Referências:

Livros

Boyer, Carl B. História da Matemática, 2ª Ed. São Paulo: Edgard Bluncher,

1996 p 23-25; 33.

Barbosa, JLM; Geometria Euclidiana Plana , 10ª Ed, Rio Janeiro: SBM,

2006 p 125-126

Wagner, E; Teorema de Pitágoras e Áreas, 1ª Ed, Rio de Janeiro: SBM

2009 p 1 – 4.

Contador, PRM; Matemática uma breve história vol I, 1ª Ed, São Paulo:

Komedi, 2004 p 84-100.

Garbi, G G; O Romance das Equações Algébricas, 1ª Ed, São Paulo:

Makron Books, 1997 p15-18.

Souza, Maria Helena Soares de. Jogos e Conceitos Matemáticos. 1ªed.

São Paulo: Editora Ática, 2009

Andrini, Álvaro e Vasconcellos, Maria José. Praticando Matemática, 1ª ed.

São Paulo: Editora Brasil, 2002

Mori, Iracema e Onaga, Dulce Satiko. Matemática Ideias e Desafios. 14ª

ed. São Paulo: Editora Saraiva 2006

Giovanni, José Ruy e Júnior, José Ruy Giovanni, Matemática, Pensar e

Descobrir. 1ª ed. São Paulo: Editora FTD, 2002

GIOVANNI, J. R. JUNIOR, José R. G. Matemática: Pensar e Descobrir.

São Paulo: FTD, 2005.

ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática.

Editora UFRP, 2007.

Sites

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/curgeo/modulo/tpit.html

grandeabobora.com/o-ultimo-teorema-de-fermat.htm

educar.sc.usp.br/.../index.html

Page 58: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

58

Trabalhos Acadêmicos

Irma Verri Bastian – Tese de Mestrado em Educação Matemática: Teorema

de Pitágoras, Universidade Pontifícia Católica PUC SP 2000

Ana Caroline Silva Nascimento, Augusto Raimundo Santana Aguiar, Inês

Meira Lima – Monografia de Conclusão de Curso: Teorema de Pitágoras,

Universidade de estadual do Sudoeste da Bahia em 2004.

Page 59: PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

59

APÊNDICE

Com mais de 400 demonstrações é claro que não é difícil encontramos outras

formas atraentes para aprimorar e/ou desenvolver novos conhecimento por parte

dos alunos. Logo, propomos mais uma demonstração geométrica segundo a

Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau.

O TEOREMA DE PITÁGORAS SEGUNDO A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS

Resumo:

Propusemos nesta situação descrever o processo de aprendizagem na

construção de conceitos matemáticos segundo a teoria das situações didáticas.

Discutiremos aqui no desenvolver desta situação, as noções de situação didática,

situação adidática e devolução. O objeto matemático a ser alcançado é o teorema

de Pitágoras. Composta por quatro etapas de modelagens de situações didáticas:

ação, formulação, validação e institucionalização onde será alcançado o objeto

matemático, o teorema de Pitágoras.

Palavras chaves: didática da matemática, teoria das situações didáticas, teorema

de Pitágoras.

Para analisar uma situação problema que leve o aluno a perceber que em

um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados

dos catetos, propusemos apresentar essa construção por meio de recortes, como

mostra o enunciado:

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a) Construir um triângulo retângulo com cateto CA e cateto AB e hipotenusa CB

e construir sobre os catetos e sobre a hipotenusa quadrados de mesmos

lados, referente seus respectivos segmentos e tente encontrar relações entre

elas.

b) Encontre um ponto médio no quadrado AB. Trace paralelas aos segmentos de

CB, recorte as figuras construídas e tente compará-las.

Fundamentando cada parte da resolução sobrepondo a cada fase apresentada anteriormente.

Brousseau propõe que as situações didáticas sejam colocadas na forma de

jogo e neste, ganha quem apresentar solução que valide suas ideias e

conclusões.

Para esta atividade é necessário alguns conhecimentos prévio por parte do aluno

ou do grupo de alunos, e material básico, são eles:

1) Conhecer as propriedades que define um triângulo

2) Saber diferenciar catetos de hipotenusa

3) O conhecimento sobre paralelismo é relativo

4) Régua e compasso

Etapa 1. Dialética da ação

Conhecendo somente a parte (a) do enunciado, os alunos começam a

discutir e com o conhecimento que possui sobre triângulos e construção

geométrica, conclui que a figura proposta no enunciado seria esta:

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Figura 32 – Construção geométrica.

Etapa 2. Dialética da formulação.

Os alunos agora tentam encontrar alguma relação, mas os dados da

situação são insuficientes e não consegue encontrar relação com os quadrados

construídos.

Essa situação é característica do fator de dificuldades, de contradições e

de desequilíbrio, classificado com meio por Guy Brousseau. É neste meio que o

aluno se adapta e aprende.

A situação adidática, como parte essencial da situação didática é uma

situação na qual a intenção de ensinar não é revelada ao aprendiz, mas foi

imaginada, planejada e construída pelo professor para proporcionar a estes

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condições favoráveis para a apropriação do saber que deseja ensinar. Segundo

Guy Brousseau uma situação adidática tem as seguintes características:

O problema matemático é escolhido de modo que possa fazer o aluno agir,

falar, refletir e evoluir por iniciativa própria;

O problema é escolhido para que o aluno adquira novos conhecimentos

que sejam inteiramente justificados pela lógica interna da situação e que

possa ser construídos sem apelos às razões didáticas;

O professor, assumindo o papel de mediador, cria condições para o aluno

ser o principal ator da construção de seus conhecimentos a partir da(s)

atividades(s) proposta(s).

O professor seu papel de mediador e concede as seguintes informações:

1) Considere o quadrado médio (de lado BC).

2) Encontrar o centro M deste quadrado.

3) Trace retas paralelas aos lados do quadrado maior (de lado AC) passando

por M.

O professor como mediador interfere e desperta novos conhecimentos (ou

conhecimentos antigos). A devolução dada pelo professor faz os alunos

avançarem com o jogo e chegam a uma nova imagem na figura construída:

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Figura 33 – Construção geométrica.

Com a devolução do professor os alunos avançam com o jogo e recortam

as figuras obtendo as seguintes figuras:

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Figura 34 – Figuras recortadas da Figura 33.

Etapa 3. Dialética da validação.

Figura 35 – Manipulação das figuras recortas.

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Com as figuras cortadas os alunos conseguem colocar os quatro

quadriláteros e o quadrado menor dentro do quadrado maior. Assim eles fixam

que o quadrado menor e o quadrado médio é igual ao quadrado maior fazem uma

validação local onde: (CB)² = (BA)² + (CA)².

Etapa 4. Dialética da institucionalização.

O professor agora institucionaliza o objeto matemático e diz que o trabalho

feito pelos alunos foi o teorema de Pitágoras, que diz: num triangulo retângulo

qualquer o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos

e este objeto matemático fará parte do saber cognitivo da classe. E em

diversas situações problemas eles precisarão dessa relação para avançar nas

resoluções.