pilares (1).pdf

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II

NOTAS DE AULA

PILARES DE CONCRETO ARMADO

Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

ALUNOS COLABORADORES:

Antonio Carlos de Souza Jr. Caio Gorla Nogueira

Joo Paulo Pila DAloia Rodrigo Fernando Martins

Bauru/SP Junho/2005

APRESENTAO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1309 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista UNESP, Campus de Bauru/SP.

O texto apresenta parte das prescries contidas na nova NBR 6118/2003 (Projeto de estruturas de concreto Procedimento verso corrigida) para o dimensionamento de pilares de concreto armado. O dimensionamento dos pilares feito com base nos mtodos do pilar padro com curvatura e rigidez aproximadas. Outros mtodos mais exatos e aqueles simplificados constantes da norma no so apresentados. Ainda, so estudados os pilares de seo retangular e de ns fixos (contraventados), com ndice de esbeltez at 90.

A apresentao do dimensionamento dos pilares feita em funo da classificao usual dos pilares, ou seja, pilares intermedirios, de extremidade e de canto. Vrios exemplos numricos esto apresentados para cada um deles.

Os itens 2 e 3, Requisitos de Qualidade das Estruturas e Cobrimento da Armadura no so especficos dos pilares, porm, foram inseridos na apostila porque so importantes no projeto das estruturas de concreto (especialmente o cobrimento) e contm alteraes em relao verso anterior da norma.

No item 4 - Conceitos Iniciais - so apresentadas algumas informaes bsicas iniciais e os conceitos relativos ao chamado Pilar Padro, cujo modelo utilizado pela NBR 6118/03 para a determinao aproximada dos momentos fletores de segunda ordem.

Por ltimo so apresentados exemplos numricos de dimensionamento de pilares de um edifcio baixo e com planta de frma simples.

A apostila uma verso inicial do estudo dos pilares de concreto armado, que no esgota todas as informaes. Por isso, o aprendizado deve ser complementado com o estudo dos textos sugeridos nas Referncias Bibliogrficas, entre outras publicaes. Em verses posteriores sero acrescentadas novas informaes, com aplicao do estudo dos pilares nos edifcios, considerando o sistema de contraventamento e a ao do vento.

Quaisquer crticas e sugestes sero muito bem-vindas, pois assim a apostila poder ser melhorada. O autor agradece aos alunos que colaboraram no estudo dos pilares de acordo com a nova norma e ao tcnico derson dos Santos Martins, pela confeco de vrios desenhos.

SUMRIO

Pg. 1. INTRODUO ..................................................................................................... 1 2. REQUISITOS DE QUALIDADE DAS ESTRUTURAS ...................................... 1 3. COBRIMENTO DA ARMADURA ...................................................................... 2 4. CONCEITOS INICIAIS ........................................................................................ 3 4.1 Solicitaes Normais ......................................................................................... 3 4.2 Flambagem ........................................................................................................ 4 4.3 No-Linearidade Fsica e Geomtrica ............................................................... 5 4.4 Equao da Curvatura de Peas Fletidas ........................................................... 6 4.5 Compresso Axial .............................................................................................. 8 4.6 Pilar Padro ....................................................................................................... 9 5. CLASSIFICAO E DEFINIES DAS ESTRUTURAS DOS EDIFCIOS ... 10 5.1 Contraventamento das Estruturas ...................................................................... 10 5.2 Estruturas de Ns Fixos e Mveis ..................................................................... 11 5.3 Elementos Isolados ........................................................................................... 13 6. NDICE DE ESBELTEZ ...................................................................................... 13 7. EXCENTRICIDADES .......................................................................................... 15 7.1 Excentricidade de 1a Ordem .............................................................................. 15 7.2 Excentricidade Acidental .................................................................................. 15 7.3 Excentricidade de 2a Ordem .............................................................................. 16 7.4 Excentricidade Devida Fluncia ..................................................................... 17 8. DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM ............................ 18 8.1 Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada ....................................... 18 8.2 Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada ....................................... 19 9. SITUAES BSICAS DE PROJETO ............................................................... 20 9.1 Pilar Intermedirio ............................................................................................. 20 9.2 Pilar de Extremidade .......................................................................................... 21 9.3 Pilar de Canto .................................................................................................... 22 10. DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR .... 23 11. SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO ................................................. 24 11.1 Pilar Intermedirio ........................................................................................... 25 11.2 Pilar de Extremidade ........................................................................................ 25 11.3 Pilar de Canto .................................................................................................. 26 12. CLCULO DA ARMADURA COM AUXLIO DE BACOS ........................ 27 12.1 Flexo Composta Normal ................................................................................ 27 12.2 Flexo Composta Oblqua ............................................................................... 28 13. CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS ............................................. 29 13.1 Roteiro de Clculo ........................................................................................... 29

13.2 Exemplos Numricos ....................................................................................... 30 13.2.1 Exemplo Numrico 1 ................................................................................ 30 13.2.2 Exemplo Numrico 2 ................................................................................ 33 14. CLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE ............................................. 36 14.1 Roteiro de Clculo ............................................................................................ 36 14.2 Exemplos Numricos ....................................................................................... 37 14.2.1 Exemplo Numrico 1 ............................................................................... 37 14.2.2 Exemplo Numrico 2 ............................................................................... 41 14.2.3 Exemplo Numrico 3 ............................................................................... 45 14.2.4 Exemplo Numrico 4 ............................................................................... 48 15. CLCULO DOS PILARES DE CANTO ........................................................... 51 15.1 Roteiro de Clculo ........................................................................................... 51 15.2 Exemplos Numricos ...................................................................................... 51 15.2.1 Exemplo Numrico 1 .............................................................................. 51 15.2.2 Exemplo Numrico 2 ............................................................................... 55 15.2.3 Exemplo Numrico 3 ............................................................................... 58 16. DISPOSIES CONSTRUTIVAS .................................................................... 61 16.1 Relao Entre a Dimenso Mnima e o Coeficiente de Segurana ................. 61 16.2 Armadura Longitudinal ................................................................................... 62 16.2.1 Dimetro Mnimo .................................................................................... 62 16.2.2 Distribuio Transversal .......................................................................... 62 16.2.3 Armadura Mnima e Mxima .................................................................. 63 16.2.4 Detalhamento da Armadura ................................................................... 63 16.2.5 Proteo Contra Flambagem .................................................................... 64 16.3 Armadura Transversal ..................................................................................... 65 17. ESTIMATIVA DA CARGA VERTICAL POR REA DE INFLUNCIA ...... 65 18. PR-DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL ........................... 66 19. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE EDIFCIOS ....... 67 19.1 Pilar Intermedirio P8 ...................................................................................... 69 19.2 Pilar de Extremidade P6 ................................................................................... 72 19.3 Pilar de Extremidade P5 ................................................................................... 77 19.4 Pilar de Extremidade P2 ................................................................................... 81 19.5 Pilar de Canto P1 ............................................................................................. 86 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ....................................................................... 92

1309 - Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado

UNESP (Bauru/SP) Prof. Dr. Paulo Srgio dos Santos Bastos

1

PILARES DE CONCRETO ARMADO 1. INTRODUO

Pilares so elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as foras normais de compresso so preponderantes (NBR 6118/03, item 14.4.1.2). Pilares-parede so elementos de superfcie plana ou casca cilndrica, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente compresso. Podem ser compostos por uma ou mais superfcies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfcies a menor dimenso deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seo transversal do elemento estrutural (item 14.4.2.4).

O dimensionamento dos pilares feito em funo dos esforos externos solicitantes de clculo, que compreendem os esforos normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e os esforos cortantes (Vdx e Vdy) no caso de ao horizontal.

A nova NBR 6118/03 fez modificaes em algumas das metodologias de clculo das estruturas de concreto armado, como tambm em alguns parmetros aplicados no dimensionamento e verificao das estruturas. Especial ateno dada questo da durabilidade das peas de concreto. Particularmente no caso dos pilares, a nova norma introduziu vrias modificaes, como nos valores das excentricidades acidental e de 2a ordem, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para o clculo da esbeltez limite relativa considerao ou no dos momentos fletores de 2a ordem e, principalmente, com a considerao de um momento fletor mnimo, que pode substituir o momento fletor devido excentricidade acidental. No item 17.2.5 (Processos aproximados para o dimensionamento flexo composta) a NBR 6118/03 apresenta mtodos simplificados de pilares retangulares ou circulares sob flexo composta normal e oblqua. Esses processos simplificados no sero apresentados porque os processos mais exatos indicados pela norma so simples de serem aplicados. Os prximos dois itens no so especficos dos pilares, porm, foram inseridos na apostila porque so importantes no projeto das estruturas de concreto (especialmente o cobrimento) e contm alteraes em relao verso anterior da norma. 2. REQUISITOS DE QUALIDADE DAS ESTRUTURAS

A NBR 6118/03 (item 5.1) prope requisitos gerais de qualidade das estruturas de concreto e a avaliao de conformidade do projeto. De um modo geral, as estruturas de concreto devem atender aos requisitos mnimos de qualidade, durante sua construo e ao longo de toda sua vida til. Os requisitos de qualidade de uma estrutura de concreto so:

a) capacidade resistente - consiste basicamente na segurana runa da estrutura; b) desempenho em servio - consiste na capacidade da estrutura manter-se em condies

plenas de utilizao, no devendo apresentar danos decorrentes de fissurao, deformaes, vibraes excessivas, etc., que comprometam em parte ou totalmente o uso para o qual foram projetadas;

c) durabilidade - consiste na capacidade da estrutura resistir s influncias ambientais previstas durante o perodo correspondente sua vida til. Por vida til de projeto,



2

entende-se o perodo de tempo durante o qual se mantm as caractersticas definidas para as estruturas de concreto.

Quanto ao projeto, a qualidade da soluo estrutural adotada deve considerar as condies

arquitetnicas, funcionais, construtivas, estruturais e a conformidade com os outros projetos, como o eltrico, o hidrulico e o de ar condicionado.

Um dos fatores importantes que influem na durabilidade das estruturas de concreto armado a qualidade do concreto utilizado, bem como a espessura do cobrimento da armadura. 3. COBRIMENTO DA ARMADURA

Define-se como cobrimento de armadura (item 7.4 da NBR 6118/03) a espessura da camada de concreto responsvel pela proteo da armadura ao longo da estrutura. Essa camada inicia-se a partir da face externa das barras da armadura transversal (estribos) ou da armadura mais externa e se estende at a face externa da estrutura em contato com o meio ambiente.

Para garantir o cobrimento mnimo (cmn) o projeto e a execuo devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que o cobrimento mnimo acrescido da tolerncia de execuo (c).

ccc mnnom += (Eq. 1)

Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. Esse valor pode ser

reduzido para 5 mm quando houver um adequado controle de qualidade e rgidos limites de tolerncia da variabilidade das medidas durante a execuo das estruturas de concreto. Em geral, o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser:

nc

c

nfeixenom

barranom

==

(Eq. 2)

A dimenso mxima caracterstica do agregado grado utilizado no concreto no pode

superar em 20 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

nommax c2,1d (Eq. 3) Para determinar a espessura do cobrimento necessrio antes definir a classe de agressividade ambiental a qual a estrutura est inserida. Segundo a NBR 6118/03 (item 6.4.2), Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 6.1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condies de exposio da estrutura ou de suas partes. A Tabela 6.1 est apresentada na Tabela 1.

A Tabela 2 (Tabela 7.2 na NBR 6118/03) mostra os valores para o cobrimento nominal de lajes, vigas e pilares, para a tolerncia de execuo (c) de 10 mm, em funo da classe de agressividade ambiental, conforme mostrada na Tabela 1.



3

Tabela 1 - Classes de agressividade ambiental. Classe de

agressividade ambiental

Agressividade Classificao geral do tipo de ambiente para

efeito de projeto Risco de deteriorao

da estrutura

RuralI Fraca Submersa Insignificante

II Moderada Urbana1) 2) Pequeno Marinha1)III Forte Industrial1) 2)

Grande

Industrial1) 3)IV Muito forte Respingos de marElevado

Notas: 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nvel acima) para ambientes internos secos (salas, dormitrios, banheiros, cozinhas e reas de servio de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura); 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nvel acima) em: obras em regies de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regies onde chove raramente; 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indstrias de celulose e papel, armazns de fertilizantes, indstrias qumicas.

Tabela 2 - Correspondncia entre classe de agressividade ambiental e

cobrimento nominal para c = 10 mm. Classe de agressividade ambiental

I II III IV2) Tipo de estrutura Componente ou Elemento Cobrimento nominal (mm)

Laje1) 20 25 35 45 Concreto Armado

Viga/Pilar 25 30 40 50 Notas: 1) Para a face superior de lajes e vigas que sero revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cermicos, pisos asflticos e outros tantos, as exigncias desta tabela podem ser substitudas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal 15 mm; 2) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatrios, estaes de tratamento de gua e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes qumica e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm.

4. CONCEITOS INICIAIS 4.1 SOLICITAES NORMAIS

Os pilares sob esforos normais podem tambm estar submetidos a esforos de flexo.

Dessa forma, os pilares podero estar sob os seguintes casos de solicitao:

a) Compresso Simples A compresso simples tambm chamada compresso centrada ou compresso uniforme.

A aplicao da fora normal de clculo Nd no centro geomtrico (C.G.) da pea, cujas tenses na seo transversal so uniformes (Figura 1).



4

CG

N

N

d

d

Figura 1- Compresso simples ou uniforme.

b) Flexo Composta Na flexo composta ocorre a atuao conjunta de fora normal e momento fletor sobre a

pea. H dois casos: - Flexo Composta Normal (ou Reta): existe a fora normal e um momento fletor numa

direo (Figura 2a); - Flexo Composta Oblqua: existe a fora normal e dois momentos fletores em duas

direes (Figura 2b).

ex x

y y

N

N

d

d

e1x 1xe

e1y

a) normal b) oblqua.

Figura 2 Tipos de flexo composta. 4.2 FLAMBAGEM

Flambagem pode ser definida como o deslocamento lateral na direo de maior esbeltez, com fora menor do que a de ruptura do material ou a instabilidade de peas esbeltas comprimidas. A runa por efeito de flambagem repentina e violenta, mesmo que no ocorram acrscimos bruscos nas aes aplicadas. Uma barra comprimida feita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente superiores carga crtica (Ncrt), o que significa que a flambagem no corresponde a um estado limite ltimo. No entanto, para uma barra comprimida de concreto armado, a flambagem caracteriza um estado limite ltimo.



5

4.3 NO-LINEARIDADE FSICA E GEOMTRICA No dimensionamento de alguns elementos estruturais, especialmente os pilares, importante considerar duas linearidades que ocorrem, sendo elas: a) no-linearidade fsica Quando o material no obedece lei de Hooke, como materiais com diagramas x mostrados nas Figura 3b e 3c. As Figura 3a e 3d mostram materiais onde h linearidade fsica. b) no-linearidade geomtrica

Ocorre quando as deformaes provocam esforos adicionais que precisam ser considerados no clculo, gerando os chamados esforos de segunda ordem, como indicado na Figura 4.

= E (HOOKE)

a) elstico linear

CARG

A

DESCARGA

RUPTURA

b) elstico no-linear

CARG

A

RUPTURA

DESC

ARGA

(CONCRETO)

c) elastoplstico

d) elastoplstico ideal Figura 3 - Diagramas x de alguns materiais.

O concreto simples apresenta comportamento elastoplstico em ensaios de compresso simples, com um trecho inicial linear at aproximadamente 0,30 fc.

F

l

a) posio inicial

y

F

r

l = 2le

a

yl

x b) posio final

Figura 4 No-linearidade geomtrica originando esforos de segunda ordem.



6

4.4 EQUAO DA CURVATURA DE PEAS FLETIDAS A determinao dos efeitos locais de 2a ordem em barras comprimidas pode ser feita por mtodos aproximados, entre eles o do pilar padro com curvatura aproximada, como preconizado na NBR 6118/03. Com o intuito de subsidiar a apresentao do pilar padro, que se far adiante, apresenta-se a equao da curvatura de elementos fletidos, item j estudado em Resistncia dos Materiais. Considerando a lei de Hooke ( = E . ), a equao da curvatura de peas fletidas, como aquela mostrada na Figura 5, tem a seguinte deduo:

dxdx=

Edxdx = (Eq. 4)

Aplicando yI

M= na Eq. 4 fica:

yIE

Mdxdx = dx

IEM

ydx =

O comprimento dx pode ser escrito:

dx = r d dxIE

Mydx

rdxd === (Eq. 5)

Rearranjando os termos da Eq. 5 chega-se a equao da curvatura:

IEM

r1

dxd == (Eq. 6)

x

v

y > 0

d

dx

dx + dx

1

2r

Figura 5 - Curvatura de uma pea fletida.



7

Do clculo diferencial tem-se a expresso exata da curvatura (linha elstica):

2/32

2

2

dxdy1

dxyd

r1

+

= (Eq. 7)

Para pequenos deslocamentos (pequena inclinao) tem-se 2

dxdy



8

4.5 COMPRESSO AXIAL Considere a barra comprimida como mostrada na Figura 4. Como definido na Eq. 8, a equao simplificada da curvatura :

2

2

dxyd

r1 =

O momento fletor externo solicitante Mext = F . y. Considerando a Eq. 9 ( IEM

dxyd2

2= ),

com material elstico linear, e fazendo o equilbrio entre o momento fletor externo e o momento fletor interno (Mext = Mint) tem-se:

ykyIE

Fdx

yd 22

2== 0yk

dxyd 22

2=+

com k2 = F/EI. A soluo geral para a equao diferencial tem a forma:

y = C1 sen k x + C2 cos k x (Eq. 12) As condies de contorno para definio das constantes C1 e C2 so:

a) para x = 0 y = 0 C1 . 0 + C2 . 1 = 0 C2 = 0 A Eq. 12 simplifica-se para:

y = C1 sen k x (Eq. 13 )

b) para x = l 0dxdy =

0kcosCkxkcosCkdxdy

1x1x

=== ==ll

l (Eq. 14)

Para barra fletida a constante C1 na Eq. 14 deve ser diferente de zero, o que leva a: cos k l = 0 k l = /2 k = /2l

A Eq. 13 toma a forma: x2

senCy 1 l= (Eq. 15)

Para x = l o deslocamento y igual ao valor a (ver Figura 4). Portanto, aplicando a Eq. 15:

a2

senCy 1 == , donde resulta que C1 = a.

Sendo 2l = le (le = comprimento de flambagem) e com a determinao da constante C1, define-se a equao simplificada para a curvatura da barra comprimida:

e

xsenay l= (Eq. 16)



9

4.6 PILAR PADRO O pilar padro uma simplificao do chamado Mtodo Geral. Consiste numa barra engastada na base e livre no topo, com uma curvatura conhecida (Figura 7). O pilar padro aplicvel a barras de seo transversal constante e armadura constante em todo o comprimento da barra. A verificao da segurana feita arbitrando-se deformaes c e s tais que no ocorra o estado limite ltimo de ruptura ou alongamento plstico excessivo na seo mais solicitada da pea (FUSCO, 1981).

l

e 12

x

y

e Nd

Figura 7 Pilar padro.

Como simplificao a linha elstica tomada pela funo senoidal definida na Eq. 16, onde a tomado igual a e2 (deformao de 2a ordem), conforme mostrado na Figura 7:

e

2xseney l

= A primeira e a segunda derivada da equao fornecem:

xcosedxdy

ee2 ll

=

yxsenedx

yd2

e

2

e2

2

e2

2

lll=

=

Considerando a Eq. 8 ( 22

dxyd

r1 = ) da segunda derivada surge o valor para y em funo da

curvatura 1/r:

r1y

dxyd

2e

2

2

2==

l

r1y 2

2e

=l



10

Tomando y como o mximo deslocamento e2 tem-se:

r1e 2

2e

2 =l

Portanto, com 2 10, o deslocamento no topo da barra :

base

2e

2 r1

10e

= l (Eq. 17)

O deslocamento mximo e2 chamado excentricidade de 2a ordem e ser considerado no dimensionamento dos pilares, como se ver adiante. Tomando a Eq. 11 e ao CA-50 pode-se determinar o valor da curvatura 1/r na base do pilar padro:

dr

1 cs += =d

00557,0d

0035,000207,0d

0035,0Ef

s

yd

=+=+

A NBR 6118/03 (item 15.8.3.3.2) toma um valor convencional para a curvatura na base como:

( ) h005,0

5,0h005,0

r1 += (Eq. 18)

com (ni) sendo um valor adimensional relativo fora normal (Nd):

cdc

d

fAN= (Eq. 19)

onde: Ac = rea da seo transversal; fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c). Da o mximo momento fletor de segunda ordem :

( )

+=

==

5,0h005,0

10N

r1

10Ne.NM

2e

dbase

2e

d2dd2ll (Eq. 20)

5. CLASSIFICAO E DEFINIES DAS ESTRUTURAS DOS EDIFCIOS 5.1 CONTRAVENTAMENTO DAS ESTRUTURAS

Os edifcios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessria estabilidade s

aes verticais e horizontais, ou seja, devem apresentar a chamada estabilidade global. Os pilares so os elementos destinados estabilidade vertical, porm, necessrio projetar outros elementos mais rgidos que, alm de tambm transmitirem as aes verticais, devero garantir a estabilidade horizontal do edifcio ao do vento e de sismos, onde existirem. Ao mesmo tempo, so esses elementos mais rgidos que garantiro a indeslocabilidade dos ns dos pilares menos rgidos.



11

Com essas premissas classificam-se os elementos verticais dos edifcios em elementos de contraventamento e elementos (pilares) contraventados.

Define-se o sistema de contraventamento como o conjunto de elementos que proporcionaro a estabilidade horizontal do edifcio e a indeslocabilidade ou quase- indeslocabilidade dos pilares contraventados, que so aqueles que no fazem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118/03 (item 15.4.3) diz que, por convenincia de anlise, possvel identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido sua grande rigidez a aes horizontais, resistem maior parte dos esforos decorrentes dessas aes. Essas subestruturas so chamadas subestruturas de contraventamento.

Os elementos de contraventamento so constitudos por pilares de grandes dimenses (pilares-parede ou simplesmente paredes estruturais), por trelias ou prticos de grande rigidez, ncleos de rigidez, etc., como mostrados na Figura 8.

As lajes dos diversos pavimentos do edifcio tambm podem participar da estabilidade horizontal, ao atuarem como elementos de rigidez infinita no seu prprio plano (o que se chama diafragma rgido), fazendo a ligao entre elementos de contraventamento formados por prticos, por exemplo.

Segundo SSSEKIND (1984, p. 175), Toda estrutura, independentemente do nmero de andares e das dimenses em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente dimensionado.

Pilares ou Elementos de Contraventamentos

Pilares Contraventados

Figura 8 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).

5.2 ESTRUTURAS DE NS FIXOS E MVEIS

No item 15.4.2 a NBR6118 define o que so estruturas de ns fixos e de ns mveis. a) Estruturas de ns fixos

So aquelas em que os deslocamentos horizontais dos ns so pequenos e, por decorrncia, os efeitos globais de 2a ordem so desprezveis, isto , se apresentam inferiores a 10 % dos respectivos esforos de 1a ordem (Figura 9 e 10). Nessas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem.



12

b) Estruturas de ns mveis So aquelas em que os deslocamentos horizontais no so pequenos e, em decorrncia, os

efeitos globais de 2a ordem so importantes (superiores a 10 % dos respectivos esforos de 1a ordem), Figura 9 e 10. Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforos de 2a ordem globais como os locais e localizados.

Pilares Contraventados Elementos de Contraventamento

Flexvel Rgido

Figura 9 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).

As subestruturas de contraventamento podem ser de ns fixos ou de ns mveis, de acordo com as definies acima.

Para verificar se a estrutura est sujeita ou no a esforos globais de 2a ordem, ou seja, se a estrutura pode ser considerada como de ns fixos, lana-se mo do clculo do parmetro de instabilidade (NBR 6118/03, item 15.5.2) ou do coeficiente z (item 15.5.3). Esses coeficientes sero estudados em profundidade na disciplina Estruturas de Concreto IV.

(a)Estrutura deslocvel

(b)Estrutura indeslocvel

Figura 10 Estruturas de ns fixos e mveis (FUSCO, 1981).



13

Para mais informaes sobre a estabilidade global dos edifcios devem ser consultados FUSCO (2000) e SSSEKIND (1984). 5.3 ELEMENTOS ISOLADOS A NBR 6118/03 (item 15.4.4) classifica os elementos isolados como aqueles que: a) so elementos estruturais isostticos; b) so elementos contraventados; c) so elementos que fazem parte das estruturas de contraventamento de ns fixos; d) so elementos das subestruturas de contraventamento de ns mveis, desde que, aos esforos nas extremidades, obtidos numa anlise de 1a ordem, sejam acrescentados os determinados por anlise global de 2a ordem. Nesta apostila estudam-se os chamados elementos contraventados. 6. NDICE DE ESBELTEZ

O ndice de esbeltez a razo entre o comprimento de flambagem e o raio de girao, nas direes a serem consideradas:

i el= (Eq. 21)

com o raio de girao sendo: AIi =

Para seo retangular o ndice de esbeltez : h

3,46 el= (Eq. 22) onde: le = comprimento de flambagem;

i = raio de girao da seo geomtrica da pea (seo transversal de concreto, no se considerando a presena de armadura);

I = momento de inrcia; A = rea da seo; h = dimenso do pilar na direo considerada.

O comprimento de flambagem de uma barra isolada depende das vinculaes na base e no

topo do pilar, conforme os esquemas mostrados na Figura 11.

EngasteA. Simples

A. SimplesA. Simples

Engaste

Engaste

E. Elstico

E. ElsticoE. Mvel

Livre

F FF

F

el = 0,7 Lel = 0,5 L

e 0,5 L < l < L el = 2 Ll = Le

F

B

A A

B

A

B

A

BB

A

L

Figura 11 Comprimento de flambagem.



14

Nas situaes reais dos pilares contraventados nos edifcios geralmente os pilares no se encontram isolados como mostradas na Figura 11. A situao real de um pilar contraventado de edifcio est mostrada na Figura 12.

2

11

2

l

l

lFUNDAO

1 TETO

2 TETO

n TETO

n2 TETO

1 TETO

FUNDAO

n

n TETO

(l ) le n

l l2e

l 23 l1e

Figura 12 - Situao real e simplificada para determinao do comprimento de flambagem de

pilares contraventados de edifcios (SSSEKIND, 1984).

Nas estruturas de ns indeslocveis a NBR 6118/2003 permite a realizao do clculo de cada elemento comprimido isoladamente, ou seja, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos que ali concorrem. Assim, o comprimento equivalente de flambagem (le) do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor entre os seguintes valores:

+ lll hoe (Eq. 23)

com: lo = distncia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que

vinculam o pilar (Figura 13); h = altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; l = distncia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar est vinculado.

hh+

Figura 13 - Valores de l e l0.



15

Para casos de determinao do comprimento de flambagem mais complexos recomenda-se a leitura de SSSEKIND (1984, v.2). Em funo do ndice de esbeltez os pilares podem ser classificados como: a) Pilar curto se 35; b) Pilar mdio se 35 90; c) Pilar medianamente esbelto se 90 140; d) Pilar esbelto se 140 200. (Eq. 24) Os pilares curtos e mdios so a maioria dos pilares das construes. Os pilares esbeltos so menos freqentes.

7. EXCENTRICIDADES Neste item so mostradas as excentricidades que podem ocorrer no dimensionamento dos pilares, sendo elas: excentricidade de 1a ordem, excentricidade acidental, excentricidade de 2a ordem e excentricidade devida fluncia. 7.1 EXCENTRICIDADE DE 1a ORDEM

A excentricidade de 1a ordem devida existncia de momentos fletores externos solicitantes que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou devido ao ponto terico de aplicao da fora normal estar localizado fora do centro de gravidade da seo transversal.

Considerando a fora normal de clculo Nd e o momento fletor de clculo Md (independente de Nd), a Figura 14 mostra os casos possveis de excentricidade de 1a ordem.

N supostacentradad N suposta aplicada

distncia a do C.G.d N suposta

centradad N suposta aplicada

distncia a do C.G.d

1e = aMd

de = 1

de = a +1d

M

1e = 0

a

adMMd

y y y y

x x x x

NN

NddN

NdNd

Figura 14 Casos possveis de excentricidade de 1a ordem. 7.2 EXCENTRICIDADE ACIDENTAL

No caso da verificao de um lance de pilar, dever ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar (item 11.3.3.4.2 da NBR 6118/03). Admite-se que, nos casos usuais, a considerao apenas da falta de retilinidade ao longo do lance do pilar seja suficiente. A imperfeio geomtrica pode ser avaliada pelo ngulo:



16

H100

11 = (Eq. 25)

com: H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na Figura 15;

=

locais esimperfei e mveis ns de estruturas para 300/1fixos ns de estruturas para 400/1

mn1

mx1 = 1/200

Elemento de travamento

l

l

Hl

Pilar de contraventamento

Pilar contraventado

l Hl/2

ea

l

ea

a) Elementos de travamento b) Falta de retilinidade c) Desaprumo do pilar (tracionado ou comprimido) no pilar

Figura 15 - Imperfeies geomtricas locais.

A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ngulo 1:

2He 1a = (Eq. 26)

7.3 EXCENTRICIDADE DE 2a ORDEM Sob a ao das cargas verticais e horizontais, os ns da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforos de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos so chamados efeitos globais de 2a ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos no se mantm retilneos, surgindo a efeitos locais de 2a ordem que, em princpio, afetam principalmente os esforos solicitantes ao longo delas (NBR 6118, item 15.4.1). A anlise global de 2a ordem fornece apenas os esforos nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma anlise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas. Os elementos isolados, para fins de verificao local, devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento le, porm aplicando-se s suas extremidades os esforos obtidos atravs da anlise global de 2a ordem (item 15.7.4). Os efeitos locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o ndice de esbeltez for menor que o valor limite 1 (item 15.8.2), calculado pela expresso:

b

1

1he5,1225

+

= (Eq. 27)



17

com 9035 1 , onde: e1 = excentricidade de 1a ordem (no inclui a excentricidade acidental ea); h/e1 = excentricidade relativa de 1

a ordem; A NBR 6118/03 no define em que posio ao longo do comprimento do pilar deve-se

considerar a excentricidade e1 para aplicao no clculo de 1, o que pode levar a pequenas diferenas caso se considere a excentricidade nas extremidades do pilar ou na posio onde ocorre a mxima excentricidade de 2a ordem.

Deve-se ter pilar de seo e armadura constantes ao longo do eixo longitudinal. O valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir:

i) para pilares biapoiados sem cargas transversais

A

Bb M

M4,06,0 += (Eq. 28)

onde: 1,0 b 0,4

MA e MB so os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrrio.

ii) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura

1b =

iii) para pilares em balano

85,0MM2,08,0

A

Cb += (Eq. 29)

onde: MA = momento de 1a ordem no engaste;

MC = momento de 1a ordem no meio do pilar em balano.

iv) para pilares biapoiados ou em balano com momentos menores que o momento mnimo 1b =

O fator b consta do ACI 318 (1995) com a notao Cm (item 10.12.3.1). Porm, ao contrrio da NBR 6118/2003, que tambm considera a excentricidade relativa e1/h, tanto o ACI como o Eurocode 2 (1992) e o MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em funo da razo entre os momentos fletores ou entre as excentricidades nas extremidades do pilar. 7.4 EXCENTRICIDADE DEVIDA FLUNCIA

A considerao da fluncia deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com ndice de

esbeltez > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir (item 15.8.4):

+=

1718,2e

NM

e SgeSg

NNN

aSg

Sgcc (Eq. 30)



18

2e

ccie

IE10N

l= (Eq. 31)

onde: ea = excentricidade devida a inperfeies locais; Msg e NSg = esforos solicitantes devidos combinao quase permanente;

= coeficiente de fluncia; Eci = mdulo de elasticidade tangente; Ic = momento de inrcia;

le = comprimento de flambagem. 8. DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM

De acordo com a NBR 6118/03 o clculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo

mtodo geral ou por mtodos aproximados. O mtodo geral obrigatrio para > 140 (item 15.8.3). A norma apresenta quatro diferentes mtodos aproximados, sendo eles: mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada (item 15.8.3.3.3), mtodo do pilar-padro acoplado a diagramas M, N, 1/r (item 15.8.3.3.4) e mtodo do pilar-padro para pilares de seo retangular submetidos flexo composta oblqua (item 15.8.3.3.5). Sero agora apresentados os mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e com rigidez aproximada, que so simples de serem aplicados no dimensionamento dos pilares. Os dois mtodos baseiam-se no pilar-padro, conforme demonstrado no item 4.6.

8.1 MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA

Neste mtodo a no-linearidade geomtrica considerada de forma aproximada, supondo-

se que a deformao da barra seja senoidal. A equao senoidal para a linha elstica foi definida na Eq. 16, que define os valores para a deformao de 2a ordem (e2) ao longo da altura do pilar.

A no-linearidade fsica considerada atravs de uma expresso aproximada da curvatura na seo crtica. A expresso aproximada da curvatura na seo mais solicitada foi mostrada nas Eq. 11 e 18.

O momento fletor total mximo no pilar deve ser calculado pela expresso:

+=

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,d MM

r1

10NMM l (Eq. 32)

onde: b = parmetro definido no item 7.3;

Nd = fora normal solicitante de clculo; le = comprimento de flambagem.

1/r = curvatura na seo crtica, avaliada pela expresso aproximada (Eq. 18):

h005,0

)5,0(h005,0

r1 += A fora normal adimensional () foi definida na Eq. 19, sendo:

cdc

d

f.AN=



19

O momento solicitante de 1a ordem deve ser: M1d,A M1d,mn

com: M1d,A = valor de clculo de 1a ordem do momento MA , como definido no item 7.3; M1d,mn = momento fletor mnimo como definido a seguir; Ac = rea da seo transversal do pilar; fcd = resistncia de clculo compresso do concreto (fcd = fck /c); h = dimenso da seo transversal na direo considerada. A NBR 6118/03 introduziu um parmetro novo no clculo dos pilares: o momento fletor

mnimo, o qual consta no cdigo ACI 318 (1995) como equao 10-15. Segundo o cdigo, a esbeltez levada em considerao aumentando-se os momentos fletores nos extremos do pilar. Se os momentos atuantes no pilar so muito pequenos ou zero, o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade mnima, dada pelo momento mnimo. Na NBR 6118/2003 consta que o efeito das imperfeies locais nos pilares pode ser substitudo em estruturas reticuladas pela considerao do momento mnimo de 1a ordem dado a seguir (item 11.3.3.4.3):

)h03,0015,0(NM dmn,d1 += (Eq. 33)

com h sendo a altura total da seo transversal na direo considerada, em metro.

A NBR 6118/2003 ainda informa que ao se considerar o momento fletor mnimo pode-se desconsiderar a excentricidade acidental ou o efeito das imperfeies locais, e que ao momento mnimo devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem. A rigor, o momento fletor total mximo deve ser calculado para cada direo principal do pilar. Ele leva em conta que, numa seo intermediria onde ocorre a excentricidade mxima de 2a ordem, o momento fletor mximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator b. Isto semelhante ao que se encontra no item 7.5.4 de FUSCO (1981), com a diferena de que novos parmetros foram estabelecidos para b. Se o momento de 1a ordem for nulo ou menor que o mnimo, ento o momento mnimo, constante na altura do pilar, deve ser somado ao momento fletor de 2a ordem.

8.2 MTODO DO PILAR-PADRO COM RIGIDEZ APROXIMADA

Neste mtodo, a no-linearidade geomtrica considerada de forma aproximada, supondo-

se que a deformao da barra seja senoidal, de forma idntica ao exposto no mtodo anterior. A no-linearidade fsica deve ser considerada atravs de uma expresso aproximada da

rigidez, expressa pelo coeficiente . O momento total mximo no pilar deve ser calculado a partir da majorao do momento de

1a ordem pela expresso:

=

mn,d1

A,d12

A,d1btot,d M

M

/1201

MM (Eq. 34)

sendo o valor da rigidez adimensional dado aproximadamente pela expresso:



20

+=

d

tot,d

N.hM

5132 (Eq. 35)

As variveis h, , M1d,A, M1d,mn e b so as mesmas definidas anteriormente. representa

o ndice de esbeltez e o coeficiente adimensional relativo fora normal (Eq. 19). Substituindo a Eq. 35 na Eq. 34 obtm-se uma equao do 2o grau que serve para calcular

diretamente o valor de Md,tot , sem a necessidade de se fazer iteraes:

0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd2

d2

tot,d =+ (Eq. 36)

9. SITUAES BSICAS DE PROJETO Para efeito de projeto, os pilares dos edifcios podem ser classificados nos seguintes tipos:

pilares intermedirios, pilares de extremidade e pilares de canto. A cada um desses tipos bsicos de pilares corresponde uma situao de projeto diferente.

9.1 PILAR INTERMEDIRIO

Nos pilares intermedirios (Figura 16) considera-se a compresso centrada para a situao

de projeto, pois como as lajes e vigas so contnuas sobre o pilar, pode-se admitir que os momentos fletores transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezveis. No existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do pilar, como descritos no item 7.3.

y

x

Nd

Figura 16 - Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares intermedirios.

PLANTA

SITUAO DE PROJETO



21

9.2 PILAR DE EXTREMIDADE Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas dos

edifcios, vindo da o termo pilar de extremidade, como mostrado na Figura 17. Na situao de projeto os pilares de extremidade esto submetidos flexo composta normal, que decorre da interrupo, sobre o pilar, da viga perpendicular borda de extremidade. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do lance do pilar, como descritos no item 7.3.

Nas sees do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem, oriundas dos momentos fletores de 1a ordem MA e MB, com valor:

d

AA,1 N

Me = e d

BB,1 N

Me = (Eq. 37)

dNx

y

e1

Figura 17 - Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de extremidade.

Os momentos fletores MA e MB de 1a ordem devidos ao carregamento vertical so obtidos calculando-se os pilares em conjunto com as vigas formando prticos ou ento de uma maneira mais simples e que pode ser feita manualmente, com a aplicao das equaes j apresentadas na apostila de Vigas de Concreto Armado, de BASTOS (2005). Conforme a Figura 18 os momentos fletores inferior e superior no pilar so calculados pelas expresses:

vigasupinf

infenginf rrr

rMM ++= (Eq. 38)

vigasupinf

supengsup rrr

rMM ++= (Eq. 39)

PLANTA

SITUAO DE PROJETO



22

com: Meng = momento fletor de ligao entre a viga e o pilar; r = I/l = ndice de rigidez relativa; I = momento de inrcia da seo na direo considerada; l = vo terico da viga ou comprimento de flambagem do pilar. O valor Meng nas Eq. 38 e 39 pode ser calculado fazendo o vo extremo adjacente ao pilar

como biengastado, ou pode tambm ser o momento resultante da viga vinculada ao pilar por meio de um engaste elstico (mola), como feito em BASTOS (2005).

Nos edifcios de pavimentos os momentos fletores que aparecem nos pilares so provenientes da superposio dos efeitos das vigas dos diferentes nveis (Figura 18). Considerando-se por exemplo o lance do pilar compreendido entre os pavimentos i e i + 1, os momentos fletores na base e no topo do lance so:

1iinf,isup,base M5,0MM ++= isup,1iinf,topo M5,0MM += + (Eq. 40)

+ 12 MM

inf12 M

TRAMO EXTREMO

sup,i+1

+ 12 Msup,i-1M inf,i NVEL (i - 1)

inf,i

viga

infM

M

12 M sup

supM

PILAR DE EXTREMIDADE

+ 12 M

+ 12 MM sup,i

M inf,i+1

inf,i+1 NVEL i

sup,i NVEL (i + 1)

Figura 18 Momentos fletores nos pilares provenientes da ligao com as vigas (FUSCO, 1981). Os exemplos numricos apresentados no item 18 mostram o clculo dos momentos fletores solicitantes por meio das Eq. 38 a 41. 9.3 PILAR DE CANTO

De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos edifcios,

vindo da o termo pilar de canto, como mostrado na Figura 19. Na situao de projeto os pilares de canto esto submetidos flexo composta oblqua, que decorre da interrupo das vigas perpendiculares s bordas do pilar. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB (item 7.3) de 1a ordem nas extremidades do pilar, nas suas duas direes. Esses momentos podem ser calculados da forma como apresentado nos pilares de extremidade.

Nas sees do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem nas duas direes do pilar.



23

Nd

e1,x

y

xe 1

,y

Figura 19 - Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de canto.

10. DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR Sendo constante a fora normal de clculo (Nd) ao longo da altura do pilar, no clculo de dimensionamento deve ser analisada qual seo do pilar estar submetida ao mximo momento fletor, seo essa que conduzir a maior armadura longitudinal no pilar. Normalmente basta verificar as sees de extremidade (topo e base) e uma seo intermediria C, onde atua o mximo momento fletor de 2a ordem (M2d). A Figura 20 mostra os casos de momentos fletores solicitantes mais comuns nos pilares. No caso do momento fletor ser varivel, o valor mximo deve ser nomeado MA e considerado positivo. O momento na outra extremidade ser nomeado MB e considerado negativo se tracionar a fibra oposta a de MA.

0

MA

BM

AM

BM

AM = MB

M 2, mx

B

A A

B BASE

TOPO

CM

SEO INTERMEDIRIA +OU OU

OU

-

+

++

+

Figura 20 - Momentos fletores de 1a ordem com o de 2a ordem nas sees do lance do pilar.

PLANTA

SITUAO DE PROJETO



24

Levando-se em conta que um momento fletor mnimo, como definido no item 7.3, deve ser obrigatoriamente considerado no pilar, os valores dos momentos fletores totais a serem considerados nas sees em cada direo principal do pilar so: a) Sees de Extremidade (topo ou base)

mn,d1

A,d1tot,d M

MM (Eq. 41)

b) Seo Intermediria (C)

+

+d2mn,d1

d2C,d1tot,d MM

MMM (Eq. 42)

Com o momento de 1a ordem M1d,C avaliado conforme as relaes:

+A,d1

B,d1A,d1C,d1 M4,0

M4,0M6,0M (Eq. 43)

11. SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO O clculo dos pilares pode ser feito diretamente dos valores da fora normal e do momento fletor total, como mostrado no item anterior, sem se calcular as excentricidades relativas aos momentos fletores solicitantes. Mas o clculo pode tambm ser feito explicitando-se as excentricidades, que so funo dos momentos fletores. Nos itens seguintes esto mostradas as excentricidades que devem ser obrigatoriamente consideradas no dimensionamento dos pilares, em funo do tipo de pilar (intermedirio, de extremidade ou de canto) e para mx 90. As excentricidades a serem consideradas so as seguintes: a) Exentricidade de 1a ordem

d

A,d1A1 N

Me =

d

B,d1B1 N

Me = (Eq. 44)

b) Excentricidade mnima e1,mn = 1,5 + 0,03 h com h em cm (Eq. 45) c) Excentricidade de 2a ordem

( ) h5,00005,0e

2e

2 +=l (Eq. 46)

com definido na Eq. 19.



25

d) Excentricidade de 1a ordem na seo intermediria C

+

A1

B1A1C1 e4,0

e4,0e6,0e (Eq. 47)

11.1 PILAR INTERMEDIRIO Nos pilares intermedirios considera-se que no atuam momentos fletores de 1a ordem, de modo que na situao de projeto ocorre a compresso simples ou uniforme, como mostrado na Figura 21. Se o pilar tiver mx 1 no existiro excentricidades de 2a ordem, neste caso basta considerar a excentricidade mnima nas duas direes (x 1a situao de clculo e y 2a situao de clculo). No caso de existir excentricidade de 2a ordem, ela deve ser somada excentricidade mnima.

1 s.c.S.P.

Nd e

2 s.c.

1y,mn

Nd

e

x

y

Nd

1x,mn

x

e

e 2yeye

2x

Figura 21 Situao de projeto e de clculo para os pilares intermedirios.

Para cada situao de clculo deve ser calculada uma armadura para o pilar, considerando-se, no entanto, um mesmo arranjo ou distribuio da armadura na seo transversal do pilar. Isso importante porque a armadura final deve atender a todas as situaes de clculo existentes. Entre todas as armaduras calculadas deve ser escolhida a maior. De modo geral, para os pilares retangulares fica fcil determinar qual a situao de clculo que resultar na maior armadura, pois a maior excentricidade normalmente na direo de menor rigidez do pilar. 11.2 PILARES DE EXTREMIDADE Nos pilares de extremidade ocorre a flexo composta normal na situao de projeto, com a existncia de excentricidade de 1a ordem numa direo do pilar. As sees de extremidade e a seo intermediria C devem ser analisadas. As Figuras 22 e 23 mostram as situaes de clculo para a seo de extremidade A e intermediria C, respectivamente. Devido aos apoios (ou vnculos) nos extremos do pilar, no existe o deslocamento horizontal nas sees de extremidade, ou seja, no ocorre excentricidade de 2a ordem (e2). Por outro lado, se mx 1, a excentricidade de 2a ordem pequena e por isso pode ser desprezada, segundo a NBR 6118/03. Se mx > 1, a mxima excentricidade de 2a ordem deve ser considerada na seo intermediria C, onde a excentricidade de 1a ordem altera-se de e1x,A para e1x,C na situao de projeto.

Do mesmo modo como no pilar intermedirio a armadura final do pilar ser a maior calculada para cada situao de clculo, considerando-se o mesmo arranjo das barras na seo transversal.



26

e e{ 1x,mn1x,Ae

dN dN

S.P. 1 s.c.

1x,A

x

y

Figura 22 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade

dos pilares de extremidade.

1x,Ce

x

1x,mn

1x,C{ ee

e

S.P. 1 s.c.

Nd Nde2x

1y,C

1y,mn

e{ ee y

dN

2 s.c.

e2y

Figura 23 Situao de projeto e de clculo para a seo intermediria

dos pilares de extremidade. 11.3 PILARES DE CANTO Nos pilares de canto a solicitao de projeto a flexo composta oblqua, com a existncia de excentricidade de 1a ordem nas duas direes principais do pilar. Na seo de extremidade A, como mostrado na Figura 24, apenas uma situao de clculo suficiente, comparando-se as excentricidades de 1a ordem com as excentricidades mnimas em cada direo. Na seo intermediria C as excentricidades de 1a ordem alteram-se de e1A para e1C, como apresentado na Figura 25. Existindo as excentricidades de 2a ordem, elas devem ser acrescentadas s excentricidades de 1a ordem, segundo a direo em que existir. A armadura final do pilar ser a maior calculada entre as situaes de clculo, considerando-se as barras distribudas de modo idntico no clculo das armaduras.

1x,A

1y,A

e

e e

1y,A

1y,mne{

1x,A

1x,mn

e{ edN

S.P. 1 s.c.

Nd

y

x

Figura 24 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade dos pilares de canto.



27

2 s.c.S.P. 1 s.c.

dNdN

dN

e 2yey

e{e1y,mn1y,C

e{e1x,mn1x,C

e1x,C

e1y,C

ex

y

x

2x

e1x,C

1x,mn

e{ e

1y,C

1y,mn

e{e

Figura 25 Situao de projeto e de clculo para a seo intermediria dos pilares de canto.

12. CLCULO DA ARMADURA COM AUXLIO DE BACOS No dimensionamento manual dos pilares os bacos so imprescindveis e importantssimos, pois permitem a rpida determinao da taxa de armadura, sem que haja a necessidade de aplicar as equaes tericas da Flexo Composta Normal ou Oblqua. Alm disso, os bacos proporcionam o fcil clculo com diferentes arranjos da armadura na seo transversal.

Nesta apostila sero adotados os bacos de VENTURINI (1987) para a Flexo Composta Normal e de PINHEIRO (1994) para a Flexo Composta Oblqua. Para cada caso de solicitao diversos bacos podem ser utilizados para o clculo da armadura do pilar. No entanto, deve ser escolhido o baco que resultar na menor e, portanto, a armadura mais econmica. 12.1 FLEXO COMPOSTA NORMAL A Figura 26 mostra a notao aplicada na utilizao dos bacos para a flexo composta normal. d' representa uma distncia paralela excentricidade entre a face da seo e o centro da barra do canto. De modo geral tem-se d = c + t + l/2, com c = cobrimento de concreto, t = dimetro do estribo e l = dimetro da barra longitudinal.

Ndd

h/2

h/2

d

e

b

Figura 26 Notao para a flexo composta normal (VENTURINI, 1987).



28

As equaes para a construo dos bacos foram apresentadas na publicao de PINHEIRO (1994).

A determinao da armadura iniciada pelo clculo dos esforos adimensionais - ni e - mi. O valor adimensional foi definido na Eq. 19, sendo aqui repetido:

cdc

d

f.AN=

cdc

tot,d

fAhM= , ou (Eq. 48)

he= (Eq. 49)

com: Nd = fora normal de clculo; Ac = rea da seo transversal; fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c); Md,tot = momento fletor total de clculo; h = dimenso do pilar na direo considerada; e = excentricidade na direo considerada.

Escolhida uma disposio construtiva para a armadura no pilar determina-se o baco a ser utilizado, em funo do tipo de ao e do valor da relao d/h. No baco, com o par e obtm-se a taxa mecnica . A armadura ento calculada pela expresso:

yd

cdcs f

fAA = (Eq. 50)

12.2 FLEXO COMPOSTA OBLQUA A Figura 27 mostra a notao aplicada na utilizao do bacos para a flexo composta oblqua. d'x e dy tm o mesmo significado de d, porm, cada um numa direo do pilar.

M

h

xM d

yd

d

x

yh

dN

x

yd

Figura 27 Flexo composta oblqua (PINHEIRO, 1994).



29

A determinao da armadura iniciada pelo clculo dos esforos adimensionais e , com segundo as duas direes principais do pilar:

cdc

d

f.AN=

x

x

cdcx

x,tot,dx h

efAh

M == (Eq. 51)

y

y

cdcy

y,tot,dy h

efAh

M == (Eq. 52) Escolhida uma disposio construtiva para a armadura no pilar determina-se o baco a ser

utilizado, em funo do tipo de ao e dos valores das relaes dx/hx e dy/hy. No baco, com o trio (, x , y), obtm-se a taxa mecnica . A armadura calculada pela Eq. 50:

yd

cdcs f

fAA =

13. CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS

Apresenta-se o roteiro de clculo dos chamados pilares intermedirios, com a aplicao do Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada e do Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada. Em seguida so apresentados dois exemplos numricos de aplicao. 13.1 ROTEIRO DE CLCULO

No pilar intermedirio, devido continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: MA = MB

= 0, em ambas as direes do pilar, o que leva a M1d,A = 0 e e1 = 0.

a) Esforos Solicitantes A fora normal de clculo pode ser determinada como Nd = n . f . Nk (Eq. 53)

onde: Nk = fora normal caracterstica no pilar;

n = coeficiente de majorao da fora normal (ver Tabela 13.1 da NBR 6118/03); f = coeficiente de majorao da fora normal, como definido na Tabela 11.1 da NBR

6118/03.

b) ndice de Esbeltez (Eq. 21 e 22)

i el= ,

AIi = , para seo retangular:

h 3,46 el=

c) Momento Fletor Mnimo (Eq. 33)

M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) com h = dimenso do pilar, em cm, na direo considerada.



30

d) Esbeltez Limite (Eq. 27)

b

1

1

he12,5 25

+

= com 9035 1 e1 = 0 para pilar intermedirio. 1 - no considera-se o efeito de 2 ordem para a direo considerada; > 1 - considera-se o efeito de 2 ordem para a direo considerada.

e) Momento de 2a Ordem e1) Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada

Determina-se Md,tot pela Eq. 32:

+=

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,d MM

r1

10NM.M l M1d,A M1d,mn

e2) Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada



d2

tot,d =+ 13.2 EXEMPLOS NUMRICOS

Os exemplos numricos a seguir so de pilares intermedirios, biapoiados, de ns fixos (contraventados) e sem foras transversais atuantes. Os clculos sero feitos em funo dos momentos fletores solicitantes e, a ttulo de exemplo, sero feitos tambm em funo das excentricidades, segundo as sees de extremidade e intermediria, como mostrado no item 11.

Os seguintes dados so comuns em todos os exemplos: concreto C20; ao CA-50 ; d = 4,0 cm ; c = f =1,4 ; s = 1,15. 13.2.1 Exemplo Numrico 1

Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na Figura 28, sendo conhecidos: Nk = 785,7 kN seo 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2) lex = ley = 280 cm dN

x

y

h = 50 cmx

h =

20

cmy

Figura 28 Dimenses da seo transversal e situao de projeto.

RESOLUO Embora a armadura longitudinal resultar do clculo segundo a direo de menor rigidez do pilar (dir. y), a ttulo de exemplo ser demonstrado tambm o clculo segundo a direo x.



31

a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo (Eq. 53): Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 785,7 = 1.100 kN. Tratando-se de um pilar intermedirio, no existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as direes do pilar. b) ndice de esbeltez (Eq. 22) O ndice de esbeltez deve ser calculado para as direes x e y, conforme os eixos mostrados na Figura 28. Procurou-se padronizar a notao, o que pode resultar diferenas em relao quelas j estudadas nas disciplinas anteriores.

4,1950

28046,3h

46,3

x

exx === l

4,4820

28046,3h

46,3

y

eyy ===

l

c) Momento fletor mnimo

O momento fletor mnimo, em cada direo, calculado pela Eq. 33: M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. Dir. x: M1d,mn,x = ( )50.03,05,11100 + = 3.300 kN.cm ; e1x,mn = 3,00 cm Dir. y: M1d,mn,y = ( )20.03,05,11100 + = 2.310 kN.cm ; e1y,mn = 2,10 cm

e) Esbeltez limite (Eq. 27)

b

1

1

he12,5 25

+

= com 9035 1

Nos pilares intermedirios no ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem nas extremidades do pilar em ambas as direes x e y, isto , MA = MB = 0. Da resulta que b igual a 1,0 (ver item 7.3). Assim: 1,x = 1,y = 25 35 1,x = 1,y = 35 Desse modo: x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos de 2 ordem na direo x; y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos de 2 ordem na direo y. e) Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (Eq. 32)

+=

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,d MM

r1

10NMM l

Fora normal adimensional (Eq. 19): 77,0

4,10,21000

1100f.A

N

cdc

d ===



32

Curvatura segundo a direo y sujeita a esforos de 2a ordem (Eq. 18):

( ) ( ) 1-41-4 cm 10.5,220005,0cm 10.9685,1

5,077,020005,0

50,0h005,0

r1 ==+=+=

A excentricidade de 2a ordem na direo y (Eq. 17):

54,110.9685,110

280e 42

y2 == cm Fazendo M1d,A = M1d,mn em cada direo, tem-se os momentos fletores totais em cada direo principal do pilar:

Dir. x: Md,tot,x = M1d,mn,x = 3.300 kN.cm

Dir. y: 008.410.9685,110

28011002310.0,1M 42

y,tot,d =+= kN.cm Md,tot,y = 4.008 kN.cm M1d,mn,y = 2.310 kN.cm

A situao de projeto e as situaes de clculo esto mostradas na Figura 29.

Nd

e 1x,mn

y

xNd

S.P.

e = 3,64y

1y,mne = 2,1

2ye = 1,54

Nd

1 s.c.a 2 s.c.a

3,00

Figura 29 Situaes de projeto e de clculo.

Com = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para flexo reta faz-se o clculo de (Eq. 48 ou 49) e d/h, segundo as direes x e y:

Dir. x:

= cdcx

x,tot,d

f.A.hM

= 05,0

4,10,21000.50

3300 = ou 05,05000,377,0

he

x

x ===

x

x

h'd =

500,4 = 0,08 0,10 baco A-25 ( = 0,05)

Outros bacos diferentes do A-25 poderiam ter sido utilizados. O baco A-25

interessante porque no fixa o nmero de barras a serem dispostas na seo transversal, ele fixa apenas as faces do pilar que devero alojar as barras da armadura. O baco A-25 tambm proporciona que as barras sejam distribudas no lado maior do pilar. Dir. y:

= cdcy

y,tot,d

f.A.hM

= =4,10,21000.20

4008 0,14 ou 14,02064,377,0

he

y

y ===



33

y

y

h'd

= 20

0,4 = 0,20 baco A-4 ( = 0,38)

Para a solicitao na direo y o baco A-4 compatvel com o baco A-25 da direo x,

pois proporciona o mesmo arranjo de barras do baco A-25 na seo transversal, ou seja, as barras distribudas ao longo do lado maior do pilar. Para se chegar a essa concluso deve-se comparar a direo das barras com a direo da excentricidade, fazendo-se a analogia com a 1a s.c.

Portanto, a maior armadura calculada para o maior valor de :

As = yd

cdc

ffA = 49,12

15,150

4,10,21000.38,0

= cm2

e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada

Aplicando a Eq. 36 numericamente para a direo y, com M1d,A = M1d,mn, tem-se: 0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd

2d

2tot,d =+

+ tot,d22 tot,d M)2310.0,1.192001100.20.4,481100.20.3840(M1920002310.1100.20.0,1.3840 =

010.951488,1M11408320M19200 11tot,d2

tot,d = 010164000M2,594M tot,d

2tot,d =

A raiz positiva da equao de 2o grau : Md,tot = 3.500 kN.cm M1d,mn,y = 2.310 kN.cm Com = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para flexo reta:

= cdcy

y,tot,d

f.A.hM

=

4,10,21000.20

3500 = 0,12

y

y

h'd

= 20

0,4 = 0,20 baco A-4 ( = 0,30)

As = yd

cdc

ffA = 86,9

15,150

4,10,21000.30,0

= cm2

13.2.2 Exemplo Numrico 2 Este segundo exemplo (Figura 30) semelhante ao primeiro, com exceo da maior fora normal de compresso. So conhecidos:



34

Nk = 1.071 kN seo 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2) lex = ley = 280 cm

dN

x

y

h = 50 cmx

h =

20

cmy

Figura 30 Dimenses da seo transversal e situao de projeto.

RESOLUO a) Esforos solicitantes

A fora normal de clculo : Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1071 = 1.500 kN. b) ndice de esbeltez

4,1950

28046,3h

46,3

x

exx === l

4,4820

28046,3h

46,3

y

eyy ===

l


O momento fletor mnimo em cada direo : M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. Dir. x: M1d,mn,x = ( )50.03,05,11500 + = 4.500 kN.cm ; e1x,mn = 3,00 cm Dir. y: M1d,mn,y = ( )20.03,05,11500 + = 3.150 kN.cm ; e1y,mn = 2,10 cm

d) Esbeltez limite

b

1

1

he12,5 25

+

= com 9035 1 Do mesmo modo como no exemplo anterior: 1,x = 1,y = 25 35 1,x = 1,y = 35 Desse modo: x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos de 2 ordem na direo x; y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos de 2 ordem na direo y. e) Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada

+=

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,d MM

r1

10NMM l

Fora normal adimensional: 05,1

4,10,21000

1500f.A

N

cdc

d ===



35

Curvatura segundo a direo y sujeita a esforos de 2a ordem:

( ) ( ) 1-41-4 cm 10.5,220,0005,0cm 10.6129,1

5,005,120005,0

50,0h005,0

r1 ==+=+=

A excentricidade de 2a ordem na direo y :

26,110.6129,110

280e 42

y2 == cm

Fazendo M1d,A M1d,mn em cada direo, tem-se os momentos totais mximos: Dir. x: Md,tot,x = M1d,mn,x = 4.500 kN.cm

Dir. y: 047.510.6129,110

28015003150.0,1M 42

y,tot,d =+= kN.cm Md,tot,y = 5.047 kN.cm M1d,mn,y = 3.150 kN.cm

A situao de projeto e as situaes de clculo esto mostradas na Figura 31.

a a

1x,mn

1y,mn

2y

y

Nd

e

y

xNd

S.P.

e = 3,36

e = 2,10

e = 1,26

Nd

1 s.c. 2 s.c.

3,00

Figura 31 Situaes de projeto e de clculo.

Com = 1,05 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para flexo reta: Dir. x:

= cdcx

x,tot,d

f.A.hM

= 06,0

4,10,21000.50

4500 = ou 06,05000,305,1

he

x

x ===

x

x

h'd =

500,4 = 0,08 0,10 baco A-25 ( = 0,38)

Dir. y:

= cdcy

y,tot,d

f.A.hM

= =4,10,21000.20

5047 0,18 ou 18,02036,305,1

he

y

y ===

y

y

h'd

= 20

0,4 = 0,20 baco A-4 ( = 0,78)

A comparao entre os bacos A-4 e A-25 apresentada no exemplo anterior vale tambm

para este exemplo. A maior armadura resulta do maior valor encontrado para :



36

As = yd

cdc

ffA = 63,25

15,150

4,10,21000.78,0

= cm2


Aplicando a Eq. 36 numericamente para a direo y tem-se: 0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd

2d

2tot,d =+

+ tot,d22 tot,d M)3150.0,1.192001500.20.4,481500.20.3840(M1920003150.1500.20.0,1.3840 =

010.6288,3M15556800M19200 11tot,d2

tot,d = 018900000M25,810M tot,d

2tot,d =

A raiz positiva da equao de 2o grau : Md,tot = 4.771 kN.cm M1d,mn = 3.150 kN.cm Com = 1,05 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para flexo reta:

= cdcy

y,tot,d

f.A.hM

=

4,10,21000.20

4771 = 0,17

y

y

h'd

= 20

0,4 = 0,20 baco A-4 ( = 0,76)

As = yd

cdc

ffA = 97,24

15,150

4,10,21000.76,0

= cm2

Comparando-se com o Exemplo 1 nota-se um aumento considervel da armadura, em torno de 100 %, para um aumento de apenas 36 % para a fora normal do exemplo 2.

Embora apenas dois exemplos numricos tenham sido apresentados, pelos valores obtidos pode-se observar que o mtodo da rigidez aproximada resulta armaduras inferiores ao mtodo da curvatura aproximada. Para a fora normal maior a diferena de armadura diminuiu de 21,1 % para 2,6 %.

14. CLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE Apresenta-se a seguir um roteiro de clculo dos chamados pilares de extremidade, com a

aplicao do Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada e do Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada. Em seguida so apresentados quatro exemplos numricos de aplicao.

14.1 ROTEIRO DE CLCULO

a) Esforos Solicitantes

A fora normal de clculo pode ser determinada como Nd = n . f . Nk onde: Nk = fora normal caracterstica no pilar;



37

n = coeficiente de majorao da fora normal (ver Tabela 13.1 da NBR 6118/03); f = coeficiente de majorao da fora normal, como definido na Tabela 11.1 da NBR

6118/03. b) ndice de Esbeltez (Eq. 21 e 22)

i el= ;

AIi = , para seo retangular:

h 3,46 el=

c) Momento Fletor Mnimo (Eq. 33)

M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) com h = dimenso do pilar, em cm, na direo considerada.

d) Esbeltez Limite (Eq. 27)

b

1

1

he12,5 25

+

= com 9035 1b

e1 0 na direo da viga no contnua sobre o pilar de extremidade; h = dimenso do pilar na mesma direo de e1; 1 - no se considera o efeito de 2 ordem para a direo considerada; > 1 - se considera o efeito de 2 ordem para a direo considerada.

e) Momento de 2a Ordem e1) Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada


+=

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,d MM

r1

10NM.M l M1d,A M1d,mn

e2) Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada



d2

tot,d =+ 14.2 EXEMPLOS NUMRICOS Os exemplos numricos a seguir so de pilares de extremidade, biapoiados, de ns fixos (contraventados) e sem foras transversais atuantes. Os seguintes dados so comuns em todos os exemplos: concreto C20; ao CA-50 ; d = 4,0 cm ; c = f =1,4. 14.2.1 Exemplo Numrico 1

Este exemplo semelhante aquele encontrado em FUSCO (1981, p. 297), com a diferena das alteraes do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar, de 25 cm para 20 cm (Figura 32). So conhecidos:



38

Nk = 1.110 kN Md,x = 2.170 kN.cm (e1x = 1,40 cm) seo 20 x 70 (Ac = 1.400 cm2) lex = ley = 280 cm

h =

70

cm

e1x

xh = 20 cm

y

Nd

y

x

Figura 32 Arranjo estrutural do pilar na planta de frma e dimenses da seo.

RESOLUO a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo : Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1110 = 1.554 kN. Alm da fora normal de compresso ocorrem tambm momentos fletores nos extremos do pilar (M1d,A,x = - M1d,B,x = 2.170 kN.cm), que solicitam o pilar na direo x, em funo de existir uma viga no contnua sobre o pilar na direo x (Figura 32): b) ndice de esbeltez

4,4820

28046,3h

46,3

x

exx === l

8,1370

28046,3h

46,3

y

eyy ===

l


M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor mnimo, em cada direo :

Dir. x: M1d,mn,x = 1554 (1,5 + 0,03 . 20) = 3.263,4 kN.cm ; e1x,mn = 2,10 cm Dir. y: M1d,mn,y = 1554 (1,5 + 0,03 . 70) = 5.594,4 kN.cm ; e1y,mn = 3,60 cm



39

2170 kN.cm

2170 kN.cm

2170 kN.cm

2170 kN.cm

1,40 cm

1,40 cm1,40 cm

1,40 cm

280

280

+

-

+

+ +

-

--

Figura 33 Momentos fletores de clculo de 1a ordem e excentricidades no topo

e na base do pilar na direo x. d) Esbeltez limite

b

1

1

he12,5 25

+

= com 9035 1 Dir. x: A excentricidade de 1a ordem e1 na direo x 1,40 cm. Os momentos fletores de 1a ordem na direo x so M1d,A,x = - M1d,B,x = 2.170 kN.cm, menores que o momento fletor mnimo nesta direo, o que leva a b = 1,0. Assim:

9,250,1

20

1,4012,5 25x,1 =

+= 35 1,x = 35

Dir. y: Na direo y no ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem, portanto, e1y = 0 e b = 1,0. Assim:

0,250,1

70012,5 25

y,1 =+

= 35 1,y = 35 Desse modo: x = 48,4 > 1,x so considerados os efeitos de 2 ordem na direo x; y = 13,8 < 1,y no so considerados os efeitos de 2 ordem na direo y. e) Momento de 2a ordem O momento fletor de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada

+=

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,d MM

r1

10NM.M l

Fora normal adimensional: 78,0

4,10,21400

1554f.A

N

cdc

d ===

Curvatura segundo a direo x sujeita a esforos de 2a ordem:



40

( ) ( ) 1-41-4 cm 10.5,220005,0cm 10.953,1

5,078,020005,0

50,0h005,0

r1 ==+=+=

A excentricidade de 2a ordem na direo x :

53,110.953,110

280e 42

x2 == cm

Fazendo M1d,A M1d,mn em cada direo, tem-se o momento total mximo: Dir. x:

Md,tot,x = 1,0 . 3263,4 + =42

10.953,110

2801554 5.642,8 M1d,mn,x = 3.263,4 kN.cm Md,tot,x = 5.642,8 kN.cm Dir. y: Md,tot,y = M1d,mn,y = 5.594,4 kN.cm A situao de projeto e as situaes de clculo esto mostradas nas Figuras 34 e 35.

S.P.

dN

y

1 s.c.a

2,10 e

Nx

1x,mn

d

e 1x

Figura 34 Situaes de projeto e de clculo da seo de extremidade.

e e

S.P.

1x,C2,10 1x,mn

a1 s.c.

dN

y

x

0,56

dN

2xe 1,53

3,63 xe

1y,mn

d

e = 3,60

N

2 s.c.a Figura 35 Situaes de projeto e de clculo para a seo intermediria.

Das trs situaes de clculo nota-se que a 1 s.c. da seo intermediria a que resulta na

maior armadura para o pilar, pois, alm de ser a maior excentricidade, solicita o pilar na sua direo de menor rigidez.

Com = 0,78 e utilizando-se os bacos de VENTURINI (1987) para flexo reta: Dir. x:



41

= cdcx

x,tot,d

f.A.hM

= 14,0

4,10,21400.20

8,5642 = ou 14,02063,378,0

he

x

x ===

x

x

h'd =

200,4 = 0,20 baco A-4 ( = 0,40)

Dir. y:

= cdcy

y,tot,d

f.A.hM

= =4,10,21400.70

4,5594 0,04 ou 04,07060,378,0

he

y

y ===

y

y

h'd

= 70

0,4 = 0,06 0,05 baco A-24 ( = 0,08)

As = yd

cdc

ffA = 40,18

15,150

4,10,21400.40,0

= cm2


O momento total na direo x : 0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd

2d

2tot,d =+

+ tot,d22 tot,d M)4,3263.0,1.192001554.20.4,481554.20.3840(M1920004,3263.1554.20.0,1.3840 =

0803894776524M16116845M19200 tot,d2

tot,d = 020285294M4,839M tot,d

2tot,d =

A raiz positiva da equao de 2o grau : Md,tot,x = 4.943,1 kN.cm M1d,mn,x = 3.263,4 kN.cm Com = 0,78 e utilizando-se os bacos de VENTURINI (1987) para flexo reta:

= cdcx

x,tot,d

f.A.hM

=

4,10,21400.20

1,4943 = 0,12

x

x

h'd =

200,4 = 0,20 baco A-4 ( = 0,33)

As = yd

cdc

ffA = 18,15

15,150

4,10,21400.33,0

= cm2

14.2.2 Exemplo Numrico 2 Este exemplo tambm semelhante aquele encontrado em FUSCO (1981, p. 311), com a diferena das alteraes do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar de 25 cm para 20 cm (Figura 36). So conhecidos:



42

h

= 2

0 cm

xh = 70 cm

y

Nd x

y

e1,x

N k = 1.110 kN Md,x = 3.260 kN.cm (e1x = 2,10 cm) seo 20 x 70 (Ac = 1.400 cm2) lex = ley = 460 cm

Figura 36 - Arranjo estrutural do pilar na planta de frma e dimenses da seo. RESOLUO a) Esforos solicitantes

A fora normal de clculo : Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1110 = 1.554 kN. Alm da fora normal de compresso ocorrem tambm momentos fletores nos extremos do pilar (M1d,A,x = - M1d,B,x = 3.260 kN.cm), que solicitam o pilar na direo x, em funo de existir uma viga no contnua sobre o pilar na direo x (Figura 37).

460

460

3260 kN.cm

+

3260 kN.cm

-

3260 kN.cm

3260 kN.cm

+

-2,10 cm

2,10 cm

2,10 cm

-

+

-

+

2,10 cm

Figura 37 Momentos fletores de clculo de 1a ordem e excentricidades no topo e na base do pilar na direo x.

b) ndice de esbeltez Fazendo o clculo como no exemplo anterior, resulta: x = 22,7 e y = 79,6.



43

c) Momento fletor mnimo M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor mnimo, em cada direo, :

Dir. x: M1d,mn,x = 1554 (1,5 + 0,03 . 70) = 5.594,4 kN.cm ; e1x,mn = 3,60 cm Dir. y: M1d,mn,y = 1554 (1,5 + 0,03 . 20) = 3.263,4 kN.cm ; e1y,mn = 2,10 cm d) Esbeltez limite

b

1

1

he12,5 25

+

= com 9035 1

Dir. x: A excentricidade de 1a ordem na direo x (e1x) 2,10 cm. Os momentos fletores de 1a ordem na direo x (M1d,A,x = - M1d,B,x = 3.260 kN.cm) so menores que o momento fletor mnimo nesta direo, o que leva a b = 1,0. Assim:

4,250,1

70

2,1012,5 25x,1 =

+= 35 1,x = 35

Dir. y: Na direo y no ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem, portanto e1y = 0 e b = 1,0. Assim:

0,250,1

20012,5 25

y,1 =+

= 35 1,y = 35 Desse modo: x = 22,7 < 1,x no so considerados os efeitos de 2 ordem na direo x; y = 79,6 > 1,y so considerados os efeitos de 2 ordem na direo y. e) Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada

+=

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,d MM

r1

10NM.M l

A fora normal adimensional e a curvatura (na direo y, sujeita a esforos de 2a ordem) so os mesmos do exemplo anterior: = 0,78 e 1/r = 1,953 . 10-4 cm-1. A excentricidade de 2a ordem na direo y :

13,410.953,110

460e 42

y2 == cm

Fazendo M1d,A M1d,mn em cada direo, tem-se o momento total mximo: Dir. x:

Md,tot,x = 3.260,0 kN.cm M1d,mn,x = 5.594,4 kN.cm Md,tot,x = 5.594,4 kN.cm Dir. y:

Md,tot,y = 1,0 . 3263,4 + =42

10.953,110

4601554 9.685,4 M1d,mn,y = 3.263,4 kN.cm Md,tot,y = 9.685,4 kN.cm



44

A situao de projeto e as situaes de clculo esto mostradas nas Figuras 38 e 39.

S.P.

dN

y

1 s.c.

3,60 e

Nx

d

e 1x 1x,mn

a

2,10

Figura 38 Situaes de projeto e de clculo da seo de extremidade.

Nd

e

e = 6,23

e = 2,10

e = 4,13

Nd

3,60

1 s.c.a 2 s.c.a

1y,mn

1x,mn

y

2y

S.P.

dN

y

xe 1x,C0,84

Figura 39 Situaes de projeto e de clculo da seo intermediria.

Com = 0

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