pi 1 mode la gem 1

Programao inteira Modelagem

Aula baseada em diversas fontes: Integer programming de L. Wolsey, 1998. Pesquisa operacional de Arenales et al., 2007. Slides do Prof. Celso Carneiro Apostila Programao da produo, Prof. Marcos N. Arenales

Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa - ICMC/USP

Conceitos bsicos

FMBT/ AMC

forma geral

(problema de programao linear inteiro misto)

(problema de programao linear inteiro)FMBT/ AMC

(problema de programao binria)

Baseado em Integer programming - Wolsey, 1998.

problema de otimizao combinatria

(problema de otimizao combinatria)

Onde N={1,...,n} (finito) o conjunto de subconjuntos factveis de n. (cada conjunto tem um custo cj e o objetivo escolher o melhor deles)FMBT/ AMC


Formulando Varveis parmetros. Algoritmo Wolsey:(Re)defina variveis A partir das variveis, defina restries cujos pontos factveis correspondam aos pontos factveis do problema.

A partir das variveis, defina a funo objetivo. Dificuldade ?FMBT/ AMC


inteiro ? Voltando justificativa de Land e Doig:

Por que no arredondar ?

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Resoluo via arredondamento Ideia: eficincia do simplex similaridade dos problemas inteiros com os problemas contnuos. Dificuldade:

Situao ainda mais crtica para problemas binrios.FMBT/ AMC


Mais sobre a aplicabilidade (e limites) do arredondamento

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trs situaes Nos slides a seguir, vamos modelar trs problemas de programao linear e estudar a necessidade (ou no) do uso de variveis inteiras. (Slides do Prof. Celso Carneiro Ribeiro Universidade Federal Fluminense.)

FMBT/ AMC

FMBT/ AMC

Slide do Prof. Celso Carneiro Ribeiro - Universidade Federal Fluminense.

FMBT/ AMC


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Variveis inteiras como ferramenta de modelagem

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Necessidade das variveis inteiras (pela prpria caracterstica das variveis justificativa de Land e Doig e dos slides anteriores); Outra situao: Necessitamos das variveis inteiras como um artifcio de modelagem. [em particular, vejamos o caso em que necessitamos de variveis binrias]

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Utilizao de variveis binriasDeciso sobre uma atitude (fazer ou no fazer, comprar ou no comprar...).

FMBT/ AMC

Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007

Caso 1: implicaes se-ento A) Custo fixo: A produo de um item (o envio de uma mercadoria, a deciso de se tomar um taxi, etc) implica em um custo fixo, por exemplo, de preparao da mquina (de pagamento do custo mnimo de envio, da taxa inicial do taxi, etc).

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Custo de produo:

Como modelar de maneira linear ? Dica: precisamos do auxlio de uma varivel binria.FMBT/ AMC


Seja uma varivel binria y, tal que y vale 1 se x>0 e y vale 0 caso contrrio.

Como associar x e y ?

M um valor suficientemente grande (produo mxima x)FMBT/ AMC


Caso 1: implicaes se-ento B) Produo de itens: Considere o caso em que, se o produto 1 fabricado, o produto 2 tambm deve ser.

logo, podemos forar:FMBT/ AMC


Restries:y uma varivel que indica se 2,3 ou 4 foram produzidos

Outra forma ?FMBT/ AMC


Caso 2: restries disjuntivas s vezes, deseja-se aplicar apenas uma de um conjunto de restries: ex: quero um carro que faa 20km/litro OU que atinja 100km/h em 4s.

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De maneira geral:

OU

Se y=1, f()0 est ativada Se y=0, g()0 est ativada

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Valor de M

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Caso 3: Relaes lgicas Variveis binrias podem ser usadas para representar relaes lgicas.

FMBT/ AMC


ouFMBT/ AMC


O que melhor ?ou

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Caso 4: Representao de valores discretos

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(Muito breve) introduo teoria de variveis lgicas (TVL)

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Proposio: simpes: varivel binria composta: modificao de uma proposio por uma negao ou composio de proposies.

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Slide baseado no livro Linear and integer programming, Sierksma, 1996

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Tabelas verdade

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Outras restriesforma lgica linearizao

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Linearizaes usando TVL Teorema til...

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Linearizaes Introduzimos duas variveis tais que:

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Linearizaes

(1-1) = 0 pelo teorema:

pelo teorema:FMBT/ AMC


LinearizaesCom equaes similares para g(x), temos:

E uma ltima restrio, indicando que apenas uma das duas situaes ocorre:

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Outro exemplo Linearizar

(teorema)

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Outro exemplo Linearizar

(teorema)

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Testando com tabela verdade

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Problemas clssicos

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Problemas clssicos Importncia histrica... ... e prtica. Usados para modelar problemas reais e como subproblemas em problemas maiores (e mais frequentes na prtica).

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Problema da mochila

Idia bsica: diversos tens, cada um com um valor de utilidade e um peso. Queremos levar a maior soma de utilidades possvel (no podemos ultrapassar a capacidade da mochila)

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Problema da mochila (variaes) mltiplas mochilas: cada item pode entrar em uma de vrias mochilas (caminhes, contineres)...

variveis:

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Variao das mltiplas mochilas Mltiplos processadores paralelos: o peso (tempo de processamento) de cada item pode depender da mochila (processador) ao qual ele for alocado.

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bin packing Encontrar o menor nmero de mochilas tal que todos os itens sejam empacotados.

todos os itens so alocados as capacidades das mochilas so respeitadasFMBT/ AMC


Problemas de designao Alocar n tarefas a n agentes de modo a minimizar o custo total de designao;

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Problemas de designao generalizada m agentes, n tarefas cada tarefa deve ser realizada por um nico agente. cada agente pode realizar mais de uma tarefa. cada agente i gasta aij de um dado recurso (tempo, e.g.) para executar a tarefa j. cada agente dispe de bi unidades do recurso.

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Problemas de designao generalizada

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Problemas de cobertura/partio/empacotamento

Selecionar subconjuntos de um conjunto inicial de forma a cobrir, particionar ou empacotar o conjunto inicial.

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Problemas de cobertura/partio/empacotamento

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Exemplo de aplicao: localizao de facilidades de emergncia (corpo de bombeiros, ambulncias)x y w

z

x consegue atender em 10 minutos (tempo mximo desejado) os bairros 1 e 2; x: (1,2) y: (2,4,5)

w: (3)FMBT/ AMC

z: (4,5) cobertura, empacotamento ou particionamento ?Slide baseado no livro Pesquisa Operacional, Arenales et al., 2007

Cobertura Exemplo:x y w z

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De maneira geral

Cobertura

Empacotamento

Particionamento

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Caixeiro viajante

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Formulao matemtica

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Outras equaes de eliminao de subciclosMiller, C. E.; Tucker, A. W. & Zemlin, R. A. Integer programming formulations and travelling salesman problems J. of the Association of Computing Machinery, 1960, 7, 326-329

originalmente no contexto de problema de roteamento de veculos: n 0 o depot.

(Miller-Tucker-Zemlin constraints)FMBT/ AMC

Miller-Tucker-Zemlin

Para um dado arco (i,j) na soluo: xij = 1 Para cada (i,j) que no contm a origem, isso implica:u2 u1 u3FMBT/ AMC

Miller-Tucker-Zemlin

E para o TSP ?adicionar origem na restrio do APFMBT/ AMC

Miller-Tucker-Zemlin Forma mais moderna:

possvel fortalec-las ? (lift)Desrochers, M. & Laporte, G. Improvements and extensions to the Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints Operations Research Letters, 1991, 10, 27-36FMBT/ AMC

MTZ (Desrochers-Laporte)

Prova: xji = 0 : ui - uj + (n-1)xij

n-2 (o que tnhamos antes)

xji =1 : ui - uj + (n-3) xji n-2 ui - uj + (n-3) n-2 ui - uj 1 (que o que se obtm com a equao original para (j,i).FMBT/ AMC

Gavish and Graves (commodity flow)Gavish, B. & Graves, S. C. The travelling salesman problem and related problems Working Paper GR-078-78, Operations Research Center, MIT, 1978

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Gavish and Graves (commodity flow)

FMBT/ AMC

Gavish and Graves (commodity flow)

g3 g4 g1 - g2 = 1 g2 - g3 = 1 g3 - g4 = 1 g4 - g1 = 1 g1

g2

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diversas outras...

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Problema do carteiro chins (origem)

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Problema do carteiro chins

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Problema do carteiro chins

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Localizao de facilidades

Pizzolato, N.D., Barcelos, F.B. & Nogueira Lorena, L.A., 2004. School location methodology in urban areas of developing countries. International Transactions in Operational Research, 11, 667-681.

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Problema simples de decisoTemos uma cidade (de beira de estrada), com cinco crianas (conforme mostrado abaixo).

pos:

1

2

3

(aqui no mora "ningum")

99 100

Onde devemos construir uma escola de modo que as crianas andem o menos possvel ? Matematicamente: Min i=1...5 ci onde ci a quantidade caminhada por cada criana.FMBT/ AMC

?

P-medianas cij: distncia do consumidor j facilidade i. p: nmero de facilidades a instalar.

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Dimensionamento de lotes

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Slide baseado na apostila Programao da Produo, M. N. Arenales

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Com restries de capacidade:

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Balanceamento de linhas de montagem Precedncias entre tarefas:

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Balanceamento de linhas de montagem

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c/ trabalhadores diferentes entre si

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Rotao de culturasObjetivo: programar que culturas plantar em um lote cultivvel, de modo a respeitar algumas restries tecnicas e ecolgicas

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Slide baseado na tese de doutorado de Lana M. R. Santos

Rotao de culturas

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Rotao de culturas

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Rotao de culturas

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Problema do caminho mnimo2 B 2 4 A 3 C 1 3 D 1 E 1 F 2 1 G 2 3 H

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Problema do caminho mnimoB 3 3 C 1 2 4 F 2 D 1 E 1 1 G 3 H 2

2

Para o n origem:

A

Para o n destino:

Para todos os outros ns, por exemplo, B:

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Problema do caminho mnimo

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Problema de fluxo em redes15 10A 3 C 1 B 2 4 3

2

D 1 E

3 H 2 1

20

F 2

1 G

5

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Problema de fluxo em redes15 10A 3 1 3 C F 1 G 1 2 2 4 B 2 D 3 1 E 2 H

20

5

ERRADO! Por qu ?FMBT/ AMC

Problema de fluxo em redes Faz sentido ter apenas um tipo de custo (varivel) ?

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Problemas de gesto financeira Considere uma empresa que gostaria de maximizar o retorno do seu fluxo de caixa, ao final de um dado horizonte. A cada ms, a empresa sabe com uma boa preciso: et: entrada de caixa no incio do perodo t st sada de caixa no incio do perodo t

H duas opes de investimento, a cada perodo: 1) Aplicar parte ou todo o dinheiro em aplicaes de curto prazo (1 ms), com taxa de juros 2) Aplicar parte ou todo o dinheiro em aplicaes com menos liquidez, mas com retorno maior: > FMBT/ AMC

Mais detalhes As converses (aplicaes e resgate) s podem ser efetuadas no incio de cada ms. H uma taxa proporcional a ser paga para cada converso entre a aplicao 1 e 2 (ou de 2 para 1). H uma quantia inicial (y0) na aplicao 2.

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Grafo associado

Eq. de balano:FMBT/ AMC

Modelo

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Problemas em rvoresAhuja, R.; Magnanti, T. & Orlin, J. Network flows Prentice Hall, 1993

" A tree is a connected graph that contains no cycle."

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Problemas em rvores Propriedades:a) Uma rvore com n vrtices tem n-1 arcos. b) Uma rvore tem no mnimo duas folhas c) H um nico caminho entre quaisquer dois vrtices de uma rvore

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Minimum Spanning trees e programao linear

Uma formulao linear inteira:

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Minimum Spanning trees e programao linear

Outra formulao linear inteira:

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Problema de Steiner

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no necessrios

Problema de Steiner

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no necessrios

mas podem ser benficos!

Problema de Steiner (formulao)Minimum Spanning tree iN yi

novas variveis: yiFMBT/ AMC

i S\{k} yi, k S N\{1}, |S| 2

Problema de Steiner (formulao)Steiner Tree Problem

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Alguns problemasligas (mistura) fsforos ( mix de produo) enfermeiras (escalonamento de horrios) mochila bin-packing designao e designao generalizada cobertura, partio e empacotamento caixeiro viajante carteiro chins p-medianas dimensionamento de lotes linhas de montagem Rotao de culturas Problemas em grafos (caminho mnimo; projeto de redes) Problemas em rvores (rvore mnima / problema de Steiner)FMBT/ AMC

Algumas restries chave uso de recursos:

designao

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Algumas restries chave cobertura, empacotamento, partio:

alocao/ setup

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Algumas restries chave conservao de fluxo (em grafos):

eliminao de subciclos

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Balano de estoque

Precedncias

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Um pouco mais sobre formulaes alternativas

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exemplo

qual melhor ?FMBT/ AMC


formulao ideal

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A envoltria convexa a melhor formulao possvel... e entre duas formulaes quaisqer ?

retomando:

FMBT/ AMC

pi 1 mode la gem 1

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