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PHD2301/Canais 6 7 8/1

Escoamento em Condutos Escoamento em Condutos LivresLivres

AULAS 6, 7 e 8AULAS 6, 7 e 8

EPUSP, 19 de abril de 2004

CARLOS LLORET RAMOS

J RODOLFO S MARTINS


Objetivos da aulaObjetivos da aula

• Conceituar EGV

• Equações Básicas

• Linhas d’água possíveis


Nas aulas anteriores…….

permanentenão

EVRerapidament

EVGtegradualmeniadovar

EUuniforme

permanenteescoamento


EGV - Escoamento Gradualmente Variado

O movimento é gradualmente variado quando:

1. as profundidades variam gradual e lentamente ao longo do conduto

2. as grandezas referentes ao escoamento, em cada seção, não se modificam com o tempo,

3. as distribuições de pressões são hidrostáticas, de forma que as fórmulas do escoamento uniforme podem ser aplicadas com aproximação satisfatória.


Como pode ser ……

acelerado

retardado

212121 ;; yyVVQQ


Equação Diferencial da Linha d’água

12

22

22

21

11 22E

g

Vyz

g

Vyz


Diferenciando…..

2

2

2gA

Q

dx

d

dx

dy

dx

dz

dx

dE

fSdx

dE 0Sdx

dz

dx

dy

dy

dA

Ag

Q

gA

Q

dx

d

3

2

2

2 2

22


Ajustando fisicamente a diferencial….

BdyBdA

dx

dy

gA

BQ

gA

Q

dx

d3

2

2

2

2


Resulta em…..

dx

dy

gA

BQ

dx

dySS f 3

2

0

3

2

0

1gABQ

SS

dx

dy f

2

0

1 r

f

F

SS

dx

dy

PHD2301/Canais 6 7 8/10

Inclinação da Linha de Energia

fSdx

dE

fhSRCAQ

hf RAC

QS

22

2

PHD2301/Canais 6 7 8/11

Diferentes fórmulas para C

Manning

Universal

Manning

Universal

PHD2301/Canais 6 7 8/12

Casos Particulares

2

0

1 r

f

F

SS

dx

dy

Escoamento Uniforme Escoamento Crítico

PHD2301/Canais 6 7 8/13

Posições da Linha d’ÁguaPosições da Linha d’Água

99

100

101

102

0 50 100 150 200 250

NA

(m

)

x (m)

Prof NormalProf Crítica

fundo

I<IcrI=0

I>Icr

I=Icr

Tipo Descrição i yn M Declividadade fraca – “Mild Slope” < iC > yC

S Declividadade forte – “Steep Slope” > iC < yC C Declividade Crítica = iC = yC H Declividade nula - Horizontal =0

A Declividade negativa - Adversa <0 1

PHD2301/Canais 6 7 8/14

Exemplo 1

A vazão em regime uniforme de um canal retangular de 4,50 m de largura é 12 m³/s, para uma declividade de 1%. Considerando que a rugosidade de Manning é da ordem de 0,012, qual é o regime de escoamento deste canal?

Resp=yc/yn/reg:0,90/0,55/Torrencial

PHD2301/Canais 6 7 8/15

Exemplo 2

Um canal retangular com acabamento muito liso (n=0,012) tem declividade 0,0035 m/m e transporta uma vazão de 16,4 m³/s. Para que o escoamento seja considerado crítico qual deve ser a largura B ?

Resp=2,55 m

PHD2301/Canais 6 7 8/16

Analisando as linhas d’água

2

0

1 r

f

F

SS

dx

dy

hf RAC

QS

22

2

3

22

2

gA

BQ

gy

VF

m

r

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3y (m)

Sf

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3y (m)

Fr

PHD2301/Canais 6 7 8/17

Lembrança…….Número de Froude

m

rgy

VF

Fr<1 Escoamento lento ou fluvial V < Vcr

Fr=1 Escoamento Crítico

Fr>1 Escoamento rápido ou torrencial V > Vcr

PHD2301/Canais 6 7 8/18

Declividade Fraca

PHD2301/Canais 6 7 8/19

Ocorre quando…….

PHD2301/Canais 6 7 8/20

Declividade Rápida ou Forte

PHD2301/Canais 6 7 8/21

Ocorre quando……

PHD2301/Canais 6 7 8/22

Declividade Crítica

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Declividade Nula

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Declividade Adversa

PHD2301/Canais 6 7 8/25

Exemplo 3

Num canal retangular escoa a vvazão de 4,5 m³/s, sendo a largura igual a 1,85m, a declividade longitudinal 0,002 m/m e a rugosidade de fundo 0,012 (Manning). Esboçar a linha d´água neste canal sabendo-se que o mesmo é longo e termina em queda brusca.

PHD2301/Canais 6 7 8/26

Exemplo 4

Um canal de seção retangular, muito largo, tem vazão de 5 m³/s/m, declividade 0,40 m/km e rugosidade 0,021 (Manning). Se na extremidade de jusante a profundidade é igual a 2,40 m, quais seriam as linhas d´água que odem ocorrer neste escoamento?

PHD2301/Canais 6 7 8/27

Cálculo do Perfil da Linha d’água

O cálculo da linha d’água num canal pode ser feito através da equação da energia ou da equação da quantidade de movimento para os escoamentos permanentes:

0)( 0

2

SSgA

x

ygA

A

Q

x f

onde S0 é a declividade do fundo e Sf a declividade da linha de energia

2

0

1 r

f

F

SS

dx

dy

Trabalhando-se algebricamente esta relação obtém-se a expressão ao lado:

A última expressão permite a interpretação de todas as possibilidades de linhas d’água num canal

PHD2301/Canais 6 7 8/28

Exemplos de aplicação

Linha de inundação de uma barragem

PHD2301/Canais 6 7 8/29

Outro exemplo….

205

210

215

220

225

230

235

240

245

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

distância (km)

cota

(m

)

Natural

Reservatório 234m

Reservatório 235m

Reservatório 236m

AHE Ipueiras Q=22.579m³/sAHE Peixe Q=18.758m³/s

Fundo

Linhas D'água

AHE Peixe

Cidade de Peixe AHE Ipueiras

PHD2301/Canais 6 7 8/30

Direct Step Method

3

2

122

012

22

22

21

11

21

fSxE

SxZZ

Eg

VyZ

g

VyZ

EHH

PHD2301/Canais 6 7 8/31

Substituindo as expressões

f

f

f

SS

EEx

SxEESx

g

VyE

g

VyE

Sxg

Vy

g

VySx

0

12

21022

22

21

11

22

2

21

10

2

2

22

PHD2301/Canais 6 7 8/32

Estimativa dos parâmetros

f

f

SS

EEx

SSS

hRA

QnS

RhA

QnS

P

AhR

PPP

AAA

yyy

0

12

212

3/22

2

3/211

1

212121

2

;2

;2

;2

PHD2301/Canais 6 7 8/33

Algoritmo de cálculo

Sf1 Sf2 x(m/m) (m/m) (m)

y1

y2

y3

׃Yx

Somed

(m/m)

Sfmed

(m/m)x (m)E (m) ymed (m) Amed (m

2) Rhmed (m)y (m) A (m2) V (m/s) E (m)

PHD2301/Canais 6 7 8/34

Método dos Momentos

02

fgAS

x

hgA

A

Q

x

022

22

f

consth

gASx

hgA

x

A

x

A

A

Q

x

Q

A

Q

xA

Q

PHD2301/Canais 6 7 8/35

Discretizando a equação…

Q

A x

Q

Aq gA F

h

x

Q

A

A

xgASr

h const

f

22

2

22 1 0

( )

x x

i i1

h

x

h h

xi i

1

AA A

ii i

1

2

i

i i1

2F

Q B

gAr

i i

ii

22

3 FF F

rr i r i

i

22

12

2

PHD2301/Canais 6 7 8/36

E o parâmetro Sf

2

2

21

21

211

2 i

i

i

iifif

f K

Q

K

QSSS

K CARh 12

PHD2301/Canais 6 7 8/37

Resulta…..

221

212

2

12

12

11

2))(1(

iiconsth

ii

iiiir

KKQAg

x

AA

A

Q

xA

Qq

A

QhhF

x

gA

D h B h E

D h B h E

D h B h E

D h B h En n n n n

1 2 1 1 1

2 3 2 2 2

3 4 3 3 3

1 1 1 1

que, de forma simplificada é:

PHD2301/Canais 6 7 8/38

onde:

221

212

2

12

2

11

2

)1(

iiconsth

ii

iii

rii

KKQAg

x

AA

A

Q

xA

Qq

A

QE

Fx

AgBD

PHD2301/Canais 6 7 8/39

Algoritmo de solução

O sistema pode ser solucionado pelo esquema de "dupla-varredura", adotando-se valores "iniciais" para as profundidades e calculando-se para as seções os valores de B, D e E.

Com os coeficientes e uma condição de extremidade (nível d'água a montante ou a jusante), calcula-se os hi pelas equações:

hE B h

D

hE Dh

B

ii i i

i

ii i i

i

1

1

PHD2301/Canais 6 7 8/40

Exemplo 5

Um canal de seção retangular, com largura 1,85m, tem vazão de 4,5 m³/s/m, declividade 0,40 m/km e rugosidade 0,021 (Manning). Se na extremidade de jusante a profundidade é igual a 2,40 m, quais seriam as linhas d´água que odem ocorrer neste escoamento?

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