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Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ri beiro 1 Problemas de Redes

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Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 1

Problemas de Redes

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Redes• Uma rede é um sistema de linhas ou canais

interligando diferentes pontos• Há vários tipos de problemas na área de PO• Uma rede pode ser modelada como um

grafo. O que é um grafo?• Um grafo é um conjunto de pontos,

chamados vértices (ou nodos), conectados por linhas, chamadas de arestas (ou arcos)

Um grafo com 6 vértices e 7 arestas

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Grafos• Dependendo da aplicação, as arestas podem ou

não ter direção (Pert grafos direcionados)• Pode ser permitido ou não arestas ligarem um

vértice a ele próprio • Arestas podem ter um peso (numérico) associado• Se as arestas têm uma direção associada

(indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado

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Problema da árvore geradora mínima

• Considere uma rede não direcionada (grafo), conectada e associado a cada arco uma distância não negativa

• Uma rede com n nós requer somente n-1 arcos para fornecer um caminho entre cada par de nós

• Os n-1 arcos devem formar uma árvore geradora. O problema então é encontrar a árvore geradora com o menor comprimento total

• Aplicações: projeto de rede de telecomunicações, projeto de ferrovias, rodovias, etc

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Contra-exemplo

A figura não é uma árvore geradora porque os nós O, A, B e C não estão conectados aos nós D, E e T

A figura gera uma rede, porém não é uma árvore porque existe dois ciclos: O-A-B-C e D-E-T

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Um exemplo de árvore geradora

• A figura é uma árvore geradora– é acíclica– Todo par de nós

está conectado– Existe 6 (n-1) arcos

para 7 (n) nós

• Esta é uma solução viável, mas não é ótima ! (Em relação ao problema que será visto adiante)

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Algoritmo• Selecionar qualquer nó e conectá-lo para o

nó mais próximo• Identificar o nó desconectado mais

próximo para um nó conectado e então conectar estes 2 nós

• Repetir este processo até que todos os nós tenham sido conectados

• OBS: No caso de empate de 2 ou mais nós não conectados mais próximos de um nó conectado, escolher qualquer um dos nós não conectados. A solução ótima é A solução ótima é garantida.garantida. Este fato sinaliza a existência de soluções múltiplas

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Exemplo• A rede do parque Tupiniquim necessita

interligar todos os postos de guarda por uma linha telefônica

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Passos1º - Escolher um nó inicial. Nó escolhido: O.O nó não conectado mais próximo de O é A

2º - O nó não conectado mais próximo dos nós O e A é B. Conectar o nó B ao nó A

3º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A e B é C (mais próximo de B). Conectar o nó C com B

4º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A, B e C é E(mais próximo de B). Conectar E com B.

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Passos (cont.)5º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A,B,C e E é o nó D(Mais próximo de E). Conectar o nó D ao nó E.

6º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A, B, C, E e D é o nó T (mais próximo de D). Conectar o nó T com D.

Solução Final

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O exemplo de uma aplicação para sistemas de irrigação em áreas desérticas, onde se tem uma área (representada por um grafo) particionada em 8 regiões (grupamentos), necessitando de irrigação. O problema consiste em criar uma rede de irrigação de menor caminho que possa tocar no mínimo um vértice de cada região, onde o nó fonte é o principal, pois é nele que se localiza a fonte de água. Esta rede não pode cruzar as regiões, podendo apenas passar pelas suas fronteiras (arestas). Assim, este problemas da irrigação pode ser modelado com uma AGM. Os vértices representam os vértices das fronteiras das regiões, incluso a fonte e, o peso de cada aresta é associado à distancia entre seus vértices.

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