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NA FUNÇÃO OBJETIVO A introdução de variáveis de folga e de excesso não altera a natureza das restrições e tampouco a função objetivo. Assim tais variáveis são incorporadas à função objetivo com coeficientes de valor nulo. A introdução de variáveis artificiais, contudo, mudam a natureza das restrições. Para que os sistemas de equações representando as restrições fiquem equivalentes ao sistema anterior, as variáveis artificiais devem ser iguais a zero. Assim tais variáveis são incorporadas à função objetivo ponderadas por coeficientes negativos de valores elevados nos problemas de maximização e coeficientes positivos de valores elevados nos problemas de minimização. Estes coeficientes serão designados de M ou –M. FORMA NORMAL Um modelo de programação linear está na forma normal se todas as restrições estão traduzidas por igualdades e só se conhece uma solução viável. Em notação matricial a forma normal é: Otimizar: z = CT X sujeito a: AX = B com: X � 0 CT : vetor linha dos custos correspondentes. X : é o vetor coluna de incógnitas (incluindo variáveis de folga, excesso e artificiais). A : é a matriz de coeficientes das equações de restrições. B : é o vetor coluna dos valores à direita das equações representando as restrições. T : expoente que indica transposição. Solução inicial viável é dada por X0 = B X0: é o vetor coluna de variáveis de folga e artificiais . Exemplo: Ponha o seguinte modelo de programação sob forma normal matricial: Maximizar: z = x1 + x2

Sujeito a: x1 + 5x2 � 5 2x1 + x2 � 4 Com: x1 e x2 não negativos

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Adicionando-se as variáveis de folga x3 e x4 , respectivamente, ao lado esquerdo das desigualdades referentes às restrições e incluindo-se estas novas variáveis na função objetivo com custo zero, tem-se: Maximizar: z = x1 + x2 + 0x3 + 0x4

Sujeito a: x1 + 5x2 + x3 = 5 2x1 + x2 + x4 = 4 Com: todas as variáveis não negativas Tendo em vista que todas as restrições possuem variáveis de folga, não se torna necessária a inclusão de variáveis artificiais. Uma solução inicial viável é x3 = 5, x4 = 4, x1 = x2 = 0. O sistema estará na forma normal matricial se definir X � [ x1 , x2 , x3 , x4 ]T C � [ 1 , 1 , 0 , 0 ]T

A � ��

���

�

10120151

B � ��

���

�

45

X0 � ��

���

�

xx

4

3

Ponha o seguinte modelo de programação na forma normal: Maximizar: z = 80x1 + 60x2

Sujeito a: 0,20x1 + 0,32x2 � 0,25 x1 + x2 = 1 Com: x1 e x2 não negativos A fim de converter a primeira restrição em igualdade, adiciona-se uma variável de folga x3 aos termos à esquerda da desigualdade. Uma vez que a segunda restrição, sendo uma equação, não contém variável de folga, adiciona-se uma variável artificial x4 ao primeiro membro da equação. Incorporando-se ambas as novas variáveis à função objetivo a variável de folga com coeficiente de custo igual a zero e a artificial com um coeficiente de custo igual a um valor grande e negativo – obtém-se o modelo de programação.

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Maximizar: z = 80x1 + 60x2 + 0x3 - Mx4

Sujeito a: 0,20x1 + 0,32x2 + x3 = 0,25 x1 + x2 + x4 = 1 Com: todas as variáveis não negativas Este modelo de programação está sob forma normal, com uma solução inicial viável x3 = 0,25, x4 = 1, x1 = x2 = 0 Refazer o problema com o objetivo sendo minimizado. A única mudança é no coeficiente de custo associado à variável artificial. Ele se torna +M em lugar de –M Colocar o modelo de programação sob forma normal: Maximizar: z = 5x1 + 2x2

Sujeito a: 6x1 + x2 � 6 4x1 + 3x2 � 12 x1 + 2x2 � 4 Com: x1 e x2 não negativos Subtraindo-se do lado esquerdo das restrições as variáveis de excesso x3 e x4 e incluindo-se cada uma das variáveis na função objetivo com coeficientes de custo igual a zero obtém-se: Maximizar: z = 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

Sujeito a: 6x1 + x2 - x3 = 6 4x1 + 3x2 - x4 = 12 x1 + 2x2 - x5 = 4 Com: todas as variáveis não negativas Uma vez que nenhuma das restrições contém variáveis de folga, adicionam-se as variáveis artificiais x6, x7 e x8 ao primeiro membro das equações respectivas. O modelo de programação torna-se:

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Maximizar: z = 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 - Mx6 - Mx7 - Mx8 Sujeito a: 6x1 + x2 - x3 + x6 = 6 4x1 + 3x2 - x4 + x7 = 12 x1 + 2x2 - x5 + x8 = 4 Com: todas as variáveis não negativas Este modelo de programação está sob forma normal, com a solução inicial viável x6 = 6, x7 = 12, x8 = 4, x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0. Ponha um dos seguintes modelos de programação sob forma matricial normal. Minimizar: z = 2x1 - x2 + 4x3

Sujeito a: 5x1 + 2x2 - 3x3 � -7 2x1 - 2x2 + x3 � 8 x1 + 2x2 � 4 Com: x1 não negativo Maximizar: z = 10x1 + 11x2

Sujeito a: x1 + 2x2 � 150 3x1 + 4x2 � 200 6x1 + x2 � 175 Com: x1 e x2 não negativos

Minimizar: z = 3x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4

Sujeito a: x1 + 2x2 + x3 + x4 � 1000 2x1 + x2 + 3x3 + 7x4 � 1500

Com: todas as variáveis não negativas

Minimizar: z = 6x1 + 3x2 + 4x3 Sujeito a: x1 + 6x2 + x3 = 10 2x1 + 3x2 + x3 = 15

Com: todas as variáveis não negativas