pesquisa operacional ii - teoria das filas[1]

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Teoria das Filas INTRODUÇÃO Um dos sintomas mais freqüentes de funcionamento deficiente de um Sistema é a existencia de filas ( filas de clientes, filas de produtos, etc.). Quando o número de clientes á espera de atendimento, num banco por exemplo, for muito grande permanentemente, é sinal de que o número de caixas não está adequadamente dimensionado. Um dos tópicos da Pesquisa Operacional com muitas e variadas aplicações no campo da administração das empresas é a Teoria das Filas, que trata de problemas de congestionamento de sistemas, onde a característica principal é a presença de clientes solicitando serviços de alguma forma. Em sua expressão mais simples, um sistema de filas é composto por elementos que querem ser atendidos em 1 posto de serviço e que, eventualmente, devem esperar até que oposto esteja disponível. As aplicações em administração são muitas: 1. Estabelecimento de uma política de atendimento ao público, em empresas concessionárias de serviços públicos, determinando o número de atendentes e a especialização de cada um. 2. Estudo de um sistema de almoxarifados, de forma a determinar os custos totais de operação. 3. Estudo da operação de um centro de processamento de dados, com o objetivo de determinar políticas de atendimento e prioridades para execução dos serviços. 4. Determinação de equipes de manutenção em grandes instalações, onde há custos elevados associados aos equipamentos danificados à espera de reparos. 5. Estudo de operação de caixas (bancos, supermercados etc.) com o objetivo de estabelecer uma política ótima de atendimento ao público. Vários outros casos de aplicações podem ser citados: programação de tráfego aéreo em aeroportos, determinação de capacidade em pátios de estacionamento de automóveis, tempo de espera em comunicações telefônicas, sincronização de semáforos, estudo e programação de linhas de montagem etc. Em todos os exemplos citados existem clientes solicitando serviços, que são limitados por restrições próprias do sistema. Assim, existe a possibilidade de que esses clientes venham a formar filas, até que o serviço solicitado possa ser prestado. Por exemplo, no caso do sistema de manutenção, os clientes são os equipamentos danificados que solicitam serviços (reparos) do pessoal das equipes (atendentes) e que, eventualmente, devem formar uma fila e esperar sua vez. E importante observar que, nesse caso, há dois eventos distintos ocorrendo, de uma maneira geral, de forma aleatória: 1. Equipamentos não se danificam regularmente, de hora em hora por exemplo;

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Teoria das Filas

INTRODUÇÃO

Um dos sintomas mais freqüentes de funcionamento deficiente de um Sistema é a existencia de filas ( filas de clientes, filas de produtos, etc.). Quando o número de clientes á espera de atendimento, num banco por exemplo, for muito grande permanentemente, é sinal de que o número de caixas não está adequadamente dimensionado.

Um dos tópicos da Pesquisa Operacional com muitas e variadas aplicações no campo da administração das empresas é a Teoria das Filas, que trata de problemas de congestionamento de sistemas, onde a característica principal é a presença de clientes solicitando serviços de alguma forma. Em sua expressão mais simples, um sistema de filas é composto por elementos que querem ser atendidos em 1 posto de serviço e que, eventualmente, devem esperar até que oposto esteja disponível.

As aplicações em administração são muitas:

1. Estabelecimento de uma política de atendimento ao público, em empresas concessionárias de serviços públicos, determinando o número de atendentes e a especialização de cada um.

2. Estudo de um sistema de almoxarifados, de forma a determinar os custos totais de operação.

3. Estudo da operação de um centro de processamento de dados, com o objetivo de determinar políticas de atendimento e prioridades para execução dos serviços.

4. Determinação de equipes de manutenção em grandes instalações, onde há custos elevados associados aos equipamentos danificados à espera de reparos.

5. Estudo de operação de caixas (bancos, supermercados etc.) com o objetivo de estabelecer uma política ótima de atendimento ao público.

Vários outros casos de aplicações podem ser citados: programação de tráfego aéreo em aeroportos, determinação de capacidade em pátios de estacionamento de automóveis, tempo de espera em comunicações telefônicas, sincronização de semáforos, estudo e programação de linhas de montagem etc.

Em todos os exemplos citados existem clientes solicitando serviços, que são limitados por restrições próprias do sistema.

Assim, existe a possibilidade de que esses clientes venham a formar filas, até que o serviço solicitado possa ser prestado.

Por exemplo, no caso do sistema de manutenção, os clientes são os equipamentos danificados que solicitam serviços (reparos) do pessoal das equipes (atendentes) e que, eventualmente, devem formar uma fila e esperar sua vez.

E importante observar que, nesse caso, há dois eventos distintos ocorrendo, de uma maneira geral, de forma aleatória:

1. Equipamentos não se danificam regularmente, de hora em hora por exemplo;

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2. por mais bem treinada que seja a equipe, os tempos gastos nos reparos não são sempre os mesmos.

Dessa forma, pode ocorrer que num determinado dia não há um só equipamento para reparo, enquanto que no dia seguinte o número de equipamentos danificados é superior à capacidade de atendimento da equipe, provocando congestionamento no sistema.

São essas irregularidades nas ocorrências dos eventos que determinam o funcionamento desse tipo de sistema e que serão expressas em termos probabilístícos no estudo da Teoria das Filas.

FATORES CONDICIONANTES DA OPERAÇÃO DOS SISTEMAS

Existem diversos fatores que condicionam a operação de um sistema. Tais são as suas interferências que o desempenho do sistema passa a ser função deles. Podem ser classificados em três categorias:

! Forma dos atendimentos;

! Forma das chegadas;

! Disciplina da fila

Forma dos Atendimentos De uma forma geral, os postos de atendimento são formados por pessoas, instalações e equipamentos que devem operar em sintonia, de forma a prestar um bom serviço. Por isso, existem diversos elementos passíveis de atuação por parte do administrador, com o objetivo de aprimorar o desempenho do sistema:

1. dimensionamento da capacidade;

2. treinamento dos atendentes;

3. rotinas administrativas;

4. sistemas de informações, etc.

Todos esses elementos podem ser observados, pesquisados, avaliados e aprimorados. O resultado da interação desses fatores aparece, para o cliente, como o tempo gasto em cada atendimento ou como o número de atendimentos que o sistema consegue fornecer. Assim, essa é a variável que o administrador deve observar em primeiro lugar.

O primeiro passo no estudo de um sistema de filas é o levantamento estatístico do número de clientes atendidos por unidade de tempo, ou do tempo gasto em cada atendimento.Esse tempo pode ser regular, ou seja, todos os atendimentos tem a mesma duração ou são aleatórios, que é a situação mais comum, onde cada cliente exige um tempo próprio para solução de seu problema.

A finalidade do levantamento estatístico é, então, determinar a distribuição de probabilidades do número de atendimentos ou da duração de cada atendimento. O resultado obtido é uma função de distribuição de probabilidades como as mostradas na figura abaixo.

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Freqüência

Probabilidade Duração dos atendimentos

Número de atendimentos / hora

Figura - Distribuições de probabilidades dos atendimentos.

Além disso. mais dois fatores devem ser analisados na definição do regime de atendimento: - Disponibilidade do serviço, já que alguns sistemas só atendem durante um certo intervalo

de tempo, enquanto outros estão sempre em disponibilidade.

- Capacidade de atendimento simultâneo do sistema, isto é, o número de postos de serviço que podem atender aos clientes. Existem sistemas com apenas um posto ou com vários postos de atendimento.

Forma de Chegadas As chegadas de clientes a um sistema ocorrem, na maioria dos casos de interesse para a administração, de forma aleatória, ou seja, o número de clientes que chegam por unidade de tempo varia ao acaso. Torna-se importante, dessa forma, realizar um levantamento estatístico com a finalidade de descobrir se o processo de chegadas pode ser caracterizado por uma distribuição de probabilidades. Para que essa caracterização possa ser feita, o processo de chegadas tem necessariamente que estar no chamado estado estacionário. Isso significa que a distribuição de probabilidades que identifica o processo hoje será a mesma de amanhã.

Ao contrário, quando a distribuição de probabilidades de um evento varia com o tempo, o sistema é dito no estado não-estacionário ou transitório. Assim, a afluência de público a uma agência bancária é um processo estacionário, já que depende das condições normais de negócio existentes na localidade.

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Porém, a iminência de uma greve bancária prolongada ou boato de falência, por exemplo, levariam o sistema para o estado não-estacionário, já que provocaria uma corrida ao banco. Isso significa que a distribuição de probabilidades que explica o evento aleatório das chegadas normais seria diferente da distribuição que explicaria as chegadas, no caso de corrida ao banco. A distribuição de probabilidades do número de chegadas é uma função como a mostrada na Figura abaixo.

Figura - Distribuição de probabilidades do número de chegadas. Número de chegadas / hora

Disciplina da Fila A disciplina da fila é um conjunto de regras que determinam a ordem em que os clientes serão atendidos. Esse atendimento pode ser feito pela ordem de chegada – FIFO (o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido), pela ordem inversa de chegada - LIFO (o último a chegar é o primeiro a ser atendido), pelo atendimento com prioridade para certas classes etc.

ESTRUTURAS DOS SISTEMAS

Além das características gerais de um sistema de filas, é importante determinar a estrutura do mesmo, que é um elemento fundamental do estudo. Esses sistemas podem ter as estruturas o mais variadas possíveis, sendo que cada caso exige um estudo analítico diferente. A estrutura mais simples é mostrada na figura (a), onde temos um sistema de 1 fila e 1 canal. A figura (b) mostra um sistema de 1 fila e 3 canais em paralelo.

Saída Chegada

(a)Canal de serviço

Fila de clientes

Chegada

)

Fila de clientes

Saída

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Canal deserviço

(b

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MEDIDAS DE EFETIVIDADE DE UM SISTEMA OU PARÂMETROS

No estudo de um sistema de filas, podem ser determinadas várias medidas de efetividade ou parâmetros do sistema, com a finalidade de indicar seu desempenho, como:

1. Percentagem (%) do tempo em que o posto de atendimento permanece ocioso ou ocupado (taxa de ocupação);

2. Tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera, que chamaremos de TF;

3. Tempo médio gasto pelo cliente no sistema, isto é, a média dos tempos computados desde o instante de entrada até o de saída, que chamaremos de TS;

4. Número médio de clientes na fila, em uma unidade de tempo, ou, o que é a mesma coisa, tamanho médio da fila, que chamaremos de NF;

5. Número médio de clientes no sistema em uma unidade de tempo, que será chamado de NS;

6. Probabilidade de existir um número n de clientes no sistema, em um determinado momento.

A escolha do parâmetro depende do objetivo do estudo. Por exemplo, no dimensionamento de um pátio de estacionamento, a área do pátio será proporcional ao número médio de veículos no sistema. A probabilidade de haver um número maior que essa média é o risco que se corre de que o pátio não seja suficiente.

Pode ocorrer que num determinado estudo os objetivos sejam conflitantes. Por exemplo, no estudo de um almoxarifado é necessário haver um compromisso entre o número médio de clientes na fila e o tempo ocioso do atendente, já que um varia inversamente com o outro, e ambos tem peso econômico.

1° MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL E 1 FILA COM POPULAÇÃO INFINITA

Serão mostradas aqui as equações que definem o modelo de 1 fila e 1 canal, com população infinita, que pode ser representado simbolicamente pela Figura abaixo.

Saída Chegada

Canal de serviço

Fila de clientes

Figura - Sistema de 1 fila e 1 canal.

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Características Gerais

- As chegadas se processam segundo uma distribuição de Poisson com média λ.

- Os tempos de atendimento seguem a distribuição exponencial negativa com média 1/ µ

(ou seja: o número de atendimentos segue a distribuição de Poisson com média µ).

- O atendimento à fila é feito pela ordem de chegada.

- O número de possíveis clientes é suficientemente grande para que a população possa ser considerada infinita.

Equações do Modelo A probabilidade do sistema estar ocupado ou da utilização de um sistema é:

λ ρ = _______ µ

em que ρ = utilização do sistema

λ = taxa de chegada, unidades/período de tempo

µ = taxa de atendimento, unidades/período de tempo

As equações que se seguem só serão válidas quando λ / µ < 1.

A probabilidade de haver n clientes no sistema é de:

(µ - λ) Pn = ρn x _______ µ

A probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a um certo valor r:

Pn>r = ρr+1 = (λ/µ)r+1 A probabilidade de um sistema P0 vazio ou ocioso é de:

µ - λ P0 = 1 -ρ = _______ µ

A probabilidade de um sistema estar ocupado P n>0 é de

λ P n>0 _______

µ O número esperado na fila NF é:

λ2 NF = _______

µ ( µ - λ )

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O número esperado no sistema NS (fila e atendimento) é:

λ NS = _______

µ - λ O tempo esperado na fila TF é:

λ TF = _______

µ (µ - λ ) O tempo esperado no sistema TS é:

1 TS = _______

( µ - λ ) O número esperado na fila não vazia NF ( F>0) é:

µ NF>0 = _______

(µ - λ ) Probabilidade de que um cliente permaneça mais que t unidades de tempo no sistema:

TS>t = e-t/TS Probabilidade de que um cliente permaneça mais que t unidades de tempo na fila:

TF>t = ρe-t/TS

Exercícios de fixação

1) O departamento de roupas de uma grande loja emprega uma costureira para ajustes nas roupas dos clientes. O número de clientes que requerem ajustes segue uma distribuição de Poisson com taxa média de chegada de 24 clientes / hora. Os clientes provam uma vez, a roupa é ajustada, e então eles esperam pelo atendimento da costureira. O tempo gasto para ajustar uma roupa segue uma distribuição exponencial, com média 2 minutos.

a) Qual é o número médio de clientes na sala de ajustes?

b) Quanto tempo poderia um cliente esperar gastar na sala de ajustes?

c) Qual é a probabilidade de que um cliente espere mais do que 10 minutos pelo atendimento da costureira?

d) Qual o tempo de espera médio para ser atendido pela costureira?

2) Uma casa de doces finos possui um atendente. O modelo de chegada de clientes nos sábados segue aproximadamente uma distribuição de Poisson, com uma taxa média de chagada de 10 pessoas por hora. O tempo médio gasto para atender um cliente é estimado como sendo exponencialmente distribuído, com tempo médio de atendimento de 4 minutos.

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a) Calcule a probabilidade de se formar uma fila.

b) Determine o tamanho médio da fila.

c) Calcule o tempo de espera médio dos clientes na fila.

d) Qual a probabilidade de que um cliente gaste menos de 12 minutos na loja.

RELAÇÕES ENTRE TF, TS , NF e NS

A partir das fórmulas do modelo apresentado anteriormente podemos extrair algumas relações entre as diversas medidas de efetividade do sistema.

Assim, podemos ver que o número médio de clientes na fila (no sistema) tem a seguinte relação com o tempo médio de espera (gasto no sistema):

NF = λ TF

NS = λ TS

Por definição, o tempo médio de espera na fila é igual ao tempo médio gasto no sistema menos o tempo médio gasto no atendimento. Assim:

TF = TS – 1/µ

Multiplicando ambos os lados por λ e substituindo nas fórmulas acima:

NF = NS - λ/µ

TAXA DE SERVIÇO PARA MÍNIMO CUSTO TOTAL DO SISTEMA

É evidente que um aumento na taxa de atendimento do sistema promovera melhor desempenho global. No entanto, na maioria dos casos práticos, maior eficiência do sistema de atendimento resultará também em maior custo total de serviço. O objetivo desta seção é determinar a taxa de serviço que resulta no menor custo total do sistema. Vamos usar a seguinte nomenclatura:

CT : custo total do sistema

CE : custo de estada no sistema médio por período

CA : custo de atendimento médio por período

CE unit : custo de estada unitário (por cliente) por período

CA unit: custo de atendimento unitário, por cliente.

Dessa forma, podem ser escritas as relações:

CT = CA + CE

CE = CE unit x NS

onde NS é o número médio de clientes no sistema. Substituindo:

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CE = CE unit x λ/(µ-λ)

Da mesma forma, como µ é o número médio de clientes atendidos por unidade de tempo, temos:

CA = CA unit x µ

Substituindo:

CT = CA unit x µ + CE unit x λ/(µ-λ)

Para encontrar o valor de ~ que dá o mínimo custo, basta resolver a equação:

.d(CT)/dµ = - CE unit x λ/(µ-λ)2 + CA unit

Resolvendo com relação a µ:

(µ-λ)2 x CA unit = λ CE unit

donde:

µ = λ + λ CE unit /CA unit

é a taxa de serviço que resulta no menor custo total no modelo de 1 fila e 1 canal.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

Uma oficina de reparos de eletrodomésticos recebe por dia uma média de 2 pedidos de consertos, segundo uma distribuição de Poisson. O eletricista consegue reparar uma média de 2,5 aparelhos por dia, também segundo a distribuição de Poisson. A oficina estima que cada dia de espera de um aparelho custa $ 80 em termos de seguros e deterioração da imagem da firma. Por outro lado, de mão-de-obra, cada conserto custa uma média de $ 80. Pede-se: 1.Determinar o custo total de operação da firma, por dia. 2.Determinar a eficiência do eletricista que resultaria no menor custo total. 3.Mostrar graficamente as variações dos custos com a eficiência.

2° MODELO: SISTEMA DE 1 FILA E VÁRIOS CANAIS C/ POPULAÇÃO INFINITA

Serão mostradas aqui as equações que definem o modelo de 1 fila e vários canais, com população infinita, que pode ser representado simbolicamente pela Figura abaixo.

Chegada

Fila de cliente

Figura - Sistema de

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Canais deserviço

Saída

s

1 fila e vários canais.

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Características Gerais - As chegadas se processam segundo uma distribuição de Poisson com média λ.

- Os tempos de atendimento seguem a distribuição exponencial negativa com média 1/ µ

(ou seja: o número de atendimentos segue a distribuição de Poisson com média µ). - O atendimento à fila é feito pela ordem de chegada. - A quantidade de canais de serviço é S.

- A taxa de atendimento do sistema é µ x S. - A condição de validade é µ x S > λ. - O número de possíveis clientes é suficientemente grande para que a população possa ser considerada infinita.

Equações do Modelo A probabilidade do sistema estar ocupado ou da utilização de um sistema é:

λ ρ = _______ µ x S

em que ρ = utilização do sistema λ = taxa de chegada, unidades/período de tempo µ = taxa de atendimento, unidades/período de tempo S = Quantidade de canais

As equações que se seguem só serão válidas quando λ / µ < 1.

A probabilidade de haver 0 clientes no sistema é de:

1 S-1

P0 = ρj + ρs Σ J ! S! x (1-ρ/S) J= 0

A probabilidade de haver n clientes no sistema é de:

.n<S

λ 1 Pn= _______ ____ P0

µ n!

.n>=S

(λ/µ)n Pn= _______ x P0

S! * S n-S

A Probabilidade de que todos os canis estejam ocupados.

ρS P(ocupação total)= _______ x P0

S! *(1 - ρ/ S)

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O número esperado na fila NF é:

ρS *λ*µ*S NF = _______

S! (µ*S- λ )2

O número esperado no sistema NS (fila e atendimento) é:

NS = NF + ρ

O tempo esperado na fila TF é:

1 TF = NF x _______

λ

O tempo esperado no sistema TS é:

NS TS = _______

λ

3° MODELO: SISTEMA DE 1 CANAL COM POPULAÇÃO FINITA

Características Gerais - As chegadas se processam segundo uma distribuição de Poisson com média λ.

- Os tempos de atendimento seguem a distribuição exponencial negativa com média 1/ µ

(ou seja: o número de atendimentos segue a distribuição de Poisson com média µ). - O atendimento à fila é feito pela ordem de chegada. - A Quantidade de clientes no sistema é k.

Equações do Modelo A probabilidade do sistema estar ocupado ou da utilização de um sistema é:

λ ρ = _______ µ

em que ρ = utilização do sistema λ = taxa de chegada, unidades/período de tempo µ = taxa de atendimento, unidades/período de tempo

As equações que se seguem só serão válidas quando λ / µ < 1.

A probabilidade de haver n clientes no sistema é de:

(µ/λ) K-n k (µ/λ) j

Pn = (K-n)! _______ Σ J!

J= 0

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O número esperado na fila NF é:

λ + µ NF = K - ____________ X (1- P0)

λ

O número esperado no sistema NS (fila e atendimento) é:

λ + µ NS = K - ____________ X (1- P0) + (λ/µ)

λ

O tempo esperado na fila TF é:

(λ + µ) X (1- P0) NS = K/λ - ____________ + (1/µ)

2

O tempo esperado no sistema TS é:

(λ + µ) X (1- P0) TS = K / λ- ____________

λ2

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

1) Uma copiadora para uso de escritório é usada e operada por pessoas deste mesmo escritório que precisam fazer cópias, principalmente secretárias. Como o trabalho a ser copiado varia de tamanho (número de páginas do original) e quanto ao número de cópias, a taxa de atendimento é distribuída aleatoriamente, mas se aproxima de um processo de Poisson tendo uma taxa de atendimento médio de 10 trabalhos por hora. Geralmente as necessidades de uso são aleatórias durante as 8 horas de trabalho diário, mas chegam a uma taxa de 5 por hora. Várias pessoas notaram que surge uma fila de espera, às vezes, e têm questionado a política de Se manter apenas uma unidade. Se o tempo de uma secretária custa $3,50 por hora, faça uma análise para determinar:

a) A utilização do equipamento.

b) O tempo percentual que uma chegada tem de esperar.

c) O tempo do sistema médio.

d) O custo médio de espera e operação da máquina.

2) Uma refinaria distribui seus produtos por intermédio de caminhões, carregados no posto de carregamento. São carregados tanto os caminhões da empresa como os caminhões dos distribuidores independentes. As firmas independentes reclamam que, às vezes, têm de esperar em fila e perdem, assim, dinheiro ao pagarem um caminhão e um motorista que só estão esperando. Pediram a refinaria ou para instalar um novo ponto de carregamento ou para fazer descontos equivalentes ao tempo de espera. Foram colhidos os seguintes dados:

Taxa média de chegada (todos os caminhões) = 2/hora

Taxa de atendimento médio = 3/hora

Trinta por cento dos caminhões são independentes. Supondo que estas taxas sejam aleatórias conforme uma distribuição de Poisson, determine:

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a) A probabilidade de que um caminhão tem de esperar.

b) O tempo médio que um caminhão tem de esperar.

c) O tempo médio de espera dos caminhões independentes, por dia

3) Um guindaste suspenso faz transportes de uma máquina para outra e deve ser usado sempre que uma máquina tiver de ser carregada ou descarregada. A demanda de atendimento é aleatória. Os dados obtidos referentes ao tempo transcorrido entre as chamadas de atendimento seguem uma distribuição exponencial com uma média de chamada de 30 em 30 minutos. De modo semelhante, o tempo de atendimento real para carga e descarga tem uma média de 10 minutos. Se o custo da máquina for de $8,50 por hora, quanto custará o atraso por dia?

4) situação apresentada no Exercício 1 foi questionada como um resultado da última análise. Considera-se a possibilidade de se instalar duas máquinas ou de se alugar uma máquina maior. Os dados estão resumidos a seguir.

Taxa de atendimento por hora Custo diário do aluguel Máquina pequena (atual) 10 $ 5 Máquina grande 15 $ 10

5) . Repita o Exercício 2 usando dois canais de mesmo tamanho.

6) Uma companhia telefônica está planejando instalar cabines telefônicas em um novo aeroporto. Ela traçou a norma de que uma pessoa Não deve esperar mais do que 10% das vezes que ela tenta usar o fone. A demanda de uso é estimada como sendo Poisson com uma média de 30 por hora. A chamada telefônica média tem uma distribuição exponencial com um tempo médio de 5 minutos. Quantas cabines telefônicas devem ser instaladas?

PROBLEMAS DE FILA DE ESPERA COM POPULAÇÃO FINITA

Em alguns casos o número de clientes potenciais é pequeno. Se este valor for tão pequeno que a chegada de um cliente para ser atendido ou um único atendimento afeta a probabilidade de futuras chegadas, não será mais válido o pressuposto de uma população infinita. Como regra prática, se a população for menor que 30, deve-se usar as equações da população finita.

7) Um mecânico atende quatro máquinas. Para cada máquina o tempo médio entre as exigências de atendimento é de 10 horas e supõe tratar-se de uma distribuição exponencial. O tempo de reparação tende a seguir a mesma distribuição e tem um tempo médio de 2 horas. Quando uma máquina pára para reparos, o custo do tempo perdido é de $20 por hora. O custo do mecânico é de $50 por dia.

a) Qual o número esperado de máquinas em operação?

b) Qual o custo esperado de atraso por dia?

c) Seria desejável ter dois mecânicos, cada um deles atendendo apenas duas máquinas?

8) Certa companhia decidiu usar subestações ao longo de toda sua região de mercado, para atender a seus caminhões de entrega. O vice-presidente de marketing está muito preocupado no sentido de que as exigências de atendimento e manutenção não impeçam o serviço de entrega a pedido. Como os caminhões

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operam dentro de um programa de 24 horas, podem chegar para o atendimento a qualquer hora, mas geralmente entram em serviço de 8 em 8 horas. Os métodos de manutenção requerem que uma estação seja capaz de tratar 10 caminhões por período de 8 horas. O tempo entre as chegadas aproxima-se de uma distribuição exponencial e a taxa de atendimento segue a lei de Poisson. O vice-presidente exigiu que apenas a metade dos caminhões seja forçada a esperar para atendimento. Por quantos caminhões cada estação deve ser responsável?

9) Um grupo de engenheiros dispõe de dois computadores para ajudar nos cálculos. O trabalho de computação médio requer 20 minutos de tempo de terminal e cada engenheiro exige alguma computação cada 0,5 horas mais ou menos, isto é, o tempo médio entre uma chamada para atendimento é de 0,5 horas. Suponha que estas horas tenham uma distribuição exponencial. Se houver 6 engenheiros no grupo, ache:

1. numero esperado de engenheiros aguardando para usar um dos Computadores.

2. tempo total perdido por dia.