Pesquisa Operacional I - Módulo 01

Prof. Marcelo Xavier Guterres, Dr. Eng.

17 de março de 2017

Objetivos do Módulo 01

• Definir o conceito de Pesquisa Operacional;

• Breve histórico da Pesquisa Operacional;

• A Pesquisa operacional no Brasil;

• Futuro da Pesquisa Operacional;

• Pesquisa Operacional e suas técnicas;

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1 Pesquisa Operacional (PO)

Alguns conceitos clássicos sobre o que é a PO foram propostos porKittel (1947) e Ackoff (1968). São eles:

Definição 1. “Pesquisa Operacional é o uso do método científicocom o objetivo de prover departamentos executivos de elementosquantitativos para a tomada de decisões” (Kittel, 1947).

Figura 1: Extrato do artigo de Kittel (1947)

Definição 2. “A Pesquisa Operacional é a aplicação do método ci-entífico, por equipes multidisciplinares, a problemas envolvendoo controle de sistemas organizados de forma a fornecer soluções quemelhor interessam a determinada organização” (Ackoff and Sasinieni,1968).

Assim, de acordo com as Definições 1 e 2 a seguinte observação podeser realizada:

Observação 1. A PO é um método científico de tomada de deci-são e, neste contexto, remonta a Frederick W. Taylor, e a Gilbrethse Henry Gantt.

Conceitos-chave:

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1. uso ou aplicação para resolver problemas reais;

2. apoio a tomada de decisões;

3. multidisciplinaridade;

Definição 3. Método é um conjunto de etapas, ordenadamente dis-postas, a serem executadas para se alcançar determinado fim;

Portanto:

Definição 4. Método científico é o conjunto das normas básicas quedevem ser seguidas para a produção de conhecimentos que têm o rigorda ciência, ou seja, é um método usado para a pesquisa e comprovaçãode um determinado conteúdo.

Resumo: O que é a Pesquisa Operacional?

Uma abordagem científica na tomada de decisões =⇒Umconjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados à re-solução de complexos problemas nas operações (atividades)de uma organização

2 Origens da Pesquisa Operacional

1. Durante a Segunda Guerra Mundial, os líderes militares soli-citaram que cientistas estudassem problemas como posiciona-mento de radares, armazenamento de munições e transporte detropa, entre outros;

2. A aplicação do método científico e de ferramentas ma-temáticas em operações militares passou a ser chamado dePesquisa Operacional.

3. Hoje em dia, Pesquisa Operacional é enfoque científico paraProblemas de Decisão.

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3 Pesquisa Operacional no Brasil

• Setor energético: Petrobrás, Cepel, Furnas, Eletrobrás, Ultra-gás;

• Telecomunicações

• Bens de consumo: Souza Cruz, Ambev, Brasilit, Unilever, Ti-libra;

• Agroindústrias: Sadia, Celpav, Ripasa, Copersucar, Citrosuco;

• Siderurgia: CVRD, Usiminas, Belgo Mineira, acesita, Villaresmannesmann;

• Serviços: IBM, Unisoma, BNDES;

• Logística: CVRD, Cia. aéreas;

4 Pesquisa Operacional e o futuro

• APO: Advanced Planning Optimizer;

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Figura 2: Advanced Planning Optimizer

• IBM ILog Optimization

– https://www.ibm.com/developerworks/br/downloads/ws/ilogcplex/

– http://www-eio.upc.es/lceio/manuals/cplex-11/html/

Figura 3: IBM ILog Optimization

5 Pesquisa Operacional e suas técnicas

• Programação Matemática ;

• Estatística - Séries Temporais- Modelos de Previsão;

• Fluxo em Redes - Grafos -Otimização Combinatória;

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• Metaheurística;

• Redes Neurais - Sistemas Especialistas - IA;

• Análise Multicritério;

• Simulação - filas - Processos Estocásticos ;

• Teoria da decisão;

6 Programação Matemática

Um problema de programação matemática tem por objetivo encon-trar os valores para as variáveis de decisão que otimizam (ma-ximizam ou minimizam) uma função objetivo respeitando umconjunto de restrições.

Para ilustrar, o conjunto formado pelas Eqs. 1 a 5 é um típico Pro-blema de Programação Matemática (PPM) completo.

Exemplo 1.

min Z = 2x1 + ln (x2) (1)

sujeito a:

4x21 + 3x22 ≥ 6 (2)

1x1 + 2x2 ≤ 3 (3)

x1 ≥ 0 (4)

x2 ≥ 0 (5)

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a Eq. 1 é a função objetivo; Z o valor a ser otimizado (por exemplominimização do custo de produção); as Eqs. 2 a 5 são as restriçõesdo modelo; e por fim x1 e x2 são as variáveis de decisão do PPM.

De maneira geral, a formulação algébrica é:

max Z =

n∑j=1

cjxj (6)

sujeito a:

n∑j=1

aijxj ≤ bi (i = 1, 2, ...,m) (7)

xj ≥ 0 (j = 1, 2, ..., n)

6.1 Programação linear

UmPPM é dito linear se a função objetivo e o conjunto de restriçõesque o compõem forem simultaneamente lineares (eqs. de primeirograu). Desta forma, o PPM do Exemplo 1 um típico ProblemaProgramação linear (PPL).

Um outro exemplo é o conjunto formado pelas Eq. 8 a 12, porémdiferentemente do PPL do Exemplo 1, trata-se de um problema demaximização (por exemplo lucro).

Exemplo 2.

max Z = 5x1 + 10x2 (8)

sujeito a:

8x1 + 6x2 ≥ 3 (9)

2x1 + 3x2 ≤ 12 (10)

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x1 ≥ 0 (11)

x2 ≥ 0 (12)

7 Programação inteira

Um problema de programação inteira (PPI) é aquele em asvariáveis de decisão obrigatoriamente só podem assumir valores in-teiros.

max Z = 5x1 + 10x2 (13)

sujeito a:

8x1 + 6x2 ≥ 3 (14)

2x1 + 3x2 ≤ 12 (15)

x1 ≥ 0 (16)

x2 ≥ 0 (17)

xj ∈ Z para j = 1, 2

A Programação Inteira pode ser entendida como uma caso específicoda Programação Linear, onde as variáveis devem ser inteiras (ou aomenos, parte destas variáveis). De maneira geral tem-se:

max Z =

n∑j=1

cjxj (18)

sujeito a:

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n∑j=1

aijxj ≤ bi (i = 1, 2, ...,m) (19)

xj ≥ 0 (j = 1, 2, ..., n)

xj ∈ Z para j = 1, 2, ..., p (≤ n)

Quando todas as variáveis devam possuir valores inteiros,o modelo é denominado de um problema de ProgramaçãoInteira Pura, caso contrário, é denominado de um problemade Programação Inteira Mista.

Figura 4: Programação Linear X Inteira

8 Programação não linear

Os modelos empregados em Programação Linear são, como o próprionome diz, lineares (tanto a função objetivo quanto as restrições).

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Este fato é, sem dúvida, “a maior das restrições” impostas sobre ummodelo de Programação.

Em grande parte das aplicações, modelos lineares refletem apenasaproximações dos modelos reais. Fenômenos físicos ou econômicossão geralmente melhor representados por modelos não-lineares.

Em geral, os modelos empregados em Programação Não-Linear sãodo tipo:

max ou min f (x)

sujeito a: {gi(x) ≤ bi, para i = 1, 2...,m

xi ≥ 0

com:

X = (x1, x2, ..., xn)

f (.) e gi (.) funcoes nao lineares

Os métodos para resolução de problemas de Programação Não-Linearpodem ser divididos em 2 grupos: 1) Modelos sem restrições e 2)Modelos com restrições.

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Figura 5: Exemplo de um problema de programação não linear

Referências

Ackoff, R. L. and M. W. Sasinieni (1968). Fundamentals of operationsresearch.

Kittel, C. (1947). The nature and development of operations research.Science 105 (2719), 150–153.

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