C e n t r o d e C i ê n c i a d e T e c n o l o g i a

LEPROD/CCT Laboratório de Engenharia

de Produção

Terceira Lista de Pesquisa Operacional I

1. Considere os modelos abaixo e responda:

i. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = −𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 25

𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 ≥ 10

|5𝑥1 + 3𝑥2| ≤ 100

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 𝑠. 𝑟. 𝑠 (𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙)

ii. 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 3𝑥1 − 3𝑥2 + 7𝑥3 𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 40

𝑥1 + 9𝑥2 − 7𝑥3 ≥ −5

5𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 2

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≤ 0

a) Quantas restrições e quantas variáveis serão necessárias para chegar à formulação padrão.

b) Identifique a matriz de restrições A, o vetor das variáveis x e o vetor b do LD, fazendo-se Ax=b.

2. Considere os modelos de Programação Linear. Para cada um deles responda.

i. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

𝑥1 ≤ 4

𝑥2 ≤ 4

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

ii. 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 10𝑥1 + 12𝑥2 𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20

𝑥1 + 𝑥2 ≥ 10

𝑥1 ≥ 10

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

iii. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2 𝑠. 𝑎. − 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4

𝑥1 + 2 𝑥2 ≤ 6

𝑥1 + 3 𝑥2 ≤ 9

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

iv. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = −3𝑥1 + 2𝑥2 𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 4

𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

v. 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = −𝑥1 + 𝑥2 𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 4

𝑥1 + 𝑥2 ≤ 3

𝑥1 ≤ 0, 𝑥2 ≥ 0

vi. 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = −𝑥1 − 𝑥2 𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

𝑥1 − 𝑥2 ≤ 4

𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1

𝑥1 ≤ 0, 𝑥2 ≥ 0

a) Resolva graficamente os problemas lineares acima, desenhando a região viável ou factível indicando

seus vértices ou pontos extremos. Utilize o critério de avaliação da função objetivo em cada vértice para

3 dos problemas. Para os outros 3 utilize o critério das curvas de nível da função objetivo.

b) A solução 𝑥1 = 0 e 𝑥2 = 0 é uma solução viável? Em caso negativo explique porque.

3. Dados os modelos de Programação Linear abaixo, transforme as restrições em um sistema de equações

lineares (completar com variáveis de folga ou excesso).

i. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 5

2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

ii. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 3𝑥1 + 𝑥2 𝑠. 𝑎. 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

a) Para o modelo (i) calcule todas as soluções básicas e identifique quais são viáveis e qual é a ótima.

4. Rodar no TORA © os modelos do exercício 3, conferindo os resultados fornecidos no relatório final do

aplicativo.