pesquisa operacional i - aulas 1 e 2
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Pesquisa OperacionalTRANSCRIPT
PESQUISA OPERACIONAL
Luiz Phillipe Mota Pessanha17 de Setembro de 2015
APRESENTAÇÃO
Agenda PRÉVIA de Avaliações:
P1 – 12/11/2015
P2 – 19/01/2016
Critério de avaliação:
Nota = (𝑃1 ∗ 0,4) + (𝑃2 ∗ 0,4) + (𝐿𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 ∗ 0,2)
APRESENTAÇÃO
Referência básica:
TAHA, Hamdy A. Pesquisa operacional. 8.ed. São Paulo: Pearson;Prentice Hall, 2007. 359p.
ANDRADE, E. L., 1998, Introdução à Pesquisa Operacional, LTC, Riode Janeiro, Brasil.
Aplicativos:
SOLVER – do M.S. ExcelTORA – resolvedor do livro de TAHA HAMDYLINDO – Linear, Interactive and Discrete OptimizerAMPL – Algebraic Mathematical Programming Language MODLER – Modeling by Object-Driven Linear Elemental Relations CPLEX – Simplex em C
PESQUISA OPERACIONAL
A área de Pesquisa Operacional objetivaestudar problemas reais envolvendosituações de tomada de decisão, atravésde modelos matemáticos habitualmenteprocessados computacionalmente.
Ela aplica conceitos e métodos de outrasdisciplinas científicas na concepção,planejamento ou na operação de sistemaspara atingir seus objetivos.
ORIGENS
A Pesquisa Operacional teve suas origens nosanos 1930, quando foi solicitado a um grupode oficiais da Real Força Aérea Britânica e acientistas civis que determinassem como arecente tecnologia de radares poderia serusada para interceptação controlada deaeronaves inimigas.
ÁREAS DA PESQUISA OPERACIONAL
OTIMIZAÇÃO LINEAR
OTIMIZAÇÃO NÃO-LINEAR
OTIMIZAÇÃO INTEIRA
OTIMIZAÇÃO DINÂMICA
OTIMIZAÇÃO ESTOCÁSTICA
FLUXOS EM REDE
FILAS
SIMULAÇÃO
O PROCESSO DE MODELAGEM
Perante situações de tomada de decisão têm-seopções básicas:
1. Usar somente ou apenas a intuição eexperiência gerencial;
2. Realizar um processo de modelagem dasituação e muitas (exaustivas) simulações dosmais diversos cenários (variações de entradade dados) de maneira a estudar maisprofundamente o problema.
O PROCESSO DE MODELAGEM
Modelo matemático representa uma situação comsuas informações mais relevantes para facilitar aanalise.
FATORES QUE AFETAM A TOMADA DE DECISÃO
• Tempo disponível para a decisão
• Importância da decisão
• O ambiente
• Certeza ou incerteza e risco (certeza darelevância dos parâmetros)
• Agentes decisores: numero de agentes ecomunicação
• Conflito de interesses.
CLASSIFICAÇÃO DE UMA TOMADA DE DECISÃO
• De Nível Hierárquico: Estratégico, Tático ouOperacional.
• Tipo de informação disponível: Estruturada,Semi-estruturada e Não estruturada.
• Número de decisores: Individual ou emgrupo.
TIPOS DE MODELOS
• Físicos: maquetes de prédios, protótipos de
aeronaves.
• Analógicos: mapas rodoviários, marcadores de
tanque de gasolina.
• Simbólicos ou matemáticos (mais utilizados em
situações gerenciais): nele grandezas são
representadas por variáveis, as relações entre essas
variáveis por funções matemáticas. Necessitam,
portanto de informações quantificáveis.
MODELOS SIMBÓLICOS - Características
• Será sempre uma simplificação da realidade.
• Os detalhes devem ser incorporados de formacuidadosa para que: Os resultados atinjam suas expectativas;
Seja consistente com as informações disponíveis;
Seja desenvolvido e analisado no tempo disponível paratal (horizonte de tempo do modelo).
MODELOS SIMBÓLICOS - Características
Determinísticos: onde todas asinformações relevantes para o modelo sãoassumidas como conhecidas;
Estocástico ou probabilístico: quando umaou mais variáveis não são conhecidas comcerteza, o que pode ser representado porfunções de densidade probabilística.
PROCESSO DE RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA
Identificação do problema Problema central
Formulação do modelo
Analise de cenários
Interpretação de resultados
Implementação e monitoramento
EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR
Uma refinaria de petróleo pode adquirir dois tipos de óleo: leve epesado. Os custos por barril são, respectivamente, 40 e 30. A tabela aseguir indica as quantidades, em barris, de gasolina, querosene ecombustível de avião, que podem ser produzidas por barril de cadatipo de óleo cru.
A refinaria tem contrato de fornecimento de 1.200.000 barris degasolina, 500.000 barris de querosene e 300.000 barris decombustível de avião. Formule um modelo de otimização linear paradeterminar o número de barris de cada tipo de óleo a seremadquiridos pela refinaria, visando minimizar o custo de atendimentoda demanda.
Tipo de Óleo Gasolina Querosene Combustível de avião
Leve 0,5 0,75 1,5
Pesado 1 2 0,5
EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Solução)
Definindo as variáveis:
𝑥1 é o número de barris de óleo tipo leve; e
𝑥2 é o número de barris de óleo tipo pesado.
Tem-se:
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 40𝑥1 + 30𝑥2𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 0,5𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1.200.000
0,75𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 500.000
1,5𝑥1 + 0,5𝑥2 ≥ 300.000
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2
EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR
Uma cooperativa agrícola cria vacas e carneiros. A cooperativa temestábulos para 50 vacas e instalações para 200 carneiros. Temtambém 72 hectares de pasto. Um hectare é necessário parasustentar uma vaca e 0,2 hectare para um carneiro. Para cuidar dosanimais, a cooperativa pode prover até 110.000 horas de trabalho porano. Uma vaca requer 150 horas e um carneiro 25 horas por ano. Olucro anual é de 250,00 por vaca e 45,00 por carneiro. A cooperativagostaria de determinar o número de vacas e carneiros a seremcriados de forma a maximizar seu lucro.
Solução:
Instalações Espaço físico Capacidade de Tempo
Vacas 50 1 hectare 150 horas/ano
Carneiros 200 0,2 hectare 25 horas/ano
EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Solução)
Definindo as variáveis:
𝑥1 número de vacas; e
𝑥2 é o número de carneiros a serem criados.
Tem-se:
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 250𝑥1 + 45𝑥2𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑥1 ≤ 50
𝑥2 ≤ 200
𝑥1 + 0,2𝑥2 ≤ 72
150𝑥1 + 25𝑥2 ≤ 110.000
𝑥𝑗 ∈ Ζ+, 𝑗 = 1, 2
EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR
Uma fábrica produz três tipos de chapas metálicas A, B e C que sãoprimeiramente prensadas e depois esmaltadas. A prensa dispõe de2000 minutos livres por mês e cada chapa A ou B, leva um minutopara ser prensada, enquanto que a chapa C leva o dobro do tempodevido ao tamanho maior. Por outro lado, a aplicação de esmaltenesta última chapa leva apenas um minuto, enquanto que as chapasA e B exigem 3 e 4,5 minutos, respectivamente. O total de tempodisponível na seção de esmaltagem é de 8000 minutos por mês. Ademanda dos três tipos de chapa absorve facilmente toda a produçãoe o lucro relativo as chapas A, B e C é de 205, 107 e 308 reais porunidade, respectivamente. Formule um modelo de otimização linearque permita a fábrica determinar a produção ótima de chapas.
EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Solução)
Definindo as variáveis:
𝑥𝐴, 𝑥𝐵, 𝑥𝐶 representam as quantidades de chapa de cada tipo.
Tem-se:
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 205𝑥𝐴 + 107𝑥𝐵 + 308𝑥𝐶𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵+ 2𝑥𝐶 ≤ 2000
3𝑥𝐴 + 4,5𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 ≤ 8000
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶
O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO LINEAR
Considera-se uma instalação industrial capaz deproduzir uma variedade de 𝑛 produtos. Essessão enumerados como 1,2,… , 𝑛.
Eles são manufaturados a partir de algumasmatérias primas.
Assume-se que existam 𝑚 matérias primasdiferentes, que são enumeradas como1,2, . . , 𝑚.
O MODELO DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Critério de minimização)
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Função Objetivo ou critério de decisão
Restrições ou limitações
O MODELO DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Critério de maximização)
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙1𝑥1 + 𝑙2𝑥2 +⋯+ 𝑙𝑛𝑥𝑛
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
ESCRITO NA FORMA ALGÉBRICA
Minimizar Z = cTxs.a. Ax ≤ b
x 0
O vetor 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) das variáveis de decisão;
O vetor 𝒄 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛) de custos;
O vetor 𝒃 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … , 𝑏𝑛) recursos, conhecido como ladodireito – LD;
A matriz A é das restrições tecnológicas do modelo, ouproblema de otimização, a ordem de A é m n.
TERMINOLOGIA
• Valor da função objetivo -> o valor de Z avaliado emum vetor 𝒙.
• Solução viável 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) um vetor quesatisfaz todas as restrições do modelo
• Solução ótima 𝒙∗ = (𝒙1∗ , 𝒙2
∗ , 𝒙3∗ … , 𝒙𝑛
∗ ) é um vetorviável e que satisfaz:
- em caso de Maximização
Z(𝒙1∗ , 𝒙2
∗ , 𝒙3∗ … , 𝒙𝑛
∗ ) Z(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)para todo 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) vetor viável
- em caso de Minimização
Z(𝒙1∗ , 𝒙2
∗ , 𝒙3∗ … , 𝒙𝑛
∗ ) ≤ Z(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)
para todo 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) vetor viável
VARIÁVEIS DE FOLGA OU DE EXCESSO
Considere o seguinte problema de Programação Linear:
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = −𝑥1 − 3𝑥2𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6
−𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 8
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1 𝑒 2
Escrevendo o modelo na Formulação Padrão, tem-se:𝑧 = −𝑥1 − 3𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥4 = 8
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 4.
Em que 𝑥3 é variável de folga e 𝑥4 de excesso.