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PESQUISA OPERACIONAL Luiz Phillipe Mota Pessanha 17 de Setembro de 2015

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Pesquisa Operacional

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Page 1: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

PESQUISA OPERACIONAL

Luiz Phillipe Mota Pessanha17 de Setembro de 2015

Page 2: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

APRESENTAÇÃO

Agenda PRÉVIA de Avaliações:

P1 – 12/11/2015

P2 – 19/01/2016

Critério de avaliação:

Nota = (𝑃1 ∗ 0,4) + (𝑃2 ∗ 0,4) + (𝐿𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 ∗ 0,2)

Page 3: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

APRESENTAÇÃO

Referência básica:

TAHA, Hamdy A. Pesquisa operacional. 8.ed. São Paulo: Pearson;Prentice Hall, 2007. 359p.

ANDRADE, E. L., 1998, Introdução à Pesquisa Operacional, LTC, Riode Janeiro, Brasil.

Aplicativos:

SOLVER – do M.S. ExcelTORA – resolvedor do livro de TAHA HAMDYLINDO – Linear, Interactive and Discrete OptimizerAMPL – Algebraic Mathematical Programming Language MODLER – Modeling by Object-Driven Linear Elemental Relations CPLEX – Simplex em C

Page 4: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

PESQUISA OPERACIONAL

A área de Pesquisa Operacional objetivaestudar problemas reais envolvendosituações de tomada de decisão, atravésde modelos matemáticos habitualmenteprocessados computacionalmente.

Ela aplica conceitos e métodos de outrasdisciplinas científicas na concepção,planejamento ou na operação de sistemaspara atingir seus objetivos.

Page 5: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

ORIGENS

A Pesquisa Operacional teve suas origens nosanos 1930, quando foi solicitado a um grupode oficiais da Real Força Aérea Britânica e acientistas civis que determinassem como arecente tecnologia de radares poderia serusada para interceptação controlada deaeronaves inimigas.

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ÁREAS DA PESQUISA OPERACIONAL

OTIMIZAÇÃO LINEAR

OTIMIZAÇÃO NÃO-LINEAR

OTIMIZAÇÃO INTEIRA

OTIMIZAÇÃO DINÂMICA

OTIMIZAÇÃO ESTOCÁSTICA

FLUXOS EM REDE

FILAS

SIMULAÇÃO

Page 7: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

O PROCESSO DE MODELAGEM

Perante situações de tomada de decisão têm-seopções básicas:

1. Usar somente ou apenas a intuição eexperiência gerencial;

2. Realizar um processo de modelagem dasituação e muitas (exaustivas) simulações dosmais diversos cenários (variações de entradade dados) de maneira a estudar maisprofundamente o problema.

Page 8: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

O PROCESSO DE MODELAGEM

Modelo matemático representa uma situação comsuas informações mais relevantes para facilitar aanalise.

Page 9: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

FATORES QUE AFETAM A TOMADA DE DECISÃO

• Tempo disponível para a decisão

• Importância da decisão

• O ambiente

• Certeza ou incerteza e risco (certeza darelevância dos parâmetros)

• Agentes decisores: numero de agentes ecomunicação

• Conflito de interesses.

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CLASSIFICAÇÃO DE UMA TOMADA DE DECISÃO

• De Nível Hierárquico: Estratégico, Tático ouOperacional.

• Tipo de informação disponível: Estruturada,Semi-estruturada e Não estruturada.

• Número de decisores: Individual ou emgrupo.

Page 11: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

TIPOS DE MODELOS

• Físicos: maquetes de prédios, protótipos de

aeronaves.

• Analógicos: mapas rodoviários, marcadores de

tanque de gasolina.

• Simbólicos ou matemáticos (mais utilizados em

situações gerenciais): nele grandezas são

representadas por variáveis, as relações entre essas

variáveis por funções matemáticas. Necessitam,

portanto de informações quantificáveis.

Page 12: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

MODELOS SIMBÓLICOS - Características

• Será sempre uma simplificação da realidade.

• Os detalhes devem ser incorporados de formacuidadosa para que: Os resultados atinjam suas expectativas;

Seja consistente com as informações disponíveis;

Seja desenvolvido e analisado no tempo disponível paratal (horizonte de tempo do modelo).

Page 13: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

MODELOS SIMBÓLICOS - Características

Determinísticos: onde todas asinformações relevantes para o modelo sãoassumidas como conhecidas;

Estocástico ou probabilístico: quando umaou mais variáveis não são conhecidas comcerteza, o que pode ser representado porfunções de densidade probabilística.

Page 14: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

PROCESSO DE RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA

Identificação do problema Problema central

Formulação do modelo

Analise de cenários

Interpretação de resultados

Implementação e monitoramento

Page 15: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR

Uma refinaria de petróleo pode adquirir dois tipos de óleo: leve epesado. Os custos por barril são, respectivamente, 40 e 30. A tabela aseguir indica as quantidades, em barris, de gasolina, querosene ecombustível de avião, que podem ser produzidas por barril de cadatipo de óleo cru.

A refinaria tem contrato de fornecimento de 1.200.000 barris degasolina, 500.000 barris de querosene e 300.000 barris decombustível de avião. Formule um modelo de otimização linear paradeterminar o número de barris de cada tipo de óleo a seremadquiridos pela refinaria, visando minimizar o custo de atendimentoda demanda.

Tipo de Óleo Gasolina Querosene Combustível de avião

Leve 0,5 0,75 1,5

Pesado 1 2 0,5

Page 16: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Solução)

Definindo as variáveis:

𝑥1 é o número de barris de óleo tipo leve; e

𝑥2 é o número de barris de óleo tipo pesado.

Tem-se:

𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 40𝑥1 + 30𝑥2𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 0,5𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1.200.000

0,75𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 500.000

1,5𝑥1 + 0,5𝑥2 ≥ 300.000

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2

Page 17: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR

Uma cooperativa agrícola cria vacas e carneiros. A cooperativa temestábulos para 50 vacas e instalações para 200 carneiros. Temtambém 72 hectares de pasto. Um hectare é necessário parasustentar uma vaca e 0,2 hectare para um carneiro. Para cuidar dosanimais, a cooperativa pode prover até 110.000 horas de trabalho porano. Uma vaca requer 150 horas e um carneiro 25 horas por ano. Olucro anual é de 250,00 por vaca e 45,00 por carneiro. A cooperativagostaria de determinar o número de vacas e carneiros a seremcriados de forma a maximizar seu lucro.

Solução:

Instalações Espaço físico Capacidade de Tempo

Vacas 50 1 hectare 150 horas/ano

Carneiros 200 0,2 hectare 25 horas/ano

Page 18: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Solução)

Definindo as variáveis:

𝑥1 número de vacas; e

𝑥2 é o número de carneiros a serem criados.

Tem-se:

𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 250𝑥1 + 45𝑥2𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑥1 ≤ 50

𝑥2 ≤ 200

𝑥1 + 0,2𝑥2 ≤ 72

150𝑥1 + 25𝑥2 ≤ 110.000

𝑥𝑗 ∈ Ζ+, 𝑗 = 1, 2

Page 19: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR

Uma fábrica produz três tipos de chapas metálicas A, B e C que sãoprimeiramente prensadas e depois esmaltadas. A prensa dispõe de2000 minutos livres por mês e cada chapa A ou B, leva um minutopara ser prensada, enquanto que a chapa C leva o dobro do tempodevido ao tamanho maior. Por outro lado, a aplicação de esmaltenesta última chapa leva apenas um minuto, enquanto que as chapasA e B exigem 3 e 4,5 minutos, respectivamente. O total de tempodisponível na seção de esmaltagem é de 8000 minutos por mês. Ademanda dos três tipos de chapa absorve facilmente toda a produçãoe o lucro relativo as chapas A, B e C é de 205, 107 e 308 reais porunidade, respectivamente. Formule um modelo de otimização linearque permita a fábrica determinar a produção ótima de chapas.

Page 20: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

EXEMPLO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Solução)

Definindo as variáveis:

𝑥𝐴, 𝑥𝐵, 𝑥𝐶 representam as quantidades de chapa de cada tipo.

Tem-se:

𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 205𝑥𝐴 + 107𝑥𝐵 + 308𝑥𝐶𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵+ 2𝑥𝐶 ≤ 2000

3𝑥𝐴 + 4,5𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 ≤ 8000

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶

Page 21: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO LINEAR

Considera-se uma instalação industrial capaz deproduzir uma variedade de 𝑛 produtos. Essessão enumerados como 1,2,… , 𝑛.

Eles são manufaturados a partir de algumasmatérias primas.

Assume-se que existam 𝑚 matérias primasdiferentes, que são enumeradas como1,2, . . , 𝑚.

Page 22: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

O MODELO DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Critério de minimização)

𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Função Objetivo ou critério de decisão

Restrições ou limitações

Page 23: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

O MODELO DE OTIMIZAÇÃO LINEAR (Critério de maximização)

𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙1𝑥1 + 𝑙2𝑥2 +⋯+ 𝑙𝑛𝑥𝑛

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Page 24: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

ESCRITO NA FORMA ALGÉBRICA

Minimizar Z = cTxs.a. Ax ≤ b

x 0

O vetor 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) das variáveis de decisão;

O vetor 𝒄 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛) de custos;

O vetor 𝒃 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … , 𝑏𝑛) recursos, conhecido como ladodireito – LD;

A matriz A é das restrições tecnológicas do modelo, ouproblema de otimização, a ordem de A é m n.

Page 25: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

TERMINOLOGIA

• Valor da função objetivo -> o valor de Z avaliado emum vetor 𝒙.

• Solução viável 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) um vetor quesatisfaz todas as restrições do modelo

• Solução ótima 𝒙∗ = (𝒙1∗ , 𝒙2

∗ , 𝒙3∗ … , 𝒙𝑛

∗ ) é um vetorviável e que satisfaz:

- em caso de Maximização

Z(𝒙1∗ , 𝒙2

∗ , 𝒙3∗ … , 𝒙𝑛

∗ ) Z(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)para todo 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) vetor viável

- em caso de Minimização

Z(𝒙1∗ , 𝒙2

∗ , 𝒙3∗ … , 𝒙𝑛

∗ ) ≤ Z(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)

para todo 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) vetor viável

Page 26: Pesquisa Operacional I - Aulas 1 e 2

VARIÁVEIS DE FOLGA OU DE EXCESSO

Considere o seguinte problema de Programação Linear:

𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = −𝑥1 − 3𝑥2𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

−𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 8

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1 𝑒 2

Escrevendo o modelo na Formulação Padrão, tem-se:𝑧 = −𝑥1 − 3𝑥2

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6

−𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥4 = 8

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 4.

Em que 𝑥3 é variável de folga e 𝑥4 de excesso.