pesquisa operacional em logistica metodo simplex

7/21/2019 Pesquisa Operacional Em Logistica Metodo Simplex

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O Mtodo Simplex

O chamado Mtodo Simplex foi apresentado por George B. Dantzig, ummatemtico americano, em 1947. Nos anos seguintes o prprio Dantzig e outrosmatemticos foram aperfeioando o, principalmente visando tron-lo mais eficiente doponto de vista computacional. Estas melhorias no entanto no mudaram a sua essncia e,embora novos mtodos tenham surgido no final da dcada de 80, o Simplex ainda oalgoritmo mais usado para resolver modelos de Programao Linear e, provavelmente, omais usado em todos os algoritmos matemticos.

O Mtodo Simplex caminha pelos vrtices da regio vivel at encontrar umasoluo que no possua solues vizinhas melhores que ela. Esta a soluo tima. Asoluo tima pode no existir em dois casos: quando no h nenhuma soluo vivel para

o problema, devido a restries incompatveis; ou quando no h mximo (ou mnimo),isto , uma ou mais variveis podem tender a infinito e as restries continuarem sendosatisfeitas, o que fornece um valor sem limites para a funo objetivo.

Definies Bsicas

Soluo : qualquer atribuio de valores para as variveis de deciso do modelo.

Soluo Praticvel : qualquer soluo em que nenhuma das restries do modelo violada.

Soluo impraticvel : qualquer a soluo em que pelo menos uma das restries domodelo violada.

Soluo Bsica : dado um conjunto de m equaes linearmente independentes e nincgnitas, onden > m , se define como soluo bsica a soluo para o conjunto deequaes em que(n m) variveis so feitas iguais a0(zero) e as restantes so obtidasda resoluo do sistema de equaes.

Exemplo : Seja o sistema abaixo:

Temos m = 2 e n = 5.Cada soluo bsica ter (5 2) = 3 variveis iguais a 0 (zero), por exemplo, x3, x4 e x5e(5 3) = 2 obtidas da resoluo do sistema, ou seja, x1 = 10 e x2 = -4. obvio que variando-se as variveis feitas iguais a 0 teremos novas solues bsicas. O nmero desolues bsicas podem ser obtidas pela frmula:

As variveis diferentes de 0 so chamadas de variveis bsicas e as iguais a 0 sochamadas de variveis no bsicas.

Soluo Bsica Degenerada : uma soluo bsica em que pelos menos uma das variveis bsicas igual a 0. Esta varivel chamada de varivel bsica degenerada.

Pesquisa Operacional em Logstica Prof.: Ramon S. de Freitas


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Variveis de Folga : so variveis que so acrescentadas as inequaes paratransform-las em equaes. Denominaremos as variveis de folga de Fi, onde i o ndice da varivel.

Exemplo: Exemplo de um Problema

O modelo de programao linear pode ser resolvido por um mtodo de soluo de sistemade equaes lineares. O processo que ser apresentado no exemplo a seguir, retirado de ANDRADE (2000), bastante intuitivo e tem por finalidade apresentar a metodologiautilizada pelo mtodo Simplex.

a) Formulao do problema

"Uma marcenaria deseja estabelecer uma programao diria de produo. Atualmente, aoficina faz apenas dois produtos: mesa e armrio, ambos de um s modelo. Para efeito de

simplificao, vamos considerar que a marcenaria tem limitaes em somente doisrecursos: madeira e mo-de-obra, cujas disponibilidades dirias so mostradas na tabela aseguir.

O processo de produo tal que, para fazer uma mesa a fbrica gasta 2 m2 de madeira e 2H.h de mo-de-obra. Para fazer um armrio, a fbrica gasta 3 m2 de madeira e 1 H.h e mode obra. Alm disso, o fabricante sabe que cada mesa d uma margem de contribuio para o lucro

de R$ 4,00 e cada armrio de R$ 1,00. O problema encontrar o programa de produoque maximiza a margem de contribuio total para o lucro."

b) Montagem do Modelo

As variveis de deciso envolvidas no problema so:

x 1: quantidade a produzir de mesasx 2: quantidade a produzir de armrios.

A funo objetivo :

Lucro: Z = 4x1 + x2 Para as restries, a relao lgica existente :Utilizao de recursos Disponibilidade Assim temos:Madeira: 2x1 + 3x2 12Mo de Obra: 2x1 + x2 8

O modelo completo :

Maximizar: Z = 4x1 + x2 Sujeito a:

2x1 + 3x2 122x1 + x2 8x 1,x2 0


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c) Soluo do modelo

J conhecemos o mtodo de soluo grfica para problemas de programao linear de duas variveis. Ser agora apresentada a soluo por sistemas de equaes lineares.De forma a transformar as restries do problema de programao linear de inequaes emequaes, so introduzidas as variveis de folga. Neste problema, as restries tm aseguinte estrutura lgica:

Utilizao de recurso Disponibilidade. Ao se introduzir o conceito de folga de recurso, a inequao pode ser escrita comoUtilizao de recurso + Folga = Disponibilidade.

Isso significa queUtilizao de recurso < Disponibilidade implica Folga > 0;Utilizao de recurso = Disponibilidade implica Folga = 0.

Deste modo, a folga de cada recurso pode ser representada por uma varivel de formaexatamente igual produo de cada produto. Desse modo, vamos chamar:

f 1: folga de madeira;f 2: folga de mo-de-obra.

Introduzindo as variveis de folga, o problema a ser resolvido passa a ser:

Maximizar: z = 4 x1 + x2 Sujeito a 2 x1 + 3 x2 + f 1 = 122 x1 + x2 + f 2 = 8x1, x2, f 1, f 2 0

O problema se transformou em encontrar a soluo do sistema de equaes lineares quemaximiza o lucro. Como neste caso o nmero de variveis (m = 4) superior ao nmerode equaes (n = 2), o sistema indeterminado, apresentando infinitas solues.No entanto, todas as variveis devem ser maiores ou iguais a zero. Atribuir zero a uma varivel significa no produzir um dos produtos (se a varivel for x1 ou x2 ) ou utilizar toda adisponibilidade de recursos (se a varivel for f 1 ou f 2 ). Desta forma, podemos encontrarsolues para o sistema de equaes zerando duas variveis (n - m = 2) e encontrando o valor para as duas variveis restantes. Teremos que resolver ento

sistemas de equaes lineares.

Uma vez resolvido um sistema, sero aplicados na funo objetivo os valores encontrados. As variveis zeradas so chamadas variveis no-bsicas. As variveis cujos valores socalculados pelo sistema de equaes so chamadas variveis bsicas.

c.1) Variveis no-bsicas: x1 = 0x2 = 0

temos as variveis bsicas f 1 = 12f 2 = 8

dando o lucro z = 0

c.2) Variveis no-bsicas: x1 = 0f 1 = 0

temos as variveis bsicas x2 = 4f 2 = 4


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dando o lucro z = 4


temos as variveis bsicas x2 = 8f 1 = -12

como f1 < 0, a soluo obtida INVIVEL.


temos as variveis bsicas x1 = 6f 2 = -4

como f2 < 0, a soluo obtida INVIVEL.


temos as variveis bsicas x1 = 4f 1 = 4

dando o lucro z = 16

c.6) Variveis no-bsicas: f 1 = 0f 2 = 0

temos as variveis bsicas x1 = 3x2 = 2

dando o lucro z = 14

Comparando todas as solues encontradas por este processo, achamos a soluo tima,ou seja, x1 = 4, x2 = 0, f 1 = 4, f 2 = 0, dando um lucro z = 16.

Algoritmo dos Transportes

Este algoritmo resolve, de maneira muito mais rpida, modelos de programaolinear cuja formulao apresenta certas caractersticas que permitem o uso do algoritmo. Veremos tambm que fazer o Algoritmo dos Transportes nada mais do que uma formadiferente de fazer o simplex.

Exemplo:Uma empresa tem 3 fbricas que produzem um determinado produto. A capacidade deproduo mensal das 3 fbricas de 6, 1 e 10 unidades respectivamente. A empresa em 4armazns de venda que vendem mensalmente 7, 5, 3 e 2 unidades do produtorespectivamente. O custo de transportam 1 unidade de cada fbrica para cada armazm estdado na tabela abaixo:

ArmazmFbrica 1 2 3 4

1 2 3 11 72 1 0 6 13 5 8 15 9

O objetivo da Empresa atender as necessidades dos armazns com a produo dasfbricas, com o menor custo total.Formulao como um modelo clssico de Programao LinearPodemos construir o seguinte modelo para o exemplo: unidades a serem transportadas da fbrica i para o armazm j.Min Z = 2x11 + 3x12 + 11x13 + 7x14 + x21 + 6x23 + x24 + 5x31 + 8x32 + 15x33 + 9x34 Sujeito a:


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x11 + x12 + x13 + x14 = 6x21 + x22 + x23 + x24 = 1x31 + x32 + x33 + x34 = 10x11 + x24 + x31 = 7x12 + x22 + x32 = 5x13 + x23 + x33 = 3x14 + x24 + x34 = 2xij 0

O sinal de igual das restries deve-se ao fato de que o somatrio da produo das fbricas igual ao somatrio das necessidades dos armazns.Para problemas com esta estrutura particular, qual seja, coeficiente das restries iguais a 0ou 1, que podemos utilizar o chamada Algoritmo dos Transportes.Ele tem esse nome porque os exemplos so, como acima, normalmente de modelos detransporte mas na verdade, qualquer modelo de Programao Linear que tenha esse tipo deestrutura, pode ser resolvido pelo algoritmo.

Quadro (tableau) usado no Algoritmo dos Transportes

Podemos observar que todo o modelo, ou seja a funo objetivo e as restries estoescritas no quadro.

Fonte ou Destino Artificial

O algoritmo dos transportes obriga que o somatrio das disponibilidades seja igual aosomatrio das necessidades, o que nem sempre acorre na prtica.Para exemplificar, vamos supor que a capacidade de produo da fbrica 3 seja de 20unidades, em vez de 10.

1 2 3 4 Disp.

1 2 3 11 7 62 1 0 6 11 1

3 5 8 15 9 20Nesc. 7 5 3 2

Ser necessrio criar um destino ARTIFICIAL (destino 5), comcusto de transporteiguais a zero ( o destino no existe fisicamente)

1 2 3 4 5 Disp.1 2 3 11 7 0 6

2 1 0 6 11 0 13 5 8 15 9 0 20

Nesc. 7 5 3 2 10


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Se o somatrio das necessidades for maior que o somatrio das disponibilidades temos quecriar uma fonte artificial.

Etapas do Algoritmo dos TransportesAs etapas bsicas do Algoritmo dos Transportes so:

Obter uma soluo bsica inicial.Dada uma soluo bsica testar se ela a tima.Se no for a tima, obter a melhor soluo bsica adjacente e voltar a etapa 2.

Nmero de Variveis Bsicas nas Solues Bsicas

O nmero de variveis bsicas em uma soluo bsica igual ao nmero de equaeslineares independentes.Em nosso exemplo, a primeira vista, cada soluo bsica teria 7 , ou seja, o nmero deequaes (restries) do problema.Ocorre no entanto, que como o somatrio das disponibilidade igual ao somatrio dasnecessidades, dadas 6 equaes, a stima no mais independente. Logo temos na verdade6 equaes independentes.Genericamente se temos m fontes e n destinos, cada soluo bsica ter (m + n 1) variveis bsicas e (m . n) (m + n 1) variveis no bsicas.

Mtodos para achar a soluo bsica inicialExistem vrios mtodos para se achar a soluo bsica inicial no mtodo dos transportes.Usaremos o chamadoMtodo de Aproximao de Vogel que reconhecidamente omelhor deles, ou seja, aquele cuja soluo bsica inicial, geralmente, est mais prxima dasoluo tima.

Etapas do Mtodo

Calcule para cada linha e cada coluna a diferena entre os 2 menores custos. No casodos 2 menores custos serem iguais a diferena zero.Identifique a linha ou coluna com a maior diferena. No caso de empate a escolha arbitrria.Coloque a maior quantidade possvel na cela de menor custo da linha ou colunaidentificada na etapa 2.Elimine a linha ou coluna esgotada. No caso em que a linha e coluna so esgotadas aomesmo tempo, s podemos esgotar uma delas ficando a outra com zero, mais noesgotada. Voltar a etapa 1.

Exemplo: Achar a soluo bsica inicial do nosso exemplo.Comeamos achando a diferena entre os 2 menores custos de cada linha e de cada coluna,obtendo:

Destinos (Armazns)Fontes

(Fbricas)1 2 3 4 disponibilidade Diferenas

1 2 3 11 7 6 1

2 1 0 6 1 1 1

3 5 8 15 9 10 3

necessidade 7 5 3 2Diferenas 1 5 5 6


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Na 4 coluna temos a maior diferena (6). Nesta coluna, escolhemos a cela com o menorcusto. a cela correspondente ax24 que tem custo igual a 1. Agora temos que atribuir a maior quantidade possivel para x24, lembrando que a soma dalinha 2 tem que dar e a soma da coluna 4 tem que dar 2. Assim, o maior valor que pode seratribuido a x24 o min(1,2), ou seja 1. Ao se atribuir 1 a x24, a linha 2 fica esgotava, ou seja nada pode ser atribuido as outras variveis da linha (serao variveis no bsicas = 0) pois a soma j deu 1. Por sua vez, nacoluna 4, cuja soma tem que dar 3, fica falatando 1 pois 2 1 = 1. Temos que recalcular as diferenas entre os 2 menores custos de cada linha e coluna, semconsiderar a linha 2 que est eliminada. Como a ltma eliminao foi de uma linha, adiferena nas linhas, obviamente, no se alteram. Basta ento calcular as diferenas dascolunas, obtendo-se:


(Fbricas)1 2 3 4 disponibilidade Diferenas

1 2 3 11 7 6 1

2 1 1

3 5 8 15 9 10 3necessidade 7 5 3 2Diferenas 1 5 5 6

A maior diferena est agora na 2 coluna (5). A cela de menor custo (=3) nesta coluna acorrespondente a varivel x12. Como a soma da linha tem que dar 6 e a soma da coluna temque dar 5, a maior quantidade pode ser atribuda a x12 o min(5,6), ou seja 5.Com 5 em x12, a coluna fica esgotada e na linha ainda fica faltando 1 (6 5). Temos que voltar a calcular a diferena entre os 2 menores custos, sem considerar acoluna 2 que est eliminada. Como acabamos de eliminar uma coluna, as diferenas s

podem ter se alterado nas linhas. Temos ento:

A maior diferena est agora na 1 linha (5). A cela de menor custo desta linha acorrespondente a x11 que tem custo igual a 2. O mximo que conseguimos atribuir a x11 omin(1,7), ou seja 1. Ao fazer isto, a linha 1 fica esgotada e na coluna 1 ficam ainda faltando6 (7 1). Eliminando-se a linha 1, temos a seguinte matriz:


(Fbricas)1 2 3 4 disponibilidade

1 1 5 6

2 1 1

3 5 15 9 10

necessidade 6 5 3 1


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Neste ponto no mais necessrio seguir com o algoritmo pois como na coluna 1 sresta, com possibilidade de receber valor, a cela correspondente a varivel x31 e restam 6para serem atribudos, fazemos x31 = 6.

Referncia

Erico Fagundes Anicet Lisboa, Pesquisa Operacional.http://www.ericolisboa.eng.br

pesquisa operacional em logistica metodo simplex

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