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FACULDADE PITÁGORAS Engenharia de Produção Pesquisa Operacional 1 Disciplina: Disciplina: Pesquisa Operacional 1: Prof. Msc. Joabe Silva

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Aula sobre o Método Gráfico de solução de problemas de Programação Linear

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Page 1: Pesquisa Operacional 1 - Aula 3

FACULDADE PITÁGORAS– Engenharia de Produção –

Pesquisa Operacional 1

Disciplina: Disciplina: Pesquisa Operacional 1:Prof. Msc. Joabe Silva

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O método da solução gráfica.1

Exemplos.2

SUMÁRIOExercícios.3

Inteligência Computacional Aplicada a Sistemas de Controle e Automação – Joabe SilvaPesquisa Operacional 1

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Inteligência Computacional Aplicada a Sistemas de Controle e Automação – Joabe SilvaPesquisa Operacional 1

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Os problemas de Pesquisa Operacional, quando esboçam uma relação linear entre asvariáveis de decisão, são chamados de Problemas de Programação Linear (PL).variáveis de decisão, são chamados de Problemas de Programação Linear (PL).

Dentre as diversas possibilidades de problemas de PL, aqueles que são baseados em apenas2 variáveis de decisão (x1 e x2), podem ser solucionados pelo Método Gráfico.

Este método caracteriza-se pela busca da solução ótima do problema de PL, dentro de umaregião factível formada pela intersecção das retas geradas pelas inequações dasrestrições.

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

1 º PASSO: Formulação do problema de pesquisa operacional.

DICASDICAS:

� Quando o problema citar que há um estoque para se utilizar, as restrições são do tipo((≤≤)) pois não se pode consumir matéria-prima além do que se tem disponível noestoque. São as Restrições de Matéria-Prima;

� Quando o problema citar que há um número existente de máquinas para produção,homens para trabalhar, veículos para transportar, dinheiro para investir esimilares, as restrições são do tipo ((≤≤)) pois não se pode utilizar mais máquina para se

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similares, as restrições são do tipo ((≤≤)) pois não se pode utilizar mais máquina para seproduzir, além do que se tem. Não pode contar com mais operadores, além do que se tem.Não se pode transportar além da capacidade do caminhão. Enfim, todas Restrições deCapacidade de Produção;

� Quando o problema citar quantidades necessárias para a produção seraceitável (sucos, vitaminas, tintas, misturas em geral), as restrições são do tipo ((≥≥)) poisnão se pode utilizar menos do que o exigido para se ter um produto de qualidade.

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

2 º PASSO: Estabelecer os eixos do plano cartesiano xy.

Para trabalharmos com um padrão, o eixo vertical será a variável x2 (abscissas) e o eixohorizontal será a variável x1 (ordenadas).

Restrições obtidas no processo de formulação.

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição.

Restrições obtidas no processo de formulação.

Restrição 1O valor que não estiver associado auma variável de decisão, é o ponto emque a reta intercepta o eixo vertical !

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?Para achar o ponto em que a retaintercepta o eixo horizontal, basta

3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição.

Restrições obtidas no processo de formulação.

Restrição 1

intercepta o eixo horizontal, bastaatribuir 0 (zero) para a variável navertical (x2) , e obter o respectivovalor para x1.

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

4 º PASSO: Esboçar o sentido da solução da inequação. Se for do tipo ≤ , a solução está parabaixo ou para esquerda. Se for do tipo ≥ , a solução está para cima ou para a direita.

Restrição 1

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

5 º PASSO: Repetir para todas as inequações.

Restrição 1

Restrição 2

6

3

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4 6

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

5 º PASSO: Repetir para todas as inequações.

Restrição 1

Restrição 2

Restrições de Negatividade

6

3

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Negatividade

4 6

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

6 º PASSO: Delimitar a região factível.

Restrição 1

Restrição 2

Restrições de Negatividade

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Negatividade

Região Factível

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica? Como o objetivo é maximizar,esta reta demonstraque ainda

7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.

Para isto, é necessário atribuir valoresarbitrários para a função objetivo. Masé claro que devem fazer sentido estesvalores, caso contrário a reta ficará forado gráfico.

esta reta demonstraque aindase pode obter valores maisaltos para as variáveis dedecisãox1 e x2.

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Região Factível

Para Z = 6

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica? Como o objetivo é maximizar,esta reta demonstraque ainda

7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.

Para isto, é necessário atribuir valoresarbitrários para a função objetivo. Masé claro que devem fazer sentido estesvalores, caso contrário a reta ficará forado gráfico.

esta reta demonstraque aindase pode obter valores maisaltos para as variáveis dedecisãox1 e x2.

Inteligência Computacional Aplicada a Sistemas de Controle e Automação – Joabe SilvaPesquisa Operacional 1

Para Z = 9

Região Factível

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.

Para isto, é necessário atribuir valoresarbitrários para a função objetivo. Masé claro que devem fazer sentido estesvalores, caso contrário a reta ficará forado gráfico.

Observa-se que ao passo quese aumenta o valor da funçãoobjetivo as retas se deslocampara cima.

A seta em amarelo representa ovetor gradiente da funçãoobjetivo. Como a função é demaximização, o ponto ótimoestá na direção que o vetorcresce,até o limite da região

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Região Factível

Para Z = 9

cresce,até o limite da regiãofactível.

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

Observa-se que ao passo quese aumenta o valor da funçãoobjetivo as retas se deslocam

7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.

Para isto, é necessário atribuir valoresarbitrários para a função objetivo. Masé claro que devem fazer sentido estesvalores, caso contrário a reta ficará forado gráfico.

objetivo as retas se deslocampara cima.

A seta em amarelo representa ovetor gradiente da funçãoobjetivo. Como a função é demaximização, o ponto ótimoestá na direção que o vetorcresce, até o limite da regiãofactível.

Inteligência Computacional Aplicada a Sistemas de Controle e Automação – Joabe SilvaPesquisa Operacional 1

Região Factível

Para Z = 9

x2*

x1*

PONTO ÓTIMO

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

Observa-se que ao passo quese aumenta o valor da funçãoobjetivo as retas se deslocamparacima.

8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.

Às vezes é fácil observar quais são ospontos ótimos de cara (em casos onde arestrição é uma reta sem inclinação). Nocaso deste exemplo, utiliza-se o métodode geometria analítica para achar oponto em que as duas retas se

paracima.

A seta em amarelo representa ovetor gradiente da funçãoobjetivo. Como a função é demaximização, o ponto ótimoestá na direção que o vetorcresce, até o limite da regiãofactível.

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ponto em que as duas retas secruzam.

Sistema de equações formado pelas duas restrições Região Factívelx2*

x1*

PONTO ÓTIMO

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

Sistema de equações formado pelas duas restrições

Pode-seignorar asdesigualdades.

8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.

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Pode-seignorar asdesigualdades.

Região Factívelx2*

x1*

PONTO ÓTIMO

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

Sistema de equações formado pelas duas restrições

Pode-seignorar asdesigualdades.

8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.

Inteligência Computacional Aplicada a Sistemas de Controle e Automação – Joabe SilvaPesquisa Operacional 1

Pode-seignorar asdesigualdades.

Região Factívelx2*

x1*

PONTO ÓTIMO

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

Sistema de equações formado pelas duas restrições

Pode-seignorar asdesigualdades.

8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.

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Pode-seignorar asdesigualdades.Toma-se uma das equações e substitui-se o primeirovalor ótimo encontrado.

Região Factívelx2*

x1*

PONTO ÓTIMO

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

Pontos Ótimos encontrados:

Para encontrar a solução do problema, basta

9 º PASSO: Encontrar a solução do problema (se for maximizar lucro, encontrar o lucromáximo, por exemplo).

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Para encontrar a solução do problema, bastasubstituir na equação da função objetivo:

Região Factível

PONTO ÓTIMO

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como obter a solução gráfica?

PASSO FUTURO: Encontrar a solução do problema pelo aplicativo Solver do Excel.

Microsoft Excel 12.0 Relatório de resposta

Planilha: [Solver_Exemplo_da_Aula.xlsx]Plan1

Relatório criado: 28/02/2011 23:14:31

Célula de destino (Máx)

Célula Nome Valor original Valor final

$B$5 Z= x1 0 13,5

Células ajustáveis

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Células ajustáveis

Célula Nome Valor original Valor final

$B$4 Variáveis x1 0 3

$C$4 Variáveis x2 0 1,5

Restrições

Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência

$D$10 LHS 24 $D$10<=$E$10 Agrupar 0

$D$9 LHS 12 $D$9<=$E$9 Agrupar 0

Região Factível

PONTO ÓTIMO

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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EXEMPLO ADICIONAL:

Região Factível

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PONTOS ÓTIMOS E RESULTADO:

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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EXEMPLO ADICIONAL: TENTE ENCONTRAR A MESMA SOLUÇÃO !!!

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Como resolver problemas de minimização ? DO MESMO MODO !!!

s.a.

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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EXEMPLO ADICIONAL (minimização):

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Quais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?

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Quais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?

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4. RESUMO

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Nesta unidade você aprendeu a utilizar o método gráfico para resolver um problema deduas variáveis. Pelo método gráfico, cada restrição precisa ser representada em umduas variáveis. Pelo método gráfico, cada restrição precisa ser representada em umgráfico formado pelos eixos das variáveis x1 e x2. A junção de todas as restrições formao espaço de possíveis soluções.

Depois de encontrar o espaço de possíveis soluções é necessário assumir alguns valorespara a função objetivo (z). Com esses valores, podemos traçar uma reta para cadavalor de z e perceber para onde a função objetivo cresce. Conseqüentemente, épossível visualizar qual é a solução ótima graficamente. A solução ótima estarálocalizada em um dos vértices da região de possíveis soluções, ou seja, estálocalizada na interseção de duas retas. Para encontrar os valores de x1, x2 e

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localizada na interseção de duas retas. Para encontrar os valores de x1, x2 econseqüentemente z, basta resolver um sistema de equações lineares com as duasretas que passam pelo ponto ótimo.

Na próxima aula você aprenderá a solucionar os problemas de Programação Linear por meiodo aplicativo Solver do Excel. Tal ferramenta permitirá a solução de problemas maiscomplexos, com mais de 2 variáveis de decisão e com um número maior de restrições.

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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EXEMPLOS ADICIONAIS: TENTE ENCONTRAR A SOLUÇÃO !!!

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