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Pedro Paulo BalestrassiUNIFEI-Universidade Federal de Itajubá

IEPG

www.pedro.unifei.edu.br

[email protected]

35-36291161

88776958

“Pensar estatisticamente será um dia, para a eficiente prática da cidadania, tão necessário como a habilidade de ler e escrever.”

H. G. Wells (Escritor Inglês, considerado o pai da moderna Ficção Científica, 1895)

Engenharia da

Qualidade I

Pedro Paulo Balestrassi - www.pedro.unifei.edu.br

Engenharia da Qualidade I

2

Processo

Fatores Incontroláveis (ruído)

Fatores Controláveis

Entrada Saída

...

... x1 x2 xp

z1 z2 zq

y1 y2

ym

...Motivação das empresas para estudo e uso de Estatística:

Foco no Processo: Um dos principais requisitos da ISO 9001:2000



3

X• Pressão de ar air strip• Pressão de ar air bag• Pressão de ar front piston• Pressão Hidráulica• Temperatura• Vazão de óleo Solúvel• Pressão do Nitrogênio

Y• Espessura da parede Top Wall• Espessura da Parede Mid Wall• Profundidade do Dome• Altura da Lata• Visualização

Processo Bodymaker de fabricação de latas

Z• Operador• Rede Elétrica• Qualidade da Bobina

Exemplo de Processo

Aplicação: Pense em um problema similar em sua área de atuação

É complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatística!

Y=f(X)+Z



4

DO THE REAL

THING!

Faça anotações! Aplicando os conhecimentos na sua área é a única forma de sedimentá-los!

Cone of Learning



5

Statgame e Statquiz(Interessante para verificar

o conhecimento básico)

Recursos de Software

O uso de recursos computacionais tornou os cálculos atividades fáceis permitindo uma maior ênfase na compreensão e interpretação dos resultados



Pratique:

• Gere a planilha ao lado e entenda a diferença entre Worksheet e Project. Observe o que é Session.

• Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha gerada.

Siga o caminho: <Stat> <Basic Statistics> <Graphical Summary>

Comandos Básicos



Pratique:

• Navegue no Statguide

• Navegue pelo Tutorial do Minitab

• Cinco ícones importantes: Worksheet, Session, Show Graph Folders e Edit Last Dialog



Pratique:

• Gere uma série de 100 valores aleatórios que poderia simular a variabilidade em Anéis de Pistão (considerando por exemplo Folga entre Pontas).

Use <Calc> <Random Data> <Normal Distribution> e inclua os parâmetros convenientes.

• Calcule as principais estatísticas descritivas da planilha usando Graphical Summary. Faça outros gráficos.



Pratique:

• Entenda o procedimento <Calc> <Set Base>?

• Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer.

• Feche o programa minitab e depois abra a planilha que você salvou.



10

Obtenha domínio sobre o Minitab a partir do arquivo minitab.pdf.

Um bom Material de Apoio


Engenharia da Qualidade IUm Exemplo de Controle Estatístico da Qualidade

A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para uma empresa. Uma grande quantidade de peças são produzidas diariamente e a cada lote produzido, 5 delas são medidas e colocadas em uma tabela, como ao lado.

Pergunta-se:a) O Processo está sob Controle?b) O Processo atende as

Especificações (LSL=0.060 e USL=0.066)

c) Qual a solução para o problema?

UseSet Base=9N(0.0625; 0.0025)Para gerar tal tabela



Problema PráticoProblema Prático

Problema EstatísticoProblema Estatístico

Solução EstatísticaSolução Estatística

Solução PráticaSolução Prática

© 1994 Dr. Mikel J. Harry V3.0

Baixo Rendimento

Média fora do alvo

Identificar variável Vital

Instalar um controlador



Etapa Descrição FocoDefinir

A Identificar CTQs do ProjetoB Desenvolver Escopo de Atuação da EquipeC Definir Mapa do Processo

Medir1 Selecionar Característica do CTQ Y2 Definir Padrão de Desempenho Y3 Análise do Sistema de Medição e Coleta de Dados Y

Analisar4 Estabelecer a capabilidade do Processo Y5 Definir Objetivo do Desempenho Y6 Identificar Origens de Variação X

Melhorar7 Filtrar Causas Potenciais de Variação X8 Descobrir Relações entre as Variáveis e Propor Soluções X9 Estabelecer Tolerâncias Operacionais & Solução Piloto Y,X

Controlar10 Validar Sistema de Medição Y,X11 Determinar a Capabilidade do Processo Y,X12 Implementar Sistema de Controle do Processo X

Six Sigma - DMAIC



16

Uma ótima bibliografia:

Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2ª ed., LTC Livros Técnicos e Científicos, 2002, 461 p.

Não deixe de ler:

Fora de Série (Outliers) – Malcolm Gladwell – Editora Sextante – Uma boa análise sobre Causa e Efeito em inúmeras situações.

Uma Senhora Toma Chá – David Salsburg – Editora Zahar – Como a estatística revolucionou a ciência no século XX.

O Andar do Bêbado – Leonard Mlodinow– Editora Zahar – Como a aleatoriedade impacta nossas vidas.



17

Estatística Descritiva



18

A essência da ciência é a observação. Estatística: A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. Ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status.

Do que trata a Estatística

Estatística Básica (Anova, TH, Regressão)

Séries Temporais

Data Mining

Six Sigma

Redes Neurais

Controle de Qualidade

Estatística Bayseana

Simulação / PO

DOE /Taguchi /RSM

Análise do Sistema de Medição

Estatística Multivariada

Amostragem / Pesquisa

Confiabilidade

Caos

Em 1662, John Graunt publicou os primeiros informes estatísticos. Era sobre nascimento e mortes.



19

A População (ou Distribuição) é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno.

O conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma Amostra da população.

Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todos os elementos de uma população.

Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatística está para a Amostra.

População e Amostra



20

Variável

Qualitativa

Quantitativa

Ordinal

Nominal

Discreta

Contínua

Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determinado processo, poderíamos ter:

Variável Tipo

Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal

Qualidade: 1a, 2a ou 3a categoria Qualitativa Ordinal

No de peças defeituosas Quantitativa Discreta

Diâmetro das peças Quantitativa Contínua

(Também Dados Categóricos ou de Atributos)

Tipos de Dados

(Variáveis)



21

Aplicação: Gere sequências de valores aleatórios que represente problemas em sua área.

O que significa o procedimento <Calc> <Set Base>?

Amostragem: Gere a sequência 1 2 3 ...100.

<Calc> <Make Patterned Data>

Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequências geradas anteriormente.

Use <Calc> Random Data> <Sample from Column>

<Calc> <Random Data> Números Aleatórios



22

Aplicação:

Gere uma sequência de dados que represente um processo em sua área e calcule as estatísticas desse conjunto de dados.

Use:

<Random> e

<Graphical Summary>

Ex.:Número de acessos à página do Site da Empresa durante os últimos 100 dias úteis.

<Graphical Summary>



23

Medidas de Posição: Média

xx x x

n

x

nn

ii

n

1 2 1

n

ii

n

iii

n

nn

p

px

ppp

pxpxpxx

1

1

21

2211

Aritmética Simples

Aritmética Ponderada

+...+

+...+

+...+

Um pouco sobre arredondamento de médias: Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,4 3,4 e 5,7 => média =3,73

Em várias operações, arredonde apenas o resultado final



24

Chama-se Robert

Pesa 78 Kg

Manequim 48

85 cm de cintura

Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne.

Vê TV por ano 2567 horas

Recebe anualmente 585 “coisas” por correio (cartas e outros)

Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e trabalha 6,1 horas

Um Cidadão Americano “Médio”



25

~xn o

1

2termo ~x

n n

2 21

2

o o

termo termo

35 36 37 38 40 40 41 43 46 40, , , , , , , , ~ x

12 14 14 15 16 16 17 2015 16

215 5, , , , , , , ~ ,

x

Ex.:

Se n é ímpar: Se n é par:

Medidas de Posição: Mediana

Mediana é o valor “do meio” de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Inconveniente: Não considera todos os valores da amostra!



26

Média x Mediana

x 345 7,~x 300

Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 }

Ambas são boas medidas de Tendência Central.

Prefira a média

x

{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 }

= 601~x 300

Devido ao Outlier 2300, a mediana é

melhor estatística que a média.



27

Medidas de Dispersão

Rode e Entenda o programa Interativo da

PQ Systems

Discuta:

1) Porque os bancos adotam fila única?

2) “Por favor, com quantos dias de antecedência eu devo postar uma carta de aniversário para minha mãe?”



28

A = { 3, 4, 5, 6, 7 }B = { 1, 3, 5, 7, 9 }C = { 5, 5, 5, 5 }D = { 3, 5, 5, 7 }E = { 3.5, 5, 6.5 }

Uma medida de Posição não é suficiente para descrever um conjunto de dados. Os Conjuntos ao lado mostram isso! Eles possuem mesma média, sendo diferentes.

Algumas medidas de Variabilidade:

Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos:

HÁ =7-3=4

Variabilidade

Amplitude=Range



29

Considerando os desvios em relação à média, temos, para A, por exemplo:

A = { 3, 4, 5, 6, 7 } xxi - {-2, -1, 0, 1, 2}

Medidas de Dispersão

0)(1 11

xnxnxxxxn

i

n

ii

n

iiInconveniente:

Uma opção para analisar os desvios das observações é:considerar o total dos quadrados dos desvios.

x xii

2

1

5

4 1 0 1 4 10



30

Desvio Padrão

.

x x

n

ii

n

2

1

Associando ao número de elementos da amostra (n), tem-se:

...que é a Variância ( Var(x))S2 =

S S 2 ...que é o Desvio Padrão (DP(x)), uma medida que é expressa na mesma unidade dos dados originais



31

Dispersão: Fórmulas Alternativas

21

2

1

2

2 xn

x

n

xxn

ii

n

ii

S

x x

n

ii

n

2

2

1

1

Variância Amostral n-1 está

Relacionado a um problema de tendenciosidade

Variância Populacional (2 ou n

2 )



32

Média = 3 Média = 3

Soma daúltima coluna= 10

Soma daúltima coluna= 10

Divide a Soma por (n-1):= Variância = S2

= 2,5

Divide a Soma por (n-1):= Variância = S2

= 2,5

X

=Soma dos pontos de dados

Número dos pontos de dados

X

54312

X210-2-1

X X

41041

X X2

Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S= 1,58

Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S= 1,58

S S 2

Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X

S2

Exemplo

Uma Regra Prática para

conjunto de dados típicos:

S=Amplitude/4



33

N

N=

N

1i

ixμ

N

)(=

N

1

2

2 i=

i μ x

n

xx

s

n

ii

1

2

2

n

n

x

x

n

ii

1

11

2

2

n

xx

s

n

ii

Estimador Tendencioso de σ

Estimador Não-Tendencioso σ

n-1



34

n

xx

s

n

ii

1

2

2 )1( 2

n

n

1.

)1(1

2

1

2

2

n

xx

n

xx

n

ns

n

ii

n

ii

1

23

4

Simulação (n-1)



35

25%

50%

75%109

104

99

94

DBP

* Outlier ( fora da distância do Q3 + 1,5D )

Q3=75ª Percentil

Observação Máxima

Q1=25ª Percentil

Q2=Mediana (50ª Percentil)

D=Q3-Q1

Interquartil

EDA (Exploratory Data Analysis) e Método dos

Cinco Números

Outra Estratégia: Percentis e Boxplot

Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois supõe a ordenação de dados.



36

Valor do meio

Quartis:

Q1=Quarta Observação Crescente=71.7

Q3=Quarta Observação Decrescente=150.6

Outliers: Q3+1.5D=150.6+1.5(150.6-71.7)=268.95

São outliers valores maiores que 268.95

Percentis e Boxplot

2.(n+1)/4 0

3.(n+1)/4 0

(n+1)/4 0

Para valores não inteiros dos quartis,

usa-se interpolação

graficos.mtw



37

Escores padronizados (z)

zx x

sii x

Grupo

Peso médio

Desvio Padrão

A 66.5 kg 6.38 kg

B 72.9 kg 7.75 kg

Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados:

e 3,238,6

5,662,81 : em

AzA 95,1

75,7

9,7288 : em

BzB

xi - considera o afastamento de xi em relação à média.

A divisão por s torna s como unidade ou padrão de medida.

Nesses grupos há duas pessoas que pesam respectivamente, 81.2 kg e 88.0 kg.

Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso.



38

j (z)

z

xm-3 s m-2 s m- s m m+ s m+2 s m+3s

-3 -2 -1 0 1 2 3

Distribuião Normal Reduzida ou Padronizada

x

z);(: NX

Z: N(0; 1)

Tal fórmula está tabelada e fornece valores acumulados

Qual o formato da curva acumulada?

Distribuição Normal

N(0,1) é a distribuição Benchmark



39


zx x

sii

Uma mulher deu à luz um filho 308 dias após a visita de seu marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma gravidez normal tem média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser considerado comum.

O marido tem razão de se preocupar?



40


zx x

sii

Regra 68 -- 95 -- 99 Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a

contar da média (-1 < z < 1)

Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios padrão a contar da média (-2 < z < 2)

Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 desvios padrão a contar da média (-3 < z < 3)

Regra 68 -- 95 -- 99



41

Assimetria (Skewness)

Próximo de 0: Simétrico

Menor que 0: Assimétrico à Esquerda

Maior que 0: Assimétrico à Direita

Achatamento (Kurtosis)

Próximo de 0: Pico Normal

Menor que 0: Mais achatada que o Normal (Uniforme)

Maior que 0: Menos achatada que o normal (Afinada)

Skewness and Kurtosis



42

Assimetria, Percentis e Boxplot



43

Exercício

Encontre todas as estatísticas descritivas para a série da tabela a seguir.

10 23 34 40 58 74

13 24 35 41 58 80

15 25 37 48 63 82

15 25 38 53 64 88

20 30 39 58 70 250

21 32 39 58 70 254



44

Ex.: População = X=Diâmetro de determinada peça (em mm). Dados brutos: { 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 }Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 }Amplitude (H) = 168 - 163 = 5

Xni

(Frequência Absoluta)

fi(Frequência

Relativa)

Ni(Frequência

Absoluta Acumulada)

FiFrequência

Relativa Acumulada)

163 1 0.1 1 0.1

164 3 0.3 4 0.4

165 2 0.2 6 0.6

168 4 0.4 10 1.0

S 10 1

Distribuição de Freqüências

n ni

K

1

fn

nii

f ii

K

1

1

FN

nii



45

x(Variável)

xi

(ponto médio)

ni

(frequência absoluta)

fi

(frequência relativa)

f%(frequência percentual)

Ni

(AbsolutaAcum.)

Fi

(RelativaAcum.)

F%(Percentual

Acum.)

10 ├ ─ 20 15 2 0.04 4 2 0.04 4

20 ├ ─ 30 25 12 0.24 24 14 0.28 28

30 ├ ─ 40 35 18 0.36 36 32 0.64 64

40 ├ ─ 50 45 13 0.26 26 45 0.9 90

50 ├ ─ 60 55 5 0.1 10 50 1.0 100

S 50 1 100

Classes (ou Categorias)

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS



46

x(Variável)

xi

(ponto médio)

ni

(frequência absoluta)

(Xi).(ni)

10 ├ ─ 20

15 2 30

20 ├ ─ 30

25 12 300

30 ├ ─ 40

35 18 630

40 ├ ─ 50 45 13 585

50 ├ ─ 60

55 5 275

S 50 1820

Classes (ou Categorias)

EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS

4,3650

1820

.

1

1

X

n

nxXMédia n

ii

n

iii



47

10

8

6

4

2

10 20 30 40 60 x

ni

Construção da tabela de distribuição de freqüências a partir do histograma de classes desiguais. Exercício: Complete a tabela.

X ni fi

10 |-- 20

20 |-- 30

30 |-- 40

40 |-- 60

1

Histogramas



48

3 7

Processo A

Processo B

Tempo Total (A+B)

?

= 3s = 1

X = 7s = 2

X

3 2 1

2.23 5 (2) (1) S S S222

B

2

ABA

Correto; Some as

variâncias e depois

obtenha o Desvio Padrão

Incorreto;

Soma de Normais



49

-10 -5 0 5 10 15

Linha A

Linha B

Diferença:Linha A – Linha B

?

= 3 s = 1X = 7

s = 2X

4 - 7 - 3 X -X X BABA

1 2 1

2.23 5 (2) (1) S S S222

B

2

ABA

= ¹

==+=+=– Correto

Incorreto

Diferença de Normais



50

Representação Gráfica:Ramo-e-folhas

x

Ramos x x Folhas

x x x x x

x x x

81 113 108 74 79 78 90 93 105 109 93

106 103 100 100 100 101 101 101 95 90 94

90 91 92 93 87 89 78 89 85 94 86

11 3

10 8 5 9 6 3 0 0 0 1 1 1

9 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4

8 1 7 9 9 5 6

7 4 9 8 8

11 3

10+ 8 5 9 6

10- 3 0 0 0 1 1 1

9- 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4

8 1 7 9 9 5 6

7 4 9 8 8

Ex.:

graficos.mtw



51

Stem-and-Leaf Display: folha_ramo

Stem-and-leaf of Ramo N = 33Leaf Unit = 1.0

1 7 4 4 7 889 5 8 1 10 8 56799 (10) 9 0001233344 13 9 5 12 10 0001113 5 10 5689 1 11 3

Obtendo o seguinte Folha

e Ramo.

Compare os resultados

fazendo um Histograma.

O que representa tal

coluna?

Coluna folha_ramo

Ramo-e-folhas



52

Exercício no Minitab: Faça o gráfico abaixo a partir dos dados seguintes.

Plot

graficos.mtw



53

Faça o gráfico bidimensional a partir dos dados a seguir

<Marginal Plot>

graficos.mtw



54

Os dados representam uma série temporal

Tal gráfico é útil para ver a estabilidade de um processo.

Control Chart é Melhor!

<Stat> <Quality Tools>

<Run Chart>

• Column=Tempo na fila

• Subgroup Size=1

Runchart

runchart.mtw



55

• Identifica Diversos tipos de variação

• A análise de efeitos é similar em DOE

• Permite identificar interações

• Não é o mesmo que Estatística Multivariada

15 18 21

17,5

18,5

19,5

20,5

21,5

22,5

23,5

TipoMetal

Forç

a

0,5

1,0

2,0

Multi-Vari Chart for Força by TempoSinter - TipoMetal

TempoSinter

Use os

Dados a seguir

<Stat>

<Quality Tools>

<Multi-Vari>:

Response: Força (y)

Factor1: TempoSinter (x1)

Factor2: TipoMetal (x2)

Multi-Vari

Sinter.mtw



56

Multi-Vari – Monte a Tabela

x1 x2 y x1 x2 y x1 x2 y0,5 15 23 1 15 22 2 15 180,5 15 20 1 15 20 2 15 180,5 15 21 1 15 19 2 15 160,5 18 22 1 18 24 2 18 210,5 18 19 1 18 25 2 18 230,5 18 20 1 18 22 2 18 200,5 21 19 1 21 20 2 21 200,5 21 18 1 21 19 2 21 220,5 21 21 1 21 22 2 21 24

Nível 0,5 Nível 1,0 Nível 2,0



57

Distribuição Normal de

Probabiliade



58

0xf

1

xf

b

aabdxxfbXaP )( )(

Algumas Distribuições Contínuas:

Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t)

Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull

f(x) => fdp

Função densidade de probabilidade

Área da curva é unitária

Probabilidade está associada a área

Distribuições Contínuas de Probabilidade



59

a ) f x d x( )

1

b ) f ( x ) 0

c ) l i m ( ) l i m ( )x x

f x f x

0 0 e

d ) f ( + x ) = f ( - x )

e ) M á x f ( x ) o c o r r e e m x =

f ) O s p o n t o s d e i n f l e x ã o s ã o x =

g ) E ( X ) =

h ) V a r ( X ) = 2

f(x)

x +

a ) f x d x( )

1

b ) f ( x ) 0

c ) l i m ( ) l i m ( )x x

f x f x

0 0 e

d ) f ( + x ) = f ( - x )

e ) M á x f ( x ) o c o r r e e m x =

f ) O s p o n t o s d e i n f l e x ã o s ã o x =

g ) E ( X ) =

h ) V a r ( X ) = 2

2

21

2

1)(

x

exf




60


Pouca Utilidade Prática

Retorna a probabilidade Acumulada

Retorna a Variável quando é dada a probabilidade

acumulada

Exemplo

X:N(100,5)P(X<=95)=0,1587



61

mm

1s1s

TT LSELSE

p(d)

3sUsed With Permission

Ó 6 Sigma Academy Inc. 1995


);(: NX

Se a dimensão de uma peça segue uma distribuição Normal X: N(80,3) qual a Probabiliade de ter uma peça defeituosa de

acordo com a figura?



62

Exercício 1:Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida:

a) Entre 100 e 115

b) Entre 100 e 90

c) Superior a 110

d) Inferior a 95

e) Inferior a 105

f) Superior a 97

g) Entre 105 e 112

h) Entre 89 e 93

i) 98

Dica:

Crie uma coluna com os valores 100 115...98 no Minitab

Crie uma coluna com

os valores 0,74...0,05 no

Minitab

Exercício 2:Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade:

a) P(X>k)=0,26

b) P(X<k)=0,32

c) P(100-k<100<100+k)=0,47

d) P(x<100-k)+P(x>100+k)=5%


Use: <Calc><Probability Distribution><Normal>



63

Probabilidades e Escores padronizados (z)

ii

xz

Exemplo

Um cliente tem um portfólio de investimentos cuja média é US$ 500.000 com desvio padrão de US$ 15.000. Determine a probabilidade de que o valor de seu portfólio esteja entre US$ 485.000 e US$ 530.000.



64


Exemplo

Se X tem distribuição normal N(15, 4), encontre a probabilidade de X ser maior que 18.

Exemplo

Uma companhia produz lâmpadas cuja vida segue uma distribuição normal com média 1.200 horas e desvio padrão de 250 horas. Escolhendo-se aleatoriamente uma lâmpada, qual é a probabilidade de sua durabilidade estar entre 900 e 1.300 horas?



65


Exemplo

Um grupo de estudantes obtém notas que são normalmente distribuídas com média 60 e desvio padrão 15. Que proporção dos estudantes obtiveram notas entre 85 e 95?

Exemplo

No caso da prova do exercício anterior, determine a nota acima da qual estão 10% dos melhores alunos da classe.



66


Exercício

É sabido que a quantidade anual de dinheiro gasto em livros por alunos de uma universidade, segue uma distribuição normal com média $380 e desvio padrão de $50.

Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente no campus gaste mais do que $ 360 por ano?



67

Probabilidades e Produção

Exercício

A demanda antecipada de consumo de um certo produto é representada por uma distribuição normal com média 1.200 unidades e desvio padrão de 100.

a) Qual é a probabilidade de que as vendas excedam 1.000 unidades?

b) Qual é a probabilidade de que as vendas estejam entre 1.100 e 1300 unidades?

c) A probabilidade de se vender mais do que k unidades é de 10%. Determine k.



68

Probabilidades e Investimentos

Exercício

Um portfólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%.

a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?

b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?

c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?



69

Probabilidades e Finanças

Exercício

Um portifólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%.

a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?

b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?

c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?


Engenharia da Qualidade I Testes de Hipóteses



71

Exemplos:

• Duas linhas de produção supostamente idênticas estão apresentando resultados diferentes. Como confirmar isso?

• A variabilidade de um processo é maior que outro. Temos certeza?

• Os dados estão normalmente distribuídos?

• Como saber estatisticamente se dois funcionários tem o mesmo desempenho?



72

Um produto original é identificado pelo seu peso (em libras) e reconhecidamente segue uma distribuição normal N(50; 0.8).

Do mesmo modo, produtos falsificados tem pesos significativamente maiores que 50 lb, seguindo distribuição também normal N(52, 0.8).

Uma amostra aleatória revelou um peso médio de 51,3 lb.

Baseado nesta amostra a que conclusões se pode chegar?

Decisão Estatística



73

• Qual é a probabilidade de que (em função da amostra) um produto original seja classificado como Falso?

• Qual a probabilidade de que o produto original seja corretamente identificado?

• Qual a probabilidade de que um produto falsificado seja classificado como original?

• Qual é a probabilidade de se detectar produtos falsificados neste caso?



74

54535251504948

100

80

60

40

20

0

50 52



75

54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52



7654535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%Erro Tipo 1 (Alfa)



77

54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%19%

Erro Tipo 1 (Alfa)

Erro Tipo 2 (Beta)



78

54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%19%

Erro Tipo 1 (Alfa)

Erro Tipo 2 (Beta)

CONFIANÇA (1-Alfa)



79

54535251504948

100

80

60

40

20

0

51,350 52

5%19%

Erro Tipo 1 (Alfa)

Erro Tipo 2 (Beta)

POWER(1-Beta)CONFIANÇA

(1-Alfa)



80

• Na afirmação: “Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado.”, defina:

• Erros Tipo I e Tipo II

• Hipóteses Nula e Alternativa

H0: o réu é inocente (hipótese fundamental)

H1: o réu é culpado (hipótese alternativa)



81

Os erros de julgamento poderiam ser : condenar um réu inocente ou, então, absolver um réu culpado.

REALIDADE

H0 verdadeira H0 falsa

aceitarH0

decisão correta1 -

erro tipo II

DECISÃO

rejeitarH0

erro tipo I

decisão correta1 -

Hipóteses e Erros



82

• ERRO DO TIPO I

Rejeitar Ho sendo Ho verdadeira

P(Erro I) = P(rejeitar Ho|Ho é verdadeira) =

• ERRO DO TIPO II

Não rejeitar Ho sendo Ho falsa

P(Erro II) = P(não rejeitar Ho|Ho é falsa) =

Tipos de Erros



83

No Minitab: Análise do P-value !

1) Definir as hipóteses;

2) Escolher a estatística de teste adequada;

3) Escolher e estabelecer a Região Crítica (RC);

4) Com base em uma amostra de tamanho n, extraída da população, calcular ;

5) Rejeitar Ho caso RC. Não rejeitar Ho em caso contrário.

Construção de T.H.



84

Testes de Hipóteses Estatísticas

Os testes de hipóteses em Estatística podem ser empregados para avaliar ou comparar:

• médias;• variâncias (ou desvios-padrão);• proporções;• distribuições de probabilidade e correlação.

Estas análises podem se do tipo “igual”, “menor que” ou, ainda, “maior que”.

Testes Paramétricos



85

• Para avaliar médias, empregam-se dois diferentes tipos de testes: z ou t.

• o teste z é empregado somente se o desvio-padrão da população (s) é conhecido (caso pouco provável);

• o teste t é utilizado nas demais circunstâncias e, por isso, este é que será visto no curso.

TH p/ Média



86

Ex.

The production manager of a company has asked you to evaluate a proposed new procedure for producing its double-hung windows. The present process has a mean production of 80 units per hour with a population standard deviation of 8 units. The manager indicates that she does not want to change to a new procedure unless there is strong evidence that the mean production level is higher with the new process.

A random sample of 25 units revealed the sample mean was 83. Based on this sample, is there strong evidence to support the conclusion that the new process resulted in higher productivity?



87

n

XZ

0

80:

80:

1

0

H

H



88

•P-Value é a área ou probabilidade que fica acima (ou abaixo) do valor obtido experimentalmente.

Quanto menor o P-Value, menor será a chance de se cometer um erro do tipo 1!

P-Value = P(1-Ø)

P-Value



89

Alfa



90

N(,) x

N(,) x

N(,) x

Teste Unilateral Esquerdo

Teste Unilateral Direito

Teste Bilateral

/2

A1A2

A1

A2

A2A1

P-Value = A1Aceita-se Ho

P-Value = A2Rejeita-se Ho

P-Value = A1Aceita-se Ho

P-Value = A2Rejeita-se Ho

P-Value = A1+A2

Unilateral e Bilateral



91

Exemplo

A manufacturing process involves drilling holes whose diameters are normally distributed with population mean of 2 inches and population standard deviation 0.06 inches. A random sample of 9 measurements had a sample mean of 1.95 inches. Use a significance level of 5% to determine if the observed sample mean is unusual and suggests that the drilling machine should be adjusted.

n

XZ

0

2:

2:

1

0

H

H



92

Question :

A company which receives shipments of batteries tests a random sample of nine of them before agreeing to take a shipment. The company is concerned that the true mean lifetime for all batteries in the shipment should be at least 50 hours. From past experience, it is safe to conclude that the population distribution of lifetimes is normal, with standard deviation of 3 hours. For one particular shipment, the mean lifetime for a sample of nine batteries was 48.2 hours. Test at 5% level the null hypothesis that the population

mean lifetime is at least 50 hours.

EXERCÍCIOS



93

Question :

An engineering research center claims that through the use of a new computer control system, automobiles should achieve on average an additional 3 miles per gallon of gas. A random sample of 100 automobiles was used to evaluate this product. The sample mean increase in miles per gallon achieved was 2.4 and the sample standard deviation was 1.8 miles per gallon.

EXERCÍCIOS

Test the hypothesis that the population mean is at least 3 miles per gallon using 5% significance level. Find the P-value of this test, and interpret your findings.



94

Question :

A beer distributor claims that a new display, featuring a life-size picture of a well-known rock singer, will increase product sales in supermarkets by an average of 50 cases in a week. For a random sample of 20 liquor weekly sales, the average sales increase was 41.3 cases and the sample standard deviation was 12.2 cases. Test at the 5% level the hypothesis that the population mean sales increase is at least 50 cases.

EXERCÍCIOS



95

Question :In contract negotiations, a company claims that a

new incentive scheme has resulted in average weekly earning of at least $400 for all customer service workers. A union representative takes a random sample of 15 workers and finds that their weekly earnings have an average of $381.25 and a standard deviation of $48.60. Assume a normal distribution.

a) Test the company’s claim;b) If the same sample results had been obtained

from a random sample of 50 employees, could the company’s claim be rejected at a lower significance level than in part (a)?

EXERCÍCIOS



96

Question :

A bearing used in an automotive application is supposed to have a nominal inside diameter of 1.5 inches. A random sample of 25 bearings is selected and the average inside diameter of these bearing is 1.4975 inches. Bearing diameter is known to be normally distributed with standard deviation 0.01 inch. Test the null hypothesis using a two-sided approach and considering.

EXERCÍCIOS



97

Question :A process that produces bottles of

shampoo, when operating correctly, produces bottles whose contents weigh, on average, 20 ounces. A random sample of nine bottles from a single production run yielded the following content weights (in ounces):

EXERCÍCIOS

21,4 19,7 19,7 20,6 20,8 20,1 19,7 20,3 20,9.

Assuming that the population distribution is normal, test at the 5% level against a two-sided alternative the null hypothesis that the process is operating correctly.



98

A Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final deve ser maior que 90 psi. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi . As medidas da Resistência para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha Resistência.MTW

Teste a Hipótese de que as medidas da Resistência ao Estufamento estão dentro do limite de especificação. (Prove que as medidas são maiores que 90)

Gere: N(91; 0.83)

Exemplo 1Z



99

•TH - Proporções

01

00

:H

:H

01

00

:H

:H

01

00

:H

:H

Onde: p é a proporção populacional e p0 é uma constante

T.U.E BilateralT.U.D

T.U.E T.U.D Bilateral

211

210

:H

:H

211

210

:H

:H

211

210

:H

:H



100

Em uma indústria de autopeças, historicamente 3,5% das peças produzidas contém algum tipo não-conformidade. Uma equipe está trabalhando na redução desta incidência de defeitos e, no último mês, foram produzidas 1500 peças e somente 45 estavam fora da especificação.

A equipe obteve melhoria no desempenho ?

035,0:

035,0:

1

0

H

H

Exemplo – 1 Proportion



101

<Stat > <Basic Statistics > <1 Proportion>

Selecione Summarized data

“Number of trials”: 1500

“Number of successes”: 45

Options

“test proportion”: < 0,035 >

“alternative”: < less than >

%0,31500

45p

p0



102

Uma equipe deseja aumentar a porcentagem (ou proporção) de pedidos aceitos pelos clientes.

A equipe acredita ter identificado uma das causas de perdas de pedidos que é o prazo elevado para envio da cotação ao cliente. Conseguiram reduzir este tempo e os resultados das últimas 10 semanas estão fornecidos no arquivo pedidos.mtw.

Qual é a conclusão ?



103

<Stat > <Basic Statistics > <2 Proportions>

Selecione Samples in different columns

First= antes

Second= depois

Options

“test difference”: < 0 >

“alternative”: < less than >

Obs: no arquivo, “s” indica pedido aceito, e “n”, pedido recusado

2 Proportions



104

Test and CI for Two Proportions: antes; depois

Success = s

Variable X N Sample pantes 11 43 0,255814depois 14 30 0,466667

Estimate for p(antes) - p(depois): -0,21085395% upper bound for p(antes) - p(depois): -0,0253151Test for p(antes) - p(depois) = 0 (vs < 0): Z = -1,87

P-Value = 0,031

Rejeita-se H0



105

<Stat><Basic Statistics> <1 Sample Z>

Selecione Resistencia

Sigma=1 (isso geralmente não é fornecido)

Test mean= 90

<Options>

Alternative= Greater than

<Graphs...>

Individual plot



106

One-Sample Z: Resistencia

Test of mu = 90 vs mu > 90

The assumed sigma = 1

Variable N Mean StDev SE MeanResistencia 15 91,111 0,834 0,258

Variable 95,0% Lower Bound Z PResistencia 90,686 4,30 0,000

H0 H1

Rejeita-se H0Região Crítica

Valor dentro da Região Crítica

Uma boa regra:

Se P-Value < , rejeita-se Ho



107

A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como 0.082’’+/- 0.010’’ e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha.

Teste a Hipótese de que as medidas da Largura da Flange estão dentro do limite de especificação. (Prove que os valores são em média maiores que 0,072” e menores que 0,092”)

Gere: N(0.0835; 0.00345)

Teste de média t para 1 amostra

Exemplo 1t



108

<Stat><Basic Statistics> <1 Sample t>

Selecione Largura Flange

Test mean= 0,092

<Options>

Alternative= Less than

<Graphs...>

Histogram of data


Selecione Largura Flange

Test mean= 0,072

<Options>

Alternative= Greater than

<Graphs...>

Histogram of data

Teste 1 (Para provar que os valores são menores que 0,092)

Teste 2 (Para provar que os valores são maiores que 0,072)



109

01

00

:H

:H

01

00

:H

:H

01

00

:H

:H

Teste de Hipótese para Médias – Uma amostra


n

XZ

/0

0

nS

XT

/0Teste Z: Teste T:

1Z e 1t



110

211

210

:

:

H

H

211

210

:

:

H

H

211

210

:

:

H

H

Teste de Hipótese para Médias – Duas amostras


2

22

1

21

2121

0

nn

XXZ

Variâncias Conhecidas

21

2121

111nnS

XXT

p

Variâncias Desconhecidas

2Z e 2t



111

Estimador Combinado

11

11

21

222

2112

nn

SnSnS p

: :

: :

21

22

21

nn

SS Variância Amostral Grupo 1 Variância Amostral Grupo 2

Tamanho do Grupo 1 Tamanho do Grupo 2

2t – Cálculo da Variância



112

22

12

1

22

12

0

:

:

H

H

TH p/ Variâncias


22

21

0 S

SF Estatística de Teste:

22

12

1

22

12

0

:

:

H

H

22

12

1

22

12

0

:

:

H

H



113

Exemplo

Dois tipos de Bico de Aplicação de verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses dois Bicos com relação ao Peso do Verniz (em mg) medido após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado.

As variâncias são iguais? (Teste a Hipótese nula de que os dois bicos produzem um peso de Verniz com mesma variância.) Peso_Verniz.MTW



114

Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns

Para usar Samples in one column

<Stat><Basic Statistics> <2 Variances>


First= Verniz_tipo1

Second= Verniz_tipo2



115

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

Verniz_tipo2

Verniz_tipo1

1,21,00,80,60,40,2

Data

Verniz_tipo2

Verniz_tipo1

112,5112,0111,5111,0110,5110,0

F-Test

0,236

Test Statistic 2,74P-Value 0,150

Levene's Test

Test Statistic 1,51P-Value

Test for Equal Variances for Verniz_ tipo1; Verniz_ tipo2

Prefira sempre, pois independe da distribuição dos dados.

As variâncias são iguais!

Levene’s Test



116

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels

0.358564 0.548160 1.10380 10 Verniz_tipo1

0.216713 0.331303 0.66713 10 Verniz_tipo2

F-Test (normal distribution)

Test Statistic: 2.738

P-Value : 0.150

Levene's Test (any continuous distribution)

Test Statistic: 1.505

P-Value : 0.236 (variâncias iguais)

Após empilhamento dos dados faça: <Anova> <test for equal variances>

Esse método é melhor, pois pode testar mais que dois conjuntos de dados.

Test for Equal Variances



117

Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW)



First= Verniz_tipo1

Second= Verniz_tipo2

Selecione: Assume equal variances

<Options>

Test mean= 0

Alternative= not equal

<Graphs>

Selecione Boxplots of data



118

Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2

Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2

N Mean StDev SE Mean

Verniz_t 10 110.792 0.548 0.17

Verniz_t 10 112.205 0.331 0.10

Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2

Estimate for difference: -1.413

95% CI for difference: (-1.838, -0.987)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97

P-Value = 0.000 DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.453

Médias diferentes



119

Data

Verniz_tipo2Verniz_tipo1

112,5

112,0

111,5

111,0

110,5

110,0

Boxplot of Verniz_ tipo1; Verniz_ tipo2



120

Observações Emparelhadas

0:

0:

2101

2100

H

H

0:

0:

2101

2100

H

H

0:

0:

2101

2100

H

H

nS

DT

D /0

0

Diferença Amostral Média

Desvio Padrão das diferenças entre 1 e 2

Paired t



121

• Consiste em dois testes (um antes e outro depois) com a mesma unidade experimental (amostra).

Ex.: O peso de pessoas antes e depois de um tratamento.

• Em geral, as unidades experimentais são heterogêneas ( grande) e exibem alta correlação positiva.

Paired t - Características



122

Suspeita-se que dois funcionários estão monitorando o manômetro de um processo de uma forma desigual. Para diferentes pressões foram lidas (de uma forma emparelhada) os resultados da planilha ao lado.

Teste a Hipótese de que os dois operadores tem o mesmo desempenho.

Exemplo - Paired t



123

Paired t

<Stat><Basic Statistics> <Paired t>

Selecione Samples in columns

First sample= Operador 1

Second sample= Operador 2

<Options>

Test mean= 0

Alternative= not equal

<Graphs>

Individual value plot



124

Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2

Paired T for Operador 1 - Operador 2

N Mean StDev SE Mean

Operador 1 10 194 428 135

Operador 2 10 196 428 135

Difference 10 -2.400 1.075 0.340

95% CI for mean difference: (-3.169, -1.631)

T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -7.06 P-Value = 0.000

Médias diferentes



125

• As bases da Análise de Variância

• Um fator (One-way)• Dois fatores (Two-way)• Análise de Médias (ANOM)• Balanced ANOVA

ANOVA é um Teste para Comparar Médias

(O nome é enganoso!)

ANOVA

Análise de Variância



126

Entendendo o significado da

ANOVA...

ANOVA - Visualmente



127

Tratamentos

RespostaA B C

5 9 10

4 1 5

6 8 8

7 11 7

8 6 10

Somatório 30 35 40

Médias 6 7 8

As médias são realmente diferentes ou tudo não passa de casualidade?

negadoser vai sinais dos um menos Pelo:

:

1

0

H

H CBA

As Bases da ANOVA



128

Passo 1: Cálculo da Variação Total

5 5-7=-2 4

4 4-7=-3 9

Etc. Etc. Etc

7 0 0

10 3 9

105 0 96

iX ii xXX 2ix

(A, B

e C

)

VT - Variação Total

Como VT>0 é razoável imaginar que ela se compõe de variações que ocorrem Dentro dos Grupos (VD - Within) e Entre os tratamentos (VE - Between)

Foram considerados 15 observações: Glib=14

Média geral

Algoritmo: Variação Total



129

5 5-6=-1 1

4 -2 4

6 0 0

7 1 1

8 2 4

10

Passo 2: Cálculo da Variação Dentro do Grupo - Within

AA XX 2)( AA XX AX 2)( BB XX 2)( CC XX

58 18

VD=10+58+18=86Foram considerados 5 observações em cada caso: Glib=12

Algoritmo: Variação Within



130

6 -1 1

6 -1 1

6 -1 1

6 -1 1

6 -1 1

5

Passo 3: Cálculo da Variação Entre Tratamentos (Between)

XX A 2)( XX A AX

0 5

VE=5+0+5=10

2)( XX B 2)( XX C

Foram considerados 3 observações : Glib=2

Algoritmo: Variação Between



131

VT=VD+VE ! 96=86+10

Graus de Liberdade:

A VT possui (15-1)=14 GLIB

(3 Tratamentos) (5 Observ/Trat)

A VD possui (5-1)(3)=12 GLIB

(5 Observ/Amostra)(3 Amostras)

A VE possui (3-1)=2 GLIB

(3 Tratamentos -1)

A B C

5 9 10

4 1 5

6 8 8

7 11 7

8 6 10

GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02

Algoritmo: Graus de Liberdade



132

VT=VD+VE ! 96=86+10

GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02

VD/GLIBVD = 86/12 = 7,17

VE/GLIBVE= 10/2 = 5

Estimativas de Variâncias:

F0= 5/7,17=0,70

Fcrítico= 3,89 (em função dos GLIBVE GLIBVD e alfa=5%

F0<Fcrítico Não se Rejeita Ho

Algoritmo: Teste de Fisher para Médias



133

Fonte de Variação

Própria Variação GLIB Variância

Estimada F0

VE 10 2 10/2=5 5/7,17=0,70

VD 86 12 86/12=7,17

VT 96 14

Quadro Resumo Básico

Algoritmo: Quadro resumo



134

One-way ANOVA: A; B; C (use unstacked)

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Factor 2 10,00 5,00 0,70 0,517

Error 12 86,00 7,17

Total 14 96,00

Individual 95% CIs For Mean

Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+--

A 5 6,000 1,581 (------------*------------)

B 5 7,000 3,808 (------------*------------)

C 5 8,000 2,121 (------------*------------)

----+---------+---------+---------+--

Pooled StDev = 2,677 4,0 6,0 8,0 10,0

Minitab <ANOVA>One-Way Unstacked



135

Exemplo

Na definição do Setup dos fatores para o processo Inside Spray quatro conjuntos de níveis para os parâmetros de Temperatura foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses quatro Setups com relação a Distribuição do Verniz interno no fundo para cerveja medidas em mg/pol2 após o processo. Tais medidas são

dadas na planilha ao lado.

One-Way ANOVA



136

Usar o Procedimento Stack Columns para executar o Teste ANOVA One-Way (preferível pois faz a análise de resíduos!!)

ANOVA One-Way (Unstacked)

ANOVA One-Way (Unstacked)



137

As médias são diferentes

ANOVA One-Way: Resultados



138

Se

tup

1

Se

tup

2

Se

tup

3

Se

tup

4

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

Boxplots of Setup1 - Setup4(means are indicated by solid circles)

ANOVA One-Way: Boxplots



139

6.0 6.5 7.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Fitted Value

Res

idua

lResiduals Versus the Fitted Values

(response is mg)

ANOVA One-Way: Residuals x Fitted



140

Exemplo

No processo Bodymaker deseja-se investigar a Profundidade do Dome em função de 3 conjuntos de parâmetros (envolvendo pressão, Temperatura Vazão, etc...) e também em dois turnos de operação. Foram então colhidas amostras da Profundidade do Dome (em polegadas) para diferentes Turnos e diferentes Conjuntos de Parâmetros. Anova_2.MTW

Two-Way ANOVA

Processo de fabricação de latas



141

ANOVA Two-Way: Follow along



142

Diferentes

Iguais

ANOVA Two-Way: Resultados



143

Exemplo

Foram avaliados três níveis de pressões de ar draw pad (em psi) e também três níveis de pressões de ar blow off (em psi) na influência de problemas visuais após o processo Minster. O número de defeitos visuais (Riscos, Abaulamento, orelhas, rebarbas, rugas e ovalização) está mostrado na planilha ao lado. Anova_3.MTW

ANOM

Análise de Médias

ANOM: Para identificar qual média é diferente e avaliar a Interação!



144

ANOM

Isso é melhor estudado em DOE!



145

Não há interação entre as pressões Blow e Draw. O Efeito de

Blow é significativo!

ANOM: Gráficos



146

A Pressão Blow afeta mais a

média

3,0 e 8,83 são valores distantes

de 6,22

Draw

Blow

ANOM: Resultados



147

Exemplo

Deseja-se avaliar o tempo gasto (em minutos) por seis funcionários para ajustar o Setup de dois processos (I e II) usando dois diferentes procedimentos (um novo e um antigo). A planilha seguinte mostra os resultados obtidos.

Anova_5.MTW

Balanced Anova

Processo de fabricação de latas

Isso é a base para DOE - Delineamento

de Experimentos!



148

Balanced ANOVA



149

Diferentes

Balanced ANOVA: Resultados



150

TWO-WAY

Ex.: An engineer suspects that the surface finish of metal parts is influenced by paint used and the drying time.

Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.



151

TWO-WAY

Drying Time (min)

Paint 20 25 30 Total (yi..)

1 74 64 50 188 73 61 44 178 78 85 92 255 621

2 92 86 68 246 98 73 88 259 66 45 85 196 701

Total:(y.j.) 434 437 451 1322

(y…)



152

TWO-WAY

Ex.: Am experiment describes na investigation about the effect of glass type and phosphor type on the brigtness of a television tube. The response is the current (mA) necessary to obtain a specified brightness level.

Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.

pedro paulo balestrassi unifei-universidade federal de itajubá iepg [email protected]...

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