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UNIBAN
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
PAULO JORGE MAGALHÃES TEIXEIRA
UM ESTUDO SOBRE OS CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS AO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA PARA A
EXPLORAÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM NO ENSINO
FUNDAMENTAL
SÃO PAULO - SP
2012
PAULO JORGE MAGALHÃES TEIXEIRA
UM ESTUDO SOBRE OS CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS AO PROFESSOR DE MATEMÁTICA PARA A
EXPLORAÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM NO ENSINO FUNDAMENTAL
Tese apresentada à Banca Examinadora do Curso de Doutorado em Educação Matemática, Linha de Pesquisa em Formação de Professores que ensinam Matemática, da Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, como exigência parcial à obtenção do título de Doutor em Educação Matemática, sob a orientação do professor Dr. Ruy César Pietropaolo.
SÃO PAULO 2012
P268e Teixeira, Paulo Jorge Magalhães
Um estudo sobre os conhecimentos necessários ao professor de matemática para a exploração de problemas de contagem no ensino fundamental. ./ Paulo Jorge Magalhães Teixeira. -- São Paulo: [s.n.], 2012. 458 f.: il.; 30 cm. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Universidade Bandeirante de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. “Orientação: Professor Dr. Ruy César Pietropaolo”
1.Educação matemática. 2. Problemas de contagem. 3. Formação de professores de matemática. 4. Conhecimento matemático para o ensino. 5. Currículo de matemática. I. Título.
CDD: 372.7
Autor: Paulo Jorge Magalhães Teixeira
Título: Um estudo sobre os conhecimentos necessários ao pro fessor de
Matemática para a exploração de Problemas de Contag em no Ensino
Fundamental
Este trabalho foi julgado e aprovado para obtenção do título de Doutor em
Educação Matemática – UNIBAN – Universidade Bandeirante de São Paulo
São Paulo, 30/11/2012.
Banca Examinadora
_____________________________________________________________
Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo (Orientador)
Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
_____________________________________________________________
Profª. Dra. Martha Salerno Monteiro
Universidade de São Paulo - USP
_____________________________________________________________
Prof. Dr. Márcio Antonio da Silva
Universidade Federal do Mato Grosso do Sul - UFMS
_____________________________________________________________
Profª. Dra. Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy)
Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
_____________________________________________________________
Profª. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva
Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta tese por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Local e Data: ___________________________________
Assinatura: _____________________________________
Dedicatória
Dedico este trabalho aos meus amados e
queridos pais FERNANDO TEIXEIRA MALTA
(in memoriam) e ANA MAGALHÃES MALTA,
de quem aprendi o caminho da retidão, da luta,
do esforço, da justiça, do amor e do trabalho,
razões de minha existência e aos meus
queridos irmãos HILDA, LUÍS ANTÔNIO e
ELISABETE, presentes nesta minha conquista
e em tantas outras realizações.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar e acima de tudo, a Deus, sem o qual nada é possível, seu
filho Jesus Cristo, Maria Nossa Senhora, Nossa Senhora da Conceição
Aparecida, Nossa Senhora da Consolação e Correia, Nossa Senhora da
Conceição, São Judas Tadeu, São Jorge e aos mensageiros da luz, pois
sempre me mantiveram na esperança de vida principalmente quando tudo
parecia estar escuro, quando bateu o desânimo, quando as palavras não foram
suficientes;
Ao meu querido e amado pai Fernando Teixeira Malta (in memoriam), pelo
exemplo de vida, amor, luta, coragem e determinação;
À minha querida e amada mãe Ana Magalhães Malta, pelo exemplo de vida,
amor, luta, coragem, determinação, estímulo e pelas palavras confortantes nos
momentos de maior preocupação, fraqueza, desânimo e em tantos outros não
menos difíceis;
Aos meus irmãos Hilda Magalhães Teixeira Lopes, Luís Antônio Magalhães
Teixeira e Elisabete Teixeira Sá Freire de Abreu, pela força, companheirismo e
disponibilidade para resolverem inúmeros problemas pessoais enquanto me
dispunha a estudar em São Paulo e em redigir esta tese;
Aos cunhados Hélcio e Manuel, à Márcia, Ana Carolina, Luiz Fernando,
Leonardo e Mateus pelas palavras de incentivo e força nos momentos difíceis
porque passamos;
Ao Professor Doutor Ruy César Pietropaolo, pela orientação, dedicação, apoio,
valiosas sugestões, ajuda, companheirismo, amizade e incentivo em vários
momentos, assim como em me ouvir, me corrigir e me orientar sobre o os
caminhos a trilhar e pela incondicional disponibilidade em avaliar o material
desta tese, acreditando em mim e no trabalho de pesquisa que desenvolvia;
Aos Professores membros da Banca Examinadora: Ruy César Pietropaolo,
Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy), Angélica da Fontoura Garcia Silva, Márcio
Antonio da Silva, Martha Salerno Monteiro, Lilian Nasser e Verônica Yumi
Kataoka pelas valiosas sugestões que contribuíram para o aprofundamento das
questões discutidas e as contribuições para tornar mais claro o texto, assim
como pela disponibilidade em avaliar o material desta tese;
À Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos pelo apoio, pela ajuda,
pelo incentivo e pela dedicação e determinação com que desenvolve suas
tarefas à frente da Coordenação do Curso de Pós Graduação Strict Sensu em
Educação Matemática da UNIBAN – Universidade Bandeirante de São Paulo;
Ao Professor Doutor Ruben Klein, pela disponibilidade de material para
pesquisa e apoio;
Ao Professor Doutor João Rua, primo querido, pelo incentivo e apoio para a
concretização deste trabalho;
À UNIBAN, a bolsa de tutoria que custeou parte das mensalidades, que muito
contribuiu para que a realização deste trabalho fosse em parte suavizada;
Aos Professores colegas do Departamento de Análise do Instituto de
Matemática e Estatística da UFF – Universidade Federal Fluminense que
contribuíram com seu esforço de trabalho para que eu pudesse me afastar das
minhas atividades docentes por um pequeno período de tempo, para a
concretização deste trabalho;
A todos os amigos e parentes que torceram por esta realização e tanto apoio
me deram, bem como dos muitos momentos em que me recolhi aos meus
estudos e reflexões e não pude compartilhar com eles minhas angústias;
À amiga professora Martha Yvonne de Almeida pelas correções gramaticais,
sugestões e o incentivo para tornar este trabalho o mais claro possível;
À amiga professora Ida Rabelo pela ajuda na tradução do resumo em francês;
Aos professores sujeitos de pesquisa, que com responsabilidade e
profissionalismo demonstraram interesse e motivação para compartilhar
concepções, crenças, reflexões e discussões durante as respostas aos
questionários e ao longo da sequência de ensino, os agradecimentos e
respeito;
Aos professores Rosana Jorge Monteiro Magni, Olga Corbo e Marcelo Villani
pela disponibilidade e ajuda que foram fundamentais para a aplicação da
sequência didática no Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES;
Ao Guilherme Menezes pela amizade e ajuda em vários momentos -
fundamentais para que muitas vezes pudesse voltar para o Rio de Janeiro,
bem como pela disponibilidade e consideração em resolver questões
administrativas no âmbito do Curso as quais não poderia fazer por estar
distante de São Paulo;
A todos os professores do Curso de Doutorado em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo: Angélica, Janete, Luis Gonzaga, Lulu,
Maria Elisabette, Maria Helena, Marlene, Mônica, Nielce, Rosana, Ruy,
Solange, Tânia, Ubiratan, Vera, Verônica e Vincenzo, dos quais compartilho
conhecimentos, experiências, sabedoria, orientação, amizade e incentivo;
A todos os colegas das turmas 2009, 2010 e 2011 do Curso de Doutorado em
Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo, em especial
Raimundo Nonato Brandão, Anna Luisa de Castro, Wilson Barbosa da Silva e
Benedito, dos quais compartilho recordações, conhecimentos, experiências e
amizade.
A todos os que colaboraram com esse trabalho e que se reconhecerão nessas
linhas, o meu mais profundo agradecimento.
"A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos".
ARISTÓTELES.
"A utopia está lá no horizonte. Me aproximo dois passos, ela se afasta dois passos. Caminho dez passos e o horizonte corre dez passos. Por mais que eu caminhe, jamais alcançarei. Para que serve a utopia? Serve para isso: para que eu não deixe de caminhar".
EDUARDO GALENO.
RESUMO Esta pesquisa teve o propósito de investigar os conhecimentos necessários ao professor de Matemática, para desenvolver em suas aulas noções relativas a Problemas de Contagem na Educação Básica. Trata-se de estudo que envolveu um grupo de 23 professores dos Ensinos Fundamental e Médio, da rede pública do Estado de São Paulo, em um curso de formação continuada desenvolvido no âmbito do Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES. A primeira fase da coleta de dados constituiu-se na aplicação de três instrumentos com o objetivo de conhecer o perfil dos professores e identificar suas concepções a respeito do processo de ensino e de aprendizagem dos Problemas de Contagem na Educação Básica. A segunda fase, denominada intervenção, foi realizada segundo princípios da metodologia Design Experiments e teve a finalidade de investigar se uma sequência de atividades que explore a resolução de Problemas de Contagem, sem a utilização de fórmulas, pode favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos professores sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular de noções concernentes a esse tema. Na terceira e última fase da coleta, foi aplicado instrumento com a finalidade de validar dados obtidos durante a intervenção e de identificar prováveis mudanças nas concepções dos professores. Cabe ressaltar que, além da análise de pesquisas existentes sobre esse tema desenvolvidas com alunos e professores, foram examinados também documentos recentes de referência curricular para a abordagem de conceitos relativos à Análise Combinatória. Sobre a fundamentação teórica, no que concerne à apreensão de um conteúdo, utilizou-se a noção de imagem conceitual, segundo Tall & Vinner (1981) e também as ideias defendidas por Fischbein (1994) sobre a importância de integrar na atividade matemática os componentes formais, intuitivos e algorítmicos. Relativamente aos conhecimentos que devem ser de domínio do professor, foram consideradas as categorias estabelecidas por Shulman (1986): conhecimento do conteúdo específico, do pedagógico e do curricular. Finalmente, no que se refere à formação de professores reflexivos, em um ambiente de estudo de inovações curriculares, foram utilizadas as ideias defendidas por Zeichner (1993). As respostas dos professores aos instrumentos diagnósticos revelaram concepções inconsistentes sobre os tipos de agrupamentos presentes nos problemas de contagem. Além disso, os professores mostraram ter forte convicção de que a resolução de um problema de combinatória não utilizando uma linguagem formal – algébrica, no caso – seria uma solução “arranjada” e, portanto, não muito correta do ponto de vista da Matemática. Essas respostas constituíram-se em ponto de partida para o processo de formação, ao longo da segunda fase. As discussões e reflexões realizadas durante a intervenção ampliaram a imagem conceitual dos professores, relativa aos problemas de contagem, bem como ao seu ensino, sobretudo no que concerne à importância da articulação dos três componentes de Fischbein (1994) no desenvolvimento de noções relativas a esse conteúdo. No entanto, no final desse processo percebeu-se certa tensão nas falas dos professores: aceitar as soluções “aritméticas”, envolvendo os princípios multiplicativo e aditivo ou as obtidas pela contagem direta da árvore de possibilidades, sem considerar como necessário o uso das fórmulas para a validação das respostas encontradas para problemas envolvendo os conceitos: permutação, combinação simples e arranjo. Palavras-chave: Educação Matemática; Problemas de Contagem; Formação de Professores de Matemática; Conhecimento Matemático para o Ensino; Currículos de Matemática.
ABSTRACT This research aimed to investigate the knowledge necessary for Mathematics teacher’s to develop in the classes in notions related to Counting Problems in Basic Education with their classes. This is a study involving a group of 23 teachers of the public Elementary and High School network of the São Paulo State, in service education course developed within the Observatory of Education UNIBAN/CAPES. The first phase of data collection consisted in applying three instruments in order to know the profile of teachers and identify their conceptions about the teaching and learning of Problems Counting in Basic Education. The second phase, called the intervention, was conducted according to principles of the methodology Design Experiments and aimed to investigate whether a sequence of activities that explore the resolution of Counting Problems, without the use of formulas, may help the resignifying of teachers' knowledge on the point of view of content, instructional and curricular notions concerning this topic. The third and final phase of data collection, involved the application of an instrument in order to validate data obtained during the intervention and identify potential changes in teachers' conceptions. Note that, besides the analysis of existing research on this topic developed with students and teachers, were also examined recent curricular reference documents addressing concepts related to Combinatorial Analysis. On the theoretical basis, regarding the seizure of content, we used the notion of conceptual image, according Vinner & Tall (1981) and also the ideas defended by Fischbein (1994) on the importance of integrating formal, intuitive and algorithmic components in mathematical activity. In relation to knowledge that must be part of teacher’s responsibility, were considered the categories established by Shulman (1986): knowledge of specific content, pedagogy and curriculum. Finally, referring to the formation of reflective teachers in a study of curricular innovations environment, were used the ideas defended by Zeichner (1993). Teachers' responses to diagnostic instruments revealed inconsistent conceptions about the types of clusters present in the Counting Problems. Moreover, teachers showed a strong conviction that solving a combinatorial problem not using a formal language - algebraic in the case – could be an "arranged" solution and not quite correct therefore in the Mathematics point of view. These responses were set up as a starting point for the training process, during the second phase. Discussions and reflections took along the intervention process, increased the conceptual image of teachers concerning counting problems, as well as their teaching action, especially regarding the importance of coordination of the three components of Fischbein (1994) in the development of notions related to that content. However, at the end of the process was realized a kind of tension in the teacher´s speeches: accepting "arithmetic" solutions involving the multiplicative and additive principles or those obtained by direct counting in the tree possibilities, without regarding as necessary the use of formulas validating the already found solutions to problems involving the concepts: permutation, combination simple and arrangement. Keywords: Mathematics Education; Problems Counting; Mathematics Teachers Training, Mathematical Knowledge for Teaching, Mathematics Curriculum.
RÉSUMÉ
Cette recherche visait à étudier les connaissances que doit avoir un professeur de mathématiques pour développer, lors de ses classes, des notions concernant les Problèmes de Comptage dans l'éducation de base. Il s'agit d'une étude portant sur un groupe de 23 enseignants de l’enseignement primaire et secondaire de l'Etat de São Paulo, pendant un cours de formation continue développé au sein de l’ « Observatório da Educação » de UNIBAN/CAPES. La première phase de la récolte des données consistait à appliquer trois outils afin de connaître le profil des enseignants et d'identifier leurs conceptions sur le processus d’enseignement-apprentissage des Problèmes de Comptage dans l'Éducation de Base. La seconde phase, dite d’intervention, a été menée selon les principes de la méthodologie Design Experiments et avait pour but déterminer si une séquence d'activités qui explore la résolution de Problèmes de Comtage, sans l'utilisation de formules, pouvait favoriser la redéfinition des connaissances des enseignants sous les points de vue du contenu, didactique et curriculaire des notions concernant ce sujet. Pendant la troisième et dernière phase de la récolte, nous avons utilisé un outil afin de valider les données obtenues lors de l'intervention et d’identifier des changements potentiels dans les conceptions des enseignants. Notez que, outre l'analyse des recherches existantes sur ce sujet, mises au point avec la participation d’élèves et d’enseignants, ont été examinés, également, des documents de référence curriculaire actualisés pour aborder les concepts liés à l'Analyse Combinatoire. Sur la base théorique, en ce qui concerne la saisie d'un contenu, nous avons utilisé la notion d'image conceptuelle, d’après Vinner & Tall (1981), ainsi que les idées défendues par Fischbein (1994) sur l'importance d'intégrer dans l'activité mathématique les composantes formelle, intuitive et algorithmique. Relativement au savoir-faire de l'enseignant, ont été considérés les catégories établies par Shulman (1986): la connaissance des contenus spécifiques, pédagogiques et curriculaires. Enfin, en ce qui concerne la formation d’enseignants réfléchis, dans un environnement d'étude des innovations curriculaires, nous avons utilisé les idées défendues par Zeichner (1993). Les réponses des enseignants aux outils de diagnostic ont révélé des conceptions contradictoires sur les types de groupements présents dans les Problèmes de Comtage. En plus, les enseignants étaient convaincus que la résolution d'un problème combinatoire qui n’utilise pas de langage formel – dans ce cas, algébrique – constituerait une solution ad hoc et, donc, pas tout à fait correcte du point de vue des mathématiques. Ces réponses sont devenues le point de départ du processus de formation, au cours de la deuxième phase. Les discussions et les réflexions ayant lieu au cours de l'intervention ont agrandi l'image conceptuelle des enseignants, relativement aux problèmes de comptage, ainsi qu’à leur enseignement, surtout en ce qui concerne l'importance de l’articulation des trois composantes de Fischbein (1994) dans le développement de notions comprises par ce contenu. Cependant, à la fin du processus une certaine appréhension était repérable dans les paroles des enseignants: acceptation des solutions "arithmétiques" que comprenaient les Principes Multiplicatif et Additif ou celles obtenues par comptage direct de l’arbre des possibilités, tout en considérant dispensable l'utilisation de formules pour la validation des solutions trouvées à des problèmes portant sur les notions: permutation, combinaison simple et agencement. Mots-clés: Education mathématique, problèmes de comptage; Formation de Professeurs de Mathématiques ; Connaissances mathématiques pour l'enseignement ; curriculum de mathématiques.
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Idades dos professores integrantes do Observatório da UNIBAN em
2011................ ..................................................................................................... 203
Gráfico 2 - Séries do Ensino Fundamental em que os professores do
Observatório da UNIBAN trabalham ou não......................................................... 204
Gráfico 3 - Séries do Ensino Médio em que os professores do Observatório
Da UNIBAN trabalham, ou não ............................................................................ 204
Gráfico 4 - Tempo de magistério dos professores do Observatório da UNIBAN.. 206
Gráfico 5 - Quantidade de aulas semanais ministradas pelos professores do
Observatório da UNIBAN ..................................................................................... 206
Gráfico 6 - Grau máximo de formação dos professores do Observatório da
UNIBAN................................................................................................................ 207
Gráfico 7 - Participação em atividades de formação da SEE e o grau de
satisfação dos professores do Observatório da UNIBAN..................................... 207
Gráfico 8 - Posição dos professores do Observatório da UNIBAN em relação
ao novo currículo prescrito pela SEE .................................................................. 209
Gráfico 9 - Como os professores do Observatório da UNIBAN veem a
implementação do novo currículo prescrito pela SEE.......................................... 211
Gráfico 10 - Em relação às situações de aprendizagem contidas no Caderno do
Professor, você as utiliza como?.......................................................................... 212
Gráfico 11 - Em relação aos conteúdos de Matemática dos Cadernos do
Professor, para uso em suas aulas são: .............................................................. 213
Gráfico 12 - Em relação aos conteúdos de Matemática dos Cadernos do Aluno,
para melhorar a aprendizagem deles, elas são: .................................................. 213
Gráfico 13 - Em relação aos instrumentos avaliativos que o professor utiliza...... 215
Gráfico 14 - Em relação aos recursos pedagógicos que o professor utiliza ......... 216
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Datas dos encontros da sequência didática... .................................... 37
Quadro 2 - Atividades e objetivos desenvolvidos na sequência didática... .......... 280
Quadro 3 - Árvore de possibilidades e Tabela de dupla entrada. Fase de
intervenção .......................................................................................................... 288
Quadro 4 – O Princípio Multiplicativo. Fase de Intervenção................................. 296
Quadro 5 – Princípio Multiplicativo e Princípio Aditivo. Fase de Intervenção... .... 302
Quadro 6 – Conhecimentos do professor sobre arranjos simples. Fase de
intervenção........................................................................................................... 310
Quadro 7 - Conhecimentos do professor sobre permutação simples. Fase de
intervenção........................................................................................................... 322
Quadro 8 - Conhecimentos do professor sobre permutação simples.
Continuação. Fase de intervenção....................................................................... 325
Quadro 9 - Conhecimentos do professor sobre permutação simples.
Continuação. Fase de intervenção....................................................................... 328
Quadro 10 - Conhecimentos do professor sobre permutação em que nem todos
os objetos são distintos. Fase de intervenção. .................................................... 331
Quadro 11 - Conhecimentos do professor sobre permutação em que nem todos
os objetos são distintos. Anagramas. Fase de intervenção... .............................. 337
Quadro 12 - Conhecimentos do professor sobre combinação simples. Fase de
intervenção........................................................................................................... 344
Quadro 13 - Conhecimentos do professor sobre permutação circular. Fase de
intervenção.................... ....................................................................................... 352
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Indicação dos dados dos professores que permitiram a concepção inicial da sequência didática desenvolvida no Observatório Educação da CAPES/UNIBAN................................................................................................... 38
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Esquema mostrando o avanço da imagem conceitual em relação aos aspectos formal, algorítmico e intuitivo ................................................................ 363 Figura 2 - Esquema mostrando estratégias para a obtenção de solução para problemas de contagem ...................................................................................... 368 Figura 3 - Relação entre os aspectos da matemática segundo Fischbein (1994), e a resolução de problemas de contagem na Educação Básica.......................... 370
LISTA DE ABREVIATURAS
ABE Associação Brasileira de Educação
ANPED Associação Nacional de Pós Graduação e Pesquisa em Educação
CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal Superior
CECIERJ Centro de Ciências do Estado do Rio de Janeiro
CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
CNE Conselho Nacional de Educação
CNE/CES Câmara de Educação Superior do Conselho Nacional de Educação
CNE/CP Conselho Pleno do Conselho Nacional de Educação
CNMT Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática
GEEM Grupo de Estudos do Ensino da Matemática
GEPEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do Rio
de Janeiro
GT7 Grupo de Trabalho 7 da SBEM sobre Formação de Professores
IDEB Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
ICME International Congress of Mathematics Education
IME Instituto de Matemática e Estatística da USP
IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada
INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio
Teixeira
LCT Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
LDBEN Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
MEC Ministério da Educação e Cultura
MEC Ministério da Educação
MMM Movimento da Matemática Moderna
OFA Ocupantes de Função Atividade
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
PA Princípio Aditivo ou da Adição
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais
PE Pesquisa Exploratória de Dados
PISA Programa Internacional de Avaliação Comparada
(PISA – Programme for International Student Assessment)
PM Princípio Multiplicativo ou da Multiplicação ou Fundamental da
Contagem
PME Psychology of Mathematics Education
PUC-SP Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
SAEB Sistema Nacional de Avaliação Escolar da Educação Básica
SARESP Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo
SBEM Sociedade Brasileira de Educação Matemática
SBM Sociedade Brasileira de Matemática
SEE-SP Secretaria de Estado da Educação de São Paulo
SIPEM Seminário Internacional de Pesquisas em Educação Matemática
TIC Tecnologias de Informação e Comunicação
UEL Universidade Estadual de Londrina
UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFF Universidade Federal Fluminense
UNESCO Organização das Nações Unidas para a Educação
(United Nations Educacional, Scientific and Cultural Organization)
UNESP Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
UNIBAN Universidade Bandeirante de São Paulo
UNICAMP Universidade de Campinas
USP Universidade de São Paulo
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................... 21 1 JUSTIFICATIVAS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................. 25 1.1 ANTECEDENTES E MOTIVAÇÕES DESSE ESTUDO......................................................... . 25 1.2 FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES E INOVAÇÕES CURRICULARES......... 30 1.3 METODOLOGIA DE PESQUISA ............................................................................................ 33 1.3.1 O problema central da pesquisa .................................................................................... 33 1.3.2 O Observatório da Educação da CAPES/UNIBAN ........................................................ 35 1.3.3 Sobre a metodologia: algumas considerações ................................................... 40 1.3.4 O papel do pesquisador na sequência didática ............................................................. 48 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................................. 53 2.1 ESTUDOS E PESQUISAS QUE FUNDAMENTAM ESTA PESQUISA ................................. . 53 2.2 CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS AO PROFESSOR........................................................ 57 2.3 FORMAÇÃO DO PROFESSOR REFLEXIVO ........................................................................ 63 2.4 COMPONENTES BÁSICOS DA MATEMÁTICA COMO ATIVIDADE HUMANA.................... 68 2.5 ENCULTURAÇÃO MATEMÁTICA ......................................................................................... . 75 2.5.1 Dimensões Cultural e Social do Conhecimento Matemático ........................................ . 78 2.5.2 Práticas docentes e as mudanças culturais .................................................................. . 80 2.5.3 O Saber Matemático como componente cultural .......................................................... . 81 2.5.4 Os valores matemáticos estão sendo transmitidos de modo equilibrado? .................. . 83 2.5.5 Princípios para o reequilíbrio dos valores ligados ao Saber Matemático ..................... . 88 2.6 PESQUISAS SOBRE ENSINO E APRENDIZAGEM COM PROBLEMAS DE CONTAGEM.......................................................................................................................... ... 90 3 PROBLEMAS DE CONTAGEM EM CURRÍCULOS DA EDUCAÇÃ O BÁSICA ..................... 102 3.1 REFORMAS DO ENSINO SECUNDÁRIO ............................................................................. . 103 3.2 O QUE PRESCREVIAM OS CURRÍCULOS DO ESTADO DE SÃO PAULO... .................... . 114 3.2.1 A Proposta Curricular de Matemática do 1º Grau do Estado de São Paulo... ............... 114 3.2.2 A Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau em São Paulo... ......................... 123 3.2.3 Nova Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau do Estado de São Paulo... ... 137 3.3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS..................................................................... 143 3.3.1 PCN e os Problemas de Contagem ............................................................................. . 146 3.4 CURRÍCULO ATUAL DE MATEMÁTICA DA SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO........................................................... .................................................................. 151 3.4.1 Projeto Político-Pedagógico do currículo de matemática ............................................. . 151 3.4.2 Um currículo enculturador ............................................................................................. . 155 3.4.3 Um currículo centrado em competências ...................................................................... . 164 3.4.4 Os problemas de contagem ................... ....................................................................... 176 4 UMA ANÁLISEDOS DADOS INICIAIS DA PESQUISA ......................................................... 187 4.1 EXPERIÊNCIA DOCENTE... .................................................................................................. . 190 4.2 CONHECIMENTOS SOBRE O CONTEÚDO.......................................................................... 207 4.2.1 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da construção de uma
representação gráfica para resolver problemas de contagem .............................................. . 209 4.2.2 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da resolução de problemas
que envolvem a aplicação dos princípios multiplicativo e aditivo........................................... . 216
4.2.3 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da resolução de problema de contagem que envolve conceito de arranjos com repetição ............................................. . 222
4.2.4 Sobre o conhecimento dos professores a respeito de permutações simples e de permutações com objetos nem todos distintos ................................................................. . 226
4.2.5 Sobre o conhecimento dos professores a respeito utilização do conceito de permutações circulares .......................................................................................................... . 232
4.2.6 Sobre o conhecimento dos professores a respeito utilização do conceito de combinações simples ........................................................................................................... . 237
4.3 CONHECIMENTOS PEDAGÓGICOS..................................................................................... 246 4.3.1 Sobre as estratégias que o professor se utiliza para auxílio do raciocínio
combinatório no ensino dos problemas de contagem............................................................ . 247 4.3.2 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino do Princípio
Multiplicativo . ......................................................................................................................... 249 4.3.3 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino do Princípio
Aditivo............. ......................................................................................................................... 252 4.3.4 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino de Arranjos
simples ou com repetição de objetos. ..................................................................................... 258 4.3.5 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino das Permutações
simples.......... .......................................................................................................................... 261 4.3.6 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino das Combinações
Simples.......... .......................................................................................................................... 264 4.3.7 Sobre o conhecimento pedagógico dos professores a respeito das dificuldades
que os alunos têm na resolução de problemas de contagem................................................. 266 4.3.8 Sobre a opinião do professor em relação aos esclarecimentos oferecidos pelos
livros didáticos de modo que ele possa ensinar os problemas de contagem na Educação Básica .................................................................................................................... . 267
4.3.9 Sobre o conhecimento pedagógico dos professores a respeito das dificuldades que ele tem para preparar aulas que envolvem o raciocínio combinatório na Educação Básica .................................................................................................................... . 269
4.3.10 Sobre a importância que os professores conferem à introdução de conceitos que envolvem o raciocínio combinatório no Ensino Fundamental ......................................... . 271
4.4 BREVE SÍNTESE DA ANÁLISE DAS RESPOSTAS AOS QUESTIONÁRIOS ..................... . 273
5 ANÁLISE DOS DADOS DA SEQUÊNCIA DE ENSINO ............................................................ 277
5.1 SOBRE OS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS PARA A FASE DE INTERVENÇÃO ... 277 5.2 DESENVOLVIMENTO DA FASE DE INTERVENÇÃO............................................................. 282 5.3 ANÁLISE DOS DADOS DA FASE DE INTERVENÇÃO - SEQUÊNCIA DIDÁTICA - ............. . 288 5.3.1 Uso de representações como a árvore de possibilidades e tabelas de dupla entrada.. 289 5.3.2 Aplicações do princípio multiplicativo............................................................................. . 298 5.3.3 Aplicações do princípio multiplicativo e do princípio aditivo em conjunto ...................... 302 5.3.4 Fórmulas ........................................................................................................................ . 309 5.4 O QUESTIONÁRIO FINAL (Q4).............................................................................................. 373 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................ 383 REFERÊNCIAS............................................................................................................................... .....426 APÊNDICES....................................................................................... ............................................ 435
21
APRESENTAÇÃO
Este trabalho, “Um estudo sobre os conhecimentos necessários ao
professor de matemática para a exploração de problemas de contagem no
Ensino Fundamental”, está vinculado à linha de pesquisa Formação de
Professores que Ensinam Matemática do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da UNIBAN - Universidade Bandeirante de São Paulo.
O propósito deste estudo foi o de investigar os conhecimentos de
professores de Matemática para explorar noções relativas aos problemas de
contagem ao longo do Ensino Fundamental.
Para tanto, identificaram-se as concepções de um grupo de professores
de matemática sobre esse tema e sobre seu ensino na Educação Básica e,
posteriormente, promoveu-se uma formação continuada com o intuito de
discutir inovações a respeito do processo de ensino e aprendizagem de noções
concernentes a esse tema.
Cabe ressaltar que essa pesquisa foi realizada no âmbito do
Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES, projeto financiado pela
CAPES, coordenado pelo Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo. Tal projeto é
constituído por um grupo colaborativo de formação e pesquisas integrado por
professores pesquisadores, professores da rede estadual de ensino de São
Paulo, mestrandos e doutorandos da UNIBAN. Entre os objetivos de atuação
do Observatório da Educação está o de contribuir para o desenvolvimento
profissional de professores, promovendo reflexões a respeito das inovações
curriculares indicadas para as aulas de Matemática no Ensino Fundamental e
Médio. Analisa, além disso, as possibilidades de promover mudanças nos
conhecimentos pedagógicos e curriculares desses professores no tocante a
esse tema, mediante um processo de formação continuada, cuja ênfase é a
reflexão sobre suas práticas e sobre as inovações propostas nos recentes
currículos.
Assim, este estudo pode ser julgado como relevante, pois tem como
finalidade contribuir para a implementação efetiva desse tema ao longo do
Ensino Fundamental de modo a favorecer o desenvolvimento do pensamento
combinatório dos alunos, conforme indicam os Parâmetros Curriculares
22
Nacionais – PCN (1997, 1998) e currículos posteriores que tomam esses
parâmetros como referência, como o do Estado de São Paulo (2010).
Para atingir os objetivos desta pesquisa começamos por perguntar a
seguinte questão principal, objeto desta investigação, qual seja:
Que experiências um professor de Matemática do Ensino Fundamental
deve vivenciar em sua formação continuada para selecionar e dirigir situações
de aprendizagem com vistas a desenvolver o raciocínio combinatório de seus
alunos por meio da proposição de problemas de contagem de modo a
compreender as dificuldades que os alunos enfrentam na resolução de
problemas de contagem e para ajudá-los a superar essas dificuldades e
atender às orientações do Currículo do Estado de São Paulo (2010)?
Prosseguindo nos objetivos desta pesquisa nos propomos a responder
às seguintes questões específicas:
� Quais são as inovações propostas pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais (1998) e pelo atual Currículo do Estado de São Paulo
(2010) para os processos de ensino e de aprendizagem de
conceitos relativos a Problemas de Contagem?
� Quais são os conhecimentos dos professores a respeito da
resolução de Problemas de Contagem e suas concepções sobre
o desenvolvimento desse tema no Ensino Fundamental?
� Uma sequência de atividades que explore a resolução de
Problemas de Contagem, sem a utilização de fórmulas, pode
favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos professores
sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular, de
noções relativas a esse tema?
Assim, analisaram-se as inovações propostas pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais (1997, 1998, 1999) e o Currículo do Estado de São
Paulo (2010) no tocante aos Problemas de Contagem, além das concepções
dos professores, sujeitos de nosso estudo, a respeito desse tema. Essa opção
pela análise desses documentos curriculares decorre do fato de que os
professores estavam, em 2011, incumbidos de implementar em suas aulas as
23
recomendações do currículo de São Paulo, cuja proposta, por sua vez, está
fundamentada nos PCN.
As situações-problema propostas na sequência de ensino foram
concebidas com o propósito de explorar a aplicação de conceitos e
procedimentos relativos aos problemas de contagem à luz das inovações
propostas nos documentos analisados e em resultados de pesquisas com as
de Navarro-Pelayo, Batanero e Godino (1996) e Placha e Moro (2009).
A proposta para o grupo de professores foi o de discutir diferentes
estratégias de resolução de problemas de contagem, sobretudo as que utilizam
de representações gráficas, como um meio de promover o desenvolvimento do
raciocínio combinatório dos alunos desde o Ensino Fundamental.
No Capítulo 1 apresentam-se as circunstâncias que contribuíram para a
realização deste estudo, ou seja, buscaram-se no tempo fatos fundamentais
para compor uma argumentação que justifique o interesse e os esforços
empreendidos para concretizá-lo. Nesse capítulo, descreve-se o Observatório
da Educação da UNIBAN/CAPES (ambiente em que a pesquisa se
desenvolveu) e apresenta-se também a formulação e delimitação do problema
de pesquisa, além de se justificar a escolha dos procedimentos metodológicos
utilizados. Optou-se por princípios do Design Experiments de Cobb et al (2003)
para a concepção, elaboração e transformações da sequência didática.
Apresentam-se no Capítulo 2 reflexões sobre os teóricos que
fundamentaram a análise desta pesquisa. A respeito dos conhecimentos dos
professores foram utilizados trabalhos de Shulman (1986) que tratam dos
conhecimentos necessários para a docência: conteúdos específicos, didáticos
e curriculares. Em relação à formação de professores reflexivos e os
conhecimentos necessários à prática docente foram utilizados estudos de
Zeichner (1993, 2003). Para a análise de concepções dos professores,
utilizam-se as ideias propostas por Tall e Vinner (1981) e Fischbein (1994).
Além disso, são analisadas recentes pesquisas que abordam o tema análise
combinatória envolvendo alunos e professores.
O Capítulo 3 destina-se à discussão do Currículo da Secretaria de
Estado da Educação de São Paulo (2010) para o Ensino Fundamental (6º ao 9º
24
ano) e Ensino Médio no tocante aos problemas de contagem, iniciando com
uma análise do projeto-político pedagógico desse currículo. Para identificar as
inovações desse currículo analisam-se propostas anteriores e as orientações
dos PCN para o ensino dos problemas de contagem.
O Capítulo 4 contém esclarecimentos a respeito da primeira fase da
coleta dos dados desta investigação. Apresentam-se as escolhas relativas ao
grupo de sujeitos e ao instrumento de coleta de dados – de caráter diagnóstico
– utilizado nesta fase. Em seguida, é exposta uma análise desses dados à luz
das ideias de Shulman, no que se refere aos conhecimentos necessários ao
professor para o ensino dos Problemas de Contagem, de Fischbein (1994)
quanto aos componentes básicos da atividade matemática e das ideias de Tall
e Vinner (1981) no que diz respeito à apropriação desse conteúdo, por uma
pessoa. Assim, apresentam-se nesse capítulo as concepções dos professores
sobre o processo de ensino e de aprendizagem de Problemas de Contagem na
Educação Básica, antes da aplicação da sequência de ensino.
O Capítulo 5 é destinado à exposição das ações que se fizeram
necessárias ao longo da intervenção, ou seja, da aplicação da sequência de
ensino. Explicitam-se, do mesmo modo, as razões que motivaram a escolha da
metodologia – princípios do Design Experiments – e as decisões tomadas ao
longo desta etapa. Finalmente, discutem-se os dados sob o olhar dos autores
referidos anteriormente.
No Capítulo 6, das considerações finais, apresenta-se uma síntese das
reflexões já expostas e analisadas nos capítulos anteriores e com as quais foi
possível fundamentar respostas às questões deste estudo. Assim, elas
expressam a interpretação do pesquisador a respeito dos dados e indicam
pontos que não foram discutidos aqui por não constituírem escopo deste
estudo e que, todavia, merecem serem objetos de futuras pesquisas.
25
1. JUSTIFICATIVAS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Iniciamos este capítulo, apresentando antecedentes que
consubstanciaram a realização desta pesquisa, bem como as motivações para
empreendê-la por meio de nossa breve trajetória profissional.
Apresentamos também aspectos relacionados às inovações curriculares
no tocante ao processo de ensino e de aprendizagem de noções relativas aos
problemas de contagem indicadas por recentes currículos prescritos que
sugerem o desenvolvimento deste tema desde a 3ª Série/4º Ano do Ensino
Fundamental e não mais restrito ao Ensino Médio.
Em seguida, passamos a discorrer sobre o percurso da investigação
desta pesquisa e os pressupostos do projeto na qual ela está inserida:
Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES. Além disso, justificamos
nossas escolhas teóricas.
1.1. Antecedentes e motivações desse estudo
Quando ainda aluno do curso de Licenciatura em Matemática,1 no ano
de 1978, já exercia a atividade docente como professor de um “cursinho” e em
um Colégio de Ensino Supletivo2, além de estágio em Colégio de ensino
regular de 1º e 2º Graus. Dois meses depois de formado, em fevereiro de 1981,
já havia sido aprovado em Concurso Público Federal para o cargo de Professor
de Ensino de 1º e 2º Graus.
Esse foi um período em que experimentei os primeiros desafios da sala
de aula, os conflitos e/ou contradições entre aquilo que havia sido ensinado e
na Universidade associados às experiências de ser professor de Matemática
em turmas do Ensino Fundamental (antigo 1º Grau) e em turmas do Ensino
Médio (antigo 2º Grau).
O encantamento pelas temáticas de combinatória e probabilidade
iniciou-se, de fato, logo após fazer um curso de um semestre letivo na
1 Na Universidade Federal Fluminense (UFF), em Niterói, Estado do Rio de Janeiro. 2 Ensino do 2º Grau (atual Ensino Médio), noturno, com duração de três semestres letivos,
destinado, preferencialmente, para trabalhadores com idades acima de 21 anos que estavam fora do ensino regular.
26
Universidade e quando conheci o Professor Arago de Carvalho Bachx e
comecei a tomar contato com o livro de sua autoria3.
Eram grandes os desafios que eu deveria percorrer principalmente
aqueles relacionados ao domínio didático pedagógico necessário para permitir
empreender uma metodologia eficiente no sentido de favorecer a
aprendizagem dos alunos em relação às temáticas citadas.
Desde os primeiros contatos com os alunos, por mais que os motivasse
discutindo que para resolver os problemas de contagem utilizam-se apenas as
quatro operações aritméticas básicas com os números naturais e que, por essa
razão, não deveria haver grandes dificuldades na aprendizagem.
No entanto, meus alunos e colegas professores que frequentavam os
minicursos do Professor Arago consideravam a Combinatória como um tema
muito difícil. De modo geral, em problemas de combinatória eles tinham
dificuldades em identificar os tipos de agrupamento – Arranjo, Permutação,
Combinação. Diziam eles que, depois de verem o encaminhamento para a
solução a um problema proposto, compreendiam o que foi feito, mas que
muitas vezes não eram capazes de – após a leitura do enunciado – iniciar a
busca da solução e, quando o faziam, não tinham certeza de que o caminho
escolhido estava correto.
A partir das experiências e das motivações advindas da participação em
um grupo de pesquisas, desde 1982, passei a ministrar minicursos sobre
combinatória e probabilidade em encontros e jornadas que aconteciam no
Estado do Rio de Janeiro.
Cabe ressaltar que esse grupo de pesquisa, inicialmente denominado de
“Projeto de Formação Permanente para professores de 1º e 2º Graus” mais
tarde, em 1984, passou à denominação de “Projeto Fundão – Um desafio para
a Universidade” – (atuando até os dias de hoje) oferecia também oficinas e
minicursos para professores. Além disso, passei também a ministrar oficinas de
temas variados pelo Centro de Ciências do Estado do Rio de Janeiro –
CECIERJ– com a participação do professor Arago e outros.
3 Bachx, A. de C. Poppe, L.M.B. Tavares, R.N.O. Prelúdio à análise combinatória. Companhia
Editora Nacional, São Paulo, 1975.
27
Todavia, confesso, foi preciso caminhar por uma década mostrando a
professores como ensinar e aprender os conceitos da Análise Combinatória à
luz de alguns livros didáticos do 2º Grau à época e do livro do Professor Arago
para que eu pudesse apropriar-me com mais profundidade dos conceitos e
desenvolvesse concepções pedagógicas e metodológicas que julgava mais
adequadas e próprias para poder ensinar meus alunos a resolverem problemas
de contagem para aquele segmento, ampliando minhas concepções e crenças
a respeito desse conteúdo desde quando estudante do 2º Grau e da
Universidade, no curso de Licenciatura em Matemática.
Independente do nível em que estão sendo ensinados (na Educação
Básica ou Superior) e a clientela para a qual estão sendo dirigidos (aluno ou
professor da Educação Básica), os conteúdos de combinatória apresentam
características bastante peculiares como as que seguem:
• A apropriação de conceitos e de procedimentos subjacentes aos
conteúdos de combinatória (problemas de contagem) é realizada
por meio da busca das soluções de situações-problema bastante
diversificadas;
• A proposição de uma variedade de situações-problema permite
identificar o tipo agrupamento de objetos presentes nas restrições
impostas à cada uma particular situação de contagem proposta;
• A utilização de esquemas, árvores de possibilidades ou tabelas de
dupla entrada por contagem direta ou o uso de fórmulas que
permite a contagem de todas as possibilidades sem a
necessidade de enumerar todas elas, para resolver um problema
que envolva contagens.
Diferentemente de outros ramos da Matemática, a Análise Combinatória
não é derivada de uma particular axiomática e, por conta dessa peculiar
característica, seus conceitos e procedimentos emergem dos diferentes tipos
de problemas de contagem que devem ser propostos aos alunos. É uma
singular maneira de se desenvolver um conteúdo matemático, tanto na
Educação Básica quanto no Superior.
28
Segundo Morgado et al (2004): “é verdade que a solução de um
problema combinatório exige quase sempre engenhosidade e a compreensão
plena da situação descrita pelo problema”. Ainda, segundo esses autores, “[...]
se a aprendizagem desses conceitos se faz de maneira mecânica, limitando-se
a empregá-los em situações padronizadas, sem procurar habituar o aluno com
a análise cuidadosa de cada problema, cria-se a impressão de que a Análise
Combinatória é somente um jogo de fórmulas complicadas” (MORGADO et al,
2004, p. 1-2).
Só no início de 1991, enquanto frequentava um curso para professores
de matemática promovidos pela Fundação Vitae4 e pelo Instituto de
Matemática Pura e Aplicada – IMPA5, ministrado pelo Professor Augusto César
de Oliveira Morgado, comecei a refletir sobre as minhas concepções e crenças
quanto à prática pedagógica em relação ao ensino de combinatória e
probabilidade ao nível da Educação Básica. A partir de então, iniciei mudanças
na minha postura em relação à forma de apresentação dos conteúdos e à
maneira de construção dos conceitos matemáticos associados aos aspectos
didático-pedagógicos do conteúdo e acerca de estratégias que favorecessem o
ensino e a aprendizagem por professores e pelos alunos.
Nascia ali, naquele curso, o embrião do hoje consagrado livro “Análise
Combinatória e Probabilidade”, de autoria dos professores Augusto César de
Oliveira Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Carvalho e
Pedro Fernandez.
A partir do curso com o Professor Morgado passei a encarar o ensino de
combinatória sob o ponto de vista estritamente pautado nos Princípio Aditivo e
Multiplicativo para a resolução dos problemas e não pela classificação dos
problemas nas três categorias – Arranjo, Permutação e Combinação –
marcantes no livro do Professor Arago.
É importante ressaltar que a Análise Combinatória é um tema bastante
amplo que abarca não apenas problemas de contagem envolvendo esses três
4 Fundação de apoio à Cultura, Educação e Promoção Social. 5 Instituto de Matemática Pura e Aplicada, localizado na Cidade do Rio de Janeiro, órgão de
Ensino e Pesquisa ligado ao CNPq – Conselho Nacional de Pesquisas.
29
tipos de agrupamento, mas de muitas outras situações também concernentes à
Matemática Discreta, como o universo da Teoria dos Grafos.
No entanto, muitos professores – como veremos posteriormente – e, por
conseguinte, os alunos, ainda têm a falsa impressão de que os problemas de
combinatória estão restritos unicamente a esses três tipos de agrupamentos.
A partir de então, meu fascínio pela matemática discreta só têm
aumentado, e como ampliação desse interesse por outros conhecimentos
passei a estudar problemas de otimização derivados das “árvores”, os quais
estão presentes na Teoria dos Grafos e em suas aplicações.
O professor Paulo Cézar Pinto de Carvalho, do IMPA, indagava junto
aos professores que assistiam a alguns de seus cursos do por que dos
problemas de combinatória ser considerados de difícil resolução se, para tanto,
basta utilizar as quatro operações elementares da aritmética com os números
naturais.
A partir de reflexões pessoais sobre essas questões, levantadas pelo
professor Paulo Cezar, comecei a empreender questionamentos mais
consistentes sobre a maneira como a combinatória era ensinada e, sobremodo,
elas serviram de mote para que – anos mais tarde – viesse a empreender a
pesquisa objeto deste trabalho.
Fato é que, desde então, passei a fazer leituras de artigos e livros a
respeito do ensino e da aprendizagem de combinatória na Educação Básica e
pude então constatar o grande interesse que a temática tem despertado dentre
os pesquisadores em razão das dificuldades que professores têm de ensinar e
aprender. Além disso, pude também verificar as inovações propostas pelos
currículos prescritos mais recentes no tocante à necessidade do
desenvolvimento do pensamento combinatório.
Esses currículos têm indicado a proposição dos Problemas de
Contagem desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, diferentemente do
que era feito antes, quando esses problemas eram desenvolvidos unicamente
em uma única série: em geral na 2ª série do Ensino Médio e em um único
bimestre.
30
1.2 Formação continuada de professores e Inovações curriculares
O Ministério da Educação – MEC – tem se preocupado com a questão
da melhoria da qualidade da educação brasileira como pode ser constatado no
documento intitulado “Referenciais para Formação de Professores”, do qual se
extrai a afirmação de que essa melhoria “depende, em grande parte, da
melhoria da qualidade do trabalho do professor” (BRASIL, 2002, p. 6).
Somam-se a isso as questões de natureza estrutural, econômicas e
sociais da oferta de tais cursos em razão das diversidades regionais, das
condições sociais e econômicas da população e das dificuldades de
implantação de tais cursos em um país como o nosso, de modo a atender à
imensa massa de profissionais que estão no mercado de trabalho e de tantos
outros que, a cada dia, ingressam no magistério.
Em relação a essas questões, tem-se em Brasil (2002):
A realidade brasileira, complexa e heterogênea, não permite que a formação de professores seja compreendida como um processo linear, simples e único. Por um lado, dada a grande diversidade cultural característica de nosso país, as peculiaridades regionais e as especificidades das populações e grupos atendidos pela escola é necessário que se construam diferentes caminhos para elevar a qualidade da educação. Por outro lado, demandas de formação apresentam diferenças regionais substanciais: há lugares em que um número considerável de profissionais continua sendo habilitado sem que haja vagas correspondentes no mercado de trabalho; em outros lugares, ao contrário, pela ausência de profissionais habilitados, muitas pessoas precisam assumir a função sem ter formação específica (BRASIL, 2002, p. 16-17).
Como consequência da visão acerca da formação desejável para o
exercício profissional de professores da Educação Básica bem como da
insuficiente ou ausente formação continuada destes, há um enorme
contingente de docentes oriundos de cursos de licenciatura plena em
Matemática têm sua prática pedagógica destoantes das diretrizes ali
preconizadas e por vezes distantes de poderem realizar um trabalho
pedagógico consoante o que as pesquisas sugerem encaminhar.
Em relação a estas questões temos nos PCN:
Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática estão relacionadas ao processo de formação do magistério, tanto em relação à formação inicial como à formação continuada. Decorrente dos problemas da formação de professores, as práticas na sala de aula tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, são muitas vezes de qualidade insatisfatória (BRASIL, 1997, p.24).
31
Por outro lado, segundo Pietropaolo (2002, p. 34), “Discutir a formação
de professores de Matemática pressupõe, certamente, discutir também os
currículos de Matemática prescritos para a escola básica”.
À luz das diretrizes preconizadas nos PCN faz-se necessária uma
análise das práticas pedagógicas relacionadas à Educação Matemática de
modo a favorecer o acesso dos professores a esses saberes.
Quanto a essa questão concordamos com Pietropaolo (2002) em:
A comunidade de educadores de matemática parece concordar sobre a necessidade da articulação nas discussões sobre a “formação de professores” e a “Matemática na estrutura curricular”. [...] pudemos verificar um consenso: os PCN traduziriam as aspirações de grande maioria de educadores matemáticos brasileiros, sobre as questões de ensino-aprendizagem de Matemática e, sobretudo, constituíram um importante referencial para a formação de docentes (PIETROPAOLO, 2002, p. 34).
Para tal, é necessário que o professor não só se aproprie de
conhecimentos que envolvam conteúdos matemáticos, mas que também passe
a refletir sobre sua prática pedagógica.
Segundo Rangel:
O professor é um mediador que coloca o aluno em contato com diferentes situações-problema frente às quais irá utilizar-se dos conhecimentos pré-adquiridos para tentar resolvê-las mediante o uso de habilidades que foram postas em prática e das competências desejadas de modo a fazer frente a novos desafios (RANGEL, 2009, p. 9).
Embora as diretrizes educacionais do MEC indiquem a necessidade de
ocorrer mudanças sobre o que e como ensinar, “o baixo desempenho escolar
em matemática” conforme indicado nos PCN em Brasil (1997, p.23-24),
configura-se como problemática pedagógica a ser minimizada e, aos poucos,
superada.
Discussões e reflexões sobre essas questões têm ocorrido com
frequência nos últimos anos, como podemos constatar em Brasil (2002):
Profissionais da educação e de muitos outros setores da sociedade vêm colocando em discussão a concepção de educação, a função da escola,a relação entre conhecimento escolar e a vida social e cultural – e, portanto, o trabalho profissional de professor. Ao mesmo tempo em que se propõe uma nova educação escolar, um novo papel de professor está sendo gestado a partir de novas práticas pedagógicas, da atuação da categoria e da demanda social (BRASIL, 2002, p. 16).
32
Assim, a formação continuada de professores deve considerar a
necessidade de atuação na formação de capacidades intelectuais, na
estruturação e mobilização do pensamento e do raciocínio dedutivo do aluno,
na sua aplicação a problemas e situações da vida cotidiana e do mundo do
trabalho bem como no apoio à construção de novos conhecimentos em outras
áreas curriculares.
Quanto à formação continuada de professores assim se manifesta o
MEC através de documento oficial, em Brasil (2002):
Entretanto, apesar do empenho de muitos e do avanço das experiências já realizadas, há uma enorme distância – e não apenas no Brasil – entre o conhecimento e a atuação da maioria dos professores em exercício e as novas concepções de trabalho do professor que esses movimentos vêm produzindo. Trata-se, portanto, não apenas de realizar melhor a formação, mas de realizá-la de uma maneira diferente. Tais mudanças exigem, dentre outras questões, que os professores reconstruam suas práticas e, para isso, é preciso “construir pontes” entre a realidade de seu trabalho e o que se tem como meta (BRASIL, 2002, p. 16).
Corroborando com essas preocupações em relação aos rumos que
devem ser tomados para mudar esse quadro desfavorável, têm-se algumas
constatações apresentadas nos PCN (1997) como:
A implantação de propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma formação profissional qualificada, na existência de concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas restrições ligadas às condições de trabalho. Tais problemas acabam sendo responsáveis por muitos equívocos e distorções em relação aos fundamentos norteadores e ideias básicas que aparecem em diferentes propostas (BRASIL, 1997, p.24).
Uma dessas inovações curriculares é, certamente, a proposta de incluir
desde os anos iniciais os problemas de contagem de modo a favorecer o
desenvolvimento do raciocínio combinatório das crianças. Essa proposta
consta, por exemplo, nas orientações dos PCN (1997 e 1998). As razões dessa
inclusão são justificadas assim nas orientações contidas nos PCN (1997):
Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão “tratar” as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à probabilidade e à combinatória (BRASIL, 1997, p.53).
No rastro dessas orientações curriculares também no Currículo da
Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (2010) em relação aos
processos de ensino e de aprendizagem dos conteúdos básicos relacionados
33
aos problemas de contagem assim se referem os autores de São Paulo (2010)
quanto à abordagem sugerida para o Ensino Fundamental:
No Ensino Fundamental, o trabalho com o bloco de conteúdos denominado NÚMEROS tem por objetivo principal um enriquecimento do escopo da linguagem numérica, inicialmente restrita a situações e problemas envolvendo a contagem e a medida (SÃO PAULO, 2010, p. 40) (grifo dos autores).
Portanto, como forte justificativa para o desenvolvimento da pesquisa
deste trabalho tem-se o fato de que é preciso que os professores tenham
acesso a formação continuada apropriada. O sentido da palavra “apropriada”
dado á formação continuada é o mesmo adotado por diversos pesquisadores
como Pires (2002) e Pietropaolo (2005), ou seja, a promoção de encontros e
cursos que promovam reflexões sobre a prática pedagógica à luz de recentes
pesquisas e sobre as inovações curriculares propostas.
Assim, mediante a formação que propusemos para esta investigação,
levamos em conta pesquisas recentes e algumas orientações curriculares
prescritas, sobretudo as da Proposta Curricular do Estado de São Paulo
(2010), tendo em vista que os docentes, sujeitos de nossa pesquisa estavam
imbuídos de implementar esse currículo.
1.3 Metodologia de Pesquisa
1.3.1 O problema central da pesquisa
No item anterior apresentamos breves considerações sobre a questão
da formação continuada de professores e das inovações curriculares. Mas,
para fazermos opções – teóricas e metodológicas – e justificá-las, é necessário
que explicitemos as questões desta pesquisa. São elas:
� Quais são as inovações propostas pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais (1998) e pelo atual Currículo do Estado de São Paulo
(2010) para os processos de ensino e de aprendizagem de
conceitos relativos a Problemas de Contagem?
� Quais são os conhecimentos de um grupo de professores a
respeito da resolução de Problemas de Contagem e suas
concepções sobre o desenvolvimento desse tema no Ensino
Fundamental?
34
� Uma sequência de atividades que explore a resolução de
Problemas de Contagem, sem a utilização de fórmulas, pode
favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos professores
sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular, de
noções relativas a esse tema?
� Que experiências um professor de Matemática do Ensino
Fundamental deve vivenciar em sua formação continuada para
selecionar e dirigir situações de aprendizagem com vistas a
desenvolver o raciocínio combinatório de seus alunos por meio da
proposição de problemas de contagem de modo a compreender
as dificuldades que os alunos enfrentam na resolução e para
ajudá-los a superar essas dificuldades e atender às orientações
do Currículo do Estado de São Paulo (2010)?
Cabe destacar que ao formular suas questões de pesquisa, o
pesquisador já sabe a priori alguma coisa em relação a elas. No entanto,
apesar de possuir um pré-conhecimento acumulado a respeito de suas
vivências, procura compreensões para sua investigação a partir das análises
realizadas e das perspectivas presentes nos sujeitos da investigação.
Por conta disso, o pesquisador se prepara para a investigação
procurando estabelecer estratégias e escolher procedimentos metodológicos,
passando a adotar referenciais teóricos que permitam a ele melhor
compreender o objeto da pesquisa e a estabelecer relações entre os seus
pressupostos e o que será revelado pelos sujeitos da pesquisa.
Sendo assim, por admitir que este estudo não esteja isento da nossa
maneira de ver e compreender o fenômeno educativo é que consideramos
necessário expor, no início deste capítulo, as motivações pessoais decorrentes
de fatos “históricos” vivenciados como participante, para justificar a
problemática do tema a ser pesquisado.
Este caminho remete à subjetividade de nosso estudo da qual não
pudemos e nem queremos escapar e, portanto, por admiti-la como parte
integrante e essencial dessa investigação consideramos essencial caminhar
35
segundo critérios claros na busca do rigor científico de modo a alcançar, tanto
quanto possível, a objetividade necessária e indispensável.
Para que o leitor se situe em relação ao quantitativo dos sujeitos desta
pesquisa e algumas considerações que se relacionam com os encontros de
ensino havidos, apresentamos um breve relato na seção seguinte.
1.3.2 O Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES
Como nossa investigação desenvolve-se no âmbito do Observatório da
Educação, tendo em vista que os vinte e três sujeitos da pesquisa são
professores integrantes deste projeto, consideramos ser necessário descrevê-
lo sucintamente.
O Projeto Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES foi criado por
meio da constituição de um grupo colaborativo de formação e de pesquisa com
a finalidade de fomentar efetivas discussões sobre as práticas do professor em
seu contexto de trabalho bem como o de propiciar o compartilhamento entre os
pares (professores da Educação Básica) e os formadores da universidade, em
estrita articulação com as teorias e pesquisas estudadas.
A finalidade desse projeto é de promover e analisar o desenvolvimento
profissional docente de professores de matemática quando estes estão
inseridos em processos de implementação de inovações curriculares.
Assim, uma das preocupações do Observatório é a que os processos de
formação dos professores envolvidos (presencialmente e a distância (não
objeto desta pesquisa)) deverão incluir, evidentemente, situações em que as
práticas pedagógicas sejam refletidas e problematizadas pelos professores da
Universidade e professores da Educação Básica.
O pressuposto dos trabalhos desenvolvidos no seio do Observatório é
que os processos formativos de professores devem ser investigados em
relação estreita com os ambientes e contextos aos quais os professores
desenvolvem suas práticas, não deixando de considerar como referenciais as
tendências da formação de professores.
36
Portanto, como principal objetivo do projeto Observatório da Educação
da UNIBAN/CAPES considera-se o de desenvolver uma metodologia efetiva
que envolve a Educação Continuada de Professores que lecionam Matemática
na Educação Básica por meio da criação e do envolvimento de redes
colaborativas de aprendizagem profissional.
A partir da compreensão da problemática que envolve a formação
continuada de professores que ensinam matemática e baseado nos princípios
teóricos que direcionaram o design e a metodologia do Projeto Observatório,
anteriormente indicados, é possível definir, em linhas gerais, os objetivos que
foram definidos para a atuação do Observatório, quais sejam:
• Identificar os aspectos em que a metodologia de formação
continuada do professor de Matemática – estabelecimento de
grupos de trabalho colaborativos, cuja estratégia é a articulação
entre a teoria, a prática docente e a pesquisa – pode favorecer o
desenvolvimento profissional dos envolvidos;
• Pesquisar o papel do ambiente tecnológico - no caso, um espaço
virtual criado para a aprendizagem contínua – das reflexões
compartilhadas e da integração do grupo;
• Contribuir com propostas para serem desenvolvidas nas aulas de
Matemática, visando à melhoria da qualidade dos processos de
ensino e de aprendizagem;
• Pesquisar o papel da história da matemática escolar no processo
de formação (porque ensinamos o que ensinamos;
transformações nos currículos prescritos; movimentos de
modernização; livros didáticos);
• Estudar formas de manutenção dos grupos de trabalho
colaborativo, de modo que tenham continuidade ao término dos
projetos de formação de professores.
Os propósitos da presente investigação estão em consonância com o 1º,
3º e 5º objetivos definidos como acima.
37
Em 2011 o Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES encontrava-
se com a seguinte composição: 6 professores-pesquisadores doutores da
UNIBAN; 4 alunos de Doutorado e 1 aluno de Mestrado em Educação
Matemática da UNIBAN e 23 professores de Educação Básica da Secretaria de
Estado de Educação da Diretoria de Ensino da Região Norte de São Paulo.
As temáticas que foram objeto dos encontros no ano de 2011 foram:
Números Reais, Análise Combinatória (Problemas de Contagem) e
Probabilidade – temas sugeridos pelos professores.
O número de encontros para cada temática varia de acordo com os
objetivos a serem alcançados e as necessidades do grupo de professores
acertados no decorrer de cada uma das pesquisas associadas a cada temática
objeto da formação continuada integrante da respectiva pesquisa.
Para esta pesquisa os encontros de ensino no Observatório da
Educação da UNIBAN/CAPES ocorreram entre os meses de maio e setembro
de 2011, em intervalos quinzenais ou mais (as datas que os encontros
ocorreram estão junto aos respectivos textos e situações-problema,
apresentados nos Apêndices), sempre às quintas feiras, no horário das
13h30min às 17h30min, envolvendo até 23 professores que atuam em escolas
públicas estaduais de Ensino Fundamental II e Ensino Médio da Região Norte
da cidade de São Paulo, pertencentes da Secretaria de Estado da Educação
de São Paulo, divididos em grupos de até quatro professores em cada.
A seguir apresentamos um quadro onde listamos as datas em que os
oito encontros ocorreram (o 1º encontro na primeira fase – Fase de design e os
outros sete encontros na segunda fase – Fase de intervenção e na terceira
fase - Fase de experimentação):
Quadro 1: Datas dos encontros da sequência didática
Encontro Data
1º 12/5/2011
2º 26/5/2011
38
3º 16/6/2011
4º 04/8/2011
5º 18/8/2011
6º 25/8/2011
7º 04/9/2011
8º 18/9/2011
O grupo de professores é constituído segundo as normas de
organização do Projeto Observatório. O grupo participou de 8 (oito) encontros
de ensino, cada um deles com duração média de 200 minutos cada, totalizando
26 horas de encontros de ensino por professor.
Além dos professores, todos os encontros de ensino tiveram a presença
do pesquisador; em alguns deles houve a presença de professor (es) do
Programa de Pós Graduação da UNIBAN e em alguns encontros o professor
Orientador da pesquisa esteve presente e até interagiu com os sujeitos da
pesquisa.
O desenrolar das atividades que foram desenvolvidas no seio do
Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES foi monitorada através da
captação de som e imagens (em alguns encontros em que foi possível
disponibilizar da câmara) feita por gravação em áudio e vídeo bem como pelas
anotações observadas e registradas pelo pesquisador através das reflexões,
discussões e observações feitas entre os participantes nos grupos menores e
em todo o grupo, com a mediação.
A Tabela a seguir mostra, então, a distribuição dos professores que
participaram com suas reflexões respostas da primeira fase desta pesquisa, no
primeiro dos encontros do Observatório ocorrido em 12 de maio de 2011.
39
Tabela 1: Indicação dos dados dos professores que permitiram a concepção inicial da sequência didática desenvolvida no Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES
PROF. SENHA DED Q1 Q2P1 PP S S SP2 MEG S S SP3 ML54 S S SP4 1824 S S SP5 CMK S S SP6 S.5 S S SP7 MCH S S SP8 M.AIKO S S SP9 CIRLENE S S S
P10 SORO S S SP11 SRF-ROSA S S SP12 SAMURAI 256 S S SP13 BAPTISTA S S SP14 CP57 S S SP15 FV S S SP16 CLÁUDIA S S SP17 1811 S S SP18 CECÍLIA S S SP19 VANDA S S SP20 ELENA S S SP21 REGINA N N NP22 1084 N N NP23 ALB N N N
No primeiro dos encontros de ensino um total de 20 professores
forneceu respostas a três questionários: Dados da Experiência Docente (Q1)6,
Conhecimentos de Conteúdo (Q2)7 e Conhecimentos Pedagógicos (Q3)8,
sendo que o primeiro deles foi respondido após o intervalo, em um período de
até uma hora, e os dois últimos, entregues, nesta ordem, em até duas horas e
meio, antes do intervalo.
As respostas fornecidas pelos professores foram objeto de análise e
estão sintetizadas ao longo do Capítulo 4. Elas serviram de base para
estruturar, identificar e conceber as primeiras atividades que foram
desenvolvidas nos encontros de ensino subsequentes, seguindo orientações
dos dois primeiros momentos da metodologia Design Experiments, segundo
Cobb et al (2003), utilizada nesta investigação e considerada na seção a
seguir.
6 Ver Apêndice A. 7 Ver Apêndice B. 8 Ver Apêndice C.
40
Além disso, os dados resultantes das atividades da sequência de
ensino9 – Fase de Intervenção e do questionário Q410 - Fase de
Experimentação têm suas análises apresentadas no Capítulo 5.
Nessas análises vamos considerar aspectos e concepções relacionadas
às reflexões e o produto destas reflexões feitas pelos professores integrantes
do Observatório da Educação da CAPES/UNIBAN com a mediação do
pesquisador, segundo uma amostra de 20 (vinte) professores, os sujeitos de
nossa pesquisa (professores identificados de P1 a P20), considerando variável
a presença dos professores aos encontros de ensino, razão porque os
professores P21, P22 e P23 figuram na tabela, mas estiveram presentes em
alguns encontros da sequência de ensino.
1.3.3 Sobre a metodologia: algumas considerações
A metodologia Design Experiments foi escolhida para nortear a segunda
fase de nossa pesquisa e os motivos para tal escolha são explicados e
compreendidos à medida que a descrevemos, em seguida.
Ressaltamos, desde já, não ter encontrado uma tradução para o
português do termo design que atendesse aos propósitos conforme foi escrito
no texto original. Segundo Drisostes (2005), “o termo design envolve atividades
como planejar, delinear, desenhar, esboçar, projetar, esquematizar, criar,
inventar e executar” (DRISOSTES, 2005, p.38).
Considerando que os professores de Matemática - sujeitos desta
pesquisa - estavam imbuídos da ideia de implementar em sua prática
pedagógica as orientações contidas no Currículo de Matemática do Estado de
São Paulo (2010) e o fato de ter sido esse Currículo elaborado com base nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), a metodologia adotada para a
busca de respostas às quatro questões de nossa investigação incluiu
inicialmente uma pesquisa documental a respeito da análise das orientações
curriculares contidas nesses documentos.
9 Ver Apêndices de E até M. 10 Ver Apêndice D.
41
A utilização da metodologia Design Experiments segundo Cobb et al
(2003) para atender aos propósitos desta pesquisa se consubstanciaram nas
características presentes nos dois primeiros momentos explicitados pelos
autores e que, nesta investigação, se desdobraram em três momentos, a
saber: Primeiro momento: definição dos documentos diagnósticos acerca da
Experiência docente, dos conhecimentos de conteúdo e dos conhecimentos
pedagógicos conteúdos e a elaboração das respectivas questões para compor
as atividades desses três documentos introdutórios, o segundo momento:
elaboração e aplicação de proposta de sequência didática de ensino que foi
apresentada aos professores sujeitos da pesquisa durante os encontros de
ensino no seio do Projeto Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES,
ambiente em que a pesquisa se desenvolveu e o terceiro momento, no qual
elaboramos um questionário para identificar concepções e crenças dos
professores em relação à ressignificação de conhecimentos de conteúdo,
pedagógicos de conteúdo e curriculares, após a sequência didática..
A metodologia Design Experiments, por Cobb et al (2003), ainda
considera os seguintes momentos: Elaboração de sequência didática pelos
professores e Interpretação, análise e discussão sobre as produções dos
alunos.
A pesquisa de campo objeto desta pesquisa foi desenvolvida, no
primeiro momento, como a seguir:
Inicialmente, neste momento, consistiu na aplicação de três
questionários ao grupo de professores, sujeitos desta pesquisa, visando
conhecer o perfil dos professores e identificar seus conhecimentos,
concepções e crenças a respeito do processo de ensino e de aprendizagem
dos Problemas de Contagem na Educação Básica. Esses questionários foram
respondidos individualmente por todos os professores e tinham a seguinte
finalidade: analisar a experiência docente dos professores; analisar os
conhecimentos de noções concernentes à Análise Combinatória na Educação
Básica, como conceitos, procedimentos e representações gráficas, ale de
analisar os conhecimentos pedagógicos do professor em relação a esse
conteúdo, ou seja: o que e como ensinar.
42
O segundo momento – fase de intervenção - consistiu na concepção e
na realização de uma abordagem de noções concernentes à Análise
Combinatória com a finalidade de investigar se uma sequência de atividades
que explore atividades sobre a resolução de Problemas de Contagem, sem a
utilização de fórmulas, pode favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos
professores sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular de noções
concernentes a esse tema para o ensino e a aprendizagem no Ensino
Fundamental, preferencialmente. Os dados obtidos por meio dos questionários
respondidos no primeiro momento se constituíram em ponto de partida para a
elaboração e aplicação dessa sequência de atividades. Além disso, levamos
em conta os resultados de pesquisas sobre os processos de ensino e de
aprendizagem desse tema, como as pesquisas de Navarro-Pelayo, Batanero &
Godino (1996), Fischbein e Gazit (1988) e Placha e Moro (2009), além das
orientações pedagógicas do Currículo de São Paulo (2010). Quanto ao
método utilizado para a análise dos dados coletados baseamo-nos na noção de
imagem conceitual conforme Tall e Vinner (1981), e de Fischbein et al (1994)
sobre os elementos característicos dos aspectos intuitivo, algorítmico ou formal
da atividade matemática, os quais serão apresentados no Capítulo 2. Esse
momento ocorreu em sete encontros de aproximadamente quatro horas cada.
Essas atividades foram desenvolvidas em pequenos grupos, formados por três
ou quatro professores. Maiores detalhamentos sobre esse momento e os
instrumentos de coleta de dados serão apresentados posteriormente.
O terceiro momento- fase de sistematização - foi realizado entre os dois
últimos encontros da sequência de ensino, pois consideramos oportuno
apresentar mais um questionário final aos professores (questionário (Q4)11)
para que os professores apresentassem suas concepções e crenças acerca
dos aspectos pedagógicos e de conteúdo após a sequência didática, tendo
como objetivos os de identificar se os professores mudaram algumas de suas
concepções a respeito do processo de ensino e de aprendizagem de noções
concernentes aos problemas de contagem na Educação Básica com a
ressignificação dos conhecimentos de conteúdo, curriculares e pedagógicos de
conteúdo e conhecer aqueles que os professores considerariam como de novo
11 Ver Apêndice D.
43
e que favoreça a prática de ensino que poderiam oferecer a seus alunos, desde
então.
Além do mais, as respostas dariam oportunidade para que os
professores fizessem uma avaliação acerca da formação continuada que
acabavam de experenciar e também como eles poderiam sistematizar os
conhecimentos os quais eles se apropriaram durante a fase de intervenção
com vistas à organização dos conceitos matemáticos e das orientações
refletidas da sequência didática para a melhoria da prática.
Espera-se que a análise desses dados contribua para encaminhar e
fundamentar as respostas que daremos às questões de pesquisa postas.
A escolha dessa metodologia decorreu de nosso interesse por uma
investigação cuja realização ocorresse no próprio contexto da formação
continuada dos professores no tocante aos conhecimentos sobre Análise
Combinatória. Assim, considerando o duplo propósito do Design Experiments –
metodologia de ensino e de pesquisa – podemos dizer que fomos favorecidos
por essa escolha.
Segundo Cobb et al (2003), o Design Experiments é uma metodologia
de pesquisa formativa tendo em vista o refinamento progressivo do projeto
elaborado inicialmente. Ou seja, a análise contínua dos resultados que se vem
obtendo ao longo do processo, pode favorecer a identificação das
reformulações necessárias até que sejam trabalhados todos os pontos que,
eventualmente, se constituam em dificuldades ou em concepções equivocadas
do conteúdo que está sendo explorado. Assim, em nossa pesquisa foi
delineada uma primeira versão do projeto, que não foi definida completamente.
Depois, ela foi revista e aprimorada ao longo do experimento em função dos
resultados que foram analisados encontro a encontro da sequência didática.
Acreditamos que esse processo contínuo de concepção, análise, revisão
e reinvenção de nossa sequência, ao longo do experimento pôde produzir a
compreensão de ideias fundamentais relativas ao ensino dos conteúdos
relativos aos problemas de contagem, sendo passível de nova aplicação a
outros sujeitos.
44
Cabe destacar que a nossa fundamentação teórica sobre a formação de
professores – Shulman (1986) – também nos levou a optar por etapas do
Design para desenvolver essa parte empírica da pesquisa. As categorias de
conhecimentos necessários ao ensino, propostas por Shulman (1986) foram
muito produtivas, como ponto de partida para a concepção do projeto inicial,
para as modificações que se mostraram necessárias no decorrer da pesquisa e
para a análise dos dados.
As ações que envolveram o grupo de professores durante nosso
experimento tiveram os seguintes propósitos:
• Refletir sobre noções básicas de Análise Combinatória que
consideramos fundamentais para a compreensão de conceitos,
representações e procedimentos para resolver problemas de
contagem e a maneira de ensiná-los.
• Discutir sobre possíveis estratégias que um professor poderia
mobilizar para auxiliar seus alunos a superar dificuldades relativas à
resolução de problemas de contagem.
Participaram de cada um desses encontros o grupo de professores
sujeitos de nosso estudo e, pelo menos, dois pesquisadores da UNIBAN, tendo
estes últimos o papel de acompanhar os trabalhos realizados em cada
encontro, por meio da observação do grupo e/ou do registro de dados
considerados relevantes.
Assim, nossos dados incluíram as produções dos professores
participantes, as filmagens dos encontros e os apontamentos realizados a partir
da observação feita por nós e pelos pesquisadores que estiveram presentes
durante os encontros.
No tocante à organização do grupo de professores para o
desenvolvimento das atividades na fase de intervenção, optamos por deixá-los
à vontade para que se separassem em grupos menores de 3 ou 4 docentes.
No entanto, é fundamental observar que esses professores não permaneciam
durante todo o tempo em seus grupos. Desse modo, as discussões entre os
participantes de cada grupo permitiram, igualmente, a identificação de
45
dificuldades experimentadas pelos próprios professores e a oportunidade de
buscar, com os colegas dos outros grupos, soluções para essas dificuldades.
O estreitamento dos laços de cooperação entre o pesquisador e os
sujeitos da pesquisa ao longo dos encontros de ensino favoreceu o
entrosamento de todo o grupo em relação às resoluções das situações-
problema, facilitando a identificação por parte do pesquisador das dificuldades
que eles tinham com a temática e do que eles precisavam aprender.
Esclarecemos, todavia, que os grupos menores não eram fixos. Esse
fator contribuiu ainda mais para fortalecer a unidade de todo o grupo e vencer
as inibições. Todos se sentiram muito à vontade em expor suas ideias, suas
resoluções às situações-problema, suas dúvidas, suas concepções.
As pesquisas desenvolvidas segundo a metodologia Design
Experiments, segundo Collins et al (2004), devem ocorrer em ambientes reais
de aprendizagem, como salas de aula ou grupos de professores, com a
finalidade de melhorar as práticas educacionais. Sob essa questão, o grupo de
professores do Observatório participou das atividades em um ambiente
propício à melhoria de suas práticas.
Cabe destacar que cada professor sujeito da pesquisa, pôde recorrer às
anotações de suas aulas e de livros didáticos. A troca de ideias e concepções
entre os professores ocorreu de forma muito natural, tendo em vista que muitos
deles já vinham participando do Observatório desde 2009.
Também é importante ressaltar que resistimos à tentação de reduzir
nossos dados a números. Esta opção decorre do fato de que a natureza dos
nossos dados deveria ser outra. Os dados coletados deveriam dar elementos
para a compreensão das posições dos sujeitos da pesquisa e respectivas
transformações. Isso demandou que assistíssemos aos vídeos por mais de
uma vez, além de reiteradas leituras dos textos transcritos uma vez que estes
sujeitos quase sempre colocavam condicionantes ao responder
afirmativamente, ou negativamente, às nossas indagações, afirmações e/ou
questionamentos.
Além disso, ao longo dos encontros de ensino constatou-se que quando
algum dos sujeitos desta pesquisa respondia a determinada questão colocada
46
pelo pesquisador ou por algum colega – no grupo menor ou no grupo como um
todo – geralmente o fazia destacando aspectos outros, questionamentos,
observações e sugestões de encaminhamento que se mostravam.
Esses fatos nos mostram que uma abordagem de pesquisa qualitativa
deve, de fato, partir do princípio de que nada é simples quanto possa parecer e
de que todos os dados e aspectos identificados podem dar pistas a respeito do
problema estudado e de como os resultados podem ser agrupados e
abordados.
Para a elaboração da sequência didática partimos da ideia que as
situações-problema que devessem ser propostas deveriam contemplar
conteúdos próprios do Ensino Fundamental (situações-problema com
quantitativo de objetos não muito grande que possam viabilizar a construção de
árvores de possibilidades ou outras representações e alguns problemas
apropriados à motivação e à introdução de outros conceitos próprios da
Matemática no Ensino Fundamental como, por exemplo, potências com
números naturais), em particular aquelas que poderiam efetivamente ser
desenvolvidos para o entendimento e a aprendizagem de alunos do Ensino
Fundamental.
Consideramos oportuno, então, apresentar aos professores algumas
resoluções de situações-problema supostamente resolvidas por alunos,
utilizando tabelas de dupla entrada e árvore de possibilidades como
procedimentos para contabilizar a totalidade de soluções para que os
professores refletissem sobre elas. Eles deveriam discutir a respeito da
pertinência da resolução apresentada e como eles encaminhariam com seus
alunos a resolução desses problemas.
Quanto aos conteúdos que foram abordados nos problemas de
contagem, restringimo-nos aos relacionados à utilização direta dos princípios
multiplicativo e aditivo, arranjos simples, permutações simples, permutações
com objetos nem todos distintos, combinações simples e permutações
circulares (embora este conteúdo não seja usual ser apresentado na Educação
Básica).
47
Os enunciados das situações-problema presentes neste documento
introdutório foram refinados pelo pesquisador em conjunto com o orientador e
passaram por algumas alterações de redação, de modo a se tornarem mais
claros. Durante a aplicação – no primeiro encontro da sequência de ensino –
não foram registradas dúvidas quando à redação dos enunciados que
exigissem alterações ou modificações.
As questões referentes aos Conhecimentos Pedagógicos12 tinham como
finalidade identificar experiências, formação, inquietudes e dados da prática
docente, bem como o que esses professores pensam e como agem em relação
às suas práticas relacionadas ao ensino das noções concernentes a esse
conteúdo, considerando a experiência - quando for o caso - que adquiriram
quando trabalharam com essa temática em conjunto com seus alunos ou
aquelas oriundas de sua formação inicial, acrescentando experiências,
sugestões e visões que se complementam quando todo o grupo pode se
manifestar durante os encontros.
Fazemos, a seguir, considerações sobre os vários elementos que
interagiram ao longo desta etapa de nosso estudo. Segundo Cobb et al (2003)
esses elementos passam a constituir o que eles chamam de “ecologia da
aprendizagem”. Portanto, a “ecologia da aprendizagem” segundo Cobb et al
(2003) é constituída - relativamente ao trabalho que foi desenvolvido no
Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES – dos seguintes elementos:
� Diferentes situações-problema propostas para serem resolvidas;
� Distintas representações utilizadas por nós e pelos sujeitos da pesquisa;
� Registros que permitiram a interpretação e análise dos resultados
� As argumentações elaboradas pelo proponente;
� Os materiais (concretos ou não) que foram objeto das atividades:
� As formas de mediação que buscamos promover entre os sujeitos e o
nosso objeto de estudo;
� As regras de organização do grupo para o desenvolvimento das tarefas
propostas.
12 Ver Apêndice B.
48
Em relação ao último elemento indicado acima, as considerações
seguintes são pertinentes para caracterizar como foi o desenrolar dos
encontros de ensino havidos no Observatório da Educação da UNIBAN/
CAPES, em atendimento aos propósitos deste estudo.
Assim, para cada uma ou mais situações-problema propostas em fichas
de atividades e após um tempo razoável para reflexões e o desenvolvimento
das soluções, os professores discutem entre si nos grupos menores e, uma vez
que tenham chegado a soluções próximas uma das outras, ou não, as soluções
são apresentadas - caso seja do interesse de algum dos membros desses
grupos menores - no quadro branco, de modo a poderem ser discutidas com
todo o grupo.
O pesquisador, inicialmente agrupava as soluções pela proximidade das
estratégias e dos procedimentos utilizados e convocava os professores a
refletirem e discutirem sobre o que foi apresentado, exercendo o papel de
mediador e, por vezes o papel de professor/pesquisador/formador.
Essa prática tem o objetivo de identificar o maior número possível de
soluções que foram construídas de maneiras diferentes, considerando que a
exposição/explanação dessas diferentes soluções contribui para o
enriquecimento/crescimento de todos os professores, quando então se
considera e discute as implicações que estejam relacionadas à variedade de
estratégias e procedimentos utilizados nas resoluções e, portanto, as diferentes
possibilidades de solução para uma mesma situação-problema.
1.3.4 O papel do pesquisador na sequência de ensino
Uma das características marcantes e presentes na metodologia Design
Experiments é que ela apresenta um forte componente iterativo no sentido de
que uma determinada atividade constante de uma sequência didática deve ser
desenvolvida e novamente desenvolvida pelos sujeitos da pesquisa tantas
vezes quanto necessária, depois de incorporadas às reflexões obtidas, durante
e após a sua aplicação, de modo a permitir um domínio total das questões
postas nas diferentes etapas, configurando o comprometimento do pesquisador
e dos sujeitos da pesquisa com a proposta em seu todo.
49
Essa característica esteve presente ao longo de toda a sequência
didática objeto desta pesquisa, mormente após as análises críticas que foram
efetuadas ao final de cada um dos encontros de ensino, com o propósito de
preparar o encontro seguinte considerando o ocorrido no encontro anterior e
nas perspectivas para o estudo.
Isso requereu atitudes constantes de observação, análise,
argumentação e síntese, tanto do pesquisador quanto dos sujeitos da
pesquisa, exigindo do pesquisador que mantivesse uma postura de atenção
constante, atenta, observadora e disponível em todas as etapas do
desenvolvimento das tarefas.
Era preciso saber ouvir, observar e atuar de modo sistemático em todas
as etapas da pesquisa estando o pesquisador pronto para mediar conflitos e
modificar, quando necessário, os rumos de qualquer que fosse a atividade
anteriormente programada, quantas vezes necessárias fosse, de modo a
atender às situações emergenciais que precisam ser consideradas para aquele
encontro.
No início de cada encontro de ensino, cabia-nos distribuir as fichas de
atividades, explicar a atividade proposta e observar atentamente as interações
de cada grupo menor (seus diálogos, gestos, registros, dúvidas) captadas por
gravação em vídeo e pelas observações e justificativas verbais e registros
feitos no quadro branco, encaminhamento questões para análises e
discussões.
Em todas os momentos do processo desencadeado nesta investigação -
relativamente às duas primeiras partes que compõem a Metodologia Design
Experiments - o alvo de interesse e de observação que permeou o
desenvolvimento das atividades ao longo dos encontros, foram os professores,
sujeitos da pesquisa.
A pesquisa se encaminhou com o propósito de conhecer e compreender
as ações pedagógicas - no tocante às concepções que os sujeitos da pesquisa
têm relativamente à compreensão, conhecimentos, domínio de estratégias e
procedimentos, utilização de alguma representação, ação pedagógica,
habilidades e competências no trato com os problemas de contagem - bem
50
como nas análises, seleção de atividades e no desenvolvimento delas quando
se revestem no propósito de vir a atender alunos do Ensino Fundamental, bem
como no que se referem às interpretações, análises e discussões ocorridas ao
longo dos encontros.
Na investigação objeto deste trabalho, em cada um dos encontros e
após serem eles realizados, pudemos refletir sobre nossas intervenções – a
sós ou com a ajuda do orientador - e também em relação às atitudes, dúvidas e
questionamentos dos professores utilizando-se para tal de instrumentos de
captação (sistemas de áudio e vídeo (em alguns encontros), registros
colocados no quadro branco e registros feitos em papel e lápis - algumas vezes
- pelos professores) que registraram os momentos vivenciados nos encontros
de ensino.
Com base nessas reflexões e em nossas concepções foram feitas
modificações em algumas práticas de modo que atendessem aos anseios dos
professores e favorecessem o entendimento de questões que não ficaram
totalmente esclarecidas para os professores durante as discussões havidas,
considerando as atitudes e concepções que foram observadas pelo
pesquisador bem como em relação ao encaminhamento que a sequência
didática estava tomando.
De modo a situar o papel do autor deste trabalho – como pesquisador
nesta fase de intervenção durante o desenvolvimento da sequência de ensino -
salientamos os seguintes aspectos que ocorreram enquanto a proposta de
trabalho foi desenvolvida: em todos os encontros de ensino havia a presença
do pesquisador, do orientador (em alguns encontros) e de, pelo menos, dois
pesquisadores da UNIBAN com o propósito de acompanhar o desenvolvimento
dos trabalhos realizados em cada encontro por meio da observação das ações
do grupo de professores, do pesquisador e/ou do registro de dados
considerados relevantes, inclusive participando das discussões e
encaminhando reflexões, bem como a presença de colegas dos cursos de Pós
Graduação em Educação Matemática da UNIBAN.
Nossa intenção, como pesquisador, foi a de permitir que os professores
fossem responsáveis por suas colocações, pelo levantamento de hipóteses,
discussões, refutações e conclusões, cabendo ao pesquisador mediar os
51
conflitos enquanto desempenhava duplamente os papéis de formador e
pesquisador os quais, por vezes, se completavam.
Em alguns momentos o pesquisador ia até o quadro branco e colocava
as questões que o grupo abordava com o intuito de sistematizar as ideias e
questões e permitir organizar o desenrolar das discussões. Em outros, a
intervenção do pesquisador fazia-se necessária para responder alguma dúvida
mais técnica, instigar outra perspectiva de observação, propor a apresentação
de uma solução diferente, pedir esclarecimentos sobre a solução apresentada
ou incentivar as interações.
Em complemento, destacamos que o pesquisador teve que organizar a
apresentação das soluções, no quadro branco ou oralmente, agiu como
mediador e como sistematizador dos resultados obtidos das discussões entre
os professores além de, a cada semana, refletir sobre seu papel na formulação
das situações-problema que deveriam objetivar os propósitos a que se
destinavam, em idas e vindas acerca da apropriação de conceitos, estratégias
e procedimentos.
O pesquisador também tem de estar atento em relação aos seus
conhecimentos e às suas concepções uma vez que nem sempre eles são os
mesmos dos professores sujeitos da pesquisa, pois a matemática referida ao
conhecimento matemático particular individual dos professores, com suas
experiências e seus saberes, é independente da matemática do pesquisador.
A Matemática de cada um deles sofre influência do meio físico e
sociocultural, da formação inicial de cada um, das práticas pedagógicas que
vivenciou, da sua experiência enquanto professor acerca do conteúdo em
questão, além do conhecimento puro da matemática oriundo da experiência
acumulada na academia e fora dela.
É o conhecimento do conteúdo matemático associado à experiência
pedagógica desse conteúdo ao longo da trajetória docente, das experiências
de vida e da docência, dos conhecimentos oriundos de questões curriculares e
do aprofundamento das questões profundas que perpassam a história das
questões conceituais que diferenciam os conhecimentos de um e do outro.
52
Fato concreto é que a formação continuada objeto do presente estudo
foi de tal modo realizada que permitiu aos professores que questões
relacionadas com os conhecimentos de conteúdo, pedagógicos de conteúdo e
curriculares de conteúdo, segundo Shulman (1986), fossem por eles
ressignificadas, e novos conhecimentos fossem também apropriados, em
estreita relação com a resolução dos problemas de contagem no nível do
Ensino Fundamental.
Finalizamos o capítulo sintetizando para o leitor o que foi apresentado:
caracterizamos os caminhos percorridos pela pesquisa, o ambiente em que ela
se desenvolveu, a metodologia escolhida e as razões para esta escolha, bem
como os instrumentos de onde os dados foram coletados para as análises nos
Capítulos 4 e 5.
O capítulo seguinte será destinado a conhecer as fundamentações
teóricas utilizadas para empreender a análise dos dados e para a
categorização dos conhecimentos necessários ao ensino.
53
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Estudos e pesquisas que fundamentam esta pesqui sa
Entre educadores matemáticos parece haver consenso no que diz
respeito à importância e à necessidade de realizar, continuamente, pesquisas
em relação à formação continuada de professores.
Tais pesquisas têm como propósitos os de conhecer como se realizam
as mediações - durante a fase de ensino de conceitos matemáticos - que
estariam mais apropriadas à melhoria dos processos de ensino e de
aprendizagem.
Também as pesquisas tem se preocupado em conhecer como são feitas
as escolhas e como utilizar a metodologia mais adequada à apropriação de
conceitos e à exploração de procedimentos de matemática que contribuam
para a melhoria dos processos de ensino e de aprendizagem na Educação
Básica, dentre outros.
Corroborando com essa tese temos confirmado um crescimento na
quantidade de pesquisas relacionadas com essa área, relatadas por meio de
resultados apresentados em Revistas temáticas (muitas delas especializadas
em formação de professores) e em trabalhos e discussões em Congressos e
Seminários nacionais e internacionais, tais como: ENEM, SIPEM, ANPED,
PME E ICME.
Como temas que têm sido frequentemente tratados nessas publicações,
e são de interesse para pesquisas de pesquisadores da comunidade de
educadores matemáticos nacionais e internacionais, destacamos aqueles que
se referem à posição que tem a matemática no conhecimento profissional do
professor e as características dos programas de educação continuada
destinada a professores que estão na prática docente da sala de aula.
No que se refere à educação continuada de professores na prática
docente, segundo nossas concepções, destacamos dois tipos de pesquisas -
diferentes em seus objetivos precípuos – mas que objetivam a melhoria da
formação de professores, como a seguir:
54
- com professores que estão nos anos iniciais do magistério - pesquisas
que têm como objetivos os de compreender como se dão os processos iniciais
de formação na docência e de como ocorrem mudanças durante a preparação
desses docentes ao longo do tempo - e
- pesquisas que dizem respeito à preparação dos docentes relacionadas
à aprendizagem do professor na prática da sala de aula e para a prática –
pesquisas que têm a preocupação de analisar o papel da experiência docente
como determinante nos processos de aprender a ensinar.
Sobre o segundo tipo, pesquisas acerca dos conhecimentos que o
docente se apropria em relação aos saberes da Matemática e os derivados da
sua prática docente relativos à Matemática escolar - as relações existentes e o
desenvolvimento da Matemática - na Educação Básica, no qual esse estudo se
insere.
Portanto, a partir do conhecimento e da incorporação de resultados de
pesquisas seria oportuno investigar quais as maneiras que deveriam ser
seguidas de modo que os professores aprendam mais Matemática. E ainda,
investigar as maneiras pelas quais os professores aprendam mais de como
ensinar de modo mais eficaz a seus alunos e também estudar em profundidade
as maneiras como o aluno aprende Matemática.
Ressalta-se a importância de que, quando é ofertada ao professor a
oportunidade de conhecimento sobre trabalhos pedagógicos diferenciados
baseados em pesquisas realizadas e/ou em andamento, é preciso identificar o
que de fato é aprendido por ele.
Ou seja, é preciso identificar aquilo o que ele próprio aprendeu por si só;
o que foi que aprendeu junto de seus pares; o que aprendeu da leitura de
artigos que referem resultados de pesquisas e o que aprendeu com outros
educadores.
Em função da importância do papel do professor não somente desde
tempos atrás, mas principalmente agora, a temática formação de professores
que ensinam Matemática - linha de pesquisa à qual este trabalho de pesquisa
está vinculado - tem importância vital para o fortalecimento do papel da escola
na formação de crianças e jovens, considerando as diversas solicitações que
55
nossa sociedade contemporânea faz ao trabalho docente e a necessidade de
constante atualização quanto às práticas e conhecimentos.
As informações são veiculadas em tempo real e, na escola, um dos
papéis do professor e de seu trabalho docente é o de transformar algumas
dessas informações, muitas das vezes, em conhecimentos e em outras, de
modo a marcar a posição do professor a respeito do que considera adequado
fazê-lo.
Portanto, cabem ações concretas e rápidas de maneira a não deixar
passar as oportunidades de a escola se posicionar a esse respeito e, para tal, é
imperioso que o professor esteja preparado para lidar com essas situações.
Trazem, também, reflexos imediatos das necessidades que a sociedade
tem de ver discutidas e encaminhadas essas diferentes questões que cabem à
escola fazê-las desde as primeiras discussões, posicionando-se a respeito.
Assim, é preciso que o professor esteja preparado para dar conta de um
conjunto de atividades inerentes à sua competência profissional e não
unicamente àquelas relacionadas aos conhecimentos de conteúdos. Esses,
evidentemente, merecem destaque para que o professor possa dar conta de
preparar adequadamente seus alunos.
Segundo Sztajn (2002, p. 17): “Um professor precisa ter conhecimentos
que se estendam para além do domínio do conteúdo a ser ensinado (embora
não possa dele prescindir)”.
Por conta dessas considerações, elegemos como foco principal dessa
pesquisa a formação continuada de professores que ensinam matemática e
particularmente a formação associada a dar conta de trabalhar com o raciocínio
combinatório em problemas de contagem no Ensino Fundamental.
Propomo-nos a efetuar análises acerca das percepções que um grupo
de professores que atuam no âmbito da Secretaria Estadual de Educação de
São Paulo têm em relação aos processos de ensino e de aprendizagem dos
problemas de contagem em função da recente reforma curricular implementada
a partir de 2008.
56
De maneira a fundamentar as análises que faremos nos Capítulos 4 e 5,
vamos procurar explorar as discussões que têm ocorrido em relação à
formação e ao desenvolvimento profissional dos docentes por meio das
aproximações que possamos efetuar em relação aos conceitos presentes em
pesquisas realizadas e relacionadas à temática.
Como dissemos antes, a formação continuada docente é tema para ser
discutido e pesquisado com frequência uma vez que a educação está no foco
das mudanças estruturais de nossa sociedade e a escola reflete em parte os
anseios de mudanças pelas quais a sociedade conclama, tendo o professor
como elemento catalisador dessas mudanças.
Desde a década de 80 as formulações de propostas relacionadas às
formação inicial e continuada de professores que ensinam Matemática têm-se
pautado em relação aos saberes que os professores precisam desenvolver
para desempenhar de maneira satisfatória sua função docente.
Tais saberes estão relacionados aos conhecimentos de conteúdos, aos
conhecimentos pedagógicos de conteúdos e aos conhecimentos curriculares,
segundo Shulman13 (1986).
Assim, em função das mudanças curriculares e as consequentes
mudanças nos processos de ensino e de aprendizagem que a escola precisa
fazer para atender a esses anseios, e como o foco do nosso estudo é o
Conhecimento Profissional Docente, vamos centralizar nossa fundamentação
teórica nos estudos de Shulman (1986) enquanto promovemos uma formação
continuada com professores de Matemática – sujeitos desta pesquisa - da rede
estadual de Ensino de São Paulo e em estudos de Zeichner (1993, 2003, 2008)
acerca do papel reflexivo do professor na sua práxis docente.
Relativamente às análises que serão encaminhadas acerca dos dados
colhidos nos questionários e na sequência de ensino, utilizamos as
caracterizações propostas por Tall & Vinner (1981) e Fischbein (1994).
13 Lee L. Shulman, Professor de Educação da Universidade de Stanford, pesquisa sobre questões relacionadas à formação de professores.
57
Em prosseguimento, apresentam-se os Princípios de Enculturação
Matemática de Bishop (1997) dos quais vamos nos valer para analisar a sua
presença no Currículo de São Paulo (2010).
Finalizando este capítulo, apresentamos resultados de pesquisas
relacionadas com o ensino e a aprendizagem de Problemas de Contagem na
Educação Básica considerando desejáveis os aspectos e resultados
diretamente relacionados com esta investigação.
Além do mais, selecionamos pesquisas no âmbito do raciocínio
combinatório não somente com o intuito de colaborarem para responder à
questão desta pesquisa mas por elas se constituem de interesse para
identificar outras pesquisas que estão relacionadas com o tema na Educação
Básica.
É o que faremos nas seções seguintes deste capítulo.
2.2 Conhecimentos necessários ao professor
Pesquisas de Shulman (1986, 1987) buscam identificar os saberes aos
quais os professores devem se apropriar quando de sua formação inicial e
quando da atuação docente em formação continuada.
Segundo Shulman (1986) apud (Mizukami, 2004, p. 2), “boa parte da
pesquisa sobre os professores e sua formação tem-se desenvolvido, nas
últimas décadas, a partir das pesquisas sobre o ensino e o currículo”.
Shulman (1986) destaca o programa “processo-produto” como sendo um
dos mais destacados programas de investigação sobre o ensino durante a
década de 70, cuja pergunta central de pesquisa consistia: “como os
comportamentos dos professores se relacionavam com as variações nos
desempenhos dos alunos?”.
O programa foi capaz de enfatizar o estabelecimento de relações entre
variáveis dos alunos, dos professores, dos contextos e dos resultados da ação
educativa (MIZUKAMI, 2004, p. 2).
A pesquisa “processo-produto” fundamentou-se na suposição de que o
ensino pode ser dividido em pequenas ações onde os comportamentos do
58
professor eram observados, contados, analisados e combinados sem
referência às suas intenções ou ações cognitivas e, portanto, eram omitidas
análises relativas ao contexto em que tal se realizava, os conteúdos do ensino
que estavam sendo trabalhados e as limitações de todo tipo.
Segundo Shulman (1986), de todas as omissões que suas pesquisas
identificavam à época, a que mais preocupava a ele e aos seus colaboradores
como sendo a mais complexa foi a questão relativa a não consideração do
pensamento do professor como elemento central ao ensino uma vez que a
pesquisa evidenciou que o comportamento do professor poderia ser
relacionado ao desempenho do aluno.
Além do mais, a pesquisa evidenciou que também a escola poderia
fazer diferença na aprendizagem dos alunos em contrariedade às pesquisas
que até então creditavam à classe social do aluno e as suas relações familiares
como sendo determinantes ao seu desempenho.
A partir dos resultados dessas pesquisas Shulman passa a adotar outro
paradigma de investigação: o interpretativo, que considera desde micro-
análises de interações verbais até a macro-análise de escolas ou comunidades
inteiras, diferentemente do que o era o programa processo-produto - que
centrava suas pesquisas em relação ao desempenho do aluno.
Assim, o paradigma de pesquisa “pensamento do professor” tornou-se
referência dos trabalhos que passaram a ser realizados como uma clara reação
ao paradigma processo-produto (MIZUKAMI, 2004, p.2-3).
Após mudar-se para a Stanford University em 1983, Shulman (1992)
observou que nas pesquisas à época o ensino ainda era considerado como
uma atividade genérica distante daquela relacionada ao que estava sendo
ensinado, por quem, para quem e para qual nível de escolarização.
Além do mais, Shulman (1986) observou que ainda permanecia um
paradigma perdido no estudo do ensino: o conteúdo, o que era ensinado nos
diferentes componentes curriculares, os conteúdos escolares relacionados a
grandes áreas do conhecimento humano.
Shulman (1986) e seus colaboradores alertavam que enquanto a partir
de pesquisas e estudos se podia inferir que os professores têm conhecimento
59
de seus alunos, do currículo e do processo de aprendizagem usado para tomar
decisões - com base no pensamento do professor -, ainda “permanece obscuro
o que os professores sabem sobre os conhecimentos de suas áreas
específicas e como eles escolheram representar a matéria durante o ensino”
(Wilson; Shulman; Richert, 1987, p. 108).
Por conta disso, Shulman (1986) já indicava que naquela época - numa
tentativa de simplificar a complexidade do ensino em sala de aula - as
pesquisas sobre ensino ignoraram a existência do conteúdo específico da
disciplina que os professores ensinavam como um relevante aspecto a ser
considerado no dia a dia da sala de aula.
Assim, segundo o autor, as pesquisas não se preocupavam em
investigar:
(...) como o conteúdo específico de uma área de conhecimento era transformado a partir do conhecimento que o professor tinha em conhecimento de ensino. Tampouco perguntaram como formulações particulares do conteúdo se relacionavam com o que os estudantes passaram a conhecer ou a aprender de forma equivocada (SHULMAN, 1986, p. 6).
Portanto, uma vez tendo constatado que se tratava de um componente
de pesquisa até então não explorado no estudo do ensino, Shulman (1992) deu
início a um novo programa de pesquisa: o Projeto “Knowledge Growth in a
Profession”, com o objetivo de recuperar o que denominou de “paradigma
perdido” – o conhecimento do conteúdo –, salientando que o domínio deste é
imprescindível para o ensino de toda e qualquer disciplina.
Segundo Mizukami (2004), “Para o autor, com a definição do “paradigma
perdido” e o desenvolvimento de pesquisas sobre o ‘conhecimento do
professor’ pensou-se chegar a uma visão mais compreensiva do ensino”
(MIZUKAMI, 2004, p. 3).
Segundo Shulman (1986), para ensinar de acordo com os padrões
desejáveis para encaminhar satisfatoriamente os processos de ensino e de
aprendizagem os professores precisam compreender os assuntos
profundamente de forma flexível para que possam ajudar os alunos a criar
mapas cognitivos úteis que referem uma ideia à outra e os equívocos de
ligações entre assuntos.
60
Os professores precisam conhecer como as ideias se ligam através de
campos conceituais e à vida cotidiana. Este tipo de entendimento fornece uma
base para o que Shulman (1986) introduziu como o conceito de conhecimento
pedagógico do conteúdo, o qual permite aos professores que construam ideias
acessíveis aos outros campos do conhecimento (Shulman, 1987).
Shulman (1986) introduziu o conceito de conhecimento pedagógico de
conteúdo e provocou uma nova onda de artigos acadêmicos sobre os
conhecimentos dos professores no assunto, e da importância desse
conhecimento para o que ele chama de ensino bem sucedido.
Segundo o quadro teórico de Shulman (1986) os professores, além do
conhecimento pedagógico do conteúdo, precisam dominar mais dois tipos de
conhecimentos, a saber:
(a) Conhecimentos da docência (de conteúdos), também conhecido
como "ainda" conhecimento profundo do próprio sujeito, e
(b) Conhecimento do desenvolvimento curricular: processo pelo qual tais
conhecimentos são aprendidos ao longo de processos formativos e do
exercício profissional (a base de conhecimento para o ensino e o processo de
raciocínio pedagógico).
Segundo Shulman (1987), quando se considera o conhecimento do
conteúdo específico é preciso que os professores tenham conhecimento acerca
de dois tipos de conhecimentos: o das estruturas substantivas e o das
estruturas sintáticas.
O conhecimento das estruturas substantivas é o conhecimento das
formas pelas quais os princípios fundamentais da disciplina estão estruturados,
o que implica saber identificar as noções mais profundas do conteúdo a serem
ensinados (aquelas que estão localizados no seu núcleo).
E ainda, os conceitos fundamentais da disciplina e a importância que
esses conceitos têm para a formação dos alunos, bem como a relação destes
com as demais disciplinas.
Segundo Shulman (1987), “incluem paradigmas explicativos utilizados
pela área”.
61
Quanto ao conhecimento das estruturas sintáticas, segundo Shulman
(1987) é preciso que os professores tenham conhecimento da estrutura
sintática da disciplina, ou seja, é preciso que tenham visão da maneira como
ela se situa junto à ciência a qual pertence.
Além do mais é preciso que os professores compreendam e entendam
como as pesquisas se orientam e se realizam – padrões estabelecidos por uma
comunidade disciplinar de modo a aceitar novos conhecimentos introduzidos -
e quais são as tendências atuais nessa área do conhecimento.
Assim a estrutura sintática abrange os conhecimentos a respeito de
maneiras com as quais a disciplina constrói e avalia um novo conhecimento, o
conhecimento acadêmico. Ao professor cabe aprender e compreender esses
conceitos tomando por base os métodos de investigação e os princípios que
regem a área de conhecimento da disciplina.
Shulman (1986) busca em suas pesquisas discutir os conhecimentos
que servem de base para formação e atuação docente e como tal propôs um
domínio especial de conhecimento do professor que chamou de “conhecimento
pedagógico do conteúdo” e que faria uma “ponte” entre o conhecimento do
conteúdo e a prática do ensino.
Segundo ele, "o conhecimento pedagógico do conteúdo” é a categoria
mais provável de distinguir o entendimento do especialista no conteúdo do
pedagogo.
Ele sugeriu que existe um conhecimento de conteúdo exclusivo para o
ensino – o conhecimento específico do profissional.
Shulman (1986) argumentou que “o mero conhecimento do conteúdo é
provável de ser tão inútil pedagogicamente quanto à experiência sem
conteúdo” e prossegue afirmando que “saber um assunto para ensiná-lo requer
mais do que saber os seus fatos e conceitos”.
Desse modo, os professores devem também entender os princípios
organizadores, as estruturas e as regras para estabelecer o que é legítimo a
fazer e dizer em um campo (área) de ensino.
62
Segundo Shulman (1986), “o professor não deve entender que alguma
coisa é assim, o professor deve entender mais profundamente porque uma
coisa é assim, em que bases a sua garantia pode ser afirmada, e sob quais
circunstâncias a nossa crença na sua justificativa pode ser enfraquecida ou
negada”. Essa afirmativa, segundo nossa compreensão, difere do fato de o
professor simplesmente conhecer fatos e conceitos e reproduzi-los para seus
alunos. É preciso conhecê-los em profundidade de modo a fazer conexões com
outros.
Os princípios teóricos de Shulman (1986) explicitados acima são
determinantes, segundo nosso entendimento, para o desenvolvimento de
atividades relacionadas ao desenvolvimento profissional de professores. Para
tanto, é preciso que os professores conheçam e se apropriem desses
princípios e os apliquem no dia a dia de suas aulas.
Particularmente, a formação continuada objeto desta pesquisa se
fundamentou nesses princípios, quais sejam: entender cada um dos conceitos
e aplicá-los corretamente, refletir sobre a mobilização de estratégias e
procedimentos, relacionar cada conceito com outros conceitos e indicações
curriculares, etc para conceber, reflexionar e desenvolver as atividades
propostas, com o fim de proporcionar condições para que os professores
desenvolvam sua práxis docente da maneira mais consistente e de qualidade
possível.
Segundo Shulman (1987), para o desenvolvimento da prática docente o
professor precisa reunir conhecimentos que tomam por base a reunião de
conhecimentos: de conteúdo, curriculares e pedagógicos de conteúdo, de
entendimentos que deve ter a respeito deles e das habilidades que ele pode e
deve mobilizar na sua prática, como se pode constatar a partir da citação a
seguir:
Em ensino, a base de conhecimento é o corpo de entendimentos, conhecimentos, habilidades e disposições que um professor precisa para atuar efetivamente numa dada situação de ensino (SHULMAN, 1987, p. 106).
Além do mais, é recomendável à prática docente que o professor realize
reflexões constantes sobre o trabalho que está desenvolvendo à luz de
estudos, leituras e conhecimentos acerca de resultados de pesquisas.
63
Nesse sentido o papel reflexivo do professor deve estar presente em
formações continuadas de professores, como se pode identificar nas
considerações de Zeichner (1993, 2003), presentes na seção seguinte.
2.3 Formação do professor reflexivo
Pesquisas recentes tem identificado o trabalho colaborativo existente
entre professores da Educação Básica e de Universidades; professores da
Educação Básica entre si e também entre professores e alunos, como uma
possibilidade atraente para a busca da formação e o desenvolvimento
profissional dos professores.
Entre essas pesquisas nos valemos das Indicações do Relatório do GT7
(Grupo de trabalho sobre Formação de Professores) do III SIPEM (Simpósio
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática) que salientam para a
importância de encaminhar pesquisas relativamente aos processos de
Educação Continuada de Professores de Matemática.
Para o encaminhamento dessas pesquisas, a metodologia de
constituição de grupos de trabalho colaborativo tem sido foco de diversas
pesquisas no cenário nacional, tais como as de Lopes (2002), Ferreira (2003) e
Lobo da Costa (2004).
No seio desses grupos colaborativos, inserem-se as reflexões dos
professores em relação à suas práticas docentes e aos conhecimentos
matemáticos para o desenvolvimento destas.
Essas pesquisas encontram em Schön (1983) uma referência a respeito
da importância do trabalho reflexivo durante as formações inicial e continuada
de professores, como as ocorridas nos Estados Unidos na década de 80, como
se pode constatar em:
Quando Donald Schön publicou o livro O profissional reflexivo, em 1983 (Schön, 1983), isso marcou a re-emergência da prática reflexiva como um tema importante da formação docente norte-americana. A ideia da prática reflexiva já existia há muito tempo, tanto na filosofia ocidental como na não-ocidental, incluindo a grande influência que o livro de John Dewey “Como pensamos” (Dewey, 1933), exerceu na educação nos EUA, no início dos anos de 1900 (ZEICHNER, 2008, p. 538).
64
Segundo Zeichner (2008), a partir de então várias obras influenciaram as
pesquisas relacionadas com o trabalho reflexivo dos professores, como se
pode verificar em:
Após a publicação do livro do Schön e da grande quantidade de literatura sobre o tema que ele estimulou a produzir no planeta inteiro, e do trabalho de outros educadores no mundo, incluindo o de Paulo Freire, no Brasil (Freire, 1973), e o de Jurgen Habermas, na Europa (Habermas, 1971), formadores de educadores de diferentes países começaram a discutir como eles preparavam seus estudantes para serem professores reflexivos. O ensino reflexivo tornou-se rapidamente um slogan adotado por formadores de educadores das mais diferentes perspectivas políticas e ideológicas para justificar o que faziam em seus programas e, depois de certo tempo, ele começou a perder qualquer significado específico (ZEICHNER, 2008, p. 538).
Assim, a partir dos anos 80 a denominação de “professor reflexivo”
propagou-se na esfera educacional sob a influência da teoria de Donald Schön
(1983) e os trabalhos de Zeichner (1993, 2003, 2008).
Segundo Rodrigues (2010):
[...] se baseou na valorização da prática profissional como momento de construção de conhecimento (DEWEY, 1952) e no reconhecimento do conhecimento tácito14 (LURIA, 1988, e POLANYI, 1966), presente na solução que os profissionais encontram na ação. Schön propõe uma formação profissional diferente, que possibilite uma prática reflexiva, mediante a qual esses profissionais poderão extrapolar os conhecimentos elaborados pela ciência – por sua complexidade – e fornecer respostas às situações de incerteza e indefinição, que emergem no dia a dia, em que as respostas técnicas podem não ser suficientes (RODRIGUES, 2010, p. 121).
Conforme Schön (1983), a prática profissional reflexiva de um professor
é constituída de momentos durante os quais ele constrói seus conhecimentos,
ou seja, ela pressupõe a necessidade de se reconhecer, do conhecimento na
ação e do conhecimento na experiência como componentes dessa prática
reflexiva que considera, por sua vez, três dimensões ao longo das reflexões:
reflexão na ação, reflexão sobre a ação e reflexão sobre a reflexão na ação.
Segundo Zeichner (2008):
O movimento da prática reflexiva envolve, à primeira vista, o reconhecimento de que os professores devem exercer, juntamente com outras pessoas, um papel ativo na formulação dos propósitos e
14 “Conhecimento tácito é aquele que o indivíduo adquiriu ao longo da vida, que está na
cabeça das pessoas. É difícil de ser formalizado ou explicitado a outra pessoa pois é subjetivo e inerente às habilidades de uma pessoa, como ‘know-how’. A palavra tácito vem do latim tacitus, que significa ‘não expresso por palavras’. É o conhecimento na ação” (apontamentos de aula).
65
finalidades de seu trabalho e de que devem assumir funções de liderança nas reformas escolares (ZEICHNER, 2008, p.539).
Assim, em relação a Schön (1983), com respeito à prática reflexiva dos
professores, Zeichner (1993) distingue o papel do professor refletivo como
aquele que se posiciona segundo uma perspectiva crítica, aquele que assume
um papel mais “emancipatório” frente às questões, em relação àquele
professor reflexivo defendido por Schön (1983).
Por conta disso, assim se manifesta Zeichner (2008) a esse respeito:
A “reflexão” também significa que a produção de conhecimentos novos sobre ensino não é papel exclusivo das universidades e o reconhecimento de que os professores também têm teorias que podem contribuir para o desenvolvimento para um conhecimento de base comum sobre boas práticas de ensino (Cochran-Smith & Lytle, 1993). O conceito do professor como um profissional reflexivo parece reconhecer a expertise que existe nas práticas de bons professores, o que Schön denominou de “conhecimento-na-ação”. Da perspectiva do professor, isso significa que o processo de compreensão e de melhoria de seu próprio ensino deve começar da reflexão sobre sua própria experiência e que o tipo de saber advindo unicamente da experiência de outras pessoas é insuficiente (ZEICHNER, 2008, p.539).
Por conta do papel reflexivo que o professor têm permanentemente tido
a oportunidade de experenciar ao longo de sua prática profissional, seja em
relação às ações pedagógicas ou as de conteúdo ou ainda aquelas
referenciadas às questões curriculares (estas na maioria das vezes junto de
seus pares), sua participação na comunidade escolar, à luz do projeto político-
pedagógico, é decisiva.
Assim, o professor reflexivo poderá ser um agente ativo nos processos
de mudanças e, como tal, a escola e seus membros poderão estar em
consonância direta no sentido de valorizar a prática profissional do professor
resgatando valores imprescindíveis para a motivação pessoal dele.
Segundo nosso entendimento, a participação dos professores nas
discussões e análises de reformas curriculares durante a fase de concepção
das propostas e também depois do currículo proposto, é de suma importância
para que esse novo currículo venha de fato a ser considerado como um
currículo em ação sobre o qual as análises e reflexões que o professor venha
se debruçar em fazê-las serão significativas para torná-lo efetivo. Parece-nos
que o caminhar do novo Currículo de São Paulo (2010) deu-se segundo essa
ótica.
66
Em relação à formação de professores, Zeichner (2008), amparado nas
ideias de Feiman-Nemser (2001), também se refere à importância do papel de
professor reflexivo que deve iniciar-se nos cursos de formação inicial ou
continuada, como identificado em:
A “reflexão” como um slogan de reforma educacional também significa que, independentemente do que fazemos em nossos programas de formação de professores, e do quão bem o fazemos, nós podemos apenas, e quando muito, preparar professores para se iniciarem na profissão. Quando adotamos o conceito de ensino reflexivo, existe em geral um compromisso dos formadores de educadores em ajudar futuros professores a internalizarem, durante sua preparação inicial, as disposições e as habilidades para aprender a partir de suas experiências e tornarem-se melhores naquilo que fazem ao longo de suas carreiras docentes (Feiman-Nemser, 2001) (ZEICHNER, 2008, p. 539).
Não se pode deixar de considerar que, de um modo geral, existem
enormes discrepâncias e incoerências entre a “retórica da educação
democrática e centrada no aluno”, a qual norteia os sistemas educacionais
contemporâneos e a maneira pela qual a formação de professores é
conduzida, desarticuladas que estão na maioria das vezes (ZEICHNER, 2003,
p. 40).
Segundo nosso entendimento, os currículos dos cursos de formação de
professores estão distantes do que os currículos da Educação Básica nos
estados preconizam e, poucas são as vezes em que pesquisadores das
Universidades têm oportunidade de participar da elaboração destes, papel que
cabe às formações continuadas com esta indicarem aos professores o que e
como os legisladores dos currículos indicam deva ser feito para a prática
docente.
Assim, muito embora tenhamos conhecimento de outras pesquisas que
defendem ideias semelhantes às de Schön (1983, 1987), nos propusemos
neste trabalho a alinharmos nossas concepções às de Zeichner (1993, 2003),
que defende uma prática docente crítico-reflexiva e amplia - por vezes também
critica - as ideias de Schön (1983, 1987).
Ou seja, a prática que considera que o professor não pode ser
considerado somente um “técnico eficiente” que implementará ou obedecerá
orientações concebidas por outros, mas que defenderá o que for preciso
defender segundo seus conceitos reflexivos, suas crenças e convicções, e não
67
se furtará a analisar criticamente aquilo que não considera coerente com o que
a sua prática profissional recomenda.
Para esse autor, o papel do professor deve ser ampliado e não reduzir-
se à sua participação no processo educacional enquanto um docente que se
limita àquelas práticas ditas como “estando centralizado no aluno” unicamente,
mas em relação à abrangência do saber sob diferentes olhares.
Segundo Zeichner (1993, 2003) isso causa enorme resistência às
mudanças pelo pouco e não significativo papel destinado ao professor,
provocando assim possíveis insubordinações por parte daqueles que, de fato e
de direito, dão sentido à existência de um currículo proposto, transformando-o
em um currículo em ação.
Assim, enfatizamos aqui a necessidade de valorizar e tornar conhecidas
pesquisas que dizem respeito à valorização da prática docente e as
contribuições que estas práticas representam quando se estiver desenvolvendo
projetos para a formação de professores, seja inicial e/ou continuada.
O conhecimento de pesquisas que assegurem o conhecimento desses
professores acerca dos currículos propostos, suas análises, críticas e
documentos que se sucedem à sua implementação, no sentido de que esses
conhecimentos possam contribuir com análises mais enriquecedoras e
significativas que contribuam para o sucesso das mudanças propostas no
âmbito do currículo se elas de fato o forem.
Baseando-nos nas concepções de Shulman (1986), podemos intuir que
para ser um bom professor é preciso vibrar com a sua matéria, conhecer muito
bem o que vai ensinar e ter um bom relacionamento com os alunos para
entender seus problemas, dúvidas, deficiências, ansiedades e dar a esses
alunos a oportunidade de serem protagonistas na construção de seus próprios
conhecimentos. Mas, tal qual Zeichner (1993) sugere, reflexões pessoais e
coletivas são sementes para que essas questões brotem e se tornem
realidade.
É preciso propiciar condições para que os alunos descubram e se
apropriem dos conhecimentos que o professor ensina em sala de aula e, dessa
68
forma, tornar possível que os alunos se tornem partícipes de sua própria
formação, com a mediação do professor à luz de suas reflexões pessoais.
Portanto, conjecturamos que para sensibilizar e dar condições ao
professor a fim de que ele cumpra com desenvoltura sua missão docente, o
melhor a fazer é praticar com ele a arte de resolver problemas - de raciocínio
combinatório ou não -, um dos propósitos deste estudo.
Por conta dessas considerações neste trabalho realçamos o importante
papel do professor como elemento imprescindível no processo que pode
desencadear mudanças necessárias à melhoria nos processos de ensino e de
aprendizagem dos problemas de contagem, pricipalmente no Ensino
Fundamental.
Entendemos que ao professor cabe o papel de propor, mediar, controlar
e incentivar a aprendizagem de seus alunos através da resolução de
problemas.
O sucesso da aprendizagem dos alunos depende fortemente das
atitudes que o professor toma pois ele é o responsável pela escolha dos
problemas em relação ao nível de dificuldades que eles apresentam e pelas
adaptações de enunciados que julgar conveniente fazer.
O mesmo pode-se dizer que ocorre em relação à escolha ou à
elaboração de atividades selecionadas e colocadas à disposição dos alunos.
Esses foram alguns dos pressupostos que o professor autor deste
trabalho - agora na postura de pesquisador e de mediador em um processo de
formação continuada de professores que ensinam Matemática - partilhou com o
grupo de professores ao longo dos encontros havidos no Observatório da
Educação da UNIBAN/CAPES.
2.4 Componentes básicos da Matemática como atividad e humana
69
Para a elaboração e a análise das questões que compõem dois15 dos
três questionários propostos na primeira fase deste estudo apoiamo-nos em
Tall & Vinner (1981).
Esses autores definem imagem conceitual como estrutura cognitiva total
que é construída na mente de uma pessoa a respeito de determinado conceito
matemático abrangendo todas as ideias, imagens mentais, impressões,
representações visuais e descrições verbais relativas a propriedades e
processos que envolvem aquele determinado conceito.
Segundo Tall e Vinner (1981), como resultado e por meio de experiência
de todos os tipos que uma pessoa se vê envolvida ao longo do tempo a
imagem de um conceito vai se constituindo e se transformando continuamente
quando ela passa pelo enfrentamento de novos estímulos (TALL e VINNER,
1981, p.2).
Para a particular experiência formativa objeto deste estudo acerca dos
problemas de contagem no Ensino Fundamental, de início e por meio dos
questionários iniciais, será possível conhecer o que os professores do grupo
sabem a respeito dos conceitos básicos de combinatória e as estratégias e
procedimentos que utilizam para resolver problemas de contagem propostos
em um desses questionários.
Em prosseguimento, na fase de intervenção, faremos um
acompanhamento mais amiúde para a consolidação e a apropriação dos
conceitos e procedimentos que ampliem a imagem conceitual do grupo de
professores, um dos propósitos desta formação, no sentido de que o grupo
reflita sobre a importância de conhecê-los e aplicá-los, de maneira a consolidar
os conhecimentos de conteúdo e pedagógicos de conteúdo para a melhoria
dos processos de ensino e de aprendizagem de seus alunos.
Nesse sentido, a imagem conceitual - segundo os propósitos de Tall e
Vinner (1981) - estará presente em nossa análise a respeito dos dados obtidos
principalmente na fase de intervenção.
15 Conhecimentos de Conteúdo (Q2) e Conhecimentos Pedagógicos (Q3). Ver Apêndices B e
C.
70
No particular caso dos conceitos básicos de combinatória que estão
presentes quando da resolução de problemas de contagem, objeto deste
estudo, a imagem conceitual relativa aos conceitos aí presentes - a qual o
grupo de professores poderia vir a explicitar quando das respostas fornecidas
aos questionários - nos auxiliará para compreender os conhecimentos dos
professores no que diz respeito aos conhecimentos de conteúdo, segundo as
perspectivas de Shulman (1986).
Ou seja, a imagem conceitual, relativamente aos conceitos básicos de
combinatória para a Educação Básica do grupo de professores - à época do
primeiro dos encontros de ensino quando responderam aos questionários
diagnósticos - favoreceu a definição do marco inicial deste estudo, embora Tall
e Vinner (1981) não se referissem particularmente em relação a professores,
mas com respeito a uma pessoa, de modo geral.
Vamos nos apoiar também na perspectiva de Fischbein (1994) -
aspectos intuitivo, algorítmico e formal da atividade matemática - para
identificar a presença desses aspectos quando os professores buscaram
estratégias para resolver situações-problema de contagem que foram
propostas durante a sequência de ensino deste estudo.
Para que esses aspectos possam ficar mais bem compreendidos pelo
leitor, em seguida vamos caracterizá-los, um a um.
O componente intuitivo está associado a uma compreensão que uma
pessoa considera como autoevidente, que intuitivamente ela seja capaz de
compreender e quer que os outros também a aceitem, sem que disponha de
argumentos convincentes para provar a sua validade.
Segundo Fischbein (1994), o componente intuitivo, ou simplesmente
compreensão intuitiva, cognição intuitiva ou solução intuitiva, diz respeito a
uma compreensão que uma pessoa considera autoevidente.
Essa compreensão é de tal maneira aceita pela pessoa que ela é capaz
de aceitar uma ideia ou um conhecimento sem sequer questionar de que é
preciso que haja necessidade de encontrar um tipo de justificativa qualquer que
venha a legitimar essa ideia ou conhecimento.
71
Assim, intuímos que, uma vez que uma pessoa passe a aceitar um
conceito baseando-se unicamente em sua intuição, tal concepção pode vir a
acarretar entraves a ela relativamente aos processos de aprendizagem de
outros conceitos, considerando não haver justificativa que o legitime e outros
que podem se originar dele.
Por conta disso, e ainda segundo nosso entendimento, imagine se tal
prática vier a constituir-se, por exemplo, como uma constante em algumas
situações de aprendizagem e, em particular, quando se tratar de um conceito
matemático que este passe a ser considerado adequado e aceitável por
alguém sem que ele seja aceito matematicamente, ou seja, não tenha sido
provado como verdadeiro? Tal circunstância pode vir, talvez, a gerar
dificuldades momentâneas ou futuras para a correta percepção, caracterização
e entendimento de outros conceitos.
Identificar elementos característicos do processo intuitivo ao longo do
desenvolvimento de processos de ensino e de aprendizagem não é tarefa
simples. E, uma vez que eles tenham sido identificados, é preciso utilizar
argumentos matemáticos para validá-los - se for o caso - ou então refutá-los no
todo ou satisfeitos em parte, desde que atendam certas condições.
Importante e necessário se faz considerar aqui que o componente
intuitivo é bastante pertinente para o ensino, não é parte integrante dos
processos cognitivos de uma pessoa, mas tem de ser visto como fundamental
para a compreensão que cada pessoa tem a respeito de algo que lhe parece
tão autoevidente.
Quanto ao componente formal, este diz respeito aos conhecimentos que
estão relacionados com as definições, axiomas, teoremas e provas de
resultados que devem ser aprendidos, organizados e aplicados pelos alunos.
Segundo Fischbein (1994) é indispensável que se ofereça aos alunos
um processo educativo que valorize a apropriação desse componente formal
considerando que compreender o que seja rigor e coerência em Matemática
não é uma tarefa que o aluno adquira de maneira espontânea sem prescindir
do professor (FISCHBEIN, 1994, p. 232).
72
Quanto a essa questão entendemos que por vezes o professor deve se
portar de tal maneira a ser o espelho para as ações que o aluno empreenda, no
sentido das considerações, justificativas e verdades que apresentar a ele.
A sequência de ensino objeto deste estudo - no Capítulo 5 - apresentou
alguns exemplos nos quais o componente formal esteve presente,
principalmente quando após a leitura do enunciado de uma situação-problema
de contagem é preciso identificar o tipo (ou tipos) de agrupamentos de objetos
envolvidos.
Essa identificação está associada à definição, formal ou não, dos tipos
de agrupamentos que permeiam os problemas de contagem na Educação
Básica: permutações simples, permutações com objetos nem todos distintos,
combinações simples ou permutações circulares e, em seguida, o
estabelecimento de uma ou mais estratégias para encaminhar a busca da
solução ao problema proposto.
Em relação ao componente algorítmico, ele está associado às
habilidades relacionadas com a aplicação de técnicas e procedimentos
padronizados de resolução. Mas, nem por isso, a apropriação dessas
habilidades dispensa uma formação meticulosa requerida para o seu
desenvolvimento.
O grupo de professores fez uso, em diversas ocasiões, de uma ou mais
fórmulas para dar conta da contagem das possibilidades em resposta a uma
dada situação-problema.
Tomando por base os dados apresentados pelos professores na fase de
intervenção, consideramos que o uso de uma fórmula sem o adequado cuidado
quanto à utilização dos dados, presentes ou não no enunciado do problema, é
inócua, de nada vale, até mesmo quando a sua aplicação produz o resultado
correto.
Por outro lado, conhecer a fórmula mais não saber deduzi-la - não
conhecer as razões de ela ter sido assim deduzida - também nada representa
para o ensino da Matemática. É o que chamamos do uso da fórmula pela
fórmula, sem a compreensão de seu uso.
73
A compreensão das etapas que levam à dedução de uma fórmula
configura-se em uso do componente formal com respeito às definições e
resultados que validam os passos que são dados para a sua dedução.
Por conta dessas razões, a exemplo do que recomenda Fischbein
(1994), no Capítulo 5 deste trabalho e durante a análise da sequência didática
deduzimos as fórmulas para a contagem dos agrupamentos das permutações
simples, das permutações com objetos nem todos distintos, das combinações
simples e das permutações circulares e mediamos discussões a respeito do
uso delas em situações-problema que foram propostas ao grupo de
professores.
Fischbein (1994), quando se refere aos dois últimos componentes
pontua que conhecer e explorar a íntima relação que há entre o aspecto formal
(o qual tem por propósitos justificar e provar que essas técnicas funcionam) e o
aspecto algorítmico (no que se refere ao funcionamento das técnicas)
constituem-se de condições básicas para o desenvolvimento de um raciocínio
matemático eficiente, não prescindindo do aspecto intuitivo.
No particular caso dos problemas de contagem, conhecer os conceitos
que identificam o tipo de agrupamento de objetos para, em seguida, vir a contar
seus elementos constituintes por meio do uso de uma fórmula ou do raciocínio
combinatório em conjunto com os princípios multiplicativo e aditivo referenda o
desenvolvimento matemático eficiente segundo o qual é possível o
enfrentamento de situações-problema de contagem.
Mais ainda, Fischbein (1994) argumenta que o conhecimento de
componentes formais não garante o necessário para o enfrentamento de
quaisquer problemas.
Por outro lado, continuam os autores, o domínio de técnicas e
procedimentos, isento do conhecimento de argumentos que justificam a
utilização dessas técnicas, pode não ser suficiente para a resolução de
problemas que fogem ao padrão (FISCHBEIN, 1994, p. 232).
No particular caso dos problemas de contagem, saber que a ordem entre
os objetos de uma situação-problema é relevante ou não ou ainda, que a
ordem entre os objetos está presente nos agrupamentos que constituem a
74
solução ou então que a ordem entre objetos não deve ser considerada
importante para a situação posta, não garante ao aluno obter a solução correta
à situação.
Nem tampouco qual a fórmula adequada para esse tipo de agrupamento
de objetos garante que, ao utilizá-la, o aluno vai dar conta corretamente da
contagem.
Em sua obra, Fischbein (1994) chama a atenção para a importância da
interação que deve existir entre os componentes intuitivo, formal e algorítmico
como aspectos que se complementam quando da realização de alguma
atividade matemática.
Por outro lado, cabe aqui esclarecer que as situações-problema que
foram objeto dos questionários e da sequência de ensino e as considerações
que serão objeto de nossa análise ao longo de todo o texto são tomadas como
exemplos nas quais se pode destacar a presença dos componentes intuitivo,
algorítmico e formal.
Mas, tal fato não significa que estejamos considerando que esses três
aspectos devam necessariamente ser explorados num mesmo momento
durante os processos de ensino e de aprendizagem dos conteúdos de
Combinatória (problemas de contagem) ou que um deles é mais ou menos
contemplado aqui ou acolá.
Em cada momento e para cada situação, cada professor saberá adequar
os três componentes à situação que está sendo trabalhada em suas aulas e
em relação a seus alunos.
Isso está intimamente relacionado com a maturidade de conhecimentos
que os alunos já têm no momento do ensino desses conteúdos e de acordo
com a fase escolar em que se encontram.
No caso particular do estudo dos problemas de contagem o
conhecimento desses componentes favorece a distribuição dos conteúdos e
dos componentes pedagógicos que as diretrizes curriculares preconizam como
poderá ser observado no Capítulo 5, durante a análise que foi encaminhada
para a sequência didática.
75
Em se tratando do Currículo de São Paulo (2010), a sugestão é de
distribuição ao longo dos quatro últimos anos do Ensino Fundamental,
estendendo-se até o Ensino Médio.
2.5 Enculturação Matemática
Nesta seção vamos apresentar fundamentações teóricas relacionadas a
pressupostos presentes na “Enculturação Matemática” que podem vir a ser
considerados quando da concepção e da elaboração de currículos da
Educação Básica.
Segundo Bishop (1997), nos currículos é possível compreender
questões neles consideradas bem como na elaboração de atividades para o
ensino e a aprendizagem.
Esses pressupostos revestem-se de importância para esta pesquisa na
verificação da presença ou não deles em partes do Currículo de São Paulo
(2010) - o qual serve para apoiar práticas docentes dos professores de
matemática sujeitos desta pesquisa – que favoreçam a transmissão de valores
matemáticos, independente da cultura em que estejam inseridos.
Bishop (1997) defende uma abordagem educativa mais ampla que
aquela de apenas ensinar a Matemática levando em conta que o conhecimento
matemático não está isolado do meio cultural nem dos interesses dos
indivíduos, como se pode constatar em:
[...] educar pessoas matematicamente é mais do que apenas ensinar matemática. É mais difícil e com problemas mais desafiadores do que o simples ensino da matemática. Requer um conhecimento fundamental dos valores subjacentes à matemática, bem como o reconhecimento sobre a dificuldade de se educar crianças sobre estes valores. Não é suficiente simplesmente ensinar a matemática, mas é preciso também educar os alunos sobre a matemática, através da matemática e com a matemática (BISHOP, 1997, p. 3 – tradução nossa16) (grifo nosso).
16 Texto original: “Educating people mathematically consists of much more than Just teaching them some mathematics. It is much more difficult to do, and the problems and issues are much more challenging. It requires a fundamental awareness on the values witch underlie mathematics and a recognition of the complexity of educating children about those values. It is not enough merely to teach them mathematics, we need also to educate them about mathematics, to educate them trough mathematics, and to educate them with mathematics”.
76
Nota-se que, segundo nosso entendimento, o último parágrafo da
citação de Bishop, acima, guarda estreita relação com os conhecimentos dos
professores, segundo Shulman (1986).
Para este processo da Educação Matemática que leva em conta o
enfoque cultural, Bishop (1997) define a expressão “enculturação matemática”.
Ou seja, ela é mais que o ensino conteudista da Matemática que
considera a Matemática formal em si com suas definições, teoremas,
definições, etc. - a Matemática clássica – para, além disso.
Segundo ele, a Matemática deve vir a promover o pensar, o agir e o
sentir, próprio das atividades matemáticas desenvolvidas pelas diferentes
culturas existentes na humanidade ao longo de séculos de história que devem
ser promovidas com um imprescindível ferramental dessa sociedade pós-
moderna.
Assim, segundo Bishop (1997), quando é permissível que haja a
incorporação de valores e de atitudes associadas ao aprofundamento do saber
matemático que se dá entre professores e alunos e entre alunos entre si, todo
o processo assim ocorrido pode ser entendido como “enculturação”.
Segundo Bishop (1997), no processo da “enculturação” não há um
ambiente culturalmente formado, mas o desejo de que ambas as partes
possam ter liberdade de apresentar-se como são com seus valores, com sua
cultura e assim um ambiente cultural venha a ser formado. Sendo assim não se
trata de modificar uma cultura por meio do contato com a outra, de uma cultura
sobrepor-se à outra, dominando-a.
A esse processo, Bishop (2002) conceitua como “aculturação” tendo em
conta o ponto de vista antropológico desse processo defendido por R. Wolcott
Sperry (1974). Portanto, na “aculturação” já existe um ambiente cultural que irá
se sobrepuser mediante a imposição da cultura e dos valores.
Como tal, alguns autores defendem que isso já ocorre nos dias atuais
quando referidos às recomendações prescritas em orientações curriculares
centralizadoras limitando, por vezes, a possibilidade de o professor exercer um
papel mais crítico e mais emancipatório em relação à essas prescrições,
conforme defendido por Zeichner (1993).
77
Por conta disso, constata-se - essa é uma posição pessoal do autor
deste trabalho - o quão é difícil, e sempre o foi, de libertar-nos da “aculturação”,
ou seja, do “etnocentrismo”, em diferentes e diversos aspectos, mesmo
considerando que nossa sociedade contemporânea tem obtido muitos avanços
em diversas questões.
Apesar de a escola ser um dos primeiros ambientes para os primeiros
contatos com a cultura, não há nela unanimidade cultural e, por conta disso,
conflitos culturais são comuns de ocorrerem promovendo assim processos de
“aculturação” (Bishop, 2002).
A escola é o ambiente dos “conflitos culturais” e longe de isto ser
negativo permite desenvolver conceitos tais como o respeito à diversidade sob
vários aspectos.
Por conta disso, Bishop (2002) sugere que ações de “enculturação” –
aqueles nos quais não se impõe valores - e de “aculturação” – aqueles em que
há a possibilidade de conflitos culturais - estejam presentes na Educação
Matemática e que no caso da aculturação há, a priori, o pressuposto da
existência de conflito cultural presente durante os processos de ensino e de
aprendizagem uma vez que, por exemplo, a experiência docente do professor
reflete na sua prática em sala de aula.
Podemos sintetizar essas concepções salientando que por vezes
durante processos de “enculturação” estão contemplados processos de
“aculturação”, onde os “conflitos” precisam e devem ser debatidos e resolvidos
de maneira a contribuírem para a conciliação de aspectos e pontos de vista
culturalmente divergentes.
2.5.1 Dimensões Cultural e Social do Conhecimento Matemático
Na abordagem do conhecimento matemático, necessário se faz na
sociedade pós-moderna delinear uma perspectiva cultural sobre o modo como
o professor aborda os saberes matemáticos no momento em que os
desenvolve com seus alunos em sala de aula e como eles estão presentes nas
propostas curriculares.
78
Segundo Geertz (2008), conceitos, ideias e ações sob as quais uma
sociedade caminha e onde seus membros interagem e evoluem são
apresentados sob a forma de significados e representações, reflexo da cultura.
Considerando o saber matemático como uma expressão cultural, ele
também traz consigo significados (não somente aqueles que são derivados de
suas teorias, de suas linguagens, de seus conceitos) e representações próprias
(simbologias, tabelas).
Segundo Bishop (1997), em relação ao saber matemático trata-se de
uma entidade “pancultural” (seus significados e valores estão presentes em
diferentes culturas).
Levando em conta as considerações apresentadas por Bishop (1997),
podemos pressupor que todos os grupos sociais acabam por desenvolver
“atividades de saber matemático” atribuindo-lhes tanto significado quanto
incorporando maneiras próprias de desenvolvê-las levando em conta o
reconhecimento dos valores associados a como se dá isso.
Portanto, ainda com base em Bishop (1997), a dimensão cultural do
saber matemático está associada à contribuição de atividades características
deste saber e aos valores característicos associados a este saber.
Pensando assim, a dimensão cultural do saber matemático contribui
para o desenvolvimento da sociedade na medida em que as ações, decisões e
padrões de conduta de determinado grupo - característicos da dimensão social
bem como os modos de pensar e de agir - são por ela suportadas e aprovadas
segundo valores que caracterizam a dimensão cultural.
Tomando por base a dimensão cultural associada ao saber matemático,
às “atividades do saber matemático”, como dito antes, e segundo as
concepções de Bishop (1997) atribuem-se significados e valores ligados a esse
saber que podem ser percebidos por meio dessas atividades segundo as quais
os processos, projetos e currículos concernentes à Educação Matemática
poderiam deles se constituir.
Salientamos, desde já, que essas atividades são consideradas na
sociedade contemporânea - como dito antes - e as consideramos importante
para aqueles que nela habitam, embora saibamos que não o são para todos os
79
habitantes da terra. Portanto, não é o caso de estarmos considerando os
saberes matemáticos enquanto saberes que são universais.
Em algumas civilizações, por exemplo, como em algumas tribos, contar
1, 2 e “muitos” atende às necessidades desses indivíduos, enquanto em nossa
sociedade contemporânea lidar com números grandes é algo bastante natural
de ocorrer e, por essa razão será preciso saber lidar com essas necessidades.
Segundo Caraça (1984):
A ideia de número natural não é um produto puro do pensamento, independentemente da experiência; os homens não adquiriram primeiro os números naturais para depois contarem; pelo contrário, os números naturais foram-se formando lentamente pela prática diária de contagens. A imagem do homem, criando duma maneira completa a ideia de número, para depois aplicar à prática da contagem, é cômoda mais falsa. Esta afirmação é comprovada pelo que se passa ainda hoje em alguns povos. Há tribos da África Central que não conhecem os números além de 5 ou 6 (17); há outras que vão até 10.000. Ora, facto essencial – o maior ou menor conhecimento dos números está ligado com as condições da vida econômica desses povos; quanto mais intensa é a vida de relação, quanto mais frequentes e activas são as trocas comerciais dentro e fora da tribo, maior é o conhecimento dos números (CARAÇA, 1984, p. 4-5).
Segundo Bishop (1997), as atividades são:
Atividades de contagem (os sistemas de contagem variam de cultura
para cultura, aparecem em grande diversidade e remontam a civilizações
antigas, embora ainda presentes em poucas delas com as características que
citamos acima); Atividades da medição (também estão associadas à ideia de
número para a determinação das quantidades a serem medidas, mas em
conjunto com as unidades de medida); Atividades de localização (essas
atividades levam em conta a utilização de símbolos e de sistemas de
representações permitindo leituras em sistemas de coordenadas associadas às
necessidades relacionadas ao deslocamento e à localização através de mapas
cartográficos e da topografia, precisando, assim, dos números, contagem e
medição. Como exemplo atual, o uso de “GPS”); Atividades de desenho
(estas atividades estão relacionadas à estrutura ou forma do desenho e às
propriedades neles presentes); Atividades de jogos e brincadeiras (estão
fortemente relacionadas com a apropriação e respeito a regras e
procedimentos que podem ou não serem seguidas as quais estimulam o 17 Estão, assim, próximas das crianças nos primeiros anos de vida; para elas tudo quanto
passe além de 3 é – muitos.
80
pensamento hipotético e distante da realidade, permitindo que ações de
abstração, reflexão, levantamento de hipóteses e tomadas de decisões estejam
presentes. Segundo o texto original de Bishop (1997) as atividades referem-se
ao termo “playing” o que pressupõe também atividades como: passatempos,
danças e outros de entretenimento); Atividades de explicação (associadas a
atividades que começam por pensamentos abstratos e pela cognição, que
desencadeiam em ações de argumentação, demonstração e prova de
resultados baseados em conceitos apropriados e a serem conceituados para o
uso da matemática de maneira correta e presentes nos livros didáticos).
Nestas atividades a linguagem ocupa papel de destaque de modo a
conectar ideias e a associar argumentos, sobre diferentes formas e enfoques,
além de permitir a apresentação de maneira lógica e com argumentos
consistentes que possam ter sido utilizados nas atividades anteriores.
Ela tem apoio na lógica clássica e no uso da argumentação como
ferramenta poderosa para apresentar ideias podendo ser utilizada em todas as
atividades anteriores, o que vem a revelar a conexão existente entre todas
elas.
Todas as seis atividades acima acabam por ser identificadas tendo suas
concepções presentes em diversas culturas. Elas acabam por contribuir para
que se tenham definidos padrões de conduta que, por sua vez, vêm refletir os
valores associados ao saber matemático dentro de sua dimensão cultural.
Assim é que, entendemos, os projetos educacionais relacionados com a
Educação Matemática - no tocante à formação de indivíduos para qualquer
nível e clientela - possam vir a se consubstanciar sobre as seis atividades
anteriores, considerando-se que a dimensão social sob a qual estes projetos
tenham sido orientados está apoiada em valores culturais e portanto têm em si
valores básicos de “enculturação”.
2.5.2 Práticas docentes e as mudanças culturais
Tanto Hargreaves (1994) quanto Imbernón (2006) abordam a
necessidade de haver mudanças culturais nas práticas docentes e não em
relação à cultura matemática como área do conhecimento. Hargreaves (1994)
81
discute questões relacionadas à colaboração e a processos de colaboração
que devem ser incorporados às escolas.
Também estes autores discutem aspectos culturais relacionados à
cultura profissional do professor nos processo de formação de professores
relacionados aos valores e crenças nas quais se baseiam os professores
segundo a atividade docente que desempenham, independente da disciplina
que lecionam.
2.5.3 O Saber Matemático como componente cultural
Segundo Bishop (1997), o saber matemático faz parte da cultura e,
portanto ele deve ser transmitido em toda a sua totalidade para ser perpetuado
pelas novas gerações trazendo consigo valores específicos inerentes à cultura
matemática.
Segundo o autor esses valores são: racionalismo (está associado ao
uso da lógica clássica segundo a qual as verdades são confirmadas através do
método dedutivo e de argumentações consistentes); objetivismo (está ligado
à ausência da subjetividade no que se refere à definição e propriedades
relacionadas a um dado objeto real ou empírico e, portanto, encontra no saber
matemático uma das maneiras de se expressar como, por exemplo, através da
formalização de conceitos, demonstração de resultados, descrição de um
conjunto suficiente de axiomas ou de um algoritmo); controle (enquanto se
busca o conhecimento matemático surgem as ideias – via objetivismo – e por
meio delas buscam-se explicações e preveem-se comportamentos e para tal é
preciso monitorar e supervisionar); progresso (este valor é caracterizado,
segundo Bishop (1997) pelo sentimento de que é possível progredir, ir além do
que já é conhecido considerando os valores de controle e de segurança como
já obtidos. Por essa razão, Bishop chama o par de valores controle e progresso
de componente sentimental dos valores do saber matemático); transparência
(considerando que os saberes da matemática se utilizam de propriedades e
regras que são oriundas de explicações e argumentos que não são impostos. E
também que a partir de definições, teoremas e demonstrações qualquer um
pode examinar e validar seus resultados considerando que suas verdades
estão acima de quaisquer pressupostos bem como que a matemática também
82
está acessível a todos que queiram dela apropriar-se, o valor “transparência”
está perfeitamente associado à Matemática) e mistério (o valor “mistério” está
relacionado com a maneira com a qual grande parte das pessoas percebe a
matemática comparando-a a um computador (uma caixa-preta) segundo o qual
muito embora as pessoas interajam com ele através de suas interfaces seu
funcionamento tem algo de misterioso e, portanto, acessível a poucos. Desse
modo, o valor mistério é antagônico ao valor transparência, visto anteriormente
que se revela acessível a todos), sobre os quais este conhecimento construiu-
se e sobre os quais faremos breves considerações a seguir.
Conforme as concepções de Bishop (1997), na medida em que se façam
reflexões a respeito da importância dos conhecimentos matemáticos que
estejam sendo desenvolvidos em sala de aula, como eles foram construídos ao
longo dos séculos e para o que eles servem àquela criança ou jovem, naquele
momento de sua vida e futuramente quando exercer sua atividade profissional,
independente de utilizar-se ou não deles de maneira direta e objetiva é que os
valores do saber matemático são então percebidos aí.
Segundo o autor, através destas reflexões ganham importância os
conhecimentos gerados sobre o conhecimento matemático
(metaconhecimento) e não os conhecimentos em si.
Bishop (1997) considera que a partir das reflexões desenvolvem-se os
valores que - de modo implícito ou explícito - a cultura matemática acredita e se
sustenta e sobre os quais essa cultura de algum modo dá significado à
terminologia matemática.
Durante o desenvolvimento de atividades em que o saber matemático se
faz presente e nos processos que desencadeiam conceber, conhecer,
estruturar e desenvolver os saberes matemáticos é possível a percepção e
distinção de padrões sistemáticos, de pressupostos e de construção de
conceitos e de diretrizes (metaconhecimento) segundo os quais são gerados
valores.
Segundo Bishop (1997), os valores gerados a partir do saber
matemático são construídos (ou apropriados) de maneira implícita,
inconsciente e não críticos, muito embora as reflexões sobre os processos de
83
construção do conhecimento (metaconhecimento) possa ser um processo
consciente.
2.5.4 Os valores matemáticos estão sendo transmitidos de modo equilibrado?
Como visto anteriormente, Bishop (1997) assume que todas as culturas
desenvolvem atividades matemáticas (fenômeno pancultural) e que o saber
matemático é resultante do desenvolvimento intracultural e do relacionamento
intercultural.
Assim, consoante as proposições de Bishop (1997) não nos parece
haver outra maneira para transmitir valores matemáticos de dimensão cultural e
de dimensão social que não seja aquela associada às atividades matemáticas
propostas aos alunos considerando que tais valores requerem modelos,
segundo os quais as atividades matemáticas podem proporcionar condições
para essa veiculação.
Há aqui que se chamar a atenção para o fato de que ao afirmar ser a
única maneira de transmitir os valores matemáticos de dimensões cultural e
social via escola-professor, não se está colocando em um patamar de destaque
o saber escolar em detrimento aos saberes da família, da vida em sociedade,
etc.
O que se deseja enfatizar é que os valores matemáticos têm de ser
destacados em relação àqueles do senso comum, ao menos que nos parece e
a escola é o espaço para tal.
Segundo Bishop (1997), nos dias de hoje parece haver um desequilíbrio
entre a apresentação desses valores e a vivência destes, principalmente em
razão das tendências propostas - neste último século - nos currículos e no
modo pelo qual os professores encaminham suas aulas de Matemática
(deixando de lado alguns desses valores).
Segundo o autor isso acarreta descaracterizar a cultura do saber
matemático e o distanciamento deste das ideias e princípios que nortearam a
sua construção.
Considerando como fato a necessidade de erradicação do analfabetismo
no mundo ou a de preparar minimamente pessoas para o mercado de trabalho
84
em razão das demandas sociais de nossa sociedade, Bishop (1997) considera
que o ensino de Matemática tornou-se orientado tecnicamente e, como tal, os
professores passam a encaminhá-lo através de procedimentos, determinação
de regras e métodos, uso de algoritmos e no desenvolvimento de habilidades.
Segundo o autor estes comportamentos são frutos de premissas
herdadas da era industrial segundo as quais o ensino de Matemática precisa e
pode ser sistematizado, focado na eficiência – educar seria análogo ao
processo de produção da era industrial.
Naturalmente que essa abordagem da Matemática deixa de lado a
exploração de significados dos conceitos e não estimula o entendimento e a
argumentação por exemplo.
Essa orientação técnica ressalta o valor do objetivismo deixando de lado
a exploração do racionalismo e, em sala de aula, se apresentam quando
deixam de ser feitas justificativas e explicações ao longo do desenvolvimento
de atividades com a intenção de promover debates e discussões à luz de
argumentações consistentes que validem resultados, mas, e somente, com o
intuito de verificar o uso correto de regras e procedimentos para certas classes
de problemas propostos.
Desse modo, segundo Bishop (1997), configura-se um desequilíbrio
entre os valores de racionalismo e objetivismo, com detrimento do primeiro em
relação ao segundo.
Quanto a essa questão, tem-se em Villani (2009):
Burton (1989, apud RICO, 1997) também critica a forma objetiva e rigorosa como a Matemática ocidental se apresenta. Observa que nos livros ela se apresenta de forma axiomatizada, como um modelo de objetividade, rigor e convergência. Assinala que, se mudarmos o enfoque pedagógico e abordamos a Matemática na sala de aula como uma área de estudo, de investigação, de dúvidas, de intuição, e aberta à interpretação e a novos desafios, então, proporcionaremos uma maior identificação dos alunos com o estilo e a ideologia da área do saber conhecida por Matemática. A mudança de postura pedagógica também implica a instauração de um clima que estimule o trabalho em grupo, o “escutar” e o aprendizado de uns com os outros, e que explore e respeite outras perspectivas. Esta visão reforça a necessidade de maior ênfase no valor do “racionalismo” e da “transparência” (VILLANI, 2009, p. 55).
Podemos aqui levantar uma questão relacionada ao que foi colocado
acima: Se considerarmos que o valor do racionalismo esteja sendo deixada de
85
lado subtraindo assim um dos valores da cultura matemática, a prática dos
professores não tem levado os alunos a trabalhar em situações reais com o
uso ostensivo de símbolos da Matemática reduzindo as atividades
matemáticas à manipulação destes como se essa fosse uma das finalidades da
Matemática?
Em relação a esse desequilíbrio – contra a orientação técnica - Bishop
(1997) defende que deva haver uma maior ênfase em relação à abordagem
que se deva dar aos conceitos e significados provenientes do saber
matemático.
Não devem se resumir, enfatiza o autor, ao enunciado de uma listagem
de assuntos que apresenta os conteúdos segundo uma ordenação que
contemple definição, aplicações (caso sejam viáveis) e exercícios.
Quanto a essa ênfase nos conceitos e significados, tem-se em Villani
(2009):
Uma abordagem com ênfase nos conceitos reforça a ideia da Matemática como uma “forma de conhecer” e não apenas como “forma de fazer”, e pressupõe a construção de conceitos antes mesmo da apresentação de “definições formais” (VILLANI, 2009, p. 56).
Nas palavras de Bishop (1997) toma força a direção que se deva
empreender em relação às atividades que dizem respeito à ênfase nos
conceitos e não na orientação técnica.
Segundo Villani (2009):
Para Bishop (1997), os conceitos devem antes ser desenvolvidos mediante atividades apropriadas, lançadas no nível cognitivo dos alunos e situadas num contexto acessível e interessante. O entendimento completo de um conceito tem mais valor do que avançar em especificidade em vários tópicos matemáticos. O desenvolvimento de conceitos por meio destas atividades sugere o uso de várias situações e materiais, porém o foco das atividades não está nos recursos adotados, e sim nos conceitos utilizados para explicar o resultado destas atividades, na forma como esta explicação se dá e no modo pelo qual estes resultados são formalizados. Por meio destas atividades, as conexões entre os conceitos serão inevitáveis e naturais permitindo a visualização da Matemática como um corpo amplo de conceitos que se relacionam e significados que se complementam. (VILLANI, 2009, p. 56).
Portanto, baseado nas citações anteriores, os valores de racionalismo e
de objetivismo serão mais bem desenvolvidos pelos alunos na medida em que
o foco principal das atividades matemáticas recaia na exploração dos conceitos
86
e com os quais possa se enfatizar os significados, explicações e
argumentações, próprios da Matemática diminuindo assim o uso intensivo de
habilidades com manipulações e de técnicas.
Uma Educação Matemática que contemple mais tempo ao uso
equilibrado desses dois valores enfatizando o desenvolvimento dos conceitos,
o múltiplo uso de significados e as relações entre diferentes tipos de
apresentação, representação e discussões matemáticas é o que se propõe
para o trabalho em sala de aula retomando o mesmo conceito em formas
diferentes de apresentar e dele se apropriar em níveis de profundidade
diferentes através de uma diversidade de atividades matemáticas e em
diferentes estágios cognitivos.
Outro aspecto que Bishop (1997) levanta e que está relacionado ao
desequilíbrio que se tem entre os valores associados ao saber matemático na
Educação Matemática de nossos dias é o que diz respeito ao ensino impessoal
- pressupõe que o significado atribuído ao saber matemático e suas verdades é
o mesmo, independentemente das pessoas e das diferentes sociedades - e
descontextualizado, em que a Matemática tem sido apresentada.
Entretanto, conforme salienta Bishop (1997), essa verdade universal não
deve levar em conta que uma vez sendo vista desse modo a Educação
Matemática deva ser desenvolvida em todos os lugares de modo parecido e
para todas as pessoas.
Ou seja, o autor enfatiza que essa impessoalidade confere pouco
espaço para discussões diferentes em relação a seus pressupostos
minimizando espaço para interações de caráter pessoais, desconsiderando
aspectos relacionados a percepções pessoais em relação aos significados
sociais relacionados aos conceitos por ela apresentados.
Por essas razões a Matemática tem por característica distanciar seus
conceitos dos sentimentos das pessoas desconectando-os dos contextos
sociais em que eles foram produzidos e relacionados aos significados e
impactos em que se valeram.
Ainda segundo Bishop (1997), a impessoalidade do ensino reforça o
valor de controle que é próprio da Matemática e que este não explora o saber
87
matemático sob o aspecto da relação entre o desenvolvimento e o valor
progresso.
Segundo o autor fica caracterizando, assim, mais um desequilíbrio entre
valores, ou seja, entre o valor progresso e o valor controle, com detrimento do
primeiro em relação ao segundo.
Prosseguindo em relação a mais um desequilíbrio que se tem entre os
valores associados ao saber matemático na Educação Matemática de nossos
dias, tem-se o que diz respeito ao que Bishop (1997) chamou de componente
sociológico relacionado aos saberes transparência e mistério com detrimento
do primeiro em relação ao segundo.
Segundo o autor quando o ensino está pautado em orientações técnicas
e no aprendizado impessoal, ele gera distanciamento entre a apresentação dos
tópicos do seu processo epistemológico no qual foram produzidos
descaracterizando-os do foco de objetos de produção intelectual humana e
dissociados das pessoas e questões ligadas ao desenvolvimento.
Sendo assim, teríamos uma Educação Matemática distante de
abordagens e da exploração de fatos que a caracterizariam como tendo sido
“inventada” (e não somente descoberta).
A Educação Matemática carrearia, assim, o valor da transparência –
exploração da história da Matemática em que foram “inventados” os conceitos,
a abordagem da intuição, a criatividade, o relato de experiências com tentativas
e erros, o exercício da argumentação, o uso da linguagem e da lógica para
apresentar os resultados - e dessa forma combate os pressupostos de que ela
traria consigo aspectos relacionados ao valor de mistério.
Esta maneira de abordar a Matemática mostra a importância do valor
transparência para que pessoas possam-se sentir em condições de fazer
julgamentos críticos acerca dos caminhos percorridos para se chegar aos
resultados.
As observações anteriores mostram como Bishop (1997) percebeu os
diferentes desequilíbrios entre os três pares de valores associados ao saber
matemático e estas constatações podem ser sintetizadas como:
88
O fato de que a prova está em perigo de desaparecer de muitos currículos de Matemática indica a falta de atenção com o “racionalismo”. A escassez geral de criatividade, inovação e de possibilidades inventivas nos currículos de Matemática nos mostra que o “progresso” é relativamente desvalorizado, e a falta de significado e a não compreensão experenciada por alunos em todos os lugares demonstra que a “transparência” não é um valor significativo (BISHOP, 1997, p. 95 – tradução nossa18).
Observa-se claramente a preocupação de Bishop (1997) em relação aos
caminhos por onde os saberes matemáticos têm sido utilizados ou não e a
maneira como isso se dá em relação a uma Educação Matemática que venha a
reequilibrar os valores dos saberes matemáticos nos currículos, levando-os a
tornarem-se partícipes de um processo de “enculturação”.
Além de relatar as preocupações com os desequilíbrios entre os valores
associados ao saber matemático, Bishop (1997) discute maneiras sobre os
quais os currículos deveriam ser concebidos e também maneiras como os
professores possam vir a conceber e a ensinar a Matemática.
Assim, o ensino é influenciado pelos conhecimentos de conteúdo que o
professor tenha a respeito da Matemática de modo que reequilibre esses
valores, apresentando princípios para a “enculturação”.
Portanto, esses princípios de reequilíbrio dos valores ligados ao saber
matemático são recomendados para fazer parte da base de conhecimentos do
professor - que Shulman (1986) define como conhecimentos de conteúdo,
conhecimentos pedagógicos de conteúdo e conhecimentos curriculares - de
modo que os princípios de “enculturação” possam ser considerados.
2.5.5 Princípios para o reequilíbrio dos valores ligados ao Saber Matemático
São os seguintes os Princípios que Bishop (1997) considera:
Princípio da representatividade (esse princípio ocorre quando os valores
associados ao saber matemático ficam em evidência durante o processo que
ocorre quando se ensina Matemática);
18 Texto original: “The fact that the proof is in danger of disappearing from many Mathematics curricula indicates the lack of attention to “racionalism”. The general shortage of creative, innovative and inventive possibilities in the Mathematics curriculum tell us that “progress” is relatively undervalued, and the meaningless and lack of comprehension experienced by learners everywhere demonstrate that “openness” is not a significant value”.
89
Princípio da acessibilidade (respeitando o nível cognitivo dos alunos, a
abordagem e os conteúdos do saber matemático, estes devem ser acessíveis a
todos – considerando a necessidade de se mudar o foco que antes era
centrado de ensino de conteúdos para o foco da aprendizagem dos alunos -
constituindo-se do pressuposto de que tal abordagem deve fazer parte do
processo de “enculturação”. Dessa forma, segundo Bishop (1997), o ensino
impessoal ganha força e o ensino orientado tecnicamente, que suprime a
exploração do racionalismo, perde o sentido);
Quando da aplicação do princípio da acessibilidade tem-se em conta o
reequilíbrio entre os valores da transparência e do mistério.
Princípio do poder de explicação ((quando da exploração de resolução de
problemas - metodologia de ensino e de aprendizagem sugerida pelos PCN –
deve-se levar em conta situações-problema do conhecimento dos alunos ou
que façam parte da realidade em que vivem, de modo que por eles possam
fazer reflexões sobre elas, ser explicadas, ser compreendidas e fazerem parte
do conjunto de valores que a escola incorpora às suas vidas);
Princípio da visão elementar e ampla (este princípio defende que deva ser
oferecida ao aluno a oportunidade de poder se apropriar de conhecimentos
amplos de grande variedade de contextos e de conteúdos - próprios das
necessidades da sociedade pós-moderna que vivemos - em detrimento do
conhecimento de poucos conteúdos que são explicados em profundidade
demasiada);
Princípio do formalismo (é um princípio em que a Educação Matemática deve
trabalhar no nível formal do saber matemático, dominando-o, e é tal que os
conceitos e resultados matemáticos venham a justificar ou não aqueles
conceitos emitidos ao nível informal);
Ressalte-se que o rigor utilizado no princípio do formalismo não exige,
necessariamente, operar com princípios da lógica formal, no rigoroso uso de
seus princípios e na linguagem matemática precisa (a linguagem formal) de
suas ideias, mas com procedimentos suficientes que deem conta de validar os
resultados em questão.
90
Assim, segundo o princípio do formalismo, por meio de atividades que
exijam dar um ressignificado concreto aos objetos matemáticos envolvidos
através de aplicações em problemas amplos e nos quais os conceitos
envolvidos venham a ser apreendidos, as propriedades e os resultados podem
ser aí identificados através de um trabalho em nível formal.
Observa-se, portanto, que o trabalho pedagógico de ensino e de
aprendizagem na escola deva ser tal que o objetivo seja o de preparar o aluno
para que ele venha a compreender os fatos postos em questão e que seja
preparado para construir justificativas coerentes que lhe permitam - na escola
ou fora dela - utilizar-se deles de maneira correta e conveniente.
Ou seja, que o aluno valide os conceitos envolvidos, não deixando de
lado a aprendizagem para a validação e a prova dos resultados matemáticos,
não necessariamente todos é claro, já que eles foram creditados pelos
matemáticos.
Considerando essas pertinentes preocupações conforme foram
apresentados por Bishop (1997), observa-se a necessidade de verificar se o
Currículo de Matemática da rede estadual de Educação do Estado de São
Paulo (2010) apresenta indicações relacionadas a essas concepções em
relação aos valores associados ao saber matemático e suas finalidades, o que
será brevemente feito no Capítulo 3, seção 3.3.2: Um currículo enculturador.
2.6 Pesquisas sobre Ensino e Aprendizagem com Probl emas de Contagem
Nesta seção faremos reflexões críticas acerca de resultados de
pesquisas que relatam experiências e estudos relacionados com o raciocínio
combinatório nos anos iniciais acerca do tema problemas de contagem desde a
3ª Série/4º Ano - como prescrito nos PCN - e no Currículo do Estado de São
Paulo (2010) – desde a 5ª Série/4º Ano como a pesquisa de Fischbein e Gazit
(1988) apud Navarro-Pelayo, Batanero e Godino (1996), indicada a seguir, por
exemplo.
A pesquisa de Fischbein e Gazit (1988) identificou que crianças de 10
anos puderam aprender ideias combinatórias explorando situações-problema
91
em que a árvore de possibilidades se constituiu em uma representação
adequada para introduzir ideias relativas ao raciocínio combinatório.
Assim, em seguida, faremos considerações no sentido de fundamentar a
importância que este trabalho de pesquisa deu para o desenvolvimento de
atividades que consideram relevantes a utilização da árvore de possibilidades e
de outras representações como referencial pedagógico para que os conceitos
possam emergir a partir da utilização delas.
Portanto, vamos considerar as pesquisas que tratam dos problemas de
contagem no Ensino Fundamental e no Ensino Médio uma vez que este seja o
objeto do tema central do nosso problema de pesquisa.
Quanto a essa questão apresentamos resultados de pesquisas que dão
conta da possibilidade de que essas atividades já possam ser trabalhadas com
crianças desde os 10 anos, como se pode constatar no trabalho de Fischbein e
Gazit (1988) indicada no trabalho de Navarro-Pelayo, Batanero e Godino
(1996):
Fischbein e Gazit (1988) estudaram o efeito da instrução sobre a capacidade de trabalhar com problemas de combinatória, descobrindo que, inclusive crianças de 10 anos, podem aprender algumas ideias combinatórias com a ajuda do diagrama de árvore (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e GODINO, 1996, p.3).
Por outro lado, segundo Inheler e Piaget (1955) apud Navarro-Pelayo,
Batanero e Godino (1996) será preciso percorrer alguns anos de ensino até
que o adolescente se aproprie de conceitos como o de permutações,
diferentemente daqueles procedimentos de operações combinatórias mais
simples que se apropriou quando mais novo, conforme se constata em:
De acordo com Inhelder e Piaget (1955), o raciocínio hipotético-dedutivo opera com as possibilidades que o sujeito descobre e avalia, por meio de operações combinatórias. Esta capacidade pode relacionar-se com os estágios descritos na teoria de Piaget: depois do período das operações formais, o adolescente descobre procedimentos sistemáticos de construção combinatória, ainda que para as permutações seja necessário esperar a idade de 15 anos (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e GODINO 1996, p. 2).
Todavia, os resultados de Fischbein (1975) apud Navarro-Pelayo,
Batanero e Godino (1996) mostram que a “capacidade de resolver situações-
problemas que envolvam o raciocínio combinatório (problemas combinatórios)”
nem sempre se alcança no nível das operações formais, se um ensino
92
específico do assunto não for oferecido (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e
GODINO, 1996, p. 2).
Um dos artigos iniciais que estudamos para iniciar essa pesquisa foi o
de Navarro-Pelayo, Batanero e Godino (1996) no qual os autores indicam aos
leitores que a pesquisa que haviam feito com 720 alunos da escola secundária
em nove institutos localizados nas cidades de Córdoba e Granada, na
Espanha, poderia ser útil a professores e pesquisadores de Educação
Matemática interessados em Análise Combinatória, conforme se pode
constatar pela seguinte citação:
Se apresenta, assim mesmo, um questionário para avaliar o raciocínio combinatório e os resultados obtidos ao aplicá-lo a uma amostra de 720 alunos de 14 e 15 anos. Esta informação pode ser útil a professores e pesquisadores em educação Matemática interessados por análise combinatória (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e GODINO, 1996, p. 1).
Nesse trabalho os autores apresentam algumas respostas a perguntas
que também permearam nossas dúvidas e reflexões quando pensamos iniciar
esta pesquisa. Eis as questões sugeridas por esses autores:
Neste trabalho se trata de proporcionar algumas respostas às seguintes perguntas: Que papel joga a Combinatória na Probabilidade e na Matemática Discreta? A aptidão combinatória é somente um instrumento matemático ou é um componente fundamental do raciocínio lógico? Quais variáveis de tarefa afetam os procedimentos e erros dos alunos ao resolver os problemas combinatórios? Como deveríamos considerar estas variáveis no ensino e avaliação? (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e GODINO, 1996, p. 1).
Segundo as conclusões obtidas pelos autores observa-se que quando
alunos e professores se deparam em resolver uma dada situação-problema de
contagem em que é preciso que utilizem mais do que uma operação
combinatória eles lançam mão, de imediato, de procedimentos que não foram
por eles facilmente compreendidos e de maneira inadequada, na busca de
obter a solução à situação proposta.
Por outro lado, pesquisas têm apontado para as dificuldades presentes
no trabalho que o professor desenvolve em sala de aula de maneira que seus
alunos venham a se apropriar dos conceitos e procedimentos de matemática,
desde as séries iniciais, conforme relatam Placha e Moro (2009):
Outro ponto a destacar nessas pesquisas refere-se ao que Piaget (1973) já assinalava como o principal problema do ensino da
93
Matemática: o ajuste entre as estruturas inteligentes da criança e o método utilizado pelo professor para o ensino dos conceitos. Conforme essa posição, é indispensável a intervenção do professor para, em sala de aula, levar os alunos à reflexão e à descoberta de noções, relações e propriedades matemáticas, fazendo-os, assim, evoluir sua compreensão dos conceitos trabalhados (PLACHA e MORO, 2009, p.7).
Concordamos com as autoras da citação acima em relação à
importância que o professor deva dar a seus alunos quanto à compreensão dos
conceitos e acrescentamos que esta compreensão deva ser apropriada pelo
próprio aluno com a mediação do professor, se necessária.
Quanto a essa questão, Placha e Moro (2009) assim se manifestam:
Um dos pontos que merece destaque neste quadro é a preocupação dos pesquisadores em conhecer, compreender e explicar o caráter ativo da aprendizagem de conteúdos matemáticos escolares, indicando a necessidade de uma aprendizagem matemática com compreensão dos conceitos (PLACHA e MORO, 2009, p.7).
Consideramos que as concepções que pesquisadores experientes de
Educação Matemática têm em pesquisar todas as etapas de ensino, dentre as
quais é possível que possam compreender aquelas que se encaminham para
uma “efetiva aprendizagem”19 independente do conteúdo que está sendo
desenvolvido, constituem-se de valioso material de pesquisa.
Também estão associadas às questões de pesquisa aquelas que levam
em conta identificar em quais situações de ensino houve, como se dá e de que
modo é possível considerar que houve, de fato, uma “aprendizagem
significativa20”.
Também questões de pesquisa em que possam ser identificadas e
confirmadas a aprendizagem quando são oferecidas condições ao aluno para
que ele mostre, seja por meio da resolução de situações-problema de
aprendizagem seja pelo conhecimento e análise de suas narrativas, sobre fatos
19 Pressupomos como “efetiva aprendizagem” àquela em que haja compreensão de significados que se relacionam a experiências anteriores e vivências pessoais dos alunos, as quais permitem o estabelecimento de diferentes relações entre fatos, acontecimentos, noções e conceitos, acarretando mudanças comportamentais que venham a contribuir para que utilize o que aprendeu em novas situações e problemas desafiadores. 20 Por “aprendizagem significativa” pressupomos aquela em que o aluno esteja sendo encaminhado para que possa ser capaz de tornar-se agente efetivo (partícipe) de sua aprendizagem, reunindo condições que permitam ao aluno poder apreender conhecimentos, habilidades, valores, formas de pensar e atuar e atitudes em nossa sociedade.
94
descritos ou ocorridos, seus conhecimentos, visão e compreensão do que lhe é
pedido opinar.
Nessas circunstâncias, e para isso, o aluno poderá vir a utilizar-se da
possibilidade de fazê-la na forma escrita, verbal ou gestual segundo a qual
permite ao pesquisador (ou professor) ser capaz de reconhecer ou não,
quando e como há apreensão de conceitos e quando estes têm significado
para o objeto da consulta a que o aluno esteja sendo submetido.
Corroborando com essas nossas concepções, Placha e Moro (2009)
assim se manifestam:
Pesquisas têm descrito uma real construção de conceitos em sala de aula quando o professor permite e incentiva as crianças a elaborar e utilizar estratégias próprias de cálculo na solução de problemas (Brito, 2001; Franchi, 1999; Kamii, 2005; Nunes & Bryant, 1997; Sinclair, 1990). Conforme Sinclair (1990), estratégias próprias de cálculo são os procedimentos originais, não canônicos, de cálculo mental, oral e escrito, elaborados pelas crianças na solução de problemas, perspectiva adotada neste estudo (PLACHA e MORO, 2009, p.7).
Mas, para a efetiva compreensão que permita identificar que a
aprendizagem tornou-se de fato efetiva segundo nossos pressupostos, a
postura do professor é imprescindível na condução dos dois processos: ensino
e aprendizagem, percorrendo longos caminhos por meio dos quais se passa da
concepção e da aplicação até a avaliação, em diferentes atividades propostas
para a sala de aula.
Sobre essas questões, assim se manifestam Placha e Moro (2009):
Nessa mesma linha, o papel do professor não mais se restringe evidentemente a transmitir conhecimentos prontos, mas, sobretudo, é o de provocar ou instigar as crianças a elaborar estratégias próprias de cálculo, para que façam sua construção conceitual. Piaget (1973b) já recomendava a necessidade de uma intervenção instigante do adulto para a elaboração espontânea da criança, em vez de lhe impor uma elaboração formalizada e pronta (PLACHA e MORO, 2009, p.7-8).
Não menos importante que as anteriores destacamos também que o
professor considere os conhecimentos e as experiências pessoais trazidas pelo
aluno à sala de aula e que a partir desses pressupostos ele possa colaborar -
enquanto mediador da aprendizagem - de modo a que o aluno possa se tornar
partícipe de sua própria aprendizagem.
95
Em relação a essa questão, tomemos as considerações de Starepravo
(1997) apud Placha e Moro (2009) a esse respeito, como a seguir:
Starepravo (1997) pontua que a ação mental é empobrecida quando as crianças recebem informações prontas e, em seguida, aplicam essas informações em exercícios escolares; a ação mental só ocorre quando a criança coloca o novo em relação com aquilo que já conhece e vivenciou (PLACHA e MORO, 2009, p.8).
De maneira a considerar aprendizagem significativa nos valemos das
considerações de Papert (1994) apud Placha e Moro (2009), a esse respeito:
Papert (1994) sublinha que a aprendizagem significativa ocorre a partir da solução de problemas e do estabelecimento de relações com as experiências vividas. O autor ressalta que os conhecimentos que as crianças têm devem conectar-se aos problemas propostos em sala de aula; caso contrário, a aprendizagem não será significativa (PLACHA e MORO, 2009, p.8).
Assim, em relação aos problemas de contagem a tônica no
desenvolvimento das atividades ao longo da sequência didática proposta foi o
lançamento de situações-problema para que os professores apresentassem a
solução (ou soluções).
Os professores também foram motivados a fazerem narrativas verbais e
por escrito nas quais pudera esclarecer os caminhos percorridos até a
obtenção destas soluções, sem que o pesquisador, anteriormente, tenha
resolvido quaisquer situações similares com as quais eles pudessem se
espelhar como exemplo, o que caracterizaria ações de mera repetição de
procedimentos as quais, naturalmente, não contribuem para uma
aprendizagem significativa.
Entendemos que procedimentos análogos a estes podem/devem ser
ofertados aos alunos em sala de aula em conjunto com a sugestão de que os
alunos lancem mão de alguma representação apropriada à situação proposta e
que dê conta da solução obtida.
Por conta disso nos valemos mais uma vez da citação de Starepravo
(1997), apresentada acima, independente de os exercícios a que se refere a
autora sejam, ou não, problemas de contagem para concordar com ela.
Consideramos uma posição que define visão avançada em relação aos
processos de ensino e de aprendizagem, caracterizada por resultados de
pesquisa e com a qual também fizemos uso no desenrolar das atividades
96
propostas aos professores na sequência didática desta investigação. Também
a sugerimos ao grupo de professores de maneira que também fizessem uso
dela junto a seus alunos, quando considerassem oportuno.
Entendemos que o “novo” a ser colocado - segundo Starepravo (1997) –
em se tratando de problemas de contagem seria uma nova situação-problema
que desafie o aluno a avançar nos seus conhecimentos na descoberta de
novos agrupamentos de objetos a partir daqueles que já conhece, a partir de
situações que enfrentou antes.
Com o propósito de conhecer como as crianças dos anos iniciais do
Ensino Fundamental apresentam as soluções de problemas de contagem por
meio do Produto Cartesiano, analisamos os resultados de uma pesquisa, como
a seguir.
Quanto ao trabalho intitulado “Problemas de Produto Cartesiano,
raciocínio Combinatório e Intervenção do Professor”, Placha e Moro (2009), o
objetivo foi o de “descrever a natureza das soluções de crianças a problemas
de produto cartesiano conforme níveis de raciocínio combinatório ali implicado,
para identificar a aprendizagem ocorrente e a natureza das intervenções de
ensino”.
Participaram da pesquisa cinco crianças de nove anos, alunas da 3ª
série de uma escola municipal.
As autoras “identificaram os seguintes níveis de solução: resposta
contextualizada sem indício de combinação, primeiras aproximações à solução
combinatória, obtenção de algumas combinações e presença de solução
combinatória”.
As mesmas autoras fizeram as seguintes indicações para professores e
pesquisadores da área de Educação Matemática:
[...] a relevância das estratégias de solução próprias das crianças, em particular suas interpretações a respeito de quando aprendem matemática na escola. [...] dá força à ideia de que, nas séries iniciais do Ensino Fundamental, deve-se trabalhar com problemas de produto cartesiano para ativar o raciocínio combinatório e sempre com base no patamar de compreensão em que as crianças se encontram. [...] sublinha a provável importância e a necessidade de os professores conhecerem o conceito matemático com o qual trabalham, e os patamares de sua construção, para que possam auxiliar seus alunos
97
nessa construção em situações de aprendizagem (PLACHA e MORO, 2009, p.15).
No trabalho intitulado “Psicogênese do raciocínio combinatório e
problemas de produto cartesiano na Escola Fundamental”, Soares e Moro
(2006), com o objetivo de verificar a possibilidade de descrição psicogenética
do raciocínio combinatório, descreveram níveis e sub-níveis da construção
inicial do raciocínio combinatório de alunos de 5ª e de 6ª série do Ensino
Fundamental.
O trabalho contou com a participação de sessenta alunos pertencentes a
uma escola pública localizada na periferia de uma grande cidade, sendo trinta e
um deles da 5ª série e vinte e nove da 6ª série, com idades entre 10 anos e 7
meses e 11 anos e 11 meses, na resolução de quatro problemas.
Esses problemas envolvem ideias de produto cartesiano com duas e
com três variáveis; dados com valores numéricos pequenos e grandes e
contendo ou não valores distratores (valores que não fazem parte dos dados
utilizados para resolver a questão), distribuídos entre eles.
Para a análise dos resultados obtidos pelos alunos, as autoras
categorizaram quatro níveis de construção de raciocínio combinatório, a saber:
ausência de solução combinatória; primeiros indícios de soluções
combinatórias; alguma aproximação de soluções combinatórias e presença de
soluções combinatórias.
Desse modo, as autoras puderam quantificar as frequências e os
percentuais das soluções apresentadas pelos participantes em cada um dos
níveis de raciocínio combinatório que haviam categorizado e os resultados
revelaram indícios de relação negativa entre o avanço na escolaridade
(soluções de nível mais adiantado obtidos na 5ª série e não na 6ª série).
Mas, segundo as autoras, esses “indícios são muito perturbados pela
alta incidência de soluções de nível 1, ou seja, de ausência de solução
combinatória em ambas as séries, independentemente do problema, com
percentuais que variaram de 60,0% a 82,8%” (SOARES e MORO, 2006).
Por outro lado, ressaltam as autoras: “não são claros os indícios de
relação entre níveis de solução e tipo de problema trabalhado, pois, para
98
qualquer um deles há percentuais relativamente altos de soluções
correspondentes ao nível 1”.
Por fim, as autoras destacam os limites do estudo relatado e de seus
resultados, tais como “a amostra restrita, de grupos pequenos de alunos de 5ª
e 6ª série, escolhidos por conveniência”.
As autoras concluem “ser necessário um trabalho escolar com
problemas de produto cartesiano desde as séries iniciais, devendo ocorrer em
um crescendo entre séries em atenção ao seu significado matemático
específico, como circunstância de construção do raciocínio combinatório, entre
outras relações significativas ao desenvolvimento cognitivo do aluno, com
prováveis reflexos em outras áreas de sua aprendizagem escolar”.
No trabalho intitulado “O que dizem estudos recentes sobre o raciocínio
combinatório”, Borba et al (2009), apontam que, segundo os estudos revisados,
há:
[...] a necessidade de maior investimento na formação de professores quanto ao ensino e a aprendizagem de conceitos combinatórios, de modo a possibilitar que conhecimentos intuitivos de alunos sejam identificados e explorados no ensino formal da Análise Combinatória e não apenas a exploração de fórmulas. Livros didáticos e outros recursos precisam ampliar os tipos de problemas abordados – em situações significativas aos alunos – e mais orientações se tornam necessárias para que professores saibam como melhor explorar as situações propostas em manuais e em recursos tecnológicos, como softwares educativos. Sendo relativamente baixo o número de estudos sobre raciocínio combinatório, realizados em eventos recentes da área de Educação Matemática, torna-se necessário que mais estudos sejam realizados, dada a importância deste raciocínio no desenvolvimento lógico-matemático dos alunos (BORBA et al, 2009, p.11-12).
No trabalho intitulado “A Compreensão do Raciocínio Combinatório por
alunos do 2º Ano do Ensino Fundamental ao 3º Ano do Ensino Médio”, Pessoa
e Borba (2009), o objetivo foi o de analisar a compreensão dos alunos do 2º ao
12º ano de escolarização sobre problemas que envolvem o raciocínio
combinatório.
O estudo contou com a participação de 412 alunos de quatro escolas,
sendo duas delas públicas e duas delas particulares, de três níveis distintos de
escolarização, a saber: 2º ao 5º Ano do Ensino Fundamental, 6º ao 9º Ano do
Ensino Fundamental e 1º ao 3º ano do Ensino Médio, que resolveram,
individualmente, uma ficha contendo oito problemas, envolvendo o raciocínio
99
combinatório (dois de cada tipo: produto cartesiano, combinação, arranjo e
permutação).
Segundo as autoras:
[...] os quatro primeiros problemas envolviam números que levavam a maior número de possibilidades na solução e os quatro últimos envolviam menos possibilidades, de modo que em cada tipo de problema o aluno entrava em contato com problemas de maiores e de menores possibilidades envolvidas (PESSOA e BORBA, 2009, p.6).
Os resultados do estudo de Pessoa e Borba (2009) apontam que:
A análise aqui efetuada evidencia que alunos dos anos iniciais aos dos anos finais do Ensino Básico são capazes de compreender problemas de raciocínio combinatório e que seus desempenhos são influenciados pelo tipo de escola que frequentam, pelo período de escolarização, pelo tipo de problema combinatório que estão resolvendo (e implicitamente pelas propriedades e relações envolvidas em cada tipo de problema), pela forma de representação simbólica utilizada para a resolução das situações, bem como pela ordem de grandeza dos números envolvidos. Diante do que foi observado, pode-se concluir que antes da introdução formal ao raciocínio combinatório, alunos desenvolvem compreensões sobre problemas dessa natureza, ora influenciados pela escola (principalmente no caso dos problemas de produto cartesiano – trabalhados explicitamente nas séries iniciais), ora como resultado de experiências escolares implícitas e/ou extra-escolares (como no caso de alguns problemas de combinações, arranjos e permutações – não trabalhados explicitamente nas séries iniciais) (PESSOA e BORBA, 2009, p.11).
As autoras prosseguem, ainda, em suas conclusões:
As diferentes formas de representação simbólica apresentadas pelos alunos refletem as diferentes maneiras de pensar sobre um mesmo problema. É importante que a escola esteja atenta a estas representações e as levem em consideração no trabalho com estes e outros tipos de problemas. Ou seja, eles desenvolvem interessantes estratégias que devem ser aproveitadas pela escola para ajudá-los a avançar na compreensão dos diversos tipos de problemas e no seu desenvolvimento conceitual. Torna-se, assim, necessário que a escola atente que, se nos currículos e livros-texto estes outros tipos de problemas já foram introduzidos nas séries iniciais, é preciso na formação inicial e continuada dos professores destacar estes outros problemas de Análise Combinatória, refletindo sobre suas características e particularidades. A maior parte dos alunos começa tentando buscar uma compreensão do problema, sendo a maior dificuldade a de esgotar todas as possibilidades que o problema solicita. Nesse sentido, a escola deve discutir o esgotamento de possibilidades em seu trabalho de raciocínio combinatório, possibilitando um maior desenvolvimento dos alunos na compreensão destas situações (PESSOA e BORBA, 2009, p.11-12).
No trabalho intitulado “O ensino de análise combinatória: a prática
pedagógica predominante segundo os docentes”, Pinheiro e Sá (2007) relatam
os resultados obtidos em uma investigação realizada com 20 professores de
100
Ensino Médio de Belém do Pará a qual utilizou como instrumento de coleta de
dados um questionário fechado contendo informações sobre dados pessoais,
formação acadêmica e os procedimentos metodológicos desenvolvidos pelos
sujeitos da pesquisa durante as aulas que ministram.
A questão considerada base para a pesquisa foi: Qual é a prática
pedagógica predominante no ensino de análise combinatória no Ensino Médio?
Como resultados obtidos, os autores relatam que: “a maior parte deles
indicou que a sua prática predominante era partir de definições e, em seguida,
apresentam exemplos, propriedades e exercícios”.
Segundo os autores, “mesmo tendo participado de cursos de formação
continuada, utilizam-se de métodos formais nas aulas de análise combinatória”.
Concluindo, os autores advertem que “mesmo alguns professores tendo
apontado a resolução de problemas ou a modelagem no desenvolvimento da
aula de análise combinatória, ainda é muito forte a tendência de apresentar
fórmulas e, a seguir, aplicações das mesmas”.
No trabalho intitulado “Investigando a aprendizagem de análise
combinatória simples em uma turma de licenciandos em Matemática submetida
a uma prática de ensino tradicional”, Rocha (2007) relata os resultados obtidos
durante investigação que foi realizada com o objetivo de identificar a
compreensão que os alunos de um curso de Licenciatura em Matemática têm
em relação aos conceitos de análise combinatória.
Segundo a autora, os conceitos são “considerados simples” por ela,
quais sejam: o princípio multiplicativo, o princípio aditivo, arranjos,
combinações e permutações, “por se acreditar serem noções exploradas em
qualquer curso de combinatória simples, acompanhando esse avanço ao longo
de uma prática tradicional de ensino”.
O estudo contou com a participação de 17 alunos do sexo masculino
com idades entre 18 e 27 anos, mas apenas 10 deles participaram de todos os
processos da intervenção. Foi elaborado um pré-teste contendo cinco questões
de combinatória para tornar possível a comparação com os resultados finais.
101
Segundo a autora, “os resultados do pré-teste indicam que apesar de
haver uma quantidade significativa de tentativas para resolver os problemas
propostos, os participantes obtiveram um resultado bem inferior ao esperado
para uma turma de futuros professores (dois sujeitos acertaram uma questão
enquanto outro aluno apenas duas)”.
Estes tinham dificuldades em definir ou exemplificar noções básicas da
combinatória (apenas 20% conseguiram enunciar corretamente o Princípio
Multiplicativo ou as noções de Arranjo ou Combinação).
Os estudos, analisados quanto ao viés da formação e prática docente de
professores, evidenciam, segundo a autora, “a necessidade de uma formação
mais aprofundada em análise combinatória para que, ao invés de uma prática
baseada exclusivamente em aplicação de fórmulas – muitas vezes não
compreendidas – haja um ensino amparado em princípios da combinatória que
auxiliem os alunos na resolução de problemas desta natureza”.
Finalizamos o capítulo sintetizando para o leitor o que foi apresentado:
inicialmente um recorte das pesquisas de Shulman (1986, 1987) acerca dos
conhecimentos necessários ao professor para o desempenho de sua prática,
acerca da importância da postura do professor reflexivo segundo pressupostos
de Zeichner (1993, 2003, 2008), sobre os componentes básicos da Matemática
como atividade humana segundo Tall e Vinner (1981) relativamente à imagem
conceitual e de Fischbein (1994) acerca dos aspectos intuitivo, formal e
algorítmico da atividade matemática, bem como acerca de aspectos
associados à Enculturação Matemática, segundo Bishop (1997) e, por fim, um
resumo acerca das pesquisas sobre ensino e aprendizagem com problemas de
contagem que utilizamos como referenciais para esta pesquisa.
O capítulo seguinte será destinado a apresentar um histórico acerca do
aparecimento dos problemas de contagem em currículos da Educação Básica
e em orientações curriculares nacionais, de maneira a situar quando e como
esse conteúdo deverá ser desenvolvido no Ensino Fundamental e no Ensino
Médio.
102
3. PROBLEMAS DE CONTAGEM EM CURRÍCULOS DA EDUCAÇÃO
BÁSICA
Neste capítulo apresentamos uma análise a respeito da presença dos
Problemas de Contagem ou Análise Combinatória desde o início do século XX
até o atual Currículo da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
(2010).
Mostramos, assim, como esse conteúdo esteve presente em currículos
prescritos de São Paulo para a Educação Básica nas últimas sete décadas.
Observamos que esse tema foi indicado para ser desenvolvido inicialmente
somente no Ensino Médio e, após os meados da década de 1980, foi indicado
também no Ensino Fundamental.
Essa análise tem como propósito identificar concepções reinantes em
relação ao ensino e à aprendizagem destes conteúdos nos currículos de
matemática do Estado de São Paulo, em cada época. É importante assinalar
que esse estudo dos currículos nos trouxe elementos para a elaboração da
sequência de ensino.
O estudo das propostas curriculares do Estado de São Paulo pode ser
justificado pelo fato de que os nossos sujeitos pesquisas são professores da
rede pública estadual paulista e estão incumbidos de implementar o Currículo
de Matemática, divulgado a partir das orientações curriculares apresentadas
desde 2008 e vigente desde 2010. Pudemos constatar que princípios desse
novo Currículo foram influenciados por currículos anteriores da mesma rede
estadual de ensino.
A primeira das seções deste capítulo inicia-se por breve apresentação
das reformas educacionais ocorridas no Brasil desde o início do século XX até
a presente Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDBEN de 1996.
Em prosseguimento, fazemos considerações acerca do trabalho de com
a Análise Combinatória – particularmente os problemas de contagem –
prescrito pelos PCN para ser desenvolvido na Educação Básica desde a 3ª
Série/4º Ano do Ensino Fundamental (BRASIL, 1997), ao longo da 5ª Série até
103
a 8ª Série do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), até o Ensino Médio (Brasil,
1999).
Finalmente, analisamos as sugestões do Currículo de São Paulo (2010)
para o desenvolvimento de atividades e a apreensão dos conceitos
relacionados aos problemas de contagem.
3.1 Reformas do ensino secundário
Iniciamos essa sessão pela identificação de aspectos gerais
relacionados às Reformas Educacionais ocorridas no Brasil após 1930 de tal
modo, indicando desde quando e como, a análise combinatória (problemas de
contagem) foi proposta para a Educação Básica.
Na Reforma de ensino de 1919, no 3º ano, tem-se a reintrodução da
Álgebra Superior com os seguintes tópicos: Equações exponenciais; Análise
combinatória: arranjos, combinações, permutações; Binômio de Newton.
Triângulos de Tartáglia ou de Pascal. Aplicações do 1º grau, homogêneos;
Séries Convergência das séries. Desenvolvimento em séries. Estudo sumário
das séries ax. e x.lg (1+ x). Nos programas de ensino de 1920, 1921,
1922,1923, 1924 e 1925, Análise combinatória permanece. Em 13 de janeiro
de 1925 houve uma reforma no ensino e seu programa só foi adotado no
Colégio Pedro II em 1926.
No programa de ensino de 1927, análise combinatória permanece e, em
1928, foram acrescentadas: Noções sobre análise combinatória. Binômio de
Newton. Houve mais uma reforma no programa de ensino do Colégio Pedro II em
1929, defendida por Euclides Roxo desde 1928 junto à Congregação do Colégio
Pedro II, mantendo o conteúdo de combinatória.
Nos últimos anos da década de 1920 acentuava-se uma crise de
desenvolvimento político, econômico e social. Um dos aspectos que deu rumo
a essa crise foi o movimento iniciado no Sul do país em outubro de 1930 e que
acabou por derrubar o governo do Presidente Washington Luiz.
Segundo Romanelli (2001):
Na verdade, o que se convencionou chamar Revolução de 1930 foi o ponto alto de uma série de revoluções e movimentos armados em
104
que, durante o período compreendido entre 1920 e 1964, se empenharam em promover vários rompimentos políticos e econômicos com a velha ordem social oligárquica. Foram esses movimentos que, em seu conjunto e pelos objetivos afins que possuíam, iriam caracterizar a Revolução Brasileira, cuja meta maior tem sido a implantação definitiva do capitalismo no Brasil. Por meio desses movimentos e sobretudo por meio da Revolução de 30, o que se procurou foi um reajustamento Constant dos setores novos da sociedade com o setor tradicional, do ponto de vista interno, e destes dois com o setor internacional, do ponto de vista externo (ROMANELLI, 2001, p. 47).
A Revolução de 1930 pôs fim à Primeira República e caracterizou-se por
dar por acabada a hegemonia da burguesia produtora de café. Essa burguesia
volta-se a partir de então para participar intensamente da vida política do país e
acabam por promover intensa revolução na cultura e na educação,
influenciando decisivamente para a implantação da Reforma Francisco
Campos.
Getúlio Vargas ao tentar construir uma democracia de bases populares
faz concessões tanto à classe média como ao proletariado. Assim, há uma
adequação de sua administração às exigências de modernização e autonomia
do campo educacional manifestadas pelos intelectuais da ABE. Desse modo,
em 1930 é criado o Ministério da Educação e Saúde, cujo primeiro ministro foi
Francisco Campos.
Em fins de 1930, já com Getúlio Vagas como Presidente da República,
na tentativa de estabelecer condições administrativas que pudessem
representar apoio ao novo regime, em 14/11/1930, através do Decreto nº
19.402, foi criado o Ministério dos Negócios da Educação e Saúde Pública.
Por volta de 1931, e desde então, foram instituídos diversos Decretos
com o intuito de organizar o sistema de educação vigente e estabeleceu-se
nova reforma de ensino que acabou por culminar com a chamada Reforma
Francisco Campos – Decreto nº 19.890 de 18/4/1931.
Conforme Romanelli (2001) foram estes os seguintes Decretos que
substanciaram a referida Reforma:
1. Decreto nº19.850, de 11 de abril de 1931: Cria o Conselho Nacional de Educação. 2. Decreto nº19.851, de 11 de abril de 1931: Dispõe sobre a organização do ensino no Brasil e adota o regime universitário. 3. Decreto nº 19.852, de 11 de abril de 1931: Dispõe sobre a organização da Universidade do Rio de Janeiro. 4. Decreto nº19.890, de 11 de abril de 1931: Dispõe sobre a organização do ensino secundário. 5. Decreto nº 20.158, de 30 de junho de 1931:
105
Organiza o ensino comercial, regulamenta a profissão de contador e dá outras providências. 6. Decreto nº 21.241, de 04 de abril de 1932: Consolida as disposições sobre a organização do Ensino Secundário. (ROMANELLI, 2001, p. 131).
A Reforma Francisco Campos definiu o ensino secundário em dois
ciclos: curso fundamental (cinco anos de duração, com o objetivo de
proporcionar formação básica geral) e cursos complementares (cursos
propedêuticos, dois anos de duração, com o objetivo de permitir que os alunos
reunissem condições de poderem fazer suas escolhas aos cursos superiores e
suas especificidades profissionais, após obterem diploma relativo a todo o
ensino secundário) (PAVANELLO, 1989).
Com a Reforma Francisco Campos e a Portaria Ministerial que
regulamentou a referida reforma no tocante à Matemática apareceu a disciplina
Matemática para unificar as disciplinas – então separadas – Aritmética, Álgebra
e Geometria, sendo obrigatória em todas as séries do Ensino Fundamental e
facultativa em uma das duas séries dos cursos complementares.
Na reforma de Francisco Campos os currículos e programas são
rigidamente prescritos, especialmente no ensino secundário. É criado,
inclusive, um sistema centralizado e rígido de fiscalização. Inspetores federais,
por exemplo, foram encarregados de visitar escolas para inspecionar alunos,
professores e diretores (Moreira, 1995).
A portaria de 30/06/31 que regulamenta o decreto 19.980 de 18 de abril
de 1931 estabelece os programas relativos às diferentes disciplinas e as
respectivas “Instruções Pedagógicas”. Quanto à matemática determina que
esta:
[...] será sempre considerada como um conjunto harmônico cujas partes estão em viva e íntima correlação. A acentuação clara dos três pontos de vista - aritmético, algébrico e geométrico - não deve, por isso estabelecer barreiras intransponíveis que impeçam o estudante de perceber as conexões entre aquelas disciplinas (BICUDO, 1942).
É justamente na tentativa de estabelecer a unidade entre os vários
ramos da Matemática que o ensino dessa disciplina passa a ser entregue a um
só professor, que deve se encarregar, em cada série, de desenvolver o ensino
dos vários assuntos, sempre que possível integradamente (Pavanello, 1989).
106
Em relação às orientações pedagógicas, a reforma Francisco Campos
considera que:
A exposição da matéria e a orientação metodológica, entretanto, devem subordinar-se, sobretudo nas séries inferiores, às exigências da pedagogia, de preferência aos princípios puramente lógicos. Ter-se-á sempre em vista, em cada fase do ensino o grau de desenvolvimento mental do aluno e os interesses para os quais tem-se maior inclinação. O ensino se fará, assim, pela solicitação constante da atividade do aluno (método heurístico), de quem se procurará fazer um descobridor e não um receptor passivo de conhecimentos. Daí a necessidade de se renunciar completamente à prática de memorização sem raciocínio, ao enunciado abusivo de definições e regras e ao estudo sistemático das demonstrações já feitas (PIETROPAOLO, 1999).
Apenas o programa de ensino de Matemática sofreu alterações na
Reforma Francisco Campos, em relação ao programa utilizado no Colégio
Pedro II, em 1930.
Pelo Decreto de 1932 (consolidava as disposições sobre a organização
do ensino secundário proposto no Decreto de 1931) o programa de Matemática
e suas respectivas instruções pedagógicas permaneciam os mesmos daqueles
instituídos na Portaria Ministerial nº 19.890 de 30 de junho de 1931.
O programa de ensino, em relação ao Decreto de 1931, foi expedito em
junho daquele ano e só passou a vigorar no Colégio Pedro II no ano de 1932.
O Decreto nº 21.241 de 1932 fez pequenas alterações em relação à
Portaria de 1931 quanto à elaboração dos programas. Foi mantido o mesmo
programa de ensino, a saber:
Art. 10 – os programas do ensino secundário, bem como as instruções sobre os métodos de ensino, expedidos pelo Ministério da Educação e Saúde Pública, serão revistos, de três em três anos, por uma comissão designada pelo Ministro.
§ 1. À comissão de que trata este artigo serão remetidas as propostas elaboradas pela Congregação do Colégio Pedro II, bem como os resultados de inquéritos realizados pelo Departamento Nacional do Ensino entre os professores dos estabelecimentos equiparados e sob o regime de inspeção (BRASIL, 1942).
Segundo o Decreto os colégios equiparados ao Colégio Pedro II e sob o
regime de inspeção participariam da elaboração dos programas de ensino.
Pelo Decreto de 1931, tal privilégio era somente do Colégio Pedro II.
Quando se compara o programa de matemática estabelecido na
Reforma Francisco Campos com o programa de ensino de 1930 - elaborado
107
pela Congregação do Colégio Pedro II -, afirmamos que este programa adotou
todas as ideias modernizadoras da proposta do Colégio Pedro II em relação à
Matemática.
Em 9 de abril de 1942 a Lei Orgânica do Ensino Secundário – decreto-lei
n° 4.244 – que pretendia “o prosseguimento do trabalho de renovação e
elevação do ensino secundário no país” modificou a estrutura deste curso:
continuava a ter dois ciclos, porém o primeiro – denominado de curso ginasial –
passou a ter quatro anos enquanto que o segundo – subdividido em científico
ou clássico – três anos.
O Ministro da Educação Gustavo Capanema, em 1943 também
empreendeu diversas reformas em relação aos programas de diversos custos.
Os programas de Matemática apresentavam algumas diferenças em relação
aos de 1931. Não foram publicadas, por exemplo, as “Instruções Pedagógicas”.
As preocupações metodológicas podem ser reveladas, na exposição de
motivos que precede a lei Orgânica do Ensino Secundário. Quanto ao ensino
de Matemática e Ciências, nesse documento, pode-se destacar:
A reforma coloca o problema do estudo das ciências em termos convenientes. No curso ginasial, a Matemática e as Ciências Naturais serão estudadas de modo elementar.
Seria antipedagógico sobrecarregar os alunos dessa primeira fase de estudos secundários, com estudos científicos aprofundados (BRASIL, 1943).
Os estudos seriam aprofundados no 2° ciclo, como:
Posteriormente, no curso clássico e no curso científico, far-se-á das ciências estudo mais acurado. Terá o estudo da Matemática, da Física, da Química, da Biologia no curso científico maior desenvolvimento e profundidade do que no curso clássico. Não deverá, porém, esse estudo ser tão abundante e minucioso no curso científico que possa tornar-se inconveniente demasia, nem de tal modo reduzido no curso clássico, que não baste à formação de uma cultura científica adequada aos fins do ensino secundário (BRASIL, 1943).
Ainda quanto ao ensino de Matemática e Ciências nos cursos clássico e
científico, fazia-se a seguinte advertência na exposição dos motivos que
precediam a Lei Orgânica:
Ao estudo das ciências num e noutro caso, orientará, sempre o princípio de que não é papel do ensino secundário formar extensos conhecimentos, encher os espíritos adolescentes de problemas e demonstrações, de leis e hipóteses, de nomenclatura e classificações, ou ficar na superficialidade, na
108
memorização de regras, teorias e denominações, mas cumpre-lhe essencialmente formar o espírito científico, isto é a curiosidade e o desejo da verdade, a compreensão da utilidade dos conhecimentos científicos e a utilidade desses conhecimentos. Está claro que será mais difícil ensinar, desse modo, as Ciências (BRASIL, 1943).
Contraditoriamente a estas advertências, as listas de conteúdos são
muito mais extensas e detalhadas que as da reforma anterior, tornando os
programas inexequíveis. Percebe-se também, pela análise dos desses a
prevalência de uma característica marcante em todos os currículos oficiais de
Matemática incluindo os mais recentes: a organização linear dos conteúdos.
Na reforma Francisco Campos havia, pelo menos, uma preocupação
bastante explícita de se trabalhar os grandes temas da Matemática - aritmética
álgebra e geometria - em todas as séries, enquanto que na reforma Capanema
não tínhamos sequer isso.
Relativamente aos programas de Matemática, a Reforma Capanema
(1942) eliminou o ensino de conceitos da aritmética, álgebra e geometria por
meio da noção de função, o que representou um retrocesso de ideias de
Euclides Roxo, implementadas na Reforma Francisco Campos de 1931.
Segundo Pietropaolo (1999), as críticas à reforma Capanema em
relação ao ensino secundário eram de que ela não só não conseguia atenuar a
seletividade que permeava esse ramo do ensino como a acentuava, uma vez
que reforçava, e muito, o caráter acadêmico e propedêutico, principalmente do
ensino de Matemática. Essas críticas se intensificaram muito no fim dos anos
40 e início dos 50. O Padre Arlindo Vieira, em 1949 (apud Pietropaolo (1999)),
registrava:
[...] que o vício radical do nosso ensino, que o torna de todo ineficiente, está principalmente na multiplicidade de disciplinas em cada série e na desmedida extensão dos programas de Matemática e Ciências (VIEIRA, 1949).
Nesse clima de descontentamento, Simões Filho, Ministro da Educação
em 1951, atribuiu ao Colégio Pedro II a tarefa de elaborar novos programas
que priorizassem o “descongestionamento dos programas oficiais do ensino
secundário” e que tivessem uma “certa plasticidade a ajustar-se às
diferenciações regionais” (Nóbrega, 1952).
109
Como subsídios para a tarefa foram encaminhados, à congregação os
trabalhos de uma Comissão instituída pela portaria n 456, de 27 de fevereiro de
1951 de modo que os novos programas fossem elaborados de acordo com as
finalidades do ensino secundário.
Um dos objetivos apregoados pela Portaria de 1951 para o ensino da
matemática é que esse ensino deve
[...] desempenhar um papel preponderante como objeto de cultura, instrumento de trabalho e fator de aperfeiçoamento mental.
[...]desenvolver paulatinamente no aluno a capacidade de julgamento, o hábito de concisão e rigor na expressão, a intuição, agilidade de ação e de raciocínio e, também a atenção e a presteza para compreender, reter e elaborar (BRASIL, 1951).
A Portaria Ministerial nº 966 de 2/10/1951 estabeleceu o termo
“Programa Mínimo” para determinar que cada estado da federação elaborasse
seu próprio plano de ensino adequando-os às suas particularidades e
especificidades tomando por base a simplificação dos programas vigentes até
aquela ocasião através de programas mínimos estabelecidos para cada
disciplina.
Os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos na escola secundária
divulgados pela Portaria 1.405 de 14 de dezembro de 1951 não diferiam
substancialmente dos do programa anterior e menos ainda a ordem dos itens.
A distribuição dos temas fundamentais da Matemática pelas diversas séries –
aritmética, álgebra e geometria – é que se modificou um pouco.
Ao contrário da Lei Orgânica do Ensino Secundário que não possuía
Indicações Pedagógicas em seus programas, a Portaria de 1951 trouxe
algumas recomendações metodológicas consideradas - mesmo hoje - como
adequadas e interessantes embora não constituíssem novidade, uma vez que
a maioria delas constava dos currículos da Reforma de Francisco Campos.
O texto referente às Instruções Pedagógicas indica, por exemplo, que o
ensino, principalmente nos primeiros anos do curso ginasial, deveria ter um
caráter essencialmente prático e intuitivo - o que é resgatado nas atuais
propostas. O método dedutivo deveria ser introduzido apenas ao final do
110
ginásio “com o cuidado que exige” e, na medida em que “o aluno for
percebendo a necessidade da justificativa, da prova e da demonstração”.
Sugere-se, também, ter “sempre presente que o ensino não depende da
disciplina em si, mas principalmente, do aluno ao qual se ensina” e que “o que
importa não é ensinar muito, mas ensinar bem”. Pela primeira vez em
documentos oficiais declara-se que as ações em sala de aula deveriam levar
em conta que a “Matemática não é lógica pura”.
Essas recomendações de ordem metodológica da Portaria de 1951 são
muito interessantes principalmente se levarmos em conta o crescimento da
escola secundária, na época.
Em relação à Matemática, o programa mínimo de matemática para o
Curso Colegial proposto por essa Portaria já indicava os conteúdos de “Noções
sobre análise combinatória” para serem trabalhados na 2ª série – álgebra, tanto
para o programa de matemática do curso clássico quanto para o curso
científico, com o uso do livro didático de matemática 2.
Quanto aos programas de matemática dos cursos complementares,
indicavam para o pré-médico “complementos de análise combinatória” e pré-
politécnico “Análise Combinatória.Teoria e Aplicações”.
Com a promulgação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
– LDBEN, Lei nº 4.024 de 20/12/1961, foi definido que haveria a
descentralização do sistema educacional com a criação dos Sistemas
Estaduais de Ensino mantendo-se a estruturação tradicional do ensino e as
organizações curriculares conforme a legislação anterior. Segundo o Art. 35, os
currículos e programas para o Ensino Médio não mais seriam fixados por
organismos componentes da esfera federal (exceto no estabelecimento de um
Núcleo Comum de matérias).
Especificamente em São Paulo, em consonância com a Lei de Diretrizes
e Bases, a Secretaria da Educação de São Paulo divulgou em 1965 as
“sugestões para um roteiro de programas para a cadeira de Matemática” que
pouco alterava os programas da Portaria de 1951, embora as escolas paulistas
estivessem implementando a Matemática Moderna.
111
Nos países desenvolvidos a discussão sobre a necessidade de uma
reforma radical do ensino de Matemática começou bem antes: início dos anos
50. Em 1952, matemáticos conceituados franceses como Dieudoné,
Lichenerowicz e Choquet reuniram-se com filósofos suíços para discutir o
ensino de Matemática nas escolas elementares. Na mesma época, os belgas
também colocaram em ação algumas de suas ideias.
A reconstrução pós-guerra trouxe a modernização industrial para a
ordem do dia. A Matemática Moderna inscreveu-se, desse modo, muito
claramente, numa política de formação a serviço da modernização econômica.
Por outro lado, esse Movimento foi também impulsionado pelas elites
ocidentais que estavam preocupadas com seu suposto atraso científico e
tecnológico, após o lançamento, em outubro de 1957, do Sputnik pelos russos.
Assim, os anos 60 foram marcados por influências advindas do
Movimento da Matemática Moderna – MMM – no cenário nacional e estavam
relacionadas com a elaboração de novas referências acerca do ensino da
matemática em todos os níveis de ensino, apoiando-se nos conceitos
relacionados com a Teoria dos Conjuntos, Estruturas Matemáticas e a Lógica
Matemática.
O objetivo claro de tais influências era o de que a Matemática devesse
ser apresentada segundo uma forma axiomatizada que unificasse todos os
seus ramos através do uso de uma linguagem precisa e que tomasse por base
axiomas e resultados obtidos por meio dos procedimentos advindos da lógica
clássica segundo rigorosas justificativas matemáticas.
Foi neste contexto que as mudanças para o ensino da Matemática
ocorreram no Brasil nos 60 até meados de 70. A inserção dos matemáticos
brasileiros e professores no Movimento da Matemática Moderna é facilmente
verificável: praticamente todos os livros publicados no período sobre
Matemática - didáticos ou não - estavam totalmente imbuídos no espírito dessa
reforma.
A partir das discussões relacionadas com o MMM foi fundado o Grupo
de Estudos do Ensino de Matemática – GEEM em São Paulo, integrado
majoritariamente por matemáticos e professores de matemática.
112
Entre as preocupações dominantes nas discussões neste grupo estavam
as que se referiam a discutir aspectos relacionados tanto à formação de
professores quanto à presença de conteúdos de Matemática nas estruturas
curriculares, bem como a ampla divulgação de pressupostos e questões
conceituais relacionados ao MMM.
Ressalte-se que em relação ao “Programa Moderno de Matemática para
o Colegial” – ainda na 2ª Série – o primeiro dos tópicos diz respeito a “Análise
Combinatória e o Binômio de Newton e continha os seguintes tópicos: Análise
Combinatória Simples; Noção de Probabilidades; Binômio de Newton”.
Ou seja, em relação à proposta curricular de 1951 o GEEM acrescenta a
partir de 1965 (2ª edição do livro) a sugestão de trabalhar com “Noção de
Probabilidades” mantendo o conteúdo de Análise Combinatória Simples.
Ao longo do regime político caracterizado pela ditadura militar –
instaurado após o golpe militar de agosto de 1964 – duas reformas foram
implantadas: uma Reforma Educacional – a Lei de nº 5.540 de 1968 - que
reformulou e reestruturou a gestão das Universidades Federais e outra
relacionada com o Ensino Básico – a Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional – LDBEN – a Lei de nº 5.692 de 11/8/1971.
A LDBEN estruturou o sistema nacional de ensino básico fixando
diretrizes e bases para o recém-criado ensino de 1º Grau (correspondente à
junção dos cursos primário e ginasial, num total de oito anos de escolaridade,
obrigatório a todos com idades de 7 a 14 anos, extinguindo-se o exame de
admissão até então obrigatório) e para o 2º Grau (correspondente ao ensino
médio, com duração de três ou quatro anos).
Essas reformas estabeleceram um paradigma da política educacional
em relação ao estabelecimento ideológico de adequação desta política com o
objetivo de atender às transformações que ocorriam na estrutura econômica do
país de modo que o sistema educacional se adequasse às necessidades da
expansão do capitalismo.
A partir de então - em relação ao Ensino Médio – foi “mantida uma visão
utilitarista”, pois este segmento de ensino passou “a ter a função principal de
113
habilitar ou qualificar para o mercado de trabalho” (NASCIMENTO, 2007, p.
83).
A profissionalização do ensino médio, muito discutida no Estado Novo,
voltava muito mais intensamente em plena industrialização do país. Entretanto,
a forma com que os militares tratavam a questão da qualificação para o
trabalho – imediatista, desarticulada e restrita – estava muito distante da
escola-trabalho, bandeira dos marxistas desde o século passado.
A lei indicava que:
O ensino de 1º e 2º graus tem por objetivo geral proporcionar ao educando a formação necessária ao desenvolvimento de suas potencialidades como elemento de auto realização, qualificação para o trabalho e preparo para o exercício consciente da cidadania (art 1º) (BRASIL, 1971).
Por outro lado, a Lei 5692/71 instituiu uma escola de oito anos para
eliminar, pelo menos legalmente, a barreira entre a primária e a ginasial.
Os Guias Curriculares elaborados para orientar o ensino-aprendizagem
nessa escola de oito anos, tem a presença muito marcante do Movimento
Matemática Moderna uma vez que sua identidade com a Lei 5692/71 é patente,
pois considera a Matemática como a base de uma sociedade que pretende se
organizar pela tecnologia.
O Guia Curricular de Matemática da Secretaria da Educação do Estado
de São Paulo apresenta um programa muito mais detalhado que os das
reformas anteriores: além das listas de conteúdos e sugestões de caráter
metodológico apresenta objetivos muito bem detalhados - por níveis e por
séries.
O Guia procurava deixar explícita sua filosofia:
Estes guias não apenas traduzem os conteúdos dos instrumentos legais definidores da reforma como refletem a filosofia que os informa... fundamentam-se nas generalizações das ciências pedagógicas e na filosofia, envolvendo questões relativas a valores, a natureza do conhecimento, ao desenvolvimento da criança e a aprendizagem (SÃO PAULO, 1971).
As listas de conteúdos não apresentaram significativas mudanças,
apesar de estarem organizados de uma forma diferente:
Para a apresentação do programa foi adotado um agrupamento dos assuntos que, por ser um programa de transição, não atinge a unidade completa que consideramos ideal, mas que pode ser sentida
114
principalmente no primeiro tema, que indiscutivelmente é o fator unificador da Matemática. A divisão foi feita em quatro temas, enumerados a seguir:
I. Relações e funções;
II. Campos Numéricos;
III. Equações e Inequações;
IV. Geometria (SÃO PAULO, 1971).
Entretanto, fazia a seguinte advertência:
Os conteúdos programáticos devem ser entendidos como instrumentos para consecução dos objetivos propostos; devem ser caracterizados como indicações endereçadas aos professores e não como um rol de assuntos a serem oferecidos aos alunos. Não se confundem, pois, com os antigos “programas” (SÃO PAULO, 1971).
Cabe ressaltar que os Guias Curriculares foram elaborados apenas para
nortear o processo de ensino e aprendizagem para a escola de oito anos e que
não houve um documento curricular para o 2º grau. Nesses Guias não consta a
indicação de noções relativas à Análise Combinatória para o Ensino de 1º
Grau.
3.2. O que prescreviam os currículos do Estado de S ão Paulo
3.2.1 A Proposta Curricular de Matemática do 1º Grau do Estado de São Paulo
Por volta dos anos 1970 iniciam-se as primeiras críticas em relação ao
MMM no Brasil no tocante ao excessivo uso da Teoria dos Conjuntos e das
Estruturas Algébricas e suas propriedades na Educação Básica, em detrimento
a outras áreas da Matemática como, por exemplo, a geometria.
No rastro das orientações advindas da LDBEN e antecipando-se às
críticas ao MMM, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo – a partir
de reflexões sobre o papel da Matemática no currículo do 1º Grau e sobre os
problemas detectados pelos professores no ensino dessa disciplina bem como
à luz de uma rigorosa análise crítica em relação aos Guias Curriculares
anteriores – inicia estudos no início dos anos de 1980 para a elaboração da
Proposta Curricular de Matemática do 1º Grau por uma equipe técnica formada
por professores integrantes da Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas – CENP.
115
Dentre as preocupações iniciais dessa equipe destacam-se aquelas
relacionadas à memorização e à formalização precoce de conceitos, como
visto em São Paulo (1997):
A preocupação excessiva com o treino de habilidades com a mecanização de algoritmos, com a memorização de regras e esquemas de resolução de problemas, com a repetição e a imitação e não com uma aprendizagem que se dê, inicialmente, pela compreensão de conceitos e de propriedades, pela exploração de situações-problema nas quais o aluno é levado a exercitar sua criatividade, sua intuição; e, tentativa de se exigir do aluno uma formalização precoce e um nível de abstração em desacordo com seu amadurecimento (SÃO PAULO, 1997, p. 7).
Além do que, prosseguem os autores da referida proposta: “Esses
professores, insatisfeitos com tal situação e questionando cada vez mais o
conteúdo dos livros didáticos, vinham se reunindo para discutir novas
propostas para o ensino de Matemática” (SÃO PAULO, 1997, p. 7).
Com o encaminhamento desses estudos e discussões essa equipe do
CENP – envolveu professores da Rede Estadual de Ensino, monitores de
Matemática e professores da USP, UNICAMP, UNESP E PUC-SP – considerou
as análises e as reflexões sobre o trabalho “Subsídios para a implementação
do Guia Curricular de Matemática”.
Além desse trabalho também estavam presentes nas reflexões do grupo
o acompanhamento do Projeto “Geometria Experimental” (desde 1979) e a
elaboração, testagem e implementação do trabalho “Atividades Matemáticas”,
desde 1981, como referenciais básicos para estruturar e desenvolver as
primeiras ideias relacionadas com a preparação da proposta em questão (SÃO
PAULO, 1997, p. 7).
As primeiras ideias que nortearam o trabalho foram sintetizadas em
quatro programas televisivos (Projeto IPÊ) e em fascículos compostos por
dezenove programas do Projeto 1º Grau.
A partir delas surgiu a primeira versão da proposta, que foi
primeiramente discutida por monitores de Matemática com o objetivo de
sistematizar sugestões indicadas no processo de discussão em cada uma das
Delegacias de Ensino (hoje chamadas de Diretoria de Ensino) componentes da
estrutura da Secretaria Estadual de Educação de São Paulo.
116
Por conta das sugestões e análises feitas pela equipe baseadas nas
sugestões advindas das Delegacias de Ensino, uma segunda versão da
Proposta foi discutida, em Julho de 1987 pelos professores de matemática da
Rede Estadual de Ensino de São Paulo (SÃO PAULO, 1997, p. 7-8).
Após essas sugestões, bem como as considerações e análises críticas
advindas de especialistas em Educação Matemática das Universidades
mencionadas anteriormente, foi elaborada outra versão da Proposta contendo
as seguintes orientações preliminares:
Nesta versão, os conteúdos são apresentados seriadamente [...] Entretanto, há certas metas que devem ser alcançadas não rigidamente numa série, mas ao longo de certo período, que englobe duas ou mais séries. A flexibilidade para o desenvolvimento dos programas dentro de uma série ou de um conjunto delas proporciona ao professor a possibilidade de tratar os temas de Matemática com mais autonomia, respeitando ritmos individuais e processos de maturação. Daí ter-se optado por apresentar o conteúdo em DIFERENTES NÍVEIS DE ABORDAGEM, em que se procura respeitar a integração dos temas a serem trabalhados, bem como seu desenvolvimento “em espiral”, conforme preconiza Jerome Bruner: “... dominar as ideias básicas, usá-las eficientemente, exige constante aprofundamento da compreensão que delas se tem, o que se pode conseguir aprendendo-se a utilizá-las em formas progressivamente mais complexas” (SÃO PAULO, 1997, p. 8) (grifo dos autores).
Cabe destacar que essa versão – final – dessa proposta foi apresentada
aos professores ainda em 1988. As edições seguintes – como a de 1997, que
usamos nesta pesquisa – tratam apenas de reimpressões com mudanças
pouco significativas, como a mudança do nome 1º grau para Ensino
Fundamental ou um quadro comparativo entre os “Guias Curriculares” e a
“Nova Proposta Curricular”.
Fato importante que estava presente nesta Proposta e, portanto merece
ser destacado aqui, mostra o avanço nas concepções que nortearam os
trabalhos no desenvolvimento desta proposta acerca da apropriação de
diferentes significados para um dado conceito o qual é apresentado na
transcrição seguinte:
Desse modo, uma mesma noção deverá ser retomada em diferentes ocasiões, que sejam convenientes, de modo a permitir sua elaboração e reelaboração por parte do estudante, desde um primeiro contato, onde ele capta intuitivamente as ideias básicas e as aplica em situações-problema, até a fase em que é utilizado o pensamento lógico-dedutivo, permitindo uma progressiva formalização e sistematização do conceito enfocado (SÃO PAULO, 1997, p. 8).
117
Em relação às justificativas para a inclusão da Matemática na proposta
curricular em questão merece destaque o desenvolvimento do raciocínio desde
o Ensino Fundamental, presente em:
Existem duas vertentes básicas, amplamente difundidas, a partir das quais se justifica a inclusão da MATEMÁTICA nos currículos escolares: Ela é necessária e atividades práticas que envolvem aspectos quantitativos da realidade, como são as que lidam com grandezas, contagens, medidas, técnicas de cálculo etc.; ela desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transcender o que é imediatamente sensível. Não é difícil entrar em acordo quanto a esta dupla função da MATEMÁTICA: as aplicações práticas e o desenvolvimento do raciocínio. (SÃO PAULO, 1997, p. 8) (grifo dos autores).
Em relação à organização da estrutura curricular – de modo que sejam
atingidos os objetivos segundo os quais são justificadas as razões da inclusão
da matemática – não parece ser tarefa simples o estabelecimento de metas
conforme se constata na citação presente em São Paulo (1997) apresentada a
seguir:
Já não é tão simples, no entanto, um acordo sobre o modo como um currículo deve ser organizado para que tais metas sejam atingidas. Assim, algumas vezes, uma ênfase exagerada em aspectos prático-utilitários, apesar da aparência de adequação, da perspectiva de continuidade na relação escola-vida, tolhe a capacidade de ultrapassar o senso comum, contribuindo até para a manutenção do “status quo”. Outras vezes, pretende-se o desenvolvimento das estruturas lógicas do pensamento através de caminhos tão genéricos, tão formais e, consequentemente, tão distanciados de qualquer significado imediato que o ensino de MATEMÁTICA passa a parecer apenas um efetivo exercício para o desenvolvimento do raciocínio ... em MATEMÁTICA (SÃO PAULO, 1997, p. 8) (grifo dos autores).
A citação acima vem ao encontro de nossas convicções, pois
consideramos que uma das tarefas de grande relevância na missão docente de
um professor que ensina matemática deve ser a de perseguir situações de
equilíbrio na tensão que existe entre a necessidade de apresentar situações
práticas e a postura de não exagero em relação às experiências com situações
concretas.
Um fato que merece destaque em relação às orientações relacionadas
aos conteúdos dessa proposta, objeto desta análise, é aquele que se relaciona
à listagem dos conteúdos prescritos – não os rótulos dos conteúdos em si –
uma vez que, em se tratando do particular caso do conteúdo de Análise
Combinatória, este rótulo tem se repetido ao longo das reformas ocorridas após
1930 – como assim temos identificado desde então aqui.
118
Este destaque é relevante em relação às diferentes maneiras como o
conteúdo Análise Combinatória pode ser abordado – considerando-se não
somente as diversas propostas existentes em todos os Estados da Federação
– mas principalmente a abordagem que é conferida em cada uma delas para o
desenvolvimento das questões e atividades relacionadas à esses conteúdos.
Com relação a este contexto assim se referem os autores da Proposta
Curricular em questão:
Uma lista de conteúdos não é suficiente para caracterizar uma proposta curricular. No caso da MATEMÁTICA, ao longo de diversas reformas, tal lista tem variado relativamente pouco. [...] Tais assuntos, no entanto, podem ser desenvolvidos de modos significativamente diferentes em diferentes propostas e é através dessas abordagens que se pode caracterizá-las. [...] De modo geral, em MATEMÁTICA, o conteúdo a ser ensinado é um veículo para o desenvolvimento de uma série de ideias fundamentais, convenientemente articuladas, tendo em vista as grandes metas que são a instrumentação para a vida e o desenvolvimento do raciocínio. Tais ideias ... é que são fundamentais e não os assuntos em si. Essa distinção é essencial, sendo um fato patente a possibilidade de constituição de propostas significativamente distintas a partir da mesma lista de conteúdos (SÃO PAULO, 1997, p. 11-12) (grifo dos autores).
Outro fato que se destaca nesta Proposta Curricular faz referência à
extensão dos programas e a inviabilidade de concretizá-los segundo uma visão
errônea de que “a não conclusão do percurso compromete todo o trabalho,
uma vez que não tendo visto o todo fica uma impressão forte de nada ter visto”
(SÃO PAULO, 1997, p. 15).
Sobre essa questão assim se referem os autores da presente Proposta:
Uma das dificuldades mais frequentes apontadas pelos professores para a viabilização das propostas curriculares é a extensão dos programas [...] Tal diagnóstico, no entanto, mesmo referindo-se a situações concretas onde ele parece incontestável, esconde, muitas vezes, a questão central no planejamento das atividades docentes, que é a distinção clara entre os aspectos centrais essenciais, em cada assunto, e aqueles que são periféricos ou menos relevantes. Quando as metas para o ensino da MATEMÁTICA são fixadas com suficiente clareza, as ideias e as técnicas significativas a serem desenvolvidas não se mostram tão numerosas, tão extensas que inviabilizam sistematicamente o cumprimento dos programas. O que ocorre com muita frequência é que uma fragmentação excessiva na apresentação dos diversos conteúdos dificulta a apreensão do real significado e o reconhecimento do que é verdadeiramente relevante (SÃO PAULO, 1997, p. 15) (grifo dos autores).
Assim, tomando por base o que foi exposto acima consideramos que tal
Proposta Curricular apresentou um avanço significativo em relação às
orientações enviadas aos professores nas escolas e àquelas que efetivamente
119
o professor lê, entende e coloca em prática quando se depara com a dicotomia
entre o que é prescrito em um “Currículo proposto” e um “Currículo em Ação”,
do qual ele é partícipe.
Um “Currículo em Ação” é aquele que efetivamente será conduzido em
sala de aula à luz das interpretações e concepções havidas entre o professor e
seus pares, aquelas de cunho pessoal e intrínsecas ao professor e as que
dizem respeito à sua formação profissional, suas convicções, suas crenças e
às suas experiências pessoais.
A Proposta Curricular em questão sugere então que o professor trate
todos os temas de maneira adequada e “com a profundidade possível, em vez
de optar por uma sequência linear de assuntos em que, começando por um
deles, trate-o exaustivamente em detrimento dos demais”, considerando que
“essa alternativa, indesejável, tem sido muito frequente, historicamente” (SÃO
PAULO, 1997, p. 19).
E esta proposta finaliza as orientações afirmando que “Nas séries finais
do 1º grau, são aprofundadas certas propriedades fundamentais dos números,
das formas e das medidas. [...] Não há, ainda, uma preocupação sistemática
com a formalização”, o que vem a se tornar uma recomendação presente nas
Reformas Curriculares que se seguiram, e também corroboradas nas
orientações prescritas nos PCN (1997, 1998, 1999) (SÃO PAULO, 1997, p. 20).
Em relação às sugestões de temas relacionados com os conteúdos de
Combinatória na 3ª série/4º ano do Ensino Fundamental os autores da
Proposta sugerem que desde então a abordagem dos problemas de contagem
seja feita considerando a seguinte sugestão para uma das atividades:
A abordagem desse tema poderá ser feita a partir de classificações de elementos de uma coleção segundo “diagramas de árvores”. Com uma coleção de blocos lógicos (ou outro material substitutivo), os alunos serão incentivados a separá-los, segundo esquemas do tipo: (apresenta uma árvore com dois ramos: grandes e pequenos e outra árvore com três ramos: azuis, vermelhas e amarelas, e desenha algumas peças) ou etiquetar ramos de árvores variadas, indicando o tipo de elementos que irão colocar nesses galhos, como por exemplo: (apresenta uma árvore com dois ramos, um deles identificado como “grossas” e o outro em vazio e, para o primeiro dos ramos apresenta três sub-ramos, sendo um deles indicado por azul e os outros dois vazios e para o segundo dos ramos apresenta três sub-ramos sem indicações, nomeando os ramos terminais de (a) até (f)) (SÃO PAULO, 1997, p. 45).
120
Prossegue o texto, no qual os autores indicam outras sugestões para a
abordagem dos problemas de contagem:
Seria interessante que os próprios alunos confeccionassem algum material, a partir de uma escrita multiplicativa do total de peças que se deseja na coleção, como por exemplo: um material com estrutura semelhante à dos blocos lógicos porém com 12 peças, poderia ser constituído por 12 cartelas, apresentando figuras, com três atributos que variam 2, 3 e 2 vezes respectivamente, como: (apresenta um desenho tipo “foguete”): quantidade de janelas (uma ou duas) - 2 variações; cor (azul, amarelo, branco) – 3 variações; tamanho (grande, pequeno) – 2 variações; 2 x 3 x 2 = 12 cartelas (com esse mesmo número de cartelas, também podemos considerar dois atributos, sendo o 1º com 2 variações e o 2º com 6 variações) (SÃO PAULO, 1997, p. 45).
Com essas orientações os autores sugerem que o professor possa
desenvolver situações alternativas de multiplicação com dois ou três fatores
relacionados aos atributos que os alunos poderiam identificar em relação às
peças dos “Blocos Lógicos”.
Consideram os “Blocos Lógicos” como úteis para o desenvolvimento de
ideias relacionadas com o significado de cada um dos fatores da multiplicação
e os “ramos constitutivos da respectiva árvore de possibilidades”, e vice-versa.
Com essas sugestões os autores trazem – já para as séries iniciais – o
reconhecimento e utilização de uma das representações mais significativas
para a compreensão do raciocínio combinatório e o Princípio Multiplicativo qual
seja: a árvore de possibilidades.
A árvore de possibilidades auxilia na fundamentação das primeiras
ideias que estão relacionadas ao raciocínio combinatório em relação a um dos
significados presentes na multiplicação.
Salientamos o avanço dos pressupostos desta Proposta Curricular no
sentido da percepção que os autores tiveram à época de sugerir aos
professores desenvolver atividades básicas já desde a 3ª Série do Ensino
Fundamental associadas com o ensino e a aprendizagem de problemas de
contagem.
Essas atividades têm na árvore de possibilidades uma das
representações mais significativas e apropriadas para a determinação e
apresentação de soluções a um dado problema de contagem com número
reduzido de objetos e no início do estudo deste conteúdo.
121
A árvore de possibilidades constitui-se de importante procedimento
associado à multiplicação de números naturais com a ideia combinatória, como
também passou a ser prescrito nos PCN (1997, 1998) do Ensino Fundamental.
Surpreendeu-nos a indicação de tal proposta de atividades em uma
proposta curricular, a esta altura, antecipando-se ao que os PCN do Ensino
Fundamental viriam a prescrever a partir de 1997, e ver apresentada tal
sugestão em um documento oficial – relevante que ela é – de desenvolvimento
de atividades com o uso de árvores de possibilidades desde a 3ª Série (4º ano)
do Ensino Fundamental, em consonância com os resultados das pesquisas de
Fischbein e Gazit (1988).
E que tal sugestão venha acompanhada de uma representação bastante
pertinente como é o caso da árvore de possibilidades, quando se iniciam
estudos relacionados com os problemas de contagem na Educação Básica.
Ressalte-se que foi neste documento que encontramos, pela primeira
vez, tanto em currículos prescritos quanto em outros documentos oficiais, a
referência ao uso de árvores de possibilidades nesse segmento de ensino.
Porém, cabe aqui um recorte temporal significativo quando enfatizamos
que a partir da Constituição Federativa do Brasil de 1988 grupos constituídos
de Educadores Matemáticos e Matemáticos de diversos estados da Federação
– como será citado em seguida, ainda neste capítulo – já se debruçavam desde
então em apresentar sugestões para modificações dos Currículos da Educação
Básica.
Essas sugestões de modificações influenciaram as publicações dos PCN
do Ensino Fundamental e do Ensino Médio por conta das decisões colocadas
nos artigos da referida Constituição Brasileira que fazem referência à educação
para todos em ambos os níveis.
Como consequência de tais ações levadas a termo em paralelo a tais
iniciativas de modificações grupos de profissionais ligados à educação do
Estado de São Paulo também faziam o mesmo, como é do conhecimento de
todos pela lista de autores de ambos os documentos (PCN e Proposta
Curricular de São Paulo) uma vez que havia autores com contribuições em
ambos os documentos.
122
De certa forma tal particularidade legitima ainda mais a sugestão
inovadora da Proposta Curricular de São Paulo, considerando que as reflexões
feitas pelos seus autores, também puderam ser contempladas pelos
educadores de todo o país, quando da elaboração dos PCN.
Queremos ressaltar a importância dessas reflexões a respeito da
representação da árvore de possibilidades presente na Proposta Curricular
chegou às escolas do Estado de São Paulo, dez anos antes dos PCN do
Ensino Fundamental.
Tal deferência se refere particularmente em relação aos problemas de
contagem para as séries iniciais do Ensino Fundamental desde então.
Prosseguindo nas considerações acerca da Proposta Curricular, os
autores assim se referem às atividades que podem ser desenvolvidas ainda na
3ª Série do 1º Grau reforçando a importância do uso da árvore de
possibilidades:
Após a criança ter se familiarizado com a relação existente entre as classificações e a “árvore”, pode-se propor atividades sobre problemas de contagem que envolvam multiplicações, cujos resultados finais dependem de duas ou mais etapas de escolha e cuja resolução possa ser visualizada através da representação num diagrama de árvore. Por exemplo, dispondo de 20 fichas amarelas e 20 fichas azuis, cada aluno será convidado a formar trenzinhos com 3 fichas, combinando suas cores, como quiser, de modo a obter trenzinhos diferentes. Discutir com a classe qual a maior quantidade de trenzinhos que conseguiram formar. Sugerir aos alunos que, para descobrir esse total de trenzinhos diferentes (8), eles podem fazer uma representação dessas 8 possibilidades de uma árvore do tipo: (apresenta a árvore e após cada um dos ramos finais a indicação do trenzinho pronto, tipo AM AZ AM). O mesmo jogo em que os alunos deverão formar trenzinhos com 4 fichas poderá ser sugerido à classe e, a seguir, pedir que façam a árvore de possibilidades para ver se não se esqueceram de formar nenhum trenzinho. Finalmente, solicitar às crianças qual a operação que elas podem fazer para descobrir o total de trenzinhos no 1º e, depois, no 2º jogo. No caso do trenzinho de três fichas, para a escolha da 1ª ficha, temos 2 possibilidades (Am ou Az) e o mesmo vai acontecer na escolha da 3ª ficha. Assim, o total de trenzinhos possíveis de serem formados é calculado por 2 x 2 x 2 = 8 (SÃO PAULO, 1997, p. 45-46).
Considerando o nível cognitivo das crianças que estão na 3ª Série do 1º
Grau, e em idades por volta dos 10 anos, as questões colocadas pelos autores
são bastante significativas por apresentarem intuitivamente fundamentações
relacionadas com a utilização do Princípio Multiplicativo e a construção de
árvores de possibilidades, tal qual se referem Fischbein e Gazit (1988).
123
Podemos aqui sugerir que essas situações-problema propostas para
essa série, ou similares, acrescidas de outras relacionadas a problemas de
contagem, sem o uso do material “Blocos Lógicos”, possam ser também
apresentadas para crianças de 5ª ou 6ª Série.
Prosseguindo no texto da proposta em relação às sugestões para a 5ª
série, é indicado o uso de árvore de possibilidades para a compreensão de
conceitos relativos à potenciação de números naturais. A esse respeito, os
autores consideram que:
Apresentar situações-problema que envolva multiplicações sucessivas de fatores iguais (problemas de contagem), enfatizando a grandeza do resultado (potência). Por exemplo: “Paulo tem 2 calças (uma branca e outra preta) que usa para ir à escola. Dispõe também de 2 blusões (um com mangas curtas e outro com mangas longas). Para combinar com essas roupas, Paulo usa ou tênis de amarrar ou um outro de botão. De quantas maneiras diferentes ele poderá vestir-se para ir à escola?”. Inicialmente é desejável que o estudante descreva cada maneira possível de que Paulo dispõe para vestir-se (possuindo 2 calças, 2 blusões, 2 pares de tênis), após o que, ele fará uma contagem direta de todos os casos possíveis. Para a sistematização dessa contagem, retomar a representação por meio de árvore de possibilidades: (apresenta a árvore). Discutir com os alunos o significado dessa representação: - para cada uma das duas possibilidades, na escolha da calça (branca ou preta), Paulo tem duas possibilidades de escolha do blusão (manga curta ou manga comprida), totalizando 2 x 2 possibilidades de escolha de calça e blusão; - para cada uma dessas 2 x 2 possibilidades de escolha de calça e blusão ele tem 2 possibilidades de escolher o tênis (de amarrar ou de abotoar), totalizando 2 x 2 x 2 possibilidades de escolha de calça e blusão e tênis. Assim, Paulo poderá vestir-se de 2 x 2 x 2 = 8 maneiras diferentes (desde que ele calce um par de tênis do mesmo tipo!). Outras situações, com estruturas semelhante à anterior, poderão ser propostas, levando o aluno a obter produtos de fatores iguais: 3 x 3, 4 x 4 x 4 x 4 x4, etc. A seguir, introduzir a escrita abreviada, para cada caso: 23, 32, 45 etc., explicitando o papel do expoente, da base e do resultado (SÃO PAULO, 1997, p. 76-77).
Nas três séries finais do 1º Grau não há referência alguma à utilização
de atividades de combinatória em particular, referências aos Problemas de
contagem.
Porém, na 8ª Série, os autores destacam a sugestão para o professor
apresentar noções de Estatística tais como a construção e a interpretação de
gráficos dos tipos: histograma, gráficos de barras, de setores, de linhas
poligonais e de curvas.
3.2.2 A Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau em São Paulo
124
Em 1978 a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo divulga um
documento denominado de “Diretrizes Curriculares de Matemática para o 2º
Grau”, uma vez que os guias Curriculares de 1976 se constituía em uma
proposta apenas para o 1º grau.
No entanto, a implementação dessas diretrizes demandou a elaboração
de outros documentos de modo a orientar os professores quanto ao seu uso
em relação aos aspectos pedagógicos e metodológicos e que viessem a
detalhá-las melhor para que pudessem ser utilizadas.
Segundo os autores, “[...] era necessário complementá-la com materiais
instrucionais que pudessem esclarecer certos pontos, de modo a tornar mais
eficaz a ação do professor na sala de aula” (SÃO PAULO, 1980, p. 9).
Ainda em São Paulo - desde 1975, prosseguindo após a implantação da
referida Proposta em 1978 - iniciam-se estudos acerca da elaboração de
subsídios para a implementação da Proposta Curricular de Matemática para o
2º Grau vigente.
Como resultado dessas inquietações, em 1980 a Secretaria Estadual de
Educação de São Paulo lançou o documento intitulado “Subsídios para a
implementação da Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau – Volume
1”.
Considerando que uma parte do material apresentado no trata de
problemas relacionados com o ensino e a aprendizagem de Combinatória no 2º
Grau, e naturalmente se tem interesse em comentá-lo aqui neste trabalho..
O detalhamento minucioso que faremos a seguir em relação ao tópico
de Combinatória está relacionado ao fato de se tratar do conteúdo matemático,
objeto desta pesquisa, mas também, porque uma das professoras integrantes
do Observatório da UNIBAN trouxe o referido material para um dos encontros
de ensino na versão impressa, para que o pesquisador o conhecesse.
Os autores dos subsídios se manifestam da seguinte maneira a respeito
desses livros:
[...] emergiu certo consenso de que os subsídios não deveriam constituir-se em um livro didático e muito menos em um guia do professor, pois estes já existem em número significativo à disposição do docente. [...] chegou-se a conclusão de que estes subsídios
125
deveriam apresentar alguns dos tópicos mais significativos da 1ª e 2ª séries do segundo grau, relacionados na citada proposta curricular, de modo que o professor pudesse, fundamentalmente:
a) determinar o conteúdo essencial a ser desenvolvido;
b) escolher o que, além do essencial, poderá ser trabalhado em certas classes;
c) optar por um dos diversos enfoques didáticos apresentados no documento.
Paralelamente, o material contribui para dar ao professor: uma ideia geral do aparecimento e do aperfeiçoamento de certos conceitos matemáticos, no decorrer da História; a convicção de que é a intuição e o espírito criativo dos alunos que devem ser estimulados e não a memorização ou a repetição mecânica de exercícios clássicos (SÃO PAULO, 1980, p. 9).
Em razão disso, relatam os autores, o documento foi concebido após
cada um dos autores - em número de sete, mais o organizador - apresentarem
uma primeira redação para cada um dos sete tópicos considerados por eles
como sendo mais significativos, e socializá-la com os demais componentes.
Em seguida, através de “aproximações sucessivas” a partir de reflexões
e discussões de todo o grupo eles decidiram aperfeiçoá-la gradativamente até
o consenso de todos.
Parece-nos, porém, que os autores sentiam-se preocupados em relação
à reação que tais “Subsídios” poderiam suscitar entre os seus pares, razão
porque consideraram necessário colocar por escrito tal possibilidade conforme
se pode constatar na citação a seguir:
Mais do que em relação ao primeiro grau, é bastante difícil obter-se um consenso sobre “o que dever ser ensinado” e sobre “como se deve ensinar”. São vários os caminhos que podem levar o professor à consecução dos objetivos gerais do ensino da Matemática no 2º grau, apresentados na referida proposta curricular. Por esse motivo, espera-se que este documento seja, realmente, um elemento a mais para enriquecer e dinamizar esta permanente polêmica. Finalmente, cabe repetir, aqui, o que já foi dito em relação aos subsídios à proposta curricular do primeiro grau: são meras sugestões, visando a subsidiar a tarefa do professor. A este cabe, em última instância, diante das condições de trabalho e dos recursos existentes, decidir sobre a conveniência de aceitar essas sugestões, ampliá-las ou modificá-las, de modo a melhorar seu planejamento no sentido de atingir os objetivos propostos (SÃO PAULO, 1980, p. 9) (grifo dos autores).
Os tópicos mais significativos que foram tratados nos “Subsídios” são:
Função; Das Porcentagens aos Logaritmos; Geometria no 2º grau;
Trigonometria; Análise combinatória; Números Complexos; Matrizes, Sistemas
Lineares e Determinantes, elaborados por diferentes autores.
126
Além dos tópicos de conteúdos de matemática o documento traz ao final
um tópico intitulado “Reflexões” cuja autora propõe reflexões acerca da
avaliação e de técnicas que o professor poderia utilizar para desenvolver os
conteúdos apresentados anteriormente. Em relação à avaliação, a autora
assim se manifesta:
Este é um ponto sensível e, com razão, bastante questionado, na Educação. [...] se a sua avaliação não for cuidadosa, ele terá esquecido que nada dentro da Educação tem sentido se não for abordado em função do crescimento do aluno. O aluno é o ponto central, de onde devemos partir para qualquer tipo de trabalho que envolva Ensino, Escola. [...] Se em algum momento do nosso trabalho escolar, optarmos por alguma técnica de grupo, não nos enganemos imaginando que deixá-los trabalhar agrupados, sem regras e condições, seria um bom trabalho (SÃO PAULO, 1980, p. 151-152).
Diferentemente dos outros seis tópicos componentes dos “Subsídios”,
nos quais cada autor apresentou mais de uma sugestão acerca do enfoque
didático que os professores poderiam escolher para encaminhar o trabalho com
o conteúdo em sala de aula, no tópico de Análise Combinatória só houve um
enfoque como sugestão.
Em relação à análise combinatória, que é o que nos cabe aqui comentar,
são ressaltadas as considerações feitas pelo autor, como as que se seguem:
Apesar de a Análise Combinatória ser uma excelente ferramenta para o desenvolvimento do raciocínio combinatório, a maioria dos cursos gera somente um amontoado de fórmulas, com as quais os alunos não conseguem sequer solucionar problemas simples de contagem. Geralmente, isto decorre do fato de que as fórmulas são apresentadas antes mesmo dos alunos dominarem os conceitos combinatórios. A utilização das mesmas é feita a partir de um trabalho puramente mecânico, que exclui, muitas vezes, a compreensão daquilo que estão estudando (SÃO PAULO, 1980, p. 81).
Nesse documento destacamos a posição do autor do tópico
combinatória quando se refere à necessidade do aluno entender o
aparecimento das fórmulas para chegar a “soluções rápidas e eficientes” e
quando recomenda ser viável que a sistematização e o uso de fórmulas sejam
apresentados em conjunto, como pode ser visto a seguir:
Assim, um estudo minucioso concorrerá bastante para que o aluno passe a dominar suficientemente um conceito combinatório, a ponto de entender o aparecimento da fórmula, ou seja, a síntese dos resultados. Isto lhe fornecerá ferramentas que, adequadamente aplicadas, permitem chegar a soluções rápidas e eficientes (SÃO PAULO, 1980, p. 81).
127
Queremos crer que quando o autor se refere a “um estudo minucioso”,
que ele esteja se referindo à exploração de todas as possibilidades e à
enumeração das soluções segundo a qual, sob nosso ponto de vista, permitirá
que o aluno se aproprie de conceitos relacionados à Análise Combinatória com
compreensão.
Assim, segundo o entendimento que tivemos, o aluno deve refletir – a
exemplo de quando constrói uma árvore de possibilidades – de que todas as
soluções foram computadas através das diferentes ações (ou tomadas de
decisões) pertinentes à utilização do Princípio Multiplicativo.
Destacamos que o autor considera importante que o aluno apresente a
solução para problemas de combinatória através de soluções “enxutas”,
“sintéticas”, conforme sugere quando destaca que “o hábito de adivinhar a
fórmula [...] deve ser, portanto, substituído por um trabalho de análise e
síntese” (SÃO PAULO, 1980, p. 81). No entanto, consideramos que isso
somente seria possível se o aluno tivesse refletido sobre situações envolvendo
diferentes tipos de agrupamentos e compreendesse representações diversas
como diagrama de árvore ou tabelas.
Em relação às considerações iniciais dos Subsídios (1980) da Proposta
Curricular (1978) consoante à Combinatória, o autor assim se refere:
De início, às vezes, esta análise implica na descrição de todos os casos possíveis, para, em seguida, contá-los. Sugerimos, então, que os problemas iniciais sejam compostos de poucos elementos. A solução desses problemas deve ser intuitiva e a contagem feita diretamente ou usando simplesmente as quatro operações fundamentais. Nestas primeiras aulas, deverá ser mantida uma atmosfera bastante livre, sem a apresentação das fórmulas. Nesta etapa, a melhor solução é aquela apresentada pelo aluno. Respostas diferentes, fornecidas por alunos diferentes, serão úteis para que o professor dirija a aula sob um clima de argumentação entre os alunos. Provavelmente os alunos sentirão a necessidade de descrever todos os casos possíveis, para posteriormente contá-los. Isto servirá para que os alunos tomem os primeiros contatos, mesmo que intuitivos, com raciocínios combinatórios e para tornar claro que a contagem direta é impraticável na maioria dos casos. É preciso, então, desenvolver técnicas de contagem e trabalhar com conceitos combinatórios que racionalizem, de modo sintético, as soluções (SÃO PAULO, 1980, p. 81).
Neste trabalho dos “Subsídios” o autor propõe 70 problemas com
respostas e exemplos introdutórios para cada uma das seções acompanhados
de comentários relacionados à resolução destes problemas. Destacamos a
128
grande semelhança dessa Proposta com a obra “Prelúdio à Análise
Combinatória” (Bachx, A. de C., Poppe, L.M.B. & Tavares, R.N.O., 1975) se
levarmos em conta os tipos de problemas propostos, bem como a maneira com
que os problemas são analisados, identificando os “acontecimentos”, a
“descrição das possibilidades (em alguns casos)” e o “número de
possibilidades”.
Ressaltamos que esta obra foi determinante na nossa formação inicial
conforme visto no Capítulo 1, razão porque não foi difícil fazer tal identificação.
Na primeira seção: Contagem, o autor propõe 20 problemas após os
quais faz a seguinte observação:
Após a discussão livre sobre as soluções destes problemas, onde não se aplicaram as fórmulas tradicionais de Análise Combinatória, estarão os alunos, provavelmente, motivados a desenvolverem técnicas sistematizadas para criação e descrição dos casos possíveis, bem como, para contá-los. Sugerimos que, a seguir, se introduzam sistemáticas para a formação de agrupamentos, bem como, sistemáticas para contá-los, sem ter que descrevê-los um a um. A descrição dos agrupamentos responde à pergunta “quais” e a fórmula, à pergunta “quantos”. Nos casos práticos, estes dois aspectos técnicos se reencontram e se completam mas, de início, o problema de construção dos agrupamentos deve preceder o problema de contagem, já que não se deve racionalmente quantificar uma variedade de situações, sem o domínio claro de seu processo de criação. Defeitos frequentes entre iniciantes surgem com a tendência de adivinhar a resposta ou o processo de contagem, sem uma análise adequada do processo de formação dos agrupamentos. Estes defeitos serão evitados pela utilização dos seguintes procedimentos: Leitura atenta do enunciado que, na maioria das vezes sugere várias interpretações; Registro das características essenciais dos agrupamentos; Dinamização dos raciocínios combinatórios, a partir da diversificação de representações (gráficos e tabelas favorecem a elaboração de um plano de construção dos agrupamentos); Crítica ao plano quanto à sua eventual deficiência ou redundância. O plano não deve gerar um agrupamento mais de uma vez e nem deve deixar de gerar todos; Contagem das alternativas ou possibilidades em cada etapa do plano, usando fórmulas, princípio multiplicativo, princípio aditivo, etc. Estas lições serão úteis no sentido de habituar nossos alunos ao raciocínio combinatório. Além disso, o aluno deve ter a oportunidade de enfrentar uma proposta ativa e diversificada (SÃO PAULO, 1980, p. 84-85).
Por esse relato, percebe-se a clara tendência ao uso da fórmula para
determinar o quantitativo de soluções e “sistemáticas para formação de
agrupamentos” para definir quais os agrupamentos serão formados e a atenção
que o leitor deve ter em relação aos enunciados que, segundo o autor, são
ambíguos na maioria das vezes. O autor sugere ao professor a diversificação
129
de representações, como uma forma crítica de evitar “eventual deficiência ou
redundância”.
Ressalte-se a ênfase que o autor dá ao uso da fórmula para a
“contagem das alternativas ou possibilidades” e finaliza afirmando que as lições
irão “habituar nossos alunos ao raciocínio combinatório”.
O autor prossegue, sugerindo uma “Sistematização de contagem”, como
em:
[...] não é a única que proporciona os resultados desejados. A critério do professor poderá ser modificada na sua ordem, abrangência e extensão. Esta proposta consta de critérios que sistematizam adequadamente o processo de formação dos agrupamentos, bem como o processo de contagem dos mesmos. Basicamente, o aluno deve vivenciar as seguintes etapas: descrição das possibilidades; denominação; contagem (SÃO PAULO, 1980, p. 85).
Para a descrição das possibilidades o autor detalha cada uma das
etapas, como:
[..] descrição das possibilidades pode-se originar a partir de uma árvore de possibilidades, produto cartesiano, recorrência, etc; a denominação surge da natureza do problema, isto é, do tipo de agrupamento considerado: arranjo, combinação, permutação, etc. Para cada tipo de agrupamento é conveniente deixar bem claro, para os alunos, a diferença entre o agrupamento, o conjunto de todos os agrupamentos desse tipo e o número total dos mesmos (SÃO PAULO, 1980, p. 85) (grifo do autor).
Em relação à etapa da contagem, assim se manifesta o autor:
A contagem deverá, nesta altura, ser feita com alguma sistematização, mesmo que simples. Os agrupamentos desejados devem ser classificados em pacotes, por semelhanças em alguns aspectos e/ou contrastes em alguns aspectos. Em seguida, a contagem poderá ser feita, usando as quatro operações fundamentais, através de uma sistemática cujas características devem nascer no processo orgânico de formação dos agrupamentos desejados, no qual a participação ativa e consciente do aluno é de suma importância. Seguindo esta sistemática de trabalho, será alcançado no final do curso, o domínio dos conceitos e das fórmulas que resolvem mais rapidamente os problemas de contagem. Mas devemos ter o cuidado de não impor os conceitos combinatórios ou de fornecer resultados gratuitamente. Cada conceito deve ser entendido pelo aluno intuitivamente e não memorizado ou imposto. [...] Um jovem tem 4 camisas, 3 calças e 2 pares de sapatos e não quer usar à noite a mesma calça e a mesma camisa que usou durante o dia. Quantas possibilidades de se vestir existem? Solução: Apesar de ser um problema de contagem, devemos discutir com os alunos a descrição das possibilidades. [..] A descrição das 24 possibilidades de se vestir durante o dia será feita em 4 blocos com 6 possibilidades cada um, ou seja: ... Vamos supor, agora, que o jovem usou durante o dia o conjunto {m1, c1, s1}. Ele não poderá usar à noite os conjuntos {m1, c1, s1} ou {m1, c1, s2}, pois estes contêm a mesma calça e a mesma camisa que usou durante o dia. Restam-lhe,
130
portanto, 22 possibilidades de se vestir à noite. O exemplo acima nos sugere uma primeira abordagem do Princípio Multiplicativo que deverá ser entendido pelos alunos intuitivamente e não memorizado. Para isso sugerimos alguns problemas (do problema 21 ao problema 50) (SÃO PAULO, 1980, p. 85-86) (grifos do autor).
Quando se refere à ”participação ativa e consciente do aluno” como de
suma importância o autor ressalta que tal participação deva estar referida à
precisa concepção sobre que “pacote” o problema deverá ser colocado através
da “formação dos agrupamentos desejados”.
No exemplo discutido, o autor apresentou a descrição de todas as
possibilidades, justificando tal feito devido ao fato de que “apesar de ser um
problema de contagem, devemos discutir com os alunos”, ou seja, que apesar
de ser preciso determinar o quantitativo da contagem de elementos a
apresentação de todas as possibilidades aos alunos é pertinente. E prossegue
afirmando tratar-se de um exemplo que sugere uma primeira abordagem do
Princípio Multiplicativo para determinar a quantidade de possibilidades de o
jovem vestir-se durante o dia e não àquelas em que poderia vestir-se à noite.
Assim, segundo o autor, para a solução deste problema não haveria a
necessidade de se descreverem todas as possibilidades de se vestir durante o
dia para determinar o total de possibilidades de se vestir à noite, atendendo à
restrição solicitada.
O autor prossegue com mais alguns exemplos utilizando-se do
expediente de “acontecimentos e número de possibilidades” descrevendo as
possibilidades através da árvore de possibilidades e da tabela de dupla
entrada, apenas fazendo uso delas, mas não as rotulando como tal.
Em relação a esses procedimentos, assim se refere o autor:
O professor deve ser bastante paciente na discussão da solução dos problemas de nº 21 a nº 30. As representações das possibilidades devem ser as mais variadas. As argumentações verbalizadas pelos alunos devem ser incentivadas e corrigidas; as denominações, as mais exatas e adequadas possíveis; a contagem, uma consequência natural e intuitiva do processo de formação e representação das possibilidades. Desta forma, acreditamos que o aluno já domina intuitivamente o princípio multiplicativo e um enunciado mesmo que ingênuo poderia ser apresentado: Primeiro, um enunciado que fornece a contagem de pares ordenados obtidos com os elementos escolhidos em dois conjuntos: “Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e um acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então a sucessão A e B, nesta ordem, pode ocorrer de m x n maneiras diferentes”. [...] Em seguida podemos
131
estender o Princípio Multiplicativo para n-uplas ordenadas. Se os alunos ainda não dominarem a formação de sequências, outros problemas poderiam ser propostos, por exemplo: (SÃO PAULO, 1980, p. 89) (grifos do autor).
Percebe-se que o autor sugere o incentivo às discussões acerca das
soluções que venham a ser apresentadas pelos alunos e em orientar para que
o processo de contagem seja formalizado e, em seguida, generalizado.
Na sequência de ensino deste estudo tomamos a primeira parte da
citação acima como uma proposta de trabalho e que lá foi utilizada, permitindo
que com ela fossem encaminhadas as reflexões e questionamentos dos
sujeitos de pesquisa acerca dos encaminhamentos das soluções para as
situações-problema propostas.
Dando prosseguimento ao texto, o autor enuncia o Princípio
Multiplicativo generalizado e afirma que a sua demonstração é feita por indução
sem sugerir como poderia ser feito e sem fazer considerações a respeito de
seu enunciado.
Levando em consideração a abordagem que estamos fazendo para analisar os conceitos combinatórios, o Princípio Multiplicativo ocupa uma posição de suma importância. É preciso que o aluno o domine muito bem. Mais tarde, será necessário que o aluno perceba como o Princípio Multiplicativo funciona como base para qualquer técnica de contagem sintética. É fato que adolescentes nesta faixa etária têm o conceito de multiplicação como soma de parcelas iguais. O Princípio Multiplicativo, entretanto, está, quase sempre associado a situações do tipo: “cada elemento de um conjunto A, pode ser combinado com todos os elementos de um conjunto B”. Para isto, é necessário utilizar diversos tipos de representação, principalmente a árvore de possibilidades que dinamiza a conscientização e aplicabilidade generalizada do Princípio Multiplicativo. Os problemas do nº 21 ao nº 37, em geral, poderiam ser resolvidos com as fórmulas que fornecem o número de arranjos e permutações simples ou com repetição. Retomando o problema nº 15, problemas mais alguns problemas de aplicação do Princípio Multiplicativo, que, em essência, envolvem o conceito de combinação simples. No final deste trabalho, estes conceitos combinatórios serão tratados mais sistematicamente (SÃO PAULO, 1980, p. 91-92) (grifos do autor).
Neste momento o autor atribui à árvore de possibilidades um papel de
destaque em relação a outras possíveis representações ao afirmar que
“principalmente a árvore de possibilidades que dinamiza a conscientização e
aplicabilidade generalizada do Princípio Multiplicativo”.
Isto se deve, segundo nossa concepção, ao fato de que na construção
da árvore os passos constitutivos de aplicação do princípio multiplicativo se
132
tornam visíveis através da construção dos “galhos da árvore” a partir de cada
“nó” até a obtenção dos “galhos terminais”.
Entendemos que as ações que permitem a construção de uma árvore de
possibilidades são exatamente aquelas mesmas ações que permitem a tomada
de decisões, em cada passo, de uma análise de “combinação dos objetos
envolvidos” - quando se utiliza o raciocínio combinatório num dado “nó da
árvore”.
O número de modos de se tomar cada decisão é a correspondente
quantidade de “galhos da árvore que se está construindo” razão porque quando
essa quantidade de “galhos” se mostrarem em quantidade excessiva possa-se
optar por não construir toda a árvore de possibilidades.
A partir de então se pode tomar o número de “galhos da árvore” pelos
correspondentes fatores que identificam a operação de multiplicação com o uso
do princípio multiplicativo e com a correspondente “operação combinatória”
realizada. Ou seja, a de “combinar objetos ou elementos” entre os elementos
constituintes da situação em questão.
O texto prossegue e em seu item 3 – Arranjos com repetição – inicia
informando que passará à sistematização do conceito e, depois de
apresentado um exemplo, inicia a definição formal do referido conceito. Finaliza
este item indicando o modo de obter o número de arranjos com repetição com
o uso do Princípio Multiplicativo.
Em seu item 4: Arranjos simples, retoma à mesma ordenação que
utilizou no item anterior e finaliza, sintetizando: “Seja E um conjunto com n
elementos. Arranjos dos n elementos de E, tomados k a k, é toda sequência de
k elementos de E. Diz-se arranjos simples se todos os termos da sequência
forem distintos e k ≤ n. Caso contrário, diz-se arranjo com repetição” (SÃO
PAULO, 1980, p. 99).
Em seu item 5: Fatorial, inicia chamando a atenção de que ele “simplifica
bastante esses cálculos” e, em seguida, apresenta “uma primeira definição”
tomando n! = 1, se n = 0 e n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1, se n > 0.
Afirma que: “De imediato, para n > 0, vale a seguinte propriedade: n! =
(n-1)!.n”. E, em seguida, afirma: “A convenção 0! = 1, da definição, deve-se ao
133
interesse de que a propriedade anterior seja válida também para n = 1”, sem
comentar as razões desse interesse e também não apresenta outra definição
para fatorial de n.
Finaliza o item propondo problemas que dizem respeito a cálculos de
fatoriais, desprovidos de situações combinatórias (SÃO PAULO, 1980, p. 99-
100).
Para os itens anteriores julgamos que a ênfase dada aos arranjos e
fatorial não caracterizou a razão porque o autor os considera necessários
serem apresentados, além de que “simplifica bastante esses cálculos”.
O item seguinte, Permutações, é iniciado pela interpretação de que cada
permutação de n elementos como um arranjo simples de n elementos tomados
n a n, ou seja, k = n.
A seguir, pela informação de que: “uma permutação de n objetos é
qualquer agrupamento ordenado desses n objetos”.
Em seguida, apresenta a definição e a fórmula para a contagem do
número de permutações, propondo três problemas para o leitor resolver.
O item 7 é dedicado às Combinações simples, apresentando
inicialmente a definição e a fórmula para a contagem do número de
combinações simples a partir dos arranjos simples e as permutações dos
elementos do conjunto, e propõe alguns problemas para o professor de
maneira que venha a aplicar a fórmula.
No próximo item é estudado o Triângulo Aritmético de Pascal (Tartaglia),
enfatizando o fato de que “o encanto e o mistério das relações entre os
números combinatórios motivam bastante os alunos” e mostra uma “forma
interessante” de construir esse triângulo como se estivesse jogando o “Jogo de
Damas”. Em seguida apresenta algumas propriedades presentes no “triângulo”.
O item 9 é dedicado a “Curiosidades” e, no item 9.1 apresenta o
Princípio aditivo e faz a seguinte observação: “Na maioria dos problemas de
Combinatória, a solução pode ser obtida através do Princípio Multiplicativo e do
Princípio Aditivo”.
134
Naturalmente que o uso do “e” não nos parece adequado uma vez que
entendemos que muitos problemas de contagem são resolvidos apenas com o
uso do Princípio Multiplicativo.
Nas situações em que somente o uso desse Princípio não for possível
de ser aplicado o problema precisa ser repartido em partes tais que, para cada
uma delas, aplica-se o Princípio Multiplicativo e daí, como as partes
constituintes representam subconjuntos formados por soluções disjuntas entre
si, deve-se então aplicar o Princípio Aditivo para obter a totalidade das
soluções à situação-problema proposta.
Assim, o Princípio Aditivo é aplicado quando se apresenta combinado
com o Princípio Multiplicativo nas parcelas constituintes da operação de adição.
Em seguida apresenta um problema de cardinalidade da união de três
conjuntos através de um diagrama e não apresenta a solução, classificando
esses problemas como “de tipos interessantes e úteis”.
No item 9.2, “Permutação circular” são apresentadas todas as
disposições possíveis de quatro alunos sentarem ao redor de uma mesa
circular e, em seguida, generaliza o resultado para n pessoas indicando a
fórmula que dá conta de determinar o quantitativo de modos de se fazer isso
sem, entretanto, propor problemas para o professor.
No item seguinte, “Os anagramas”, o autor discute uma situação de
transmissão de uma informação codificada através de um diagrama em que se
deve decifrar uma mensagem contendo 62 caracteres, onde vários desses
caracteres se repetem por até noves vezes, o que inviabiliza portanto as
tentativas de violação desta na tentativa de decifrá-la, em função da enorme
quantidade de anagramas possíveis de serem investigados.
Em seu item 9.4: Jogos de azar, o autor apresenta um exemplo com o
número de modos de escolher duas peças de um jogo de dominó de modo a
realçar o seu uso para a “sistematização e formalização dos conceitos
combinatórios e da teoria da probabilidade”.
Mais uma vez o autor enfatiza que “É muito comum enunciados de
problemas combinatórios gerarem várias interpretações. Temos que ser
135
precisos nos enunciados e, sempre que necessário, argumentar com a classe
sobre as possíveis interpretações” (SÃO PAULO, 1980, p. 108).
Em seu item 9.5: Árvore de possibilidades, o autor faz uma afirmação: “A
árvore de possibilidades se aplica também a problemas de contagem nos quais
não é aplicável o Princípio Multiplicativo” e faz menção ao fato de “como os
princípios multiplicativo e aditivo se articulam para efetuar uma contagem”. Esta
afirmação vem corroborar com nossas expectativas em relação à abrangência
que o autor quer dar ao conteúdo de combinatória considerando árvores de
possibilidades não totalmente simétricas (geralmente nos casos de
combinações simples) e, portanto, não representativas da aplicação do
princípio multiplicativo de modo direto.
Em seguida, ao apresentar o exemplo: “Marcos e Paulo disputam entre
si um torneio de tênis. O primeiro a ganhar 2 partidas seguidas ou 3 alternadas
vence o torneio. O diagrama seguinte nos fornece os resultados possíveis do
torneio” o autor apresenta uma árvore de possibilidades.
O autor afirma em seguida: “Na árvore, cada letra indica o vencedor da
partida. Examinando cada ramo, podemos perceber qual foi o vencedor do
torneio. Notemos ainda, que os ramos da árvore iniciados por M e P são
simétricos”.
Parece-nos que o autor esqueceu-se de citar a resposta, ou seja, o que
de fato foi pedido no problema: se são todas as possibilidades de se obter um
vencedor nesse torneio elas são em número de dez e, assim, cada competidor
tem cinco possibilidades de vir a sagrar-se um vencedor.
Além do mais, a afirmação do autor segundo a qual: “Examinando cada
ramo, podemos perceber qual foi o vencedor do torneio”, ficaria melhor se
assim o fosse escrito: examinando cada ramo teríamos a ordem em que os
resultados das partidas se sucederam de modo a determinar o vencedor do
torneio como aquele que consta no último “galho” da árvore, para cada ramo
analisado.
O autor finaliza o seu texto apresentando mais duas situações para
análise do leitor: um problema proposto similar ao exemplo anterior em que,
agora, é suficientemente claro ao perguntar de quantas maneiras o torneio
136
pode se desenrolar quando duas equipes disputam um torneio de basquete e
sai vencedora aquela que vencer dois jogos seguidos ou quatro jogos
alternados.
E, no exemplo seguinte: “Um homem tem oportunidade de jogar na
roleta, no máximo 5 vezes. Em cada jogada ela ganha ou perde um cruzeiro.
Ela começa com um cruzeiro e é obrigado a encerrar a série de jogadas se
ocorrer uma destas hipóteses: ele perde todo o seu dinheiro; ele ganha 3
cruzeiros”. A solução apresentada contém erro ao afirmar que o jogo pode
ocorrer de 11 maneiras diferentes, quando o certo seriam 1º maneiras, e que o
jogo para antes da 5ª rodada apenas em 3 desses casos, quando o certo
seriam em dois desses casos. Prossegue, erradamente, afirmando que “o
jogador pode ganhar em 7 desses casos e perder em 4”. O autor finaliza,
afirmando: “No estudo da probabilidade podemos mostrar que a chance de
ganhar é menor que a de perder, o que sempre favorece o proprietário do
cassino”.
Este exemplo parece-nos bastante oportuno de ser considerado, uma
vez que ele permite mostrar a forte relação existente entre os conceitos da
Combinatória e da Probabilidade muito embora se possam desenvolver noções
básicas de probabilidade sem a necessidade de terem sido ensinados
problemas de contagem.
Finalizando a apresentação e a análise deste documento em relação ao
conteúdo de análise combinatória, convém ressaltar que as orientações
presentes neste documento, para os professores de Matemática vinculados à
Secretaria de Educação do Estado de São Paulo estiveram oficialmente
vigentes por quase uma década no sentido de nortear o trabalho dos
professores.
Após a publicação dos “Subsídios”, os quais complementam a Proposta
Curricular - em particular do Volume 1, Matemática, em 1982 –, foi publicado
pela Secretaria de Estado da Educação de São Paulo o trabalho intitulado
“Subsídios para a Implementação da Proposta Curricular de Matemática para
o 2º Grau – Volume 2” com sugestões de materiais instrucionais sobre os
conteúdos de Probabilidade, Estatística e Matemática Financeira. Segundo os
autores da publicação esses três conteúdos “não têm tradição no currículo de
137
Matemática do 2º Grau” e afirmam: “optamos, portanto, por apresentar os
assuntos de forma operacionalizada, orientando e facilitando o trabalho
docente [...] este trabalho contém meras sugestões cujo objetivo é subsidiar a
ação docente” (SÃO PAULO, 1982, p. 7).
Em 1987, ainda referindo-nos ao Estado de São Paulo, e por conta das
inquietações advindas das críticas ao MMM concepções curriculares passaram
a enfocar aspectos pedagógicos relativos à corrente construtivista para a
apreensão dos conceitos de matemática.
Finalizando a apresentação e a análise desta Proposta Curricular do
Estado de São Paulo, consideramos que as análises feitas no documento - no
que se refere à combinatória - foram importantes para o encaminhamento de
reflexões feitas com os professores sujeitos dessa pesquisa no seio dos
encontros de ensino no sentido de que eles puderam identificar como o ensino
de combinatória era feito à época, com tratamento diferenciado para a
aplicação do Princípio Multiplicativo, mas fortemente calcado no uso de
fórmulas.
Em prosseguimento às considerações deste capítulo, na seção seguinte
dá-se sequência aos aspectos relacionados às Reformas Educacionais no
Brasil iniciadas antes da análise da Proposta Curricular de Matemática para o
2º Grau, anteriormente vista.
3.2.3 Nova Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau do Estado de São Paulo
Em 18/4/1982 foi aprovada a Lei Federal nº 7.044 que alterou os
dispositivos da LDBEN nº 5.692/71 referentes à profissionalização do ensino do
2º Grau e, em função dessas alterações, foi autorizado que as escolas
tivessem a oportunidade de construir seus modelos curriculares, que
estabelecessem sua própria proposta educacional e que reorganizassem as
grades curriculares.
De modo a dar conta das alterações que se faziam necessárias
implementar desde então a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
promoveu discussões com professores vinculados à referida Secretaria em
conjunto com professores de algumas Universidades do Estado de São Paulo
138
Em abril de 1985 uma proposta preliminar contendo novas diretrizes foi
divulgada para que grupos de professores pudessem discutir e refletir sobre os
pontos ali propostos.
Como consequência dessas discussões um novo documento intitulado
“Questões para orientar a reflexão sobre o planejamento de ensino de
matemática para o 2º Grau” foi elaborado em 1986 e serviu de base para que
novas discussões que foram encaminhadas por professores integrantes da
Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP pudessem dar
forma à referida proposta.
Após reflexões dos professores da rede estadual e da apreciação por
parte de especialistas de algumas universidades de São Paulo que
participaram da fase inicial da Proposta, alguns tópicos de matemática como os
de Matemática Financeira, Potências e Expoentes foram incorporados à
proposta preliminar além da incorporação de sugestões de caráter
metodológico.
Assim, concluídas as discussões acerca de uma nova “Proposta
Curricular para o Ensino: 2º Grau”, a proposta enfim foi aprovada em 1992 e se
tornou conhecida como “Nova Proposta do 2º Grau”.
As orientações contidas nessa proposta objetivavam reorientar o
conceito de “preparação para o trabalho” em substituição ao conceito de
“qualificação profissional compulsória”, com as alterações referentes às
disciplinas que compunham o então 2º Grau (atingidas pela Lei 7.044).
Em relação aos conteúdos e propostas relativas à matemática,
doravante vamos nos referir à Proposta Curricular para o Ensino de
Matemática no 2º Grau, conforme seja a “Proposta” (SÃO PAULO, 1992a, p.
16).
Segundo a “Proposta”, considerando a necessidade de diversificar o
número de aulas disponíveis para Matemática e de modo a proceder à escolha
dos conteúdos significativos que deveriam fazer parte do programa foi preciso
levar em conta que “Estamos considerando como conteúdos significativos ao
aluno, também aqueles que realimentam a própria Matemática e os que
favorecem a interdisciplinaridade” (SÃO PAULO, 1992a, p. 14).
139
Foram sugeridos dois modelos de distribuição das aulas semanais, quais
sejam: para escolas com 2 ou 3 aulas semanais ou para um segundo grupo de
escolas com 4 ou 5 aulas semanais.
Em ambas, as recomendações de distribuição dos conteúdos, Análise
Combinatória e Probabilidade constaram como conteúdos a serem ministrados
na 2ª Série do 2º Grau.
Em relação à combinatória reproduzimos a seguir as recomendações
constantes da “Proposta” sobre os conteúdos, objetivos e comentários de
maneira que, segundo os autores, ela iria “subsidiar o professor, que ainda terá
o trabalho de complementá-la, preenchendo as lacunas, a partir de sua própria
experiência didático-pedagógica” (SÃO PAULO, 1992a, p. 17).
Além do mais segundo os autores, destaca-se que ela não seria “uma
lista de conteúdos que garante que tais dimensões por esta formação, mas
sim, a forma como esses conteúdos, ou outros, serão trabalhados [referindo-se
à critica, participação, criatividade e iniciativa]” (SÃO PAULO, 1992a, p. 16).
Quanto ao objetivo geral em relação ao ensino e à aprendizagem de
combinatória – conteúdo sugerido para ser desenvolvido na 2ª Série do 2º Grau
– as seguintes orientações constam na referida “Proposta”:
Desenvolver o raciocínio combinatório, tendo em vista: a familiarização do aluno com problemas que envolvem contagem; a sistematização da contagem; a sistematização dos conceitos de Arranjo, Permutação e Combinações Simples (SÃO PAULO, 1992a, p.16).
Os autores sugeriam que cada um dos tópicos devesse ser
sistematizado pelo professor.
Em seguida reproduzimos o objetivo e os comentários constantes da
referida “Proposta” para cada um dos tópicos
Para o Conteúdo 1 - Problemas variados de contagem - tem-se:
Objetivo : Descrever os casos possíveis envolvidos nos problemas e contá-los posteriormente. Comentários : Os primeiros contatos com o raciocínio combinatório deverão ser intuitivos, com discussões livres, proporcionando ao aluno oportunidade de apontar caminhos para solucionar os problemas, que o motive a desenvolver técnicas sistematizadas para a descrição dos casos possíveis, bem como para sua contagem. (SÃO PAULO, 1992a, p.17) (grifos nossos).
140
Consideramos que são apropriados os comentários dos autores quanto
a ênfase que atribuem ao desenvolvimento do raciocínio combinatório desde os
problemas iniciais e a exploração intuitiva pelos alunos, corroborando com o
componente intuitivo descrito por Fischbein et al (1994).
Para o Conteúdo 2 – Problemas variados; instrumentos úteis para a
sistematização da contagem (árvore de possibilidades, tabelas) – tem-se:
Objetivo: Perceber que a contagem direta é impraticável na maioria dos casos. Analisar os processos de formação dos agrupamentos. Desenvolver técnicas de contagem. Comentários: A Proposta sugere que sejam introduzidas sistemáticas para a formação de agrupamentos, bem como para sua contagem, sem necessidade da descrição de cada caso. Para tanto, a árvore de possibilidades ou tabelas de dupla entrada são instrumentos, cujo apelo visual favorece a compreensão do processo da construção dos argumentos; esse processo deve preceder o problema da contagem, uma vez que não se recomenda quantificar uma variedade de situações sem o domínio claro de seu processo de criação. Decorrente desse processo, o aluno terá indicações para o desenvolvimento de técnicas como o Princípio Multiplicativo (P.M.), que no início deverá ser apreendido intuitivamente e não de forma memorizada. (SÃO PAULO, 1992a, p.18) (grifos nossos).
Também consideramos oportuna a sugestão dos autores quanto à
utilização de diferentes representações, como é o caso da árvore de
possibilidades e da tabela de dupla entrada, bem como o uso de
procedimentos que podem ser explorados para a determinação da solução (ou
soluções) para os problemas de contagem, a exemplo do que os PCN (1997,
1998) viriam a prescrever mais tarde.
Para o Conteúdo 3 - Princípio Multiplicativo - tem-se:
Objetivo: Compreender, aplicar e generalizar o princípio Multiplicativo. Comentários: O P.M. ocupa posição de extrema importância em qualquer técnica de contagem sintética, estando quase sempre associado a situações do tipo “cada elemento de um conjunto A pode ser combinado com todos elementos de um conjunto B”. Esta questão, ao ser trabalhada com o aluno, favorece a ampliação do conceito de multiplicação. Nesta fase, os alunos se apropriam das ideias que compõem os conceitos de Arranjos, Permutações e Combinações Simples, sem formalizar qualquer um deles. (SÃO PAULO, 1992a, p.19) (grifos nossos).
Da mesma maneira que os PCN (1997) prescrevem, a citação acima
também faz referência à ampliação do conceito de multiplicação quanto à ideia
combinatória e conforme a relação “um para muitos”, segundo Nunes e Bryant
(1997), bem como se refere à não formalização precoce dos conceitos.
141
Para o Conteúdo 4 - Arranjos, Permutações e Combinatórias Simples –
têm-se:
Objetivo: Sistematizar os conceitos de Arranjos com Repetição, Arranjos Simples, Permutações e Combinações Simples. Comentários: A sistematização desses conceitos tem como base as ideias de sequência e subconjunto, subjacentes aos conceitos de Arranjos e Combinações, respectivamente. Os problemas resolvidos nas fases anteriores devem garantir paulatinamente esta visão no aluno. (SÃO PAULO, 1992a, p.20) (grifos nossos).
Em relação aos comentários citados acima, apenas no que diz respeito à
sistematização de Arranjos com Repetição, Arranjos Simples e Permutações
nos permitimos discordar dos autores por considerarmos que se trata de
conceitos já contemplados nos pressupostos do Princípio Multiplicativo, não
necessitando, portanto, de particulares sistematizações, ainda que
concordemos de que tais práticas estão presentes em grande maioria dos
livros didáticos.
Fazemos tal ressalva, embora saibamos que tal postura possa ser
justificada, em parte, pelo fato de que por vezes à época e ainda nos dias de
hoje ela também esteja presente na grande maioria dos livros didáticos.
Segundo a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, quanto à
Proposta:
No trabalho de consolidação da divulgação da Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau, na rede pública, em 1991, ficou clara a necessidade de a Secretaria da Educação estar produzindo material pedagógico de apoio à ação docente que pudesse auxiliar o professor no seu dia-a-dia em sala de aula (SÃO PAULO, 1992a, p. 5).
Por conta disso foi confeccionado o material didático intitulado
“Matemática – 2º Grau” publicado em 1992 – componente da série “A Prática
Pedagógica” – que é um material pedagógico de apoio à prática pedagógica
constituído de sugestões para “subsidiar o trabalho do professor em sala de
aula, abordando temas do cotidiano e apresentando sugestões sobre possíveis
formas de desenvolvimento dos conteúdos”.
Segundo a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo esse
material:
[...] pretende, assim, estar contribuindo para a reflexão do professor sobre sua prática, permitindo o aprofundamento de alguns aspectos teóricos que a fundamentam e a ampliação das possibilidades de escolhas metodológicas mais adequadas para realizar com sucesso seu trabalho (SÃO PAULO, 1992a, p. 5).
142
Segundo os autores do referido material, dentre os temas apontados
pelos professores como de difícil desenvolvimento “a Análise Combinatória
constituiu uma das unidades temáticas de maior dificuldade de
operacionalização em sala de aula” (SÃO PAULO, 1992a, p. 5).
De modo a atender essa demanda o material que foi preparado
apresenta:
[...] algumas sugestões para compreensão dos conceitos de Arranjos, de Permutação e Combinação a partir de problemas do cotidiano do aluno. São abordadas somente as ideias fundamentais envolvidas nesses conceitos, como a do Princípio Multiplicativo, da contagem sistematizada de sequências que se pode formar com um dado número de elementos e da contagem de subconjuntos de um dado conjunto (SÃO PAULO, 1992b, p. 6).
Ainda, segundo os autores, “Por isso tudo, o artigo chama-se
precisamente Problemas de contagem” (SÃO PAULO, 1992b, p. 6).
Nas sugestões de situações-problema em relação às propostas
presentes neste material os autores sugerem ações pedagógicas que o
professor poderia utilizar quando da prática docente.
Dentre as sugestões, destacamos:
Ao combinar objetos, em diferentes quantidades, agrupando-os, caracterizando os agrupamentos feitos – trabalhando a operação de classificação – e aperfeiçoando a maneira de contar tais agrupamentos, estaremos desenvolvendo o raciocínio combinatório e, consequentemente, dando condição para que nosso aluno enfrente com mais segurança e criatividade problemas de caráter aleatório, que dependem de uma contagem sistematizada, bem como, disponha de uma ferramenta útil e motivadora para deflagrar o aprendizado de outros conteúdos, percebendo e interiorizando o fato de que o conhecimento matemático não pode ser tratado de forma fechada em si mesmo (SÃO PAULO, 1992b, p. 7).
Dando prosseguimento à análise do material, os autores apresentam
quatro situações-problema sugerindo aos professores que explorem o tipo de
agrupamento que interessa ser formado. Além disso, fazem comentários
acerca da exploração de diferentes representações com o uso de árvores de
possibilidades e tabelas de dupla entrada e sistematizam os conceitos de
permutações simples, combinações simples e arranjos simples.
De modo indireto levam o leitor a perceber a diferenciação entre
sequências de letras (“palavras distintas” ou “palavras diferentes”) estão
diretamente associadas à aplicação do princípio multiplicativo e nos casos de
143
subconjuntos formados por letras nos casos de combinações simples, através
de um exemplo.
A Proposta finaliza mostrando uma árvore de possibilidades que
apresenta “assimetria” e contém todas as soluções a uma dada situação-
problema apontando como uma das razões para o seu não uso o “pequeno
auxílio que a árvore presta à resolução do problema” quando envolve um
elevado número de objetos, pois se trata de um problema de combinações
simples de objetos. Por conta disso é indicada a sistematização do conceito de
combinações simples como o caminho para a obtenção de soluções de
problemas do tipo.
Em prosseguimento, a Proposta concretiza a resolução da situação-
problema sistematizando o número de combinações simples como sendo
resultante da divisão entre o número de arranjos simples e o número de
permutações simples sugerindo que o professor generaliza os procedimentos
utilizados neste problema.
Convém ressaltar, que, embora esta Proposta possa se apresentar
como apoio à prática pedagógica do professor, pois contêm sugestões de
problemas, sua leitura e reflexões resultantes não são suficientes o bastante
para atender às necessidades de todos os professores – nem é de sua alçada.
Como muitos professores têm pouco domínio desse tema, consideramos que
os exemplos não apresentam variedade de abordagem que permitam a esses
docentes aprofundar os conceitos envolvidos.
3.3 Parâmetros Curriculares Nacionais
Ainda em 1987 iniciaram-se discussões a respeito da elaboração de um
projeto para servir de base a uma nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional que revelavam grandes preocupações com os rumos em relação à
qualidade da Educação que era oferecida e a atenção que deveria ser dada às
crianças.
Em 1988, com a promulgação da nova Constituição Brasileira,
importantes passos foram dados em relação aos direitos que deveriam ser
respeitados e assegurados à criança pelos pais, pela sociedade e pelo poder
144
público bem como o desenvolvimento da pessoa, seu preparo para o exercício
da cidadania e sua qualificação para o trabalho (CONSTITUIÇÃO FEDERAL,
1988, art. 205).
Após mais de quatro anos tramitando em negociações na Câmara dos
Deputados - sem que houvesse um parecer conclusivo sobre o teor da matéria
- o projeto que deveria servir de base à nova Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional sofreu grande impacto quando o então Senador Darcy
Ribeiro, através de texto próprio apresentou-o à Mesa Diretora do Senado
Federal.
Tal decisão causou um atropelo nas negociações que até então estavam
sendo encaminhadas na Câmara dos Deputados e por conta disso a Câmara
apressou suas negociações e em 1993 encaminhou ao Senado Federal seu
Projeto de Lei para apreciação.
Com a eleição do presidente Fernando Henrique Cardoso, seu Ministro
da Educação Paulo Renato de Souza tomou frente nas negociações e em 1995
- após acordo do Ministro com Senadores da base governista - o Senador
Darcy Ribeiro apresentou um substitutivo à Mesa Diretora do Senado sendo o
projeto aprovado e em seguida sancionado pelo Presidente da República.
Dando fim a essa longa trajetória, a atual Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional - Lei nº 9.394 finalmente foi promulgada em 20/12/1996.
Destaca-se no texto da Lei nº 9.394/96 a presença de aspectos
pedagógicos relativos à corrente construtivista para a apreensão dos conceitos
matemáticos - salientados pela Secretaria de Educação do Estado de São
Paulo desde 1978 e presentes na Proposta Curricular de São Paulo de 1980 –,
e agora presentes no texto da Lei nº 9.394/96.
Além dessas questões, a Lei nº 9.394/96 define que a Educação Básica
será composta pela Educação Infantil, pelo Ensino Fundamental e pelo Ensino
Médio.
Com as promulgações da Constituição de 1988 e da Lei nº 9.394/96 e
em consequência da forte influência que os princípios democráticos - de
acesso e de direitos relativos à educação passaram a representar, era preciso
145
desde então traçar novos rumos para toda a Educação Básica o que, de fato,
começou a ser feito.
Em relação às recomendações colocadas na Lei 9394/96 relativas aos
objetivos da educação destacam-se: “A educação escolar deverá vincular-se
ao mundo do trabalho e à prática social” (Art. 1.º, § 2.º) e a alteração do caráter
propedêutico ou profissionalizante do Ensino Médio - presente na lei anterior -
pelo de terminalidade e continuidade, presente nesta.
Em seu artigo 26 a presente Lei 9394/96 determina que os “currículos do
ensino fundamental e médio devem ter uma base nacional comum, a ser
complementada [...] por uma parte diversificada” e que, para a construção do
novo Currículo para o Ensino Médio, que deverão ser obedecidas algumas
diretrizes, como as constantes do Art. 36.º, § 1.º: “Os conteúdos, as
metodologias e as formas de avaliação serão organizados de tal forma que ao
final do ensino médio o educando demonstre: I – domínio dos princípios
científicos e tecnológicos que presidem a produção moderna;..” (BRASIL, 1996,
p.15).
Por conta da presente Lei foi necessário que o Ministério da Educação
envidasse esforços no sentido de normatizar parâmetros que prescrevessem
mecanismos - para toda a comunidade escolar - que dessem conta de orientar
práticas pedagógicas e metodológicas do professor e ações coletivas dos
gestores para todos os segmentos de ensino abrangidos pela presente Lei.
Ressalte-se que estudos nesse sentido - ao menos aqueles que se
relacionam à Matemática - iniciaram-se logo após a promulgação da
Constituição de 1988 para dar conta de sistematizar recomendações para
todos os segmentos da Educação Básica.
Para o segmento Educação Infantil; 1º Ciclo (1ª e 2ª séries) e 2º Ciclo (3ª
e 4ª séries) do Ensino Fundamental foram elaborados os PCN para o Ensino
Fundamental em 1997; 3º Ciclo (5ª e 6ª séries) e 4º Ciclo (7ª e 8ª séries) do
Ensino Fundamental foram elaborados os PCN para o Ensino Fundamental em
1998; Ensino Médio, foram elaborados os PCN para o Ensino Médio – PCNEM
- em 1999; e também foram elaboradas orientações educacionais
complementares aos PCNEM, conhecidos como PCN+, em 2002.
146
Assim, grupos de educadores matemáticos e alguns matemáticos
debruçaram-se em reuniões e discussões para elaborarem os parâmetros
norteadores para o ensino e a aprendizagem de Matemática bem como outros
educadores para as demais disciplinas constantes da Educação Básica.
Dando prosseguimento às questões deste capítulo a seção seguinte
apresenta uma síntese dos aspectos relacionados com o ensino e a
aprendizagem de combinatória (problemas de contagem) na Educação Básica -
particularmente aqueles prescritos pelos PCN para o Ensino Fundamental –
uma vez que os PCN também serviram de referência para a elaboração no
novo Currículo da Secretaria de Estado de Educação de São Paulo (2010).
3.3.1 - PCN e os Problemas de Contagem
Os alunos da Educação Básica – desde as séries iniciais – precisam
adquirir conhecimentos relacionados com o levantamento de possibilidades e a
medida da chance de cada uma delas, inicialmente com o uso de ideias
intuitivas que se complementam com a apropriação do raciocínio combinatório.
A seguir, com o conhecimento e o uso de procedimentos que dão conta
de resolver situações-problema associadas a esses conteúdos.
É neste arcabouço de ideias que o raciocínio combinatório pode ser
explorado ao longo da Educação Básica como sugerem os PCN (1997):
A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; aprender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos (BRASIL, 1997, p.19).
Quanto ao papel que a matemática desempenha no Ensino
Fundamental encontramos nos PCN (1997):
A Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples como contar, comparar e operar sobre quantidades. [...] a Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. [...] Essa potencialidade do conhecimento matemático deve ser explorada, da forma mais ampla possível, no ensino fundamental. Para tanto, é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações
147
da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares (BRASIL, 1997, p. 29).
Em relação a este trabalho de pesquisa realçamos a exploração do
raciocínio combinatório desde os anos iniciais do Ensino Fundamental como
um tema a ser explorado pelos professores de matemática e que esteve no
centro das reflexões e discussões do grupo de professores durante o
desenvolvimento da sequência de ensino objeto deste estudo.
Nos PCN (1997) para o ensino dos problemas de contagem
encontramos a seguinte citação acerca da importância do desenvolvimento do
raciocínio combinatório:
A contagem, ao mesmo tempo em que possibilita uma abordagem mais completa da probabilidade por si só, permite o desenvolvimento de uma nova forma de pensar em Matemática, denominada raciocínio combinatório. Ou seja, decidir sobre a forma mais adequada de organizar números ou informações para poder contar os casos possíveis não deve ser aprendido como uma lista de fórmulas , mas como um processo que exige a construção de um modelo simplificado e explicativo da situação (BRASIL, 1997, p. 54) (grifo nosso).
Chamamos a atenção do leitor para o fato de que a citação acima, em
grifo, contempla um dos objetivos mais precípuos do trabalho que foi
desenvolvido junto com o grupo de professores da formação continuada objeto
desta investigação, qual seja: contar todos os casos possíveis de uma situação
sem o uso de fórmulas, ao menos no Ensino Fundamental.
Tomando essa sugestão como referência, utilizamo-la nas discussões e
reflexões encaminhadas com os sujeitos da pesquisa bem como também
serviram de referência quando da concepção das atividades que foram
desenvolvidas nos encontros de ensino.
Esse propósito esteve sempre presente nas reflexões com os sujeitos da
pesquisa durante a resolução das situações-problema propostas sugerindo que
o professor possa sistematizar os conceitos abordados por meio de fórmulas
somente no Ensino Médio.
Entre os objetivos gerais do ensino da Matemática no Ensino
Fundamental prescritos pelos PCN destacamos duas das finalidades mais
próximas a este trabalho de pesquisa envolvendo o raciocínio combinatório
desde os anos iniciais, conforme se constata nos PCN (1997):
148
[...] Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente; resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis (BRASIL, 1997, p. 51).
Nos PCN (1997, 1998, 1999) foi criado um novo Bloco de Conteúdos
denominado Tratamento da Informação contemplando combinatória,
probabilidade e estatística com ênfase nos Problemas de contagem -
envolvendo o Princípio Aditivo e o Princípio Multiplicativo - e onde são
prescritas claras recomendações ao desenvolvimento de atividades que
contemplem tais conteúdos, como se pode constatar nos PCN (1997) em:
Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão "tratar" as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à probabilidade e à combinatória (BRASIL, 1997, p.53).
Entre os objetivos de Matemática para o segundo ciclo (4ª e 5ª Séries),
destaca-se nos PCN (1997):
[...] Utilizar diferentes registros gráficos – desenhos, esquemas, escritas numéricas – como recurso para expressar ideias, ajudar a descobrir formas de resolução e comunicar estratégias e resultados. Identificar características de acontecimentos previsíveis ou aleatórios a partir de situações-problema, utilizando recursos estatísticos e probabilísticos. [...] Demonstrar interesse para investigar, explorar e interpretar, em diferentes contextos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento, os conceitos e procedimentos matemáticos abordados neste ciclo. Vivenciar processos de resolução de problemas, percebendo que para resolvê-los é preciso compreender, propor e executar um plano de solução, verificar e comunicar a resposta (BRASIL, 1997, p. 81-82).
Segundo os PCN (1997), para a compreensão efetiva da multiplicação é
preciso explorar quatro diferentes grupos de atividades, dentre as quais às
associadas à Combinatória, o que vem a favorecer a aprendizagem desse
conceito através de diferentes abordagens.
O primeiro deles diz respeito à multiplicação comparativa, desenvolvida
nos dois primeiros ciclos do Ensino Fundamental, a saber:
Dentre as situações relacionadas à multiplicação e à divisão, a serem exploradas nestes dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos: Num primeiro
149
grupo, estão as situações associadas ao que se poderia denominar multiplicação comparativa. Exemplos: - Pedro tem R$ 5,00 e Lia tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Lia? – Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos tem João? A partir dessas situações de multiplicação comparativa é possível formular situações que envolvem a divisão. Exemplo: - Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro, quanto tem Pedro? (BRASIL, 1997, p.109) (grifo dos autores).
O segundo deles diz respeito à ideia de proporcionalidade:
Num segundo grupo, estão as situações associadas à comparação entre razões, que, portanto, envolvem a ideia de proporcionalidade. Os problemas que envolvem essa ideia são muito frequentes nas situações cotidianas e, por isso, são mais bem compreendidos pelos alunos. Exemplos: - Marta vai comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto ela vai pagar pelos três pacotes? (A ideia de proporcionalidade está presente: 1 está para 8, assim como 3 está para 24.) – Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis? (Situação em que o aluno deve perceber que comprará o dobro de abacaxis e deverá pagar – se não houver desconto – o dobro, R$ 5,00, não sendo necessário achar o preço de um abacaxi para depois calcular o de 4.) A partir dessas situações de proporcionalidade, é possível formular outras que vão conferir significados à divisão, associadas às ações “repartir (igualmente)” e “determinar quanto cabe”. Exemplos associados ao primeiro problema: - Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote: (A quantia em dinheiro Serpa repartida igualmente em 3 partes e o que se procura é o valor de uma parte.) – Marta gastou R$ 24,00 na compra de pacotes de chocolate que custavam R$ 3,00 cada um. Quantos pacotes de chocolate ela comprou? (Procura-se verificar quantas vezes 3 cabe em 24, ou seja, identifica-se a quantidade de partes.) (BRASIL, 1997, p.110) (grifo dos autores).
O terceiro deles diz respeito à configuração retangular:
Num terceiro grupo, estão as situações associadas à configuração retangular. Exemplos: - Num pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no auditório? – Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 6 cm por 9 cm? Nesse caso, a associação entre a multiplicação e a divisão é estabelecida por meio de situações tais como: - As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se são 7 as fileiras, quantas são as colunas? – A área de uma figura retangular é de 54 cm2. Se um dos lados mede 6 cm, quanto mede o outro lado? (BRASIL, 1997, p.110-111) (grifo dos autores).
E, finalmente o quarto grupo - que é aquele mais diretamente associado
aos objetivos deste trabalho de pesquisa – em que estão presentes situações-
problema associadas à ideia de combinatória. Os PCN apresentam sugestões
de atividades que poderão ser exploradas com essa abordagem, como a
seguir:
Num quarto grupo, estão as situações associadas à ideia de combinatória. Exemplo: - Tendo duas saias – uma preta (P) e uma branca (B) – e três blusas – uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C) -, de quantas maneiras diferentes posso me vestir? Analisando
150
esse problema, vê-se que a resposta à questão formulada depende das combinações possíveis; no segundo, por exemplo, os alunos podem obter a resposta, num primeiro momento, fazendo desenhos, diagramas de árvore, até esgotar as possibilidades: (P,R), (P,A),
(P,C), (B,R), (B,A), (B,C):
S S S
B B B
S S S . Esse resultado, que se traduz pelo número de combinações possíveis entre os termos iniciais evidencia um conceito matemático importante, que é o de produto cartesiano. Note-se que por essa interpretação não se diferenciam os termos iniciais, sendo compatível a interpretação da operação com sua representação escrita. Combinar saias com blusas é o mesmo que combinar blusas com saias e isso pode ser expresso por 2 x 3 = 3 x 2. (BRASIL, 1997, p.111-112) (grifo dos autores).
Ainda como prescrito nos PCN (1997), tem-se:
A ideia de combinação também está presente em situações relacionadas com a divisão: - Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia três moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes? Os alunos costumam selecionar esse tipo de problema por meio de tentativas apoiadas em procedimentos multiplicativos, muitas vezes representando graficamente o seguinte raciocínio: - Um rapaz e 3 moças formam 3 pares. – Dois rapazes e 3 moças formam 6 pares. – Três rapazes e 3 moças formam 9 pares. – Quatro rapazes e 3 moças formam 12 pares. (BRASIL, 1997, p.112).
Problemas de multiplicação e de divisão devem ser propostos em
conjunto como os apresentados acima e sugerido o uso de uma árvore de
possibilidades para mostrar todas as possíveis soluções até o momento que o
aluno considera não ser mais preciso o seu uso, utilizando-se do princípio
multiplicativo e do princípio aditivo, quando for o caso.
Os autores dos PCN (1997) chamam a atenção para o importante papel
que os problemas cumprem em relação à apreensão dos conceitos
relacionados à multiplicação, como em:
Levando-se em conta tais considerações, pode-se concluir que os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar as oportunidades para as crianças, do primeiro e segundo ciclos, interagirem com os diferentes significados das operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas (BRASIL, 1997, p.112).
As primeiras noções relacionadas aos problemas de contagem são
sugeridas serem apresentadas já nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
como prescrito nos PCN (1997):
Estar alfabetizado, neste final de século, supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir representações, para formular e resolver problemas que impliquem o
151
recolhimento de dados e a análise de informações. Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os ciclos iniciais. [...] Pela observação da frequência de ocorrência de um dado acontecimento, e um número razoável de experiências, podem-se desenvolver algumas noções de probabilidade (BRASIL, 1997, p.132-133).
Segundo as orientações da Secretaria de Educação Básica do MEC:
O estudo da combinatória e da probabilidade é essencial neste bloco de conteúdo, pois os alunos precisam adquirir conhecimentos sobre o levantamento de possibilidades e a medida da chance de cada uma delas. A combinatória não tem apenas a função de auxiliar o cálculo das probabilidades, mas tem inter-relação estreita entre as ideias de experimento composto a partir de um espaço amostral discreto e as operações combinatórias. Por exemplo, ao extrair aleatoriamente três bolas de uma urna com quatro possibilidades, este experimento aleatório tem três fases, que podem ser interpretadas significativamente no espaço amostral das variações. A utilização do diagrama de árvores é importante para clarear a conexão entre os experimentos compostos e a combinatória, pois permite que visualizemos a estrutura dos múltiplos passos do experimento (BRASIL, 2008, p. 79).
Também em estatística, ainda na Educação Básica, o uso do raciocínio
combinatório se fará presente quando for preciso coletar dados, organizá-los e
fizer a representação deles por meio de tabelas e gráficos.
Segundo orientações da Secretaria de Educação Básica do MEC:
Durante o ensino médio, os alunos precisam adquirir entendimento sobre o propósito e a lógica das investigações estatísticas, bem como sobre o processo de investigação. Deve-se possibilitar aos estudantes o entendimento intuitivo e formal das principais ideias matemáticas implícitas em representações estatísticas, procedimentos ou conceitos. Isso inclui entender a relação entre síntese estatística, representação gráfica e dados primitivos (BRASIL, 2008, p. 79).
As sugestões de desenvolvimento de atividades apresentadas acima
estão presentes no Currículo de São Paulo (2010) como poderá ser visto ao
longo da seção 3.4, a seguir.
3.4 Currículo atual de Matemática da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
3.4.1 Projeto Político-Pedagógico do currículo de matemática
De acordo com as peculiaridades da região em que está localizada uma
determinada escola - dentro das características regionais presentes em todo o
Estado de São Paulo - com as especificidades próprias de seus moradores e,
152
por conseguinte, de seus alunos, a escola organiza ou (re) organiza o seu
projeto político-pedagógico (SÃO PAULO, 2010).
Esse projeto político-pedagógico - explícito ou implícito - é resultante de
reflexões, discussões e debates de todos os componentes relacionados com a
instituição escola: alunos, professores, gestores, pais ou responsáveis,
comunidade civil organizada ou não, a respeito dos problemas e das intenções
que se queira propor para buscar soluções que devem ser empreendidas
através de ações colaborativas entre todos os envolvidos, levando em conta as
diretrizes curriculares do Município, do Estado e as do Governo Federal (SÃO
PAULO, 2010).
Contudo, cabe ressaltar a organização e a orientação dessas reflexões e
discussões passam necessariamente pelo professor estando ele na função
docente ou na função de gestor.
A partir da motivação de cada professor, seu engajamento e seu
comprometimento com as questões relacionadas às ações educativas é que
um projeto político-pedagógico sai da esfera “do que se espera” para “o que
pode e se deseja fazer”.
Ou seja, passa a ser significativo no sentido de ser transparente, ser
viável, fruto das aspirações do cotidiano escolar e principalmente ao alcance de
todos os envolvidos, atendendo assim ao que foi proposto.
A consecução das propostas que venham a ser sugeridas nesses fóruns
de discussão passará - obrigatória e inexoravelmente - pelas mãos do
professor.
É ele o propulsor dessas ideias e uma vez que venha a abraçá-las e se
considere como responsável ou corresponsável por elas, passa a assumir o
comando desse trabalho colaborativo com vistas à consecução dos objetivos
que todo o grupo espera vir a alcançar uma vez que as ideias tenham o
respaldo de todos os envolvidos.
Os resultados bem sucedidos desses projetos - antes de terem
resultados de caráter quantitativo - formam alicerces para a formação de
crianças e jovens que estão sendo preparados para o pleno exercício da
cidadania com a observância de seus direitos e de seus deveres.
153
Um projeto político-pedagógico vai desde a concepção de projetos
multidisciplinares de alcance entre membros da comunidade - em conjunto com
a comunidade escolar - até questões de caráter metodológico e pedagógico
que ocorrem no dia a dia da sala de aula afetando diretamente a prática
docente do professor e o ensino e a aprendizagem dos alunos.
Um bom exemplo para isso se refere às sugestões que podem ser
encaminhadas pelos professores no sentido de introduzir os conceitos e
procedimentos relacionados com os problemas de contagem nos momentos
em que todo o grupo julgue conveniente fazê-las, conforme comentamos na
seção anterior.
É claro que esses projetos político-pedagógicos devem levar em conta
aspectos que dizem respeito tanto ao contexto social que envolve a escola e
seu entorno quanto à visão da totalidade, da inserção dos alunos e da
comunidade na sociedade.
Nas situações em que ocorrem essas reflexões e discussões acerca das
concepções e encaminhamentos dos projetos político-pedagógicos os
currículos ou orientações curriculares advindas das Secretarias de Educação e
das Orientações Curriculares do Ministério da Educação representam
significativos instrumentos de orientação para a definição dos propósitos
desses projetos.
Essas questões se refletem quando - e principalmente - passam a
incorporar em suas diretrizes o processo social em que se baseia a produção
do conhecimento.
Há que se considerarem os conhecimentos que foram historicamente
produzidos - uma vez que assim também o fazem as orientações dessas
esferas educativas - e as maneiras viáveis com que esses conhecimentos
também possam vir a ser produzidos pelos alunos, respeitadas as condições,
especificidades e limitações em que se darão essas produções.
Quanto a essa questão nos valemos de considerações pertinentes feitas
por Silva (2009) a esse respeito, como se constata a seguir:
Portanto, achamos que um currículo de Matemática deve atender, concomitantemente, a duas dimensões distintas que justificam sua importância por diferentes aspectos: uma dimensão crítica, em que a
154
escolha do conteúdo fica submetida à utilização ou não em projetos que visam à transformação da sociedade; uma dimensão puramente matemática, voltada muito mais a questões organizacionais, em que a importância dos conteúdos se justifica pela variedade de conexões imagináveis entre os variados temas possíveis de serem abordados.
De qualquer modo, o respeito às propostas, crenças e problemas locais acarreta um exercício necessário de ouvir a comunidade e compreendê-la como uma cultura singular que não pode preconceituosamente julgada por ser apenas diferente (SILVA, 2009, p. 97).
O Currículo da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (2010) -
pioneiro na proposição de muitas propostas inovadoras - têm incorporado a si,
entre as diversas sugestões e orientações que prescreve aquelas que dizem
respeito à sugestão quanto à possibilidade de mudança do foco do trabalho
docente centralizado no ensino para o foco na aprendizagem, recomendação
feita desde a LDBEN nº 9394, de 1996, embora os autores do currículo
considerarem ser uma tarefa difícil se feita em função de diferentes aspectos
que a envolvem.
Sob este foco a principal bandeira de sua proposta diz respeito à
contribuição que possa dar para a ”melhoria da qualidade das aprendizagens
dos alunos” e o trabalho docente calcado em desenvolver competências e
habilidades desse (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
Quanto a essa questão têm-se no Currículo de São Paulo (2010) os
seguintes princípios:
Este documento apresenta os princípios orientadores do currículo para uma escola capaz de promover as competências indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais, culturais e profissionais do mundo contemporâneo. Contempla algumas das principais características da sociedade do conhecimento e das pressões que a contemporaneidade exerce sobre os jovens cidadãos, propondo princípios orientadores para a prática educativa, a fim de que as escolas possam preparar seus alunos para esse novo tempo. Ao priorizar a competência de leitura e escrita, o Currículo define a escola como espaço de cultura e de articulação de competências e de conteúdos disciplinares (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
Considerando as orientações presentes no projeto-político do Currículo
de São Paulo (2010) na seção seguinte vamos analisar sob que aspectos este
currículo tem aderência aos princípios de enculturação propostos por Bishop
(1997) - conforme apresentados no Capítulo 2 – e os concebe em suas
orientações curriculares.
155
3.4.2 Um currículo enculturador
Muitos dos autores do atual Currículo do Estado de São Paulo –
Matemática e suas Tecnologias – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino
Médio (SÃO PAULO, 2010), em ação desde 2008 através da Proposta
Curricular que o antecedeu também participaram da elaboração das
orientações prescritas nos PCN (1997, 1998, 1999).
Por conta disso o atual Currículo do Estado de São Paulo se apresenta
com a colaboração desses educadores matemáticos através de pressupostos e
concepções à luz dos parâmetros quando das reflexões, elaboração e análises
muito antes de serem apresentadas à comunidade escolar nas versões
anteriores à elaboração, na forma de proposta curricular.
A Proposta Curricular enfim teve sua versão definitiva lançada na forma
do Currículo do Estado de São Paulo em 2010 após ser utilizada pelos
professores por dois anos letivos - 2008 e 2009 - como referencial para as
atividades escolares após a incorporação de sugestões dos diversos
segmentos envolvidos em sua elaboração.
Definitiva não seria a mais adequada palavra para um Currículo que está
em permanente construção, aberto que está a sugestões, reflexões e
propostas de inserção e/ou subtração para torná-lo em permanente
complementação.
Sobre essa questão assim se refere o texto durante sua apresentação:
Como anunciado em 2008, o Currículo continuará a ser permanentemente complementado com um conjunto de ações, de projetos e de documentos com orientações pedagógicas e de gestão para apoiar as equipes gestoras e os professores no que se refere à qualidade do ensino em nossas escolas. A participação de todos no trabalho de análise da Proposta Curricular do Estado de São Paulo, para os ajustes necessários, reafirmou nossa crença de que a maneira mais saudável de fazer oposição às ideias é conhecê-las, aplicando-as e discutindo-as após sugerir as mudanças necessárias (SÃO PAULO, 2010, p. 4).
Tal Currículo é resultante da incorporação de experiências anteriores
bem sucedidas da própria Secretaria de Educação, o apoio às iniciativas bem
sucedidas em algumas escolas da rede de ensino e avançou no sentido de
procurar cada vez mais a melhoria da qualidade da aprendizagem dos alunos.
156
Em relação ao processo que desencadeou a elaboração do atual
Currículo nele têm-se explicitamente apontado:
Este processo partiu dos conhecimentos e das experiências práticas já acumulados, ou seja, partiu da recuperação, da revisão e da sistematização de documentos, publicações e diagnósticos já existentes e do levantamento e análise dos resultados de projetos ou iniciativas realizados. No intuito de fomentar o desenvolvimento curricular, a secretaria de Educação tomou assim duas iniciativas complementares. A primeira delas foi realizar amplo levantamento do acervo documental e técnico pedagógico existente. A segunda deu início a um processo de consulta a escolas e professores para identificar, sistematizar e divulgar boas práticas existentes nas escolas de São Paulo (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
Em relação aos princípios norteadores do Currículo, ainda em sua
apresentação, tem-se a seguinte citação:
Este documento apresenta os princípios orientadores do currículo para uma escola capaz de promover as competências indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais, culturais e profissionais do mundo contemporâneo. Contempla algumas das principais características da sociedade do conhecimento e das pressões que a contemporaneidade exerce sobre os jovens cidadãos, propondo princípios orientadores para a prática educativa, a fim de que as escolas possam preparar seus alunos para esse novo tempo. Ao priorizar a competência de leitura e escrita, o Currículo define a escola como espaço de cultura e de articulação de competências e de conteúdos disciplinares (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
O atual Currículo tomou por base experiências bem sucedidas em
escolas da Rede Estadual de Ensino e pretende “apoiar o trabalho realizado
nas escolas estaduais e contribuir para a melhoria da qualidade das
aprendizagens dos alunos” (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
Segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010):
Esse processo partiu dos conhecimentos e das experiências práticas já acumulados, ou seja, partiu da recuperação, da revisão e da sistematização de documentos, publicações e diagnósticos já existentes e do levantamento e análise dos resultados de projetos ou iniciativas realizados (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
Para dar prosseguimento a essa iniciativa e de modo mais abrangente, a
Secretaria de Educação do Estado de São Paulo implementou duas
complementares iniciativas, conforme os autores de São Paulo (2010):
A primeira delas foi realizar amplo levantamento do acervo documental e técnico pedagógico existente. A segunda deu início a um processo de consulta a escolas e professores para identificar, sistematizar e divulgar boas práticas existentes nas escolas de São Paulo (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
157
Em relação à primeira das iniciativas é importante considerar que
“Pensar o currículo hoje é viver uma transição na qual, como em toda
transição, traços do velho e do novo se mesclam nas práticas cotidianas” (SÃO
PAULO, 2010, p. 13) e, como tal, a segunda iniciativa mostrou-se bastante
oportuna e pertinente ao considerar que a experiência dos professores foi - e
não poderia deixar de ser - contemplada em um novo currículo.
Por conta disso e de outras considerações que faremos em seguida
podemos afirmar - à luz do que interpretamos no Currículo da Secretaria de
Educação do Estado de São Paulo de 2010 - que não se trata apenas de mais
um Currículo que atende aos anseios da Sociedade do Século XXI com
diretrizes curriculares sugeridas para serem colocadas em prática, mas o
resultado da participação de toda uma coletividade inserida em torna da escola
pública estadual de São Paulo.
A proposta é muito mais que somente àquela que se possa ter tido a
oportunidade de conhecer e de vivenciar em propostas curriculares anteriores
da própria Secretaria de Estado de Educação de São Paulo.
Ela é decorrente de inovações em relação à base de sustentação
teórica, aos objetivos a serem alcançados, ao encaminhamento de atividades e
ao desenvolvimento dos conteúdos pelo professor, por exemplo.
Ela é abrangente e propõe orientações em dois documentos básicos: o
primeiro deles, o currículo em si e o segundo deles composto de um “conjunto
de documentos, com orientações para a gestão do Currículo na escola” (SÃO
PAULO, 2010, p. 7).
Na primeira das orientações, tem-se o Currículo em si, destinado a todos
que trabalham articulados com a Educação nas diferentes esferas da
Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.
Na segunda das orientações, têm-se documentos para gestores
escolares denominado de “Caderno do Gestor” no sentido de definir atribuições
e orientações para esses profissionais que atuam nas unidades escolares com
relação às maneiras pelas quais esse Currículo prescrito pode se tornar um
Currículo em ação, em prática, em execução.
158
O “Caderno do Gestor” é dirigido para três diferentes grupos de
personagens que devem trabalhar de forma articulada para atingirem a
consecução dos objetivos planejados: gestores, professores e alunos, tendo o
professor como elemento central, articulador, que coordena as ações e que é
capaz de traduzir as orientações e levá-las aos alunos num trabalho
coordenado para atingir a melhoria da aprendizagem destes.
Esse documento “não trata da gestão curricular em geral, mas tem a
finalidade específica de apoiar o gestor para que ele seja um líder capaz de
estimular e orientar a implementação do Currículo nas escolas públicas
estaduais de São Paulo” (SÃO PAULO, 2010, p. 7-8).
Para tal, consideram os autores, devem ser respeitadas as diversidades
de opiniões, as características peculiares da região e da escola nas quais
estará sendo concebido e do projeto político-pedagógico de cada unidade
escolar mesmo que por vezes ele venha a não existir explicitamente, mas que,
mesmo implicitamente, contenha sugestões de todos que dele se preocupam
em concebê-lo e colocá-lo a serviço da comunidade escolar.
Segundo o Currículo da Secretaria de Educação do Estado de São
Paulo (2010) esses documentos se fazem necessários - e são importantes - no
sentido de garantir a efetividade das sugestões prescritas no Currículo de
modo a garantir que ele chegue à comunidade escolar de maneira clara e
efetiva a todos que dele devem se apropriar com suas concepções e
sugestões.
As considerações que serão feitas a seguir têm o propósito de verificar
se há aderência entre os princípios de Enculturação Matemática enunciados
por Bishop (1997) - e aqui considerados anteriormente - e as proposições
contidas no Currículo da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
(2010) além de realizar considerações em relação às competências - foco
sobre o qual se fundamentam as orientações deste currículo.
Iniciamos brevemente com considerações em relação aos aspectos de
Enculturação Matemática que estão presentes no Currículo do Estado de São
Paulo (2010).
159
Em linhas gerais, com o Currículo atual as orientações ali presentes
constituem-se em um veículo para a disseminação dos valores presentes em
atividades de Matemática para as gerações de alunos da Educação Básica o
que perpetua os valores da matemática a gerações futuras.
É importante esclarecer que ao considerarmos a possibilidade de
realizarmos essas análises não estamos a priori considerando que os autores
do Currículo do Estado de São Paulo devam ter-se utilizado das principais
ideias descritas no trabalho de Bishop (1997), como foi feito neste trabalho, por
exemplo.
Ou que tenham se valido de princípios semelhantes oriundos de outro
(s) teórico (s) para a sua elaboração ou até mesmo que a elaboração de um
Currículo deva levar em conta como fundamentação teórica a concepção de
princípios enunciados segundo ideias advindas de um particular teórico.
Pelo contrário, consideramos válida a contribuição de diferentes fontes
de pesquisa que venham a contribuir para a aproximação do Currículo às
necessidades e peculiaridades da coletividade a que se destina não perdendo
a visão de mundo presente em nossa sociedade contemporânea.
A proposta dessas análises, inserida neste item, visa identificar se na
base de proposições e prescrições presentes no Currículo em relação a uma
base de conhecimentos matemáticos há a aderência do todo ou parte dos
princípios propostos por Bishop (1997) considerando serem estes
conhecimentos importantes para a atuação do professor em sala de aula.
Consideramos que, independente dos conhecimentos que o professor
deva ter e relacionado aos conteúdos, aos conhecimentos pedagógicos e aos
conhecimentos metodológicos, os conhecimentos curriculares devem ocupar
um lugar de destaque para a atuação do professor em sala de aula.
Assim, não está em questão aqui nesta análise se o Currículo deveria ou
não ter se apropriado dos princípios propostos por Bishop (1997) ou por esse
ou aquele teórico ou se, e até mesmo, esses princípios deveriam estar
presentes implícita ou explicitamente identificados.
Trata-se de um exercício de identificação que objetiva verificar a
presença ou não desses princípios e reafirmar, se for o caso, sua apreciação.
160
O Currículo ressalta a importância de ser desenvolvido pelos alunos na
Educação Básica um elenco de competências básicas que incluem três pares
complementares de competências.
Essas, por sua vez, constituem três eixos norteadores da ação
educacional que foram identificadas a partir das ideias gerais apresentadas na
formulação do ENEM (muito embora essas relações existentes não tenham
sido explicitamente colocadas no Currículo), a saber:
expressão/compreensão: ... a capacidade de compreensão do outro, do não eu, do que me complementa, o que inclui desde a leitura de um texto, de uma tabela, de um gráfico, até a a compreensão de fenômenos históricos, sociais, econômicos, naturais, etc;
argumentação/decisão: a capacidade de argumentação, de análise e de articulação das informações e relações disponíveis, tendo em vista a viabilização da comunicação, da ação comum, a construção de consensos e a capacidade de elaboração de sínteses de leituras e de argumentações, tendo em vista a tomada de decisões, a proposição e a realização de ações efetivas e
contextualização/abstração: a capacidade de contextualização dos conteúdos estudados na escola, de enraizamento na realidade imediata, nos universos de significações – sobretudo no mundo do trabalho -, e a capacidade de abstração, de imaginação, de consideração de novas perspectivas, de virtualidades, de potencialidades para se conceber o que ainda não existe (São Paulo, 2010, p. 31-32) (grifo dos autores).
Fazendo um paralelo com os princípios para o reequilíbrio dos valores
ligados ao saber matemático, conforme Bishop (1997), o Currículo de São
Paulo (2010) faz algumas considerações que se aproximam deles conforme se
pode constatar em relação ao Princípio da formalização com significado,
explicitamente na afirmação seguinte:
No eixo argumentação/decisão, o papel da Matemática como instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico da análise racional – tendo em vista a obtenção de conclusões necessárias – é bastante evidente (SÃO PAULO, 2010, P. 32-33).
Ressalte-se também, que neste eixo, têm-se aspectos próximos ao valor
transparência da cultura matemática, segundo Bishop (1997).
Segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010), e relativamente a
esse eixo, destacam-se dois pontos cruciais:
[...] na construção do pensamento lógico, seja ele indutivo ou dedutivo, a Matemática e a língua materna partilham fraternalmente a função de desenvolvimento do raciocínio e no tocante à capacidade de sintetizar, de tomar decisões a partir dos elementos disponíveis, a Matemática assume um papel preponderante. Suas situações-problema são mais nítidas do que as outras matérias, favorecendo o
161
exercício do movimento argumentar/decidir ou diagnosticar/propor. Em outras palavras, aprende-se a resolver problemas primariamente na Matemática e secundariamente nas outras disciplinas (SÃO PAULO, 2010, p. 32).
Na citação acima, constata-se elementos associados ao Princípio do
formalismo bem como que nos Cadernos do Professor e do Aluno, material
pedagógico da Secretaria de Estado de Educação de São Paulo, é possível
que professores e alunos tomem contato com situações-problema próximas à
realidade dos alunos, segundo características do Princípio da explicação.
Em relação aos Princípios da visão ampla e elementar e da
acessibilidade eles estão representados no Currículo de São Paulo (2010) em
diversas citações, das quais destacamos:
[..] a estratégia básica para mobilizar os conteúdos, tendo em vista o desenvolvimento das competências, será a identificação e a exploração das ideias fundamentais de cada tema. É possível abordar muitos assuntos sem a devida atenção às ideias fundamentais, assim como o é escolher alguns assuntos como pretexto para a apresentação da riqueza e da fecundidade de tais ideias. De modo geral, essa foi a estratégia utilizada na construção dos Cadernos do Professor (SÃO PAULO, 2010, p. 35).
Em relação ao Princípio da formalização com significado, ele está
representado segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010) em:
Compreender o significado é reconhecer, apreender e partilhar a cultura que envolve as áreas de conhecimento, um conjunto de conceitos, posturas, condutas, valores, enfoques, estilos de trabalho e modos de fazer que caracterizam as várias ciências – naturais, exatas, sociais e humanas -, as artes – visuais, musicais, do movimento e outras -, a matemática, as línguas e outras áreas de expressão não verbal (SÃO PAULO, 2010, p. 20) (grifo dos autores).
Na citação acima também podemos identificar que ficam em evidência
valores associados ao saber matemático por meio do Princípio da
representatividade, e também em relação à acessibilidade de todos ao saber,
segundo o Princípio da acessibilidade.
Ainda, segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010), tem-se:
Ao dispor sobre esse objetivo de compreensão do sentido, a LDBEN está indicando que não se trata de formar especialistas nem profissionais. Especialistas e profissionais devem, além de compreender o sentido, dominar a estrutura conceitual e o estatuto epistemológico de suas especialidades – não é esse o caso dos alunos da educação básica. Como estão na escola, preparando-se para assumir plenamente sua cidadania, todos devem passar pela alfabetização científica, humanista, linguística, artística e técnica para que sua cidadania, além de ser um direito, tenha qualidade (SÃO PAULO, 2010, p. 20).
162
Ressalte-se (como já prescrito desde a promulgação da LDBEN nº
9.393/96 e em vigência até os dias de hoje, nas Diretrizes Curriculares
Nacionais que se seguiram e também fortemente presentes nos PCN) o
deslocamento do foco do ensino para o de aprendizagem, embora o Currículo
de São Paulo não estabeleça claramente essa opção.
Essa quebra do paradigma do foco de ensino para o de aprendizagem,
quebrando um conceito reinante em períodos anteriores não muito distantes
que associava as preocupações dos educadores à melhoria da qualidade do
ensino e aquelas que se fazem necessárias em função dos avanços sociais,
econômicos e culturais de nossa sociedade, representaria uma visão
inovadora, mas de difícil implementação.
Ressalte-se que, nesse sentido, educadores matemáticos de São Paulo
já haviam emprestado diferentes contribuições em relação a uma preocupação
maior quanto à aprendizagem, quando da elaboração dos PCN de 1997, 1998
e 1999.
Entretanto, como o próprio Currículo de São Paulo (2010) enfatiza, não é
tarefa fácil realizar a mudança de foco do ensino para o da aprendizagem uma
vez que o professor está acostumado com suas práticas e por vezes é reticente
em relação às mudanças e novas concepções relacionadas com seu trabalho
docente. Para tal, os autores do currículo de São Paulo sugerem que a escola
deve fazer essa mudança com a ajuda dos gestores junto aos professores.
Essa constatação, observada pelos autores de São Paulo (2010), pode
ser identificada na citação a seguir:
É comum que o professor, ao formular seu plano de trabalho, indique o que vai ensinar, e não o que o aluno vai aprender. E é compreensível, segundo essa lógica, que, no fim do ano letivo, cumprido seu plano, ele afirme, diante do fracasso do aluno, que fez sua parte, ensinando, e que foi o aluno que não aprendeu (SÃO PAULO, 2010, p. 13-14).
Dando prosseguimento ao que anteriores propostas do Estado de São
Paulo também o fizeram, o presente Currículo de São Paulo (2010) apresenta
um conjunto de documentos inovadores que complementam o Currículo e
favorecem o trabalho de professores e gestores escolares, reforçando a
participação de todos os membros da comunidade escolar, conforme se
constata em:
163
Além desse documento básico curricular, há um segundo conjunto de documentos, com orientações para a gestão do Currículo na escola. Intitulado Caderno do Gestor ... [...] O ponto mais importante ... é garantir que a Proposta Pedagógica, que organiza o trabalho nas condições singulares de cada escola, seja um recurso efetivo e dinâmico para assegurar aos alunos a aprendizagem dos conteúdos e a constituição das competências previstas no Currículo. Espera-se também que a aprendizagem resulte da coordenação de ações entre as disciplinas, do estímulo à vida cultural da escola e do fortalecimento de suas relações com a comunidade. Para isso, os documentos reforçam e sugerem orientações e estratégias para a formação continuada de professores. [...] os Cadernos do Professor e do Aluno, organizados por disciplina/série(ano)/bimestre. Neles são apresentadas Situações de Aprendizagem para orientar o trabalho do professor no ensino dos conteúdos disciplinares específicos e a aprendizagem dos alunos. Esses conteúdos, habilidades e competências são organizados por série/ano e acompanhados de orientações para a gestão da aprendizagem em sala de aula e para a avaliação e a recuperação. Oferecem também sugestões de métodos e estratégias de trabalho para as aulas, experimentações, projetos coletivos, atividades extraclasse e estudos interdisciplinares (SÃO PAULO, 2010, p. 7-8).
Nesta seção foi possível identificar que o Currículo de São Paulo (2010)
contempla parte dos valores matemáticos salientados por Bishop (1997) tanto
no que diz respeito às orientações prescritas no texto do próprio currículo
quanto nos textos dos Cadernos.
Dentre os valores que identificamos no Currículo de São Paulo (2010)
citamos o valor racionalismo, por meio da necessidade que ele confere à
argumentação acerca de resultados e conceitos, o valor objetivismo, no que
concerne às definições e propriedades acerca dos conceitos matemáticos, bem
como ao valor progresso, segundo o qual a partir de resultados particulares é
possível arguir acerca da generalização dos conhecimentos e resultados
obtidos indo além do que é conhecido até então.
Os Cadernos foram preparados com a finalidade de melhorar o ensino e
a aprendizagem dos alunos pertencentes à rede estadual de ensino e dessa
forma oferece aos professores e gestores condições para que o currículo
venha a ser implementado enquanto um “currículo em ação”.
Um dos pontos chaves do Currículo de São Paulo (2010) e que merece
destaque para análises nesta pesquisa refere-se à concepção de uma
educação centrada em competências para dar conta do ensino e da
aprendizagem.
164
Como tal, daremos destaque, em breves considerações, em relação a
reflexões que precisam ser feitas levando em conta de que não há consenso
entre pesquisadores da área de Educação de que a opção por competências
seja a melhor a ser adotada para a Educação Básica.
Para tal, abriremos uma seção para essas considerações, que serão
apresentadas em seguida.
3.4.3 Um currículo centrado em competências
O Currículo de São Paulo (2010) prescreve a utilização das
competências como fundamental para orientar o ensino e a aprendizagem dos
conteúdos escolares, razão porque consideramos importante fazer
considerações a esse respeito aqui neste trabalho.
Considerando os objetivos que norteiam esta pesquisa, apresentamos
nesta seção breves considerações das concepções norteadoras da noção de
competência na visão de alguns autores que fazem considerações, favoráveis
e contra seu uso na Educação Básica.
Como a questão das competências nos currículos é bastante ampla e
polêmica e sua discussão, em profundidade, fugiriam aos objetivos deste
trabalho - uma vez que é preciso discutir diversos aspectos e concepções que
a envolvem, acompanhadas das respectivas análises – faremos aqui apenas
breves considerações acerca da presença em currículos.
Segundo Macedo (2002), a noção de competência no discurso oficial
reúne diferentes tendências e orientações teórico-metodológicas.
Além do mais, a autora enfatiza que as atuais diretrizes mesclam pelo
menos duas das tradições pedagógicas modernas sobre competências: uma,
que é originária da obra de Piaget e da concepção hegemônica na reforma
curricular francesa divulgada no Brasil através dos trabalhos de Perrenoud21; e
21 Segundo Macedo (2002), a teoria de eficiência social tem seu desenvolvimento inicial associado aos trabalhos de Franlin Bobbitt e Werret Charters, e seu ápice associado ao trabalho de Ralph Tyler. Quando Ralph Tyler publicou seu Princípios Básicos de Currículo e Ensino, em 1949 (TYLER, Ralph. Princípios básicos de currículo e ensino. Porto Alegre: Globo, 1974), buscou associar princípios dos eficientistas sociais, tais como a centralidade nos objetivos, nos métodos e nos modelos de planejamento de currículos, com princípios do pensamento de Dewey, tais como a centralidade nos alunos e a defesa do ensino por
165
outra, oriunda da tradição americana da eficiência social e de cunho
comportamental22, de forma não muito clara, mas predominante, sobretudo
com relação às finalidades sociais da escolarização articulando conhecimento
e mercado.
Segundo Lopes (2002) para caracterizar o conceito de competências, ao
final do século passado, competências estão associadas a objetivos
comportamentais, substituindo-os e, portanto, podem ser mensuráveis segundo
metas estabelecidas, como se pode constatar na citação a seguir:
Nos anos 70, [...] uma das vertentes de influência dessas teorias curriculares ficou conhecida como ensino para a competência. Inicialmente, o ensino para competência foi associado de forma mais estreita com os programas de formação de professores, mas se estendeu às diferentes áreas do ensino23. Nessa linha, o conceito de objetivos comportamentais foi substituído pela ideia de competência. Tal quais os objetivos comportamentais, as competências foram entendidas como comportamentos mensuráveis e, portanto, cientificamente controláveis. O objetivo foi associar o comportamentalismo a dimensões humanistas mais amplas, visando formar comportamentos (as competências) que representassem metas sociais impostas aos jovens pela sua sociedade e cultura. Nessa perspectiva, como discutem Jones e Moore24, as competências continuam assumindo, sobretudo, o enfoque comportamentalista (LOPES, 2002, p.60-61).
Ainda segundo Lopes (2002), as competências se dividem em
habilidades de maneira que para estas sejam estabelecidos indicadores que
devem ser atingidos, como a seguir:
As atividades de ensino são decompostas em supostos elementos
componentes (as habilidades) que permitem a elaboração de indicadores de
desempenho para avaliação. As atuais propostas curriculares para o ensino
médio, ainda que não apresentem em suas referências bibliográficas autores
situados nessa tradição, efetivamente mantêm um discurso vinculado aos
atividades. Assim Tyler definia como fontes para os objetivos os estudos sobre os alunos, sobre a vida contemporânea e sobre os conteúdos específicos. Essas fontes deveriam ser analisadas sob a ótica da filosofia e da psicologia. 22 Segundo Macedo (2002), no dizer de Bernstein, o conceito de competências pode ser identificado em diferentes perspectivas nas ciências sociais, seja na competência lingüística em Chomsky, na competência cognitiva, em Piaget ou na competência cultural, em Lévi-Strauss. Nessas perspectivas, bastante distintas entre si, esse conceito assume um enfoque nitidamente democrático, na medida em que pressupõe que todos os sujeitos sociais são intrinsecamente competentes, criativos e ativos na construção do mundo e são capazes de se auto-regular. 23 JONES, Lynn; MOORE, Rob. Education competence and the controlo f expertise. British Journal of the Sociology of Education, n. 14, p. 385-397, 1993. 24 JONES, Lynn; MOORE, Rob. Education competence and the controlo f expertise. British Journal of the Sociology of Education, n. 14, p. 385-397, 1993.
166
eficientistas sociais. Esse discurso se apresenta recontextualizado pela
associação a perspectivas cognitivo-construtivistas ... (LOPES, 2002, p.61).
Segundo Berger (1999), que à época era Secretário de Ensino Médio do
MEC, competências podiam ser entendidas como sendo:
(...) os esquemas mentais, ou seja, as ações e operações mentais de caráter cognitivo, sócio-afetivo ou psicomotor, que mobilizadas e associadas a saberes teóricos ou experienciais geram habilidades, ou seja, um saber fazer. As competências são "modalidades estruturais da inteligência, ou melhor, ações e operações que utilizamos para estabelecer relações com e entre objetos, situações, fenômenos e pessoas que desejamos conhecer", operações mentais estruturadas em rede que mobilizadas permitem a incorporação de novos conhecimentos e sua integração significada a essa rede, possibilitando a reativação de esquemas mentais e saberes em novas situações, de forma sempre diferenciada. As habilidades decorrem das competências adquiridas e referem-se ao plano imediato do saber fazer. Através das ações e operações, as habilidades aperfeiçoam-se e articulam-se, possibilitando nova reorganização das competências (BERGER FILHO, 1999, p.3).
Lopes (2002) chama a atenção para o fato de que as competências
fazem parte de diferentes currículos - em diferentes países – e de que não há
um discurso homogêneo em relação ao seu uso devido às recontextualizações
que existem em cada um desses países, e também nos Estados (caso do
Brasil).
No momento atual, em diferentes países no mundo ocidental, o conceito
de competências tem configurado as reformas curriculares. Não que exista um
discurso homogêneo em todas essas reformas. Há sempre recontextualizações
locais nos diferentes países, produzidas pelas interseções entre diretrizes de
órgãos de fomento internacionais, dos órgãos de governo locais e de países
com os quais estabelecem relações de intercâmbio, em busca de legitimação e
de acordos, bem como por interseções com os campos de controle simbólico e
de produção25. Porém, há certo direcionamento comum devido à confluência de
interesses políticos e econômicos expressos pelas políticas de quase
mercados, no dizer de Whitty et al26, estabelecidas em diferentes países. Tal
25 Para maiores desenvolvimentos sobre a tensão global/local nas políticas curriculares de recontextualização da atualidade, com especial foco no ensino médio, ver: Lopes, Alice Casimiro. Identidades pedagógicas projetadas pela reforma do ensino médio no Brasil. In: MOREIRA, Antonio Flávio; MACEDO, Elizabeth Fernandes de. Currículo, práticas pedagógicas e identidades. Porto: Porto, 2002. No prelo. 26 Whitty, Power; e Halpin denominam as atuais políticas educacionais de "políticas de quase-mercados", em uma distinção com a idealização de um mercado livre (cada vez menos existente na realidade). Nessas políticas há uma tendência em separar o prestador do serviço
167
direcionamento está expresso, por exemplo, no Relatório para a UNESCO da
Comissão Internacional sobre Educação para o século XXI27. que defende as
competências como conceito pedagógico central da prática educativa nas
escolas de ensino médio e profissionalizantes, propondo sua ampliação a todas
as crianças (LOPES, 2002, p.56 ).
A autora chama a atenção para o fato de haver diferentes currículos no
Brasil, mas que, apesar disso, todos eles têm em comum as competências.
Elas estão presentes em diversos documentos oficiais do MEC e, em função
disso, é natural que os currículos também as utilizem.
Lopes (2002) ressalta que são no Ensino Médio que mais claramente
estão colocados as competências como princípios organizadores do currículo,
a saber:
Arrisco afirmar, contudo, ser no nível médio de ensino que as
competências são definidas mais claramente como princípios organizadores do
currículo. Também é nesse nível de ensino que a tensão entre o currículo por
competências e a forma de organização curricular hegemônica – a disciplinar –
apresenta-se mais patente. Tanto que a recente publicação das diretrizes
curriculares da educação básica28, buscando unificar orientações conferidas à
educação infantil, ao ensino fundamental, ao ensino médio e à educação
profissional, tem um formato próximo àquele conferido aos documentos para o
ensino médio, nível terminal da educação básica, prevalecendo inclusive as
listagens de competências separadas por áreas (LOPES, 2002, p.58) (grifo
nosso).
O conceito de competências também é concebido sob outro olhar por
autores como José Gimeno Sacristán em seu artigo “Dez teses sobre a
educacional e o financiador desse mesmo serviço, de maneira tal que alunos e suas famílias são tratados como clientes que podem escolher entre diferentes prestadores. Tais prestadores competem entre si pela possibilidade de prestar o serviço, ao mesmo tempo em que o governo regula fortemente o processo educacional. Ver: WHITTY, Geoff; POWER, Sally; HALPIN, David. La escuela, el estado y el mercado: delegación de poderes y elección en educación. Madrid: Morata, 1999. 27 DELORS, Jacques. Educação: um tesouro a descobrir – relatório para a UNESCO da Comissão Internacional sobre Educação para o século XXI. São Paulo: Cortez, 2001. 28 Id. Diretrizes curriculares nacionais da educação básica e da educação profissional de nível técnico (documento síntese). Brasília: MEC/CNE, 2001b. Acessível via internet no endereço: http://www.mec.gov.br/cne/ftp/ PNCP/CNCP009.doc.
168
aparente utilidade das competências em educação” presente no recente livro
“Educar por Competências – O que há de novo?” (2011).
Segundo Sacristán (2011), é preciso que os elaboradores dos currículos
tomem cuidados para que as prescrições contidas neles - relativamente à
utilização das competências - não se tornem instrumentos normativos que
visem estruturar os conteúdos segundo um currículo globalizado que tenha
como foco as avaliações em larga escala. Mais ainda, que tomem o cuidado de
virem a deixar de lado as especificidades e características da comunidade a
que se destina.
Sacristán (2011) chama a atenção para o perigo do uso indiscriminado
das competências em currículos, como se constata em:
[...] estamos diante de uma proposta que tem a pretensão de tornar as competências básicas norma universal a ser seguida, em todos os países e idades (life, long learning). Essa extrapolação transforma as competências em instrumentos normativos, a partir dos quais se busca a convergência dos sistemas escolares, tornando as competências referência para a estruturação dos conteúdos de um currículo globalizado. Assim, as competências serão fins, conteúdos, guias para escolher procedimentos e proposta para a avaliação (SACRISTÁN, 2011, p. 23-24).
Segundo Sacristán (2011), não é de hoje que o conceito de
competências está presente em propostas curriculares:
Há uma grande tradição de planejamentos, práticas e realização de
experiências educacionais que utiliza o conceito de competência para
denominar os objetivos dos programas educacionais, entender e desenvolver o
currículo, dirigir o ensino, organizar a aprendizagem das atividades dos alunos
e enfocar a avaliação dos mesmos. Representa uma forma de identificar
aprendizagens substantivas funcionais, úteis e eficazes (SACRISTÁN, 2011,
p.13).
Prosseguindo na caracterização de competências, Sacristán (2011)
afirma que um currículo baseado em competências pressupõe estabelecer as
condições de maneira a obter êxito na educação, considerando o currículo
proposto, como a seguir:
[...] ensino por competências é representado pelos planejamentos para os quais a funcionalidade é a meta de toda a educação, de modo que o aprendido possa ser usado como recurso ou capacitação adquirida no desempenho de qualquer ação humana, nas apenas nas de caráter manual, mas também nas de conduta (exercer
169
determinados comportamentos), intelectuais (utilizar uma teoria para interpretar um acontecimento ou fenômeno), expressivas ou de comunicação (emitir mensagens), de relação com os outros (dialogar) [...] Pedir competência nesses casos é, simplesmente, cobrar efetividade do que se pretende na educação. Acomodar o discurso e criar e desenvolver o currículo com referência às competências, a partir desse ponto de vista, é enfatizar o êxito do que se diz querer conseguir (SACRISTÁN, 2011, p. 14).
Segundo Sacristán (2011), as competências se incorporam ao discurso
e à prática com outros fins, como se constata na citação a seguir:
[...] São formulações que pretendem ser uma espécie de narrativa de emergência para salvar a insuficiente e inadequada resposta dos sistemas escolares às necessidades do desenvolvimento econômico, para controlar a eficiência dos cada vez mais custosos sistemas, objetos de um fracasso escolar persistente. Seu propósito é maior, pois pretende que as competências atuem como guias para a elaboração e desenvolvimento dos currículos e das políticas educacionais; que sirvam de instrumento para a comparação dos sistemas educacionais, se constituindo em uma visão geral da educação (SACRISTÁN, 2011, p. 14-15).
Convém destacar que o Currículo de São Paulo (2010) foi elaborado e
organizado segundo a concepção de competência advinda de Sacristán (2011).
Tal constatação ganha respaldo conforme prescrito pelos autores de São Paulo
(2010):
Por isso, o Currículo da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
tem como princípios centrais: a escola que aprende; o currículo como espaço
de cultura; as competências como eixo de aprendizagem; a prioridade da
competência de leitura e de escrita; a articulação das competências para
aprender; e a contextualização no mundo do trabalho (SÃO PAULO, 2010, p.
10).
Tais competências e habilidades podem ser consideradas em uma
perspectiva geral, isto é, no que têm em comum com as disciplinas e tarefas
escolares ou no que têm de específico. Competências, nesse sentido,
caracterizam modos de ser, de raciocinar e de interagir, que podem ser
depreendidos das ações e das tomadas de decisões em contextos de
problemas, de tarefas ou de atividades. Graças a elas, podemos inferir, hoje,
se a escola como instituição está cumprindo devidamente o papel que se
espera dela (SÃO PAULO, 2010, p. 12).
Mesmo que em momentos históricos passados - como as citações acima
datadas de 1999 e 2002 - a palavra “competência” tenha também sido utilizada
170
para delinear orientações curriculares, é preciso verificar - uma vez que tal
referência foi identificada no Currículo de São Paulo (2010) – se neste currículo
os mesmos sentidos e significados se reproduzam igualmente, bem como se
as finalidades a que se propõem sejam ou não as mesmas.
Ou seja, é preciso interpretar os discursos presentes no atual Currículo
de São Paulo (2010) considerando a especificidade de suas propostas e os
contextos político, econômico, social e cultural segundo o qual se encontra a
escola, seus gestores, seus professores, a comunidade escolar e
principalmente seus alunos.
O Currículo de São Paulo (2010) apresenta a forte presença da ideia do
desenvolvimento e promoção às competências ressaltando que os conteúdos e
a metodologia são meios segundo os quais as competências devem ser
desenvolvidas através de ações, reflexões e tomadas de decisões.
Estas, por sua vez, são realizadas no contexto em que sejam
promovidas atividades, tarefas ou situações-problema as quais permitem que o
aluno possa vir a raciocinar, refletir, interagir, socializar-se e a expor suas
ideias e conclusões.
Assim, em linhas gerais, os autores do Currículo de São Paulo (2010)
prescrevem que, uma vez que as recomendações à exploração das
competências estão presentes no presente Currículo, é preciso que seja
assegurado ao aluno o direito de aprender.
Ao enfatizar as competências como uma referência para o trabalho
docente os autores do Currículo de São Paulo (2010) iniciam com uma
exposição de motivos para justificar a opção feita e fazem um pedido à
comunidade escolar - principalmente os professores - para que todos abracem
a concepção de um currículo por competências.
Assim, afirmam os autores de São Paulo (2010): “Um Currículo que
promove competências tem o compromisso de articular as disciplinas e as
atividades escolares com aquilo que se espera que os alunos aprendam ao
longo dos anos” (SÃO PAULO, 2010, p. 12).
As orientações sugerem que os professores participem de atividades -
conforme prescritas no currículo - de modo que eles se apercebam de que “[...]
171
um currículo referenciado em competências supõe que se aceite o desafio de
promover os conhecimentos próprios de cada disciplina articuladamente às
competências e habilidades do aluno” (SÃO PAULO, 2010, p. 12).
Segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010), é preciso
considerar as competências em uma perspectiva geral como:
Tais competências e habilidades podem ser consideradas em uma
perspectiva geral, isto é, no que têm de comum com as disciplinas e tarefas
escolares ou no que têm de específico. Competências, nesse sentido,
caracterizam modos de ser, de raciocinar e de interagir, que podem ser
depreendidos das ações e das tomadas de decisão em contextos de
problemas, de tarefas ou de atividades. Graças a elas, podemos inferir, hoje,
se a escola como instituição está cumprindo devidamente o papel que se
espera dela (SÃO PAULO, 2010, p. 12).
Considerando que o universo de alunos da Rede Escolar de São Paulo
se situa na faixa etária de 11 a 18 anos, os autores consideram que
“competências e habilidades podem ser consideradas em uma perspectiva
geral”.
Por conta disso, os autores do Currículo de São Paulo (2010)
prescrevem que o uso de competências está diretamente relacionado com as
atribuições docentes no sentido de promover o desenvolvimento destas,
conforme se constata a seguir:
Valorizar o desenvolvimento de competências nesta fase da vida implica
ponderar, além de aspectos curriculares e docentes, os recursos cognitivos,
afetivos e sociais dos alunos. Implica, pois, analisar como o professor mobiliza
conteúdos, metodologias e saberes próprios de sua disciplina ou área de
conhecimento, visando a desenvolver competências em adolescentes, bem
como a instigar desdobramentos para a vida adulta (SÃO PAULO, 2010, p. 12).
Segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010) em relação às
competências deve-se observar as indicações do que o aluno deve aprender,
conforme:
O currículo referenciado em competências é uma concepção que requer
que a escola e o plano do professor indiquem o que o aluno vai aprender. Uma
172
das razões para se optar por uma educação centrada em competências diz
respeito à democratização da escola. Com a universalização do Ensino
Fundamental, a educação incorpora toda a heterogeneidade que caracteriza o
povo brasileiro; nesse contexto, para ser democrática, a escola tem que ser
igualmente acessível a todos, diversa no tratamento a cada um e unitária nos
resultados (SÃO PAULO, 2010, p. 13).
Tomando por base a citação acima, em sua primeira parte, identifica-se
na posição dos autores do Currículo de São Paulo (2010) tendências para o
deslocamento do foco de ensino para o de aprendizagem, caracterizando um
currículo não mais como um rol de conteúdos disciplinares. A exemplo da
LDBEN nº 9394/96, o Currículo de São Paulo (2010) “deslocou o foco do
ensino para a aprendizagem, e não é por acaso que sua filosofia não é mais a
da liberdade de ensino, mas a do direito de aprender” (SÃO PAULO, 2010, p.
13).
Segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010), o currículo
prescreve identificar o que eles consideram ser indispensável que todos
tenham aprendido quando do término do processo. Com o propósito de definir
o escopo de atuação das competências no âmbito do Currículo de São Paulo
(2010) os autores chamam a atenção para as razões que os levaram a fazerem
esta opção, como se pode constatar:
Optou-se por construir a unidade com ênfase no que é indispensável
que todos tenham aprendido ao final do processo, considerando-se a
diversidade. Todos têm direito de construir, ao longo de sua escolaridade, um
conjunto básico de competências, definido pela lei. Esse é o direito básico, mas
a escola deverá ser tão diversa quantos são os pontos de partida das crianças
que recebe. Assim, será possível garantir igualdade de oportunidade,
diversidade de tratamento e unidade de resultados. Quando os pontos de
partida são diferentes, é preciso tratar diferentemente os desiguais para
garantir a todos uma base comum (SÃO PAULO, 2010, p. 13).
Os autores do Currículo de São Paulo (2010) ressaltam, porém, que tais
objetivos de transição da cultura do ensino para a da aprendizagem devem ser
alcançados com os esforços de toda a coletividade escolar, como se constata a
seguir:
173
Pensar o currículo hoje é viver uma transição na qual, como em toda
transição, traços do velho e do novo se mesclam nas práticas cotidianas. É
comum que o professor, ao formular seu plano de trabalho, indique o que vai
ensinar, e não o que o aluno vai aprender. E é compreensível, segundo essa
lógica, que, no fim do ano letivo, cumprido seu plano, ele afirme, diante do
fracasso do aluno, que fez sua parte, ensinando, e que foi o aluno que não
aprendeu. No entanto, a transição da cultura do ensino para a da
aprendizagem não é um processo individual. A escola deve fazê-lo
coletivamente, tendo à frente seus gestores, que devem capacitar os
professores em seu dia a dia, a fim de que todos se apropriem dessa mudança
de foco [...] que as escolas, em sua Proposta Pedagógica, estabeleçam os
planos de trabalho que, por sua vez, farão, das propostas, currículos em ação
... (SÃO PAULO, 2010, p. 13).
Ressalte-se, porém, que a escolha pelos autores de São Paulo (2010)
do foco nas competências com as justificativas que foram apresentadas acima
pode esconder o discurso sobre os reais objetivos a que se propõem, quando
elas são incorporadas ao currículo.
Relativamente às competências, os autores do Currículo de São Paulo
(2010) chamam a atenção para a prioridade que deva ser dada para as
competências da leitura e da escrita, considerando a importância destas para o
desenvolvimento cognitivo dos alunos, conforme a seguir:
Em uma cultura letrada como a nossa, a competência de ler e de
escrever é parte integrante da vida das pessoas e está intimamente associada
ao exercício da cidadania. As práticas de leitura e escrita, segundo as
pesquisas que vêm sendo realizadas na área, têm impacto sobre o
desenvolvimento cognitivo do indivíduo. Essas práticas possibilitam o
desenvolvimento da consciência do mundo vivido (ler é registrar o mundo pela
palavra, afirma Paulo Freire), propiciando aos sujeitos sociais a autonomia na
aprendizagem e a contínua transformação, inclusive das relações pessoais e
sociais (SÃO PAULO, 2010, p. 15).
Segundo os autores do Currículo de São Paulo (2010), “para sermos
cidadãos plenos, devemos adquirir discernimento e conhecimentos pertinentes
para tomar decisões em diversos momentos” (SÃO PAULO, 2010, p. 21). A
174
defesa dos autores do Currículo de São Paulo (2010) em relação às
competências prossegue, conforme se constata a seguir:
[...] Portanto, mais que os conteúdos isolados, as competências são guias eficazes para educar para a vida. As competências são mais gerais e constantes; os conteúdos, mais específicos e variáveis. É exatamente a possibilidade de variar os conteúdos no tempo e no espaço que legitima a iniciativa dos diferentes sistemas públicos de ensino de selecionar, organizar e ordenar os saberes disciplinares que servirão como base para a constituição de competências, cuja referência são as diretrizes e orientações nacionais, de um lado, e as demandas do mundo contemporâneo, de outro (SÃO PAULO, 2010, p. 18).
Cabe aqui uma constatação que fizemos ao longo das atividades que
desenvolvemos para esta pesquisa: a força que os conteúdos têm em relação
às competências é, por vezes, tão mais forte que nos encontros da sequência
didática objeto desse estudo foi prevalente abordar aspectos de conteúdo e
pedagógicos de conteúdo às considerações que poderiam ter sido feitas em
relação às perspectivas relacionadas com as competências, considerando as
diretrizes e orientações nacionais, como a citação acima confere.
Os autores do Currículo de São Paulo (2010) chamam a atenção para a
proliferação das novas tecnologias da informação no mundo contemporâneo
para a qual se faz necessárias mudanças em vários setores da sociedade. E a
Escola, também por conta disso, não pode ficar alheia a essas questões.
Portanto, também ela, e o melhor, principalmente ela, a Escola, deve se
preocupar em preparar seus professores, gestores e alunos para tal.
Em razão disso, os autores de São Paulo (2010) assim se manifestam:
As novas tecnologias da informação promoveram uma mudança na produção, na organização, no acesso e na disseminação do conhecimento. A escola, sobretudo hoje, já não é a única detentora de informação e conhecimento, mas cabe a ela preparar seu aluno para viver em uma sociedade em que a informação é disseminada em grande velocidade (SÃO PAULO, 2010, p. 18).
Os autores do Currículo de São Paulo (2010) fazem um alerta aos
professores em relação à preparação que eles devem ter para dar conta
dessas novas tarefas, como pode ser constatado em:
Vale insistir que essa preparação não exige maior quantidade de ensino (ou de conteúdos), mas sim melhor qualidade de aprendizagem. É preciso deixar claro que isso não significa que os conteúdos do ensino não sejam importantes; ao contrário, são tão importantes que a eles está dedicado este trabalho de elaboração do Currículo do ensino oficial do Estado de São Paulo. São tão decisivos que é indispensável aprender a continuar aprendendo os conteúdos
175
escolares, mesmo fora da escola ou depois dela. Continuar aprendendo é a mais vital das competências que a educação deste século precisa desenvolver. Não só os conhecimentos com os quais a escola trabalha podem mudar, como a vida de cada um apresentará novas ênfases e necessidades, que precisarão ser continuamente supridas. Preparar-se para acompanhar esse movimento torna-se o grande desafio das novas gerações (SÃO PAULO, 2010, p. 18) (grifo dos autores).
Consideramos que é preciso que as orientações prescritas nos PCN, as
Orientações Curriculares do MEC e, em particular as preconizadas no Currículo
de São Paulo (2010) não se constituam – relativamente às competências -
como uma listagem de atribuições às quais os professores devam se orientar
para prepararem seus alunos para enfrentarem avaliações em larga escala,
tanto nacionais (ENEM, Prova Brasil, etc) quanto internacionais (PISA), sob o
risco de ficarem reféns dessas avaliações.
A questão de maior impacto é que os resultados dessas avaliações
geram uma enorme apreensão em vários segmentos da sociedade,
principalmente quando estes não são favoráveis à escola. Como consequência,
esses resultados – geralmente negativos – provocam desânimo entre os
gestores e pais de alunos e, sobretudo, no trabalho dos professores.
Por outro lado, esses mesmos indicadores não são capazes de
indicarem caminhos para que a escola procure melhorias em seus
planejamentos político-pedagógicos.
Muito embora tenhamos feito análises, considerações e apresentado
diferentes conceitos associados às competências nesta seção, consideramos
que elas ainda não são suficientes para esgotar todas as discussões que
precisam ser feitas a respeito dos conceitos e da pertinência ou não de seu uso
em currículos educacionais na Educação Básica.
Particularmente, no que diz respeito ao Currículo de São Paulo (2010),
entendemos que algumas considerações a respeito do uso de competências na
Educação Básica conforme foram sugeridos precisam ser mais bem avaliados
e serem feitas reflexões próprias e pertinentes, caso a caso.
Na seção seguinte vamos analisar como os conteúdos relacionados com
os problemas de contagem são sugeridos serem apresentados aos alunos
segundo o prescrito no atual Currículo de São Paulo (2010).
176
3.4.4. Os problemas de contagem
Neste trabalho, estamos preocupados em retratar com maior ênfase as
relações existentes entre a prática docente de professores que ensinam
matemática na rede estadual de São Paulo e aquelas propostas à luz da
implementação curricular desencadeada a partir do ano de 2008 pela
Secretaria Estadual de Educação de São Paulo através das orientações
prescritas no Currículo do Estado de São Paulo – Matemática e suas
Tecnologias – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio (2010), no que
concerne aos problemas de contagem.
Um exemplo significativo para orientar e permitir reflexões por parte dos
professores está presente na citação a seguir, extraída do currículo de São
Paulo (2010), a qual conclama os professores para uma ressignificação em
relação às práticas docentes por eles encaminhadas até então, como a seguir:
Houve um tempo em que a educação escolar era referenciada no ensino – o pano de trabalho da escola indicava o que seria ensinado ao aluno. Essa foi uma das razões pelas quais o currículo escolar foi confundido com um rol de conteúdos disciplinares. A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN) nº 9394/96 deslocou o foco do ensino para a aprendizagem , e não é por acaso que sua filosofia não é mais a da liberdade de ensino, mas a do direito de aprender . É comum que o professor, ao formular seu plano de trabalho, indique o que vai ensinar, e não o que o aluno vai aprender. E é compreensível, segundo essa lógica, que, no fim do ano letivo, cumprindo seu plano, ele afirme, diante do fracasso do aluno, que fez sua parte, ensinando, e que foi o aluno que não aprendeu (SÃO PAULO, 2010, p. 13-14) (grifo nosso).
O novo Currículo de São Paulo (2010) retoma as orientações
preconizadas na LDBEN nº 9394/96 em relação à mudança de foco de ensino
para o de aprendizagem, assim como as que também estão preconizadas nas
orientações constantes dos PCN e em outras orientações curriculares que se
seguiram, como se constata a seguir:
No entanto, a transição da cultura do ensino para a da aprendizagem não é um processo individual. A escola deve fazê-lo coletivamente, tendo a frente seus gestores, que devem capacitar os professores em seu dia a dia, a fim de que todos se apropriem dessa mudança de foco. Cabe às instâncias responsáveis pela política educacional nos Estados e nos municípios elaborar, a partir das DCN e dos PCN, propostas curriculares próprias e específicas, para que as escolas, em sua Proposta Pedagógica, estabeleçam os planos de trabalho que, por sua vez, farão, das propostas, currículos em ação – como no presente esforço desta Secretaria (SÃO PAULO, 2010, p. 14).
177
É claro que essas orientações devem ser discutidas pelos professores
entre si e os gestores escolares e, no que se refere aos problemas de
contagem não haveria de ser deferente o tratamento a ser dado.
O Currículo de São Paulo (2010) assim prescreve as recomendações de
trabalho para os professores para cada uma das séries/anos do Ensino
Fundamental em relação aos conteúdos e habilidades de matemática
relacionadas ao Bloco Tratamento da Informação, em particular aqueles
relacionados aos problemas de contagem:
[...] 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental – Conteúdos: Problemas de contagem; Habilidades: Saber utilizar diagramas de árvore para resolver problemas simples de contagem; Compreender a ideia do princípio multiplicativo da contagem.
6ª série/7º ano do Ensino Fundamental – Conteúdos: Problemas envolvendo probabilidade; Habilidades: Saber resolver problemas simples envolvendo a ideia de probabilidade (porcentagem que representa possibilidades de ocorrência).
7ª série/8º ano do Ensino Fundamental – Conteúdos: Problemas de contagem; Habilidades: Conhecer as propriedades das potências e saber realizar de modo significativo as operações com potências (expoentes inteiros).
8ª série/9º ano do Ensino Fundamental – Conteúdos: Problemas de contagem e introdução à probabilidade; Habilidades: Saber resolver problemas envolvendo processos de contagem – princípio multiplicativo; Saber resolver problemas que envolvam ideias simples sobre probabilidade (SÃO PAULO, 2010, p.57-64).
Essa distribuição dos conteúdos de contagem em três das quatro séries
do Ensino Fundamental sugerido pelo Currículo de São Paulo (2010) faz com
que os professores que atuam com turmas deste segmento de ensino estejam
preparados para desenvolver atividades relacionadas com o tema, não
obstante as recomendações presentes nos “Cadernos do Professor” e
“Cadernos do Aluno”, através de exemplos e de proposições de situações-
problema.
Além do mais é bastante oportuna a introdução destes conteúdos no
Ensino Fundamental em um Currículo pertencente a uma Secretaria de
Educação de tamanha abrangência como o Estado de São Paulo,
caracterizando a importância de tratar deste tema segundo especificidades
próprias deste segmento, conforme os PCN já prescrevem desde 1997.
Segundo o Currículo da Secretaria de Educação do Estado de São
Paulo (2010) o “Caderno do Gestor” se faz necessário - e é importante - no
178
sentido de garantir a efetividade das sugestões prescritas no Currículo de
modo a garantir que ele chegue à comunidade escolar de maneira clara e
efetiva a todos que dele devem se apropriar com suas concepções e
sugestões.
Quanto a essa questão, os autores de São Paulo (2010) assim
prescrevem:
O ponto mais importante desse segundo conjunto de documentos é garantir que a Proposta Pedagógica, que organiza os trabalhos nas condições singulares de cada escola, seja um recurso efetivo e dinâmico para assegurar aos alunos a aprendizagem dos conteúdos e a constituição das competências previstas no Currículo. Espera-se também que a aprendizagem resulte da coordenação de ações entre as disciplinas, do estímulo à vida cultural da escola e do fortalecimento de suas relações com a comunidade. Para isso, os documentos reforçam e sugerem orientações e estratégias para a formação continuada dos professores (SÃO PAULO, 2010, p. 8) (grifo dos autores e grifo nosso).
A citação acima contém elementos significativos em relação ao
problema objeto desta pesquisa quais sejam aqueles relacionados à mudança
de foco de ensino para o de aprendizagem presente neste Currículo e também
no anterior (desde a LDBEN).
Ela está em consonância com as orientações prescritas nos PCN do
Ensino Fundamental e do Ensino Médio, bem como em relação à importância
da formação continuada dos professores no sentido de que os professores
devam estar preparados para novos desafios relacionados à carreira docente
no Século XXI.
Essas duas razões são de significativa importância para o trabalho que o
Observatório da Educação da CAPES/UNIBAN vem desenvolvendo junto aos
professores da Rede Estadual de Ensino de São Paulo em relação a diferentes
conteúdos e, em particular, os problemas de contagem neste estudo.
Os autores de São Paulo (2010) enfatizam a importância de o professor
considerar a aprendizagem como elemento central do ensino bem como a
responsabilidade em relação à quantidade e à qualidade do conhecimento,
conforme a citação seguinte:
A aprendizagem é o centro da atividade escolar. Por extensão, o professor caracteriza-se como um profissional da aprendizagem. O professor apresenta e explica conteúdos, organiza situações para a aprendizagem de conceitos, de métodos, de formas de agir e pensar,
179
em suma, promove conhecimentos que possam ser mobilizados em competências e habilidades que, por sua vez, instrumentalizam os alunos para enfrentar os problemas do mundo. Dessa forma, a expressão “educar para a vida” pode ganhar seu sentido mais nobre e verdadeiro na prática do ensino. Se a educação básica é para a vida, a quantidade e a qualidade do conhecimento têm de ser determinadas por sua relevância para a vida de hoje e do futuro, para além dos limites da escola (SÃO PAULO, 2010, p. 18).
Na terceira das orientações curriculares presentes no Currículo de São
Paulo (2010) têm-se um conjunto de documentos direcionados diretamente aos
professores e aos alunos denominados respectivamente de “Cadernos do
Professor” e “Cadernos do Aluno”, organizados por disciplina/série
(ano)/bimestre os quais contém algumas sugestões de “Situações de
Aprendizagem” para orientarem o trabalho do professor em relação aos
conteúdos específicos de cada disciplina com vistas à melhoria da
aprendizagem dos alunos.
Uma contribuição que o Currículo de São Paulo (2010) apresenta para o
professor é o de oferecer “Situações de Aprendizagem” que permitem ao
professor desenvolver com os alunos o que os autores chamam de “centros de
interesse” que têm o objetivo de viabilizar a introdução de alguns dos
conteúdos de maneira diferente do que a literatura dos livros didáticos
apresenta.
Assim se referem os autores de São Paulo (2010) a esse respeito:
No Caderno do Professor, em cada bimestre, o tema principal foi dividido em oito unidades [...] Para a exploração das oito unidades, foram escolhidas, em cada bimestre, quatro Situações de Aprendizagem, que constituem quatro centros de interesse a serem desenvolvidos com os alunos [...] Algumas das Situações de Aprendizagem constituem formas não usuais de tratamento de temas usuais, em sintonia com a intenção já registrada neste Currículo de manter no programa os conteúdos mais conhecidos, mas apostar em formas de abordagem que propiciem visões inovadoras, que busquem uma ultrapassagem das realidades existentes (SÃO PAULO, 2010, p. 53) (grifo dos autores).
Segundo os autores de São Paulo (2010) as relações entre a lista de
conteúdos e as ideias fundamentais de cada um destes conteúdos devem ser
exploradas pelo professor no sentido de que os alunos devam ser capazes de
se apropriarem das habilidades próprias a cada um dos conteúdos.
Estas, por sua vez, são apresentadas junto dos conteúdos em cada um
dos bimestres como se constata:
180
Para viabilizar uma explicitação um pouco maior das relações existentes entre a lista de conteúdos apresentados para cada bimestre e as ideias fundamentais presentes neles, são apresentadas, a seguir, as habilidades a serem demonstradas pelos alunos em cada tema. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de cada bimestre, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados (SÃO PAULO, 2010, p. 55).
Os autores de São Paulo (2010) chamam a atenção dos professores
para a busca da efetiva aprendizagem dos alunos e o que seria a expectativa
desejável do ensino, como em:
Ao fixar os conteúdos, mas do que nunca é preciso ter em mente que a expectativa de todo ensino é que a aprendizagem e fetivamente ocorra . Uma vez que as disciplinas não são um fim em si mesmo, o que se espera dos conteúdos disciplinares é que eles realmente possam ser mobilizados tendo em vista o desenvolvimento de competências pessoais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação etc (SÃO PAULO, 2010, p. 55) (grifo nosso).
Segundo as orientações constantes do Currículo de São Paulo (2010):
“Um currículo que promove competências tem o compromisso de articular as
disciplinas e as atividades escolares com aquilo que se espera que os alunos
aprendam ao longo dos anos” (SÃO PAULO, 2010, p. 12).
Portanto, a aprendizagem baseada em competências pode ser
desenvolvida em sala de aula e em casa pelos alunos e como tal os
professores têm a responsabilidade de prepará-los para enfrentar situações
não só nos dias de hoje, mas para quando eles saírem da Educação Básica.
Por conta disso o professor deve estar imbuído de propósitos que
promovam uma aprendizagem efetiva e com os quais ele deva preparar seu
aluno de modo que este venha a se apropriar de competências e habilidades
para compreender os conhecimentos acerca dos conteúdos escolares que está
vivenciando na escola.
O professor também deve preparar seus alunos para continuar
estudando na vida adulta.
Também os “Cadernos” têm a oferecer ao professor sugestões de como
ele poderá vir a encaminhar procedimentos relacionados à avaliação de seus
alunos e de como o professor poderá gerir a sua sala de aula - relativamente à
sequência didática que poderá encaminhar - para que seus alunos se
apropriem de determinado conceito com diferentes significados.
181
Também os “Cadernos” orientam o professor de como ele poderá
encaminhar para proceder à recuperação - paralela ou não - daqueles alunos
que ainda não conseguiram se apropriar das habilidades e das competências
requeridas para aqueles conteúdos programados para um dado bimestre
escolar.
Além do mais, os “Cadernos do Professor” também permitem que o
professor possa consultá-los para conhecer um pouco da história da
matemática - uma das ações sugeridas pelos PCN para serem trabalhadas na
Educação Básica – e encaminhar discussões e considerações pertinentes com
seus alunos.
Os “Cadernos do professor” também contêm sugestões para trabalhos
colaborativos que poderão vir a ser desenvolvidos com os alunos no seio de
determinada disciplina bem como para desenvolver projetos escolares que
visem à contextualização de temas entre si por exemplo.
Esta recomendação pode ser confirmada na citação a seguir, extraída
de São Paulo (2010):
[...] a atuação do professor, os conteúdos, as metodologias disciplinares e a aprendizagem requerida dos alunos são aspectos indissociáveis, que compõem um sistema ou rede cujas partes têm características e funções específicas que se complementam para formar um todo, sempre maior que elas. Maior porque o currículo se compromete em formar crianças e jovens para que se tornem adultos preparados para exercer suas responsabilidades (trabalho, família, autonomia, etc) e para atuar em uma sociedade que depende deles (SÃO PAULO, 2010, p. 12).
Em seguida detalhamos as atividades que estão relacionadas direta ou
indiretamente com os problemas de contagem que estão presentes no
Currículo de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo
(2010):
O Currículo de Matemática indica para 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental os conteúdos de Problemas de contagem recomendando as seguintes habilidades para os alunos se apropriarem: Saber utilizar diagramas de árvore para resolver problemas simples de contagem; Compreender a ideia do princípio multiplicativo da contagem (SÃO PAULO, 2010, p.57).
Já no 1º Bimestre o “Caderno do Professor” sugere apresentar o
conceito de potência (representação de um produto de fatores iguais) de
maneira análoga à utilizada no conceito de multiplicação.
182
Segundo os autores, uma estratégia para se construir com significado
esse conceito é por meio de problemas de contagem que envolvam processos
multiplicativos de fatores iguais perguntando, por exemplo, sobre o quantitativo
de antecedentes que eles possuem (pais, avós, bisavós, etc), como por
exemplo: quantos trisavôs cada um de vocês tem?
Para responder a tal questão sugerem a construção de uma árvore de
possibilidades e, a partir dela, vir a concluir que a resposta corresponde ao
produto 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16.
Os autores sugerem a generalização desse resultado para n gerações e
outras situações do mesmo tipo como o número de resultados possíveis no
lançamento de três dados (63) ou o número de senhas que podem ser criadas
com 5 algarismos (105).
Já o “Caderno do Aluno” sugere atividades com outras gerações bem
como a da determinação do número de resultados possíveis no lançamento de
dois e de três dados
O “Caderno do Professor” - no 4º Bimestre, edição de 2008 - apresenta
como Temas e conteúdos: Leitura e construção de tabelas; leitura e
interpretação de gráficos; construção de gráficos; medidas de centralidade:
moda, média e mediana e no “Caderno do Aluno” são apresentadas situações
de aprendizagem sobre esses mesmos Temas e conteúdos.
Analisando estes dois materiais didáticos para a 5ª série/6º ano,
consideramos que foram pertinentes as escolhas das atividades propostas para
explorar potências de números naturais.
Por outro lado, o material deixou de explorar atividades com o uso de
árvores de possibilidades e de outras atividades de contagem.
O Currículo de Matemática do Currículo de São Paulo (2010) indica para
6ª série/7º ano do Ensino Fundamental os conteúdos de Problemas envolvendo
probabilidade, com as seguintes habilidades: Saber resolver problemas simples
envolvendo a ideia de probabilidade (porcentagem que representa
possibilidades de ocorrência) (SÃO PAULO, 2010, p.58).
183
No 3º Bimestre o “Caderno do Professor” sugere o estudo dos gráficos
de setores relacionado com Proporcionalidade, porcentagem, razão e noções
de probabilidade.
No “Caderno do Aluno” os autores sugerem atividades similares às
apresentadas no “Caderno do Professor”.
O Currículo de Matemática indica para 7ª série/8º ano do Ensino
Fundamental os conteúdos de problemas de contagem com a habilidade de
conhecer as propriedades das potências e saber realizar, de modo significativo,
operações com potências (expoentes inteiros) (SÃO PAULO, 2010, p.59).
Já no 1º Bimestre o “Caderno do Professor” sugere determinar o número
de informações que podem ser armazenadas com 3, 4 5 ou n bits, num total de
2n informações sugerindo que o mesmo problema possa ser analisado com o
auxílio de um diagrama de árvore e apresenta uma tabela com os resultados
obtidos nos galhos terminais da árvore para o caso de quatro bits.
Em seguida os autores constroem uma tabela com as potências de 2 e o
número de algarismos necessários para escrever os resultados da potência
escrita por extenso, bem como apresentam a construção de um gráfico
relacionando o expoente das potências de 2 com o número de algarismos da
escrita por extenso.
Finalizando, perguntam ao leitor qual a quantidade de algarismos para
2100.
No “Caderno do Aluno”, os autores sugerem atividades similares às
contidas no “Caderno do Professor”. Elas são bastante pertinentes para o
propósito a que se destinam.
Tal qual foi apresentado anteriormente em relação à 5ª Série, os autores
explorem somente estes tipos de situações-problema como exemplos para a
introdução de potências e deixam de explorar outros problemas de contagem
bem como as diferentes representações, por exemplo.
O Currículo de Matemática indica os conteúdos de problemas de
contagem e introdução à probabilidade para 8ª série/9º ano do Ensino
Fundamental com as seguintes habilidades: Saber resolver problemas
184
envolvendo processos de contagem – princípio multiplicativo; Saber resolver
problemas que envolvam ideias simples sobre probabilidade (SÃO PAULO,
2010, p.62-64).
No 4º Bimestre o “Caderno do Professor” sugere que o professor
apresente o problema da “Agulha de Buffon” para introduzir o conceito de
probabilidade geométrica e que também faça o mesmo através da razão entre
áreas de setores em uma dada circunferência.
No “Caderno do Aluno”, os autores sugerem atividades similares às
contidas no “Caderno do Professor”.
Por outro lado, segundo os autores de São Paulo (2010) a lista de
conteúdos que o Currículo de São Paulo (2010) apresenta não difere do que
vem sendo apresentado em outras propostas curriculares e nos livros didáticos,
como se constata em São Paulo (2010):
Reiteramos que a lista dos conteúdos curriculares de Matemática apresentada não se distancia substancialmente dos programas usualmente oferecidos em outros currículos, nos livros didáticos ou nos diversos sistemas de ensino (SÃO PAULO, 2010, p. 55).
Portanto, muito embora seja de significativa importância a inovação do
Currículo de São Paulo (2010) em relação ao desenvolvimento de atividades
de Problemas de contagem no Ensino Fundamental consideramos foram
poucas as sugestões e os exemplos motivacionais para os professores em
relação às oportunidades que podem ser desenvolvidas para este segmento de
ensino.
Sendo assim, os problemas de contagem conforme sugeridos no
Currículo de São Paulo (2010) podem ser apresentados ao longo do Ensino
Fundamental e se estenderem até o Ensino Médio conforme a sugestão
prescrita a seguir (o grifo foi colocado por para realçar a indicação):
[...] os conteúdos disciplinares são meios para a formação dos alunos como cidadãos e como pessoas, o desenvolvimento de competências relacionadas ao eixo argumentação/decisão é o espaço privilegiado para o tratamento da informação, em busca de uma visão crítica do tema. Numa perspectiva curricular que se estenda até o En sino Médio , podem compor esse bloco de conteúdos [...] o estudo de estratégias de contagem e do cálculo de probabilidades etc (SÃO PAULO, 2010, p. 44) (grifo nosso).
Portanto, levando em conta a citação acima cabe ao professor
encaminhar os problemas de contagem com seus alunos nos momentos
185
adequados para a motivação ou introdução de outros conteúdos no Ensino
Fundamental incluindo aqueles que foram sugeridos e apresentados nas
“Situações de Aprendizagem” presentes nos “Cadernos do Professor” e nos
“Cadernos do Aluno”.
A citação a seguir, extraída de São Paulo (2010), confirma o que
dissemos antes.
Por outro lado o grifo aqui feito destaca a importância de o professor
encaminhar reflexões para a tomada de decisões para a inclusão - quando e
como isso poderá vir a ser feito junto a seus alunos - de modo a favorecer a
introdução de novos conceitos e o desenvolvimento do raciocínio combinatório.
A escolha de diferentes escalas de aprofundamento para vários assuntos é natural e esperada, constituindo a competência máxima do professor, do ponto de vista da didática. Um bom professor não se excede em pormenores que não podem ser compreendidos pelos alunos, nem subestima a sua capacidade de compreensão. [...] Reiteramos que, na presente proposta, cabe exclusiv amente ao professor pensar o planejamento sobre “o quê”, “com o” e “com que grau de profundidade” abordará os conteúdos sug eridos na grade curricular bimestral , destacando que a ideia de escala, anteriormente referida, é absolutamente decisiva para a compreensão do que se propõe no presente documento (SÃO PAULO, 2010, p. 50) (grifo nosso).
Finalizamos o capítulo sintetizando para o leitor o que foi apresentado:
inicialmente um recorte sobre as reformas do ensino secundário nas quais a
análise combinatória esteve presente desde 1919 no Colégio Pedro II, uma
referência para as demais escolas, à época até a criação do Ministério dos
Negócios da Educação e Saúde Publica por Getúlio Vargas em 1930; também
fizemos análises a respeito das propostas curriculares do estado de São Paulo
desde 1970, em relação à presença de análise combinatória nestes, até o atual
Currículo de São Paulo (2010); também avaliamos a presença de problemas de
contagem e noções de análise combinatória nos PCN (1997, 1998, 1999);
analisamos o projeto político-pedagógico do Currículo de São Paulo (2010);
analisamos características acerca do currículo, centrado em competências e,
por fim, finalizamos com análises a respeito do ensino e aprendizagem acerca
dos problemas de contagem.
O capítulo seguinte destina-se ao início da análise dos dados colhidos
nos três primeiros questionários, propostos no primeiro dos encontros de
ensino – fase de design - de maneira a conhecer a experiência dos sujeitos
186
desta pesquisa em relação aos conhecimentos curriculares, de conteúdo e
pedagógicos de conteúdo. Essa análise permitirá responder a uma das
questões propostas para esta pesquisa.
187
4 UMA ANÁLISE DOS DADOS INICIAIS DA PESQUISA
Este capítulo é dedicado à exposição da análise dos dados colhidos no
primeiro momento da metodologia deste estudo, a fase de design – a que
antecede à fase de intervenção, ou seja, do desenvolvimento da sequência
didática - de maneira a conhecer as concepções, crenças e conhecimentos do
grupo de professores já caracterizado no Capítulo 1.
Agora, neste capítulo, vamos apresentar as questões que compuseram
os três instrumentos de coleta de dados utilizados nesta primeira fase
acrescidas dos propósitos pelos quais decidimos sobre sua pertinência em
relação à nossa pesquisa e acompanhadas da respectiva análise dos
resultados.
Essa análise se faz necessária à continuidade desta investigação no
sentido de permitir fundamentar os propósitos com os quais uma das questões
de pesquisa propostas será respondida.
Do grupo de professores da rede estadual de ensino de São Paulo que
integra o Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES desde o seu início,
muitos deles escolheram o conteúdo combinatória (problemas de contagem)
como um dos temas que eles gostariam fossem aprofundados de modo a
promover reflexões e discussões, bem como a apropriação de novos
conhecimentos, por meio de um levantamento feito no início das atividades do
Observatório, em Março de 2009, na qual a escolha desse conteúdo ficou em
4º lugar nas escolhas, com 65% de preferência.
As justificativas desses professores para essa escolha foram pela
grande dificuldade que o tema apresenta tanto para ensinar quanto para
aprender.
Não obstante essa constatação, os professores justificaram ainda que
não se consideravam preparados para tratar do tema conforme ele fora
prescrito no novo Currículo de São Paulo (2010), em especial ao longo do
Ensino Fundamental, em razão de não dominarem esses conhecimentos e não
compreenderem os objetivos precípuos para atender ao que está prescrito.
188
Em razão dessas constatações, o grupo de professores entendeu que a
implementação do currículo no tocante aos aspectos pedagógicos e de
conteúdo relativamente aos problemas de contagem estaria comprometida.
Passado pouco tempo da solicitação feita pelos professores
submetemos nosso Projeto de Pesquisa para o curso de Doutorado à avaliação
da equipe de professores coordenadores do grupo de pesquisa “Formação de
Professores que ensinam Matemática”, integrante dos Cursos de Pós-
Graduação em Educação Matemática da UNIBAN.
A avaliação dos professores, em concordância com o Orientador desta
pesquisa, recomendou que a fase de coleta de dados fosse feita com o grupo
de professores do Observatório da UNIBAN.
Por conta disso, foi preciso conhecer mais amiúde os anseios,
dificuldades e necessidades dos professores em relação ao tema. Depois disso
e com base na análise sobre os dados dos questionários pudemos elaborar
uma primeira versão da sequência de ensino que viria a atender aos objetivos
já definidos.
Esta análise, por sua vez, não tem o caráter estático de uma elaboração
prévia, mas se fortalece e se complementa a cada um dos encontros de ensino
com base nas observações e nas reflexões encaminhadas pelo pesquisador
em conjunto com o Orientador.
Ressalte-se que os professores integrantes do Observatório da
CAPES/UNIBAN têm a missão de implementar o que o currículo de São Paulo
(2010) prescreve e para tal têm que se apropriar dos conhecimentos de
conteúdo, curriculares e pedagógicos de conteúdo presentes, tanto nas
orientações presentes no currículo quanto nos “Cadernos do Professor” e nos
“Cadernos do Aluno”.
Inicialmente e de modo a conhecer a experiência docente do grupo de
professores, o perfil profissional, o posicionamento deles em relação ao novo
currículo prescrito pela Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (2010)
189
e outras questões consideradas pertinentes, foi preparado o questionário Q1
intitulado “Dados relacionados à experiência docente – DED29”.
Apesar dos dados constantes deste questionário não serem, de início,
dados de pesquisa, queremos situar o leitor sobre as experiências pessoais e
docentes do grupo de professores que participou da sequência de ensino
objeto desta pesquisa e cujo objetivo foi o de, possivelmente, vir a contribuir
para responder às questões da pesquisa.
Se os dados coletados acerca da experiência do grupo de professores
não se prestarem a essa principal razão pela qual foram concebidos, ao menos
conterão informações gerais sobre os sujeitos desta pesquisa situando-os
cronologicamente em relação às experiências com as propostas curriculares
pelas quais passaram durante a docência na Rede Estadual de Ensino.
Com o objetivo de fazer análise relacionada à experiência docente que
os professores, sujeitos desta investigação, tinham antes do início das
atividades no Observatório da UNIBAN, bem como relativamente àquelas
relacionadas aos conhecimentos de conteúdo, conhecimentos pedagógicos de
conteúdo e conhecimentos curriculares, foram preparados e aplicados dois
questionários: Conhecimentos de Conteúdo (Q2)30 e Conhecimentos
Pedagógicos (Q3)31.
Iniciamos a análise dos dados colhidos desses três questionários
conhecendo a Experiência Docente dos sujeitos da pesquisa através da coleta
feita segundo o questionário Q1 “Dados relacionados à experiência docente -
DED” e, em seguida, continuamos com a análise dos questionários Q2 e Q3,
aplicados a 20 professores, cuja análise dos dados será apresentada em
seguida.
Reiteramos que há 3 (três) professores: P21, P22 e P23 que não
participaram das atividades do primeiro encontro de ensino e, portanto, não
responderam aos três questionários, embora tenham participado de alguns dos
encontros.
29 Ver Apêndice A. 30 Ver Apêndice B. 31 Ver Apêndice C.
190
4.1 Experiência Docente
Iniciamos esta seção identificando aspectos pessoais e profissionais dos
sujeitos da pesquisa decorrentes das análises dos dados relacionados à
experiência docente, finalidade do questionário Q132. Assim, as questões
tiveram como objetivos os de identificar, analisar e estabelecer possíveis
relações entre as concepções dos professores em relação a aspectos de
ensino, de aprendizagem, de conhecimentos curriculares, de conhecimentos
pedagógicos e de formação docente.
Para fins de estruturação do questionário sobre a experiência docente
dividimos as questões segundo quatro diferentes abordagens, com a finalidade
de - simultaneamente à análise quantitativa dos dados obtidos - efetuar
associações pertinentes entre as variáveis que categorizam essas abordagens.
Assim, de modo a caracterizar o perfil pessoal e o dia-a-dia dos
professores elegemos as perguntas de 1 a 7. Em relação à formação máxima
obtida e as formações continuadas promovidas pela Secretaria Estadual de
Educação de São Paulo elegemos as perguntas de 8 a 10. Em relação às
opiniões relacionadas com o novo currículo prescrito pela Secretaria Estadual
de Educação de São Paulo elegemos as perguntas de 11 a 15. Quanto aos
instrumentos avaliativos e aos recursos pedagógicos disponíveis e utilizados na
prática docente, relacionados diretamente com o ensino e a aprendizagem
ofertados aos seus alunos, bem como as sugestões de possíveis mudanças no
que se refere ao oferecimento de aulas de matemática mais interessantes
elegemos as perguntas de 16 a 18.
Considerando que esta investigação caracteriza-se pela abordagem
qualitativa dos dados - como descrito no Capítulo 1 - faremos a análise de
acordo com as quatro abordagens supracitadas.
Sendo assim, os dados quantitativos dos gráficos serviram de
parâmetros para que se pudesse fazer associações das variáveis e as
consequentes interpretações dos resultados pelo pesquisador.
32 Ver Apêndice A
191
O gráfico 1, a seguir, apresenta o quantitativo de professores
distribuídos por faixa etária, de um total de 20 professores que estavam
presentes no terceiro encontro.
Gráfico 1: Idades dos professores integrantes do Observatório da UNIBAN em 2011.
São 14 os professores com idades superiores a 40 anos, o que
evidencia um grupo com bastante experiência docente considerando também
que não há nenhum professor com idade inferior a 24 anos.
Em relação ao vínculo empregatício dos professores junto à Secretaria
de Educação do Estado de São Paulo eles estão distribuídos em professores
efetivos (12) e professores OFA (8)33.
Em relação às séries nas quais o professor estava lecionando no
primeiro semestre do ano letivo de 2011, os gráficos a seguir mostram a
quantidade de professores que lecionam em pelo menos uma turma, para cada
série, no ano letivo de 2011.
Eles são resultantes da classificação dos dados à pergunta feita no que
diz respeito à série ou séries em que o professor estava trabalhando naquele
período do questionário, ou seja, no 1º semestre de 2011.
Considerando que um mesmo professor pode estar atuando com turmas
de séries diferentes, o somatório das respostas não coincide com o total de
docentes.
33 Professores OFA (Ocupantes de Função Atividade) são professores que não pertencem diretamente ao quadro do magistério da Rede Estadual de São Paulo e, por esta razão, esses professores não têm locação escolar fixa. Suas atividades docentes realizam-se em função das necessidades de determinada unidade escolar (em razão de aposentadoria de efetivo, licença médica ou de caráter pessoal, aumento do quantitativo de alunos, etc) para suprir o déficit de aulas previstas na grade curricular, variando de ano para ano letivo.
192
0
2
4
6
8
10
12
14
5ª Série EF 6ª Série EF 7ª Série EF 8ª Série EF Nenhuma série
do EF
Gráfico 2: Séries do Ensino Fundamental em que os professores do Observatório da UNIBAN trabalham, ou não.
Ressalte-se a quantidade de professores que não leciona no Ensino
Fundamental (indicado por “nenhuma série do EF” no gráfico 2, acima): 12, que
atuam unicamente no Ensino Médio e o número pequeno de docentes: 2, que
atuam unicamente com o Ensino Fundamental (representado no gráfico 3, a
seguir).
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1ª Série EM 2ª Série EM 3ª Série EM Nenhuma série do
EM
Gráfico 3: Séries do Ensino Médio em que os professores do Observatório da UNIBAN trabalham, ou não.
Essas informações foram decisivas para a concepção da sequência de
ensino considerando que foi preciso um olhar diferenciado para o grupo de
professores uma vez que seis desses professores estavam atuando em ambos
os segmentos (5 deles em turmas de 1ª Série, 4 em turmas de 2ª Série e 2 em
turmas de 3º Série) e 2 professores somente atuavam no Ensino Fundamental.
193
Assim, dos 11 professores que lecionavam em turmas da 2ª Série do
Ensino Médio - onde os conteúdos de Combinatória (problemas de contagem)
e Probabilidade são habitualmente desenvolvidos – sete deles atuavam
somente no Ensino Médio e 4 deles em ambos os segmentos.
Entre os dois professores que atuam unicamente no Ensino
Fundamental, um deles lecionava somente em turmas de 5º Série e o outro
somente em turmas de 8ª Série.
Já entre os seis professores que atuam nos dois níveis de ensino, um
deles só tem turmas de 7º Série, outro só tem turmas de 8ª Série e nenhum
deles têm turmas de 5ª Série.
Assim, em princípio, oito dentre os vinte professores estavam distantes
do trabalho docente com os conteúdos de combinatória em nível de Ensino
Médio e entre os professores que atuavam somente no Ensino Médio, de um
total de doze professores, 8 deles lecionavam em turmas de 2ª Série.
Restava então conhecer o que este grupo de professores havia
experimentado em termos de desenvolver situações-problema de contagem em
turmas do Ensino Fundamental, com os conteúdos que seriam trabalhados
neste segmento e também permitir a possibilidade de poder identificar e
conhecer as experiências de todo o grupo durante os encontros de ensino que
iriam ocorrer.
Em relação ao tempo de magistério dos professores tem-se a
distribuição conforme o gráfico 4, a seguir, configurando-se em um grupo de
professores com uma grande experiência docente uma vez que 15 deles têm 5
ou mais anos de trabalho.
194
0
1
2
3
4
5
6
Até 1 ano 1 a 5 anos 5 a 10 anos 10 a 15 anos 15 a 20 anos mais de 20
anos
Gráfico 4: Tempo de magistério dos professores do Observatório da UNIBAN.
Em relação à distribuição da força de trabalho semanal consumida com
o efetivo compromisso de trabalho despendido em sala de aula tem-se um
expressivo percentual de 18 professores que lecionam mais do que 21 aulas
semanais, conforme indica o gráfico 5 a seguir.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
até 10 10 a 15
aulas
16 a 20
aulas
21 a 25
aulas
26 a 30
aulas
mais de 30
aulas
Gráfico 5: Quantidade de aulas semanais ministradas pelos professores do Observatório da UNIBAN.
Considerando 4 (quatro) aulas diárias pela manhã, por exemplo, durante
todos os dias da semana, esses professores teriam somente o período da tarde
para preparar suas aulas, estudar e selecionar atividades para seus alunos.
Além do mais, os únicos dois docentes que ministram de 10 a 15 aulas
semanais certamente devem ocupar-se de outra função durante o dia que não
a função docente ou então a docência é complementada em outro
estabelecimento fora da Rede Estadual de ensino.
195
Em relação ao grau máximo referente à formação dos sujeitos da
pesquisa, todos têm o curso superior completo e oito deles têm curso de
Especialização conforme mostra o gráfico 6 a seguir:
0
2
4
6
8
10
12
14
Gráfico 6: Grau máximo de formação dos professores do Observatório da UNIBAN.
Em relação às perguntas se teriam ou não participado de atividades de
formação continuada promovidas pela Secretaria Estadual de Educação de
São Paulo nos anos de 2009 e 2010 e o que teriam representado para a
melhoria da prática pedagógica, um percentual expressivo de 13 professores
considerou-as úteis para a melhoria do seu trabalho em sala de aula conforme
mostra o gráfico 7 a seguir:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Sim Não Foram muito
úteis
Foram úteis Foram pouco
úteis
Não foram
úteis
Gráfico 7: Participação em atividades de formação da SEE e o grau de satisfação dos professores do Observatório da UNIBAN.
196
Os dois professores que têm especialização de até 200 horas têm idade
entre 40 e 49 anos, trabalham somente no Ensino Médio e têm larga
experiência docente, sendo que um deles tem entre 10 a 15 anos de
experiência docente, ministra aulas à noite, 10 a 15 aulas semanais e não
participou de atividades de formação continuada da SEE.
O outro professor tem mais de 20 anos de experiência docente, ministra
aulas manhã, tarde e noite, mais de 30 aulas semanais e participou de
atividades de formação continuada da SEE em 2009 ou 2010, a qual
considerou como tendo sido úteis.
Os seis professores que têm especialização de no mínimo 360 horas
têm idades variando de 25 a 29 anos (1 deles), 30 a 39 anos (1 deles), 40 a 49
anos (3 deles) e 55 anos ou mais (1 deles).
Quatro desses professores trabalham somente no Ensino Médio: (dois
deles com mais de 30 e os outros dois de 26 a 30 aulas semanais, e todos eles
participaram de atividades de formação continuada da SEE em 2009 ou 2010 -
dois deles consideram que as atividades foram úteis e dois deles que as
atividades foram pouco úteis).
Os outros dois trabalham somente no Ensino Fundamental (um deles
com aulas pela manhã e à tarde, 10 a 15 aulas semanais, e não participou de
atividades de formação continuada da SEE e o outro professor com aulas pela
manhã, de 21 a 25 aulas semanais, participante de atividades as quais
considerou que foram úteis).
Os doze professores têm o curso superior completo, todos têm uma
carga horária semanal superior a 21 aulas semanais e somente um deles não
frequentou atividades de formação enquanto que os demais consideraram que
elas foram muito úteis (um total de 2 professores) e consideraram que foram
úteis (9 professores).
Analisando os dados dos professores de modo a caracterizar o perfil
pessoal e o dia-a-dia desses profissionais, consideramos um corpo docente
com idade avançada, com experiência de mais de 15 anos de docência e que
têm uma carga horária média semanal bastante alta.
197
Quanto à formação máxima obtida através de cursos (s) de
especialização e as formações continuadas promovidas pela Secretaria
Estadual de Educação de São Paulo, percebe-se um grupo bastante
preocupado em se aprimorar através da procura por uma dessas modalidades
de formação.
Em relação à posição dos professores com respeito ao novo currículo
prescrito pela Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (2010) os
professores se manifestaram conforme os dados constantes no gráfico 8, a
seguir.
Gráfico 8: Posição dos professores do Observatório da UNIBAN em relação ao novo currículo prescrito pela SEE.
O quantitativo de 5 (cinco) professores que indicaram comprometimento
e de 12 (doze) professores que indicaram aceitação em relação ao currículo é
considerado excelente para se supor que os professores veem com bons olhos
o novo currículo e, portanto, para este grupo de professores, sua
implementação não deve sofrer percalços.
Por outro lado, os professores P1(leciona somente no Ensino Médio, 40
a 49 anos de idade, 5 a 10 anos de magistério, 26 a 30 aulas semanais,
participante de formação continuada em 2009 ou 2010) e P8 (leciona somente
no Ensino Médio, 30 a 39 anos de idade, 10 a 15 anos de magistério, 26 a 30
aulas semanais, participante de formação continuada em 2009 ou 2010)
indicaram contrariedade e o professor P3 (leciona somente na 5ª série do
Ensino Fundamental, 55 ou mais anos de idade, até um ano de magistério, 10
a 15 aulas semanais), que indicou indiferença.
198
Considerando que o referido questionário foi composto de perguntas
fechadas, não foi possível identificar as razões que levaram essas professores
terem se manifestado dessa maneira.
Porém, a julgar pelos resultados da pergunta seguinte em que metade
dos professores consideraram que o currículo foi imposto (cujos resultados se
encontram no gráfico 9), sugere ser possível esperar ações com as quais ecos
de resistência se apresentem, as quais não favorecem a incorporação e a
aceitação das sugestões ali preconizadas.
Tais considerações têm por base - ao menos no que se refere às
primeiras constatações – àquelas relacionadas ao conhecimento do teor do
que está prescrito no currículo para ser realizado pelos professores, após a
leitura da totalidade dos documentos e a sua utilização mais amiúde.
Avaliando a grande totalidade de respostas que reúnem os tipos
aceitação, indiferença e contrariedade (15 professores) e aqueles que
indicaram sugestão e imposição (14 deles) (conforme o gráfico 9, a seguir) em
relação ao novo currículo de São Paulo, esses resultados indicam como pouco
provável que os professores do grupo do Observatório promovam ações de
mudanças em suas práticas docentes, ao menos em relação ao momento em
que se encontravam quando responderam o questionário, em Maio de 2011.
Assim, percebe-se que os materiais pedagógicos “Currículo”, “Cadernos
do Professor”, “Cadernos do Aluno” e as recomendações em outros
documentos internos da Secretaria de Educação não foram suficientes para
que fossem garantidas as mudanças propostas no currículo, em parte,.
Arriscamos supor que essas opiniões estão relacionadas diretamente à
forma como os currículos de maneira geral são elaborados, discutidos,
refletidos, divulgados e implementados, embora esse currículo a que referimo-
nos tenha percorrido um caminho bem democrático até a sua divulgação, como
pode ser visto no Capítulo 2.
Fato é que a exemplo de outras situações ocorridas anteriormente em
relação à implementação de outros currículos - tanto em São Paulo quanto em
outros estados da federação - tem-se a repetição de atitudes e opiniões de
resistência, rejeição e ceticismo dos professores frente ao que eles consideram
199
ser “mais uma mudança curricular em relação às anteriormente ocorridas”,
segundo PIETROPAOLO (1999).
Talvez essas reações e posições estejam relacionadas ao fato desses
professores se sentirem excluídos dos processos de discussão, reflexão,
sugestões e elaboração de mudanças, em grupos ou não, uma vez que eles se
consideram protagonistas das mudanças, fruto, talvez do resultado da
formação inicial e de formações continuadas que receberam, culminando com
as experiências adquiridas (PIETROPAOLO, 1999).
De modo geral os professores resistem a mudanças, pois as suas
concepções e crenças, resultantes das experiências que acumularam ao longo
de toda a trajetória docente, funcionam como obstáculos que não permitem a
eles poder refletir sobre novas ideias e novas sugestões que advém dos novos
currículos (PIETROPAOLO, 1999).
Esta posição não foi confirmada pelo grupo de professores uma vez que
17 dentre os 20 professores assinalaram comprometimento e aceitação quanto
ao novo currículo.
Essa posição se confirma com os dados obtidos do questionário,
constantes do gráfico 9, a seguir: dentre os 14 professores que responderam
aos tipos sugestão e imposição, um deles tem até um ano de magistério, três
têm de 5 a 10 anos, dois têm de 10 a 15 anos, três têm de 15 a 20 anos e cinco
têm mais de 20 anos, ou seja, 50% (10 deles) têm mais de 10 anos de
magistério.
0
2
4
6
8
10
12
Consenso Adesão Sugestão Imposição
Gráfico 9: Como os professores do Observatório da UNIBAN veem a implementação do novo currículo prescrito pela SEE.
200
Em relação ao material de apoio distribuído aos professores e aos
alunos, a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo desenvolveu os
materiais pedagógicos intitulados de “Cadernos do Professor” (no ano de 2008)
e “Cadernos do Aluno” (no ano de 2009) como uma das contribuições ao
trabalho docente logo em seguida à implementação do novo Currículo para
subsidiar a implementação do currículo.
Eles foram concebidos para serem utilizados como material
complementar à utilização do livro didático e nosso objetivo é o de conhecer o
grau de satisfação em relação à disponibilidade desse material e como o
professor os via como material pedagógico de auxílio para o ensino e a
aprendizagem.
As perguntas feitas na pesquisa exploratória sobre essa questão tinham
como objetivos, em linhas gerais, o de conhecer a opinião desses docentes
sobre a sua aceitação e o seu uso.
Assim, considerando as respostas e se fosse o caso, poder-se-ia vir a
discutir parte das ideias ali prescritas e resolver situações-problema propostas
durante os encontros de ensino notadamente no que se refere às orientações
pedagógicas lá prescritas, ao menos em parte ou não.
Em relação à pergunta “como o professor vinha utilizando as situações
de aprendizagem sugeridas nos Cadernos do Professor” têm-se como
resultados que a grande maioria dos professores utiliza os Cadernos na
tentativa de compreender as situações de aprendizagem ali presentes levando
em consideração tanto a questão da contextualização contida nos enunciados
dessas situações e nas situações propostas quanto no ineditismo de algumas
delas.
Considerando que elas se apresentam em uma linguagem adequada à
Educação Básica, os professores as selecionam segundo esses critérios como
mostra o gráfico 10.
Porém, considerando o elevado número de respostas “algumas
parcialmente” e “todas parcialmente” conjecturamos que o professor se
preocupa em resolver (ou tenta resolver) ou propõe a resolução de parte das
situações de aprendizagem, mesmo que algumas delas parcialmente, por
201
considerar - como mostram os resultados do gráfico 11 - que os conteúdos de
matemática que dariam conta de compreender e solucionar as situações de
aprendizagem presentes no Caderno do Professor se apresenta “insuficientes”
e “inadequados” para mais que a metade do quantitativo de professores.
Gráfico 10: Em relação às situações de aprendizagem contidas no Caderno do Professor, você as utiliza como?
Em relação à pergunta: “como o professor se sentia em relação ao
desenvolvimento dos conteúdos apresentados como sugestão nos Cadernos
do Professor” tem-se que 11 professores os consideram inadequados ou
insuficientes para serem trabalhados em sala de aula, como mostra o gráfico
11.
Gráfico 11: Em relação aos conteúdos de Matemática dos Cadernos do Professor, para uso em suas aulas são:
Em relação à pergunta: “como o professor se sentia em relação ao
desenvolvimento dos conteúdos apresentados como sugestão nos Cadernos
do Aluno”, tem-se que 11 professores os consideram inadequados ou
insuficientes para que os alunos possam compreendê-los em sala de aula e/ou
em casa como pode ser visto no gráfico 12 a seguir.
202
Gráfico 12: Em relação aos conteúdos de Matemática dos Cadernos do Aluno, para melhorar a aprendizagem deles, elas são:
Analisando as respostas às três últimas perguntas desse bloco e
relacionadas às questões curriculares parece-nos que o professor seleciona as
situações de aprendizagem (parte delas ou algumas em parte) que lhe parece
mais adequada para serem apresentadas em sala de aula (ou sugeridas para
que os alunos as façam em casa) seguindo o critério do entendimento que ele
próprio teve da situação.
O professor leva em conta, ainda, o nível de dificuldade que a situação
de aprendizagem apresentou para ele em comparação com aquelas as quais
ele se sente em condições de compreender e poder explicar a seus alunos com
base na sua experiência docente.
Consideramos positivas as ações dos professores em relação ao
conhecimento e à utilização, mesmo que parcial, das atividades de
aprendizagem disponíveis nos Cadernos do Professor e do Aluno.
Ao tomar conhecimento quando lê, interpreta, faz reflexões e se apropria
dos conhecimentos ali presentes o professor está aprimorando seus
conhecimentos didáticos, pedagógicos e de conteúdos e por conseguinte se
aprimorando profissionalmente.
Em relação aos instrumentos avaliativos que o professor utiliza, dentre
os descritos na pesquisa exploratória, o gráfico 13 apresenta resultados de
utilização desses instrumentos.
A utilização desses instrumentos pelos professores é feita de maneira
bastante diversificada caracterizando-se, deste modo, como um grupo de
professores preocupado com o novo papel dos professores em relação aos
processos de avaliação - principalmente em relação à metodologia de trabalho
participativo presente na sugestão de trabalho em grupos.
203
Por outro lado, percebe-se pequena inovação em relação aos
instrumentos avaliativos utilizados pelo grupo de professores e segundo os
quais eles poderiam conhecer mais amiúde a percepção por parte do aluno em
relação aos conceitos por ele apreendidos de modo a permitir ao professor
conhecer como se dá a internalização destes.
Poder-se-ia sentir tal manifestação se o professor oferecesse mais
oportunidades de atividades através de seminários e produção dos alunos, por
meio de relatórios e pesquisas, individuais ou em grupos, por exemplo.
Ademais, e por outro lado, ainda permanece entre a maioria dos
professores a prática da prova escrita e do trabalho individual, dentre outros
formas de avaliação.
Em relação aos instrumentos complementares à essas práticas a auto-
avaliação e os seminários foram indicados por seis professores que têm o
seguinte perfil: indicaram somente auto-avaliação dois professores: um de 1 a
5 anos e o outro de 5 a 10 anos de magistério, que lecionam somente no
Ensino Médio;
Indicaram somente seminários: dois professores, um com mais de 20
anos de magistério (leciona somente no Ensino Médio) e o outro de 1 a 5 anos
(leciona em ambos);
Indicaram auto-avaliação e seminários: dois professores, um de 5 a 10
anos e o outro de 10 a 15 anos de magistério (ambos lecionam somente no
Ensino Médio).
0 5 10 15 20
Prova escrita
Avaliação contínua
Trabalho individual
Trabalhos em grupos
Diário de classe
Registro de atividades
Produção dos alunos
Seminários
Auto-avaliação
Gráfico 13: Em relação aos instrumentos avaliativos que o professor utiliza.
204
Em relação aos recursos pedagógicos que o professor utiliza dentre os
descritos no questionário DED, o gráfico 14 apresenta resultados de utilização
de recursos bastante diversificados empregados pelos professores sendo que
os mais comuns o giz e lousa, os cadernos do aluno e o livro didático.
0 5 10 15 20 25
Giz e lousa
Cadernos do Aluno
Livros didáticos
Calculadora
Jornais e Revistas
Jogos
Vídeos
Softwares
Data show/Retroprojetor
Livros paradidáticos
Material concreto
Instrumentos de medição
Gráfico 14: Em relação aos recursos pedagógicos que o professor utiliza.
Como esses três recursos são utilizados pela quase totalidade dos
professores não cabe identificar nichos de professores que têm utilizado com
mais frequência esses recursos.
Conjectura-se, com base nesses dados colhidos para este pequeno
grupo de professores o predomínio de aulas expositivas em giz e lousa (todos
os professores) e a utilização maciça do livro didático - conforme os indicativos
apresentados no gráfico acima - utilizado seguidamente pelo professor para
apresentar o conteúdo, aula a aula, seguido da proposição de resolução de
exercícios pelos alunos, individualmente ou em grupos menores, também
formulados nos livros didáticos que se caracteriza como ensino tradicional da
matemática.
Em relação a estas questões valemo-nos de considerações
apresentadas pelo MEC no documento intitulado “Referenciais para formação
de professores”, em Brasil (2002):
É possível afirmar ainda – a partir da observação, de depoimentos pessoais e de estudos que começam a surgir – que, frequentemente, o professor está desatualizado em relação à discussão sobre educação, à profissão e seu papel social, escreve e lê pouco, tem uma enorme dependência do livro didático – quando l eciona no
205
ensino fundamental – e uma visão bastante utilitária do aperfeiçoamento profissional. E que desenvolve seu trabalho solitariamente e sem ajuda dos que teriam a função de apoiá-lo profissionalmente (BRASIL, 2002, p. 31) (grifo nosso).
Ressalta-se que o referido documento afirma que não se pode
generalizar essas opiniões para todos os professores como também o fizemos
acima considerando tratar-se desse pequeno grupo de professores, como se
constata na citação a seguir:
Evidentemente, quando se delineia o perfil de um profissional, o que se leva em conta é o conjunto de característica s comuns à maioria, e não a todos . Existem professores leitores e pesquisadores, que investem pessoalmente em seu desenvolvimento profissional, que exigem oportunidades de formação de seus empregadores, que trabalham em equipe, que participam do projeto educativo de suas escolas, que estudam sobre a aprendizagem dos alunos para poder ensiná-los mais e melhor...Mas não é assim com a maioria, e essa realidade precisa ser encarada de frente (BRASIL, 2002, p. 31) (grifo nosso).
Para este grupo de professores junta-se a oportunidade de sugerir a
resolução de situações-problema e de atividades de aprendizagem presentes
nos Cadernos do Aluno como mais um recurso disponível e complementar para
auxiliar na aprendizagem os quais têm como objetivo o de favorecer a
aplicação e a consolidação dos conceitos que foram apropriados em sala de
aula.
De modo a conhecer o que pensam os professores do Observatório em
relação à propostas de melhoria das aulas de matemática foi proposta a
seguinte pergunta aberta:
Somente sete dentre os vinte professores respondeu esta pergunta.
A seguir apresentamos as opiniões dos professores e as analisamos em
seguida:
Jogos (P2)
DVD´s, jogos, software´s (P7, P15)
Aulas mais dinâmicas (P5)
Usar jogos, brincadeiras, resolução de problemas envolvendo situações do cotidiano dos alunos (P11)
Indique sugestões que você considera relevantes de modo que as aulas de
matemática se tornem mais interessantes aos alunos
206
Jogos, trabalhos em grupos, software´s educacional, como por exemplo: micromundus (P19) Creio que a apresentação de histórias e envolvimento dos alunos em seu cotidiano, assimilando o conteúdo é interessante. Se apropriar do que o aluno gosta e já sabe, também (P20)
Interessante observar que todas as sugestões apresentadas pelos
professores dependem, única e exclusivamente, deles próprios, de suas ações,
de suas vontades e necessidades, uma vez que mesmo que não disponha de
algum software ele pode baixá-lo de maneira gratuita e utilizá-lo. O mesmo
ocorre em relação a jogos.
Em outros casos certamente a escola ou algum colega de trabalho
dispõe e poderá vir a emprestá-lo.
Talvez devido ao enunciado como a pergunta foi feita: indicativo de
sugestões (em aberto), não se constatou quaisquer ações indicativas, como
consequência das respostas dadas a ela e que dependam dos alunos.
Como, por exemplo, ações para melhorar o interesse em participar e
aprender com as atividades propostas, o que coloca os alunos em posição
passiva e também não há ações que dependam da participação dos pais e
responsáveis.
Talvez elas dependam da direção da escola em relação à estrutura
organizacional do espaço e das instalações, a adequação de espaços para
jogos, filmes, DVD e salas de informática.
As sugestões apresentadas pelo professor P20 sugerem mudanças de
atitudes e das práticas docentes dos professores sem necessidade de recursos
pedagógicos outros que não o interesse e a motivação do professor.
Podemos constatar que a implementação do novo currículo prescrito
favorece mudanças considerando o desafio constante que todos deverão
emprestar para a reflexão das orientações ali presentes e da importância dos
professores estudarem e aprenderem junto com seus alunos.
Quanto a essas questões, Zeichner (2003) defende a necessidade de
haver uma prática docente crítico-reflexiva segundo a qual o professor não
pode ser visto, unicamente, como um “técnico eficiente” que tem a incumbência
de colocar em prática as orientações curriculares e didático-pedagógicas que
foram concebidas por outras pessoas, muitas vezes sem levar em conta as
207
experiências e demandas do professor, ou seja, o professor não tem
participação ativa nesse processo.
Segundo Zeichner (2003), uma das principais causas da resistência e
subversão às mudanças por parte dos professores reside exatamente nessas
questões.
O êxito ou não de implementação de inovações curriculares, como as do
atual currículo para o Estado de São Paulo (2010), depende muito do
envolvimento dos professores, como assegura Zeichner (2003):
[...] Anunciar ou mesmo exigir mudanças na educação não alterará o que se passa nas salas de aula e nas escolas enquanto os educadores oferecerem resistência e subverterem essas mudanças (ZEICHNER, 2003, p. 38).
Essa análise realizada com os dados obtidos do questionário a respeito
da Experiência Docente34 (com perguntas fechadas em sua maioria) e com os
dados obtidos do questionário Q4 (somente perguntas abertas) permitirá
responder no capítulo seis uma das questões específicas de nossa pesquisa,
qual seja: “Quais são os conhecimentos dos professores a respeito da
resolução de problemas de contagem e suas concepções sobre o
desenvolvimento desse tema no Ensino Fundamental?”.
Dando prosseguimento às análises dos dados constantes do
questionário inicial – experiência docente – faremos, em seguida, a análise dos
resultados obtidos pelas respostas ao questionário Q2 que tratou dos
conhecimentos de conteúdos sobre análise combinatória que os professores
tinham, anteriormente ao início desta formação continuada.
4.2 Conhecimentos sobre o Conteúdo
Visando identificar o perfil dos professores participantes de nossa
pesquisa quanto aos seus conhecimentos sobre os conteúdos, esta parte da
coleta dos dados compôs-se da aplicação de um questionário35 contendo nove
situações-problema que, a nosso ver, permitiram a identificação das
34 Os enunciados das questões se encontram no Apêndice A. 35 Ver Apêndice B.
208
concepções desses professores sobre os conceitos e procedimentos
relacionados aos problemas de contagem. Esse questionário favoreceu
também a identificação das concepções do grupo de professores acerca do
ensino de noções concernentes a esses conteúdos para alunos da Educação
Básica, sobretudo os do Ensino Fundamental.
A análise das respostas dos professores foi determinante para a
elaboração da sequência de ensino na fase da intervenção (atividades
envolvendo situações-problema e análise de erros de alunos) com a finalidade
de nortear as reflexões que seriam oportunamente realizadas pelo grupo no
decorrer do experimento.
Para essa análise nos apoiamos em Tall & Vinner (1981), que definem
imagem conceitual como estrutura cognitiva, construída pela pessoa, que
abrange ideias, imagens mentais, impressões, representações visuais e
descrições verbais, relativas a propriedades e processos concernentes a
determinado conceito. Assim, as concepções dos professores, que serão
objeto desta e da próxima seção, nos forneceram indicativos para analisar a
imagem conceitual desses docentes sobre os conceitos e procedimentos
acerca dos conteúdos.
O questionário Q2 foi composto por 9 questões abertas que versam
sobre o conhecimento específico dos conteúdos associados aos problemas de
contagem incluindo definições, representações, significados e estabelecimento
de relações entre os agrupamentos de objetos. Além disso, essas questões
tinham como finalidade analisar conhecimentos pedagógicos, tendo em vista
que os professores foram solicitados a analisar erros de alunos sobre esse
assunto.
Além disso, ao elaborar esse questionário levamos em conta a
possibilidade de analisar os conhecimentos curriculares do grupo de
professores no que diz respeito aos problemas de contagem uma vez que
estes estão prescritos para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio no
novo Currículo de São Paulo (2010) e com diferentes abordagens.
Assim, considerando que o caráter desta etapa de nossa investigação
era diagnóstico, achamos oportuno que a proposição do referido instrumento
209
aos professores fosse feita como uma tarefa individual. Sua realização teve a
duração de aproximadamente 150 minutos.
Esclarecemos o leitor que quando se tratar de uma citação de um
professor que foi transcrita para o texto, a indicação será feita ao final, entre
parênteses e em negrito, respeitando a indicação de todos os professores
conforme o quadro constante do capítulo 1.
Portanto, as reflexões sobre os resultados do questionário Q1 e que
serão apresentadas a seguir justificam a elaboração da sequência de ensino e
as ações que compuseram a segunda fase - fase de intervenção.
4.2.1 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da construção de uma representação gráfica para resolver problemas de contagem
A fim de identificar concepções dos sujeitos de nossa pesquisa sobre o
conhecimento e uso do princípio multiplicativo e sobre a utilização de
representações para dar conta da resposta a um problema de contagem, bem
como sobre as ideias relacionadas à multiplicação de números naturais, foi
proposta a seguinte questão:
Situação-problema 1: Dispondo de três saias, três blusas e dois pares de
sapatos, de quantos modos diferentes uma senhora pode se vestir?
Um aluno do 6º ano do Ensino Fundamental resolveu assim:
Primeiramente faço todas as combinações possíveis com saias e sapatos.
Depois, com cada um desses conjuntos formados, faço as combinações com
as blusas, num total de 18 conjuntos diferentes de saia, blusa e sapatos. A
solução é apresentada nas duas tabelas de dupla entrada, a seguir:
SaiaSapato SAIA 1 SAIA 2 SAIA 3
SAPATO 1 (SAP1, SA1) (SAP1, SA2) (SAP1, SA3)
SAPATO 2 (SAP2, SA1) (SAP2, SA2) (SAP2, SA3)
210
a) Analise criticamente a solução apresentada pelo aluno.
b) Apresente sua solução, fazendo uso da árvore de possibilidades.
As respostas ao item (a) indicaram que os professores do grupo não têm
o hábito de explorar diferentes representações, como as duas tabelas de dupla
entrada que foram usadas para dar conta da resposta à situação-problema de
contagem proposta. As respostas de alguns dos professores podem atestar
esse fato considerando as críticas recorrentes, como as que se seguem:
A solução está correta, a estratégia utilizada é trabalhosa, poderia ser feita de uma maneira simples (P5)
É uma solução um tanto trabalhosa, poderia utilizar o princípio multiplicativo (P9)
Eu acho a solução do aluno correta, porém para um número maior de elementos a arranjar este modo não é produtivo. Por isto, a fórmula matemática dinamiza a solução mais rapidamente. Ou, usar o princípio multiplicativo (P11)
Ele vai perder muito tempo para resolver (P13)
A solução está correta, mas a perda de tempo foi muito grande poderiam ser usadas outras possibilidades mais simples (P17)
O aluno apresentou de forma clara as possibilidades de combinações, porém de forma trabalhosa essas possibilidades. Certifica-se que o aluno não possui um raciocínio combinatório de forma mais objetiva, pois também existem formas de entendimento mais claras e os conceitos aplicáveis (P22)
Gostei da resposta dada pelo aluno (meio trabalhosa) (P10)
Por outro lado, constatamos, com base nas respostas ao item (b), que
alguns professores não têm clara compreensão sobre os momentos que são
necessários à construção de uma árvore de possibilidades referente à
situação-problema em questão, conforme se percebe nas respostas fornecidas
pelos professores P1 e P6, a seguir:
BlusaSaia+Sapato BLUSA 1 BLUSA 2 BLUSA 3
(SAP1, SA1) (SAP1, SA1, BLU1) (SAP1, SA1, BLU2) (SAP1, SA1, BLU3)(SAP1, SA2) (SAP1, SA2, BLU1) (SAP1, SA2, BLU2) (SAP1, SA2, BLU3)(SAP1, SA3) (SAP1, SA3, BLU1) (SAP1, SA3, BLU2) (SAP1, SA3, BLU3)
(SAP2, SA1) (SAP2, SA1, BLU1) (SAP2, SA1, BLU2) (SAP2, SA1, BLU3)(SAP2, SA2) (SAP2, SA2, BLU1) (SAP2, SA2, BLU2) (SAP2, SA2, BLU3)(SAP2, SA3) (SAP2, SA3, BLU1) (SAP2, SA3, BLU2) (SAP2, SA3, BLU3)
211
É uma solução inteligente e pode perfeitamente bem substituir a árvore de possibilidades (P1)
Situação-problema 1 (b). Protocolo P6.
Por meio das respostas foi possível perceber que os professores
preferem a multiplicação às tabelas de dupla entrada para apresentar a
totalidade das soluções, possivelmente por conta do pouco tempo que se gasta
para calcular a resposta ou por pensarem estar lidando com uma situação-
problema que foi proposta a alunos do Ensino Médio.
Com o fim de identificar concepções dos professores sobre a utilização
de pelo menos duas representações para resolver um problema de contagem
e, a partir de pelo menos uma delas, responder os demais itens ou a utilização
do princípio multiplicativo foi proposta a questão 2 do questionário Q1,
apresentada a seguir:
a) Em um ginásio há 6 portas, numeradas de 1 a 6. De quantos modos uma
pessoa pode entrar e sair deste ginásio?
Faça, pelo menos, duas diferentes representações que mostram a solução.
b) De quantos modos uma pessoa pode entrar no ginásio, e sair por uma
porta numerada com um número par?
Faça, pelo menos, duas diferentes representações que mostram a solução. c) A segurança das portas do ginásio é feita por homens onde a numeração é
par e é feita por mulheres onde a numeração é ímpar. Sendo assim, de
quantos modos podemos distribuir 3 homens e 3 mulheres para fazer a
segurança deste ginásio?
d) Considerando a segurança do ginásio feita unicamente por homens, de
quantos modos podemos distribuir 6 deles para a segurança das portas?
212
O objetivo para os dois primeiros itens era o de utilizar diferentes
representações como alternativas ao princípio multiplicativo - na forma de uma
operação multiplicativa - para totalizar as soluções, principalmente ao se
considerar o pequeno número de objetos envolvidos nos dois itens.
E também para que os professores percebessem que ao utilizarem
essas representações elas poderiam servir aos propósitos para a obtenção das
soluções nos dois itens seguintes.
As respostas ao item (a) indicaram que dois dos professores não
utilizam diferentes representações, como a árvore de possibilidades, para
resolver um problema de contagem e não têm suficientes conhecimentos sobre
a aplicação do princípio multiplicativo, conforme se percebe nas seguintes
respostas:
Situação-problema 2 (a). Protocolo (P16)
213
Situação-problema 2 (a). Protocolo (P21)
Considerando que na apresentação do enunciado da situação-problema
1 foram utilizadas duas tabelas de dupla entrada e o item (b) desta mesma
situação-problema pedia a construção de uma árvore de possibilidades, era de
se esperar que pelo menos essas duas representações fossem utilizadas na
solução do item (a) da situação-problema 2.
Ou seja, queríamos verificar se o professor tinha autonomia para a
construção de uma representação para dar a solução a um problema de
contagem como o da situação-problema 2.
O protocolo do professor P16 indica duas respostas diferentes para a
mesma situação-problema: na primeira delas identifica a aplicação do PFC com
duas possibilidades para cada porta (pressupõe-se as ações de entrar e de sair
de cada uma das seis portas), totalizando 64 possibilidades e, a seguir, na
segunda resposta apresenta seis árvores de possibilidades, cada uma delas
com seis “galhos terminais”, indicando o total de 36 possibilidades.
Já o protocolo do professor P21 também indica duas respostas
diferentes para a mesma situação-problema: na primeira delas identifica que
pode entrar de seis maneiras distintas e pode sair também de seis maneiras e,
então, aplicando o Princípio Multiplicativo, que há 36 possibilidades e, a seguir,
na segunda resposta apresenta uma desorganização tal qual fazem os alunos
(muitas vezes rabiscam o que escrevem), indicando 6 portas x 36
entrada/saída, totalizando 216 possibilidades, sem sentido para a operação
multiplicativa apresentada.
Somente dois dos professores: P17 e P23 construíram duas
representações como havia sido pedido no item (a), conforme se constata no
pelo protocolo do professor P23, conforme a seguir:
Situação-problema 2 (a). Protocolo (P23)
214
O produto cartesiano (relação de um objeto para todos) que também
poderia ter sido utilizado para resolver o problema não foi utilizado por nenhum
dos professores.
As respostas ao item (b) indicaram que alguns dos professores não têm
domínio do princípio multiplicativo e não exploram diferentes representações,
como a árvore de possibilidades, para obter a resposta a um problema de
contagem. Seguem exemplos de respostas de professores que mostram essa
falta de domínio.
Situação-problema 2 (b). Protocolo (P3)
Situação-problema 2 (b). Protocolo (P16)
Um total de sete professores fez uso apenas de uma única
representação para a resposta ao item (b): a árvore de possibilidades. Para a
apresentação de uma segunda representação, conforme solicitado, os
professores preferiram usar o Princípio Multiplicativo por meio da operação
multiplicativa 6 x 6 = 36, para os itens (a) e (b), para encontrar a resposta
correta, e não uma outra diferente daquela representação gráfica.
Analisando sob o olhar de Tall e Vinner (1981), podemos identificar uma
imagem conceitual “empobrecida” de um número considerável de professores
do grupo no que diz respeito à quase nenhuma mobilidade de diferentes
estratégias para a resolução de um problema de contagem que, em princípio,
não apresentaria dificuldades para resolução.
As respostas ao item (c) indicaram que sete dos professores podem não
ter compreendido o enunciado da situação ou até mesmo que ainda não têm
215
uma compreensão mais aprofundada do princípio multiplicativo, conforme se
percebe nas seguintes respostas:
P3 = 3.2.1 = 6 homens. (P17 e P21) Mulheres: 3.2.1 = 6; Homens: 3.2.1 = 6 (P23) 9 + 9 = 18. (P5) 3 x 3 = 9 (P8, P13)
Situação-problema 2 (c). Protocolo (P22)
O objetivo do item (c) foi o de verificar se os professores compreendiam
a maneira como deveria ser feita a combinação de cada trio de homens
dispostos nas portas de numeração par (para as portas com numeração par, há
um total de 3.2.1 = 6 trios ordenados de homens) com cada trio distinto de
mulheres dispostas nas portas com numeração ímpar (tem-se 3.2.1 = 6
maneiras distintas de escolher um trio ordenado de mulheres colocadas nas
portas com numeração ímpar), totalizando assim 6 x 6 = 36 modos distintos de
arrumar os homens e as mulheres sob estas condições.
Sete professores acertaram o item, embora tenham se utilizado de
rótulos como arranjos simples para calcular o total de possibilidades para cada
uma das situações: portas numeradas com algarismos pares e portas
numeradas com algarismos ímpares, conforme se percebe nas seguintes
respostas:
3.2.1.3.2.1 = 36 (P1) A3,3 = 3!/0! = 6, A3,3 = 3!/0! = 6; 6 x 6 = 36 (P2, P6, P7)
3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 36 (P9, P11)
A solução apresentada pelos professores pelos professores P2, P6 e P7
ao item (c) como acima, configura a presença desnecessária do aspecto
algorítmico da atividade matemática no uso da fórmula de arranjos simples
para calcular, igualmente, e por duas vezes, o mesmo.
216
O objetivo do item (d) foi o de verificar se os professores compreendiam
que há seis portas e seis homens disponíveis para ocupar, cada um, uma
posição em quaisquer uma das portas, caracterizando a situação como sendo
o caso de uma permutação simples de 6 objetos distintos totalizando
6.5.4.3.2.1 = 720 possibilidades.
Merece reflexão a enorme quantidade de 15 (quinze) respostas corretas:
P6 = 720 ou 6! = 720 para este item se comparado ao item anterior.
As respostas ao item (d) indicaram que apenas o professor P3 pode não
ter compreendido o enunciado da situação ou até mesmo que ainda não têm
domínio sobre o princípio multiplicativo para responder a um problema de
contagem como o que foi proposto (houve duas respostas em branco),
conforme se percebe nas seguintes respostas:
Situação-problema 2 (d). Protocolo (P5)
A questão que se coloca para reflexão é a seguinte: Porque agora, neste
item, a maioria dos professores teve um entendimento correto sobre o que é
pedido fazer, diferentemente daquele que tiveram em relação ao item anterior?
Arriscamos afirmar que em razão desse tipo de situação-problema ser
bastante comum nos livros didáticos: número de objetos (todos de igual
característica) igual ao número de posições em que estes poderão ser
alocados, sem quaisquer restrições sobre a arrumação destes.
4.2.2 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da resolução de problemas que envolvem a aplicação dos princípios multiplicativo e aditivo
A fim de identificar concepções do grupo de professores sobre a
aplicação do princípio multiplicativo e do princípio aditivo, foi proposta a
seguinte questão 3 do questionário Q2:
Quantos são os números de três algarismos distintos no sistema decimal?
Um aluno do Ensino Fundamental resolveu esta situação assim:
217
Há dez opções para ocupar a posição das unidades simples, nove opções
para ocupar a posição das dezenas simples (não se pode repetir o algarismo
já utilizado nas unidades simples) e oito opções para ocupar a posição das
centenas simples (não podem ser repetidos os algarismos já utilizados
anteriormente). Assim, pelo Princípio Multiplicativo, há 10x9x8 = 720 números
com três algarismos distintos.
a) Comente, criticamente, o modo com que o aluno apresentou essa solução.
b) Como você faria para resolver essa questão com seus alunos?
Três dos professores não responderam ao item (a) da situação-problema
3 e seis dos professores, ao formularem suas respostas, preferiram responder
como entendem deveria ser dada a resposta a fazer comentários críticos sobre
o que leram no enunciado acerca da solução que foi apresentada.
Ou seja, diante de uma solução dada por um aluno - correta ou não –
eles não analisaram a solução em si, e que foi apresentada, e, portanto não
identificaram o erro cometido pelo “aluno”. Além disso, não indicaram
alternativas para a resolução do problema aproveitando a ideia inicial que foi
apresentada pelo “aluno”.
Assim, parece-nos que os professores do grupo já têm em mente aquela
solução tipo padrão para a situação-problema proposta e que também é
apresentada pela maioria dos livros didáticos, considerando que este problema
é escolhido como exemplo de modo rotineiro nos livro didáticos, e é nela que
os professores se sentem seguros para apresentar a resposta e,
possivelmente, apresentam esta mesma solução quando resolvem este
problema com seus alunos, como podemos constatar pelas respostas dos
professores ao item (b), apresentadas em seguida, quando um total de 12
professores a apresentaram de maneira igual.
Essas constatações podem ser conferidas mediante análises que
fizemos e com as quais identificamos em algumas das respostas, como
aquelas a seguir:
O aluno utilizou o raciocínio lógico e conseguiu expressar-se com muita clareza em sua resposta, mas esqueceu-se que não pode usar o zero na primeira casa (P1)
O aluno errou ao colocar o 10 (P2)
218
Errado (P7)
O aluno tem um raciocínio multiplicativo correto, porém ao realizar a contagem começou pela posição das unidades, o que tornou o resultado errado, pois descarta um número na posição das dezenas (P23)
Situação-problema 3 (a). Protocolo (P17)
O professor P1 refere-se ao uso do zero na primeira “casa” como não
possível, mas a solução do “aluno” não informa quem é a primeira “casa”. Se
esta “casa” for a primeira que o aluno considerou para a sua solução, a das
unidades simples, o professor P1 está errado em suas considerações. Se esta
“casa” for a “casa” das centenas simples, sua solução não garante que o zero
foi utilizado aí nesta posição.
Quanto à resposta do professor P2, ele comete erro quando afirma não
ser possível ao “aluno” indicar o 10 e sua resposta pois, de fato, na posição das
unidades simples quaisquer dos dez algarismos poderá ser utilizado e, assim,
há, sim, dez possibilidades para ocupá-la.
O mesmo se aplica às respostas dos professores P23 e P17 quanto ao
conhecimento de soluções do tipo apresentado nos livros didáticos, indicanque
que desconhecem a possibilidade de resolver a situação-problema iniciando
pela posição das unidades simples.
Ainda em relação às respostas ao item (a), o professor P6 não aplicou
corretamente o Princípio Multiplicativo por não definir corretamente as ações
que devem ser feitas para a obtenção da totalidade de números com
algarismos distintos no sistema decimal uma vez que para a situação proposta
há necessidade de que a resolução leve em conta duas situações distintas, a
saber: a presença ou não do algarismo zero na posição das centenas simples.
Nas respostas apresentadas a seguir identificamos que os professores
não se deram conta dessa necessidade.
219
8 9 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
C D U
8.9.10 (P6)
De forma simples e clara, o conceito de não utilizar o mesmo número de casas. O aluno visualizou e aplicou de forma certa (P22)
9 x 9 x 8 = 729
1 a 9 0 a 9 não utilizar
os nªs das casas
anteriores. (P1)
Parece-nos que o professor P6 usou do mesmo expediente que o
“aluno” em questão, mas apenas indicou sua solução multiplicativa de modo
contrário.
O professor P22 refere-se ao fato de “não utilizar o mesmo número de
“casas”” o que, segundo nosso entendimento, não está claro a que conceito o
professor quer se referir.
O professor P1 confunde algarismos com números, indicou como
possibilidades para a posição das dezenas simples de 0 a 9, num total de 9
possibilidades, que de fato são, mas não consideradas dessa maneira e se
engana na resposta da multiplicação.
Assim, os sete professores indicados acima, precisam ampliar e
aprofundar seus conhecimentos de conteúdo em relação ao entendimento
acerca da aplicação do Princípio Multiplicativo e dos Princípios Aditivo e
Multiplicativo, em conjunto, quando da resolução de problemas de contagem.
Complementando, em relação às respostas ao item (b), houve um total
cinco respostas em branco e doze respostas corretas, indicada por todos esses
professores como 9 x 9 x 8 = 648, e que são apresentadas a seguir:
9.9.8 = 648 (P2, P6, P8, P9, P10, P11, P13, P14, P16, P21)
220
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
9 x 9 x 8 = 648
01 0
8.9.9 = 648, 0 (zero) na 1ª posição não forma um nº de 3 algarismos) Situação-problema 3 (b). Protocolo (P17)
Situação-problema 3 (b). Protocolo (P7)
Centena – 9 algarismos; dezena – eliminando um nº (9 algarismos); unidade – eliminando 2 nº (8 algarismos) (P13)
Na 1ª casa ele não pode usar o zero, pois senão não formaria nº de 3 algarismos; na 2ª casa, usaria outros 9 algarismos; na 3ª casa, tiraria os dois algarismos já usados.multiplicaria. (P14)
9 9 8
C D U
Acontecimento Ocorrência
centena 9
dezena 9
unidade 8
648 (P2)
Corroborando com o que dissemos anteriormente, embora as respostas
apresentadas estejam corretas, a análise crítica solicitada no item (a) não foi
feita por esses professores. Parece-nos que os professores não se sentiram
confortáveis para fazer uma análise crítica da solução que foi apresentada
221
preferindo apresentar aquela solução que se sentiam seguros quanto à
resposta correta.
Foi pedido no item (b) que o professor mostrasse a solução a esta
situação-problema que ele apresentaria e discutiria com seus alunos caso
algum deles lhe propusesse resolver em sala de aula.
Os professores P8 e P16 indicaram a resposta conforme a seguir, o que,
segundo nosso entendimento, caracteriza que eles não sabem como resolver
esta situação e tampouco sabem avaliar a resposta apresentada, configurando
lacunas nos conhecimentos acerca desses conteúdos.
Princípio Fundamental da Contagem (P8, P16)
Um total de dez professores resolveu o item (b) de igual maneira, como
pode ser visto acima, indicando que esses professores ainda estão “muito
presos” a soluções que se “iniciam pelas centenas simples” sem se darem
conta de que, em algumas situações, como a do problema, as soluções
precisam ser repartidas quando o zero está presente ou não, quando essa
solução se inicie pela análise das possibilidades em relação às unidades
simples: o zero comparece ou não?
A resposta do professor P23, a seguir, mostra que ele encaminha a
solução a partir da posição das centenas simples, mas não finaliza sua
resposta com aquela que julga ser a correta, uma vez que no item (a) ele
indicou que a solução que foi apresentada estava errada.
Primeiro faço o aluno perceber que “zero” na primeira posição não forma um número de três algarismos, depois peço que recortem 10 quadradinhos numerados de zero a 10. Pergunto: Quantas possibilidades de algarismos para a centena, depois p/ dezena e p/ unidade (P23)
Os “passos” que o professor P23 utiliza para desenvolver a solução para
este problema com seus alunos estão adequados, mas seguem a ótica que
comentamos acima. Ressalte-se que o professor P23 não apresentou a
resposta quantitativa de todas as possibilidades.
De maneira similar ao que foi apresentado pelo professor P23, o
professor P22 não indicou a sua resposta, uma vez que no item (a) considerou
que o “aluno” estava certo segundo a solução apresentada, e se referiu
conforme indicado no protocolo a seguir:
222
O conceito de ser os números distintos e visualizar os diferentes algarismos nas 3 casas e aplicaria o princípio multiplicativo (P22)
Os professores do grupo acabaram por não justificar o erro que o “aluno”
cometeu a partir da segunda ação realizada (nove possibilidades para a
posição das dezenas simples) e que se seguiu, quando a primeira das ações
(dez possibilidades para a posição das unidades simples) foi feita.
É claro que é correto iniciar a solução pela posição das unidades
simples, embora esse encaminhamento seja mais complexo que aquele que se
inicia pela posição das centenas simples.
Portanto, em relação às estratégias e aos procedimentos para a
obtenção das respostas aos itens (a) e (b) desta situação-problema, constatou-
se que grande parte dos professores não utilizou os Princípios Multiplicativo e
Aditivo (nenhum deles utilizou este princípio) e, tampouco fizeram menção a
eles quando da análise critica à solução apresentada como pedido no
enunciado da situação-problema proposta, no item (a).
Considerando a análise de todas as respostas apresentadas, levanta-se
a possibilidade de que o procedimento para obter a solução da situação-
problema, tal qual o fizeram os professores que a indicaram corretamente, seja
familiar a uma grande parcela dos professores por ser um problema rotineiro
cuja solução é apresentada em livros didáticos da mesma maneira mas, a
exemplo dos livros, os professores não mobilizaram outras estratégias para a
resolução deste problema que não esta.
Esta situação-problema mostrou limitações quanto aos conhecimentos
de conteúdo e pedagógicos de conteúdo (ausência de estratégias
diferenciadas e da possibilidade de identificar o erro cometido e o
encaminhamento que poderia ser dado para corrigi-lo) de grande parte do
grupo de professores, segundo as perspectivas de Shulman (1986), em relação
à formação desejável para a prática docente.
4.2.3 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da resolução de problema de contagem que envolve conceito de arranjos com repetição
223
A fim de identificar as estratégias que os professores utilizam para
resolver problemas cujo conceito de arranjos com repetição de objetos está
presente, foi proposta a seguinte questão no questionário Q2:
O aluno justificou sua solução afirmando que cada uma das listras
poderia ser pintada por qualquer uma das cores disponíveis, fazendo então as
combinações acima. Assim, a totalidade de bandeiras diferentes que podem
ser pintadas é 27.
a) Comente, criticamente, o modo com que o aluno apresentou essa solução.
b) Como você faria para resolver essa situação-problema com seus
alunos?
Para resolver este problema o professor poderia utilizar o Princípio
Multiplicativo ou aplicar uma fórmula de arranjos com repetição, bem como
avaliar se a árvore de possibilidades que foi apresentada permite contabilizar a
1ª FAIXA 2ª FAIXA 3ª FAIXA
VDVD AZ
AM
VDVD AZ AZ
AM
VDAM AZ
AM
VDVD AZ
AM
VDAZ AZ AZ
AM
VDAM AZ
AM
VDVD AZ
AM
VDAM AZ AZ
AM
VDAM AZ
AM
Uma bandeira com o formato como abaixo deve ser
pintada, dispondo-se das cores verde (VD), azul (AZ) e
amarelo (AM). De quantos modos diferentes é possível
pintá-la?
224
totalidade de possibilidades de pintura e, assim, concluir se a solução
apresentada está correta ou não. Um dos professores não respondeu ao item.
Algumas das respostas ao item (a) indicaram que os professores ainda
não se sentem a vontade para fazer análises críticas em relação às respostas
que os alunos possam vir a apresentar, como é o caso da solução que foi
apresentada no enunciado e responderam com a solução que eles
consideravam adequadas, como mostram as respostas apresentadas a seguir:
Utilizou a árvore de possibilidades, mas é muito trabalhoso, prefiro o princípio multiplicativo: 3 x 3 x 3 = 27 (P9, P10, P11) A resposta está correta (P2, P5, P8, P13) A maneira dele responder está certo, por não ter restrições em relação a cores (P6) Ele está correto e usou a árvore de possibilidades (P7, P23) Foi correta a solução dele e permita que se consiga vê-la com clareza (P1) Como no enunciado o pensamento do aluno foi correto e as combinações dele está perfeita (P17) Apresentou as combinações dispostas 3 em 3 de forma clara e objetiva, tendo as possibilidades das combinações exatas (P22)
Situação-problema 4 (a). Protocolo (P14)
Chamamos a atenção para a última parte da resposta do professor P14
presente no protocolo acima: o professor considera que, uma vez escolhida a
mesma cor para pintar as três listras da bandeira, ela deixa de ser uma
bandeira listrada.
Assim, fica a dúvida: bandeira listrada está associada ao fato da
bandeira conter listras, e não em relação à cor usada para pintura cada uma
das listras ou ao fato de ser pintada com cores diferentes em pelo menos duas
de suas listras?
225
Ainda em relação ao item (a), a resposta professor (P3) deixou dúvida
uma vez que ela não é conclusiva e as respostas dos professores (P16) e
(P21) estão erradas, como se constata a seguir:
Acredito que esteja certa (P3) Azul
Verde
Amarelo
Verde
Azul
Amarelo
Azul
Amarelo
Verde
distintos. (P16) As cores não podem ser repetidas (P21)
Ao propor o item (b), pretendíamos verificar se o professor utilizaria a
mesma estratégia apresentada pelo aluno, qual seja a de construção de uma
árvore de possibilidades proposta no item (a) ou se aplicaria o Princípio
Multiplicativo ou, ainda, se faria uso de uma fórmula de arranjos com repetição.
Foi pedido, no item (b), que o professor mostrasse a solução que ele
apresentaria e discutiria com seus alunos a esta situação-problema, caso
algum deles lhe propusesse resolver em sala de aula.
Oito dos professores indicaram como resposta: “também pela árvore de
possibilidades” (mostrando o não interesse em procurar estratégias diferentes
de respostas) e dez dos professores a deixaram em branco. Houve apenas
cinco respostas para este item conforme foi solicitado:
3x3x3 = 27 (P1)
Princípio Fundamental da Contagem (P8)
Faria para os alunos 3 x 3 x 3 = 27 (P10)
Pediria para eles representarem em uma tabela ou igual (P17)
Também pela árvore de possibilidades (P23)
226
Constata-se que alguns dos professores são reticentes quanto ao uso de
uma árvore de possibilidades para a obtenção da resposta do problema e essa
rejeição apresenta-se pela maneira como se referem à construção dela como
sendo trabalhosa.
Pela análise das respostas fornecidas pelos professores e pelo grande
número de respostas em branco ao item (b), podemos afirmar que grande parte
dos professores do grupo não identificou o problema como uma aplicação do
conceito de arranjos com repetição.
Nesta situação, foi possível identificar que o grupo de professores têm
poucas estratégias diferenciadas para oferecer a seus alunos o que caracteriza
um conhecimento pedagógico de conteúdo limitado e não desejável para um
professor do Ensino Fundamental, na perspectiva de Shulman (1986), uma vez
que para esse segmento de ensino é recomendado que diversificadas
representações devam ser construídas e exploradas com e pelos alunos.
4.2.4 Sobre o conhecimento dos professores a respeito de permutações simples e de permutações com objetos nem todos distintos
A fim de identificar concepções dos sujeitos de nossa pesquisa sobre a
aplicação do conceito de permutações de objetos (simples e com objetos nem
todos distintos) nas situações que decorrem do quantitativo de diferentes
anagramas36 sem repetição de letras e no caso de haver uma ou mais letras
repetidas, foi proposta a situação-problema 5.
Cabe destacar que também pretendíamos verificar se o professor
associa o cálculo do número de anagramas à aplicação do princípio
36 “Anagrama” é qualquer concatenação que pode ser feita a partir de um conjunto de letras (repetidas ou não) de modo que possam ser obtidas palavras que tenham significado ou então palavras que contenham uma simples ordenação de todas essas letras.
Quantos são os anagramas de cada uma das palavras a seguir, justificando:
a) ROMA?
b) PAPA?
c) ATACA?
227
multiplicativo, bem como ao conceito de permutação (simples ou com
elementos nem todos distintos).
As respostas ao item (a) indicaram que os professores estão bastante
familiarizados com situações deste tipo uma vez que treze deles responderam
da forma a seguir: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Três outros professores não usaram a
notação fatorial.
Apenas o professor P6 associou o conceito de permutação simples aos
anagramas, como a seguir:
Situação-problema 5 (a). Protocolo (P6)
Uma possível hipótese para o grande número de acertos a este item é o
fato de que tais problemas são bastante rotineiros e por essa razão os
professores não dispensaram o uso da fórmula e da notação fatorial, mesmo
considerando o diminuto número de quatro distintas letras.
O item (b) pedia o total de anagramas da palavra PAPA. Ela difere do
item (a) por apresentar duas letras A e duas letras P na palavra, ao passo que
no item (a) as quatro letras eram diferentes.
Nem todos os professores do grupo têm conhecimentos corretos acerca
dos conceitos sobre permutações com elementos repetidos muito embora um
número considerável de professores (11 deles) tenha acertado este item,
conforme se percebe nos registros a seguir:
Registros utilizados por professores que encontraram a resposta correta:
P42,2 = 6 (P1, P9, P10, P11)
= 6 (P17, P22)
Pela árvore de possibilidades: 6 (P23)
= = 6 (P21, P7)
24 ÷ 4 = 6 anagramas (P6)
228
Situação-problema 5 (b). Protocolo (P2)
Registros utilizados por professores que encontraram a resposta errada:
= 12 (P2, P3, P8, P13, P16)
Situação-problema 5 (b). Protocolo (P14)
Parece-nos que para casos como estes os professores do grupo têm a
concepção de que se deve usar sempre a notação fatorial do quantitativo de
letras e que a solução é obtida com este cálculo, somente.
Para os itens (a) e (b) constatou-se a prevalência de respostas sob a
exploração do aspecto algorítmico do uso intensivo de fórmulas, mesmo
considerando o pequeno número de possibilidades, como é o caso de
anagramas da palavra PAPA.
Segundo a perspectiva de Fischbein (1994), o aspecto formal de
identificação e construção dos agrupamentos por meio do uso de uma árvore
de possibilidades ou da aplicação do Princípio Multiplicativo dá lugar ao
aspecto algorítmico, representado predominantemente pelo uso de uma
fórmula.
O item (c) pedia o total de anagramas da palavra ATACA. Ela difere do
item (b) por apresentar três letras A na palavra.
Muito embora um número muito grande de professores (13 deles) tenha
acertado este item nem todos têm conhecimentos corretos acerca dos
conceitos sobre permutações com elementos repetidos, conforme se percebe
nas seguintes respostas:
Registros utilizados por professores que encontraram a resposta correta:
= 20 (P2, P3, P7, P8, P13, P16, P17, P21, P22)
229
P5,3 = = 20 (P9, P10, P11)
Situação-problema 5 (c). Protocolo (P6) Registros utilizados por professores que encontraram a resposta errada:
= 10 (P14)
Situação-problema 5 (c). Protocolo (P1)
As respostas dadas pelos professores na resolução desta situação-
problema permitiu conhecer como os professores deste grupo encaminham em
suas salas de aula seus alunos na resolução desse tipo de problemas de
contagem, qual seja,: o numerador deve indicar a permutação de todos os
objetos envolvidos (repetidos ou não) e o denominador deve constar a
indicação do fatorial dos quantitativos daqueles que se repetem.
Conjecturamos que talvez o professor não tenha se apropriado dos
conhecimentos suficientes e necessários acerca de conceitos relacionados ao
porque a maneira como a que foi citada acima esteja correta.
Por conta disso, continuamos conjecturando que parte dos professores
deste grupo não compreende - o que nos parece que acontece - do porque
dessa divisão e dos valores atribuídos em cada caso uma vez que nunca tenha
se confrontado com uma consistente demonstração da validade desses
argumentos.
Assim, continuamos conjecturando que parte dos professores deste
grupo se utiliza em sala de aula, salvo variações, mais ou menos do seguinte
expediente: nos casos de repetições de letras faça assim como estou
exemplificando (com divisão) e nos casos de não repetição de letras não utilize
a divisão.
230
Parece-nos que o professor apresenta somente o procedimento que
deva ser seguido pelos alunos em situações similares às que foram
apresentadas razão bastante forte do porque consideramos imprescindível que
este conceito deva ser discutido e refletido pelos professores na sequência de
ensino mesmo que os professores não se manifestem a esse respeito.
A fim de identificar concepções dos sujeitos de nossa pesquisa, sobre a
utilização do conceito de permutações em que há elementos repetidos e de
modo a identificar se o professor associa tal conceito à situação de anagramas,
presente na situação-problema anterior, foi proposta a seguinte situação-
problema 6:
A situação-problema não deixava pistas de que o tratamento poderia ser
análogo ao apresentado na situação de anagramas com letras iguais.
Assim, ela difere da situação-problema 5 por apresentar indícios de
arrumação de objetos em sequência e que entre os objetos disponíveis há
alguns deles “iguais” quanto à forma, cor e registros.
Muito embora um número razoável desses professores (oito) tenha
acertado este item, nem todos têm conhecimentos de conteúdo corretos acerca
dos conceitos sobre permutações com elementos repetidos, uma vez que
quatro deles erraram e houve cinco respostas em branco, conforme se percebe
nas seguintes respostas:
Registros utilizados por professores que encontraram a resposta correta:
= = 10 (P6) Enumeração das 10 possibilidades (P11, P10, P9)
= = 10 (P1, P7)
= 10 (P14)
Quantas são as arrumações possíveis quando se lança uma moeda
“honesta” 5 vezes, em sequência, e se obtém 2 caras e 3 coroas?
231
Situação-problema 6. Protocolo (P2)
Registros utilizados por professores que encontraram a resposta errada: 10 possibilidades//caras, 15 possibilidades//coroas (P17) Fez a árvore de possibilidades e apresentou em “ordem“ (Ca, Ca, Co, Co, Co) indicando (P8, P13)
Situação-problema 6. Protocolo (P21)
O objetivo desta situação-problema foi o de verificar se o professor
perceberia a similaridade desta situação com os casos (b) e (c) da situação
anterior, com o total de anagramas em que há repetição de letras.
Neste caso, obter duas caras e três coroas é similar ao número de
anagramas com cinco letras tendo duas letras C (cara) e três letras K (coroa).
Seria o mesmo que determinar o número de anagramas da “palavra” CCKKK.
Entretanto o enunciado não dá pistas de se tratar de um caso similar ao
de anagramas e, talvez pelo fato de fazer menção à moeda “honesta”, esta
informação possa ter contribuído para que o professor não atine sobre qual
deva ser o rumo a ser tomado para buscar a solução.
Ou seja, talvez o enunciado não seja familiar em relação a exemplos e
exercícios que estivessem/estejam presentes nos livros didáticos.
Por essa razão, o professor deveria ter mobilizado novas estratégias e
procedimentos e realizado reflexões para dar conta de encaminhar a busca da
solução não tendo referência alguma sobre quais exemplos poderia se
espelhar para tal.
232
Constatou-se que ainda há respostas erradas e outras que se valem do
uso de fórmulas para a obtenção da solução, reforçando a necessidade de
ofertar um trabalho direcionado para o entendimento e uso do raciocínio
combinatório em todas as etapas que envolvem os problemas de contagem
como mais uma alternativa para a obtenção da solução
A utilização da fórmula própria de permutações com alguns elementos
repetidos (anagramas com letras repetidas) mostra que alguns dos professores
associaram a resolução da situação à similaridade correta em relação à
situação anterior.
Porém, a julgar pelo quantitativo de respostas erradas e em branco,
mais uma vez identifica-se a necessidade de intensificar reflexões para
preparar uma sequência didática que dê conta de aprofundar os
conhecimentos de conteúdo e pedagógicos de conteúdo de modo que ao final
deste estudo tenhamos professores melhor preparados para o desempenho de
suas práticas docentes, conforme Shulman (1986).
Por conta disso, consideramos que os resultados obtidos foram
satisfatórios e mostram maturidade de alguns dos professores, muito embora
alguns deles ainda precisem se apropriar desses conhecimentos.
Quanto ao uso intenso do aspecto algorítmico para resolver problemas
de contagem como este, por meio de uma fórmula, mais uma vez é possível
constatar que o fato de dispor de alguma fórmula por vezes ela não é suficiente
para dar conta da solução do problema se os aspectos intuitivo (possibilidade
de construção de uma árvore de possibilidades) ou formal (compreensão do
tipo de agrupamentos de objetos que precisariam ser construídos) não foram
mobilizados, em conjunto ou não, segundo as ideias de Fischbein (1994), de
modo a contribuir para a compreensão do tipo de agrupamento de objetos.
Essas considerações estão associadas à ampliação da imagem
conceitual relacionada com as permutações entre objetos nem todos distintos,
necessária que se faz ser retomada na fase de intervenção, segundo os
pressupostos de Tall e Vinner (1981).
233
4.2.5 Sobre o conhecimento dos professores a respeito utilização do conceito de permutações circulares
A fim de identificar concepções dos sujeitos de nossa pesquisa sobre a
diferenciação que estes possam fazer entre as permutações simples e as
permutações circulares foi proposta esta situação-problema.
Ela foi apresentada na forma de uma solução feita por um “aluno fictício”
com o objetivo de facilitar o professor em relação à diferenciação dos conceitos
que ele poderia comentar embora a solução apresentada estivesse errada.
Mais uma vez o comentário crítico que o professor emprestar à análise
das respostas a essa questão servirá para indicar se esta diferenciação é
percebida por ele.
O objetivo desta situação-problema é o de verificar se o professor tem
algum conhecimento de conteúdo relacionado com as permutações circulares e
se conhece a diferenciação de procedimentos relacionados com a
determinação da totalidade destas permutações em relação à totalidade de
soluções nas situações afetas às permutações simples, quando o mesmo
quantitativo de objetos está em jogo.
Foi apresentada a questão 7 do questionário Q2, como a seguir :
As respostas indicaram lacunas nos conhecimentos relativos às
permutações circulares, conforme se percebe nas seguintes respostas:
Em um círculo não tem outro sentido (P8, P13)
O aluno errou, pois multiplicou por 2, ele deveria ter parado em 720 maneiras (P2) Foi muito bem resolvida, o aluno foi prático em responder a questão, bem taxativo (P17)
720 – não multiplicaria por 2, pois tanto faz o sentido (P16)
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! (P9)
De quantos modos 6 pessoas podem sentar-se em uma mesa no formato
circular? Um aluno resolveu assim: As pessoas podem arrumar-se de
6.5.4.3.2.1 = 720 maneiras, olhando a arrumação da mesa em um sentido.
Se olharmos a arrumação da mesa em outro sentido, teremos mais 720
maneiras. Assim, o total de modos de arrumar as seis pessoas ao redor da
mesa é: 2 x 720 = 1440.
a) Comente, criticamente, a questão apresentada pelo aluno.
b) Resolva a situação-problema da maneira como resolveria com seus
alunos em sala de aula.
234
Creio que 720 maneiras, pois por ser um círculo, tanto faz o sentido (P14)
A resposta do aluno está errada (P10)
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 – não é a solução correta (P11)
A questão está errada, pois no sentido circular há somente um lugar para cada pessoa (P1)
Errado, pois a permutação já contempla todas as possibilidades (P7)
Situação-problema 7 (a). Protocolo (P6)
Houve seis respostas em branco e apenas o professor P22 acertou a
situação-problema, conforme se percebe na seguinte resposta:
Situação-problema 7 (a). Protocolo (P22)
As diferentes respostas erradas, uma vez que só a resposta dada pelo
professor P22, dentre todos os questionários entregues, estava correta
evidencia o total desconhecimento a respeito do conceito acerca de
permutação circular pela ampla maioria dos professores do grupo.
Estranhamos a posição do professor P22 em relação à resposta do item
(b): “Creio que não entendi:” que, supostamente, mostra que ele não soubera
como poderia mobilizar uma ação diferente do uso da fórmula para dar conta
da solução, já conhecida por ele no item (a). Ou seja, seus conhecimentos para
esta situação-problema não vão além da aplicação da fórmula.
Ou, então, o referido professor P22 queira se referir ao fato de que ao
resolver a situação-problema no item (a) esta já seja a maneira como ele a
235
resolveria com seus alunos: aplicação direta da fórmula de permutações
circulares, não cabendo outra maneira de fazer.
A posição do professor P22 nos parece que está associada ao seguinte:
ele sabe resolver a situação-problema proposta e, para ele, isso parece
suficiente para o que foi pedido na situação-problema.
Nesse caso o professor P22 se utilizou dos conhecimentos de conteúdo
que tem sem preocupar-se com os conhecimentos pedagógicos de conteúdo
associados a ele, ou seja, sem preocupar-se em como, possivelmente, poderia
vir a ensinar esse conteúdo a seus alunos.
O conceito de permutações circulares não é um conceito sugerido para
ser desenvolvido na Educação Básica pelo Currículo de São Paulo (2010), de
maneira que não é de se estranhar que se tenha obtido uma única resposta
correta para esta situação-problema, mesmo considerando que professores
formados em cursos de Licenciatura em Matemática fazem parte do grupo.
Na sequência didática – fase de intervenção -, quando esta situação-
problema foi novamente proposta, o conceito foi então retrabalhado no sentido
de que os professores devessem ler o enunciado atentamente para perceber o
tipo de agrupamento de objetos que deveriam ser construídos, as
possibilidades de resolver o problema por meio de uma representação, por
meio da aplicação do Princípio Multiplicativo e, depois, então, a fórmula foi
deduzida em conjunto com considerações pertinentes que foram mediadas
pelo pesquisador, além de também serem propostas outras situações
relacionadas com esse conceito.
As respostas erradas que foram apresentadas ao item (b) são
consequência direta dos erros cometidos no item (a), e indicaram lacunas nos
conhecimentos relativos às permutações circulares, conforme se percebe a
seguir:
P6 = 6! = 720 (P1)
6.5.4.3.2.1=720 (P2, P6)
Da mesma maneira que o aluno respondeu (P8, P13)
Apenas com a P6 = 720 (P7)
Poderia simular a situação (P9)
236
6.5.4.3.2.1 = 720 (P10)
Explicaria da maneira que o aluno respondeu: a 1ª posição a 1ª pessoa poderá escolher entre as 6 possibilidades. O 2º retiraria o lugar do 1º ficando 5 possibilidades e assim por diante (P14) Do mesmo modo como que foi apresentada pelo aluno: 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (P17)
Situação-problema 7 (b). Protocolo (P11)
Mais uma vez apresentamos a solução como tendo sido apresentada
por um “aluno fictício” que “iniciou a busca da totalidade de soluções” tendo se
utilizado dos conceitos associados às permutações simples.
Após ter feito isso, e uma vez que o enunciado descreve que a
disposição das pessoas deva ser feita segundo uma mesa circular, esse “aluno
fictício” passa a considerar de que seria preciso multiplicar o resultado por 2
uma vez que se apercebe da necessidade de considerar a existência de “dois
sentidos para a arrumação das pessoas na mesa”.
Essa maneira de conduzir a busca da solução para essa situação-
problema tem como objetivo o de verificar se o professor compreende ser
possível fazer a caracterização das permutações circulares a partir das
permutações simples.
Também tem como objetivo verificar se o professor é capaz de identificar
aspectos que diferenciam uma caracterização da outra.
Essa maneira de proposição da situação também objetiva que o
professor possa se manifestar a respeito da condução do “aluno fictício” na
resolução da situação-problema permitindo que se possa conhecer a
concepção de cada professor em relação à maneira como a resolução é feita e
como ele proporia situação similar com seus alunos em sala de aula.
Para conta deste segundo objetivo foi pedido então no item (b) que o
professor apresentasse a solução que ele possivelmente apresentaria e
discutiria com seus alunos caso esta situação tivesse sido proposta em um livro
didático, por exemplo.
237
Assim, ao propor essa situação-problema tem-se como objetivo
conhecer, mais uma vez, como o professor encaminha em sua sala de aula a
mediação na resolução de problemas de contagem e se ele oferece
oportunidades a seus alunos de conhecerem e experimentarem situações com
outro tipo de permutações que não somente a simples.
Ou ainda se o professor se refere aos casos com objetos repetidos, se
não cabe ao menos esclarecer aos alunos que o rótulo de permutações
simples tem razão de ser pela existência de outros tipos de permutações: as
permutações circulares, por exemplo, ou apenas restringe sua atuação docente
ao que o livro didático apresenta.
Neste caso, como nenhum livro didático – dentre os que tivemos acesso
para consulta - o faz, o professor possivelmente não se sinta seguro de fazê-lo
em suas aulas.
Fato é que a ampliação da imagem conceitual relativa às permutações
circulares precisa ser oferecida aos professores do grupo no sentido de que,
igualmente, eles possam oferecer a seus alunos. Sobre essa questão, e em
consonância com os pressupostos de Tall e Vinner (1981), o tema será
retomado para reflexões durante a sequência didática.
4.2.6 Sobre o conhecimento dos professores a respeito utilização do conceito de combinações simples
A fim de identificar concepções e conhecimentos dos sujeitos de nossa
pesquisa sobre o conceito acerca das combinações simples foi proposta esta
situação-problema.
Ela foi apresentada na forma de uma solução apresentada por um “aluno
fictício” com o objetivo de facilitar o professor em relação à análise crítica que
ele poderia emprestar quanto à solução que foi apresentada e como ele
resolveria com seus alunos em sala de aula.
Assim, foi apresentada a seguinte questão 8 no questionário Q2:
Quantos grupos diferentes de 3 pessoas podem ser formados entre os
amigos Ana, Bia, Carla, Davi e Eva?
Um aluno apresentou o diagrama abaixo para justificar que sua resposta é
10 grupos: Ana pode ficar junto com seus três colegas num grupo, um de
cada vez, e depois trocando entre os três colegas que não tinham sido
escolhidos, totalizando 6 grupos. Agora, formo grupos que não tenham
mais a Ana: são os grupos que têm os outros quatro amigos, quando são
238
CARLAANA BIA DAVI
EVA
DAVIANA CARLA
EVA
ANA DAVI EVA
CARLA DAVIBIA CARLA EVA
DAVI EVA
CARLA DAVI EVA
Os resultados apresentados para o item (a) desta situação-problema
deixam dúvidas quanto aos conhecimentos relativos às combinações simples.
O elevado número de respostas em branco (um total de 10) corrobora
com essa dúvida, considerando não terem sido apresentadas respostas
erradas para os restantes dez professores conforme se constata nas seguintes
respostas:
A solução está correta e bem explícita (P1, P2, P7)
A tabela está correta, mas a explicação está um pouco confusa (P9, P10, P11)
Situação-problema 8 (a). Protocolo (P13)
As análises feitas pelos professores estão adequadas à solução que foi
apresentada.
a) Comente, criticamente, a questão apresentada pelo aluno.
b) Resolva esta situação-problema, sem o uso da árvore de possibilidades como foi feito acima na solução do aluno, da maneira como resolveria com seus alunos em sala de aula.
239
Os resultados apresentados para o item (b) desta situação-problema
deixam dúvidas quanto aos conhecimentos relativos às combinações simples.
O elevado número de respostas em branco (um total de 10) corrobora
com essa dúvida, considerando não terem sido apresentadas respostas
erradas pelos restantes dez professores, conforme se identifica nas seguintes
respostas:
C5,3 = = 10
(P8, P14, P6, P1, P2, P7, P9, P10, P11)
Situação-problema 8 (b). Protocolo (P13)
O objetivo desta situação-problema é o de verificar se o professor faz
uso da árvore de possibilidades em situações que envolvem combinações
simples uma vez que grande parte das situações em que a escolha de objetos
não seja de todos eles ou de apenas um deles, a árvore de possibilidades não
será do tipo “simétrico”, apresentando regularidades de acordo com o tipo de
agrupamentos de objetos desejados.
A exploração desses “tipos de árvores” amplia a imagem conceitual a
respeito da construção de árvores de possibilidades relacionadas com os tipos
de agrupamentos de objetos envolvidos.
Também a estratégia de computar uma totalidade de possibilidades a
maior por meio da aplicação do Princípio Multiplicativo e, a seguir, deduzir
dessa contagem aquelas feitas em duplicidade, também é recomendável que
seja explorada pelo professor, de modo que os alunos conheçam outro
procedimento de contagem.
Ou então se, no estágio em que as combinações simples são
apresentadas as representações ficam dispensadas e o uso da fórmula
prevalece.
240
Mais uma vez apresentamos a solução como sendo apresentada por um
“aluno” que “iniciou a busca da totalidade de soluções” utilizando-se de uma
árvore de possibilidades.
Como um dos propósitos para esta situação-problema, no item (b), está
o de verificar como o professor resolveria esta situação em sala de aula com
seus alunos.
Portanto, situações-problema que envolvem combinações simples
permitem a ampliação da imagem conceitual na perspectiva de Tall e Vinner
(1981) acerca dos conhecimentos de conteúdo e pedagógicos de conteúdo,
segundo Shulman (1986), por meio da exploração dos aspectos formal e
intuitivo em oposição ao uso de fórmulas - aspecto algorítmico - segundo
Fischbein (1994) e na mobilização de diferentes estratégias de abordagens
para a solução de situações-problema que envolvem esse conceito.
A maneira de conduzir a busca da solução para essa situação-problema,
como a que foi utilizada, teve como objetivo o de marcar posição mais uma vez
em relação à utilização de uma representação que favorece o desenvolvimento
do raciocínio combinatório e que seja capaz de dar conta da totalidade de
soluções com o uso de uma árvore de possibilidades como a que foi
apresentada.
A apresentação de uma árvore de possibilidades não “simétrica” foi
oportuna uma vez que o seu uso permite constatar as reações dos professores
frente à resposta obtida com o seu uso, e também ser possível verificar como o
professor encara a possibilidade de resolução de um problema de contagem,
não tão simples, sem o uso de uma fórmula.
Tomando por base as respostas anteriores dos professores e as
respectivas análises que serão feitas em relação ao conceito de combinações
simples, no questionário Q3, parece-nos corriqueiro que o professor associe a
ideia de formação de grupos de pessoas às combinações simples e, a partir
dessa associação, ao fato de não haver necessidade de ordenar os objetos
envolvidos.
Nesta situação-problema trata-se dos grupos com três amigos que
podem ser formados, dentre os cinco amigos.
241
Pedimos, então, no item (b), que o professor apresentasse a solução
sem fazer uso de uma árvore de possibilidades de maneira que fosse possível
verificar a maneira como o professor encontraria a solução sob outra
perspectiva ou representação que não através da representação que foi
utilizada.
Portanto, o objetivo da proposição da situação-problema era a de que o
professor mobilizasse outra ação para a resolução, incluindo aí a verificação do
tipo de agrupamento de como poderia ser construído cada um dos grupos de
amigos.
Por outro lado, a proposta da situação teve como outro objetivo o de
também verificar a maneira como o professor compreendeu a situação, suas
concepções a respeito desse conceito e como ele encaminha a busca da
solução.
O grande quantitativo de respostas em branco (dez) evidencia que o
significado de uma combinação simples relacionada à escolha de três dentre
os cinco amigos não parece estar claramente apropriado para uma parcela
considerável de professores do grupo.
Consideramos importante que esse conceito seja corretamente
apropriado pelo professor e, portanto, a proposição de situações-problema
relacionadas com esse conceito será objeto de atividades na sequência de
ensino.
Para esta situação-problema esse contingente de dez professores
sequer arriscou apresentar a solução com o uso de fórmula. Quanto ao
entendimento do enunciado e a solução que foi apresentada parece-nos que
ambos estavam bastante claros.
No item (b), com a possibilidade de utilização de uma fórmula, o uso de
dela favoreceu a “confirmação” da resposta que foi apresentada para aqueles
que fizeram as análises no item (a).
O objetivo desta situação-problema foi o de conhecer o entendimento
que o professor tem a respeito de situações relacionadas às diferentes
maneiras em que é possível formar grupos dos quais participem três dentre
seis disponíveis pessoas e de quantos são os diferentes grupos formados por
242
três pessoas dentre as seis pessoas disponíveis para a constituição desses
grupos.
Assim, foi proposta a seguinte questão 9 do questionário Q2:
Os resultados apresentados para esta situação-problema deixam
dúvidas quanto aos conhecimentos relativos às combinações simples.
O grande número de respostas em branco (um total de nove) associado
ao de uma resposta errada corrobora com essa dúvida, conforme se percebe
nas seguintes respostas:
Registros utilizados por professores que encontraram a resposta correta: C6,3 = 20 (P22, P7, P2, P1, P6, P11, P9, P8, P13)
Situação-problema 9. Protocolo (P1)
Situação-problema 9. Protocolo (P10) Registro utilizado pelo professor P17, que encontrou a resposta errada:
6!/3! = 6.5.4 = 120 (P17)
Dispomos de 6 pessoas para formar grupos de trabalho. Pergunta-se: De
quantas maneiras diferentes o grupo poderá ser formado se dele
participarem três das seis pessoas?
243
O quantitativo de respostas em branco e a resposta errada fornecida
pelo professor P17 são motivos de preocupação e possivelmente estão
relacionados ao fato de que possa ter havido um entendimento não correto
acerca do enunciado da situação-problema ou que, então, haja um total
desconhecimento em relação ao que deveria ter sido feito para encaminhar a
busca da solução.
De qualquer modo, tal preocupação também será objeto de reflexões
para a proposição das atividades da sequência didática.
Por considerarmos importante conhecer o que o professor pensava a
respeito do significado das representações para o ensino e a aprendizagem
dos problemas de contagem, neste questionário propomos situações-problema
que contém “possíveis soluções”, com ou sem o uso de alguma representação.
Esta opção teve como propósito o de oportunizar ao professor se
manifestar acerca da viabilidade e da adequação do uso de uma
representação, bem como o de identificar os conhecimentos que ele tinha a
respeito da utilização e da construção de alguma dessas representações.
Assim, apresentamos soluções de situações-problema “feitas por
alunos” em algumas situações-problema presentes neste questionário de modo
que, em algumas delas, eles pudessem identificar que o “aluno” fez uso de
uma representação e que ela foi suficiente para determinar a solução (e
também para descrever os agrupamentos de objetos que compõem a solução)
para um problema de contagem.
Em outras, embora não apresentassem uma representação, estava em
jogo a aplicação dos Princípios Multiplicativo e Aditivo para obter a solução
como uma alternativa para o não uso de uma fórmula.
As soluções que foram apresentadas utilizaram uma árvore de
possibilidades ou tabelas de dupla entrada para dar conta de responder à
totalidade de soluções e também para descrever quem eram elas, permitindo
que o professor pudesse comparar com outras maneiras de obtê-las como, por
exemplo, por meio do uso de uma fórmula.
Portanto, ao sugerir a utilização de alguma representação queríamos
possibilitar ao professor identificar a correspondência que há entre as ações
244
que o levam a estabelecer a totalidade de possibilidades para cada etapa (cada
fator) do uso do princípio multiplicativo na notação multiplicativa com todas
aquelas similares ações que ele utiliza quando constrói uma árvore de
possibilidades após cada decisão tomada.
Essa correspondência se mostra também visível mediante as
associações presentes no produto cartesiano ou aquelas combinações entre os
elementos de entrada e saída (associação destes) durante a construção de
uma tabela de dupla entrada.
Por conta disso, apresentamos a solução de uma situação-problema por
meio da contagem direta a partir de duas tabelas de dupla entrada e em outra
situação-problema a partir de uma árvore de possibilidades.
Nessas ocasiões pedíamos que o professor se manifestasse em relação
ao quantitativo que foi obtido com essa contagem direta efetuada, sobre as
soluções apresentadas e aquele quantitativo quando o Princípio Multiplicativo
fosse aplicado diretamente para dar conta da totalidade das soluções.
Para identificar a compreensão dos professores a esse respeito
inserimos as seguintes perguntas:
- Analise criticamente a solução apresentada pelo aluno;
- Apresente sua solução, fazendo uso da árvore de possibilidades;
- Comente, criticamente, o modo com que o aluno apresentou essa
solução;
- Como você faria para resolver essa situação-problema com seus
alunos?
E, para tais questionamentos, obtivemos algumas respostas, tais como
as apresentadas a seguir:
É uma solução um tanto trabalhosa, poderia utilizar o princípio multiplicativo.
A perda de tempo foi grande, poderiam ser usadas outras possibilidades mais simples.
O modo de apresentar não é produtivo. A fórmula matemática dinamiza a solução mais rapidamente ou então usar o princípio multiplicativo.
O aluno apresentou de forma clara as possibilidades de combinações, porém de forma trabalhosa. Certifica-se que o aluno
245
não possui raciocínio combinatório de forma mais objetiva, pois também existem formas de entendimento mais claras e os conceitos aplicados.
A partir da análise feita em relação às respostas que os professores
apresentaram para essas diferentes indagações, identificamos necessidade de
investir em sugestões na fase de intervenção para que o professor possa
utilizar, com mais frequência, representações gráficas para a obtenção das
soluções às situações-problema de contagem.
Identificamos que os conhecimentos e conceitos dos professores acerca
do conteúdo problemas de contagem estão, em sua maioria, mais voltados à
aplicação de fórmulas do que na construção de uma representação gráfica e
contabilizar os casos possíveis, ou seja, o aspecto algorítmico é prevalente em
relação aos aspectos intuitivo e formal, na perspectiva de Fischbein (1994).
Identificamos que os professores consideram que a resolução de um
problema de contagem está apresentada corretamente, apenas quando fazem
uso de fórmulas para obter a resposta, e que o uso de uma representação não
seria um procedimento elegante e aceitável do ponto de vista matemático para
resolver um problema de contagem.
Essas concepções, que estão associadas às práticas e aos
conhecimentos de conteúdo dos professores, nos mostram que a imagem
conceitual, Tall & Vinner (1981), desses docentes em relação à resolução de
problemas de contagem precisa ser ampliada em relação à utilização de
diferentes estratégias e procedimentos.
Quanto ao Princípio Multiplicativo, em geral os professores não
apresentaram dificuldades para sua aplicação em situações-problema
rotineiras. Identificamos que os professores o utilizam adequadamente para
resolver problemas que não exigem a separação da resolução do problema em
partes, ou seja, em problemas que não exigem a aplicação do princípio aditivo
para ser resolvido.
Assim, os professores apresentam dificuldades para identificar, em um
problema de contagem, quando há necessidade do uso - em conjunto - dos
dois Princípios; Multiplicativo e Aditivo, e para encaminhar a resolução do
problema de modo correto.
246
Além disso, identificamos que grande parte dos professores tem domínio
maior em permutação com repetição de objetos.
Desse modo, consideramos que a imagem conceitual, na perspectiva de
Tall e Vinner (1981), relativamente aos conceitos, estratégias e procedimentos
próprios para a resolução de problemas de contagem ainda não é suficiente
para alguns dos professores do grupo desenvolver problemas de contagem na
Educação Básica tendo em vista que nas orientações do Currículo de São
Paulo (2010) consta o estudo de situações que envolvem os Princípios
Multiplicativo e Aditivo e a aplicação do raciocínio combinatório para a
construção e a exploração de representações.
Assim, conhecimentos de conteúdo e pedagógicos de conteúdo segundo
a perspectiva de Shulman (1986) precisam ser desenvolvidos com o grupo de
professores no sentido de que é preciso incorporar ao portfólio desses
professores experiências relacionadas com a apropriação de conceitos,
estratégias e procedimentos concernentes com os problemas de contagem
para serem ensinados por eles a seus alunos do Ensino Fundamental e do
Ensino Médio.
Dando prosseguimento à apresentação e à análise dos instrumentos
diagnósticos que antecedem à fase de intervenção, na seção seguinte faremos
considerações a respeito das respostas dadas ao questionário Q2.
4.3 Conhecimentos pedagógicos
Explicitamos a seguir nossa análise dos dados obtidos com as respostas
ao terceiro questionário sobre conhecimentos pedagógicos do conteúdo. Essas
reflexões foram também fundamentais para a elaboração da sequência de
ensino e o desenvolvimento da intervenção.
O questionário sobre conhecimentos pedagógicos (Q3)37 tinha como
objetivo principal colher dados a respeito das experiências pedagógicas dos
37 Ver o conteúdo das questões no Apêndice C.
247
professores sujeitos desta pesquisa em relação ao ensino e à aprendizagem
dos problemas de contagem.
As questões deste questionário estão relacionadas com o
desenvolvimento do raciocínio combinatório e com o ensino dos conteúdos:
Princípio Multiplicativo, Princípio Aditivo, Arranjos, Permutações simples e
Combinações simples. Além disso, há uma questão cujo objetivo é identificar a
posição do professor em relação ao ensino dos problemas de contagem no
Ensino Fundamental.
4.3.1 Sobre as estratégias que o professor se utiliza para auxílio do raciocínio combinatório no ensino dos problemas de contagem
Com o objetivo de identificar e analisar as estratégias que o professor
utiliza para o desenvolvimento do raciocínio combinatório de seus alunos, foi
proposta a seguinte pergunta:
Que estratégias um professor poderia utilizar para auxiliar os alunos na
compreensão dos fundamentos que norteiam o raciocínio combinatório?
A totalidade dos professores não apresentou estratégias que tenham
sido por eles utilizadas para o desenvolvimento do raciocínio combinatório. A
opção dos professores foi a de apresentar considerações gerais para o
desenvolvimento do tema em suas aulas.
Apesar disso, e pelas respostas apresentadas, pudemos inferir algumas
possíveis estratégias que alguns deles utilizam como as dos professores P16 e
P17, a seguir:
Diagramas (P16)
Moedas. Só moedas (P17)
Na resposta do professor P7, a seguir, verifica-se a necessidade que ele
tem de marcar posição entre a ordem dos elementos para a construção de
agrupamentos de objetos, talvez por considerar que esta estratégia seja a mais
importante durante a resolução de problemas de contagem, como se constata
a seguir:
Identificar o número de termos (grupo maior). Identificar o número de componentes (subgrupos). Importância da ordem (Arranjos ou Combinação) (P7)
248
Chamaram à nossa atenção as respostas dos professores P9 e P6, a
seguir:
Exemplos que possam mostrar o dia-a-dia dos educandos. Exemplos onde os alunos possam aplicar as fórmulas que aprendem na escola (P9)
Situações-problemas do dia a dia; pois facilitariam a compreensão destes fundamentos combinatórios (P6)
Parece-nos que esses dois professores estão à procura de situações de
aprendizagem “facilitadoras e com exemplos do cotidiano” que os permitam
apresentá-las para seus alunos e com as quais eles possam mobilizar
estratégias e procedimentos necessários para resolvê-los.
Cabe aqui destacar o interesse dos professores em propor situações do
cotidiano para a aplicação dos conceitos aprendidos. Entretanto, não foi
possível identificar se o professor considera importante a utilização de
problemas do cotidiano como um meio para que os alunos aprendam os
conceitos básicos de combinatória e se eles apenas serviriam para que faça a
aplicação de uma fórmula que tenha sido apresentada.
Os problemas, segundo os atuais currículos, deveriam ser o ponto de
partida e de chegada da atividade matemática e, como tal, a preocupação
desses professores faz todo sentido.
Cabe destacar que há poucos professores (identificamos dois
professores do grupo) que defendem o ensino pela repetição sistemática de
problemas similares, ou seja, de exercícios, como é o caso do professor P21
que se manifestou a esse respeito conforme consta do protocolo a seguir:
Inicialmente, muita leitura com “entonação”. A prática na leitura leva a rápida interpretação”, principalmente a segunda delas onde, nos parece, a aprendizagem deverá ser feita através da repetitiva apresentação de exercícios similares, o que nos preocupa muito em relação a essa prática nos dias de hoje. Mas, é claro, sabe-se que essa é uma questão pontual (P21)
No entanto, percebe-se no discurso desse professor uma preocupação
com a prática da leitura dos problemas, o que é fortemente recomendado pelos
recentes currículos de Matemática da Educação Básica, a exemplo do
Currículo de São Paulo (2010).
Cabe destacar, porém, que a palavra “entonação” utilizada no protocolo
acima pode ter o significado de chamar a atenção para as palavras- chave que
249
facilitariam a resolução do problema de contagem. Essa prática de fornecer
palavras-chave - não recomendada pelos atuais currículos - foi, e talvez ainda
seja bastante utilizada por alguns poucos professores, causando estranheza,
desconforto e preocupação.
A julgar pelas poucas respostas objetivos dos professores do grupo
quanto às possíveis estratégias que eles utilizam para o desenvolvimento do
raciocínio combinatório - imprescindível que o é para a construção e a
compreensão das representações e a aplicação dos Princípios Multiplicativo e
Aditivo - julgamos insatisfatórios os conhecimentos de grande parte dos
professores quanto a aplicação desses princípios e desses conceitos, bem
como em relação às ações mobilizantes que se fazem necessárias para o
desenvolvimento destes conteúdos em sala de aula de maneira a não
comprometerem os aspectos relacionados com a formação docente, segundo
os pressupostos de Shulman (1986).
As possíveis estratégias utilizadas pelos professores do grupo para
ensinar os demais conteúdos de combinatória relacionados com os problemas
de contagem para a Educação Básica também serão desveladas nas
perguntas que se seguem.
4.3.2 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino do Princípio Multiplicativo Com o propósito de identificar as concepções dos professores sobre o
ensino do princípio multiplicativo, propusemos as seguintes perguntas:
a) No Ensino Fundamental:
Você propõe situações envolvendo o Princípio Multiplicativo na Educação
Básica no Ensino Fundamental? ( ) Sim ( ) Não. Quando? Como?
Se você ainda não teve essa experiência explique: Como você
procederia? Quando? Como?
b) No Ensino Médio:
Você propõe situações envolvendo o Princípio Multiplicativo na Educação
250
Básica no Ensino Médio? ( ) Sim ( ) Não. Quando? Como?
Se você ainda não teve essa experiência explique: Como você
procederia? Quando? Como?
Os propósitos com essas perguntas foi o de avaliar a importância que os
professores dão a respeito do ensino do Princípio Multiplicativo na formação do
estudante em relação aos conceitos básicos de combinatória. Além disso,
procurou-se identificar as concepções dos professores a respeito do ensino
desses conteúdos, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio.
Destacamos que, embora muitos dos professores do grupo tenham
conhecimentos sobre os conceitos associados à aplicação do Princípio
Multiplicativo, e aonde ele se aplica na resolução dos problemas de contagem,
ainda há alguns deles que precisam aprofundar-se quanto à mobilização de
estratégias e procedimentos para a sua aplicação, e de como ele pode ser
utilizado pelos alunos com vistas ao seu ensino e à sua aprendizagem por
estes.
Nas respostas ao item (a), identificamos que grande parte dos
professores tem uma percepção, a nosso ver adequada, para o ensino do
Princípio Multiplicativo no Ensino Fundamental e à ampliação de seu uso no
Ensino Médio, como se pode constatar nas seguintes respostas:
Nas séries iniciais – 4ª série em diante, como: com aqueles exercícios básicos de combinações, por exemplo: Maria tem 4 saias e 6 camisas de cores diferentes e 3 sapatos, de quantas maneiras ela pode combinar? (P16)
Praticamente em todos os anos, pois já temos livros didáticos do nível 1 que já apresenta este princípio, como: “Pode ser com combinação de calça, camisas e calçados (P14)
Em relação às respostas dos professores P16 e P14, identificamos que
eles têm conhecimento de que o conteúdo já é apresentado nas séries iniciais,
mas deixam dúvidas quanto ao que estes professores pensam em relação à
ampliação de seu uso em outros problemas de contagem que poderiam ser
propostos aos anos dos anos subsequentes do Ensino Fundamental, a partir
das “séries iniciais”, considerando que temos dúvidas quando efetivamente os
professores começam a lidar com os problemas de contagem, não obstante as
recomendações curriculares.
251
Os demais professores se manifestaram, nas suas respostas, de
maneira satisfatória e correta em relação ao que foi perguntado.
Por outro lado, ainda há professores que não têm esse entendimento de
maneira clara, como é o caso do professor P15 que ainda não está
familiarizado com o ensino deste conteúdo e, com toda a certeza, desconhece
o que trata o Princípio Multiplicativo a julgar pela resposta que forneceu a esta
pergunta, como se constata a seguir:
No ensino de equação do 1º grau – (equilíbrio das balanças), como: “Equilíbrio das balanças” (P15)
As respostas para o item (b) indicaram lacunas nos conhecimentos de
conteúdo e pedagógicos de conteúdo de alguns professores, relativos ao
ensino do referido Princípio para o Ensino Médio conforme se constata nas
respostas dadas pelos professores P12 e P21, a seguir:
No segundo ano do ensino, após o estudo de fatorial de n, n ϵ N (conjunto dos números naturais). No estudo de métodos de enumeração e árvore de possibilidades, como: Através de uma situação-problema pertinente (P12)
Também nas aulas regulares de PD e até mesmo recuperação e CJA, como: “Através de exercícios de Raciocínio Lógico, quadrado mágico, sequência lógica como por exemplo: - complete – D,S,T, ---, ---, ---, ---,; - complete – 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ----; - Divida um bolo em 8 pedaços com apenas 3 cortes retos. (P21)
O professor P12 sugere o ensino do Princípio Multiplicativo após o
estudo de fatorial que é, por sua vez, uma forma concisa de apresentar uma
particular multiplicação e, como tal, derivada da resolução de algum problema
de contagem com a aplicação desse Princípio, e não após esse estudo.
Por outro lado, há professores, como o professor P22, - o único que
acertou a questão 7 do questionário Q2 e que mereceu análise detalhada
acerca da sua resposta - que conhece maneiras de como o Princípio
Multiplicativo pode ser ensinado, conforme se constata pela sua resposta, a
seguir:
Faria um levantamento diagnóstico da experiência e conteúdo dos alunos para iniciar a atividade, os conceitos e desenvolvimento de uma Situação problema, como: Com exemplos do cotidiano. Uma pessoa foi ao teatro, este teatro possui cinco portas, de quantas maneiras esta pessoa poderá entrar e sair do teatro? (P22)
Consideramos importante aprofundar pesquisas com outros professores
com o mesmo perfil do professor P22 de maneira a conhecer outras estratégias
252
para ensinar problemas de contagem no Ensino Fundamental, tal como foi
sugerido por esse professor, que se destacou pelas respostas que apresentou
aos dois questionários.
Mas, se este for o caso, considerando que o Princípio Multiplicativo
possa ser a primeira noção básica utilizada para a resolução de um problema
de contagem, ela não deveria vir após o estudo do fatorial, o que nos permite
concluir que esse professor possa estar confundindo a utilização deste
Princípio até mesmo quando se refere aos métodos de enumeração uma vez
que, se ele enumera os agrupamentos de objetos, então deve objetivar a
contagem direta deles, o que não é o caso.
Já o professor P21 mostra desconhecimento a respeito do ensino deste
conteúdo ao sugerir que questões que envolvem o raciocínio lógico são
questões onde se aplica o Princípio Multiplicativo, ou seja, parece-nos que ele
relaciona este Princípio a situações de adivinhação lógica.
O professor P22 introduz o Princípio Multiplicativo por meio de um
exemplo pertinente. O elevado número de respostas em branco para o item (b)
talvez decorra do fato de que um total de 10 professores respondeu “nunca
terem proposto situações no Ensino Fundamental”, já no item (a).
Considerando a relevância da apropriação dos conceitos relacionados
ao Princípio Multiplicativo, e sua aplicação para a solução de problemas de
contagem, além do que permite a construção de representações, é vital que
esses conceitos sejam aprofundados pelo grupo de professores na sequência
didática objeto deste estudo, sob pena de não se ter professores em condições
de implementar as orientações do Currículo de São Paulo (2010) quanto à
desejável preparação destes professores de maneira a desenvolver as
diferentes abordagens para o ensino destes conteúdos no Ensino Fundamental
e para o Ensino Médio.
4.3.3 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino do Princípio Aditivo
A fim de identificar concepções dos professores sobre o Princípio
Aditivo, propusemos as seguintes perguntas:
253
a) No Ensino Fundamental
Você propõe situações envolvendo o Princípio Aditivo na Educação
Básica no Ensino Fundamental? ( ) Sim ( ) Não. Quando? Como?
Se você ainda não teve essa experiência explique: Como você
procederia? Quando? Como?
b) No Ensino Médio
Você propõe situações envolvendo o Princípio Aditivo na Educação
Básica no Ensino Médio? ( ) Sim ( ) Não. Quando? Como?
Se você ainda não teve essa experiência explique: Como você
procederia? Quando? Como?
Objetivou-se identificar aquilo que os professores conheciam sobre
ideias relacionadas quanto ao uso do Princípio Aditivo e à ampliação deste; do
entendimento e da importância que fazem a respeito de sua aplicação quando
identificam a necessidade de usá-lo para a resolução de alguns tipos de
contagem, bem como acerca dos seus fundamentos teóricos que o permitem
ser aplicado, por exemplo, para também sistematizar outros conceitos básicos
de combinatória que são obtidos por meio da aplicação deste Princípio e do
Princípio Multiplicativo.
O item (a) apresentou lacunas nos conhecimentos de alguns professores
relativos ao conhecimento de que trata o referido Princípio para o Ensino
Fundamental e à ampliação de seu uso desde os primeiros problemas de
contagem de maneira que eles possam ser aplicados a alunos dos primeiros
anos deste segmento.
Essas lacunas puderam ser identificadas quando da análise das
respostas, com as seguintes:
Acredito que sim, mas não sei o que você quer dizer com princípio aditivo (P3)
Sinceramente não sei dizer qual é exatamente a definição do princípio aditivo, mas sendo princípio de adição imagino que seja ensinar a somar e a subtrair. Que a multiplicação pode ser ensinada como uma soma de parcelas Ex: 4 x 3 = 12 ou 4 + 4 + 4 = 12. Pode-se ensinar desde os primeiros anos (P9)
Resolução das equações (P15)
254
Os três professores indicados acima mostraram desconhecimento sobre
o princípio aditivo e, a julgar pelo expressivo número de professores que não
respondeu à pergunta (em número de dez), o mesmo pode ocorrer com esses
outros professores.
Queremos crer que essa constatação esteja associada mais ao rótulo
em si do que à dificuldade que ele possa apresentar para os professores,
embora a identificação da necessidade de seu uso requeira conhecimentos
mais aprofundados que aqueles que se possa identificar quando é feita a
contagem direta do total de possibilidades presentes nos agrupamentos
apresentados nos “galhos terminais” de uma árvore de possibilidades, por
exemplo.
Destacamos, contudo, a importância que deva ser dada para o
entendimento de sua aplicação de modo que o professor não venha a se
deparar, por exemplo, quando da resolução de problemas de contagem com
perguntas feitas por alunos tal como essa: professor, eu tenho que somar ou
multiplicar, nessa situação?
Nestes casos, embora o professor tenha se referido de alguma maneira
ao Princípio Aditivo, mesmo que de maneira não explícita, a aplicação deste
não foi compreendida pelo aluno.
Tal fato evidencia que o Princípio Aditivo, embora talvez comentado e
exemplificado pelo professor, não tenha sido apropriado pelo aluno em relação
ao seu pertinente uso, bem como em relação ao Princípio Multiplicativo.
Também quando o professor, por exemplo, após a construção de uma
árvore de possibilidades não tenha salientado que a contagem direta dos
agrupamentos constituintes é uma aplicação desse Princípio e, portanto, ele
deve ser explorado mais amiúde.
Nestas situações o aluno precisa compreender que os agrupamentos de
objetos listados nos “galhos terminais” da árvore são todos distintos entre si e,
portanto, cabe a aplicação do Princípio Aditivo por meio da contagem direta
desses agrupamentos.
Neste momento será preciso que o professor chame a atenção de seus
alunos para que eles observem que cada um dos “galhos terminais” da árvore
255
apresenta uma solução diferente das demais que estão em todos os outros
“galhos terminais” da mesma árvore. É importante que eles façam a
conferência, uma a uma, entre essas soluções obtidas.
E, então, que o aluno compreenda que o quantitativo de possibilidades
que atende à solução do problema é aquela que corresponde à totalidade do
somatório das soluções que estão presentes em todos os “galhos terminais” da
árvore de possibilidades.
Trata-se de um componente do conteúdo de problemas de contagem
que merece um cuidadoso tratamento e aprofundamento por parte dos
professores e que tem implicações, por exemplo, quando se tratar do estudo de
probabilidades, após a construção de uma “árvore de probabilidades”, similar a
uma árvore de possibilidades.
Os dois itens dessa pergunta foram aqueles em que se percebeu o
maior desconhecimento dos professores do grupo em relação ao que trata o
Princípio Aditivo e sua aplicação a problemas de contagem.
O rótulo “Princípio Aditivo ou Princípio da Adição” pareceu incomodar os
professores do grupo e não nos pareceu que o mesmo fosse familiar a algum
deles, até a aplicação do presente questionário.
Parece-nos que esses professores nunca haviam passado pela
experiência de utilizá-lo e, se o fizeram, pois acreditamos que sim
(particularmente quando se deparam com a questão de efetuar a contagem de
números pares com dois algarismos distintos ou outro problema) não percebem
que estão utilizando aí o Princípio Aditivo.
Mesmo quando efetuam a contagem direta de todas as possibilidades
para a solução de um problema de contagem, seja por meio de uma tabela de
dupla entrada, de uma árvore de possibilidades, de um esquema ou de um
produto cartesiano, não associam essa ação como sendo a da aplicação do
Princípio Aditivo.
Ou, então, não utilizam o Princípio Aditivo nestes casos, preferindo a
solução que determina a diferença entre a totalidade de números com dois
algarismos distintos e a totalidade de números ímpares com dois algarismos
também distintos.
256
Este item mostra que para alguns professores há uma ligeira confusão a
respeito do Princípio Aditivo - mesmo para os professores que lecionam há
algum tempo no Ensino Médio - tal qual o seja a respeito de um possível
desconhecimento acerca dos propósitos, no uso do Princípio, como dito antes.
Como resultado da análise deste item, verifica-se a necessidade de na
sequência didática propor diversas situações-problema nas quais o problema
necessite ser repartido de maneira a ser possível obter a contagem total das
soluções e, portanto, identificar a importância e necessidade de aplicar o
Princípio Aditivo, uma vez que só a aplicação do Princípio Multiplicativo não
seria suficiente para tal.
Portanto, de modo que a contagem das possibilidades de soluções para
um problema de contagem não venha a ser feita em excesso ou a menor,
decorrente da errônea aplicação única do Princípio Multiplicativo nestas
situações, é preciso que o professor compreenda quando e como deve aplicar
o Princípio Aditivo para obter a solução de um problema de contagem.
O Princípio Aditivo é componente essencial para a ampliação dos
conhecimentos do professor em relação a outros conceitos presentes na
resolução dos problemas de contagem e, como tal, faz-se necessária a sua
apropriação e entendimento em profundidade, por parte dos professores e dos
alunos.
Aquele professor do grupo que imaginava ainda não ter utilizado o
Princípio Aditivo na verdade é porque não o conhecia conceitualmente em
profundidade uma vez que ele está presente quando da contagem direta que
habitualmente se faz após a construção de uma árvore de possibilidades e,
nestes casos, podemos garantir que todos os professores de matemática já
passaram por estas situações. Bastava, então, conhecer o Princípio Aditivo e
que este está sendo aplicado aí, em particular.
Em situações mais complexas, o Princípio Aditivo mostra uma maior
abrangência quanto à necessidade de ele ser utilizado durante a resolução de
alguns problemas de contagem.
Assim, o professor que ainda não percebeu como deve utilizar-se do
Princípio Aditivo é porque ainda não esteve diante da necessidade de resolver
257
um problema de contagem em que esse Princípio torna-se indispensável para
contabilizar a totalidade das soluções possíveis na medida em que o raciocínio
combinatório é utilizado para encaminhar a resolução.
Em muitos casos a escolha de outra estratégia de resolução para o
problema esconde essa necessidade de aplicação do Princípio Aditivo, mas,
para tal, é preciso que o professor aprofunde seus conhecimentos de conteúdo
a esse respeito, ampliando a imagem conceitual que tem a respeito das noções
básicas de combinatória, conforme sugerem Tall e Vinner (1981).
Situações que requeiram o uso do Princípio Aditivo sem o que a solução
ao problema de contagem não é obtida foram propostas na sequência didática,
de maneira que o professor aprofundasse seus conhecimentos de conteúdo.
As respostas para o item (b) - Princípio Aditivo no Ensino Médio -
também indicaram lacunas nos conhecimentos de alguns professores relativos
ao conhecimento de que trata o referido princípio para o Ensino Médio e à
ampliação de seu uso, conforme se identificou pelas seguintes respostas:
Já saberiam e os professores não teriam grandes dificuldades (P13)
Em diversas situações de multiplicação com parcelas iguais, como: Situações cotidianas de repetição (P23)
Não lembro dos conceitos (P5)
Em todas as séries do Ensino Médio, como: Praticamente em todos os exercícios pode ser utilizado (P9)
As constatações de dúvidas em relação ao uso do Princípio Aditivo em
relação à resolução de problema de contagem que podem ser propostos no
Ensino Fundamental se repetem também em relação ao Ensino Médio uma vez
que muitos problemas podem ser aplicados em ambos os níveis, mormente
aqueles que dizem respeito à totalidade de números com dois, três ou mais
algarismos, respeitando restrições, que existem no sistema decimal.
Em relação aos conhecimentos desses conteúdos pelos professores, tal
fato é preocupante uma vez que há um grande quantitativo que já havia
lecionado combinatória naquele ano letivo de 2011, no primeiro semestre, no
Ensino Médio.
Tomando por base as respostas que os professores emprestarem aos
três questionários e durante o desenvolvimento das atividades que se deram
258
na sequência didática, se terá conhecimento de como a combinatória estava
sendo ensinada, até então, por alguns dos professores do grupo, e como ela
está sendo aprendida pelos alunos desses professores.
4.3.4 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino de Arranjos simples ou com repetição de objetos
Com o propósito de identificar concepções e conhecimentos dos sujeitos
de nossa pesquisa sobre o ensino dos arranjos simples ou com repetição de
objetos na Educação Básica propusemos a seguinte pergunta:
Você propõe situações envolvendo a noção de arranjo simples com seus
alunos na Educação Básica? ( ) Sim ( ) Não.
Como você definiria e explicaria esse conceito para seus alunos?
Para essa definição você pode utilizar suas próprias palavras. Não é
necessário que escreva uma definição formal. Em que momento? Quando?
Para essa questão objetivamos identificar como os professores ensinam
arranjos simples. Entretanto, esses professores não responderam à pergunta
no que se refere aos aspectos de ensino deste conceito provavelmente pelo
fato de haver lacunas a respeito de conhecimentos acerca desse conteúdo.
Por essa razão, a análise deste item terá como foco os conhecimentos
dos professores em relação ao conteúdo.
No entanto, há professores que compreendem bem o conceito de
arranjos simples, conforme se constata pelas seguintes respostas:
Arranjo – Possuo um grupo e quero determinar subgrupos onde a ordem é importante. Exemplos – concursos, cargos, placas de carro, etc (P7)
Dado o conjunto A= {2,5,7}, escreva todos os números de dois algarismos distintos com os elementos de A: 2, 5 – 25; 2, 7 - 27; 5, 2 - 52; 5, 7 - 57; 7, 2 – 72; 7, 5 – 75, depois dou a definição (P19)
Eu defino “informalmente” com exemplos. Digo que vou premiar os cinco melhores alunos com prêmios diferentes para cada ocupação para que percebam que o posicionamento modifica o grupo (P23)
As respostas dos professores em relação ao ensino do conceito de
arranjos simples indicam uma característica de ensino muito próxima daquela
que, de início, identifica as características do agrupamento e em seguida parte
diretamente para a definição do conceito e apresenta um exemplo em que tal
conceito se aplica.
259
Essa opção metodológica que alguns dos professores do grupo utilizam
não permite que os alunos investiguem as características presentes nas
soluções que eles encontram - que podem ser obtidas por meio de uma árvore
de possibilidades, por exemplo – e as diferencie entre si.
Além disso, essa opção não favorece a identificação de aplicação do
Princípio Multiplicativo e a descrição de todos os agrupamentos possíveis,
como se pode constatar na resposta dada pelo professor P6, no protocolo a
seguir:
No Ensino Médio defino arranjos simples como agrupamentos de n elementos escolhidos “p a p” de um conjunto, isto é num conjunto de “n” elementos seriam agrupados alguns elementos deste conjunto de várias maneiras diferentes, sempre obtendo um novo resultado (ordem). Este conteúdo é sempre dado na 2ª série do Ensino Médio (P6)
Assim, em relação ao protocolo do professor P6, embora o conceito de
arranjos simples esteja definido corretamente do ponto de vista matemático,
sua apresentação não favorece o desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Por outro lado, algumas respostas de professores indicaram lacunas nos
conhecimentos destes e relativos às características dos objetos presentes
nestes tipos de agrupamentos, principalmente quando deixam dúvidas sobre a
composição dos agrupamentos com essas características, como se pode
constatar, por exemplo, nas respostas dos seguintes professores:
Arranjo simples é uma maneira de escolher coisas, objetos ou até mesmo pessoas em posições distintas pré-determinadas. Exemplo: 5 pessoas em um sofá de 3 lugares. De quantas maneiras distintas podem se sentar? (P12)
Agrupamento de elementos de várias formas, colocando problemas básicos. Exemplo: corrida de carros (P2)
Normalmente utilizo exemplos de jogos e ensino a fórmula. No 2º ano do Ensino Médio (P9)
Nas respostas acima se identifica que há conceituação não precisa
sobre esse conceito, a saber: “maneira de escolher coisas”, “agrupamentos de
várias formas”, “exemplo de jogos”.
Identificamos ainda, no protocolo do professor P22, que tal conceituação
não está adequada para caracterizar o conceito de arranjos simples, o que
pode causar sérios transtornos na compreensão do conceito para seus alunos,
como se constata a seguir:
260
O conceito de arranjo simples leva em conta os tipos de agrupamentos de elementos repetitivos e que leva em conta a ordem. Pode-se aplicar de forma mais simples, para calcular o número de anagramas possíveis de uma palavra como: AMIGO (P22)
O professor P22 associa o conceito de arranjos simples a anagramas o
que é correto, sob o ponto de vista matemático, quando se tratarem de
anagramas com letras diferentes tomados como casos particulares de arranjos
simples n a n.
Mas, não nos pareceu clara a afirmação feita pelo professor P22, não
obstante ter sugerido um exemplo que se aplica para a aplicação deste
conceito de arranjos simples, também.
Ademais, quando o professor P22 se refere ao fato de que o conceito de
arranjos simples leva em conta os tipos de agrupamentos de elementos
repetitivos ele comete um erro conceitual, uma vez que anagramas em que
nem todas as letras são distintas estão associados às permutações com
elementos repetidos e a denominação “elementos repetitivos” não cabe na
definição de arranjos, de modo geral.
Os professores P3, P5 e P15 mostraram pouca familiaridade com ensino
deste conceito, inclusive com a resposta evasiva do professor P15, como se
constata nos protocolos a seguir:
Como não trabalho no momento com estes conceitos, eu não me lembro deles. Quando propomos para a classe se reunir em grupos (P3)
Não lembro. Já vi o conteúdo, mas não lembro dos conceitos (P5)
Através dos problemas de contagem. Poderia iniciar na 5ª série (P15)
Constata-se pelas respostas de parte dos professores que o conceito de
arranjos simples está muito presente na prática deles, mas em nenhum
momento foi possível identificar que os professores têm em mente a relação
entre arranjos simples e a aplicação direta do Princípio Multiplicativo.
Identificou-se também, entre os professores, forte tendência de marcar a
conceituação ou o procedimento de seu uso em torno da importância quanto à
ordem entre os elementos e, em seguida, apresentar a definição de arranjos
simples, deduzirem a fórmula de contagem de todas as possibilidades e o uso
da respectiva fórmula, nesta ordem.
261
Há ligeira confusão em algumas definições, bem como a associação
direta do conceito de arranjos com exemplos de anagramas, não definindo,
entretanto, como se caracterizam os anagramas.
Pelas considerações feitas anteriormente consideramos que será
preciso um tratamento diferenciado com os professores durante a sequência
didática com respeito à ideia de que arranjos simples ou com repetição de
objetos são casos particulares da aplicação do Princípio Multiplicativo e sobre a
possibilidade de ensinar esses conceitos segundo essa opção metodológica,
ou seja, sem a necessidade de caracterizar os arranjos como “agrupamentos
particulares de objetos” e sim como aplicação do Princípio Multiplicativo..
A partir daí, será preciso mostrar a importância do raciocínio
combinatório para a identificação e a caracterização dos agrupamentos de
objetos durante a resolução de um problema de contagem e focar naqueles
agrupamentos em que a ordem entre os objetos é irrelevante e, portanto,
precisa ser “desconstruída” desde que tenham sido computados agrupamentos
sob a égide da ordem deles entre si como distintos.
4.3.5 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino das Permutações Simples
A fim de identificar concepções e conhecimentos dos sujeitos de nossa
pesquisa sobre o ensino das permutações simples na Educação Básica,
propusemos a seguinte pergunta:
Você propõe situações envolvendo a noção de permutações simples com seus
alunos na Educação Básica? ( ) Sim ( ) Não.
Como você definiria e explicaria esse conceito para seus alunos?
(Para essa definição você pode utilizar suas próprias palavras).
Não é necessário que escreva uma definição formal. Em que momento?
Quando?
Algumas das respostas indicaram lacunas nos conhecimentos de alguns
professores relativos às características dos objetos presentes neste tipo de
agrupamentos, principalmente quando deixam dúvidas sobre a composição e
os tipos desses agrupamentos com essas características, como se pode
identificar pelas respostas a seguir:
262
Permutação é de quantas formas podemos dispor os elementos de um determinado conjunto. Em que momento? Nas primeiras séries do ciclo II com exemplos práticos (P1)
Permutação simples é uma maneira de ordenar coisas, objetos ou até mesmo pessoas em posições distintas pré-determinadas. Exemplo: anagramas da palavra ROMA (P12)
Permutação nada mais é do que “troca”; trocamos as ordens dos objetos; suas posições e dependendo da quantidade, teremos o nº de vezes que fizemos esta “troca” (P6)
Explico fazendo anagramas (P9)
Algumas respostas evidenciam conceituações imprecisas, tais como:
“quantas formas podemos dispor os elementos”, “maneira de ordenar coisas...
em posições distintas”, “trocamos as ordens dos objetos ... suas posições ”?
Quanto à resposta do professor P12, pode-se afirmar que ele não
apresenta uma correta caracterização do conceito de permutação simples por
não ficar claro o significado de “posições distintas pré-determinadas” e deixar
dúvidas quanto, por exemplo, à possibilidade de haver um quantitativo de
“posições distintas pré-determinadas” menor ou maior que o quantitativo de
objetos, embora o exemplo citado possa ser tomado como a totalidade de
permutações simples das letras R, O, M e A.
Por outro lado, há alguns professores que, embora conheçam o conceito
de permutação simples, não fazem menção ao fato de que todos os objetos
envolvidos no problema devem fazer parte de cada uma das permutações
simples consideradas.
Mas há professores que destacaram a importância de ressaltar esse
aspecto no ensino desse conceito, como é o caso do professor P19, segundo
sua resposta a seguir:
Explicaria uma vez que em cada grupo participam todos os elementos. Então esses grupos chamam-se Permutação simples
(P19)
Embora em nenhuma das respostas anteriores tenhamos identificado
uma caracterização completa do que seja uma permutação simples, no sentido
matemático, e como se determina o total de permutações simples de n objetos
(havendo ou não repetição de alguns deles), algumas das respostas estão
adequadas para o entendimento dos alunos, em uma primeira aproximação
para a correta caracterização do conceito.
263
Por outro lado, há alguns professores do grupo que ainda não conhecem
o conceito relativo a uma permutação simples ou que não caracterizam
adequadamente esse tipo de agrupamento de objetos.
As citações a seguir foram consideradas por nós como não apropriadas
para conceituar esses agrupamentos de objetos, conforme se pode constatar a
seguir:
Permutação – também usado o termo anagrama que como o nome já determina são trocas entre todos os componentes, salvo se existir alguma restrição no enunciado do problema (P7)
A permutação é feita de combinações com elementos distintos e o número de modos de ordenar estes elementos Em que momento? “Com exemplos do cotidiano, para um só dia transmitir 5 músicas sem ser na mesma ordem, todos os dias, quais são as possíveis sequências? (P22)
Eu digo aos alunos que permutação é sinônimo de “troca”, que normalmente são palavras com significado ou não, mas que trocamos todas as letras de lugar. Em que momento? Durante o ensino de análise combinatória e probabilidade. Peço aos alunos que formem todas as combinações possíveis com o próprio nome (em momentos considerando letras repetidas, em outros não). Dependendo do “tamanho” do nome percebem que é uma tarefa árdua, neste momento entro com a definição de fatorial e mostro a necessidade das fórmulas (P23)
Permutar-trocar-árvore das possibilidades (P15)
A definição/caracterização apresentada pelo professor P7, acima, está
incompleta, pois deixa dúvidas quanto ao fato de “existir alguma restrição” e
porque associa as permutações simples unicamente aos anagramas, sem
caracterizar o que seja um anagrama.
O professor P22 afirma que uma permutação é feita de combinações.
Parece-nos que ele queria afirmar que uma permutação seria feita de
ordenações entre os objetos, ou seja, uma permutação simples é qualquer
ordenação que contenha todos os objetos distintos considerações e o mesmo
se aplica no caso de permutações em que nem todos os objetos sejam
distintos: ela deve conter todos os objetos. Assim, o exemplo sugerido é
apropriado.
A maneira como o professor P23 se refere às permutações simples
remete à concepções relacionadas com anagramas e o uso de fórmulas com
fatorial. O professor P15 não caracteriza o conceito.
264
Os professores P3 e P5 desconhecem o conteúdo permutações simples,
como se constata pelas respostas por eles fornecidas:
Como não trabalho no momento com estes conceitos, eu não me lembro deles, Em que momento? Quando selecionamos ou escolhemos os alunos para responder algum exercício ou fazemos uma competição entre as fileiras da classe (P3)
Já vi o conteúdo, mas não lembro dos conceitos (P5)
A julgar pelas respostas que foram apresentadas com respeito ao ensino
de permutações simples, será preciso que na sequência didática sejam
retomadas considerações a respeito da correta caracterização desse conceito
e feitas reflexões acerca do conhecimento pedagógico de conteúdo, segundo
Shulman (1986), de maneira a ampliar a imagem desse conceito que os
professores do grupo têm a respeito dele e de seu ensino, bem como definir
anagramas e relacioná-los com as permutações simples e com permutações
em que nem todos os objetos são distintos, segundo Tall e Vinner (1981).
4.3.6 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino das Combinações Simples
A fim de identificar concepções dos professores sobre o ensino de
combinação simples na Educação Básica, propusemos a seguinte questão:
Você propõe situações envolvendo a noção de combinações simples com
seus alunos na Educação Básica? ( ) Sim ( ) Não.
Como você definiria e explicaria esse conceito para seus alunos?
Para essa definição você pode utilizar suas próprias palavras.
Não é necessário que escreva uma definição formal. Em que momento?
Quando?
Com essa questão objetivamos identificar como os professores ensinam
combinações simples. No entanto, esses professores não responderam à
pergunta no que se refere aos aspectos de ensino deste conceito,
provavelmente pelo fato de haver lacunas a respeito de conhecimentos desse
conteúdo. Por essa razão, a análise deste item terá como foco os
conhecimentos dos professores em relação ao conteúdo.
A maioria dos professores caracteriza adequadamente o conceito de
combinação simples e poucos são os que cometem pequenos enganos (que
265
não comprometem o entendimento que eles têm a respeito do conceito),
conforme se pode identificar nas seguintes respostas:
Combinação – basicamente a mesma regra do arranjo, mas não importa a ordem (P7)
Combinação simples é uma forma de escolher coisas, objetos ou até mesmo pessoas para formar grupos com menos elementos do que o número total de elementos, ou seja, em um grupo com n elementos escolher grupos de p elementos onde p é menor que n com n, p ϵ N” Em que momento? Na 7ª Série (8º Ano) (P12)
A explicação seria comparando com Arranjo. Se formar os grupos e mudar os seus elementos vai dar diferença? Se sim é arranjo se não é combinação (P19)
Faço como na explicação de arranjo, peço que formem grupos de trabalho, sorteio alguns e peço que vejam se o grupo é modificado quando inverto os nomes, percebem que não (P23)
Depois de ter explicado arranjos simples; nas combinações simples também escolhemos elementos e agrupamos de diversas maneiras sem levarmos em consideração a ordem; pois a ordem não muda a resposta (P6)
Com as apostilas tem bastante exemplos, eu os utilizo e os ensino a aplicar a fórmula (P9)
Identificamos que a caracterização de uma combinação simples, feita
por grande parte dos professores, está associada diretamente à necessidade
de diferenciar esse conceito do de arranjos simples uma vez que eles procuram
destacar os diferentes tipos de agrupamentos em função da ordem entre
objetos pertencentes a uma combinação simples.
Igualmente, há alguns professores do grupo que não fizeram a
caracterização do conceito de combinações simples de maneira adequada, não
permitindo ao pesquisador identificar o nível de compreensão que eles têm a
respeito do conceito. Esse fato pode ser observado nas seguintes respostas:
São as possíveis combinações dos elementos sem que a ordem interfira. Em que momento? Um exemplo real como uma competição de 10 participantes determinar as possibilidades que podem ser formadas entre os 4 primeiros colocados (P22)
Como eu não trabalho com estes conceitos no momento, eu não me lembro deles (P3)
Árvore das possibilidades, Em que momento? A partir da 5ª série – problemas de contagem (P15)
O professor P22 apresenta um exemplo que não se aplica às
combinações simples, mas de arranjos simples, embora destaque que a ordem
entre os elementos não seja considerada.
266
Identificou-se entre as respostas uma tendência em definir combinações
simples como uma situação que não considera a ordem dos elementos, em
oposição àquela de um arranjo simples, não sendo esta definição suficiente
para que seja possível identificar os objetos que atendem ao enunciado de um
problema de contagem, ou seja, ela não explicita de que maneira os objetos
serão escolhidos para constituírem os agrupamentos que deverão ser
considerados.
Mais uma vez, é imperioso considerar que devam ser desenvolvidas
atividades que mobilizem diferentes estratégias pelo grupo de professores no
sentido de haver ampliação da imagem conceitual desse conceito (Tall e
Vinner, 1981) requerida de um professor da Educação Básica e, também, em
relação aos conhecimentos pedagógicos de conteúdo (Shulman, 1986) de
maneira que todo o grupo de professores esteja preparado para ensinar esses
conteúdos para seus alunos.
No que se segue vamos analisar respostas às perguntas que estão
relacionadas com as dificuldades que os alunos têm em resolver problemas de
contagem e às dificuldades que os professores têm com o ensino desses
problemas. Além disso, analisamos as opiniões dos professores sobre o
desenvolvimento deste tema nos livros didáticos que eles adotam.
4.3.7 Sobre o conhecimento pedagógico dos professores a respeito das dificuldades que os alunos têm na resolução de problemas de contagem
A fim de identificar concepções dos professores sobre a maneira como
eles identificam as dificuldades de seus alunos quando se deparam com a
resolução de problemas de contagem, tomando por referência as experiências
que cada professor tem quando ensina tal conteúdo, propusemos a seguinte
pergunta:
Que dificuldades os alunos têm para lidar com situações-problema que envolvem o raciocínio combinatório na Educação Básica?
Dentre as dificuldades relatadas, apresentamos algumas, como a seguir:
O maior problema é a interpretação dos problemas, os cálculos são mais fáceis, mas isso no Ensino Médio (P18, P21)
Se o professor envolve situações com relação a realidade do aluno ou algo que ele se interesse, o raciocínio ocorre de forma simples e a assimilação com o conteúdo e atividade também se desenvolve. Agora, quando se passa conceito e fora do que ele sabe e se interessa a compreensão fica difícil (P22)
267
Quando as situações são contextualizadas e significativas não há dificuldades, porém quando generalizamos não há “relação” com o contexto (P23)
A dificuldade é de diferenciar, quando o agrupamento é uma combinação ou um arranjo simples (P6)
Confundem o Arranjo com a Combinação (P9)
Falta raciocínio lógico (P15)
Visualizar; temos que mostrar vários exemplos (P16)
Eles têm muita dificuldade de entender (compreender) os problemas (P3)
Os professores indicaram que, de modo geral, seus alunos têm
dificuldades em diferenciar situações de arranjos simples de situações de
combinações simples.
Dentre as respostas selecionadas acima se pode verificar que nenhuma
delas se referiu às dificuldades relacionadas com o desenvolvimento do
raciocínio combinatório.
Confrontando essas respostas com aquelas que dizem respeito às
caracterizações dos arranjos simples e das combinações simples feitas
anteriormente pelo grupo de professores, era esperado que eles fizessem tais
referências como acima uma vez que também eles têm dificuldades para
caracterizar esses dois conceitos e, possivelmente, passam essas
inseguranças para seus alunos.
Por essa razão consideramos, mais uma vez, a necessidade de uma
adequada preparação do grupo de professores na sequência didática de
maneira a promover a ampliação conceitual desses dois conteúdos em
conjunto e em relação às práticas pedagógicas, considerando Tall e Vinner
(1981) e Shulman (1986).
4.3.8 Sobre a opinião do professor em relação aos esclarecimentos oferecidos pelos livros didáticos de modo que ele possa ensinar os problemas de contagem na Educação Básica
A fim de conhecer e identificar as concepções dos professores sobre o
papel que desempenha o livro didático nos processos de ensino e
aprendizagem dos problemas de contagem na Educação Básica propomos a
seguinte pergunta:
268
Os livros didáticos são esclarecedores em relação ao ensino e à
aprendizagem de conceitos envolvendo o raciocínio combinatório para
professores e alunos? ( ) Sim ( ) Não. Por quê?
Chamou nossa atenção o fato de que seis professores responderam
igualmente “não”, sem esclarecerem o porquê dessa negativa, bem como o
total de quatro respostas deixadas em branco. Ressalte-se que, por essa
razão, a análise que se segue só conta com as respostas de metade dos
professores do grupo.
De modo geral identificou-se pelas respostas dos professores que os
livros didáticos atendem, em parte, aos anseios dos professores.
Eu gosto muito dos livros de Ensino Fundamental principalmente dos autores: Luis Márcio Imenes e Luis Roberto Dante, em todos os volumes há situações de Raciocínio combinatório, inclusive nos de 1ª a 4ª séries (P23)
Os exercícios (a maioria) estão relacionados com o cotidiano, isso ajuda muito (P16)
Quando faço a leitura, eu acabo entendendo, mas como não uso constantemente acabo esquecendo (P3)
Alguns professores têm críticas ao livro didático, como se consta nas
respostas a seguir:
Nem sempre os livros didáticos são esclarecedores em relação ao ensino aprendizagem de conceitos envolvendo o raciocínio combinatório para professores e alunos porque não temos orientação técnica sobre o conteúdo, só a leitura do livro é pouco para compreender (P5)
São introduzidos os temas, mas sem dar uma continuidade (P18)
Depende, cada livro possui conceitos e definições diferenciados, assim as aplicações ocorrem de formas e alternativas diferentes para a aplicabilidade do conteúdo em sala de aula. Acho que os livros tem que ter mais exemplos da realidade dos alunos, assim facilita na compreensão (P22)
Falta situações de aprendizagem (cotidiano) (P15)
Além disso, dois professores fizeram comparações dos livros com os
cadernos, como se constata a seguir:
Os alunos recebem os livros didáticos, mas não os carregam para a Escola. As apostilas não são esclarecedoras o suficiente. Servem como uma diversificação do trabalho (P7)
Muitos livros têm exemplos fora da realidade. Já as apostilas têm exemplos melhores (P9)
269
As considerações que os professores apresentaram nas respostas
acima remetem à necessidade de os professores estarem constantemente
fazendo análises e reflexões (não somente em formações continuadas como
esta em atendimento à solicitação feita pelo proponente) acerca das escolhas
dos livros didáticos e suas orientações bem como às sugestões de atividades
presentes nos Cadernos do Professor e do Aluno - materiais de apoio
distribuído pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo em
complementação ao Currículo de São Paulo (2010) -, como uma maneira de
consolidar os conhecimentos curriculares dos professores da rede de ensino,
um dos conhecimentos ao qual se refere Shulman (1986) como indispensáveis
à prática docente.
4.3.9 Sobre o conhecimento pedagógico dos professores a respeito das dificuldades que ele tem para preparar aulas que envolvem o raciocínio combinatório na Educação Básica
Com o propósito de identificar concepções e conhecimentos dos
professores acerca das dificuldades que eles têm quando da preparação de
suas aulas relativamente ao conteúdo de problemas de contagem tomando por
referência as experiências que eles acumularam na prática, propusemos a
seguinte pergunta:
Que dificuldades você tem para preparar aulas que envolvam o raciocínio
combinatório na Educação Básica?
Dentre as dificuldades relatadas pelos professores, apresentamos as
respostas a seguir:
Criação de exemplos que possam ser assimilados pelos estudantes (P7)
Eu tenho dificuldades para diferenciar o que é um arranjo ou uma combinação (P11)
Para preparar as aulas não encontro dificuldades, procuro selecionar os exercícios e passo muitos para eles fazerem até assimilar bem. Sempre aparece exercícios muito difícil de resolver aí eu encontro dificuldade, primeiro eu tento resolver, depois eu passo em sala de aula (P19)
Normalmente eu não tenho dificuldade (mas esqueço os conceitos quando fico algum tempo sem praticá-los) (P21)
Das situações problemas para o abstrato (uso de fórmulas) (P23)
270
Minha dificuldade é mostrar a diferença entre uma situação e outra. Exemplo: uma situação de permutação ou de arranjo ou de princípio multiplicativo, ou de combinação (P9)
Normalmente eu não tenho dificuldade (mas esqueço dos conceitos quando fico algum tempo sem praticá-los) (P3)
As respostas evidenciam que parte dos professores do grupo ainda não
está preparada para desenvolver atividades com problemas de contagem na
Educação Básica, uma vez que eles relatam dificuldades conceituais
associadas com as noções básicas de combinatória e àquelas associadas com
os conhecimentos pedagógicos desses conteúdos, segundo pressupostos de
Shulman (1986).
Chamou nossa atenção as respostas fornecidas pelos professores P11 e
P21 uma vez que, embora o objetivo do tópico com essa pergunta - e de todo o
questionário - fosse o de identificar as dificuldades acerca dos conhecimentos
pedagógicos de conteúdo, as respostas que esses professores apresentaram
evidenciaram que, antes de tudo, eles têm dificuldades em relação aos
conceitos, ou a falta deles, ou seja, os professores têm dificuldades acerca do
conteúdo problemas de contagem e, desse modo, como esperado, se refletem
quando da preparação de suas aulas a respeito do tema. É claro que esses
conhecimentos estão articulados e, como tal, não se esperaria algo diferente.
Constatou-se que a maioria dos professores do grupo se utiliza para o
preparo de suas aulas, basicamente, de conteúdos e exercícios presentes nos
livros didáticos. Esses, por sua vez, e em sua maioria, privilegiam o ensino a
partir das definições e de problemas tipo como exemplos.
Talvez essa possa ser uma das razões do porque que o repertório de
estratégias e procedimentos de parte dos professores do grupo, para o ensino
dos problemas de contagem, seja tão fragilizado e limitado e faça com que
grande parte deles não se sinta seguro em ensinar problemas de contagem.
Também deve ser considerado que, por ora, o universo de professores
que atuam no Ensino Médio ensinando os conteúdos das noções básicas de
combinatória é o que comporia o grupo conforme as características citadas
acima, e não todos os professores do gruoo que atuam na Educação Básica.
271
Dando prosseguimento à análise das questões propostas no
questionário Q3, em seguida tratamos da pergunta relacionada com os
conhecimentos curriculares .
4.3.10 Sobre a importância que os professores conferem à introdução de conceitos que envolvem o raciocínio combinatório no Ensino Fundamental
A fim de identificar as concepções dos professores em relação ao ensino
das noções básicas relacionadas com o uso do raciocínio combinatório para
alunos do Ensino Fundamental, considerando os aspectos curricular,
pedagógico e de conteúdo como componente da experiência profissional
docente, segundo Shulman (1986), foi proposta a seguinte pergunta:
Você considera importante e indispensável introduzir conceitos básicos
envolvendo o raciocínio combinatório no Ensino Fundamental? Por quê?
Nosso propósito com esta pergunta foi o de conhecer a opinião,
concepções e crenças de cada professor em relação à implementação das
diretrizes que dão conta de ensino e da aprendizagem de conteúdos
relacionadas com as noções básicas de combinatória - problemas de contagem
- no Ensino Fundamental, conforme recomendações dos PCN (1997, 1998) e
do Currículo de São Paulo (2010), por exemplo.
Alguns dos professores defendem a introdução de problemas de
contagem no Ensino Fundamental para facilitar o trabalho do professor do
Ensino Médio, como se pode constatar pelas respostas dos professores P8 e
P13, a seguir:
Sim, porque quando o aluno entrar no Ensino Médio, já vai ter a noção de raciocínio combinatório (P8)
Sim, tudo ajuda o professor no Ensino Médio (P13)
Apesar da justificativa apresentada por esses dois professores ser
plausível eles não indicaram outras razões mais apropriadas para a introdução
deste tema no Ensino Fundamental. Convém ressaltar, porém, que essa
introdução não tem apenas um caráter propedêutico.
O estudo de noções básicas de combinatória no Ensino Fundamental
decorre da ampliação do conceito de multiplicação de números naturais
segundo diferentes abordagens: situações de multiplicação comparativa, ideia
272
de proporcionalidade, configuração retangular e ideia de combinatória (PCN,
1997, p. 109-111). No caso da importância da exploração dessas quatro
diferentes abordagens, assim se manifestam os autores dos PCN (1997):
Uma abordagem frequente no trabalho com a multiplicação é o estabelecimento de uma relação entre ela e a adição. [...] No entanto, essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreeendam e resolvam outras situações relacionadas à multiplicação, mas apenas aquelas que são essencialmente situações aditivas. [..] Assim, como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um trabalho conjunto de problemas que explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas conexões entre as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações com base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado (PCN, 1997, p. 108-109).
Também identificamos que alguns poucos professores ainda não
reúnem conhecimentos necessários para fundamentar a posição que eles têm
acerca do ensino dos problemas de contagem desde as séries/anos iniciais do
Ensino Fundamental, estendo-se até o Ensino Médio, como se pode identificar
pela resposta do professor P11, a seguir:
Sim, eu acho indispensável ensinar os conceitos básicos para aprender o raciocínio combinatório; porém não sei explicar como e o que explicar com o conceito básico (P11)
Assim, julgamos imprescindível fomentar reflexões e discussões com
esse grupo de professores quando do desenvolvimento da sequência didática
acerca da importância que os resultados de pesquisas, as orientações
prescritas nos PCN (1997, 1998, 1999), e os currículos apresentam de maneira
que o raciocínio combinatório possa ser desenvolvido pelos professores com
os alunos, desde as séries iniciais, no sentido de permitir a construção de
representações e a aplicação do Princípio Multiplicativo na resolução de
problemas de contagem, ampliando os conhecimentos curriculares segundo a
perspectiva de Shulman (1986).
Por outro lado, há professores que afirmam não considerar importante
ou não sabem como pode ser feito a introdução do raciocínio combinatório no
Ensino Fundamental, conforme as respostas apresentadas a seguir:
Creio que não é necessário introduzir o raciocínio combinatório no Ensino Fundamental (P9)
Acho bem difícil para o Ensino Fundamental (P10)
Não, necessariamente (P12)
273
Não, eles ainda não estão preparados, ainda tem muita dificuldade na interpretação de problemas (P18)
Sim, eu acho indispensável ensinar os conceitos básicos para aprender o raciocínio combinatório; porém não sei explicar como e o que explicar com o conceito básico (P11)
As respostas que se contrapõem à introdução dos problemas de
contagem no Ensino Fundamental indicam como motivo o fato de que muitos
professores não teriam conhecimentos suficientes para desenvolver essa
temática em suas aulas. Essas respostas, em número de três, também
destacam a falta de preparo dos alunos.
Considerando as justificativas que foram apresentadas pelo grupo de
professores à questão da importância da introdução de noções básicos de
resolução de problemas de contagem no Ensino Fundamental, feitas por cada
professor após reflexões individuais, estamos fortemente convencidos da
necessidade de promover atividades com o grupo de professores no sentido de
permitir que eles venham a refletir, discutir e se apropriar de conhecimentos de
conteúdo, pedagógicos de conteúdo e curriculares, na perspectiva de Shulman
(1986) e na necessidade de ampliação da imagem conceitual que eles têm
acerca das noções básicas de combinatória, na perspectiva de Tall e Vinner
(1981).
4.4 Breve síntese da análise das respostas aos ques tionários
Em relação aos conhecimentos de conteúdo do grupo de professores,
identificamos que os professores possuem lacunas em relação aos
conhecimentos acerca da existência de estratégias diversificadas para a
resolução de problemas de contagem e da mobilização destas.
Por conta disso, esses professores valorizam apenas o ensino e a
resolução de problemas de contagem realizados por meio do uso de alguma
fórmula, e consideram o uso de uma representação para obter a solução de um
problema de contagem como algo que para eles não tem muita credibilidade,
ou seja, como “algo menor”, frente à resolução de um problema via plicação de
fórmulas.
Portanto, na maioria das vezes, talvez alguns desses professores não
indiquem as representações como uma possibilidade para ensinar o conteúdo
274
problemas de contagem com seus alunos devido à essas lacunas que
pudemos identificar.
Por outro lado, consideramos que ensinar problemas de contagem na
Educação Básica iniciando pela resolução de problemas como o uso
prevalente na utilização de alguma fórmula não contribui para o
desenvolvimento do raciocínio combinatório pelos alunos e, por conta disso, faz
com que eles se afastem cada vez mais da possibilidade de virem a construir
alguma representação como uma alternativa viável para determinar a solução
de problemas de contagem que não seja, necessariamente, por meio do uso de
uma ou mais fórmulas.
Os PCN (1997, 1998, 1999) e o Currículo de São Paulo (2010) fazem
recomendações quanto ao desenvolvimento do raciocínio combinatório desde
as séries/anos iniciais do Ensino Fundamental de modo a favorecer a
construção de representações e aplicação dos Princípios Multiplicativo e
Aditivo.
Em relação aos conhecimentos pedagógicos de conteúdo relacionados
ao ensino dos problemas de contagem na Educação Básica, identificamos nas
respostas dos professores do grupo de que eles acreditam que para ensinar
esses conteúdos é preciso mobilizar, em sequência, as seguintes ações:
apresentar as definições dos conceitos (mesmo que não formalmente, ainda);
identificar os tipos de agrupamentos de objetos presentes no enunciado dos
problemas e, por fim, aplicar uma fórmula que dá conta de computar o total de
possibilidades, a qual vem a ser a solução do problema.
Consideramos, tomando por base os dados obtidos das respostas aos
questionários pelo grupo de sujeitos desta investigação que essa opção
metodológica sofre influência direta da maneira como o professor entende
devam ser desenvolvidos os processos de ensino e de aprendizagem, em
consequência das concepções que alguns deles têm quanto à valorização e à
influência que os aspectos de conteúdo representam para a consecução
desses processos, no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.
Tomando, por exemplo, conteúdos de álgebra ou de geometria que
valorizam o uso de uma fórmula em alguns livros didáticos da Educação
275
Básica, o entendimento que esses professores têm quanto ao ensino e à
aprendizagem dos problemas de contagem não seria diferente daquele que
essas áreas da Matemática se utilizam.
Portanto, consideramos que a prática dos professores do grupo - após
análise dos dados constantes dos três questionários iniciais, e antes de iniciar-
se a fase de intervenção - fica comprometida no que diz respeito ao
oferecimento de diferentes estratégias que possibilitem ao aluno a
compreensão e a apropriação dos conceitos subjacentes à resolução dos
problemas de contagem, corroborando com uma imagem conceitual (Tall &
Vinner, 1981) distante daquela requerida para um professor que deve promover
o ensino e a aprendizagem de problemas de contagem a seus alunos da
Educação Básica.
Particularmente, este comprometimento refere-se ao fato de que esses
professores não se sentem preparados para oferecer oportunidades a seus
alunos de maneira a favorecer a construção de uma estrutura cognitiva
abrangente que englobe as representações gráficas e as descrições acerca de
propriedades, estratégias e procedimentos relacionados com a apropriação
desses conceitos que, por sua vez, favoreceriam a compreensão das noções
concernentes aos conceitos básicos de combinatória necessários à resolução
dos problemas de contagem propostos aos alunos da Educação Básica.
A análise dos dados empreendida até aqui teve como objetivo conhecer
e avaliar os conhecimentos de conteúdo e pedagógicos de conteúdo que cada
professor reunia antes do início da sequência didática, no que se refere ao
ensino e à aprendizagem dos problemas de contagem, na perspectiva de
Shulman (1986).
Foi preciso identificar as concepções dos professores do grupo acerca
dos conhecimentos que eles conheciam para a introdução de noções de
combinatória no Ensino Fundamental - prescrito nos PCN (1997, 1998) e no
Currículo de São Paulo (2010) - bem como identificar, quantificar e conhecer o
domínio que eles tinham acerca desse conteúdo à época, inclusive no que se
refere à identificar as concepções e crenças quanto ao uso de fórmulas para a
resolução dos problemas de contagem, de maneira a corroborar com os
objetivos da sequência didática que deveria ser preparada consoante também
276
com as orientações curriculares e os resultados de pesquisas dos teóricos que
escolhemos para tal.
Concluímos, com base nos dados analisados até aqui, que grande parte
dos professores tinha conhecimentos de conteúdo e pedagógicos do conteúdo
de noções de combinatória distante daquilo que seria uma prática profissional
docente transformadora, de tal modo que esta possa promover o
desenvolvimento de diferentes aspectos relacionados à implementação de um
currículo.
A análise desses dados foi determinante para empreender reflexões que
culminaram com a concepção, seleção e elaboração das situações-problema
de contagem constantes da sequência didática desenvolvida na fase de
intervenção.
Neste Capítulo 4 fizemos a análise das respostas que os professores
apresentaram às questões propostas nos três primeiros questionários desta
investigação, componentes da fase de design.
O Capítulo 5, a seguir, apresenta a análise dos dados acerca do
desenvolvimento da fase de intervenção desta investigação e dos dados
colhidos com as respostas ao questionário Q4.
277
5. ANÁLISES DOS DADOS DA SEQUÊNCIA DE ENSINO
Neste capítulo vamos apresentar uma análise de nossa intervenção
junto ao grupo de professores. Para tanto, selecionamos as atividades
desenvolvidas que provocaram um nível maior de reflexões.
Inicialmente explicitamos como foi o processo de intervenção e
justificamos nossas escolhas, como a metodologia Design Experiments,
segundo a perspectiva de Cobb et al (2003), e a seleção e organização das
situações-problema.
Ao longo do texto fazemos referência à fundamentação teórica que
sustenta a análise dos dados dessa fase. Reiteramos que para essa análise
utilizamos a noção de imagem conceitual estabelecida por Tall e Vinner (1981)
e discutimos os aspectos intuitivo, algorítmico e formal do conhecimento
segundo Fischbein (1994). Além disso, nos baseamos na categorização dos
conhecimentos necessários ao ensino, defendida por Shulman (1986).
Em relação à formação de professores nos valemos das ideias que
Zeichner (1993, 2003) acerca da importância de uma formação que favoreça o
cultivo da atitude reflexiva individual e coletiva em relação à prática de ensino.
Ao final deste capítulo é apresentada uma análises sobre a terceira fase
da coleta de dados que foi dedicada à avaliação e às reflexões dos professores
sobre os conhecimentos pedagógicos e de conteúdos tratados na fase de
intervenção. Além disso, discutimos as reflexões dos professores sobre as
orientações curriculares a respeito do ensino dos problemas de contagem no
Ensino Fundamental.
5.1 Sobre os procedimentos metodológicos para a fase de intervenção
Os encontros de ensino, componentes da sequência didática na fase de
intervenção foram em número de sete, com duração aproximada de 4 horas
cada, e se estenderam de 12 de maio de 2011 a 18 de setembro de 2011, em
encontros quinzenais, ou mais espaçados conforme a disponibilidade dos
sujeitos da pesquisa.
278
Essa fase de intervenção consistiu na aplicação de uma sequência
didática aos professores, abordando o processo de ensino e de aprendizagem
de noções relativas aos problemas de contagem. Nesta fase foram adotados
princípios da metodologia Design Experiments, segundo a perspectiva de Cobb
et al (2003).
O propósito desta fase de intervenção foi o de investigar se um trabalho
que explore a utilização de representações e o desenvolvimento do raciocínio
combinatório por meio do princípio multiplicativo e do princípio aditivo, sem o
uso de fórmulas, pode favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos
professores sobre os conteúdos relacionados aos problemas de contagem bem
como a respeito do seu ensino, sobretudo no Ensino Fundamental, objeto que
é da questão principal desta pesquisa.
Assim, fazemos considerações sobre os vários elementos que
interagiram ao longo desta etapa, quais sejam: as distintas representações
utilizadas pelos professores; os registros que permitiram a interpretação e as
análises dos dados; os argumentos formulados pelos professores; as regras de
organização do grupo para o desenvolvimento das tarefas; os materiais
utilizados; as formas de mediação que promovemos – componentes da
ecologia da aprendizagem, segundo Cobb et al (2003).
A escolha dessa metodologia deriva do nosso interesse em desenvolver
uma investigação que fosse realizada em um ambiente similar àquele da sala
de aula (com a presença de professores da Educação Básica) - próprio para a
construção e desenvolvimento de conhecimentos de conteúdo e pedagógicos.
Segundo Cobb et al (2003), a metodologia de pesquisa de que trata o
Design Experiments é tal que atende à proposição de uma formação
continuada de professores, uma vez que é formativa e se caracteriza por um
progressivo refinamento da sequência didática elaborada inicialmente para a
fase da intervenção.
A sequência didática inicialmente elaborada foi sendo modificada
levando em conta as reflexões dos professores em cada encontro sobre as
estratégias apresentadas e discutidas para a resolução de problemas de
contagem. Seguimos, assim, orientações da metodologia Design Experiments.
279
Os dados dessa fase foram coletados por meio da gravação dos
encontros de ensino e por meio dos protocolos dos professores, bem como as
anotações do pesquisador.
Procuramos identificar e registrar as diferentes estratégias utilizadas
pelos professores para resolver problemas de contagem ao longo dos
encontros de ensino, sobretudo em relação:
� Às representações;
� À identificação das características de diferentes agrupamentos de
objetos e a maneira de proceder a contagem;
� À utilização de fórmulas;
� À identificação de diferenças e semelhanças entre diferentes
soluções para um mesmo problema;
Em linhas gerais, nosso propósito foi o de identificar e conhecer - à luz
dos registros verbais e por escrito dos professores - individual ou em grupo - os
conhecimentos e concepções de maneira a ser possível relacionar todos os
aspectos observados ao longo dos encontros de ensino e com os quais será
possível construir um conjunto de dados que reúnem as experiências
vivenciadas por esse particular grupo de professores e, com ele, realizar
análises acerca dos aspectos já destacados.
A avaliação feita encontro a encontro, com resultados parciais obtidos ao
término de cada um deles define - em conjunto com as pertinentes reflexões -
as reformulações que se fazem necessárias ao desenvolvimento do projeto -
no decorrer do experimento - até que sejam transpostos todos os obstáculos
encontrados pelos professores.
Além disso, também foram considerados os obstáculos que o
pesquisador considerou ainda não totalmente esclarecidos, bem como a
necessidade de que fossem trabalhados todos os pontos que se constituam em
entraves ou em concepções equivocadas dos professores em relação aos
conhecimentos do conteúdo explorado e os conhecimentos pedagógicos
necessários para ensiná-lo.
280
Finalmente, outra razão que julgamos oportuno ressaltar para explicar
nossa opção por essa metodologia diz respeito à fundamentação teórica que
amparou a realização desta investigação no que se refere à formação de
professores.
As seguintes ideias foram consideradas relevantes para a elaboração e
o desenvolvimento da sequência didática:
• A proposição de situações-problema de contagem variadas,
dentre elas as que mostrem que nem sempre o conhecimento da
(s) fórmula (s) é capaz de dar conta da solução, para o confronto
com algumas situações-problema propostas no questionário Q2
(que serão reaplicadas) em que tal situação ocorreu com alguns
dos professores.
• As definições, representações e significados de agrupamentos de
objetos que devem ser considerados segundo características
próprias desses objetos conforme a proposição de situações-
problema de contagem.
• O conhecimento e a aplicação dos Princípios Multiplicativo e
Aditivo em conjunto, explorando o raciocínio combinatório, para
ampliar a imagem conceitual a respeito da temática, segundo
pressupostos de Tall e Vinner (1981).
• A construção de soluções para problemas de contagem com a
utilização de uma ou mais representações de maneira que os
professores possam conhecer e poder mobilizar diferentes
estratégias úteis à resolução de problemas de contagem.
• A utilização frequente do raciocínio combinatório para encaminhar
a solução de um problema de contagem, em detrimento ao uso
sistemático de alguma fórmula, ao menos quando o conteúdo
estiver sendo desenvolvido para alunos do Ensino Fundamental,
de modo à atender o que é prescrito nos PCN (1997, 1998) e no
Currículo de São Paulo (2010).
281
• A aplicação do Princípio Multiplicativo em conjunto com as
características dos elementos presentes nos agrupamentos
caracterizados como Arranjos, Permutações e Combinações para
dar conta de deduzir a fórmula que permite determinar a
totalidade de possibilidades que satisfaz cada um desses
agrupamentos de maneira que possam ser desenvolvidos com os
alunos do Ensino Médio, conforme prescrito nos PCN (1999) e no
Currículo de São Paulo (2010).
• A mediação do pesquisador para o encaminhamento das
reflexões e discussões de todo o grupo frente à apresentação de
soluções às situações-problema propostas e também quanto à
motivação dos professores para dar início à apresentação de
encaminhamentos de soluções nos casos em que houve
impasses para a compreensão dos objetivos da proposição,
segundo pressupostos de Zeichner (1993, 2003, 2008).
Duas questões principais permearam nossas reflexões e as discussões
que foram encaminhadas junto ao grupo de professores: A primeira delas
refere-se aos conhecimentos de conteúdo que um aluno do Ensino
Fundamental precisa de fato conhecer e se apropriar relativamente às noções
básicas de combinatória (problemas de contagem) para estar preparado para
compreender e se apropriar de novas e também quando vir a sistematizar
esses e outros conhecimentos de conteúdo concernentes a essas noções
quando estas voltarem a ser desenvolvidas no Ensino Médio. Nesse segmento
esse conteúdo será desenvolvido de maneira a atender a objetivos diferentes
daqueles que são próprios do Ensino Fundamental, quais sejam: os relativos
aos conceitos de combinatória que precisam ser sistematizados; as fórmulas
que deverão ser deduzidas; a proposição de problemas de contagem que
servem de motivação e base aos conteúdos de probabilidade e estatística e a
proposição de problemas cuja resolução permite aprofundar sobre novos
conhecimentos que servem como exemplos de modelos para outros conteúdos
correlatos. Quanto à segunda questão, ela diz respeito aos conhecimentos
necessários a um professor para auxiliar seus alunos da Educação Básica a
compreender os conceitos concernentes aos problemas de contagem, tanto os
282
de conteúdo quanto os pedagógicos de conteúdo e os curriculares (Shulman,
1986) à luz do que é preconizado nas orientações constantes do Currículo de
São Paulo (2010) e nos PCN (1997, 1998, 1999).
5.2 Desenvolvimento da fase de intervenção
A fase de intervenção ocorreu ao longo de sete encontros (o primeiro
encontro foi destinado à aplicação dos questionários da primeira fase – fase de
design).
As reflexões, concepções e análises dos professores acerca da
formação (terceira fase) foram realizadas individualmente por cada professor
do grupo no período compreendido entre o penúltimo e o último dos encontros.
O tempo de duração de cada encontro foi de aproximadamente quatro
horas (das 13h30min horas às 17h30min horas, com intervalo para lanche).
No quadro a seguir apresentamos um resumo de como se
desenvolveram os encontros:
Quadro 2. Atividades e Objetivos desenvolvidos na sequência didática
Encontro Data
Atividades desenvolvidas
Objetivos
1º
12/5/11
Apresentação do pesquisador; Uma breve explanação sobre o andamento da pesquisa e sobre as etapas que acontecerão no Observatório; Aplicação dos três primeiros questionários.
Socialização e conhecimento dos sujeitos de pesquisa.
2º
26/5/11
Resolução de situações-problema de contagem utilizando-se da contagem direta dos elementos através do uso de uma representação, em especial a árvore de possibilidades; Apresentação e uso do Princípio Multiplicativo.
Mostrar como o uso de representações, tais como: árvore de possibilidades e tabela de dupla entrada são suficientes para a obtenção da solução à problemas de contagem via contagem direta das possibilidades, mormente nos casos em que o quantitativo de objetos presentes na situação não é tão grande pois, caso contrário, pode vir a inviabilizar a construção de uma dessas representações num intervalo
283
de tempo e trabalho reduzidos.
3º
16/6/11
Resolução de situações-problema de contagem utilizando-se da árvore de possibilidades, do raciocínio combinatório e do Princípio Multiplicativo.
Mostrar que problemas de contagem podem ser resolvidos com a ajuda da árvore de possibilidades e do Princípio Multiplicativo sem a necessidade do uso de alguma fórmula.
4º
04/8/11
Resolução de situações-problema de contagem em que o Princípio Aditivo está presente e se mostra necessário.
Identificar a necessidade do uso do Princípio Aditivo em conjunto com o Princípio Multiplicativo em situações-problema de contagem.
5º
18/8/11
Resolução de situações-problema que recorrem à ordenação de parte ou de todos os objetos em uma situação-problema de contagem (Arranjos simples) e de Arranjos com repetição.
Retomada dos objetivos do encontro anterior através de outras situações-problema cuja resolução envolve o raciocínio combinatório, o Princípio Aditivo, o Princípio Multiplicativo e o trabalho com diferentes representações, de modo a permitir a institucionalização dos Princípios.
6º
25/8/11
Resolução de situações-problema para retomar o conceito de permutações simples; Resolução de situações-problema para retomar o conceito de permutações com objetos repetidos
Caracterizar (sistematizar) os conceitos relativos a uma permutação simples e aqueles em relação com uma permutação em que nem todos os objetos são distintos, bem como encontrar a maneira de efetuar a contagem de todos os agrupamentos envolvidos em uma situação-problema relacionada.
7º
04/9/11
Resolução de situações-problema para retomar o conceito de combinações simples;
Caracterizar (sistematizar) os conceitos relativos a uma combinação simples, bem como encontrar a maneira de efetuar a contagem de todos os agrupamentos envolvidos em uma situação-problema relacionada.
8º
Resolução de duas situações-problema que foram objeto de provas de Concursos para a Prefeitura da Cidade de São Paulo; Resolução de duas
Caracterizar (sistematizar) as permutações circulares e resolver situações pendentes de encontros anteriores.
284
18/9/11 situações-problema com o objetivo de sistematizar (caracterizar) as permutações circulares; Resolução de outras situações-problema de contagem.
Participou da fase de intervenção um total de 23 professores (houve
presença variável); pelo menos dois professores/pesquisadores do
Observatório da Educação da CAPES/UNIBAN (dispostos na sala em carteira
individual ou em grupos próprios formados somente por estes), tendo estes
últimos o papel de acompanhar os trabalhos realizados em cada encontro, por
meio da observação do grupo e/ou do registro de dados considerados
relevantes; o Orientador desta pesquisa (presente em alguns encontros) e
colegas do Curso de Pós Graduação em Educação Matemática da UNIBAN
(presentes em alguns encontros).
O material utilizado para o desenvolvimento das atividades e resolução
das situações-problema de contagem, em cada encontro de ensino, foram
fichas de atividades com espaço para anotações e, em alguns encontros, o uso
de material concreto.
Todos os textos do material impresso entregue aos professores,
encontro a encontro, encontram-se nos Apêndices deste trabalho, bem como a
reprodução, na íntegra, de algumas das soluções de problemas e das reflexões
e discussões encaminhadas pelo grupo, quando foram possíveis de serem
capturadas em vídeo e/ou som e reproduzidas.
O conjunto de dados em que nos apoiamos para a análise dos dados da
fase de intervenção inclui as produções dos professores participantes, as
filmagens dos encontros (alguns) e os apontamentos que fizemos a partir das
observações in loco durante os encontros.
Considerando a organização dos professores nos grupos menores, as
discussões entre os participantes em cada grupo permitiram, igualmente,
identificar as dificuldades experimentadas pelos professores e a liberdade que
eles tiveram de discutir com professores de outros grupos na busca de
soluções para essas dificuldades.
285
Cabe destacar que, embora as discussões tenham sido realizadas no
interior de cada grupo na maioria dos encontros, - variando conforme a
situação-problema que estava sendo discutida - foi solicitada a cada professor
que elaborasse seu relatório (mas nem todos o fizeram e entregaram e, por
conta disso, não pudemos contar com esses dados para ajudar na análise e
nas reflexões que era feitas encontro a encontro).
Essa estratégia - no caso em que a maioria dos professores tivesse
entregado o relatório individual (em apenas dois encontros, houve o caso em
que um ou outro professor entregou o seu relatório) - possibilitaria que, mesmo
após o debate de ideias entre os elementos dos grupos, cada professor teria a
liberdade de refletir e expressar suas impressões e desse modo o pesquisador
reuniria um número maior de dados pessoais e coletivos.
Com certeza esses dados enriqueceriam a análise em relação a algum
detalhe individual que poderia vir a passar despercebido caso os relatos
tivessem sido elaborados em grupos ou somente com anotações que o
pesquisador pode fazer.
Além do mais, esses registros amiúde favoreceriam a percepção de
pontos que precisariam ser colocados em pauta para a reflexão do grupo
inteiro. Foi uma pena que não tivéssemos tido a oportunidade de obtê-los.
Dessa forma a análise dos dados, que será apresentada em seguida,
decorre essencialmente de observações qualitativas que levaram em conta a
forma como interagiram ou funcionaram os elementos presentes na sequência
didática, pertinentes à ecologia de aprendizagem de nosso estudo, bem como
à luz dos aportes teóricos que fundamentaram esta pesquisa.
Por conta disso, as ações que envolveram o grupo de professores
durante o desenvolvimento da sequência didática contaram com os seguintes
objetivos:
• Refletir sobre noções consideradas fundamentais para a
compreensão dos conceitos de combinatória que são necessários
para a obtenção da solução de um problema de contagem.
286
• Refletir sobre o ensino dos caminhos para a busca da solução (ou
soluções), preferencialmente sem o uso de fórmulas, utilizando do
raciocínio combinatório.
• Refletir sobre as maneiras para instrumentalizar ações com vistas à
percepção e ao entendimento sobre qual (quais) conceito (s) está
(ão) envolvido (s) em cada problema de contagem.
• Refletir sobre a importância da utilização de diferentes
representações que possam dar conta da obtenção da solução (ou
soluções) de um problema de contagem e sugerir seu uso para os
alunos.
• Refletir sobre os conhecimentos de conteúdo e pedagógicos bem
como o domínio de procedimentos associados ao ensino e à
resolução de problemas de contagem.
• Procurar identificar e compreender as dificuldades que um aluno do
Ensino Fundamental enfrenta ao iniciar o estudo desse conteúdo,
mormente em relação à compreensão do que lê no enunciado de
uma situação-problema de contagem.
• Procurar identificar e compreender os encaminhamentos que um
aluno da Educação Básica toma quando está diante dos mesmos
desafios (inicialmente tomando alunos do Ensino Fundamental como
possíveis alunos que enfrentariam aquela situação).
• Discutir sobre possíveis estratégias que um professor poderia utilizar
para auxiliar os alunos a superar essas dificuldades, utilizando o
raciocínio combinatório e as representações, como fundamentos
básicos necessários.
Foram oferecidas diferentes oportunidades para que os professores
pudessem construir os conhecimentos acima indicados durante o
desenvolvimento da proposta da sequência didática, considerando a variedade
e o número de situações-problema que foram propostas serem resolvidas e
discutidas e apresentadas nos Apêndices.
287
O conjunto das situações-problema que foi objeto deste estudo,
considerando as apropriadas e devidas alterações relacionadas com os
objetivos a que se propõe, bem como o ordenamento na proposição e na
apresentação, o grau de dificuldade de cada uma em relação à profundidade e
a adequação requerida, poderá vir a ser utilizado com os alunos nas
séries/anos correspondentes ao desenvolvimento dos conteúdos do Ensino
Fundamental.
Desde o início deste estudo tínhamos a preocupação de identificar e
conhecer como o professor reflete, apresenta, desenvolve e se utiliza de
abordagens e estratégias quando se debruça para o enfrentamento da
resolução, a maneira como encaminha a busca da solução e também sobre o
ensino de problemas de contagem na Educação Básica.
Para tal, apoiamo-nos em Fischbein (1994) de maneira a procurar
identificar elementos característicos dos aspectos: intuitivo, algoritmo e formal,
presentes nas resoluções de problemas de contagem de tal sorte que
possamos compreender como as abordagens e estratégias ocorrem.
Os aspectos algoritmo e formal são identificados de maneira mais direta
durante a resolução de problemas de contagem: no caso algoritmo quanto ao
uso de uma fórmula, de uma representação, de esquemas e o formal (não
exatamente como o termo está diretamente associado com os conceitos
matemáticos, como os conhecimentos relativos às definições, axiomas,
teoremas e provas de resultados), mas de maneira informal à identificação do
tipo de agrupamento de objetos presente no problema a ser resolvido.
Quanto ao aspecto intuitivo, cabem aqui algumas considerações.
Segundo Fischbein (1994), o componente intuitivo está referido à compreensão
que uma pessoa faz a respeito de algum conhecimento ou ideia que ela
considera autoevidente.
Em relação a este componente, parece-nos não ser uma tarefa simples
identificar quando este componente intuitivo está presente na resolução de um
problema de contagem, a menos que o professor - durante a fase que
antecede a resolução - esclareça as razões de tomar esta e não outra direção
288
no encaminhamento e desenvolvimento e o que está por detrás da decisão
tomada a respeito.
Consideramos importante explicitar que a opção por apresentar parte
dos relatos na forma de quadros decorre do fato de que estamos supondo que
essa opção de apresentação permita ao leitor compreender como se deram as
reflexões e discussões encaminhadas durante o desenvolvimento da sequência
didática e, com isso, que torne possíveis percepções mais objetivas e
transparentes acerca das ações que se encadearam durante a fase de
intervenção da sequência didática.
Ou seja, procuramos explicitar, nesses quadros, como o pesquisador se
houve na mediação das reflexões e discussões com os professores na busca
das soluções aos problemas de contagem propostos, bem como a maneira
como foram levantadas as questões e dúvidas; como foram conduzidos os
questionamentos, bem como sobre a participação de parte do grupo nas
discussões sobre alguns pontos que o pesquisador considerava oportuno
serem aprofundados, alguns decorrentes de questionamentos que algum
professor tenha apresentado para reflexões.
5.3 Análise dos dados da sequência didática - fase de intervenção
A apresentação dos resultados da fase de intervenção será feita
segundo as quatro categorias especificadas a seguir. Entretanto, cabe aqui
destacar que elas se intersectam, seja pela estreita relação entre os temas seja
porque nela está contido um viés de nossa particular interpretação (como não
poderia deixar de ser) que estabelece a passagem entre uma categoria e outra.
Trata-se da organização que escolhemos e achamos por bem utilizá-la
para dar conhecimento ao leitor acerca das conclusões a que chegamos dessa
investigação.
O que será exposto a seguir deve ser interpretado como resultado de
constantes retomadas de ideias por parte dos professores, resultantes da
reorganização de concepções ao longo do experimento.
As categorias que elegemos para a análise dos dados são as que
seguem. Cabem reiterar que a expressão “conhecimento do professor” utilizada
289
nessas categorias significa conhecimentos do conteúdo, conhecimentos
pedagógicos do conteúdo e conhecimentos curriculares do conteúdo, na
perspectiva de Shulman (1986).
� Representações: conhecimento do professor sobre o uso de
representações como a árvore de possibilidades e tabelas de dupla
entrada para resolver problemas de contagem de modo a efetuar a
contagem direta e, depois, com o uso do princípio multiplicativo para
sistematizar as soluções obtidas.
� Princípio Multiplicativo: conhecimento do professor sobre aplicações do
princípio multiplicativo para obter soluções de problemas de contagem.
� Princípio Multiplicativo e Princípio Aditivo: conhecimento do professor a
respeito do uso em conjunto dos princípios multiplicativo e aditivo para
obter soluções de problemas de contagem;
� Fórmulas: conhecimento do professor sobre Arranjos, Permutações e
Combinações, discutindo a necessidade de uso ou não de fórmulas.
Convém ressaltar que são examinados aspectos referentes aos
conhecimentos específicos e pedagógicos relacionados aos conteúdos de cada
uma dessas categorias, nas considerações que se seguem.
5.3.1 Uso de representações como a árvore de possibilidades e tabelas de dupla entrada
A fim de discutir questões relativas ao uso de representações, como a
árvore de possibilidades e tabelas de dupla entrada, para obter a solução para
problemas de contagem a partir da contagem direta dos agrupamentos de
objetos que são construídos foi inicialmente proposta a situação-problema
constante do quadro seguinte.
Esclarecemos o leitor que a indicação P1, no interior dos quadros refere-
se ao professor indicado por P1 conforme o quadro constante do capítulo 1.
Quando se tratar de uma citação de um professor que foi transcrita para o
texto, a indicação será feita ao final, entre parênteses e em itálico.
Com a finalidade de discutir outras questões relativas à construção de
árvores de possibilidades, tabelas de dupla entrada e complementar com
290
outras considerações pertinentes presentes em outros tipos de situações-
problema de contagem propusemos diversos problemas de contagem, os quais
se encontram no Apêndice E.
Dentre as diversas situações-problema que foram propostas aos
professores para resolução e reflexões, destacamos a situação a seguir pelo
fato de que seu enunciado é de fácil entendimento, tem um pequeno número
de objetos envolvidos e permite fazer considerações sobre a pertinência para
obter a solução de problemas de contagem.
Situação-problema 1: João possui três camisas nas cores: azul, verde e branco e duas calças, nas cores cinza e preto. De quantos modos diferentes João poderá se vestir?
O quadro a seguir apresenta o modo como foram feitas as reflexões e as
discussões pelos professores e a mediação encaminhada pelo pesquisador de
maneira que os professores compreendessem a construção de uma árvore de
possibilidades e de uma tabela de dupla entrada e como cada uma dessas
representações poderá determinar a solução para o problema de contagem.
Quadro 3. Árvore de possibilidades e Tabela de dupla entrada. Fase de intervenção
Ações do
pesquisador Falas/registros/ações dos professores
participantes de nossa pesquisa
Observações do
pesquisador
“Alguém poderia vir à lousa apresentar a sua solução?”.
P1: “Eu fiz assim”:
João tem 3 camisas
branca
verde
azul
e
2 calças
preta
cinza
.
Logo, pelo Princípio Multiplicativo, há 3x2 = 6 formas.
Também poderia ter feito assim:
CmACc CmVCc CmBCc
CmACp CmVCp CmBCp.
P2: Inicialmente “falou que iria utilizar o Princípio Multiplicativo e que grande parte dos problemas de combinatória ela resolve do seguinte modo (aprendido
Consideração:
Iniciamos pela proposição de uma situação-problema bastante familiar aos professores (e às pessoas, de modo geral), que é suficiente para levantar a possibilidade de uso de diferentes estratégias de resolução por meio do uso
291
“Professor P4, que símbolo é esse (apontando) e o que ele representa?”.
“Professor P4, porque calcular A3,1 e A2,1 para confirmar o que já era sabido: que há 3 camisas e 2 calças?”
“Professor P4, os arranjos aí serviram para quê?”.
com um Professor da USP)”:
Acontecimento Ocorrência
Escolha da calça 2
Escolha da camisa 3
PM: 2 x 3 = 6.
P3: “Eu fiz utilizando a Árvore de possibilidades a seguir”:
cinza (Ca,C)C Azul
preta (Ca,P)cinza .
C verde .preta .cinza .
C branca .preta .
3x2=6 P1: “Eu vou complementar a minha solução escrevendo a árvore de possibilidades em seguida”:
Camisa azulCalça Camisa verdecinza Camisa branca
Camisa azulCalça Camisa verdepreta Camisa branca2x3=6
P4: “Eu fiz assim”:
João
3
1
camisas;
Camisas: A3,1= = e
calças A2,1= = Logo, 3x2=6.
P4: “É o símbolo de arranjos de 3 um a um e o de arranjos de 2 um a um”.
P4: “Foi para indicar que tenho 3 camisas e vou escolher uma”.
P4: ”Multiplicar o número de camisas
de um esquema, de uma árvore de possibilidades, de uma tabela de dupla entrada, do produto cartesiano, da enumeração das possibilidades (agrupamentos de objetos) ou pela aplicação do princípio multiplicativo. Também tínhamos como objetivo identificar se os professores constatavam a relação “um para muitos”, presente nas combinações “camisa-calça”.
Os professores apresentaram diferentes estratégias para determinar a solução, começando pela solução apresentada pelo professor P1 por meio da contagem direta das soluções oriundas de uma árvore de possibilidades. Se essa mesma situação fosse
292
“Vou multiplicar”, é isso mesmo que você disse professor P4?”
“Pergunto para você, professor P4: o aluno sabe quando é necessário multiplicar ou não?”.
“Professor P4, pergunte se mais alguém tem uma diferente representação para a situação-problema posta”.
“Alguém tem alguma dúvida ou deseja falar mais alguma coisa a respeito das soluções que foram apresentadas?”
“Nenhum de vocês fez uso de uma tabela de dupla entrada, por quê?”
“Esse tipo de situação se presta bem ao uso de uma tabela de dupla entrada, pois nesse caso temos dois tipos de objetos: camisas e calças os quais devemos fazer uma “combinação” entre essas peças: camisas com calças ou calças com camisas, formando o conjunto calça camisa, como o professor P3 indicou aqui (apontando)”.
“Agora, se me permite sugerir, professor P3, não é conveniente escrever
pelo número de calças”.
P4: ”Sim”. P4: “Pressupõe-se que ele já saiba o Princípio Multiplicativo”.
proposta a crianças, desde os primeiros anos do Ensino Fundamental algumas delas poderiam, talvez, se utilizar, de modo intuitivo, da construção de um esquema na forma de desenhos ou de uma árvore de possibilidades, combinando os pares de peças. Segundo Fischbein (1994), a apresentação de uma solução, de início (antes que conceitos sejam sistematizados), se configura como uma solução intuitiva, ou seja, ela diz respeito a uma compreensão que o aluno considera autoevidente.
293
na forma de parênteses, pois isso pode confundir o aluno, associando a ideia de que se trata de um par ordenado e isso pode gerar confusões uma vez que o uso de um par ordenado implica na ordenação de objetos. No caso de pares ordenados, escrever (Ca, C) é diferente de (C, Ca). O melhor seria escrever na forma de conjuntos. Como falei antes, conjunto camisa-calça, assim: {Ca, C}”.
Cabe salientar que os dados colhidos durante a resolução da situação-
problema acima estão presentes no quadro acima, mas as análises
encaminhadas a seguir dizem respeito também às aos diversos problemas de
contagem que foram propostos aos professores com os mesmos objetivos
deste problema.
Na solução apresentada pelo professor P1, com a contagem direta das
possibilidades a partir da árvore de possibilidades o pesquisador identificou
nessa solução que o professor resolveu o problema de maneira intuitiva e,
após, certificou-se com o referido professor a respeito.
Segundo o relato de alguns professores tal fato é comum de ocorrer em
salas de aula com alunos desde os anos iniciais do Ensino Fundamental,
quando situações similares esta são propostas.
Portanto, ela serve muito bem aos nossos propósitos de análise nesta
sequência, tanto quanto o seria para o caso de uma sala de aula na Educação
Básica.
Interpretando essa solução sob o olhar de Fischbein (1994), no que
dizem respeito ao aspecto intuitivo da atividade matemática, situações como a
mencionada acima favorecem a apropriação de habilidades que permitem ao
294
professor o enfrentamento dos problemas de contagem e o encaminhamento
de estratégias que eles devem mobilizar para encaminhar a busca da solução
para problemas de contagem.
O uso de esquemas, árvore de possibilidades, tabela de dupla entrada,
produto cartesiano, enumeração de possibilidades (ditas representações
gráficas) para a contagem direta de todas as possibilidades que atendem á
solução de um problema de contagem deve prevalecer no Ensino
Fundamental, mormente quando forem disponibilizados pequenos quantitativos
de objetos.
Compartilhamos como legítima a presença da ideia intuitiva durante a
resolução de problemas de contagem, convicção essa que compartilhamos
com os autores dos PCN (1999), quando assim se manifestam a respeito:
É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas (PCN, 1999, p. 82).
Entendemos que no Ensino Fundamental o ensino deve começar pela
exaustiva exploração do uso de uma árvore de possibilidades e das demais
representações para a resolução de problemas de contagem ao menos nos
primeiros problemas propostos. Essa concepção é compartilhada com as dos
autores do Currículo de São Paulo (2010), como a seguir:
Habilidades ao final da 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental: saber utilizar diagramas de árvore para resolver problemas simples de contagem (SÃO PAULO, 2010, p. 58).
Essa prática deve ser a tônica do ensino e a aprendizagem dos
problemas de contagem no Ensino Fundamental - conforme prescrevem os
PCN (1997, 1998) e o Currículo de São Paulo (2010) - em detrimento à
formalização precoce dos conceitos e o uso de fórmulas, por entendermos que
esta opção metodológica deve ser feita no Ensino Médio.
A exploração de diferentes representações e o encaminhamento de
soluções para um mesmo problema de contagem por meio de diferentes
estratégias tem o propósito de identificar diferenças e semelhanças quanto ao
uso de procedimentos ou de ferramentas combinatórias desde os primeiros
295
problemas de contagem, favorecendo a ampliação da imagem conceitual dos
professores, segundo pressupostos de Tall e Vinner (1981).
Explorando as representações para resolver problemas de contagem o
professor visa preparar o aluno para que ele se aproprie dos conceitos
relacionados com o princípio multiplicativo em uma etapa a seguir.
Além do mais, favorece a compreensão e a aplicação deste princípio a
exemplo de quando o aluno está construindo uma árvore de possibilidades, por
exemplo, e associa as ações da fase de construção aos fatores presentes na
operação multiplicativa correspondente.
Alguns dos professores também apresentaram suas soluções como
resultantes da aplicação do princípio multiplicativo. Com a mediação do
pesquisador, todos os professores compararam os valores dos fatores
presentes na notação multiplicativa originada da aplicação do princípio
multiplicativo com os totais parciais das ações segundo as tomadas de decisão
para cada ramificação da árvore (ou nas combinações de elementos nas
tabelas de dupla entrada).
Ao final das comparações parciais, identificaram, assim, que a totalidade
das possibilidades presentes na notação multiplicativa equivale à contagem
direta do somatório das possibilidades dos agrupamentos que foram formados
nos “galhos terminais” da árvore de possibilidades (ou na tabela de dupla
entrada final), sistematizando, portanto, a totalidade das soluções obtidas em
comparação com as estratégias que foram utilizadas.
Assim, considerando que os professores confrontaram diversos
procedimentos utilizados nas diferentes soluções por meio de diferentes
estratégias a partir daí, no momento que julgasse conveniente, eles poderiam
utilizar a estratégia que julgassem mais conveniente para obter a solução de
um problema de contagem levando em conta a apropriação dos conhecimentos
associados à aplicação do princípio multiplicativo e aqueles usados para a
construção de uma representação.
Essa opção metodológica para o ensino dos problemas de contagem,
tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio, permite ao aluno decidir
quando ele irá considerar oportuno deixar de lado o uso de uma representação
296
e passar a utilizar a operação aritmética multiplicativa, em decorrência da
aplicação do Princípio Multiplicativo.
Durante a construção da árvore de possibilidades o professor deve
mostrar ao aluno que os diferentes agrupamentos de objetos que estão sendo
obtidos nos “galhos terminais da árvore” representam as diferentes soluções
para o problema de contagem.
Assim, durante a contagem direta dessas possibilidades, presentes nos
galhos terminais da árvore, o professor compreenderá que está aplicando os
conceitos relacionados ao Princípio Aditivo uma vez que os agrupamentos
listados são distintos entre si, uma vez que essa é uma característica
determinante para a aplicação deste princípio.
Assim, a construção da árvore de possibilidades, além de apresentar
uma conveniente alternativa para obter a solução para um problema de
contagem, também dá oportunidade ao professor para que identifique a
aplicação do princípio aditivo e se certifique da importância de sua aplicação
nessas situações.
Apesar de considerarmos que o aluno deva construir e reconstruir
árvores de possibilidades quantas vezes julgar necessário fazer, pois desse
modo estará exercitando o raciocínio combinatório, ele precisa da ajuda e
mediação do professor para identificar que os passos dados na construção da
árvore estão relacionados com os fatores presentes na notação multiplicativa
quando faz uso do Princípio Multiplicativo.
Por conta disso, entendemos que o caminho que deve ser oferecido ao
aluno do ensino fundamental deva ser diferente daquele aluno do ensino
médio, uma vez que ele não tem enraizado em seu cotidiano escolar o uso de
uma fórmula, uma vez que os livros didáticos ou os cadernos do aluno do
Ensino Fundamental não apresentam fórmulas para a resolução dos problemas
de contagem.
Por outro lado, esses alunos do Ensino Fundamental também não
devem precisar de fórmulas para resolver os problemas de contagem que
forem propostos nessa fase inicial de ensino e de aprendizagem das noções
básicas de combinatória.
297
Ao final do Ensino Fundamental, se o entendimento e a aplicação do
princípio multiplicativo e do princípio aditivo fizerem parte dos conhecimentos
de conteúdo do aluno quanto à resolução de problemas de contagem, estar-se-
á dando um passo muito importante para o ensino e a aprendizagem da
combinatória no Ensino Médio.
O professor, quando for o caso, se considerar que deva fazer uso de
fórmulas para a resolução de problemas de contagem deve compreender que o
momento adequado para a dedução delas é quando estiver lecionando no
Ensino Médio.
Compartilhamos com as ideias dos autores dos PCN (1999) de que:
As finalidades do ensino de Matemática no nível médio indicam como objetivos levar o aluno a: compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; (PCN, 1999, p. 84).
Portanto, encaminhamos com os professores sugestões de
procedimentos para a exploração de algumas representações e, também, foi
solicitado a eles que apresentassem a solução a um mesmo problema de
contagem de maneiras diferentes, permitindo que eles compreendessem que é
conveniente explorar ao máximo as diversas estratégias para o ensino e a
aprendizagem das noções básicas de combinatória.
Com esses propósitos, oferecemos aos professores a oportunidade de
que eles possam aumentar o campo conceitual com a oferta de um
diversificado leque de situações-problema e a da utilização de diferentes
representações para a solução dos problemas, as quais permitirão que eles
façam reflexões a respeito das possibilidades que as representações oferecem
para obter a solução a um problema de contagem.
Os PCN consideram que isso seja possível de ser feito e, portanto,
compartilhamos dessa ideia como presente no trecho a seguir:
As finalidades do ensino de Matemática indicam como objetivos levar o aluno a: reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações (PCN, 1999, p. 85).
Consideramos que os professores precisam se apropriar dos
conhecimentos pedagógicos para o ensino dos problemas de contagem em
298
relação ao Ensino Fundamental - conforme prescrevem os PCN (1997, 1998) e
o Currículo de São Paulo (2010) - uma vez que a abordagem e os
procedimentos utilizados para ensinar esses conteúdos nesse segmento
devem se diferenciar em relação àqueles utilizados no ensino de combinatória
(problemas de contagem) no Ensino Médio. Neste segmento, os conceitos
serão retomados e formalizados ao explorar estratégias e procedimentos em
estreita relação com os rótulos dos agrupamentos dos objetos e a dedução de
fórmulas.
Sobre essas questões, compartilhamos com as ideias dos autores dos
PCN (1999), segundo os quais:
A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se junta a ideia de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se aproximado de vários campos do conhecimento matemático e agora estão em condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em todas as suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo, investigação, análise e compreensão de fatos matemáticos e de interpretação da própria realidade (PCN, 1999, p. 83).
5.3.2 Aplicações do Princípio Multiplicativo
O propósito foi o de discutir questões relativas à aplicação do princípio
multiplicativo favorecendo os professores quanto à apropriação desses
conhecimentos, procedimentos e estratégias em estreita relação com a
construção de alguma representação.
Além disso, tínhamos também como objetivo o de ampliar a imagem
conceitual dos professores quanto à utilização do princípio multiplicativo tal
qual quando ele constrói uma árvore de possibilidades ou de uma tabela de
dupla entrada e, mais ainda, de permitir que o professor identificasse a
importância da busca da solução a um problema de contagem exercitando o
raciocínio combinatório para encaminhar a resolução do problema.
Dentre diversas situações-problema que foram propostas para resolução
e reflexões, destacamos a situação a seguir:
Situação-problema 1: Situação-problema 1: Para pintar a bandeira abaixo, há 4 cores disponíveis: preto, azul, verde e vermelho.
299
a) De quantos modos ela pode ser pintada de modo que faixas adjacentes
tenham cores distintas e todas as faixas devem ser pintadas?
b) Faça uma representação mostrando todas as possibilidades de pintura
desta bandeira atendendo às condições impostas.
c) Como você faria para desenvolver a resolução dessa situação com seus
alunos?
d) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado
trabalhar propor essa questão aos alunos? Por quê?
O quadro a seguir apresenta o modo como foram feitas encaminhadas
as reflexões e as discussões pelos professores sobre a aplicação do princípio
multiplicativo em conjunto com alguma representação quando da resolução e
das análises que se seguiram em relação às soluções que foram apresentadas
no quadro branco, bem como sobre como o pesquisador mediou reflexões e
discussões junto com os professores.
Quadro 4. O princípio multiplicativo. Fase de intervenção
Ações do
Pesquisador
Falas/registros/ações dos professores participantes de nossa
pesquisa
Observações do pesquisador
“Alguém pode ir à lousa
apresentar uma
solução?”
“Pessoal do grupo do
professor P1: vocês
perceberam que não
consideraram a
possibilidade de que a
terceira faixa pudesse
P11: “Nós fizemos assim:
P.M. = 4.3.3 = 12.3 = 36 modos
diferentes”.
P11:
Finalidade:
Mostrar que a
árvore de
possibilidades é
uma forte aliada
na resolução de
problemas de
contagem onde
o quantitativo de
objetos é
300
ter a mesma cor da
faixa 1?”
“Vocês estão vendo
esta árvore de
possibilidades que foi
apresentada pelos
colegas do grupo do
professor P11
(apontando)?”
“Os nove agrupamentos
que têm a primeira faixa
na cor preta, diferem
dos outros nove que
têm a primeira faixa na
cor azul, que diferem
dos outros nove que
têm a primeira faixa na
cor verde que, por sua
vez, diferem dos outros
nove que têm a
primeira faixa na cor
amarela. Portanto, são
quatro conjuntos
disjuntos (não têm
elementos comuns) e,
assim, o princípio
aditivo foi aplicado da
forma 9+9+9+9 = 36
possibilidades”.
“Muitas vezes vocês
aplicam o Princípio
Aditivo e nem se dão
VD
AZ PR PR - PRETO
AZ - AZUL
VM VD - VERDE
VM - VERMELHO
AZ
VD
PR 9 modos
PR
VM
9+9+9+9 = 36 modos diferentes.
AZ princípio aditivo
VM PR
VD
AZ 9 modos
idem
VD 9 modos
idem
VM 9 modos
idem
P9: “Com cada cor é possível fazer 9
combinações. Sendo 4 cores, dá um
total de 36 modos diferentes”.
P1: O nosso grupo fez assim:
1ª FAIXA 2ª FAIXA 3ª FAIXA
4 3 2
4x3x2=24 possibilidades.
PRETO (P) VERDE (K)
AZUL (A) VERMELHO (V)
pequeno.
Também teve o
objetivo de
desenvolver o
raciocínio
combinatório e
a aplicação dos
princípios
multiplicativo e
aditivo.
Observação:
O erro que o
grupo do
professor P1
cometeu serviu
para alertar a
todos os
professores que
as ações,
oriundas da
aplicação do
princípio
multiplicativo
devem ser feitas
levando em
conta que, a
cada ação, as
ações seguintes
devem
considerar cada
301
conta de que o estão
utilizando”.
“Essa solução
apresentado pelo grupo
do professor P11
mostrou que eles
dividiram o problema
em 4 partes, conforme
a cor escolhida para
pintar a primeira faixa e,
a partir da decisão de
pintura dessa faixa
encontraram as
possibilidades de pintar
as demais obedecendo
às restrições impostas
pelo enunciado.
Perceberam?”.
c) Como você faria para
desenvolver a
resolução dessa
situação com seus
alunos?
Os cinco que acertaram
responderam que
usariam a árvore de
possibilidades, como foi
feito na lousa; o
princípio aditivo, e o
princípio multiplicativo.
“O professor P13, que
havia errado o item (a)
K (P,A,K)
A V (P,A,V)
A (P,K,A) 6
P K V (P,K,V)
A (P,V,A)
V K (P,V,K)
K (A,P,K)
P V (A,P,V)
P (A,K,P) 6
A K V (A,K,V)
P (A,V,P)
V K (A,V,K)
A (K,P,A)
P V (K,P,V)
P (K,A,P) 6
K A V (K,A,V)
P (K,V,P)
V A (K,V,A)
A (V,P,A)
P K (V,P,K)
P (V,A,P) 6
V A K (V,A,K)
P (V,K,P)
K A (V,K,A)
Todos do grupo: “ok”.
P4: “Através da árvore é a melhor
forma de desenvolver a resolução
com os alunos”.
P13: “Mostrando primeiramente pela
árvore de possibilidades 8ª série (9º
ano), para que eles já comecem a se
uma das
possibilidades
presentes na
ação anterior.
Uma situação-
problema até
certo ponto
simples, mas
que serviu para
alertar os
professores
sobre os
cuidados a
tomar quando
aplicam o
princípio
multiplicativo
sem terem
refletido sobre
todas as
possibilidades
que se
apresentam
como possíveis.
302
respondeu este item
como ao lado”.
d) Em qual (ou quais)
anos do Ensino
Fundamental você
considera adequado
trabalhar propor essa
questão aos alunos?
Por quê?
familiarizar com o princípio da
multiplicação”.
Sete professores indicaram o 8º ano,
quatro professores indicaram o 7º
ano e um professor o 5º ano.
P11: “8º ano em diante, porque os
alunos antes desta fase não têm
maturidade na resolução de
problemas deste tipo. Porém, se o
professor tiver tempo e paciência
pode trabalhar através da pintura das
bandeiras, desde que se tenha
número de bandeiras suficiente para
serem pintadas; o professor poderá
trabalhar nas séries anteriores este
problema, mas sem entrar nos
conceitos”.
P14: “8ª série ou 9º ano, devido o exercício ser um pouco mais avançado”.
O enunciado do problema pedia a construção de uma representação
onde a árvore de possibilidades se prestava muito bem a esses propósitos,
diferentemente da opção de tabelas de dupla entrada que requereriam a
construção de duas delas e a opção de aplicar o princípio multiplicativo.
Essa maneira de conduzir a resolução teve como objetivo o de fortalecer
o estabelecimento da relação entre as tomadas de decisão presentes na
construção da árvore e os fatores presentes na notação multiplicativa da
aplicação do princípio multiplicativo, bem como identificar a aplicação do
princípio aditivo na contagem direta das soluções apresentadas nos galhos
terminais da árvore.
Não obstante o fato de o enunciado haver enfatizado de que faixas
adjacentes deveriam ter cores diferentes, um dos grupos não percebeu que as
faixas 1 e 3 poderiam ter a mesma cor, levando ao erro.
303
Esse fato talvez decorra da interpretação dada ao enunciado
desconsiderando tais possibilidades o que configura uma contagem feita a
menor, não pelo fato da árvore ter sido construída erradamente, mas porque
essas possibilidades não foram consideradas de início.
Compartilhamos com as recomendações dos autores dos PCN quando
se pronunciam a esse respeito, como indicado no trecho a seguir:
As finalidades do ensino de Matemática indicam como objetivo levar o aluno a: desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas [...]; (PCN, 1999, p. 85).
Entendemos que no Ensino Fundamental o ensino de problemas de
contagem deve iniciar pela estreita relação entre o uso de uma ou mais
representações, a compreensão do princípio multiplicativo e a aplicação dele
quando da resolução de problemas de contagem, junto com o exercício
constante do raciocínio combinatório. Essa concepção é compartilhada com as
dos autores do Currículo de São Paulo (2010), como a seguir:
Habilidades ao final da 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental: compreender a ideia do princípio multiplicativo de Contagem; Habilidades ao final da 8ª série/9º ano do Ensino Fundamental: saber resolver problemas envolvendo processos de contagem - princípio multiplicativo (SÃO PAULO, 2010, p. 58).
Encontram- se no Apêndice F quadros completos explicitando como foi o
desenvolvimento da resolução de soluções para outras situações-problema,
Algumas delas servem de opção ao professor para introduzir conceitos tratados
no Ensino Fundamental, tais como: divisores de um número natural e potências
de números naturais, nas respectivas séries que o currículo prescreve.
5.3.3 Aplicações do Princípio Multiplicativo e do Princípio Aditivo em conjunto
O propósito foi o de discutir questões relativas à aplicação dos Princípios
Multiplicativo e Aditivo, em conjunto, favorecendo os professores quanto à
apropriação desses conhecimentos, procedimentos e estratégias em estreita
relação com a construção de alguma representação, preferencialmente de uma
árvore de possibilidades que se diferencia das anteriores em virtude de não
haver uma relação do tipo um para muitos, ou seja, para cada objeto há tantas
possibilidades de combinação entre os objetos.
304
Dentre diversas situações-problema que foram propostas para resolução
e reflexões, destacamos a situação a seguir:
Situação-problema 4: Foi apresentado um retângulo, como o da figura abaixo,
a alunos de uma classe e dito que ele representava a vista de cima do prédio
de aulas de uma escola e a parte externa. Ao redor do prédio há um corredor
que o circunda em toda a sua extensão e, na área entre o corredor e os muros
que limitam a escola da rua, há gramado em toda a extensão.
“O que se pretende é colocar 2 (dois) vasos de plantas (um pintado de preto e
outro pintado de azul) junto às paredes externas do prédio, nos corredores,
podendo os dois vasos estarem juntos ou não”.
“No corredor onde há a porta de entrada do prédio escolar um dos vasos - ou
os dois juntos - só podem estar colocados à direita da porta, pois do outro lado
dessa porta há um banco de madeira que ocupa toda a extensão da parede”.
“Foi pedido que os alunos pensassem em todas as diferentes colocações
possíveis dos dois vasos de plantas junto aos corredores”.
“Agora pedimos o mesmo para vocês, professores”.
Pergunta-se:
a) Quantas são as possibilidades de arrumação dos dois vasos?
b) Como você faria para desenvolver a resolução dessa situação com seus
alunos?
c) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado
trabalhar essa questão com os alunos? Por quê?
d) Faça uma representação mostrando todas as possibilidades de arrumação
dos vasos junto aos corredores.
e) Mostre outro procedimento que leve à obtenção da solução desta situação-
problema.
Portão GramadoCorredor Porta
305
O quadro a seguir apresenta o modo como foram feitas as reflexões e as
discussões pelos professores e a mediação encaminhada pelo pesquisador de
maneira que os professores compreendessem a necessidade da aplicação do
princípio multiplicativo em conjunto com o princípio aditivo, para resolver o
problema de contagem proposto.
Quadro 5. Princípio Multiplicativo e Princípio Aditivo. Fase de intervenção
Ações do
Pesquisador
Falas/registros/ações dos professores participantes de
nossa pesquisa
Observações do pesquisador
“Professor P12, porque você acha que a sua solução está correta e a do grupo da direita está errado?”
“Quais as considerações que você fez para obter essa solução?”
“Quando você escreve 24 é o mesmo que escrever 2 x 2 x 2 x 2 = 16. Ou seja, considerando a aplicação do princípio multiplicativo, quando você escreve na forma de um produto com quatro fatores essa maneira sugere que foram encaminhadas quatro ações, seguidamente, e em cada uma delas, há duas possibilidades de se tomar as decisões. Como seria isso?”.
“Então, para cada parede há duas possibilidades de arrumações, o que é verdade, se pensado de forma isolada. Mas a continuação do produto com esses fatores iguais a 2 indica que, uma vez tomada a primeira decisão, que poderia ser feita de duas maneiras, uma segunda decisão deverá ser tomada e também há duas possibilidades, e assim por diante ... o que não é
P12: “Eu fiz assim: 24 = 16”.
P18 e P19: “20 possibilidades”,
P3, P16, P4, P13: “Nós fizemos desse jeito:
A B C D
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1 6x2 = 12
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0 12+4=16
0 0 0 2
0 0 2 0 4
0 2 0 0
2 0 0 0
P9: “Eu fiz assim, na forma de um esquema das possibilidades”: Paredes 1 2 3 4
AB
AB 4
AB
AB
A B
A B
A B 6
A B
A B
A B
BA
BA 0 4
BA
BA
B A
B A
B A 6
B A
B A
B A TOTAL: 20
Finalidade:
Para esta situação-problema, lúdica e de fácil compreensão, o objetivo foi o de uso de uma árvore de possibilidades (de construção diferente daquela da situação anterior pelo fato de não haver a relação “um para muitos”), de modo a favorecer a aplicação do princípio aditivo em conjunto com o princípio multiplicativo.
Observação 1:
Percebeu-se que alguns dos professores não compreenderam o enunciado do problema e não perceberam que, uma vez que os vasos eram diferentes, há duas distintas maneiras para posicionar esses vasos em uma mesma parede.
Observação 2:
Quando elaboramos a questão e pensamos tratar-se de uma situação-problema simples que permitisse ao professor apropriar-
306
verdade. Na primeira decisão a ser tomada: arrumação dos dois vasos em uma parede, uma dessas decisões vai ser tomada: ou vaso preto - vaso azul ou vaso azul - vaso preto e, portanto, não há mais decisões a serem tomadas adiante, uma vez que os dois vasos já foram posicionados”. Entendido?”.
“Professor P1, poderia nos explicar como fez para obter a sua solução?”.
“Complementando a explicação do professor P1: Ao escolher, por exemplo, a parede A e colocar o vaso azul e a parede C e colocar o vaso preto, essa possibilidade é diferente de escolher a parede C e colocar o vaso azul e escolher a parede A e colocar o vaso preto”
“Professores, porque nenhum de vocês sugeriu que pudesse fazer uma árvore de possibilidades com todas as maneiras de arrumação dos vasos?”
“Será porque são 20 possibilidades e a árvore poderia ficar grande?“
“Pensem a respeito dessa possibilidade, ok?”
Vamos agora conhecer as respostas para os demais itens da situação-problema.
P12: “Faz uma reflexão, compara sua solução à outra colocada no quadro branco e conclui que deixou de considerar as posições dos dois vasos quando eles estão colocados junto da mesma parede e, portanto, a contagem feita por ele foi a menor”.
P12: “pela árvore de possibilidades, considerando as paredes A, B, C e D”.
P1: “4x2 + 4x3 = 8 + 12 = 20”.
P1: “Aqui temos 4 paredes e para cada vez que se escolhe uma delas, há duas maneiras diferentes de arrumar os vasos: azul e preto ou preto e azul; aqui eu escrevi quatro para indicar que tenho 4 possibilidades de escolher uma parede e colocar um vaso junto dela. Para cada escolha feita, eu tenho 3 paredes disponíveis para colocar o outro vaso. E como a ordem de escolha das paredes é diferente, temos o produto 4 x 3. Daí, a soma dá 20”.
P9 e P11: “proporia uma situação real com material pedagógico (sucata)”.
“Professor P11, você usaria o material de sucata para substituir os dois vasos?” P11: “Sim, os alunos fariam todas as posições possíveis com o material em mãos”.
O professor P11 escreveu assim no seu protocolo: “no momento não me ocorre outra
se dos procedimentos que levam à necessidade da aplicação do princípio aditivo em conjunto com o princípio multiplicativo e, em seguida, sistematizar esses conceitos, estávamos enganados, uma vez que algumas das soluções apresentadas mostraram que alguns professores não identificaram essa necessidade.
Esta situação mostrou algumas concepções errôneas dos professores a respeito do uso do princípio multiplicativo.
O Princípio aditivo, embora usado por alguns professores, não foi por eles salientado talvez devido ao fato de não se aperceberem de que o estavam utilizando, acostumados a somar as possibilidades que obtém a cada novo passo dado para a consolidação de todas as possibilidades que atendem à solução do problema.
Observação 1:
Estávamos atentos para a possibilidade de algum professor apresentar a solução como 2 x + 2 x = 12 + 8 = 20 possibilidades, mas tal não ocorreu. Não achamos conveniente comentar tal possibilidade àquela ocasião para não mudar o foco de
307
saída, se não usar a fórmula (não me lembro da fórmula)”.
P1: “Para o 6º Ano (“por se tratar de uma atividade de fácil visualização ”.
P11: “O professor, através do problema numa situação real com o material de sucata, pode aplicar esta atividade desde o 6º ano”.
Duas indicações para cada: 9º Ano e Ensino Médio.
Duas indicações cada: para o 7º e 8º Ano.
Item (d): Todos se referiram à solução apresentada no item (a).
Item (e): Todos se referiram à solução apresentada no item (a).
aplicação dos princípios, em conjunto.
Observação 2:
Percebemos que alguns professores já se sentiam bastante a vontade para apresentar soluções criativas e com bastante naturalidade o fizeram, utilizando assim o princípio aditivo sem mencioná-lo, além de serem econômicos na apresentação de estratégias de resolução diferentes, preferindo referir-se à única que apresentaram antes, na primeira parte, a qual não faz correspondência com alguma outra situação-problema apresentada anteriormente.
Isso mostra-nos que há uma ligeira demonstração de amadurecimento e apropriação dos conceitos, decorrência da ampliação da imagem conceitual que alguns professores experimentaram embora ainda se identificasse haver professores que precisam apropriar-se de conhecimentos, procedimentos e estratégias para resolver problemas de contagem.
Na situação-problema dos vasos nenhum professor se sentiu a vontade para apresentar uma árvore de possibilidades que pudesse dar conta da
308
contagem. Talvez devido ao fato de que o total de 20 possibilidades demandaria um trabalho maior para construí-la.
Na resolução da situação-problema foi possível identificar lacunas de
conteúdo e da ausência de estratégias variadas de alguns professores quando
da necessidade de mobilizá-las adequadamente para a resolução de um
problema que, em princípio, parecia-nos simples o bastante para a
identificação dos dois princípios: multiplicativo e aditivo, em conjunto.
Também dificuldades em relação ao enfrentamento do novo, uma vez
que, em princípio, a proposta da situação poderia desestabilizar o grupo no
sentido de não haver uma maneira de encontrar a solução somente com a
aplicação do princípio multiplicativo, obrigando os professores a recorrer à
necessidade de repartir o problema em duas etapas: com os dois vasos juntos
em uma mesma parede e com os dois vasos em separado.
Ressalte-se o fato de que ao tomar os dois vasos com cores diferentes
tinha-se o propósito de reforçar a aplicação dos dois Princípios, em conjunto,
diferentemente do que seria se os dois vasos fossem exatamente iguais.
Compartilhamos com as ideias dos autores do Currículo de São Paulo
(2010) no sentido de dar destaque à recorrente necessidade de exercitar o
raciocínio combinatório durante a resolução de problemas de contagem, seja
no Ensino Fundamental seja no Ensino Médio. Quanto a essa questão, assim
se referem os autores do referido currículo:
Habilidades requeridas aos alunos: Compreender os raciocínios combinatórios aditivo e multiplicativo na resolução de situações-problema de contagem indireta do número de possibilidades de ocorrência de um evento; Saber calcular probabilidades de eventos em diferentes situações-problema, recorrendo a raciocínios combinatórios gerais, sem a necessidade de aplicação de fórmulas específicas (SÃO PAULO, 2010, p. 68).
Considerando a análise dos dados fornecidos pelos professores à
situação-problema 3 apresentada no questionário Q2, qual seja: determinar a
totalidade de números pares com três algarismos distintos, e as dificuldades
309
que eles tiveram de resolver o problema, retomamos com a proposição desta
situação-problema aqui na sequência didática de maneira a discutir questões
relativas à aplicação do princípio aditivo em uma situação um pouco mais
complexa em relação à da situação acima, bem como à análise crítica que os
professores emprestam quando identificam erros cometidos pelos alunos. Um
quadro completo explicitando como foi o desenrolar desta situação encontra-se
no Apêndice F.
Dando continuidade aos propósitos descritos anteriormente, de continuar
explorando a aplicação dos princípios multiplicativo e aditivo, foi proposta a
situação-problema a seguir.
Essa situação-problema apresentou muitas dificuldades de solução para
os professores. Eles não exploraram o uso de uma árvore de possibilidades
para dar conta de obter a solução dando preferência ao uso de fórmulas, as
quais se mostraram inadequadas para a obtenção da solução.
Depois que o pesquisador sugeriu o uso da árvore de possibilidades, a
solução foi apresentada por um dos professores e, então, com os
agrupamentos de objetos listados foi possível aos professores fazerem
relações entre eles de modo que, a partir daí, puderam estabelecer o uso de
uma adequada fórmula que dá conta da contagem obtida, utilizando-se do
conceito de permutações com repetições de objetos.
Por conta das dificuldades que os professores apresentaram em resolver
problemas de contagem em que é necessário identificar que os dois princípios
de contagem precisam ser aplicados de maneira articulada, sentimos a
necessidade de propor mais problemas com esse objetivo.
Constatamos que o impacto de mostrar aos professores que o princípio
aditivo estava sendo aplicado sobre os agrupamentos de objetos construídos
Situação-problema 5: Dois amigos, Carlos e Ivo disputam a final de um
Torneio de Tênis. A regra estipula que a disputa termina, proclamando-se um
vencedor, sempre que um deles vencer duas partidas seguidas ou então que
vença três partidas alternadas. Determine todas as sequências de resultados
possíveis de ocorrerem. Quantas são?
310
sobre os galhos terminais de uma árvore de possibilidades não foi suficiente
para que eles compreendessem como os dois princípios são aplicados de
forma articulada.
A simples contagem direta sobre o quantitativo de agrupamentos na
árvore representou para os professores nada mais que o somatório de
parcelas, uma a uma.
Os professores não se aperceberam de que tal somatório é sempre
possível quando se tem agrupamentos de objetos em que todos eles são
disjuntos entre si.
Assim, julgamos necessário investir com mais exemplos a respeito do
uso conjunto dos dois princípios em problemas de contagem em que essa
necessidade seja identificada pelos professores.
Portanto, defendemos as ideias que os autores dos PCN fazem segundo
as quais:
As finalidades do ensino de Matemática indicam como objetivo levar o aluno a: utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos; expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas [....]; (PCN, 1999, p. 85).
A categoria seguinte diz respeito ao uso de fórmulas quando da
resolução de situações-problema de contagem com relação aos conceitos de
arranjos simples, permutações e combinações simples.
5.3.4 Fórmulas
Conforme já dito anteriormente, os professores do grupo nos solicitaram
que as fórmulas que eles usavam com frequência na resolução de algumas
situações-problema pudessem vir a ser demonstradas durante a formação.
De modo a atender à essa solicitação, prosseguimos com a exploração
dos conceitos básicos de contagem durante a resolução, reflexão e discussão
de situações-problema e, ao longo dessas discussões incluíamos a dedução
das referidas fórmulas de contagem.
Nesta categoria, intitulada de fórmulas, os conceitos e algumas fórmulas
associadas à contagem de agrupamentos serão discutidos quando das
311
discussões acerca dos conhecimentos de conteúdo e pedagógicos dos
professores.
Conhecimento do professor sobre arranjos simples
O propósito foi o de discutir questões relativas ao conhecimento do
professor quanto à caracterização dos arranjos simples e sua estreita relação
com a aplicação do princípio multiplicativo, ainda associadas à construção de
uma árvore de possibilidades, favorecendo os professores quanto à
apropriação desses conhecimentos, procedimentos e estratégias.
Dentre diversas situações-problema que foram propostas para resolução
e reflexões, destacamos a situação a seguir:
Situação-problema 5: Uma bandeira com o formato abaixo vai ser pintada
utilizando-se duas das cores dadas ao lado.
Liste todas as possíveis bandeiras diferentes. Quantas são elas?
O quadro a seguir apresenta o modo como foram feitas as reflexões e as
discussões pelos professores e a mediação encaminhada pelo pesquisador.
Quadro 6. Conhecimentos do professor sobre arranjos simples. Fase de intervenção
Ações do
pesquisador
Falas/registros/ações dos professores participantes de nossa pesquisa
Observações do pesquisador
312
Professor P9, que símbolo é esse que você usou em sua resposta?”
“Então você quer dizer que tem três modos de escolher as duas cores, não é?”.
“Professor P1, que símbolo é esse que você usou em sua resposta?”
“Professor P1, explique melhor para todos nós o que quer dizer isso”.
“Quer dizer que quando a ordem for importante se trata de arranjos?”.
“Mas você escreveu A3,2 = 3 x 2 = 6 (apontando). Isso não é o mesmo que aplicar o princípio multiplicativo: a primeira decisão é escolher uma cor dentre as três opções de cores e, uma vez escolhida a primeira cor, em seguida escolher uma segunda cor dentre as duas cores disponíveis?”
“Então, arranjo é o mesmo que usar o princípio multiplicativo?”
“Arranjo simples é um conceito que os livros adotam com o intuito de firmar posição quanto à importância da ordem que deve ser considerada entre os objetos. Mas, isso, o princípio multiplicativo também faz em
P9: “Nosso grupo fez
assim: = = 3 bandeiras diferentes”.
P9: “É o de combinações. De três cores, escolher as duas cores”.
P9: “É sim. Mas acabo de perceber que errei, pois eu escolhi as duas cores mas, para cada escolha se tem duas maneiras de pintar diferentes: uma cor no círculo e a outra do lado de fora e depois trocando a ordem. Esse resultado tem que multiplicar por 2”.
P1: “Fiz desse jeito: A3,2 = 3 x 2 = 6 possibilidades”.
P1: “É o símbolo de arranjos de três dois a dois”.
P1: “Se a cor do círculo for preta e a de fora for branca é diferente de quando a cor do círculo for branca e a de fora for preta. Então, é preciso uma ordem. A ordem é importante e isso é o caso de arranjos”.
P1: “É isso mesmo”.
P1: “Nesse caso é a mesma coisa”.
P4: “Nós fizemos através de uma árvore de possibilidades, assim:”
Finalidade:
Explorar a árvore de possibilidades com o uso de procedimentos para a sua construção e da aplicação do Princípio Multiplicativo com o propósito de permitir que o professor identifique que o conceito de arranjos simples é um caso particular da aplicação desse princípio e que, nessas situações, a árvore de possibilidades se apresenta como uma estratégia para a obtenção da solução a um problema de contagem cujas possibilidades são agrupamentos de objetos que guardam essas características de formação.
313
relação às tomadas de decisão, ou seja, essa é a característica (caracterização) para a aplicação do princípio multiplicativo, de tomar decisões e computar as possibilidades de se fazê-las considerando a decisão tomada anteriormente”.
branco
preto
cinza
preto
branco
cinza
branco
cinza
preto
Após as reflexões e discussões encaminhadas durante a resolução do
problema anterior, os professores compreenderam que o uso de arranjos
simples com a característica de firmar posição quanto à ordem dos objetos
envolvidos na resolução do problema identifica a aplicação do princípio
multiplicativo e, portanto, não haveria necessidade de indicar com o símbolo
An,p para indicar a ordenação de p objetos dentre n objetos distintos.
Mais ainda, o pesquisador salientou que a fórmula usual An,p = n.(n-
1).(n-2).....(n-(p-1)) é a notação da aplicação do princípio multiplicativo após p
tomadas de decisão, uma a seguir da outra, atendendo às condições do
problema, em que a primeira delas pode ser feita de n maneiras distintas.
Em prosseguimento, foi apresentada a situação-problema 6, a seguir:
Situação-problema 6: Um menino tem 4 carrinhos de cores diferentes (azul,
branco, verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred, Luiz e Téo.
De quantas formas diferentes pode presentear os carrinhos a seus irmãos nas
seguintes condições:
a) Cada um dos irmãos receberá pelo menos um carrinho.
b) Pode ocorrer de haver um irmão ou dois irmãos, sem ganhar carrinho.
O propósito da proposição desta situação-problema foi o de verificar se
os professores reconheciam que se tratava de um problema em que seria
preciso tomar três distintas decisões conforme sejam as possibilidades de cada
um dos três irmãos não receber carrinho algum até a condição de receber os
quatro carrinhos, ou seja, trata-se do que usualmente conhece-se pelos livros
didáticos como arranjos com repetição. Aqui, tomando por base as
314
considerações anteriores, é mais uma aplicação do princípio multiplicativo.
Além disso, a situação-problema também oferece a possibilidade de ser
resolvida com o uso de combinações simples em conjunto com permutações
simples, embora essa resolução não seja tão direta quanto à outra.
Foram apresentadas diferentes soluções no quadro branco, como a
seguir:
Fred Luiz Téo
4 0 0
0 4 0
0 0 4
3 1 0
3 0 1
2 2 0
0 2 2
2 0 2
0 1 3
0 3 1
1 3 0
1 0 3 (P13)
3 pessoas.24 = 72 formas (P6)
4 cores. 24 = 96 formas (P7)
P4 = 4! = 24 formas (P12)
A4,3 + A4,2 + A4,1 + A4,0
=24
A4,1 = 4
(24+12+4). 3 = 40.3 = 120.
Multipliquei por 3 para mudar a ordem entre as pessoas (P9)
34 = 81 (3 pessoas, com 4 opções) (P12)
AR3,4 = 3.3.3.3 = (P14)
Fred Luiz Téo
A B V
A V B
B R
R B
V R
315
R V
Azul 6
Branco 6
Verde 6
Roxo 6
Total: 24 formas diferentes (P1)
Irmãos
F L T
4 0 0
0 4 0
0 0 4
3 1 0 C4,3+C1,1
3 0 1
0 3 1
0 1 3
1 0 3
2 2 0
2 0 2
0 2 2
2 1 1 C4,2+C2,2+C2,1
1 2 1
1 1 2
1 3 0
C3,1
C4,1
(P11)
Esta situação-problema apresentou muitas dificuldades para os
professores. Como de costume, o pesquisador mediou reflexões e discussões
no sentido de que os professores identificassem erros em todas as soluções
que foram apresentadas, como acima. Após essas discussões, novo tempo foi
oferecido de modo que os professores propusessem novas soluções para
reflexão de todos.
Após esse novo tempo para resolução, e, em nova rodada para
apresentação das respostas, todas as respostas apresentadas continham
algum erro. Desestimulados por não encontrarem a resposta correta, os
professores passaram então a discutir sobre questões relacionadas com o não
entendimento do enunciado e, assim, recaiam sobre a não clareza do
enunciado principalmente no que diz respeito ao entendimento que faziam em
relação à palavra “presenteá-los”.
O pesquisador esclareceu para os professores que o fato de o menino
querer presentear seus irmãos com os carrinhos disponíveis não significava
que os irmãos devessem receber ao menos um carrinho cada uma vez que
316
seria prerrogativa do menino doar todos os carrinhos para um só irmão. Porém,
os professores não concordavam com esta possibilidade.
Os professores retomavam suas críticas com os seguintes argumentos:
“não faz sentido dizer que vai presentear os irmãos e deixar algum ou alguns,
sem receber ao menos um presente”; “o enunciado está errado”; “o enunciado
deve ser mais claro quanto a isso”, etc.
Foram muitas as discussões que se sucederam quanto à possível não
clareza do enunciado, pois os professores continuavam a justificar sua
contrariedade uma vez que, segundo eles, a palavra “presenteá-los” impunha a
condição de que todos os irmãos devessem receber ao menos um dos
presentes.
De modo a dirimir as dúvidas, o pesquisador pediu que os professores
considerassem então as duas condições: que as soluções que fossem
apresentadas a partir daquele instante devessem indicar o eu estava sendo
considerado, se poderia ou não haver irmãos sem receber ao menos um
carrinho.
Uma vez que o tempo do encontro havia se esgotado o pesquisador
informou que a situação-problema seria retomada no início do encontro
seguinte.
Feita a habitual análise sobre os fatos ocorridos no encontro pelo
pesquisador em conjunto com orientador, ficou combinado que a situação-
problema seria retomada no encontro seguinte com nova redação e, para evitar
dúvidas, a situação-problema seria repartida em duas novas situações-
problema que deveriam contemplar as duas possibilidades.
As novas situações-problema estão apresentadas a seguir:
Situação-problema 7: Um menino tem 3 carrinhos de cores diferentes (azul,
verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred e Téo. Considerando
que nenhum dos irmãos pode ficar sem receber presente, de quantas formas
diferentes pode presentear os carrinhos a seus irmãos?
a) Faça uma tabela indicando as possibilidades de distribuição dos carrinhos
317
entre os irmãos;
b) Desenhe uma árvore de possibilidades mostrando a distribuição dos
carrinhos entre os irmãos;
c) Faça uma representação notacional para indicar o total de possibilidades
em que é possível fazer as diferentes distribuições dos carrinhos entre os três
irmãos.
Situação-problema 8: Um menino tem 3 carrinhos de cores diferentes (azul,
verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred e Téo. Considerando
ser possível que o menino presenteie um irmão com todos os 3 carrinhos, se
assim desejar, de quantas formas diferentes pode presentear os carrinhos a
seus irmãos?
a) Faça uma tabela indicando as possibilidades de distribuição dos carrinhos
entre os irmãos;
b) Desenhe uma árvore de possibilidades mostrando a distribuição dos
carrinhos entre os irmãos;
c) Faça uma representação notacional para indicar o total de possibilidades
em que é possível fazer as diferentes distribuições dos carrinhos entre os três
irmãos.
Situação-problema 9: Um menino tem 4 carrinhos de cores diferentes (azul,
branco, verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred, Bia e Téo.
Considerando que nenhum dos irmãos pode ficar sem receber presente, de
quantas formas diferentes o menino pode presentear os carrinhos a seus
irmãos?
a) Faça uma tabela indicando as possibilidades de distribuição dos carrinhos
entre os irmãos;
b) Desenhe uma árvore de possibilidades mostrando a distribuição dos
carrinhos entre os irmãos somente quando Fred ganha dois dos carrinhos;
318
c) Faça uma representação notacional para indicar o total de possibilidades
em que é possível fazer as diferentes distribuições dos carrinhos entre os três
irmãos;
d) Considerando ser possível que o menino presenteie um irmão com todos os
3 carrinhos, se assim desejar, de quantas formas diferentes pode presentear
os carrinhos a seus irmãos?
Dado um tempo para as reflexões e discussões, as dificuldades para
encontrar as soluções permaneciam. Como eram muitas as críticas em relação
às três situações propostas e o grande desânimo que se constatava entre os
professores para continuar na busca das soluções consideramos oportuno que
as discussões sobre os problemas terminassem por ali, naquele momento,
prometendo retomá-las no último dos encontros e, então, seguimos adiante
com a proposição de outras situações-problema.
Chamamos a atenção do leitor para um fato importante desse estudo e
que cabe aqui, neste instante, ser considerado: até o final do 5º encontro da
sequência didática foram propostas diversificadas situações-problema de
contagem cujas soluções poderiam ser obtidas através do uso de uma
representação e dos princípios multiplicativo e aditivo (em conjunto ou não),
após a identificação do tipo de agrupamentos de objetos.
Durante a resolução dos problemas alguns professores se utilizaram de
alguma fórmula, própria da combinatória, de tal maneira que durante o
encaminhamento das discussões e reflexões acerca das soluções
apresentadas no quadro branco o pesquisador procurou discutir com o grupo
sobre alternativas para a solução dos problemas com outras estratégias, bem
como sobre a necessidade de uso daquela fórmula.
Desde o início da sequência didática foram propostas situações-
problema sem que estivéssemos selecionando-as segundo uma sistemática
em que primeiro viessem aquelas cujos agrupamentos atendem ao tipo A,
depois situações de agrupamentos do tipo B e assim sucessivamente como
habitualmente o fazem os livros didáticos.
Considerando nossas concepções, contrárias ao desdobramento do
conteúdo problemas de contagem segundo divisões por tipos de agrupamentos
319
de objetos e, mais ainda, pelo fato de que a proposta desse estudo é o de
identificar e conhecer estratégias para se desenvolver esse conteúdo no
Ensino Fundamental não poderíamos incorrer nesse caminho de segmentar os
tipos de agrupamentos de objetos, uma vez que os princípios multiplicativo e
aditivo ou alguma representação dariam conta de resolvê-los.
Alguns professores apresentaram suas soluções utilizando-se de
representações ou de fórmulas para arranjos ou para permutações simples ou
para permutações com alguns dos objetos não distintos ou para combinações
simples, dependendo da identificação que faziam em relação ao tipo de
agrupamentos de objetos envolvidos, com prevalência para o uso de fórmulas.
Segundo Fischbein (1994), o componente algorítmico concerne nas
habilidades relativas à aplicação de técnicas e procedimentos padronizados de
resolução cujo desenvolvimento também requer uma formação meticulosa.
Assim, neste estudo, a apresentação das soluções para os problemas
de contagem deixou visível a prevalência do caráter algorítmico sobre o caráter
formal e o caráter intuitivo no conhecimento dos conteúdos acerca da
resolução dos problemas de contagem.
Esse é um fato que foi constatado pela análise dos dados que colhemos dos
questionários iniciais e durante os primeiros encontros da sequência didática e
que não podemos deixar de considerar, principalmente se levarmos em conta
que alguns professores têm sua prática docente desenvolvida há muitos anos
em turmas do Ensino Médio e esta tem sido a maneira como eles têm ensinado
combinatória a seus alunos, como foi possível identificarmos.
Por outro lado, apesar das sugestões apresentadas pelo pesquisador
desde os primeiros encontros de ensino desta sequência didática para que os
professores fizessem uso, preferencialmente, de representações, dos
princípios multiplicativo e aditivo e do raciocínio combinatório na busca das
soluções às situações propostas, o uso de fórmulas prevaleceu.
O componente formal, aqui identificado pela caracterização dos
agrupamentos dos objetos envolvidos na situação e o componente intuitivo,
presente nas soluções via esquemas e árvores de possibilidades e na
contagem direta dos agrupamentos na maioria das vezes dispensaria o uso do
320
componente algorítmico, mas essas estratégias não prevaleceram durante a
resolução dos problemas de contagem.
Há um dado a se destacar no encaminhamento da sequência didática
com os professores: o fato de não compartimentar o estudo em agrupamentos
tipo A ou B ou C, em sequência, fez com que todos os professores tivessem de
mobilizar diferentes estratégias para identificar o tipo de agrupamento de
objetos que fazia parte da solução a ser obtida e em seguida efetuarem a
contagem das possibilidades de solução de maneira direta ou com o uso de
uma ferramenta combinatória ou, até diretamente, a fórmula.
Se durante a sua prática o professor irá se utilizar de uma
representação, do princípio multiplicativo, do princípio aditivo, do raciocínio
combinatório ou usar uma fórmula, é uma questão sobre a qual essa formação
não foi suficiente para torná-lo convencido para a não escolha do uso de uma
fórmula de maneira intensa. Identificamos resistência a esse respeito e
entendemos as razões delas.
Assim, todo o repertório de fórmulas que alguns professores conheciam
passou a ser utilizado em algumas das respostas que eles ofereceram para as
reflexões e as discussões de todo o grupo, contribuindo para que
sugeríssemos, sempre, uma alternativa ao seu não uso. Nas vezes em que as
soluções foram apresentadas somente com o uso de uma fórmula, o
pesquisador, depois da análise das respostas, promovia reflexões e discussões
no sentido de que os professores buscassem alternativas à solução
apresentada com o uso de uma representação e a aplicação dos princípios,
favorecendo a apropriação de novas estratégias de resolução e, assim,
contribuindo para aumentar a imagem conceitual.
Os dados de pesquisa que foram observados, identificados e registrados
nesses primeiros encontros nos levaram a concluir de que era preciso admitir o
uso da fórmula como de uso recorrente e, por essa razão, que era imperioso
partir para a sistematização dos conteúdos e a dedução dessas fórmulas de
maneira a oferecer todas as possibilidades para o ensino e a aprendizagem
dos problemas de contagem, para toda a Educação Básica.
321
Ademais, os professores solicitaram ao pesquisador que apresentasse a
dedução das fórmulas para os agrupamentos de objetos que eles utilizavam
com frequência em suas aulas. De maneira a atender à essa demanda dos
professores é que nos propusemos a apresentar a dedução das fórmulas, em
reflexões e discussões conjuntas, que serão apresentadas em seguida
Assim, a partir desse momento, sentimos necessidade de sistematizar e
explorar as características desses agrupamentos e de deduzir as fórmulas que
os professores usam de maneira habitual para cada um dos tipos de
agrupamentos de objetos presentes em situações-problema de contagem
próprias do ensino na Educação Básica, por duas razões:
� A primeira pelo fato de considerar que é preciso que os
professores saibam identificar as características presentes nos
tipos de agrupamentos de objetos envolvidos em uma situação de
contagem uma vez que os resultados dos instrumentos
diagnósticos preliminares mostraram o desconhecimento destas
características por grande parte do grupo;
� A segunda pelo fato de não ser possível negar que a
apresentação do conteúdo de combinatória (problemas de
contagem) nos livros didáticos do Ensino Médio e também nos
Cadernos do Professor e do Aluno da Secretaria de Estado de
Educação de São Paulo é feita de maneira compartimentada
segundo quatro seções: Princípio Fundamental da Contagem,
Arranjos, Permutações e Combinações.
Constatou-se a prevalência do aspecto algorítmico pelos professores no
uso de fórmulas para cada um destes tipos de agrupamentos de modo que
essas fórmulas pudessem dar conta da contagem total das possibilidades que
atendem às situações-problema de contagem.
Assim, considerando que os professores e os alunos se utilizam deste
material pedagógico (livro didático, Cadernos do Professor e Cadernos do
Aluno) faz-se necessário que os professores compreendam e saibam deduzir
essas fórmulas de maneira que tenham condições de fazer o mesmo com seus
alunos.
322
Portanto, o encaminhamento que fizemos até o último dos encontros foi
o seguinte: caracterizar os agrupamentos e deduzir as fórmulas para a
contagem das soluções a situações-problema de permutações simples,
permutações em que nem todos os objetos são distintos, combinações simples
e permutações circulares.
Conhecimento do professor sobre permutações simples Os propósitos foram o de caracterizar uma permutação simples e a
obtenção de uma fórmula que permitisse calcular a totalidade de permutações
simples que satisfazem às condições impostos pelo problema, enquanto os
professores refletiam e discutiam sobre a solução de uma situação-problema
de contagem.
Dentre diversas situações-problema que foram propostas para resolução
e reflexões, destacamos a situação a seguir:
Situação-problema 1: De quantos modos diferentes Ana, Beto e Clara podem
sentar-se em um banco que possui três lugares, lado a lado?
O quadro a seguir apresenta o modo como foram feitas as reflexões e as
discussões pelos professores e a mediação encaminhada pelo pesquisador de
maneira que os professores definissem (caracterizassem) uma permutação
simples contendo n objetos, distintos entre si.
Quadro 7. Conhecimentos do professor sobre permutações simples. Fase de intervenção.
Ações do Pesquisador
Falas/registros/ações dos professores participantes de
nossa pesquisa
Observações do pesquisador
“Alguém tem uma solução diferente daquela que o colega apresentou?”.
“Alguma outra solução?”.
“Antes de analisarmos as soluções, peço que reflitam um pouco sobre o enunciado da situação”. “O que é pedido na situação?”. “Que tipo de agrupamento deve ser considerado?”.
“Sim, professor P14. Mas que tipo de agrupamento?”. “Que características esses agrupamentos devem ter?”. “Alguém acrescenta algo mais a essas duas características que os colegas
P7: “Vou escrever aqui na lousa a minha solução: P3 = 3.2.1 = 6”.
Silêncio.
P1: “Eu escrevi assim: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 que é o mesmo resultado que está ali, apontando. Há 6 modos distintos de se posicionar as três pessoas nos três lugares disponíveis no banco”.
P14: “Agrupamento de
Finalidade: “Caracterizar” permutações simples com o grupo de professores, ou seja, agrupamentos em que é preciso ordenar/arrumar todos os objetos, distintos entre si, em exatamente o mesmo quantitativo de posições.
323
mencionaram?”.
“De fato, essas duas características são importantes para determinar o quantitativo de possibilidades: agrupamentos nos quais a ordem entre os objetos diferencia agrupamentos e o fato de que a quantidade de pessoas é igual à quantidade de lugares disponíveis”.
“Assim, o resultado apresentado pelos dois colegas está correto. Vamos agora fazer uma análise a respeito dessas soluções”.
“Professor P7: o que significa a indicação P3 e porque você a utilizou?”
“Como você sabe que se trata de uma situação-problema que envolve o conteúdo de permutações simples, se nada foi dito no enunciado?”.
“Professor P7: Você pode apresentar essas seis possibilidades através de uma árvore de possibilidades?”.
“Apontando para a árvore que o professor P7 escreveu na lousa: Essa árvore que o professor P7 nos apresentou mostra todas as seis possibilidades, que estão aqui nos “galhos terminais”.
“Professor P7: permita-me complementar a sua solução, escrevendo os respectivos agrupamentos (as arrumações das três pessoas nos três bancos):”.
1º lugar 2º lugar 3º lugar Agrupamento
Beto Clara (Ana, Beto, Clara)
Ana
Clara Beto (Ana, Clara,Beto)
Ana Clara (Beto, Ana, Clara
Beto
Clara Ana (Beto,Clara, Ana)
Beto Ana (Clara, Beto, Ana)
Clara
Ana Beto (Clara, Ana, Beto
“Eu complementei a árvore feita pelo professor P7 para mostrar que cada um desses agrupamentos é uma possibilidade diferente de se ter as três pessoas sentadas no banco e
pessoas”.
P7: “A ordem das pessoas é importante”.
P7: “Que temos três pessoas e três lugares no banco”.
P7: “Esse é o símbolo de permutações simples e, como são três pessoas escreve-se assim, apontando para a solução”.
P7: “Em tenho três possibilidades para o primeiro lugar, duas possibilidades para o segundo lugar e uma possibilidade para o terceiro lugar. Aí, dá como resultado a quantidade de seis modos diferentes de as três pessoas se sentarem”.
P7: “Mas é claro que sim. Está aqui”.
1º lugar 2º lugar 3º lugar
Beto Clara
Ana
Clara Beto
Ana Clara
Beto
Clara Ana
Beto Ana
Clara
Ana Beto
Finalidade: Encaminhar para a caracterização das permutações simples de n objetos distintos a partir da resolução da situação-problema proposta.
Interpretação:
Pareceu-nos que alguns professores associam o fato de arrumar/embaralhar objetos ou pessoas às permutações simples sem saberem as razões do porque fazem isso. Por vezes associam o cálculo para determinar as possibilidades de ordenações ao uso de fatorial e de permutação simples, não considerando particularidades dos agrupamentos, quando for o caso. Esses símbolos/nomenclaturas: n! e Pn, estão bastante arraigados no prática desses
324
Dando procedimento às reflexões e discussões para a caracterização
das permutações simples, e em continuidade às questões colocadas no quadro
acima, propusemos a seguinte situação-problema:
De modo a avançar em nossas discussões sobre permutações, pergunto a
vocês: “De quantos modos diferentes Ana, Beto e Clara podem sentar-se em
um banco que possui dois lugares, lado a lado?”. “Nesta situação têm-se o
conceito de permutações simples?“.
“E se agora tivéssemos quatro lugares disponíveis e as mesmas três pessoas
da situação que foi proposta antes?” “O que vocês acham disso?”.
O quadro a seguir, que é continuação do quadro acima, apresenta o
modo como prosseguiram as reflexões e as discussões pelos professores, de
mostrar como se apresentam essas diferentes maneiras de ordenar as três pessoas ou, então, como as pessoas estariam sentadas”.
“Professor P1, o que significa 3!?” “Porque essa notação foi usada, esse símbolo?”
“Então, quer dizer que toda vez que se está diante de uma permutação simples temos que usar fatorial? O que é fatorial?”.
“Professor P1: Então, o que interessa é a quantidade de pessoas? E a quantidade de lugares que estão disponíveis não interessa saber?”.
“Porque não se pode escrever como fez o professor P7?”
“Mas vocês ainda não explicaram porque a solução à situação tem que usar permutação simples”.
“Ainda não sabemos o que é uma permutação simples”.
“O professor P12 está certo?”
“Não é bem assim. Permutação simples não pode ser uma maneira de ordenar, como escreveu o professor P12, mas, sim, uma ordenação dos objetos considerados”.
“Porque não se pode falar assim: permutação simples de n objetos é cada ordenação, arrumação, colocação, etc”.
P1: “Toda vez que se tem permutações simples se usa fatorial, apontando para a sua solução”.
P1: “Poder, pode. É só outra maneira de se escrever a mesma coisa que o colega apresentou na solução aqui, apontando”.
P1: “É uma maneira mais direta de mostrar a solução, pois 3! Indica que tem três pessoas”.
Silêncio.
Silêncio.
P12 escreve na lousa: “Permutação simples é uma maneira de ordenar coisas, objetos ou até mesmo pessoas em posições distintas pré-determinadas. Exemplo: anagramas da palavra ROMA”.
Alguns dos professores:
A resposta do professor P12 está certa, sim!
professores e lhes parece natural fazer isso sem uma análise mais aprofundada sobre o enunciado e os tipos de agrupamentos envolvidos.
Assim, alguns professores ficaram confusos quando indagamos o fato de que eles utilizam a mesma ideia para o que é uma permutação simples e o cálculo do número de possibilidades de arrumar ou embaralhar os distintos objetos, ou seja, o número de permutações simples (número de possibilidades de ordenar todos os objetos).
325
maneira a permitir que os professores definam (caracterizem) uma permutação
simples contendo n objetos, distintos entre si.
Quadro 8. Conhecimentos do professor sobre permutações simples. Continuação. Fase de
intervenção.
Ações do
Pesquisador
Falas/registros/ ações dos
professores participantes de nossa pesquisa
Observações do
pesquisador
“Então, o que é preciso para se ter permutações simples?”
“A definição que o professor P12 escreveu está correta? Falta complementar alguma coisa?”
“E nos dois casos que me referi antes?” “O que se tem a fazer?”
“No primeiro caso, como há 3 pessoas e dois lugares, não é preciso escolher, mas ordenar duas dessas pessoas nos dois lugares disponíveis. Isso pode ser feito de 3.2 = 6 modos diferentes, pela aplicação do Princípio Multiplicativo”;
“No segundo caso, como há 3 pessoas e 4 lugares, deve-se, primeiramente, escolher os três lugares em que essas pessoas irão sentar-se (que é um procedimentos que veremos adiante) e, depois, contabilizar o número de possibilidades das três pessoas se sentarem nos três lugares escolhidos, considerando cada umas das situações de lugares que foram escolhidos para elas se sentarem, o que recai numa situação análoga a que estamos procurando resolver. Mas esse é um assunto para ser tratado mais tarde.
“Essa maneira de falar sobre permutação simples ainda não está clara, não é mesmo? Parece que está meio confusa a caracterização acerca do que é uma permutação simples e como calcular a totalidade de permutações simples”.
“Ajudem-me a encontrar uma adequada caracterização para permutação simples e analisar as soluções que foram apresentadas pelos dois colegas.”
O pesquisador toma a caneta e escreve na lousa:
P12: “Permutação simples é uma maneira de ordenar coisas, objetos ou até mesmo pessoas em posições distintas pré-determinadas. Exemplo: anagramas da palavra ROMA”.
P4: “Não!”
P4: “Não pode ser uma permutação simples porque só tem dois lugares e três pessoas”.
P11: “Os objetos ou pessoas tem que ser diferentes e a quantidade de lugares deve ser igual à quantidade de objetos ou pessoas”.
P9: “Deve-se escolher as pessoas para depois ordená-las nos lugares”.
Finalidade: Encaminhar para a caracterização das permutações simples de n objetos distintos, a partir da obtenção das seis soluções para a situação-problema que foi proposta.
Interpretação:
Pareceu-nos que alguns professores associam o fato de arrumar/embaralhar objetos ou pessoas às permutações simples, sem terem certeza do porque fazem isso”.
Finalidade: Mostrar que uma permutação simples é uma maneira de ordenar/embaralhar uma quantidade de k objetos distintos em exatamente k posições, cada posição contendo um só objeto.
Mostrar que, diferentemente do caso de arranjos de n objetos, tomados k a k, onde k é menor do que n, ou seja, o quantitativo de objetos escolhidos para a ordenar é menor do que a quantidade de objetos disponíveis, nas permutações simples tem-se como característica marcante o fato de é preciso ordenar todos os distintos objetos em exatamente a mesma quantidade de lugares/posições disponíveis para tal.
No caso particular em que
326
1º lugar 2º lugar 3º lugar
“Os agrupamentos são formados pela ordenação das três pessoas nos três lugares disponíveis, não é mesmo?”.
“Para a 1ª posição há quantas possibilidades?”
“Essas três possibilidades seriam as de escolher uma das três pessoas Ana, Beto ou Clara para se sentar aqui, apontando”; Assim, uma das pessoas é escolhida e ela se senta em um dos três lugares, não é mesmo?.
Quantas possibilidades tem a segunda pessoa para se sentar?
Para a 2ª posição há duas possibilidades uma vez que uma das três pessoas já se sentou na primeira posição.
Quantas possibilidades tem a terceira pessoa para sentar-se? Como o professor P1 disse, finalmente para a 3ª posição resta somente uma possibilidade: a última das pessoas se sentar aqui, apontando.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, há 3x2x1 = 6 possibilidades diferentes para posicionar essas três pessoas nos três lugares.
Neste caso, cada uma dessas seis possibilidades é uma permutação simples das pessoas Ana, Beto e Clara se sentarem no banco que tem três lugares, apontando para a lousa. O que se fez foi aplicar o Princípio Multiplicativo à situação que foi posta. Como o quantitativo de pessoas é três, e também três é o número de lugares disponíveis para elas se sentarem, uma em cada lugar, diz-se que cada um dos agrupamentos que estão aqui na árvore de possibilidades (aponta) é uma permutação simples de três distintos objetos (neste caso, três pessoas). Assim, indicam-se por P3 , quando se tratar de ordenar/posicionar/embaralhar três distintos objetos em, exatamente, três lugares/posições. O cálculo de P3
está referido à aplicação do Princípio Multiplicativo e, como tal, será sempre um produto em que o primeiro dos fatores é o número dos distintos objetos e o último fator é sempre o 1 (considerando a ordem decrescente de se escrever os
P1: “É isso mesmo”.
P1: “três”.
P1: “duas”.
P1: ”uma”.
k = n, para os k objetos “escolhidos”, na verdade não se tem essa liberdade de escolha, pois todos os objetos serão utilizados para serem ordenados/embaralhados e aí, então, trata-se do caso de permutações simples. Assim, os arranjos simples se confundem com as permutações simples quando todos os objetos envolvidos são utilizados.
É essa a característica que se quer que fique clara para todos os professores.
Finalidade: Mostrar que é possível utilizar a notação Pn ou n! para determinar todas as diferentes possibilidades de ordenações com n objetos distintos. O mesmo se aplica para determinar a quantidade de anagramas de uma concatenação de n distintas letras.
O total de possibilidades de ordenar n distintos objetos é, então:
Pn = n! = n.(n-1).(n-2).....1
Observações: Constatou-se uma compreensão e uma superação das dificuldades reveladas no diagnóstico quanto à caracterização das permutações simples e a maneira de como proceder para se determinar todas as possibilidades. Os professores perceberam a importância de que todos os objetos/pessoas/letras devam ser distintos e que a quantidade de ordenações, espaços, lugares, anagramas é calculada como acima.
327
Finalizando as discussões, propusemos a seguinte situação-problema:
Situação-problema 3: Quantos anagramas tem a palavra AMOR?
O quadro a seguir, continuação do quadro acima, apresenta o modo
como prosseguiram as reflexões e as discussões pelos professores, de
maneira que os professores definissem (caracterizassem) uma permutação
simples contendo n objetos, distintos entre si.
fatores do produto). Por causa disso é que se escreve P3 = 3 x 2 x 1 = 6. A notação fatorial também se refere a uma maneira de escrever um produto em que todos os fatores são números naturais, e que se inicia por um deles e termina sempre pelo número 1 e representa uma notação simplificada do produto, podendo, assim, ser usada nestes casos. Mas não quer dizer que temos, necessariamente, que usar fatorial nos casos de permutações! É uma notação para se escrever o produto. Na verdade, se pensarmos em relação ao que já vimos nos encontros anteriores, o cálculo da totalidade de permutações simples nada mais é do que um caso particular do uso de arranjos simples e, em último caso, como se pode ver aqui, da aplicação do Princípio Multiplicativo, mais uma vez. Tudo é derivado desse Princípio, razão porque fizemos questão de trabalhar com ele, exaustivamente, nos quatro primeiros encontros. Finalizando: diz-se que a situação se refere ao caso de permutações simples quando se quer ordenar/embaralhar todos os objetos, distintos, (colocá-los segundo uma ordem) para a mesma quantidade de posições.
Mas, há os casos em que é preciso ordenar/arrumar objetos em que nem todos eles são distintos entre si, ou seja, em que há elementos repetidos, que é o caso das permutações com objetos repetidos e também outras situações em que os objetos devem estar ordenados/dispostos segundo uma “arrumação/disposição” de maneira próxima à forma de um círculo, que é conhecida poro caso das permutações circulares.
328
Quadro 9. Conhecimentos do professor sobre permutações simples. Continuação. Fase de intervenção.
Durante a resolução das situações-problema constantes do quadro
acima foi proposto que os professores explorassem o Princípio Multiplicativo, o
Princípio Aditivo, o uso recorrente uso raciocínio combinatório e a construção
de árvores de possibilidades (adequada pelo pequeno número de objetos
envolvidos) ou outra representação, para obter a solução.
Entendemos que a proposição de uma situação-problema de contagem,
pelo fato de se revestir de um desafio no sentido de mobilizar estratégias para
dar conta da solução, também permite que essa busca da solução faça emergir
a apropriação de conteúdos - a determinação do tipo de agrupamento objetos
que está presente - e os procedimentos utilizados.
Assim, a proposição das duas situações-problema de contagem teve
como objetivo o de permitir que os professores disparassem as estratégias e os
procedimentos necessários para a construção de um novo conceito
combinatório. Essa é uma alternativa, um ponto de partida, que utilizamos para
caracterizar os agrupamentos de objetos, considerando a necessidade do
pensar combinatório (raciocínio combinatório) e com ela encaminhar a
Ações do Pesquisador
Falas/registros/ ações dos
professores participantes de nossa pesquisa
Observações do pesquisador
Quase todos os professores responderam de modo uníssono:
4! = 24 possibilidades.
Finalidade: Mostrar que é possível utilizar a notação Pn ou n! para determinar todas as diferentes possibilidades de ordenações com n objetos distintos. O mesmo se aplica para determinar a quantidade de anagramas de uma concatenação de n distintas letras.
O total de possibilidades de ordenar n distintos objetos é, então:
Pn = n! = n.(n-1).(n-2).....1
Observações: Constatou-se uma compreensão e uma superação das dificuldades reveladas no diagnóstico quanto à caracterização das permutações simples e a maneira de como proceder para se determinar todas as possibilidades. Os professores perceberam a importância de que todos os objetos/pessoas/letras devam ser distintos e que a quantidade de ordenações, espaços, lugares, anagramas é calculada como acima.
329
obtenção da fórmula para a contagem das possibilidades de solucionar cada
um dos problemas.
Assim, uma permutação simples de n objetos distintos foi caracterizada
pelo grupo como sendo um agrupamento que contém todos os n objetos que
satisfazem às condições impostas por um problema de contagem, no sentido
de obter uma ordenação da totalidade desses objetos, ou seja: uma
permutação simples ocorre quando todos os objetos são ordenados/arrumados
em exatamente o mesmo número de posições/lugares que a quantidade de
objetos.
No quadro acima mostramos como o grupo explicitou uma maneira
(fórmula) que determina a contagem de todas as possibilidades possíveis de
ordenar os n objetos (total de permutações simples de n objetos distintos).
Essa maneira de explicitar foi decorrente das reflexões e discussões do
grupo a partir das soluções apresentadas no quadro branco para um particular
problema de contagem proposto aos professores e o refinamento das
definições adotadas por alguns professores quando das respostas à pergunta
do questionário Q3 e derivada da prática de alguns deles, contando com a
mediação do pesquisador para encontrar a melhor maneira com que o grupo
compreendesse e se apropriasse do conceito e a maneira adequada de fazer
isso.
Entendemos que quando estamos diante de um problema de contagem
com a necessidade de identificar o tipo de agrupamento de objetos envolvido e
a maneira de proceder à contagem desses agrupamentos, mais que uma
definição formal que acrescentaria pouco para a compreensão do conceito é
fundamental que o grupo caracterize o agrupamento de objetos e se aproprie
de um modo para quantificar todas as possibilidades de se construírem esses
agrupamentos.
Conhecimento do professor sobre permutações em que nem todos os objetos são distintos
Os propósitos foram o de caracterizar uma permutação em que nem
todos os objetos são distintos e a obtenção de uma fórmula que permitisse
calcular a totalidade de permutações com essas características e satisfazem às
330
condições impostos pelo problema enquanto os professores refletiam e
discutiam sobre a solução de uma situação-problema de contagem.
Dentre diversas situações-problema que foram propostas para resolução
e reflexões, destacamos a situação a seguir:
Situação-problema 1: Em um jogo de futebol o placar final apontou 4 x 3 para
o time visitante.
a) Quantas são as possibilidades em que os gols dessa partida possam ter
ocorrido?
b) Faça uma representação mostrando todas as possibilidades em que os gols
poderiam ter saído durante a partida de futebol atendendo à condição da
totalidade dos gols.
c) Como você faria para desenvolver a resolução dessa situação com seus
alunos?
d) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado
trabalhar propor essa questão aos alunos? Por quê?
O quadro a seguir apresenta o modo como foram feitas as reflexões e as
discussões pelos professores e a mediação encaminhada pelo pesquisador de
maneira que os professores definissem (caracterizassem) uma permutação em
que nem todos os n objetos são distintos.
Quadro 10. Conhecimentos do professor sobre permutações em que nem todos os objetos são distintos. Fase de intervenção
Ações do
Pesquisador
Falas/registros/ações dos professores
participantes de nossa pesquisa
Observações do
pesquisador
“A totalidade dos professores presentes respondeu o item (a) em conjunto com o item (b) apresentando a representação como ao lado e respondendo que o total era de 19 possibilidades,”.
“Indicaram V como “visitante” e C como “casa” e interpretaram a situação-problema como os possíveis placares da partida até 4 x 3 para o visitante”.
“A totalidade dos treze professores fez a representação como ao lado ou através de uma tabela de dupla entrada com os
P12: “Sem considerar que todo jogo inicia-se por 0 x 0, temos em uma tabela de dupla entrada, e portanto 19 possibilidades”
P1: “Nós fizemos a mesma coisa que o professor P12, mas em uma árvore de
Finalidade:
Através de uma situação-problema cujo enunciado é familiar a todos: gols feitos em uma partida de futebol, explorar a obtenção de todas as soluções através de uma árvore de possibilidades e caminhar no sentido de conceitualizar anagramas com repetição de letras e a maneira de obter o total de
331
possíveis placares do confronto”.
“Essa situação-problema fez com que todos os professores se movimentassem entre os grupos de modo a encontrarem uma solução que fosse do entendimento de todos, pois o enunciado da situação não lhes era familiar”.
Foi dado um tempo para que todos os professores completassem a árvore em seus apontamentos e o resultado fosse apresentado. Vários resultados foram apresentados, mas estavam errados.
Os professores foram se inquietando e consideraram a situação-problema bastante trabalhosa e cansativa.
O pesquisador sugeriu que, a guisa de um exemplo com o mesmo propósito, eles construíssem a árvore de um possível placar de V 2 x C 2 e, então respondessem: qual é o resultado?
Para essa sugestão, todos acertaram a resposta, que é seis. Depois, o pesquisador sugeriu o placar: Visitante 3 x 2 Casa.
Os professores responderam corretamente, após terem construído a respectiva árvore de possibilidades.
O pesquisador perguntou se teriam como resolver a situação através de uma operação aritmética e, para tal, que observassem a sequência dos gols constantes nos “galhos” terminais da árvore de possibilidades.
Dado um tempo, nenhuma das respostas que foram apresentadas estava correta.
O pesquisador começou por analisar o placar 2 x 2 e perguntou aos professores o que eles viam de comum nas indicações constantes nos “galhos” terminais através das “quádruplas de possibilidades de ordenação dos gols na partida”.
Eles então perceberam que por duas vezes aparecia a letra V e por duas vezes a letra C. Para o placar 3 x 2, perceberam então que por 3 vezes aparecia o V e por 2 vezes aparecia o C.
Mais uma vez, estipulado um tempo para que refletissem a respeito, os professores não encontraram uma expressão aritmética que desse conta da solução.
O pesquisador chamou a atenção de que, se o time visitante havia feito 3 gols, e esses três gols foram indicados por V,
possibilidades”.
V C
1
0 2
3
0
1
1 2
3
0
1
2 2
3
0
1
3 2
3
0 19
1 possibilidades
4 2 diferentes
3
“As respostas foram desde a árvore de possibilidades até a tabela de dupla entrada”.
“Um professor indicou o 6º ano; três professores indicaram o 7º ano, três professores indicaram o 8º ano, um professor o 9º ano, dois professores o Ensino Médio: “pelo grau de dificuldade” e três professores não responderam”.
possibilidades desses anagramas.
Observação:
O grande número de gols na partida: sete, o que não é comum, trouxe como resultado o desgastante trabalho de construir uma árvore de possibilidades que desse conta da solução à situação proposta e o cansaço para a procura da solução correta fez com que os professores desanimassem e o objetivo a que se propunha a sua exploração não foi totalmente obtido.
Melhor seria se tivéssemos começado por um placar 2x1 e, talvez, em uma segunda opção com o placar 3x2 fosse a estratégia mais adequada a sugerir. Fica o aprendizado.
Consideração:
Quando os professores apresentaram a solução no quadro branco, o pesquisador pediu que eles relessem o enunciado da situação-problema e se certificassem de que o que fizeram era o que o enunciado pedia.
Após relerem o enunciado perceberam, com a mediação do pesquisador, que tinham considerado os placares possíveis de uma partida, mas não todos. Porque não haviam considerado V 0 x 2 C, por exemplo?, e daí ficou esclarecido que o que foi pedido são todas as possibilidades de ocorrência dos sete gols na partida.
Considerando o grande número de possibilidades, a árvore de possibilidades foi sendo construída, mas não foi completada no quadro branco.
332
eles estariam representados em três das cinco posições da “quíntupla” de possibilidades e os outros dois gols do time da casa, indicados por C, estariam em duas das cinco posições.
Assim, a totalidade de possibilidades é o resultado da permutação com repetição de 5 objetos, sendo 3 iguais a V e dois iguais a C, totalizando 5! ÷ (3!.2!) = 10 possibilidades.
Desse modo, o total de possibilidades da situação-problema proposta é de 7! ÷ (3!.4!) = 35 possibilidades.
Muito embora os professores, a esta altura, já tenham se apropriado de procedimentos e reunido experiências para enfrentar este tipo de situação-problema, consideramos que, talvez devido ao fato de não terem compreendido o enunciado da questão, de início, eles tenham se desgastado como a demora na obtenção da solução à situação e as reflexões já não eram boas o suficiente para motivá-los a prosseguir.
Mesmo tendo sido feito a releitura e o posterior entendimento do enunciado, a situação ainda apresentava dificuldades para que pudessem chegar a obter a solução até o fechamento da “quíntupla de ordem dos gols da partida”, no exemplo do placar V 3 x 2 C.
Por conta disso consideramos que a situação-problema não foi adequada para este encontro.
O objetivo inicial de poder identificar - através da árvore de possibilidades - situações de permutações com repetição de objetos não foi boa, em virtude de que, talvez por haver um enorme número de possibilidades: um total de 35, isso causou um enorme cansaço aos professores e inviabilizou o objetivo planejado.
Observação:
Ficou para o próximo encontro a exploração do conceito de permutações com repetição de objetos.
A proposição da situação-problema acima teve como objetivo inicial o de
verificar como os professores reagiriam diante da busca da solução para uma
situação-problema na qual, em princípio, eles não iriam mobilizar
procedimentos anteriormente trabalhados (mesmo considerando que a árvore
de possibilidades se presta a esse contexto) e cuja resolução permitiria
identificar o tipo de agrupamento de objetos envolvidos na resolução da
situação proposta, caminhando para uma caracterização deles.
333
Essa situação-problema permitiu ao grupo discussões e reflexões
proveitosas pelo fato de se tratar de uma situação que habitualmente não está
presente nos livros didáticos.
O enunciado, em princípio facilmente compreensível para os professores
(ao menos era essa, a concepção do pesquisador), não se confirmou quando
eles se debruçaram nas reflexões para obter a solução e as discussões que se
seguiram.
Então, considerando que o professor viria a se deparar com um
problema contextualizado e de enunciado fácil, esperava-se que ele
mobilizasse novas estratégias para resolvê-lo em função de não haver
resolvido nenhum problema similar.
Em princípio o uso de uma fórmula não daria conta da resolução (muito
embora ela possa ser utilizada) considerando que ela não é usual para essa
classe de problemas e também porque seu uso demandaria mobilizar
conhecimentos mais específicos.
Por essa razão, quando propomos essa situação-problema
consideramos que seria pouco provável que a resolvessem através da
aplicação de uma fórmula, pois era nosso propósito que os professores
identificassem que os agrupamentos construídos levariam à determinação da
fórmula e, então, restaria aos professores mobilizar novas estratégias de
resolução via representações.
Ao sugerir o uso da árvore de possibilidades para obter as soluções e a
possibilidade de efetuar a contagem direta dos agrupamentos envolvidos nosso
objetivo foi o de, mais uma vez, mostrar a potencialidade dessa representação
como uma alternativa viável para obter a solução.
Quando a árvore estivesse completa ela serviria para auxiliar o professor
na busca de uma maneira diferente para obter a solução com o uso de
operações aritméticas e também permitir que o professor refletisse sobre os
procedimentos que levaram à construção da árvore e às similaridades que
existem entre os agrupamentos de objetos obtidos favorecendo a obtenção da
fórmula, um dos propósitos quando da proposição do problema.
334
De início, a apresentação das soluções e as discussões que se
seguiram levaram ao entendimento equivocado dos professores de que as
reflexões deveriam ser feitas em função dos possíveis resultados (placares).
Esta possibilidade, evidentemente, não estava presente no enunciado uma vez
que ele se referia aos gols que foram convertidos durante a partida.
Feitas as devidas explicações, reflexões e discussões a respeito do
entendimento que deveria ser emprestado ao enunciado, um novo tempo foi
disponibilizado para que os professores apresentassem a solução à situação
proposta.
Após a apresentação de nova rodada de possíveis soluções, embora os
professores tenham mobilizado diferentes modos de encaminhar resoluções
para obter a solução, até com o uso de fórmulas, elas não estavam corretas. O
pesquisador aproveitou o encaminhamento dado por uma delas para, junto
com os professores, encaminhar a construção da árvore de possibilidades
(considerada cansativa por alguns professores) e proceder à caracterização da
aplicação da fórmula que dá conta desta solução. Por conta disso, creditamos
como bastante proveitosas as reflexões e as discussões que o grupo de
professores promoveu.
As discussões mostraram-nos pistas de como os professores estavam
“presos” à resolução de situações-problema com as quais seja possível que
façam analogias com o que conhecem e dominam, mas têm dificuldades
quando um novo problema é proposto para que eles o resolvam e, de início,
não tenham lembrança de terem resolvido algum problema similar àquele.
Ou seja, os professores não se dão conta de lembrar de algum problema
análogo no qual possam se apoiar para fazer relações e, por essa razão,
passam então a utilizar-se do repertório de estratégias, procedimentos e
fórmulas que conhecem na ânsia de obter, de imediato, a solução do problema
com quase nenhuma reflexão a respeito do quantitativo que obtiveram e as
operações que utilizaram e, muitas vezes deixam de lado a oportunidade de
desenvolver o raciocínio combinatório junto a novas estratégias, as quais
poderiam vir a mobilizar novas ideias na busca da solução.
335
É o fazer pensar, o agir, o tomar decisões, que eles ainda não estão
habituados a fazer com frequência.
Por outro lado, mesmo quando fazem relações com outras situações
com as quais julgam haver correlação, eles também necessitam realizar novas
mobilizações, mesmo que simples e também aí encontram dificuldades para
encaminhá-las, uma vez que após a leitura do enunciado do problema de
imediato já querem “enquadrar” o novo problema tal qual a algum daqueles que
eles tomam como referência.
Assim, essa situação-problema mostrou que nem com a disponibilidade
de algumas fórmulas que eles conheciam para serem usadas e estratégias que
eles dominavam, até então, foram suficientes para que a solução fosse obtida.
Tal fato desestabilizou parte do grupo que ainda insistia em se valer do
uso intensivo de fórmulas na ânsia de obter a solução ao problema, o que não
ocorria e os deixava desanimados frente aos sucessivos insucessos de
resolução.
Embora o pesquisador tenha pedido que eles poupassem o tempo com
o uso das fórmulas para obter a solução àquele particular problema e se
debruçassem em compreender o conceito que estava por detrás da busca da
solução fazendo uso da construção de uma árvore de possibilidades de
maneira a que pudessem identificar as características dos objetos envolvidos,
mesmo que não construíssem completamente a árvore, não foi atendido pela
maioria dos que ainda tentavam obter a solução.
Portanto, em princípio não haveria uma fórmula cuja aplicação imediata
pudesse dar conta da solução e por isso os professores deveriam mobilizar
outros procedimentos para obter a solução.
As reflexões, discussões e preocupações presentes durante o
encaminhamento para a obtenção da solução para esta situação-problema
também estão presentes nas orientações dos autores do “Caderno do
Professor” em São Paulo (2009), com as quais partilhamos de suas ideias:
[...] consideramos fundamental que os alunos encarem cada situação-problema desse conteúdo com se a estivessem fazendo pela primeira vez, de maneira que explicitem o raciocínio que adotam por intermédio de desenhos, diagramas etc. Nesse contexto, a representação das árvores de possibilidades é prioridade, se não em
336
100% dos problemas, mas sempre que sentirem uma nova dificuldade (SÃO PAULO, 2009, p. 24).
Em concordância com as ideias dos autores da citação acima e
conforme o nosso entendimento acrescentamos à essa citação - a partir da sua
finalização - o seguinte: “ou então quando julgarem mais adequadas à
resolução da situação-problema”, principalmente quando se está
desenvolvendo o conteúdo de Problemas de Contagem no Ensino
Fundamental.
Segundo a avaliação que fizemos com os professores e considerando
que a resolução da situação-problema acima não foi suficiente para a
apropriação dos conceitos referentes às permutações em que nem todos os
objetos são distintos e também ao fato de que uma fórmula para calcular a
totalidade das possibilidades não foi estabelecida, uma nova situação-problema
foi proposta de modo a alcançar esses propósitos.
Assim, para complementar a discussão sobre as questões relacionadas
com esse tipo de permutações foi retomada uma questão presente no
questionário Q2 que tinha como objetivo o de tratar das permutações que têm
alguns objetos repetidos - objetos iguais - diferentemente do que foi o
tratamento que se emprestou para o caso das permutações simples - caso em
que todos os objetos são distintos entre si.
Dentre diversas situações-problema que foram propostas para resolução
e reflexões, destacamos a situação a seguir:
Situação-problema 2: Quantos anagramas tem a palavra OVO?
O quadro a seguir apresenta o modo como foram feitas as reflexões e as
discussões pelos professores e a mediação encaminhada pelo pesquisador de
modo que os professores ampliassem seus conhecimentos sobre os casos
particulares de anagramas (permutações) em que nem todos os n objetos são
distintos.
337
Quadro 11. Conhecimentos do professor sobre permutações com objetos nem todos distintos. Anagramas. Fase de intervenção
Ações do Pesquisador
Falas/registros/ações dos professores participantes de Nossa pesquisa
Observações do pesquisador
“Por favor, quem já tem uma solução para a situação-problema apresente-a no quadro branco”.
“Alguém tem uma solução diferente daquela que o professor P1 apresentou?”.
“E agora, mas algum colega teria outra solução para nos apresentar?”.
“Antes de analisarmos as soluções apresentadas e discutir sobre o encaminhamento dado a delas, vou pedir a vocês que reflitam um pouco sobre o enunciado da situação”.
“O que é pedido na situação?”. “Que tipo de agrupamento deve ser considerado?”.
“Sim, professor P13. Mas, que tipos de agrupamentos ou anagramas são esses? Explique mais”. “Que características esse agrupamentos devem ter e que os diferem dos agrupamentos em que todas as letras são diferentes?”.
“Alguém pode acrescentar algo mais a essas duas características?”.
“De fato, essas duas características são importantes: agrupamentos em que a ordem em que as letras são apresentadas é importante e todas as letras devem ser utilizadas, inclusive aquelas repetidas”.
“Assim, o resultado apresentado pelos dois colegas está correto, não é mesmo?”. “Portanto, há 3 distintos anagramas para a palavra OVO”.
”Vamos agora fazer uma análise a respeito dessas soluções”.
“Dirigindo-se ao professor P1: o que significa a indicação e porque você a utilizou?”
“Mas como você sabe que se trata de uma situação-problema que envolve o
P1: “Vou escrever aqui na lousa a minha
solução: = = 3”.
P11: “Eu escrevo diferente do professor P1, mas o resultado é o mesmo: P3,2 = 3”.
Silêncio.
P13: “Anagramas é quando se tem letras, repetidas ou não”.
P1: “Temos que dividir para retirar a repetição das letras no anagrama”.
P1: “Que temos três letras sendo que duas delas são iguais e que todas as letras devem aparecer nos anagramas que queremos mostrar”.
P1: “Esse é o símbolo de permutações que tem letras repetidas. O 3 indica o total de letras e o 2 é o total de letras repetidas, e, por conta disso escreve-se assim, apontando para a solução”.
P1: “Eu sei que 3! é o total de permutações das 3 letras e o 2! são as permutações das
Finalidade: “Caracterizar” com o grupo de professores as permutações com objetos nem todos distintos, identificando componentes na caracterização das permutações com objetos nem todos distintos relativos à contagem que é feita em excesso quando objetos “iguais” são considerados como se fossem diferentes entre si e cuja não identificação pode gerar concepções incorretas desses agrupamentos de objetos em outras situações em que é preciso ordenar ou arrumar todos os objetos, alguns deles iguais, em exatamente o mesmo quantitativo de posições ou lugares.
Finalidade: Encaminhar para a caracterização das permutações em que pelo menos um dos objetos aparece repetido mais que vez dentre todos os objetos, de um total de n objetos, tomando como referência o encaminhamento que será feito para justificar a obtenção das três soluções para os anagramas da palavra OVO, através de uma fórmula, apresentado pelos professores.
Interpretação: Pareceu-nos que alguns professores associam o fato de arrumar/embaralhar objetos ou pessoas em que algum ou alguns deles estão
338
conteúdo de permutações, se nada foi dito no enunciado?”.
“Falando na direção do professor P1: Você pode apresentar essas três possibilidades através de uma árvore de possibilidades?”.
“Apontando para árvore que o professor P1 escreveu na lousa: Essa é a árvore que o professor P1 nos apresentou e a quantidade de possibilidades está aqui nos “galhos terminais” e é a mesma como já foi feito nas soluções anteriores, não é mesmo?”
“A árvore de possibilidades confirma que, de fato, há três anagramas para a palavra OVO”.
“O professor P11 escreve de outra maneira para indicar que tem 2 letras iguais. Quando tem mais que um letra repetida, como você faz?” “Porque essa notação foi usada, esse símbolo?”
“Então, quer dizer que toda vez que se está diante de uma permutação com letras repetidas temos que usar uma divisão e colocar a totalidade das letras com fatorial no numerador e a totalidade das letras que se repetem com fatorial no denominador e calcular o resultado da divisão?”
“Qual a explicação para se fazer assim?”.
“Quando vocês responderam ao questionário que foi proposto no 1º encontro vocês não se referiram a essa situação, pois lá só pedíamos para caracterizar permutações simples. Só pedimos para calcular o total de anagramas em uma situação-problema do primeiro questionário, lembram? E lá havia três itens, com letras repetidas e sem repetição: ROMA, PAPA e ATACA, vocês lembram disso?”. “Nós iremos retornar a essas questões, em seguida”
“Professor P11: Então o que interessa é a quantidade total de letras e o total das repetições? E porque tem que dividir?”.
“Mas vocês ainda não explicaram porque a solução à situação tem que usar permutações se essa questão, agora, é diferente daquelas em que todas as letras são diferentes. Quer dizer: falou em anagramas tem fatorial
duas repetidas que eu tenho que dividir, pois elas são iguais. Aí, dá como resultado da divisão o três”.
P1: “Mas é claro que sim. Está aqui”.
O V (O,O,V)
0
V O (O,V,O)
V O O (V, O, O)
P11: “Vou colocando um número seguido do outro, pois sei que o primeiro número é o total de letras do anagrama e o que vem depois são as quantidades de letras repetidas”
Silêncio.
P11: “Toda vez que se tem permutações se usa fatorial, apontando para a sua solução”.
Silêncio.
Silêncio.
repetidos ao procedimento de uma divisão sem se aperceberem e terem conhecimento justificável do porque fazem isso. Se a operação da contagem de todos os anagramas foi feito através de um produto (a partir do símbolo do fatorial de n), “abater” o quantitativo de anagramas considerados diferentes, mas que na verdade representam o mesmo anagrama, indica considerar conceitos relacionados com proporcionalidade/comparação, ou seja: Se cada 2 anagramas de OVO considerados diferentes pelos diferenciados índices 1 e 2 na letra O (como se fossem distintas letras O) (consideradas duas diferentes permutações simples) representam o mesmo anagrama (a mesma permutação simples), quando se tem o total de 3! (seis) distintos anagramas, o que se tem, na verdade, são três anagramas distintos.
O que se tem é a seguinte proporcionalidade: Considerando 3! = 6 distintos anagramas, para cada 2! = 2 anagramas (permutações simples) corresponde a 1 anagrama com 2 letras O repetidas.
Para cada 3! = 6 (permutações simples)
correspondem a = 3 anagramas com 2 letras O repetidas.
Para o caso dos anagramas de ATACA, tem-se a seguinte proporcionalidade a considerar: se cada 3! = 6 anagramas de ATACA considerados distintos (permutações simples) (pela colocação de índices 1, 2 e 3 nas letras A) representam o mesmo
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e, se há letras repetidas, tem que dividir, não é mesmo? Acontece, porém, que esse procedimento tem que ter uma explicação do porque se faz isso, não é mesmo? Lembrem-se do Joãozinho que está em todas as classes, atormentando o professor com perguntas interessantes e que por vezes deixa o professor em situações embaraçosas. Só não vale responder a ele que ainda não é capaz de entender o porquê se faz isso assim. Que mais tarde ele vai descobrir. Mas quando será isso? Ou nunca será?”
“Eu ainda não sei o que é um anagrama com letras repetidas ou permutação com objetos repetidos”. Vamos lá pessoal! Temos de encontrar explicações convincentes de que essa maneira de obter o total de anagramas sempre dá certo, para todos os casos, não é mesmo?”.
“O professor P7 vai à lousa e escreve uma “definição”. O professor P7 está certo?”.
“Vamos então sistematizar: porque não se pode escrever assim: permutação com repetição de coisas, objetos, letras é cada ordenação, arrumação, colocação, encadeamento de letras considerando que o que está repetido será apresentado na ordenação, e que uma permutação é distinta da outra quando ao menos em uma das posições haja objetos ou letras diferentes entre si”. “Ficou melhor, não?”
“Falta agora justificar o procedimento que os colegas utilizaram para determinar o quantitativo dos anagramas, no particular caso da palavra OVO e depois generalizar para outras situações”
“De modo que possamos avançar nas nossas discussões, queria que vocês prestassem atenção sobre o encaminhamento que sugiro possamos dar para essa questão e de modo a justificar o que os colegas fizeram e que todos vocês também devem ter feito”.
Vamos considerar, por hipótese, que a palavra OVO não tenha duas letras “O” iguais. “De modo a diferenciá-las, vamos colocar índices nas letras iguais, assim ficamos: O1VO2”.
P7 escreve na lousa: “Permutação com repetição é uma ordenação de coisas, objetos ou até mesmo pessoas em posições distintas pré-determinadas, quando se tem alguma letra repetida”.
Alguns dos professores: a resposta do professor P7 está certa, sim!
Outros professores: ainda não está claro.
anagrama, tem-se a proporcionalidade 6 para 1.
Por outro lado, quando se tem o total de 5! = 120 anagramas considerados distintos (permutações simples), quando na verdade não o são, considerar-se-á que na
realidade se tem = 120 6 = 20 anagramas
distintos.
Esta compreensão é fundamental para o entendimento de situações em que objetos ou letras iguais são considerados como sendo distintas e se consideram as ordenações de todos os objetos e depois se faz a proporcionalidade descontando as ordenações em que os objetos ou letras são iguais.
Importante:
A compreensão e a importância que os professores emprestarem a essa questão, importante e decisiva que é, é um passo decisivo para o entendimento de situações em que a operação inversa da multiplicação é requerida - desde os primeiros significados que se deva dar à multiplicação e à divisão de números naturais – em que ambas devam ser trabalhadas em conjunto, como prescrito nos PCN (1997, 1998), por exemplo, desde os primeiros anos do Ensino Fundamental.
Finalidade:
Tal qual a caracterização das permutações simples, precisa ficar claro que todos os objetos ou letras considerados como distintos de início, razão porque se toma o fatorial de todos eles (eles são,
340
“Agora, vamos construir uma árvore de possibilidades contendo todos os anagramas de O1VO2”.
O1 O2 (+)
V
O2 O1 (*)
V O2 (+)
O1
O2 V (+)
V O1 (*)
O2
O1 V (*)
“ Observe que os agrupamentos que estão indicados por (*) e os indicados por (+) são iguais. Na verdade sabemos que não há as letras O1 e O2, bem como que sejam diferentes entre si, como consideramos quando fizemos a árvore”. “A igualdade entre esses “agrupamentos” é decorrente do fato de que consideramos de início, que O1 e O2 fossem letras distintas. Como as letras O1 e O2 são a mesma letra O, contamos cada anagrama em duplicidade, ou seja, 2! = 2 vezes mais”. “Mas, porque houve a duplicidade? A cada vez que consideramos O1 e O2 como letras diferentes, os anagramas O1VO2 e O2VO1 são considerados como diferentes, mas isso não é verdade. Assim, as permutações das letras O1 e O2, quando consideradas como letras distintas, num total de P2 = 2! = 2, fazem-nos considerar que as P2 = 2 permutações das “letras” O1 e O2 representam uma só permutação”.
“Por exemplo, no caso dos anagramas da palavra ATACA, que foi objeto do questionário 1, cada vez que considerarmos as letras A como distintas, ou seja, A1, A2, A3, cada um dos anagramas será contado 3! = 6 vezes, correspondente às permutações entre as “letras” “A1”, “A2” e “A3”, como distintas letras. Assim, se as letras fossem diferentes, obteríamos P5 = 5! anagramas.
Portanto, tem-se a seguinte proporcionalidade a considerar:
3! = 6 anagramas “iguais” correspondem a 1 mesmo anagrama.
Logo, 5! = 120 anagramas
correspondem a distintos anagramas. Por conta disso é que se tem:
Quase todos responderam de modo
uníssono: = 6 anagramas para o primeiro caso e
.= 20
inicialmente, considerados como distintos. E esta é uma característica marcante).
Por outro lado, o fato de que é preciso ordenar todos os distintos objetos em exatamente a mesma quantidade de lugares ou posições ou encadeamento de letras, disponíveis para tal e, em seguida, abater dessa contagem total as situações em que um dado agrupamento foi considerado como diferente, embora não o seja, é outro importante passo a ser dado.
Finalidade: Mostrar que é possível utilizar a notação Pn ou n! para determinar todas as diferentes possibilidades de ordenações com n objetos distintos, bem como que o mesmo se aplica para determinar a quantidade de anagramas de uma concatenação de n distintas letras e, em seguida, desconsiderar as repetições consideradas..
Observação: Constatou-se uma compreensão e uma superação das dificuldades reveladas no diagnóstico quanto à obtenção de todas as possibilidades de anagramas no caso de haver pelo menos alguma letra repetida muito embora tenhamos constatado que a maioria dos professores sabia utilizar essa técnica, embora não conhecessem a justificativa para aquilo que faziam. Os professores perceberam a importância de que todos os objetos ou letras devam ser considerados distintos, de início, para a contagem das possibilidades considerando todos os objetos ou letras como distintos e, em seguida, “abater”, ou “desconsiderar” aqueles
341
O tratamento que foi dado às permutações em que nem todos os objetos
são distintos guarda semelhança com aquele que foi feito com as permutações
simples, pois também nesses casos todos os objetos devem ser
considerados/utilizados e, inicialmente, considerados como sendo todos
distintos entre si de modo a considerar uma permutação simples, ordenando-os
de maneira a obter uma permutação simples e, em seguida, proceder de
maneira a desfazer a referida ordenação uma vez que os objetos não são
todos distintos.
Além da caracterização desse tipo de agrupamentos, foi discutida com
os professores uma maneira de efetuar a contagem de todas as possibilidades
para se construir todos esses agrupamentos e enfatizar a importância de
justificar regras e procedimentos que muitas vezes são apenas memorizadas e
usadas de maneira mecânica, desprovidas de reflexões a respeito daquilo que
está por detrás das operações matemáticas e dos elementos constituintes.
O tratamento inicial que foi emprestado às permutações em que nem
todos os objetos são distintos teve como um dos propósitos o de justificar o
procedimento para o cálculo do número de possibilidades diferentes de ordenar
esses objetos, ou letras, mediante a obtenção de uma fórmula para tal.
Considerando que seria preciso aprofundar um pouco mais em outros
conceitos que estão por detrás da solução a problemas que guardam uma
relação próxima a estas, bem como em relação à necessidade de se fazer
= = 20”.
Poderíamos também escrever assim:
= = 20”.
“No caso geral, para a1 + a2 + ..... + an
= n, tem-se: =
”.
Questões:
“Quantos anagramas tem a palavra PAPA?”.
“De quantas diferentes se pode ordenar três bolas exatamente iguais, e dois carrinhos diferentes, em fila?”.
possibilidades no segundo caso.
que foram considerados diferentes e que, na verdade, são possibilidades iguais e o modo de se fazer isso.
Alguns dos professores afirmaram não terem tido a oportunidade de conhecer a justificativa para o procedimento que faziam pois os livros didáticos não o fazem, embora se utilizem dele como bastante naturalidade.
342
considerações relacionadas a esses conhecimentos, foram propostas outras
situações-problema, as quais se encontram no Apêndice I.
Na perspectiva de Shulman (1986), esses conhecimentos são do
conteúdo especializado – envolvem um tipo de raciocínio matemático além
daquele exigido, por exemplo, para a execução de exercícios ou tarefas
cotidianas presentes na maioria dos livros didáticos.
Ou seja, são conhecimentos necessários ao ensino de Combinatória
(problemas de contagem) com respeito à identificação da adequada estratégia
que deve ser usada para a busca da solução à situação proposta, da
necessidade de se fazer comparações com outras situações já resolvidas, bem
como em relação à tomada de decisão do particular caminho que deverá ser
seguido envolvendo a decisão de aplicar um novo procedimento para
desenvolver as soluções para estes tipos de problemas de contagem.
Destaca-se que os conhecimentos relacionados com a
proporcionalidade estabelecida entre uma permutação simples e às
permutações em que nem todos os objetos são distintos caracteriza-se como
elemento decisivo para a compreensão dos encaminhamentos havidos para a
dedução da fórmula estabelecida, com o propósito de afastar convicções
associadas a procedimentos repetitivos que não guardam a apropriação dos
conceitos envolvidos para a perfeita compreensão dos procedimentos
utilizados.
Conhecimento do professor sobre combinações simples
O bote inicial para a caracterização e sistematização do conceito de
combinações simples foi a proposição de um problema de contagem no qual
deveriam ser escolhidos dois amigos, de um grupo de cinco amigos, para
ambos participarem de plantões de trabalho aos domingos, em que deveriam
ser mobilizados procedimentos para identificar todas as possibilidades de
obtenção dessas duplas de amigos e, em seguida, encaminhar para a definição
(caracterização) de uma combinação simples.
O propósito também foi o de estabelecer uma fórmula que pudesse
computar o total de combinações simples que obedecem à condição de
escolha de conjuntos com p dentre n objetos distintos disponíveis,
343
considerando as concepções dos professores do grupo e a mediação do
pesquisador.
Dentre diversas situações-problema que foram propostas para resolução
e reflexões, destacamos a situação a seguir:
Situação-problema 1: Um grupo de 5 amigos mora perto uns dos outros e
todos trabalham no mesmo restaurante. Para o plantão aos domingos, o
gerente sempre escolhe dois deles para trabalhar e precisa fazer uma escala
para certo período com os nomes dos componentes das duplas para afixar no
quadro de avisos. Qual a quantidade de diferentes duplas que ele poderá
formar sem que haja repetição dos dois amigos a cada domingo?
O quadro a seguir apresenta o modo como foram encaminhadas as
reflexões e discussões pelos professores e a mediação promovida pelo
pesquisador de modo que os sujeitos de pesquisa reunissem possibilidades de
ampliar seus conhecimentos, tendo como finalidade caracterizar (sistematizar)
agrupamentos de objetos que pelas características de seus elementos
identificariam uma combinação simples de p objetos distintos escolhidos dentre
n objetos distintos dados (“uma combinação de n p a p”).
Ou seja, uma combinação simples é um conjunto formado por p
elementos dentre n objetos disponíveis. Por meio da resolução de uma
situação-problema é possível identificar as características dos objetos que
deverão participar dos agrupamentos que atendem à solução, ou seja,
particularidades próprias dos objetos que deverão compor os conjuntos, isto é,
todas as combinações simples de objetos.
Relembrando, foi proposta a seguinte situação-problema:
Situação-problema 1: Um grupo de 5 amigos mora perto uns dos outros e
todos trabalham no mesmo restaurante. Para o plantão aos domingos, o
gerente sempre escolhe dois deles para trabalhar e precisa fazer uma escala
para certo período com os nomes dos componentes das duplas para afixar no
quadro de avisos. Qual a quantidade de diferentes duplas que ele poderá
formar sem que haja repetição dos dois amigos a cada domingo?
344
O quadro a seguir mostra o resultado das reflexões e discussões quando
do encaminhamento da solução à situação-problema acima e para a
caracterização das combinações simples, bem como para determinar a
totalidade de combinações simples.
Quadro 12. Conhecimentos do professor sobre Combinação simples. Fase de intervenção.
Ações do Pesquisador Falas/registros/ações dos professores participantes de nossa pesquisa
Observações do pesquisador
“Após um tempo, o pesquisador aos professores que tenham soluções, as apresentem no quadro branco”.
“Alguém tem uma solução diferente daquelas que os colegas apresentaram?”.
“Antes de analisarmos as soluções apresentadas e discutir sobre o encaminhamento delas, vou pedir a vocês que reflitam um pouco sobre o enunciado da situação”. “O que é pedido na situação?”.
“Que tipo de agrupamento deve ser considerado?”. “O professor P13 é o primeiro a responder”.
“Sim, professor P13. Mas, que tipo de agrupamentos, que características têm esses agrupamentos? Explique mais”. “Os agrupamentos (duplas de amigos) são do mesmo tipo de algum outro que já tenhamos visto antes?”.
“Que características esses agrupamentos devem ter e que os diferem dos outros tipos de agrupamentos que vimos antes?”.
“Professor P13, o que você quer dizer com não importar a ordem. Explique melhor. Ou outro colega pode ajudar o professor P13 nessa explicação?”. “Alguém tem a acrescentar algo mais?”.
“Professor P7: o que é combinação? Porque você sabe que é combinação? Comece desde o início e me diga como devo calcular esse total de duplas de amigos”.
“De fato, essa característica que o professor P13 se referiu é importante: são agrupamentos em que não cabe estabelecer uma ordem entre os amigos. A ordem
P14: “Nós fizemos assim: 5x4 = 20”.
P12: “Vou escrever aqui na lousa a nossa
solução: = . = 10”.
P7: “O meu grupo fez
assim: ”.
Silêncio.
Silêncio.
P1: “Nós fizemos igual à solução do professor P12”.
P13: “O total das duplas de amigos”.
P13: “Nessas duplas não importa a ordem entre os amigos”.
P7: “Aqui, neste caso, o que interessa é formar as duplas e não colocar uma ordem entre as pessoas. Por isso é uma combinação”.
Silêncio.
Finalidade: “Caracterizar” com o grupo de professores as combinações simples de n distintos objetos escolhidos em grupos de p objetos, dentre os n objetos disponíveis, identificando as características desses agrupamentos de objetos. Também objetiva determinar uma maneira de encontrar todos os possíveis distintos conjuntos contendo p objetos.
Observações:
Alguns autores costumam se referir aos grupos com p objetos como agrupamentos de taxa p, ou ainda por subconjuntos com p elementos distintos do conjunto {a1, a2, ......, an}.
Assim, cada um desses subconjuntos com p elementos é dito ser uma combinação simples de classe p dos n objetos a1, a2, ......, an ou ainda como sendo uma combinação simples de n objetos tomados (escolhidos) p a p.
A referência às combinações simples diz respeito ao fato de que os n objetos disponíveis são todos distintos entre si e, portanto, a escolha de p elementos recai sobre esses n distintos disponíveis.
Assim, trata-se apenas de quantificar as diferentes maneiras de se escolher esses p objetos.
Como cada combinação
345
entre os amigos não importa, não se faz necessária, pois o que se quer saber são quantas duplas diferentes de dois amigos, dentre os cinco amigos, estará de plantão em determinado domingo. Não se exige ordem entre eles, mas listar os nomes dos dois amigos que formarão a dupla de plantão. Assim, toda vez que estejamos diante da formação de agrupamentos em que a ordem entre os elementos não se faz necessária, trata-se do caso de se considerar uma combinação simples. Trata-se apenas de executar a ação de, simplesmente, escolher dois dentre os cinco amigos. Neste caso, escolher dois amigos entre os cinco que estão disponíveis para estarem de plantão no domingo. Não há a obrigatoriedade de se impor uma ordem para os nomes dos dois escolhidos, pois os dois amigos não ocuparão, por exemplo, lugares disponíveis. É o fato de escolher uma dupla de funcionários e pronto!”.
“Vamos agora refletir sobre as respostas que foram dadas pelos colegas”. “O professor P14 escreveu 5 x 4 = 20. O que vocês acham dessa solução?”.
“Porque você acha isso, professor P13?”.
“De fato, o professor P13 está com toda a razão. Não estamos interessados em distinguir as ordens de AB e de BA, por exemplo, como duas duplas diferentes. O que importa é que foi escolhida a dupla de amigos formada pelos amigos A e B e, assim, podemos escrever os nomes deles como elementos de um conjunto, ou seja: {A,B} em que interessa apenas o nome dos dois amigos escolhidos. Cada conjunto formado e que tem entre seus elementos os nomes de dois amigos é dita, então, ser uma combinação simples de dois amigos escolhidos entre os cinco amigos”.
“E, mais ainda: os cinco amigos que estão disponíveis para escolha são “objetos” distintos e a escolha recai sobre dois destes “objetos””.
“Portanto, vamos caracterizar o que vem a ser uma combinação simples
Silêncio.
P14: “5 x 4 = 20”.
P13: “Esse cálculo é como se fosse um arranjo dois a dois”.
P13: “Nesse cálculo ele colocou uma ordem entre os amigos. Como se eles estivessem colocados em um fila, um atrás do outro. Ele disse que tem 5 possibilidades de arrumar o primeiro e, depois, que tem 4 possibilidades de arrumar o segundo deles. A mesma coisa da ordem de chegada dos pilotos em uma corrida de carros da Fórmula 1”.
P13: “É um conjunto formado por k elementos distintos escolhidos dentre os n objetos distintos disponíveis, sendo que 0≤k≤n”.
simples de classe p dos n objetos distintos a1, a2, ......, an é um subconjunto com p elementos, obtê-la implica no ato de proceder à escolha desses p elementos, sem se impor ordenação a esses elementos, característica das combinações simples”.
Observações:
Quando se tratar de escolha de p elementos dentre n elementos distintos de modo a poder escolher o mesmo objeto mais de uma vez, diz-se que se trata de uma combinação completa. Neste caso, o que é desejado é encontrar o número de modos de escolher p objetos, distintos ou não, entre os n objetos distintos dados.
Finalidade: Encaminhar para a caracterização das combinações simples, tomando como referência o encaminhamento que será feito para justificar a obtenção das dez soluções para o total de subconjuntos formados por dois dos cinco amigos que ficarão de plantão aos domingos.
Interpretação:
Pareceu-nos que os professores têm clara a concepção de que as escolhas de objetos sem impor ordenação de objetos está associado a uma combinação simples e também de que a maneira de determinar todas as combinações simples (possibilidades) é feita pelo uso da fórmula que foi apresentada pelo professor P12, sem maiores questionamentos sobre a sua validade, ou ainda, como essa fórmula foi obtida, deduzida.
Parece-nos que eles se acostumaram ao fato de que devem colocar o fatorial de todos os objetos no numerador e, no
346
de k objetos dentre n disponíveis”.
“Assim, apontando para o quadro branco: a contagem do professor P14 está em excesso. A contagem do número de combinações simples é sempre menor do que ou igual à quantidade de arranjos. Por essa razão podemos aproveitar a resposta do professor P14 para encontrar a solução correta”.
“Se o que está errado é o fato dele ter considerado que é um arranjo, tomado dois a dois, ele impôs uma ordem aos dois nomes que escolhe, a cada vez. E nós não queremos que tenha ordem, não é mesmo? O que fazer para consertar isso?”.
“Professor P7, porque dividir por 2? Explique melhor!”.
“O que vocês acham da explicação do professor P7?”.
“O símbolo de combinações simples usado pelo professor P12 também costuma ser escrito assim: C5,2”. “De fato, o resultado apresentado pelos dois colegas está correto”.
“Vamos agora entender o cálculo que o professor P12 fez. Por favor, professor P12, explique para todos como indicou aquela divisão, fez aquela conta e achou o resultado 10”.
“Todos entenderam o que o professor P12 explicou?”
P7: “Fazer o que eu fiz, dividir por 2”.
P7: “Cada vez que você tem dois arranjos do tipo AB e BA, por exemplo, eles representam a mesma combinação simples. Por isso, é preciso dividir por 2 para obter as combinações simples. Nesse caso, a cada dois arranjos simples corresponde a uma combinação simples. A contagem feita pelo professor P14 está em duplicidade, está duplicada. É preciso dividir ao meio. A minha solução e a do professor P12 estão certas”.
Quase todos: “ele está certo. É isso mesmo.”
P12: “Como são cinco amigos, indicamos no numerador 5!. No denominador vem a quantidade de pessoas que vão estar no agrupamento, no conjunto, que são duas pessoas, com fatorial, e depois multiplicamos pela diferença entre 5 e 2 que é 3, com fatorial. É isso aí. Esse é o símbolo de
denominador o fatorial do total de objetos a serem escolhidos, multiplicado pelo fatorial do número que representa a diferença entre o total de objetos e do número de quantos objetos foram os escolhidos, sem se aperceberem e terem conhecimento justificável do porque fazem isso.
Neste caso, das combinações simples, não se têm a mesma iniciativa que caracteriza as permutações como objetos repetidos, ou seja, ordenar todos os objetos n!, pois tal não ocorre no caso das combinações simples. O que se tem é uma ordenação de p objetos, caracterizado pelos arranjos simples An,p e para desfazer essa ordenação, não desejável no caso das combinações simples, a divisão pelo total de ordenações dos p objetos, que é dado por p!. è essa a ideia que se sugere deva prevalecer na obtenção da totalidade das combinações simples.
Observação: Constatou-se uma compreensão e uma superação das dificuldades reveladas no diagnóstico quanto à caracterização das combinações simples de taxa p entre n elementos distintos e como se obtém a totalidade das combinações simples, muito embora tenhamos constatado também no questionário que a maioria dos professores sabia utilizar essa técnica, embora não conhecessem a justificativa para aquilo que faziam, ou seja, o porquê da fórmula que usavam ser daquela maneira, com aqueles números em fatorial. Os professores perceberam a importância de que todos os objetos devam ser considerados distintos para a contagem das possibilidades de escolha dos p objetos.
Alguns dos professores
347
“Como assim? Está nos livros didáticos como o professor P12 explicou? Ela é desenvolvida e escrita assim, como fez o professor P12 ao explicar para todos nós? E porque é dessa forma? Quais as razões para tal? E porque não poderia ser de outra maneira? Tem que ter uma explicação para que se faça isso, não acham? A questão não é como os livros didáticos fazem e que talvez vocês também o façam, mas encontrar explicações do porque se faz assim e não de outro jeito, entenderam? Queremos encontrar justificativas que convençam os alunos do porque desse procedimento, de que ao se fazer assim está certo e as razões que permitam que se faça assim, entendido? Os alunos têm que compreender do porque de ser assim e não aceitar de que é assim que é feito”.
“Vou ajudar vocês. Observem bem as soluções que os professores P12 e P7 apresentaram. Comparem as duas e tentem encontrar uma razão do porque se pode fazer como o professor P12 sugeriu. Do porque a fórmula dá conta desse resultado”.
“Vejam o que falta à maneira como o professor P7 escreveu em relação à fórmula que o professor P12 utilizou”.
“A partir da divisão: 5 x 4 dividido por 2 (apontando), apresentada pelo professor P7, o que falta completar para chegar à fórmula do professor P12?”. “Vejam só: no numerador está escrito 5 x 4 e se quer chegar a 5!. O que é preciso acrescentar?”.
“Foi isso que você quis dizer
professor P7: ?”
“Mas aí o resultado não é mais 10. Para que o resultado da divisão seja o mesmo, é preciso também acrescentar no denominador esse mesmo produto colocado no numerador, pois se quiséssemos
combinações em que se escolhe duas pessoas dentre as cinco pessoas disponíveis. Por conta disso escreve-se assim, apontando para a solução”.
P12: “É assim que esse assunto está nos livros didáticos”.
Quase todos: “sim”.
P7: “Essa fórmula, de combinação simples, todo mundo conhece, está nos livros didáticos. É só aplicar e pronto”.
Silêncio.
Silêncio.
Silêncio.
P7: “Como 5! = 5.4.3.2.1, o numerador do meu resultado, em relação à fórmula que o professor P12 usou, falta multiplicar por 3, por 2 e por 1”.
P7: “Foi isso mesmo”.
P7: “Então, para compensar essa multiplicação no numerador, no denominador deveria
afirmaram não terem tido a oportunidade de conhecer a justificativa para o procedimento que faziam no uso da fórmula, pois os livros didáticos não o fazem, embora se utilizem dela como bastante propriedade.
Observação:
Considerando que
representa o número de modos de se escolher n objetos distintos entre n objetos distintos e isso, naturalmente é igual a um, ou seja, só há uma maneira de tomar (“escolher”) todos os objetos que é tomar a todos, tem-se a partir da dedução da fórmula, ao lado que:
= 1 (*)
(**)
De modo que a igualdade entre (*) e (**) seja verdadeiro, é necessário que 0! = 1.
348
agora retirá-lo, bastaria simplificar esses fatores, no numerador e no denominador, não é mesmo? (aponta para a divisão que foi feita pelo professor P7, e acrescenta),
ficando assim: ”.
“Agora nós já temos 5! no numerador e o 3! no denominador (apontando). E o 2 no denominador, como se explica?”. “Mas, porque o 2 aparece no denominador, é isso que queremos entender, entendeu professor P7 e todos?”.
“Então, vocês acabam de constatar que podemos dispensar o uso da fórmula, tomando 5x4 no numerador, que é, na verdade, A5,2 (arranjos simples). Isso impõe uma ordenação dos dois objetos, como já sabemos. De modo a desfazer a ordenação, que aqui não cabe, uma vez que foi imposta erradamente, dividimos pelo total de ordenações dos 2 objetos que são 2!, e que representam apenas um único subconjunto com os dois objetos, como nós já sabemos, não é mesmo”.
“Agora eu queria que vocês fizessem a árvore de possibilidades mostrando esses dez conjuntos de duplas de amigos”.
“Depois de um pequeno intervalo de tempo a árvore foi apresentada no quadro branco pelo professor P12”.
“Observem que cada subconjunto tem dois elementos e, portanto, cada subconjunto é construído a partir da “desconstrução” de dois arranjos simples”.
Pergunto: “No caso em que tivéssemos subconjuntos com três elementos, cada um desses subconjuntos é construído a partir da “desconstrução” de quantos arranjos simples?”. “Alguém tem alguma questão a colocar?”.
“Bem, agora vamos escrever essa fórmula para o caso geral de haver n objetos distintos e a escolha de p
ter o mesmo produto 3.2.1. Posso escrever
assim: ”.
P7: “Mas esse produto está lá na fórmula do professor P12, indicado por 3! = 3.2.1. Isso mesmo”.
P7: “O 2 é o mesmo que 2!. Você pode escrever desse modo”.
P7: “Como eu havia dito antes, ao escrever 5 x 4 eu estou fazendo como se fosse um arranjo simples, mas esse não é o caso. A questão é que a cada duas ordenações: AB e BA, isso corresponde a uma dupla de amigos A e B. Por conta disso é preciso dividir por dois pois a contagem está em duplicidade”.
P12: “A árvore é assim”.
B {A,B}
C {A,C}
A D {A,D}
E {A,E}
C {B,C}
D {B,D}
B E {B,E}
D {C,D}
C E {C,E}
D E {DE}
349
objetos, sem ordenação”.
“No caso geral, para a1 , a2 ,..... , an
como sendo n objetos distintos e se quer escolher um conjunto com p dentre esses objetos, cada conjunto desses é uma combinação simples formada por p desses objetos. O total de combinações simples é calculada como:
= Cn,p = (n.(n-1).(n-2)........(n-(p-1) ÷ p.(p-1).(p-2)....3.2.1 =
=(n.(n-1).(n-2)........(n-(p-1).(n-p).(n-(p+1)...3.2.1) ÷
(p.(p-1).(p-2)....3.2.1).).(n-p).(n-(p+1)...3.2.1) =
= , ”
Em prosseguimento, foi proposto um problema que constava do
questionário Q2, que se encontra no Apêndice J, e reproduzido a seguir:
Sobre a resolução do problema anterior e a resolução deste problema
apresentamos a seguir as reflexões e discussões que se seguiram no grupo.
O professor P12, ao elaborar suas respostas contidas no protocolo a
seguir, por exemplo, embora tenha se apoiado na caracterização de
combinações simples como agrupamentos em que a ordem entre os elementos
não se aplica de modo a justificar a razão porque se utilizou da fórmula para a
contagem das combinações e, também, para justificar essa caracterização
parece ter buscado uma garantia na aplicação direta da fórmula, como se
constatam nas respostas apresentadas a seguir:
Situação-problema 8: (P12)
Situação-problema 9:
= 20 (P12)
Situação-problema 9: Dispomos de 6 pessoas para formar grupos de
trabalho. Pergunta-se: De quantas maneiras diferentes o grupo poderá ser
formado se dele participarem três das seis pessoas?
350
Analisando sob o olhar de Fischbein (1994) essa forma de justificar a
utilização da fórmula do cálculo do total de combinações simples - a qual se
apoia na caracterização da não ordenação entre os elementos do agrupamento
de objetos (neste caso, nomes de pessoas) - deixa visível a prevalência do
caráter algorítmico sobre o caráter formal acerca do conhecimento dos
agrupamentos relacionados com as combinações simples.
O conhecimento formal, aqui caracterizado pela “definição de uma
combinação simples”, dispensaria o uso da fórmula uma vez que a construção
de uma árvore de possibilidades, por exemplo, para cada caso, seria suficiente
para dar conta da contagem total dos conjuntos que contém os nomes de três
pessoas.
Os dados observados nos levam a concluir que, embora a
caracterização dos tipos de agrupamentos de objetos prevaleça nas duas
situações - de início para identificar que se trata de um problema que envolve a
totalidade de combinações simples - o professor só se sentiu seguro de suas
respostas quando fez uso de uma fórmula para determinar a contagem desses
agrupamentos.
O desafio de mostrar aos professores que de início, ao se tomar por
base para a resolução a caracterização dos agrupamentos em que a
ordenação entre os seus objetos não deva ser considerada, por meio da
sugestão para que construíssem uma árvore de possibilidades que obedeça a
esta condição e também para refletirem que esses procedimentos seriam
suficientes para a obtenção da contagem de todos os agrupamentos (conjuntos
de nomes) parece-nos ser um passo importante para a ressignificação da
prática dos professores, mostrando-lhes que não precisam estar reféns do uso
de fórmulas para resolver problemas de contagem no Ensino Fundamental.
Nesta sequência didática não se logrou pleno êxito para que esta
questão - em relação à totalidade dos professores - fosse perfeitamente
compreendida e incorporada na prática desses professores. Identificamos que
apenas parte deles interessou-se por essas estratégias e, mesmo assim, em
casos isolados referidos a algumas das situações-problema que foram
propostas.
351
A decisão de considerar, para o caso de agrupamentos de objetos em
que a ordem de seus elementos não se faz necessária, de início por meio da
ordenação de objetos (arranjos simples) e em seguida de abandonar tal
ordenação por meio da desconstrução desses agrupamentos e a formação
dos conjuntos com idênticas ordenações de objetos não foi uma estratégia a
qual os professores abraçaram com significativa relevância para o
desenvolvimento do conceito de combinações simples à sua prática.
Cabe aqui ressaltar, também, que o professor P12 atua no Ensino Médio
há muitos anos, é professor de 2ª e 3ª séries e, portanto, sua prática docente é
caracterizada por algumas das concepções que identificamos quando das
reflexões durante a resolução das situações-problema, e que foram
apresentadas e discutidas pelo grupo.
Não obstante, o professor P12 se mostrou bastante interessado em
conhecer outras estratégias para a resolução de problemas de contagem,
como a que sugerimos por meio da construção de uma árvore de
possibilidades e da exploração dos arranjos simples para determinar a
totalidade de combinações simples.
Por essas razões não consideramos ser tarefa simples, em tão curto
espaço de tempo, apresentar estratégias e mediar discussões com o propósito
de ressignificar, mesmo que em parte e sem a prática docente imediata, essas
e outras concepções dos professores.
Ou seja, que se queira obter mudanças significativas em uma formação
continuada de apenas sete encontros de ensino e com a qual as práticas
docentes possam ser modificadas tão rapidamente. É claro que estamos
convencidos de que é preciso um tempo de maturação após esta semente ter
sido plantada e que os frutos possivelmente virão, cedo ou tarde.
Em síntese, no que se refere à caracterização e identificação de uma
combinação simples e a dedução de uma fórmula para determinar o total de
combinações simples - possibilidades (conjuntos de objetos) - identificamos
nos argumentos utilizados por parte dos professores que há uma prevalência
quanto à ênfase que eles atribuem em relação ao aspecto algorítmico e ao
formal (não ordenação de objetos) que não são conectados de maneira
352
suficientemente segura para assegurar que a solução de situações-problema
com esses tipos de agrupamentos esteja encaminhada corretamente.
Por outro lado, e de modo satisfatório registramos que foi possível
identificar que parte dos professores avançou no que se refere à escolha de
estratégias diversificadas na abordagem da busca da solução para as
situações-problema que foram propostas e também no esforço deles pela
busca de justificativas para os procedimentos que utilizavam, não somente
quando eram arguidos pelo pesquisador, mas, e também, como uma
justificativa pertinente que cada um deles passava a se cobrar.
Conhecimento do professor sobre permutações circulares Os propósitos nesta categoria foram os de discutir questões relativas à
caracterização, sistematização e contagem das permutações circulares de n
objetos distintos.
Tomando por base a análise feita nos dados constantes das respostas à
última das perguntas ao questionário Q2 que versava sobre um problema de
permutações circulares (apenas um dos professores acertou o problema
proposto), identificamos que essa categoria de problemas não era familiar à
grande maioria dos professores.
A partir do encaminhamento de reflexões e discussões com os
professores para a resolução de um problema proposto, os encaminhamentos
se seguiram no sentido de caracterizar esses tipos de agrupamentos de
objetos de modo a identificar as relações de ordenação entre os objetos
dispostos segundo um “formato circular”.
Na disposição de objetos segundo o formato circular, as posições
relativas entre os objetos é que caracteriza distintos agrupamentos. Em
prosseguimento, procedeu-se às reflexões e discussões para a obtenção de
uma fórmula que permitisse a contagem de todas as permutações circulares.
Assim, como referência para o encaminhamento das discussões foi
proposto o problema a seguir, constante também do questionário Q2:
353
Questão proposta (retomada da situação-problema 7 do questionário Q2 ):
“De quantos modos seis pessoas podem sentar-se em uma mesa com o
formato circular?”
Um aluno resolveu assim:
As pessoas podem arrumar-se de 6.5.4.3.2.1 = 720 maneiras olhando a
arrumação da mesa em um sentido. Se olharmos a arrumação da mesa em
outro sentido, teremos mais 720 maneiras. Assim, o total de modos de arrumar
as seis pessoas ao redor da mesa é: 2 x 720 = 1440.
a) Comente, criticamente, a questão apresentada pelo aluno.
b) Resolva a situação-problema da maneira como resolveria com seus
alunos em sala de aula.
O quadro a seguir apresenta o encaminhamento acerca das reflexões e
discussões para a obtenção da solução do problema proposto acima.
Quadro 13. Conhecimentos do professor sobre permutação circular. Fase de intervenção
Ações do Pesquisador
Falas/registros/
ações dos
professores
participantes de
nossa pesquisa
Observações do
pesquisador
354
“Alguém tem uma solução para
apresentar no quadro branco?”.
“Pessoal, vamos com calma!.
Primeiramente vamos analisar a
resposta que o aluno apresentou à
questão e verificar se conseguimos
extrair algum indício para entender o
que foi feito por ele”.
“Na solução apresentada pelo aluno ele
ordenou as seis pessoas em seis
lugares, considerando o caso de uma
permutação simples, pois calculou um
total de 6! = 720 possibilidades. Tudo
bem?”.
Mas a situação-problema menciona que
as pessoas vão sentar-se segundo um
formato circular. Será que a disposição
das pessoas segundo essa maneira é a
mesma que aquela que se obtém
segundo uma permutação simples?
“Ao se considerar uma permutação
simples levamos em conta a existência
de distintos seis posições (lugares) e
exatamente seis objetos (ou pessoas)
que deverão ocupar essas posições.
Portanto, a priori, os lugares ou
posições estão definidos”.
“Vamos colocar aqui no quadro branco
todas as permutações simples dos
objetos A, B e C: ABC, ACB, BCA, BAC,
CAB, CBA”.
“Observem que a arrumação circular
indicada por ABC é a mesma que a
arrumação indicada por BCA, e a
mesma indicada por CAB. Ou seja, as
arrumações indicadas por ABC, BCA e
CAB representam a mesma permutação
circular, pois, estabelecida uma
Alguns deles: “eu não
sei o que é uma
permutação circular”.
P1: “Então, a diferença
entre uma permutação
simples e uma circular
é a maneira como os
objetos vão ser
arrumados?”.
P7: “Não deve ser,
porque ele mencionou
formato circular”.
Finalidade:
“Caracterizar uma
permutação circular de
n distintos objetos e
obter uma maneira de
determinar a totalidade
de distintas
permutações circulares
que contenham n
distintos objetos”.
Nas permutações
simples o quantitativo
de objetos é igual ao
quantitativo de lugares
em que objetos ou
pessoas serão
posicionados. Assim,
uma permutação
simples é uma
ordenação desses
objetos nesses lugares,
ou seja: fica
caracterizada uma
ordenação entre todos
os objetos em igual
número de posições,
lugares.
Nas permutações
circulares o que está em
jogo não é a ordenação
“linear” dos objetos nos
respectivos lugares,
mas a ordenação no
formato de um círculo e,
nesse caso, o que conta
é a posição relativa,
entre si, dos objetos.
Objetos ou pessoas são
dispostos segundo “o
355
orientação, por exemplo, no sentido
horário, o objeto A sempre precede o
objeto B, o objeto B sempre precede o
objeto C e o objeto C sempre precede o
objeto A”. “Claramente, então, o número
de permutações circulares de n objetos
distintos, n ≥ 2, é menor que o
quantitativo de permutações simples
dos mesmos n objetos”.
“Vejam, o professor P12 foi à lousa e
colocou sua resposta”.
“Professor P12, você pode explicar para
o grupo como achou essa resposta?”.
“Você sabe dizer como essa fórmula
surgiu? O porquê dela?”.
“Atenção a todos: se o professor P12
estiver certo, ele encontrou 120
permutações circulares e as
permutações simples de 6 objetos dá
um total de 720 possibilidades. Pode ser
que haja uma relação entre as
permutações simples e as circulares,
pois 720 é múltiplo de 120, não
acham?”. Ou seja, parece haver uma
relação entre uma e outra, não
acham?”.
“A resposta do professor P12 é seis
vezes menor que 720 e 12 vezes menor
que a resposta que o aluno encontrou”.
“A resposta dada pelo aluno parece
não ter sentido, pois ele se refere a
duas maneiras diferentes de olhar para
a arrumação”. Vamos pensar em duas
pessoas sentadas no formato de um
círculo. Vocês acham que há duas
maneiras distintas de olhar para a
arrumação? O que é preciso
considerar?
P12: “Em resolvi
assim: Esse caso é de
permutação circular.
Então, se usa a
fórmula (n – 1)!.
E a resposta é: (6 – 1)!
= 5! = 120”.
P12: “Essa é a formula
de permutações
circulares e como são
seis pessoas, é assim
que se faz”.
P12: “Não sei não. Só
sei que quando é o
caso de permutação
circular eu uso ela e
sempre dá certo”.
formato de um círculo” –
daí vem o nome de
permutações circulares.
O que diferencia uma
permutação circular de
outra permutação
circular com os mesmos
objetos é a diferença
entre a “posição relativa
de pelo menos dois
quaisquer dentre os
objetos ou pessoas
envolvidas”.
Para tal, estabelece-se
uma orientação a ser
seguida - por exemplo,
o sentido horário - para
o cumprimento dessa
condição em relação às
posições relativas dos
objetos.
Assim, em uma
permutação circular,
uma vez estabelecida
uma orientação, se uma
pessoa A está
posicionada antes da
pessoa B e em outra
permutação circular a
pessoa B está
posicionada antes da
pessoa A, estão
caracterizadas duas
distintas permutações
circulares que contém
os mesmos elementos.
Assim, o que está em
jogo são as posições
das pessoas entre si e
356
“O que acham sobre o que o professor
P7 falou?”
De fato, é claro que se a arrumação não
foi desfeita - olhando de um modo ou de
outro - as mesmas pessoas estão
sentadas segundo as mesmas
condições ou, se existirem apenas dois
lugares elas estarão colocadas nas
mesmas posições, independente da
orientação, e se existirem mais do que
dois lugares, que elas estejam sentadas
em lugares diferentes, elas estão
dispostas segundo as mesmas
posições. Então, a resposta que o aluno
forneceu está errada. Não tem sentido
multiplicar por 2 em razão de dois
sentidos. O que é preciso é estabelecer
um sentido e tudo se passar em função
dessa escolha. Tudo bem? ”.
“De maneira que todos vocês
compreendam o que são permutações
circulares, e depois que compreendam
o que está por detrás da fórmula que o
professor P12 escreveu na lousa vamos
juntos pensar sobre uma situação mais
simples: queremos conhecer todas as
diferentes maneiras de 3 pessoas
estarem juntas no formato de um
círculo, ou então, sentadas em uma
mesa no formato circular. Vejam os
desenhos que vou fazer aqui na lousa
(ao lado). “Vamos adotar o sentido
horário para nossas observações”.
Observem que, em todos os casos, a
pessoa C está entre as pessoas B e A,
concordam? Além disso, em todas as
situações a pessoa B está à esquerda
da pessoa A e a pessoa C está à direita
da pessoa A. Portanto, as “três
P7: “É preciso
considerar um sentido
para o olhar sobre a
arrumação”.
Quase todos: “O
professor P7 tem
razão”.
B C
A
não os lugares em que
as pessoas estão
sentadas (mesmo
porque elas podem
estar de pé), segundo o
formato de um círculo.
O mesmo vale para
permutações circulares
de objetos distintos, ao
invés de se
considerarem pessoas.
357
arrumações” acima representam uma
mesma permutação circular das
pessoas A, B e C.
Outra maneira que vocês têm de
identificar que essas arrumações são
iguais é a seguinte: considere a primeira
arrumação. Se a pessoa A for para a
cadeira onde está B, se a pessoa B for
para a cadeira onde está C e se a
pessoa C for para a cadeira onde está
A, teremos a “terceira arrumação”, ou
seja, é a mesma arrumação que
iniciamos pois as posições entre as
pessoas não mudou. Se, agora, a
pessoa A for para a cadeira onde está
C, se C for para a cadeira onde está B e
se B for para a cadeira onde está A,
teremos a “segunda arrumação”, que é
mesma que a primeira arrumação, pois
as posições relativas entre as pessoas
não mudou.
Então, o que vocês têm que observar é
a posição relativa entre as pessoas ou
objetos e não os lugares em que essas
pessoas ou objetos serão colocados. O
que importa e caracteriza as
permutações circulares é a posição
relativa entre as pessoas ou objetos, ou
seja, de que maneira uma pessoa está
posicionada em relação à outra e não
os lugares em que as duas estão
sentadas. Esqueçam os lugares e se
concentrem nas diferentes posições das
pessoas entre si. É isso o que está em
questão, o que se leva em conta nos
casos de permutações circulares.
Bem, uma vez que vocês
compreenderam essa etapa, vamos
agora refletir sobre o seguinte: se fosse
C A
B
A B
C
358
o caso de considerarmos permutações
simples e ordenar as três pessoas, de
quantos modos elas poderiam ser
ordenadas? Vamos escrever aqui ao
lado essas seis maneiras.
Agora vocês vão escrever essas seis
maneiras dispondo as letras no formato
de um círculo, como eu fiz com aquelas
ali ao lado e pedir que um professor
escreva para todos nós aqui na lousa.
Vou aguardar vocês escreverem.
Agora, vamos observar atentamente
essas arrumações feitas pelo professor
P7 adotando, antes de tudo, a
orientação horária (é claro que
poderíamos adotar a orientação anti-
horária. O importante é estabelecer uma
orientação).
Vamos verificar se entre elas existem
algumas “permutações iguais”.
Lembrem-se de que o que interessa é a
“posição relativa entre as pessoas”. É
essa a característica das permutações
circulares. Assim, a exemplo das
permutações com repetições de objetos,
temos a seguinte situação de
proporcionalidade e que deve ser
considerada: cada três arrumações
(distintas) consideradas como
permutações simples, elas representam
uma só arrumação (a mesma
arrumação) quando consideradas como
permutações circulares.
Logo, para 3! = 6 arrumações
consideradas distintas, se têm
(duas) distintas permutações circulares
para as três pessoas que são estas
(circulando na lousa, em vermelho):
Todos: “3! = 6
maneiras diferentes”.
Pesquisador: “Elas
estão aqui escritas:”
ABC
ACB
BCA
BAC
CAB
CBA
P7: “Aqui estão as
minhas seis
arrumações”:
A B
C
C B
A
359
A B
C
C B
A
Na primeira delas, à esquerda da
pessoa B está a pessoa C e à direita a
pessoa A; na segunda delas, à
esquerda da pessoa B está a pessoa A
e à direita a pessoa C. Pensem que
essas arrumações podem representar
duas diferentes maneiras de três
pessoas estarem “bailando” em uma
roda de ciranda. Vocês sabem o que é
uma roda de ciranda, não? É uma
brincadeira de crianças em que todas as
crianças se dão as mãos: à esquerda e
à direita de duas outras e “bailam” em
círculos como acontece em festas
juninas e na escola entre crianças
pequenas. Eu também gosto de explicar
como se acha a totalidade de
permutações circulares de n pessoas ou
de n objetos distintos dessa maneira. Eu
vou precisar da colaboração de alguns
de vocês para virem aqui à frente e
simularem rodas de ciranda de maneira
que fique mais lúdica a compreensão de
todos sobre este conteúdo de
permutações circulares. Acompanhem
comigo como se pode chegar a essa
contagem (toma a caneta para escrever
na lousa): De quantas maneiras
diferentes uma pessoa pode bailar?
De fato uma pessoa só pode bailar de
uma maneira, ou seja, ela dança
A C
B
B C
A
B A
C
C A
B
P12: “As 1ª, 4ª e 6ª
arrumações são
iguais. Também as
arrumações 2ª, 3ª e 5ª
arrumações são
iguais. Portanto, na
verdade, só há duas
diferentes arrumações
quando se tem três
pessoas em círculo”.
360
sozinho, não é mesmo? Venha aqui
para a parte da frente da sala professor
P1, e participe do “baile”. Assim, para
uma pessoa, tem-se uma permutação
circular. Vou pedir a vocês que
construam e completem uma tabela
como esta que estou desenhando aqui
(ao lado), com o total de permutações
circulares cada vez que se tenha um
quantitativo de pessoas.
Vou pedir ao professor P6 que venha
aqui para bailar com o professor P1.
Deem-se as mãos e começam a bailar.
De quantos modos diferentes eles
podem bailar?
Assim, para cada nova pessoa que se
junta a primeira pessoa, se tem agora
também uma única maneira de bailar.
Ou seja, com duas pessoas há uma
única permutação circular.
Venha para cá professor P13. De
quantas maneiras diferentes o professor
P13 pode entrar nessa roda de ciranda
e bailar com seus colegas?
Muito bem, professor P7. Todos
compreenderam que há duas
possibilidades do professor P13 entrar
na roda? Assim, para três pessoas, pelo
Princípio Multiplicativo, temos 1.1.2 = 2
possibilidades diferentes, ou seja, duas
distintas permutações circulares.
Agora, lembrem-se de que há duas
possibilidades desses três colegas
bailarem. Para cada uma dessas duas
possibilidades vamos chamar o
professor P7 para vir participar da roda
de ciranda. Vamos escolher uma
arrumação. Agora, pergunto ao
Todos: “De uma
maneira”.
Pesquisador:
Quantidade Quantidade de
de pessoas permutações
circulares
1 1
2 1
3 2
Todos: “De uma
maneira”.
361
professor P7 e também a todos vocês:
de quantas maneiras diferentes você
pode entrar na roda e dançar com esses
três colegas?
Muito bem. Entenderam? Vou escrever
aqui na lousa: para quatro professores
se tem 1.1.2.3 = 6 maneiras diferentes
de bailar. Os quatro professores se dão
as mãos e começam a bailar. Agora, por
último, de modo a não cansar muito
vocês, eu chamo o professor P12 e
pergunto: Professor P12, de quantas
maneiras diferentes você pode entrar
nessa roda de ciranda e bailar com seus
colegas? Peço aos colegas da roda que
pare um pouco de bailar por um instante
enquanto o professor P12 nos mostra
como poderia entrar na roda. Muito bem
professor P12. Todos entenderam?
Assim, para cada nova pessoa que se
junta à roda, que já tem quatro pessoas
bailando, formando uma nova roda com
cinco pessoas, se tem, agora, quatro
maneiras diferentes de as pessoas se
posicionarem na roda, correspondente a
cinco diferentes rodas de ciranda. Vou
escrever isso na lousa: com cinco
pessoas se tem 1.1.2.3.4 permutações
circulares. Prosseguindo dessa
maneira, se tivermos n pessoas
diferentes, quantas são as permutações
circulares? “Escrevendo na lousa:
1.1.2.3.4......(n-1)”.
“Olhando para esse produto de trás
para frente, assim: (n-1).......4.3.2.1.1, o
que ele representa?”. “Nós escrevemos
assim: (PC)n = (n-1)! Que são a
quantidade de permutações circulares
entre n objetos distintos”. Observem que
P7: “De duas
maneiras. Ou ele entra
na roda por aqui
(apontando a posição
a entrar na roda) ou
entra por ali, indicando
a outra possível
posição”.
P7: “Eu posso entrar
na roda de três modos
diferentes: dando as
mãos aos professores
P1 e P6, ou dando as
mãos aos professores
P1 e P13, ou ainda,
dando as mãos aos
professores P6 e P13”.
P12: “Eu posso entrar
na roda de quatro
modos diferentes:
Observação:
Constatou-se que os
professores
compreenderam e se
apropriaram da
caracterização
(sistematização) acerca
das permutações
circulares arrumações
(ordenações) tais que o
que importa considerar
é a “posição relativa
entre os objetos
distintos”.
As duas maneiras que
se utilizou para
encontrar as
justificativas à fórmula
do cálculo do número de
permutações circulares
entre n distintos objetos
foram decisivas para
que os professores
compreendessem os
362
essa foi a maneira que o professor P12
escreveu, lá no início quando
apresentou a sua solução à situação-
problema proposta. Portanto, o
professor P12 está certo. A resposta à
situação-problema é mesmo 5! = 120
possibilidades.
Outra maneira, talvez um pouco mais
complexa de vocês compreenderem o
porquê dessa fórmula é a seguinte:
inicialmente vocês consideram que há
n! maneiras diferentes de arrumar os n
objetos distintos (como se fossem as
permutações simples). Para cada uma
dessas n! maneiras, como a que está
desenhada aqui (aponta para a lousa):
Para cada uma dessas n! maneiras,
como a que está desenhada aqui
(aponta para a lousa):
n n-1
n-2
1 n-3
.......... n-4
Se n for ocupar a posição (n-1), (n-1) for
ocupar a posição (n-2) e assim
sucessivamente. Depois, se n for
ocupar a posição (n-2), (n-1) for ocupar
a posição (n-3) e assim
sucessivamente. Depois, se n for
ocupar a posição (n-3), (n-1) for ocupar
a posição (n-4) e assim
sucessivamente. E, prosseguindo assim
para todos os n objetos, teremos n
“diferentes arrumações” que
representam a mesma permutação
circular. Assim, a contagem de n!
possibilidades está em excesso, e então
ela precisa ser corrigida. Voltamos,
dando as mãos aos
professores P1 e P6
ou dando as mãos aos
professores P1 e P13
ou ainda dando as
mãos aos professores
P6 e P7 ou dando as
mãos aos professores
P7 e P13”.
Todos: “(n-1)!”.
passos que foram sendo
dados até a
configuração idêntica
àquela que o professor
P12 se utilizou quando
apresentou a sua
solução à situação-
problema, posta de
início.
A compreensão dos
professores acerca
deste conteúdo revelou-
se como uma superação
das dificuldades
reveladas no
diagnóstico quanto à
caracterização das
permutações circulares
onde somente o
professor P12 havia
acertado.
Para o professor P12
foi, sobremodo, uma
satisfação pessoal pelo
fato de que ele conhecia
a fórmula mais não tinha
ideia de como ele
surgiu. Ele aproveitou
bastante todos os
passos para a dedução
da fórmula uma vez que
estava convicto de que
a sua solução estava
363
portanto, à ideia da proporcionalidade:
Cada n arrumações diferentes
corresponde a 1 permutação circular.
Logo, para n! arrumações diferentes,
correspondem = (n-1)!
permutações circulares, que é o mesmo
resultado que foi obtido antes.
Questão retirada do livro “Análise
Combinatória e Probabilidade”,
MORGADO et al (2004):
“De quantos modos 5 meninos e 5
meninas podem formar uma roda de
ciranda de modo que pessoas do
mesmo sexo não fiquem juntas?”.
“Dado um pequeno tempo, vários
professores apresentaram a solução
correta à situação-problema na lousa”.
correta, mas o
pesquisador deixou no
ar essa dúvida, até o
final.
Ao final o professor P12
afirmou estar contente
por ter tido a
oportunidade de
conhecer a justificativa
para o procedimento
que fazia no uso da
fórmula, pois os livros
didáticos que conhecia
não apresentavam a
dedução.
Em prosseguimento foram discutidas as soluções de questões de
concursos trazidas pelos professores e outras selecionadas pelo pesquisador,
as quais fizeram parte de avaliações externas, servindo também aos propósitos
de se refletirem e discutirem acerca de problemas de permutações circulares e
de probabilidades simples.
Foram propostas as seguintes as situações-problema para reflexões,
discussões e solução:
Situação-problema 1 (Prefeitura São Paulo 2011): Suponha que você tenha
um dado sobre uma mesa, colocado de modo eu você veja apenas duas faces
distintas: a face superior e a face exatamente a sua frente. Movendo o dado
(sempre de modo a respeitar essa condição), quantas “vistas” diferentes você
pode ter desse dado?
(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24 (E) 36
364
Situação-problema 2 (Prefeitura São Paulo 2011): No lançamento de dois
dados comuns, considere o produto dos pontos obtidos em cada um. A
probabilidade de esse produto ser uma potência de 2 é:
(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 5/16 (D) 1/5 (E) 1/12
Foram identificadas nas reflexões, argumentações e registros dos
professores novas concepções sobre a resolução de problemas de contagem
se comparadas àquelas que haviam sido reveladas na fase dos questionários e
em encontros anteriores.
Essas constatações são reforçadas pelo fato de que as duas primeiras
situações tiveram suas soluções encaminhadas por dois distintos professores
utilizando-se da construção de árvores de possibilidades e, depois, mais dois
professores utilizaram-se do princípio multiplicativo para apresentar as
soluções a elas.
Em decorrência das reflexões havidas durante as resoluções das
primeiras situações, o pesquisador lançou o desafio de resolverem a situação-
problema 3, apresentada a seguir, o que demandou, primeiramente, muitas
discussões acerca do entendimento do enunciado.
Ressalte-se o empenho bastante grande do grupo de professores em
resolver a situação-problema 3.
Situação-problema 3 (MO): Quantos dados diferentes existem se a soma das
faces opostas deve ser 7?
Em seguida houve muitas discussões sobre a solução apresentada no
quadro branco pelo professor P12, causando enorme estranheza entre os
professores após terem sido apresentadas inúmeras soluções incorretas.
Ressalte-se a firme determinação do pesquisador em mediar discussões
até que os professores compreendessem como deveriam mobilizar estratégias
de modo a encontrar a solução.
Também notamos um misto de admiração com o resultado de 2
possibilidades, bem como a maneira com que o professor P12 muito bem
365
explanou para todos a maneira como encaminhou o raciocínio combinatório
para encontrá-la. Todos a compreenderam e ficaram bastante contentes.
Prosseguiu-se com mais dois problemas de contagem de modo a
conhecer como se deu a apropriação dos conceitos desenvolvidos na primeira
etapa do encontro.
Situação-problema 4: De quantas maneiras diferentes pode ser formada uma
fila com 10 pessoas de modo que duas determinadas dessas pessoas, A e B,
fiquem sempre juntas?
Situação-problema 5: De quantas maneiras diferentes 10 pessoas podem se
sentar ao redor de uma mesa de modo que duas determinadas dessas
pessoas, A e B, fiquem sempre juntas?
O propósito destas atividades foi o de ampliar o campo conceitual dos
professores a partir das discussões havidas nos últimos encontros.
As situações-problema 4 e 5 foram bem discutidas e compreendidas
pelos professores e com as quais eles puderam aplicar os conhecimentos que
foram desenvolvidos no encontro anterior e na primeira parte deste encontro.
Eles souberam muito bem diferenciar os objetivos presentes nas duas
situações, sem apresentarem problemas na compreensão das resoluções
apresentadas e nas discussões que se seguiram.
Talvez devido à clareza dos enunciados, os professores não tiveram
dúvidas para identificar que na primeira situação tratava-se de permutações
simples com um bloco fixo de duas pessoas juntas, totalizando 2! = 2 maneiras
distintas de se posicionarem. Agora, cada um desses blocos é ordenado com
as outras oito pessoas, totalizando 2! x 9! maneiras diferentes de ordenação,
em fila.
Para a segunda situação igual bloco de duas pessoas deveria se juntar
às outras oito pessoas para arrumações em formato circular totalizando todas
as permutações circulares de 9 objetos distintos, totalizando 8! maneiras para
se fazer isso. A resposta final é, então, 2! x 8! possibilidades.
366
O tratamento que se emprestou para a sistematização das combinações
simples e das permutações circulares mexeu com o ânimo de todo o grupo que
passou a estar mais determinado e participativo, tentando encontrar as
soluções para as novas situações-problema como sendo um grande desafio a
ser vencido.
Assim, entendemos que a ampliação do campo conceitual permitiu que
os professores do grupo avançassem em relação à caracterização,
conceituação, busca de estratégias e o uso de procedimentos para dar conta
de resolver problemas de contagem na Educação Básica.
Resumimos essa constatação com o esquema constante da figura 1, a
seguir, que mostra como o avanço em relação à imagem conceitual dos
conceitos envolvidos favoreceu a apropriação dos aspectos formal
(entendimento da definição dos conceitos), algorítmico (entendimento sobre
como deve ser a utilização da fórmula) e intuitivo (se torna mais bem
apropriado quando compreende os passos para a sistematização dos conceitos
envolvidos).
Aspecto
Formal
Imagem Aspecto
Conceitual Algorítmico
Aspecto
Intuitivo
Figura 1: Esquema mostrando o avanço da imagem conceitual em relação aos aspectos formal, algorítmico e intuitivo.
Não obstante a constatação de que houve ampliação do campo
conceitual dos conhecimentos de conteúdo dos professores ao longo da
sequência didática, percebeu-se uma forte tensão entre duas posições
presentes nas falas dos professores e no desenrolar das resoluções dos
problemas de contagem, observada mais amiúde nos quatro últimos encontros
de ensino: a necessidade do uso de uma fórmula para a garantia da solução
367
para um problema de contagem em contraste com soluções obtidas pelo uso
de alguma representação.
Até certo ponto, a experiência que o grupo de professores vivenciou na
sequência didática sobre a possibilidade de obter a contagem direta das
possibilidades a uma situação problema de contagem através de uma árvore
de possibilidades ou da aplicação do princípio multiplicativo, não foi suficiente
para quebrar com um tabu presente em muitos dos professores do grupo de
que o uso da fórmula é necessário para garantir a confiabilidade da resposta.
Constatou-se que entre alguns dos professores permanece a concepção
segundo a qual somente com o uso de uma ou mais fórmulas o resultado da
contagem como solução de um problema estaria garantido como correto.
Essa constatação vem ao encontro da crença que alguns professores
têm de que “a matemática precisa de uma fórmula” para que o resultado não
venha a ser contestado por alguém, de que o uso de uma representação deixa
“lacunas” para a apresentação da solução, sendo passível de dúvidas.
Assim, o componente algorítmico prevaleceu, e ainda prevalece no
grupo de professores com uma estratégia fortemente aceita por eles, não
obstante terem eles se certificado de que outras possibilidades via uso de
alguma representação existem para dar conta da solução para problemas de
contagem na Educação Básica.
Consideremos relevante o fato de que a sequência didática pode
propiciar aos professores o enfrentamento de diferentes situações-problema de
contagem, e com as quais eles puderam mobilizar diferentes estratégias de
raciocínio contando com as representações para a obtenção das soluções.
Assim, quando da resolução de problemas de contagem, o professor
conta com diferentes estratégias de enfrentamento para esse grupo de
problemas e, quando julgar conveniente, escolha aquela (s) que ele considere
adequada (s) e eficiente (s) para cada novo problema a resolver.
A sequência didática mostrou que é possível o desenvolvimento do
conteúdo problemas de contagem na Educação Básica priorizando o raciocínio
combinatório, o uso de representações, e a exploração dos Princípios
368
Multiplicativo e Aditivo, em detrimento à formalização precoce dos conceitos e
uso de fórmulas.
Portanto, com base nas observações e constatações que o pesquisador
pode experimentar com esse grupo de professores, há uma forte tensão entre
aquilo que o grupo aprendeu e vivenciou durante a sequência didática (que é
uma possível proposta de encaminhamento desse conteúdo no Ensino
Fundamental) e a concepção que ainda prevalece entre grande parte do grupo
de que para se ensinar matemática (em particular os problemas de contagem)
é preciso usar uma fórmula ou um algoritmo para dar conta da contagem das
possibilidades.
Essa dubiedade, presente nas concepções dos professores, e a
polarização em torno da importância que o grupo empresta para o recorrente e
necessário uso de uma fórmula foi um dos conflitos que esse estudo não foi
capaz de dissipar, de modo a oferecer um novo olhar para a prática do ensino
e da aprendizagem para esse grupo de professores. Por essa razão merece
aqui esse registro.
Entretanto, cabe esclarecer que com essa constatação não estamos
fazendo críticas ao uso de uma fórmula para dar conta da contagem a um
problema combinatório uma vez que não é isso que está em questão, por conta
da constatação que fizemos, mas sim porque não nos foi possível extinguir
essa dubiedade.
Fato é que, se o professor já compreende perfeitamente a
caracterização de cada um dos agrupamentos de objetos presentes na
proposição de algum problema de contagem, ou seja, se ele já passou pelas
fases intuitiva e formal dos conceitos e se utiliza de um procedimento para
obter a contagem das possibilidades, a apropriação desses conhecimentos
identifica um passo muito importante na sua formação.
Portanto, a compreensão de todas as etapas desta primeira fase de
apropriação dos conhecimentos segundo a qual o professor identifica o tipo de
agrupamento envolvido e tem garantias de que obterá êxito no
encaminhamento que faz na busca da solução para um problema de contagem
é bastante significativa para a compreensão das etapas de resolução que se
369
seguirão, de modo a proceder à contagem com a aplicação de uma fórmula, ou
não.
Apenas consideramos que, quando essa compreensão pelo aluno não é
acompanhada mais amiúde pelo professor, o simples uso de uma fórmula pode
acarretar transtornos irreparáveis no prosseguimento de seu entendimento
sobre as estratégias de resolução de problemas de contagem que se seguirão.
Por exemplo, tal fato ocorre quando um aluno indica que o resultado é 5
x 4 = 20 e um outro colega indica que é = 10 e nenhum deles tem a
compreensão se a ordem entre os objetos envolvidos deva ou não ser
considerada no problema que está sendo proposto resolver.
Entendemos que estas ações não podem se reduzidas apenas ao
procedimento da aplicação da fórmula em si, considerando que o professor
possa lembrar-se de tê-las utilizado em situações similares. Portanto, essa
estratégia não se configura como uma prática a ser seguida.
Assim, o grande problema reside no fato de o professor, de posse da
fórmula ou do algoritmo, utilizar-se dela ou dele de maneira indiscriminada,
sem critério sobre como utilizá-la, apenas pela mera substituição de valores
fornecidos pelo enunciado ou baseado em exemplos parecidos já vistos.
Portanto, entendemos que cabe ao professor mostrar para o aluno que
tal fórmula ou algoritmo não pode ter seu uso generalizado para resolver
quaisquer situações de contagem, sem os cuidados que deva ter para avaliar
os dados apresentados nos enunciados, e as restrições impostas pelo
problema, quando for o caso.
O componente formal está presente quando o professor identifica e sabe
sistematizar os diferentes tipos de agrupamentos e não somente para aquela
particular situação-problema em que está debruçado a resolver, naquele
instante.
O componente formal está presente quando o professor já tem
organizado seu raciocínio combinatório e quando identifica com propriedade o
tipo de agrupamento de objetos envolvido, não necessariamente através do
uso de uma ferramenta matemática devido ao conhecimento de similar
370
problema, mas compreende como deve mobilizar as estratégias que darão
conta de proceder a essa identificação e posterior contagem.
Por exemplo, quando nos referimos à proporcionalidade presente nos
agrupamentos, ou seja: nas situações em que o professor compreende que
deve dividir por 3! = 6 quando há 3 objetos envolvidos nas permutações (por se
tratarem de objetos repetidos) e assim, para cada seis permutações
consideradas distintas pela distinção entre os objetos, corresponde a uma só
permutação pelo fato de os objetos tomados serem iguais.
Mais ainda, quando nas combinações simples (ao considerar que a
ordem entre os objetos envolvidos, de início, distingue os agrupamentos), ou
seja: para cada conjunto de três objetos distintos, correspondentes a 3! = 6
distintas ordenações, correspondem ao mesmo conjunto dos três objetos.
A compreensão disso exige que o professor já tenha organizado seu
raciocínio e conheça a maneira de encaminhar o que precisa ser feito.
O professor pode usar o componente algorítmico na resolução de um
problema de contagem através do uso de uma fórmula, mas, se ele não
consegue explicar para o aluno o porquê de estar fazendo aquilo e se não
apresenta justificativas convincentes para o que faz, ele não está promovendo
a aprendizagem com seus alunos e apenas fazendo-os reproduzir mecanismos
repetitivos.
Consideramos que o aspecto formal está presente nos problemas de
contagem quando o professor encontra as justificativas corretas para aquilo
que está fazendo e quando se utiliza de uma representação para identificar
todos os agrupamentos envolvidos na situação. Uma fórmula para dar conta de
todas as possibilidades que atendem à situação proposta não caracteriza os
agrupamentos que foram contados.
A simples apresentação da resposta através de uma ferramenta
matemática ou do uso de uma fórmula não identifica o aspecto formal presente
nela.
O aspecto intuitivo, sim, está sempre presente com o individuo, mesmo
que ele não faça uso dele para determinado solução de um problema de
contagem.
371
Para o domínio do aspecto formal o professor já deve conhecer e
dominar o conteúdo que ele está ensinando - no caso do aluno, acerca do
conteúdo que ele está aprendendo – e já deve ter sistematizado o tipo de
agrupamento de objetos que deve identificar, quando compreende o enunciado
do problema de contagem e o que precisa ser feito.
Assim, quando o professor recorre, quase sempre, ao aspecto intuitivo
para dar conta de apresentar e desenvolver a problemática acerca do conteúdo
e em seguida utiliza-se da estratégia e da ferramenta que considera adequada
para dar conta da contagem, diz-se que o professor já está no final do processo
de apropriação dos conteúdos de problemas de contagem.
Portanto, não será a proposição de um novo problema de contagem, que
até poderá apresentar dificuldades de entendimento, de início, que fará com
que essa hierarquização de conhecimentos caia por terra se os aspectos
intuitivo, formal e algorítmico estiveram muito bem fundamentados de modo
que o professor dê conta da solução à situação.
Por outro lado, pelo fato do professor já ter se apropriado de todos os
conhecimentos que dizem respeito ao conteúdo dos problemas de contagem e
dessa maneira dominar bem o aspecto formal, não significa que ele não possa
vir a recorrer, em uma situação particular, do aspecto algorítmico - que ele
também já vivenciou - para dar conta da contagem, abandonando o aspecto
formal.
Resumimos o resultado dos encaminhamentos havidos ao longo dos
oito encontros da sequência didática, mostrando a interligação que existiu
quando do enfrentamento de problemas de contagem, segundo o esquema
apresentado na figura a seguir:
372
Busca da solução
para os
PROBLEMAS
DE CONTAGEM
Uso de Uso de
uma uma ou mais
representação fórmulas
Princípio Princípio
Multiplicativo Multiplicativo
e
Princípio
Aditivo
Caracterização
dos
agrupamentos
Figura 2: Esquema mostrando estratégias para a obtenção de solução para problemas
de contagem
Nesse esquema, pode-se observar que a busca da solução a problemas
de contagem poder ser encaminhada através de duas maneiras diferentes:
� Diretamente com o uso de uma representação (quando o
quantitativo de elementos não for grande);
� Ou então, de início, caracterizando o tipo de agrupamento dos
objetos envolvidos na situação e, em seguida utilizar ferramentas
matemáticas como o princípio multiplicativo ou o princípio
multiplicativo e o princípio aditivo (em conjunto) ou ainda através
de uma fórmula, as quais dão conta da contagem dos
agrupamentos que contém todas as possibilidades que atendem à
situação proposta.
Em relação às possíveis abordagens e estratégias de enfrentamento de
problemas de contagem, procuramos identificar elementos característicos dos
aspectos intuitivo, algorítmico ou formal da atividade matemática durante a
resolução dessas situações, apoiando-nos nos princípios de Fischbein et al
(1994) para que fosse possível fazer isso.
O esquema apresentado a seguir, na Figura 3, mostra as relações entre
os elementos presentes nos aspectos intuitivo, algorítmico ou formal e os
conceitos de combinatória que podem ser utilizados para resolver problemas
de contagem na Educação Básica.
373
Busca da solução Aspecto
para os Intuitivo
PROBLEMAS
DE CONTAGEM Aspecto
Algorítmico
Uso de Uso de
uma uma ou mais
representação fórmulas
Princípio Princípio
Multiplicativo Multiplicativo
e Permutações
Combinações Princípio simples
simples Aditivo ou com repetição
de objetos
Caracterização
dos Permutações
agrupamentos Circulares
Aspecto
Formal
Figura 3: Relação entre os aspectos da matemática segundo Fischbein (1994), e a resolução de problemas de contagem na Educação Básica.
No esquema acima se identifica a interligação entre o aspecto intuitivo e
a busca da solução para problemas de contagem, bem como que a busca da
solução a um problema de contagem pode ser obtida considerando o aspecto
intuitivo para encaminhar estratégias para a obtenção da solução.
A análise dos dados coletados ao longo da sequência didática permitiu
identificar em que medida os professores tiveram a oportunidade de discutir e
refletir sobre a formação em relação aos aspectos de conteúdo, pedagógicos e
curriculares, Shulman (1986).
Também foi possível identificar concepções dos professores em relação
às possibilidades de eles desenvolverem o conteúdo problemas de contagem
desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, indo ao encontro do que
prescreve o currículo da Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (2010)
e com o qual esses professores estão comprometidos com a sua
implementação.
Foram oferecidas diversas oportunidades para que os professores
refletissem e se posicionassem em questões relacionadas a aspectos
pedagógicos - se a proposta de solução para um problema de contagem estava
374
adequado ao nível de ensino e em qual ano poderia ser proposto - permitindo
reflexões e comparações com as posições defendidas por pesquisadores de
Educação Matemática.
Assim, no lugar de um professor que aplica resultados de pesquisas
científicas, concebemos nesta formação continuada a visão de professores
como pesquisadores de sua própria prática docente através de reflexões
individuais e em grupos, a exemplo das proposições defendidas por Schön
(1987).
As premissas segundo as quais o professor deve exercitar ações
reflexivas sobre o ensino dão conta de que sua atuação em sala de aula é
derivada de crenças e valores que ele tem em relação ao ensino, à
aprendizagem, aos conteúdos que ele conhece e domina, aos conhecimentos
curriculares e aos que estão relacionados com seus alunos.
Por conta disso, as reflexões que um professor possa fazer dar-lhe-ão a
oportunidade de poder expor suas crenças e concepções sobre os
conhecimentos de conteúdo, pedagógicos e curriculares que estão subjacentes
às suas práticas docentes e, como tal, uma vez que considere alguma
premissa a respeito é possível que venha a confirmar ou não a sua validade.
Também, ressalte-se, houve reflexões acerca das possíveis dificuldades
que os alunos deste segmento poderiam ter em relação à proposição de
determinado problema de contagem e os processos de ensino e de
aprendizagem que dão conta do encaminhamento para a resolução dele em
determinada série do Ensino Fundamental.
Em prosseguimento às análises contempladas neste capítulo, vamos dar
continuidade às análises referidas aos dados constantes das respostas ao
questionário final Q4 quanto às concepções e crenças dos professores sobre o
desenrolar da sequência didática que acabavam de experenciar e à
ressignificação dos conhecimentos desses professores.
375
5.3 O QUESTIONÁRIO FINAL (Q4)
As reflexões e decisões tomadas na fase que antecedeu a aplicação da
sequência de ensino já consideravam a necessidade de preparar questões de
maneira que fosse possível conhecerem-se as concepções dos professores
sobre o desenrolar das atividades desenvolvidas na sequência didática.
Durante o desenrolar da sequência didática previu-se a necessidade de
encaminhar questões que poderiam ser colocadas na forma de perguntas
abertas, em um questionário, de modo que o professor pudesse se manifestar
de modo individual sobre considerações acerca de seu engajamento com ela.
A decisão sobre o tipo de diagnóstico que deveria ser encaminhado
seria tomada após alguns encontros de ensino mas, desde então, estava claro
que era preciso estabelecer a maneira apropriada segundo a qual os dados a
recolher deveriam ser obtidos de uma maneira o mais abrangente possível.
Portanto, a análise encaminhada com os dados colhidos nesse
questionário deveria retratar as concepções pessoais que ficaram para cada
professor e com ela fundamentar a resposta que seria dada às questões de
pesquisa.
O questionário Q4 foi aplicado no sétimo encontro de ensino e devolvido
no oitavo encontro e se encontra no Apêndice D. Seguem as análises das
respostas ao questionário Q4.
I. Sobre o que de novo o professor aprendeu em relação aos conhecimentos pedagógicos do conteúdo problemas de contagem
A fim de identificar as concepções do professor em relação aos conhecimentos pedagógicos do conteúdo problemas de contagem após a experiência desenvolvida na sequência didática, foi proposta a seguinte questão:
Pergunta 1: Escreva sobre o que de novo aprendeu nesta formação quanto
aos conhecimentos pedagógicos do conteúdo problemas de contagem
Foi gratificante identificar que alguns professores tiveram a oportunidade
de ressignificar conteúdos, estratégias e procedimentos para desenvolver os
problemas de contagem para o Ensino Fundamental, a exemplo do relato do
professor P1, a seguir:
376
Eu não fazia este tipo de abordagem (Princípio Aditivo e Multiplicativo), mas depois das aulas de Combinatória (UNIBAN), vejo que estes princípios são mais básicos, simples e essenciais para resolver os problemas de contagem, do que simplesmente apresentar as equações, no modo mais formal dos conceitos de fatorial, arranjos, permutações, combinações até casos particulares, porém o aluno pode cair na dificuldade que equação eu uso neste problema, se ele não tem os conceitos principais da Combinatória bem formulados na sua cabeça (P11)
O professor P7 foi bastante esclarecedor em sua resposta, inclusive
ressaltando que o pesquisador não houvera se utilizado de alguma fórmula
para dar conta da solução de todos os problemas de contagem embora ele
próprio tenha feito isso em algumas situações, como se constata a seguir:
De novo o lado facilitador, de trabalhar de forma mais simples, sem a utilização de fórmulas, pois até o dia de hoje, ainda não foram utilizadas fórmulas; quer dizer: você não as utilizou, embora em muitas situações eu mesma as tenha utilizado (P7)
Assim, parece-nos que este professor aproveitou bem os fundamentos
que norteiam a metodologia que foi utilizada na sequência didática a qual se
pautou por explorar diferentes representações, o raciocínio combinatório e a
aplicação do princípio multiplicativo e do princípio aditivo quando da resolução
de problemas de contagem.
II. Sobre os aspectos que o professor considera que poderá utilizar em sala de aula Com o propósito de identificar aspectos que o professor considera que
virá a utilizar na sua prática, ressignificados ou não durante o desenvolvimento
da sequência didática, sejam eles relativos aos conhecimentos curriculares,
pedagógicos ou de conteúdo, foi proposta a seguinte questão:
Pergunta 2: Que aspectos foram apresentados nesta formação que você
poderá utilizar em sua prática de sala de aula?
Parece-nos que os professores aproveitaram bem a formação que
acabavam de concluir de maneira que muitos dos aspectos que foram
apresentados e discutidos por todo o grupo e as reflexões que cada um fizera
foram fundamentais para a ressignificação de seus conhecimentos e de suas
práticas, conforme se constata pela resposta fornecida pelo professor P7, a
saber:
O formato mais simples de resolver os problemas, um trabalho mais intensificado na resolução das questões sem o uso de fórmulas,
377
possibilitando uma melhoria do raciocínio lógico antes de implementar o uso de fórmulas. A utilização mais massificada da árvore de possibilidades (P7)
Além disso, a ressignificação de estratégias e procedimentos por
professores, como a do professor P11, permite que possamos reafirmar o
avanço em relação ao campo conceitual de parte do grupo, como se verifica no
depoimento a seguir:
Com certeza poderei valorizar o aprendizado do aluno usando os métodos do Princípios Aditivo e Multiplicativo, a árvore de possibilidades e a tabela de dupla entrada, e conceituar muito bem a Combinatória e mostrar que existem vários caminhos para se chegar a solução correta de um problema, e que as vezes podemos optar por resolver problemas de Combinatória sem utilizar equações ou fórmulas prontas, e que podemos somente usar o raciocínio lógico e méis mais básicos e simples e chegar a resposta correta (P11)
Além disso, a ressignificação de estratégias e procedimentos por
professores como o professor P11 e a motivação de alguns deles quanto às
possibilidades em relação a novas práticas a partir da formação continuada que
acabavam de participar pode ser identificada, por exemplo, na posição do
professor P11 conforme a seguir:
Vou praticamente utilizar tudo o que aprendi, pois eu obtive mais experiências especialmente em situação-problema (P13)
Ressaltamos os aspectos que os professores P14 e P15 apresentaram
em suas respostas, a seguir, quanto à aceitação da proposta de metodologia
do trabalho realizado ao longo da sequência didática em relação à sugestão de
mobilizar diferentes estratégias para a resolução de problemas de contagem, e
como ela foi positiva para a prática de alguns desses professores, conforme se
pode observar nas respostas dos professores P14 e P15, a seguir:
Muitos aspectos, principalmente, fazer com que os alunos não se satisfaçam, só com “aquele” jeito de resolução, mas que busquem alternativas (P14)
Ainda, levo em conta a forma mais clara e simples de esclarecimento ao aluno com uma abordagem mais simples (P15)
Analisando as respostas dos professores, acrescentamos que
consideramos importante que o professor se aperceba da importância das
formações continuadas ao longo de sua trajetória profissional uma vez que sua
base de conhecimentos deve estar permanentemente em constante ampliação
em relação ao aumento da imagem conceitual referenciados aos
conhecimentos de conteúdo e pedagógicos, à medida que se apropria de
378
novas concepções oriundas dessas formações e enquanto desenvolve sua
prática.
Acrescente-se que o fortalecimento dessa base de conhecimentos é
obtido à medida que o professor contemple o máximo possível uma variedade
de saberes, pessoais e profissionais que permitam que ele possa compreender
e atuar com desenvoltura no seio da realidade de sua comunidade escolar,
aliado à formação que deve possuir em relação aos conhecimentos específicos
de matemática.
Também em relação à necessidade de promover aprendizagem a seus
alunos, valendo-se do importante e indispensável papel que os conhecimentos
pedagógicos de conteúdo e os conhecimentos curriculares desempenham para
a consecução desses propósitos.
III. Sobre se o professor considera importante e indispensável introduzir situações-problema de contagem no Ensino Fundamental
Com o propósito de identificar concepções do professor a respeito da
importância que ele empresta para o trabalho com problema de contagem no
Ensino Fundamental, a exemplo do que é prescrito no Currículo de São Paulo
(2010), foi proposta a seguinte pergunta:
Pergunta 3: Você considera importante e indispensável introduzir Problemas
de Contagem no Ensino Fundamental? Por quê?
Parece-nos, pela análise às respostas apresentadas que parte do grupo
de professores considera importante o trabalho com problemas de contagem
desde os primeiros anos do ensino fundamental.
Embora o depoimento do professor P6, que se encontra a seguir, não
esteja em coerência, sua posição quanto ao desenvolvimento de combinatória
desde as séries iniciais do Ensino Fundamental acrescenta a importância que o
professor empresta para esses conteúdos.
Bem, quanto à introdução “Combinatória” no E.F, é importante que os alunos da 6ª série Vejam algumas situações-problemas de combinatória básicas, facilitando à aprendizagem “porcentagem”, utilizada no estudo da “Probabilidade” de ocorrência de eventos (P6)
379
O professor P7 considera importante o desenvolvimento dos problemas
de contagem no Ensino Fundamental no sentido de facilitar o aprendizado do
aluno quando este estiver no Ensino Médio, como a seguir:
Qualquer abordagem anterior pode ser significativa no estudo de combinatória. Sabemos que as repetições de alguns conteúdos nos auxiliam na fixação e aprendizado, ou seja: repetir conteúdos como ocorre com a geometria, em séries iniciais e posteriormente no ensino médio, facilita o aprendizado (P7)
Já o professor P9 justifica o ensino de problemas de contagem no
Ensino Fundamental como facilitador para a utilização das fórmulas no Ensino
Médio, como se constata a seguir:
É importante, pois o aluno já vai adquirindo a idéia de escolha, alternativa, ordem e com isso no ensino médio fica mais fácil o aprendizado quando é introduzido as fórmulas (P9)
Já o professor P11 ressalta que as estratégias, procedimentos e o uso
de diferentes representações são fundamentais para a resolução de problemas
de contagem, como se constata no depoimento a seguir:
Sim, eu considero importante introduzir “Combinatória” nas séries iniciais do E.F., por que podemos apresentar aos alunos que os problemas que envolvem contagem podem ser usadas técnicas para a descrição e a contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento, por uma árvore de possibilidades ou pela tabela de dupla entrada, e pelos Princípios Aditivo e Multiplicativo (P11)
Já em relação ao depoimento do professor P16 não nos parece que o
referido professor reconheça as razões do porque se desenvolve os problemas
de contagem no Ensino Fundamental, não obstante terem sido apresentadas
diversas razões ao longo da sequência didática, como apresentado no
depoimento a seguir:
Considero muito importante/indispensável a introdução da Combinatória no Ensino Fundamental, pois em qualquer ramo de atuação, a contagem faz parte do cotidiano das pessoas. Contar não é sempre um processo tão simples, como pode parecer a primeira vista. Contar unidades uma a uma, que é o processo elementar, não é viável em muitas situações. Por isso, é necessário estabelecer métodos de contagem que atinjam resultados mais rapidamente, esse é o objetivo principal da Análise Combinatória (P16)
Já em relação ao depoimento do professor P17 nos parece que o
referido professor reconhece que a sequência didática foi fundamental para a
ressignificação de sua prática, como apresentado no depoimento a seguir:
Hoje eu tenho outra visão a respeito de combinatória e vejo que é de suma importância e indispensável; Por que da Base e margem para
380
Estatística e trabalha todos os elementos ou as 4 operações matemática (P17)
Identificou-se que para alguns professores a importância de introduzir
problemas de contagem no Ensino Fundamental está relacionada com a
“facilidade” que a introdução desses conteúdos neste segmento poderia
emprestar para o estudo no Ensino Médio, e não a outros aspectos que já
foram identificados e descritos em situações anteriores deste trabalho.
Para Shulman (1987), entre o significado do conteúdo curricular e os
conhecimentos apreendidos e compreendidos pelos alunos nos processos de
ensino e de aprendizagem, o professor precisa “construir pontes” entre o aluno
e ele.
Segundo Mizukami (2004):
Professores explicam ideias complexas a crianças oferecendo-lhes exemplos, analogias ou metáforas, contando-lhes histórias ou oferecendo demonstrações, construindo pontes entre a mente da criança e a compreensão mais desenvolvida na mente do professor. Essas pontes envolvem tráfego de mão dupla, na medida em que as crianças oferecem suas próprias representações ao professor, assim como para outras crianças. (SHULMAN, 2004a, p. 379 apud MIZUKAMI, 2004, p. 4)
Para tal é preciso que os professores se apropriem de conhecimentos
que os façam:
� Compreender profundamente os conteúdos que ensinam;
� Que conheçam e estejam atentos às prováveis dificuldades que
os alunos têm quando se deparam com estes conteúdos;
� Que dominem os diferentes métodos de ensino e suas variações
que dão conta de ajudar os alunos na construção desses
conhecimentos e, mais ainda,
� Que possam, constantemente, rever os objetivos, planejamento,
encaminhamentos de atividades e procedimentos de ensino que
são propostos por eles em conjunto com seus pares à medida
que conhecem melhor seus alunos ao longo do ano letivo.
Estudos e pesquisas referentes ao pensamento do professor, do papel
reflexivo que ele desenvolve em relação ao ensino e sobre a base de
conhecimentos para o ensino, decorrente de sua experiência docente, têm
381
apontado para a construção do conhecimento profissional e para a construção
pessoal desse tipo de conhecimento, muito embora sejam produtos de diversos
referenciais teóricos e metodológicos (MIZUKAMI, 2002, p. 48).
IV. Sobre como o professor se sente em relação ao trabalho que foi desenvolvido com situações-problema de contagem na Educação Básica Com o propósito de identificar as concepções do professor sobre o
trabalho que foi desenvolvido com problemas de contagem no Ensino
Fundamental, durante a sequência de ensino objeto deste estudo, foi proposta
a seguinte pergunta:
Pergunta 4: Escreva como se sente, após esta formação, em relação ao
trabalho desenvolvido com situações-problema que envolve problemas de
contagem no Ensino Fundamental
Analisando a resposta do professor P7, a seguir, fica claro que ele
aproveitou bem a formação objeto deste estudo e que as discussões e
reflexões feitas por ele, e coletivamente, serviram para uma ressignificação de
sua prática pedagógica e de conhecimentos de conteúdo, como se pode
constatar na sua resposta a seguir:
Todo aprendizado é importante para um professor. Conteúdos, metodologias, novas situações, etc. Sou suspeita para falar, pois sempre gostei muito de combinatória, probabilidades e estatística. Apesar do meu gosto pelo conteúdo, muitas situações de aprendizagem tiveram um grau de dificuldade inesperado, fazendo com que eu pensasse mais no assunto e tivesse um envolvimento com o conteúdo de forma a conseguir resolver o problema. Outro ponto interessante revela-se em relação ao meu aprendizado prévio. Aprendi a teoria e o uso de fórmulas, então, tento resolver praticamente todas as situações com o uso de fórmulas. Apesar de em muitas vezes eu ter acertado o resultado, durante a sua resolução, me deparo com um formato muito mais simples e acessível aos alunos. Estou tentando-me disciplinar de forma a incorporar esse novo formato nas minhas aulas. Posso dizer que é difícil, pois mesmo durante suas questões, muitas vezes eu não consigo pensar da forma mais simples. Estou travada, e acredito que precisarei de muito mais prática para me elevar a outro nível, onde eu possa resolver os exercícios de variados modos (P7)
O professor P9 mostra a importância que ele credita aos conhecimentos
e reflexões que encaminhou com o grupo na sequência didática os quais
poderão ser explorados em sala de aula, como se constata em sua resposta a
seguir:
382
Quanto ensinar em ensino fundamental a parte de combinatória creio que é possível, basta abordar de uma maneira mais simples, com exercícios mais tranquilos para responder, e com o passar do tempo e de séries pode ir aumentando o nível de dificuldade. Para mim essa formação foi muito importante, teve muitas novidades neste curso, é uma maneira completamente diferente de ver a análise combinatória, aprendi a analisar um mesmo exercício por diversos ângulos até encontrar a forma mais correta para resolvê-lo. Alguns exercícios eu já os havia visto, pois estão nos cadernos dos alunos, mas estão de maneiras diferentes, e a resolução é uma abordagem muito diferente. Muitos dos exercícios que foram passados neste curso são perfeitamente possíveis de ser inserido em sala de aula, mas alguns eu não arriscaria, pois se entre nós professores já causou muitas discussões, imagine em sala de aula. (uma só resposta para as questões de 1 a 7) (P9)
As respostas dos professores P11, P13, P14 e P6 mostram satisfação
em relação aos resultados obtidos com a formação que acabavam de
participar, como se constatam em suas respostas a seguir:
Eu me sinto mais preparada para lecionar o assunto Combinatória na Educação Básica (Ciclo II e Ensino Médio) (P1). Eu achei ótimo, pois aprendi mais coisas para aprimorar mais meus conhecimentos. A respeito de usar situação-problema na Educação Básica, seria uma ótima, pois eles iriam se aprimorar mais quando chegar nos anos posteriores (P13) O professor Paulo Jorge mostrou-nos que é preciso explorar todas as possibilidades de combinação, porque podemos deixar vago o assunto e ficar faltando meios para que se desenvolva em todas as competências e habilidades propostas (P14)
Em relação ao trabalho desenvolvido com situações-problemas envolvendo análise combinatória neste curso, me sinto mais atualizada para transmitir este assunto para meus alunos (P6)
O professor P15 salienta em sua resposta as dificuldades que teve para
acompanhar a formação objeto desta pesquisa.
Cabe aqui ressaltar que, quando o professor P15 se refere ao “e se e
se.....”, é porque o pesquisador chamava sempre a atenção dos professores de
que eles deveriam sempre se perguntar: se tal fato puder ocorrer dessa
maneira (a tomada de decisão a ser feita), então isso acarreta em ... Mas, se
tal fato ocorrer assim, então há tantas possibilidades dele ocorrer e, assim, ...
Ou seja, que eles deveriam sempre estar se perguntando em relação às
consequências que poderiam encadear-se pelo fato de terem tomado essa e
não aquela ação, e assim por diante.
Assim, o professor P15 se refere a essa dificuldade pelo fato de que
talvez antes dessa formação ele tomasse a decisão sobre o quantitativo de
383
possibilidades para uma determinada ação sem medir as consequências de
que tal decisão pudesse ou não ser feita segundo aquelas condições.
E, por conseguinte, uma vez que não tenha contemplado todas as
possibilidades desta intempestiva ação, a contagem final conterá erros para
mais ou para menos.
Eis a resposta apresentada pelo professor P15:
Creio que as minhas dificuldades foram em relação à interpretação e de onde partir, pois, não me adaptei aos e se e se..... (P15)
As concepções dos professores quanto à formação que acabavam de
concluir e sobre a possibilidade de utilização do material desenvolvido na
sequência didática em suas aulas (embora fossem poucos os professores que
se manifestaram diretamente a respeito) deixa-nos bastante animados quanto
aos propósitos da implementação das orientações prescritas no Currículo do
Estado de São Paulo (2010), mormente quando se tratar do desenvolvimento
dos problemas de contagem no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.
Foram oportunas e consistentes as reflexões feitas pelos professores e
mostram maturidade do grupo em relação à prática docente que
desempenham. Assim, vislumbra-se um engajamento mais fortalecido em
relação às preocupações quanto à qualidade de ensino e da aprendizagem que
proporcionam a seus alunos.
Por conta dessas constatações, em relação a esse grupo de
professores, vislumbramos o anúncio de melhores dias em relação ao ensino e
à aprendizagem dos problemas de contagem na Educação Básica.
Essas constatações só vêm contribuir significativamente para a melhoria
do aprendizado da matemática de maneira geral, a julgar pelas reflexões
encaminhadas por todo o grupo durante os encontros de ensino.
As ações realizadas pela Secretaria de Estado da Educação de São
Paulo, após a implementação do novo Currículo - principalmente no que diz
respeito ao oferecimento dos “Cadernos do Professor” e dos “Cadernos do
Aluno” – fazem-nos acreditar que o caminho a ser seguido para a consecução
dos objetivos planejados pela equipe de professores que se debruçou para a
384
elaboração do presente Currículo, foi bem escolhido e são do agrado do grupo
dos professores.
É claro que a apresentação do texto de um novo Currículo não garante
melhoria nos processos de ensino e de aprendizagem se não houver um
engajamento do professor com os propósitos a que ele se destina, e que os
professores estejam convencidos de que este é o melhor caminho a ser
seguido bem como de que é preciso que haja a necessária participação de
toda a comunidade escolar.
A julgar pelas considerações, reflexões, discussões e o
comprometimento presentes no grupo de professores, estamos convencidos de
que a implementação do Currículo de São Paulo (2010), no que se refere à
proposta de desenvolvimento dos problemas de contagem, tanto no Ensino
Fundamental quanto no Ensino Médio, será realizada com êxito.
Neste capítulo realizamos análise acerca dos dados obtidos na fase de
intervenção desta pesquisa, na sequência didática, durante sete encontros.
No próximo capítulo - o das conclusões desta pesquisa - faremos uma
síntese das análises que foram feitas tomando os dados colhidos nos quatro
questionários aplicados nesta pesquisa e na análise resultante dos dados
colhidos na sequência didática, de modo que essas sínteses sirvam para
fundamentar o texto que servirá para responder às questões desta pesquisa.
385
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O texto que segue sintetiza a trajetória que este estudo trilhou e que se
fez necessária à consecução dos propósitos estabelecidos para a realização de
nosso estudo.
Também sumariza nossas reflexões a respeito das questões de
pesquisa que nos propusemos a responder, tomando por base os resultados
obtidos com o nosso experimento.
Além disso, também destacamos aspectos que, em nosso ponto de
vista, precisam ser aprofundados em estudos posteriores e indicamos questões
que, conquanto não tenham sido abordadas nas discussões expostas neste
texto merecem, por sua relevância, ser tomadas como objetos de novas
investigações.
Consideramos que o desenvolvimento deste estudo se justifica pela
relevância da construção e da compreensão dos conceitos básicos de
combinatória para o ensino e a aprendizagem destes no Ensino Fundamental.
Também, e igualmente, se justifica para a ampliação da ideia de
construção de representações, tais como: esquemas, árvore de possibilidades,
tabela de dupla entrada, produto cartesiano ou enumeração de agrupamentos
de objetos visto que favorece e, em alguns casos, impõe a reconstrução e a
reelaboração de conceitos como etapa necessária à apropriação e do
estabelecimento de estratégias e procedimentos para a resolução de
problemas de contagem, sem o necessário uso de fórmulas.
Propicia, igualmente, uma interpretação da Matemática, não apenas
como ferramenta útil e necessária para a resolução de problemas práticos, mas
também como ciência organizada, coerente e harmoniosa, que se constrói pelo
esforço do homem e para servir às diferentes necessidades que a sociedade
pós-moderna exige de cada um.
• O papel do pesquisador frente ao grupo de professores
Desempenhamos um duplo papel ao longo deste experimento:
apresentando – como pesquisador – uma proposta de trabalho a ser
386
experimentada e discutida com os professores e, ao mesmo tempo, colocando-
nos diante do grupo, explicitamente como um de seus participantes, uma vez
que, assim como eles, também exercemos a profissão docente trabalhando
com alunos da Educação Básica.
Em nossa avaliação, esta característica do grupo se constituiu como
ponto fundamental para a realização de nosso estudo porque, entendemos,
que todos aprendemos uns com os outros.
Despimo-nos, por assim dizer, das cerimônias e expusemos nossas
concepções, nossas dúvidas e nossas inseguranças em relação à experiência
difícil de ensinar especificamente o conteúdo objeto de nossas discussões, que
são as noções básicas de análise combinatória, para professores e alunos na
Educação Básica.
Constituindo-nos como um grupo de estudos: pesquisador e professores
– iguais –, avançamos juntos, cada qual com suas especificidades.
De certa forma, o que se principiou entre os professores - sujeitos desta
pesquisa - foi o cultivo da reflexão pessoal e coletiva como uma prática social
por meio da qual e segundo Zeichner (1993), em grupos de estudo como este
os professores podem apoiar o crescimento uns dos outros.
A esse respeito, o mesmo autor argumenta que o crescimento do
professor fica limitado quando se considera o seu desempenho como atividade
que se realiza isoladamente em consequência do que os professores passam a
enxergar os seus problemas como apenas seus, sem relação com os
problemas dos outros professores e o relato de suas experiências.
Essa observação, feita por Zeichner (1993), nos ajudou a interpretar as
questões e os argumentos postos pelos professores como manifestações de
seu crescimento como grupo.
Sem que houvesse perda de individualidade (pois, entre si, os
professores reconheciam e respeitavam diferenças de concepções, crenças e
conhecimentos), a apresentação de opiniões por um participante passou ao
longo do experimento a ser aceita (após a discussão) como representação das
ideias do grupo inteiro, eliminando assim qualquer sentimento de exposição
diante do grupo ou de julgamento, por parte do mesmo.
387
Analisando sob essa perspectiva, acreditamos que este estudo
promoveu e acentuou, neste grupo de professores, a prática reflexiva individual
e coletiva concernente aos conhecimentos do conteúdo específico, pedagógico
e curricular relativos às noções básicas de análise combinatória para a
resolução de problemas de contagem no Ensino Fundamental e no Ensino
Médio, sem a prevalência do uso de fórmulas.
• Uma síntese da trajetória deste estudo
Quanto aos procedimentos metodológicos empregados nesta
investigação, utilizamos a pesquisa documental e orientamo-nos por princípios
do Design Experiments (Cobb et al, 2003), que favoreceram o desenvolvimento
simultâneo da investigação e da formação continuada de um grupo de 20
professores de Matemática da rede pública estadual de São Paulo constituído
no âmbito do Observatório da Educação da UNIBAN, em projeto financiado
pela CAPES, com o propósito de promover reflexões a respeito da
implementação de inovações curriculares em suas práticas pedagógicas.
Com a pesquisa documental, tivemos o objetivo de averiguar a
importância conferida aos problemas de contagem (noções básicas de
combinatória) nos currículos de Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio,
assim como as recomendações pedagógicas e as expectativas de
aprendizagem que se estabelecem para o desenvolvimento desse conteúdo
em orientações contidas em documentos oficiais de referências curriculares
vigentes no Brasil.
A investigação desses documentos amparou-nos no que se refere à
elaboração dos instrumentos de coleta de dados e ao exame dos dados
obtidos segundo os instrumentos utilizados em nosso experimento, em
conjunto com os referenciais teóricos.
Como resultado dessa análise, destacamos que as orientações
constantes do Currículo do Estado de São Paulo (2010) para a abordagem dos
problemas de contagem no Ensino Fundamental incorporam as sugestões
apresentadas nos PCN (1997, 1998) no que se refere à importância de:
388
� Explorar diferentes significados para a multiplicação de números naturais
com ênfase nas situações associadas à ideia combinatória, levando os
alunos a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por
diferentes estratégias e/ou operações;
� Explorar a construção de árvores de possibilidades e outras
representações para obter a solução de problemas combinatórios por
contagem direta, nos casos em que o número de objetos envolvidos não
seja grande;
� Explorar a compreensão do raciocínio combinatório e a aplicação dos
Princípios Multiplicativo e Aditivo na resolução de problemas de
contagem, de maneira direta e indireta, sem a necessidade de aplicação
de fórmulas específicas para os agrupamentos de objetos que têm
características semelhantes.
O novo Currículo do Estado de São Paulo (2010) acrescenta, além dos
conteúdos indicados nos PCN (1997,1998) para o Ensino Fundamental, um
aprofundamento que inclui, por exemplo, a sugestão de resolução de alguns
problemas motivadores pertinentes para a introdução de outros conteúdos no
Ensino Fundamental tais como, por exemplo, o de potências com números
naturais (com situações-problema que determinam o número de ascendentes
de determinada geração de uma família) e outras situações de aprendizagem
que ofereçam instrumentos para a atuação do professor em sala de aula com a
proposição de problemas de contagem como instrumento de motivação para
introduzir e contextualizar o conteúdo que será abordado.
Quanto ao Ensino Médio, observamos que embora o Currículo de São
Paulo (2010) contenha recomendações sobre a retomada e o aprofundamento
de noções relativas à Combinatória (problemas de contagem), a atenção
dedicada a esses conteúdos visa levar o aluno a compreender o raciocínio
combinatório aditivo e o raciocínio combinatório multiplicativo na resolução de
situações-problema de contagem indireta do número de possibilidades de
ocorrência de um evento, salientando a não necessidade de aplicação de
fórmulas.
389
Consideramos que futuras investigações que avaliassem os resultados
da implementação dessas orientações, em sala de aula, tanto para o Ensino
Fundamental quanto para o Ensino Médio, poderiam contribuir para um estudo
das possibilidades de seu desenvolvimento.
De maneira a atingir os objetivos para esta pesquisa - presentes na
elaboração das questões de pesquisa - construímos o seguinte design para
esta investigação:
� Elaboramos questionários para conhecer os conhecimentos de
conteúdo, pedagógicos de conteúdo e curriculares dos
professores, segundo Shulman (1986);
� Construímos uma sequência didática baseada em situações-
problema apropriadas para os Ensinos Fundamental e Médio,
investigativas e exploratórias, acerca dos conhecimentos dos
professores sobre o conteúdo problemas de contagem (noções
básicas de Combinatória);
� Desenvolvemos essa sequência didática com os professores do
grupo – sujeitos da pesquisa;
� Fizemos análises sobre as problematizações, reflexões e
discussões - individuais e coletivas - de todo o grupo, ao longo
dos encontros de ensino, durante o processo formativo desses
professores em consonância com o conteúdo problemas de
contagem.
Essa experiência formativa da sequência didática, durante a fase de
intervenção, foi constituída de sete encontros, com duração aproximada de 4
horas cada. A fase de design, que antecedeu à fase de intervenção de
aplicação da sequência didática, foi constituída de um encontro onde foram
aplicados três questionários introdutórios.
A coleta de dados foi feita por gravação em áudio e vídeo em alguns dos
encontros, pelos protocolos escritos produzidos pelos sujeitos de pesquisa e
entregues ao pesquisador e pelas observações e registros diretos feitos pelo
pesquisador e professores do Observatório da UNIBAN/CAPES, durante os
encontros e fora deles.
390
As ideias de Shulman (1986) foram objeto de nossas reflexões
preliminares à elaboração das atividades da sequência didática e também no
que se refere à procura de estratégias para sugerir e apresentar soluções
alternativas às situações-problema de contagem que foram propostas aos
sujeitos de pesquisa.
Na fase de intervenção desta pesquisa procuramos identificar
comportamentos e procedimentos - de conteúdo e pedagógicos - que se
caracterizam como raízes da ação docente de um professor que ensina
Matemática na Educação Básica e relatar como os professores buscam, por
meio dos seus conhecimentos anteriores e em suas experiências docentes,
sentido para compreender comportamentos e fenômenos matemáticos.
Estes comportamentos, por sua vez, foram observados enquanto os
professores resolviam situações-problema de contagem propostas. Por meio
dessa experiência foi possível constatar como ela foi decisiva para a
apropriação de conceitos, estratégias e procedimentos de conteúdo pelo grupo
de professores, e como contribuiu para ressignificar tanto os conhecimentos
desses conteúdos quanto em relação à prática dessa temática para a
Educação Básica, com os conhecimentos pedagógicos de conteúdo.
Tendo em conta a complexidade que envolve o tema “noções básicas de
combinatória”, entendemos que, necessariamente, seu estudo deveria figurar
entre aqueles propostos para serem desenvolvidos ao longo de todos os anos
do Ensino Fundamental e para todas as séries do Ensino Médio – o que
favoreceria a continuidade, a consolidação e o aprofundamento de habilidades
e conhecimentos construídos, conforme prescrito em lei (LDBEN 9.394/96,
artigo 35).
Dentre as pesquisas que nos motivaram para o desenvolvimento desta
investigação, foram particularmente relevantes a análise e os resultados
apresentados por Fischbein e Gazit (1988) (construção de árvore de
possibilidades por crianças desde os 10 anos de idade), Navarro-Pelayo,
Batanero e Godino (1996) (abrangência dos conteúdos pesquisados com
jovens de 15 a 17 anos) e Placha e Moro (2009) (situações-problema que
foram aplicadas para os alunos em suas pesquisas foram utilizadas (com
modificações de dados) na sequência didática desta investigação),
391
constituindo-se em parte do material submetido à apreciação dos professores
participantes de nosso estudo, para reflexões e discussões.
Da mesma forma, as investigações concernentes à formação de
professores no que diz respeito à ampliação da imagem conceitual (TALL e
VINNER, 1981), a identificar elementos característicos dos aspectos intuitivo,
algorítmico e formal presentes na resolução de problemas de contagem
(FISCHBEIN, 1984), à importância da atitude reflexiva em relação à prática
pedagógica (ZEICHNER, 1993, 2003) e aos conhecimentos necessários ao
professor (SHULMAN, 1986) são a base em que nos apoiamos para planejar e
replanejar o nosso experimento e, igualmente, para analisar os resultados.
Entendemos que, para que ocorra aprendizagem e/ou ressignificação de
práticas docentes a respeito do conteúdo problemas de contagem um dos
fatores que consideramos determinante nessa empreitada são as aquisições e
conhecimentos anteriores dos professores.
A estas se somam as potencialidades e os desejos dos professores,
uma vez que se constituem em referenciais sobre os quais se apoiam os
saberes de modo que novos conhecimentos, estratégias, procedimentos,
abordagens e representações possam ser articulados e apropriados.
Estas considerações se apoiam nas formulações de Shulman (1986) a
respeito do conhecimento pedagógico do conteúdo, uma vez que este
conhecimento contribui para que seja possível identificar e estabelecer esses
referenciais e com ele encaminhar a articulação de diferentes abordagens.
As considerações também levam em conta as representações e saberes
dos professores em relação à atuação docente e aqueles professores que
precisam se apropriar desses conhecimentos para ensinar e promover
aprendizagem significativa para seus alunos.
O conhecimento pedagógico do conteúdo também considera o contexto
e as experiências que o professor tem e as que ele deve vivenciar ao longo de
sua prática docente, bem como àquelas relacionadas às dificuldades de
aprendizagem em relação à temática, e como superá-las.
Desta forma, foi possível construir um repertório de informações
relacionadas com a base do conhecimento docente formada pelos
392
conhecimentos de conteúdo e curriculares articulados ao conhecimento
pedagógico de conteúdo, com as quais estão sendo apresentadas as
considerações do pesquisador, tomando como referência a análise dos dados.
Por sua vez, e segundo Shulman (1986), é a articulação entre esses três
conhecimentos que faz a diferença entre aqueles que sabem um determinado
conteúdo e aqueles que estão preparados para ensiná-lo a seus alunos.
• Uma interpretação dos resultados de nosso experimento
O diagnóstico realizado na primeira fase da coleta de dados revelou que
a imagem conceitual referente aos problemas de contagem (noções de análise
combinatória) elaborada até então pela maioria dos participantes era
predominantemente constituída por noções formais relativas a dois aspectos
presentes nos agrupamentos de objetos: diferenciação entre arranjos e
combinações e no aspecto algorítmico quanto ao uso de fórmulas,
apresentando inconsistências, por exemplo, as relativas às definições, às
representações e às estratégias para a resolução de problemas de contagem.
Os dois aspectos presentes nas concepções e crenças dos professores
relativamente à resolução de problemas de contagem, no que se refere à
identificação de agrupamentos, diferenciavam os conceitos de arranjos simples
e de combinações simples quanto à obrigatoriedade ou não de considerar a
ordenação dos objetos, ou seja, quanto à identificação ou não de
agrupamentos distintos quanto à ordem entre seus elementos constitutivos.
No que concerne às definições de classes de problemas tipo arranjos,
permutações e combinações, com ênfase nas características dos
agrupamentos de objetos envolvidos, os conhecimentos acumulados pela
maioria dos professores eram os mesmos indicados por livros didáticos para o
Ensino Médio, havendo uma prevalência do componente algorítmico sobre os
componentes intuitivo e formal que transparece, por exemplo, em protocolos
dos professores.
Em alguns dos protocolos, por exemplo, embora o professor tenha
enunciado formalmente a definição de uma permutação simples como uma
ordenação que contém todos os objetos que estão envolvidos e identificado
393
que a totalidade das permutações simples é obtida pela aplicação do Princípio
Multiplicativo, ele efetuou, em seguida, a aplicação de uma fórmula sob a forma
de fatorial possivelmente para confirmar a existência de uma fórmula que
determina a contagem de todas as permutações simples, a exemplo do que
alguns livros didáticos também fazem.
Em nossa opinião, esses resultados indicam que alguns dos
professores do grupo estão muito dependentes do livro didático em relação à
apresentação e ao desenvolvimento dos conteúdos relacionados com as
noções básicas de combinatória que estes apresentam para a Educação
Básica, conforme a análise das respostas que esses professores apresentaram
nos questionários iniciais, confirmando esses encaminhamentos.
A maioria dos livros didáticos segue uma distribuição de apresentação
dos conteúdos para a resolução dos problemas de contagem que contempla
três “compartimentos estanques”, a saber: problemas de arranjos, de
permutações simples e de combinações simples.
Essa distribuição contribui para as dificuldades que os alunos têm para
compreender cada um dos conceitos, considerando que as situações-problema
propostas para serem resolvidas estão em cada um desses “compartimentos
estanques”.
Por conta disso, a menos de mudanças nos quantitativos de objetos,
todos eles são resolvidos pela aplicação da fórmula que foi apresentada no
início de cada seção, não exigindo do aluno a necessidade de compreender e
identificar o tipo de agrupamento que está envolvido na situação e de mobilizar
estratégias distintas de resolução que não àquela relativa à simples aplicação
da fórmula, desprovida da compreensão acerca dos agrupamentos de objetos
que foram formados.
Esses equívocos ficam transparentes, também, quando do cálculo de
probabilidades relacionadas com subconjuntos de objetos derivados de
agrupamentos constituídos a partir da resolução de problemas de contagem.
Ademais, são raros os livros didáticos que sinalizam para a motivação
quanto à mobilização de diferentes estratégias para a resolução de um mesmo
problema de contagem uma vez que, grande parte deles apresenta a resolução
394
de situações-problema exemplos por meio da aplicação direta de uma fórmula
que, em geral, foi somente apresentada de início.
Além disso, também não identificamos nos livros didáticos a
preocupação de orientar o aluno de que não há necessidade do uso de uma
fórmula para determinar a solução para um problema de contagem por meio da
apresentação de soluções para problemas de contagem que explorem o uso do
Princípio Multiplicativo, do Princípio Aditivo e por meio de uma representação,
como a árvore de possibilidades, sem o uso de uma fórmula em
prosseguimento.
Também a exploração de representações, como a árvore de
possibilidades, do raciocínio combinatório, do Princípio Multiplicativo e do
Princípio Aditivo (este de maneira acentuada) se revelaram ausentes no
repertório do grupo de professores, durante a resolução dos problemas de
contagem presentes no diagnóstico dos questionários introdutórios.
A análise desses dados corrobora os resultados discutidos em outros
estudos como os que foram desenvolvidos por Navarro-Pelayo, Batanero e
Godino (1996), que também investigaram questões relativas ao ensino e à
aprendizagem dos problemas de contagem na Educação Básica e constataram
o pouco uso que os alunos fazem da árvore de possibilidades e, quando o
fazem, não têm êxito.
A fase de intervenção realizada em nossa pesquisa teve a finalidade de
propor ao grupo de professores reflexões a respeito das possibilidades de
ensino dos problemas de contagem no Ensino Fundamental - estendendo-se
até o Ensino Médio - tendo como objeto de discussão a abordagem desses
problemas por meio da exploração de situações-problema que favorecem a
percepção dos conceitos, a mobilização de diferentes estratégias para a
resolução destes e a constatação da não necessidade de uma fórmula para
obter a solução de um problema de contagem, explorando o raciocínio
combinatório na aplicação dos Princípios Multiplicativo e Aditivo.
Esta pesquisa identificou que os professores do grupo ainda não haviam
vivenciado situações nas quais - dependendo do modo como a solução da
situação é encaminhada - será preciso repartir o problema em várias etapas –
395
quando e em quantas partes seja necessário - para efetuar a contagem total de
possibilidades, utilizando os Princípios Multiplicativo e Aditivo, em conjunto.
Os resultados observados ao longo dessa fase, a partir das reflexões e
discussões nos grupos de professores, não só indicaram avanços no que diz
respeito às definições, representações e estratégias de resolução, mas
também ampliaram a compreensão da aplicação do Princípio Multiplicativo e do
Princípio Aditivo e a percepção da possibilidade de resolver problemas de
contagem via uso de alguma representação e sem o uso de uma fórmula, como
estratégia que pode favorecer a caracterização dos agrupamentos de objetos
que atendem à solução do problema, permitindo a contagem total destes
agrupamentos de modo direto ou indireto.
Dentre os avanços registrados é importante mencionar também aqueles
relacionados à argumentação. Teria ficado vazia a discussão sobre a resolução
dos problemas de contagem na Educação Básica se a atenção do grupo não
fosse despertada para a importância dos aspectos intuitivo e formal, na
abordagem desse conteúdo.
O esforço e o interesse do grupo a esse respeito resultaram em avanço
na leitura atenta aos enunciados dos problemas, na compreensão acerca das
estratégias adequadas para obter a solução e, posteriormente, na elaboração
de justificativas sobre as tomadas de decisão em cada uma das fases
componentes da aplicação do Princípio Multiplicativo ou da construção da
árvore de possibilidades, certificando-se da consecução de todas as etapas
que são necessárias para a obtenção da solução de cada problema.
Nesse sentido, seria importante considerar a possibilidade de outras
pesquisas que investigassem o desenvolvimento de habilidades relativas à
argumentação e às narrativas presentes ao longo da resolução de problemas
de contagem, envolvendo professores da Educação Básica.
Quanto à utilização de uma representação, em particular de uma árvore
de possibilidades, embora tenhamos percebido que houve compreensão por
alguns participantes acerca da viabilidade e das vantagens para o seu uso,
mormente em se tratando de problemas em que o número de objetos não seja
396
enorme, grande parte do grupo demonstrou, em suas discussões e registros,
que ainda restaram dúvidas.
As dúvidas concentraram-se especialmente no que se refere à aceitação
de que os procedimentos utilizados na construção de uma árvore e a posterior
contagem direta dos agrupamentos de objetos são legítimos, tal qual também o
é quando da aplicação de uma fórmula e que, também nesses casos, os
princípios matemáticos que estão sendo utilizados legitimam os resultados
obtidos.
Ainda são bastante fortes, determinantes e arraigadas as concepções e
crenças dos professores de que a solução de um problema de contagem
passa, necessariamente, pela aplicação de uma fórmula para legitimar o
resultado obtido, mesmo quando do uso de uma representação.
Esse quadro só se modificará, ou talvez não, quando mais professores
da Educação Básica tiverem acesso a formações continuadas como a que foi
objeto desta investigação e se convencerem, à luz dos resultados de pesquisas
e de experiências in loco, de que os argumentos utilizados para a resolução de
um problema de contagem são legítimos e aceitos pela comunidade científica
bastando, para tal, certificar-se, conhecer e apropriar-se de resultados de
pesquisas acerca do ensino e da aprendizagem dessa temática na Educação
Básica e não se sujeitarem, unicamente, às concepções e crenças dos autores
de livros didáticos.
Cabe salientar que embora nesta nossa investigação não tenha sido
possível convencer a totalidade dos professores do grupo de que é possível
promover a resolução de problemas de contagem na Educação Básica sem o
uso de fórmulas, grande número de professores do grupo sentiu-se em
condições de experimentar essa proposta pedagógica com seus alunos. Seria,
a nosso ver, um tema que precisaria ser retomado e aprofundado em outras
pesquisas.
Após a intervenção, grande parte do grupo indicou como conhecimentos
necessários ao professor para ensinar problemas de contagem aqueles
relativos aos conteúdos e estratégias que não estavam presentes nas
respostas aos instrumentos diagnósticos.
397
Dentre esses conhecimentos o grupo citou, por exemplo, o uso de uma
árvore de possibilidades para a resolução de problemas de contagem, o
desenvolvimento das fórmulas presentes nos arranjos simples, permutações,
combinações simples e permutações circulares e a exploração do Princípio
Aditivo em conjunto com o Princípio Multiplicativo na resolução de alguns tipos
de problemas de contagem, bem como a prevalência para a resolução de um
problema de contagem sem utilizar-se, necessariamente, de uma fórmula.
Esses resultados foram avaliados por nós como um avanço entre os
conhecimentos que os professores se apropriaram, que foi reconhecido
também pelo grupo.
No que diz respeito aos conhecimentos necessários ao professor para
ensinar problemas de contagem, também é importante registrar a análise
realizada pelos professores do grupo no que diz respeito às Orientações
Curriculares para a abordagem desse conteúdo, presentes no Currículo de São
Paulo (2010), nos Cadernos do Professor e nos Cadernos do Aluno, que
revelam conhecimentos curriculares de conteúdo e os relacionados ao ensino e
à aprendizagem do aluno.
Por exemplo, quando os professores do grupo identificam nesse material
- nos Cadernos da 2ª série do Ensino Médio - abordagens que seriam, na
opinião do grupo, desenvolvidas fora da ordem em relação ao que os livros
didáticos apresentam – como é o caso do estudo das probabilidades em
situações que não exigem raciocínio combinatório (reunião e interseção de
eventos; probabilidade condicional) que é sugerido ser apresentado antes dos
conteúdos básicos de Combinatória.
De maneira similar, têm-se os argumentos apresentados pelos
professores quando criticam, por exemplo, que somente nos Cadernos do
Professor - 5ª série - a abordagem é feita por meio da resolução de um
problema de contagem com a construção de uma árvore de possibilidades para
a determinação dos ascendentes da quarta geração de uma família de maneira
a favorecer a introdução das potências de números naturais, diferentemente do
que é feito nas outras séries do Ensino Fundamental em que outras situações
de contagem poderiam ser exploradas e não o são - apresentadas somente
para a 2ª série do Ensino Médio (como historicamente vem sendo feito) -,
398
demonstram conhecimentos do grupo referentes à organização curricular
proposta no Currículo de São Paulo (2010).
Ademais, acrescentamos que as reflexões que todo o grupo vivenciou
com as análises das Orientações Curriculares e dos “Cadernos”, ao longo da
formação continuada, provocaram uma reelaboração de algumas concepções e
crenças que eles tinham relativas à resolução de problemas de contagem e os
conteúdos relacionados com as noções básicas de combinatória, bem como o
reconhecimento da necessidade de incorporá-los ao repertório construído pelo
grupo.
Por outro lado, ao mesmo tempo em que se percebe uma valorização da
importância do desenvolvimento do conteúdo problemas de contagem dentre
os conteúdos que deveriam compor o repertório do professor, constata-se certa
cautela do grupo de professores na indicação de conteúdos que seriam
esperados de um aluno concluinte do Ensino Fundamental.
Para a maior parte dos professores se mantém a ideia de que somente
seria suficiente uma abordagem introdutória dos problemas de contagem que
envolvesse a construção de árvores de possibilidades para a solução de
problemas que tratam das “combinações de roupas e peças de vestuário” por
meio de cálculos derivados da aplicação do Princípio Multiplicativo, para o
desenvolvimento deste tópico no Ensino Fundamental.
É importante ressaltar que nas respostas e argumentações explicitadas
pelos professores há uma dualidade: de um lado caracterizada pela percepção
e compreensão que alguns professores têm das dificuldades enfrentadas pelo
aluno no estudo dos problemas de contagem (enfrentadas também por eles, ao
longo da intervenção, quando se referiam, por exemplo, à diferenciação entre
os agrupamentos do tipo arranjos e aqueles do tipo combinações simples, por
exemplo) e, de outro lado, pela responsabilidade de implementar as inovações
propostas pelo novo Currículo de Matemática de São Paulo (2010) quanto à
resolução de problemas de contagem em suas aulas no Ensino Fundamental –
como tarefa que deve ser cumprida por todos.
• O ensino e a aprendizagem dos problemas de contagem
399
Desde a proposição dos primeiros problemas de contagem
recomendamos aos professores que fizessem uso da construção de uma
representação gráfica: esquema, árvore de possibilidades, tabela de dupla
entrada, produto cartesiano ou enumeração dos agrupamentos de objetos para
obter a solução para a situação-problema proposta a qual, por sua vez,
também tem como objetivo favorecer o desenvolvimento do raciocínio
combinatório e explicitar a aplicação do Princípio Multiplicativo e do Princípio
Aditivo quando da construção de alguma dessas representações gráficas.
Mesmo que a árvore de possibilidades não seja usada de início pelos
alunos, a sugestão para fazê-la parece-nos que não causaria estranheza a
eles, tal qual, por exemplo, seria o uso de um esquema, mesmo para os alunos
das séries iniciais do Ensino Fundamental.
O uso de uma representação gráfica - a princípio de modo intuitivo – é
bastante oportuno na fase inicial de exploração de problemas de contagem no
Ensino Fundamental.
A partir do modo como o aluno constrói uma árvore de possibilidades e a
maneira como descreve cada um dos agrupamentos de objetos, de início
intuitivamente, o aluno explora todas as possibilidades de soluções ao
problema de modo que, quando considerar que chegou ao final da construção
da árvore de possibilidades, proceda à contagem direta dos agrupamentos
listados, aplicando aí o Princípio Aditivo.
Segundo Fischbein (1994), o componente intuitivo (compreensão
intuitiva, cognição intuitiva, solução intuitiva) diz respeito a uma compreensão
que o indivíduo considera autoevidente.
Por conta disso, consideramos que a ideia intuitiva inicial para a
construção de uma árvore de possibilidades ou de um esquema, em si, é muito
boa. Ela é recomendável ser sugerida para crianças desde os 10 anos de
idade, segundo identificaram Fischbein e Gazit (1988) em sua pesquisa.
Mas, como um professor ensina o seu aluno a certificar-se de que
procedeu à contagem correta de todas as possibilidades presentes na
construção de uma árvore de possibilidades, para uma particular situação-
problema?
400
Tomando por base as reflexões e discussões havidas na fase de
intervenção deste estudo, podemos sugerir algumas tarefas que se
recomendam ao professor nesta importante fase do ensino de noções básicas
de combinatória, que é a construção de árvores de possibilidades, para a
resolução de problemas de contagem. São elas:
� Acompanhar, passo a passo, a construção das primeiras árvores
de possibilidades pelo aluno;
� Verificar se o aluno percorre todas as possibilidades, para cada
objeto em análise, de maneira que faça a “combinação com um
ou mais objetos” disponíveis, quando for o caso;
� Deve certificar-se de que o aluno compreende quando chegou ao
fim na construção da árvore ou se ele simplesmente finaliza a
construção da árvore sem compreender a razão de estar fazendo
aquilo;
� Acompanhar a decisão do aluno sobre quando ele sente-se
seguro de que a contagem de todas as possibilidades de
“combinação entre objetos” que fez, está correta. Ou seja, que a
contagem não foi feita nem a maior nem a menor, contemplando
todas as possibilidades.
Assim fazendo, o professor contribui para que o aluno se sinta seguro de
que finalizou a contento a construção da árvore de possibilidades ou de
qualquer uma das representações que utilizou, compreendendo a importância
do raciocínio combinatório para essa construção e de outras representações
gráficas.
A partir da solução a um problema de contagem obtida de maneira
intuitiva pelo aluno, e após ele haver escrito os agrupamentos de objetos (é
claro que podendo esquecer-se de algum ou se excedido na contagem) e
quando, mais uma vez, o professor identifica tal solução escrita sob a forma
dos agrupamentos listados nos “galhos terminais” da árvore de possibilidades,
ele deve propor questionamentos, reflexões e discussões aos alunos a respeito
das etapas percorridas para a construção da referida árvore que foi
apresentada.
401
O objetivo, com essas reflexões, é o de propor ao aluno que ele escreva
os agrupamentos de objetos segundo uma forma organizada, que ele passe a
estabelecer um método sistemático pessoal ou que inicie um procedimento
sistematizado, de maneira que ao apresentar os agrupamentos seguindo essa
sistemática organizada ele reúna condições para garantir que está computando
todas as possibilidades, justificando-as, passo a passo, caso considere
necessário fazer isso.
Entendemos que o professor não deva “queimar momentos” importantes
na aprendizagem inicial com seus alunos na fase de construção de árvores de
possibilidades.
O professor deve incentivar o aluno para que escolha a representação
gráfica que considere mais adequada à solução do problema e que desenvolva
seu raciocínio de maneira livre enquanto efetua as “combinações entre
objetos”, mesmo porque não há uma ordem pré-determinada para a tomada
dessas decisões, mormente quando se tratar da “combinação entre objetos do
tipo saias, blusas ou sapatos” que são habitualmente apresentados como
“objetos a serem combinados” quando da proposição dos problemas iniciais de
contagem uma vez que eles representam situações muito próximas do
cotidiano das crianças.
Para estas situações-problema o professor deve incentivar os alunos a
explicarem as “combinações que fizeram entre os objetos” e, a partir daí,
enfatizar, quando for o caso, a relação “um para todos”: cada saia “combina”
com qualquer uma das blusas disponíveis; cada blusa “combina” com qualquer
par de sapatos, cada conjunto saia-blusa “combina” com qualquer par de
sapatos, etc. por meio do uso de um ou mais “Produtos Cartesianos”, de modo
a ilustrar as combinações e determinar a totalidade de “combinações” que
foram feitas.
Nesta investigação, foram marcantes esses momentos, quando para
uma mesma situação-problema foram apresentadas diferentes soluções no
quadro branco. Permitimos e incentivamos que todos os sujeitos de pesquisa
apresentassem diferentes soluções para um mesmo problema de contagem,
que se manifestassem quanto a elas e que tivessem a oportunidade de expor a
maneira como as encaminharam.
402
Nos grupos menores também foi possível registrar esses momentos,
desde as reflexões pessoais até a concepção das soluções pelo grupo.
Nessas situações, o professor começa por orientar o aluno para o
desenvolvimento do raciocínio combinatório e para a identificação e
caracterização quanto à aplicação do Princípio Multiplicativo, mostrando a
relação que existem entre as possíveis ações feitas durante a construção da
árvore de possibilidades e os quantitativos de cada uma dessas ações, uma
vez que eles estão presentes nos fatores que estabelecem a operação
multiplicativa e são decorrentes da aplicação do Princípio Multiplicativo.
Assim, a cada “nó” da árvore de possibilidades, o aluno realiza a tomada
de decisão de combinar “um objeto para muitos, ou um para um”, certificando-
se de qual (quais) é (são) esse (s) objeto (“muitos objetos”) que estará (ão)
sendo combinado (s) com aquele (s) outro (s), para esse particular “nó” ou para
qualquer outro nó da árvore.
Essa é a fase que consideramos crucial e muito importante para ensinar
os alunos a construir uma árvore de possibilidades, uma vez que ela é
imprescindível para o ensino dos problemas de contagem e, como tal, merece
cuidadosa atenção por parte do professor no acompanhamento, passo a
passo, das ações feitas pelos alunos.
Recomendamos, com base na experiência que vivenciamos com esta
formação continuada, enquanto no papel de mediador, que o professor também
faça reflexões e questionamentos pessoais e coletivos – com seus pares – no
sentido de compreender como o aluno está encaminhando o raciocínio para a
obtenção da solução a um problema de contagem, pedindo ao aluno que
apresente, por meio de narrativas ou por escrito, que descreva os
procedimentos que utilizou e os momentos que percorreu para obter a solução,
explicando-os em detalhes, e à sua maneira.
Quando da construção das primeiras árvores de possibilidades pelos
alunos a mediação do professor se faz necessária para que o aluno explique as
ações que vai realizar durante essa fase, e vá adquirindo confiança em relação
ao passo seguinte que vai tomar para que, em seguida, compreenda o
403
momento em que deve parar a construção da árvore após contemplar todas as
possibilidades possíveis.
Essas ações foram realizadas pelo pesquisador em alguns grupos
menores e mostraram-se relevantes para alguns professores que tinham
dificuldades nos encaminhamentos para a construção de uma árvore de
possibilidades.
Recomendamos, portanto, que o professor indague o aluno acerca das
etapas que ele percorre quando da busca da solução a um problema de
contagem e que, com base nessa experiência, ele reúna condições que
permitam a ele compreender como o aluno raciocina, passo a passo.
Cada vez que o aluno se depara em um “nó” da árvore, durante a fase
de construção, e precisa decidir se deve ou não seguir em frente. Nesse
momento o professor deve perguntar ao aluno sobre o porquê de cada decisão
que pode ser tomada, e sugerir que o aluno quantifique, se for o caso, todas as
possibilidades de tomar essa decisão ou deixe essa tarefa para o final da
construção da árvore de possibilidades.
Enquanto os alunos fazem a construção da árvore de possibilidades, nó
a nó, o papel do professor é muito importante no sentido de acompanhar e
compreender as reflexões que o aluno faz, antes de tomar qualquer decisão,
assim como durante a fase da contagem direta das possibilidades
estabelecidas nos agrupamentos de objetos que atendem às possibilidades
para a solução do problema de contagem e que estão presentes nos “galhos
terminais da árvore”.
Depois da construção de diferentes representações para obter as
soluções para alguns problemas de contagem o professor deve propor aos
alunos que, à luz da obtenção das possibilidades que atendem à solução,
determinem a solução por meio de uma notação multiplicativa ou aditiva que
estabeleça a contagem total ou das parcelas. Também, propor que eles
justifiquem os valores que estão presentes nos fatores ou nas parcelas, para o
cômputo total de todas as possibilidades.
Essa maneira de proceder favorece o aluno no sentido dele se apropriar
do raciocínio combinatório multiplicativo, compreendendo que sua aplicação
404
está diretamente associada à relação de “um para muitos” e às possibilidades
das ações que são tomadas “nó” a “nó” na fase de construção de uma árvore
de possibilidades.
Quanto ao raciocínio combinatório aditivo, o professor deve mostrar aos
alunos que sua aplicação está associada à contagem dos diferentes
agrupamentos de objetos (subconjuntos disjuntos) que foram formados, e que
estes estão presentes nos “galhos terminais” da árvore de possibilidades.
Assim, esses agrupamentos de objetos presentes nos “galhos terminais
da árvore”, uma vez que tenham sido computados fornecem todas as
possibilidades que satisfazem à situação-problema e o quantitativo destes
agrupamentos determina a solução para o problema de contagem.
Entendemos que o professor também deva explorar com seus alunos a
construção de diferentes tipos de árvores de possibilidades e não somente
aquelas ditas “simétricas” (em que a distribuição dos “galhos terminais” é
“uniforme”), sendo também, importante, a construção de árvores não simétricas
(derivadas de agrupamentos associados às combinações simples, por
exemplo).
Igualmente, o professor deve propor reflexões a seus alunos quando da
exploração “nó” a “nó” durante a construção da árvore e sobre as decisões que
podem ser tomadas e que abrem, em seguida, “novos galhos da árvore” a
partir desse “nó”.
As diferentes formas de desenvolver a resolução de um problema de
contagem estão associadas às diferentes representações que podem ser
utilizadas, gráficas ou simbólicas, e ao desenvolvimento do raciocínio
combinatório em conjunto com os Princípios Multiplicativo e Aditivo. Elas
refletem o resultado das diversas maneiras de raciocinar combinatorialmente
em conjunto com a mobilização de diferentes estratégias, com o propósito de
resolver um mesmo problema de contagem.
Recomendamos fortemente que os professores se utilizem de diferentes
representações gráficas e que incentivem seus alunos ao uso delas,
considerando-as relevantes quando estas forem apresentadas por eles para a
resolução de problemas de contagem.
405
Igualmente, recomendamos que os professores estejam atentos aos
aspectos intuitivos e formais, importantes no desenvolvimento do raciocínio
combinatório dos alunos, bem como às estratégias de resolução que eles
apresentem, incentivando-as no sentido de que venham a avançar na
compreensão dos conceitos (ampliação da imagem conceitual) e na
mobilização de estratégias e procedimentos que permitam a resolução dos
problemas deixando de lado, sempre, no Ensino Fundamental, o uso de uma
fórmula e, no Ensino Médio sempre que for possível resolver por meio de outra
estratégia.
Também recomendamos aos professores - não obstante alguns livros
didáticos se valerem de alguma fórmula para resolver exemplos sugestivos, ou
pela maneira como apresentam as respostas para os problemas propostos,
resultantes da aplicação de uma fórmula - que incentivem seus alunos a
resolver esses mesmos problemas por meio de alguma representação gráfica,
como a árvore de possibilidades, por exemplo, quando a quantidade de objetos
não for muito grande ou, até mesmo, também se utilizando do Princípio
Multiplicativo e do Princípio Aditivo (se for o caso), junto da mobilização de
estratégias diferenciadas que se utilizam do raciocínio combinatório,
comparando-as ao final.
Também incentivamos os professores para que, no início de um trabalho
com problemas de contagem, explorem ao máximo a árvore de possibilidades
até que se convençam de que seus alunos identificam claramente quando
devem parar a construção da árvore, uma vez que uma das grandes
dificuldades que eles têm é de esgotar todas as possibilidades e também em
relação às contagens duplicadas, em excesso. Desse modo, estarão
contribuindo, mais uma vez, para o desenvolvimento do raciocínio combinatório
e favorecendo a aplicação e a compreensão do Princípio Multiplicativo.
A diversidade de estratégias quando da resolução dos problemas de
contagem (inclusive com a utilização de alguma representação gráfica), o
desenvolvimento dos raciocínios combinatório e dedutivo, a não memorização
e a não utilização de uma fórmula para determinar a solução de um problema
de contagem fazem das noções básicas de combinatória um conteúdo que
encanta a alguns e afugenta outros, justamente porque sempre é preciso
406
mobilizar estratégias próprias para a solução de cada particular problema de
contagem, diferentemente de quaisquer outros tópicos de matemática que são
desenvolvidos na Educação Básica.
É recomendável que o aluno encare cada problema de contagem como
um novo problema, sem recorrer a similaridades com problemas já vistos
anteriormente, recorrendo a novas ou antigas estratégias e mobilizando o seu
particular raciocínio combinatório para obter a solução.
Portanto, essa maneira de encaminhar as discussões para o
desenvolvimento do conteúdo problemas de contagem, como explicitado
anteriormente, sugere que se possa, e talvez deva também utilizá-la no dia-a-
dia da sala de aula com alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, em
diferentes abordagens.
Consideramos importante que o professor destaque em suas aulas os
valores matemáticos em relação àqueles do senso comum que por vezes são
veiculados pelos meios de comunicação ou trazidos pelo aluno da sua
realidade, caracterizando-se adequadamente sob o ponto de vista dos valores
matemáticos.
A abordagem em Matemática deve considerar a exploração dos
significados dos conceitos, estimular o entendimento e a argumentação e
promover reflexões e discussões, com ênfase nos valores racionalismo e
transparência, segundo os pressupostos de Bishop (1997).
Ademais, e segundo Bishop (1997), é preciso um reequilíbrio dos
valores matemáticos ligados ao saber Matemático contemplando os seguintes
Princípios: Representatividade, Acessibilidade, Poder de explicação, Visão
elementar e ampla e, por fim, o de Formalismo.
• Respostas às questões de pesquisa
Nossas reflexões sobre os resultados das análises apresentadas nos
Capítulos 4 e 5 e as considerações que foram expostas nos parágrafos
anteriores constituíram a base para elaborar respostas às nossas questões
específicas de pesquisa.
Iniciamos pela primeira delas, formulada como:
407
Quais são as inovações propostas pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais (1998) e pelo atual Currículo do
Estado de São Paulo (2010) para os processos de ensino
e de aprendizagem de conceitos relativos a problemas de
contagem?
No Ensino Fundamental, a proposta é que o raciocínio combinatório
multiplicativo e o raciocínio combinatório aditivo devem ser apropriados e
desenvolvidos pelo aluno de modo que ele possa ir construindo representações
gráficas e, também, compreendendo como aplicar esses raciocínios para obter
a solução de problemas de contagem de uma maneira ou de outra, mas sem o
uso de uma fórmula.
E, conforme estão prescritos nos PCN (1997, 1998) e no Currículo de
São Paulo (2010), estes são os propósitos que devem orientar o trabalho dos
professores e não com o intuito de preparar o aluno do Ensino Fundamental
para o estudo de noções de combinatória no Ensino Médio, inclusive com o
desenvolvimento de algumas fórmulas que podem ser feitas neste segmento
de ensino.
Referimo-nos que nos referenciais curriculares acima, há indicações da
importância do trabalho com conceitos relacionados à resolução de problemas
de contagem - com pequenas quantidades de objetos desde as séries iniciais -
para a construção de uma representação gráfica, como por exemplo, a árvore
de possibilidades, enfatizando a aplicação do Princípio Multiplicativo.
Assim, sugerimos aos professores que proponham a seus alunos
atividades cujos propósitos sejam o desenvolvimento do raciocínio
combinatório e a exploração do Princípio Multiplicativo em conjunto com a
construção de representações como, por exemplo, a árvore de possibilidades,
e que não façam uso de fórmulas ao longo dos anos do Ensino Fundamental.
Essa abordagem diferencia-se em relação àquela feita no Ensino Médio
ao explorar ideias relacionadas com a ampliação da imagem conceitual
relacionada ao campo multiplicativo, seguindo uma tendência mundial, tal como
é feito nas orientações curriculares nacionais e em grande parte dos currículos
estaduais e municipais.
408
A segunda questão específica de pesquisa foi assim formulada:
Quais são os conhecimentos dos professores a respeito
da resolução de problemas de contagem e suas
concepções sobre o desenvolvimento desse tema no
Ensino Fundamental?
Esta pesquisa identificou que os professores têm lacunas de
conhecimentos de conteúdo e pedagógicos de conteúdo, tais como:
� Não recorrem às representações para resolver problemas de
contagem;
� Não sabem identificar quando um problema de contagem
necessita da aplicação do Princípio Aditivo e têm dificuldades
para a utilização deste princípio em conjunto com o Princípio
Multiplicativo;
� Têm dificuldades, após a leitura dos enunciados, em identificar os
tipos de agrupamentos de objetos que participam da solução do
problema, e, por conta disso, veem-se paralisados em relação
aos passos que devem tomar, querendo, de imediato, lançar mão
de alguma fórmula, na ânsia de resolver o problema;
� Não mobilizam estratégias diferenciadas para o enfrentamento de
situações-problema, mormente quanto àquelas situações que não
guardam conexões com outras similares que já tiveram a
oportunidade de ver resolvidas ou que resolveram ou, por vezes,
quando não estabelecem possíveis relações entre os conceitos
que conhecem;
E, por fim,
� Identificam os problemas de contagem diante da necessidade de
aplicar uma das três fórmulas, respectivamente em relação a
problemas de arranjos, de permutações ou de combinações
simples, tal qual a maioria dos livros didáticos também o fazem.
Entendemos que uma formação continuada como a que foi objeto desta
investigação precisava ser oferecida ao grupo de professores do Observatório
409
da Educação da UNIBAN/CAPES uma vez que identificamos dentre os
professores que muitos deles precisavam ampliar a imagem conceitual que
tinham acerca do desenvolvimento dos problemas de contagem para os alunos
que estão no Ensino Fundamental, não obstante alguns desses professores
terem experiência com o ensino das noções básicas de combinatória no Ensino
Médio.
Como resultados dessa formação, esperamos que os professores se
responsabilizem em oferecer a seus alunos oportunidades para que eles se
apropriem de habilidades e competências relacionadas ao raciocínio
combinatório em conjunto com a construção de diferentes representações para
resolver situações-problema de contagem com um pequeno quantitativo de
objetos, os quais podem ser “combinados” entre si por meio de relações
próprias que atendam à situação-problema proposta.
Além disso, constatamos que durante a fase de intervenção deste
estudo os professores apresentaram pouca variedade de estratégias para a
resolução dos problemas de contagem, mesmo considerando que uma grande
parcela dos problemas que foram propostos está presente em livros didáticos
do Ensino Médio e que eles versam, quase sempre, sobre um pequeno
universo de problemas, diferenciando-se entre si quase sempre pelas
restrições impostas aos objetos e que são apresentadas nos enunciados, ou
pela quantidade de objetos envolvidos e não em relação à natureza de seus
agrupamentos.
A terceira questão específica de pesquisa foi formulada como:
Uma sequência de atividades que explore a resolução de
problemas de contagem, sem a utilização de fórmulas,
pode favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos
professores nos pontos de vista do conteúdo, didático e
curricular de noções relativas a esse tema?
Os resultados desta pesquisa mostraram a necessidade de investir na
importância da construção de representações e da aplicação do Princípio
Multiplicativo e do Princípio Aditivo para obter a solução para problemas de
contagem e da necessidade de convencimento dos professores quanto aos
410
propósitos do ensino de problemas de contagem já no Ensino Fundamental por
meio de atividades que se diferenciem na abordagem em relação àquelas que
eles experimentaram quando foram alunos do Ensino Médio, onde a
prevalência recaiu no uso intensivo de fórmulas.
Esta pesquisa também mostrou que os professores precisam certificar-
se de que o fato de disporem de fórmulas, definições e procedimentos já
exaustivamente utilizados por eles em outros problemas de contagem, não é
suficiente para, por vezes, garantir sucesso na empreitada de solução para
alguns problemas de contagem nos quais a mobilização de novas estratégias e
procedimentos se fazem necessárias, em conjunto com o uso do raciocínio
combinatório e do Princípio Multiplicativo e do Princípio Aditivo (em conjunto,
quando for o caso).
Os professores do grupo tiveram a oportunidade de vivenciar situações
as quais puderam certificar-se de que têm maiores chances de sucesso
quando lançam mão de procedimentos intuitivos em conjunto com uma árvore
de possibilidades, por exemplo, para a mobilização de estratégias para o
enfrentamento de uma nova situação-problema proposta.
O design baseado nessas questões revelou-se como boa estratégia
possibilitando que os professores fizessem reflexões a respeito de vários
conceitos que não conheciam – não apenas para a construção de noções
básicas relativas à combinatória, cuja ausência no repertório dos professores
foi observada inicialmente, mas, sobretudo para a reorganização, consolidação
e reelaboração de conhecimentos sobre a resolução de problemas de
contagem no Ensino Fundamental e no Ensino Médio, segundo as duas
diferentes abordagens que foram explicitadas.
Esta investigação também propiciou ao grupo de professores a
percepção da importância de integrar aos componentes formal e algorítmico
(prevalecentes nas respostas e reflexões iniciais dos professores) o
componente intuitivo, como estratégia indispensável de convencimento, por
exemplo, sobre a possibilidade que uma árvore de possibilidades tem de
permitir a contagem direta de todas as possibilidades que atendem à solução
de um problema de contagem ou de, indiretamente, indicar os caminhos que
411
deverão ser percorridos para a obtenção da contagem total (construção de
partes de uma árvore de possibilidades).
Assim, em caso de dúvidas quanto à solução que algum professor
apresentou no quadro branco, lá estava a árvore de possibilidades (ou parte
dela) para convencer os demais acerca da acuracidade do resultado obtido por
meio da nomeação dos agrupamentos de objetos e a contagem direta das
possibilidades.
Além disso, esta pesquisa favoreceu um princípio de reflexão, uma
atitude crítica a respeito de orientações pedagógicas – não apenas a atitude
que examina o material disponível para compreender os conteúdos que são
indicados ou as estratégias sugeridas, mas a que toma posse da liberdade de
tornar possível poder esquadrinhar, avaliar, concordar, discordar, sugerir,
aceitar, recusar, modificar ou decidir acerca de todo e qualquer material para o
ensino e a aprendizagem da temática, em livros didáticos ou não.
Contudo, é necessário acrescentar que outros aspectos precisariam ser
abordados em nosso estudo ou poderiam ser enfatizados em outros processos
de formação, com este grupo, no Observatório da Educação da
UNIBAN/CAPES.
Nossa pesquisa não incluiu, por exemplo, a observação dos resultados
na prática do professor em sala de aula, com seus alunos. Não acompanhamos
um processo de aplicação de atividades em sala de aula com o propósito de
observar até que ponto as ideias que foram refletidas e discutidas em nosso
experimento, quando postas em prática, seriam também refletidas, discutidas e
analisadas pelo próprio professor, num processo de reflexão interior e pessoal,
e também analisadas e discutidas com outros professores que participaram ou
não desta formação.
Também não avaliamos a reflexão que estes professores fariam sobre
sua prática, conforme era antes da experiência com o nosso experimento e
como passou a ser, depois disso.
Assim, um aprofundamento desta pesquisa poderia envolver a aplicação
de parte desta sequência didática a classes dos anos finais do Ensino
Fundamental a fim de verificar se as discussões realizadas durante nosso
412
estudo também ocorrem com alunos do Ensino Fundamental, e, também, em
classes da 2ª série do Ensino Médio, nas quais habitualmente esses conteúdos
são ensinados.
Em nosso caso, optamos por oferecer ao grupo de professores uma
formação direcionada para a resolução de problemas de contagem constantes
do conteúdo “noções básicas de combinatória”, em virtude dos resultados
apresentados na fase diagnóstica.
É certo também que, durante a discussão e a reflexão sobre as
orientações curriculares para a abordagem dos problemas de contagem ao
longo do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, alguns conceitos foram
retomados e clarificados.
Todavia, dado que se trata de um processo de formação continuada de
professores que ensinam Matemática na Educação Básica os aspectos
relacionados com o conteúdo específico e os conhecimentos didáticos
deveriam, necessariamente, ser discutido concomitantemente tal qual o modo
como fizemos, e não separadamente.
Outro ponto a ser considerado diz respeito ao tempo de duração de uma
formação que pretenda propor reflexões e discussões sobre esse tema. Nossa
experiência com este grupo mostrou que, em virtude da diversidade de noções
relacionadas a esse conteúdo, dos conhecimentos que devem ser mobilizados
para a sua compreensão, dos diversos aspectos que precisam ser destacados,
tais como: a construção de diferentes representações, formas de abordagem,
diversidade de estratégias, mobilização de procedimentos, articulação entre
diferentes componentes da atividade matemática (algorítmico, formal, intuitivo),
esse assunto não poderia ser trabalhado todo de uma vez, em um único
módulo.
Ou seja, este trabalho precisaria ter uma continuidade para que alguns
aspectos fossem retomados, como a apropriação dos conceitos, a
caracterização dos agrupamentos de objetos envolvidos em um problema de
contagem, a construção de material concreto que favoreça a construção de
agrupamentos de objetos, a resolução de qualquer problema de contagem
usando uma representação ou aplicando o Princípio Multiplicativo e o Princípio
413
Aditivo (quando for o caso), para professores que atuam em turmas do Ensino
Fundamental.
Quanto ao ensino e à aprendizagem desse conteúdo no Ensino Médio,
seria preciso a retomada da exploração dos Princípios Multiplicativo e Aditivo,
bem como a dedução das fórmulas para a contagem das possibilidades que
atendem à solução de um problema em que a quantidade de objetos for grande
uma vez que a construção de uma representação gráfica, como a árvore de
possibilidades, por exemplo, por meio da contagem direta dos agrupamentos
seria inviabilizada no sentido de não servir aos propósitos para obter a resposta
do problema por meio da contagem direta.
Cabe salientar que a dedução de fórmulas, neste segmento de ensino,
deve ser apresentada em prosseguimento a cada um dos exemplos para cada
um dos tipos de agrupamentos de objetos que caracterizam os arranjos
simples, arranjos com repetição de objetos, permutação simples, permutação
com objetos nem todos distintos, combinação simples e combinação circular,
os quais devem ser resolvidos por meio de alguma representação e pela
aplicação do Princípio Multiplicativo e/ou Princípio Aditivo, logo no início do
desenvolvimento dos conteúdos relativos às noções básicas de combinatória,
em similaridade com o modo como foi feito com o experimento desta formação.
Consideramos secundária a rotulação desses diferentes agrupamentos
de objetos logo de início por considerarmos que a caracterização deles seja
mais importante por meio dos aspectos formais que os diferenciam entre si
permitindo que após a leitura do enunciado do problema possa de imediato ser
feita a caracterização dos objetos envolvidos e aqueles que atendem à
solução.
Ressalte-se que, para o Ensino Médio, ao sugerirmos que os
professores deduzam essas fórmulas logo de início temos como propósito
sugerir uma alternativa para a obtenção da solução a um problema de
contagem, não se esquecendo de explorar o raciocínio combinatório e os
Princípios, propondo que os alunos não resolvam os problemas com a
aplicação da fórmula.
414
Destacamos, porém, a sugestão para que as situações-problema sejam
propostas sem uma pré-ordenação em “compartimentos segundo os tipos de
agrupamentos de objetos que o professor já conhece, e presentes nos livros
didáticos”, favorecendo, deste modo, que os alunos busquem diferentes
estratégias para a resolução de um mesmo problema de contagem,
comprando-as entre si.
Essa retomada do ensino de combinatória no Ensino Médio pode - e
deve - favorecer a ampliação da imagem conceitual (Tall e Vinner, 1981)
acerca dos conteúdos abordados de maneira a favorecer a conexão e a
compreensão com outros ramos da Matemática, como a Probabilidade e a
Estatística.
Os resultados desta investigação mostram, além disso, que os conceitos
concernentes aos problemas de contagem, em toda a sua complexidade e
abrangência, precisariam ser tratados ao longo das diferentes etapas da
escolaridade pelos alunos e não em um único módulo de formação continuada
para os professores.
Consideramos importante ressaltar, também, que os dados obtidos da
aplicação do questionário Q4 foram importantes no sentido de que a análise
destes permitiu que se pudesse computar o grau de avanço de cada professor
no que se refere ao conteúdo específico e aos conhecimentos pedagógicos do
conteúdo, mostrando que alguns professores avançaram em relação à imagem
conceitual que tinham à época da aplicação dos primeiros questionários.
Não obstante, ressalte-se, essa investigação não foi capaz de provocar
significativas alterações no que diz respeito às concepções individuais de
alguns professores relativamente aos aspectos pedagógicos e curriculares
desse conteúdo como, por exemplo, em relação à prevalência do aspecto
algorítmico presente no uso de uma fórmula, em relação aos aspectos intuitivo
e formal.
E, também, pelo fato de alguns professores não considerarem que o uso
de uma representação gráfica para obter a solução de um problema de
contagem representasse uma alternativa viável e oportuna, pois suas
concepções e crenças, neste caso, consideram que a Matemática aí utilizada é
415
menor. Esses professores creem que uma solução matematicamente correta
deve vir acompanhada da aplicação de uma fórmula que legitime o resultado
obtido.
Portanto, tomando com referência os dados obtidos nesta investigação
consideramos que, tendo sido respeitados o ritmo e o potencial de cada um, o
grupo avançou – como grupo.
Alguns professores ainda precisam refletir e conhecer mais sobre
noções básicas de combinatória de maneira que venham a aprofundar seus
conhecimentos e convencerem-se de que o fato de não estarem se utilizando
de uma fórmula para proceder à contagem total das possibilidades para a
solução a um problema de contagem, não significa que não estejam se
utilizando de princípios próprios da matemática, no que diz respeito ao rigor
matemático.
Mais uma vez, quanto aos professores referidos acima, eles não devem
achar que por utilizarem de uma representação gráfica e efetuar a contagem
direta das possibilidades não estejam ensinando Matemática. De que, dessa
maneira, isso não seja Matemática ou, então, que a Matemática que utilizam
quando estão ensinando dessa maneira “seja mais enfraquecida” que aquela
de quando fazem uso de uma fórmula para apresentar a solução para um
problema de contagem.
É importante que o professor convença-se de que a construção de uma
representação gráfica para obter a solução para diversos problemas de
contagem tem papel fundamental e significativo para compreender de que
maneira os tipos de agrupamentos de objetos envolvidos na solução vão sendo
formados e como a totalidade deles poderá ser obtida possibilitando a
contagem direta ou indireta de todas as possibilidades que atendem ao
problema, mesmo que uma árvore de possibilidades, por exemplo, não precise
ser construída por completo para em seguida determinar-se a totalidade de
possibilidades que atendem ao problema proposto.
O professor precisa, também, estar convencido de que o elo que liga a
representação gráfica à fórmula não é necessário e suficiente, ou seja, que
416
ambos podem ser utilizados de maneira isolada sem prejuízo de um ou do
outro para a obtenção da solução para um problema de contagem.
Consideramos que a utilização da fórmula é legítima e aceitável e não
condenamos seu uso, tomando como propósito o aspecto algorítmico tal qual
Fischbein (1994) se refere, mormente quando se trata de uma situação-
problema em que o quantitativo de objetos é grande.
Em relação à questão principal desta pesquisa, formulada a seguir,
nossas reflexões sobre os resultados expostos nos parágrafos anteriores e as
que serão colocadas em seguida constituíram a base para elaborar sua
resposta.
Que experiências um professor de Matemática do Ensino
Fundamental deve vivenciar em sua formação continuada
para selecionar e dirigir situações de aprendizagem com
vistas a desenvolver o raciocínio combinatório de seus
alunos por meio da proposição de problemas de
contagem de modo a compreender as dificuldades que os
alunos enfrentam na resolução de problemas de
contagem e para ajudá-los a superar essas dificuldades e
atender às orientações do Currículo do Estado de São
Paulo (2010)?
Uma característica presente na sequência didática proposta neste
trabalho de pesquisa é a opção por apresentar diversas situações-problema de
diferentes complexidades - com idas e vindas em relação a um mesmo
conceito trabalhado e retrabalhado - envolvendo problemas de contagem de
vários tipos de agrupamentos de objetos.
Essa maneira de apresentação e desenvolvimento dos conceitos acerca
de noções básicas de combinatória foi feita sem que os professores
soubessem, em princípio, de que tipo de agrupamento de objetos a situação se
“encaixava”, quais e quantas situações-problema devessem ser resolvidas
utilizando este ou aquele procedimento, esta ou aquela estratégia, e quando
uma representação gráfica seria adequada e suficiente, ou não, para dar conta
de responder uma dada situação-problema que estava sendo proposta a eles.
417
Essa opção pedagógica de exploração de resolução de problemas de
contagem fez com que os professores se envolvessem na busca por descobrir
padrões comuns de comportamento de agrupamentos de objetos, diferenças e
semelhanças entre as representações gráficas e detalhes acerca de
procedimentos observáveis quando faziam a leitura atenta dos enunciados, os
quais fizeram (e fazem) toda a diferença no encaminhamento a ser dado para a
obtenção da solução de cada situação-problema de contagem.
A cada novo padrão de procedimento utilizado e identificado para obter o
quantitativo de soluções (ou a descrição delas) a uma dada situação-problema
de contagem os professores puderam dispor de novo e diferenciado olhar
acerca dos problemas de contagem: o não uso de uma fórmula, a exploração
do raciocínio combinatório e a construção de alguma representação gráfica,
como base para encaminhar a procura da solução ou soluções a um problema
de contagem.
Por conta de tudo que o grupo de professores pode vivenciar nesta
formação continuada, acreditamos que esse conjunto de ações, procedimentos
e conceitos que eles puderam conhecer, compreender e se apropriar ao longo
da sequência didática enquanto refletiam, discutiam e encaminhavam as
soluções para os problemas de contagem serviu de parâmetro para que eles
reúnam instrumentos para selecionar, organizar, preparar, encaminhar e
mediar reflexões e discussões junto com seus alunos com o propósito de
também resolver situações-problema de contagem ao longo dos anos do
Ensino Fundamental enquanto ensinam os conceitos básicos de combinatória.
Para cada situação-problema que foi resolvida por todo o grupo foram
oferecidas oportunidades para reflexões e discussões sobre quando e como os
problemas de contagem podem ser úteis para introduzir algum novo conceito
de matemática no Ensino Fundamental - quando oportuno seja – considerando
que foram exemplificadas sugestões para introduzir alguns conceitos em cada
um dos os anos deste segmento.
Ademais, também serviram de reflexões e discussões, para cada
situação-problema, os objetivos e a abrangência que estes conteúdos de
contagem contemplam em conjunto com outros conteúdos de matemática – no
Ensino Fundamental e no Ensino Médio - e as possíveis dificuldades que os
418
alunos poderão apresentar quando se defrontarem frente à resolução de
alguns dos problemas de contagem que forem propostos aos professores do
grupo.
Também serviram de reflexões e discussões em relação às situações-
problema propostas na sequência didática no que refere à pertinência das
sugestões quanto aos objetivos e à sua aplicação em relação às orientações
prescritas - em cada ano do Ensino Fundamental - tanto as que estão
presentes nos PCN (1997, 1998) quanto aquelas prescritas no novo Currículo
da Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (2010).
Consideramos oportuno marcar posição quanto às características da
metodologia que foi utilizada nesta formação quando do desenvolvimento e
discussões acerca de problemas de contagem no Ensino Fundamental: sem o
uso de fórmulas e o uso intensivo do raciocínio combinatório a cada ação
(durante várias vezes em uma mesma busca da solução à situação) pela
identificação de uma nova sistemática utilizada na resolução dos problemas de
contagem, como modo de comparação com as resoluções que os professores
do grupo apresentavam no quadro branco, com aplicação do Princípio
Multiplicativo na construção de uma representação gráfica ou na maneira de
representar a expressão multiplicativa e/ou aditiva para o cálculo das
possibilidades.
Ou, então, por meio da apresentação e discussão acerca de alguma
outra solução resultante de discussões mediadas pelo pesquisador as quais os
professores puderam identificar e se apropriar e que, de pronto, não tenham os
professores percebido que ela fosse viável e que atende também à solução
para a referida situação-problema.
As experiências conceituais e pedagógicas vivenciadas pelos
professores ao longo da sequência didática serviram de base para que eles
refletissem e reunissem condições de se aperceber dos objetivos que estavam
presentes na proposta que foi encaminhada.
Os objetivos foram percebidos por alguns dos professores, como foi
possível constatar por meio das análises dos depoimentos que eles ofereceram
quando das respostas fornecidas às perguntas do questionário final Q4.
419
Ademais, o grupo de professores (que desde então pode, e deve se
apropriar dos conhecimentos oriundos desta experiência) reúne
conhecimentos, informações e condições que permite que cada um deles
possa envidar reflexões pessoais e coletivas acerca da proposta que foi
desenvolvida durante a sequência didática e a maneira como essas e outras
situações-problema podem vir a ser selecionadas, propostas, discutidas e
solucionadas por seus alunos, tanto no Ensino Fundamental qunato no Ensino
Médio.
É certo que o grupo de professores dispõe de um razoável conjunto de
situações-problema de contagem, os mais variados possíveis quanto aos
objetivos e à complexidade de modo que, quando necessário, cada professor
pode lançar mão de alguns deles e propor a seus alunos em sala de aula ou
propostos para resolução fora dela.
Por conta disso, cada professor pode extrair dessa experiência
concepções pessoais (alinhadas aos conhecimentos de conteúdo, pedagógicos
de conteúdo e curriculares) a respeito dos tipos de situações-problema de
contagem que pode, e talvez deva ser considerada para ser proposta em cada
particular momento do ensino de determinado conteúdo de matemática
(quando for o caso), no Ensino Fundamental.
Acreditamos que, por conta de todas as razões acima expostas, os
professores envolveram-se de tal modo com o desenrolar da sequência
didática que tal engajamento pode ser percebido no grande interesse com que
eles participaram e o modo como se apropriaram dos novos conhecimentos de
conteúdo, curriculares e pedagógicos de conteúdo acerca dos problemas de
contagem.
No que se refere à questão central de pesquisa, acrescentaríamos a
todas as considerações feitas anteriormente que, em nosso ponto de vista, os
cursos de formação deveriam, necessária e obrigatoriamente, oferecer aos
professores que irão ensinar problemas de contagem no Ensino Fundamental
oportunidades que garantissem um domínio de noções concernentes às
estratégias e procedimentos de combinatória que explorem o uso de
representações gráficas, a aplicação do Princípio Multiplicativo e do Princípio
420
Aditivo e a construção dos agrupamentos de objetos sob os pontos de vista
intuitivo e formal, segundo Fischbein (1994), e sem o uso de fórmulas.
Assim o fazendo, esses cursos de formação estarão contribuindo para
que esses professores possam justificar para os seus alunos não apenas a
validade de ideias que são postas, mas também o porquê da presença dos
problemas de contagem no currículo de Matemática neste segmento de ensino.
A abordagem de noções básicas de combinatória (problemas de
contagem) exposta nas análises presentes nos Capítulo 4 e 5 permite a
compreensão das razões pelas quais as questões que alimentaram as
discussões do grupo foram elaboradas e organizadas dessa maneira, podendo
constituir material de reflexão em processos de formação inicial e/ou
continuada de professores destacando as diferenças que deve haver entre as
abordagens a serem feitas em relação ao ensino e à aprendizagem dos
conceitos, estratégias e procedimentos para cada um dos segmentos de
ensino: Fundamental e Médio.
Conforme foi dito, o encadeamento dessas ideias foi projetado ao longo
de todo o experimento tendo em conta os resultados parciais observados, os
resultados de pesquisas anteriores e as orientações curriculares relativas às
noções básicas de combinatória (problemas de contagem) na Educação
Básica, sob a expectativa de que o grupo avançasse em relação às
dificuldades observadas na fase diagnóstica, ou seja, que houvesse ampliação
da imagem conceitual pelo grupo.
Por sua vez, as experiências vivenciadas pelo grupo, as reflexões
resultantes da proposição das situações-problema e a elaboração das
argumentações e dos questionamentos pelos professores serviram-nos como
norte para a sistematização e para a formulação das orientações constantes
desta investigação.
Assim, a proposta de análise desse material no interior de grupos de
formação de professores poderia favorecer a percepção de outras
possibilidades de organizar a abordagem dos problemas de contagem na
Educação Básica, a depender do interesse e do nível de compreensão dos
421
alunos e também poderia promover reflexões sobre a importância de integrar
os aspectos intuitivo, algorítmico e formal no estudo desse conteúdo.
Além disso, os impasses e os obstáculos que permeiam o processo de
aprendizagem dos conceitos básicos de combinatória na Educação Básica
também deveriam ser objetos de discussão nos cursos de formação.
As pesquisas desenvolvidas acerca do ensino e da aprendizagem sobre
análise combinatória consistiriam em fontes ricas de dados para essa
discussão e também poderiam auxiliar na investigação das causas dos erros,
dos equívocos e das pré-concepções trazidas pelos alunos, em decorrência de
estudos anteriores. Dentre essas pré-concepções salientamos a necessidade
de fazer uso de uma fórmula que valide o resultado obtido.
Da mesma forma, o futuro professor também precisaria vivenciar
situações que permitissem a experiência das dificuldades vividas pelos alunos
quando estes começam o estudo de combinatória. Isso permitiria ao futuro
professor a percepção e a compreensão dessas dificuldades e a reflexão sobre
a mobilização de estratégias, aqui incluídas a construção de uma
representação gráfica, que poderiam auxiliar um aluno a enfrentá-las e a
superá-las.
Ademais, consideramos oportuno salientar que os cursos de formação
deveriam oferecer oportunidades de avaliação de indicações curriculares a
respeito da abordagem da combinatória (problemas de contagem), com a
finalidade de discutir sobre a distribuição desse conteúdo no Currículo de
Matemática, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio e também
de iniciar nos futuros professores a prática da reflexão e da análise crítica de
recomendações pedagógicas relativas a esse conteúdo.
Finalmente, em virtude de todo o exposto, entendemos que, dada a
importância dos problemas de contagem (noções básicas de combinatória)
como parte integrante da Matemática Discreta, no sentido de contribuir para a
compreensão da ampliação dos problemas de contagem para outros tipos de
agrupamentos de objetos e na resolução de Problemas de Otimização, seu
estudo não pode receber atenção apenas superficial em nenhuma das etapas
422
da escolaridade a partir de sua introdução, ainda que se considere toda a
complexidade inerente à construção desses conhecimentos.
Mais ainda: como conceber um estudo de Matemática na Educação
Básica que não contemple os problemas de contagem?
Ainda a esse respeito, consideramos necessário reiterar o que foi dito
anteriormente sobre a importância de distribuir o estudo dos problemas de
contagem (combinatória) não apenas na 2ª série do Ensino Médio como a
muito tempo tem sido feito, mas também ao longo de todos os anos do Ensino
Fundamental e nos cursos de Licenciatura em Matemática, para que se deem a
consolidação e a ampliação desse conhecimento em etapas escolares
subsequentes nas quais os estudantes certamente já desenvolveram outras
habilidades (como a construção de representações gráficas e o
desenvolvimento do raciocínio combinatório multiplicativo e do raciocínio
combinatório aditivo) necessárias à compreensão e ao aprofundamento desse
assunto.
À formação do professor, junto com os saberes de conteúdo,
pedagógicos, metodológicos e curriculares associados à Matemática somam-
se o seu preparo para lidar com situações de formação da identidade da
criança e do jovem, das aptidões para o trabalho, das relações familiares e de
conhecimentos em lidar com situações outras de caráter familiar que a escola
passou a lidar.
O professor precisa oferecer condições para que seus alunos se
apropriem de habilidades e competências com as quais possam se tornar
cidadãos participantes da sociedade, conhecendo e exercendo a democracia
com seus deveres e direitos, entre os quais uma educação de qualidade.
Nossa sociedade está, a cada dia, mais competitiva. Portanto, para
seguir em frente e vencer é fundamental que cada aluno receba um estudo de
qualidade e cabe ao professor contribuir com sua parcela para que a escola
oferte tal ensino.
Cabe aqui, neste momento em que concluímos as respostas às
questões de pesquisa, destacar o que consideramos como a principal tese que
este estudo defende à luz das análises dos dados obtidos.
423
Destacamos que neste estudo foi possível identificar – a julgar pelo que
o grupo formado por vinte professores da rede estadual de ensino de São
Paulo, sujeitos da pesquisa, apresentou ao longo das etapas constituintes
dessa investigação - que os professores, em geral, têm dificuldades para
desenvolver o conteúdo de noções básicas de combinatória (problemas de
contagem) no Ensino Fundamental.
Falta-lhes não apenas aprofundar os conhecimentos acerca desses
conteúdos – raciocínio combinatório, Princípios Multiplicativo e Aditivo –
mas, sobretudo, desenvolver estratégias de ensino mais eficientes para a
aprendizagem dos alunos. Ou seja, os professores precisam mobilizar
diferentes estratégias e procedimentos que permitam ensinar o aluno a resolver
um problema de contagem de diferentes maneiras, favorecendo a
compreensão e a apropriação dos conceitos, sem necessariamente lançar mão
de usar fórmulas.
Em nossa pesquisa, os professores atestaram que a exploração da
árvore de possibilidades no Ensino Fundamental é uma excelente estratégia
para a contagem direta dos agrupamentos de objetos que permitam obter a
solução de problemas de contagem por meio da exploração do raciocínio
combinatório quando da aplicação do Princípio Multiplicativo e do Princípio
Aditivo. Essa estratégia provavelmente favorecerá a compreensão e
formalização desses conceitos e outros relativos à combinatória, no Ensino
Médio.
Cabe também destacar que em nossa concepção a dedução e a
utilização de fórmulas para a resolução de problemas de contagem deveriam
ser trabalhadas apenas quando os conteúdos de combinatória forem
retomados no Ensino Médio. No entanto, nossa pesquisa mostrou que, mesmo
depois de nossa intervenção, alguns professores ainda permaneciam muito
presos ao uso de fórmulas no Ensino Fundamental e que a diferença entre os
problemas propostos nos dois segmentos deveriam ser apenas quanto à
complexidade.
É importante destacar que houve mudanças de concepção de alguns
professores: consideram que no Ensino Fundamental o aluno deverá mobilizar
diferentes estratégias e representações gráficas para resolver um problema de
424
contagem. Esses professores consideram também que, no Ensino Médio, os
alunos devem lançar mão dessas estratégias e, caso necessário, utilizem
fórmulas.
Assim, é fundamental que nos cursos de formação inicial e/ou
continuada haja um espaço para essas discussões sobre o processo de ensino
e de aprendizagem de noções relativas aos problemas de contagem. Nesses
cursos deveria haver a apresentação de estratégias para a resolução desses
problemas, sem o uso de fórmulas.
Sugestões para futuros trabalhos
Um trabalho de pesquisa não termina com a apresentação de
determinados resultados como é o caso daqueles que estão presentes neste
estudo, a menos que se considera que não haja mais nada a ser investigado
em relação à questão ou questões de pesquisa postas e outras que poderão
ser sugeridas como consequência destas, ou até mesmo para complementá-
las.
Novas possibilidades surgem à medida que reflexões pessoais e
coletivas são feitas em relação aos acertos, erros, novas ferramentas, a criação
de materiais instrucionais, nova metodologia e novas abordagens.
De modo a atender aos dois primeiros momentos sugeridos pela
metodologia Design Experiments, segundo Cobb et al (2003), consideramos
que os sete encontros didáticos segundo os quais foi desenvolvida a sequência
didática objeto desta pesquisa foram suficientes, e atenderam às expectativas
iniciais.
Mas, com a finalidade de que as discussões e reflexões compartilhadas
entre os integrantes do grupo possam ser mais bem exploradas e investigadas
por outro grupo de professores para atender também à terceira e quarta etapas
da metodologia Design Experiments, segundo Cobb et al (2003), (não
contempladas por esta pesquisa) recomenda-se que novas pesquisas possam
ser feitas com o propósito de que os professores envolvidos elaborem uma
sequência de ensino para desenvolver com seus alunos em sala de aula e,
425
depois, com os dados das produções dos alunos, que seja feita a interpretação,
análise e discussão deles.
Essas experiências, que envolvem a prática dos professores - em suas
salas de aula, com seus alunos - tomando as discussões e reflexões que eles
vivenciaram durante os encontros de ensino da referida pesquisa trariam mais
subsídios para a análise das problematizações que levaram a ressignificações
na prática desses professores no que se refere ao ensino e à aprendizagem
dos problemas de contagem no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.
Por outro lado, também sugerimos que nova pesquisa pode investir em
identificar as razões das concepções dos professores (as quais nesta pesquisa
não fomos capazes de fazer) segundo as quais muito embora o professor
tenha ampliado a imagem conceitual em relação aos conteúdos de problemas
de contagem e se apropriado de uma metodologia que atenda aos propósitos
do ensino e da aprendizagem dos problemas de contagem no Ensino
Fundamental, há uma concepção de que sem se fazer uso de uma fórmula
para dar conta da contagem das possibilidades que atendem à solução de um
problema de contagem não se está ensinando a matemática adequada para os
alunos.
Acreditamos que é viável sugerir a proposta de um futuro estudo como
acima explicitado de maneira a problematizar essas e outras pertinentes
questões envolvendo uma experiência formativa com professores.
As reflexões que fizemos ao longo desta pesquisa nos levaram a
concluir que o estudo dos Problemas de Contagem (noções básicas de
Combinatória) deveria ganhar especial atenção também na formação inicial,
nos cursos de Licenciatura em Matemática, visto que têm a finalidade de
preparar futuros professores para ensinar esse conteúdo aos alunos.
Ademais, ainda que esteja prescrita nos documentos curriculares uma
abordagem apenas introdutória das noções básicas de Análise Combinatória –
como “ponte” que se faz necessária à transição dos Problemas de Contagem
para o Cálculo de Probabilidades de eventos e a Estatística –, as próprias
Diretrizes Curriculares para os cursos de formação de professores determinam
que a seleção de conteúdos para esses cursos deve ir além daqueles que os
426
professores irão ensinar em suas aulas na Educação Básica, nas diferentes
etapas da escolaridade.
A esse respeito, as mesmas Diretrizes Curriculares para os Cursos de
Licenciatura em Matemática estabelecem que a seleção dos conteúdos (tanto
das áreas de ensino, quanto pedagógicos) é de competência de cada
Instituição de Ensino Superior.
Assim sendo, a oferta de um estudo que poderia favorecer aos futuros
professores o aprimoramento e a ampliação conceitual e pedagógica dos
conhecimentos de conteúdo sobre Análise Combinatória, e sobre o seu ensino,
dependeria de cada uma dessas Instituições de Ensino Superior formadoras de
professores que irão ensinar Matemática nas escolas de Educação Básica.
Outras pesquisas poderiam investigar se um estudo dos problemas de
contagem, em toda a sua complexidade e abrangência, – que leve em conta,
por exemplo, a exploração do raciocínio combinatório, do Princípio
Multiplicativo e do Princípio Aditivo, a construção de árvores de possibilidades
e outras representações gráficas, a exploração e mobilização de diferentes
estratégias e procedimentos para a resolução de um mesmo problema de
contagem, a importância do tratamento formal na identificação dos
agrupamentos de objetos que atendem todas as possibilidades da solução de
um problema de contagem e a necessidade de articular as interpretações
numéricas oriundas da exploração do raciocínio combinatório, via uso dos
Princípios Multiplicativo e Aditivo (tomadas de decisão) e por meio da aplicação
direta de uma fórmula para a contagem das possibilidades – faz parte dos
currículos dos cursos de Licenciatura em Matemática, visto que, concluindo
esses cursos, os estudantes que se graduarem possivelmente irão para a sala
de aula na Educação Básica e deverão estar preparados para ensinar esse
conteúdo a seus alunos da Educação Básica, conforme está prescrito nos PCN
(1997, 1998, 1999).
Por último, consideramos ser possível desenvolver sequências didáticas
de conteúdos específicos na Educação Básica como a que foi apresentada
neste estudo que permitem a construção e reconstrução de conhecimentos de
conteúdo, pedagógicos de conteúdo e curriculares a partir de reflexões
pessoais do professor e coletivas - em cursos de formação continuada,
427
permanentemente - por meio de reflexões e análises relacionadas a situações
reais de ensino e de aprendizagem para este segmento de ensino.
428
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APÊNDICES APÊNDICE A – Questionário sobre Conhecimentos Docentes (Q1) DADOS RELACIONADOS À EXPERIÊNCIA DOCENTE DE PROFESSORES DA REDE PÚBLICA ESTADUAL DE SÃO PAULO NO OBSERVATÓRIO DA UNIBAN/CAPES
Unidade(s) Escolar (es) de atuação em 2011: _______________________________ Senha:_____________________________ Contato: _________________ (telefone ou e-mail). 1) Idade (anos): a até 24 b 25 a 29 c 30 a 39 d 40 a 49 e 50 a 54 f 55 ou mais 2) Cargo: a Efetivo b OFA c Outro 3) Séries em que leciona no Ensino Fundamental II: a 5ª b 6ª c 7ª d 8ª e nenhuma 4) Séries em que leciona no Ensino Médio: a 1ª b 2ª c 3ª d nenhuma 5) Tempo de magistério: a 1 ano b 1 a 5 anos c 5 a 10 anos d 10 a 15 anos e 15 a 20 anos f mais de 20 anos 6) Período de trabalho: a manhã b tarde c noite d manhã e tarde e tarde e noite f manhã e noite 7) Quantidade atual de aulas semanais: a até 10 b 10 a 15 c 16 a 20: d 21 a 25 e 26 a 30 f > 30 8) Assinale o grau máximo referente à sua formação: a superior incompleto b superior completo c especialização(até 200h) d especialização (mín. 360h) e mestrado 9) Você participou de atividades de formação continuada (atualização, capacitação etc.) promovidas pela SEE, nos anos de 2009 ou 2010? a sim b não 10) Se sim, elas foram efetivamente úteis para a melhoria de sua prática pedagógica em sala de aula? a foram muito úteis b foram úteis c foram pouco úteis d não foram úteis 11) Sua posição em relação ao novo Currículo da Secretaria Estadual de Educação (SEE-SP) é de: a comprometimento b aceitação c indiferença d contrariedade 12) Para você, esse novo Currículo (SEE-SP) foi instituído aos professores como: a consenso b adesão c sugestão d imposição 13) Em relação às situações de aprendizagem contidas no Caderno do Professor, você as utiliza:
Prezado colega: Agradeço sua colaboração em responder a este questionário. Sua participação contribuirá para a pesquisa acadêmica que desenvolvo no curso de doutorado. Asseguramos total sigilo em relação à sua identidade e esclarecemos que essas informações servirão, exclusivamente, para fins de pesquisa científica.
438
a todas na íntegra b todas parcialmente c algumas na íntegra d algumas parcialmente e nenhuma 14) Os conteúdos de matemática dos Cadernos do Professor, para uso em suas aulas são: a totalmente adequados b suficientes c insuficientes d inadequados 15) Os conteúdos de matemática dos Cadernos do Aluno, para melhorar a aprendizagem deles são: a totalmente adequados b suficientes c insuficientes d inadequados 16) De quais instrumentos avaliativos você se utiliza bimestralmente, dentre os descritos abaixo, para acompanhar o desempenho de seus alunos: a prova escrita b prova oral c trabalho individual d trabalhos em grupos e atividades em classe f seminários g avaliação contínua h registro de atividades i ficha de mapeamento j diário de classe k produções dos alunos l auto-avaliação 17) Em suas aulas, quais dos seguintes recursos pedagógicos descritos abaixo, você utiliza ? a giz e lousa b livros didáticos c livros paradidáticos d Caderno do Aluno e material concreto f softwares g data show/retroprojetor h calculadora i jornais e revistas j jogos k instrumentos de medição l vídeos 18) Indique sugestões que você considera relevantes de modo que as aulas de matemática se tornem mais interessantes aos alunos (use o verso desta folha): _____________________________________________________________________(adaptado de parte de questionário utilizado por Wanderlei Aparecida Grenchi em sua Dissertação: Percepções de professores da rede pública do Estado de São Paulo acerca do Ensino de Matemática no contexto de mudança curricular (Mestrado em Educação Matemática) – UNIBAN – SP. Universidade Bandeirante de São Paulo. São Paulo.SP. 2011). APÊNDICE B – Situações-problema para o 1º Encontro do Observatório da Educação
CONHECIMENTOS DE CONTEÚDO – QUESTIONÁRIO Q2 SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO CONCEITOS COM O USO DO
RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO
Situação-problema 1: Dispondo de três saias, três blusas e dois pares de sapatos, de quantos modos diferentes uma senhora pode se vestir? Um aluno resolveu assim: Primeiramente faço todas as combinações possíveis com saias e sapatos. Depois, com cada um desses conjuntos formados, faço as combinações com as blusas, num total de 18 conjuntos diferentes de saia, blusa e sapatos. A solução é apresentada nas duas tabelas de dupla entrada, a seguir:
439
a) Analise criticamente a solução apresentada pelo aluno. b) Apresente sua solução, fazendo uso da árvore de possibilidades. Situação-problema 2: Em um ginásio há 6 portas, numeradas de 1 a 6. a) De quantos modos uma pessoa pode entrar e sair deste ginásio? Faça, pelo menos, duas diferentes representações que mostram a solução; b) De quantos modos uma pessoa pode entrar no ginásio, e sair por uma porta numerada com um número par? Faça, pelo menos, duas diferentes representações que mostram a solução; c) A segurança das portas do ginásio é feita por homens onde a numeração é par e é feita por mulheres onde a numeração é ímpar. Sendo assim, de quantos modos podemos distribuir 3 homens e 3 mulheres para fazer a segurança deste ginásio?; d) Considerando a segurança do ginásio feita unicamente por homens, de quantos modos podemos distribuir 6 deles para a segurança das portas ? Situação-problema 3: Quantos são os números de três algarismos distintos no sistema decimal? Um aluno resolveu esta situação assim: Há dez opções para ocupar a posição das unidades simples, nove opções para ocupar a posição das dezenas simples (não se pode repetir o algarismo já utilizado nas unidades simples) e oito opções para ocupar a posição das centenas simples (não podem ser repetidos os algarismos já utilizados anteriormente). Assim, pelo Princípio Multiplicativo, há 10x9x8 = 720 números com três algarismos distintos. a) Comente, criticamente, o modo com que o aluno apresentou essa solução. b) Como você faria para resolver essa questão com seus alunos? Situação-problema 4: Uma bandeira com o formato como abaixo deve ser pintada, dispondo-se das cores verde (VD), azul (AZ) e amarelo (AM) . De quantos modos diferentes é possível pintá-la?
Um aluno apresentou a seguinte solução:
SaiaSapato SAIA 1 SAIA 2 SAIA 3
SAPATO 1 (SAP1, SA1) (SAP1, SA2) (SAP1, SA3)
SAPATO 2 (SAP2, SA1) (SAP2, SA2) (SAP2, SA3)
BlusaSaia+Sapato BLUSA 1 BLUSA 2 BLUSA 3
(SAP1, SA1) (SAP1, SA1, BLU1) (SAP1, SA1, BLU2) (SAP1, SA1, BLU3)(SAP1, SA2) (SAP1, SA2, BLU1) (SAP1, SA2, BLU2) (SAP1, SA2, BLU3)(SAP1, SA3) (SAP1, SA3, BLU1) (SAP1, SA3, BLU2) (SAP1, SA3, BLU3)
(SAP2, SA1) (SAP2, SA1, BLU1) (SAP2, SA1, BLU2) (SAP2, SA1, BLU3)(SAP2, SA2) (SAP2, SA2, BLU1) (SAP2, SA2, BLU2) (SAP2, SA2, BLU3)(SAP2, SA3) (SAP2, SA3, BLU1) (SAP2, SA3, BLU2) (SAP2, SA3, BLU3)
440
Justificou sua solução, afirmando que cada uma das listras poderia ser pintada por qualquer uma das cores disponíveis, fazendo então as combinações acima. Assim, a totalidade de bandeiras diferentes que podem ser pintadas é 27. a) Comente, criticamente, o modo com que o aluno apresentou essa solução. b) Como você faria para resolver essa situação-problema com seus alunos?
Situação-problema 5: Quantos são os anagramas de cada uma das palavras a seguir, justificando:
a) ROMA? b) PAPA? c) ATACA?
Situação-problema 6: Quantas são as arrumações possíveis quando se lança uma moeda “honesta” 5 vezes, em sequência, e se obtém 2 caras e 3 coroas?. Situação-problema 7: De quantos modos 6 pessoas podem sentar-se em uma mesa no formato circular? Um aluno resolveu assim: As pessoas podem arrumar-se de 6.5.4.3.2.1 = 720 maneiras olhando a arrumação da mesa em um sentido. Se olharmos a arrumação da mesa em outro sentido, teremos mais 720 maneiras. Assim, o total de modos de arrumar as seis pessoas ao redor da mesa é: 2 x 720 = 1440. c) Comente, criticamente, a questão apresentada pelo aluno.
1ª FAIXA 2ª FAIXA 3ª FAIXA
VDVD AZ
AM
VDVD AZ AZ
AM
VDAM AZ
AM
VDVD AZ
AM
VDAZ AZ AZ
AM
VDAM AZ
AM
VDVD AZ
AM
VDAM AZ AZ
AM
VDAM AZ
AM
441
d) Resolva a situação-problema da maneira como resolveria com seus alunos em sala de aula. Situação-problema 8: Quantos grupos diferentes de 3 pessoas podem ser formados entre os amigos Ana, Bia, Carla, Davi e Eva? Um aluno apresentou o diagrama abaixo para justificar que sua resposta é 10 grupos: Ana pode ficar junto com os três colegas num grupo, uma de cada vez, e depois trocando entre os três colegas que não tinham sido escolhidos, totalizando 6 grupos. Agora, formo grupos que não tenham mais a Ana: são os grupos que têm os outros quatro amigos, quando são escolhidos de três em três.
CARLAANA BIA DAVI
EVA
DAVIANA CARLA
EVA
ANA DAVI EVA
CARLA DAVIBIA CARLA EVA
DAVI EVA
CARLA DAVI EVA a) Comente criticamente a solução do aluno. b) Resolva esta situação-problema sem o uso da árvore de possibilidades, como foi feito acima na solução do aluno. Situação-problema 9: Dispomos de 6 pessoas para formar grupos de trabalho. Pergunta-se: De quantas maneiras diferentes o grupo poderá ser formado se dele participarem três das seis pessoas?
APÊNDICE C – Questionário inicial do Observatório da Educação
QUESTIONÁRIO Q3 – CONHECIMENTOS PEDAGÓGICOS OBSERVATÓRIO DA CAPES/UNIBAN - 19/Maio/2011
1) Você propõe situações envolvendo o Princípio Multiplicativo na Educação Básica? * No Ensino Fundamental? ( ) Sim ( ) Não. Se você ainda não teve essa experiência explique como você procederia? Quando?
Como?
* No Ensino Médio? ( ) Sim ( ) Não.
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Se você ainda não teve essa experiência, explique: como você procederia? Quando ?
Como?
2) Você propõe situações envolvendo o Princípio Aditivo na Educação Básica? * No Ensino Fundamental? ( ) Sim ( ) Não. Se você ainda não teve essa experiência, explique: como você procederia? Quando?
Como?
* No Ensino Médio? ( ) Sim ( ) Não. Se você ainda não teve essa experiência, explique: como você procederia? Quando?
Como?
3 - Você propõe situações envolvendo a noção de arranjo simples com seus alunos na Educação Básica? ( ) Sim ( ) Não. Como você definiria e explicaria esse conceito para seus alunos? (Para essa definição você pode utilizar suas próprias palavras. Não é necessário que escreva uma definição formal).
443
Em que momento? Quando?
4) Você propõe situações envolvendo a noção de permutação simples com seus alunos na Educação Básica? ( ) Sim ( ) Não. Como você definiria e explicaria esse conceito para seus alunos? (Para essa definição você pode utilizar suas próprias palavras. Não é necessário que escreva uma definição formal).
Em que momento? Quando?
5) Você propõe situações envolvendo a noção de combinação simples com seus alunos na Educação Básica ? ( ) Sim ( ) Não. Como você definiria e explicaria esse conceito para seus alunos? (Para essa definição você pode utilizar suas próprias palavras. Não é necessário que escreva uma definição formal).
Em que momento? Quando?
6 - Que dificuldades os alunos têm para lidar com situações-problema que envolvam o raciocínio combinatório na Educação Básica?
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7) Que dificuldades você tem para preparar aulas que envolvam o raciocínio combinatório na Educação Básica?
8) Os livros didáticos são esclarecedores em relação ao ensino e à aprendizagem de conceitos envolvendo o raciocínio combinatório para professores e alunos, na Educação Básica? ( ) Sim ( ) Não. Por quê? 9) Você considera importante/indispensável introduzir conceitos básicos envolvendo o raciocínio combinatório no Ensino Fundamental? Por quê? 10) Que estratégias um professor poderia utilizar para auxiliar os alunos na compreensão dos fundamentos que norteiam o raciocínio combinatório?
APÊNDICE D – Questionário relacionado com conhecimentos pedagógicos do conteúdo de problemas de contagem. Entregue ao final do 7º Encontro e que foi devolvido no 8º Encontro (o último dos encontros)
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QUESTIONÁRIO SOBRE CONHECIMENTOS PEDAGÓGICOS E DE
CONTEÚDO PROBLEMAS DE CONTAGEM (Q4) Perguntas adicionais para serem respondidas em casa . Peço que entreguem as respostas deste questionário no início do 7º Encontro do Observatório Prezado colega Professor: Gostaria que respondesse às questões colocadas a seguir como uma avaliação pessoal sobre os aspectos da Formação que acaba de ser realizada no Observatório da UNIBAN, relativamente à aspectos pedagógicos e de conteúdo envolvendo a temática Problemas de Contagem. Por favor, não se identifique. Nem tampouco utilize a senha a que estava acostumado a utilizar em outras situações. Esteja a vontade para escrever tudo que quiser. O mais importante é que escreva o máximo de informações possíveis e aquelas que julguem importantes serem relatadas. É muito importante para nós saber o que você acha e tudo o que representou esta etapa de formação para você. Muito obrigado pela colaboração. 1. Escreva sobre o que de novo aprendeu nesta formação quanto aos conhecimentos pedagógicos do conteúdo problemas de contagem 2. Que aspectos foram apresentados nesta formação que você poderá utilizar em sua prática de sala de aula? 3. Você considera importante/indispensável introduzir Problemas de Contagem no Ensino Fundamental? Por quê? 4. Escreva como se sente, após esta formação, em relação ao trabalho desenvolvido com situações-problema que envolve problemas de contagem no Ensino Fundamental.
APÊNDICE E – Situações-problema para o 2º Encontro do Observatório da Educação Finalidade: Explorar o uso da árvore de possibilidades e da tabela de dupla entrada para dar conta da contagem de possibilidades como a solução a uma situação-problema simples. Situação-problema 1: João possui três camisas nas cores: azul, verde e branco e duas calças, nas cores cinza e preto. De quantos modos diferentes João poderá se vestir? PROVÃO – extraído do Exame Nacional de Avaliação ao final dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Situação-problema 2 (PROVÃO 2005-12): Um restaurante do tipo “self-service” oferece 3 opções de entrada, 5 de prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor sua refeição com exatamente 1 entrada, 2 pratos principais diferentes e 2 sobremesas diferentes. a) De quantas maneiras diferentes esse cliente poderá compor a sua refeição? b) Mostre outro procedimento que leve à obtenção da solução desta situação-problema. c) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado trabalhar propor essa questão aos alunos? Por quê?
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d) Faça uma representação mostrando todas as possibilidades em que o cliente pode compor sua refeição. Situação-problema 3: Considere um tabuleiro tipo o tabuleiro de xadrez contendo 16 “casas”, no formato 4 x 4, conforme o desenho abaixo.
a) De quantos modos é possível colocar um “rei” na cor preta e um “rei” na cor branca em casas não adjacentes desse tabuleiro (se um rei ficar ao lado de qualquer outra peça no jogo de xadrez ele “come” essa outra peça)? b) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado trabalhar propor essa questão aos alunos? Por quê? Situação-problema 4: Foi apresentado um retângulo, como o da figura abaixo, a alunos de uma classe e dito que ele representava a vista de cima do prédio de aulas de uma escola e a parte externa. Ao redor do prédio há um corredor que o circunda em toda a sua extensão e, na área entre o corredor e os muros que limitam a escola da rua, há gramado em toda a extensão. Foi pedido que os alunos pensassem em todas as diferentes colocações possíveis dos dois vasos de plantas junto aos corredores. Agora pedimos o mesmo para vocês, professores. Pergunta-se: a) Quantas são as possibilidades de arrumação dos dois vasos? b) Como você faria para desenvolver a resolução dessa situação com seus alunos? c) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado trabalhar essa questão com os alunos? Por quê? d) Faça uma representação mostrando todas as possibilidades de arrumação dos vasos junto aos corredores. Todos se referiram à solução apresentada no item (a). e) Mostre outro procedimento que leve à obtenção da solução desta situação-problema. Situação-problema 5: Uma bandeira com o formato abaixo vai ser pintada utilizando-se duas das cores dadas ao lado.
Portão GramadoCorredor Porta
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Liste todas as possíveis bandeiras diferentes. Quantas são elas? Situação-problema 6: Dispondo de três saias, três blusas e dois pares de sapatos, de quantos modos diferentes uma senhora pode se vestir? Um aluno resolveu assim: Primeiramente faço todas as combinações possíveis com saias e sapatos. Depois, com cada um desses conjuntos formados, faço as combinações com as blusas, num total de 18 conjuntos diferentes de saia, blusa e sapatos. A solução é apresentada nas duas tabelas de dupla entrada, a seguir:
SaiaSapato SAIA 1 SAIA 2 SAIA 3
SAPATO 1 (SAP1, SA1) (SAP1, SA2) (SAP1, SA3)
SAPATO 2 (SAP2, SA1) (SAP2, SA2) (SAP2, SA3)
BlusaSaia+Sapato BLUSA 1 BLUSA 2 BLUSA 3
(SAP1, SA1) (SAP1, SA1, BLU1) (SAP1, SA1, BLU2) (SAP1, SA1, BLU3)(SAP1, SA2) (SAP1, SA2, BLU1) (SAP1, SA2, BLU2) (SAP1, SA2, BLU3)(SAP1, SA3) (SAP1, SA3, BLU1) (SAP1, SA3, BLU2) (SAP1, SA3, BLU3)
(SAP2, SA1) (SAP2, SA1, BLU1) (SAP2, SA1, BLU2) (SAP2, SA1, BLU3)(SAP2, SA2) (SAP2, SA2, BLU1) (SAP2, SA2, BLU2) (SAP2, SA2, BLU3)(SAP2, SA3) (SAP2, SA3, BLU1) (SAP2, SA3, BLU2) (SAP2, SA3, BLU3)
a) Analise criticamente a solução apresentada pelo aluno. b) Apresente sua solução, fazendo uso da árvore de possibilidades.
Situação-problema 7: Uma bandeira com quatros faixas verticais vai ser pintada. Dispomos das cores azul, amarela, verde e vermelha. a) De quantas maneiras diferentes podemos pintar essa bandeira tendo todas as listras pintadas com cores diferentes? b) De quantas maneiras diferentes podemos pintar essa bandeira se a cor verde acabou e as outras três estão disponíveis? c) De quantas maneiras diferentes podemos pintar essa bandeira de modo que listras adjacentes não possam ter cores iguais e, para este caso, compramos latas de tinta nas cores cinza, preto e roxo, totalizando seis cores disponíveis? d) De quantas maneiras diferentes podemos pintar essa bandeira de modo que todas as listras tenham cores diferentes e, para este caso, dispomos das mesmas cores do item (c): azul, amarela, vermelha, cinza, preto e roxo, totalizando seis cores disponíveis?
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Situação-problema 8 (MO): De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12? Situação-problema 9 (MO): De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila? Situação-problema 10: a) Quantos números naturais de três algarismos existem no sistema decimal? b) Quantos números naturais pares de três algarismos existem no sistema decimal? c) Quantos números naturais ímpares de três algarismos existem no sistema decimal? d) Quantos números naturais de três algarismos distintos existem no sistema decimal? e) Quantos números naturais pares de três algarismos distintos existem no sistema decimal? f) Quantos números naturais ímpares de três algarismos distintos existem no sistema decimal? Situação-problema 11 (MO): Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? Situação-problema 12 (MO): Quantos inteiros há 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos? Situação-problema 13: Em um ginásio há 6 portas, numeradas de 1 a 6. a) De quantos modos uma pessoa pode entrar e sair deste ginásio? Faça, pelo menos, duas diferentes representações que mostram a solução. b) De quantos modos uma pessoa pode entrar no ginásio, e sair por uma porta numerada com um número par? Faça, pelo menos, duas diferentes representações que mostram a solução. c) A segurança das portas do ginásio é feita por homens onde a numeração é par e é feita por mulheres onde a numeração é ímpar. Sendo assim, de quantos modos podemos distribuir 3 homens e 3 mulheres para fazer a segurança deste ginásio? d) Considerando a segurança do ginásio feita unicamente por homens, de quantos modos podemos distribuir 6 deles para a segurança das portas ? CA – extraídos do Caderno do Aluno – Matemática – 2ª série – Volume 3, Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, 2009. Situação-problema 14 (CA): Os números 342, 335, 872, 900 são, entre tantos outros, números de três algarismos. Entre esses exemplos, os números 342 e 872 não repetem algarismos, contrariamente ao que ocorre, por exemplo, com os números 335 ou 900. Quantos números com 3 algarismos podemos escrever se: a) Todos começarem por 1 e os algarismos puderem ser repetidos ? b) Todos começarem por 1 e os algarismos não puderem ser repetidos ? c) Não houver qualquer restrição, isto é, desde 100 a 999 ? d) Os números não contiverem algarismos repetidos ? Situação-problema 15 (CA): Existem 9000 números de 4 algarismos, e 1000 é o menor deles, e 9999 o maior. Entre esses 9000 números há muitos que não repetem algarismos, como 1023, 2549, 4571 ou 9760. Quantos são esses números de 4 algarismos distintos ? Situação-problema 16 Anos atrás as placas de carros foram mudadas (não só em relação a cor: de laranja para cinza, mas também em relação à quantidade de letras: de duas para três). a) Com essa alteração qual o número de carros a mais que podem ser emplacados em relação à sistemática anterior, considerando que em ambos os casos são utilizados quatro algarismos ? b) Quando houver necessidade de alterar novamente o formato das placas, qual a opção que atenderia a um maior número de placas novas ? ( ) aumentar a quantidade de letras, de três para quatro letras ou então ( ) aumentar a quantidade de algarismos, de quatro para cinco. c) Se as placas com três letras e quatro algarismos não permitem a repetição de letras e de
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algarismos, quantas placas há ? APÊNDICE F – Situações-problema para o 3º Encontro do Observatório da Educação Finalidade: O objetivo desta situação-problema foi o de apresentar uma situação em que as diferentes maneiras de apresentar a solução disparariam a oportunidade de os professores se manifestarem em relação às suas concepções em uma situação cujo enunciado é bastante claro e que permite discussões aprofundadas acerca dos conceitos envolvidos. Situação-problema 1: Considere uma sala que possui 4 lâmpadas incandescentes, nomeadas por L1, L2, L3 e L4. Pergunta-se: De quantos modos essa sala pode ficar iluminada? Apresente o máximo de representações que considera possível para apresentar a solução desta situação-problema. Situação-problema 2: E se a sala possui k lâmpadas, de quantos modos é possível iluminá-la? Situação-problema 3: Considerando que uma dada situação-problema pode inspirar o professor a propor novas situações-problema, dentro de um mesmo leque de raciocínio; Considerando que esse desenvolvimento cognitivo que levou seus alunos a resolverem situações anteriores o motiva a tentar novos desafios, o que torna o conteúdo bastante enriquecedor; Considerando que tais procedimentos levam os alunos a interessar-se pela temática e a mobilizar toda a classe, além do próprio professor, que se sente desafiado para tal, proponho: Enuncie uma ou mais Situações-problema cuja concepção de solução e o resultado sejam os mesmos utilizados na solução-problema 1. (Use o verso da folha para responder). Situação-problema 4 (MO): De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12? Situação-problema 5 (MO): De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?
Situação-problema 6: a) Quantos números naturais de três algarismos existem no sistema decimal? b) Quantos números naturais pares de três algarismos existem no sistema decimal? c) Quantos números naturais ímpares de três algarismos existem no sistema decimal? d) Quantos números naturais de três algarismos distintos existem no sistema decimal? e) Quantos números naturais pares de três algarismos distintos existem no sistema decimal? f) Quantos números naturais ímpares de três algarismos distintos existem no sistema decimal? Situação-problema 7 (MO): Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e: a) têm todos os dígitos diferentes. b) não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6. c) têm as propriedades a) e b) simultaneamente.
APÊNDICE G – Situações-problema para o 4º Encontro do Observatório da Educação
UNIBAN – OBSERVATÓRIO – 4º ENCONTRO – 26/5/2011
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SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO CONCEITOS COM O USO DO RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO
(Princípios: Aditivo e Multiplicativo) Atividades desenvolvidas no 4º Encontro Finalidade: Mostrar que a árvore de possibilidades é uma forte aliada na resolução de problemas de contagem onde o quantitativo de objetos é pequeno. Também teve o objetivo de desenvolver o raciocínio combinatório e a aplicação dos princípios multiplicativo e aditivo. Situação-problema 1: Para pintar a bandeira abaixo, há 4 cores disponíveis: preto, azul, verde e vermelho.
a) De quantos modos ela pode ser pintada de modo que faixas adjacentes tenham cores distintas e todas as faixas devem ser pintadas?
b) Faça uma representação mostrando todas as possibilidades de pintura desta bandeira atendendo às condições impostas.
c) Como você faria para desenvolver a resolução dessa situação com seus alunos? d) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado trabalhar propor essa questão aos alunos? Por quê? Situação-problema 2: Quantos são os números de três algarismos distintos no sistema decimal? Um aluno resolveu esta situação assim: Há dez opções para ocupar a posição das unidades simples, nove opções para ocupar a posição das dezenas simples (não se pode repetir o algarismo já utilizado nas unidades simples) e oito opções para ocupar a posição das centenas simples (não podem ser repetidos os algarismos já utilizados anteriormente). Assim, pelo Princípio Multiplicativo, há 10x9x8 = 720 números com três algarismos distintos. a) Comente, criticamente, o modo com que o aluno apresentou essa solução. b) Como você faria para resolver essa questão com seus alunos?”. Situação-problema 3: Qual o total de divisores de 360? Situação-problema 4: Determine o total de ascendentes da 4ª geração de sua família, identificando-os. Situação-problema 5: Dois amigos, Carlos e Ivo disputam a final de um Torneio de Tênis. A regra estipula que a disputa termina, proclamando-se um vencedor, sempre que um deles vencer duas partidas seguidas ou então que vença três partidas alternadas. Determine todas as sequências de resultados possíveis de ocorrerem.
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Situação-problema 6: Um menino tem 4 carrinhos de cores diferentes (azul, branco, verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred, Luiz e Téo. De quantas formas diferentes pode presentear os carrinhos a seus irmãos nas seguintes condições: a) Cada um dos irmãos receberá pelo menos um carrinho? b) Pode ocorrer de haver um irmão ou dois irmãos, sem ganhar carrinho? Situação-problema 7: Um menino tem 3 carrinhos de cores diferentes (azul, verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred e Téo. Considerando que nenhum dos irmãos pode ficar sem receber presente, de irmãos? a) Faça uma tabela indicando as possibilidades de distribuição dos carrinhos entre os irmãos; b) Desenhe uma árvore de possibilidades mostrando a distribuição dos carrinhos entre os irmãos; c) Faça uma representação notacional para indicar o total de possibilidades em que é possível fazer as diferentes distribuições dos carrinhos entre os três irmãos. Situação-problema 8: Um menino tem 3 carrinhos de cores diferentes (azul, verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred e Téo. Considerando ser possível que o menino presenteie um irmão com todos os 3 carrinhos, se assim desejar, de quantas formas diferentes pode presentear os carrinhos a seus irmãos? a) Faça uma tabela indicando as possibilidades de distribuição dos carrinhos entre os irmãos; b) Desenhe uma árvore de possibilidades mostrando a distribuição dos carrinhos entre os irmãos; c) Faça uma representação notacional para indicar o total de possibilidades em que é possível fazer as diferentes distribuições dos carrinhos entre os três irmãos. Situação-problema 9: Um menino tem 4 carrinhos de cores diferentes (azul, branco, verde e roxo) e decide presenteá-los a seus irmãos Fred, Bia e Téo. Considerando que nenhum dos irmãos pode ficar sem receber presente, de quantas formas diferentes o menino pode presentear os carrinhos a seus irmãos? a) Faça uma tabela indicando as possibilidades de distribuição dos carrinhos entre os irmãos; b) Desenhe uma árvore de possibilidades mostrando a distribuição dos carrinhos entre os irmãos somente quando Fred ganha dois dos carrinhos; c) Faça uma representação notacional para indicar o total de possibilidades em que é possível fazer as diferentes distribuições dos carrinhos entre os três irmãos; d) Considerando ser possível que o menino presenteie um irmão com todos os 3 carrinhos, se assim desejar, de quantas formas diferentes pode presentear os carrinhos a seus irmãos? APÊNDICE H – Situações-problema para o 5º Encontro do Observatório da Educação
UNIBAN – OBSERVATÓRIO – 5º ENCONTRO SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO CONCEITOS COM O USO DO
RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO (Princípios: Aditivo e Multiplicativo)
Atividades desenvolvidas no 5º Encontro
Objetivos da primeira parte : Resolução das situações-problema com discussões das soluções obtidas e discussão sobre diferentes modos de tratar temas relacionados à problemas de contagem e suas aplicações em outros ramos da matemática.
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Mo – extraídos do livro Análise Combinatórios e Probabilidade de Augusto César de Oliveira Morgado (Mo), João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho e Pedro Fernandez, IMPA-Fundação VITAE, 1991. Situação-problema 1 (MO): Quantos são os números de 3 algarismos, na base 10: a) nos quais o algarismo 2 figura? b) nos quais o algarismo 2 não figura? Situação-problema 2 (MO): Quantos são os números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois dígitos iguais? Situação-problema 3 (MO): Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos? Situação-problema 4 (MO): Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências? Situação-problema 5 (MO): Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares iguais da revista B e 10 exemplares iguais da revista C. Quantas coleções não vazias, de revistas dessa banca, são possíveis formar ? Situação-problema 6 (MO): Quantos são os números de 5 algarismos, na base 10: a) nos quais o algarismo 2 figura? b) nos quais o algarismo 2 não figura? CA – extraídos do Caderno do Aluno – Matemática – 2ª série – Volume 3, Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, 2009. Situação-problema 7 (CA-modificado): Um roteiro turístico prevê a visita a duas cidades do conjunto conhecido por “Cidades Históricas de Minas Gerais”, formado pelas cidades de Ouro Preto, Mariana, Tiradentes e São João Del Rey. Quantos roteiros (escolha de duas cidades sem impor ordem de primeira e segunda cidade) diferentes poderão ser traçados se:
a) Ouro Preto sempre fizer parte do roteiro ? b) Não houver restrição à escolha das duas cidades ?
Situação-problema 8 (CA): Os números 342, 335, 872, 900 são, entre tantos outros, números de três algarismos. Entre esses exemplos, os números 342 e 872 não repetem algarismos, contrariamente ao que ocorre, por exemplo, com os números 335 ou 900. Quantos números com 3 algarismos podemos escrever se: a) Todos começarem por 1 e os algarismos puderem ser repetidos ? b) Todos começarem por 1 e os algarismos não puderem ser repetidos ? c) Não houver qualquer restrição, isto é, desde 100 a 999 ? d) Os números não contiverem algarismos repetidos ? Situação-problema 9 (CA): Existem 9000 números de 4 algarismos, e 1000 é o menor deles, e 9999 o maior. Entre esses 9000 números há muitos que não repetem algarismos, como 1023, 2549, 4571 ou 9760. Quantos são esses números de 4 algarismos distintos ? Situação-problema 10 (CA-modificado): Considere os numerais 1, 2, 3 e 4, e também todos os números de 4 algarismos distintos que podemos formar com eles. Imagine que todos esses números serão ordenados, do menor para o maior. Isso feito, o primeiro da fila será o 1234, o segundo será o 1243, o terceiro, 1324, e assim por diante, até último, que será 0 4321.
a) Qual é a posição do número 4321 nessa fila ?
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b) Qual é a posição do número 3241 nessa fila ? c) Considerando a arrumação do menor para o maior número (ordem crescente), que
número ocupa a 17ª posição ? d) Quando arrumamos todos os 24 números e os colocamos em uma fileira vertical, para
obter a soma total, quantas vezes: d.1) o algarismo 1 aparece na posição das unidades simples ? d.2) o algarismo 2 aparece na posição das unidades simples ? d.3) o algarismo 2 aparece na posição das dezenas simples ?
e) Qual o valor da soma dos algarismos que ocupam a posição das unidades simples de todos os 24 números ?
f) Qual o valor da soma dos algarismos que ocupam a posição das dezenas simples de todos os 24 números ?
g) Qual o valor da soma de todos os 24 números formados ? h) Acrescentando o numeral 5 aos numerais 1, 2, 3 e 4 e ordenando todos os números de
5 algarismos distintos que podem ser formados, qual é o número que ocupa a 72ª posição ?
h.1) Quantos desses números são múltiplos de 3 ? h.2) Quantos desses números são múltiplos de 5 ? Situação-problema 11: Em um jogo de futebol o placar final apontou 4 x 3 para o time visitante. a) Quantas são as possibilidades em que os gols dessa partida possam ter ocorrido? b) Faça uma representação mostrando todas as possibilidades em que os gols poderiam ter saído durante a partida de futebol atendendo à condição da totalidade dos gols. c) Como você faria para desenvolver a resolução dessa situação com seus alunos? As respostas foram desde a árvore de possibilidades até a tabela de dupla entrada. d) Em qual (ou quais) anos do Ensino Fundamental você considera adequado trabalhar propor essa questão aos alunos? Por quê? APÊNDICE I - Situações-problema para o 6º Encontro do Observatório da Educação
UNIBAN – OBSERVATÓRIO – 6º ENCONTRO SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO CONCEITOS COM O USO DO
RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO (Princípios: Aditivo e Multiplicativo)
Atividades desenvolvidas no 6º Encontro
Finalidade: “Caracterizar” com o grupo de professores as permutações simples em que é preciso ordenar/arrumar todos os objetos, distintos entre si, em exatamente o mesmo quantitativo de posições. Situação-problema 1: De quantos modos diferentes Ana, Beto e Clara podem sentar-se em um banco que possui três lugares, lado a lado? Situação-problema 2: De quantos modos diferentes Ana, Beto e Clara podem sentar-se em um banco que possui dois lugares, lado a lado? Nesta situação têm-se permutações simples? E se tivéssemos quatro lugares e as mesmas três pessoas da situação que foi proposta? Situação-problema 3: Quantos anagramas tem a palavra AMOR? Situação-problema 4: Quantos anagramas tem a palavra OVO?“. Situação-problema 5: Quantos anagramas tem a palavra PAPA? Situação-problema 6: De quantas diferentes se pode ordenar 3 bolas exatamente iguais e dois carrinhos diferentes em fila?
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Situação-problema 7(retomada da situação-problema 6 do questionário Q1): Quantas são as arrumações possíveis quando se lança uma moeda “honesta” 5 vezes, em sequência, e se obtém 2 caras e 3 coroas? Situação-problema 8: Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA em que as vogais e as consoantes aparecem alternadamente? Situação-problema 9: Quantos são os anagramas da palavra ARARAS nos quais não há duas letras A consecutivas? Situação-problema 10: A garagem do prédio em que Ana mora tem 6 vagas alinhadas, lado a lado. Como o prédio é novo, até o momento só há 3 carros: os de Ana, Bia e Carlos, que podem, a cada dia, colocar o carro no lugar que preferirem, se não estiver ocupado. De quantas formas possíveis podem Ana, Bia e Carlos estacionar seus carros na garagem? Situação-problema 11: No cardápio de uma Pizzaria conhecida em São Paulo são oferecidos 38 sabores diferentes de pizzas e podem ser servidas em quatro diferentes tamanhos. A pizza pequena pode ser cortada em 4 fatias; a pizza média pode ser cotada em 6 fatias; a pizza grande pode ser cortada em 8 fatias e a pizza super grande pode ser cortada em 12 fatias. Todas elas podem vir acompanhadas de mostarda, cat-chup ou ambos. De quantas maneiras diferentes os sabores, tamanhos e acompanhamentos podem ser combinados em diferentes pedidos dos clientes? Situação-problema 12: Cinco meninas: Ana, Bia, Carla, Dani e Elen vão passar a noite na casa de sua avó. Esta casa tem duas habitações diferentes (salão e quarto) onde a avó pode colocar as meninas para dormir. Inclusive elas podem ficar todas juntas em qualquer das duas habitações, se quiserem. De quantas formas diferentes a avó pode distribuir as cinco meninas entre as duas habitações? Situação-problema 13: Em uma caixa há 7 bolas numeradas com os dígitos 2, 3, 4, 5, 7, 8 e 9. Escolhemos uma bola da caixa e anotamos seu dígito. A bola extraída é devolvida à caixa. Escolhe-se uma segunda bola e se anota seu dígito retornando com a bola à caixa. Finalmente escolhe-se uma terceira bola e se anota o seu dígito. Quantos números de três algarismos se podem obter após as três extrações? Situação-problema 14: Se quer eleger um comitê formado por 3 membros; Presidente, Tesoureiro e Secretário. Para selecioná-lo dispomos de 5 candidatos: A, B, C, D e E. Quantos comitês diferentes se podem eleger entre os 5 candidatos? APÊNDICE J- Situações-problema para o 7º Encontro do Observatório da Educação
UNIBAN – OBSERVATÓRIO – 7º ENCONTRO SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO CONCEITOS COM O USO DO
RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO (Princípios: Aditivo e Multiplicativo)
Atividades desenvolvidas no 7º Encontro
Finalidade: Caracterizar com o grupo de professores as combinações simples de n distintos objetos escolhidos em grupos de p objetos, dentre os n objetos disponíveis, identificando as características desses agrupamentos de objetos.
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Também objetiva determinar uma maneira de encontrar todos os possíveis distintos conjuntos contendo p objetos. Situação-problema1: Um grupo de 5 amigos mora perto uns dos outros e todos trabalham no mesmo restaurante. Para o plantão aos domingos, o gerente sempre escolhe dois deles para trabalhar e precisa fazer uma escala para um certo período com os nomes dos componentes das duplas para afixar no quadro de avisos. Qual a quantidade de diferentes duplas que ele poderá formar sem que haja repetição dos dois amigos a cada domingo? Situação-problema2: Quantos grupos diferentes de 3 pessoas podem ser formados entre os amigos Ana, Bia, Carla, Davi e Eva? Um aluno apresentou o diagrama abaixo para justificar que sua resposta são 10 grupos, e justificou assim: Ana pode ficar junto com três colegas, num grupo, um de cada vez. Depois vai trocando entre os três colegas que não tinham sido escolhidos, totalizando 6 grupos. Agora, formo grupos que não tenham mais a Ana: são os grupos que têm os outros quatro amigos, quando são escolhidos de três em três.
CARLAANA BIA DAVI
EVA
DAVIANA CARLA
EVA
ANA DAVI EVA
CARLA DAVIBIA CARLA EVA
DAVI EVA
CARLA DAVI EVA a) Comente criticamente a solução do aluno. b) Resolva esta situação-problema sem o uso da árvore de possibilidades, como foi feito acima na solução do aluno. Situação-problema3: Dispomos de 6 pessoas para formar grupos de trabalho. Pergunta-se: De quantas maneiras diferentes o grupo poderá ser formado se dele participarem três das seis pessoas? CA – extraídos do Caderno do Aluno – Matemática – 2ª série – Volume 3, Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, 2009. Situação-problema 4 (CA-modificado): Um roteiro turístico prevê a visita a duas cidades do conjunto conhecido por “Cidades Históricas de Minas Gerais”, formado pelas cidades de Ouro Preto, Mariana, Tiradentes e São João Del Rey. Quantos roteiros (escolha de duas cidades sem indicar as ordens em que as cidades serão visitadas) diferentes poderão ser traçados se: a) Ouro Preto sempre fizer parte do roteiro? b) Não houver restrição à escolha das duas cidades? Situação-problema 5: Determine o total de ascendentes da 4ª geração de sua família, identificando-os. Situação-problema 6 (MO): Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Situação-problema 7: Dois amigos, Carlos e Ivo disputam a final de um Torneio de Tênis. A regra estipula que a disputa termina, proclamando-se um vencedor, sempre que um deles vencer duas partidas seguidas ou então que vença três partidas alternadas. Determine todas as sequencias de resultados possíveis de ocorrerem.
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PROVÃO – extraído do Exame Nacional de Avaliação ao final dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Situação-problema 8 (PROVÃO 1999-14): A unidade de informação nos computadores digitais é o bit (abreviatura de binary digit, ou seja, dígito binário), que pode estar em dois estados, identificados com os dígitos 0 e 1. Usando uma sequência de bits, podem ser criados códigos capazes de representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASCII, por exemplo, utiliza uma sequência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita (letras, sinais de pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos símbolos diferentes o código ASCII pode representar? (A) 7! (B) 7 (C) 14 (D) 49 (E) 128 Situação-problema 9 (PROVÃO 1998-20): Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número de senhas válidas é: (A) 10.000 (B) 9.000 (C) 7.361 (D) 7.290 (E) 8.100 CA – extraídos do Caderno do Aluno – Matemática – 2ª série – Volume 3, Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, 2009. Situação-problema 10 (CA-modificado): Quantas filas diferentes poderão ser formadas com 2 pessoas, apenas alternando suas posições na fila ? a) Quantas filas diferentes poderão ser formadas com 3 pessoas, apenas alternando suas posições na fila ? b) Quantas filas diferentes poderão ser formadas com 4 pessoas, apenas alternando suas posições na fila ? c) Quantas filas diferentes poderão ser formadas com 5 pessoas, apenas alternando suas posições na fila ? d) Quantas filas diferentes poderão ser formadas com 5 pessoas, apenas alternando suas posições na fila, sabendo que duas delas querem sempre estar juntas ? Situação-problema 11: a) De quantos modos os amigos Ana, Beto, Carla, Davi e Elisa podem posar para uma foto? b) Ana e Beto são namorados e querem ficar, juntos, nas extremidades da foto. De quantas maneiras a foto pode ser tirada? c) Carla e Davi também são namorados. De quantos modos os dois casais podem posar juntos, na foto, com cada casal em uma das extremidades? d) De quantos modos os amigos podem posar juntos, na foto, de modo que os casais fiquem juntos? e) Em quantas fotos Elisa aparece na posição central da foto? f) Em quantas fotos um dos dois casais ou os dois casais não estão juntos na foto? Situação-problema 12: Quantas são as arrumações possíveis quando se lança uma moeda “honesta” 5 vezes, em sequência, e se obtém 2 caras e 3 coroas? Situação-problema 13: De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em um banco que dispõe de 6 lugares? APÊNDICE K- Situações-problema para o 8º Encontro do Observatório da Educação
UNIBAN – OBSERVATÓRIO – 8º ENCONTRO
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SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO CONCEITOS COM O USO DO RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO (Princípios: Aditivo e Multiplicativo)
Atividades desenvolvidas no 8º Encontro
Finalidade: Caracterizar, com o grupo de professores, as permutações circulares de n distintos objetos. Situação-problema1: De quantos modos 6 pessoas podem sentar-se em uma mesa no formato circular? Um aluno resolveu assim: As pessoas podem arrumar-se de 6.5.4.3.2.1 = 720 maneiras olhando a arrumação da mesa em um sentido. Se olharmos a arrumação da mesa em outro sentido, teremos mais 720 maneiras. Assim, o total de modos de arrumar as seis pessoas ao redor da mesa é: 2 x 720 = 1440. a) Comente, criticamente, a questão apresentada pelo aluno. b) Resolva a situação-problema da maneira como resolveria com seus alunos em sala de aula. Situação-problema 2 (MO): De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? Situação-problema3 (Prefeitura São Paulo 2011): Suponha que você tenha um dado sobre uma mesa, colocado de modo eu você veja apenas duas faces distintas: a face superior e a face exatamente a sua frente. Movendo o dado, sempre de modo a respeitar essa condição, quantas vistas diferentes você pode ter desse dado? (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24 (E) 36 Situação-problema 4 (Prefeitura São Paulo 2011): No lançamento de dois dados comuns, considere o produto dos pontos obtidos em cada um. A probabilidade de esse produto ser uma potência de 2 é: (A) 1/2 (B) 1/4 (C) 5/16 (D) 1/5 (E) 1/12 Em decorrência das reflexões acerca das resoluções das primeiras situações, o pesquisador lançou o desafio de resolverem a situação-problema 3, a seguir, o que demandou, primeiramente,muitas reflexões e discussões acerca do entendimento do enunciado e em seguida sobre a solução correta, que causou enorme estranheza entre os professores após inúmeros possibilidades incorretas e a firme determinação do professor-pesquisador em mediar discussões até que compreendessem como encontrá-la, o que foi feito por um dos professores e, em seguida, discutida por todos. Situação-problema 5 (MO): Quantos dados diferentes existem se a soma das faces opostas deve ser 7? PROVÃO – extraído do Exame Nacional de Avaliação ao final dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Situação-problema 6 (PROVÃO 1998-20): Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número de senhas válidas é: (A) 10.000 (B) 9.000 (C) 7.361 (D) 7.290 (E) 8.100 Situação-problema 7 (PROVÃO 1999-14): A unidade de informação nos computadores digitais é o bit (abreviatura de binary digit, ou seja, dígito binário), que pode estar em dois estados, identificados com os dígitos 0 e 1. Usando uma sequência de bits, podem ser criados códigos capazes de representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASCII, por exemplo, utiliza uma sequência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita (letras, sinais de pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos símbolos diferentes o código
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ASCII pode representar? (A) 7! (B) 7 (C) 14 (D) 49 (E) 128 Situação-problema 8 (PROVÃO 2005-12): Um restaurante do tipo self-service oferece 3 opções de entrada, 5 de prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor sua refeição com exatamente 1 entrada, 2 pratos principais e 2 sobremesas. De quantas maneiras diferentes esse cliente poderá compor a sua refeição? A) 4. B) 5. C) 12. D) 60. E) 180. PSS – Processo Seletivo Simplificado 2009 - GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO - Secretaria de Estado da Educação Situação-problema 9 (PSS-45): O professor de matemática decidiu ajudar o de educação física a fazer os times de vôlei para um torneio. Sua incumbência era a de formar times com um grupo de 12 estudantes. Sabendo-se que cada time de vôlei é formado por 6 jogadores, o professor de matemática propôs aos seus alunos que calculassem o total de times diferentes que poderiam ser formados com os estudantes do grupo. A resposta correta ao problema proposto pelo professor é (A) 132. (B) 144. (C) 256. (D) 462. (E) 924. Situação-problema 10 (PSS-80): Para encerrar um jogo, a professora Clara sugeriu que cada um dos participantes desse um único abraço em cada um dos outros participantes do jogo. Sabendo-se que foram dados 153 abraços, no total, é correto dizer que o número de participantes do jogo era igual a: (A) 23. (B) 21. (C) 19. (D) 18. (E) 15. PC - PROVA CONCURSO 1998 - SÃO PAULO Situação-problema 11 (PC-28): De um grupo de 6 homens e 4 mulheres, deseja-se escolher 5 pessoas, incluindo, pelo menos, 2 mulheres. O número de escolhas distintas que se pode fazer é: (A) 210. (B) 186. (C) 168. (D) 120. (E) 36.
PEB - PROFESSOR EDUCAÇÃO BÁSICA II - Situação-problema 12 (PEB-25): No jogo da Mega-Sena, cada jogador faz sua aposta em um cartão contendo todos os números inteiros de 1 até 60, escolhendo de 6 a 15 números entre os 60 disponíveis. São sorteados seis números e serão premiados os apostadores que tiverem acertado, em um mesmo cartão, 4, 5 ou 6 dos números sorteados. A aposta mínima, na qual o jogador escolhe 6 números no cartão, custa R$2,00 e é chamada de jogo simples. Se um jogador escolher 13 números em um mesmo cartão, ele aumentará consideravelmente a probabilidade de ser premiado, uma vez que tal aposta será equivalente a uma grande quantidade de jogos simples. Por conta de tal equivalência, o custo da aposta com 13 números deve ser igual a (A) R$4,33 (B) R$26,00 (C) R$1.848,00 (D) R$3.432,00 (E) R$10.010,00 Situação-problema 13 (PEB-45): O Diretório Acadêmico de uma escola do interior paulista organizou uma festa para comemorar o sucesso dos seus estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Serão convidadas para a festa 512 pessoas, dentre alunos, pais, professores e funcionários. Na festa serão sorteados diversos prêmios para os convidados que estiverem presentes, mas o Diretório Acadêmico ainda não resolveu a forma por meio da qual realizará o sorteio. Para realizar o sorteio, Mário, um dos alunos premiados na OBMEP, sugeriu que fossem
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distribuídos para os convidados, aleatoriamente e juntamente com os convites, uma senha-matricial individual, única e intransferível, definida por uma matriz 3x3 cujos termos fossem iguais a 0 ou 1. A ideia de Mário era premiar, no dia da festa, aqueles convidados que apresentassem uma senha cuja matriz fosse simétrica. Uma matriz quadrada A3x3 é dita simétrica toda vez que a mesma for igual à sua transposta, ou ainda, quando seus termos aij , i, j = 1,2,3 , satisfizerem à condição a ij = a ji , i, j =1,2,3. Uma matriz simétrica possui uma estética peculiar, a saber, a sua diagonal principal funciona como um espelho, em torno do qual suas partes triangulares superior e inferior se igualam, uma como reflexo da outra. Tal característica pode ser verificada, por exemplo, na matriz simétrica
A3x3 = De acordo com a ideia de Mário, um convidado que fosse à festa e apresentasse em sua senha uma matriz como esta, seria um dos premiados. Se a ideia de Mário for aceita pelo Diretório Acadêmico, qual será o número máximo de convidados premiados na festa? (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 64 (E) 128. Situação-problema 14 Um estudante quer criar senhas para uma rede de relacionamentos pessoais na Internet. Para isso poderá utilizar-se de até 26 letras e algarismos de 0 a 9. a) Onde há mais senhas: com 4 algarismos distintos ou com 4 algarismos quaisquer ? b) Onde há mais senhas: com 2 letras e 2 algarismos, nessa ordem; com 1 letra e 3 algarismos, nessa ordem ou com 3 letras e 1 algarismo, nessa ordem ? c) Onde há mais senhas: com 4 letras ou com 4 letras distintas ? Com quatro letras quaisquer há um total de 26 x 26 x 26 x 26 = 456.976 possibilidades e com quatro letras distintas, um total de 26 x 25 x 24 x 23 = 358.800 possibilidades. d) Onde há mais senhas: com 6 letras distintas ou com 6 algarismos ? e) Onde há mais senhas: com 4 letras distintas e 2 algarismos ou com 4 algarismos distintos e 2 letras distintas ?