parte 3 - pesquisa operacional 1 - lásara rodrigues ufop
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8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP
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Exemplos de Problemas dePesquisa Operacional
Disciplina: PRO706 - Pesquisa Operacional I
Prof: Lsara Rodrigues
Departamento de Engenharia de Produo, Administrao e EconomiaEscola de Minas
Universidade Federal de Ouro Preto
2010/1
3 Parte
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Hipteses Assumidas em ummodelo linear
Proporcionalidade - A quantidade de recursoconsumido por uma atividade deve serproporcional ao nvel dessa atividade. Almdisso, o custo de cada atividade proporcionalao nvel de operao da atividade.
Divisibilidade - Assume-se que as atividadespossam ser divididas em qualquer nvelfuncional, isto , qualquer varivel de deciso
pode assumir qualquer valor fracionrio.
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Hipteses Assumidas em ummodelo linear
Aditividade - O custo total a soma dasparcelas associadas a cada atividade.
Separabilidade - Pode-se identificar de formaseparada o custo (ou consumo de recursos)
especfico das operaes de cada atividade. Certeza - Assume-se que todos os parmetros
de modelo so constantes conhecidas. Emproblemas reais, a certeza quase nunca
satisfeita, provocando a necessidade de anlisede sensibilidade.
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Deciso do Pintor
Um pintor faz quadros artesanais para vender numafeira que acontece todo dia note.
Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e osvende por $5,00 e $3,00, respectivamente.
Ele vende, no mximo, 3 quadros grandes e 4
quadros pequenos por noite. O quadro grande feito em uma hora (grosseiro) e o
pequeno em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir
para a feira.
Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar paramaximizar a sua receita?
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Deciso do Pintor
Variveis de deciso:
xj, = quantidade de quadros do tipo j;
x1 = quantidade de quadros grandes;
x2 = quantidade de quadros pequenos;
Funo objetivo:
(Receita) = (Receita com quadro grande) + (Receita comquadro pequeno)
Max z= 5 x1 + 3 x2
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Deciso do Pintor
Restries:
Venda de quadro grande:
x1 3
Venda de quadro pequeno:x2 4
Tempo:
x1 + 1,8x2 8
No-Negatividade:
x1 0, x2 0
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Deciso do Pintor
Max z = 5 x1 + 3 x2
Sujeito a
x1 3 Venda de quadro grande
x2 4 Venda de quadro pequenox1 + 1,8x2 8 Tempo
x1 0, x2 0 No-negatividade
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O caso Politoy
A Politoy S/A fabrica soldados e trens demadeira.
Cada soldado vendido por $26 e utiliza $10de matria-prima e $14 de mo-de-obra. Duas
horas de acabamento e 1 hora de carpintariaso demandadas para produo de umsoldado.
Cada trem vendido por $22 e utiliza $9 de
matria-prima e $10 de mo-de-obra. Umahora de acabamento e 1h de carpintaria sodemandadas para produo de um trem.
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O caso Politoy
A Politoy no tem problemas no fornecimento
de matria-primas, mas s pode contar com
100 h de acabamento e 80 h de carpintaria.
A demanda semanal de trens ilimitada, masno mximo 40 soldados so comprados a cada
semana. A Politoy deseja maximizar seus
ganhos semanais.
Formule um modelo matemtico a ser
utilizado nessa otimizao.
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O caso Politoy
Variveis de deciso
xj = quantidade do brinquedo j produzido a cada
semana
x1 = quantidade de soldados produzidos a cada
semana
x2 = quantidade de trens produzidos a cadasemana
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O caso Politoy
Funo Objetivo
O que a Politoy deseja maximizar :
(26 x1
+ 22 x2) - (10 x
1+ 9 x
2) - (14 x
1+ 10 x
2) = 2 x
1+ 3 x
2
Max z = 2 x1 + 3 x2
Os nmeros 2 e 3 so chamados coeficientes da funo objetivo.
Eles indicam a contribuio de cada varivel nos ganhos daempresa.
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O caso Politoy
Restries:(total hs xx/sem.) = (hs.xx./sold.).(sold. produzidos/sem.)+
(hs.xx./trem).(trens produzidos/sem.)
Acabamento
2 x1 + x2 100 Carpintaria
x1 + x2 80
Limitao do nmero de soldados produzidos por semana
x1 40
No-negatividadex1, x2 0
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O caso Politoy
max z = 2 x1 + 3 x1
Sujeito a:
2 x1 + x2 100 Acabamentox1 + x2 80 Carpintaria
x1 40 Restrio de demanda
x1, x2 0 No negatividade
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Escolha de dieta
Quatro tipos de alimentos esto disponveis na elaborao damerenda de um grupo de crianas: biscoito, sorvete,
refrigerante e torta de queijo. A composio desses alimentos e
seus preos so:
As crianas devem ingerir pelo menos 500 calorias, 6 g de
chocolate, 10 g de acar, e 8 g de gordura. Formule o
problema tal que o custo seja minimizado.
0,8540500Torta de Queijo
0,3140150Refrigerante
0,2422200Sorvete
0,5223400Biscoito
Preo
(poro)
Gordura
(g)
Acar
(g)
Chocolate
(g)
CaloriasAlimentao
(poro)
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Escolha de dieta
Variveis de deciso:
xj = quantidade do alimento j (em pores);
x1 = pores de biscoitos;
x2 = pores de sorvete;
x3 = pores de refrigerante;
x4 = pores de torta de queijo;
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Escolha de dieta
Funo objetivo:
custo total = (custo dos biscoitos) +
(custo do sorvete) +(custo do refrigerante) +(custo da torta de queijo)
Min z = 0,5 x1 + 0,2 x2 +0,3 x3 + 0,8 x4
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Escolha de dieta
Restries:
Ingesto mnima de 500 calorias:
400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 500
Ingesto mnima de 6 g de chocolate:
3x1 + 2x2 3 Ingesto mnima de 10 g de acar:
2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 10
Ingesto mnima de 8 g de gordura:
2x1 + 4x2 + x3 + 5x3 8
No-Negatividade:
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0.
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Escolha de dieta
Min z = 0,5 x1 + 0,2 x2 +0,3 x3 + 0,8 x4
Sujeito a
400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 500 Calorias
3x1 + 2x2
3 Chocolate2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 10 Acar
2x1 + 4x2 + x3 + 5x3 8 Gordura
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 No-negatividade
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Problema das ligas metlicas
R$5000R$ 3000Preo de venda(R$ por ton)
15 ton.0,50,25Chumbo11 ton.0,30,25Zinco
16 ton.0,20,5Cobre
Disponibilidadede Matria-Prima
Liga Especial deAlta Resistncia
Liga Especial deBaixa Resistncia
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Problema das ligas metlicas
Variveis de deciso:
xj = quantidade produzida de cada liga j(em toneladas);
x1 = quantidade produzida da liga especialde baixa resistncia (j =1);
x2 = quantidade produzida da liga especial
de alta resistncia (j = 2);
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Problema das ligas metlicas
Funo Objetivo
Receita = Receita da liga de baixa resistncia
+ Receita da liga de alta resistncia
Max z = 3000 x1 + 5000x2
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Problema das ligas metlicas
Restries: Disponibilidade do cobre
0,5x1 + 0,2x2 16
Disponibilidade do zinco0,25x1 + 0,3x2 11 Disponibilidade do chumbo
0,25x1 + 0,5x2 15
No-negatividadex1 0, x2 0
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Problema das ligas metlicas
max z = 3000 x1 + 5000x2Sujeito a:
0,5x1 + 0,2x2 16 Disponibilidade do cobre
0,25x1 + 0,3x2
11 Disponibilidade do zinco0,25x1 + 0,5x2 15 Disponibilidade do chumbo
x1 0, x2 0 No-negatividade
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Problema do Stio
Um sitiante est planejando sua estratgiade plantio para o prximo ano.
Por informaes obtidas nos rgos
governamentais, sabe que as culturas detrigo, arroz e milho sero as maisrentveis na prxima safra.
Por experincia sabe que a produtividade
de sua terra para as culturas desejadas a apresentada na tabela abaixo.
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Problema do Stio
2,03 centavos0,4Milho
4,2 centavos0,3Arroz
10,8 centavos0,2Trigo
Lucro por kg de produo(informaes do governo)
Produtividade em Kg porm2 (experincia)
Cultura
Por falta de um local de armazenamento prprio, aproduo mxima, em toneladas, est limitada a 60.
A rea cultivvel do stio de 200.000m2. Para atender s demandas de seu prprio stio,
imperativo que se plante 400m2 de trigo, 800m2 de arroze 10.000m2 de milho.
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Problema do Stio
Varivel de decisoXj = rea em m
2 a ser plantada da cultura dotipo j;
X1 = rea em m2
a ser plantada da culturatrigo (j = 1);X2 = rea em m
2 a ser plantada da culturaarroz (j = 2);
X3 = rea em m2 a ser plantada da culturamilho (j = 3);
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Problema do Stio
Funo Objetivo
Lucro = Produtividade por Kg x Lucro
previsto por kg em cada cultura (emcentavos)
max z = 2,16 x1 + 1,26x2 + 0,812x3
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Problema do Stio
Restries
Demanda do Stio por trigo
x1 400
Demanda do Stio por arrozx2 800
Demanda do Stio por milho
x3 10.000
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Problema do Stio
rea total disponvel
x1 + x2 + x3 200.000
Armazenamento
0,2x1 + 0,3x2 + 0,4x3 60.000 No-negatividade
x1 0, x2 0, x3 0
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Problema do Stio
max z = 2,16 x1 + 1,26x2 + 0,812x3Sujeito a:
x1 400
x2 800x3 10.000x1 + x2 + x3 200.0000,2x1 + 0,3x2 + 0,4x3 60.000
x1 0, x2 0, x3 0
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Companhia de nibus
Devido ao nmero inconstante de passageiros, umacompanhia de nibus necessita de um nmero variado demotoristas, dependendo do horrio considerado.
O grfico abaixo mostra a quantidade necessria.
0
5
10
15
20
25
30
35
4 8 12 16 20 24
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Companhia de nibus
Considerando que cada motorista trabalhe8 horas seguidas e que seu trabalho deveser iniciado s 0, 4, 8, 12, 16, 20 ou 24
horas, elabore um plano de trabalho paraos motoristas de modo que o nmerodestes seja mnimo.
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Companhia de nibus
Variveis de decisoxj = nmero de motoristas a serem contratados no horrio j;x1 = nmero de motoristas a serem contratados as 0 hora (j
= 1);x2 = nmero de motoristas a serem contratados as 4 horas
(j = 2);x3 = nmero de motoristas a serem contratados as 8 horas
(j = 3);x4 = nmero de motoristas a serem contratados as 12
horas (j = 4);x
5= nmero de motoristas a serem contratados as 16horas (j = 5);
x6 = nmero de motoristas a serem contratados as 20horas (j = 6);
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Companhia de nibus
Funo ObjetivoMinimizar o nmero de motoristas.
min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
Restries Nmero de motoristas necessrios entre 0 e 4 h
x1 + x6 15
Nmero de motoristas necessrios entre 4 e 8 hx1 + x2 30
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Companhia de nibus
Nmero de motoristas necessrios entre 8 e 12 hx3 + x4 25
Nmero de motoristas necessrios entre 12 e 16 hx4 + x5 35
Nmero de motoristas necessrios entre 16 e 20 hx5 + x6 30
Nmero de motoristas necessrios entre 20 e 24 hx6 + x1 20
No-negatividadex1, x2, x3, x4, x5, x6 0
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Companhia de nibus
min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6Sujeito a:
x1 + x6 15x
1+ x
2 30
x3 + x4 25x4 + x5 35x5 + x6 30x
6+ x
1 20
x1 0, x2 0, x3, 0, x4 0, x5 0, x6 0
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Padres de Corte
Suponhamos que possumos barras de 6m decomprimento que devem ser convenientementecortadas para obtermos barras menores nosseguintes tamanhos: 50 barras de 2m 60 barras de 3 m
90 barras de 4 m
Faa um modelo de programao linear que
minimiza as perdas com os cortes.
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Padres de Corte
Variveis de deciso xi = nmero de barras a serem cortadas no padro de
corte j; x1 = nmero de barras a serem cortadas no padro 1; x2 = nmero de barras a serem cortadas no padro 2;
x3 = nmero de barras a serem cortadas no padro 3; x4 = nmero de barras a serem cortadas no padro 4; x5 = nmero de barras a serem cortadas no padro 5; x6 = nmero de barras a serem cortadas no padro 6; x7 = nmero de barras a serem cortadas no padro 7;
x8 = nmero de barras a serem cortadas no padro 8;
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Padres de Corte
0003Padro 72002Padro 8
0020Padro 6
1011Padro 5
0101Padro 4
4001Padro 3 3010Padro 2
2100Padro 1
Perda noPadro (Pi)
Nmero deTiras Tipo3 4 cm
Nmero deTiras Tipo2 3 m
Nmero deTiras Tipo1 2 m
Padro deCorte (i)
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Padres de Corte
Funo Objetivo
Minimizar perdas
min z = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 +1x5 + 0x6 + 0x7 +2x8
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Padres de Corte
Restries Quantidade de barras de 2m
1x3 + 1x4 + 1x5 + 3x7 + 2x8 = 50 Quantidade de barras de 3m
1x2 + 1x5 + 2x6 = 60 Quantidade de barras de 4m
1x1 + 1x4 = 90 No-negatividade
x1 0, x2 0, x3, 0, x4 0,x5 0, x6 0, x7, 0, x8 0
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Padres de Corte
min z = 2x1 + 3x2 + 4x3 + x5 + 2x8Sujeito a:
x3 + x4 + x5 + 3x7 + 2x8 = 50
x2 + x5 + 2x6 = 60x1 + x4 = 90
x1 0, x2 0, x3, 0, x4 0,
x5 0, x6 0, x7, 0, x8 0
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Produo e Distribuio
Considere uma companhia de bebidas que tem2 centros de produo (Araraquara e So Josdos Campos) e 3 mercados consumidoresprincipais (So Paulo, Belo Horizonte e Rio de
Janeiro). O custo unitrio de se transportar uma unidadedo produto de cada centro de produo a cadamercado consumidor, as demandas de cadamercado e a quantidade mxima disponvel do
produto em cada centro de produo so dadosna tabela abaixo.
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Produo e Distribuio
900400500Demandados
mercados
10004711S. J.Campos
800524Araraquara
Rio deJaneiro
BeloHorizonte
So Paulo
Suprimentodisponvel
Mercado
Centro desuprimento
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Produo e Distribuio
Restries
Disponibilidade do produto no centro deproduo em Araraquara
x11 + x12 + x13
800 Disponibilidade do produto no centro deproduo em S. J. Campos
x21 + x22 + x23 1000
Demanda em So Paulox11 + x21 = 500
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Produo e Distribuio
Demanda em Belo Horizonte
x12 + x22 = 400
Demanda no Rio de Janeiro
x13 + x23 = 900 No-negatividade
x11 0, x12 0, x13, 0, x21 0, x22 0,
x23 0
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Produo e Distribuio
min f(x) = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 11x21 + 7x22 + 4x23Sujeito a:
x11 + x12 + x13 800
x21 + x22 + x23
1000x11 + x21 = 500
x12 + x22 = 400
x13 + x23 = 900
x11 0, x12 0, x13, 0, x21 0, x22 0, x23 0