parte 3 - pesquisa operacional 1 - lásara rodrigues ufop

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  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Exemplos de Problemas dePesquisa Operacional

    Disciplina: PRO706 - Pesquisa Operacional I

    Prof: Lsara Rodrigues

    Departamento de Engenharia de Produo, Administrao e EconomiaEscola de Minas

    Universidade Federal de Ouro Preto

    2010/1

    3 Parte

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    Hipteses Assumidas em ummodelo linear

    Proporcionalidade - A quantidade de recursoconsumido por uma atividade deve serproporcional ao nvel dessa atividade. Almdisso, o custo de cada atividade proporcionalao nvel de operao da atividade.

    Divisibilidade - Assume-se que as atividadespossam ser divididas em qualquer nvelfuncional, isto , qualquer varivel de deciso

    pode assumir qualquer valor fracionrio.

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    Hipteses Assumidas em ummodelo linear

    Aditividade - O custo total a soma dasparcelas associadas a cada atividade.

    Separabilidade - Pode-se identificar de formaseparada o custo (ou consumo de recursos)

    especfico das operaes de cada atividade. Certeza - Assume-se que todos os parmetros

    de modelo so constantes conhecidas. Emproblemas reais, a certeza quase nunca

    satisfeita, provocando a necessidade de anlisede sensibilidade.

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    Deciso do Pintor

    Um pintor faz quadros artesanais para vender numafeira que acontece todo dia note.

    Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e osvende por $5,00 e $3,00, respectivamente.

    Ele vende, no mximo, 3 quadros grandes e 4

    quadros pequenos por noite. O quadro grande feito em uma hora (grosseiro) e o

    pequeno em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir

    para a feira.

    Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar paramaximizar a sua receita?

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    Deciso do Pintor

    Variveis de deciso:

    xj, = quantidade de quadros do tipo j;

    x1 = quantidade de quadros grandes;

    x2 = quantidade de quadros pequenos;

    Funo objetivo:

    (Receita) = (Receita com quadro grande) + (Receita comquadro pequeno)

    Max z= 5 x1 + 3 x2

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    Deciso do Pintor

    Restries:

    Venda de quadro grande:

    x1 3

    Venda de quadro pequeno:x2 4

    Tempo:

    x1 + 1,8x2 8

    No-Negatividade:

    x1 0, x2 0

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    Deciso do Pintor

    Max z = 5 x1 + 3 x2

    Sujeito a

    x1 3 Venda de quadro grande

    x2 4 Venda de quadro pequenox1 + 1,8x2 8 Tempo

    x1 0, x2 0 No-negatividade

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    O caso Politoy

    A Politoy S/A fabrica soldados e trens demadeira.

    Cada soldado vendido por $26 e utiliza $10de matria-prima e $14 de mo-de-obra. Duas

    horas de acabamento e 1 hora de carpintariaso demandadas para produo de umsoldado.

    Cada trem vendido por $22 e utiliza $9 de

    matria-prima e $10 de mo-de-obra. Umahora de acabamento e 1h de carpintaria sodemandadas para produo de um trem.

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    O caso Politoy

    A Politoy no tem problemas no fornecimento

    de matria-primas, mas s pode contar com

    100 h de acabamento e 80 h de carpintaria.

    A demanda semanal de trens ilimitada, masno mximo 40 soldados so comprados a cada

    semana. A Politoy deseja maximizar seus

    ganhos semanais.

    Formule um modelo matemtico a ser

    utilizado nessa otimizao.

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    O caso Politoy

    Variveis de deciso

    xj = quantidade do brinquedo j produzido a cada

    semana

    x1 = quantidade de soldados produzidos a cada

    semana

    x2 = quantidade de trens produzidos a cadasemana

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    O caso Politoy

    Funo Objetivo

    O que a Politoy deseja maximizar :

    (26 x1

    + 22 x2) - (10 x

    1+ 9 x

    2) - (14 x

    1+ 10 x

    2) = 2 x

    1+ 3 x

    2

    Max z = 2 x1 + 3 x2

    Os nmeros 2 e 3 so chamados coeficientes da funo objetivo.

    Eles indicam a contribuio de cada varivel nos ganhos daempresa.

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    O caso Politoy

    Restries:(total hs xx/sem.) = (hs.xx./sold.).(sold. produzidos/sem.)+

    (hs.xx./trem).(trens produzidos/sem.)

    Acabamento

    2 x1 + x2 100 Carpintaria

    x1 + x2 80

    Limitao do nmero de soldados produzidos por semana

    x1 40

    No-negatividadex1, x2 0

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    O caso Politoy

    max z = 2 x1 + 3 x1

    Sujeito a:

    2 x1 + x2 100 Acabamentox1 + x2 80 Carpintaria

    x1 40 Restrio de demanda

    x1, x2 0 No negatividade

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    Escolha de dieta

    Quatro tipos de alimentos esto disponveis na elaborao damerenda de um grupo de crianas: biscoito, sorvete,

    refrigerante e torta de queijo. A composio desses alimentos e

    seus preos so:

    As crianas devem ingerir pelo menos 500 calorias, 6 g de

    chocolate, 10 g de acar, e 8 g de gordura. Formule o

    problema tal que o custo seja minimizado.

    0,8540500Torta de Queijo

    0,3140150Refrigerante

    0,2422200Sorvete

    0,5223400Biscoito

    Preo

    (poro)

    Gordura

    (g)

    Acar

    (g)

    Chocolate

    (g)

    CaloriasAlimentao

    (poro)

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    Escolha de dieta

    Variveis de deciso:

    xj = quantidade do alimento j (em pores);

    x1 = pores de biscoitos;

    x2 = pores de sorvete;

    x3 = pores de refrigerante;

    x4 = pores de torta de queijo;

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    Escolha de dieta

    Funo objetivo:

    custo total = (custo dos biscoitos) +

    (custo do sorvete) +(custo do refrigerante) +(custo da torta de queijo)

    Min z = 0,5 x1 + 0,2 x2 +0,3 x3 + 0,8 x4

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    Escolha de dieta

    Restries:

    Ingesto mnima de 500 calorias:

    400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 500

    Ingesto mnima de 6 g de chocolate:

    3x1 + 2x2 3 Ingesto mnima de 10 g de acar:

    2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 10

    Ingesto mnima de 8 g de gordura:

    2x1 + 4x2 + x3 + 5x3 8

    No-Negatividade:

    x1 0, x2 0, x3 0, x4 0.

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    Escolha de dieta

    Min z = 0,5 x1 + 0,2 x2 +0,3 x3 + 0,8 x4

    Sujeito a

    400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 500 Calorias

    3x1 + 2x2

    3 Chocolate2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 10 Acar

    2x1 + 4x2 + x3 + 5x3 8 Gordura

    x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 No-negatividade

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    Problema das ligas metlicas

    R$5000R$ 3000Preo de venda(R$ por ton)

    15 ton.0,50,25Chumbo11 ton.0,30,25Zinco

    16 ton.0,20,5Cobre

    Disponibilidadede Matria-Prima

    Liga Especial deAlta Resistncia

    Liga Especial deBaixa Resistncia

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    Problema das ligas metlicas

    Variveis de deciso:

    xj = quantidade produzida de cada liga j(em toneladas);

    x1 = quantidade produzida da liga especialde baixa resistncia (j =1);

    x2 = quantidade produzida da liga especial

    de alta resistncia (j = 2);

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    Problema das ligas metlicas

    Funo Objetivo

    Receita = Receita da liga de baixa resistncia

    + Receita da liga de alta resistncia

    Max z = 3000 x1 + 5000x2

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    Problema das ligas metlicas

    Restries: Disponibilidade do cobre

    0,5x1 + 0,2x2 16

    Disponibilidade do zinco0,25x1 + 0,3x2 11 Disponibilidade do chumbo

    0,25x1 + 0,5x2 15

    No-negatividadex1 0, x2 0

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    Problema das ligas metlicas

    max z = 3000 x1 + 5000x2Sujeito a:

    0,5x1 + 0,2x2 16 Disponibilidade do cobre

    0,25x1 + 0,3x2

    11 Disponibilidade do zinco0,25x1 + 0,5x2 15 Disponibilidade do chumbo

    x1 0, x2 0 No-negatividade

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    Problema do Stio

    Um sitiante est planejando sua estratgiade plantio para o prximo ano.

    Por informaes obtidas nos rgos

    governamentais, sabe que as culturas detrigo, arroz e milho sero as maisrentveis na prxima safra.

    Por experincia sabe que a produtividade

    de sua terra para as culturas desejadas a apresentada na tabela abaixo.

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    Problema do Stio

    2,03 centavos0,4Milho

    4,2 centavos0,3Arroz

    10,8 centavos0,2Trigo

    Lucro por kg de produo(informaes do governo)

    Produtividade em Kg porm2 (experincia)

    Cultura

    Por falta de um local de armazenamento prprio, aproduo mxima, em toneladas, est limitada a 60.

    A rea cultivvel do stio de 200.000m2. Para atender s demandas de seu prprio stio,

    imperativo que se plante 400m2 de trigo, 800m2 de arroze 10.000m2 de milho.

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    Problema do Stio

    Varivel de decisoXj = rea em m

    2 a ser plantada da cultura dotipo j;

    X1 = rea em m2

    a ser plantada da culturatrigo (j = 1);X2 = rea em m

    2 a ser plantada da culturaarroz (j = 2);

    X3 = rea em m2 a ser plantada da culturamilho (j = 3);

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Problema do Stio

    Funo Objetivo

    Lucro = Produtividade por Kg x Lucro

    previsto por kg em cada cultura (emcentavos)

    max z = 2,16 x1 + 1,26x2 + 0,812x3

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Problema do Stio

    Restries

    Demanda do Stio por trigo

    x1 400

    Demanda do Stio por arrozx2 800

    Demanda do Stio por milho

    x3 10.000

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    Problema do Stio

    rea total disponvel

    x1 + x2 + x3 200.000

    Armazenamento

    0,2x1 + 0,3x2 + 0,4x3 60.000 No-negatividade

    x1 0, x2 0, x3 0

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    Problema do Stio

    max z = 2,16 x1 + 1,26x2 + 0,812x3Sujeito a:

    x1 400

    x2 800x3 10.000x1 + x2 + x3 200.0000,2x1 + 0,3x2 + 0,4x3 60.000

    x1 0, x2 0, x3 0

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    Companhia de nibus

    Devido ao nmero inconstante de passageiros, umacompanhia de nibus necessita de um nmero variado demotoristas, dependendo do horrio considerado.

    O grfico abaixo mostra a quantidade necessria.

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    4 8 12 16 20 24

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    Companhia de nibus

    Considerando que cada motorista trabalhe8 horas seguidas e que seu trabalho deveser iniciado s 0, 4, 8, 12, 16, 20 ou 24

    horas, elabore um plano de trabalho paraos motoristas de modo que o nmerodestes seja mnimo.

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    Companhia de nibus

    Variveis de decisoxj = nmero de motoristas a serem contratados no horrio j;x1 = nmero de motoristas a serem contratados as 0 hora (j

    = 1);x2 = nmero de motoristas a serem contratados as 4 horas

    (j = 2);x3 = nmero de motoristas a serem contratados as 8 horas

    (j = 3);x4 = nmero de motoristas a serem contratados as 12

    horas (j = 4);x

    5= nmero de motoristas a serem contratados as 16horas (j = 5);

    x6 = nmero de motoristas a serem contratados as 20horas (j = 6);

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    Companhia de nibus

    Funo ObjetivoMinimizar o nmero de motoristas.

    min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

    Restries Nmero de motoristas necessrios entre 0 e 4 h

    x1 + x6 15

    Nmero de motoristas necessrios entre 4 e 8 hx1 + x2 30

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Companhia de nibus

    Nmero de motoristas necessrios entre 8 e 12 hx3 + x4 25

    Nmero de motoristas necessrios entre 12 e 16 hx4 + x5 35

    Nmero de motoristas necessrios entre 16 e 20 hx5 + x6 30

    Nmero de motoristas necessrios entre 20 e 24 hx6 + x1 20

    No-negatividadex1, x2, x3, x4, x5, x6 0

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Companhia de nibus

    min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6Sujeito a:

    x1 + x6 15x

    1+ x

    2 30

    x3 + x4 25x4 + x5 35x5 + x6 30x

    6+ x

    1 20

    x1 0, x2 0, x3, 0, x4 0, x5 0, x6 0

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Padres de Corte

    Suponhamos que possumos barras de 6m decomprimento que devem ser convenientementecortadas para obtermos barras menores nosseguintes tamanhos: 50 barras de 2m 60 barras de 3 m

    90 barras de 4 m

    Faa um modelo de programao linear que

    minimiza as perdas com os cortes.

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Padres de Corte

    Variveis de deciso xi = nmero de barras a serem cortadas no padro de

    corte j; x1 = nmero de barras a serem cortadas no padro 1; x2 = nmero de barras a serem cortadas no padro 2;

    x3 = nmero de barras a serem cortadas no padro 3; x4 = nmero de barras a serem cortadas no padro 4; x5 = nmero de barras a serem cortadas no padro 5; x6 = nmero de barras a serem cortadas no padro 6; x7 = nmero de barras a serem cortadas no padro 7;

    x8 = nmero de barras a serem cortadas no padro 8;

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    40

    Padres de Corte

    0003Padro 72002Padro 8

    0020Padro 6

    1011Padro 5

    0101Padro 4

    4001Padro 3 3010Padro 2

    2100Padro 1

    Perda noPadro (Pi)

    Nmero deTiras Tipo3 4 cm

    Nmero deTiras Tipo2 3 m

    Nmero deTiras Tipo1 2 m

    Padro deCorte (i)

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Padres de Corte

    Funo Objetivo

    Minimizar perdas

    min z = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 +1x5 + 0x6 + 0x7 +2x8

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    Padres de Corte

    Restries Quantidade de barras de 2m

    1x3 + 1x4 + 1x5 + 3x7 + 2x8 = 50 Quantidade de barras de 3m

    1x2 + 1x5 + 2x6 = 60 Quantidade de barras de 4m

    1x1 + 1x4 = 90 No-negatividade

    x1 0, x2 0, x3, 0, x4 0,x5 0, x6 0, x7, 0, x8 0

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    43

    Padres de Corte

    min z = 2x1 + 3x2 + 4x3 + x5 + 2x8Sujeito a:

    x3 + x4 + x5 + 3x7 + 2x8 = 50

    x2 + x5 + 2x6 = 60x1 + x4 = 90

    x1 0, x2 0, x3, 0, x4 0,

    x5 0, x6 0, x7, 0, x8 0

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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    44

    Produo e Distribuio

    Considere uma companhia de bebidas que tem2 centros de produo (Araraquara e So Josdos Campos) e 3 mercados consumidoresprincipais (So Paulo, Belo Horizonte e Rio de

    Janeiro). O custo unitrio de se transportar uma unidadedo produto de cada centro de produo a cadamercado consumidor, as demandas de cadamercado e a quantidade mxima disponvel do

    produto em cada centro de produo so dadosna tabela abaixo.

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    Produo e Distribuio

    900400500Demandados

    mercados

    10004711S. J.Campos

    800524Araraquara

    Rio deJaneiro

    BeloHorizonte

    So Paulo

    Suprimentodisponvel

    Mercado

    Centro desuprimento

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    Produo e Distribuio

    Restries

    Disponibilidade do produto no centro deproduo em Araraquara

    x11 + x12 + x13

    800 Disponibilidade do produto no centro deproduo em S. J. Campos

    x21 + x22 + x23 1000

    Demanda em So Paulox11 + x21 = 500

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

    49/50

    49

    Produo e Distribuio

    Demanda em Belo Horizonte

    x12 + x22 = 400

    Demanda no Rio de Janeiro

    x13 + x23 = 900 No-negatividade

    x11 0, x12 0, x13, 0, x21 0, x22 0,

    x23 0

  • 8/9/2019 Parte 3 - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

    50/50

    50

    Produo e Distribuio

    min f(x) = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 11x21 + 7x22 + 4x23Sujeito a:

    x11 + x12 + x13 800

    x21 + x22 + x23

    1000x11 + x21 = 500

    x12 + x22 = 400

    x13 + x23 = 900

    x11 0, x12 0, x13, 0, x21 0, x22 0, x23 0