paradigmas programação-parte2

7/22/2019 Paradigmas programao-parte2

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Diviso e conquista

Programao dinmica

Algoritmos gulosos

Tcnicas de programao


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Diviso e ConquistaHistoricamente, o termo diviso e conquista foi originado

pelos generais napolenicos (1800 at 1814) que aplicavauma estratgia de dividir o exrcito inimigo em vrios sub-exrcitos separados, para poder vencer cada uma daspartes facilmente. O mtodo de desenvolvimento dealgoritmos por diviso e conquista reflete esta estratgiamilitar.

Muitos algoritmos teis so recursivos em sua estrutura:para resolver um dado problema, eles chamam assimmesmos recursivamente uma ou mais vezes para lidarcom subproblemas intimamente relacionados. Em geral,

esses algoritmos seguem uma abordagem de dividir econquistar: eles desmembram o problema em vriossubproblemas que so semelhantes ao problema original,mas menores em tamanho, resolvem os subproblemasrecursivamente e depois combinam essas solues com o

objetivo de criar uma soluo para o problema original.


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Diviso e ConquistaDada uma instncia de tamanho n de umproblema o mtodo da diviso e conquista divide-a em k substncias disjuntas (1 k = n) quecorrespondem a k subproblemas distintos eindependentes. Estes subproblemas ao resolvidos

separadamente e ento acha-se uma forma decombinar as solues parciais para se obter asoluo do problema original. Se os ksubproblemas gerados no passo anterior soainda relativamente grandes deve-se aplicar omtodo da diviso e conquista sucessivas vezesat que o tamanho do subproblema gerado sejato pequeno que sua soluo possa ser obtida deforma trivial.


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Diviso e Conquista

A descrio do mtodo sugere imediatamente ouso de uma estrutura recursiva para suaimplementao.

O mtodo de diviso e conquista implementado em algoritmos que utilizem ametodologia Top Down, onde a gerao dossubproblemas feita de cima para baixo.


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Diviso e Conquista

O paradigma de dividir e conquistar envolve trspassos em cada nvel de recurso:

1) Dividiro problema em um determinadonmero de subproblemas.

2) Conquistaros subproblemas, resolvendo-osrecursivamente. Porm, se os tamanhos dossubproblemas forem pequenos o bastante,

basta resolver os subproblemas de maneiradireta. 3) Combinaras solues dadas aos

subproblemas, afim de formar a soluo para oproblema original.


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Problema: Multiplicao de Inteiros

grandes

1.234.567.890 =1x109+2x108+3x107+4x106+5x105+ 6x104+7x103+8x102+

9x101+0x100

na base x1x9+2x8+3x7+4x6+5x5+ 6x4+7x3+8x2+ 9x1+0x0


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p . q ... fora bruta

Representao vetorial1x9+2x8+3x7+4x6+5x5+ 6x4+7x3+8x2+ 9x1+0x0

( 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) x ( 9, 3, 7, 4, 9, 2) = p . q=r

for(i = 0; i< n+m-1; i++) r[i] = 0;

for(i = 0; i< n; i++)for(j = 0; j< m; j++) r[i+j] = r[i+j] + p[i]*q[j];

faltou o vai 1 !


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p . q ...dividir-e-conquistar

px q=(0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7) x ( 9, 3, 7, 4, 9, 2) =r

px q= (pe+pdx4) . (qe+qd.x4)

px q= pe.qe + (pe.qd+pd.qe).x4 + pd.qd.x8

px q= re + rc.x4 + rd.x8

re =pe.qe ; rd =pd.qd ; rAUX =(pe+pd). (qe+qd)

rc =rAUX - re -rd

trocar .s por +s !!!!

pe pd qe qd


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p . q ...dividir-e-conquistar

pe.qe

pd.qe

pe.qd pd.qd

pe

qe

pd

qd

pe + pd

qe+ qd


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O algoritmo Algoritmo Mult(n,p,q) Como ambos s tem um algarismo cada, s

precisamos multiplica-los

Se n = 1, ento

r pq; Seno

p1 esquerda(n/2);

p2 direita(n/2);

x p1+ p2

Como ambos s tem um algarismocada, s precisamos multiplica-los

q1 esquerda(n/2);

q2 direita(n/2);

y q1+ q2

" X "ou " Y " tm no mximo n/2 + 1 algarismos, poisquando somamos dois nmeros com n/2 algarismos oresultado tem n/2 ou n/2 + 1 algarismos.


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se |x| = n/2 ento

x1 0;

x2 x;

seno x1 esquerda(1,x)

x2 direita(n/2,x);

fim se;

Se |Y| = n/2 ento y1 0;

y2 y;

seno

y1 esquerda(1,y);

y2 direita(n/2,y);

fim se;


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t x1y1bn+ ( x1y2+ x2y1)bn/2

+ Mult(n/2, x2, y2); u Mult(n/2, p1,q1);

v Mult(n/2, p2,q2);

r u .bn+( t -u -v ).bn/2+ v; fim se;

pare com sada (r).


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Algoritmo Multiplica re =pe.qe

Multiplica rd =pd.qd Soma p =(pe+pd)

Soma q = (qe+qd)

Multiplica rAUX = p. q Determina re =rAUX - re -rd

Shift vc =rc.xn/2

Shift vd = rd.xn

Soma r = re + vc.xn/2 + vd.xn

T(n/2)

T(n/2)

C.nC.n

T(n/2)

C.n

C.n

C.n


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Eficincia

T(n) = 3.T(n/2) + C.n , T(1) = C

T(n)/n = C.(3lg(n)+1/n - 2)

T(n) = C.n.(3lg(n)+1/n - 2)

T(n) = C.( 3.3lg(n) - 2.n )

T(n) = C.( 3.(2lg(3)

)lg(n)

- 2.n )T(n) = C.( 3.(2lg(n))lg(3) - 2.n )

T(n) = C.( 3.nlg(3) - 2.n )


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Programao Dinmica - Motivao

Nmeros de FibonacciEntrada: Um nmero inteiro n.

Sada: O nmero de Fibonacci Fn, definido daseguinte forma:F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 para n 2.

Soluo clssica utiliza recurso

Fib(n)

if n 1 then return nreturn Fib(n1) + Fib(n2)


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Sobre a Soluo Apresentada

Sabemos provar a corretude do algoritmo.

Anlise atravs da resoluo de uma relaode recorrncia:

T(n) = T(n1) + T(n2) + cO(2n)

Soluo ineficiente.


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Qual o motivo da ineficincia?

Voc conhece uma soluo alternativa?


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A Programao Dinmica um mtodo queresolve problemas dividindo-os em problemas

menores para poder solucion-los. Ao contrrio domtodo de diviso e conquista, a programaodinmica aplicvel quando esses subproblemaspossuem dependncia entre si, onde, sero

resolvidos e armazenados em uma tabela paraevitar recalcular a respostas sempre que osubproblema encontrado.

A programao dinmica aplicada em problemasde otimizao

Programao Dinmica


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Caracterizao de PD

Quando a estratgia de DC gera um nmero grande deproblemas idnticos, recurso se torna muito caro.

Melhor armazenar as solues parciais em uma tabela.

Como transformar DC em PD:A parte do algoritmo que corresponde a conquista(recurso) deve ser substituda por olhada na tabela.

Em vez de retornar um valor, armazen-lo na tabela.Caso base para iniciar a tabela.Determinar padro de preenchimento do restante databela.


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Quando Aplicar Programao Dinmica

Aplicar em problemas que, em princpio, parecerequerer muito tempo para ser resolvido (emgeral de ordem exponencial).

Principais caractersticas:Princpio da Otimalidade(subproblemastimos): o valor timo global pode ser definidoem termos dos valores timos dos

subproblemas. Dependncia entre os Subproblemas: os

subproblemas no soindependentes. Existeum overlap entre eles (logo, devem serconstrudos bottom-up


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Etapas da Programao Dinmica

O algoritmo de programao dinmica divididoem 4 etapas:

caracteriza a estrutura de uma soluo tima; define recursivamente o valor de uma soluo

tima; calcula o valor de uma soluo tima em um

processo de baixo para cima; constri uma soluo tima partir deinformaes dadas. Sendo que a ltima etapa

pode ser omitida se apenas o valor de umasoluo tima exigido.

onde se encontra as subestruturas timas,para depois usa-las para construir uma soluotima para o problema, ou seja, achando uma

soluo tima para os subproblemas,encontraremos uma soluo tima para o todo.

Utilizando recursividade, vamos achar ocusto de uma soluo tima para o

problema, utilizando solues timas paraos subproblemas.


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Problema : Multiplicao de Cadeia de

Matrizes

Qual a melhor forma, ou seja, a mais eficiente, pararealizar multiplicaes entre uma cadeia de matrizesrealizando o menor nmero de multiplicaes?

Como funciona multiplicao de matrizes:S podemos calcular o produto entre duas matrizes, seelas forem compatveis, ou seja, se o nmero de colunasda primeira matriz for igual ao nmero de linhas da

segunda matriz. Sendo assim, temos que, Aixj e Ajxk, somatrizes compatveis para ocorrer multiplicao.Exemplos de matrizes compatveis:

A50x10 * B10x5,

A3x4 * B4x10,


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Como colocar os parnteses?

Para calcularmos o produto de uma seqncia dematrizes, por exemplo, A1A2A3A4, temos 5 formas demultiplicao, formas de colocar os parnteses em

lugares diferentes, sendo que as matrizes no podemser invertidas na ordem, ou seja, A1A2A3A4 A1A3A4A2.

Exemplos:(A1(A2(A3A4)))(A1((A2A3)A4))((A1A2)(A3A4))((A1(A2A3))A4)(((A1A2)A3)A4).


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Multiplicao entre duas matrizes

O produto de duas matrizes calculado da seguinteforma:

Seja Amxn e Bnxr, a matriz C = A.B definida por

c(i,j) = a(i,1) b(1,j) + a(i,2) b(2,j) + ... + a(i,m) b(m,j)

O tamanho da matriz resultante C sempre igual aonumero de linhas da primeira matriz e o nmero decolunas da segunda matriz, isto , mxr.

Nmero de multiplicaes realizadas para determinar amatriz C m.n.r (???)


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Multiplicao entre 3 matrizes

Dada uma seqncia de 3 matrizes, considere a seguinte

multiplicao: A1.A2.A3Onde a ordem de cada uma delas :A1 = (5 x 20)A2 = (20 x 2)

A3 = (2 x 100)Veja os exemplos de multiplicao:(A1A2) A3A1 A2 = 200 multiplicaes escalares

Matriz resultante (5 x 2) A3 = 1000 multiplicaesescalares. Soma = 200 + 1000 = 1200 multiplicaes .

A1 (A2A3)A2 A3 = 4000 multiplicaes escalaresA1 Matriz resultante (20 x 100) = 10000 multiplicaesescalares. Soma = 4000 + 10000 = 14000multiplicaes.


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Colocao dos Parnteses

O modo como uma cadeia de matrizes colocada entreparnteses pode ter um impacto dramtico sobre o custode avaliao do produto.

Frmula recursiva para o nmero de colocao entreparnteses:

P(n) = {1 se n = 1n -1 P(k)P(n-k) se n 2k = 1


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As Quatro Etapas da Programao

Dinmica para Resoluo do Problema

Etapa 1 A estrutura de uma colocaotima dos parnteses:

Notao Ai..j, que resulta no produto AiAi+1...Aj

Dividir o problema em duas subproblemas atravsda parentizao de duas sub-cadeias A1..Ak e

Ak+1..An, onde cada sub-cadeia deve ter soluotima para que A1..Anseja tima.


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Etapa 2 - uma soluo recursiva m[i,j] = custo da multiplicao do subproblema i..j. Se i =

j ento temos uma soluo trivial e no realizaremos

nenhuma multiplicao escalar. Mas se i < j entoteremos que encontrar um modo de dividir o problemaem mais subproblemas e achar o melhor custo dessesdois e somar com o custo da multiplicao entre seusresultados, conforme podemos ver na formula:

m[i,j] = m[i,k] + m[k+1,j] + pi-1pkpj.

Como no sabemos o valor de k para a melhor soluodo subproblema, teremos que encontrar seguindo aseguinte regra:

0 se i = jmin{m[i,k] + m[k+1,j] + pi-1pkpj.} se i < j

Iremos definir tambm uma matriz s[i,j] para guardar osmelhores valores de k, que minimizaro o custo cada

subproblema.

M[i,j] =


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Etapa 3 como calcular os custos timos

O algoritmo que vimos na etapa 2 no soluciona oproblema, pois ele de ordem exponencial.

O algoritmo com recurso ir recalcular toda vez queencontrar um subproblema que j tenha resolvido.

Para otimizar podemos usar a programao dinmica eassim calcular o custo timo usando uma abordagem

tabular de cima para baixo.


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O algoritmo


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SM

0

0

0

0

0

0


32/113

5

4

3

2

1

0

50000

10000

7500

26250

157500

S

l = 2


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5

54

33

32

11

0

50000

350010000

25007500

437526250

7875157500

SM

l = 3


34/113

5

54

333

332

311

0

50000

350010000

537525007500

7125437526250

93757875157500

SM

l = 4


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5

54

333

3332

3311

0

50000

350010000

537525007500

105007125437526250

1187593757875157500

SM

l = 5


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5

54

333

3332

33311

0

50000

350010000

537525007500

105007125437526250

151251187593757875157500

SM

l = 6


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Programao de Linha de Montagem


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Um chassi de automvel entra em cada linha demontagem, tem as peas adicionadas a ele em umasrie de estaes, e um automvel pronto sai no final dalinha.

Cada linha de montagem tem n estaes, numeradas

com j = 1,2,3....n. Denotamos o j - sima estao nalinha i (onde i 1 ou 2) por Si , j .

A jsima estao na linha 1 (S1,j) executa a mesmafuno que ajsima estao na linha 2 (S2 , j).

As estaes foram construdas em pocas diferentes ecom tecnologias diferentes, de forma que o tempoexigido em cada estao varia, at mesmo entre asestaes na mesma posio nas duas linhas.


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Funcionamento: Linha 1 calcula f1[1] e f2[1];

LOOPLinha 3 a 13 calcula fi[ j ] e li[ j ] para i = 1,2e j = 2,3,...,n.

Linhas 4 e 8 calculam f1[ j ] e l1[ j ] ;

Linhas 9 a 13 calculam f2[ j ] e l2[ j ];

Linhas 14 a 18 calculam f* e l*;

Como as linhas 1 e 2 e 4 a 18 demoram um tempoconstante, e como cada uma das n-1 iteraes do loopfor das linhas 3 a 13 demoram tempo constante, oprocedimento inteiro demora o tempo (n).



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Problema da mochila

Decomposio do problema em estgios.

Em vez de considerar uma soluo (x1,x2,...,xn) completa deuma s vez, visualizar o problema como se as decises fossemtomadas para um item de cada vez.

Aps k decises, tero sido determinados quais dos primeiros kitens devem ser selecionados e, consequentemente, tero sidodeterminados os valores das variveis x1,x2,...,xk.

Neste ponto, o valor acumulado

O volume acumulado

k

jjxa1j

j

k

j

jxc1


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Estgio:cada varivel do problema

Estado:volume total ocupado com as decises j tomadas

Deciso:selecionar ou no um item (isto , fazer xk=1)

Custo da deciso de selecionar o item k:aumento de ckunidades no lucro parcial acumulado

Efeito da deciso de selecionar o item k:aumento do volume ocupado (estado) em akunidades

Problema da mochila


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Definio:yk(u) = lucro mximo que pode ser obtido com volume total igual a ue usando apenas itens do conjunto {1,...,k}

Quanto vale y0(0)? y

0(0) = 0 (sem objetos selecionados, o peso e o lucro so nulos)

Definir yk(u) = -se impossvel obter um volume total igual a uapenas com itens dentre os do conjunto {1,...,k}.

Quanto valem y0(u) e y

k(0)?

y0(u) = -para u > 0 (impossvel acumular peso sem itens) yk(0) = 0 para k = 1,2,...,n (nenhum item selecionado)

Calcular yk(u) para k = 1,...,n e u = 0,...b, a partir de y0(0).

Problema da mochila


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Problema da mochila

yk(u) = lucro mximo que pode ser obtido com volume total igual a ue usando apenas itens do conjunto {1,...,k}

Calcular yk(u) para k = 1,...,n e u = 0,...b:

Interpretao: h duas alternativas para se obter yk(u), dependendodo item k ser selecionado ou no yk(u) = yk-1(u), se o item k no usado yk(u) = yk-1(u-ak)+ck, se o item k usado

nkbucauyuy

b;ku

ku

uy

kkkk

k

,...,1;,...,0,)(),(max

0,...,1,

0;0,0

)(

11


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Problema da mochila

Observar que o lucro associado ao estado resultante de umadeciso depende apenas do valor desta deciso e do estadoatual, mas no depende da forma como este ltimo foi atingido.

nkbucauyuy

b;ku

ku

uy

kkkk

k

,...,1;,...,0,)(),(max

0,...,1,

0;0,0

)(

11


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5,...,1},1,0{

4233:asujeito

3223max

54321

54321

jx

xxxxx

xxxxx

j

y5(4) =

Problema da mochila


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Problema da mochila

5,...,1},1,0{

4233:asujeito3223max

54321

54321

jx

xxxxxxxxxx

j

5,...,1},1,0{

233:asujeito

3223max

54321

54321

jx

bxxxxx

xxxxx

j

y5(b) =

Valor timo = maxb=0,...,4{y5(b)}


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Problema da mochila

y0(4) y5(4)

y0(3) y5(3)

y0(2) y5(2)

y0(1) y5(1)

y0(0) y1(0) y2(0) y3(0) y4(0) y5(0)

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


58/113

y0(4)

y0(3)

y0(2)

y0(1)

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


59/113

Problema da mochila

-

-

-

-

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


60/113

Problema da mochila

- ?

- ?

- ?

- ?

0 ?

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


61/113

Problema da mochila-

-

- -

- -

0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


62/113

Problema da mochila

-

- 3

- -

- -

0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


63/113

Problema da mochila

-

- 3

- -

- -

0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


64/113

Problema da mochila

- -

- 3

- -

- -

0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


65/113

Problema da mochila

- -

- 3

- -

- -

0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


66/113

- - ?

- 3 ?

- - ?

- - ?

0 0 ?

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


67/113

Problema da mochila

- -

- 3

- -

- -

0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


68/113

Problema da mochila

- -

- 3

- - -

- - -

0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


69/113

Problema da mochila

- -

- 3

- - -

- - -

0 0 0

2

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


70/113

Problema da mochila

- -

- 3

- - -

- - -

0 0 0

0

2

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


71/113

Problema da mochila

- -

- 3 3

- - -

- - -

0 0 0

0

2

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5


72/113

- - -

- 3 3

- - -

- - -

0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


73/113

Problema da mochila

- - -

- 3 3

- - -

- - -

0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


74/113

Problema da mochila

- - - ?

- 3 3 ?

- - - ?

- - - ?

0 0 0 ?

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


75/113

Problema da mochila

- - -

- 3 3

- - -

- - -

0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


76/113

Problema da mochila

- - -

- 3 3

- - -

- - - 2

0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


77/113

Problema da mochila

- - -

- 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


78/113

Problema da mochila

- - -

- 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0

2

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

P bl d hil


79/113

Problema da mochila

- - -

- 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0

2

0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


80/113

Problema da mochila

- - -

- 3 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0

2

0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


81/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0

2

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


82/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


83/113

Problema da mochila

- - - 5 ?

- 3 3 3 ?

- - - - ?

- - - 2 ?

0 0 0 0 ?

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


84/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


85/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3

- - - -

- - - 2

0 0 0 0 01

0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


86/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3

- - - -

- - - 2 2

0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


87/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3

- - - -

- - - 2 2

0 0 0 0 0

1

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


88/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


89/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0

0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


90/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


91/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0

1

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


92/113

Problema da mochila

- - - 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0

1

0u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


93/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0

1

0u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


94/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


95/113

Problema da mochila

- - - 5 5 ?

- 3 3 3 3 ?

- - - - 3 ?

- - - 2 2 ?

0 0 0 0 0 ?

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


96/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


97/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2

0 0 0 0 0 0

0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


98/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


99/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


100/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3

- - - - 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

0

3

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


101/113

Problema da mochila

- - - 5 5

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

0

3

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


102/113

Problema da mochila

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

0

3

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


103/113

Problema da mochila

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

Problema da mochila


104/113

Problema da mochila

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

Problema da mochila


105/113

ob e a da oc a

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

Problema da mochila


106/113

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

Problema da mochila


107/113

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

x5=1

Problema da mochila


108/113

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

x5=1x4=1

Problema da mochila


109/113

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

x5=1x4=1x3=1

Problema da mochila


110/113

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

x5=1x4=1x3=1x2=0

Problema da mochila


111/113

- - - 5 5 6

- 3 3 3 3 5

- - - - 3 3

- - - 2 2 2

0 0 0 0 0 0

u = 4

u = 3

u = 2

u = 1

u = 0

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5

y5(4) = 6

y5(3) = 5

y5(2) = 3

y5(1) = 2

y5(0) = 0

x5=1x4=1x3=1x2=0x1=0

Problema da mochila


112/113

Os estados em verdee as transies possveis (arcos com

setas) definem um grafo multiestgio para a aplicao darecurso de programao dinmica.

Nmero de operaes (tempo de processamento) diretamenteproporcional ao produto do tamanho da mochila pelo nmero devariveis (preencher inteiramente a matriz de dimenses(b+1)x(n+1)): aplicabilidade limitada aos valores de n e de b

Caso seja possvel levar mltiplas cpias de cada item, aumentao nmero de decises e a complexidade do problema.

Problema da mochila


113/113

paradigmas programação-parte2

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