para computação aula de monitoria – prova 1 2012.1 – gisely melo

Para Computação

Aula de Monitoria – Prova 12012.1 – Gisely Melo

Livro!

Monitoria [12/04/2012] - Parte Gisely 2

1) Notas sobre crescimento de função – 180

2) Notas sobre Indução – 263

3) Notas sobre Definições Recursivas – 295

4) Contagem – 335

5) inclusão-exclusão – 499

6) Teorema binomial, Triângulo de Pascal(permutações) - 355

Contagem


exemplo 1QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS

2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 1

32

1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 *

Esse valor vai depender do primeiro, logo nessa posição só vai ter uma opção: A QUE FOI COLOCADA NO PRIMEIRO QUADRADO

Contagem


exemplo 2QUANTAS CADEIAS DE 8 BITS PODEMOS FORMAR DE MODO QUE ELAS SEJAM

PALÍDROMOS?

2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1

16 CADEIAS

1/0 1/0 1/0 1/0 . . . .

Essas ultimas quatro posições vão procurar saber o que a correspondente a ela colocou...

Contagem


1) Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que ñ são divisíveis por 5 e por 7.

Por 5 Por 7

Por 5 e por 7

Calcularemos primeiro a quantidade de inteiros positivos:

De 1 até 100100 números

Depois Calcularemos a quantidade de inteiros positivos divisíveis por 5 e por 7:

{35, 70} = 2 números Resposta100 – 2 = 98

Contagem


|A1 U A2 U A3|= |A1| + |A2| + |A3| − |A1 A2| − |A2 A3| − |A1 A3| + |A1 A2 A3|....????????????

Contagem


1 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0

1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 0 0

1 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 0 0

|A| =

|B| =

|AB| =

(A U B) = |A| + |B| - |AB|

Essa opção já esta incluída em A e em B

+ = 192

Exemplo:1) Quantas cadeias de tamanho 8 ou começam com o bit 1, ou terminam com 2 bits

00?

Contagem


Exemplo : questão 5 da lista de vocês:QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COM 4BITS “1” JUNTOS EXISTEM?

Contagem


Exemplo:QUANTAS CADEIAS DE 5 BITS COMEÇAM OU TERMINAM COM ”00”?

Contagem


Provar que a quantidade de subconjuntos de um conjunto finito S é .....

existem cadeias de bits de tamanho | S |. Logo, | P(S) |=

Cada elemento pode estar presente ou

não no conjunto das partes. Temos duas possibilidades pra

cada um

Casa dos pombos


Casa dos pombos


5) Qual o número mínimo de pessoas que deveríamos agrupar para garantir que pelo menos 2 nasceram no mesmo mês e com a mesma

letra inicial do nome?1. JANEIRO2. FEVEREIRO3. MARÇO4. ABRIL5. MAIO6. JUNHO7. JULHO8. AGOSTO9. SETEMBRO10. OUTUBRO11. NOVEMBRO12. DEZEMBRO

QRSTUVWXYZ

• No pior caso, se tivermos 26*12=312 pessoas em todos os meses do ano,

• portanto, se adicionarmos mais uma sempre haverá alguma outra pessoa que nasceu no mesmo mês e seu nome tem a mesma letra inicial.

Resposta312 + 1 = 313

ABCDEFGHIJKLM

Casa dos pombos


6) Entre 100 pessoas quantas pelo menos nasceram no mesmo mês? • Eu vou dividir 100 por 12 pra

ver quantos grupos de 12 certinho eu consigo formar

• Depois percebo que da 8,333333?

RespostaFunção teto de: 8,333 = 9

Mas Rafael Acevedo e João Pedro Existem...


Mas Rafael e João Existem...


Na cabeça deles, a resposta era 8 e isso fez com que os dois ficassem no meu pé depois da aula. Tô mentindo? eheheh

• Vamo FINGIR que eles estão certos e imagina que a resposta é 8 beleza?

?• Multiplica ai 8 por 12, da quanto

• 96 né? Mas são 100 pessoas. Aonde vão parar aos outras 4?



É só imaginar que já tem 12 grupos com 8 pessoas fechados ta ligado?

• E as 4 que estão perambulando por ai?

janeiro

8 pessoas

fevereiro

8 pessoas

março

8 pessoas

abril

8 pessoas

maio

8 pessoas

junho

8 pessoas

julho

8 pessoas

agosto

8 pessoas

setembro

8 pessoas

outubro

8 pessoas

novembro

8 pessoas

dezembro

8 pessoas

• Elas vão ter que entrar em algum mês desse ai.• Vamo colocar cada uma em um mês diferente.

+1 +1

+1 +1



É só imaginar que já tem 12 grupos com 8 pessoas fechados ta ligado?

janeiro

8 pessoas

fevereiro

8 pessoas

março

8 pessoas

abril

8 pessoas

maio

8 pessoas

junho

8 pessoas

julho

8 pessoas

agosto

8 pessoas

setembro

8 pessoas

outubro

8 pessoas

novembro

8 pessoas

dezembro

8 pessoas

+1 +1

+1 +1

Essas 4 pessoas a mais são justamente a parte decimal do 8,333 sacaram?


Aritmética Modular!



Dizemos que a ≡ b(mod m) se e somente se a mod m = b mod m.

16 mod 5

7 ≡ 2(mod 5)



10) Indique o inverso de: a) 4 mod 9 b) 3 mod 5

c) 7 mod 17


Teorema Chinês...

Teorema Chinês!


11) Indique as soluções para os seguintes sistemas

a) X ≡ 3 (mod 9) X ≡ 4 (mod 7) X ≡ 2 (mod 5)

Teorema Chinês!


X ≡ a1 (mod m1)

X ≡ a2 (mod m2)

X ≡ a3 (mod m3)

M1.Y1 ≡ 1(mod m1)M2.Y2 ≡ 1(mod m2)M3.Y3 ≡ 1(mod m3)

M = m1 X m2 X m3

Mk = M/mk

X = a3 . M1. Y1 + a2.M2.Y2 + a3.M3.Y3(mod M)

Teorema Chinês!


LOCALIZANDO OS VALORES DAS VARIÁVEIS NO SISTEMA:a) X ≡ 3 (mod 9) X ≡ 4 (mod 7) X ≡ 2 (mod 5)

M1 = m2.m3 = 35M2 = m1.m3 = 45M3 = m2.m1 = 63M = m1 X m2 X m3

M = 315

X = a1 . M1. Y1 + a2.M2.Y2 + a3.M3.Y3(mod M)

a1 = 3

a2 = 4

a3 = 2

m1 = 9

m2 = 7

m3 = 5

Teorema Chinês!


35.Y1 ≡ 1(mod 9)Primeiro veja qual o numero Z, tal que Z é o RESTO da divisão de 35 por 9

nesse caso Z = 8(8) .Y1 ≡ 1(mod 9)

9 = 8.1 + 11= 9 – 1.8

O INVERSO NÃO PODE SER UM NUMERO NEGATIVO. PORTANTO MESMO EU TENDO ACHADO (-1), PRA O NUMERO FICAR POSITIVO EU SOMO 9..... O INVERSO

NESSE CASO VAI SER:

Y1 = 8

SÓ FALTAM OS INVERSOS

35.Y1 ≡ 1(mod 9)45.Y2 ≡ 1(mod 7)63.Y3 ≡ 1(mod5)

M1.Y1 ≡ 1(mod m1)

Teorema Chinês!


63.Y3 ≡ 1(mod5)Primeiro veja qual o numero Z, tal que Z é o RESTO da divisão de 63 por 5nesse caso Z = 3

(3) .Y2 ≡ 1(mod 5)5 = 3.1 + 2 2 = 5 -1.3 (equação 1)3 = 2.1 + 1 1 = 3 -1.2 (equação 2)Substituindo a equação1 na 2 temos:

1 = 3 – 1.[5 -1.3]1 = 3 -1.5 +1.31= -1.5 + 2.3OBSERVE: o resultado já é positivo, logo eu não somo mais nada e esse já é o meu inverso

Y3 = 2

M3.Y3 ≡ 1(mod m3)

Teorema Chinês!


X = a1 . M1. Y1 + a2.M2.Y2 + a3.M3.Y3(mod M)X = {3 . 35. 8 + 4.45.5 + 2.63.2}(mod 315)X = 840+ 900 + 252(mod 315)X = 1992(mod 315)X = 102

a1 = 3 a2 = 4 a3 = 2

M1 = 35 M2 = 45 M3 = 63

M = 315Y1 = 8 Y2 = 5 Y3 = 2

Agora que temos todos os valores necessários, podemos aplicar na fórmula:

Teorema Chinês!


X ≡ 5 (mod 11) X ≡ 3 (mod 7) X ≡ 2 (mod 3)

Crescimento de Função!




A letra c denota uma

constante qualquer

NOTAÇÃO NOMEO(xx) ordem exponencialO(x!) Ordem fatorialO(cx) ordem exponencialO(xc) Ordem polinomialO(x · log x) ordem linear-logarítmica

O(x) ordem linearO(log x) ordem logarítmicaO(1) ordem constante

Abaixo há uma lista de classes de funções que são bastante utilizadas para análise de algoritmos, por ordem decrescente de crescimento de funções.



PROPRIEDADES:



n!2n

n2

n log nnlog n1

1 <= log n <= n <= n log n <= n2 <= 2n <= n! <= nn

O resto é derivada deles...



Retire todas as Constantes

f(x): 3x2 + 9f(x): x2

O(x2)

Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente.

g(x) = 3x2 + 70x5

= x2 + x5 = x5

reduzir os expoentes...

h(x) = 3x2 + 70x5 + 10 x12/x4

= x2 + x5 + x12/x4

= x2 + x5 + x8 = x8

O(x8)

ampliar os expoentes...

r(x) = 3x2 + 70x5 + 5(x6 . x4)

r(x) = x2 + x5 + (x6 . x4) = x2 + x5 + (x10) = (x10)

O(x10)

O(x5 )



Outro exemplo.... + (=

O() = O()

Mas se ele pedisse o valor de a para O()Ai você arredondaria pra cima

O() = O() =

Arredondando...O()O()

a = 4



Outro exemplo....=

Vejam: nesse caso, sabemos que ganha de x!Mas a resposta vai ser

O(.)Por que a gente não pode eliminar um membro de um produto, só se for

soma que a gente desconsidera, ou se o membro for uma constante..

Mas se ele pedisse o valor de a para O()?A gente não pediria... Essas funções são as maiores, como a gente ia

chegar em X elevado a alguma coisa? Certo?



Ai tu pode se perguntar: e se a equação for um produto bem grande ?Não simplifica nada... Se for um produto NÃO MEXAM NELE Exemplo:

O big-O disso é:

O()



Outro exemplo....Quem ganha?

Quem cresce mais rápido é quem tem o coeficiente que cresce mais rápido..No caso a resposta seria:

O



o BIG–O é pra estimar o tempo que um algoritmo leva pra ser realizado..

Essas equações que vocês veem, é como se fosse a “soma dos tempos”. E não faz sentido aparecer tempo

negativo na equação...


Tem mais ó...

A questão diz que f e g são sobrejetoras, e pergunta se fog também é!

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