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5/11/2018 Paper Filtros Poly - slidepdf.com

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Banco de Filtros Coseno Modulado

Implementacion polifasica

22 de noviembre de 2006

Los banco de filtros coseno modulados son un caso particular de banco de filtros de descom-posicion y recontruccion de la una senal. La idea general es descomponer una senal en variassenales, cada una de ellas conteniendo solo una subbanda de frecuencia de la senal original demodo que luego sea posible volver a componer la senal a partir de un procesamiento y sumade cada una de las bandas. Al separar una senal de esa manera se persigue el objetivo de hacerun procesamiento diferente sobre cada banda antes de volver a reconstruir la senal. Un ejemploes el caso de la norma MPEG-1 para audio, donde el procesamiento consiste en cuantizar cadauna de las senales de las bandas por separado, de acuerdo a ciertos criterios.

Este tipo de descomposicion sigue el esquema de la figura siguiente:

Figura 1: Esquema de descomposicion - reconstruccion.

El banco de filtros de analisis divide la senal x(n) en varias senales xk(n) mediante un filtradocon cada uno de los filtros H k(z), cuya respuesta en frecuencia puede ser de alguna de lasformas observadas en la figura inferior: con solapamiento marginal, sin solapamiento, o direc-tamente con un solapamiento apreciable. Luego de un cierto procesamiento, cada senal xk(n)es convertida en una senal yk(n) las cuales reconstruyen una senal luego de ser pasadas por un

banco de filtros F k(z) y sumadas. Si yk(n) = xk(n), es decir, no se realizara ningun tipo deprocesamiento, se espera que x(n) = x(n).



1. Banco de filtros de DFT uniforme

La transformada de Fourier de corto tiempo (STFT, Short Time Fourier Transform), es unejemplo de este tipo de bancos de filtros. Si bien este tema ya fue cubierto en la materia, se

estudio en otro contexto, donde el enfasis no estaba puesto en la descomposicion para proce-samiento seguido de reconstruccion, sino que solo era vista como una herramienta de an alisiso descripcion-visualizacion. Sin embargo, en el tema de bancos de filtros de descomposici on-reconstruccion, la STFT es la base que nos permitira pensar el modelo mas elemental de bancosde filtros de reconstruccion y muchos de los conceptos basicos asociados a este tema, por locual lo utilizaremos como base de la explicacion y como inicio de la descripcion de la notacion.

Habitualmente solemos escribir la STFT en esta forma:

xk(n) =∞

m=−∞

x(n −m) w(m) e− j2π kmM

donde hemos cambiado la notacion X k(n) (con mayuscula) por xk(n) (con minuscula), parahacer enfasis en que estas senales son senales del tiempo, obtenidas mediante un filtrado dex(n). Ademas en esta expresion la ventana w(m) es una funcion general. El banco de filtros deDFT uniforme se da para el caso de que w(n) = 1 para n = 0, . . . , M − 1, y cero para el resto,es decir para una ventana rectangular de ancho M :

xk(n) =M −1m=0

x(n − m) e− j2π kmM

Si llamamos k = M − k, y llamamos sm(n) = x(n −m),

x(M −k)(n) =M −1m=0

sm(n) e− j2π (M −k

)mM

x(M −k)(n) =M −1m=0

sm(n) e j2π kmM

Al cambiar M − k por k lo unico que estamos haciendo es cambiar el orden de enumeracion delas senales, que por motivos que seran evidentes mas adelante es mejor de este modo. De modoque de aquı en adelante consideraremos este orden como el definitivo de modo que

xk(n) =M −1m=0

sm(n) e j2π kmM

La ecuacion anterior corresponde en cada tiempo a la expresion de la k−esima componentede la IDFT del vector [s0(n)s1(n) . . . s(M −1)(n)], salvo por un factor de escala. De modo que elconjunto de senales xk(n) puede obtenerse formando, para cada instante n el vector compuestopor cada una de las M senales del instante n, [s0(n)s1(n) . . . s(M −1)(n)] y tomando su IDFTmultiplicada por M . Esta estructura puede representarse como se muestra en la siguiente figura,donde hemos representado con un bloque denominado W∗ la operacion de multiplicacion del

vector de entrada, [s0(n)s1(n) . . . s(M −1)(n)] por la matriz W∗

, cuyos elementos son e j 2π km

M =W kmM



z−1

z−1

s2(n)

.

.

.

sM −1(n)

x0(n)

z−1

x(n)

s1(n)

s0(n)

x2(n)

x1(n)

xM −1(n)

W∗

Figura 2: Banco de descomposicion DFT uniforme

Para encontrar la forma de los filtros H k(z) de la forma que se muestran en la descomposicionde la figura 1, podemos plantear cual es la transformada Z de xk(n):

X k(z) =M −1m=0

S m(z) e j2π kmM

=M −1m=0

X (z) z−m e j2π kmM

=M −1m=0

X (z)

z e− j2π kM

−m

= X (z)M −1m=0

z e− j

2π kM

−m

= X (z) H k(z)

Pero la transformada Z de la ventana rectangular es

H 0(z) =M −1

m=0

z−m

⇒ H k(z) =M −1m=0

z e− j

2π kmM

−m

= H 0

z e− j

2π kM

En terminos de la transformada Z vemos que cada filtro H k(z) es obtenido a partir del filtro querepresenta la ventana rectangular, girado en un angulo −2π k

M . En terminos de la transformada

de Fourier vemos que el filtro H 0(Ω) es una sinc periodica con su lobulo principal centrado encero, mientras que los filtros H k(Ω) corresponden a versiones desplazadas en −2π k

M de dicho

espectro.Para encontrar la forma de los filtros de reconstruccion veamos que x(n) = s0(n), pero

tambien x(n) = s1(n + 1) = s2(n + 2) = . . ., y por lo tanto

x(n) =1

M

M −1m=0

sm(n + m)



y, en terminos de la transformada Z ,

X (z) =1

M

M −1

m=0

S m(z)zm

Pero si las senales xk(n) pueden ser obtenidas mediante una IDFT de las senales sm(n) (salvofactor de escala), entonces las senales sm(n) pueden obtenerse haciendo una DFT del vectorxk(n):

sm(n) = M M −1m=0

xk(n) e− j2π kmM

Usando este hecho en la ecuacion anterior

X (z) =M −1

m=0

M −1

k=0

X k(z) e− j2π kmM zm

=M −1m=0

X k(z)M −1k=0

z e− j

2π kmM

m

=M −1m=0

X k(z) F k(z)

Y analogamento a lo que se vio con el filtro de descomposicion H k(z), el filtro F k(z) tambienpodra ser expresado en terminos de H 0(z), si vemos que:

H 0

z e− j2π kM

=

M −1m=0

z e− j

2π kM −m

=M −1m=0

z e− j

2π kM

m z e− j

2π kM

−(M −1)

donde se hizo un cambio de variables m = M −1−m. De modo que finalmente tendremos que

F k(z) = H 0

z e− j

2π kM

zM −1 e j

2π kM

(donde se debe tener en cuenta que e j2π kM

M = 1). Esto implica que la descomposicion de la senal

puede hacerse a partir de un unico filtro H 0(z) desplazado en frecuencia, y la reconstruccionse realiza con los mismos filtros, multiplicados por constantes adecuadas y retardado en N − 1muestras.

El hecho de que la descomposicion y composicion de la senal en bandas pueda ser hecha me-diante estas operaciones es obvio si pensamos al sistema como se muestra en la figura siguiente,ya que las operaciones de DFT y de IDFT son perfectamente reversibles. Sin embargo no es tanobvio si pensamos que la implementacion de un banco de filtros “pasabanda”de esta naturaleza,con una superposicion tan importante entre bandas, puede dar lugar a una reconstrucci on per-fecta de la senal nuevamente. Cabrıa preguntarse si es posible usar este principio para construirun banco de filtros mas general, donde H 0(z) pueda ser elegido no como la ventana rectangular

sino de alguna otra manera, por ejemplo para lograr una separacion mejor entre bandas dedistintas frecuencias. La respuesta a esta pregunta es sı, y las ideas principales de este principiogeneral seran explicadas mas adelante en la seccion sobre descomposicion QMF.



z−1

z−1

s2(n)

sM −1(n)

x0(n)

x2(n)

x1(n)

xM −1(n)

+

+

+

.

.

....

z−1

x(n)

s1(n)

s0(n)

W∗

W

x(n)z−1

z−1

z−1

2. Sistemas de multiples velocidades (multirate systems)y representacion polifasica

Los sistemas de descomposicion subbanda tienen muchas ventajas desde el punto de vistadel trabajo sobre las senales, como por ejemplo para codificacion de una senal de audio. Sinembargo debe notarse que desde un punto de vista de cantidad de calculos el sistema incrementapor M la cantidad de operaciones que haya que realizar, como tambien la cantidad de memorianecesaria para guardar las subsenales. Por eso es logico pensar si no sera posible hacer algunahorro de memoria o de procesamiento, para que estos sistemas realmente sean utilizables.

La primera observacion que se puede hacer si pensamos en nuestro banco de filtros de DFTuniforme es que las M senales xk(n), pensado como un vector de dimension M variable en eltiempo, equivalen exactamente al vector de las M senales sm(n) en cada tiempo, porque sonla IDFT de ese vector. Pero el vector [s0(n)s1(n) . . . s(M −1)(n)] no es mas que una ventana delas ultimas M muestras de la senal x(n), moviendose de a una muestra por tiempo. Entonceses inmediato darse cuenta que para reconstruir completamente la senal x(n) no serıa necesarioguardar las M senales xk(n) para cada instante de tiempo n sino solamente una vez cada M muestras. Esto sugiere la idea de realizar el siguiente sistema, m as economico en termino dealmacenamiento de las senales de las subbandas, denominado sistema de m´ ultiples velocidades

o multirate systems.

↑ M

↑ M

↑ M

↑ M ↓ M

↓ M

↓ M

↓ M

.

.

.

x0(n)

.

.

.

+

+

.

.

.

+

x(n)

x(n)

x1(n)

x2(n)

H 1(z)

H 0(z)

H 2(z)

H M −1(z)

xM −1(n)

F 2(z)

F 1(z)

F 0(z)

F M −1(z)

yM −1(n)

y0(n)

y1(n)

y2(n)

Sin embargo es tambien evidente que si la idea es obtener una muestra de cada M en cada



una de las bandas, tanto los filtros de descomposicion H k(z) como los de reconstruccion F k(z)estan realizando procesamiento demas, ya que en el caso de la descomposicion solo 1 muestrade cada M es util y el resto se descartan. En el extremo de reconstruccion es tambien evidentever que las entradas de los filtros son cero M − 1 muestras de cada M , lo cual quiere decir que

la entrada a cada filtro no presenta ninguna entrada casi todo el tiempo. Este tipo de problemapuede atacarse utilizando la respresentacion polifasica de los filtros.

2.1. Representacion polifasica

Para explicar la idea basica, cosideremos el filtro generico H (z) =

∞

n=−∞ h(n) z−n. Siseparamos los coeficientes pares de los impares de h(n) se podrıa escribir H (z) de la siguientemanera

H (z) =∞

n=−∞

h(2n) z−2n + z−1∞

n=−∞

h(2n + 1) z−2n

y llamando

E 0(z) =∞

n=−∞

h(2n) z−n, E 1(z) =∞

n=−∞

h(2n + 1) z−n

podremos escribir H (z) como

H (z) = E 0(z2) + z−1E 1(z2)

Esta idea puede ser extendida a una separacion de un filtro en M filtros tambien, donde es facilde ver que

H (z) =

M −1l=0

z−l E l(zM ) (1)

donde hemos llamado

E l(z) =∞

n=−∞

h(M n + l) z−n

Notese que de este modo hemos dividido el filtro H (z), el cual arroja salidas sobre todoslos instantes n, en M filtros E l(zM ) cuya respuesta impulsiva es cero para todo n salvo unavez de cada M puntos. Es facil darse cuenta que si la siguiente etapa despues del filtrado esun submuestreo en M , es posible obtener alguna simplificacion adicional en terminos de las

operaciones realizadas. Para ello es posible utilizar una de las identidades de Noble, que porotro lado son faciles de demostrar. La primera identidad de Noble plantea la equivalencia entrelos siguientes sistemas:

↓ M ↓ M G(z) y(n)x(n)G(zM )

x(n) y(n)

La aplicacion de este principio a nuestro banco de filtros de descomposici on de la DFTuniforme, puede entenderse si escribimos la descomposicion polifasica del filtro H k(z)

H k(z) = H 0

z e− j

2π kM

=

M −

1l=0

z−1e j

2π kM

l

E l(zM )



ya que

z e− j2π kM

M

= zM . La salida de cada uno de los filtros sera X k(z)

X k(z) = H k(z) X (z) =M −1

l=0

z−l E l(zM ) X (z) e j2π klM

Pero de aquı se puede ver que el termino entre parentesis es la transformada Z de sl(n), por locual podemos redibujar la figura 2 del siguiente modo:

E 1(zM )

E 2(zM )

E M −1(zM )

E 0(zM )

.

.

.

x0(n)

x2(n)

x1(n)

xM −1(n)

W∗

z−1

x(n)

z−1

z−1

s0(n)

s1(n)

s2(n)

sM −1(n)

Figura 3: Representacion polifasica del filtro de descomposicion

Y si se compara esta figura con la figura 2 es inmediato ver que E l(z) = 1, ∀l = 0, . . . , M − 1.Es decir, el(n) = δ(n) para todos los filtros, que coincide con la representaci on polifasica delfiltro H 0(z). Por lo tanto, utilizando la identidad de Noble, se puede ver que el banco de filtrode descomposicion con submuestreo en M puede ser representado de este modo:

↓ M

↓ M

↓ M

↓ M

E 0(z)

E 1(z)

E 2(z)

E M −1(z)

W∗

.

.

.

z−1

z−1

z−1

x(n)

s2(Mn)

s1(Mn)

s0(Mn)

x2(Mn)

x1(Mn)

x0(Mn)

xM −1(Mn)sM −1(Mn)

Esto no representa un gran avance si consideramos la simpleza del caso, pero como severa mas adelante este principio puede ser aplicado para otros casos de filtros aparte del casoespecıfico de la DFT uniforme, donde los filtros E l(z) tienen una forma trivial, y en esos casos la

representacion polifasica sı representara un gran ahorro en cantidad de operaciones realizadas.



Veamos por ultimo como utilizar la representacion polifasica para el banco de filtros dereconstruccion. Para ello veamos que una variacion de la ecuacion 1 serıa escribir la descompo-sicion del filtro como

H (z) =M −1

l=0

z−(M −1−l) Rl(zM )

donde los Rl(z) son los mismos E l(z), tomados en otro orden, es decir Rl(z) = E M −1−l(z).Esta descomposicion se denomina de Tipo 2, mientras que la representaci on correspondiente ala ecuacion 1 se denomina de Tipo 1. Es posible demostrar que estos filtros tambien puedenusarse en forma eficiente para calcular la reconstruccion de la senal. Para ello, partamos de ladescomposicion del filtro F k(z)

F k(z) = H 0

z e− j

2π kM

e j

2π kM zM −1

=

M −1l=0

z−1

e j 2π k

M (M −1−l)

Rl(zM

) e j 2π k

M

zM −1

=M −1l=0

zle− j2π klM Rl(zM )

Para reconstruir la senal X (z) tenemos que hacer la sumatoria de todos los productos F k(z) X k(z):

X (z) =M −1k=0

F k(z) X k(z)

=

M −1k=0

M −1l=0

zl Rl(zM ) X k(z) e− j 2π klM

=M −1l=0

zl Rl(zM )

M −1k=0

X k(z) e− j2π klM

Pero el termino entre parentesis no es otra cosa que la senal 1M

S l(z) = 1M

X (z) z−l, es decir que

X (z) =1

M

M −1

l=0

zl Rl(zM )S l(z)

X (z) =1

M

M −1l=0

zl Rl(zM )X (z) z−l

de donde deducimos que Rl(zM ) = 1, o lo que es lo mismo, rl(n) = δ(n), que coincide con larepresentacion tipo 2 del filtro H 0(z). De modo que utilizando la segunda identidad de Noble,que representaremos en la siguiente figura es posible dibujar el sistema completo del siguiente

↑ M ↑ M x(n) y(n)

G(z) y(n)x(n) G(zM )

modo:



↓M

↓M

↓M

↓M

W∗

R0(z)

R1(z)

RM −1(z)

↑M

↑M

↑M

↑M

E 0(z)

E 1(z)

E 2(z)

E M −1(z)

R2(z)

.

.

.

+

+

+

.

.

.

x2(Mn)

x1(Mn)

x0(Mn)

sM −1(Mn)

x(n)

z−1

z−1

z−1

W

xM −1(Mn)

s2(Mn)

s1(Mn)

s0(Mn)

z−1

z−1

z−1

sM −1(Mn)x(n+M − 1)

s2(Mn)

s1(Mn)

s0(Mn)

En esta figura es interesante notar que la reconstruccion se realiza con interpoladores que estantodos sincronizados pero un delay va acomodando las senales de tal modo que aparezcan en elorden que tiene que ir y de este modo componer la ventana de x(n) de longitud M .

3. Filtros espejo en cuadratura (Quadrature Mirror Fil-ters, QMF)

Como ya hemos mencionado, es interesante plantear si se podrıa encontrar un sistema dedescomposicion-reconstruccion con el mismo principio que usa el banco de filtros DFT uniforme,pero con filtros derivados de otro prototipo (mejor en cierto sentido) que la ventana rectangular.En este apartado veremos una respuesta posible a esta pregunta, mediante los filtros espejo encuadratura o QMF.

Estos filtros hacen la descomposicion de la senal en dos bandas, es decir en bajas y altasfrecuencias, pero es facilmente extrapolable a cantidades de bandas potencia de 2. El esquemaes como se ve en la figura siguiente:

En esta figura se muestra que los filtros de analisis, H 0(z) y H 1(z) van seguidos de los decima-dores, y que la reconstruccion se realiza primero interpolando y luego pasando las senales porlos filtros de reconstruccion F 0(z) y F 1(z) y sumando sus salidas. Este esquema no representala estructura optima que se vio en la ultima seccion, pero es mejor partir para las deduccionesde la estructura basica y luego optimizar.

3.1. Aliasing

El objetivo que nos planteamos con este desarrollo es mejorar la respuesta en frecuencia delos filtros de descomposicion, o por lo menos, obtener cierto control sobre ellos. Sin embargo, por

mas abrupta que sea la forma que elijamos los filtros, no podremos nunca implementar un filtroideal, por lo cual se asume que cierto grado de aliasing en la descomposicion sera inevitable. Elobjetivo es compensar ese aliasing en todo el resto del sistema como veremos a continuacion.



Usando la notacion de las secciones precedentes podemos decir que

X k(z) = H k(z) X (z), k = 0, 1

La transformada Z de las senales decimadas vk(n) seran

V k(z) =1

2

X k

z12

+ X k

−z

12

, k = 0, 1

Este segundo termino representa la senal X k(z) girada 180 grados con respecto a su posicionoriginal. Por lo tanto representa el aliasing que genera el decimador. La transformada Z deY k(z) es V (z2), de modo que,

Y k(z) = V k(z2) =1

2[X k (z) + X k (−z)] ,

=1

2[H k(z)X (z) + H k(−z)X (−z)] , k = 0, 1

Como la senal reconstruıda es

X (z) = F 0(z)Y 0(z) + F 1(z)Y 1(z)

finalmente podremos escribir

X (z) =1

2[H 0(z)F 0(z) + H 1(z)F 1(z)] X (z)

+1

2[H 0(−z)F 0(z) + H 1(−z)F 1(z)] X (−z) (2)

De esta ecuacion vemos que el primer sumando representa la senal deseada, mientras que el

otro sumando representa un giro de la transformada Z de la senal, o sea, aliasing. Por lo tantovemos que para lograr aliasing cero una posible elecci on es

F 0(z) = H 1(−z), F 1(z) = −H 0(−z)

Entonces, independientemente de la forma de los filtros H 0(z) y H 1(z), si se eligen los filtrosde reconstruccion de este modo, tendremos que el aliasing se cancela completamente.

3.2. Distorsion de amplitud y fase

Una manera mas compacta y tambien descriptiva de escribir la ecuacion 2 serıa:

X (z) = T (z) X (z) + A(z) X (−z)

donde A(z) se denomina transferencia de aliasing , que se puede hacer cero mediante una ade-cuada eleccion de los filtros de reconstruccion como ya vimos; y T (z) es lo que se demonimadistorsi´ on del sistema. Supongamos que A(z) = 0, entonces

X (z) = T (z) X (z)

Esto indica que para que la salida reconstruıda pueda ser igual a la entrada X (z) es necesario queT (z) = 1. Esta consideracion puede ser demasiado restrictiva, y podemos admitir por ejemploque un sistema de reconstruccion perfecta pueda generar un retardo en la senal reconstruıdacon respecto a la senal original, o un cambio de amplitud. Entonces, si decimos que T (Ω) =|T (Ω)| e j ϕ(Ω), entonces el sistema sera de reconstruccion perfecta si se cumple que

|T (z)| = C, ϕ(Ω) = a + b Ω



3.3. Un sistema QMF simple sin aliasing

Los primeros bancos QMF cumplıan ademas la condicion siguiente

H 1(z) = H 0(−z)

Esto significa que la respuesta en frecuencia de H 1(Ω) es el espejo de la respuesta en frecuencia deH 0(Ω), reflejado con respecto a π/2, que es la frecuencia de cuadratura (2π/4) y de allı el nombrede filtros espejo en cuadratura. Debe observarse que de este modo estamos cumpliendo que loscuatro filtros que forman la descomposicion-reconstruccion pueden ser todos ellos generados apartir de un unico filtro H 0(z). De este modo es posible concentrarse en el diseno de un solofiltro, y no cuatro. Ademas, si H 0(z) es un buen pasabajos, H 1(z) sera un buen pasaaltos.

3.4. Representacion polifasica

Veamos ahora la implementacion polifasica de este tipo de filtros. En este caso esta imple-mentacion no solo sera util desde un punto de vista operativo sino que nos ayudara a comprendermejor las derivaciones del procedimiento planteado.

Para el filtro H 0(z) podremos escribir:

H 0(z) = E 0(z2) + z−1E 1(z2)

Como H 1(z) = H 0(−z) tendremos que

H 1(z) = E 0(z2) − z−1E 1(z2)

Y del mismo modo es posible demostrar que

F 1(z) = −H 1(z) = −E 0(z2) + z−1E 1(z2)

Es posible ademas dibujar la estructura resultante del siguiente modo

y1(n)x1(n)

x0(n) y0(n)E 1(z

2)

E 0(z2

)

z−1

x(n)

E 0(z2)

E 1(z2)

x(n)

z−1

donde vemos la similitud de esta implementacion con la de la figura 3, donde en este caso lamatriz W ∗ es de 2 por 2.

Utilicemos la representacion polifasica para escribir ahora la transferencia de distorsion:

T (z) =1

2[H 0(z)F 0(z) + H 1(z)F 1(z)]

=1

2[H 0(z)H 0(z) − H 1(z)H 1(z)]

y reemplazando los filtros H 0(z) y H 1(z) en terminos de su descomposicion polifasica, tendremos

T (z) = 2z−1E 0(z2)E 1(z2)



Esta expresion es valida para cualquier implementacion QMF de este tipo, no importa si el filtroH 0(z) es FIR o IIR. Algunas importantes conclusiones se pueden ver de la ecuaci on anterior.

Por ejemplo, si H 0(z) es FIR, entonces E 0(z), E 1(z) y en consecuencia T (z) tambien lo seran.Pero de la ecuacion anterior es posible afirmar que para que el sistema sea de reconstruccion

perfecta, la unica posibilidad es que E 0(z), E 1(z) sean iguales a un retardo. Pero esto implicaque la respuesta impulsiva del filtro H 0(z) tiene solo dos valores distintos de cero, lo cual noposibilita un diseno de filtro de buena respuesta en frecuencia. Ademas de lo dicho anteriormentededucimos que si el filtro H 0(z) es FIR la unica estructura posible para lograr reconstruccionperfecta es

H 0(z) = k0z−2n0 + k1z−2n1+1

Podemos pensar en otra eleccion para E 0(z) y E 1(z) tal conduzca igualmente a una T (z) dereconstruccion perfecta, pero en ese caso deberıa ser E 0(z) = 1/E 1(z), y por lo tanto uno delos dos (o ambos) serıan filtros IIR.

Entonces, este tipo de descomposicion que da lugar a sistemas de reconstruccion perfecta,

donde no hay distorsion de aliasing, y la entrada es igual a la salida, salvo factor de amplificaci ono retardo temporal, tienen un costo: los sistemas asi generados o bien son FIR, pero con unpobre desempeno en frecuencia, o bien son IIR. Los filtros FIR siempre son preferidos en lasimplementaciones, porque es posible disenarlos facilmente para que sean de fase lineal. Ademaslos transitorios de un filtro FIR son perfectamente controlables, en cambio en uno IIR no sepuede decir con certeza cuanto tiempo hay que esperar para que la salida sea cero (a un niveldespreciable, digamos), y ademas esto depende de la amplitud y naturaleza de l entrada. Todosestos inconvenientes hacen que la implementacion FIR de filtros sea preferible. Por lo tantoexiste motivacion suficiente como para pensar alternativas a las implementaciones QMF.

4. Filtros coseno modulados

En la seccion precedente estudiamos una clase de descomposicion que daba lugar a sistemasde reconstruccion perfecta, es decir, no habıa distorsion de aliasing, y la entrada era igual ala salida, salvo factor de amplificacion o retardo temporal. Los filtros coseno modulados sonrelajaciones de las condiciones anteriores. Este tipo de filtros se denominan bancos de filtrospseudo QMF , que aprovechan la relajacion de las condiciones para obtener ventajas desde elpunto de vista de la implementacion.

4.1. Modulacion exponencial y por cosenosCuando estudiamos los bancos de filtros DFT uniforme, vimos que el banco de filtros de

descomposicion H k(z) se generaba a partir de un unico filtro H 0(z) mediante un desplazamiento

en frecuencia H k(z) = H 0(z e− j2πkM ). Sin embargo debe notarse que en el tiempo esto equivale a

que

hk(n) = h0(n) e j2πknM

Esto significa que aun cuando h0(n) sea real, los filtros hk(z) tienen coeficientes complejos.Para evitar este hecho, los bancos de filtros coseno modulados realizan una modulaci on concosenos en lugar de exponenciales. La idea es sencilla: generemos 2M filtros exponenciales ycombinemoslos de una forma que sea equivalente a modular con un coseno. Este banco de filtrosde modulacion exponencial tendran la siguiente forma esquematica:



Q0(Ω) Q1(Ω) Q2(Ω)

−

2π

2M

Q2M −1(Ω)

π

2M

2π

2M

. . .. . .

Ω

donde se ha elegido el filtro prototipo Q0(z) = H 0(z e jπ

2M ), para algun H 0(z) pasabajos deancho de banda π/2M ya que esto posibilita que todas las combinaciones de los filtros con suimagen de frecuencia negativa tengan el mismo ancho de banda.

Definiendo entonces

U k(z) = ckQk(z), V k(z) = c∗kQ2M −1−k(z)

podremos definir el filtro H k(z) como

H k(z) = akU k(z) + a∗kV k(z), 0 ≤ k ≤ M − 1

donde las constantes ak y ck tienen magnitud 1, cuyo proposito se entendera luego.

4.2. Cancelacion de alias

Tambien podemos escribir la forma de los filtros de reconstruccion como modulaciones porcosenos del filtro prototipo, del siguiente modo

F k(z) = bkU k(z) + b∗kV k(z), 0 ≤ k ≤ M − 1

La eleccion de dichos filtros en el caso QMF se hizo pensando en que cancele exactamente lascomponentes de aliasing que surgen del submuestreo. En el caso de dos bandas como fue elejemplo simple que vimos de QMF, el aliasing venıa del termino que contenıa X (−z). En uncaso de submuestreo-sobremuestreo por M , hay aliasing para todos los sumandos que contienenX (z e j

2πlM ), con l = 0, lo cual complicarıa notablemente el diseno de los F k(z). Pero si considera-

mos que la atenuacion de F k(z) es suficientemente alta, podemos simplificar el caso y considerarque solo hay aliasing debido a im´ agenes de X k(z) vecinas. Esto da origen a la denominacion deestos filtros como de cancelaci´ on de aliasing aproximado. En la siguiente figura se muestra un

poco mas desarrollada la idea.

U 1(Ω e− j

2π(M −2)M ) U 1(Ω e

− j2π(M −1)

M ) U 1(Ω) U 1(Ω e− j 2π

M )

−

2π2M

π2M

2π2M

. . .

. . .

Ω

En esta figura se muestra las imagenes de un filtro U k(z) (para k = 1) seguido del submuestreopor M y el sobremuestreo por el mismo factor, y en la figura siguiente lo mismo para el filtroV k(z).



V 1(Ω e− j 2π(M −1)

M ) V 1(Ω) V 1(Ω e− j 2πM ) V 1(Ω e−

j 2π 2M )

−

2π2M

π2M

2π2M

. . . . . .

Ω

Las figuras anteriores corresponderıan a una entrada x(n) = δ(n). Si la entrada es otra, hay quepensar que cada una de estas imagenes viene multiplicada por el espectro de X (Ω) desplazado enforma correspondiente. Sumando las salidas de ambos filtros (multiplicadas por las constantesak y a∗k respectivamente, tendremos la salida total de H k(z) submuestreada y sobremuestreadapor M . Como el submuestreo y sobremuestreo es por M , ya que el ancho de banda total de

H k(z) es el doble del de U k(z), no hay aliasing entre U k(z) y sus otras imagenes U k(ze j 2πkM

)(digamos, no son contiguas), pero sı lo hay entre las imagenes de U k(z) con el filtro V k(z). Lomismo se puede ver que sucede para las imagenes del filtro V k(z). Como F k(z) es simplementeun filtro U k(z) (frequencias positivas) mas otro V k(z) (frequencias negativas), multiplicados porlas constantes respectivas, las componentes de aliasing seran para la parte negativa

(akb∗kU k(ze j2πkM )V k(z))X (ze j

2πkM ) + (akb∗kU k(ze j

2π(k+1)M )V k(z))X (ze j

2π(k+1)M )

y ası mismo la salida de F k−1(z) sera

(ak−1b∗k−1U k−1(ze j2π(k−1)

M )V k−1(z))X (ze j2π(k−1)

M ) + (ak−1b∗k−1U k−1(ze j2πkM )V k−1(z))X (ze j

2πkM )

de modo que entre estas dos salidas podrıamos plantear la anulacion del aliasing debido a lacomponente X (ze j

2πkM ), de la siguiente manera

(akb∗kU k(ze j2πkM )V k(z)) + (ak−1b∗k−1U k−1(ze j

2πkM )V k−1(z)) = 0

Utilizando las definiciones de U k(z) y V k(z) y la condicion de que el modulo de ck es 1, se llegaa que el termino se anula si

akb∗k = −ak−1b∗k−1, 1 ≤ k ≤ M − 1

4.3. Cancelacion de la distorsion

Para eliminar la distorsion de amplitud y fase es simple ver que si elegimos el filtro dereconstruccion del siguiente modo

f k(n) = hk(N − n)

o lo que es lo mismoF k(z) = z−N H k(z−1)

podremos escribir la funcion de distorsion

T (z) =1

M

M −1

k=0 F k(z)H k(z)

=z−N

M

M −1k=0

H k(z−1)H k(z)



donde H k(z−1)H k(z) representa en el tiempo hk(−n) ∗ hk(n), que es una funcion par, y por lotanto de fase lineal.

4.4. Fase lineal de U k(z) y V k(z)

Ahora veremos que para que ambas funciones tengan fase lineal debemos imponer condi-ciones sobre ck. Primeramente digamos que debemos elegir el filtro H 0(z) con fase lineal. Paraque ademas H 0(z) sea un pasabajos, debemos exigir que se cumpla

h0(n) = h0(N − n)

Esto significa que la respuesta en frecuencia de este filtro es

H 0(Ω) = e− jΩN 2 H R(Ω)

Es decir, que el filtro H 0(Ω) es igual a un filtro H R(Ω) real, multiplicado por un factor de faselineal. Si N es impar, h0(n) es el desplazamiento en el tiempo de algun filtro de fase cero hR(n),que no es causal poqur es una funcion par, pero que tiene una transformada H R(Ω) real. De laexpresion de U k(z) podemos ver que

U k(z) = ck Qk(z) = ck Q0(ze− j2πk2M )

= ck H 0(ze− j2πk2M e− j

πk

2M )

⇒ U k(Ω) = ck H 0

Ω −

π(2k + 1)

2M

⇒ U k(Ω) = cke− j ΩN

2 e jπ(2k+1)N

4M H R

Ω −π(2k + 1)

2M

de la cual se puede ver que eligiendo ck = e− jπ(2k+1)N

4M logramos que U k(z) tenga la misma faseque H 0(z). Lo mismo vale para V k.

Esto nos habilita a plantear las condiciones sobre bk que nos aseguran que f k(n) = hk(N −n).Se puede demostrar que si bk = ak∗ estas condiciones se cumplen. Y con la determinacion deesta variable quedara solo por definir el valor de ak, pero que de acuerdo a lo anteriormentedicho nos conducira a

ak = ± jak−1

Esta es una determinacion recursiva, de modo que eligiendo alun valor para a0 todo el resto deconstantes quedan determinados. El valor de a0 se elige

a40 = −1

lo que permite que la funcion T (z) sea aproximadamente igual a

T (z) =M −1k−0

U 2k (z) + V 2k (z)

evitando el aliasing en el submuestreo de H 0 y de H M −1.



4.5. Expresiones finales

Combinando todas las constantes encontradas en las expresiones anteriores obtendremos

hk(n) = 2 h0(n)cosπ(2k + 1)

2M (n −

N

2) + θk

f k(n) = 2 h0(n)cos

π(2k + 1)

2M (n −

N

2) − θk

donde θk = (−1)k π

4.

4.6. Explesion polifasica

Por ultimo nos queda ver cual es la expresion polifasica del banco de filtros, que hara que elsistema tenga un orden de operaciones razonable. Para ello pensemos que si el sistema se basaraen las 2M modulaciones del filtro H 0(z), podrıamos implementar la representacion polifasicaque se ve en la figura 3, pero con los filtros E l(z2l), con lo cual obtendrıamos 2M filtros. Perocomo

H k = akckH 0(ze− jπ(2k+1)

2M ) + a∗kc∗kH 0(ze jπ(2k+1)

2M )

desarrollando la expresion polifasica de cada uno de estos filtros como hicimos en la seccion 2obtendremos

H k(z) =2M −1l=0

tklz−nE l(−z2M ), 0 ≤ k ≤ M − 1

donde

tkl = e jπ(2k+1)

2M (l−N

2 )e jθk + e− jπ(2k+1)

2M (l−N

2 )e− jθk

= 2 cos

π(2k + 1)

2M (l −

N

2) + θk

en la cual puede notarse que los elementos tkn son los mismos que modulan a h0(n) para obtenerhk(n).

Si pensamos que los tkl contienen al elemento e j2πkl2M y al e− j

2πkl2M = e j

2π(2M −kl)2M , multiplicados

por constantes, no es difıcil ver que la siguiente realizacion polifasica es posible

E 2(z2M )

E 1(z2M

)

E 0(z2M )

E 2M −1(z2M )

.

.

.

H 0(z)

.

.

.

z−1

z−1

z−1

H 1(z)

H M −1(z)T

donde T es una matriz de 2k × k elementos dados por tkl como se explica mas arriba. Yesta estructura puede ser ventajosamente aprovechada en el caso que se requiera hacer unsubmuestreo ↓ M , como se vio anteriormente.

paper filtros poly

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