MODELAGEM PREDADOR-PRESA PARA UMA CADEIA ALIMENTARCONSIDERANDO UM FATOR DE DECISÃO

Diego M. Ribasa, Julio R. Antunesa, Marcelo J. Silvab e Juliana V. Valériob

aIM, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Av. Athos da Silveira Ramos149, Centro de Tecnologia - Bloco C, Cidade Universitária - Ilha do Fundão, 21941-909, Rio de

Janeiro, RJ, Brasil, http://www.im.ufrj.br

bDCC, Departamento de Ciência da Computação, Instituto de Matemática, Universidade Federal doRio de Janeiro, Avenida Athos da Silveira Ramos 274, Centro de Ciências Matemáticas e Natureza -

Bloco E-2000, Cidade Universitária - Ilha do Fundão, 21941-916, Rio de Janeiro, RJ, Brasil,http://www.dcc.ufrj.br

Palavras Chave:Dinâmica Populacional, Modelos de Lotka-Volterra Generalizados, Três Níveis Tróficos,

Predador-Presa, Fator de Decisão.

Resumo.O objetivo deste trabalho é desenvolver uma modelagem simples o suficiente e com uma

dinâmica qualitativamente satisfatória que relacione a existência de pelo menos três níveis tró-ficos, com uma ou mais populações em cada nível, simulando uma cadeia alimentar fictícia. Omodelo vai munir um jogo educativo e interativo infanto-juvenil com o propósito de estimularo aprendizado ilustrando dinâmicas entre diversas populações. Como a dinâmica tem que serresolvida no tempo do jogo, a simplicidade do modelo é fundamental. A modelagem proposta ébaseada no modelo clássico de Lotka-Volterra, o qual consiste em um sistema de equações quedescreve a dinâmica de dois níveis tróficos, um presa e outro predador, contudo é introduzidoum fator de decisão no nível trófico do meio, o qual responde por uma espécie ter caracterís-ticas somente presa ou somente predador na ausência de um dos outros dois níveis tróficos.Por último, é feita uma recuperação tanto analítica como numérica dos modelos existentes naliteratura, buscando dar melhor corretude a modelagem proposta.

1 INTRODUÇÃO

O termo Dinâmica de Populações, estudado em diversas áreas científicas, usualmente evocano leitor não especialista a ideia de demografia e censo estatístico ou mesmo outras interpre-tações com significados ainda mais distantes daquele empregado na Biomatemática contempo-rânea. O que diferencia a dinâmica populacional da demografia no sentido estatístico são osmeios pelos quais se pretende estabelecer esta descrição.

Em demografia utiliza-se métodos estatísticos alimentados por dados de observações passa-das com o objetivo de fornecer uma distribuição probabilística de cenários futuros. Em estudosecológicos, a dinâmica populacional é definida como o estudo da variação do número ou den-sidade de uma determinada população, podendo ser microscópica ou macroscópica, animais ouvegetais, visando compreender suas interações, crescimento e evolução.

A partir dos dados obtidos, as informações biológicas são transformadas em hipóteses teóri-cas básicas que alimentam conceitualmente um modelo matemático cuja finalidade é descrevera evolução temporal do sistema a partir de cada dado inicial, tendo como objetivo final a des-crição da densidade ou número de indivíduos de uma população ao longo do tempo. É usualdefinir uma população como um grupo de indivíduos de uma determinada espécie.

Tendo como base o modelo clássico proposto por Alfred Lotka, um biofísico ucraniano,em 1925 (Lotka, 1925) e Vito Volterra, matemático italiano, em 1926 (Volterra, 1926) paradois níveis tróficos (nível de nutrição a que pertence uma espécie), procura-se neste trabalhodesenvolver um modelo simples, porém crível, de modo a obter resultados qualitativamenteinteressantes para uma cadeia alimentar (sequência de seres vivos que dependem uns dos outrospara se alimentar) com pelo menos três níveis tróficos.

Primeiramente iremos apresentar na seção 2 um breve histórico das modelagens de dinâmicapopulacional existentes na literatura. Na seção 3, a formulação do problema é proposta, consis-tindo na modelagem para uma cadeia alimentar, apresentando possíveis fatores de decisão. Naseção 4, recupera-se alguns modelos da literatura e na seção 5, discussão dos resultados obtidospara esta modelagem. Na seção 6, uma breve descrição do jogo educativo e interativo infanto-juvenil que está sendo desenvolvido, o qual tem por objetivo estimular o aprendizado ilustrandodinâmicas de diversas populações e, por último, na seção 7, apresenta-se as conclusões e ostrabalhos futuros.

Para os estudos aqui apresentados, trata-se matematicamente estas populações ou de formaisolada ou com interações bem definidas, trazendo aproximações razoáveis para evitar o ine-vitável conflito entre o desejável e o necessário, pois aplicar uma estratégia impensada podeser mostrar desastrosa devido às dimensões intratáveis que a dinâmica do modelo matemáticopoderá assumir.

2 HISTÓRICO

Nesta seção, apresenta-se um breve histórico de alguns desses modelos de dinâmica popu-lacional estudados na literatura. Tais formulações levam em conta basicamente processos decrescimento e competição, tanto aplicado a uma ou a várias espécies.

É importante rever tal histórico, pois a partir das ideias provenientes destas modelagens otrabalho foi desenvolvido, aprofundando mais ainda o tema de dinâmicas populacionais.

2.1 Primórdios

O primeiro estudo de uma população, focada na previsão do número de indivíduos combase em um grupo inicial, teve seu surgimento com Leonardo Fibonacci (Sigler, 2002), que

em 1202 em sua obra mais célebre, Liber Abaci, propos o famoso problema da reprodução doscoelhos. Seguindo a cronologia, outro trabalho fundamental é o artigo de Leonard Euler de 1760(Haberman e Sibbett, 1995), A General Investigation into the Mortality and Multiplication ofthe Human Species. Neste trabalho, Euler teve como objetivo estudar populações notoriamenteheterogêneas quanto às taxas de natalidade e mortalidade etárias.

2.2 Malthus e o crescimento exponencial

Um modelo importante para a área de crescimento populacional foi argumentado por Tho-mas Malthus em 1798 (Zill e Cullen, 2006; Begon et al., 2006; Britton, 2002). O modelomalthusiano baseia-se na hipótese biológica de que as taxas de nascimento e morte são pro-porcionais ao número de indivíduos - Eq. (1) - onde N(t) é a população em uma certa áreageográfica, no instante t e r é a taxa de crescimento ou declínio, dependendo se é positiva ounegativa respectivamente.

dN

dt= rN (1)

Com isso ele observou, em uma previsão pessimista, que na ausência de restrições ambien-tais, a população humana aumentaria de forma exponencial - Eq. (2) - e os recursos alimentaresseguiriam uma progressão aritmética, levando a humanidade a sua destruição.

N(t) = N0ert (2)

Tal modelo matemático, com r > 0, prevê que a população crescerá exponencialmente sem-pre. Sob condições ideais, observou-se que é razoavelmente preciso para muitas populações,pelo menos por períodos limitados de tempo. No entanto, é claro que tais condições ideais nãopodem perdurar indefinidamente, pois as limitações sobre o espaço, o suprimento de alimentoou outros recursos reduzirá a taxa de crescimento e acabará inibindo o crescimento exponencial(Boyce e Diprima, 2005).

2.3 O Modelo Logístico

O panorama nebuloso de Malthus foi melhor compreendido em 1838 por Pierre-FrançoisVerhulst, matemático e biólogo belga (Murray, 2002). Verhulst levou em conta as restriçõesambientais, com a taxa relativa de crescimento demográfico diminuindo com o aumento dapopulação, podendo chegar a zero se uma dada população-limite for alcançada.

dN

dt= r(1− N

K)N (3)

Surge assim a equação diferencial logística - Eq. (3) - na qual a constante r é chamada de taxade crescimento intrínseco, isto é, na ausência de qualquer fator limitador; e K é a capacidadede suporte do meio ambiente, ou seja, um determinado ambiente é capaz de sustentar não maisdo que um número fixo K de indivíduos de dada espécie em sua população (Boyce e Diprima,2005).

A equação de Verhulst difere da de Malthus pela função logística, eliminando a explosãodemográfica, com a taxa de crescimento populacional tornando-se zero quando a populaçãoN = K é atingida.

2.4 Lotka-Volterra e a dinâmica populacional do sistema predador-presa

O modelo de Lotka-Volterra (Keshet, 1988) tem um papel muito importante no estudo desistemas ecológicos, pois foi o primeiro modelo proposto para tentar compreender como duasespécies estão relacionadas na dinâmica de predador e presa. De uma forma simples, predadoré um organismo que se alimenta de outro organismo. Presa é o organismo que serve de alimentopara o predador. Alguns exemplos de predadores e presas são leões e zebras, tubarões e sardi-nhas, linces e lebres. Contudo, como dito anteriormente, um modelo envolvendo apenas duasespécies não pode descrever completamente as relações complexas que ocorrem na natureza.Apesar disso, o estudo de modelos simples é o primeiro passo para a compreensão de fenôme-nos mais complicados. Denotaremos por x1 e x2 as populações, respectivamente, da presa e dopredador, em um instante t. Ao construir a interacão de duas espécies, considera-se as seguinteshipóteses:

1. Na ausência do predador, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional àpopulação atual;

2. Na ausência da presa, o predador é extinto;3. O número de encontros entre predador e presa é proporcional ao produto das duas popu-

lações. Cada um desses encontros tende a promover o crescimento da população de predadorese a inibir o crescimento da população de presas.

Em consequência dessas hipóteses, somos levados às Eqs. (4), onde as constantes r, d, ae c são todas positivas: r e d são as taxas de crescimento da população de presas e a taxade mortalidade da população de predadores, respectivamente, e a e c são medidas do efeitoda interação entre as duas espécies. Tais constantes estão resumidas com seus significados naTabela 1.

x1 = x1(r1 − a12x2)

x2 = x2(−d2 + c12a12x1)(4)

Figura 1: Lotka-Volterra simples. Condições iniciais: x10 = 10, x20 = 5. Constantes: r1 = 1, d2 = 0.75,a12 = 0.5 e c12 = 0.25.

Essas equações são chamadas de equações de Lotka-Volterra e tal modelo revelou uma vari-ação cíclica.

Na Fig. 1 mostra-se a evolução de x1 e x2 no tempo para o modelo de Lotka-Volterra comum conjunto típico de condições iniciais. Observe que o tempo foi escolhido para melhorcompreensão da dinâmica em cada situação.

Uma crítica das equações de Lotka-Volterra é que, na ausência de predadores, a populacão depresas aumenta sem limites. Introduzindo a equação logísticas proposta por Verhulst ao modelo,tem-se como consequência mais importante dessa modificação que o ponto crítico torna-se umponto assintoticamente estável, ou seja, as trajetórias se aproximam do ponto crítico quandot→∞ (Boyce e Diprima, 2005).

2.5 Modelos extendidos de Lotka-Volterra

Modelos extendendo o proposto por Lotka-Volterra são estudados por diversos autores aolongo do tempo. Podemos citar por exemplo, (Hsu e Zhao, 2011; Aguiar, 2010; Carusela et al.,2009).

A principal modelagem que incentivou este artigo foi proposta por (Palomino et al., 2006),em que os autores definem um modelo logístico geral com duas presas e um predador.

x1 = (r1 −r1k1

x1 − a13x3)x1

x2 = (r2 −r2k2

x2 − a23x3)x2

x3 = (−d3 + c13a13x1 + c23a23x2)x3

(5)

As Eqs. 5 mostram tal modelagem. As constantes seguem as definições encontradas naTab. 1. Na Fig. 2 temos o resultado obtido em (Palomino et al., 2006), onde uma das presas éextinta.

Figura 2: Condições iniciais: x10 = 6.27, x20 = 3.75 e x30 = 8.1. Constantes: r1 = 1, r2 = 1.5, k1 = 5000,k2 = 0.9,a12 = 0.2, a23 = 0.5, d3 = 1.5, c12 = 2 e c23 = 1.

Os autores também descreveram outro modelo para duas presas e um predador, adicionandoo efeito switching, que se refere ao deslocamento da preferência do predador para um determi-nado tipo de presa, garantindo a coexistência e competição permanentes das espécies.

Por último, em (Li et al., 2010) é apresentado outro efeito, denominado refúgio, no qual éadicionado a possibilidade das presas escaparem de uma possível predação.

3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Tabela 1: Variáveis usadas na modelagem.

Variável Definiçãot Tempoxi0 População inicial da espécie i

xi População da espécie i

ri Crescimento populacional da espécie i

di Mortalidade da espécie i

aij Coeficiente de encontro entre as espécies i e j

cij Taxa de reprodução do predador j ao consumir a presa i

ki Capacidade se suporte do meio com relação a espécie i

As variáveis usadas neste artigo estão definidas na Tabela 1. Seguindo a linha de mode-los simples como os analisados anteriomente, apresenta-se um modelo de três níveis tróficos,proposto na Eq. (6), com o qual resultados qualitativos são obtidos.

x1 = r1x1f1 − a12x1x2

x2 = ϕ1 (r2x2f2 − a23x2x3) + ϕ2 (−d2x2 + a12c12x1x2)

x3 = −d3x3 + a23c23x2x3

(6)

onde a função fi é definida na Eq. (7) e ϕ1 e ϕ2 compõem o fator de decisão.

fi =

{1, sem logística

1− xi

ki, com logística (7)

Como podemos observar, o modelo possui uma espécie intemediária que acumula duascaracterísticas, de presa de x3 e predador de x1. Essas características estão bem definidas ebem controladas pelo fator de decisão. Bem definida no sentido de que, na mesma equação, aqualidade de predador e presa se adicionam de forma simples, formando um comportamentojá observado na natureza, que tem descrição não trivial na literatura, a medida que buscamosnos aproximar da realidade (Li et al., 2010). Está bem controlada pelo fator de decisão, poiso predomínio da característica de presa sobre a de predador ou vice-versa se dá pela respostadada por aquela função ao sistema.

Desta forma, ao objetivar o melhor controle, foram considerados fatores estáticos - Eq. (9) edinâmicos - Eq. (10). Os fatores estáticos são aqueles em que as ϕ’s são constantes, ou seja, ocomportamento é pré-determinado desde a condição inicial. Por outro lado, os fatores dinâmi-cos fazem com que a predominância de uma característica sobre a outra varie com o tempo. Aescolha desse fator, leva em consideração que no caso limite onde uma das variáveis x1 ou x3

é igual a zero ou se extingue em um dado tempo, recupera-se Lotka-Volterra tradicional. Paraisso pede-se que ϕ satisfaça a Eq. (8).

x3 = 0⇒{ϕ1 = 1ϕ2 = 0

; x1 = 0⇒{ϕ1 = 0ϕ2 = 1

(8)

Assim iremos trabalhar com os seguintes casos para ϕ:{ϕ1 = x30

x10

ϕ2 = xx3010

;

{ϕ1 = x30

x10+x30

ϕ2 = x10

x10+x30

; (9)

{ϕ1 = x30

x1

ϕ2 = x1x30

;

{ϕ1 = x3

x10

ϕ2 = xx310

;

{ϕ1 = x3

x1

ϕ2 = x1x3

;{ϕ1 = x30

x1+x30

ϕ2 = x1

x1+x30

;

{ϕ1 = x3

x10+x3

ϕ2 = x10

x10+x3

;

{ϕ1 = x3

x1+x3

ϕ2 = x1

x1+x3

;

(10)

Dados as ϕ’s acima, define-se x10 e x30 como constantes e x1 e x3 variando com o tempo. Aescolha das ϕ’s não foram feitas aleatoriamente, ou seja, cada umas das funcões estabelecidastem suas particularidades. Um fato em comum é o fator de decisão ser sensível diretamenteapenas a dinâmica populacional da presa e do predador, que interagem com o indivíduo inter-mediário em questão.

Quando se considera ϕ1 igual x3x1 e ϕ2 igual a x1

x3 , tem-se em mente a ideia de possíveisescolhas do predador pelo número de presas, assim como seu correspondente para as presas,ocorrendo uma transferência da possibilidade da predação do predador em relação a presa e seuanálogo entre a presa e o predador. Ou seja, para cada instante ϕ1 = x3

x1 indica que o númerode predadores, x3, têm x1 escolhas de presas.

Quando se considera ϕ1 igual ax3

x1 + x3

, estabelece-se uma razão entre a população de

predadores (x3) e o número total da população de presas e predadores (x1+x3). Analogamentepara ϕ2.

4 RECUPERAÇÃO DOS MODELOS EXISTENTES

Nesta seção, a partir do modelo proposto neste artigo e buscando dar melhor corretude amodelagem proposta para a cadeia alimentar, serão recuperados de forma analítica os modelosde Lotka-Volterra, tanto quando o predador puro é extinto quanto quando a presa pura é extinta,além do modelo proposto por (Palomino et al., 2006) sem o efeito switching.

4.1 Lotka-Volterra com o predador puro sendo extinto

Primeiramente será recuperado de forma analítica o modelo de Lotka-Volterra descrito naEq. (4) a partir do modelo da Eq. (6), o qual é composto por espécie presa, espécie presa/predadore espécie predadora, com a espécie predadora x3 sendo extinta sobre as ϕ’s da Eq. (8), têm-seque ϕ1 = 0 e ϕ2 = 1 e é obtida a Eq. (11). Na Fig. 3 temos o modelo de Lotka-Volterra com ainexistência do predador.

x1 = r1x1f1 − a12x1x2

x2 = −d2x2 + a12c12x1x2

x3 = 0

(11)

Figura 3: Recuperação do modelo de Lotka-Volterra com a inexistência do predador x3. Condições inici-ais: x10 = 0.5, x20 = 0.3 e x30 = 0 Constantes: r1 = 1, r2 = 0.3, a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8,c12 = 0.1 e c23 = 0.4.

4.2 Lotka-Volterra com a presa pura sendo extinta

De forma análoga, utilizando a Eq. (8), com a presa x1 sendo extinta, têm-se a Eq. (12),com ϕ1 = 1 e ϕ2 = 0. A Fig. 4 temos a representação gráfica da recuperação do modelo deLotka-Volterra com a inexistência da presa.

x1 = 0

x2 = r2x2f2 − a23x2x3

x3 = −d3x3 + a23c23x2x3

(12)

Figura 4: Recuperação do modelo de Lotka-Volterra com a inexistência da presa x1. Condições iniciais: x10 = 0,x20 = 0.3 e x30 = 0.2 Constantes: r1 = 1, r2 = 0.3, a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8, c12 = 0.1 ec23 = 0.4.

4.3 Modelo duas presas e um predador sem switching

Após a recuperação do modelo tradicional de Lotka-Volterra, será recuperado também ana-liticamente o modelo de (Palomino et al., 2006) sem o efeito switching, mostrado na Eq. (5),a partir do modelo proposto na Eq. (13), o qual é composto por espécie presa, espécie presa,espécie presa/predador e espécie predadora, sendo fi a função logística.

x1 = r1x1f1 − a13x1x3

x2 = r2x2f2 − a23x2x3

x3 = ϕ1 (r3x3f3 − a34x3x4) + ϕ2 (−d3x3 + a13c13x1x3 + a23c23x2x3)

x4 = −d4x4 + a34c34x3x4

(13)

Ajustando as hipóteses - Eq. (14), visto que x4 é o predador e x1 será a presa considerada nofator de decisão segue-se o modelo recuperado na Eq. (15). Apresenta-se o gráfico do modelona Fig. 5.

x4 = 0⇒{ϕ1 = 0ϕ2 = 1

(14)

x1 = r1x1f1 − a13x1x3

x2 = r2x2f2 − a23x2x3

x3 = −d3x3 + a13c13x1x3 + a23c23x2x3

x4 = 0

(15)

Figura 5: Recuperação do modelo de (Palomino et al., 2006). Constantes: r1 = 1, r2 = 1.5, r3 = r2, r4 = r2,a13 = 5, a23 = 10, a34 = 7, k1 = 0.9, k2 = k1, k3 = k1, c12 = 2 e c23 = 1.

5 RESULTADOS OBTIDOS

Nesta seção, serão apresentadas algumas das simulações feitas com diferentes ϕ’s, uma vezque foram feitos muitos testes e existem vários que ainda podem ser realizados. Junto dassimulações serão feitas comparações, a fim de possibilitar a escolha do melhor fator de decisão.

5.1 Fatores de decisão constantes

Primeiramente, serão comparadas as duas possibilidades de ϕ’s constantes, com o gráfico dofator de decisão à esquerda e o da dinâmica populacional à direita (Fig. 6 e Fig. 7):

Figura 6: Considerando ϕ1 = xx1030 e ϕ2 = xx30

10 . Condições iniciais: x10 = 3, x20 = 2; x30 = 1, r1 = 1, r2 = 0.3,a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8, c12 = 0.1 e c23 = 0.4.

Figura 7: Considerando ϕ1 =x30

x10 + x30e ϕ2 =

x10

x10 + x30. Condições iniciais: x10 = 3, x20 = 2; x30 = 1,

r1 = 1, r2 = 0.3, a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8, c12 = 0.1 e c23 = 0.4 .

O que pode ser constatado inicialmente, de maneira analítica, é que a primeira escolha dasϕ’s retorna valores numéricos maiores que a segunda escolha. Quando se observa o comporta-mento do sistema, as duas simulações são satisfatórias e qualitativamente muito semelhantes.Além disso, como os valores das constantes são iguais e o único fator que variou foram as ϕ’s,conclui-se que uma resposta numérica maior da ϕ, faz com que o sistema tenha o aumento dafrequência. De fato, se for observado o tempo entre [0, 10] da primeira simulação e compararcom a segunda no mesmo período, essa diferença se torna evidente.

5.2 Fatores de decisão com x1 variando

Agora serão comparadas as ϕ’s com x1 variando, novamente com o gráfico do fator de deci-são à esquerda e o da dinâmica populacional à direita (Fig. 8 e Fig. 9):

Figura 8: Considerando ϕ1 = xx130 e ϕ2 = xx30

1 . Condições iniciais: x10 = 3, x20 = 2; x30 = 1, r1 = 1, r2 = 0.3,a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8, c12 = 0.1 e c23 = 0.4.

Figura 9: Considerando ϕ1 =x30

x1 + x30e ϕ2 =

x1

x1 + x30. Condições iniciais: x10 = 3, x20 = 2; x30 = 1,

r1 = 1, r2 = 0.3, a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8, c12 = 0.1 e c23 = 0.4 .

O que se observa nesta simulação, é que diferentemente da análise anterior, o comporta-mento das ϕ’s é muito diferente, dada pelo fato das duas funções consideradas terem respostasnuméricas bem distintas. Além disso, a segunda escolha fornece uma amplitude de variação,em relação ao tempo, maior que a primeira, com o segundo sistema repondendo com umafreqüência maior que o primeiro.

Quantitativamente nota-se que no primeiro caso, a presa ultrapassa o valor de 6.5 e a presa/pre-dador não ultrapassa 3.5. No segundo caso, a presa não ultrapassa 6.5, enquanto a presa/predadorultrapassa 3.5.

Isso se explica pelo fato do fator de decisão controlar o quanto uma qualidade prevalecesobre a outra. Como no primeiro caso a variação do fator de decisão referente a qualidade de

predador é menor que no segundo, fazem que a quantidade presa seja maior e de presa/predadorseja menor. Qualitativamente os sistemas são muito semelhantes.

5.3 Fatores de decisão com x1 e x3 variando

Por último, serão comparados os dois tipos de ϕ’s com os dois valores variando. Novamentecom o gráfico do fator de decisão à esquerda e o da dinâmica populacional à direita (Fig. 10 eFig. 11):

Figura 10: Considerando ϕ1 = xx13 e ϕ2 = xx3

1 . Condições iniciais: x10 = 3, x20 = 2; x30 = 1, r1 = 1, r2 = 0.3,a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8, c12 = 0.1 e c23 = 0.4.

Figura 11: Considerando ϕ1 =x3

x1 + x3e ϕ2 =

x1

x1 + x3. Condições iniciais: x10 = 3, x20 = 2; x30 = 1, r1 = 1,

r2 = 0.3, a12 = 0.5, a23 = 0.3, d2 = 0.5, d3 = 0.8, c12 = 0.1 e c23 = 0.4 .

Neste caso, observa-se uma regularidade das ϕ’s, porém enquanto as ϕ1’s tem um compor-tamento semelhante, as ϕ2’s diferem.

Como foi descrito nas análises anteriores as ϕ’s que tem valor numérico maior correspondema sistemas com maior frequência. Novamente os sistemas são qualitativamente muito semelhan-tes.

5.4 Comentário das análises

Ao comparar cada um dos sistemas conseguiu-se resultados qualitativos muito positivos, quepermitem concluir que independente do fator de decisão escolhido, os resultados serão semprepróximos. Logo para um trabalho no qual necessita-se de simplicidade, para uma boa respostacomputacional, basta escolher a ϕ mais conveniente.

As diferenças quantitativas aqui mostradas, podem ser interpretadas de acordo com o modelonatural que se deseja modelar. Ou seja, uma certa ϕ pode se encaixar melhor em um modeloaquático, enquanto outra seria melhor em um modelo terrrestre.

6 O JOGO

Como aplicação do modelo proposto, um jogo educativo está sendo desenvolvido, usando aideia de dar ao usuário o poder de escolha de quantas presas, predadores/presas e predadores suacadeia alimentar possuirá. O jogo enumerará e associará cada espécie a sua função caracterizadapelas Eqs. (16),(17) e (18):

Presa: xi = rixifi − aijxixj (16)

Predador: xj = −djxj + aijcijxixj (17)

Predador/Presa = ϕ1(Presa) + ϕ2(Predador) (18)

Assim a cadeia estaria formada quanto ao número de elementos, com as relações estabele-cidas mostrando a interdependência entre presas e predadores. Como o sistema se comportasatisfatoriamente para uma faixa determinada de valores, caberá ao usuário a escolha destaintensidade.

7 CONCLUSÃO

Vimos que os modelos de dinâmica populacional são muito importantes para estudos, aju-dando na predição de fenômenos que podem influenciar a evolução de certos grupos de popu-lações.

Após todas as análises, testando vários conjuntos de constantes e diferentes fatores de de-cisão, obtivemos simulações satisfatórias no que diz respeito ao comportamento do modeloproposto com relação ao Lotka-Volterra tradicional. Além disso, pelas constantes testadas nãohouve diferença qualitativa nas diferentes ϕ’s utilizadas, possibilitando uma maior liberdade naescolha de um fator de decisão que melhor se adeque ao modelo estudado.

Um fato importante constatado no desenvolvimento do trabalho foi a flexibilidade com quepodemos aumentar ou diminuir o número de indivíduos, possibilitando modelar diversos casosapresentados na natureza. Como o intuito foi desenvolver um bom modelo qualitativo para ojogo, conseguiu-se uma variedade maior do que a esperada, permitindo que o jogo analise ummaior número de casos.

Para trabalhos futuros, baseando-se no modelo proposto desse trabalho, será estudado oefeito switching e o refúgio, bem como será estudada a estabilidade de alguns sistemas de-senvolvidos.

REFERÊNCIAS

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