p vector posição do ponto p componentes do vector posição coordenadas do ponto p o s material de...
TRANSCRIPT
zyx utzutyutxtr )( )( )()(
)(tr
)(ty
)(tz
)(txxu
zu
yu
P
Vector posição do ponto P
)()()(
tztytx Componentes do vector posição
Coordenadas do ponto P
O
S
Material de apoio: cinemática
Dimensões : LUnidades SI : m
vector velocidade
zzyyxx utvutvutvdt
trdtv
)()()(
)( )(
)()(
)()(
)()(
tdtdztv
tdtdytv
tdtdxtv
z
y
x
norma de
)()()( )( 222 tvtvtvtv zyx
)(tv
)()( )( tutvtv T
versor tangente à trajectória:• norma unitária•direcção da tangente à trajectória•sentido do movimento
Dimensões : LT-1
Unidades SI : m s-1
Material de apoio: cinemática
O
Material de apoio: cinemática
Movimento curvilíneo geral
)(trdru dr
u rd
'rd
ru u
)(
)(
)()()(
)(
)()()( tu
tv
tdtdtrtu
tv
tdtdrt
dtrdtv r
r
u rdu drrd r
)(tuN
)(tuT
Material de apoio: cinemática
)( 1tr
O
)( 1tuT
)( 2tr
)( 3tr )(
)()(
tdtrd
tdtrd
tuT
)(
)()(
tdtud
tdtud
tuT
T
N
versor tangente à trajectória
r
versor normal principal à trajectória
raio de curvatura
)()( )()( tuttrtr Nc
)(tr c
O
)()( tut N
)(trc
Material de apoio: cinemática
)(
)()(t
dtud
tvtT
centro de curvatura
vector aceleração
Material de apoio: cinemática
zzyyxx utautauta
tdt
rdtdtvdta
)()()(
)()( )( 2
2
)()()(
)()()(
)()()(
2
2
2
2
2
2
tdt
zdtdt
dvta
tdt
ydtdt
dvta
tdt
xdtdt
dvta
zz
yy
xx
NNTT
NTutauta
tatata
)()()()( )(
)()()(
)()(
2
ttvta
tdtdvta
N
T
componentes tangencial e normal, ou centrípeta
Dimensões : LT-2
Unidades SI : m s-2
)(tr
O
Material de apoio: cinemática
Movimento curvilíneo geral
)(tv)(taT
)(taN
)(ta
Material de apoio: cinemática
movimento uniforme – norma da velocidade constante
0)(
taT
movimento rectilíneo – direcção da velocidade constante
0)(
taN
Material de apoio: cinemática
Movimento rectilíneo – requer apenas um eixo coordenado com a direcção do movimento
rTx uuu
)(tv
r
TTx
rTTx
Tx
uutautata
tvutvutvtvutxutxtr
)()()()()()()(
)()()(
independente do tempo
Material de apoio: cinemática
)()( tdtdt
Movimento circular : - independente do tempo
trtr ,)(
)()()()( trtvtdtdrt
dtds
drds
d
x
)(tvy
)(tr
)(ta)(taT
)(taNds
velocidade angular
Dimensões : T-1
Unidades SI : rad s-1norma da velocidade
x
)(tvy
)(tr
z
trtr ,)(
)()( tt
Material de apoio: cinemática
• norma :
vector velocidade angular
Movimento circular : - independente do tempo
)()()()()( trttutvtv
• sentido do eixo zz se movimento no sentido directosentido oposto ao eixo zz se movimento no sentido retrógrado
• direcção do eixo de rotação – eixo zzperpendicular a )( e )( tvtr
00)( rvdrr tr
Material de apoio: cinemática
)()( tdtdt
vector aceleração angular
)()(
)()(
)()()(
trt
tutdtdv
tutata
T
TTT
• aceleração tangencial
Movimento circular : - independente do tempo
trtr ,)(
relação entre as acelerações linear e angular
)()()()()()()()( tvttrtdt
trtdtdtvdta
)()(
)()()(
)()()(2
tvt
tutrtv
tutata
N
NNN
• aceleração normal
Dimensões : T-2
Unidades SI : rad s-2
Material de apoio: cinemática
')'()( )(0
0 dttatvtvtt
cálculo de a partir
)(ta)(tr
''')''())(()( )( '
0'0
0'00 dtdttatttvtrtr
tt
tt
cálculo de a partir
)(tv)(tr
')'()( )(0
0 dttvtrtrtt
1 condição inicial : )( 0tr
)(ta)(tv cálculo de a partir
1 condição inicial : )( 0tv
2 condições iniciais : )( ; )( '00 tvtr
Material de apoio: cinemática
Movimento com velocidade constante: independente do tempo
000
'' ttvdtvdtvtt
tt
')'()( )(0
0 dttvtrtrtt
00 )( )( ttvtrtr
0000 )( )()( )( ttvtrtrttvtrtr
)(tr)( 0tr
O
)()( 0trtr
tvS
espaço percorrido é igual ao produto da norma da velocidade pelo tempo
que demora a percorrê-lo
vtv
)(
Material de apoio: cinemática
Movimento com norma da velocidade constante: independente do tempo
000
'' ttvdtvvdttt
tt
t
tdttvtStStvt
dtdS
0')'()()()()( 0
00 )()( ttvtStS
vtvtv )()(
tvS
espaço percorrido é igual ao produto da norma da velocidade pelo tempo
que demora a percorrê-lo
Material de apoio: cinemática
Movimento com aceleração constante: independente do tempo
000
'' ttadtadtatt
tt
')'()( )(0
0 dttatvtvtt
00 )( )( ttatvtv
ata
)(
tav
variação do vector velocidade é igual ao produto da aceleração pelo intervalo de tempo correspondente a
essa variação
Material de apoio: cinemática
''')''())('()( )(0
'0
000'
dtdttatttvtrtrtt
tt
Movimento com aceleração constante: independente do tempo
)('''' '0
''''0
'0
ttadtadtatt
tt
0'0
202
1221
0
'0
0
'
0
'0
' ''')( tttattadttadttadtttatt
tt
tt
0'0
202
1221
000 ))('()( )( tttattatttvtrtr
condições iniciais conhecidas no mesmo instante de tempo: '00 tt
2021
000 ))(()( )( ttatttvtrtr
ata )(
Material de apoio: cinemática Movimento com aceleração constante: independente do tempo
0'0
202
1221
000 ))('()( )( tttattatttvtrtr
'00 tt 202
1000 ))(()( )( ttatttvtrtr
)(ou )( ; )( '000000 tvvtvvtrr
paralelos - trajectória rectilínea com a direcção de
não paralelos - trajectória parabólica descrita no plano formado por e que passa por
e 0va e 0va
e 0va
e 0va 0r
Movimento de projécteis: independente do tempo ga
ABABBA rrrr
Material de apoio: cinemática Movimento relativo
)(trA
O
ASB
)(trB
)(trBAz
x y
ABABBA
AB vvvdtrdv
vector velocidade relativa
B relativamente a A A relativamente a Bvector aceleração relativa
B relativamente a A A relativamente a B
vector posição relativa
A relativamente a BB relativamente a A
ABABBA
AB aaadtvda
Material de apoio: cinemática Transformadas de Galileu
Princípio da relatividade de GalileuLeis da Mecânica são invariantes:
as mesmas em todos os referenciais inerciaisTodos os referenciais inerciais são equivalentes
Velocidade de S’ relativamente a S constante
)()(
)()(
)()(
,,,,
tata
Vtvtv
tVtrtr
tt
Distâncias são invariantesIntervalos de tempo são invariantes
tVt r
)(, oP
)(tr
)(,Otr
)(, trS
O
z
y
x
S’
O’z’ x’
y’