p a .q n 1 2 (n 1) - seção...

20
EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A AULA 22 01) 2 2 (a,b,c) P.G b c a b b ac b ac b ac 02) n 1 2 3 n 2 (n 1) n 1 1 1 1 n 1 2 ... (n 1) n 1 (1 n 1)(n 1) n 2 n 1 n n1 n 2 n 1 n 2 2 (n 1) n 1 n (n 1) 2 n 1 1 n 2 n 1 n P a .a .a ..... a P a .(a .q).(a .q ).....[a .q ] P a .q P a .q P a .q P a .q P a .(a ).q P a .a 03) a + b 2 ab a + b 2 ab a + b ( = 2 2 ab ( = 2 a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab a 2 – 2ab + b 2 ≥ 0 Se a = b (a – b) 2 = 0 se a ≠ b (a – b) 2 > 0 AULA 23

Upload: phungdieu

Post on 10-Nov-2018

215 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A

AULA 22

01)

2

2

(a,b,c) P.G

b c

a b

b ac

b ac

b ac

02)

n 1 2 3 n

2 (n 1)

n 1 1 1 1

n 1 2 ... (n 1)

n 1

(1 n 1)(n 1)n

2n 1

nn 1n

2n 1

n2 2(n 1)

n 1

n(n 1) 2

n 1 1

n

2n 1 n

P a .a .a .....a

P a .(a .q).(a .q ).....[a .q ]

P a .q

P a .q

P a .q

P a .q

P a .(a ).q

P a .a

03)

a + b

2³ ab

a + b ³ 2 ab

a + b( )2

³ 2 ab( )2

a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

a2 – 2ab + b2 ≥ 0

Se a = b (a – b)2 = 0

se a ≠ b (a – b)2 > 0

AULA 23

Page 2: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

01)

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

Sn = a1 + a1 q + a1 q2 + … + a1 q

(n – 1)

Multiplicando a expressão por q:

q Sn = a1 q + a1 q2 + a1 q

3 + … + a1 qn

Considerando as duas equações:

n 12

n 1 1 1 1

2 3 n

n 1 1 1 1

S a a .q a .q ... a .q

q.S a q a q a q ... a q

`

Subtraindo uma da outra, tem-se:

n

n n 1 1

n

n 1

n

n 1

n

1

n

n

1 1n

n 1

1 1n

n 1n

S q.S a a q

S 1 q a 1 q

S q 1 a q 1

a q 1S

q 1

a q aS

q 1

a q .q aS

q 1

a q aS

q 1

02)

1 2 3 63

n 1

63

64

S 1 2 2 2 ... 2

a q aS

q 1

2 .2 1S

2 1

S 2 1 grãos

03)

Page 3: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

n

n

1

n

n

n

n

1 3 9 27 ... a 3 280

a q 13 280

q 1

1 3 13 280

3 1

3 1 6 560

3 6 561

3 38

n 8

04)

3 4 9 8 27 16E ...

4 9 16 27 64 81

3 9 27 4 8 16E ... ...

4 16 64 9 27 81

Tem-se então, duas somas de PGs infinitas. Assim:

43

94E3 2

1 14 3

4E 3

3

5E

3

Page 4: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B

AULA 22

01)

8 8

2x 7 x 3

2x 7 x 3 x 4

ou

(2x 7) (x 3) 8 x 6

02)

Considerando Taxas Complementares, temos que:

m m

p m p

m55

p

Pela Relação de Stiefel, temos:

m 1 m 1 m

p 1 p p

Então:

m 110 55

p

m 145

p

03)

3 4 5 10

10 10 10 10N C C C ... C

Pela soma da linha do Triângulo de Pascal, temos que:

10 0 1 2

10 10 10N 2 C C C

N 1 024 1 10 45

N 968 polígonos

AULA 23

01)

Page 5: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

3 3 2 1 00 0 1 1 2 2 3 3

3 3 3 3

3 3 2 2 3

3x y C y 3x C y 3x C y 3x C y 3x

3x y 27x 27x y 9xy y

Cálculo da soma dos Coeficientes: Substituir as incógnitas por 1. Assim:

3 3

3x y 3.1 1 8

02)

p p (n p)

p 1 n

o

(7 2)2 2

3 7

5 5

3

5

5

T C .a .x

3 termo : p 2

T C .1 . kx

T 21k x

Coeficiente 672

21k 672

k 32

k 2

03)

Perceber que:

3 2 2 3

3

a 6a b 12ab 8b 8

(a 2b) 8

a 2b 2

E também que:

3 2 2 3

3

8a 12a b 6ab b 1

(2a b) 1

2a b 1

Montamos então o sistema:

a 2b 2

2a b 1

a 2b 2

4a 2b 2

a 0 e b 1

Logo

a b 1

Page 6: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

AULA 24

01)

p p (n p)

p 1 n

o

6 (8 6)6

6 1 8

3 2

7

5

7

T C .a .x

7 termo : p 6

T C . x . 2x

T 28.x .4x

T 112x

02)

a) FALSO – Possui 8 termos

b) FALSO – O Termo Geral é:

p p (n p)

p 1 n

p(7 p)

p 2

p 1 7

pp (14 3p)

p 1 7

T C .a .x

3T C . . x

x

T C . 3 .x

Para possuir o Termo Independente, teríamos: 14 3p 0 p

c) FALSO – Soma dos coeficientes: Substituir incógnitas por 1. Assim 7

2 31 128

1

d) FALSO – Coeficientes distintos

00 (14 3.0) 14

0 1 7 1

7 77 (14 3.7) 7

7 1 7 8

Primeiro Termo : T C . 3 .x T 1.x

Último Termo : T C . 3 .x T 3 .x

e) VERDAEIRO – Para o cálculo do coeficiente do x2, temos:

o

44 (14 3.4) 2

4 1 7 5

14 3p 2 p 4(5 termo)

Logo,

T C . 3 .x T 2 835.x

Page 7: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

03)

55 22

5 102

p p (n p)

p 1 n

p p (10 p)

p 1 10

4

6 6 (10 6)

6 1 10

4

7

x 2x 1 x 1

x 2x 1 x 1

Termo Geral :

T C .a .x

T C .( 1) .x

Termo em x :

10 p 4 p 6

T C .( 1) .x

T 210.x

Coeficiente é 210

Page 8: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D

AULA 22

01)

Sendo “a”, a aresta do cubo, os 192 litros de água colocados formarão um

paralelepípedo cuja base é um quadrado de lado igual à aresta do cubo e a altura é

igual a 30 cm (3 dm). Assim:

2

2

a.a.3 192

3a 192

a 64

a 8dm

A capacidade do cubo é o seu volume, então:

3

3

V a

V 8

V 512litros

02)

Dimensões proporcionais a 2, 3 e 5, ou seja, as dimensões são: 2k, 3k e 5k. Logo:

3

3

V 240

2k.3k.5k 240

30k 240

k 8

k 2

Então, as dimensões são: 4m, 6m e 10m e a área total é:

2

St 2(4.6 4.10 6.10)

St 248m

03)

cubo paralelepípedo

3

3

V V

a 3.18.4

a 216

a 6cm

04)

Na figura, temos:

AB CD a 2

AD BC a

Page 9: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

Do enunciado, tem-se:

Perímetro 8 1 2

2a 2a 2 8 1 2

2a 1 2 8 1 2

2a 8

a 4cm

Cálculo do volume do cubo:

3

3

3

V a

V 4

V 64cm

AULA 23

01)

Cilindro Equilátero: H = 2R

2

2

b

2

2

3

S 36 cm

2 RH 36

R.2R 18

R 9

R 3cm H 6cm

V S .H

V R .H

V .3 .6

V 54 cm

Temos então:

1V 54

02)

O líquido determina outro cilindro com mesmo raio do reservatório e altura igual a

2/3 da altura do reservatório. Assim:

Page 10: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

líquido

2

V 75 360

2.30 . H 75 360

3

600 H 75 360

75 360H

600.3,14

H 40dm

H 4m

03)

Cálculo do volume do reservatório:

2V .10 .30

V 3 000 litros

Cálculo do número de dias:

3 000N

3

N 1 000 dias

N 3 140 dias

N 8,6 anos

04)

1

1

1 1

2

1

1

VELA 1

2 R 20

10R cm

Então

C k.V

10C k. 10

1 000C k.

Page 11: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

2

2

2 2

2

2

2

VELA 2

2 R 10

5R cm

Então

C k.V

5C k. 20

500C k.

1 2

Conclusão :

C 2.C

AULA 24

01)

p

face

face

p

p

b p

.aS

2

S n.S

.aS n

2

nS a

2

S p a

02)

Como a circunferência inscrita na base tem raio 3 cm, então, a = 6cm.

Tem-se que H = 4 cm.

Page 12: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2

p

p

a 4 3

a 5cm

Cálculo da Área Total:

2

2

St Sb S

4.6St 6 5

2

St 96cm

03)

A base da pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos medem metade da

aresta do cubo, ou seja, medem 3cm;

A altura da pirâmide é igual a aresta do cubo, ou seja, é igual a 6cm

Cálculo do Volume da Pirâmide:

3

1V Sb H

3

1 3.3V 6

3 2

V 9cm

Page 13: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

04)

Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo KCJ (catetos iguais a 3 cm e

hipotenusa igual ao lado do hexágono regular igual a b), temos:

2 2 2b 3 3

b 3 2cm

Aplicando Teorema de Pitágoras agora no triângulo retângulo JDH (catetos iguais a

3cm e 6cm e hipotenusa igual à aresta lateral da pirâmide igual a c), temos:

2 2 2c 3 6

c 3 5cm

Temos também a altura h do hexágono regular que liga o vértice H ao centro O do

hexágono, tal que, aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo HOJ

(sabendo que NJ é igual ao lado do hexágono, ou seja, é igual a 3 2cm ), temos:

2 2

2

2

3 5 3 2 h

27 h

h 3 3cm

Cálculo do Volume da Pirâmide:

Page 14: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

2

2

3

1V Sb h

3

1 b 3V 6 h

3 4

3 2 3V 3 3

2

V 81cm

Page 15: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E

AULA 22

01)

n 4k r

n 4k r

kn 4 r

kn 3 r

kn 2 r

kn r

n r

Se

n 4k r

Então

i i

i i i

i i i

i i i i

i i i

i 1 i

i i

02)

0 1 2 3 109

0 1 2 3

0 1 2 3

m i i i i ... i

Sabe se :

i i i i 1 i ( 1) ( i)

i i i i 0

Assim, em 110 números, é possível formarmos 27 grupos com 4 termos cada

fazendo sobrar ainda 2 termos. Se formarmos esses grupos a partir do primeiro,

teremos:

Page 16: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

03)

2

2

2

22

2

1 (1 i)z

1 i (1 i)

1 iz

1 i

1 iz

2

1 iz

2

1 2i iz

4

1z i

2

Parte Real = 0

Parte Imaginária = 1

2

AULA 23

01)

Cálculo do Módulo

2 22 2

2 2

Cálculo do Argumento

Parte real Negativa E Parte Imaginária Positiva: 2º Quadrante

o o

2tg

2

tg 1 2 Quadrante 135

Page 17: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

02)

2A A 2 cos0 isen0

0

3B B 3 cos isen

4

C C 4 cos isen2 2

2

53 3

D D 5 cos isen32 2

2

03)

Módulo de z = a + bi

2 2

1 a b

Módulo de z = a – bi

22

2

2 2

2

a b

a b

Logo, 1 2

04)

z 2 2 3i

Parte Real = 2 (positivo)

Parte Imaginária = 2 3 (negativo)

Então, Argumento pertence ao 4º Quadrante.

Cálculo do Módulo

2

22 2 3

4

Page 18: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

Cálculo do Argumento

o

2 3tg

2

5tg 3 4 Quadrante

3

Forma Trigonométrica

z cos isen

5 5z 4 cos isen

3 3

05)

22

222 2

22 2

z 2i 3

a bi 2i 3

a b 2 i 3

a b 2 3

a b 2 3

a b 2 3

Lugar Geométrico: Circunferência com centro no ponto (0,3) e raio igual a 3.

AULA 24

01)

2

2

k i (3 i)z

3 i (3 i)

3k ki 3i iz

9 i

3k 1 ( 3 k)z i

10 10

Módulo igual a 5

5

Page 19: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

2 2

222 2

2 2

2

5

5

3k 1 3 k 5

10 10 5

3k 1 3 k 5

10 10 5

9k 6k 1 9 6k k 5

100 100 25

10k 10 20

k 1 ou k 1

02)

o o

o o

o o o o

o o

1 3A 2 cos60 isen60 A 2 i A 1 3i

2 2

B 4 cos90 isen90 B 4 0 1.i B 4i

AB 2.4 cos 60 90 isen 60 90

3 1AB 8 cos150 isen150 AB 8 i AB 4 3 4i

2 2

03)

Page 20: P a .q n 1 2 (n 1) - Seção Blogblog.portalpositivo.com.br/matematicaspe/files/2010/03/atividades... · n n 1 n n n n 1 3 9 27 ... a 3 280 a q 1 3 280 q1 1 3 1 3 280 31 3 1 6 560

A 12 11 3 11 3cos isen

B 10 8 8 8 8

A 6cos isen

B 5

A 6

B 5

04)

z.w u iv

5 5z.w cos isen u iv

12 3 12 3

3 310 cos isen u iv

4 4

2 210 i u iv

2 2

5 2 i 5 2 u iv

Assim :

u 5 2

v 5 2