Otimização do Método Otimização do Método MultigridMultigrid Geométrico Geométrico em Transferência de em Transferência de CalorCalor

Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO PINTO

I Seminário de Multigrid de 2008 I Seminário de Multigrid de 2008 LENA - UFPRLENA - UFPRCuritiba – 17/04/2008Curitiba – 17/04/2008

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Roteiro da apresentação- Introdução;

- Fundamentação teórica;

- Motivação;

- Objetivos;

- Revisão bibliográfica;

- Dados de implementação;

- Problemas abordados:

- unidimensionais lineares e não-linear;

- bidimensional linear (isotrópico);

- bidimensional linear (anisotrópico);

- Conclusões gerais;

- Contribuições;

- Trabalhos futuros.

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Introdução

- Modelos matemáticos na dinâmica dos fluidos computacional recaem em equações diferenciais que geralmente não têm soluções analíticas conhecidas;

- Técnicas utilizadas: experimental, teórica e numérica.

- Estas eq. diferenciais são discretizadas resultando emum conjunto de equações algébricas do tipo:

- Problemas práticos; Características da matriz A;

- Erros; Métodos diretos X Métodos iterativos.

bAx

4

Introdução

Queda do resíduo para o solver GS e 4 tamanhos de malhas

5

Introdução

Fonte: http://www.math.utah.edu/~eagan/multigrid.html

6

Fundamentação teórica

Engrossamento: (engross. Padrão, r = 2)h

Hr

7

Fundamentação teórica

Engrossamento: e (semi-engrossamento)

y

x

h

hRA

1yr

h

H

x

xx h

hr

Anisotropia geométrica:

x

xx h

Hr

Isotropia N = 9x9; RA = 1 Anisotropia N = 5x9; RA = 2

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Resolver Au=f com u0 , calcular o resíduo (r) e restringir

Resolver Ae=rprolonga a correção (e)

Resolver Au=f e Resolver Au=f e verificar a convergênciaverificar a convergência hh

2h

4hh

8hh

Resolver Ae=r calcular o resíduo e restringir

Corrige (Corrige (ee) e Resolve Ae=r) e Resolve Ae=rProlonga a correção (Prolonga a correção (ee))

Ciclo V: Esquema CS

Fundamentação teórica

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Resolver A(u)=f com u0 , restringe o resíduo (r) e a solução (v)

Resolver A(u)=A(v)+r e prolonga a correção (e=u-v)

Resolver Au=f e Resolver Au=f e verificar a convergênciaverificar a convergência hh

2h

4hh

8hh

Resolver A(u)=A(v)+r restringe o resíduo e a solução

Corrigir (v) e Resolver Au=fCorrigir (v) e Resolver Au=f Prolonga a correção Prolonga a correção

Fundamentação teórica

Esquema FAS

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Objetivos

Objetivos gerais:- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas lineares e não-lineares, uni e bidimensionais.- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas anisotrópicos.

Objetivos específicos:- Comparar os esquemas CS e FAS para as equações de difusão, advecção-difusão e Burgers em malhas isotrópicas.- Comparar algoritmos baseados em engrossamento padrão e semi-engrossamento em malhas anisotrópicas.

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Revisão bibliográfica

- Razões de engrossamento: - Brandt (1977): r = 2, 3 e 3/2; - Briggs et al. (2000): r ≠ 2 desvantagem; - Stüben (1999, 2001): r = 2 e 4 em anisotropias.

- CS e FAS: - Yan e Thiele (1998): Variante do FAS; - Mesquita e de-Lemos (2004): CS para não-linear.

- Semi-engrossamento: - Mulder (1989): SE múltiplo; - Montero et al. (2001): plano EP x plano SE; - Zhang (2002): SE parcial; - Larsson et al. (2005): SE condicional para Eq. Poisson.

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Dados de implementação

- Linguagem: FORTRAN/95;

- Multigrid: Geométrico;

- Suavizadores: TDMA, El_Gauss, GS, MSI, ADI;

- Engrossamento: r = 2, 3, 4 e 5;

- RA: 1/1024, 1, 2, 16, 128, 1024 e 8192;

- Restrição: Injeção;

- Prolongação: Interpolação linear (1D) e bilinear (2D);

- Critério de parada: ;

- Estimativas inicias e tolerâncias (padrão): , .710

1

1

)0(

)(

R

kR

0

v

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Dados de implementação

- Outras estimativas iniciais: e

- Outras tolerâncias: e

- Quem é ? Quem é ?

- Quem é ? Quem é ?

ótimoITI

ótimoL

CPUt

máximoL

1,...,1v 2/1,...,2/1v

410 1010

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Problemas unidimensionais lineares e não-linear

O problema linear de transferência de calor unidimensional pode ser modelado pelas equações diferenciais ordinárias:

Equação de difusão:

Equação de advecção-difusão:

1)1(,0)0(

10,2

2

TT

xxfdx

Td

1)1(,0)0(

10,2

2

TT

xdx

Td

dx

dTPe

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O problema não-linear de escoamento unidimensional pode ser modelado pela equação diferencial ordinária:

Equação de Burgers:

1)1(,0)0(

10,2

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uu

xSdx

ud

dx

duRe

2

2

1

12Re

RexRexRe

e

eeeReS

Problemas unidimensionais lineares e não-linear

16

Escopo

- Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;

- Iterações internas;

- Níveis de malhas;

- Razões de engrossamento;

- Esquemas CS e FAS.

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- Número de elementos (1D):

r 2 3 4 5

N mínimo 2 2 2 2

N máximo 8.388.608 9.565.938 8.388.608 3.906.250

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Problema bidimensional linear (isotrópico)

O problema linear de condução de calor bidimensional pode ser modelado pela equação diferencial parcial:

Equação de Laplace:

xsenxTyTyTxT

yxy

T

x

T

)1,(,0),1(),0()0,(

1,0,02

2

2

2

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Escopo

- Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;

- Iterações internas;

- Níveis de malhas;

- Razões de engrossamento;

- Solvers;

- Esquemas CS e FAS.

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- Número de incógnitas (2D, iso):

r NN mínimo mínimo NN máximo máximo

SG 3x3 = 9 513x513 = 263169

2 3x3 = 9 2049x2049 = 4198401

3 3x3 = 9 1459x1459 = 2128681

4 3x3 = 9 2049x2049 = 4198401

5 3x3 = 9 1251x1251 = 1565001

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Problema bidimensional anisotrópico: Escopo

- Malhas: isotrópicas e anisotrópicas;

- Várias razões de aspecto para anisotropia;

- Algoritmos para anisotropia: EP, SE, EP-SE e SE-EP.

- Itens abordados (influência): - Iterações internas; - Razão de aspecto; - Número de incógnitas; - Algoritmos.

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- Número de incógnitas (2D, aniso):

RA NN mínimo mínimo NN máximo máximo

1/1024 4097x5 16385x17

1 129x129 2049x2049

2 65x129 2049x4097

16 17x257 513x8193

128 5x513 129x16385

1024 5x4097 33x32769

8192 5x32769 17x131073

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Conclusões gerais

- O esquema FAS (r = 3) é mais rápido que o CS (r = 2) para problemas lineares e não linear, 1D e 2D;

- ITI afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) e a dimensão do problema influenciam no ;

- L afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) não tem muita influência no ;

- O solver MSI é mais rápido que GS e ADI para os esquemas CS e FAS;

ótimoITI

ótimoL

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Conclusões gerais

- O algoritmo SE-EP (dentre os algoritmos que foram testados) resulta em menor tempo de CPU para problemas anisotrópicos com ou ;

- Grande variação de RA resulta em pequena variação do . para o algoritmo SE-EP .

1RA1RA

ótimoITI

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Trabalhos atuais e futuros

- Ciclos e Roteiros (Fabiane, Marcio e Marchi);

- Outras Anisotropias Geométricas (Fabiane, Marcio e Marchi);

- Anisotropia Física (Roberta, Marcio e Marchi);

- Multigrid Algébrico em problemas difusivos e advectivos (Roberta, Marcio e Marchi).

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Trabalhos atuais e futuros

- Problemas difusivos 1D e 2D com o uso de Volumes Finitos (Rafael, Marcio e Marchi);

- Anisotropia Geométrica (Partial Semicoarsening - Zhang) com razão de engrossamento agressiva (Marcio e Marchi).

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