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OTIMIZAÇÃO DE ROTAS PARA A COLETA DO LIXO DOMÉSTICO: UM TRATAMENTO GRASP DO PROBLEMA DO CARTEIRO CHINÊS MISTO
(PCCM)
FREDERICO GALAXE PAES
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE – UENF
CAMPOS DOS GOYTACAZES – RJ JULHO – 2004
ii
OTIMIZAÇÃO DE ROTAS PARA A COLETA DO LIXO DOMÉSTICO: UM TRATAMENTO GRASP DO PROBLEMA DO CARTEIRO CHINÊS
MISTO (PCCM)
FREDERICO GALAXE PAES
Dissertação submetida ao corpo docente do Centro de Ciência e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências necessárias para obtenção do grau de Mestre em Ciências de Engenharia, na área de concentração de Engenharia de Produção.
Orientador: Prof ª. Gudelia Morales de Arica, D.Sc.
CAMPOS DOS GOYTACAZES – RJ JULHO – 2004
iii
OTIMIZAÇÃO DE ROTAS PARA A COLETA DO LIXO DOMÉSTICO: UM TRATAMENTO GRASP DO PROBLEMA DO CARTEIRO CHINÊS
MISTO (PCCM)
FREDERICO GALAXE PAES
Dissertação submetida ao corpo docente do Centro de Ciência e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências necessárias para obtenção do grau de Mestre em Ciências de Engenharia, na área de concentração de Engenharia de Produção.
Aprovada em: _________________ Comissão Examinadora: Profª Gudelia Morales de Arica, D.Sc. – UENF (Presidente) Profª Clevi Elena Rapkiewicz, D.Sc. – UENF Prof. José Ramon Arica Chávez, D.Sc. – UENF Prof. José Elias Cláudio Arroyo, D.Sc. – UCAM
iv
DEDICATÓRIA
Ao Rei dos Reis Jesus de Nazaré, que por amor a nós nos salvou da morte e nos libertou do pecado.
v
AGRADECIMENTOS
A Deus, o Jeová Shalon (Deus da paz), o grande Jeová Jiré (Deus da provisão),
onde pude buscar forças nos momentos de desânimo e luz nos momentos obscuros.
Toda honra e toda glória sejam dadas ao Príncipe da Paz – Jesus Cristo. Tu és o Rei
da minha vida!
A minha amada mãe que me incentivou por diversas vezes a ingressar no
mestrado levantando minha auto-estima e me dando forças. Se hoje tenho este título,
dedico a você mãe!
A minha amada esposa que soube conduzir por meio da compreensão e
carinho esta caminhada, estando ao meu lado em todos os momentos.
A minha orientadora professora Gudelia, pela amizade, incentivo e,
principalmente, por depositar confiança em mim, acreditando no meu potencial. Muito
obrigado!
Ao professor Geraldo Galdino pelo apoio e a todos os professores do
Laboratório de Engenharia de Produção.
Ao meu grande camarada Leonardo Póvoa, amigo desde os tempos da UERJ.
Suas idéias foram fundamentais para o sucesso deste trabalho. Muito obrigado pela
força!
Aos meus amigos e colegas de mestrado, em especial ao meu bom e velho
amigo André Velasco, e ao grande Eduardo Varejão pela força e ajuda em minhas
dificuldades e aos funcionários do CCT da UENF, pela amizade e apoio.
A FAPERJ pelo apoio financeiro durante o período de mestrado.
E a todos aqueles que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a
conclusão deste trabalho.
vi
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS...............................................................................................
LISTA DE FIGURAS................................................................................................
RESUMO..................................................................................................................
ABSTRACT..............................................................................................................
Capítulo 1 - Introdução.........................................................................................
1.1– Considerações Iniciais………………………………………………….........
1.2– Organização da Tese......……………………………………………............
Capítulo 2 - Sobre o Gerenciamento do Lixo Urbano.........................................
2.1 – Generalidades Sobre Resíduos Sólidos………………...……....… ..........
2.2 – Gerenciamento dos Resíduos Sólidos Urbanos…………………….........
2.2.1– Geração dos Resíduos…...……………………………………...........
2.2.2– Acondicionamento….……….………………………………................
2.2.3– Coleta…………………………………................................................
2.2.3.1– Coleta Seletiva….………………………………..….........................
2.2.3.2– Dimensionamento dos Serviços de Coleta.…………..............
2.2.3.3– Dimensionamento da Frota Necessária para Cada Setor.......
2.2.3.4– Definição dos Itinerários de Coleta..………….........................
2.2.4– Estação de Transferência ou de Transbordo.……..….....................
2.2.5– Processamento e Recuperação………………….……....................
2.2.6– Disposição Final.………………….…………………..........................
2.3– Alternativas Para a Coleta nos Municípios.…………………….................
2.4– A Coleta no Município de Campos dos Goytacazes…….…….................
2.5– Contribuições Metodológicas na Problemática do Lixo…….……............
Capítulo 3 - Principais Problemas de Roteamento em Arcos..............................
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3.1 – O Problema de Roteamento em Arcos…...……………………….............
3.2 – O Problema do Carteiro Chinês (PCC)…..……………………….............
3.2.1 – Um Breve Histórico….......……………………………………….........
3.2.2 – Algumas Definições Inerentes ao PCCM......… ....………...............
3.2.3 – Complexidade do Problema….................…………………..............
3.3 – O Problema do Carteiro Chinês Não Direcionado (PCCND)..................
3.3.1 – Formulação para o PCCND…………………...…………..................
3.4 – O Problema do Carteiro Chinês Direcionado (PCCD)…......… ...............
3.4.1 – Formulação para o PCCD………………………………....................
3.5 – O Problema do Carteiro Chinês Misto (PCCM)……………….................
3.5.1 – Formulação para o PCCM…..…………………………….................
3.6 – O Problema de Roteamento em Arcos para m Veículos………..............
3.6.1 – Formulação para o PRAC……...………………………………..........
3.6.2 – Algoritmos Heurísticos para o PCCC…………………….................
3.6.2.1 – Algoritmo Seletor de Caminho (Path – Scanning)…..……....
3.6.2.2 – Algoritmo de Construção e Remoção (Construct and Strike).
3.6.2.3 – Algoritmo de Aumento e Junção (Augment – Merge)…….....
Capítulo 4 - Algoritmo Proposto para a Otimização da Coleta.............................
4.1 – Introdução………………………………………………………....................
4.2 – Generalidades Sobre Metaheurísticas…………………………….............
4.2.1 – Algoritmo GRASP.................................................................……...
4.3 – O Algoritmo Proposto..............................................................................
4.3.1 – Fase de Construção........................................................................
4.3.2 – Fase de Melhoria............................................................................
4.3.3 – Ilustração de um Pequeno Exemplo...............................................
Capítulo 5 - Implementação Computacional e Testes.........................................
5.1 – Implementação Computacional do Modelo .............................................
5.2 – Formulação do Modelo e Testes....................................................................
5.2.1 – Formulação Proposta......................................................................
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Capítulo 6 - Conclusão.........................................................................................
6.1 – Conclusões..............................................................................................
6.2 – Sugestões para Trabalhos Futuros.........................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................
APÊNDICE A............................................................................................................
APÊNDICE B........................................................................................................................ APÊNDICE C........................................................................................................................
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LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Ciclos gerados pelo passo 1 ordenados em ordem decrescente..............45
Tabela 3.2 – Ciclos resultantes após o passo 2 (aumento) ser executado....................46
Tabela 3.3 – Ciclos formados pelas junções do passo 3................................................47
Tabela 4.1 – Orientação das arestas do grafo misto......................................................59 Tabela 5.1 – Soluções encontradas para as instâncias 44_118, 44_108 e 44_91........68
Tabela 5.2 – Soluções encontradas para as instâncias 64_178, 64_159 e 64_137......72
Tabela 5.3 – Soluções encontradas para as instâncias 84_244, 84_216 e 84_188......73
Tabela 5.4 – Soluções encontradas para as instâncias 150_427, 150_377 e 150_326....
.........................................................................................................................................74
Tabela 5.5 – Soluções encontradas para as instâncias 200_564, 200_498 e 200_432....
.........................................................................................................................................75
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LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 – Destino final do lixo no Brasil.(Fonte: Pesquisa Nacional de Saneamento Básico – IBGE(2000)).......................................................................................................7 Figura 2.2 – O processo da coleta de resíduos sólidos e suas inter-relações.Fonte: Tchobanoglous (1977).....................................................................................................10 Figura 2.3 – Classificação dos resíduos sólidos segundo sua constituição...................12 Figura 3.1 – As sete pontes de Königsberg sobre o rio Pregel. Fonte: www.mat.uc.pt/ /~alma/escolas/pontes.....................................................................................................25 Figura 3.2 – Grafo que não é simétrico, porém euleriano. Fonte: Eiselt et al. (1995) .........................................................................................................................................27
Figura 3.3 – Transformação de um grafo não direcionado.............................................28 Figura 3.4 – Grafo que não pode tornar-se euleriano....................................................34 Figura 3.5 – Grafo do exemplo.......................................................................................45 Figura 3.6 – Aumento do ciclo 1, com os ciclos 3 e 7....................................................46 Figura 3.7 – Junção dos ciclos 2 e 4.............................................................................47 Figura 4.1 – Pseudocódigo da metaheurística GRASP.................................................51 Figura 4.2 – Pseudocódigo da fase de construção........................................................52 Figura 4.3 – Pseudocódigo da fase de busca local........................................................53 Figura 4.4 – Orientação de uma aresta (i, j)..................................................................54 Figura 4.5 – Pseudocódigo do algoritmo do carteiro chinês misto baseado na GRASP... .........................................................................................................................................57 Figura 4.6 – Grafos resultantes ao final de cada iteração com os graus assumidos pelos vértices durante a fase de construção.............................................................................59 Figura 4.7 – Grafo GF onde será aplicado o PFCM........................................................60
xi
Figura 4.8 – Grafo solução GS , simétrico e euleriano....................................................61 Figura 4.9 – Componentes conectadas..........................................................................62 Figura 5.1 – Lista de Arcos utilizada para armazenar G=(V, A ∪ E)..............................64 Figura 5.2 –Vetor utilizado para armazenar os pesos w(i,j) das arestas........................64 Figura 5.3 – Representação de um setor de coleta........................................................71 Figura 1A – G1: grafo não orientado; G2: digrafo; G3: grafo misto................................85 Figura 2A – Subgrafo de G2...........................................................................................87 Figura 3A – Digrafo original com ofertas/demandas nos nós e seu grafo solução após resolver o PFCM..............................................................................................................90
Figura 1B – Grafo direcionado euleriano (simétrico)......................................................91
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Resumo da dissertação apresentada ao CCT/UENF como parte integrante dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) em
Engenharia (área de Engenharia de Produção).
OTIMIZAÇÃO DE ROTAS PARA A COLETA DO LIXO DOMÉSTICO: UM
TRATAMENTO GRASP DO PROBLEMA DO CARTEIRO CHINÊS MISTO (PCCM)
Frederico Galaxe Paes
06 de Julho de 2004 Professor Orientador: Gudelia G. Morales de Arica.
O crescimento regular da população mundial e a globalização do consumo, têm
como conseqüência o inchaço das cidades e a geração de grandes quantidades de lixo
gerando problemas de ordem ambiental, urbanístico, social e econômico. O motivador
principal deste trabalho foi contribuir com uma proposta para o gerenciamento da coleta
e transporte do lixo domiciliar, tendo como objetivo minimizar os custos financeiros.
Esta dissertação versa sobre a modelagem da coleta do lixo doméstico, efetuado por
um caminhão compactador, formulada por meio de modelos de Programação Linear
Inteira (PLI) e da resolução de um dos modelos apresentados, através de um algoritmo
baseado na Metaheurística GRASP, proposto para a otimização da rota executada pelo
veículo coletor em seu respectivo setor de coleta. Para tanto, o modelo utiliza um grafo
misto G= (V, A ∪ E) para representar o setor de coleta, facilitando, assim, a
implementação computacional do cálculo de uma rota mais econômica.
Na literatura, o problema abordado é denominado como Problema do Carteiro
Chinês Misto (PCCM), que é uma classe especial do conhecido Problema de
Roteamento em Arcos (PRA), cuja resolução via algoritmos exatos tem complexidade
NP-Completo. São apresentadas também, algumas comparações entre os valores
(custos) das soluções aproximadas resultantes do algoritmo proposto (implementado
no modo Console Application do DELPHI 5®) e suas respectivas soluções ótimas,
obtidas do modelo de PLI resolvidos através do software LINDO 6.1. Os algoritmos
foram comparados, usando grafos gerados (instâncias) a partir da malha viária da
cidade de Campos dos Goytacazes.
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Submitted to the CCT/UENF in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of sciences.
OPTIMIZATION OF ROUTES FOR HOUSEHOLD REFUSE COLLECTION: A TREATMENT GRASP OF THE MIXED CHINESE POSTMAN PROBLEM (MCPP)
Frederico Galaxe Paes
July – 2004 Advisor: Gudelia G. Morales de Arica.
The growth of the world population and the globalization of the consumption,
have as consequence the swelling of the cities and the generation of great amounts of
garbage, generating problems of environmental order, city planning, social and
economical. The main reason of this work was to contribute with a proposal for the
administration of the collection and transport of the domestic garbage, tends as
objective minimizes the financial costs. This dissertation turns on the modeling of the
collection of the domestic garbage, made by a compactor truck, formulated through
models of Integer Linear Programming (ILP) and of the resolution of one of the
presented models, through an algorithm based on GRASP metaheuristic, proposed for
the optimization of the route executed by the vehicle collector in your respective
collection sectors. For so much, the model uses a mixed graph G = (V, A ∪ E) to
represent the collection sectors, facilitating, like this, the implementation computational
of the calculation of a more economical route.
In the literature, the approached problem is denominated as Mixed Chinese
Postman Problem (MCPP) that is a special class of the acquaintance Arcs Routing
Problems (ARP), whose resolution through exact algorithms has NP-Complete
complexity. They are also presented, some comparisons among the values (costs) of
the resultants solutions of the proposed algorithm (implemented in the way it Consoles
Application of DELPHI 5®) and your respective great solutions, obtained of the model of
resolved ILP through the software LINDO 6.1. The algorithms were compared, using
generated graph (instances) starting from the road network of the city of Campos of
Goytacazes.
1
Capítulo 1
Introdução 1.1– Considerações Iniciais
A geração do lixo urbano é de natureza complexa quanto ao seu gerenciamento
e de natureza crescente quanto a sua dimensão, devendo ser abordado pela
administração de um município independente dessas características, porém, sem
esquecê-las. Os serviços de limpeza pública então, sem contar com o devido
acondicionamento do lixo, sem coleta regular e organizada, e sem um destino final que
atenda aos mínimos parâmetros sanitários, representam um permanente foco
transmissor de doenças e de degradação ambiental, afetando a qualidade de vida da
população. A falta de cuidados com o lixo propicia criadouros de vetores transmissores
de doenças, constituindo-se numa constante ameaça à saúde pública. Nas metrópoles,
este problema torna-se ainda mais sério, pelas grandes quantidades diárias de lixo
geradas necessitando serem descartadas e com os espaços disponíveis, para tal, cada
vez mais escassos. É o caso da cidade de Nova York desde o ano 2000, Brown (2002).
Sob o ponto de vista econômico, a produção exagerada de lixo, a disposição
final inadequada sem projetos e/ou sem critérios para reverter tal situação, representam
um desperdício de materiais, energia e recursos naturais e financeiros.
Segundo o Manual de Organização dos Serviços de Limpeza Pública para
Comunidades de Pequeno Porte elaborado pelo Ministério do Planejamento e
Orçamento (MPO/SEPURB, 1995), um serviço de limpeza adequado, com
reaproveitamento e reciclagem de materiais, tem como vantagens reduzir:
• o consumo de energia, de matérias-primas e de recursos naturais, protegendo o
meio ambiente;
• a necessidade de tratamento e disposição de grandes quantidades de lixo;
• a quantidade de lixo e, portanto, os gastos com coleta e destino final;
2
• os riscos para a saúde da população e de poluição do meio ambiente;
• a desvalorização dos terrenos nas proximidades dos aterros sanitários;
Além do mais, proporciona ainda:
• novas oportunidades de trabalho e renda;
• melhoria da paisagem e redução da degradação ambiental, possibilitando o
aproveitamento dos recursos naturais para o turismo.
Segundo Cunha e Caixeta Filho (2002) grandes quantias são gastas no
gerenciamento do lixo, sendo 7% a 15% do orçamento dos municípios dedicados a este
fim. Estima-se que deste montante alocado ao gerenciamento, cerca de 50% são
destinados ao transporte e coleta do lixo (IPT 1995).
Portanto, delimitando este trabalho, a ênfase será dada a uma parte do
problema do gerenciamento de resíduos sólidos, que é a coleta e o transporte. O
objetivo deste trabalho então, é apresentar uma proposta computacional que calcule
uma rota com o menor custo de percurso possível, obtida em pouco tempo de
processamento. Para tal, se implementa um algoritmo baseado na metaheurística
denominada GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) destinado a
resolver a representação do problema em Grafos Mistos. Na Teoria dos Grafos o
problema do cálculo de rotas acima exposto é conhecido como o Problema do Carteiro
Chinês Misto (PCCM). O Problema do Carteiro Chinês (PCC), por sua vez, foi um
problema proposto pelo matemático chinês Meigu Guan (1962), cujo objetivo é
determinar um caminho ou rota de tamanho mínimo, cobrindo cada arco do grafo ao
menos uma vez.
A obtenção da rota ou itinerário de um caminhão de lixo é uma atividade
dinâmica, uma vez que a rede viária de uma cidade encontra-se sujeita a variações de
longa ou curta duração, por exemplo: por manutenção, mutação ou congestionamentos
de vias. Visto por este ângulo, este trabalho objetiva, também, gerar uma solução
computacional, que atenda a esta dinâmica de maneira eficiente. As Metaheurísticas,
em geral, são algoritmos aproximativos destinados a encontrar uma boa solução,
eventualmente a ótima, e consiste na aplicação, em cada passo, de uma heurística
específica para cada tipo de problema (SOUZA, 2002). Estes procedimentos têm como
vantagem a possibilidade de escapar de ótimos locais. A GRASP, em particular, possui
3
uma característica importante que é a rapidez de resposta, para o caso particular do
cálculo de rotas, isto é, gera soluções de boa qualidade em pouco tempo.
A implementação computacional do algoritmo gerou o programa chamado
OTIMIZA_COLETA, com o qual se calcula uma solução aproximada. Para tal, foi
preciso trabalhar com uma estrutura especial de armazenamento de dados, pelo fato de
trabalhar com arcos e arestas, por vezes repetidos. Deve-se ressaltar também, que
foram executados testes computacionais com o programa gerado em diversas
instâncias, sendo que, em três destas instâncias, os custos das soluções aproximadas
encontradas pelo programa, são comparadas com os custos das soluções ótimas
obtidas por meio do método exato aplicado ao modelo de Programação Linear Inteira
(PLI). Cabe anotar que nesta dissertação, não é resolvido o problema de roteamento de
veículos propriamente dito, isto é, determinar rotas para mais de um veículo
minimizando a distância total percorrida, porém, são formulados um modelo e alguns
algoritmos heurísticos para resolver este problema.
1.2 – Organização da Tese
A dissertação está organizada em 5 capítulos. No Capítulo 2, aborda-se o
gerenciamento do lixo, apresentam-se as etapas do gerenciamento do lixo doméstico e
ao mesmo tempo se fornecem alguns dados estatísticos, mais recentes, relacionados
ao lixo produzido no país.
No Capítulo 3 abordam-se diversas classes do Problema de Roteamento em
Arcos (PRA), tais como o Problema do Carteiro Chinês (PCC), apresentam-se suas
formulações em programação matemática e alguns algoritmos heurísticos destinados a
resolvê-los. Também é discutida a proposta de alguns algoritmos para resolver o
Problema de Carteiro Chinês Capacitado (PCCC) e mais geralmente o Problema de
Roteamento em Arcos Capacitados (PRAC), que são dois problemas clássicos do PRA
considerando m veículos.
No Capítulo 4 é feita uma descrição sucinta da metaheurística GRASP e as
fases que a compõem, no intuito de melhor situar o leitor. Também é apresentado o
algoritmo que é implementado, nesta dissertação, para achar uma boa rota de coleta
para um único veículo e um exemplo que ilustra suas etapas.
4
No Capítulo 5 aborda-se a fase de implementação computacional, além de
apresentar os testes numéricos. Todos os procedimentos que compõem o programa
são descritos de forma detalhada. Os testes são realizados em quinze instâncias
distintas, representadas por grafos com: 44, 64, 84, 150 e 200 vértices, e seus
resultados são tabelados. Para as instâncias identificadas com a numeração: 44_118,
44_108 e 44_91, o primeiro número representa o número de vértices, enquanto o
segundo número representa quantos arcos e arestas formam o grafo. Para estas
instâncias, as soluções geradas pelo programa OTIMIZA_COLETA são comparadas
com as soluções ótimas obtidas por um método exato aplicado a um modelo de PLI. As
soluções exatas foram obtidas através do software LINDO 6.1.
Por fim, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões e algumas propostas
para trabalhos futuros.
5
Capítulo 2
Sobre o Gerenciamento do Lixo Urbano
2.1 – Generalidades Sobre Resíduos Sólidos
Com o crescimento da população mundial, surge como conseqüência o inchaço
das cidades e a geração de grandes quantidades de lixo, trazendo diversos problemas
de ordem social e econômico. Nos últimos 245 anos, a população mundial passou para
6.000.000.000 e a previsão é que, nos próximos 300 anos, a população do planeta
atinja 9.000.000.000 de seres humanos.
Este crescimento explosivo da população mundial e a urbanização acelerada
após a 2ª guerra mundial, resultaram na utilização predatória de recursos naturais e na
degradação do meio ambiente pela falta de uma consciência ecológica. Em
conseqüência, para atender a esta demanda crescente de bens de consumo, tem-se
uma produção cada vez maior de lixo nos centros urbanos. Existem metrópoles, como é
o caso da cidade de Nova York, onde já não existem espaços disponíveis para
depositar o lixo produzido dentro dos limites da cidade. Segundo o Caderno Especial do
JB (2003) e WE-ACT (http://www.weact.org/mts/wasteexport.html) a cidade depende da
transferência do lixo, o que significa um aumento de 40% nos custos por tonelada de
lixo.
Um mau gerenciamento desse lixo, além de provocar gastos financeiros
significativos, pode provocar graves danos ao meio ambiente, comprometendo a saúde
e o bem-estar da população. É por isso que o interesse em estudar soluções com
embasamento técnico para a problemática da geração, coleta, transporte e destino final
de resíduos sólidos , tem se mostrado crescente. O assunto tem se tornado tópico de
debates em diversas áreas do conhecimento (por exemplo: urbanismo, saneamento,
6
engenharias, ecologia, administração, educação, etc.) e sua crescente importância,
segundo Cunha e Caixeta Filho (2002), deve-se a três fatores principais:
• Grande quantidade de lixo gerada – de acordo com dados de Brown (apud
CUNHA e CAIXETA, 2002), a produção de lixo pode variar de 0,46
kg/hab/dia, (na cidade de Kano na Nigéria) a 2,27 kg/hab/dia (em Chicago
nos Estados Unidos). O índice de lixo per capita brasileiro, segundo o IBGE
(2000), está em torno de 0,45 a 1,2 kg/hab/dia;
• Gastos financeiros relacionados ao gerenciamento de resíduos sólidos
urbanos – no Brasil, em média, os serviços de limpeza demandam de 7% a
15% do orçamento dos municípios, dos quais 50% são dedicados à coleta e
transporte1;
• Impactos ao meio ambiente e à saúde da população – o destino final
inadequado dos resíduos pode levar à contaminação do ar, da água, do solo
e à proliferação de vetores nocivos à saúde humana.
Resultados da Pesquisa Nacional de Saneamento Básico (PNSB) realizada
pelo IBGE (2000) revelam uma melhora na situação da destinação final do lixo coletado
no país nos últimos anos, comparado com a última pesquisa realizada em 1989, como
mostra o gráfico da figura 2.1. Em 2000, a quantidade de lixo domiciliar produzida
diariamente em todos os municípios do Brasil chegava a 125.281 toneladas, sendo que
47,1% eram destinados a aterros sanitários, 22,3 % a aterros controlados e apenas
30,5 % a lixões. Ou seja, mais de 69 % de todo o lixo coletado no Brasil estariam tendo
um destino final adequado. Todavia, em números de municípios, o resultado não é tão
favorável: 63,6 % utilizavam lixões e 32,2 %, aterros adequados (13,8 % sanitários,
18,4 % aterros controlados), sendo que 5% não informaram para onde vão seus
resíduos. Em 1989, a PNSB mostrava que o percentual de municípios que vazavam
seus resíduos de forma adequada era de apenas 10,7 %.
Com relação à quantidade de lixo coletada diariamente, nas cidades com até
200.000 habitantes, são recolhidos de 450 a 700 gramas por habitante; nas cidades
com mais de 200.000 habitantes, essa quantidade aumenta para a faixa entre 800 e
1.200 gramas por habitante. 1 BRASIL Governo do Distrito Federal, Disponível em : <http://www.gdf.gov.br>;
7
Ainda segundo dados do IBGE, dos 5.507 municípios brasileiros, 4.026 (73,1%)
têm população até 20.000 habitantes. Nestes municípios 68,5% dos resíduos gerados
são vazados em lixões e em alagados. Se tomarmos como referência a quantidade de
lixo gerada por eles, em relação ao total da produção brasileira, a situação é menos
grave, pois em conjunto coletam somente 12,8 % do total brasileiro (20.658 t/dia). Isto é
menos do que o gerado pelas 13 maiores cidades brasileiras, com população acima de
1 milhão de habitantes. Elas coletam 31,9 % (54.916 t/dia) de todo o lixo urbano
brasileiro, e têm seus locais de disposição final em melhor situação: apenas 1,8 % (929
t/dia) é destinado a lixões, o restante está sendo depositado em aterros controlados ou
sanitários.
Com relação à disposição e tratamento dos resíduos sólidos de serviços de
saúde (lixo hospitalar, responsável por vários casos de doença), em 2000 houve
melhora, com 539 municípios encaminhando-os para aterros de resíduos especiais
(69,9 % próprios e 30,1 % de terceiros), enquanto em 1989, apenas 19 municípios
davam este destino aos resíduos hospitalares. Em número de municípios, 2.569
depositam este tipo de lixo, nos mesmos aterros que os resíduos comuns, enquanto
539 já estão enviando-os para locais de tratamento ou aterros de segurança.
Em síntese, o brasileiro convive com a maioria do lixo que produz. Montanhas
cada vez maiores de resíduos sólidos representam uma séria ameaça à saúde e a
76%
30,5%
10%
47,1%
13%22,3%
0%
20%
40%
60%
80%
Lixoes Aterros Sanit. Aterros Cont.
Destino Final do Lixo no Brasil
1989 2000
Figura 2.1 – Destino final do lixo no Brasil. Fonte: Pesquisa Nacional de Saneamento Básico – IBGE (2000)
8
qualidade de vida, e o potencial de desenvolvimento é afetado pelo manejo inadequado
das "sobras" sólidas. Juntamente com estes problemas, observa-se um crescente
número de pessoas que fazem do lixo sua fonte de renda. Pessoas que por não
conseguir um emprego, encontram no lixo uma forma de ganhar dinheiro, através da
coleta de papelão, latas, plásticos entre outros objetos para vender a empresas de
reciclagem.
2.2 – Gerenciamento dos Resíduos Sólidos Urbanos
De acordo com Rosa (apud CARVALHO, 2001) as situações que envolvem a
problemática do lixo são bem diferentes de município para município e desta forma tem
atingido mais fortemente algumas prefeituras do que outras. Por outro lado, não se
deve pensar que os problemas sejam menores ou mais fáceis nos locais onde o lixo
incomoda menos, uma vez que problemas aparentemente invisíveis podem, em pouco
tempo, causar graves danos a comunidade.
Segundo Rosa (apud CARVALHO, 2001):
O problema de limpeza pública em comunidades urbanas assume
complexidade progressivamente maior à medida que crescem os contingentes
populacionais, pois as fontes produtoras de resíduos tendem a tornar-se mais
numerosas e distribuídas de maneira aleatória nos espaços das cidades.
Como conseqüência disto, os sistemas de gerenciamento de resíduos sólidos
tornam-se mais complexos no sentido de efetuar uma coleta e uma destinação final
adequados.
Portanto, “deve-se pensar o lixo como um problema sanitário de primeira
ordem, para cuja solução é requerido um processo gerencial bem planejado e
estruturado em bases técnicas estabelecidas a partir de soluções de engenharia”
(CARVALHO, 2001).
Embora existam inúmeros modelos de gerenciamento integrado do lixo,
nenhuma sugestão ou consultoria substitui o bom senso que está no cidadão e em sua
administração municipal (IPT, 1995)2.
2 Instituto de Pesquisas Tecnológicas, São Paulo;
9
Mesmo sendo de responsabilidade do município, o gerenciamento do sistema
de limpeza urbana, objetivando afastar o lixo das populações e dando um destino final
ecologicamente adequado, esta tarefa, segundo IPT (1995), é dificultada pelos
seguintes problemas:
• inexistência de uma política brasileira de limpeza pública;
• limitação financeira – orçamentos inadequados, fluxo de caixa
desequilibrado, tarifas desatualizadas, arrecadação insuficiente e
inexistência de linhas de crédito;
• descontinuidade política e administrativa;
• falta de controle ambiental.
Para combater esta problemática, a gestão do serviço de limpeza deverá tomar
uma série de decisões estratégicas, usando ferramentas apropriadas de manejo
gerencial (CARVALHO, 2001).
De acordo com IPT (1995), as prioridades máximas, para qualquer modelo de
gerenciamento para o lixo, devem ser:
• coletar todo o lixo gerado de responsabilidade da prefeitura;
• dar um destino final adequado para o lixo;
• buscar formas de tratamento para o lixo de seu município. Considerar que
estas formas só darão resultados positivos e duradouros se responderem a
claros objetivos tanto ambientais como econômicos;
• fazer campanhas ou implantar programas educacionais voltados à
conscientização pela limpeza da cidade e incentivar medidas que visem
diminuir a própria geração do lixo.
Tchobanoglous (apud CUNHA e CAIXETA, 2002) afirma que as atividades
gerenciais ligadas aos resíduos sólidos podem ser agrupadas em seis elementos
funcionais, conforme ilustra a Figura 2.2:
10
Figura 2.2 – O processo da coleta de resíduos sólidos e suas inter-relações.
Fonte: Tchobanoglous (1977).
2.2.1 - Geração dos Resíduos
A quantidade de resíduos produzida por um grupo populacional é bastante
variável e depende de uma série de fatores, como renda, época do ano, modo de vida:
cultura, movimento da população nos períodos de férias e fins de semana e novos
métodos de acondicionamento de mercadorias (com a tendência mais recente de
utilização de embalagens não retornáveis).
A organização do gerenciamento do processo de coleta deve-se preocupar em
coletar a maior quantidade possível de lixo gerada. Por outro lado, como já foi
mencionado anteriormente, devem-se incentivar campanhas ou implantar programas
educacionais voltados à conscientização pela limpeza da cidade e incentivar medidas
que visem diminuir a própria geração de resíduos.
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11
2.2.2 – Acondicionamento
A primeira etapa do processo de remoção dos resíduos sólidos corresponde à
atividade de acondicionamento do lixo que deve ser disposto em recipientes com
tampas, e confeccionados em material resistente e formato que permita fácil limpeza. O
recipiente deverá ter capacidade para armazenar o lixo produzido entre uma coleta e
outra. O lixo mal acondicionado significa poluição ambiental e risco à segurança da
população, pois conduz ao aparecimento de doenças. O lixo bem-acondicionado facilita
o processo de coleta.
Atualmente, tem-se percebido a importância da separação dos resíduos
orgânicos (restos de alimentos, podas de árvores, entre outros) do material reciclável
(papel, papelão, vidro, plástico, latas) na própria fonte geradora, pois com isso
consegue-se um lixo seco de maior qualidade para ser reciclado. Estima-se que de
26% a 30% do lixo doméstico é reciclável3. Mas o sucesso da coleta seletiva e da
eficácia da separação, no próprio domicílio, depende principalmente da conscientização
da população, que deve ser sempre orientada através de divulgação na mídia, em
escolas e associações de bairro.
2.2.3 - Coleta
A operação de coleta engloba desde a partida do veículo de sua garagem,
compreendendo todo o percurso gasto na viagem para remoção dos resíduos dos
locais onde foram acondicionados aos locais de descarga, até seu retorno ao ponto de
partida.
A coleta normalmente pode ser classificada em dois grupos: sistema especial
de coleta (de resíduos contaminados) e sistema de coleta de resíduos não
contaminados. Nesse último, a coleta pode ser realizada de maneira convencional
(resíduos são encaminhados para o destino final) ou seletiva (resíduos recicláveis que
são encaminhados para locais de tratamento e/ou recuperação).
Os tipos de veículos coletores são os mais diversos. Uma primeira grande
classificação seria dividi-los em motorizados e não-motorizados (os que utilizam a 3 Fonte: Jornal O ESTADO DE S. PAULO, São Paulo, 07/12/2002.
12
tração animal como força motriz). Os motorizados podem ser divididos em
compactadores, que, segundo Roth et al. (apud CUNHA e CAIXETA, 2002), podem
reduzir a 1/3 o volume inicial dos resíduos, e comuns (tratores, coletor de caçamba
aberta e coletor com carrocerias tipo prefeitura ou baú). Há também os caminhões
multi-caçamba, utilizados na coleta seletiva de recicláveis, em que os materiais
coletados são alocados separadamente na carroceria do caminhão.
Os resíduos coletados poderão ser transportados para estações de
transferência ou transbordo, para locais de processamento e recuperação (incineração
ou usinas de triagem e compostagem) ou para seu destino final (aterros e lixões).
2.2.3.1 – Coleta Seletiva
Coleta Seletiva é o processo de separação e recolhimento dos resíduos,
conforme sua constituição: orgânico, reciclável e rejeito (Figura 2.3). Esta separação
pode ocorrer tanto na fonte geradora (residências, escolas, locais de trabalho), quanto
nos centros de triagem ou nas usinas de reciclagem.
Esta prática facilita a reciclagem porque os materiais estarão mais limpos e,
conseqüentemente, com maior potencial de reaproveitamento.
Figura 2.3 - Classificação dos resíduos sólidos segundo sua constituição.
Para o sucesso da coleta seletiva é importante que o município ofereça um
sistema eficiente de recolhimento dos recicláveis. Para implantar um sistema de coleta
seletiva é necessário:
Resíduo Orgânico Resíduo Reciclável Rejeito
Resto de alimento, folha, casca.
Papel, vidro, metal, plástico, papelão. lixo de banheiro
13
• Conscientizar a população de que o material reciclável não é propriamente
lixo, devendo, portanto, ser acondicionado separadamente;
• Promover e oferecer condições para que a população possa descartar
seletivamente papéis, plásticos, vidros e metais, instalando recipientes
identificados nas praças e estabelecimentos públicos e efetuando a coleta
com regularidade;
• Implantar um centro de triagem para separação, classificação e
armazenamento destes materiais até a sua reutilização/comercialização;
• Promover estudo de mercado para conhecer a viabilidade de
comercialização dos materiais recicláveis;
• A coleta seletiva deve prever, também, o recolhimento dos resíduos
orgânicos, os quais poderão ser aproveitados para gerar energia, gás ou
adubo orgânico.
A operação da coleta seletiva pode ser de forma domiciliar realizada por
caminhão de carroceria com coleta semanal ou através de postos de entrega
voluntária (PEV’s) caçambas e contêineres de diferentes cores, instalados em pontos
estratégicos, onde a população possa depositar o material previamente selecionado.
2.2.3.2 – Dimensionamento dos Serviços de Coleta
O dimensionamento e a programação da coleta estão relacionados à estimativa
dos recursos necessários (tipos de veículo e equipamentos a serem utilizados, frota
necessária, quantidade de pessoal) e à definição de como o serviço será executado
(freqüências, horários, roteiros, itinerários, pontos de destinação) (IPT 1995).
Uma etapa inicial na modelagem matemática de um problema é o
dimensionamento. O objetivo do dimensionamento dos serviços de coleta, é determinar
o número de veículos necessários destinados aos serviços de coleta, bem como
estabelecer parâmetros que possibilitem a confecção dos itinerários ou rotas
(IPT 1995). Sempre que houver uma ampliação dos serviços de coleta ou mesmo uma
reformulação, um estudo do dimensionamento se faz necessário.
14
Segundo Carvalho (2001), em municípios de maior porte onde o problema
torna-se mais complexo, recomenda-se o dimensionamento dos sistemas
considerando-se mais de uma alternativa, a serem estabelecidas segundo as suas
necessidades, priorizando-se a mais adequada e econômica, de acordo com as
restrições de cada município. Como comentado em IPT (1995), é importante o
envolvimento do poder público no dimensionamento e na programação dos serviços de
coleta domiciliar, mesmo quando executados por particulares. Isso visa assegurar que
atendam aos padrões de desempenho e de nível de serviço julgados adequados e
garantir a justa remuneração pelos serviços prestados.
Os passos a serem seguidos para o dimensionamento e a programação do
serviço de coleta do lixo domiciliar, segundo IPT (1995), são enumerados a seguir,
sendo alguns destes descritos de forma mais detalhada nas próximas seções:
• Estimativa do volume de lixo a ser coletado;
• Definição das freqüências de coleta;
• Definição dos horários de coleta domiciliar;
• Dimensionamento da frota dos serviços de coleta;
• levantamento e coleta de dados ;
• localização de pontos importantes para a coleta;
• determinação do volume e peso específico do lixo a ser coletado;
• definição dos setores de coleta;
• estimativa da quantidade total de lixo por setor;
• estimativa dos parâmetros operacionais por setor;
• dimensionamento da frota necessária para cada setor;
• cálculo da frota total necessária;
• definição dos itinerários;
• estação de transferência;
• Definição dos itinerários de coleta.
Com respeito ao dimensionamento da frota dos serviços de coleta pode-se
ressaltar os seguintes tópicos:
15
2.2.3.3– Dimensionamento da Frota Necessária para Cada Setor
Este passo é descrito mais detalhadamente devido a sua importância. Um bom
dimensionamento da frota de veículos tem como conseqüência direta a otimização dos
custos destinados ao transporte do lixo, visto ser proveniente da coleta e transporte a
maior parte dos gastos com serviços de limpeza, conforme mencionado anteriormente.
De posse dos chamados, parâmetros operacionais, para cada setor de coleta
(por exemplo, jornada de trabalho, velocidade média de coleta, etc.) se procede ao
cálculo do número de veículos por setor (Ns).
Então, a frota necessária para cada setor (Ns) pode ser estimada a partir da
seguinte fórmula (IPT 1995):
Onde: J : duração útil da jornada de trabalho, desde a saída da garagem até o seu
retorno, excluindo intervalos para almoço e outros tempos improdutivos [horas];
L : extensão total das vias do setor de coleta [km]; Vc : velocidade média de coleta [km/h]; Dg : distância entre a garagem e o setor de coleta [km/h];
Dd : distância entre setor de coleta e ponto de descarga [km]; Vt : velocidade média nos percursos de posicionamento e de transferência em [km/h]; Q : quantidade total de lixo a ser coletada no setor [ton.]; C : capacidade dos veículos de coleta [ton.].
1. 2 . 2 . .g d
sc t t
D DL QN
J V V V C
= + + (1)
16
2.2.3.4 – Definição dos Itinerários de Coleta
Chama-se itinerário de coleta o trajeto que o veículo coletor deve percorrer
dentro de um mesmo setor, num mesmo período, transportando o máximo de lixo num
mínimo de percurso improdutivo (trechos em que o veículo não realiza coleta), com o
menor desgaste possível para a guarnição e o veículo. Também chamado na literatura
específica de “tour” (rota) do veículo, existem estudos que visam à obtenção desta de
forma ótima, isto é, com o mínimo de percursos improdutivos, com o apoio da
modelagem matemática do cálculo da rota através de aplicativos baseados em
algoritmos específicos.
O projeto da coleta deve ser encarado como um processo dinâmico, podendo
ser alterado se houver alguma variação da geração de resíduos em cada setor, por
exemplo: pavimentação de novas ruas, mudança na direção do tráfego entre outros
aspectos; o que poderá levar a alterações no roteiro original.
2.2.4 - Estação de Transferência ou de Transbordo
Segundo Mansur e Monteiro (apud CUNHA e CAIXETA ,2002), as estações de
transferência ou transbordo são locais onde os caminhões coletores descarregam sua
carga em veículos com carrocerias de maior capacidade para que, posteriormente,
sejam enviadas até o destino final. O objetivo dessas estações é reduzir o tempo gasto
no transporte e, conseqüentemente, os custos com o deslocamento do caminhão
coletor desde o ponto final do roteiro até o local de disposição final do lixo.
Como exemplo das vantagens oriundas da instalação de tais estações,
destaca-se o estudo de Clark e Gillean (1977), um dos primeiros registros da aplicação
da teoria de redes na coleta de resíduos sólidos, no qual se propunha a construção de
estações em pontos críticos da cidade de Cleveland, em Ohio, Estados Unidos. Desta
forma, permitiam que os lixeiros ficassem mais tempo envolvidos nas atividades de
coleta, uma vez que o tempo de viagem dos caminhões até os locais de descarga foi
reduzido. Tal medida gerou considerável redução no número de rotas.
17
2.2.5 - Processamento e Recuperação
Um dos métodos de processamento dos resíduos sólidos urbanos é a
incineração. Algumas vantagens e limitações pertinentes a esse processo, descritas no
trabalho de Cunha e Caixeta (2002) serão aqui destacadas. Como vantagens do
método de incineração tem-se: a redução significativa do volume dos dejetos
municipais, a diminuição do potencial tóxico dos dejetos e a possibilidade de utilização
da energia liberada com a queima. Como limitações: destacam-se os altos custos de
instalação e operação do sistema, cerca de US$ 20/t de lixo incinerado; a poluição
atmosférica e a necessidade de mão-de-obra qualificada. Até 1999, menos de 30
municípios incineravam seus resíduos sólidos no Brasil.
Como exemplo de método de recuperação dos resíduos, citam-se a reciclagem
e a compostagem. A reciclagem é um processo pelo qual materiais que se tornariam
lixo são desviados para serem utilizados como matéria-prima na manufatura de bens
normalmente elaborados com matéria-prima virgem. Cunha e Caixeta (2002) destacam
ainda que:
Dentre alguns benefícios da reciclagem pode-se citar a preservação dos
recursos naturais, a redução da poluição do ar e das águas, a diminuição da
quantidade de resíduos a ser aterrada e a geração de emprego com a criação
de usinas de reciclagem. Por outro lado, a reciclagem de resíduos sólidos
enfrenta obstáculos como diminuição da qualidade técnica do material,
contaminação dos resíduos e custo comparativamente menor de utilizar
matéria-prima virgem na fabricação de determinados produtos.
A compostagem, ou seja, a fabricação de compostos orgânicos a partir do lixo,
é um método de decomposição do material orgânico putrescível (restos de alimentos,
aparas e podas de jardins, folhas etc.) existente no lixo, sob condições adequadas, de
forma a obter um composto orgânico (húmus) para uso na agricultura. Apesar de ser
considerado um método de tratamento, a compostagem também pode ser entendida
como um processo de reciclagem do material orgânico presente no lixo.
18
2.2.6 - Disposição Final
Quanto aos tipos de disposição final dos resíduos, podem ser classificados em
quatros tipos básicos (IBGE, 2000):
• Aterro sanitário - técnica de disposição do lixo, fundamentado em critérios
de engenharia e normas operacionais específicas, que permite a confinação
segura em termos de controle da poluição ambiental e proteção à saúde
pública;
• Aterro controlado - local utilizado para despejo do lixo coletado, em bruto,
com cuidado de, após a jornada de trabalho, cobri-lo com uma camada de
terra, sem causar danos ou riscos à saúde pública e a segurança,
minimizando os impactos ambientais;
• Lixão ou Vazadouro a céu aberto - disposição final do lixo pelo seu
lançamento, em bruto, sobre o terreno sem qualquer cuidado ou técnica
especial;
• Vazadouro em áreas alagadas - disposição final do lixo pelo seu
lançamento, em bruto.
Em se tratando das alternativas de disposição final do lixo, o aterro sanitário é o
que reúne as maiores vantagens, considerando a redução dos impactos ocasionados
pelo descarte dos resíduos sólidos urbanos.
No caso do aterro controlado, que é menos prejudicial que os lixões pelo fato
dos resíduos dispostos no solo serem posteriormente recobertos com terra, constitui-se
uma solução com eficácia bem inferior à possibilitada pelos aterros sanitários, pois, ao
contrário destes, não ocorre inertização da massa de lixo em processo de
decomposição.
Sabe-se que, como indica Cunha e Caixeta (2002), os lixões constituem uma
forma inadequada de descarte final dos resíduos sólidos urbanos. Problemas e
inconvenientes como depreciação da paisagem, presença de vetores de doenças,
formação de gás metano e degradação social de pessoas, são fatores comuns a todos
os lixões e devem ser considerados como indicadores no planejamento do saneamento
das cidades.
19
2.3 – Alternativas Para a Coleta nos Municípios
Em diversos municípios brasileiros, o poder público municipal busca incentivar o
desenvolvimento econômico local, aumentando a produção agrícola, atraindo indústrias
e expandindo as atividades voltadas ao comércio e à prestação de serviços,
desconsiderando, muitas vezes, que o preço do crescimento econômico é o aumento
da produção de lixo.
Para enfrentar a problemática do lixo, isto é, sua geração, coleta,
processamento e sua destinação final, conforme descrito anteriormente existem
diversas possibilidades. Para o destino final existem desde os aterros sanitários, aterros
controlados, incineradores, usinas de compostagem e lixões, além da passagem por
reciclagem de entulho e compostagem simplificada até a coleta seletiva.
Dentre as soluções convencionais para o destino final do lixo, os lixões
continuam sendo as mais utilizadas, apesar dos graves prejuízos que trazem ao meio
ambiente, à saúde e à qualidade de vida da população. Já a coleta seletiva, reciclagem
de entulho e compostagem simplificada, embora sejam mais complexas do ponto de
vista da sua operacionalização, conseguem incorporar questões mais amplas tais como
emprego e renda, parcerias com outros setores governamentais e com a sociedade
civil.
É preciso tomar cuidado com alternativas que são apresentadas garantindo
grandes vantagens econômicas, lucros e/ou simples eliminação dos impactos
ambientais. Nenhuma solução irá livrar um município de um aterro controlado ou
sanitário, nem através de reciclagem, nem da máxima compostagem, ou mesmo
incineração (IPT 1995).
Além disso, Rosa (apud CARVALHO, 2001) observa que o destino final para os
resíduos de uma comunidade que queira dar soluções higiênicas e sanitárias para os
seus problemas de limpeza pública deverá passar, obrigatoriamente, por uma
reestruturação de seus sistemas gerenciais, sejam eles atrelados à administração
pública direta ou através de processos de “terceirização” .
Esta reestruturação deverá compreender, principalmente, a conscientização de
que a quantidade de lixo gerada é proporcional às condições sócio-econômica média
da população em questão, demandando maiores áreas para a destinação final do lixo
20
que muitas vezes, devido às condições ambientais e sanitárias tornam-se afastadas,
gerando crescentes custos de transporte. Além disso, sempre haverá sobras de lixo não
reaproveitáveis que deverão de ter um destino final, mesmo depois de passarem por
estações de tratamento e reciclagem.
Em resumo, deve-se pensar na coleta seletiva como uma alternativa para a
redução do volume nos lixões e aterros, além do reaproveitamento de algumas partes
do lixo como matéria-prima. Assim, a natureza ganha de duas formas: passa a ser
menos agredida e por outro lado reduz-se a exploração dos recursos naturais. A
geração de emprego e renda também é fator fundamental oriundos de um bom
programa de coleta seletiva. As usinas de triagem e reciclagem constituem geradoras
de emprego e renda, além de trazer dignidade para o trabalhador do lixo. Mas para a
implantação da coleta seletiva, é fundamental que se crie uma campanha de
conscientização da sociedade, conforme mencionado no item 2.2.3.1, sobre a
importância da coleta seletiva, visto que será dela a maior contribuição.
Trata-se, portanto, de uma questão que vai além do único interesse de destinar
corretamente o lixo, mas que extrapola para o campo social no momento em que se
promove a inserção de pessoas na sociedade, antes com condições de trabalho e vidas
desfavoráveis. 2.4 – A Coleta no Município de Campos dos Goytacazes - RJ
Ao longo dos anos, o sistema de limpeza pública do município de Campos
passou por várias mudanças, incluindo o processo de terceirização dos serviços. Até o
ano de 1994 o serviço de coleta era realizado por uma empresa do Espírito Santo, da
cidade de Vitória, em projeto experimental concebido pela Companhia de
Desenvolvimento do Município de Campos (CODEMCA), que envolvia ainda a divisão
de serviços. Como parte deste projeto a Prefeitura cedeu sua frota de caminhões de
coleta de lixo, somando-os aos caminhões da empresa de Vitória. Além disso, foram
traçados novos horários para a coleta buscando uma padronização do mesmo4.
Em 1997, os serviços na área de limpeza pública já estavam privatizados por
completo, tendo como empresa responsável pela coleta a EcoLurb. Naquele mesmo
4Fonte:Jornal Folha da Manhã, Campos dos Goytacazes, 24/09/94;
21
ano, já havia a intenção de implantar a coleta seletiva em hospitais e a coleta
diferenciada para comércio e indústria. A idéia era deflagrar uma série de importantes
medidas, visando fazer de Campos uma das cidades mais eficientes na resolução da
coleta de lixo5. O destino final do lixo coletado era o lixão no bairro CODIN, localizado
em uma área imprópria da cidade, que há 25 anos recebia todo o lixo sem qualquer
tratamento. Contudo, em 2000 o contrato com a empresa EcoLurb foi suspenso devido
a irregularidades no processo de licitação para a coleta de lixo na cidade. A partir daí,
os serviços de coleta passaram a ser de responsabilidade da empresa Queiroz Galvão.
A empresa Queiroz Galvão, que é a atual responsável pelos serviços de
limpeza pública no município de Campos, segundo se observa, trouxe um serviço de
melhor qualidade e regularidade para a população. Constata-se: um aumento da frota,
passando para 14 caminhões compactadores com capacidade de 15 m3 (equivalente a
3,5 ton., considerando o peso específico do lixo de 270 kg/m3); a transformação do lixão
em aterro controlado e a construção em parceria com a Prefeitura da primeira usina de
reciclagem e tratamento do lixo, na localidade de Santo Amaro.
A Prefeitura do município pretende implantar um sistema integrado de
tratamento do lixo municipal com a construção de usinas de reciclagem
descentralizadas, localizadas em pontos estratégicos do município; a utilização da
coleta seletiva; a produção de composto orgânico e a destinação do rejeito para um
aterro sanitário cuja implantação, se diz, depende da licença da FEEMA. Todas estas
medidas visam adequar-se às especificações da legislação ambiental (Jornal Gente &
Notícias, Campos dos Goytacazes, 1 a 14 de agosto de 2003).
A usina de Santo Amaro tem capacidade para processar cerca de 15
toneladas/dia de lixo gerando 27 empregos diretos e atendendo as comunidades da
Praia do Farol de São Tomé, Santo Amaro, Baixa Grande, entre outros lugares
adjacentes. A usina é composta por esteira de catação, triturador, peneira rotativa e
carro de apoio.
Apesar de não estar completamente implantado, o setor de Limpeza Pública de
Campos já apresenta mudanças consideráveis, notadas e apreciadas pela população,
que sente a eficiência do trabalho. Outro destaque foi o resgate da auto-estima dos
5Fonte:Jornal Monitor Campista, Campos dos Goytacazes, 18/06/97.
22
trabalhadores do setor, hoje, mais valorizados e orgulhosos do importante papel social
que desempenham.
2.5 – Contribuições Metodológicas na Problemática do Lixo
Como motivação para a aplicação de metodologias para solução do problema
do lixo, é importante lembrar que os serviços de limpeza absorvem em média entre 7%
e 15% dos recursos de um orçamento municipal, dos quais cerca de 50% são
destinados a coleta e ao transporte de lixo (IPT 1995). Portanto, um bom
gerenciamento destes serviços de coleta, representaria uma boa aceitação por parte da
administração municipal. Além disso, a sua otimização geraria uma economia
significativa dos recursos públicos.
Com respeito a coleta do lixo urbano, diversos trabalhos foram divulgados ao
longo dos anos, como por exemplo: o problema da coleta de lixo proposto por Bodin e
Beltrami (1974), o estabelecimento de frota para coleta de lixo urbano de Clark e
Gillean (1977), a otimização de rotas de coleta do lixo urbano na cidade do Rio de
Janeiro por Negreiros, Maculan e Cleiman (1991), o problema de roteamento em arcos
capacitados de Golden e Wong (1981), entre outros.
O objetivo nestes trabalhos é a otimização dos serviços prestados através da
minimização dos custos operacionais gerados pela atividade de coleta e transporte dos
resíduos sólidos. Alguns dos trabalhos acima citados como, por exemplo, o trabalho de
Negreiros et. al (1991) onde se relata uma aplicação utilizando o sistema de
gerenciamento de rota SisRot no Rio de Janeiro, conseguiu uma economia média de
10% anual (o preço de pelo menos, dois caminhões) em uma área de coleta onde a
produção de lixo era em torno de 600 – 700 t/dia. O SisRot baseado no algoritmo
Marcolix para coleta de lixo utilizou um banco de dados de Informação Geográfica
desenvolvido especialmente para coleta de lixo.
O clássico estudo de caso de Clark e Gillean (1977), na qual os autores
discutiram a aplicação de um sistema de aquisição e análise de dados e um modelo de
simulação para o complexo problema do sistema de gerenciamento de detritos sólidos
(lixo) na cidade de Cleveland (Ohio), mostrou como resultado que, a gerência municipal
de Cleveland reduziu seu orçamento anual de $14.800.000 em 1970 para menos de
23
$8.800.000 em 1972. O total da economia em um período de três anos foi de
$14.600.000 (os valores foram baseados no orçamento de 1970). Além disso, a cidade
reduziu o número de rotas de coleta de 224 para 102 e reestruturou seu sistema de
rotas de coleta.
Portanto, as diferentes áreas da Pesquisa Operacional têm papel fundamental
na obtenção de alternativas que visem a minimização dos gastos destinados ao
processo de coleta e transporte dos resíduos e, conseqüentemente, propicia uma
otimização dos recursos públicos destinados a este fim. Esta dissertação, motivada por
esta ótica, busca propor um algoritmo que calcule uma solução eficiente para o
problema da determinação da rota do veículo coletor, com relação ao tempo de
processamento.
Conforme descrito por Carvalho (2001), deve-se considerar que o projeto da
coleta é dinâmico e deverá ser acompanhado periodicamente visando observar se há
variação da geração de resíduos em cada setor, se novas ruas foram pavimentadas e
outros aspectos que influenciem na coleta, para efeito de alteração ou ajustes nos
roteiros originais ou, até mesmo, nos setores de coleta. Para tal, é imprescindível o
apoio de uma ferramenta computacional que auxilie nesta tarefa de atualização,
gerando soluções de qualidade em tempo satisfatório.
24
Capítulo 3 Principais Problemas de Roteamento em Arcos
3.1 - O Problema de Roteamento em Arcos
O objetivo dos problemas de roteamento em arcos (PRA’s) é determinar um
circuito de custo mínimo em um subconjunto de arcos de um grafo, tal que todos os
arcos deste subconjunto sejam atravessados ao menos uma vez, podendo o circuito ter
ou não restrições. Neste caso, pode-se estar interessado em rotear um veículo de cada
vez ou m veículos ao mesmo tempo, o que será tratado posteriormente na seção 3.6.
Estes problemas surgem em diversos contextos práticos onde há a
necessidade de otimizar a rota como, por exemplo, na entrega de cartas, na coleta do
lixo doméstico, na varrição e lavagem de ruas, na inspeção de redes elétricas, de água
ou gás, na fiscalização de linhas de ônibus (Canales e Morales, 2002), entre outros.
Grandes quantias em dinheiro são gastas a cada ano por governos e empresas
privadas no planejamento e execução destas operações.
Dentre os principais problemas de roteamento em arcos podemos citar o
Problema do Carteiro Chinês (PCC) que, de acordo com a natureza da rede, classifica-
se em: Problema do Carteiro Chinês Não Direcionado (PCCND), Problema do Carteiro
Chinês Direcionado (PCCD) e Problema do Carteiro Chinês Misto (PCCM). Além
destes, também se pode destacar, o Problema do Carteiro Rural (PCR) como uma
variante do PCC, uma vez que consiste em calcular uma rota que atende somente um
subconjunto R ⊆ A de arcos (EISELT et al, 1995b). Contudo, neste trabalho se aborda o
PCCM devido a estrutura das redes onde serão determinadas as rotas. A seguir, cada
um destes problemas é descrito detalhadamente.
25
3.2 - O Problema do Carteiro Chinês (PCC)
3.2.1 - Um Breve Histórico
O mais antigo documento referente ao problema de roteamento em arcos
(PRA’s) provavelmente é o famoso problema das sete pontes de Königsberg (Figura
3.1). Neste problema a questão foi determinar se existia um caminho fechado que
atravessasse, exatamente uma única vez, cada uma das sete pontes sobre o rio Pregel
em Königsberg, hoje chamado Kaliningrado. Este problema foi resolvido pelo
matemático suíço Leonhard Euler em 1736, que encontrou as condições para a
existência de um caminho fechado e mostrou que, neste caso particular, não havia
solução. Euler preocupou-se apenas em verificar a existência de um caminho fechado,
o qual ficou conhecido como Circuito de Euler. Porém, a questão de determiná-lo foi
resolvida bem mais tarde por Hierholzer (apud EISELT et al., 1995a).
O Problema do Carteiro Chinês (PCC) é um outro problema relacionado ao
problema de Euler, que foi proposto por Meigu Guan (1962), um matemático chinês da
Escola Normal Shangtun. Em contraste com o problema das pontes de Konigsberg,
aqui a questão é lidar com situações onde não exista solução ao problema acima
tratado (um caminho fechado que percorra uma única vez cada aresta). Neste caso, o
objetivo é determinar um caminho de comprimento mínimo cobrindo cada arco ao
menos uma vez. O problema foi relatado de forma simplificada por Guan (1962):
“Um carteiro tem de cobrir sua rota e depois retornar ao Posto de Correio. O
problema é encontrar a menor distância a ser percorrida pelo carteiro”.
Figura 3.1 – As sete pontes de Königsberg sobre o rio Pregel.
Fonte: www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes.
26
3.2.2 – Algumas Definições Inerentes ao PCCM
A seguir, são apresentadas algumas definições importantes para o
entendimento do PCCM. As definições básicas utilizadas da teoria dos grafos são
apresentadas no apêndice A.
Dado um vértice i∈V, id − (grau de entrada) representará o número de arcos que
entram em i, id +(grau de saída) o número de arcos que deixam i e id (grau) o número
de arcos e arestas incidentes em i. Um grafo misto G= (V, E ∪ A) é dito par se todos
seus vértices tem grau par, é dito simétrico se id −= id +
para cada vértice i∈V e é dito
ser balanceado se, para qualquer subconjunto S de vértices, a diferença entre o
número de arcos direcionados de S para V \ S e o número de arcos direcionados de V \
S para S não é maior que o número de arestas (não direcionadas) unindo S e V \ S
(EISELT et al., 1995a) (CORBERÁN et al., 2002).
Uma definição que deve ser ressaltada é a de grafo euleriano. Um grafo G
conectado é euleriano, se existe um caminho fechado em G contendo cada arco
exatamente uma vez e cada vértice ao menos uma vez.
Ford e Fulkerson (apud EISELT et al., 1995a) estabeleceram as condições
necessárias e suficientes para que um grafo conectado seja euleriano:
1. Seja G não direcionado, G é euleriano se e somente se todo vértice do grafo
tem grau par, isto é, um número par de arestas incidentes;
2. Seja G direcionado, G é euleriano se e somente se o número de arcos que
entram e saem de cada vértice são iguais. Em outras palavras, o grafo deve
ser simétrico;
3. Seja G misto, G é euleriano se e somente se todo vértice tem grau par e,
além disso, é balanceado.
Note que, se um grafo misto G é par e simétrico então G também é balanceado
e, portanto, euleriano. Deve-se ressaltar que simetria não e uma condição necessária
para que um grafo seja euleriano (figura 3.2)(EISELT et al., 1995a). Além disso, se G é
par, o PCCM pode ser resolvido de forma exata em tempo polinomial (EDMONDS e
JOHNSON, 1973).
27
3.2.3 – Complexidade do Problema
Dado um grafo fortemente conectado G, com custos não negativos associados
aos seus arcos ou arestas, o problema do carteiro chinês (PCC) consiste em encontrar
uma rota de custo mínimo (caminho fechado) atravessando, ao menos uma vez, todo
arco ou aresta de G. Como será visto mais adiante neste mesmo capítulo, este
problema possui complexidade polinomial para grafos não direcionados (todas suas
ligações são arestas) e grafos direcionados (todas suas ligações são arcos)
(EDMONDS e JOHNSON, 1973). Contudo, se o PCC é definido sobre um grafo misto,
tendo ao mesmo tempo arcos e arestas, o problema torna-se NP–Completo
(CORBERÁN et al., 2002). A definição formal do problema é:
Dado um grafo misto fortemente conectado G = (V, E ∪ A), sendo V = {v1, v2,
..., vn} o conjunto de vértices ou nós, E o conjunto de arestas, A = {(vi, vj): vi,
vj∈ V e i≠j} o conjunto de arcos e um custo não-negativo ce (que pode ser a
distância ou tamanho do arco/aresta) para cada e∈E ∪ A, o PCCM consiste
em encontrar uma rota de custo mínimo passando através de cada ligação
e∈E ∪ A ao menos uma vez.
Se um grafo G (direcionado, não direcionado ou misto) é euleriano existe
uma rota passando por cada ligação de G exatamente uma vez. Obviamente esta
rota será ótima e poderá ser facilmente encontrada. Neste caso, o próprio G pode
Figura 3.2 - Grafo que não é simétrico, porém é euleriano. Fonte: Eiselt et al., (1995a).
1 2
28
ser considerado como a solução para o PCC. Por outro lado, se um grafo
(direcionado, não direcionado ou misto) não é euleriano, o PCC pode ser
formulado como um problema, cujo objetivo é encontrar um conjunto de cópias de
ligações com o menor custo, tal que, quando adicionadas a G seja obtido um grafo
euleriano. Assim, o grafo aumentado formado por G mais as cópias das ligações
adicionadas, pode ser considerado como a solução do problema. Na figura 3.3, a
cópia de menor custo adicionada está representada pela aresta tracejada.
3.3 – O Problema do Carteiro Chinês Não Direcionado (PCCND)
O primeiro resultado conhecido referente ao PCCND é devido a Euler (1736), o
qual mostrou que um grafo não direcionado conectado G = (V,E) é euleriano se, e
somente se, todos seus vértices tem grau par. Em Eiselt et al. (1995a) menciona-se
que o matemático chinês Meigu Guan, observou que quando G tem um número par de
vértices de grau ímpar, um grafo euleriano G’ pode ser derivado de G pela adição de
arestas ligando os vértices de grau ímpar, isto é, algumas arestas são duplicadas pela
introdução de cópias com o mesmo custo. Além disso, provou que para garantir a
otimalidade de um circuito euleriano em G’, ele não deve conter mais que duas arestas
unindo qualquer par de vértices, e o custo das arestas adicionadas em todo circuito não
devem exceder a metade do custo do mesmo (EISELT et al., 1995a).
Grafo não euleriano Grafo aumentado euleriano
Figura 3.3 – Transformação de um grafo não direcionado
2
1
1
3
3 1
3
2
1
1
3
3 1
3
29
3.3.1 - Formulação para o PCCND
Pode-se formular o PCCND sobre um grafo G(V, E), como um problema de
programação linear inteira (PLI), tendo como solução ótima o número de arestas de
custo mínimo do grafo G que serão adicionadas formando G’(V, E’), fazendo com que
todos os vértices de G’ tenham grau par. Neste modelo, cada variável xij representa o
número de cópias da aresta (vi, vj), com i < j, necessárias para aumentar o grafo G; δ (i)
é o conjunto de arestas incidentes no vértice vi e T ⊆ V é o conjunto dos vértices de
grau ímpar. A seguir, é apresentada a formulação de um modelo de PLI para o PCCND
descrita em Eiselt et al.(1995a):
( , )
( , ) ( )
( , ) ( )
(1)
. .
1(mod 2) se (2)
0(mod 2) se \ (3)
{0,1} (4)
i j
i j
i j
ij ijv v
ij iv v i
ij iv v i
ij
Min c xE
s a
x v T
x v V T
x
δ
δ
∈
≡ ∈∈
≡ ∈∈
∈
∑
∑
∑
Neste modelo, a relação (1) representa a função objetivo, que busca o número
de arestas de menor custo que irão aumentar o grafo G. A relação (2) representa as
restrições que garantem que o número de arestas adicionadas incidentes nos vértices
de grau ímpar seja ímpar, enquanto a relação (3) representa restrições que garantem
que o número de arestas adicionadas incidentes nos vértices de grau par seja par. A
relação (4) explicita que os possíveis valores assumidos pelas variáveis xij são 0 ou 1.
Este modelo pode ser resolvido como um problema de emparelhamento no
grafo K|T| = (T,ET), onde T é o conjunto de vértice de grau ímpar, ET = {(vi , vj): vi , vj∈T,
i<j}, e o custo de (vi , vj) ∈ ET é o menor custo, dentre todos os caminhos existentes
entre os vértices vi e vj em G. O Grafo G’ é então obtido de G pela introdução das
30
arestas que resultam do emparelhamento de custo mínimo, observando-se que cada
aresta do grafo K|T| pode estar associada a um caminho em G.
Uma vez obtido um grafo euleriano G’ a partir do grafo G, um circuito euleriano
deve ser determinado em G’. Edmonds e Johnson (1973) propuseram um método com
complexidade da ordem de O(|V|), que é descrito a seguir:
Algoritmo 3.1 - Algoritmo End-Pairing para determinar um circuito euleriano em um grafo não direcionado.
PASSO 1 - Trace uma pequena rota, não contendo necessariamente todos os
vértices. Se todas as arestas foram incluídas na rota, pare;
PASSO 2 - Considere qualquer vértice v pertencente à rota contendo uma aresta
incidente que não esteja na rota. Forme uma segunda rota a partir de v, não
sobrepondo a primeira rota;
PASSO 3 - Sejam e1, e2 duas arestas incidentes em v na primeira rota, e sejam e3,
e4 duas arestas incidentes em v na segunda rota. Una as duas rotas em uma rota
simples: por exemplo, começando em v com a aresta e3, percorra a segunda rota
até retornar a v por e4 , então continue na primeira rota partindo de e2 até retornar a
v por e1. Se todas as arestas foram percorridas, pare. Caso contrário, vá para o
PASSO 2;
Além deste algoritmo, outros podem ser destacados como, por exemplo, o
algoritmo de Fleury, o algoritmo Next-Node e o algoritmo Maze-Search. Tais algoritmos
possuem formas diferentes de concepção do circuito euleriano (EDMONDS e
JOHNSON, 1973).
3.4 - O Problema do Carteiro Chinês Direcionado (PCCD)
No caso direcionado, determinar um grafo euleriano de custo mínimo a partir de
um grafo G pode ser obtido pela solução de um problema de fluxo de custo mínimo,
onde o fluxo em cada arco tem que ser pelo menos uma (01) unidade (Orloff apud
31
EISELT et al., 1995a). Deve-se notar que, ao contrário do caso não direcionado, este
problema pode não ter a mesma solução se G for somente conectado. Para garantir a
existência de uma solução, o grafo deve ser fortemente conectado, isto é, deve existir
um caminho direcionado entre todos os pares de vértices. Edmonds e Johnson (1973),
Orloff (1974) e Bodin e Beltrami (1974) mostraram como um grafo euleriano de custo
mínimo pode ser construído, resolvendo um problema de transporte.
Para a formulação como um problema de fluxo de custo mínimo, são feitas as
seguintes considerações. Seja I o conjunto de vértices vi , tal que a diferença entre o
número de arcos que entram em vi e o número de arcos que saem, seja igual a si , e J o
conjunto de vértices vj , tal que a diferença entre o número de arcos que saem de vj e o
número de arcos que entram seja igual a dj. Desta forma, si pode ser interpretado como
uma oferta no vértice i, e dj como uma demanda no vértice j e, além disso, cij denotará o
tamanho do menor caminho de vi para vj.
3.4.1 – Formulação para o PCCD
Apresenta-se o seguinte modelo de PLI para o PCCD, descrito em Eiselt et
al.(1995a):
(5 )
. .
( ) (6 )
( ) (7 )
0, in teiro ( , ) (8 )
i j
j
i
ij ijv I v J
ij i iv J
ij j jv I
ij i j
M in c x
s a
x s v I
x d v J
x v I v J
∈ ∈
∈
∈
= ∈
= ∈
≥ ∈ ∈
∑ ∑
∑
∑
Nesta formulação, a variável xij representa o número de vezes extra que cada
arco (i, j) será atravessado. Desta forma, a função objetivo na relação (5), busca
aumentar só àqueles arcos de menor custo. Em (6), as restrições garantem que os
32
arcos aumentados, partindo dos vértices vi, atendam suas ofertas, enquanto em (7) as
restrições garantem que os arcos aumentados, entrando nos vértices vj , atendam suas
demandas. Na relação (8), as restrições garantem a integralidade das variáveis. Uma
vez que um grafo euleriano é determinado, um circuito euleriano pode ser traçado
através do procedimento sugerido por van Aardenne–Ehrenfest e de Bruijn (1951),
também descrito em Edmonds e Johnson (1973).
Existem outros algoritmos que podem determinar o circuito euleriano em grafos
direcionados. Em particular, será apresentado um algoritmo que foi utilizado na
implementação do programa OTIMIZA_COLETA proposto nesta dissertação. No
Apêndice B, é ilustrado um exemplo de como trabalha o algoritmo 3.2 objetivando sanar
eventuais dúvidas:
Algoritmo 3.2 - Determina um circuito euleriano em um grafo euleriano direcionado. PASSO 1 – Selecione um vértice v0 ∈ V qualquer para ser o vértice inicial e rotule
todos os arcos como não usados. T ← v0;
PASSO 2 – Identifique um vértice w ∈ V adjacente a v0, tal que (v0 , w) ∈ A seja não
usado. Rotule (v0 , w) como usado e vá ao PASSO 3. Se w não foi encontrado e
todas os arcos já foram usados, PARE. Caso contrário, vá ao PASSO 4;
PASSO 3 – Acrescente w na 1º posição vazia de T., faça v0 ← w e volte ao
PASSO2;
PASSO 4 – Foi detectado um ”circuito parasita”. Desloque v0 para a última posição
vazia de T. Retorne ao vértice v adjacente a v0, tal que (v, v0) ∈ A tenha sido o
último arco rotulado como usado. v0 ←v. Volte ao PASSO 2.
3.5 – O Problema do Carteiro Chinês Misto (PCCM)
O PCCM é definido em um grafo misto fortemente conectado G = (V, A ∪ E),
onde A é um conjunto de arcos, E é um conjunto de arestas e adicionalmente se tem a
matriz C = (cij) de custos associada às ligações A ∪ E. Para resolver o PCCM, deve-se
encontrar os arcos e arestas de custo mínimo que irão aumentar G de maneira
conveniente, transformando-o num grafo euleriano. A partir daí, poderá ser obtido um
circuito euleriano no grafo aumentado. Se por outro lado, já se sabe que G é um grafo
33
euleriano, o problema reduz-se a determinar um circuito em G. Isso pode ser obtido em
três fases: (1º) designar direções para algumas arestas tornando G simétrico; (2º)
designar direções para as arestas restantes; (3º) determinar o circuito em G,
propriamente dito.
Para gerar um grafo simétrico de G, (1°) fase, pode-se aplicar o procedimento
proposto por Ford e Fulkerson (apud EISELT et al., 1995a):
Algoritmo 3.3 - Procedimento de Ford e Fulkerson para transformar um grafo misto num grafo simétrico.
PASSO 1 – Substitua cada aresta de G por um par de arcos com direções
contrárias, obtendo assim, um grafo direcionado G’ = (V, A’). Atribua um limite
inferior de 1 ao fluxo para cada arco A ∩ A’ e para cada arco de A’ \ A um limite
inferior de 0. Atribua também para cada arco de A’ um limite superior de 1.
PASSO 2 – Usando um algoritmo de fluxo de custo mínimo em redes, determine
uma solução possível para G’ . Seja xij o fluxo no arco (vi, vj).
PASSO 3 - Oriente as arestas de G da seguinte maneira: Se (vi, vj) ∈ E, xij =1 e
xji = 0, oriente (vi, vj) de vi para vj .
Para executar a 2° fase, quando o grafo transformado já tornou-se simétrico,
consegue-se orientar as arestas restantes por meio de um procedimento que possui
complexidade O(|A ∪ E|) descrito abaixo:
Algoritmo 3.4 - Procedimento para completar a orientação de um grafo simétrico. PASSO 1 – Se todas as arestas estão direcionadas, então PARE. PASSO 2 – Seja v um vértice com pelo menos uma aresta (v, w) incidente. Faça
v1:= v e v2:= w.
PASSO 3 – Oriente (v1, v2) de v1 para v2. Se v2 = v , vá para o PASSO 1.
PASSO 4 – Faça v1:= v2 e identifique uma aresta (v1, v2) incidente em v1. Vá para o
PASSO 3.
34
Uma vez obtido um grafo completamente orientado, pode-se optar pelo
algoritmo de Van Aardenne–Ehrenfest e de Bruijn ou o algoritmo 3.2, para determinar
um circuito euleriano em G.
Ford e Fulkerson (Apud EISELT et al., 1995) notaram que seu algoritmo de
Fluxo Máximo pode ser aplicado a um grafo par, onde, inicialmente, não se sabe se o
mesmo é euleriano ou não. O algoritmo então, produzirá ou não um fluxo possível.
Caso não produza um fluxo possível, o grafo não é euleriano. Se G não é euleriano,
para se obter um grafo euleriano, deve-se aumentar G através da geração de um
número suficiente de cópias de arcos e arestas de G até que o grafo resultante seja
euleriano. Portanto, para resolver o PCCM sobre um grafo G, primeiro deve-se
determinar um aumento de ligações de custo mínimo (i.é., o aumento de arcos e/ou
arestas que tenham o menor custo). Porém, isto nem sempre e possível, pois alguns
grafos não podem se tornar euleriano (veja figura 3.4).
O problema então, fica reduzido a determinar o aumento de arcos e arestas
com menor custo no grafo original G, de forma a tornar o grafo euleriano. Diversos
autores têm utilizado PLI para determinar este aumento de menor custo em grafos
mistos. Dentre estes, pode-se citar Grötshel e Win (1992), Kappauf e Koehler (1979)
que apresentaram formulações praticamente idênticas, diferindo apenas no nome das
variáveis. Uma outra formulação do PCCM foi proposta por Christofides et al. (1984).
Uma formulação em especial, devido a Ralphs (1993), será destacada por ter sido a
utilizada na obtenção dos valores ótimos dos grafos testados. Estes valores ótimos
foram comparados com as soluções geradas pelo programa OTIMIZA_COLETA que é a
Figura 3.4 – Grafo que não pode tornar-se euleriano
35
implementação do algoritmo da figura 4.5 (Capítulo 4). No capítulo 5, os testes serão
discutidos com maiores detalhes.
A seguir, aborda-se o modelo formulado por Ralphs (1993). Algumas notações
que serão usadas devem ser esclarecidas. Em um grafo misto G = (V, A ∪ E), E∧
e E∨
representam conjuntos distintos de arestas que serão orientadas, um contendo cópias
das arestas de E em uma dada direção e o outro, contendo cópias das mesmas
arestas, orientadas em direção oposta. Então, se e é uma cópia de uma aresta
orientada pertencente a E∧
ou E∨
, se dirá que~
e é a outra cópia correspondente.
3.5.1- Formulação para o PCCM
A formulação de PLI descrita por Ralphs (1993) para o PCCM é a seguinte:
’ ’
’
( ) ( )
’
’
. .
1
0
1
{0,1}
s s
s A E E
e e
s s s
s s
s v s v
a
e
Minimize c x
s t
y y e E
x y y s A E E
x x v V
y a A
y e
δ δ
∨ ∧∈ ∪ ∪
∨ ∧
+ −∈ ∈
+ ≥ ∀ ∈
= + ∀ ∈ ∪ ∪
− = ∀ ∈
= ∀ ∈
∈ ∀ ∈
∑
∑ ∑
�
0, inteiro .s
E E
y s A E E
∨ ∧
∨ ∧
∪
≥ ∀ ∈ ∪ ∪
Na formulação acima, pode-se pensar em cada solução viável como um grafo
aumentado particular. Para cada arco, ya’ representa a ‘cópia original’ do arco contido
em A e ya representa o número de ‘cópias adicionais’ incluídas no grafo aumentado.
Desta forma, as restrições (13) representam a necessidade de incluir ao menos uma
cópia de cada arco no grafo aumentado. As restrições (11) nos fornecem o total de
(9)
(12)
(11)
(10)
(13)
(14)
(15)
36
arcos unindo quaisquer dois vértices distintos no grafo aumentado. Já foi visto no
parágrafo anterior o significado de E∧
e E∨
. Portanto as variáveis ’ey e
’ey � representam
as primeiras cópias orientadas de uma aresta tomadas em cada direção, enquanto ey
e ey � representam cópias orientadas adicionais da mesma aresta incluída no grafo
aumentado.
As restrições (10) representam a necessidade de que haja ao menos uma cópia
de cada aresta no grafo aumentado. As restrições (12) garantem que o grau de cada
vértice do grafo aumentado seja zero, uma vez que δ -(v) (é o conjunto de arcos e
arestas orientadas que entram em v) e δ +(v) (é o conjunto de arcos e arestas orientadas
que saem de v) referem-se, respectivamente, ao grau de entrada e saída dos vértices
no grafo aumentado. Observe que esta notação de grau, embora seja diferente da
apresentada no início do capítulo, representa a mesma idéia.
Além dos autores já descritos, Nobert e Picard (1996) desenvolveram um
algoritmo de plano de corte baseado em PL para resolver o PCCM otimamente.
Contudo, todos estes métodos exatos são computacionalmente ineficientes, de modo
que apenas problemas de médio e pequeno porte podem ser resolvidos sem
dificuldades computacionais em tempo satisfatório (PEARN e CHOU, 1999).
Edmonds e Johnson (1973) já tinham sugerido uma heurística para resolver o
PCCM aproximadamente. A heurística consistia basicamente de duas fases. A Fase1
convertia o grafo original em um grafo par, por considerar cada arco como uma aresta,
e aplicava-se o algoritmo de Emparelhamento de Custo Mínimo. A Fase2 transforma o
grafo obtido da Fase1 em um grafo simétrico por meio do algoritmo de Fluxo de Custo
Mínimo. Porém, desde que o grafo simétrico transformado nem sempre se mantém par,
a rota do carteiro pode não ser construída. Frederickson (1979) modificou a heurística
adicionando uma nova fase, Fase3. A nova fase transforma novamente o grafo
resultante em par, podendo, assim, ser construída a rota do carteiro. Esta última
heurística foi chamado de MIXED 1 (PEARN e LIU, 1995) e gera boas soluções
satisfazendo as condições necessárias e suficientes para que um seja euleriano. A
seguir, serão descritas as fases do algoritmo MIXED 1:
37
Algoritmo 3.5 - Procedimento heurístico MIXED 1.
FASE 1 – Converte G em um grafo par. PASSO 1.1 - Considere G* o novo grafo obtido de G com as direções de todos os arcos ignoradas. PASSO 1.2 - Resolva o PCC sobre G* usando o algoritmo do emparelhamento de
custo mínimo de Edmonds e Johnson. Seja Z(E) o conjunto de arestas e Z(A) o
conjunto de arcos obtidos do emparelhamento. Faça E1 = E ∪ Z(E), A1 = A ∪ Z(A).
Então G1 = (V, E1, A1 ) é par.
FASE 2 – Transforma G1 em um grafo simétrico.
PASSO 2.1 - Construa uma nova rede G2 = (V, A2) com os custos e capacidades
dos arcos e demandas dos vértices definidos como:
• Para cada aresta {i, j} ∈ E1 , crie quatro novos arcos em A2 incluindo
(a) uma cópia de (i, j) com custo d(i, j) e capacidade de fluxo infinita;
(b) uma cópia de (j, i) com custo d(i, j) e capacidade de fluxo infinita;
(c) uma cópia de (i, j), chamada de (i, j)’ ,com custo zero e capacidade de fluxo 1;
(d) uma cópia de (j, i), chamada de (j, i)’ com custo zero e capacidade de fluxo 1;
• Para cada arco (k, l) ∈ A1, crie uma cópia de (k, l) em A2, com custo d(k, l) e
capacidade de fluxo infinita.
• Para cada vértice i ∈ V, defina:
(a) OFERTA se si > 0 , onde si = id − - id + ;
(b) DEMANDA se si < 0, onde si = id − - id + , onde id + é o número de arcos que
saem do vértice i e id − é o número de arcos que entram no vértice i.
PASSO 2.2 - Encontre o fluxo de custo mínimo sobre a rede G2. Faça Yij , Yji , Yij’ ,
Yji’ e Ykl ser o número de unidades de fluxo entre os arcos (i, j), (j, i), (i, j)’, (j, i)’ e (k,
l) respectivamente.
PASSO 2.3 - Construa uma rede simétrica G3 = (V, E3, A3). Inicialmente, faz-se E3 =
∅, e A3 = A1.
(a) se Yij’ + Yji’ = 1, ponha Yij’ copias do arco (i, j) e Yji’ copias do arco (j, i) em A3;
(b) se Yij’ + Yji’ ≠ 1, ponha uma copia da aresta (i, j) em E3;
(c) ponha Yij copias do arco (i, j) e Yji copias do arco (j, i) em A3;
(d) ponha Ykl copias do arco (k, l) em A3.
38
FASE 3 – Recupera a paridade do grafo G3 , caso a tenha perdido.
Seja A’ o conjunto de arcos artificiais gerados da fase II, e E4 = E3. Identifique ciclos
em A’ ∪ E4 que consistam de caminhos que alternem elementos de A’ e E4 ,
sendo que cada caminho tenha sua extremidade fixada em um vértice ímpar de G3
e a direção dos arcos pertencentes a A’ devem ser ignoradas. Como os ciclos
cobrem todos os vértices ímpares de G3, as direções dos ciclos serão
arbitrariamente designadas e os arcos no ciclo ou serão duplicados ou serão
deletados, dependendo se a direção do ciclo é a mesma que a direção original do
arco em A’ ou não, e as arestas serão orientadas. Conseqüentemente, todos os
vértices em G3 serão pares e simétricos. Chame o grafo resultante de G4.
Frederickson (apud PEARN e LIU, 1995) mostrou que a complexidade
computacional do algoritmo MIXED 1 é O(max{|V|3, |A|(max{|A|, |E|})2}), onde |V| =
número de vértices , |A| = número de arcos e |E| = número de arestas do grafo. O
mesmo autor mostrou ainda que a performance deste algoritmo em relação aos custos,
no pior caso, tem um limite superior de 2, isto é,
2Ótima) çãocusto(solu1) MIXED do çãocusto(Solu d (PEARN e LIU, 1995). Existe um
outro algoritmo que praticamente faz o inverso do algoritmo MIXED 1. Este algoritmo é
conhecido como MIXED 2. Ele primeiro obtém um grafo simétrico e posteriormente o
transforma em grafo par.
A complexidade computacional do MIXED 2 é a mesma do MIXED 1. Além
destes dois algoritmos citados, Pearn e Chou (1999) e Pearn e Liu (1995) apresentam
outras versões do algoritmo MIXED 1 chamados de MIXED 1 Modificado e MIXED 1
Melhorado e para o MIXED 2 são: MIXED 2 Modificado e MIXED 2 Melhorado.
3.6 – O Problema do Roteamento em Arcos para m Veículos
Um outro problema estritamente relacionado à coleta do lixo urbano, é o de
determinar rotas para uma frota de m veículos que partindo de um depósito (garagem)
percorra cada arco (ou aresta) ao menos uma vez atendendo suas demandas, e retorne
ao ponto de partida, de forma que a distância total percorrida por estes m veículos seja
minimizada, satisfazendo ainda às restrições de capacidade W de cada veículo e de
tempo (horário disponível) da tripulação. Este problema é conhecido na literatura como
39
o Problema de Roteamento em Arcos Capacitados (PRAC). É definido sobre um grafo
G = (V, E) não direcionado com demanda qij ≥ 0 e custo cij localizado nas arestas. No
caso de um grafo com demanda qij > 0 para toda aresta (vi, vj), o problema é conhecido
como Problema do Carteiro Chinês Capacitado (PCCC). Quanto à complexidade,
sabe-se que o PRAC e o PCCC, ambos são NP-Completos, sendo o desenvolvimento
de algoritmos heurísticos uma saída para a obtenção de boas soluções em tempos
competitivos. A seguir, se apresentam o modelo matemático para o PRAC proposto por
Golden e Wong (1981) e três algoritmos heurísticos para solucionar o PCCC.
3.6.1 - Formulação para o PRAC
Deve-se ressaltar que, para a formulação a seguir propõe-se que todas as
arestas (vi, vj) com qij > 0 devem ser servidas por um único veículo, porém, qualquer
veículo pode atravessar uma aresta sem servi-la. Assume-se que o depósito esta no
vértice um.
Uma formulação como um problema de programação linear inteira 0-1 para o
PRAC, proposta por Golden e Wong (1981), é descrita abaixo:
40
1 1 1
1 1
(16)
. . - = 0 para i=1,...,n (17)
n n Kp
ij iji j p
n np pki ik
k k
Minimize c x
s a x x
= = =
= =
∑∑∑
∑ ∑
1
p=1,...,K,
( ) para (i,j) E, (18)
Kijp p
ij jip
p pij ij
ql l
W
x l
=
+ = ∈
≥
∑
1
para (i,j) E
p=1,...,K, (19)
para p=1,...,K, n
pij ij
j
l q W=
∈
≤∑
~~ ~
~~ ~
~ ~
~ ~
1
~2
1
~1
2
1 2
1 2
(20)
Q -1 +
1 - 1,..., ; 1,..., 2 1
1;
, {0,1}
i j
i j
n
i
p pij
qv Q v Q
p pij n
qv Q v Q
p p
q q
p p
q q
x n y
x ypara p K q
y y
y y
x
=
∈ ∈
−
∈ ∉
≤ ≥ = = −+ ≤∈
∑
∑ ∑
∑ ∑
, {0,1}p pij ijl ∈
Nesta formulação, n representa o número de vértices ; K o número de carteiros
ou veículos disponíveis; qij a demanda na aresta (i,j); W a capacidade de cada veículo
(W ≥máx qij ); cij a distância do vértice i ao vértice j (custo de (i, j)); a variável 1pijx = ,
se a aresta (i,j) e atravessado pelo veículo p e 0 em caso contrário; a variável 1pijl = se
o veículo p serve a aresta (i,j) e 0 em caso contrário; z denota o menor inteiro maior
ou igual a z.
A relação (16) representa a função objetivo, que busca minimizar a distância
total viajada. As restrições (17) asseguram a continuidade da rota. As restrições (18)
declaram que cada aresta com demanda positiva é servida exatamente uma vez. As
restrições (19) garantem que a aresta (i,j) pode ser servida pelo veículo p somente se
E todo subconjunto não
vazio ~
Q de {2,3,…,n}
(21)
(22)
41
ela é atravessada pelo mesmo. A capacidade do veículo não é violada por causa da
restrição (20). As restrições na relação (21) proíbem a formação de sub-rotas ilegais.
Observe que cada índice ~
q corresponde a um subconjunto do conjunto ~
Q . Finalmente
as restrições em (22) garantem a integralidade das variáveis.
Observe que para um dado veículo p e um subconjunto de vértices ~
Q , somente
uma das duas variáveis binárias ~1
p
qy ou ~
2
p
qy pode assumir valor 1. Desta forma,
qualquer ciclo com um conjunto de vértices em ~
Q e arestas atravessadas pelo veículo p
deve estar conectado a V \~
Q (bem como ao depósito, no vértice 1) formalmente
estabelecido pela relação:
~ ~~ ~ ~ ~
~
1 2 > Q -1 =1 =0 1.
i j i j
p p p pij ij
q qv Q v Q v Q v Q
x y y x∈ ∈ ∈ ∉
⇒ ⇒ ⇒ ≥∑ ∑ ∑ ∑
Diversos procedimentos heurísticos têm sido propostos para o PRAC, que por
sua vez, segundo Eiselt et al. (1995), podem ser classificados em 3 categorias: 1)
métodos construtivos simples; 2) métodos construtivos de duas fases; e 3) métodos de
melhoria.
3.6.2 – Algoritmos Heurísticos para o PCCC
Nesta seção, apresentam-se três tipos de algoritmos heurísticos destinados a
resolver o PCCC, bem como o caso mais geral que é o PRAC (GOLDEN et al., 1983).
Os algoritmos são os seguintes: Path–Scanning, Construct and Strike e Augment–
Merge. A seguir, descreve-se o funcionamento de cada um deles separadamente:
3.6.2.1 - Algoritmo Seletor de Caminho (Path – Scanning)
A idéia básica deste algoritmo é construir um ciclo por vez baseado em um
critério de otimização míope. Na formação de cada ciclo, um caminho é aumentado pela
42
junção de um arco que seja mais promissor, até que a capacidade do veículo seja
extrapolada. A partir daí, o menor caminho de retorno ao depósito é selecionado. Na
escolha do arco mais promissor, cinco critérios de otimização são considerados a
saber:
Dado um caminho do depósito para o vértice i, escolhe-se o arco (i, j), sujeito à
restrição de capacidade, tal que: (1) a distância cij , por unidade de demanda restante é
minimizada; (2) a distância cij, por unidade de demanda restante é maximizada; (3) a
distância de retorno do vértice j até o depósito é minimizada; (4) a distância de retorno
do vértice j até o depósito é maximizada; (5) se o veículo está com menos da metade
cheia, maximize a distância de retorno do vértice j até o depósito, caso contrário,
minimize esta distância. A idéia principal é que, um número menor de ciclos longos
pode ter uma distância total menor. Independente do critério utilizado, uma vez que a
capacidade do veículo é totalmente utilizada, o ciclo será fechado pelo menor caminho
de retorno ao depósito.
No artigo de PEARN (1991) se comenta que, o algoritmo Path–Scanning é um
tanto simples de implementar, necessitando de pouco mais que 200 linhas de código
FORTRAN, produz bons resultados e requer relativamente pouco tempo de
processamento. Sua complexidade é de O(n3).
3.6.2.2 - Algoritmo de Construção e Remoção (Construct and Strike)
Este algoritmo heurístico foi apresentado por Christofides em 1973, com o
objetivo de encontrar uma solução aproximada para o PCCC. O algoritmo recebe este
nome, pois constrói repetidamente ciclos viáveis e então os remove.
O algoritmo Construct and Strike baseia-se na repetição de três Passos: i) O
primeiro passo tenta construir ciclos viáveis do grafo corrente, que serão removidos
posteriormente, obedecendo as seguintes condições: (1) a remoção de um arco servido
no ciclo não deve desconectar o grafo corrente; (2) a soma das demandas dos arcos
servidos nos ciclos não deve exceder a capacidade do veículo.
ii) O segundo passo da heurística de Cristófides registra as demandas dos
arcos servidos pelos ciclos criados no Passo (i) e elimina esses arcos do grafo corrente.
Adicionalmente, arcos artificiais que foram incrementados ao grafo no passo (i) são
43
eliminados, tal que o grafo passado para o Passo 3 do algoritmo contenha somente
vértices e demandas em arcos não servidos. Este procedimento, de construir e remover
ciclos, será repetido até que nenhum ciclo mais seja encontrado.
iii) No terceiro e último passo, o algoritmo toma o grafo do Passo (ii) e adiciona
um conjunto de arcos artificiais, de custo mínimo, para garantir que o depósito seja de
grau par e que todos os outros vértices do grafo corrente sejam de grau par. O
algoritmo realiza isso encontrando um emparelhamento de peso mínimo entre os
vértices de grau ímpar do grafo corrente. Os arcos artificiais com seus respectivos
custos são adicionados, como conseqüência do cálculo dos caminhos de custo mínimo
entre os vértices de grau ímpar. Quando o depósito é de grau zero, é substituído por
dois vértices artificiais, que são conectados por um arco com um alto custo proibitivo
para garantir que ele não seja usado no emparelhamento. O grafo corrente, incluindo os
arcos artificiais determinado pela solução do emparelhamento é então retornado ao
Passo I(i) do algoritmo. As iterações permanecem entre os passos (i) – (ii) até que não
existam mais arcos a serem servidos. Este algoritmo foi implementado por Golden et
al.(1983) em FORTRAN, utilizando uma sub-rotina de emparelhamento de custo
mínimo, desenvolvida por Deris e Kazakidis (1979). A complexidade deste algoritmo é
de O(mn3) (PEARN, 1991).
3.6.2.3 - Algoritmo de Aumento e Junção (Augment – Merge)
Este procedimento foi originalmente proposto por Golden e Wong (1981) para
resolver o PCCC e o PRAC. Posteriormente, algumas modificações no critério do
cálculo da economia foram propostas por Golden et al. (1983), no intuito de melhorar o
Passo 3 (a Junção) do algoritmo. Os passos do algoritmo são descritos abaixo:
Algoritmo 3.6 – Procedimento Augment – Merge.
PASSO 1–INÍCIO: todas as demandas nos arcos são servidas por ciclos separados;
PASSO 2–AUMENTO: partindo do ciclo com a maior demanda, veja se a demanda
de um arco em um ciclo menor pode ser servida através de um ciclo maior;
44
PASSO 3–JUNÇÃO: sujeito à restrição de capacidade, avalie a junção de quaisquer
dois ciclos. Junte os dois ciclos que produzir a maior economia positiva (para tal,
use a seguinte função economia Sij=li + lj – mij);
PASSO 4– ITERAÇÃO: repita o Passo 3 até finalizar.
No Passo 1, constrói-se ciclos iniciais tal que cada ciclo sirva exatamente a um
aresta. Isso é feito encontrando o caminho mínimo entre os vértices extremos de cada
aresta e o depósito. No Passo 2, ordena-se os ciclos encontrados do maior para o
menor com respeito ao custo (distância). O maior ciclo recebe o número 1, e assim
sucessivamente. A seguir, tenta-se servir a demanda de um arco localizado em um ciclo
menor por meio de um ciclo maior.
Por exemplo, na primeira rodada se têm m ciclos e, se analisa se a demanda do
arco no ciclo i+1 pode ser servida no ciclo i, isso é feito e o ciclo i+1 é desconsiderado.
Da mesma forma, se a demanda do arco no ciclo i+2 pode ser servida no ciclo i, isso é
feito e o ciclo i+2 é descartado, e assim sucessivamente. Se o ciclo i atinge sua
capacidade, ele é separado e o aumento começa no próximo ciclo. O processo continua
até que todos os ciclos tenham sido considerados.
O Passo 2 resulta na formação de um número de ciclos que cai em uma das
três classes: (1) ciclos com a capacidade atendida e separados; (2) ciclos
desconsiderados, pois as demandas de seus arcos puderam ser servidas por ciclos
maiores; (3) ciclos com demanda em um ou mais arcos, porém com capacidade não
preenchida.
No Passo 3 procura-se unir pares de ciclos através dos vértices comuns de
ambos os ciclos, que estão enquadrados na terceira categoria acima. O ciclo unido ou
fundido deve obedecer à limitação de capacidade do veículo e deve servir ao mesmo
conjunto de arcos dos dois ciclos originais.
A seguir, é apresentado um exemplo extraído de Golden et al. (1983) para
ilustrar o procedimento descrito acima. Considere o exemplo da Figura 3.5 abaixo onde
os custos de cada aresta estão indicados, o depósito está no vértice 1, as arestas
possuem demandas unitárias e a capacidade do veículo é de 4 unidades.
45
O Passo 1 produz nove ciclos, listados abaixo e ordenados por custo
(distância).
Tabela 3.1 – Ciclos gerados pelo passo 1 ordenados em ordem decrescente.
Número
do ciclo
Custo do
ciclo Ciclo
1 16 1 4 6 1 2 15 1 5 6 1 3 14 1 4 1 4 13 1 3 6 1 5 10 1 5 1 6 10 1 2 6 1 7 8 1 6 1 8 8 1 3 1 9 6 1 2 1
Na tabela 3.1, o sublinhado indica as arestas cujas demandas estão sendo
atendidas. O Passo 2 busca aumentar a demanda atendida no ciclo 1 com as
demandas atendidas no ciclo 2, no ciclo 3, e assim por diante. O passo de aumento
(passo 2) continua buscando aumentar o ciclo 1 até obter o resultado apresenta-se a
seguir:
3
3
4
5
4
5
7
5
6
Figura 3.5 – Grafo do exemplo
Dep.
46
Tabela 3.2 – Ciclos resultantes após o passo 2 (aumento) ser executado.
Número do
ciclo
Custo do
ciclo Ciclo
1 16 1 4 6 1
2 11 1 5 6 1
4 9 1 3 6 1
6 6 1 2 6 1
Pode-se observar que nenhum destes ciclos acima preenche completamente a
capacidade do veículo (caminhão), podendo, desta forma, serem unidos. Durante a
junção de quaisquer dois ciclos, deve-se atentar para que o ciclo resultante sirva ao
mesmo conjunto de arcos dos dois ciclos originais. Por exemplo, embora o ciclo 1 tenha
o vértice 6 em comum com os demais ciclos, não se deve uni-los, evitando assim, que 6
1 deixe de ser servida. Para ilustrar, considere a junção dos ciclos 1 e 2 através do
vértice 6 resultando no seguinte ciclo: 1 4 6 5 1 . Observe que a aresta (1, 6) deixou
de ser atendida. Este fato é visto pelo procedimento como uma junção ilegal. A junção
é feita no Passo 3, produzindo os seguintes resultados iniciais:
3
3
4
5
4
5
7
5
6
Figura 3.6 – Aumento do ciclo 1, com os ciclos 3 e 7.
47
Tabela 3.3 – Ciclos formados pelas junções do passo 3.
Nome da
Junção Economias Ciclo
T24 8 1 5 6 3 1
T26 8 1 5 6 2 1
T46 8 1 3 6 2 1
As economias são ordenadas de forma decrescente e selecionada a maior. Seu
cálculo baseia-se na seguinte função:
Sij=li + lj – mij (23)
Onde: Sij = economia atribuída à junção;
l k = custo do k-ésimo ciclo;
m ij = custo do ciclo resultante da junção dos ciclos i e j.
No grafo do exemplo, tem-se os custos l2=15, l4=13 e o custo do ciclo resultante
m24=20.
3
3
4
5
4
5
7
5
6
Figura 3.7 – Junção dos ciclos 2 e 4.
48
O valor das economias para as três junções acima é 8. Seleciona-se
arbitrariamente T24 . O ciclo 4 é então descartado, e o ciclo 2 passa a ser a junção T24 .
A partir daí, tenta-se atualizar as junções T26 e T46. A partir deste momento, não é
possível mais realizar junções e o algoritmo pára. Os ciclos finais são:
1 4 6 1
1 5 6 3 1
1 2 6 1
O custo total é de 16 + 20 + 10 = 46. Este valor parece ser a solução ótima.
Pelo que foi exposto, pode-se perceber a existência de uma diversidade de
propostas para calcular soluções que envolvem os Problemas de Roteamento em Arcos
(PRA). Tais classes de métodos apresentam complexidade e formas de abordagens
diversas. Considerando a busca de soluções aproximadas para o problema do lixo,
estas devem ser abordadas segundo o que se pretende resolver.
Portanto, se o objetivo é designar veículos coletores para diversas rotas,
respeitando suas capacidades e otimizando a distância total percorrida, a abordagem é
de um tipo. Por outro lado, conhecendo-se os setores de coleta, pode-se desejar que a
distância percorrida pelo veículo coletor seja a menor possível. Trata-se, portanto, de
uma outra abordagem cujo objetivo também é otimizar os custos com transporte.
Soluções deste tipo possuem grande importância, visto que a concepção de rotas é
uma atividade dinâmica, pois em cidades de médio e grande porte, a rede viária está
em constantes mudanças em suas configurações visando atender o aumento de fluxo e
o bem estar da população.
Concluindo, como foi dito, o objetivo do presente trabalho de dissertação
enquadra-se na segunda abordagem, que consiste em propor um método de solução
aproximada para o PCCM, visando a otimização das rotas a serem percorridas pelos
veículos.
49
Capítulo 4
Algoritmo Proposto para a Otimização da Coleta 4.1 – Introdução
Neste capítulo serão descritas as etapas do algoritmo empregado na otimização
das rota de coleta de um veículo em seu respectivo setor de coleta. Trata-se de um
algoritmo onde se utiliza a metaheurística GRASP destinado a resolver o PCC em
grafos mistos G = (V, A ∪ E). Deve-se lembrar, que os grafos mistos são formados por
um conjunto de arestas E (uma abstração de ruas de mão-dupla) e um conjunto de
arcos A (uma abstração de ruas de mão-única) e que os modelos para resolver o PCC
para este tipo de grafo são NP-Completos, isto é, não existem algoritmos de eficiência
polinomial para resolver este tipo de problema. A seguir, serão abordadas algumas
generalidades sobre metaheurísticas, incluindo suas características e tipos, e em
seguida será apresentado o algoritmo proposto para resolver o PCCM.
4.2 – Generalidades sobre Metaheurísticas
Considere um conjunto S de variáveis discretas s (chamadas soluções) e uma
função objetivo f: S → IR , o qual associa a cada solução s∈S um valor real f(s).
Supondo que o problema seja de minimização, deseja-se encontrar a solução s* ∈ S,
cujo valor seja mínimo, isto é, para todo s ∈ S, f(s*)≤ f(s). Neste caso, s* é chamada de
solução ótima.
Muitos problemas com as características descritas acima, são classificados na
literatura como NP-Completos, que significa, a não existência de algoritmos que os
resolvam em tempo polinomial. Pertence a essa classe, a maioria dos problemas de
otimização combinatória (SOUZA, 2002). Considere como exemplo o Problema do
50
Caixeiro Viajante (PCV), que consiste em um vendedor sair de uma cidade chamada
origem, visitar cada uma das n-1 cidades restantes uma única vez, e retornar à cidade
origem percorrendo a menor distância possível. Na literatura, a rota fechada que passa
uma única vez pelos vértices de um grafo é conhecida como ciclo hamiltoniano. O PCV
busca um ciclo hamiltoniano de custo mínimo. Desta forma, a dificuldade de solução do
PCV reside no grande número de soluções viáveis (ciclos hamiltonianos) existentes,
gerando aproximadamente (n-1)!/2 rotas possíveis. Portanto, mesmo com os melhores
computadores, seria impraticável enumerar todas as rotas possíveis, para valores
elevados de n, e logo identificar o ciclo de menor custo.
Esta dificuldade motivou o surgimento de algoritmos heurísticos destinados a
encontrar “boas” soluções ao invés do ótimo. Segundo Souza (2002), as heurísticas
podem ser definidas como uma técnica que procura soluções próximas da ótima a um
custo computacional razoável, sem, no entanto, estar capacitada a garantir a
otimalidade, bem como garantir quão próximo, uma determinada solução aproximada,
está da solução ótima.
A partir da junção de conceitos das áreas de Otimização e Inteligência Artificial,
foi possível construir melhores estratégias, conhecidas como “metaheurísticas”. As
metaheurísticas são procedimentos de busca local, destinados a encontrar uma boa
solução, eventualmente a ótima, consistindo na aplicação, em cada passo, de uma
heurística subordinada, a qual tem que ser modelada para cada problema específico.
Contrariamente às heurísticas convencionais, as metaheurísticas são de caráter geral e
tem condições de escapar de ótimos locais. De acordo com Souza (2002), as
metaheurísticas diferenciam-se entre si pelas seguintes características:
a) critério de escolha de uma solução inicial;
b) definição da vizinhança N(s);
c) critério de seleção de uma solução vizinha dentro de N(s);
d) critério de término.
Pode-se destacar como metaheurísticas os seguintes procedimentos:
Algoritmos Genéticos (AG), Redes Neurais, Simulated Annealing (Têmpera Simulada),
Busca Tabu (BT), GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure), VNS
(Variable Neighborhood Search), Colônia de Formigas, entre outros. A seguir será
51
discutida apresentada a metaheurística GRASP com maiores detalhes, devido a
facilidade em implementá-la e a velocidade de resposta.
4.2.1 – Algoritmo GRASP
O procedimento GRASP (procedimento de busca adaptativa gulosa e aleatória)
é um método iterativo, proposto por Feo e Resende (1995), que consiste de duas fases:
uma fase de construção, na qual uma solução viável é gerada, elemento a elemento, e
uma fase de busca local na qual um ótimo local é pesquisado, na vizinhança da solução
viável construída. A melhor solução aproximada encontrada ao longo de todas as
iterações GRASP realizadas é retornada como resultado. A figura 4.1 ilustra o
pseudocódigo de um procedimento GRASP. Neste pseudocódigo, f(.) é a função
objetivo a ser minimizada, g(.) é a função critério de escolha dos elementos da Lista de
Candidatos Restrita (LCR), N(.) é a vizinhança da solução construída que será
examinada, GRASPmáx é o número máximo de iterações, e s é a melhor solução
encontrada que retornará do procedimento GRASP.
Figura 4.1- Pseudocódigo da metaheurística GRASP
Na fase de construção, uma solução é iterativamente construída, elemento por
elemento. A cada iteração desta fase, os próximos elementos candidatos a serem
incluídos na solução são colocados em uma lista C de candidatos, seguindo um critério
de seleção pré-determinado. Esse processo de seleção é baseado em uma função
Procedimento GRASP (f(.),g(.),GRASPmáx ,s); 1 f *← ∞; 2 para (Iter = 1,2,.....,GRASPmáx) faça; 3 Construção (g(.),α,s); 4 BuscaLocal (f(.),N(.),s); 5 se (f(s) < f *) então; 6 s* ← s; 7 f * ← f(s); 8 fim-se; 9 fim-para; 10 s ← s*; 11 Retorne s; Fim GRASP;
52
adaptativa gulosa g: C → IR, que estima o benefício da seleção de cada um dos
elementos. Em outras palavras, a função gulosa representa o aumento sofrido pela
função custo devido à incorporação deste elemento na solução em construção
(RESENDE e RIBEIRO, 2002).
A heurística é adaptativa porque os benefícios associados com a escolha de
cada elemento são atualizados em cada iteração da fase de construção, para refletir as
mudanças oriundas da seleção do elemento anterior. A componente probabilística do
procedimento reside no fato de que cada elemento é selecionado de forma aleatória a
partir de um subconjunto restrito formado pelos melhores elementos, com o menor
custo incremental g(e), que compõe a lista de candidatos. Este subconjunto recebe o
nome de Lista de Candidatos Restrita (LCR) e pode ser limitada pelo número ou pela
qualidade de seus elementos. O aspecto guloso do algoritmo verifica-se no fato de que,
a seleção dos elementos na LCR para a chegar à melhor solução em construção, seja
apenas daqueles que aumente o custo o mínimo possível (RESENDE e RIBEIRO,
2002). Esta técnica de escolha permite que diferentes soluções próximas do ótimo
sejam geradas em cada iteração GRASP. A figura 4.2 a seguir, representa o
pseudocódigo da fase de construção GRASP, onde α ∈ [0,1] é um parâmetro dado:
Figura 4.2 - Pseudocódigo da fase de construção.
Pode-se dizer que o parâmetro α (responsável pelo tamanho da LCR) controla
o nível de gulodice e aleatoriedade do procedimento Construção. Para α = 0, as
Procedimento Construção(g(.),α,s); 1 s←∅; 2 Inicialize o conjunto C de candidatos; 3 enquanto (C ≠ ∅) faça; 4 gmin ← min {g(e) | e ∈ C}; 5 gmax ← máx {g(e) | e ∈ C}; 6 LCR={e ∈ C | g(e) ≤ gmin + α (gmax – gmin)}; 7 Selecione um elemento e∈ LCR aleatoriamente; 8 s←s ∪ { e }; 9 Atualize o conjunto C de candidatos; 10 fim-enquanto; 11 Retorne s; Fim Construção;
53
soluções viáveis geradas serão puramente gulosas, enquanto α = 1 produz soluções
puramente aleatórias. Portanto, ele é basicamente o único parâmetro a ser ajustado
durante a implementação.
Como as soluções geradas pela fase de construção nem sempre são
localmente ótimas, faz-se importante à fase de busca local objetivando a melhoria da
solução construída. Deve-se ressaltar, que a eficiência da busca local depende da
qualidade da solução construída. Boas soluções construídas servem de bons pontos de
partida para a busca local, acelerando-a. O pseudocódigo da figura 4.3 exemplifica um
procedimento de busca local com respeito a uma certa vizinhança N(.) do ponto s.
Figura 4.3 - Pseudocódigo da fase de busca local
Um algoritmo de busca local trabalha de forma iterativa, por substituir
sucessivamente, a solução corrente por uma solução melhor, localizada na vizinhança
da solução corrente.
4.3 – O Algoritmo Proposto
Nesta seção é descrito o algoritmo utilizado para resolver um PCCM. Trata-se
de um algoritmo baseado na metaheurística GRASP como foi antecipado. As fases
componentes deste algoritmo: fase de construção e fase de busca local; serão descritas
separadamente de maneira que sejam identificadas suas peculiaridades.
Posteriormente é apresentado um pequeno exemplo.
Procedimento BuscaLocal (f(.),N(.),s); 1 s* ← s; {melhor solução encontrada} 2 V = {s’ ∈ N(s) | f(s’) < f(s)}; 3 enquanto (|V| > 0) faça; 4 Selecione s ∈ V; 5 se (f(s) < f(s*) então s* ← s ; 6 V = {s’ ∈ N(s) | f(s’) < f(s)} 7 fim-enquanto; 8 s ← s* ; 9 Retorne s ; Fim BuscaLocal;
54
4.3.1 – Fase de Construção
O objetivo da fase de construção, basicamente é orientar as arestas do grafo a
fim de obter um grafo direcionado, e com o auxílio de um algoritmo para resolver o
Problema de Fluxo de Custo Mínimo (PFCM) torná-lo simétrico (ver ANEXO A, seção
2). Nesta condição, o PCC é resolvido em tempo polinomial. Deste modo se obtêm uma
solução aproximada para o PCCM no grafo misto original.
Inicialmente cria-se uma lista de arestas não orientadas (U), contendo todas as
arestas do grafo (U = E). A cada passo da fase de construção, uma aresta é
selecionada aleatoriamente e orientada. O conjunto de arestas orientadas será
denotado por Ed. Para a execução, a partir de agora, d(v) será a diferença entre o
número de arcos e arestas orientadas que entram em v e o número de arcos e arestas
orientadas que saem de v, ou seja, d(v)= d(v)- - d(v)+. Sem causar confusão, d(v) será
chamado de grau do vértice v. Portanto, d(v)> 0 indicará que existe oferta no vértice v,
d(v)< 0 indicará a existência de demanda, enquanto d(v)=0 indicará que v é um vértice
de passagem.
A função de avaliação gulosa w(i,j) de determinada aresta (i,j), representa a
conveniência de orientá-la, de forma a aproximar o grafo de um grafo simétrico. O valor
de w(i,j) para determinada aresta (i,j) será o seu peso. Considere, por exemplo, uma
aresta (i,j) tal que d(i)=3 e d(j)= -4. A orientação mais apropriada para (i, j) seria de i
para j , e não ao contrário (Figura 4.4). Por outro lado, no caso d(i)=2 e d(j)=2, não
existe um sentido mais apropriado que outro, portanto a orientação será aleatória.
Figura 4.4 - Orientação de uma aresta (i, j).
d(i)=3
d(j)= -4
55
Considerar a seguinte definição para a função w(i, j), da aresta(i,j). Seja ε um
número positivo muito pequeno, pode-se considerar os seguintes casos:
Caso 1: se d(i).d(j) > 0 então w(i,j) = -|d(i) + d(j)|.
Caso 2: se d(i).d(j) < 0 então w(i,j) = |d(i) - d(j)|.
Caso 3: se d(i)=0 e d(j)= 0 então w(i,j) = - ε.
Caso 4: se d(i)=0 ou d(j)= 0 então w(i,j) = ε.
Portanto, após todos os pesos w(i,j) terem sido calculados, o conjunto U será
organizado em ordem decrescente de pesos w. A cada passo na fase de construção,
uma aresta (i, j) é aleatoriamente selecionada entre os λ primeiros elementos de U,
onde λ é o tamanho da LCR. Então a aresta (i,j) é orientada do vértice com maior grau
para o vértice com menor grau. Se i e j tiverem o mesmo grau, então (i,j) é
aleatoriamente orientado. Os conjuntos U e Ed são atualizados através da retirada da
aresta (i,j) de U e a inserção desta no conjunto Ed. Do mesmo modo d(i), d(j) e w(i,j) são
também atualizados. A fase de construção termina quando todas as arestas tiverem
sido selecionadas e orientadas. Conseqüentemente, quanto maior o número de arestas
do grafo, mais tempo levará para a fase de construção ser finalizada. Desta forma, a
fase de construção termina após |E| passos. Logo, se executa o cálculo de Fluxo de
custo mínimo o PFCM sobre o grafo direcionado GF =(V, A ∪ Ed ∪ Ed’), com demandas
e ofertas computadas com respeito aos arcos em A ∪ Ed, onde Ed’ é o conjunto de
arcos paralelos àqueles em Ed com o mesmo custo, porém com direções opostas.
Adicionando os arcos pertencentes à solução do PFCM ao grafo G=(V, A ∪ Ed), obtém-
se um digrafo GS =(V, A ∪ Ed ∪ AF), simétrico e euleriano, onde AF é formado pelos
arcos utilizados na solução do PFCM. Associado a este grafo estará uma rota T com
custo Z(T) correspondente a uma solução do grafo misto original. Após estes passos,
segue-se a fase de melhoria.
4.3.2 – Fase de Melhoria
Nesta fase, se aplica um procedimento de busca local, objetivando encontrar
um ótimo local que seja melhor que a solução construída. O procedimento parte então,
56
da rota T obtida na fase de construção sobre o grafo que é a solução do PCCM. O grafo
solução, chamado de GS, é representado por um digrafo (grafo orientado) fortemente
conectado, contendo todos os arcos originais e arestas orientadas do grafo e uma ou
mais cópias destas ligações. Deve-se notar, que no grafo solução existirá ou um arco
simples, dois arcos com direções opostas ou dois ou mais arcos, todos eles com a
mesma direção, associado a cada aresta original e ∈ E.
Dados dois vértices i e j unindo um caminho de cópias, pode-se efetuar a
melhoria, através da substituição destas cópias pelas cópias dos arcos do caminho
mínimo em G unindo tais vértices. Portanto a melhoria, definida como m(i,j), é a
diferença entre o valor da função objetivo antes e após a substituição. Mais ainda, ela
pode ser calculada como o custo do caminho eliminado, menos o custo do caminho
mínimo adicionado. Em cada passo da fase de melhoria, se seleciona um par de
vértices que estejam unidos por um caminho de cópias. Para tanto, se deve explicitar
tais pares construindo um novo grafo misto G’=(V, E’, A’), derivado do grafo solução Gs,
como segue:
Para cada arco original (i,j) ∈ A coloque n - 1 cópias dele em A’, onde n é o
número de vezes que ele aparece em Gs. Para cada aresta e∈ E, tendo exatamente
dois arcos com direções opostas associados em Gs,, coloque uma aresta em E’, caso
contrário, n –1 cópias de seus arcos associados são adicionados a A’.
Então, computa-se estas componentes conectadas do grafo G’ e se reduz a
busca a pares de vértices dentro de cada componente. No intuito de reduzir o esforço
computacional, esta busca estará restrita apenas a vértices adjacentes a somente um
outro vértice. Se o valor da melhoria for positivo a troca é realizada, caso contrário, será
rejeitada. A fase de melhoria termina quando todos os pares de vértices forem
revisados e nenhuma melhoria possa ser mais realizada.
Após completar um número de iterações igual a NITER (Nmáx), o algoritmo é
finalizado e a melhor solução encontrada é retornada como solução final. O
pseudocódigo do algoritmo GRASP é apresentado a seguir:
57
Procedimento Otimiza_Coleta (G(V,A ∪E), Nmáx, λ); 1 iterm 0;
2 Niter← Nmáx;
3 enquanto (iter < Niter ) faça
4 iter ← iter +1;
seja Ed = ∅ e U = E. Compute o peso(e) = w(i,j); para todo e = (i,j) ∈ U;
5 enquanto (U ≠ ∅) faça {Fase de Construção}
6 Considere as λ arestas em U com maior peso. (λ é o tamanho da L.C.R.);
7 Selecione uma aresta (i,j) aleatoriamente, oriente-a, retire-a de U e adicione a Ed ;
8 Atualize os pesos de todas as arestas em U incidentes em i e j;
9 fim-enquanto;
10 calcule os graus (oferta/demanda) dos vértices em GF ;
11 resolver o PFCM em GF , com os graus calculados em (10);
12 adicionando a A ∪ Ed uma cópia de cada arco e cada aresta orientada usada pelo fluxo
(11), obtém-se um grafo Euleriano Orientado com uma rota T de custo z(T) ;
13 enquanto (houver melhoria) faça { Fase de Melhoria}
14 remova de T as cópias das arestas que apareça mais que duas vezes em T e tem
rótulos de orientação opostos. Atualize z(T);
15 construa o Grafo Misto G’ = (V , E’, A’) e compute seus componentes conectados,
conforme descrito em (4.3.2);
16 para cada um destes componentes conectados faça:
encontre u e v tal que o tamanho do menor caminho de u até v em G, chamado de φ,
seja menor que o tamanho do menor caminho de u até v, ϕ, neste componente
conectado; Remova de T as cópias dos links em ϕ e adicione a T uma cópia de cada
link em φ. Melhoria m tamanho (ϕ) – tamanho(φ) ; z(T) m z(T) – melhoria;
17 fim-enquanto;
58
Figura 4.5 - Pseudocódigo do algoritmo do carteiro chinês misto baseado na GRASP.
Observa-se que os parâmetros NITER e λ (tamanho da LCR) são os únicos a
serem ajustados no algoritmo. Seguindo as recomendações dos testes apresentados
em Corberán et al. (2002), nesta pesquisa foram considerados seis diferentes valores
para λ na fase de construção. Eles foram: o valor um (01) que representa uma LCR
com apenas um elemento, equivalente a um algoritmo puramente guloso; o valor que
torna o algoritmo puramente aleatório dependerá do numero máximo de arestas de
cada instância. As funções de avaliação w(i, j), apresentadas na seção 4.3.1, foram
escolhidas por terem gerado as melhores soluções conforme descritas no trabalho de
Corberán et al. (2002).
4.3.3 – Ilustração de um Pequeno Exemplo
A fim de esclarecer de que forma trabalha o algoritmo proposto para resolver o
PCCM, será ilustrada uma iteração do algoritmo para um grafo misto pequeno
(7 vértices, 11 ligações das quais 4 são arestas) e solução aproximada resultante.
Considere o grafo misto inicial G= (V,A∪ E) mostrado na fig. 4.6(a), nela se indicam os
respectivos custos sobre os arcos e arestas, além dos graus computados de cada
vértice.
Fase de Construção:
Esta etapa da fase de construção, vai do passo 4 até o passo 9 do algoritmo e
tem por objetivo orientar todas as arestas do grafo, tornando-o num digrafo. Os pesos
18 se (z(T) < z best) então {Teste Final}
19 z best ← z(T);
20 T best ← T;
21 fim-enquanto;
22 Retorne z best e Tbest.
Fim Otimiza_Coleta.
59
w(i, j) de cada aresta são calculados segundo os casos já descritos na seção 4.3.1. A
tabela 4.1 a seguir se refere à orientação das arestas do grafo, o qual foi executado
pelo laço enquanto do passo 5 no algoritmo.
Tabela 4.1 – Orientação das arestas do grafo misto.
A seguir, a seqüência de grafos apresentada pela fig. 4.6 mostra a aresta que
foi direcionada após cada iteração e os respectivos graus recalculados, assim pode ser
efetuado o cálculo dos novos pesos.
ITER PESOS U Ed
0 w(4,5)=3; w(1,6)=ε; w(3,6) = ε;w(5,7) = ε {(1,6), (3,6),(4,5),(5,7)} ∅
1 w(4,5)=3; w(1,6)=ε; w(3,6) = ε;w(5,7) = H {(1,6),(3,6),(4,5)} {(5,7)}
2 w(1,6) = H;w(3,6) = ε; w(4,5) = ε {(3,6),(4,5)} {(5,7), (6,1)}
3 w(4,5) = H, w(3,6)=-ε {(3,6)} {(5,7),(6,1),(5,4)}
4 w(3,6)=-H. ∅ {(5,7),(6,1),(5,4),(6,3)}
G = (V, A�E)
2
4
3
5
6 7
1 2
1 3
3
5
6
1
2
2
3
2
0 0
-2
1
1
0 0
(a) (a) - Grafo misto inicial.
60
Figura 4.6 – Grafos resultantes ao final de cada iteração do passo 5 do algoritmo, com
os respectivos graus finais dos vértices durante a fase de construção.
Ao final do laço do passo 5, todas as arestas já estão orientadas (grafo da fig.
4.6-e). Aplica-se então o algoritmo de Fluxo de Custo Mínimo, referente ao passo 11,
no grafo GF da figura 4.7:
Figura 4.7 – Grafo GF onde será aplicado o PFCM.
2
4
3
5
6 7
1 2
1 3
3
5
6
1
2
2
3
2
GF = (V, A�Ed�Ed´)
-1 1
1 0
-1 -1
1
2
4
3
5
6 7
1 2
1 3
3
5
6
1
2
2
3
2
0
0
0
-2
1
0
1
(b) - G após a 1º iteração interna.
2
4
3
5
6 7
1 2
1 3
3
5
6
1
2
2
3
2
0
1
1
-1
-1
-1
1
(e) - G após a 4º iteração interna.
2
4
3
5
6 7
1 2
1 3
3
5
6
1
2
2
3
2
0
0
1
-1
0
-1
1
(d) - G após a 3º iteração interna.
2
4
3
5
6 7
1 2
1 3
3
5
6
1
2
2
3
2
0
0
1
-2
0
0
1
(c) - G após a 2º iteração interna.
61
Note que os arcos tracejados pertencem ao conjunto Ed´ , isto é, são arcos que
são acrescentados em sentido contrário as arestas que foram direcionadas. Os arcos
utilizados na solução do PFCM em GF, identificados como AF (arcos em linha cheia),
serão acrescentados ao grafo G=(V, A ∪Ed ) , obtendo assim o grafo GS da figura 4.8:
Figura 4.8 – Grafo solução GS , simétrico e euleriano.
Finalmente tem-se o grafo solução que é Simétrico e Euleriano. Uma das
rotas pode ser indicada por T={1,7,6,5,4,6,5,7,6,5,4,3,6,3,2,1,7,6,1} tendo um custo
total de Z(T) = 45.
Fase de Melhoria:
Deve-se agora, identificar em GS se existem mais de dois pares de arcos
orientados em sentidos opostos, adjacentes aos mesmos vértices. Caso haja, o
excesso de pares deve ser removido. Este procedimento, referente ao passo 14 é
importante, pois reduz o custo Z(T) sem alterar as características do grafo.
Procede-se em seguida ao passo 15, no qual serão computadas as
componentes conectadas. Tais componentes estão ilustradas no grafo da fig. 4.9:
GS = (V, A�Ed�AF)
2
3
2 1
3
2
4
3
5
6 7
1 2
1
3 3
5
6
1
2
2
3
2 2 2
62
Figura 4.9 – Componentes conectadas.
Como os arcos aumentados, são aqueles que apresentam a menor distância
(custo) entre seus vértices adjacentes, não existe melhoria positiva a ser realizada.
Portanto Z(T)= 45 e Zbest= 45. A partir deste momento, inicia-se a 2º iteração.
Este processo continuará até que o número de iterações, registrado pela
variável Iter , alcance o número de iterações GRASP (Niter).
2
4
3
5
6 7
1
1
3
2
3
2
G´ = (V, A´ , E´)
2 2
63
Capítulo 5
Implementação Computacional e Testes
5.1 – Implementação Computacional do Modelo
Conforme foi antecipado, o algoritmo utilizado para calcular uma solução
aproximada do PCCM baseia-se na metaheurística GRASP, pelas vantagens de
rapidez e simplicidade na execução computacional. Este possui duas fases: uma fase
de construção e outra de busca local ou melhoria. Na seção 4.3.2, figura 4.5,
apresentou-se o procedimento completo denominado OTIMIZA_COLETA. A estrutura
de dados utilizada, para armazenar as informações do grafo, foi uma Lista de Arcos
(array unidimensional), com cada índice composto pelos seguintes campos: Noi (vértice
inicial), Nof (vértice final), Custo, PRT (Parâmetro que identificará arestas), conforme
mostra a Figura 5.1. Cada aresta do grafo é registrada na lista como sendo dois arcos
contrários. Assim, quando uma aresta for selecionada para ser direcionada, um dos
arcos que a representa no vetor lista será desconsiderado, prevalecendo o arco que
indica a sua direção atual. Para isto, atribui-se o valor (–1) ao campo PRT referente ao
arco desconsiderado.
Para o armazenamento de informação no vetor Lista, utiliza-se o Procedure
LerArquivo, que abre um arquivo do tipo texto, cuja localização é passada na entrada
do programa. Este arquivo contém os dados relativos ao grafo, os quais são
transferidos para o vetor Lista.
A fase de construção está formada por diversas rotinas, o qual utiliza estruturas
de dados, tais como alocação dinâmica de memória, pilhas e recursividade. Para
completar sua implementação foi necessário recorrer a algoritmos que resolvem
64
problemas clássicos da teoria dos Grafos como: Caminho Mínimo, Fluxo Custo Mínimo
e Circuito de Euler.
O programa completo do algoritmo recebeu o nome de OTIMIZA_COLETA, e
foi implementado utilizando o modo Console Aplication do DELPHI 5®.
Adicionalmente, foram preparadas outras pequenas rotinas. Por exemplo, para
calcular os graus dos vértices no grafo utiliza-se o Procedure CalculaOfertaDemanda
armazenado-os em um vetor (array unidimensional) chamado OF_DM. A Function
Qaresta foi utilizada para computar o número de arestas (arcos não direcionados) do
grafo. O peso de cada aresta é calculado por meio do Procedure ComputaPesos e
armazenado em um vetor chamado LCR, com cada índice composto pelos seguintes
campos: Peso, Noinicial, Nofinal, Ind_i, Ind_ j (Figura 5.2). As três rotinas mencionadas
acima, são utilizadas nos passos 4 e 8 do procedimento da figura 4.5, descrito no
Capítulo 4. Em particular, a rotina CalculaOfertaDemanda é chamada novamente no
passo 10 do procedimento.
Vetor Lista
Figura 5.1 - Lista de Arcos utilizada para armazenar G=(V, A ∪ E).
Vetror LCR(Lista de Candidatos Restrita)
Figura 5.2 - Vetor utilizado para armazenar os pesos w(i,j) das arestas.
Noi
Nof
Cus
to
PR
T
..........
Pes
o
Noi
nici
al
Nof
inal
Ind_
I
Ind_
j
..........
1º índice 2º índice MÁX.
1º índice V -ésimo Índice 2º índice
65
O Procedure OrdenaLCR, como o próprio nome diz, ordena a lista de
candidatos utilizando o algoritmo de Inserção Direta.
O Procedure FluxoCustoMínimo tem por objetivo tornar simétrico o grafo
direcionado, obtido pela orientação das arestas armazenadas na LCR. Tal rotina
soluciona o problema de fluxo de custo mínimo (PFCM) em um grafo direcionado com
ofertas e demandas computados nos vértices. A implementação do PFCM realizada em
Neto (2002) foi adaptada para este trabalho. Ela foi, basicamente, a implementação do
algoritmo Simplex Primal-Dual para Redes que resolve o PFCM, onde se incorporam
algumas melhoras para execução do método Simplex propostas por Golfarb et. al
(1990); com as quais o método Simplex chega a ter complexidade polinomial, O(mn).
Uma adaptação incorporada foi a criação de um vetor chamado Listael, o qual
armazena os arcos pertencentes ao ciclo formado pelo arco entrante, que possuem
fluxo zero. Umas das características dos grafos com grau igual a zero, é a existência de
arcos com fluxo fij = 0 na árvore básica. Portanto, no momento da seleção do arco
candidato a deixar a base (min { fij |i,j∈ V } dentre os arcos do ciclo), surge mais de um
arco com fij = 0. Para resolver isto, todos os arcos pertencentes ao ciclo formado pelo
arco entrante, são armazenados no vetor Listael com seus respectivos valores de fluxo.
Então, o primeiro arco da lista com fij = 0 será selecionado como candidato a deixar a
base, opção inspirada no método de Bland que evita conseqüências negativas na
presença de uma solução viável degenerada (MORALES, 2000).
A saída da rotina descrita acima é um vetor chamado Árvore, cujo conteúdo é
formado pelos arcos que formam a solução do PFCM. Estes arcos deverão ser
acrescentados ao grafo original de forma a torná-lo simétrico. Isto é feito pela rotina
Procedure IncementaLista, o qual transfere os arcos do vetor Árvore para o vetor Lista.
Pode-se dizer que a rotina FluxoCustoMínimo representa a parte principal do
programa, uma vez que, após sua execução, o grafo terá se tornado num grafo
euleriano ou não, caso ocorra um ciclo negativo. Neste caso, o programa é encerrado,
indicando que o problema é inviável.
O Procedure CircuitoEuleriano será executado ao final da fase de construção
e irá determinar a rota (itinerário) a ser percorrida pelo veículo coletor a partir de um
vértice inicial, o qual foi selecionado como entrada no início do programa. Com a
66
finalidade de implementar o procedimento acima, utilizou-se uma lista de adjacências
para armazenar o grafo. Os vértices pertencentes ao circuito euleriano, são
armazenados em um vetor alocado dinamicamente chamado CircuitoEuler. O algoritmo
utilizado para implementar esta rotina é de autoria de Silva e foi encontrado no manual
da disciplina de Pesquisa Operacional lecionada pelo mesmo autor na Universidade
Autônoma de Lisboa (UAL).
Juntamente com o circuito armazenado, o procedimento CircuitoEuleriano
também armazena o custo da rota, isto é, a distância total percorrida pelo veículo e os
devolve ao fim do procedimento.
Após uma solução ter sido construída, procede-se a fase de melhoria. Nesta
fase destaca-se a Function PodeMelhorar, cujo objetivo é encontrar dentre os arcos e
arestas orientadas, adicionadas ao grafo original, aquele cujos vértices não estejam
conectados a nenhum outro arco. Isto é feito de modo a agilizar a fase de melhoria. Tal
função retorna um valor booleano.
Selecionados os vértices u e v, o Procedure Dijkstra (Syslo, 1989) irá procurar
um menor caminho entre este(s) par(es) de vértices que tenha custo menor que o custo
do arco cujos vértices são extremos. Caso este caminho exista, procede-se à
substituição do arco atual pelo arco ou pelos arcos contidos no menor caminho.
Novamente então, a rotina CircuitoEuleriano é executada para que o custo e a rota
sejam atualizados.
5.2 – Formulação do Modelo e Testes
A formulação do PCCM apresentada na seção 3.5.1 do Capítulo 3 é uma
formulação de PLI, proposta por Ralphs (1993) para resolver o problema de forma
exata. Tal modelo foi utilizado em três grafos, com 30%, 50% e 70% do total de
ligações compostas por arcos. Os testes realizados para a obtenção da solução ótima
em tais grafos foram realizados utilizando o software LINDO® 6.01 em um PC com
processador AMD Duron 1,2 Ghz e 248 Mb de memória e, observou-se um elevado
tempo de processamento para os grafos com maior número de variáveis. Além disso,
nos grafos com 30% e 50% de arcos não foi possível alcançar a solução ótima devido a
uma falha no sistema acusando falta de memória.
67
Através de uma adaptação feita no modelo da seção 3.5.1, foi possível obter a
solução ótima nos grafos testados. Tal adaptação é um novo modelo de PLI para o
PCCM, onde são consideradas algumas modificações. Sabendo-se que uma cópia
orientada de cada aresta e de cada arco será incluída no grafo aumentado ótimo, pode-
se considerar os custos destas cópias como constantes na função objetivo. Fazendo
isso, quando o problema for resolvido só será considerado o custo de aumento do
grafo, gerando uma redução no número de variáveis, pois serão suprimidas as variáveis ’ay referentes às cópias originais de cada arco ∈a A . As restrições (10) no modelo da
seção 3.5.1 passam a ser ’ ’ 1+ =�
e ey y , forçando cada aresta ser orientada em uma
dada direção. O novo modelo, que é uma formulação de PLI com algumas variáveis
restritas a valores 0-1, fica então da seguinte forma:
5.2.1 – Formulação Proposta
’ ’
’
(1)
. .
1 , (2)
, (3)
s s ss A Es A E E
e e
e e e
a a
Minimize c y c
s t
y y e E
x y y e E E
x y
∨ ∧ ∈ ∪∈ ∪ ∪
∨ ∧
+
+ = ∀ ∈
= + ∀ ∈ ∪
=
∑ ∑
�
( ) ( )
’
, (4)
( ) , (5)
{0,1} , (6)
0, inteiro . (7)
s s
s v s v
e
s
a A
x x d v v V
y e E E
y s A E E
δ δ+ −∈ ∈
∨ ∧
∨ ∧
∀ ∈
− = ∀ ∈
∈ ∀ ∈ ∪
≥ ∀ ∈ ∪ ∪
∑ ∑
Com esta formulação, as restrições (3) e (4) podem ser eliminadas do modelo
sem nenhum prejuízo para a solução final, uma vez que estas só são usadas para
indicar o número de ligações que unem cada par de vértices. As restrições (5) garantem
que as ligações acrescentadas ao grafo atendam as ofertas ou demandas nos vértices,
68
isto é, seus graus sejam anulados tornando-o assim em um grafo simétrico. Lembrar
que d(v) representa o grau do vértice v, conforme visto na seção 4.3.1 do Capítulo 4.
Com esta formulação, em uma das instâncias, o novo modelo forneceu a
solução ótima em 1 minuto e 54 segundos para o caso do grafo com 50% das ligações
formadas por arcos e no caso do grafo com 30%, o ótimo foi obtido em 4 minutos e 3
segundos. No caso do grafo de 70%, a solução ótima foi obtida com um tempo menor
que 1 segundo. De posse dos valores ótimos de cada grafo, foi possível efetuar uma
comparação com os valores encontrados pelo programa OTIMIZA_COLETA. A tabela
5.1 apresenta diversos valores encontrados pelo programa OTIMIZA_COLETA para
diferentes tamanhos de λ na instância com 44 vértices. Optou-se tomar valores para λ,
tais que caracterizassem um algoritmo totalmente guloso (λ = 1) e totalmente aleatório
(λ = nº de arestas do grafo testado), e alguns valores intermediários a estas duas
situações. Para efetuar estes testes fixou-se o número de iterações GRASP em 1000,
isto é, Nmáx=1000.
Tabela 5.1 – Soluções encontradas para as instâncias 44_118, 44_108 e 44_91.
O=1 O=5 O=10 O=20 O=38 O=48 Grafo Ótimo
Z(T) Seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg.
301 12 291 12 291 12 289 12 277 12 291 18
301 12 286 12 291 12 277 12 277 12 286 12
301 12 276 13 287 12 286 13 277 12 286 12
301 12 291 12 296 12 277 13 288 12 286 13
44_118
(30%) 274
301 12 294 12 286 12 286 12 286 12 287 12
Média Z(T) 301 287,6 290,2 283 281 287,2
Desv. Ótimo 27 15,03 16,55 10,29 8,57 13,33
308 11 297 10 295 11 288 11 295 11 - -
312 11 287 11 295 11 301 11 295 11 - -
308 11 287 11 297 11 297 11 293 11 - -
309 11 299 11 289 10 303 11 287 10 - -
44_108
(50%) 283
309 10 287 11 293 10 301 11 289 11 - -
69
Média Z(T) 309,2 291,4 293,8 298 291,8 -
Desv. Ótimo 26,21 10,02 11,09 15,92 9,39 -
407 10 394 09 400 09 390 09 - - - -
407 10 406 09 393 09 390 09 - - - -
407 10 397 09 397 09 390 09 - - - -
407 09 400 09 395 09 390 09 - - - -
44_91
(70%) 385
407 10 394 09 393 09 390 09 - - - -
Média Z(T) 407 398,2 395,6 390 - -
Desv. Ótimo 22 13,95 10,91 5 - -
Nos testes realizados, para efetuar a comparação com o ótimo, foram utilizadas
três instâncias (grafos) distintas, nomeadas da seguinte forma: grafo 44_118; grafo
44_108, grafo 44_91. Desta forma, o primeiro número indica o número de vértices dos
grafos, que neste caso é 44, enquanto o segundo número indica o número de ligações.
Deve-se ressaltar que, para esta contagem cada aresta é considerada como duas
ligações com direções contrárias (dois arcos). O que varia de um grafo para outro,
conforme visto anteriormente, é o número de arcos. A idéia de tomar grafos com 30%,
50% e 70% do total de ligações sendo arcos, tem por objetivo observar o
comportamento do algoritmo com relação ao esforço computacional e a qualidade das
soluções em setores mais residenciais, isto é, com poucas ruas de mão–única (30%) e
em setores mais centrais com poucas ruas de mão–dupla (70%).
O tamanho dos grafos utilizados (número de vértices e ligações) nos testes
comparativos baseou-se em uma estimativa da quantidade de lixo gerado e da
respectiva capacidade dos caminhões coletores. A partir daí, estimou-se o tamanho do
setor. Para tanto, foi considerada a média do número de pessoas por residência (Pres)
igual a 4, o número de residências por rua (Rrua) igual a 16, o número de habitantes por
rua (Hrua) igual a Hrua= Rrua x Pres e a quantidade do lixo gerado (k) igual a 800
g/hab/dia. Além disso, foi considerada uma capacidade de 15 m3 por caminhão,
equivalente a 3,5 t. considerando o peso específico médio do lixo solto de 250 kg/m
(CARVALHO, 2001). Daí tem-se a seguinte estimativa do tamanho do setor de coleta:
70
Rrua = 16;
Pres = 4;
Hrua = 16 x 4 = 64 ;
Considerando N o número máximo de ruas de um dado setor e Q a capacidade
do caminhão dado em gramas, temos que:
3.500.00068
64 800rua
QN
H k= = ≅
× × ruas. (8)
Portanto, os grafos obtidos para teste encontram-se dentro desta estimativa. A
figura 5.3 descreve a região que foi selecionada para ser um setor de coleta
obedecendo às características acima referidas. O grafo foi gerado a partir das ruas
compreendidas entre as linhas cheias.
Observando a tabela 5.1 e considerando inicialmente o grafo 44_118, as
melhores soluções obtidas foram para O = 38 apresentando um desvio do ótimo de
8,57. O parâmetro Desv. Ótimo (desvio do ótimo) reflete o quanto as soluções
encontradas desviam-se do ótimo. O tempo de processamento manteve-se dentro da
média. Porém, a melhor solução obtida para este grafo foi com O = 5. As piores
soluções foram obtidas para O = 1, que é o caso do algoritmo totalmente guloso.
Para o grafo 44_108, as melhores soluções obtidas foram para O = 38
(puramente aleatório), contemplando a melhor solução encontrada que foi 287, e
apresentando um desvio de 9,39 do ótimo. Novamente, tem-se que as piores soluções
encontradas ocorreram quando o algoritmo é puramente guloso.
No caso do grafo 44_91 as melhores soluções ocorrem com O=20 (puramente
aleatório) apresentando um desvio do ótimo no valor de cinco (5) unidades. Também
para este grafo, as piores soluções ocorreram quando o algoritmo é puramente guloso.
Portanto, uma lista de candidatos com um tamanho de 20 elementos ou mais gera as
melhores soluções para o tipo de grafo apresentado. A Tabela 5.1 também mostra que
quanto mais arcos (ou ruas de mão-única) o grafo possuir, mais arcos e arestas
deverão ser repetidos de forma a ser realizado o circuito, gerando um aumento no custo
da solução.
71
Quanto ao tempo de execução do programa, percebe-se que o mesmo diminui
à medida que o número de arestas é reduzido, ou equivalentemente, o número de
arcos é aumentado. Isso é devido ao fato da diminuição dos elementos da LCR,
fazendo com que o laço responsável pela orientação das arestas selecionadas seja
executado em menos passos. Pode-se concluir então, que para um O >= 20 foram
obtidos os melhores resultados.
Figura 5.3 – Representação de um setor de coleta.
No intuito de validar o algoritmo, fez-se necessário a realização de testes
computacionais adicionais em diversas instâncias para que fosse possível verificar o
desempenho do algoritmo. Nestes testes, considerou-se apenas a solução encontrada
pelo programa OTIMIZA_COLETA, uma vez que se tornou inviável a obtenção do ótimo
pelo modelo exato apresentado. Portanto, as instâncias testadas foram sobre grafos
com 64, 84, 150 e 200 vértices, onde cada um teve o número de arcos variando entre
30%, 50% e 70% do total de ligações. Os testes adicionais encontram-se nas Tabelas
5.2, 5.3, 5.4 e 5.5. Foi designado para o parâmetro λ valores extremos (guloso e
aleatório) e alguns valores intermediários aos extremos, gerando assim seis valores
distintos de λ.
72
Tabela 5.2 – Soluções encontradas para as instâncias 64_178, 64_159 e 64_137.
O=1 O=15 O=30 O=45 O=60 O=72 Grafo
Z(T) Seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg.
591 19 602 19 610 19 602 19 602 19 610 19
602 20 602 22 609 19 606 19 610 19 602 19
591 19 602 19 606 19 610 19 605 19 610 19
591 19 602 19 602 19 610 19 610 19 610 19
64_178
(30%)
591 20 602 19 602 19 610 19 607 19 607 19
Média Z(T) 593,2 602 605,8 607,6 606,8 607,8
607 17 606 17 620 17 614 17 620 19 - -
608 17 606 17 610 17 613 17 610 17 - -
607 17 618 17 620 17 614 17 606 17 - -
607 17 606 17 606 17 602 17 614 17 - -
64_159
(50%)
607 19 612 17 624 17 613 17 610 16 - -
Média Z(T) 607,2 609,6 616 611,2 612 -
610 20 610 20 610 20 - - - - - -
610 20 610 20 610 18 - - - - - -
610 22 610 19 610 19 - - - - - -
610 20 610 19 610 19 - - - - - -
64_137
(70%)
610 20 610 19 610 19 - - - - - -
Média Z(T) 610 610 610 - - -
Observe, que nas tabelas apresentadas existem colunas que não possuem
valores para certas instâncias. Isto significa que tal instância não foi testada para o
valor de λ em questão, pelo fato do total de arestas desta instância ser inferior ao
respectivo valor de λ. Devido à dimensão das instâncias testadas, foi tomado Nmáx =
500 para o número máximo de iterações do algoritmo GRASP, de forma a reduzir o
tempo de processamento.
73
Tabela 5.3 – Soluções encontradas para as instâncias 84_244, 84_216 e 84_188.
Através da análise das tabelas, pode-se verificar que em instâncias maiores, as
melhores soluções são obtidas quando o λ é pequeno, estando ele próximo do guloso.
Para exemplificar, as instâncias da Tabela 5.2 tiveram suas melhores soluções
encontradas para O = 1 (puramente guloso). Já na Tabela 5.5, apenas na instância
200_432 as melhores soluções foram obtidas com um O = 10. Novamente verifica-se
que, quanto mais arcos possuir o grafo, maior é o custo da solução e menor o tempo de
processamento. Nos grafos com menor número de arcos, o custo da solução tende a
ser menor e o tempo de processamento maior.
O=1 O=20 O=40 O=70 O=90 O=100 Grafo
Z(T) Seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg.
784 38 783 40 786 40 789 40 784 40 779 40
784 38 776 40 790 40 790 40 786 41 792 40
784 38 783 40 796 43 786 40 786 40 777 40
784 38 776 39 790 40 790 40 790 40 772 40
84_244
(30%)
784 38 776 40 795 40 786 40 784 40 786 40
Média Z(T) 784 778,8 791,4 788,2 786 781,2
810 35 807 34 799 34 795 34 - - - -
810 35 799 35 803 34 792 34 - - - -
810 35 798 34 809 34 795 34 - - - -
810 35 800 34 809 34 792 34 - - - -
84_216
(50%)
810 35 798 34 799 34 792 34 - - - -
Média Z(T) 810 800,4 803,8 793,2 - -
856 26 860 27 869 27 - - - - - -
856 27 869 27 862 27 - - - - - -
856 26 860 27 869 27 - - - - - -
856 27 860 27 865 27 - - - - - -
84_188
(70%)
856 26 856 27 866 27 - - - - - -
Média Z(T) 856 861 866,2 - - -
74
Tabela 5.4 – Soluções encontradas para as instâncias 150_427, 150_377 e 150_326.
O=1 O=30 O=70 O=100 O=120 O=170 Grafo
Z(T) Seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg.
1204 265 1211 263 1207 273 1222 273 1222 274 1207 269
1191 264 1192 263 1214 271 1202 273 1222 278 1219 270
1191 266 1211 265 1213 273 1199 270 1230 272 1215 271
1191 264 1192 263 1207 273 1204 274 1221 272 1207 269
150_427
(30%)
1191 264 1218 264 1213 273 1202 273 1221 272 1208 270
Média Z(T) 1193,6 1204,8 1210,8 1205,8 1223,2 1211,2
1251 244 1219 239 1233 238 1215 236 1232 245 - -
1251 244 1231 239 1224 237 1231 240 1223 241 - -
1251 243 1225 241 1235 237 1231 238 1222 247 - -
1251 243 1207 238 1233 238 1231 240 1217 243 - -
150_377
(50%)
1251 244 1207 239 1224 237 1233 238 1243 238 - -
Média Z(T) 1251 1217,8 1229,8 1228,2 1227,4 -
1363 203 1351 198 1351 195 - - - - - -
1363 205 1351 201 1351 195 - - - - - -
1363 202 1351 200 1347 196 - - - - - -
1363 203 1351 198 1351 196 - - - - - -
150_326
(70%)
1363 205 1351 199 1347 195 - - - - - -
Média Z(T) 1363 1351 1349,4 - - -
75
Tabela 5.5 – Soluções encontradas para as instâncias 200_564, 200_498 e 200_432.
Portanto, uma conclusão pertinente é que as melhores soluções encontradas
pelo programa OTIMIZA_COLETA nas instâncias maiores foram para um λ pequeno,
estando próximo do guloso, enquanto em instâncias pequenas cujo tamanho aproxima-
se de um setor de coleta, as melhores soluções foram encontradas com um λ grande,
estando próximo do aleatório.
O=1 O=10 O=50 O=100 O=150 O=230 Grafo
Z(T) Seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg. Z(T) seg.
1532 436 1556 416 1626 421 1662 423 1739 415 1676 415
1528 451 1582 431 1640 432 1678 449 1690 414 1621 413
1522 439 1548 462 1614 420 1640 443 1716 416 1717 415
1528 417 1540 429 1730 410 1623 414 1712 418 1621 415
200_564
(30%)
1522 430 1542 420 1614 415 2536 414 1690 414 2557 413
Média Z(T) 1526,4 1553,6 1644,8 1827,8 1709,4 1838,4
1544 376 1563 369 1618 364 1643 360 1634 380 - -
1540 374 1585 384 1601 363 1670 358 1631 382 - -
1539 377 1568 388 1628 362 1673 373 1633 382 - -
1539 375 1568 370 1609 363 1655 358 1646 380 - -
200_498
(50%)
1539 374 1563 367 1601 363 1643 358 1633 382 - -
Média Z(T) 1540,2 1569,4 1611,4 1656,8 1635,4 -
1791 336 1779 324 1792 319 1785 314 - - - -
1791 334 1779 323 1781 322 1791 314 - - - -
1791 335 1779 323 1780 318 1777 316 - - - -
1791 334 1779 324 1780 319 1781 315 - - - -
200_432
(70%)
1791 335 1779 321 1773 318 1777 315 - - - -
Média Z(T) 1791 1779 1781,2 1782,2 - -
76
Capítulo 6
Conclusão 6.1 – Conclusões
Os Problemas de Roteamento em Arcos (PRA) possuem diversas aplicações
práticas, conforme foi apresentado no Capítulo 3. O problema do Carteiro Chinês sobre
grafos direcionados, grafos não direcionados ou grafos mistos, constitui uma parte
importante nas áreas de Teoria de Grafos, Otimização Combinatória e Computação. A
formulação de métodos computacionais de solução para estes tipos de problemas de
roteamento tem uma grande aplicação no gerenciamento da coleta de resíduos sólidos
(lixo) que foi o principal elemento motivador desta dissertação.
O cálculo de uma solução ótima para o caso do problema do Carteiro Chinês
Misto (PCCM), que foi explorado nesta dissertação, está classificado como sendo de
complexidade computacional NP–Completo, pois não se conhece um algoritmo que o
resolva em tempo de ordem polinomial. Foi verificado durante as etapas de testes, que
quando se calcula a solução ótima do PCCM por meio de um método exato aplicado ao
modelo de PLI, o tempo de processamento aumenta, na medida que um setor de coleta
apresenta acréscimo no número de ruas de mão-dupla (grafo com maior número de
arestas). Adicionalmente, a entrada dos dados do problema torna-se exaustivo, para
executar o modelo, devido ao grande número de variáveis e restrições para os cálculos.
Por outro lado, o algoritmo heurístico implementado (OTIMIZA_COLETA)
mostrou-se eficiente quanto ao tempo de resposta, e pelo fato de ter como entrada
apenas alguns poucos parâmetros, menos exaustivo quanto à entrada de dados do
problema de PLI. Embora as soluções apresentadas sejam, em relação à função
objetivo, de custos próximo aos custos da solução ótima, pode-se dizer que são de boa
qualidade. Como um exemplo disso, cita-se a instância 44_118 da Tabela 5.1. Com um
λ = 10, o programa OTIMIZA_COLETA encontrou o valor da função custo Z(T) = 277
bem próxima do valor ótimo (274) em um tempo de processamento de 12 segundos. O
77
modelo exato por sua vez, aplicado à mesma instância encontrou o referido ótimo em 4
minutos e 3 segundos. Portanto, com o método proposto chega-se a uma solução
aproximada com apenas 5% do tempo gasto pelo método exato. No caso das
instâncias maiores, 150 e 200 vértices, por exemplo, só foram realizados testes
computacionais utilizando o método proposto.
A problemática da coleta de resíduos sólidos, por outro lado, deve ser encarada
de maneira multidisciplinar pelas conotações sócio-econômicas-culturais e de políticas
sustentáveis necessárias. Portanto, as propostas técnicas de meios que levem a uma
redução nos custos operacionais devem ser consideradas. Além disso, deverá estar
preparada para acompanhar o dinamismo das cidades pois, ao mesmo tempo em que
as cidades crescem, em população e extensão, passam constantemente por
modificações e suas redes viárias. Para atender a esta dinâmica, os setores
responsáveis por estes serviços necessitam de respostas rápidas e confiáveis. Ao final,
o que se espera é um serviço de maior qualidade para a população e que ao mesmo
tempo onere menos o orçamento do município.
Esta dissertação iniciou-se com a procura por informação sobre técnicas da
pesquisa operacional aplicada a problemática de gestão e coleta de lixo; desenvolveu-
se o estudo e a implementação de um algoritmo, proposto na literatura, para resolver o
Problema do Carteiro Chinês Misto (PCCM) utilizando a metaheurística GRASP
(Greedy Randomized Adaptive Search Procedure). Para realizar a implementação,
utilizou-se o método Simplex para Redes Eficiente (Goldfarb, 1990), no procedimento
que torna o grafo problema em um grafo simétrico e euleriano. Este tratamento
computacional do modelo foi desenvolvido no intuito de apresentar um método que
atenda em tempo razoável as exigências da coleta do lixo doméstico pelas ruas de uma
cidade.
6.2 – Sugestões para Trabalhos Futuros
Uma interessante verificação, que não deu tempo para se realizar, é um estudo
de caso na cidade de Campos, junto à empresa responsável pelos serviços de coleta,
de forma a colocar em prática o a proposta e avaliar os custos resultantes oriundos de
tal aplicação.
78
Fica ainda aberta a implementação dos algoritmos propostos para trabalhar com
o caso do roteamento de m veículos, com isto avaliara os setores de coleta dos
caminhões de uma empresa de coleta.
Sugere-se, também, utilizar outras metaheurísticas na implementação do
algoritmo do PCCM, para verificar a qualidade das soluções. Por exemplo, a
metaheurística Busca Tabu é uma sugestão, uma vez que esta permite escapar de
ótimos locais.
Por último se sugere, investir na criação de uma interface para o programa
implementado, de forma que se torne mais fácil de manipular e de maior potencial
comercial.
79
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85
APÊNDICE A 1 – Definições e Terminologia da Teoria de Grafos
A seguir são apresentadas algumas definições básicas e terminologias da
Teoria de Grafos que ajudarão a esclarecer as idéias apresentadas neste trabalho.
Grafo Não Orientado
Um grafo não orientado, representado por G=(V, E), é definido como um
conjunto V de vértices vi e um conjunto E de pares não ordenados (vi, vj) de elementos
distintos de V chamados de arestas.
Grafo Orientado
Um grafo orientado ou digrafo, representado por G=(V, A), é definido como um
conjunto V de vértices vi e um conjunto A de pares ordenados (vi, vj) de elementos
distintos de V chamados de arcos. Neste caso, o vértice vi é chamado de cauda e o
vértice vj é chamado de cabeça do arco.
O número de arcos e o número de vértices são representados por n= |V| e m=
|A| ou m= |E| respectivamente.
Grafo Misto
Um grafo misto , representado por G= (V, A ∪ E), é definido como um conjunto
V de vértices vi , um conjunto A de pares ordenados (vi, vj) chamados de arcos e um
conjunto E de pares não ordenados (vi, vj) chamados de arestas.
Figura 1A – G1: grafo não orientado; G2: digrafo; G3: grafo misto.
4
2
3
1 4
2
3
1 4
2
3
1
G1 G2 G3
86
Grau
O grau de um vértice é definido como o número de arcos e/ou arestas que lhe
são incidentes. Neste caso, o grau de entrada de um vértice vi é o número de arcos
convergentes (que entram em vi), enquanto o grau de saída é o número de arcos
divergentes (que saem de vi). No grafo G2 da figura 1A, o grau de entrada do vértice 4
é 2, e o grau de saída é 1. Da mesma forma, se cada aresta for considerada como dois
arcos orientados em sentidos opostos ,no grafo G3 o grau de entrada do vértice 4 é 2, e
o grau de saída é 1.
Adjacência de Vértices
Dado um grado G= (V, E) e uma aresta (vi, vj) ∈ E, diz-se que os vértices vi e vj
são adjacentes. Da mesma forma, para o arco (vi, vj) ∈ A tem-se vi e vj adjacentes.
Caminho
É uma seqüência de vértices v1, v2, ..., vk ∈ V, tal que (vi, vi+1) é uma aresta ou
um arco, com 1≤ i ≤ k-1. Um caminho de k vértices é formado por k-1 ligações,
definindo assim o comprimento do caminho. Se existe um caminho do vértice v1 até o
vértice vk , então vk é alcançável a partir de v1. Um caminho (v1, vk) é chamado aberto
se v1 ≠ vk e aberto se v1 = vk.
Circuito
É uma seqüência de vértices ligados por arcos com a mesma direção, com o
vértice final ligado ao vértice inicial por um arco com a mesma direção. Circuito é um
caminho direcionado fechado.
Caminho Simples
É o caminho no qual todos os vértices v1, v2, ..., vk ∈ V são distintos.
87
Ciclo
É o caminho simples tal que o vértice inicial é igual ao vértice final, onde
v1, v2, ..., vk, vk+1 ∈ V e v1 = vk+1 com k ≥ 3. Diz-se que um grafo é acíclico quando não
possui ciclos simples.
Circuito Euleriano
É um circuito que atravessa todas as arestas ou arcos de um grafo exatamente
uma vez. O custo de um circuito é o custo total de todas as arestas ou arcos
atravessados pelo mesmo.
Subgrafo
É um grafo G1= (V1, E1) de modo que V1 ⊆ V e E1 ⊆ E. Veja a figura I.2.
Figura 2A – Subgrafo de G2.
Grafo Conexo ou Conectado
Um grafo não direcionado é dito conexo se existe uma seqüência de arestas
ligando qualquer par de vértices do grafo G. Um grafo é fortemente conectado se para
todos pares de vértices vi e vj , existir um caminho de vi para vj e um caminho de vj para
vi em G.
Árvore
É um grafo conexo acíclico com um vértice designado como a raiz da árvore.
Se esta por sua vez for desconexa, então se tem uma floresta. Uma árvore é um dos
tipos mais simples de grafo, e possui diversas propriedades, como é mostrado no
teorema a seguir:
4 1
88
Teorema : Seja T um grafo com n vértices. Então as seguintes premissas são
equivalentes:
(i) T é uma árvore;
(ii) T não contém circuitos e têm n-1 arestas;
(iii)T é conexo e possui n-1 arestas;
(iv) T é conexo e toda aresta é uma ponte;
(v) quaisquer dois vértices de T são conectados por exatamente um caminho;
(vi) T não contém circuitos, mas a adição de qualquer nova aresta gera
exatamente um circuito.
2 – O Problema do Fluxo de Custo Mínimo (PFCM)
Este problema possui papel principal entre os modelos de otimização em redes,
uma vez que este engloba uma enorme quantidade de aplicações e pode ser resolvido
de maneira eficiente.
O Problema de Transporte, de Designação, de Caminho Mais Curto e de Fluxo
Máximo são casos especiais do Problema de Fluxo de Custo Mínimo (PFCM).
O PFCM é modelado como um problema de PL, logo o método Simplex pode
ser utilizado para sua resolução. Pelas características da matriz de restrições, do
modelo, se especializa o método Simplex, resultando o Método Simplex para Redes de
fácil implementação e resultados recentes apresentam um modo mais eficiente de
implementação do método simplex primal-dual.
2.1 – Algumas Considerações
1. A rede é conectada e representada por um digrafo.
2. No mínimo um dos vértices é um “vértice de oferta” (origem).
3. No mínimo um dos vértices é um “vértice de demanda” (destino).
4. Todos os vértices restantes são vértices intermediários “Transshipment”
(entreposto).
89
5. A rede possui arcos, tantos quantos forem necessários, com capacidade
suficiente para habilitar todos os fluxos gerados nos vértices de oferta para
alcançar os vértices de demanda.
6. O objetivo é minimizar o custo total de enviar a oferta disponível através da rede
para satisfazer a demanda dada.
2.2 – Formulação do Modelo
Considere um digrafo conectado G= (V, A), onde os n vértices incluem no
mínimo um vértice de oferta e no mínimo um vértice de demanda. As variáveis de
decisão são xij que medem o fluxo no arco (i, j). Tem-se ainda:
cij = custo por unidade de fluxo no arco (i, j)
uij = capacidade de fluxo no arco (i, j), caso a rede seja capacitada.
A função objetivo é:
1 1
1
1 1
1
. .
;
,
;
0 , ( , ) .
n n
ij iji j
n
ijn n j
ij ji i nj j
jij
ij ij
Min Z c x
s a
x fluxo sai nó i
x x b i V
x fluxo chega nó i
x u i j A
= =
=
= =
=
=
⇒
− = ∀ ∈ ⇒
≤ ≤ ∀ ∈
∑ ∑
∑∑ ∑
∑
Em algumas aplicações, faz-se necessário ter um limite inferior lij > 0 para o
fluxo no arco (i, j). Para evitar alterações na formulação do modelo, utiliza-se:
bi > 0 se o vértice i é um vértice de oferta. bi < 0 se o vértice i é um vértice de demanda. bi = 0 se o vértice i é um vértice de transbordo (transshipment)
bi = fluxo na rede gerado no vértice i
’ ’ .ij ij ij ij ij ijx x l com x l substituindo x= − +
90
Uma condição necessária para um PFCM ter alguma solução viável é que
1
0n
ii
b=
=∑ , isto é, o fluxo total gerado nos vértices de oferta deve ser igual ao fluxo total
absorvido nos vértices de demanda. Quando este fato é violado se pode interpretar
como que as ofertas ou as demandas representam limites superiores ao invés de
quantidades exatas. Por exemplo, no caso do Problema de Transporte, um destino
(origem) auxiliar é criado a fim de absorver a oferta (demanda) em excesso. De maneira
análoga, no PFCM cria-se um vértice de demanda (oferta) auxiliar para absorver a
oferta (demanda) em excesso.
A seguir, para exemplificar, é ilustrado na fig. 3A um grafo orientado (digrafo)
representando uma rede de distribuição de uma companhia, onde os vértices 1 e 2 são
duas fábricas desta companhia, com suas respectivas ofertas, os vértices 4 e 5 são dois
estoques, com suas respectivas demandas e o vértice 3 é um centro de distribuição
(transshipment), além dos custos unitários e capacidade de fluxo de alguns arcos, antes
da solução do PFCM e após a solução com suas respectivas distribuições de fluxo.
Figura 3A – Digrafo original com ofertas/demandas nos vértices e seu grafo solução
após resolver o PFCM.
Observe que toda a demanda é atendida pelo fluxo ofertado de forma que o
custo total para realizar esta tarefa é o mínimo possível.
1
3
2 5
4
b1= 50
b3= 0
b4= -30
b2= 40 b5= -60
c12= 2 u12=10
c14= 9
c13=4
c23=3
c54=2 c45=3 c35=1
u35=80
1
3
2 5
4
b1= 50
b3= 0
b4= -30
b2= 40 b5= -60
c12= 2 x12=0
c14= 9 x14=10
c13=4 x13=40
c23=3 x23=40
c54=2 x54=20 c45=3 x45=0 c35=1
x35=80
91
APÊNDICE B
O objetivo deste apêndice é descrever o modo de trabalho do Algoritmo 3.2
apresentado no Capítulo 3, que é responsável por determinar um circuito euleriano em
um grafo euleriano direcionado. Para tanto, considere como exemplo o grafo euleriano
direcionado e fortemente conexo da figura 1B a seguir:
Figura 1B – Grafo direcionado euleriano (simétrico).
Para encontrar um circuito euleriano no grafo acima, procede-se da seguinte
maneira:
1 – Represente o grafo da fig. 1B através de uma lista de sucessores (1º quadro).
A B C D E
E A D B B
C E D
2 – Organize um 2º quadro (vetor T) para registrar, sucessivamente, os vértices do
circuito euleriano, que neste caso está iniciando em “A”.
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A
A
D
C B
E 10
10
9
7
15
11
12 6
92
3 – Escolha sucessores do último vértice atingido, impedindo a ocorrência de circuitos
“parasitas”, isto é, circuitos que não percorram todos os arcos.
Através do PASSO 1 do algoritmo, foi escolhido v0 = A como o vértice inicial.
Inicialmente todos os arcos não são usados.
Através do PASSO 2, w ← E, que é o vértice adjacente ao vértice “A” (1º quadro), pois
(A, E) ainda não foi usado. O arco (A, E) é rotulado como usado (o vértice “E” é
marcado como usado). Portanto, pelo PASSO 3, “E” é eliminado do 1º quadro e
registrado no 2º quadro na 1º posição vazia de T (2º ordem); V0 ← w = E. Veja os
quadros abaixo:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E
Retornando ao PASSO 2, w ← B pois o arco (E, B) ainda não foi usado. O arco (E, B) é
rotulado como usado, “B” é eliminado do 1º quadro e registrado no 2º quadro, na 1º
posição vazia de T (3º ordem) conforme o PASSO 3. V0 ← B:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B
93
Retornando ao PASSO 2, w ← A, pois (B, A) ainda não foi usado. O arco (B, A) é
rotulado como usado, “A” é eliminado do 1º quadro e registrado no 2º quadro, na 1º
posição vazia de T (4º ordem) conforme o PASSO 3. V0 ← A:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B A
Ao retornar ao PASSO 2, verifica-se que o vértice “A” não tem sucessores, e ainda
existem arcos não usados (vértices não tachados). Ocorre, que se estabeleceu
prematuramente o “circuito parasita” A, E, B, A. Estando no PASSO 4, desloque “A”
para a última casa livre do 2º quadro (FIM do vetor T). O “último” vértice do circuito
agora é “B” (3º ordem).
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B A
Retornando ao PASSO 2, w ← C, pois (B, C) ainda não foi usado. O arco (B, C) é
rotulado como usado, “C” é eliminado do 1º quadro e registrado no 2º quadro, na 1º
posição vazia de T (4º ordem) conforme o PASSO 3. V0 ← C:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B C A
94
Retornando ao PASSO 2, w ← D, pois (C, D) ainda não foi usado. O arco (C, D) é
rotulado como usado, “D” é eliminado do 1º quadro e registrado no 2º quadro, na 1º
posição vazia de T (4º ordem) conforme o PASSO 3. V0 ← D:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B C D A
Retornando ao PASSO 2, w ← B, pois (D, B) ainda não foi usado. O arco (D, B) é
rotulado como usado, “B” é eliminado do 1º quadro e registrado no 2º quadro, na 1º
posição vazia de T (6º ordem) conforme o PASSO 3. V0 ← B:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B C D B A
Novamente, ao retornar ao PASSO 2, verifica-se que o vértice “B” não tem sucessores,
e ainda existem arcos não usados (vértices não tachados). Ocorre que se estabeleceu
prematuramente o “circuito parasita” B, C, D, B. Estando no PASSO 4, desloque “B’
para a última casa livre do 2º quadro (8º ordem do vetor T). O “último” vértice do circuito
agora é “D” (5º ordem).
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B C D B A
95
Retornando ao PASSO 2, w ← E, pois (D, E) ainda não foi usado. O arco (D, E) é
rotulado como usado, “E” é eliminado do 1º quadro e registrado no 2º quadro, na 1º
posição vazia de T (6º ordem) conforme o PASSO 3. V0 ← E:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B C D E B A
Retornando ao PASSO 2, w ← D, pois (E, D) ainda não foi usado. O arco (E, D) é
rotulado como usado, “D” é eliminado do 1º quadro e registrado no 2º quadro, na 1º
posição vazia de T (7º ordem) conforme o PASSO 3. V0 ← D:
A B C D E
E A D B B
C E D
Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º FIM
Vértice A E B C D E D B A
Finalmente, todos os arcos foram usados (vértices tachados). No último quadro tem-se
o circuito de Euler com início e fim no vértice A.
96
APÊNDICE C
1 – Implementação Computacional do Algoritmo Utilizando a Linguagem PASCAL: Program OTIMIZA_COLETA; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; Const MAX=400; //Tamanho da lista que armazena o Grafo. NITER=1000;//Número máximo de iterações. Type Tlista= Record noi:integer; nof:integer; custo:integer; PRT:integer; end; Tvetor=Record peso:real; noinicial:integer; nofinal:integer; ind_i:integer; ind_j:integer; end; TArvore=record noi:integer; nof:integer; custo:integer; fluxo:integer; prt:integer; end; Tcirc=array of integer; TTArvore=array of TArvore;//Array dinâmico!! TLCR=array of Tvetor; TTLista=array[1..MAX] of Tlista; TOF_DM=array of integer; TTime=type TDateTime; TMatCusto=array of array of integer; TPred=array of integer; var MelhorRota,CircEuler:Tcirc; Arvore:TTArvore; Lista:TTLista;//Armazena Grafo G=(V,A,E) OF_DM:TOF_DM; //Armazena os graus(di's) dos vértices LCR:TLCR; //Lista de Candidatos Restrita. U,iter,i,j,Pos,Res,noi,nof,ind,v,k,Dist,MelhorDist,Custo,Temp,no, alfa:integer; Local:string; Tempo:TTime; MatCusto:TMatCusto; Pred:TPred;
97
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Function modulo(x,y:integer):integer; var z:integer; begin z:=x+y; if z>0 then modulo:=z else modulo:=-z; end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Function modulo1(x,y:integer):integer; var z:integer; begin z:=x-y; if z>0 then modulo1:=z else modulo1:=-z; end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Function Qaresta(var Lista:TTlista):integer; var x,LJ1,LJ2,i,j:integer; begin x:=0; for i:=1 to k-1 do for j:=i+1 to k do begin LJ1:= Lista[j].noi; LJ2:= Lista[j].nof; if (Lista[i].noi=LJ2) and (Lista[i].nof=LJ1) Then if (Lista[i].PRT<>-1) and (Lista[j].PRT<>-1) Then inc(x,1); end; Qaresta:=x; end; //Fim do Procedimento ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure ComputaPesos(Q:integer); {calcula os pesos w(i,j) das arestas} var noi,nof,i,j,pos:integer; begin pos:=0; while pos<Q do // troquei Qaresta(Lista) por Q... begin for i:=1 to k-1 do for j:=i+1 to k do begin if (lista[i].noi=lista[j].nof) and (lista[i].nof=lista[j].noi) then {se uma aresta foi encontrada, calcula-se seu peso(w)} begin if (lista[i].PRT<>-1) and (lista[j].PRT<>-1) then
98
begin noi:=lista[i].noi; nof:=lista[i].nof; if (OF_DM[noi-1]*OF_DM[nof-1])>0 then begin LCR[Pos].peso:=-modulo(OF_DM[noi-1],OF_DM[nof-1]); LCR[Pos].noinicial:=noi; LCR[Pos].nofinal:=nof; LCR[Pos].ind_i:=i; LCR[Pos].ind_j:=j; end else if (OF_DM[noi-1]*OF_DM[nof-1])<0 then begin LCR[Pos].peso:=modulo1(OF_DM[noi-1],OF_DM[nof-1]); LCR[Pos].noinicial:=noi; LCR[Pos].nofinal:=nof; LCR[Pos].ind_i:=i; LCR[Pos].ind_j:=j; end else if (OF_DM[noi-1]=0) and (OF_DM[nof-1]=0) then begin LCR[Pos].peso:=-0.001; LCR[Pos].noinicial:=noi; LCR[Pos].nofinal:=nof; LCR[Pos].ind_i:=i; LCR[Pos].ind_j:=j; end else if (OF_DM[noi-1]=0) or (OF_DM[nof-1]=0) then begin LCR[Pos].peso:=0.001; LCR[Pos].noinicial:=noi; LCR[Pos].nofinal:=nof; LCR[Pos].ind_i:=i; LCR[Pos].ind_j:=j; end; inc(pos); end; end; end; end;{final do while} end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure CalculaOfertaDemanda(var lista:TTlista;no:integer;var OF_DM:TOF_DM); var i,node,arc_o,arc_i,grau: integer; begin node:=1; arc_o:=0; arc_i:=0; while node<=no do begin for i:=0 to k do begin if (lista[i].noi=node) and (lista[i].PRT<>-1) then
99
inc(arc_o) else if (lista[i].nof=node) and (lista[i].PRT<>-1) then inc(arc_i); end; grau:=(arc_i)-(arc_o); OF_DM[node-1]:=grau; arc_o:=0; arc_i:=0; inc(node); end;{fim do while} end;{fim do procedimento} ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure OrdenaLCR(var C:TLCR; n:integer);{ordena a LCR utilizando inserção direta} var i,k,j: integer; chave: Tvetor; begin for i:=1 to (n-1) do begin k:=0; j:=i-1; chave:=C[i]; while (j>=0) and (k=0) do begin if chave.peso > C[j].peso then begin C[j+1]:=C[j]; j:=j-1; end else k:= j+1; end;//fim do while C[k]:=chave; end; end; //Fim do Procedimento ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure IncrementaLista(var Lista:TTLista;var Arvore:TTArvore; var ind:integer); var i,pos:integer; begin ind:=k; for i:=0 to High(Arvore) do begin if ((Arvore[i].fluxo) > 0) then begin pos:=ind+(Arvore[i].fluxo); while (ind < pos) do begin inc(ind); Lista[ind].noi:=Arvore[i].noi; Lista[ind].nof:=Arvore[i].nof; Lista[ind].custo:=Arvore[i].custo; end; end;
100
end; end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure AtualizaLista(var Lista:TTLista); var i:integer; begin For i:=(k+1) to max do begin Lista[i].noi:=0; Lista[i].nof:=0; Lista[i].custo:=0; Lista[i].prt:=0; end; end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure CircuitoEuleriano(var Lista:TTLista;V,A,Orig:integer;var CircEuler: Tcirc;var Dist:integer); type Clas=^Nodo; Nodo=record chave:integer; prox:Clas; end; ListaSuc=array of Clas; var T:ListaSuc; ind,no,pos,Valor,TotalArcos,max,i:integer; //--------------------------------------------------------------------------// Procedure Ins(var T:Clas;k:integer); var N,P:Clas; begin New(N); N^.chave:=k; if T=nil then begin N^.prox:=nil; T:=N; end else begin P:=T; while (P^.prox<>nil) do P:=P^.prox; N^.prox:=P^.prox; P^.prox:=N; end; end; //--------------------------------------------------------------------------// Procedure Rem(var T:Clas); var P:Clas; begin P:=T; T:=T^.prox; dispose(P);
101
end; //--------------------------------------------------------------------------// begin SetLength(T,V); TotalArcos:=0; ind:=1; Dist:=0; while (ind<=A) do begin Valor:=lista[ind].prt; if (Valor<>-1) then begin Ins(T[(lista[ind].noi)-1],lista[ind].nof); inc(TotalArcos); Dist:=(Dist)+(lista[ind].custo); end; inc(ind); end; max:=TotalArcos+1; SetLength(CircEuler,max); no:=Orig; pos:=0; CircEuler[pos]:=Orig; while (TotalArcos>0) do begin if (T[no-1]<>nil) then begin inc(pos); i:=no-1; CircEuler[pos]:=T[no-1]^.chave; no:=T[no-1]^.chave; Rem(T[i]); dec(TotalArcos); end else begin CircEuler[max-1]:=CircEuler[pos]; CircEuler[pos]:=0; dec(max); dec(pos); no:=CircEuler[pos]; end; end; //write('O circuito é: '); //for i:=0 to High(CircEuler) do // begin // write(CircEuler[i],' ,'); // end; writeln; writeln; //write('Custo total: ',Dist); writeln; end; //Final do procediemento CircuitoEuleriano!!!
102
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure MostrarLista; var i:integer; begin For i:=1 to max do begin write(’Lista(’,i,’): ’); write(’ ’, Lista[i].noi); write(’-->’,Lista[i].nof); write(’ ’,Lista[i].custo); write(’ ’,Lista[i].PRT); writeln; end; end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure MostrarOF_DM; var j:integer; begin For j:=0 to High(OF_DM) do write(’Grau’,’(’,j+1,’):’,’-> ’,OF_DM[j],’;’); end; //////////////INÍCIO DO PROCEDIMENTO QUE TORNA O GRAFO SIMÉTRICO////////////// PROCEDURE FLUXOCUSTOMINIMO(VAR LISTA:TTLISTA; VAR OF_DM:TOF_DM; VAR ARVORE: TTARVORE; VAR MATCUSTO:TMATCUSTO; N:INTEGER); const M=10000; type regNo=^regPilha; pilha= regNo; regPilha=record no:integer; prox:pilha; end; TLista=record fluxo:integer; proxno:integer; atualno:integer; end; VAR LISTAEL: array of Tlista; VETORVISITADO,POTN: array of integer; MATFLUXO:array of array of integer; MIN,MENORI,MENORJ,J,I:integer; NOVO,ATUAL,ANT,TOPO:regNO; IDA,OTIMO:BOOLEAN; //--------------------------------------------------------------------------// FUNCTION CICLONEGATIVO: BOOLEAN; VAR NEGATIVO:BOOLEAN; ATUALC:PILHA; BEGIN
103
ATUALC:=TOPO; NEGATIVO:=TRUE; WHILE (ATUALC^.PROX<>NIL) AND (NEGATIVO) DO BEGIN IF MATFLUXO[ATUALC^.PROX^.NO, ATUALC^.NO]<>1000 THEN NEGATIVO:=FALSE ELSE ATUALC:=ATUALC^.PROX; END; CICLONEGATIVO:=NEGATIVO; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE CONSTROIMATFLUXO;{ESTE PROCEDIMENTO TAMBÉM PRENCHE O VETOR POTN} VAR L,C,I,NO:INTEGER; BEGIN SETLENGTH(MATFLUXO,N+1,N+1); SETLENGTH(POTN,N); //WRITELN(’============ CONSTRUINDO A MATRIZ DE FLUXO ============’); FOR L:=1 TO N DO FOR C:=1 TO N DO BEGIN MATFLUXO[L,C]:=1000; END; I:=1; POTN[0]:=0; FOR NO:=2 TO N DO BEGIN IF (LISTA[I].NOI=1) AND (LISTA[I].NOF=NO) THEN BEGIN IF OF_DM[NO-1]<=0 THEN BEGIN MATFLUXO[1,NO]:=-OF_DM[NO-1]; POTN[NO-1]:=LISTA[I].CUSTO; INC(I); END ELSE BEGIN MATFLUXO[NO,1]:=OF_DM[NO-1]; POTN[NO-1]:=-1000; INC(I); END; END ELSE IF OF_DM[NO-1]<=0 THEN BEGIN MATFLUXO[1,NO]:=-OF_DM[NO-1]; POTN[NO-1]:=1000; END ELSE BEGIN MATFLUXO[NO,1]:=OF_DM[NO-1]; POTN[NO-1]:=-1000; END; END; END;
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//--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE CONSTROIMATCUSTO; VAR L,C,I:INTEGER; BEGIN //WRITELN(’============ CONSTRUINDO A MATRIZ DE CUSTO ============’); SETLENGTH(MATCUSTO,N+1,N+1); I:=1; FOR L:=1 TO N DO FOR C:=1 TO N DO BEGIN IF (LISTA[I].NOI=L) AND (LISTA[I].NOF=C) THEN BEGIN MATCUSTO[L,C]:=LISTA[I].CUSTO; INC(I); END ELSE MATCUSTO[L,C]:=1000; END; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE APONTAPRA(TESTE:INTEGER; VAR ACHEIA:BOOLEAN; VAR K:INTEGER);{O PROCEDIMENTO RECEBE O PARÂMETRO 'TESTE' E DEVOLVE OS PARÂMETROS 'ACHEIA' E 'K'} VAR C:INTEGER; BEGIN K:=1; C:=TESTE; ACHEIA:=FALSE; WHILE (K<=N) AND (ACHEIA=FALSE) DO BEGIN IF (MATFLUXO[K,C]<>1000) THEN IF (VETORVISITADO[K-1]=0) THEN ACHEIA:=TRUE ELSE INC(K) ELSE INC(K); END; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE MOSTRARVETARV; VAR IND:INTEGER; BEGIN WRITELN(’=== VETOR ARVORE ===’); FOR IND:=0 TO HIGH(ARVORE) DO WRITELN(ARVORE[IND].NOI,’-->’,ARVORE[IND].NOF,’ : ’,ARVORE[IND].CUSTO,’ : ’,ARVORE[IND].FLUXO,’ : ’,ARVORE[IND].PRT); END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE INICIALIZAVISITADO; VAR IND: INTEGER; BEGIN
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SETLENGTH(VETORVISITADO,N); FOR IND:=0 TO HIGH(VETORVISITADO) DO VETORVISITADO[IND]:=0; END; //-------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE QUALCAMINHO(Q:INTEGER; VAR ACHEIQ:BOOLEAN; VAR C:INTEGER);{O PROCEDIMENTO RECEBE O PARÂMETRO 'Q' E DEVOLVE OS PARÂMETROS 'ACHEIQ' E 'C'} VAR K:INTEGER; BEGIN K:=Q; C:=1; ACHEIQ:=FALSE; WHILE (C<=N) AND (ACHEIQ=FALSE) DO BEGIN IF (K<>C) THEN IF (MATFLUXO[K,C]<>1000) THEN IF (VETORVISITADO[C-1]=0) THEN ACHEIQ:=TRUE ELSE INC(C) ELSE INC(C) ELSE INC(C); END; END; //--------------------------------------------------------------------------// FUNCTION CONTPILHA(EL:INTEGER):INTEGER; //CONTA O Nº DE ELEMENTOS DA PILHA BEGIN ATUAL:=TOPO; WHILE (ATUAL<>NIL) DO BEGIN INC(EL); ATUAL:=ATUAL^.PROX; END; CONTPILHA:=EL; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE MARCAR(M:INTEGER); BEGIN VETORVISITADO[M-1]:=1; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE GUARDAR(X:INTEGER); BEGIN NEW(NOVO); NOVO^.NO:=X; IF TOPO=NIL THEN BEGIN ANT:=TOPO; TOPO:=NOVO;
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TOPO^.PROX:=NIL; ANT:=NIL; END ELSE BEGIN NOVO^.PROX:=TOPO; ANT:=TOPO; TOPO:=NOVO; END; MARCAR(X); END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE CRIACICLO(NO:INTEGER); VAR ACHEIA,ACHEIQ:BOOLEAN; K,C:INTEGER; BEGIN IF (NO<>J) THEN BEGIN APONTAPRA(NO,ACHEIA,K); IF (ACHEIA) THEN BEGIN IF (TOPO=NIL) OR (NO<>TOPO^.NO) THEN GUARDAR(NO); IDA:=TRUE; CRIACICLO(K); END ELSE BEGIN QUALCAMINHO(NO,ACHEIQ,C); IF (ACHEIQ) THEN BEGIN IF (TOPO=NIL) OR (NO<>TOPO^.NO) THEN GUARDAR(NO); IDA:=TRUE; CRIACICLO(C); END; END; IF (NOT ACHEIA) AND (NOT ACHEIQ) AND (IDA) THEN BEGIN IDA:=FALSE; MARCAR(NO); CRIACICLO(TOPO^.NO); END ELSE IF (NOT ACHEIA) AND (NOT ACHEIQ) AND (NOT IDA) THEN BEGIN DISPOSE(TOPO); TOPO:=ANT; ANT:=TOPO^.PROX; IDA:=FALSE; MARCAR(NO); CRIACICLO(TOPO^.NO); END; END ELSE GUARDAR(NO); END;
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//--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE DESALOCAPILHA; BEGIN ATUAL:=TOPO; WHILE (ATUAL<>NIL) DO BEGIN TOPO:=ATUAL^.prox; DISPOSE(ATUAL); ATUAL:=TOPO; END; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE CALCUSTOREDUZIDO; CONST BIG=1000; VAR MENOR,VALOR,L,C:INTEGER; BEGIN MENOR:=BIG; FOR L:=1 TO N DO FOR C:=1 TO N DO BEGIN IF (L<>C) THEN BEGIN IF (MATCUSTO[L,C]<>BIG) AND(MATFLUXO[L,C]=BIG) THEN BEGIN VALOR:=(POTN[L-1])-(POTN[C-1])+(MATCUSTO[L,C]); IF (VALOR<MENOR) THEN BEGIN MENOR:=VALOR; MENORI:=L; MENORJ:=C; END; END; END; END; IF (MENOR>=0) THEN OTIMO:=TRUE; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE MOSTRARMATFLUXO; VAR L,C:INTEGER; BEGIN FOR L:=1 TO N DO BEGIN WRITELN; FOR C:=1 TO N DO WRITE(MATFLUXO[L,C],’ ’); END; WRITELN; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE MOSTRARMATCUSTO;
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VAR C,L:INTEGER; BEGIN FOR L:=1 TO N DO BEGIN WRITELN; FOR C:=1 TO N DO WRITE(MATCUSTO[L,C],’ ’); END; WRITELN; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE CONSTROISOLBASICA; VAR L,C,I:INTEGER; BEGIN I:=0; FOR L:=1 TO N DO FOR C:=1 TO N DO IF MATFLUXO[L,C]<>1000 THEN BEGIN ARVORE[I].NOI:=L; ARVORE[I].NOF:=C; ARVORE[I].CUSTO:=MATCUSTO[L,C]; ARVORE[I].FLUXO:=MATFLUXO[L,C]; ARVORE[I].PRT:=0; INC(I); END; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE MOSTRARPOTN; VAR IND:INTEGER; BEGIN FOR IND:=0 TO N-1 DO WRITE(POTN[IND],’ ’); END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE INICIALIZAPOTN; VAR I:INTEGER; BEGIN POTN[0]:=0; FOR I:=1 TO (N-1) DO POTN[I]:=9999; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE ATUALIZANDOPOTN;{ATUALIZA AS VARIÁVEIS DUAIS DOS VÉRTICES QUE FORMAM A ÁRVORE BÁSICA} LABEL INICIO; VAR I:INTEGER; BEGIN INICIALIZAPOTN; I:=0; WHILE I <= HIGH(ARVORE) DO INICIO:
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BEGIN IF (ARVORE[I].NOI=1) AND (ARVORE[I].PRT<>-1) THEN BEGIN POTN[(ARVORE[I].NOF)-1]:=(POTN[(ARVORE[I].NOI)- 1])
+(MATCUSTO[ARVORE[I].NOI,ARVORE[I].NOF]); ARVORE[I].PRT:=-1; END; IF (ARVORE[I].NOF=1) AND (ARVORE[I].PRT<>-1) THEN BEGIN POTN[(ARVORE[I].NOI)-1]:=(POTN[(ARVORE[I].NOF)-1])-
(MATCUSTO[ARVORE[I].NOI,ARVORE[I].NOF]); ARVORE[I].PRT:=-1; END; IF (ARVORE[I].NOI<>1) AND (ARVORE[I].NOF<>1) THEN IF (POTN[(ARVORE[I].NOI)-1]<>9999) AND (POTN[(ARVORE[I].NOF)-1]=9999) AND (ARVORE[I].PRT<>-1) THEN BEGIN POTN[(ARVORE[I].NOF)-1]:=(POTN[(ARVORE[I].NOI)- 1])
+(MATCUSTO[ARVORE[I].NOI,ARVORE[I].NOF]); ARVORE[I].PRT:=-1; END; IF (ARVORE[I].NOI<>1) AND (ARVORE[I].NOF<>1) THEN IF (POTN[(ARVORE[I].NOF)-1]<>9999) AND (POTN[(ARVORE[I].NOI)-1]=9999) AND (ARVORE[I].PRT<>-1) THEN BEGIN
POTN[(ARVORE[I].NOI)-1]:=(POTN[(ARVORE[I].NOF)-1])-(MATCUSTO[ARVORE[I].NOI,ARVORE[I].NOF]);
ARVORE[I].PRT:=-1; END; INC(I); END; FOR I:=0 TO HIGH(ARVORE) DO BEGIN IF (ARVORE[I].PRT=0) THEN GOTO INICIO; END; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE INICIALISTAEL; {INICIALIZA O VETOR QUE IRÁ ARMAZENAR O VALOR DO FLUXO DAS ARESTAS CONTRÁRIAS AO ARCO ENTRANTE NO CILCO FORMADO PELO MESMO} VAR I:INTEGER; BEGIN SETLENGTH(LISTAEL,N); FOR I:=0 TO HIGH(LISTAEL) DO BEGIN LISTAEL[I].FLUXO:=-1; LISTAEL[I].PROXNO:=0; LISTAEL[I].ATUALNO:=0; END; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE MINIMO;{CALCULA O MENOR FLUXO DENTE OS ARCOS CONTRÁRIOS AO ARCO ENTRANTE}
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BEGIN ATUAL:=TOPO; MIN:=1000; WHILE ATUAL^.PROX<>NIL DO BEGIN IF MATFLUXO[ATUAL^.PROX^.NO, ATUAL^.NO]<>1000 THEN IF MATFLUXO[ATUAL^.PROX^.NO, ATUAL^.NO]< MIN THEN MIN:=MATFLUXO[ATUAL^.PROX^.NO, ATUAL^.NO]; ATUAL:=ATUAL^.PROX; END; END; //--------------------------------------------------------------------------// PROCEDURE ATUALIZAMATFLUXO; VAR POS,P:INTEGER; BEGIN INICIALISTAEL; MINIMO; MATFLUXO[I,J]:=MIN; ATUAL:=TOPO; POS:=0; WHILE (ATUAL^.PROX<>NIL) DO BEGIN IF MATFLUXO[ATUAL^.NO, ATUAL^.PROX^.NO]=1000 THEN BEGIN MATFLUXO[ATUAL^.PROX^.NO, ATUAL^.NO]:=
MATFLUXO[ATUAL^.PROX^.NO,ATUAL^.NO]- MIN; LISTAEL[POS].FLUXO:=MATFLUXO[ATUAL^.PROX^.NO, ATUAL^.NO]; LISTAEL[POS].PROXNO:=ATUAL^.PROX^.NO; LISTAEL[POS].ATUALNO:=ATUAL^.NO; INC(POS); END ELSE MATFLUXO[ATUAL^.NO, ATUAL^.PROX^.NO]:= MATFLUXO[ATUAL^.NO, ATUAL^.PROX^.NO]+ MIN; ATUAL:=ATUAL^.PROX; END; FOR P:=0 TO (CONTPILHA(0)-2) DO {CASO HAJA MAIS DE UM ARCO COM FLUXO ZERO, O PRIMEIRO ARCO DA LISTA RECEBERÁ FLUXO 1000 NA MATFLUXO. ISTO É, SAIRÁ DA ÁRVORE} IF (LISTAEL[P].FLUXO=0) THEN BEGIN MATFLUXO[LISTAEL[P].PROXNO,LISTAEL[P].ATUALNO]:=1000; BREAK; END; END; ///////////////////////// CHAMADA DOS PROCEDIMENTOS //////////////////////// BEGIN {=============== OTIMIZANDO OS FLUXOS ===============} CONSTROIMATFLUXO; CONSTROIMATCUSTO; CONSTROISOLBASICA; INICIALIZAVISITADO;{OBTEM UMA ÁRVORE BÁSICA INICIAL} OTIMO:=FALSE; TOPO:=NIL; WHILE (NOT OTIMO) DO
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BEGIN CALCUSTOREDUZIDO; IF (NOT OTIMO) THEN BEGIN I:=MENORI; J:=MENORJ; IF TOPO<>NIL THEN DESALOCAPILHA; CRIACICLO(I); IF (CICLONEGATIVO) THEN BEGIN WRITELN(’CICLO NEGATIVO!!! = <<FIM DO PROGRAMA>>’); READLN; HALT;{ENCERRA O PROGRAMA!!!!} END ELSE BEGIN ATUALIZAMATFLUXO; //WRITELN(’==========STATUS==========’); //WRITELN(’== MATRIZ DE FLUXO ==’); //MOSTRARMATFLUXO; CONSTROISOLBASICA;{ATUALIZA A ARVORE!!} ATUALIZANDOPOTN; //WRITELN; //MOSTRARVETARV; //WRITELN(’== POTENCIAS DOS NOS ==’); //MOSTRARPOTN; INICIALIZAVISITADO; END; END; END; //WRITELN(’========================== FINAL =======================’); //WRITELN(’== MATRIZ DE FLUXO ==’); //MOSTRARMATFLUXO; //WRITELN; //WRITELN (’== MATRIZ DE CUSTO ==’); //MOSTRARMATCUSTO; //WRITELN; //MOSTRARVETARV; //READLN; END; ////////////////////////////FINAL DO PROCEDIMENTO FCM///////////////////////// Function PodeMelhorar(i:integer):boolean; var pos:integer; melhoria:boolean; begin melhoria:=true; pos:=0; while (melhoria) and (pos<=High(Arvore)) do begin If pos<>i then begin if (Arvore[i].noi<>Arvore[pos].noi) and (Arvore[i].noi<>Arvore[pos].nof) then begin if (Arvore[i].nof<>Arvore[pos].noi) and (Arvore[i].nof<>Arvore[pos].nof) then
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inc(pos) else if Arvore[pos].fluxo<>0 then melhoria:=False else inc(pos); end else if Arvore[pos].fluxo<>0 then melhoria:=false else inc(pos); end else inc(pos); end;//Fim do while PodeMelhorar:=Melhoria; end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure Dijkstra(var W:TMatCusto;n,s,t:integer;var Custo:integer; var Pred:TPred); Type arrn=array of integer; boolarrn=array of boolean; Var j,u,v,y,recent:integer; newlabel,temp:integer; path:boolean; final:boolarrn; dist:arrn; Begin SetLength(Dist,n+1); SetLength(Pred,n+1); SetLength(Final,n+1); For v:=1 to n do begin dist[v]:=1000;{peso do arco} final[v]:=false;{arco não existente} pred[v]:=-1; end; dist[s]:=0; final[s]:=true; path:= true; recent:= s; while (not final[t]) do begin for v:=1 to n do {encontra um novo rótulo} if (W[recent,v]<1000) and (not final[v]) then begin newlabel:=dist[recent] + W[recent,v]; if newlabel<dist[v] then begin dist[v]:=newlabel; pred[v]:=recent; end; end;
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temp:=1000; for u:=1 to n do {encontra um menor vértice rotulado} if (not final[u]) and (dist[u]<temp) then begin y:=u; temp:=dist[u]; end; if (temp < 1000) then {existe um caminho} begin final[y]:=true; recent:=y; end else {não existe caminho de s para t} begin path:=false; final[t]:=true; end; end; {while} Custo:=Dist[t]; writeln; {writeln(’Custo :’,custo); write(’DIST:’,’[’); For j:=1 to n do begin write(Dist[j],’,’); end; writeln(’]’); writeln; write(’PRED:’,’[’); For j:=1 to n do begin write(Pred[j],’,’); end; writeln(’]’); readln;} end; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Procedure LerArquivo(var Lista:TTLista; Local:string); Var Arq:TextFile; Noi,Nof,Custo,ind:integer; begin AssignFile(Arq,Local); Reset(Arq); ind:=0; while not EOF(arq) do begin inc(ind); readln(Arq,noi,nof,custo); lista[ind].noi:=noi; lista[ind].nof:=nof; lista[ind].custo:=custo; end; Close(Arq); end; ///////////////////////** CORPO DO PROGRAMA PRINCIPAL **////////////////////// begin
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writeln(’=======================INICIO DO PROGRAMA=========================’); write(’Selecione o grafo: ’); readln(Local); LerArquivo(Lista,Local); write(’Numero de nos: ’); readln(v); writeln; write(’Numero de arcos: ’); readln(k); writeln; write(’Selecione um vertice inicial: ’); readln(no); writeln; write(’Entre com o parametro alfa: ’); readln(alfa); SetLength(Arvore,v-1); SetLength(LCR,Qaresta(Lista)); SetLength(OF_DM,v); //-------------------------FASE DE CONSTRUÇÃO-------------------------------// iter:=1; MelhorDist:=10000; Tempo:=Now(); while (iter<=NITER) do begin U:=Qaresta(Lista); CalculaOfertaDemanda(lista,v,OF_DM);; ComputaPesos(U);{Preenche a LCR} OrdenaLCR(LCR,U); while U <> 0 do {enquanto houver arestas na LCR para serem orientadas} begin Randomize; If U >= alfa then Pos:=Random(alfa) else Pos:=Random(U); noi:=LCR[Pos].noinicial; nof:=LCR[Pos].nofinal; If (OF_DM[noi-1] > OF_DM[nof-1]) then Lista[LCR[Pos].ind_j].PRT:=-1 else If (OF_DM[noi-1]=OF_DM[nof-1]) then begin Randomize; Res:=Random(2); If Res=0 then Lista[LCR[Pos].ind_i].PRT:=-1 else Lista[LCR[Pos].ind_j].PRT:=-1 end else Lista[LCR[Pos].ind_i].PRT:=-1; Dec(U); CalculaOfertaDemanda(lista,v,OF_DM); ComputaPesos(U);{Preenche a LCR} OrdenaLCR(LCR,U); end; {Final do while} CalculaOfertaDemanda(lista,v,OF_DM);
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FluxoCustoMinimo(LISTA,OF_DM,ARVORE,MATCUSTO,v); IncrementaLista(Lista,Arvore,ind); CircuitoEuleriano(Lista,v,ind,no,CircEuler,Dist); //----------------------------FASE DE MELHORIA------------------------------// For i:=0 to High(Arvore) do If (Arvore[i].fluxo<>0) and (PodeMelhorar(i)) then//caso encontre arcos isolados,ie, sem outros arcos adjacentes.... begin Dijkstra(MatCusto,v,Arvore[i].noi,Arvore[i].nof,Custo,Pred); if (Custo<Arvore[i].custo) then//efetuará o procedimento de troca. begin For j:=1 to ind do begin If (Lista[j].noi=Arvore[i].noi) and Lista[j].nof=Arvore[i].nof) then Lista[j].prt:=-1; end; nof:=Arvore[i].nof; noi:=Pred[nof]; while noi<>-1 do begin Temp:=Arvore[i].fluxo; repeat inc(ind); Lista[ind].noi:=noi; Lista[ind].nof:=nof; Lista[ind].custo:=Arvore[i].custo; dec(Temp); until Temp=0; nof:=noi; noi:=Pred[nof]; end; writeln(’============MELHORIA EFETUADA!!!!============’); writeln('============O NOVO CICLO SERÁ.....==========='); CircuitoEuleriano(Lista,v,ind,no,CircEuler,Dist); readln; end; end; //--------------------------------TESTE FINAL-------------------------------// if (Dist < MelhorDist) then begin MelhorDist:=Dist; MelhorRota:=CircEuler; end; for i:=1 to ind do lista[i].prt:=0; writeln('Iteracao:',iter); writeln; inc(iter); end; Tempo:=Now()-Tempo; write('Melhor Custo Z(T): ',MelhorDist); writeln; writeln; write('Melhor Rota: '); for i:=0 to High(MelhorRota) do begin write(MelhorRota[i],' ,'); end;
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writeln; writeln; write(’Tempo Total: ’,TimeToSTR(Tempo)); readln; end.