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Otimizao de antenas filamentares usando o mtodo de Gauss-Newton Valcir J. da C. Farias, Marcus P. da C. da Rocha, Alessandra L. de Oliveira, Marissol T. Sperotto

Programa de Ps-graduao em Matemtica e Estatstica-ICEN-UFPA Rua Augusto Corra, 01, Belm, Par

E-mail: valcir@ufpa.br; mrocha@ufpa.br; alima485@gmail.com; marissol@ufpa.br.

Palavras chaves Antena Yagi-Uda, mtodo de gauss-Newton, otimizao.

Resumo O projeto da antena Yagi-Uda foi otimizado aplicando o mtodo de Gauss-Newton. A otimizao consistiu em especificar intervalos de valores para a diretividade, razo frente-costa e ngulo de meia potncia e, partindo de um modelo inicial pr-definido, foram determinados os melhores valores para o comprimento e espaamento dos elementos. Para a modelagem direta, foi utilzado o mtodo dos momemtos sobre a equao integral de Pocklington, a qual consistiu em obter os valore de diretividade, razo frente-costa e ngulo de meia potncia a partir do comprimento e do espaamento entre elementos conhecidos. O procedimento foi aplicado na sntese de antenas Yagi-Uda com cinco elementos e os resultados foram encontrados to bons quanto os obtidos na literatura aplicando outros mtodos de otimizao.

1 INTRODUO

A antena Yagi-Uda foi introduzida em 1920 por S. Uda [1]. Uma antena Yagi-Uda convencional consiste em dipolos lineares paralelos dos quais somente um, normalmente o segundo elemento, energizado por uma fonte, os demais so elementos parasitas. O primeiro elemento funciona como refletor, o qual possui tamanho maior que o elemento energizado. Do terceiro at o n-simo so elementos diretores e so menores que o elemento fonte. A Figura 1 mostra uma antena Yagi-Uda com seis elementos.

Apesar da aparncia simples da antena Yagi-Uda, o projeto desse dispositivo no uma tarefa fcil, principalmente por que existem muitas inter-relaes entre as variveis envolvidas no projeto, como exemplo, os elementos so eletromagneticamente acoplados e uma pequena variao no comprimento e/ou no espaamento entre os elementos da antena pode alterar a distribuio de corrente sobre todos os componentes. As dificuldades de projeto fizeram com que a ateno de alguns pesquisadores se voltasse para a otimizao da antena Yagi-Uda [2-4].

Cheng [2] usou o mtodo do gradiente para otimizar o ganho e a impedncia de entrada da antena Yagi-Uda, seus resultados aumentaram em 80% o ganho de um projeto inicial de um dispositivo Yagi-Uda.

Jones and Joines [3] e Ramos et al. [4] usaram algoritmo gentico para o projeto da antena Yagi-Uda, seus resultados foram to bons quanto os apresentados por [2].

Para problemas de otimizao com poucos parmetros os mtodos de busca local, como Newton, Quasi-Newton e Gauss-Newton possuem um bom desempenho. Alm disso, essas tcnicas so computacionalmente, nestes casos, to rpidas quanto os mtodos de busca global, como o algoritmo gentico. Dessa forma, se torna atrativo desenvolver a otimizao da antena Yagi-Uda aplicando uma tcnica de busca local.

Este trabalho aplica o mtodo de Gauss-Newton para otimizar diretividade, ngulo de meia potncia e razo frente-costa da antena Yagi-Uda a partir do ajuste dos valores dos comprimentos e espaamentos entre elementos desse dispositivo de radiao.

2 MTODO DE GAUSS-NEWTON

O objetivo do projeto desenvolver uma antena Yagi-Uda que rena algumas caractersticas requeridas para um bom desempenho desse dispositivo. As caractersticas que sero especificadas neste trabalho so: nmero de elementos, sendo um refletor e um elemento energizado; diretividade; razo frente-costa; e ngulo de meia. Os valores dos tamanhos e dos espaamentos entre os elementos sero ajustados pelo processo de otimizao de Gauss-Newton. Um projeto inicial da antena ser estabelecido e, a partir desses dados, aplica-se o mtodo de Gauss-Newton at que as faixas de valores das caractersticas pr-estabelecidas sejam atingidas. A qualidade do processo de otimizao est relacionada, matematicamente, a uma funo Custo.

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ISSN 2317-3297

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A funo custo utilizada no processo de otimizao de Gauss-Newton, neste trabalho, foi a mesma desenvolvida por [5-6], e dada pela expresso (1).

(1)

Onde (0

3

A funo )( m tem um ponto estacionrio (ponto crtico) em mk somente se o gradiente de (m) for

para zero em mk, isto : 0)()()( =+= kkk

Tk mmGmgm (4)

Assim, o ponto estacionrio mk da funo (m) ser a soluo do sistema de equaes lineares:

)()( kkk mgmmG = (5)

Dependendo da definio da matriz Hessiano, o ponto estacionrio dado por (5) pode ser um ponto de mnimo, mximo ou de sela. De acordo com [5], a condio sobre a matriz Hessiano G(m) em ser singular ou no singular e sua definio (positiva, negativa definida ou indefinida) podem ser ajustada por uma escolha apropriada do parmetro de regularizao .

No mtodo de Gauss-Newton despreza-se as derivadas de segunda ordem da funo custo com relao as componentes do vetor dos parmetros do modelo (m), ou seja, no considera-se o termo Q. Assim, o Hessiano, no mtodo de Gauss-Newton, ser dado por:

)()()( mJWWmJWWmG dT

dTT

mm += (6) O mtodo reduz-se em resolver um sistema de equaes lineares apresentado em (7).

(7) O sistema de equaes lineares (7) foi resolvido aplicando o mtodo da eliminao de Gauss. A modelagem direta, ou seja, o projeto da antena Yagi-Uda a partir das entradas de comprimento e espaamento entre os elementos da antena e como sada a diretividade, ngulo de meia potncia e razo frente-costa, baseado no mtodo dos momentos apresentado em [1].

3 RESULTADOS

Para aplicar o procedimento descrito neste trabalho na otimizao da diretividade, do ngulo de meia potncia e da razo frente-costa da antena Yagi-Uda, utilizaremos o exemplo de antena com cinco elementos. Os elementos foram considerados os seguintes dados iniciais: Comprimento do 1 diretor=0.419 ; Comprimento do 2 diretor=0.437 ; Comprimento do 3 diretor=0.407 ; Comprimento do refletor=0.483 ; Comprimento da fonte=0.434 ; espaamento entre fonte e 1 diretor=0.271 ; espaamento entre 1 e 2 diretor=0.362 ; espaamento entre 2 e 3 diretor=0.390 ; e espaamento entre fonte e refletor=0.224 . Onde o diagrama de radiao dessa antena para o plano H mostrado na Figura 2.

Figura 2: Diagrama de radiao (plano H) da antena Yagi-Uda de cinco elementos com os dados iniciais. Os parmetros de diretividade, razo frente-costa e ngulo de meia potncia, para os dados iniciais, so apresentados a seguir: ngulo de meia potncia (plano E)=43,08 graus; ngulo de meia potncia (plano H)=47,81 graus; Razo frente-costa (plano E)=6,6602 dB; Razo frente-costa (plano H)=6,6516 dB; Diretividade = 11,444 dB. Aps a aplicao do mtodo de Gauss-Newton, obteve-se os valores indicados a seguir para comprimento e espaamento entre os elemento da antena: Comprimento do 1 diretor=0.4308273 ; Comprimento do 2 diretor=0.4308273 ; Comprimento do 3 diretor=0.4308273 ; Comprimento do refletor=0.4884964 ; Comprimento da fonte=0.4746618 ; espaamento entre fonte e 1 diretor=0.2308273 ; espaamento entre 1 e 2 diretor=0.323309 ; espaamento entre 2 e 3 diretor=0.323309 ; espaamento entre fonte e refletor=0.1924818 .

jmT

mjobs

dT

djmT

mH

dT

dH

mWWmfdWWmWWJWWJ ..)](.[..J]....[ H =+

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Esses dados otimizados fornecem os parmetros de diretividade, razo frente-costa e ngulo de meia potncia apresentados abaixo: ngulo de meia potncia (plano E)=40,86 graus; ngulo de meia potncia (plano H)=44,89 graus; Razo frente-costa (plano E)=10,2482 dB; Razo frente-costa (plano H)=10,2372 dB; Diretividade = 12,170 dB. Nota-se que o processo de otimizao aplicado neste trabalho na sntese da antena Yagi-Uda de cinco elemento, obteve resultados significativos para a diretividade, para a razo frente-costa , tanto no plano E quanto no plano H, e para o ngulo de meia potncia. A Figura 3 mostra o diagrama de radiao para o plano H da antena otimizada.

Figura 3: Diagrama de radiao (plano H) da antena Yagi-Uda de cinco elementos com os dados otimizados pelo mtodo de Gauss-Newton.

4 CONCLUSO O projeto de uma antena Yagi-Uda reunindo algumas caractersticas requeridas para este dispositivo foi desenvolvido usando a tcnica de otimizao de Gauss-Newton. Para tanto, foram especificados o nmero de elementos, sendo um refletor e um elemento energizado, diretividade, razo frente-costa e ngulo de meia. Os valores dos tamanhos e dos espaamentos entre os elementos foram ajustados pelo processo de otimizao. Um projeto inicial da antena foi estabelecido e, a partir desses dados, aplicou-se o mtodo de Gauss-Newton at que as faixas de valores das caractersticas pr-estabelecidas fossem atingidas. A modelagem direta, ou seja, o projeto da antena Yagi-Uda a partir das entradas de comprimento e espaamento entre os elementos da antena e como sada a diretividade, ngulo de meia potncia e razo frente-costa, foi realizado a partir da aplicao do mtodo dos momentos equao integral de Pocklington. Este procedimento foi aplicado em antenas com cinco elementos, os resultados mostraram que o processo de otimizao de Gauss-Newton apresenta-se como uma eficiente ferramenta para sntese de antenas Yagi-Uda.

REFERNCIAS

[1] C. Balanis, Antenna Theory and Design. Jhon Wiley & Sons, 1997, ISBN 0-471-59268-4.

[2] D. K. Cheng, Gain optimi