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Exercicios

Solucionando ummodelo

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Otimizacao

Aula 3

Ivan Sendin

FACOM - Universidade Federal de [email protected],[email protected]

20 de agosto de 2018

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Problema da Cerca

Dada uma solucao, saber se e viavel/factıvel

Dada uma solucao, sabemos o seu benefıcio

(problema dos chapeus/prisioneiros = Futuro...)

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Otimizacao X PO

“application of advanced analytical methods to helpmake better decisions.” - Wikipedia

Inglaterra (pre) WWII - Radares

Diferenciar o trabalho de laboratorio com o decampo

https://www.informs.org/ORMS-Today/

Public-Articles/June-Volume-42-Number-3/

History-of-OR-Useful-history-of-operations-research

https://www.informs.org/ORMS-Today/Public-Articles/June-Volume-42-Number-3/History-of-OR-Useful-history-of-operations-research



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https://research.fb.com/category/economics-and-computation/

Microsoft, Google, Amazon,...

(Parte do) Cientista de Dados

Exemplo: Melhor vendedor com o melhor($) cliente(?)

h

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Traducao de um cenario para um sistema maisformal

possibilita a busca da solucao otima de formasistematica

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Mundo Real

Mundo Real Consideado

Modelo

(Fig 1.1 de Taha)

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“Todos os modelos sao errados... mas alguns sao uteis”George E.P. Box

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Modelagem

1 Quais sao as alternativas?O que tenho que decidir? Quais sao as minhasliberdades?

2 Quais sao as restricoesO que eu devo obedecer? Limitacoes

3 Qual seria um criterio objetivo para avaliar cadaalternativa.Como comparar solucoes?

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Modelagem - Problema da cerca

1 Quais sao as alternativas?Variar a relacao de comprimento dos lados. base ealtura

2 Quais sao as restricoesO perımetro nao pode ser maior do que L

3 Qual seria um criterio objetivo para avaliar cadaalternativaA area do retangulo formado

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Eu quero construir um cercado retangular de areamaxima usando uma cerca de L metros, portanto, operimetro do retangulo nao pode exceder L

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Eu quero maximizar b.h sujeito a 2(b + h) ≤ L.

b e h sao suas variaveis de decisao: formam o espacoque voce pode tomar as decisoes.

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max b.h

s.t.

2(b+h) >= L

b >= 0

h >= 0

max ou min, s.t. ou s.a.

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Este modelo e equivalente a um algoritmo (faca,se, enquanto,....)

(equivalente = existe um maquina que o entende eo executa)

Solvers

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(resolvendo na mao...)

x e a minha variavel de decisao...

b = L4− x

4

h = L4

+ x4

b.h = L−x4∗ L+x

4

b.h = L2−2Lx+x2

16

maximizar x2 − 2Lx ...

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Modelagem - Problema das passagens

(1.1 de Taha)

Voce mora em Fayeteville(F)

5 semanas em Denver(D)

2a: F− >D

4a: D− >F

Passagem avulsa: $300

Passagem Ida-Volta: $400

Ja posso construir um modelo:1 Alternativas: passagem avulsa X ida-Volta (todas

as combinacoes)2 Restricoes: 2a chega em D e 4a chega em F3 Funcao Objetivo: Custo=soma das passagens

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Modelagem - Problema das passagens

2a: F− >D / 4a: D− >F

Passagem avulsa: $300

Passagem Ida-Volta: $400

Passagem Ida-Volta com fim de semana: 20% dedesconto

1 Alternativa: ?2 Restricoes: 2a chega em D e 4a chega em F3 Funcao Objetivo: Custo=soma das passagens

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Modelagem - Problema do troco

Moedas do 50,20, 5 e 1 centavo

Como fazer um troco de 77 centavos?

Gastando o minimo de moedas.

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Modelagem - Problema do troco

Quais sao as VDs?

A quantidade de cada tipo de moeda disponıvel.x1 := moeda de 50c, x2 :=moeda de 20 c,...xi ∈ Z , xi >= 0

Quais regras devemos obedecer?

A “soma” das moedas deve ser igual ao troco

Qual e a funcao objetivo?

A “soma” da quantidade de moedas deve sermınima

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min z = x1 + x2 + x3 + x4

s.a

50x1 + 20x2 + 5x3 + x4 = t

x1, x2, x3, x4 ∈ Z

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

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Solucao para 77 centavos

Solucao para 60 centavos

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E se tivermos apenas 5 moedas de 5c??

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min z = x1 + x2 + x3 + x4

s.a

50x1 + 20x2 + 5x3 + x4 = t

x3 ≤ 5

x1, x2, x3, x4 ∈ Z

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

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E se moedas de 5 centavos forem mais difıceis deconseguir...

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min z = x1 + x2 + 2x3 + x4

s.a

50x1 + 20x2 + 5x3 + x4 = t

x1, x2, x3, x4 ∈ Z

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

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from pulp import *

prob = LpProblem("Troco", LpMinimize)

valores = [50,20,5,1]

x = LpVariable.dicts(’x’,[0,1,2,3],lowBound=0,cat=pulp.LpInteger)

prob += pulp.lpSum([x[ix] for ix in range(4)]), "obj"

prob += pulp.lpSum([valores[ix]*x[ix] for ix in range(4)]) == 77, "R1"

prob.solve()

print "Status:", LpStatus[prob.status]

for v in prob.variables():

print v.name, "=", v.varValue

print ("objective = %s" % value(prob.objective))

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(....)

Status: Optimal

x_0 = 1

x_1 = 1

x_2 = 1

x_3 = 2

objective = 5

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Exercicios 1.1.4 e 1.1.5 de Taha.

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Programacao Linear

Programacao Inteira: VD sao inteiros (troco)

Programacao Dinamica: mochila(?)

Programacao nao-linear: quadraticas (por exemplo)

Heurısticas: ideias boas

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Reddy Mikks- Exemplo 2.1-1

Fabrica de tintas

Tintas para interior e exterior

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Exterior Interior DispoM1 6 4 24M2 1 2 6Lucro 5 4

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Devemos determinar a producao de tintas de interiore exterior

Garantir o melhor lucro

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Devemos determinar a producao de tintas de interiore exterior

x1 - producao de tinta para exterior...x2 - interior

Garantir o melhor lucro

maximizar: lucro(x1) + lucro(x2)z = 5x1 + 4x2

(tabela...)

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1 Existe uma diponibilidade maxima de materia primaM1

2 Existe uma diponibilidade maxima de materia primaM2

3 A demanda diaria por tinta para interior nao podeultrapassar a de exterior em uma tonelada (gerencia)

4 A demanda maxima de tintas para interiores e de 2

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Existe uma diponibilidade maxima de materia primaM1


6x1 + 4x2 ≤ 24

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Existe uma diponibilidade maxima de materia primaM2


1x1 + 2x2 ≤ 6

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A demanda diaria por tinta para interior(x1) naopode ultrapassar a de exterior(x2) em uma tonelada(gerencia)

x2 ≤ x1 + 1

−x1 + x2 ≤ 1

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A demanda maxima de tintas para interiores e de 2

x2 ≤ 2

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max z = 5x1 + 4x2

s.a.

6x1 + 4x2 <= 24

1x1 + 2x2 <= 6

-x1 + x2 <= 1

x2 <= 2

x1,x2 >= 0

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1 (x1, x2) = (3, 1) e viavel/factıvel? Lucro?

2 (x1, x2) = (4, 1) e viavel? Lucro?

3 (x1, x2) = (3, 1.5) e viavel? Lucro?

4 (x1, x2) = (2, 2) e viavel? Lucro?

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Mais...

1 A producao de tintas para interiores deve ser maiordo que a de tinta para exteriores em - ao menos - 1tonelada

2 A utilizacao diaria de M2 deve ser ao minimo 4

3 A quantidade minima de tinta produzida nao podeser inferior a 2

4 A producao de tintas para exterior nao deve sermaior do que o dobro da de tintas para interior

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Para (x1, x2) = (2, 2) determine a sobra de materiaprima.

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