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2012 - Edmarcio Belati

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EEL-204: Otimização Clássica

em Sistemas de Elétricos de

Potência

Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati

[email protected] 11/07/2012

Aula 07

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O fluxo de potência ótimo (FPO) é um problema de otimização

com as seguintes características:

não-linear;

não convexo;

estático e;

grande porte.

O FPO calcula um conjunto de variáveis ótimas de estado da

rede, a partir de dados de carga e dos parâmetros do sistema.

uxl

)x(h

)x(ga.s

)x(fmin

0

0

FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO

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O problema de FPO minimiza uma função objetivo que pode

ser:

uxl

)x(h

)x(ga.s

)x(fmin

0

0

custo de geração;

perdas ativas na transmissão;

potências de intercâmbio entre áreas;

ou outro critério qualquer.

s.a: Sujeito à restrições de igualdade (g(x) que representam as

equações não lineares do fluxo de potência (soma das

potências nas barras).


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e restrições de desigualdade h(x) que podem ser:

limites de geração de potência ativa;

limite de geração de potência reativa;

magnitude das tensões nas barras;

valores dos taps nos transformadores;

fluxos de potência ativa nas linhas de transmissão;

fluxos de potência reativa nas linhas de transmissão e as;

potências de intercâmbio entre áreas.


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O problema FPO pode ser representado matematicamente

por:

uxl

)x(h

)x(ga.s

)x(fmin

0

0

onde :

é o vetor das variáveis de estado do problema;

l e u são respectivamente os limites inferiores e superiores

das variáveis de estado do problema;

g(x) é o conjunto das equações de balanço do fluxo de

potência;

h(x) é o conjunto das restrições funcionais.

)t,v,(x

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Qual a diferença entre o Fluxo de Carga e ou Fluxo de

Potência Ótimo?

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A avaliação do desempenho das redes de energia elétrica em

condições de regime permanente senoidal é de grade

importância tanto na operação em tempo real do sistema como

quanto no planejamento de sua operação a expansão. Entre as

informações a serem determinadas para uma condição definidas

de carga e geração se destacam as seguintes:

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FLUXO DE CARGA AC

O carregamento das linhas de transmissão e transformadores;

O carregamento dos geradores;

A magnitude da tensão nas barras;

As perdas de transmissão;

O carregamento dos equipamentos de compensação de reativos (síncronos e estáticos).

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A partir das informações listadas é possível definir propostas de

alterações a serem implantadas no sistema, com objetivo de

tornar sua operação mais segura e econômica. Entre as

possíveis alterações no sistema, destacam-se:

Ajuste no despacho dos geradores;

Ajustes nos dispositivos de controle de tensão (injeção de potência reativa, posição dos taps dos transformadores e status dos bancos dos de reatores e capacitores);

Ajustes no intercâmbio com sistemas vizinhos;

Mudança na topologia (ligar ou desligar alguma linha de transmissão ou transformadores).

FLUXO DE CARGA AC

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Já as alterações possíveis no planejamento da expansão do

sistema, destacam-se:

Instalação de novos pontos de geração;

Instalação de novas linhas de transmissão e transformadores;

Instalação de dispositivos de controle de fluxo de potência (FACTS – Flexible AC Transmission System);

Interconexão com outros sistemas.

FLUXO DE CARGA AC

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FLUXO DE CARGA AC

O problema do fluxo de carga (load flow), ou fluxo de potência

(Power flow) consiste na obtenção das condições de operação

(magnitude das tensões nodais, ângulos de fase e injeções de

potências nas barras de geração) em regime permanente de

uma rede de energia elétrica com topologia, consumo e níveis de

geração conhecidos.

Na formulação básica do problema do fluxo de carga em

sistemas elétricos são associadas quatro variáveis a cada barra

da rede (que representa um nó do circuito elétrico equivalente):

Vk – Magnitude do fasor tensão nodal da barra k;

k – Ângulo de fase do fasor tensão nodal da barra k;

Pk – Injeção líquida (geração menos carga) de potência ativa da barra k;

Qk – Injeção líquida de potência reativa da barra k.

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No fluxo de carga e no FPO convencionais definem-se três

tipos de barras, conforme mostra a Tabela 1 e Tabela 2.

Tipo da Barra Notação Dados Incógnitas

Barra de Carga PQ P e Q V e

Tensão controlada PV ------- P, V, e Q

Referência V V, P e Q

Tipo da Barra Notação Dados Incógnitas

Barra de Carga PQ P e Q V e

Tensão controlada PV P e V e Q

Referência V V e P e Q

Tabela 1 – Fluxo de Carga

Tabela 2 – Fluxo de Potência Ótimo

FLUXO DE CARGA X FPO

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APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

TRANSMISSÃO

GERAÇÃO

CARGA

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APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

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MOTIVAÇÃO PARA TRABALHAR COM

OTIMIZAÇÃO

Demanda média do Sistema interligado Nacional (SIN)

60.000 MW

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Perdas ativas na transmissão (7%) = 4.200 MW

7% 4.200 MW

6% 3.600 MW 600 MW

Tarifa média brasileira (ANEEL - 2007) = 252,91 (R$ / MWh )

600 (MWh) 252,91 (R$/MWh) = R$ 151.746,00

Economia em 1 ano R$ 1,32 bilhões

http://www.ons.org.br

Usina hidrelétrica Três Irmãos

Potência nominal total instalada 807,5 MW

MOTIVAÇÃO PARA TRABALHAR COM

OTIMIZAÇÃO

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FLUXO DE POTÊNCUIA ÓTIMO (FPO):

MÉTODO DO GRADIENTE REDUZIDO - DOMMEL & TINNEY (1968);

MÉTODO DAS PENALIDADES – SASSON et al. (1973);

MÉTODO DA LAGRANGIANA AUMENTADA – SANTOS et al. (1988);

MÉTODO DA BARREIRA – GRANVILLE (1994);

MÉTODOS HBRIDOS – BAPTISTA e BELATI (2001).

FPO BASEADO EM SENSIBILIDADE – BELATI (2003)

MÉTODOS UTILIZADOS EM

OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR

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APLICAÇÕES DO FPO

O fluxo de Potência ótimo pode ser utilizado em diversos

seguimentos em Sistemas Elétricos de Potência

Na Otimização do Ponto de Operação de um Sistema Elétricos. BELATI, E. A. ; BAPTISTA, E. C. ; COSTA, G. R. M. . Logarithmic barrier-augmented Lagrangian function to the optimal

power flow problem. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, v. 27, n. 7, p. 528-532, 2005;

BAPTISTA, E. C. ; BELATI, E. A. ; SOUSA, V. A. ; COSTA, G. R. M. . Primal-Dual Logarithmic Barrier and Augmented

Lagrangian Function to the Loss Minimization in Power Systems. Electric Power Components and Systems, v. 34, p. 775-

784, 2006.

Na Alocação das Perdas Ativas na Transmissão. BELATI, E. A. ; COSTA, G. R. M. . Transmission loss allocation based on optimal power flow and sensitivity analysis.

International Journal of Electrical Power & Energy Systems, v. 30, p. 291-295, 2008.

No Controle Automático da Geração. BELATI, E. A. ; ALVES, D. A. ; COSTA, G. R. M. . An approach of optimal sensitivity applied in the tertiary loop of the

automatic generation control. Electric Power Systems Research, v. 79, p. 49, 2008.

No Determinação de Equipamentos (geradores, Banco de

Capacitores, Novas Linhas, etc).

OPORTUNIDADES DE PESQUISA

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APLICAÇÕES DO FPO

O Fluxo de Potência Ótimo é uma ferramenta para análise de

SEP. Está em desenvolvimento desde a década de 60, onde

teve a sua origem. O FPO surgiu a partir do problema de

Despacho Econômico (DE). O DE tem sido utilizado em

concessionárias de eletricidade, fornecendo como resultado a

potência gerada pelas unidades geradoras para atender a

demanda total do sistema ao menor custo.

A compreensão e o entendimento da ferramenta FPO não é

trivial, e para tanto precisa de conceitos de otimização que serão

apresentados na sequência.

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OTIMIZAÇÃO RESTRITA

uxl

)x(h

)x(ga.s

)x(fmin

0

0

Considere o Problema:

Idéia !

Transforma o problema restrito em irrestrito.

Na prática temos uma sequência de problemas irrestritos

resolvidos.

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OTIMIZAÇÃO RESTRITA

uxl

)x(h

)x(ga.s

)x(fmin

0

0

Estudaremos duas maneiras de transformar o problema restrito

em irrestrito.

Função Penalidade:

Função Penalidade

Função Barreira

A idéia da função penalidade é penalizar a restrição violada a

fim de fazer que as restrições não sejam violadas em um

problema de minimizar.

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0)x(ha.s

)x(fmin)P(

FUNÇÃO PENALIDADE

Com restrições de igualdade:

nx

)x(h)x(fmin)PP(

2

Onde >0 é um número muito grande.

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0)x(ga.s

)x(fmin)P(

FUNÇÃO PENALIDADE

Com restrições de desigualdade:

0)(

)()(min

)(

2

xg

x

xgxf

PP n

Problema quando

g(x)<0

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FUNÇÃO PENALIDADE

Com restrições de desigualdade:

nx

)x(g,max)x(fmin)PP(

20

Problema quando

g(x)<0

nx

.c.c

)x(gse)x(g)x(fmin

)PP( 0

02

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FUNÇÃO PENALIDADE

l

i

ppm

i

)x(hi)x(gi,max)x(11

0

A função é chamada função auxiliar. )x()x(f

02xa.s

xmin

Exemplo 1. Resolva o problema abaixo utilizando a função

auxiliar.

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Solução. Resolva o problema abaixo utilizando a função

auxiliar.

)x()x(f)x(P

Pxx 2,0max)(

cc

xsexx

.0

22)(

2

c.c

xsexx)x(P

0

222

FUNÇÃO PENALIDADE

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Aplicando as Condições de Otimalidade.

c.c

xse)x(

)x(d

)x(dP

0

22210

2

2

12

412

0421

0221

x

x

x

x

)x(

FUNÇÃO PENALIDADE

*** Matlab: exemplo1.m *** 26

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0121

2

2

2

1

xxa.s

xxmin

Exemplo 2. Resolva o problema abaixo utilizando a função

auxiliar.

FUNÇÃO PENALIDADE

2

21

2

2

2

1

2

21

2

2

2

1

1

1

xxxx)x(P

xxx

xxx)x(P

Solução.

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FUNÇÃO PENALIDADE

0)x(d

)x(dP

Aplicando as Condições de Otimalidade.

*** Matlab: exemplo2.m ***

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FUNÇÃO PENALIDADE

O método da Função Penalidade:

nx

)x(h

)x(ga.s

)x(fmin

0

0

Seja o Problema.

l

i

ppm

i

)x(hi)x(gi,max)x(11

0

)x()x(f)x(P

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MÉTODO DA FUNÇÃO PENALIDADE

Inicialização: ξ erro de convergência e;

k=1 contador.

escolha: x1 , μ1>0 , >1 (fator de incremento da penalidade).

1- Resolva o Problema:

11 passooparavákk

n

kkk

xa.s

)x()x(fmin

Resolva por algum método

estudado (Newton,Gradiente, etc)

2- Se: .c.c,pare)x( kk

3- Faça: kkkk 11

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MÉTODO DA FUNÇÃO PENALIDADE

Dificuldades Computacionais:

Quando aumenta a matriz Hessiana associada a função

penalidade [f(x)+ (x)] torna-se mal condiciona (alguns valores

característicos tende ao infinito quando tende ao infinito).

Com isso pode ser difícil resolver alguns problemas

penalizados.

0

22

2

2

1

2

21

4

1

xxa.s

)xx()x(min

Exemplo 3. Resolva o problema abaixo utilizando o método

função penalidade.

**Arquivo: penalidade.m**

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Exercício: Minimize as perdas na transmissão para o problema

abaixo (duas situações) utilizando o método da função penalidade.

0.2 +j1.0

v PQ 1 2

j0.02 j0.02

1 - Resolva Para:

P2=-0.3 pu

Q2=0.07 pu

1=0

0.9<=v1<=1.1

0.9<=v2<=1.2

erro=0,000001

2 - Resolva Para:

P2=-0.3 pu

Q2=-0.09 pu

1=0

0.9<=v1<=1.1

0.9<=v2<= 1.1

erro=0.000001

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TRABALHO 4

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Trabalho individual. A entrega do trabalho deverá ser feita via e-mail em

arquivo pdf descrevendo o problema e a solução. Também enviar o

arquivo do matlab (*.m) com a descrição (EEL-204 – TRABALHO

3);

A data limite para entrega é até o dia 01/08/2012;

Endereço de e-mail: [email protected]

TRABALHO 4

mailto:[email protected]





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