os sólidos platônicos ou de platão

8/16/2019 Os Sólidos Platônicos Ou de Platão

1/11

Os sólidos platônicos ou de Platão

APRESENTAÇÃO

Visualizar é uma das habilidades mais importantes para o desenvolvimento do aluno comrelação aos conceitos da geometria espacial. Contudo, um professor típico dispõe (e usa

apenas o livro te!to como ferramenta did"tica para o ensino deste assunto. #endo mídias bidimensionais, a p"gina de um livro ou o $uadro%negro não são os instrumentos mais

ade$uados para se treinar visualização. & emprego de materiais concretos se põe como umae!celente alternativa para e!plorar o assunto. &utra abordagem promissora é o uso de

recursos computacionais' modelos tridimensionais podem ser manuseados virtualmente natela de um computador, construindo assim uma ponte entre a representação planar ($uando o

slido est" est"tico na tela do computador e o modelo concreto ($uando o usu"rio interage

com o slido. )este conte!to, o ob*etivo desta atividade é criar uma pe$uena enciclopédiavirtual interativa sobre os slidos plat+nicos, apresentando suas propriedades matem"ticas,

os aspectos histricos, suas aplicações e modelos virtuais interativos.

DEFINIÇÕES

palavra poliedro tem sido usada em diferentes épocas por diferentes pessoas com os maisvariados significados (muitas vezes, incompatíveis entre si. )ão é raro $ue uma mesma

pessoa use o mesmo termo com interpretações diferentes em momentos diferentes. #em umadefinição precisa, interpretações e$uivocadas (como, por e!emplo, sobre a validade do-eorema de uler podem aparecer. )ão nos deteremos nas nuances do significado da

palavra. /ara nossas necessidades, usaremos a seguinte definição de poliedro conve!o'

Definição. 0m poliedro é uma reunião de um n1mero finito de polígonos planos, ondecada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono.

Cada um destes polígonos chama%se uma face do poliedro, cada lado comum a duas faces

chama%se umaaresta do poliedro e cada vértice de uma face é também chamado vértice do

poliedro. -odo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior deste poliedro.

2izemos $ue um poliedro é convexo se o seu interior C é conve!o, isto é, $uando $ual$uer

segmento de reta $ue liga dois pontos de C est" inteiramente contido em C . m um

poliedro conve!o toda reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em, no m"!imo,

dois pontos.

$ui nos restringiremos 3 classe de poliedros regulares'


2/11


3/11

tetraedro regular

cubo

octaedro regular

dodecaedro regular


4/11

icosaedro regular

!istem outros slidos plat+nicos além destes cinco resposta é nãoD presentaremos a$ui

duas *ustificativas para este fato. primeira, mais geométrica, segue a demonstração dada

originalmente por uclides. segunda faz uso da frmula de uler.

Demons!"ção #eom$!i%"

0saremos a seguinte propriedade fundamental' a soma dos 4ngulos dos polígonos em volta

de cada vértice de um poliedro é sempre menor do $ue 7?AE. sta é a proposição 96 do

:ivro ;< do Os Elementos de uclides. pesar de intuitiva, a demonstração apresentada por

uclides é elaborada, sendo decorrente de uma se$uFncia de resultados au!iliares G 5oHce,

9AA@I.

Vamos agora analisar as diversas possibilidades de união de faces em torno de cada vértice,

lembrando $ue (6 em um slido plat+nico as faces são polígonos regulares congruentes e

(9 são necess"rias pelo menos trFs faces unidas em cada vértice para formar um slido.

6. s faces são tri4ngulos e$uil"teros com 4ngulos internos de ?AE. -emos as seguintes

possibilidades'

N. de Triângulos Equiláteros Soma dos Ângulos Poliedro Formado

3 180° Tetraedro

4 40° !"taedro

# 300° $"osaedro

% & % 3&0° N'o e(iste

9. s faces são $uadrados com 4ngulos internos de JAE. -emos as seguintes possibilidades'

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/propXI21.htmlhttp://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/propXI21.htmlhttp://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/propXI21.htmlhttp://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/propXI21.html


5/11

N. de )uadrados Soma dos Ângulos Poliedro Formado

3 *0° +u,o

% 4 % 3&0° N'o e(iste

7. s faces são pent"gonos regulares com 4ngulos internos de 6A@E. -emos as seguintes

possibilidades'

N. de Pentágonos -egulares Soma dos Ângulos Poliedro Formado

3 34° ode"aedro

% 4 % 3&0° N'o e(iste

=. #e as faces são polígonos regulares com n K ? lados, então a soma dos 4ngulos dos

polígonos em torno de cada vértice é K 7?AE. #endo assim, não e!iste nenhum slido

plat+nico com faces he!agonais, heptagonais, etc.

Demons!"ção o&o'(#i%"

2aremos uma outra demonstração para o fato de $ue s e!istem cinco slidos plat+nicos,

usando agora a frmula de uler' se V é o n1mero de vértices, A é o n1mero de arestas e F éo n1mero de faces de um poliedro conve!o, então

V / A F . 21.1

0ma demonstração deste belíssimo resultado pode ser encontrada em G:ima, 6JJ6I.

referFncia Gppstein, 9AA@I apresenta 6J demonstrações diferentes para a frmula de uler

(incluindo uma prova usando cargas elétricas.

Considere então um slido plat+nico cu*as faces são polígonos regulares de n lados. Como

cada aresta do poliedro é definida pela interseção dos lados de dois polígonos ad*acentes,

segue%se $ue se contarmos todos os lados de todos os polígonos, iremos contar duas vezes

cada aresta do poliedro. 2esta maneira'

n F A. 21.

2enote por p o n1mero de arestas do poliedro $ue concorrem em um mesmo vértice. Cada

uma destas arestas, a e!emplo das faces, se conecta a dois vértices. ssim, se contarmos o

n1mero de arestas em cada face, estaremos contando duas vezes o n1mero de arestas do

poliedro. /ortanto'

http://www.sbm.org.br/livros/cpm/lcpm04.htmlhttp://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/http://www.sbm.org.br/livros/cpm/lcpm04.htmlhttp://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/


6/11

p V A. 21.3

#ubstituindo%se os valores de V e F das $uações (6.9 e (6.7 na $uação (6.6, teremos $ue

9 L AM p N A O 9 L AMn P 9 ou, ainda, 6M p N 6M A O 6Mn P 6M9. Conse$uentemente,

A 2 n p52 n p / n p. 21.4

Como o n1mero A de arestas deve ser positivo, temos $ue 9 L n O 9 L p N n L p Q A, ou se*a,

2 n52n / 6 p.

0ma vez $ue p K 7, concluímos $ue, obrigatoriamente, n R ?. s possibilidades são então as

seguintes'

1. #e n P 7, então A P ? L pM(? % p e, portanto, F P 9 L AMn P = L pM(? N p. 2esta 1ltima frmula segue%

se $ue p R ?. gora'

(a #e p P 7, então F P =. )este caso, o poliedro formado é o tetraedro.

(b #e p P =, então F P @. )este caso, o poliedro formado é o octaedro.

(c #e p P >, então F P 9A. )este caso, o poliedro formado é o icosaedro.

.#e n P =, então A P = L pM(= % p e, portanto, F P 9 L AMn P 9 L pM(= N p. 2esta 1ltima frmula segue%

se $ue p R =. #endo assim, p P 7 e, portanto, F P ?. )este caso, o poliedro formado é o cubo.

3.#e n P >, então A P 6A L pM(6A % 7 L p e, portanto, F P 9 L AMn P = L pM(6A N 7 L p. 2esta 1ltima

frmula segue%se $ue p R 6AM7. #endo assim, p P 7 e, portanto, F P 69. )este caso, o poliedro

formado é o dodecaedro.

UM POUCO DE HISTÓRIA

&s gregos antigos estudaram os slidos plat+nicos e!austivamente. lgumas fontes, como

/roclo (=6A%=@>, atribuem a descoberta destes slidos a /it"goras (>S9 a.C.%=JS a.C..

&utras evidFncias, contudo, sugerem $ue /it"goras conhecia apenas o tetraedro, o cubo e o

dodecaedro, en$uanto $ue a descoberta do octaedro e do icosaedro é atribuída a -eeteto (=6S

a.C.%7?J a.C., $ue também conduziu um estudo mais aprofundado dos cinco slidos

regulares, incluindo a primeira demonstração conhecida de $ue e!istem somente cinco

destes slidos.


7/11

&s nomes slidos plat!nicos ou corpos csmicos foram dados devido a forma pela $ual

/latão (=9S a.C.%7= a.C., em um di"logo intitulado "imeu, os empregou para e!plicar a

natureza. )ão se sabe se -imeu realmente e!istiu ou se /latão o inventou como um

personagem para desenvolver suas idéias. m "imeu, /latão associa cada um dos elementoscl"ssicos (terra, ar, "gua e fogo com um poliedro regular. -erra é associada com o cubo, ar

com o octaedro, "gua com o icosaedro e fogo com o tetraedro. Com relação ao $uinto slido

plat+nico, o dodecaedro, /latão escreve' T8altava ainda uma $uinta construção $ue o deus

utilizou para organizar todas as constelações do céu.U. ristteles introduziu um $uinto

elemento, éter, e postulou $ue os céus eram feitos deste elemento, mas ele não teve interesse

em associ"%lo com o $uinto slido de /latão.

uclides deu uma descrição matem"tica completa dos slidos plat+nicos no 1ltimo livro

(:ivro ;


8/11

7eler ensou que os dois n9meros esta:am "one"tados; istoá s?lidos latAni"os adi"ionais que determinemsuas distân"ias ao Sol. Por m; 7eler a,andonou o seumodelo. +ontudo; de sua esquisa; nas"eram a des"o,erta deno:os s?lidos 2que >oe; le:am o seu nome; a er"eL'o de

que as ?r,itas dos lanetas n'o s'o "Mr"ulos 2mas; sim;elises e as leis do mo:imento lanetário.


9/11

Km modelo "on"reto do sistemasolar ideali=ado or 7eler 2Te">nis">es useum; Oiena;ustria.

Km modelo 3 do sistema solarideali=ado or 7eler

OS SÓLIDOS PLATÔNICOS NA NAT)RE*A E NA TECNOLO+IA

&s slidos plat+nicos se manifestam na natureza (cristais, organismos vivos, moléculas, etc.e na cultura humana (pinturas, esculturas, religião, ar$uitetura, design, etc..

/or e!emplo, são muitas as formas cristalinas naturais no formato do tetraedro (calcopirita,

do he!aedro (galena e do octaedro (magnetita.

(a calcopirita (b galena (c magnetita+ristais na Borma dos s?lidos latAni"os


10/11

E(iste um "ristal "om do=e Ba"es entagonais e trJs arestassaindo de "ada um de seus :inte :


11/11

Brente aos modelos que usam as "oordenadas usuais delongitude e latitude.

os sólidos platônicos ou de platão

Documents